二次根式的概念与性质

二次根式的概念与性质

编稿：庄永春审稿：邵剑英责编：张杨

一、目标认知

1.学习目标：

理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由；理解并掌握下列结论：，，，并利用它们进行计算和化简．

2.重点：

；，及其运用．

3.难点：

利用，，解决具体问题.

二、知识要点梳理

知识点一：二次根式的概念

一般地，我们把形如(a≥0)•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．

要点诠释：

二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.

知识点二：二次根式的性质

1.；

2.；

3.；

4. 积的算术平方根的性质：；

5. 商的算术平方根的性质：.

要点诠释：

二次根式(a≥0)的值是非负数，其性质可以正用亦可逆

用，正用时去掉根号起到化简的作用；逆用时可以把一个非负数写成完全平方的形式，有利

于在实数范围内进行因式分解.

知识点三：代数式

形如5，a，a+b，ab，，x3，这些式子，用基本的运算符号(基本运

算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的

式子为代数式(algebraic expression).

三、规律方法指导

1.如何判断一个式子是否是二次根式？

(1)必须含有二次根号，即根指数为2；

(2)被开方数可以是数也可以是代数式但必须是非负的，否则在实数范围内无意义.

2.如何确定二次根式在实数范围内有意义？

要使二次根式在实数范围内有意义必须满足被开方数为非负数.要确定被开方数中

所含字母的取值范围，可根据题意列出不等式，通过解不等式确定字母的取值范围.当二次

根式作为分母时要注意分母不能为零.

经典例题透析

类型一：二次根式的概念

1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：

、、、(x＞0)、、、、、(x≥0，y≥0)．思路点拨：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．解：二次根式有：、(x＞0)、、、(x≥0，y≥0)；

不是二次根式的有：、、、．

2、当x是多少时，在实数范围内有意义？

思路点拨：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，•才能有意义．

解：由3x-1≥0，得：x≥

当x≥时，在实数范围内有意义．

总结升华：要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．

举一反三

【变式1】x 是怎样的实数时，下列各式实数范围内有意义？

(1)；(2)；

解：(1)由≥0，解得：x取任意实数

∴当x取任意实数时，二次根式在实数范围内都有意义.

(2)由x-1≥0，且x-1≠0，解得：x＞1

∴当x＞1时，二次根式在实数范围内都有意义.

【变式2】当x是多少时，+在实数范围内有意义？

思路点拨：要使+在实数范围内有意义，

必须同时满足中的2x+3≥0和中的x+1≠0．

解：依题意，得

由①得：x≥-

由②得：x≠-1

当x≥-且x≠-1时，+在实数范围内有意义．

类型二：二次根式的性质

3、计算：

(1)(2)(3)(4)

(5)(b≥0)(6)

思路点拨：我们可以直接利用(a≥0)的结论解题．

解：

(1) (2)=；(3)；

(4)=；(5)；

(6)．

举一反三

【变式1】计算：

(1)；(2)；

(3)；(4).

思路点拨：(1)因为x≥0，所以x+1＞0；(2)a2≥0；

(3)a2+2a+1=(a+1)2≥0；(4)4x2-12x+9=(2x)2-2·2x·3+32=(2x-3)2≥0．

所以上面的4题都可以运用的重要结论解题．解：(1)因为x≥0，所以x+1＞0

；

(2)∵a2≥0，∴；

(3)∵a2+2a+1=(a+1)2

又∵(a+1)2≥0，∴a2+2a+1≥0，∴=a2+2a+1；

(4)∵4x2-12x+9=(2x)2-2·2x·3+32=(2x-3)2

又∵(2x-3)2≥0

∴4x2-12x+9≥0，∴=4x2-12x+9.

4、化简:

(1)；(2)；(3)；(4).

思路点拨：因为(1)9=32，(2)(-4)2=42，(3)25=52，(4)(-3)2=32，所以都可运用去化简．解：(1)==3；(2)==4；

(3)==5；(4)==3.

5、填空：当a≥0时，=____；当a＜0时，=______，•并根据这一性质回答下列问题．

(1)若=a，则a可以是什么数？

(2)若=-a，则a可以是什么数？

(3)＞a，则a可以是什么数？

思路点拨：

∵=a(a≥0)，

∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“( )2”中的数是正数，

因为，当a≤0时，=，那么-a≥0．

(1)根据结论求条件；(2)根据第二个填空的分析，逆向思想；(3)根据(1)、(2)可知，而

要大于a，只有什么时候才能保证呢？

解：(1)因为，所以a≥0；

(2)因为，所以a≤0；

(3)因为当a≥0时，要使，即使a＞a所以a不存在；当a＜0时，，

要使，即使-a＞a，即a＜0；综上，a＜0.

类型三：二次根式性质的应用

6、当x=-4时，求二次根式的值.

思路点拨：二次根式也是一种代数式，求二次根式的值和求其他代数式的值方法相同.

解：将x=-4代入二次根式，得=.

7、(1)已知y=++5，求的值．

(2)若+=0，求的值．

解：(1)由可得，，

(2)