因式分解的多种方法(初中版)
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因式分解的方法(初中版)
因式分解是初中一个重点,它牵涉到分式方程,一元二次方程,所以很有必要学会一些基本的因式分解的方法。下面列举了九种方法,希望对大家的学习能有所帮助。 1】提取公因式
这种方法比较常规、简单,必须掌握。
常用的公式有:完全平方公式、平方差公式等
例一:2
2x -3x=0
解:x(2x-3)=0
1x =0,2x =3/2
这是一类利用因式分解的方程。
总结:要发现一个规律就是:当一个方程有一个解x=a 时,该式分解后必有一个(x-a)因式 这对我们后面的学习有帮助。
2】公式法
将式子利用公式来分解,也是比较简单的方法。
常用的公式有:完全平方公式、平方差公式等
注意:使用公式法前,建议先提取公因式。
例二:2x -4分解因式
分析:此题较为简单,可以看出4=2 2,适用平方差公式a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) 2 解:原式=(x+2)(x-2)
3】十字相乘法
是做竞赛题的基本方法,做平时的题目掌握了这个也会很轻松。注意:它不难。
这种方法的关键是把二次项系数a 分解成两个因数21.a a 的积21.a a ,把常数项c 分解成两个因数21.c c 的积21.c c ,并使1221c a c a 正好是一次项b ,那么可以直接写成结果 例三: 把22x -7x+3分解因式.
分析:先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角,再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角,然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项系数.
分解二次项系数(只取正因数):
2=1×2=2×1;
分解常数项:
3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).
用画十字交叉线方法表示下列四种情况:
1 1
╳
2 3
1×3+2×1
=5
1 3
╳
2 1
1×1+2×3
=7
1 -1
╳
2 -3
1×(-3)+2×(-1)
=-5
1 -3
╳
2 -1
1×(-1)+2×(-3)
=-7
经过观察,第四种情况是正确的,这是因为交叉相乘后,两项代数和恰等于一次项系数-7.
解 原式=(x-3)(2x-1).
总结:对于二次三项式2
ax +bx+c(a≠0),如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积,即a=21.a a ,常数项c 可以分解成两个因数之积,即c=21.c c ,把2121,,,c c a a ,排列如下:
1a 1c
╳
2a 2c
1221c a c a
按斜线交叉相乘,再相加,得到1221c a c a +,若它正好等于二次三项式2ax +bx+c 的一次项系数b ,即1221c a c a +=b ,那么二次三项式就可以分解为两个因式1a x+c1与22c x a +之积,即
2ax +bx+c=(1a x+1c )(2a x+2c ).
这种方法要多实验,多做,多练。它可以包括前两者方法。
4】分组分解法
也是比较常规的方法。
一般是把式子里的各个部分分开分解,再合起来
需要可持续性!
例四:2244y x x -++
可以看出,前面三项可以组成平方,结合后面的负平方,可以用平方差公式 解:原式=22)2(y x -+
=(x+2+y)(x+2-y)
总结:分组分解法需要前面的方法作基础,可见前面方法的重要性。
5】换元法
整体代入,免去繁琐的麻烦,亦是建立的之前的基础上
例五:1)(2)(2++-+y x y x 分解因式
考虑到x+y 是以整体出现,展开是十分繁琐的,用a 代替x+y
那么原式=2
a -2a+1
=2)1(-a
回代
原式=2)1(-+y x
6】主元法
这种方法要难一些,多练即可
即把一个字母作为主要的未知数,另一个作为常数
例六:4
222)1()1(216x y y x y -+++
分析:本题尚且属于简单例用,只是稍加难度,以y 为主元会使原式极其烦琐,
而以x 为主元的话,原式的难度就大大降低了。
原式=y x y x y 16)1(2)1(2242+++----------------------【主元法】
=)2)(82(22222+++-x y x y x y x ---------------------【十字相乘法】
可见,十字相乘十分重要。
7】双十字相乘法
难度较之前的方法要提升许多。是用来分解形如f ey dx cy bxy ax +++++22的二次六项式
在草稿纸上,将a 分解成mn 乘积作为一列,c 分解成pq 乘积作为第二列,f 分解成jk 乘积作为第三列,如果mq +np =b ,pk +qj =e ,mk +nj =d ,即第1,2列和第2,3列都满足十字相乘规则。则原式=(mx +py +j )(nx +qy +k )
要诀:把缺少的一项当作系数为0,0乘任何数得0,
例七:22
--++b a b ab 分解因式
解:原式=0×1×2a +ab +2b +a -b -2
=(0×a +b +1)(a +b -2)
=(b +1)(a +b -2)