概率论与数理统计(事情的独立性)

1.6.1 事件的独立性
在实际应用中，事件的独立性常常根据事件 的实际意义去判断．
一般情况下，若各事件之间没有关联或关联 很弱，就可以认为它们是相互独立的．
1.6.1 事件的独立性
【例1.22】设某地区某时间每人的血清中含有肝炎 病毒的概率为0.4%，混合100个人的血清，求血清 中含有肝炎病毒的概率．
1.6.1 事件的独立性
伯恩斯坦反例 【例1.20】一个均匀的正四面体， 其第一面染成 红色，第二面染成黄色 ， 第三面染成蓝色，而第 四面同时染上红、黄、蓝三种颜色.现以 A ，B，C 分别记投一次四面体出现红、黄、蓝颜色朝下的事 件， 问 A，B，C是否相互独立?
解 由于在四面体中红、黄、蓝分别出现两面， 因此P( A) P(B) P(C ) 1 ,
P(B|A) = P(B)． 显然，当P(B)>0时，A与B相互独立当且仅当
P(A|B) = P(A)．
1.6.1 事件的独立性
请思考: 两事件相互独立
两事件互不相容
P( AB) P( A)P(B) AB
二者之间 的关系？
请看例子
B
AB A
若 P( A) 1 , P(B) 1 ,
2
2
则 P( AB) P( A)P(B).
n 个事件相互独立
n个事件两两相互独立
1.6.1 事件的独立性
两个结论
( 1) 若事件 A1, A2 , , An (n 2) 相互独立, 则 其中任意k (2 k n)个事件也是相互独立. ( 2) 若 n 个事 件 A1 , A2 , , An (n 2)相互 独立, 则 将 A1 , A2 , , An 中 任 意 多 个 事 件 换 成 它们 的 对 立事件, 所得的n 个事件仍相互独立.
P(AB ) = P( A )P( B )
P(BC ) = P( B )P(C )
P(AC ) = P(A)P(C )
P(ABC ) = P(A )P(B )P(C )
都成立，则称事件A，B，C相互独立
注意 三个事件相互独立
三个事件两两相互独立
另外,仅由P(ABC)=P(A)P(B)P(C),既不能保证A、B、 C两两相互独立,更不能保证三事件相互独立．
但 AB ,
可见两事件相互独立，但两事件不是互不相容的！
1.6.1 事件的独立性
再看例子
若 P( A) 1 , P(B) 1 , AB ,
2
2
则 P( AB) 0, P( A)P(B) 1 , 4
故 P( AB) P( A)P(B).
可见两事件互不相容但不独立.
B A
所以，相互独立和互不相容是两个不同的 概念，不要把它们相容相混淆．
与互不相容并存．
两事件相互独立 P( AB) P( A)P(B) 二者之间没
两事件互不相容 AB
有必然联系
1.6.1 事件的独立性
【例1.19】证明若事件A与B相互独立，则下列各 对事件也相互独立： A与 B，B与 A ，A 与 B
证：因为 A A(B B ) AB AB 所以 P( A) P( AB AB ) P( AB) P( AB )
因此 A，B，C 不相互独立.
1.6.1 事件的独立性
另一个反例(略) 【例1.21】设一口袋中有100个球，其中有7个是 红的，25个是黄的，24个是黄蓝两色的，1个是红 黄蓝三色的，其余43个是无色的．现从中任取一 个球，以A、B、C分别表示取得的球有红色的、 有黄色的、有蓝色的事件．
1.6.1 事件的独立性
1.6.1 事件的独立性
事实上：
当P(A)P(B) > 0时，
A与B独立等价于P(B|A)=P(B)且P(Ａ|Ｂ)= P(Ａ)，
说明Ａ,B是否发生互相没有影响，因此A与B独立
一定不是互不相容的，反之A与B互不相容一定不 独立．
当A，B之一为Ф时，
P(AB) = P(A)P(B)与Ａ∩B ＝ Ф同时成立，即独立
则有 P(B A) P(B), 它表示 A 的发生并不影响 B 发生的可能性大小.
由P(B A) P(B) P( AB) P( A)P(B)
1.6.1 事件的独立性
一般地，有下面定义： 定义1.7 设A，B是两个事件，如果P(AB)=
P(A)P(B)，则称A与B相互独立． 显然，当P(A)>0时，A与B相互独立当且仅当
第1章 概率论基础
1.6 独立性
1.6.1 事件的独立性
1．两个事件的独立性
我们知道条件概率P(B|A)与无条件概率P(B)不一 定相等，但是在一些特殊情况下它们相等． 例如 盒中有5个球(3绿2红), 每次取出一个, 有放回
地 取 两 次.记 A “第一次抽取, 取到绿球”, B “第二次抽取, 取到绿球”,
显然,P( A) 2 , P(B) 1 , P(C ) 1 , P( AB) 1 ,
25
2
4
100
P(BC) 1 , 4
P( AC ) 1 , 100
P( ABC ) 1 , 100
故P(ABC) = P(A)P(B)P(C)． 显然又有 P(AB) P(A)P(B)
P(AC) P(A)P(C)
P( A)P(B) P( AB ) P( AB ) P( A)[1 P(B)] P( A)P(B )
即A与 B 相互独立． 由此可推出 A 与 B 相互独立， 再由B B又推出B与 A 相互独立．
1.6.1 事件的独立性
2．多个事件的独立性 定义1.8 设A,B,C 为三个事件，如果等式
P(BC) P(B)P(C)
即A、B、C不是两两相互独立的．更不是相互独 立的.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1.6.1 事件的独立性
定义推广：如果事件A1,A2,…,An（n 2）中任 意k（2 k n）个事件积事件的概率都等于各个 事件的概率之积，则称A1,A2,…,An相互独立；
如 果 A1,A2,…,An 中 任 意 两 个 事 件 相 互 独 立 ， 则称A1,A2,…,An两两独立．
2 又由题意知 P( AB) P(BC ) P( AC ) 1 ,
4
1.6.1 事件的独立性
故有
P(
AB)
P( A)P(B)
1, 4
P( P(
BC AC
) )
P(B)P(C P( A)P(C
) )
1
4 1
4
, ,
则三事件 A, B, C 两两独立.
由于P( ABC ) 1 1 P( A)P(B)P(C ), 48