初中数学：因式分解常用的6种方法

初中数学因式分解常见的6种方法和7种应用

因式分解的六种方法及其应用因式分解的常用方法有：(1)提公因式法；(2)公式法；(3)提公因式法与公式法的综合运用．在对一个多项式因式分解时，首先应考虑提公因式法，然后考虑公式法．对于某些多项式，如果从整体上不能利用上述方法因式分解，还要考虑对其进行分组、拆项、换元等．方法一提公因式法题型1 公因式是单项式的因式分解1．若多项式－12x2y3＋16x3y2＋4x2y2的一个因式是－4x2y2，则另一个因式是()A．3y＋4x－1 B．3y－4x－1C．3y－4x＋1 D．3y－4x【解析】B2．分解因式：2mx－6my＝__________．【解析】2m(x－3y)3．把下列各式分解因式：(1)2x2－xy；(2)－4m4n＋16m3n－28m2n.【解析】(1)原式＝x(2x－y)．(2)原式＝－4m2n(m2－4m＋7)．题型2公因式是多项式的因式分解4．把下列各式分解因式：(1)a(b－c)＋c－b；(2)15b(2a－b)2＋25(b－2a)2.【解析】(1)原式＝a(b－c)－(b－c)＝(b－c)(a－1)．(2)原式＝15b(2a－b)2＋25(2a－b)2＝5(2a－b)2(3b＋5)．方法二公式法题型1直接用公式法5．把下列各式分解因式：(1)－16＋x4y4；(2)(x2＋y2)2－4x2y2；(3)(x2＋6x)2＋18(x2＋6x)＋81.【解析】(1)原式＝x4y4－16＝(x2y2＋4)(x2y2－4)＝(x2y2＋4)(xy＋2)(xy－2)．(2)原式＝(x 2＋y 2＋2xy )(x 2＋y 2－2xy )＝(x ＋y )2(x －y )2.(3)原式＝(x 2＋6x ＋9)2＝[(x ＋3)2]2＝(x ＋3)4.题型2 先提再套法6．把下列各式分解因式：(1)(x －1)＋b 2(1－x )；(2)－3x 7＋24x 5－48x 3.【解析】(1)原式＝(x －1)－b 2(x －1)＝(x －1)(1－b 2)＝(x －1)(1＋b )(1－b )．(2)原式＝－3x 3(x 4－8x 2＋16)＝－3x 3(x 2－4)2＝－3x 3(x ＋2)2(x －2)2.题型3 先局部再整体法7．分解因式：(x ＋3)(x ＋4)＋(x 2－9)．【解析】原式＝(x ＋3)(x ＋4)＋(x ＋3)·(x －3)＝(x ＋3)[(x ＋4)＋(x －3)]＝(x ＋3)(2x ＋1)．题型4 先展开再分解法8．把下列各式分解因式：(1)x (x ＋4)＋4；(2)4x (y －x )－y 2.【解析】(1)原式＝x 2＋4x ＋4＝(x ＋2)2.(2)原式＝4xy －4x 2－y 2＝－(4x 2－4xy ＋y 2)＝－(2x －y )2.方法三分组分解法9．把下列各式分解因式：(1)m 2－mn ＋mx －nx ；(2)4－x 2＋2xy －y 2.【解析】(1)原式＝(m 2－mn )＋(mx －nx )＝m (m －n )＋x (m －n )＝(m －n )(m ＋x )．(2)原式＝4－(x 2－2xy ＋y 2)＝22－(x －y )2＝(2＋x －y )(2－x ＋y )．方法四拆、添项法10．分解因式：x 4＋14. 【解析】原式＝x 4＋x 2＋14－x 2＝⎝⎛⎭⎫x 2＋122－x 2＝⎝⎛⎭⎫x 2＋x ＋12(x 2－x ＋12)．方法五整体法题型1 “提”整体11．分解因式：a (x ＋y －z )－b (z －x －y )－c (x －z ＋y )．【解析】原式＝a (x ＋y －z )＋b (x ＋y －z )－c (x ＋y －z )＝(x ＋y －z )(a ＋b －c )．题型2 “当”整体12．分解因式：(x＋y)2－4(x＋y－1)．【解析】原式＝(x＋y)2－4(x＋y)＋4＝(x＋y－2)2.题型3“拆”整体13．分解因式：ab(c2＋d2)＋cd(a2＋b2)．【解析】原式＝abc2＋abd2＋cda2＋cdb2＝(abc2＋cda2)＋(abd2＋cdb2)＝ac(bc＋ad)＋bd(ad＋bc)＝(bc＋ad)(ac＋bd)．题型4“凑”整体14．分解因式：x2－y2－4x＋6y－5.【解析】原式＝(x2－4x＋4)－(y2－6y＋9)＝(x－2)2－(y－3)2＝(x＋y－5)(x－y＋1)．方法六换元法15．分解因式：(1)(a2＋2a－2)(a2＋2a＋4)＋9；(2)(b2－b＋1)(b2－b＋3)＋1.【解析】(1)设a2＋2a＝m，则原式＝(m－2)(m＋4)＋9＝m2＋4m－2m－8＋9＝m2＋2m＋1＝(m＋1)2＝(a2＋2a＋1)2＝(a＋1)4.(2)设b2－b＝n，则原式＝(n＋1)(n＋3)＋1＝n2＋3n＋n＋3＋1＝n2＋4n＋4＝(n＋2)2＝(b2－b＋2)2.因式分解的7种应用因式分解是整式的恒等变换的一种重要变形，它与整式的乘法是两个互逆的过程，是代数恒等变形的重要手段，在有理数计算、式子的化简求值、几何等方面起着重要作用．应用一用于简便计算1．利用简便方法计算：23×2.718＋59×2.718＋18×2.718.【解析】23×2.718＋59×2.718＋18×2.718＝(23＋59＋18)×2.718＝100×2.718＝271.8.2．计算：2 0162－4 034×2 016＋2 0172.【解析】2 0162－4 034×2 016＋2 0172＝2 0162－2×2 016×2 017＋2 0172＝(2 016－2 017)2＝1.应用二用于化简求值3．已知x－2y＝3，x2－2xy＋4y2＝11.求下列各式的值：(1)xy；(2)x2y－2xy2.【解析】(1)∵x－2y＝3，∴x2－4xy＋4y2＝9，∴(x2－2xy＋4y2)－(x2－4xy＋4y2)＝11－9，即2xy＝2，∴xy＝1.(2)x2y－2xy2＝xy(x－2y)＝1×3＝3.应用三用于判断整除4．随便写出一个十位数字与个位数字不相等两位数，把它的十位数字与个位数字对调得到另一个两位数，并用较大两位数减去较小的两位数，所得的差一定能被9整除吗？为什么？【解析】所得的差一定能被9整除．理由如下：不妨设该两位数个位上的数字是b，十位上的数字是a，且a>b，b不为0，则这个两位数是10a＋b，将十位数字与个位数字对调后的数是10b＋a，则这两个两位数中，较大的数减较小的数的差是(10a＋b)－(10b＋a)＝9a－9b＝9(a－b)，所以所得的差一定能被9整除．应用四用于判断三角形的形状5．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，判断△ABC形状．【解析】∵a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，∴2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac＝0.即a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋a2－2ac＋c2＝0.∴(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝0.又∵(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(a－c)2≥0，∴a－b＝0，b－c＝0，a－c＝0，即a＝b＝c，∴△ABC为等边三角形．应用五用于比较大小6．已知A＝a＋2，B＝a2＋a－7，其中a＞2，试比较A与B的大小．【解析】B－A＝a2＋a－7－a－2＝a2－9＝(a＋3)(a－3)．因为a＞2，所以a＋3＞0，从而当2＜a＜3时，a－3＜0，所以A＞B；当a＝3时，a－3＝0，所以A＝B；当a＞3时，a－3＞0，所以A＜B.应用六用于解方程(组)7．已知大正方形的周长比小正方形的周长多96 cm ，大正方形的面积比小正方形的面积多960 cm 2.请你求这两个正方形的边长．【解析】设大正方形和小正方形的边长分别为x cm ，y cm ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4x －4y ＝96，①x 2－y 2＝960，② 由①得x －y ＝24，③；由②得(x ＋y )(x －y )＝960，④把③代入④得x ＋y ＝40，⑤；由③⑤得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝24，x ＋y ＝40，，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝8. 故大正方形的边长为32 cm ，小正方形的边长为8 cm.应用七用于探究规律8．观察下列各式：12＋(1×2)2＋22＝9＝32，22＋(2×3)2＋32＝49＝72，32＋(3×4)2＋42＝169＝132，…. 你发现了什么规律？请用含有字母n (n 为正整数)的等式表示出来，并说明理由．【解析】规律：n 2＋[n (n ＋1)]2＋(n ＋1)2＝[n (n ＋1)＋1]2.理由如下：n 2＋[n (n ＋1)]2＋(n ＋1)2＝[n (n ＋1)]2＋2n 2＋2n ＋1＝[n (n ＋1)]2＋2n (n ＋1)＋1＝[n (n ＋1)＋1]2.。

因式分解的十二种方法

因式分解的十二种方法因式分解是代数中的一个非常重要的概念，它可以帮助我们将一个复杂的代数表达式简化为更简单的乘积形式。

在因式分解的过程中，有许多不同的方法可以使用。

下面将介绍因式分解的十二种常见方法。

一、公因式提取法（通用方法）：公因式提取法是因式分解中最基础也是最常见的一种方法。

它的基本思想是通过提取出一个或多个公因式，将原表达式分解为因子相乘的形式。

例如，对于表达式6x+9y，可以提取出3作为公因式，从而得到3(2x+3y)。

二、配方法（分组法）：配方法是一种将高次项与低次项相乘的方法。

通过将原表达式分组，然后将每组中的项相乘，最后将各组之间的结果相加。

例如，对于表达式x^2+5x+6，可以将其写成(x^2+2x)+(3x+6)，然后将每组中的项相乘，即得到x(x+2)+3(x+2)，再进行合并得到(x+2)(x+3)。

三、分解差平方：分解差平方是一种将平方差分解为两个因数相乘的方法。

它的基本思想是将一项的平方与另一项的平方的差分解为两个因数的乘积。

例如，对于表达式x^2-4，可以将其分解为(x+2)(x-2)。

四、分解和差平方：分解和差平方是一种将平方和分解为两个因数相乘的方法。

它的基本思想是将一项的平方与另一项的平方的和分解为两个因数的乘积。

例如，对于表达式x^2+4，可以将其分解为(x+2i)(x-2i)，其中i是虚数单位。

五、完全平方差公式：完全平方差公式是一种将二次三项式分解为两个完全平方的差的方法。

它的基本形式可以表示为a^2-b^2，其中a和b可以是任意代数式。

根据完全平方差公式，可以将a^2-b^2分解为(a+b)(a-b)。

例如，对于表达式x^2-4，可以将其分解为(x+2)(x-2)。

六、分组分解法：分组分解法是一种将多项式分解为若干个二次三项式相加的方法。

它的基本思想是通过分组，将多项式分成多个二次三项式的和，然后对每个二次三项式进行因式分解。

例如，对于表达式x^3+x^2+x+1，可以将其分为(x^3+x^2)+(x+1)，然后对每个二次三项式进行因式分解，得到x^2(x+1)+1(x+1)，再进行合并得到(x^2+1)(x+1)。

因式分解的常用方法

因式分解的常用方法因式分解是数学中常用的一种方法，它是将一个复杂的表达式或多项式分解成更简单的因子的过程。

因式分解在代数、方程、不等式等数学问题的解题中经常出现。

下面将介绍因式分解的常用方法。

一、公因式提取法公因式提取法是指在多项式中提取出公共的因式，然后将剩余的部分进行因式分解。

例如：1.3x+6y可以提取出公因子3，得到3(x+2y)。

2.4x^2+8x可以提取出公因子4x，得到4x(x+2)。

二、配方法配方法也被称为乘法公式法，它适用于二次型的因式分解。

当二次型为(ax+b)^2形式时，常采用配方法进行分解。

配方法的步骤如下：1. 将二次型展开为(ax+b)^2的形式，即去掉开头的系数和常数项；2. 将二次型写成(a^2x^2+2abx+b^2)的形式；3.因式分解成(a*x+b)^2的形式，即加法的平方。

例如：1.x^2+6x+9可以写成(x+3)^2的形式。

2.4x^2+12x+9可以写成(2x+3)^2的形式。

三、辗转相除法辗转相除法也是因式分解中常用的方法，它适用于多项式的因式分解和整除。

辗转相除法的步骤如下：1.对多项式进行约去常因子；2.将多项式按照次数从高到低进行排列；3.用低次多项式除以高次多项式，得到商和余数；4.如果余数为0，则表示能整除，否则继续用余数进行除法；5.将多项式的因式写成约去的常因子与商的乘积的形式；例如：1.x^2+2x+1可以通过辗转相除法整除(x+1)，得到商为x+12.3x^3-2x^2+3x+4可以通过辗转相除法整除(3x-2)，得到商为x^2+x+2四、根式分解法根式分解法适用于含有平方根或立方根的表达式因式分解。

根式分解法的步骤如下：1.提取出平方根或立方根；2.将根式进行化简；3.根据提取出的根式与原表达式进行乘法、加法运算；4.将原表达式分解成根式与其他因子的乘积的形式；例如：1.x^2+8x+16可以分解为(x+4)^22. x^3+y^3 可以分解为(x+y)(x^2-xy+y^2)。

初中生因式分解

因式分解是将一个多项式表达为几个多项式的乘积的过程。

对于初中生来说，通常需要掌握以下几种基本的因式分解方法：
1. 提公因式法：如果多项式的各项中都有公共的因子，可以提取出来，使得原多项式变为公因子与剩余部分的乘积。

例如：ax + ay = a(x + y)
2. 分组分解法：将多项式的各项分成几组，每组提出公因子，再将提取公因子后的表达式进行合并。

例如：ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y)
3. 完全平方公式法：利用完全平方公式(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2和(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2进行因式分解。

例如：x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2
4. 差平方公式法：利用差平方公式a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)进行因式分解。

例如：x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)
5. 十字相乘法：适用于形如ax^2 + bx + c的三项式的因式分解，其中a、b、c是常数。

例如：x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
6. 配方法：通过添加和减去同一个数，将二次项和一次项的部分转换为完全平方的形式。

例如：x^2 + 4x = x^2 + 4x + 4 - 4 = (x + 2)^2 - 4
7. 其他特殊公式：如立方和公式、立方差公式等，用于特定形式的多项式因式分解。

因式分解是初中数学中的一个重要知识点，它不仅能够帮助简化多项式的表达，还是解决方程、不等式等问题的重要工具。

初中数学因式分解的常用方法

初中数学因式分解的常用方法因式分解是将一个数按照乘法拆分成几个因式相乘的形式，可以简化计算和解方程的过程。

在初中数学中，常见的因式分解方法有以下几种：1.提公因式法：提公因式法是最常见的一种因式分解方法，适用于多项式的各项有公因式的情况。

具体步骤如下：（1）找出多项式的各项的最大公因式；（2）将多项式中各项除以最大公因式得到的商作为新的因式；（3）将最大公因式与新的因式相乘，得到因式分解的结果。

2.公式法：公式法是指通过运用一些特定的公式，将数或多项式进行因式分解。

常见的公式有二次差、平方差、立方差等，具体使用公式的方法可参考相关的理论知识。

3.分组分解法：分组分解法是指将多项式进行分组后，再进行因式分解。

主要适用于多项式的各项无公因子时的情况。

具体步骤如下：（1）将多项式中的各项进行重新分组；（2）在每个组内找出公共因子；（3）将每个组内的公共因子提取出来，得到因式分解的结果。

4.平方差公式：平方差公式是指任意两个数的平方之差可以进行因式分解的公式。

常见的平方差公式有以下几个：（1）平方差公式1：a²-b²=(a+b)(a-b)（2）平方差公式2：a² + 2ab + b² = (a+b)²（3）平方差公式3：a² - 2ab + b² = (a-b)²5.立方差公式：立方差公式是指任意两个数的立方之差可以进行因式分解的公式。

常见的立方差公式有以下几个：（1）立方差公式1：a³ - b³ = (a-b)(a²+ab+b²)（2）立方差公式2：a³ + b³ = (a+b)(a²-ab+b²)6.积因式之和法：积因式之和法是指将一个数a分解成两个因式的乘积之和。

常见的积因式之和公式有以下几个：（1）a² + ab = a(a+b)（2）a² - ab = a(a-b)（3）a² + 2ab + b² = (a+b)²（4）a² - 2ab + b² = (a-b)²以上是初中数学中常用的因式分解方法。

常见的因式分解的方法

常见的因式分解的方法
1. 提公因式法呀，这可是最基础的啦！比如对于式子 3x+6，那我们就可以把 3 提出来呀，这不就变成 3(x+2)啦！嘿，这多简单明了啊。

2. 公式法呢也很常用哦！像平方差公式，好比4x²-9，那就是
(2x+3)(2x-3)呀，是不是很神奇呀！
3. 十字相乘法也超厉害的哟！就说x²+3x+2 吧，可以分解成
(x+1)(x+2)呢，多有意思呀！
4. 分组分解法呀，可别小看它！像 ax+ay+bx+by，我们就可以分成(ax+ay)+(bx+by)，然后再进一步分解呢，哇塞，厉害吧！
5. 拆项添项法，嘿嘿，这是个小窍门呢！比如对于式子x⁴+4，我们稍
微动点小脑筋，就能把它分解啦，这可需要点巧思哦！
6. 双十字相乘法呢，听着就很牛！就像处理那种复杂一点的式子，哎呀，一试便知它有多棒啦！
7. 换元法也不得不提呀！当式子看起来有点复杂时，我们换个元试试，说不定一下子就柳暗花明啦！就像解方程一样，超有意思的呢！
总之，这些因式分解的方法都各有各的奇妙之处，学会了它们，数学题都变得好玩起来啦！。

因式分解常用的六种方法详解

一、提公因式法这种方法是最简单的，如果看到多项式中有公因子，不管三七二十一，先提取一个公因子再说，因为这样整个问题就被简化了，有点类似我们刚提到的利用因子定理进行因式分解。

例题：因式分解下列多项式：(1)x3y−xy3=xy(x2−y2)=xy(x+y)(x−y) ;(2) 3x3−18x2+27x=3x(x2−6x+9)=3x(x−3)2 ;(3) 3a3+6a2b−3a2c−6abc=3a(a2+2ab−ac−2bc)=3a[a(a−c)+2b(a−c)]=3a(a+2b)(a−c).二、公式法因式分解是把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，是整式乘积的逆运算，所以如果我们熟悉整式乘积的公式，那么解决因式分解也会很快。

常用的公式如下：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(a±b)2=a2±2ab+b2(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3a2−b2=(a−b)(a+b)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2caa3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)还有两个常考的n次方展开的公式：an−bn=(a−b)(an−1+an−2b+an−3b2+⋯+abn−2+bn−1)(n∈Z+)an+bn=(a+b)(an−1−an−2b+an−3b2−⋯−abn−2+bn−1)(n is odd)例题：因式分解：(a2+b2−1)2−4a2b2=(a2+b2−1+2ab)(a2+b2−1−2ab)=[(a+b)2−1][(a−b)2−1]=(a+b+1)(a+b−1)(a−b+1)(a−b−1)三、十字相乘法（双十字相乘法）简单的十字相乘其实就是公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的运用，这个大家都很熟悉，还有一句口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中。

因式分解常用的六种方法详解

因式分解常用的六种方法详解因式分解常用的六种方法详解因式分解是代数式变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学中，并成为解决许多数学问题的有力工具。

因式分解方法灵活，技巧性强，研究这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。

本文将介绍因式分解的方法、技巧和应用。

1.运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：1) $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$；2) $a^2±2ab+b^2=(a±b)^2$；3) $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$；4) $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$。

下面再补充几个常用的公式：5) $a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2$；6) $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$；7) $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+…+ab^{n-2}+b^{n-1})$，其中$n$为正整数；8) $a^n-b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-…+ab^{n-2}-b^{n-1})$，其中$n$为偶数；9) $a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-…-ab^{n-2}+b^{n-1})$，其中$n$为奇数。

在运用公式法分解因式时，需要根据多项式的特点，正确恰当地选择公式，考虑字母、系数、指数、符号等因素。

例如，分解因式：1) $-2x^{5n-1}y^n+4x^{3n-1}y^n+2-2x^{n-1}y^n+4$原式=$-2x^{n-1}y^n(x^{4n-2}-2x^{2n}y^2+y^4)$2x^{n-1}y^n[(x^{2n})^2-2x^{2n}y^2+(y^2)^2]$2x^{n-1}y^n(x^{2n}-y^2)^2$2x^{n-1}y^n(x^n-y)^2(x^n+y)^2$。

初中数学因式分解的常用方法总结

初中数学因式分解的常用方法总结因式分解是数学中重要的基本概念，它在初中阶段占据了重要的地位。

因式分解可以将多项式等式转化为因式的乘积形式，从而简化问题的求解过程。

在初中数学中，常见的因式分解方法包括公因式提取法、分组分解法、特殊因式分解法和差平方公式等。

下面将详细介绍这些常用的因式分解方法。

一、公因式提取法公因式提取法是因式分解中最基本的方法之一、它的基本思想是将多项式中的公因式提取出来，使多项式可以表示为公因式与剩余部分的乘积形式。

公因式提取法的步骤如下：Step 1：找出多项式中的公因式。

Step 2：将多项式中的每一项除以公因式。

Step 3：将结果相加，得到公因式和剩余部分的乘积形式。

例如，将多项式4x+8分解为公因式和剩余部分的乘积形式：Step 1：找出多项式中的公因式，即4Step 2：将多项式中的每一项除以公因式，得到x+2Step 3：将结果相加，得到公因式4和剩余部分(x+2)的乘积形式，即4(x+2)。

二、分组分解法分组分解法是一种常见的因式分解方法，它适用于多项式中存在相同的二次或高次项的情况。

分组分解法的基本思想是根据多项式的结构特点，将多项式按照其中一种方式进行分组，然后使用公式进行分解。

分组分解法的步骤如下：Step 1：将多项式按照其中一种方式进行分组。

Step 2：每一组中的项尽量找出公因式。

Step 3：将每一组中的项进行因式分解。

Step 4：将结果相加，得到多项式的因式分解形式。

例如，将多项式x^2+3x+2分解为因子的乘积形式：Step 1：将多项式按照其中一种方式进行分组，例如(x^2+2x)+(x+2)。

Step 2：每一组中的项尽量找出公因式，得到x(x+2)+1(x+2)。

Step 3：将每一组中的项进行因式分解，得到x(x+2)+1(x+2)=(x+1)(x+2)。

三、特殊因式分解法特殊因式分解法适用于一些特殊的因式分解问题，例如平方差、和差的平方等形式的分解。

因式分解的七种常见方法

因式分解的七种常见方法因式分解是代数学中非常重要的一个基本概念，可以帮我们优化计算过程，得到简化的式子。

在因式分解的过程中，需要运用不同的方法来将一个给定的式子分解为若干个简单的乘积，本文将会介绍七种常见的因式分解方法。

1. 公式法公式法是一种较为常见的因式分解方法，它可以应用于一些特定的式子。

公式法常用的公式有两个：（1）$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$该公式被称为"a二次减b二次"公式。

它告诉我们，一个平方数减另一个平方数的结果可以表示为两个因子的乘积，并分别是它们的和与差。

例如：$16-9=7\times5=(4+3)\times(4-3)$（2）$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$该公式被称为"a立方加b立方"公式。

它告诉我们一个立方数加另一个立方数的结果可以表示为两个因子的乘积，并分别是它们的和与差减去它们的积。

例如：$8^3+1^3=513=(8+1)\times(8^2-8+1)$2. 提公因式法提公因式法是一种常用的因式分解方法。

它的主要思想是将式子中的公因式先提出来，再对剩下的部分进行因式分解。

例如：$ax^2+bx=a(x^2+\frac{b}{a}x)$在上述式子中，$a$是公因式，$(x^2+\frac{b}{a}x)$是剩余部分的因式分解。

这样我们就把原始式子分解成了两个因子的乘积。

3. 十字相乘法十字相乘法主要用于二次三项式的因式分解。

该方法基于以下思想：将二次三项式分解为两个一次三项式的乘积，其中每个一次三项式的首项系数积等于原始式子的二次项系数，常数项积等于原始式子的常数项。

例如：$ax^2+bx+c$，首先将它分解为两个一次三项式$(px+q)(rx+s)$，然后进行十字相乘运算$(px+q)(rx+s)=px\times rx+px\times s+qrx+qs$，其中最后两项括号里的$c$是常数项。

因式分解的16种方法

因式分解的16种方法
因式分解是将一个多项式或整数表达式分解为不可再分的乘积的过程。

在因式分解的方法中，常见的有以下16种方法：
1.公因式法：根据多项式的各项之间的最大公因式进行因式分解。

2.差平方公式：利用两个完全平方数的差可以分解成两个因数的平方差。

3.完全平方公式：利用两个因数的平方和可以分解成两个完全平方数
的和。

4.配方法：将多项式按照公式进行配方分解，然后进行因式分解。

5.一元两次方程法：对于一元二次方程，可以通过二次方程的解，将
方程进行因式分解。

6.和差化积：将多项式中的和差进行化积，然后进行因式分解。

7.分组法：将多项式中的项进行分组，然后进行因式分解。

8.提公因式法：将多项式的各项提取公因式，然后进行因式分解。

9.代入法：将因式分解的结果代入方程，通过求方程的解，验证因式
分解的正确性。

10.根式法：将多项式转化为根式表达式，然后进行因式分解。

11.差因式公式：利用一个完全平方数与一个差的因式的乘积可以表
示为两个因数的差的平方。

12.和因式公式：利用一个完全平方数与一个和的因式的乘积可以表
示为两个因数的和的平方。

13.二次齐次因式分解：对于二次齐次方程，可以通过齐次方程的解，将方程进行因式分解。

14.辗转相除法：对于整数表达式，可以利用辗转相除法，将整数进
行因式分解。

15.因数分解法：将整数进行因数分解，找出所有的因数，然后进行
因式分解。

16.文氏因式分解法：将多项式的各项按照文氏图进行排列，然后进
行因式分解。

初中数学因式分解的方法和技巧

初中数学因式分解的方法和技巧因式分解法主要方式有这些：1.运用公式法，即把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式;2.因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解;必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。

(一)运用公式法我们晓得整式乘法与因式分解互为逆变形。

如果把乘法公式反过来就是把多项式水解因式。

于是存有：a2-b2=(a+b)(a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2如果把乘法公式反过来，就可以用以把某些多项式水解因式。

这种水解因式的方法叫作运用公式法。

(二)平方差公式1.平方差公式(1)式子： a2-b2=(a+b)(a-b)(2)语言：两个数的平方差，等同于这两个数的和与这两个数的高的积。

这个公式就是平方差公式。

(三)因式分解1.因式分解时，各项如果存有公因式应先加公因式，再进一步水解。

2.因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。

(四)全然平方公式(1)把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和 (a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到：a2+2ab+b2 =(a+b)2a2-2ab+b2 =(a-b)2这就是说，两个数的平方和，加之(或者乘以)这两个数的积的2倍，等同于这两个数的和(或者高)的平方。

把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。

上面两个公式叫做全然平方公式。

(2)完全平方式的形式和特点①项数：三项②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。

③存有一项就是这两个数的积的两倍。

(3)当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。

(4)全然平方公式中的a、b可以则表示单项式，也可以则表示多项式。

这里只要将多项式看作一个整体就可以了。

(5)分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。

(五)分组水解法我们看多项式am+ an+ bm+ bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式.如果我们把它分为两组(am+ an)和(bm+ bn)，这两组能够分别用抽取公因式的方法分别水解因式.原式=(am +an)+(bm+ bn)=a(m+ n)+b(m +n)做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义.但不难看出这两项还有公因式(m+n)，因此还能继续分解，所以原式=(am +an)+(bm+ bn)=a(m+ n)+b(m+ n)=(m +n)?(a +b).这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.从上面的例子可以看出，如果把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式.(六)加公因式法1.在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时，首先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式.当多项式各项的公因式是一个多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式，也可以把这个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式;当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式.2. 运用公式x2 +(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)展开因式分解必须特别注意：1.必须先将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和等于一次项的系数.2.将常数项分解成满足要求的两个因数内积的多次尝试，通常步骤：① 列举常数项分解成两个因数的积各种可能将情况;②尝试其中的哪两个因数的和恰好等同于一次项系数.3.将原多项式分解成(x+q)(x+p)的形式.。

常用因式分解方法

常用因式分解方法
因式分解的含义
因式分解（Factorization）是数学中最基本的知识点之一，它是将一个复合数字表示为若干个较小的相乘因子的运算过程。

了解因式分解的方法有助于学生们更好的理解相关的数学思维和实际应用。

1.取公因式法：取公因式法是分解一个复合数字的最基本的方法，即把原式内含的系数中的共同因子取出，其余的因子相乘，就可以得到原式的因式分解式。

2.最大公因式分解法：最大公因式分解法是把一个复杂的多项式分解成最大公因式和最简因式的过程，要求先把原多项式化为最简式，再把最简式化为最大公因式。

3.最简因式分解法：最简因式分解法是求出一个复合数字的最简因式分解的方法，它要求将复合数字化为最简式，再将最简式分解为最简因子式。

4.假设法：假设法也叫做题库推理法，它是把问题分解为几个假设的过程，然后对各个假设进行尝试，找出最终的正确答案。

5.因式分议法：因式分议法是把一个因式分解成其他因子的过程，它要求先把原式化为最简式，再把因子化为最简的形式，从而分解出多个因子。

6.判断法：判断法是分解多项式的一种方法，它要求针对特定的判断问题做出符合心理判断的答案，从而得到正确的结果。

因式分解的十二种手段

因式分解的十二种手段1. 公因式提取公因式提取是指将一个多项式中公共的因式提取出来，从而分解成一个公因式和一个因式较简单的多项式的乘积。

例如：a^2 + ab = a(a + b)2. 完全平方公式完全平方公式可以将一个二次多项式表示为两个平方差的乘积。

例如：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)3. 平方差公式平方差公式可以将一个二次多项式表示为两个平方和的差的乘积。

例如：a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^24. 组合公式组合公式适用于多项式中含有三个或三个以上的单项式，可以将这些单项式通过组合变换转换为因式分解形式。

例如：a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)5. 因式分解法则因式分解法则是一般性的因式分解方法，适用于各种类型的多项式。

根据多项式的特点和因式的规律，进行适当的变换和分解。

例如：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)6. 勾股定理勾股定理可以将一个平方和的乘积表示为两个平方和的和或差的乘积。

例如：a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab7. 配方法当一个多项式中含有两个以上的单项式，并且无法直接应用其他因式分解方法时，可以尝试使用配方法进行因式分解。

例如：ab + ac + bc = a(b + c) + bc8. 化简法则化简法则是指根据多项式的特点和因式的规律，进行适当的化简和变换，使得多项式更易于进行因式分解。

例如：2a + 2b = 2(a + b)9. 变量替换变量替换是指通过替换多项式中的变量，从而将多项式转化为更易于进行因式分解的形式。

例如：x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^210. 对称性对称性是指多项式中存在对称的因子或因式，可以利用对称性进行因式分解。

例如：a^2 + ab + ab + b^2 = (a + b)(a + b)11. 差的平方公式差的平方公式可以将一个二次多项式表示为两个平方的差的乘积。

根据因式分解常用的六种方法详解分数的化简

根据因式分解常用的六种方法详解分数的化简一、因式分解法以最简形式表达分数是数学中一项重要的操作。

因式分解是一种常用的方法，通过将分子和分母分别因式分解，来求得分数的最简形式。

1. 公因式因式分解法公因式因式分解法适用于分子和分母都可以有公因式的情况。

首先，将分子和分母的公因式提取出来，然后约去公因式的部分。

示例：将分数$\frac{12}{16}$化简为最简形式。

首先，分解12和16的质因数：$12 = 2^2 \times 3$$16 = 2^4$公因式为2，将分子和分母都除以2，得到最简形式为$\frac{3}{4}$。

2. 相差平方因式分解法相差平方因式分解法适用于分子和分母之间存在差平方关系的情况。

通过差平方公式的应用，将分子和分母分别因式分解，然后约去相同因式的部分。

示例：将分数$\frac{a^2 - b^2}{a - b}$化简为最简形式。

根据差平方公式，展开分子的差平方，得到$(a + b)(a - b)$。

因此，最简形式为$a + b$。

3. 全部约去因式分解法全部约去因式分解法适用于分子和分母都可以被同一因式整除的情况。

将分子和分母都因式分解，并约去分子和分母中相同的因式。

示例：将分数$\frac{8x}{12}$化简为最简形式。

首先，分解8和12的质因数：$8 = 2^3$$12 = 2^2 \times 3$公因式为$2^2$，将分子和分母都除以$2^2$，得到最简形式为$\frac{x}{3}$。

二、其他常用方法除了因式分解法，还有其他几种常用的方法可以用来化简分数。

4. 换元法换元法适用于分子和分母中存在相同的变量的情况。

通过进行换元，将分子和分母中的相同变量用新的未知数代替，然后进行约去。

示例：将分数$\frac{x + 1}{x^2 + x}$化简为最简形式。

可以进行换元，令$y = x + 1$，则原分数变为$\frac{y}{y^2 - y+ 1}$。

最简形式无法继续约去，因此最简形式为$\frac{x + 1}{x^2 +x}$。

初中数学因式分解的常用方法及常出的32个习题陷阱

初中数学因式分解的常用方法及常出的32个习题陷阱初中数学中，因式分解是一个非常重要的内容，因为它不仅是理解代数式的基础，还在后续学习中有很多的应用。

在这篇文章中，我们将介绍初中数学中因式分解的常用方法以及解题的32个难点。

一、因式分解的常用方法1. 公因式提取法公因式提取法是指将一个代数式中所有项的公共因子提取出来，变成一个公因式和剩下的部分的积的形式。

如：24a+12ab可以写成12a(2+b)。

2. 分组分解法分组分解法是指将一个代数式按照特定的规则进行分组再进表达，一般用于在特殊条件下的因式分解。

如：4a²-12ab+9b²可以分为（2a）²-2×2a×3b+（3b）²，然后用(a-b)²=a²-2ab+b²得到（2a-3b）²。

3. 平方法平方差公式可以用于因式分解，公式为：a²-b²=(a+b)(a-b)。

如：a²-25可以写成(a+5)(a-5)。

4. 公式法在初中数学中，有一些常用公式，如二次公式、高斯定理等，这些公式在因式分解中也可以起到帮助作用。

如：x²-y²可以用公式(x+y)(x-y)表示。

二、32个习题陷阱1.习题一：将5x²+10xy+4y²分解。

（答案：(x+2y)(5x+2y)）难点：很多学生容易忽略+4y²这项，就没有括在括号里，直接公因式提取或分组分解，结果变成(x+2y)5(x+2y)，这个式子明显有误。

2.习题二：将x²+10xy+16y²分解。

（答案：(x+4y)(x+4y)）难点：这个题如果直接公因式提取或分组分解会很困难，事实上，这个题可以通过列方程、用辗转相除法来解决，但需要一定的运算技巧。

3.习题三：将3x²-12x+9分解。

（答案：3(x-1)(x-3)）难点：这个题目会引起很多同学的困惑，因为-12x这个项和常数项9很相似，容易认为是“平方差”，从而想到用(a-b)²=a²-2ab+b²这个公式来解，但其实这个式子不适用于这个题目。

因式分解的常用方法

因式分解的常用方法因式分解是一种将一个数、一个代数式或一个多项式表达为乘积形式的方法。

它在数学中有着广泛的应用，尤其在代数运算和方程的求解中起着重要的作用。

以下是因式分解的常用方法：一、因式分解整数：1.分解质因数法：将一个正整数分解为若干个质因数的乘积。

例如，将60分解为质因数的乘积：60=2×2×3×52.综合除法法：用综合除法将一个整数除以数列中的质数，直到商为1为止，最后将所除的质数写成因数的乘积。

例如，将60分解为质因数的乘积：60=2×2×3×5二、因式分解代数式：1.提公因式法：将一个代数式中的公因式提出来，写成公因式与余因式的乘积形式。

例如，将2x+4y分解为公因式与余因式的乘积：2x+4y=2(x+2y)。

2.差的平方公式：对于具有形式a^2-b^2的二次差，可以分解为(a+b)(a-b)的乘积形式。

例如，将x^2-4分解为差的平方公式：x^2-4=(x+2)(x-2)。

3.和的平方公式：对于具有形式a^2+2ab+b^2的二次和，可以分解为(a+b)^2的乘积形式。

例如，将x^2+6x+9分解为和的平方公式：x^2+6x+9=(x+3)^24.两个平方差公式：(1)平方差的平方根公式：对于一个具有形式a^2-b^2的二次差，可以分解为两个平方根的乘积形式(a+b)(a-b)。

例如，将9x^2-4分解为平方差的平方根公式：9x^2-4=(3x+2)(3x-2)。

(2)平方差公式：对于一个具有形式a^2-b^2的二次差，可以分解为两个平方和的乘积形式(a+b)(a-b)。

例如，将25x^2-16分解为平方差公式：25x^2-16=(5x+4)(5x-4)。

三、因式分解多项式：1.提公因式法：将一个多项式中的公因式提出来，写成公因式与余因式的乘积形式。

例如，将2x^2+4xy分解为公因式与余因式的乘积：2x^2+4xy=2x(x+2y)。

因式分解的7种方法和4种思路

因式分解的常用方法1.提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)2.运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)(a+b)(a -b) = a 2-b 2 ——a 2-b 2=(a+b)(a -b)；(2)(a±b)2 = a 2±2ab+b 2 —— a 2±2ab+b 2=(a±b)2；(3)(a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3 —— a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4)(a -b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 —— a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca)；例已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆的形状是（）A.直角三角形 B 等腰三角形C 等边三角形D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca++=++⇒++=++222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==3.分组分解法(1)分组后能直接提公因式例1 分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

解：原式=)()(bn bm an am +++=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！=))((b a n m ++例2 分解因式：bx by ay ax -+-5102 解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。