泰勒公式在近似计算中的应用

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泰勒公式及其在在计算方法中的应用

泰勒公式及其在在计算方法中的应用

泰勒公式在计算方法中的应用摘要:泰勒公式是高等数学中的一个重要公式,同时它是求解高等数学问题的一个重要工具,在此结合例子简要讨论了泰勒公式在计算方法中的误差分析、函数值估测及近似计算、数值积分、常微分方程的数值解法中的应用。

通过本文的论述,可知泰勒公式可以使数值问题的求解简便。

关键词:泰勒公式;误差分析;近似计算;数值积分§1 引言泰勒公式是高等数学中的一个重要公式,利用泰勒公式能将一些初等函数展成幂级数,进行函数值的计算;而且函数的Taylor 公式是函数无穷小的一种精细分析,也是在无穷小邻域将超越运算转化为整幂运算的手段,从而可将无理函数或超越函数的极限转化为有理式的极限而求解,有效简化计算.泰勒公式作为求解高等数学问题的一个重要工具,在计算方法中有重要的应用。

§2泰勒(Taylor)公式定理 1 设函数()f x 在点0x 处的某邻域内具有1+n 阶导数,则对该邻域内异于0x 的任意点x ,在0x 与x 之间至少存在一点ξ,使得:()20000000()()()()()()()()()2!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x '''=+-+-+-+……+n!(1)其中 (1)10()()()(1)!n n n f R x x x n ξ++=-+ (2)公式(1)称为()f x 按0()x x -的幂展开的带有拉格朗日型余项的n 阶泰勒公式,()n R x 的表达式(2)称为拉格朗日型余项.定理2 若函数()f x 在点0x 存在直至n 阶导数,则有()200000000()()()()()()()()(())2!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x '''=+-+-+-+-……+n!(3)公式(3)称为()f x 按0()x x -的幂展开的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式,形如0(())n o x x -的余项称为佩亚诺型余项.特别地:在泰勒公式(1)中,如果取00x =,则ξ在0与x 之间,因此可令(01),x ξθθ=<<从而泰勒公式就变成比较简单的形式,即所谓带有拉格朗日型余项的麦克劳林(Maclaurm )公式:()()()112(0)(0)()()(0)(0)2!(1)!nn n n f f f x f x f f x x x xn θ++'''=+++++……+n!(01)θ<<(4)在公式(3)中,如果取00x =,则得带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式:()2(0)(0)()(0)(0)()2!n nn f f f x f f x x x o x '''=++++……+n!(5)§3 泰勒公式的求法(1)带佩亚诺余项的泰勒公式的求法只要知道()f x 在x =0x 处n 阶可导,就存在x =0x 带佩亚诺余项的n 阶泰勒公式。

泰勒公式及其应用ko

泰勒公式及其应用ko

(k-1)! (1+x)k
(k=1,2,3,…)
故 f(k)(0)=(-1)(k-1)(k-1)!
ln(1+x)≈f(0)+f'(0)x+ f"(0) x2+…+ f(n)(0) xn=x- 1 x2+ 1 x3- 1 x4+…+(-1)n-1 xn
2!
n!
234

误差为 Rn(x) =
f(n+1)(θx) xn+1 (n+1)!

(-1)n (n+1)!
n! (1+θx)n+1
xn+1
n+1
<x n+1
取 x=0.2 由于 0.26 ≈0.000011 故取 n=5 6
则 ln1.2=ln(1+0.2)≈0.2- 1 (0.2)2+ 1 (0.2)3- 1 (0.2)4+ 1 (0.2)5=0.1823




(二)利用泰勒公式判断敛散性及求极限
图 2 金工实习与其前延后伸课程 2.CDIO 教学理论与 4+1 指挥人才的培养 所谓 CDIO 是 Conceive(构想),Design(设计),Implement(实施), Operate(操作)的简写,指的是现代工业产品从构思研发到运行改良乃 至终结废弃的生命全过程。CDIO 教学模式是以构思-设计-实施-运 行全过程为载体培养学生的工程能力,此能力不仅包括学生的专业知 识,而且包括创新能力、终生学习能力、团队交流能力和大系统掌控能 力。CDIO 教学模式不仅强调学生的基础知识,更重视教学实践,注重培
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泰勒公式及其应用
内蒙古财经学院统计数学学院 高春香
[摘 要]泰勒公式是数学分析中重要的公式,在解题中有着重要的作用。本文介绍了泰勒公式及其余项定义,归纳总结了泰勒公式 在近似计算中的应用,利用泰勒公式判断敛散性及求极限,利用泰勒公式求函数的高阶导数,泰勒公式在无穷小中的应用,泰勒公式 在不等式证明中的应用。 [关键词]泰勒公式 应用 余项 极限 不等式

泰勒公式在近似计算中的应用

泰勒公式在近似计算中的应用

泰勒公式在近似计算中的应用泰勒公式是一种数学工具,可以用于近似计算。

它是由英国数学家布鲁克·泰勒(Brook Taylor)在18世纪提出的,用于近似计算复杂函数的值。

泰勒公式在物理学、工程学和计算机科学等领域有着广泛的应用。

泰勒公式的基本思想是将一个复杂的函数表示为无穷级数的形式。

如果一个函数在某个点附近具有充分的可导性,那么该函数在这个点附近的值可以通过泰勒公式进行近似计算。

泰勒公式的一般形式如下:f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...其中,f(x)是要计算的函数,a是近似点,f'(a)、f''(a)、f'''(a)等分别是函数在a点的一阶、二阶、三阶导数。

泰勒公式可以根据需要进行截断,只保留有限项进行计算,以达到近似计算的目的。

泰勒公式的应用非常广泛。

在计算机科学中,泰勒公式可以用于优化算法、图像处理、机器学习等领域。

例如,在图像处理中,可以利用泰勒公式对图像进行插值,从而实现图像的放大和缩小。

在优化算法中,泰勒公式可以用于求解无约束优化问题,通过近似计算优化函数的值和导数,从而加快优化过程。

在机器学习中,泰勒公式可以用于构造损失函数的近似值,从而简化模型的训练过程。

在物理学中,泰勒公式可以用于近似计算物理量的变化。

例如,在牛顿力学中,可以利用泰勒公式对物体的运动进行近似计算。

通过计算物体在某一时刻的位置、速度和加速度,并利用泰勒公式进行递推,可以得到物体在未来时刻的位置和速度。

这种近似计算方法在天体力学、流体力学等领域有着广泛的应用。

除了在科学和工程领域,泰勒公式还可以用于金融和经济学中的近似计算。

例如,在金融领域中,可以利用泰勒公式对金融衍生品的价格进行近似计算。

通过对金融模型的近似展开,并利用泰勒公式进行截断,可以得到金融衍生品的近似价格。

考研数学讲解之泰勒公式的应用

考研数学讲解之泰勒公式的应用

考研数学讲解之泰勒公式的应用泰勒公式是高等数学中的重要内容,也是应用广泛的数学工具之一、它通过对任意一阶、二阶、三阶等导数的展开近似,将一个函数在其中一点附近展开为无穷项的多项式,从而可以用多项式来近似表示一些复杂的函数。

泰勒公式的应用主要集中在以下几个方面:1.函数的近似计算泰勒公式的最基本的应用就是对函数在一些点的近似计算。

通过取泰勒公式的前几项,可以将复杂的函数简化为多项式函数进行计算,从而大大简化了计算过程。

比如,利用泰勒公式可以计算各种三角函数和指数函数在一些特定点的近似值。

2.函数的极值与拐点通过泰勒公式,可以计算函数在一些点附近的近似表达式。

利用这个近似表达式,可以判断函数在该点附近的变化趋势,从而判断函数是否有极值或拐点。

通过求解近似表达式的导数,可以得到极值点和拐点的位置。

3.函数的收敛性分析泰勒公式还可以用来分析函数的收敛性。

通过对函数在一些点附近进行泰勒展开,可以得出一个多项式序列。

只要该多项式序列收敛,则可以得出函数在该点附近的收敛性。

这对于数值计算和数值分析非常重要。

4.函数的曲线拟合在实际应用中,很多函数并不能用已知的基本函数来表示,但我们可以通过泰勒公式的展开来将其近似表示为多项式函数,从而进行曲线拟合。

通过选择合适的展开点和展开阶数,可以得到较高的拟合精度,使得函数的曲线与真实数据点较为吻合。

5.常微分方程的求解泰勒公式在常微分方程的求解中是一个非常重要的工具。

通过对微分方程进行泰勒展开,可以将微分方程转化为一个多项式方程,从而简化求解过程。

通过取不同阶数的展开,可以得到微分方程的近似解,进一步帮助我们理解微分方程的性质。

总之,泰勒公式作为一种近似计算和函数分析的方法,广泛应用于数学的各个领域。

通过泰勒公式的运用,我们可以对复杂的函数进行简化和分析,从而更好地解决实际问题。

因此,在数学的学习和应用过程中,掌握泰勒公式的原理和应用是非常重要的。

泰勒公式的应用超强总结

泰勒公式的应用超强总结

泰勒公式的应用超强总结泰勒公式(Taylor series)是一种用来近似表示函数的方法,它将一个光滑的函数表示为多项式的形式。

在实际应用中,泰勒公式有着广泛的应用,包括物理、工程、经济等领域。

以下是泰勒公式的一些超强应用总结。

1.函数逼近:泰勒公式可以将一个复杂的函数逼近成一个多项式,用来简化计算。

这在数值计算和科学建模中广泛应用。

比如,在物理学中,我们可以使用泰勒公式将一个非线性运动的函数逼近成一个线性函数,从而简化计算。

2.误差估计:通过泰勒公式,我们可以对近似函数的误差进行估计。

在实际计算中,我们通常使用有限项的泰勒公式近似计算,而丢弃高阶项将会引入误差。

通过估计误差,我们可以更好地控制近似结果的精度,从而提高计算效率。

3.求解无解析解的问题:有些函数在数学上没有解析解,即无法用一个简单的表达式表示。

泰勒公式可以帮助我们近似求解这些问题。

比如,在微积分中,我们可以使用泰勒公式近似求解一些复杂的微分方程,从而得到数值解。

4.数值积分:泰勒公式可用于数值积分的近似计算。

在实际计算中,我们通常使用数值积分方法来计算曲线下面积或求解积分方程。

泰勒公式可以将被积函数展开成无穷级数,再通过对级数进行近似计算来求解积分。

5.精确度改善:通过对泰勒公式进行适当的变换和近似,可以提高计算结果的精度。

在数值计算中,我们经常会遇到舍入误差和近似误差等问题,通过泰勒公式的应用可以对这些误差进行修正和改善,从而得到更精确的计算结果。

6.其他应用领域:泰勒公式还可以应用于信号处理、图像处理、优化问题等领域。

例如,在信号处理中,泰勒公式可以用来进行信号的近似重构和滤波。

在优化问题中,泰勒公式可以用来近似目标函数,并帮助我们求解最优化问题。

总之,泰勒公式在科学和工程中具有广泛的应用。

通过对函数的逼近和近似,我们可以简化计算、提高精度、解决无解析解的问题,以及在数值计算、积分、优化等领域中得到更好的结果。

因此,掌握泰勒公式的应用是非常重要的,可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。

利用泰勒公式近似计算函数值

利用泰勒公式近似计算函数值

利用泰勒公式近似计算函数值引言在数学和科学领域中,经常需要计算复杂函数的近似值。

泰勒公式是一种常用的数学工具,通过展开函数为一系列项的和,可以将原函数在某个参考点附近的值近似表示出来。

在本文中,我们将探讨如何利用泰勒公式来近似计算函数的值,并展示一些实际应用的例子。

泰勒公式的介绍泰勒公式是一种通过幂级数展开来近似计算函数值的方法。

它基于以下观察:任何光滑函数都可以表示为无穷级数的形式。

泰勒公式的一般形式如下:f(x) = f(a) + f'(a)(x - a)/1! + f''(a)(x - a)^2/2! + ... + f^n(a)(x - a)^n/n! + R_n其中,f(x)是要近似计算的函数,a是参考点,f’(a)、f’’(a)等表示函数在参考点处的导数,R_n表示剩余项。

利用泰勒公式进行近似计算的步骤下面是使用泰勒公式进行近似计算的一般步骤:1.选择一个合适的参考点a。

2.计算函数在参考点处的值f(a)。

3.计算函数在参考点处的各阶导数f’(a)、f’’(a)等。

4.根据泰勒公式的形式,将导数和剩余项代入公式。

5.根据需要的精度,截断无穷级数,保留前n项进行近似计算。

实际应用示例示例一:正弦函数的近似计算我们使用泰勒公式来近似计算正弦函数在0附近的值,以了解该方法的效果。

首先选择参考点a为0,计算得到相关导数:f(a) = sin(0) = 0f'(a) = cos(0) = 1f''(a) = -sin(0) = 0f'''(a) = -cos(0) = -1代入泰勒公式,我们得到近似公式:f(x) ≈ 0 + 1(x - 0) / 1! + 0(x - 0)^2 / 2! - 1(x - 0)^3 / 3!化简得:f(x) ≈ x - x^3/6通过比较计算得到的近似值和正弦函数的真实值,可以验证该方法的准确性。

泰勒公式的余项及其应用

泰勒公式的余项及其应用

泰勒公式的余项及其应用泰勒公式是一种用于近似表示函数的方法,在数学和工程学中有着广泛的应用。

它的余项是指泰勒级数与原函数之间的误差。

泰勒公式可以将任意光滑的函数表示为无限级数的形式,形式如下:f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+...+fⁿ(a)(x-a)ⁿ/n!+Rₙ(x)其中,f(x)是原函数,f(a)代表函数在点a处的值,fⁿ(a)代表函数的n次导数在点a处的值,Rₙ(x)则为余项。

1.近似计算:泰勒公式可以用于近似计算函数在其中一点的值,通过截取有限项求和的方式来逼近函数值。

余项的存在使得我们可以控制这种逼近的误差范围。

2.数值积分:泰勒公式可以用于数值积分方法中的插值函数的构建。

将函数在其中一点及其邻域上进行泰勒展开,然后根据需要截取有限项作为插值函数来进行数值积分。

3.解析解的构造:有些函数难以直接求解,而通过泰勒公式可以将其表示为更简单的形式。

将函数在其中一点进行泰勒展开,并截取有限项,可以得到函数在原点附近的解析解。

4.物理应用:泰勒公式在物理学中有着广泛的应用。

例如,利用泰勒公式可以近似描述运动的物体的速度、加速度等。

利用余项可以确定这种近似的精度以及可接受的误差范围。

5.优化问题:在优化问题中,泰勒公式可以用于近似求解最优化的函数。

通过将目标函数在当前最优点进行泰勒展开,并截取有限项,可以逼近最优值附近的函数,并进一步优化目标函数的取值。

泰勒公式的余项部分Rₙ(x)是泰勒级数与原函数之间的误差,其形式与选择的截取项有关。

余项一般会随着级数项的增加而减小,当截取的项数足够多时,余项可以趋近于0。

因此,在实际应用中,需要根据具体情况选择合适的截取项,以控制误差范围。

总而言之,泰勒公式的余项及其应用广泛。

它在数学领域提供了一种近似表示函数的方法,可以用于数值计算、物理建模、优化问题等多个方面。

通过控制余项,我们可以控制逼近的精度,从而在实际应用中得到满足精确度和误差范围的解。

第十四讲 泰勒公式在近似计算中应用

第十四讲 泰勒公式在近似计算中应用

(2) 证明 e 是无理数.
解 由公式 (i) 可知
1
1

e= 1+1+ + + +
, 0 < θ < 1.
2! n! (n + 1)!
因为 0 < θ < 1 , 2 < e < 3 , 当n = 9时,有

9
(1= ) < 3 10!
3 < 10−6. 3628800
于是
e

2
+
1 2!
+
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
高等教育出版社
§3 泰勒公式
带有佩亚诺型余项的泰勒公式
带有拉格朗日型余 项的泰勒公式
x − x2 + + (−1)n−1 xn ,
2
n
在近似计 算中的应用
ln(1 − x) 的 n 阶泰勒多项式为
−x − x2 − − xn ,
1+ x
2n
所以 ln 的 2n 阶泰勒多项式为
= 倘若 e qp= , ( p,q) 1 是有理数 . 取 n ≥ q 且n ≥ 3, 则 (7) 式左边是整数,由于 eθ < e < 3 , n+1 n+1 n+1
当n>2时(7)式右边不是整数. 矛盾.
所以 e 是一个无理数.
(
同样e =可1证+ 1明+
s1in+1, co+s11 都+ 不是eθ 有理, 数0.<)θ
2! n! (n + 1)!
<
1.
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
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泰勒公式在近似计算中的应用
【摘要】本文给出了泰勒公式在近似计算中的几个应用,如果函数的形式过于复杂,就可以考虑利用泰勒公式将函数用简单的多项式函数近似代替,然后依据具体的精度要求进行计算,如超越函数的近似计算,导数的近似计算以及积分的近似计算。

【关键词】泰勒公式;超越函数;数值微分;数值积分
在高等数学课程中,泰勒公式一直是学生学习的重点与难点. 很多学生不理解为什么要引入泰勒公式,泰勒公式又由何而来. 实际上,如果教师在授课过程中,让学生多了解一些泰勒公式的应用,那么学生对该部分内容的掌握必然会比较深入. 本文将对泰勒公式在近似计算这一方面的几个应用做简单的介绍. 下面我们先回顾一下泰勒中值定理。

如果函数在含有的某个开区间内具有直到阶的导数,则对任意,有
其中,这里是介于与之间的某个值。

1.超越函数的近似计算
许多超越函数如三角函数,指数函数,对数函数等都无法算出其精确值,但在理论研究和实际应用中,却需要求出来,学习了泰勒公式后,就可以将复杂的函数用简单的多项式函数近似表达,从而求出符合精度要求的近似值. 这部分的应用在高等数学课本中介绍较多,在这里仅通过一个例题来体现,不再赘述.
.
3.积分的近似计算
众所周知,可以利用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分,可是当的结构复杂,求原函数困难时,或的原函数不能用初等函数表示时,很多积分的计算就变得相当困难,如,等,有了泰勒公式这一工具,可以考虑将被积函数用简单的函数表示出来,再进行积分计算求得数值解。

从几何意义上来说,就是用矩形面积近似代替了曲边梯形面积,上述两式称为矩形求积公式。

参考文献:
[1] 常迎香,栗永安等. 高等数学[M]. 北京:科学出版社,2009.
[2] 同济大学应用数学系,高等数学(第五版)[M]. 北京:高等教育出版社,
2003.
[3] 易大义,沈云宝,李有法,计算方法(第二版)[M],浙江:浙江大学出版社,2002.
[4] 电子科技大学应用数学系,实用数值计算方法[M],北京:高等教育出版社,2001.。

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