因式分解的多种方法(初中版)

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因式分解的方法(初中版)

因式分解是初中一个重点,它牵涉到分式方程,一元二次方程,所以很有必要学会一些基本的因式分解的方法。下面列举了九种方法,希望对大家的学习能有所帮助。 1】提取公因式

这种方法比较常规、简单,必须掌握。

常用的公式有:完全平方公式、平方差公式等

例一:2

2x -3x=0

解:x(2x-3)=0

1x =0,2x =3/2

这是一类利用因式分解的方程。

总结:要发现一个规律就是:当一个方程有一个解x=a 时,该式分解后必有一个(x-a)因式 这对我们后面的学习有帮助。

2】公式法

将式子利用公式来分解,也是比较简单的方法。

常用的公式有:完全平方公式、平方差公式等

注意:使用公式法前,建议先提取公因式。

例二:2x -4分解因式

分析:此题较为简单,可以看出4=2 2,适用平方差公式a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) 2 解:原式=(x+2)(x-2)

3】十字相乘法

是做竞赛题的基本方法,做平时的题目掌握了这个也会很轻松。注意:它不难。

这种方法的关键是把二次项系数a 分解成两个因数21.a a 的积21.a a ,把常数项c 分解成两个因数21.c c 的积21.c c ,并使1221c a c a 正好是一次项b ,那么可以直接写成结果 例三: 把22x -7x+3分解因式.

分析:先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角,再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角,然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项系数.

分解二次项系数(只取正因数):

2=1×2=2×1;

分解常数项:

3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).

用画十字交叉线方法表示下列四种情况:

1 1

2 3

1×3+2×1

=5

1 3

2 1

1×1+2×3

=7

1 -1

2 -3

1×(-3)+2×(-1)

=-5

1 -3

2 -1

1×(-1)+2×(-3)

=-7

经过观察,第四种情况是正确的,这是因为交叉相乘后,两项代数和恰等于一次项系数-7.

解 原式=(x-3)(2x-1).

总结:对于二次三项式2

ax +bx+c(a≠0),如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积,即a=21.a a ,常数项c 可以分解成两个因数之积,即c=21.c c ,把2121,,,c c a a ,排列如下:

1a 1c

2a 2c

1221c a c a

按斜线交叉相乘,再相加,得到1221c a c a +,若它正好等于二次三项式2ax +bx+c 的一次项系数b ,即1221c a c a +=b ,那么二次三项式就可以分解为两个因式1a x+c1与22c x a +之积,即

2ax +bx+c=(1a x+1c )(2a x+2c ).

这种方法要多实验,多做,多练。它可以包括前两者方法。

4】分组分解法

也是比较常规的方法。

一般是把式子里的各个部分分开分解,再合起来

需要可持续性!

例四:2244y x x -++

可以看出,前面三项可以组成平方,结合后面的负平方,可以用平方差公式 解:原式=22)2(y x -+

=(x+2+y)(x+2-y)

总结:分组分解法需要前面的方法作基础,可见前面方法的重要性。

5】换元法

整体代入,免去繁琐的麻烦,亦是建立的之前的基础上

例五:1)(2)(2++-+y x y x 分解因式

考虑到x+y 是以整体出现,展开是十分繁琐的,用a 代替x+y

那么原式=2

a -2a+1

=2)1(-a

回代

原式=2)1(-+y x

6】主元法

这种方法要难一些,多练即可

即把一个字母作为主要的未知数,另一个作为常数

例六:4

222)1()1(216x y y x y -+++

分析:本题尚且属于简单例用,只是稍加难度,以y 为主元会使原式极其烦琐,

而以x 为主元的话,原式的难度就大大降低了。

原式=y x y x y 16)1(2)1(2242+++----------------------【主元法】

=)2)(82(22222+++-x y x y x y x ---------------------【十字相乘法】

可见,十字相乘十分重要。

7】双十字相乘法

难度较之前的方法要提升许多。是用来分解形如f ey dx cy bxy ax +++++22的二次六项式

在草稿纸上,将a 分解成mn 乘积作为一列,c 分解成pq 乘积作为第二列,f 分解成jk 乘积作为第三列,如果mq +np =b ,pk +qj =e ,mk +nj =d ,即第1,2列和第2,3列都满足十字相乘规则。则原式=(mx +py +j )(nx +qy +k )

要诀:把缺少的一项当作系数为0,0乘任何数得0,

例七:22

--++b a b ab 分解因式

解:原式=0×1×2a +ab +2b +a -b -2

=(0×a +b +1)(a +b -2)

=(b +1)(a +b -2)

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