初中因式分解的常用方法

初中因式分解的常见方法

因式分解的概念与原则

1、定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种恒等变换叫做因式分解，也叫作分解因式。

2、原则：

（1）分解必须要彻底（即分解之后的因式均不能再做分解）；

（2）结果最后只留下小括号；

（3）结果的多项式是首项为正，为负时提出负号；

（4）结果个因式的多项式为最简整式，还可以化简的要化简；

（5）如有单项式和多项式相乘，应把单项式提到多项式前；

（6）相同因式的乘积写成幂的形式；

（7）如无特殊要求，一般在有理数范围内分解。如另有要求，在要求的范围内分解。

因式分解的一般步骤

（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；

（2）如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；

（3）如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项法来分解；

（4）检查各因式是否进行到每一个因式的多项式都不能再分解。

也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要相对合适。”

因式分解的常用方法

因式分解与整式乘法是互逆的运算，是学好代数的基础之一，希望同学给以足够的重视。因式分解的每一步都必须是恒等变形，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。常见的方法有:①提取公因式法;②公式法;③提公因式法与公式法的综合运用。在对一个多项式因式分解时，首先应考虑提取公因式法，然后考虑公式法，对于某些多项式，如果从整体上不能利用上述方法因式分解，还要考虑对其进行分组、拆项、换元等。下面通过例题一一介绍。

一.提取公因式法

(一)公因式是单项式的因式分解

1.分解因式

确定公因式的方法

①系数:取各项系数的最大公因数;②字母(或多项式):取各项都含有的字母(或多项式);

③指数:取相同字母(或多项式)的最低次幂.

注意:公因式可以是单独的一个数或字母，也可以是多项式，当第一项是负数时可先提负号，当公因式与多项式某一项相同时，提公因式后剩余项是1，不要漏项.

解:原式=一4m²n(m²一4m+7).

(二)公因式是多项式的因式分解

2.因式分解

15b(2a一b)²+25(b一2a)²

解:原式=15b(2a一b)²+25(2a一b)²=5(2a一b)²(3b+5)

总结（口诀）：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1 把家守；提负要变号，变形看奇偶。

二.公式法

完全平方公式

平方差公式

立方和（差）公式

完全立方公式

三数和平方公式

(一)直接用公式法

3.分解因式

(1).(x²+y²)²一4x²y²

(2).(x²十6x)²+18(x²+6x)十81

解:(1)原式=(x²+y²+2xy)(x²+y²一2xy)=(x十y)²(x一y)²

(2)原式=(x²十6x+9)²=[(x+3)²]²=

(二)先提再套法

4.分解因式

(三)先局部再整法

5.分解因式

9x²一16一(x十3)(3x+4)

解:原式=(3x十4)(3x一4)一(x十3)(3x十4)

=(3x+4)[(3x一4)一(x+3)]

=(3x十4)(2x一7)

(四)先展开再分解法

6.分解因式

4x(y一x)一y²

解:原式=4xy一4x²一y²=一(4x²一4xy+y²)=一(2x一y)²

三.分组分解法

7.分解因式

x²一2xy+y²一9

解:原式=(x一y)²一9=(x一y十3)(x一y一3)

四.拆、添项法

8.分解因式

五.整体法

(一)"提"整体

9.分解因式

a(x+y一z)一b(z一x一y)一c(x一z+y)

解:原式=a(x十y一z)十b(x十y一z)一c(x十y一z)=(x十y一z)(a+b一c)

(二)"当"整体

10.分解因式

(x+y)²一4(x+y一1)

解:原式=(x+y)²一4(x+y)+4=(x十y一2)²

(三)"拆"整体

11.分解因式

ab(c²+d²)+cd(a²+b²)

解:原式=abc²+abd²+cda²+cdb²

=(abc²+cda²)+(abd²+cdb²)

=ac(bc十ad)+bd(ad+bc)

=(bc十ad)(ac+bd)

(四)"凑"整体

12.分解因式

x²一y²一4x+6y一5

解:原式=(x²一4x十4)一(y²一6y+9)

=(x一2)²+(y一3)²

=[(x一2)十(y一3)][(x一2)一(y一3)]

=(x+y一5)(x一y十1)

六.换元法

13.分解因式

(a²十2a一2)(a²+2a+4)+9

解:设a²+2a=m，

则原式=(m一2)(m+4)十9

=m²十4m一2m一8+9=m²+2m十1

=(m+1)²=(a²+2a十1)²

=

七.十字相乘法

公式:x²十(a十b)x十ab=(x+a)(x十b)或

对于一个三项式若能象上边一样中间左侧上下相乘得x²，中间右侧上下相乘得ab，中间上下斜对角相乘之和为(a+b)x，则能进行分解，如:

14.x²一5x一14

解:原式=(x一7)(x十2)

十字相乘法分解因式非常重，在以后有关代数式的运算，解方程等知识中常常用到.

八.待定系数法

15.分解因式

x²+3xy+2y²十4x+5y+3

解:因为x²+3xy+2y²=(x+y)(x+2y)

设原式=(x+y+m)(x+2y十n)

=x²十3xy+2y²+(m+n)x+(2m+n)y+mn.

∴m=1，n=3

∴原式=(x+y+1)(x+2y+3)