初中因式分解的常用方法
初中数学因式分解的几种经典技巧
初中数学因式分解的几种经典技巧初中数学因式分解的几种经典方法因式分解是初中数学的一个重点，涉及到分式方程和一元二次方程，因此学会一些基本的因式分解方法非常必要。
下面列举了九种方法，希望对大家的研究有所帮助。
1.提取公因式这种方法比较常规、简单，必须掌握。
常用的公式有完全平方公式、平方差公式等。
例如，对于方程2x-3x=0，可以进行如下因式分解：x(2x-3)=0，得到x=0或x=3/2.一个规律是：当一个方程有一个解x=a时，该式分解后必有一个(x-a)因式，这对我们后面的研究有帮助。
2.公式法将式子利用公式来分解，也是比较简单的方法。
常用的公式有完全平方公式、平方差公式等。
建议在使用公式法前先提取公因式。
例如，对于x^2-4，可以使用平方差公式得到(x+2)(x-2)。
3.十字相乘法是做竞赛题的基本方法，但掌握了这个方法后，做平时的题目也会很轻松。
关键是将二次项系数a分解成两个因数a1和a2的积a1.a2，将常数项c分解成两个因数c1和c2的积c1.c2，并使ac正好是一次项b，那么可以直接写成结果。
例如，对于2x^2-7x+3，可以使用十字相乘法得到(x-3)(2x-1)。
总结：对于二次三项式ax^2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1.a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1.c2，那么可以使用十字相乘法进行因式分解。
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改写后的文章如下：分解因式是数学中的一个重要概念，也是许多数学问题的基础。
在中学数学中，我们通常研究到七种分解因式的方法。
1.公因数法这种方法是最基础的方法之一，它的核心思想是找到表达式中的公因数。
例如，对于表达式6x+9y，我们可以找到它们的公因数3，然后将表达式简化为3(2x+3y)。
2.公式法公式法是通过运用数学公式来分解因式。
例如，对于二次三项式ax2+bx+c，我们可以使用求根公式来求出它的两个根，然后将表达式分解为(a(x-根1)(x-根2))的形式。
初中数学因式分解常见的6种方法和7种应用
因式分解的六种方法及其应用因式分解的常用方法有：(1)提公因式法；(2)公式法；(3)提公因式法与公式法的综合运用．在对一个多项式因式分解时，首先应考虑提公因式法，然后考虑公式法．对于某些多项式，如果从整体上不能利用上述方法因式分解，还要考虑对其进行分组、拆项、换元等．方法一提公因式法题型1 公因式是单项式的因式分解1．若多项式－12x2y3＋16x3y2＋4x2y2的一个因式是－4x2y2，则另一个因式是()A．3y＋4x－1 B．3y－4x－1C．3y－4x＋1 D．3y－4x【解析】B2．分解因式：2mx－6my＝__________．【解析】2m(x－3y)3．把下列各式分解因式：(1)2x2－xy；(2)－4m4n＋16m3n－28m2n.【解析】(1)原式＝x(2x－y)．(2)原式＝－4m2n(m2－4m＋7)．题型2公因式是多项式的因式分解4．把下列各式分解因式：(1)a(b－c)＋c－b；(2)15b(2a－b)2＋25(b－2a)2.【解析】(1)原式＝a(b－c)－(b－c)＝(b－c)(a－1)．(2)原式＝15b(2a－b)2＋25(2a－b)2＝5(2a－b)2(3b＋5)．方法二公式法题型1直接用公式法5．把下列各式分解因式：(1)－16＋x4y4；(2)(x2＋y2)2－4x2y2；(3)(x2＋6x)2＋18(x2＋6x)＋81.【解析】(1)原式＝x4y4－16＝(x2y2＋4)(x2y2－4)＝(x2y2＋4)(xy＋2)(xy－2)．(2)原式＝(x 2＋y 2＋2xy )(x 2＋y 2－2xy )＝(x ＋y )2(x －y )2.(3)原式＝(x 2＋6x ＋9)2＝[(x ＋3)2]2＝(x ＋3)4.题型2 先提再套法6．把下列各式分解因式：(1)(x －1)＋b 2(1－x )；(2)－3x 7＋24x 5－48x 3.【解析】(1)原式＝(x －1)－b 2(x －1)＝(x －1)(1－b 2)＝(x －1)(1＋b )(1－b )．(2)原式＝－3x 3(x 4－8x 2＋16)＝－3x 3(x 2－4)2＝－3x 3(x ＋2)2(x －2)2.题型3 先局部再整体法7．分解因式：(x ＋3)(x ＋4)＋(x 2－9)．【解析】原式＝(x ＋3)(x ＋4)＋(x ＋3)·(x －3)＝(x ＋3)[(x ＋4)＋(x －3)]＝(x ＋3)(2x ＋1)． 题型4 先展开再分解法8．把下列各式分解因式：(1)x (x ＋4)＋4；(2)4x (y －x )－y 2.【解析】(1)原式＝x 2＋4x ＋4＝(x ＋2)2.(2)原式＝4xy －4x 2－y 2＝－(4x 2－4xy ＋y 2)＝－(2x －y )2.方法三 分组分解法9．把下列各式分解因式：(1)m 2－mn ＋mx －nx ；(2)4－x 2＋2xy －y 2.【解析】(1)原式＝(m 2－mn )＋(mx －nx )＝m (m －n )＋x (m －n )＝(m －n )(m ＋x )．(2)原式＝4－(x 2－2xy ＋y 2)＝22－(x －y )2＝(2＋x －y )(2－x ＋y )．方法四 拆、添项法10．分解因式：x 4＋14. 【解析】原式＝x 4＋x 2＋14－x 2＝⎝⎛⎭⎫x 2＋122－x 2＝⎝⎛⎭⎫x 2＋x ＋12(x 2－x ＋12)． 方法五 整体法题型1 “提”整体11．分解因式：a (x ＋y －z )－b (z －x －y )－c (x －z ＋y )．【解析】原式＝a (x ＋y －z )＋b (x ＋y －z )－c (x ＋y －z )＝(x ＋y －z )(a ＋b －c )．题型2 “当”整体12．分解因式：(x＋y)2－4(x＋y－1)．【解析】原式＝(x＋y)2－4(x＋y)＋4＝(x＋y－2)2.题型3“拆”整体13．分解因式：ab(c2＋d2)＋cd(a2＋b2)．【解析】原式＝abc2＋abd2＋cda2＋cdb2＝(abc2＋cda2)＋(abd2＋cdb2)＝ac(bc＋ad)＋bd(ad＋bc)＝(bc＋ad)(ac＋bd)．题型4“凑”整体14．分解因式：x2－y2－4x＋6y－5.【解析】原式＝(x2－4x＋4)－(y2－6y＋9)＝(x－2)2－(y－3)2＝(x＋y－5)(x－y＋1)．方法六换元法15．分解因式：(1)(a2＋2a－2)(a2＋2a＋4)＋9；(2)(b2－b＋1)(b2－b＋3)＋1.【解析】(1)设a2＋2a＝m，则原式＝(m－2)(m＋4)＋9＝m2＋4m－2m－8＋9＝m2＋2m＋1＝(m＋1)2＝(a2＋2a＋1)2＝(a＋1)4.(2)设b2－b＝n，则原式＝(n＋1)(n＋3)＋1＝n2＋3n＋n＋3＋1＝n2＋4n＋4＝(n＋2)2＝(b2－b＋2)2.因式分解的7种应用因式分解是整式的恒等变换的一种重要变形，它与整式的乘法是两个互逆的过程，是代数恒等变形的重要手段，在有理数计算、式子的化简求值、几何等方面起着重要作用．应用一用于简便计算1．利用简便方法计算：23×2.718＋59×2.718＋18×2.718.【解析】23×2.718＋59×2.718＋18×2.718＝(23＋59＋18)×2.718＝100×2.718＝271.8.2．计算：2 0162－4 034×2 016＋2 0172.【解析】2 0162－4 034×2 016＋2 0172＝2 0162－2×2 016×2 017＋2 0172＝(2 016－2 017)2＝1.应用二用于化简求值3．已知x－2y＝3，x2－2xy＋4y2＝11.求下列各式的值：(1)xy；(2)x2y－2xy2.【解析】(1)∵x－2y＝3，∴x2－4xy＋4y2＝9，∴(x2－2xy＋4y2)－(x2－4xy＋4y2)＝11－9，即2xy＝2，∴xy＝1.(2)x2y－2xy2＝xy(x－2y)＝1×3＝3.应用三用于判断整除4．随便写出一个十位数字与个位数字不相等两位数，把它的十位数字与个位数字对调得到另一个两位数，并用较大两位数减去较小的两位数，所得的差一定能被9整除吗？为什么？【解析】所得的差一定能被9整除．理由如下：不妨设该两位数个位上的数字是b，十位上的数字是a，且a>b，b不为0，则这个两位数是10a＋b，将十位数字与个位数字对调后的数是10b＋a，则这两个两位数中，较大的数减较小的数的差是(10a＋b)－(10b＋a)＝9a－9b＝9(a－b)，所以所得的差一定能被9整除．应用四用于判断三角形的形状5．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，判断△ABC形状．【解析】∵a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，∴2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac＝0.即a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋a2－2ac＋c2＝0.∴(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝0.又∵(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(a－c)2≥0，∴a－b＝0，b－c＝0，a－c＝0，即a＝b＝c，∴△ABC为等边三角形．应用五用于比较大小6．已知A＝a＋2，B＝a2＋a－7，其中a＞2，试比较A与B的大小．【解析】B－A＝a2＋a－7－a－2＝a2－9＝(a＋3)(a－3)．因为a＞2，所以a＋3＞0，从而当2＜a＜3时，a－3＜0，所以A＞B；当a＝3时，a－3＝0，所以A＝B；当a＞3时，a－3＞0，所以A＜B.应用六 用于解方程(组)7．已知大正方形的周长比小正方形的周长多96 cm ，大正方形的面积比小正方形的面积多960 cm 2.请你求这两个正方形的边长．【解析】设大正方形和小正方形的边长分别为x cm ，y cm ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4x －4y ＝96，①x 2－y 2＝960，② 由①得x －y ＝24，③；由②得(x ＋y )(x －y )＝960，④把③代入④得x ＋y ＝40，⑤；由③⑤得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝24，x ＋y ＝40，，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝8. 故大正方形的边长为32 cm ，小正方形的边长为8 cm.应用七 用于探究规律8．观察下列各式：12＋(1×2)2＋22＝9＝32，22＋(2×3)2＋32＝49＝72，32＋(3×4)2＋42＝169＝132，…. 你发现了什么规律？请用含有字母n (n 为正整数)的等式表示出来，并说明理由．【解析】规律：n 2＋[n (n ＋1)]2＋(n ＋1)2＝[n (n ＋1)＋1]2.理由如下：n 2＋[n (n ＋1)]2＋(n ＋1)2＝[n (n ＋1)]2＋2n 2＋2n ＋1＝[n (n ＋1)]2＋2n (n ＋1)＋1＝[n (n ＋1)＋1]2.。
【初中数学】因式分解的九种方法
【初中数学】因式分解的九种方法一、运用公式法我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。
如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。
于是有：a -b =(a+b)(a-b)a +2ab+b =(a+b)a -2ab+b =(a-b)如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。
这种分解因式的方法叫做运用公式法。
二、平方差公式1、式子：a -b =(a+b)(a-b)2、语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
这个公式就是平方差公式。
三、因式分解1.因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。
2.因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。
四、完全平方公式1、把乘法公式(a+b) =a +2ab+b 和(a-b) =a -2ab+b 反过来，就可以得到： a +2ab+b =(a+b) 和a -2ab+b =(a-b) ，这两个公式叫完全平方公式。
这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。
把a +2ab+b 和a -2ab+b 这样的式子叫完全平方式。
2、完全平方式的形式和特点：①项数：三项；②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同；③有一项是这两个数的积的两倍。
3、当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。
4、完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。
这里只要将多项式看成一个整体就可以了。
5、分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。
五、分组分解法我们看多项式am+an+bm+bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式。
如果我们把它分成两组(am+an)和(bm+bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式。
原式=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义。
初中因式分解的方法与技巧
初中因式分解的方法与技巧
因式分解是初中数学中一个重要的知识点，同时也是高中数学中不可或缺的一部分。
在初中阶段，因式分解主要用于解方程、求根以及求导等数学活动中。
以下是一些初中因式分解的方法和技巧:
1. 提公因式法：将等式中的某一个变量表示成全体因式，然后
再将其它部分表示成另一个因式，最后提公因式将两个因式相乘即可。
例如:
$$(x+2)(x+3) = x^2 + 5x + 6$$
2. 分组法：将等式中的某些项按照一定规律分组，然后再将其
它部分表示成另一个因式，最后分组相乘即可。
例如:
$$2x^2 + 3xy + 5y^2 = 2(x^2 + 2xy + y^2) + 3(y^2 + xy + x^2)$$ 3. 十字相乘法：将等式中的两个因式分别写成十字交叉的形式，然后再相乘并相加，最后得到另一个因式。
例如:
$$(x+2)(y+3) =xy + 3x + 2y + 6$$
4. 配方法：将等式中的某些项按照一定规律进行配方，然后再
将其它部分表示成另一个因式，最后配成平方的形式。
例如:
$$x^2 - 5x + 6 = (x-3)^2$$
5. 因式定理法：利用因式定理分解因式。
例如:
$$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$
以上是初中阶段一些常见的因式分解方法和技术。
掌握这些方法和技巧对于解方程、求根以及求导等数学活动都非常重要。
同时，也因式分解是高中数学中重要的基础之一，所以需要在初中阶段打好数
学基础，掌握这些技巧。
初中生因式分解
因式分解是将一个多项式表达为几个多项式的乘积的过程。
对于初中生来说，通常需要掌握以下几种基本的因式分解方法：
1. 提公因式法：如果多项式的各项中都有公共的因子，可以提取出来，使得原多项式变为公因子与剩余部分的乘积。
例如：ax + ay = a(x + y)
2. 分组分解法：将多项式的各项分成几组，每组提出公因子，再将提取公因子后的表达式进行合并。
例如：ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y)
3. 完全平方公式法：利用完全平方公式(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2和(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2进行因式分解。
例如：x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2
4. 差平方公式法：利用差平方公式a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)进行因式分解。
例如：x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)
5. 十字相乘法：适用于形如ax^2 + bx + c的三项式的因式分解，其中a、b、c是常数。
例如：x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
6. 配方法：通过添加和减去同一个数，将二次项和一次项的部分转换为完全平方的形式。
例如：x^2 + 4x = x^2 + 4x + 4 - 4 = (x + 2)^2 - 4
7. 其他特殊公式：如立方和公式、立方差公式等，用于特定形式的多项式因式分解。
因式分解是初中数学中的一个重要知识点，它不仅能够帮助简化多项式的表达，还是解决方程、不等式等问题的重要工具。
因式分解法的四种方法初中
因式分解法的四种方法初中如下：
因式分解法的四种方法是：提公因式法、分组分解法、待定系数法、十字分解法。
1、一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
2、分组分解法指通过分组分解的方式来分解提公因式法和公式分解法无法直接分解的因式，分解方式一般分为“1+3”式和“2+2”式。
3、待定系数法是初中数学的一个重要方法。
用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的。
由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。
4、十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
其实就是运用乘法公式
（x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。
因式分解的多种方法(初中版)
因式分解的方法(初中版)因式分解是初中一个重点，它牵涉到分式方程，一元二次方程，所以很有必要学会一些基本的因式分解的方法。
下面列举了九种方法，希望对大家的学习能有所帮助。
1】提取公因式这种方法比较常规、简单，必须掌握。
常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等例一：22x -3x=0解：x(2x-3)=01x =0,2x =3/2这是一类利用因式分解的方程。
总结：要发现一个规律就是：当一个方程有一个解x=a 时，该式分解后必有一个(x-a)因式 这对我们后面的学习有帮助。
2】公式法将式子利用公式来分解，也是比较简单的方法。
常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等注意：使用公式法前，建议先提取公因式。
例二：2x -4分解因式分析：此题较为简单，可以看出4=2 2，适用平方差公式a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) 2 解：原式=(x+2)(x-2)3】十字相乘法是做竞赛题的基本方法，做平时的题目掌握了这个也会很轻松。
注意：它不难。
这种方法的关键是把二次项系数a 分解成两个因数21.a a 的积21.a a ，把常数项c 分解成两个因数21.c c 的积21.c c ，并使1221c a c a 正好是一次项b ，那么可以直接写成结果 例三： 把22x -7x+3分解因式.分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.分解二次项系数(只取正因数)：2＝1×2＝2×1；分解常数项：3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).用画十字交叉线方法表示下列四种情况：1 1╳2 31×3+2×1=51 3╳2 11×1+2×3=71 -1╳2 -31×(-3)+2×(-1)=-51 -3╳2 -11×(-1)+2×(-3)=-7经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.解 原式=(x-3)(2x-1).总结：对于二次三项式2ax +bx+c(a≠0)，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即a=21.a a ，常数项c 可以分解成两个因数之积，即c=21.c c ，把2121,,,c c a a ，排列如下：1a 1c╳2a 2c1221c a c a按斜线交叉相乘，再相加，得到1221c a c a +，若它正好等于二次三项式2ax +bx+c 的一次项系数b ，即1221c a c a +=b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式1a x+c1与22c x a +之积，即2ax +bx+c=(1a x+1c )(2a x+2c ).这种方法要多实验，多做，多练。
【数学知识点】初中数学因式分解的方法和口诀
【数学知识点】初中数学因式分解的方法和口诀
把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，因式分解的方法有十字相乘法、提公因式法、待定系数法等。
（一）十字相乘法
(1)把二次项系数和常数项分别分解因数;
(2)尝试十字图，使经过十字交叉线相乘后所得的数的和为一次项系数;
(3)确定合适的十字图并写出因式分解的结果;
(4)检验。
（二）提公因式法
(1)找出公因式；
(2)提公因式并确定另一个因式；
①找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；
②提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。
（三）待定系数法
（1）确定所求问题含待定系数的一般解析式；
（2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；
（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。
口诀一
先提首项负号，再看有无公因式，后看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适。
口诀二
两式平方符号异，因式分解你别怕。
两底和乘两底差，分解结果就是它。
两式平方符号同，底积2倍坐中央。
因式分解能与否，符号上面有文章。
同和异差先平方，还要加上正负号。
同正则正负就负，异则需添幂符号。
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
初中数学因式分解常用七大解题方法,分类讲解+例题解析,收藏
初中数学因式分解常用七大解题方法，分类讲解+例题解析，收藏初中数学|因式分解常用七大解题方法，分类讲解+例题解析，收藏 -一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)；(2) (a±b)2 = a2±2ab+b2 ———a2±2ab+b2=(a±b)2；(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；三、分组分解法（一）分组后能直接提公因式比如，从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
（二）分组后能直接运用公式分组后能直接运用公式，主要是通过对题目当中各因式的观察，进行分组后，能够进行提公因式分解，直到分解的最后能够变成几个多项式或单项式与多项式的乘积为止。
综合练习：四、十字相乘法.十字相乘法是因式分解当中比较难的一种分解方式。
在运用过程当中，对同学们的思维提出了更高的要求，等大家都熟练了这种方法以后，其实对于因式分解是非常简单的，而且比较方便。
对于十字相乘法，我们分为四种类型。
给大家做详细的讲解。
针对每一种方法都有经典的例题解析，通过例题解析的方式让大家明白因式分解时该如何操作，遵循怎样的分解步骤，才能比较顺利的解决和掌握十字相乘法。
初中数学因式分解的常用方法
初中数学因式分解的常用方法因式分解是将一个数按照乘法拆分成几个因式相乘的形式，可以简化计算和解方程的过程。
在初中数学中，常见的因式分解方法有以下几种：1.提公因式法：提公因式法是最常见的一种因式分解方法，适用于多项式的各项有公因式的情况。
具体步骤如下：（1）找出多项式的各项的最大公因式；（2）将多项式中各项除以最大公因式得到的商作为新的因式；（3）将最大公因式与新的因式相乘，得到因式分解的结果。
2.公式法：公式法是指通过运用一些特定的公式，将数或多项式进行因式分解。
常见的公式有二次差、平方差、立方差等，具体使用公式的方法可参考相关的理论知识。
3.分组分解法：分组分解法是指将多项式进行分组后，再进行因式分解。
主要适用于多项式的各项无公因子时的情况。
具体步骤如下：（1）将多项式中的各项进行重新分组；（2）在每个组内找出公共因子；（3）将每个组内的公共因子提取出来，得到因式分解的结果。
4.平方差公式：平方差公式是指任意两个数的平方之差可以进行因式分解的公式。
常见的平方差公式有以下几个：（1）平方差公式1：a²-b²=(a+b)(a-b)（2）平方差公式2：a² + 2ab + b² = (a+b)²（3）平方差公式3：a² - 2ab + b² = (a-b)²5.立方差公式：立方差公式是指任意两个数的立方之差可以进行因式分解的公式。
常见的立方差公式有以下几个：（1）立方差公式1：a³ - b³ = (a-b)(a²+ab+b²)（2）立方差公式2：a³ + b³ = (a+b)(a²-ab+b²)6.积因式之和法：积因式之和法是指将一个数a分解成两个因式的乘积之和。
常见的积因式之和公式有以下几个：（1）a² + ab = a(a+b)（2）a² - ab = a(a-b)（3）a² + 2ab + b² = (a+b)²（4）a² - 2ab + b² = (a-b)²以上是初中数学中常用的因式分解方法。
初中因式分解方法总结
初中因式分解方法总结因式分解是初中数学中重要的一部分，它是指将一个多项式表达式分解为包含更简单的表达式的积的形式，其中这些表达式通常是多项式的因子。
在这篇文章中，我们将总结因式分解的基本方法和一些通用技巧，希望能帮助初中学生更好地掌握这一知识点。
一、因式分解基本方法1.提取公因数因式分解的第一步通常是提取公因数。
如果一个多项式的每一项都有一个共同的因子，那么这个因子可以提取出来。
例如，多项式 9x^2 + 6x 可以被因式分解为 3x(3x + 2)。
2.平方差公式平方差公式是因式分解的一个重要公式，其表达式为a²-b²=(a+b)(a-b)。
应用平方差公式，可以将一个二次多项式分解为两个因子的乘积。
例如，x²-4可以分解为(x+2)(x-2)。
3.分组分解有时，分组分解技巧可以用于分解一个多项式。
在分组分解中，我们可能会将项分组，使每一组都有共同的因子。
例如，1+a+b+ab可以分解为(a+1)(b+1)。
4.配方法配方法是因式分解的一种通用技巧，用于将一个双项式转换为二次多项式，进而将其分解。
配方法的一般思路是，使用一个与双项式中各项相关的常数，对双项式进行乘法。
例如，将x+3和x+1相乘可以得到x²+4x+3，然后就可以将其分解为(x+3)(x+1)。
5.长除法长除法是一种较为复杂的因式分解方法，通常适用于高阶多项式。
这种方法基于多项式的最高项，通过连续除以一个因子，在多项式中逐步减少幂的位数，从而得到各个因子。
这种方法需要耐心和技巧，但可以解决较为复杂的因式分解问题。
二、因式分解通用技巧1. 特殊的二次多项式特殊的二次多项式可以被因式分解很容易。
例如，x^2 - 2x + 1可以分解为(x-1)(x-1)，因为它们都等于(x-1)²。
3. 奇偶规则奇偶规则是因式分解中的一个重要原则。
如果一个多项式中有偶数项，则它可以被分解为一个偶数项的多项式与一组单独的偶数项。
初中数学因式分解的常用方法总结
初中数学因式分解的常用方法总结因式分解是数学中重要的基本概念，它在初中阶段占据了重要的地位。
因式分解可以将多项式等式转化为因式的乘积形式，从而简化问题的求解过程。
在初中数学中，常见的因式分解方法包括公因式提取法、分组分解法、特殊因式分解法和差平方公式等。
下面将详细介绍这些常用的因式分解方法。
一、公因式提取法公因式提取法是因式分解中最基本的方法之一、它的基本思想是将多项式中的公因式提取出来，使多项式可以表示为公因式与剩余部分的乘积形式。
公因式提取法的步骤如下：Step 1：找出多项式中的公因式。
Step 2：将多项式中的每一项除以公因式。
Step 3：将结果相加，得到公因式和剩余部分的乘积形式。
例如，将多项式4x+8分解为公因式和剩余部分的乘积形式：Step 1：找出多项式中的公因式，即4Step 2：将多项式中的每一项除以公因式，得到x+2Step 3：将结果相加，得到公因式4和剩余部分(x+2)的乘积形式，即4(x+2)。
二、分组分解法分组分解法是一种常见的因式分解方法，它适用于多项式中存在相同的二次或高次项的情况。
分组分解法的基本思想是根据多项式的结构特点，将多项式按照其中一种方式进行分组，然后使用公式进行分解。
分组分解法的步骤如下：Step 1：将多项式按照其中一种方式进行分组。
Step 2：每一组中的项尽量找出公因式。
Step 3：将每一组中的项进行因式分解。
Step 4：将结果相加，得到多项式的因式分解形式。
例如，将多项式x^2+3x+2分解为因子的乘积形式：Step 1：将多项式按照其中一种方式进行分组，例如(x^2+2x)+(x+2)。
Step 2：每一组中的项尽量找出公因式，得到x(x+2)+1(x+2)。
Step 3：将每一组中的项进行因式分解，得到x(x+2)+1(x+2)=(x+1)(x+2)。
三、特殊因式分解法特殊因式分解法适用于一些特殊的因式分解问题，例如平方差、和差的平方等形式的分解。
初中 因式分解
初中因式分解
因式分解是将一个多项式写成若干个因式的乘积的形式。
初中时通常会学习一些基本的因式分解方法，如：
1. 提公因式法：将多项式中的公因式提出来，写成因式的形式。
例如，对于$4x^2-4x$，我们可以提出$4x$，得到$4x(x-1)$。
2. 平方公式法：对于一些形如 $a^2\pm 2ab+b^2$ 的二次多项式，可以使用平方公式 $(a\pm b)^2$ 将其因式分解。
例如，
$x^2+6x+9$ 可以写成 $(x+3)^2$。
3. 差平方公式法：对于一些形如 $a^2-b^2$ 的差平方多项式，
可以使用差平方公式 $(a+b)(a-b)$ 将其因式分解。
例如，$x^2-
4$ 可以写成 $(x+2)(x-2)$。
4. 三项式乘法公式法：对于一些形如 $ab+ac+bc$ 的三项式多
项式，可以使用三项式乘法公式 $ab+ac+bc=(a+b)(a+c)$ 将其
因式分解。
例如，$3x^2-6x+3$ 可以写成 $3(x-1)^2$。
以上仅是初中时常见的因式分解方法，更复杂和高级的因式分解需要在高中及以上学习。
初中数学因式分解的几种经典技巧
初中数学因式分解的几种经典技巧因式分解是数学中常见的一种运算方法，它可以将一个复杂的算式进行简化，使得问题更易于解决。
初中数学中，因式分解是一个重要的内容，学好因式分解，对于解决其他数学问题也有一定的帮助。
下面是几种经典的因式分解技巧：1.合并同类项合并同类项是进行因式分解的第一步。
合并同类项就是将含有相同字母幂的项合并在一起。
例如：对于表达式3x+5x-2x，首先合并同类项得到6x-2x=4x。
2.提取公因式提取公因式是因式分解中常用的一种方法。
当一个多项式中的每一项都含有一个共同因子时，可以将这个共同因子提取出来。
例如：对于表达式3x + 6xy，可以提取公因式3x得到3x(1 + 2y)。
3.分解差的平方分解差的平方是一个常见的因式分解技巧。
它适用于形如a^2-b^2的表达式，可以分解为(a+b)(a-b)。
例如：对于表达式x^2-9，可以进行差的平方分解得到(x+3)(x-3)。
4.完全平方差公式完全平方差公式也是因式分解中常用的一种方法。
它适用于形如a^2 + 2ab + b^2或a^2 - 2ab + b^2的表达式，可以分解为(a + b)^2或(a- b)^2、例如：对于表达式x^2 + 4x + 4，可以进行完全平方差公式分解得到(x + 2)^25.平方差公式平方差公式是因式分解中的一种重要技巧。
它适用于形如a^2-b^2的表达式，可以分解为(a+b)(a-b)。
例如：对于表达式x^2-4，可以进行平方差公式分解得到(x+2)(x-2)。
6.立方和公式立方和公式是因式分解中的一种技巧，它适用于形如a^3 + b^3的表达式，可以分解为(a + b)(a^2 - ab + b^2)。
例如：对于表达式x^3 + 8，可以进行立方和公式分解得到(x + 2)(x^2 - 2x + 4)。
7.立方差公式立方差公式是因式分解中的一种技巧，它适用于形如a^3 - b^3的表达式，可以分解为(a - b)(a^2 + ab + b^2)。
八年级上册分解因式
八年级上册分解因式
在八年级上册，分解因式是一个重要的数学概念。
在这个阶段，你将开始学习如何将多项式进行因式分解。
下面是一些常见的分解因式的方法和示例：
1.公因式提取法：
当一个多项式中的每一项都有一个公共因子时，可以使用公因式提取法来分解因式。
例如：
将多项式2x+4分解为公因式2和多项式x+2：2(x+2)。
将多项式3x^2+6x分解为公因式3x和多项式x+2：3x(x+2)。
2.二次因式分解法：
当一个二次多项式可以被分解为两个一次因式的乘积时，可以使用二次因式分解法来分解因式。
例如：
将多项式x^2+5x+6分解为两个一次因式的乘积：(x+2)(x+3)。
将多项式x^24x5分解为两个一次因式的乘积：(x5)(x+1)。
3.特殊因式分解法：
在特定情况下，我们可以使用特殊因式分解法来分解因式。
例如：
将差平方公式应用于多项式x^24：(x2)(x+2)。
将平方差公式应用于多项式x^2y^2：(xy)(x+y)。
这些是分解因式的一些常见方法。
在八年级上册，你将继续学习更多的分解因式的技巧和方法。
记住，在处理多项式时要仔细观察其中的模式和规律，以便找到
正确的分解因式的方法。
初二数学因式分解的八种常见方法
初二数学因式分解的八种常见方法一.提取公因式法(一)公因式是单项式的因式分解1.分解因式确定公因式的方法①系数:取各项系数的最大公因数;②字母(或多项式):取各项都含有的字母(或多项式);③指数:取相同字母(或多项式)的最低次幂.注意:公因式可以是单独的一个数或字母，也可以是多项式，当第一项是负数时可先提负号，当公因式与多项式某一项相同时，提公因式后剩余项是1，不要漏项.解:原式=一4m²n(m²一4m+7).(二)公因式是多项式的因式分解2.因式分解15b(2a一b)²+25(b一2a)²解:原式=15b(2a一b)²+25(2a一b)²=5(2a一b)²(3b+5)二.公式法(一)直接用公式法3.分解因式(1).(x²+y²)²一4x²y²(2).(x²十6x)²+18(x²+6x)十81解:(1)原式=(x²+y²+2xy)(x²+y²一2xy)=(x十y)²(x一y)²(2)原式=(x²十6x+9)²=[(x+3)²]²=（x+3）的四次方(二)先提再套法4.分解因式(三)先局部再整法5.分解因式9x²一16一(x十3)(3x+4)解:原式=(3x十4)(3x一4)一(x十3)(3x十4)=(3x+4)[(3x一4)一(x+3)]=(3x十4)(2x 一7)(四)先展开再分解法6.分解因式4x(y一x)一y²解:原式=4xy一4x²一y²=一(4x²一4xy+y²)=一(2x一y)²三.分组分解法7.分解因式x²一2xy+y²一9解:原式=(x一y)²一9=(x一y十3)(x一y一3)四.拆、添项法8.分解因式五.整体法(一)"提"整体9.分解因式a(x+y一z)一b(z一x一y)一c(x一z+y)解:原式=a(x十y一z)十b(x十y一z)一c(x十y一z)=(x十y一z)(a+b一c)(二)"当"整体10.分解因式(x+y)²一4(x+y一1)解:原式=(x+y)²一4(x+y)+4=(x十y一2)²(三)"拆"整体11.分解因式ab(c²+d²)+cd(a²+b²)解:原式=abc²+abd²+cda²+cdb²=(abc²+cda²)+(abd²+cdb²)=ac(bc十ad)+bd(ad+bc)=(bc十ad)(ac+bd)(四)"凑"整体12.分解因式x²一y²一4x+6y一5解:原式=(x²一4x十4)一(y²一6y+9)=(x一2)²+(y一3)²=[(x一2)十(y一3)][(x 一2)一(y一3)]=(x+y一5)(x一y十1)六.换元法13.分解因式(a²十2a一2)(a²+2a+4)+9解:设a²+2a=m，则原式=(m一2)(m+4)十9=m²十4m一2m一8+9=m²+2m十1=(m+1)²=(a ²+2a十1)²=（a+1）的四次方七.十字相乘法公式:x²十(a十b)x十ab=(x+a)(x十b)或（a+b）x对于一个三项式若能象上边一样中间左侧上下相乘得x²，中间右侧上下相乘得ab，中间上下斜对角相乘之和为(a+b)x，则能进行分解，如:14.x²一5x一14解:原式=(x一7)(x十2)十字相乘法分解因式非常重，在以后有关代数式的运算，解方程等知识中常常用到.八.待定系数法15.分解因式x²+3xy+2y²十4x+5y+3解:因为x²+3xy+2y²=(x+y)(x+2y)设原式=(x+y+m)(x+2y十n)=x²十3xy+2y²十(m+n)x+(2m+n)y+mn.m+n=42m+n=5mn=3∴m=1，n=3∴原式=(x+y+1)(x+2y+3)。
初中因式分解方法总结完整版
初中因式分解方法总结 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】因式分解的十二种方法把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样,现总结如下：1、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式. 例1、分解因式x-2x-x(2003淮安市中考题) x-2x-x=x(x-2x-1)2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式.例2、分解因式a+4ab+4b(2003南通市中考题)a+4ab+4b=（a+2b）3、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n)例3、分解因式m+5n-mn-5mm+5n-mn-5m=m-5m-mn+5n=(m-5m)+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、十字相乘法对于mx+px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x-19x-6分析：1-3722-21=-197x-19x-6=（7x+2）(x-3)5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解.例5、分解因式x+3x-40解x+3x-40=x+3x+()-()-40=(x+)-()=(x++)(x+-)=(x+8)(x-5)6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解.例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)7、换元法有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来.例7、分解因式2x-x-6x-x+22x-x-6x-x+2=2(x+1)-x(x+1)-6x=x[2(x+)-(x+)-6令y=x+,x[2(x+)-(x+)-6=x[2(y-2)-y-6]=x(2y-y-10)=x(y+2)(2y-5)=x(x++2)(2x+-5)=(x+2x+1)(2x-5x+2)=(x+1)(2x-1)(x-2)8、求根法令多项式f(x)=0,求出其根为x,x,x,……x,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x)(x-x)(x-x)……(x-x)例8、分解因式2x+7x-2x-13x+6令f(x)=2x+7x-2x-13x+6=0通过综合除法可知,f(x)=0根为,-3,-2,1则2x+7x-2x-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)9、图象法令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图象与X轴的交点x,x,x,……x,则多项式可因式分解为f(x)=f(x)=(x-x)(x-x)(x-x)……(x-x)例9、因式分解x+2x-5x-6令y=x+2x-5x-6作出其图象,见右图,与x轴交点为-3,-1,2则x+2x-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)10、主元法先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解.例10、分解因式a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)分析：此题可选定a为主元,将其按次数从高到低排列a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)=a(b-c)-a(b-c)+(bc-cb)=(b-c)[a-a(b+c)+bc]=(b-c)(a-b)(a-c)11、利用特殊值法将2或10代入x,求出数P,将数P分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式.例11、分解因式x+9x+23x+15令x=2,则x+9x+23x+15=8+36+46+15=105将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的值则x+9x+23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）12、待定系数法首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解.例12、分解因式x-x-5x-6x-4分析：易知这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式. 设x-x-5x-6x-4=(x+ax+b)(x+cx+d)=x+(a+c)x+(ac+b+d)x+(ad+bc)x+bd所以解得则x-x-5x-6x-4=(x+x+1)(x-2x-4)。
初中数学因式分解方法汇总(共12种,中考必背,全掌握计算题不再怕)
初中数学因式分解方法汇总1提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.例1、分解因式x -2x -xx -2x -x=x(x -2x-1)2 应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式.例2、分解因式a +4ab+4ba +4ab+4b =（a+2b）3分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5mm +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n= (m -5m )+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4 十字相乘法对于mx +px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x -19x-6分析：1 -37 22-21=-197x -19x-6=（7x+2）(x-3)5配方法对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解.例5、分解因式x +3x-40解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40=(x+ ) -( )=(x+ + )(x+ - )=(x+8)(x-5)6拆、添项法可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解.例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)7换元法有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来.例7、分解因式2x -x -6x -x+22x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x=x [2(x + )-(x+ )-6令y=x+ ,x [2(x + )-(x+ )-6= x [2(y -2)-y-6]= x (2y -y-10)=x (y+2)(2y-5)=x (x+ +2)(2x+ -5)= (x +2x+1) (2x -5x+2)=(x+1) (2x-1)(x-2)8求根法令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0通过综合除法可知,f(x)=0根为 ,-3,-2,1则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)9图象法令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )例9、因式分解x +2x -5x-6令y= x +2x -5x-6作出其图象,见右图,与x轴交点为-3,-1,2则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)10 主元法先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解.例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)分析：此题可选定a为主元,将其按次数从高到低排列a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)=(b-c) [a -a(b+c)+bc]=(b-c)(a-b)(a-c)11利用特殊值法将2或10代入x,求出数P,将数P分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式.例11、分解因式x +9x +23x+15令x=2,则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的值则x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）12待定系数法首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解.例12、分解因式x -x -5x -6x-4分析：易知这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式.设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d)= x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd所以解得则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)。
初中数学因式分解的常用方法及常出的32个习题陷阱
初中数学因式分解的常用方法及常出的32个习题陷阱初中数学中，因式分解是一个非常重要的内容，因为它不仅是理解代数式的基础，还在后续学习中有很多的应用。
在这篇文章中，我们将介绍初中数学中因式分解的常用方法以及解题的32个难点。
一、因式分解的常用方法1. 公因式提取法公因式提取法是指将一个代数式中所有项的公共因子提取出来，变成一个公因式和剩下的部分的积的形式。
如：24a+12ab可以写成12a(2+b)。
2. 分组分解法分组分解法是指将一个代数式按照特定的规则进行分组再进表达，一般用于在特殊条件下的因式分解。
如：4a²-12ab+9b²可以分为（2a）²-2×2a×3b+（3b）²，然后用(a-b)²=a²-2ab+b²得到（2a-3b）²。
3. 平方法平方差公式可以用于因式分解，公式为：a²-b²=(a+b)(a-b)。
如：a²-25可以写成(a+5)(a-5)。
4. 公式法在初中数学中，有一些常用公式，如二次公式、高斯定理等，这些公式在因式分解中也可以起到帮助作用。
如：x²-y²可以用公式(x+y)(x-y)表示。
二、32个习题陷阱1.习题一：将5x²+10xy+4y²分解。
（答案：(x+2y)(5x+2y)）难点：很多学生容易忽略+4y²这项，就没有括在括号里，直接公因式提取或分组分解，结果变成(x+2y)5(x+2y)，这个式子明显有误。
2.习题二：将x²+10xy+16y²分解。
（答案：(x+4y)(x+4y)）难点：这个题如果直接公因式提取或分组分解会很困难，事实上，这个题可以通过列方程、用辗转相除法来解决，但需要一定的运算技巧。
3.习题三：将3x²-12x+9分解。
（答案：3(x-1)(x-3)）难点：这个题目会引起很多同学的困惑，因为-12x这个项和常数项9很相似，容易认为是“平方差”，从而想到用(a-b)²=a²-2ab+b²这个公式来解，但其实这个式子不适用于这个题目。
因式分解初中数学知识点之因式分解的方法与应用
因式分解初中数学知识点之因式分解的方法与应用因式分解是初中数学中的一个重要知识点，它在代数运算中具有广泛的应用。
因式分解的核心思想是将一个多项式拆解成一系列乘积的形式，以便于进一步研究和计算。
本文将介绍因式分解的方法及其应用。
一、因式分解的基本方法因式分解有多种方法，我们将重点介绍以下五种常用的因式分解方法：1. 公因式提取法公因式提取法是最基本的因式分解方法。
它基于一个数学原理：如果一个多项式的各项都有相同的因子，那么这个公因式可以从多项式中提取出来。
例如，对于多项式6x + 9y，我们可以提取公因式3，得到3(2x + 3y)。
2. 分组分解法分组分解法常用于四项以上的多项式因式分解。
它的基本思路是将多项式中的项进行分组，找出每个组内的公因式，然后通过提取公因式进行因式分解。
例如，对于多项式x^2 + 4xy + 4y^2 + 2x + 6y，我们可以将其分组为 (x^2 + 4xy + 4y^2) + (2x + 6y)，进而分别提取公因式得到 (x + 2y)^2 + 2(x + 3y)。
3. 公式法公式法是一种通过运用特定的公式进行因式分解的方法。
其中，最常用的公式包括二次差、二次和、二次平方差、立方差等。
例如，对于多项式x^2 - 4y^2，我们可以运用差平方公式(x - 2y)(x + 2y)进行因式分解。
4. 定积分法定积分法是一种对多项式进行因式分解的高级方法。
它基于一个数学概念：多项式在某一区间上的定积分等于这一区间上的导函数的原函数的差。
通过对多项式进行定积分，我们可以得到多项式的因式分解式。
例如，对于多项式x^3 - 2x^2 + x - 2，我们可以对其进行定积分，得到(x - 1)(x - 2)^2。
5. 根与系数定理根与系数定理是一种通过根和系数的关系进行因式分解的方法。
它利用多项式根与系数之间的特定关系，通过找到多项式的根来进一步进行因式分解。
例如，对于二次多项式x^2 - 5x + 6，我们可以使用根与系数定理得出它的因式分解式为(x - 2)(x - 3)。
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初中因式分解的常见方法
因式分解的概念与原则
1、定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种恒等变换叫做因式分解，也叫作分解因式。
2、原则：
（1）分解必须要彻底（即分解之后的因式均不能再做分解）；
（2）结果最后只留下小括号；
（3）结果的多项式是首项为正，为负时提出负号；
（4）结果个因式的多项式为最简整式，还可以化简的要化简；
（5）如有单项式和多项式相乘，应把单项式提到多项式前；
（6）相同因式的乘积写成幂的形式；
（7）如无特殊要求，一般在有理数范围内分解。
如另有要求，在要求的范围内分解。
因式分解的一般步骤
（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；
（2）如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；
（3）如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项法来分解；
（4）检查各因式是否进行到每一个因式的多项式都不能再分解。
也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。
十字相乘试一试，分组分解要相对合适。
”
因式分解的常用方法
因式分解与整式乘法是互逆的运算，是学好代数的基础之一，希望同学给以足够的重视。
因式分解的每一步都必须是恒等变形，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
常见的方法有:①提取公因式法;②公式法;③提公因式法与公式法的综合运用。
在对一个多项式因式分解时，首先应考虑提取公因式法，然后考虑公式法，对于某些多项式，如果从整体上不能利用上述方法因式分解，还要考虑对其进行分组、拆项、换元等。
下面通过例题一一介绍。
一.提取公因式法
(一)公因式是单项式的因式分解
1.分解因式
确定公因式的方法
①系数:取各项系数的最大公因数;②字母(或多项式):取各项都含有的字母(或多项式);
③指数:取相同字母(或多项式)的最低次幂.
注意:公因式可以是单独的一个数或字母，也可以是多项式，当第一项是负数时可先提负号，当公因式与多项式某一项相同时，提公因式后剩余项是1，不要漏项.
解:原式=一4m²n(m²一4m+7).
(二)公因式是多项式的因式分解
2.因式分解
15b(2a一b)²+25(b一2a)²
解:原式=15b(2a一b)²+25(2a一b)²=5(2a一b)²(3b+5)
总结（口诀）：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1 把家守；提负要变号，变形看奇偶。
二.公式法
完全平方公式
平方差公式
立方和（差）公式
完全立方公式
三数和平方公式
(一)直接用公式法
3.分解因式
(1).(x²+y²)²一4x²y²
(2).(x²十6x)²+18(x²+6x)十81
解:(1)原式=(x²+y²+2xy)(x²+y²一2xy)=(x十y)²(x一y)²
(2)原式=(x²十6x+9)²=[(x+3)²]²=
(二)先提再套法
4.分解因式
(三)先局部再整法
5.分解因式
9x²一16一(x十3)(3x+4)
解:原式=(3x十4)(3x一4)一(x十3)(3x十4)
=(3x+4)[(3x一4)一(x+3)]
=(3x十4)(2x一7)
(四)先展开再分解法
6.分解因式
4x(y一x)一y²
解:原式=4xy一4x²一y²=一(4x²一4xy+y²)=一(2x一y)²
三.分组分解法
7.分解因式
x²一2xy+y²一9
解:原式=(x一y)²一9=(x一y十3)(x一y一3)
四.拆、添项法
8.分解因式
五.整体法
(一)"提"整体
9.分解因式
a(x+y一z)一b(z一x一y)一c(x一z+y)
解:原式=a(x十y一z)十b(x十y一z)一c(x十y一z)=(x十y一z)(a+b一c)
(二)"当"整体
10.分解因式
(x+y)²一4(x+y一1)
解:原式=(x+y)²一4(x+y)+4=(x十y一2)²
(三)"拆"整体
11.分解因式
ab(c²+d²)+cd(a²+b²)
解:原式=abc²+abd²+cda²+cdb²
=(abc²+cda²)+(abd²+cdb²)
=ac(bc十ad)+bd(ad+bc)
=(bc十ad)(ac+bd)
(四)"凑"整体
12.分解因式
x²一y²一4x+6y一5
解:原式=(x²一4x十4)一(y²一6y+9)
=(x一2)²+(y一3)²
=[(x一2)十(y一3)][(x一2)一(y一3)]
=(x+y一5)(x一y十1)
六.换元法
13.分解因式
(a²十2a一2)(a²+2a+4)+9
解:设a²+2a=m，
则原式=(m一2)(m+4)十9
=m²十4m一2m一8+9=m²+2m十1
=(m+1)²=(a²+2a十1)²
=
七.十字相乘法
公式:x²十(a十b)x十ab=(x+a)(x十b)或
对于一个三项式若能象上边一样中间左侧上下相乘得x²，中间右侧上下相乘得ab，中间上下斜对角相乘之和为(a+b)x，则能进行分解，如:
14.x²一5x一14
解:原式=(x一7)(x十2)
十字相乘法分解因式非常重，在以后有关代数式的运算，解方程等知识中常常用到.
八.待定系数法
15.分解因式
x²+3xy+2y²十4x+5y+3
解:因为x²+3xy+2y²=(x+y)(x+2y)
设原式=(x+y+m)(x+2y十n)
=x²十3xy+2y²+(m+n)x+(2m+n)y+mn.
∴m=1，n=3
∴原式=(x+y+1)(x+2y+3)
本题也可以两次使用十字相乘法来解决。
【总结】因式分解的知识在代数中有着重要的地位，同学们要多加强这方面的练习，为以后的学习奠定扎实的基础。