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二次根式的有关概念及性质

一、二次根式的有关概念：

1.二次根式：式子(a≥0)叫做二次根式。

2.最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式；

（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；

（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。如不是最简二次根式，因被开方数中

含有4是可开得尽方的因数，又如，，..........都不是最简二次根式，而，

，5，都是最简二次根式。

3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根

式就叫做同类二次根式。如, , 就是同类二次根式，因为=2，=3，

它们与的被开方数均为2。

4.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两

个代数式互为有理化因式。如与，a+与a-，-与+，互为有理化因式。

二、二次根式的性质：

1.(a≥0)是一个非负数, 即≥0;

2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：()2=a(a≥0)；

3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即=|a|=

4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即=·

（a≥0,b≥0）。

5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即=

（a≥0,b>0）。

三、例题：

例1.x为何值时，下列各式在实数范围内才有意义：

（1）（2）（3）

（4）+（5）（6）+

分析：这是一组考察二次根式基本概念的问题，要弄清每一个数学表达式的含义，根据分式和根式成立的条件去解，即要考虑到分式的分母不能为0并且偶次根号下被开方数要大于或等于零。

解：（1）∵6-x≥0,∴x≤6时原式有意义。

（2）∵x2≥0, ∴x2+3>0, ∴x取任意实数原式都有意义。

（3）

∵∴

∴当x<3且x≠-3时，原式有意义。

（4）

∵∴

∴当-≤x<时，原式有意义。

（5）

∴

∴当x≥0且x≠1时，原式有意义。

（6）

∵∴∴x=2

∴当x=2时，原式有意义。

例2.写出下列各等式成立的条件：

（1）=-3x（2）=-mn

（3）=1+2a（4）=·

（5）-=7

分析：本题考察算术平方根的概念及二次根式的性质。

解：（1）∵=|3x|=-3x,

∴-3x≥0,3x≤0, ∴x≤0.

（2）∵==|mn|=-mn,

∴mn≤0, ∵成立，隐含m≥0,

∴m≥0且n≤0.

（3）∵=|2a+1|=1+2a

∴1+2a≥0, ∴a≥-.

（4）由题意得∴

∴x=±1.

（5）∵-

=-

=|x+5|-|2-x|=7

∴只有|x+5|=x+5, |2-x|=x-2时才成立，

∴∴∴x≥2.

例3.化简下列各式：

（1）（2）a2(m<0) （3）+|2-x|+（2

（4）（5）(x-y)+

（6）(y<0) （7）+

分析：

在二次根式化简的题目中，若有已知条件或隐含条件，则根据已知或隐含条件化简，若没有已知条件或隐含条件时，则必须加以讨论，特别是对于开方后式中有两个绝对值以上的题目，要采取零点分段的方法逐一加以考虑。

解：（1）∵π>3, ∴=|3-π|=π-3.

（2）∵m<0, 要使有意义，则a<0,

∴a2=a2=a2·=-=-a.

（3）∵2

=|2-x|+|2-x|+|x-3|

=x-2+x-2+3-x=x-1.

（4）=|3x-1|=

在这里我们分3x-1≥0或3x-1<0两种情况进行了讨论。

（5）(x-y)+

∵有意义，∴y-x>0

∴原式=(x-y)·+

=+|x-y|

=+y-x=-+y-x.

（6）∵y<0,

∴原式=

=2|xy|

=-2|x|y

当x≥0时, 原式=-2xy,

当x<0时, 原式=2xy。

（7）+

=+=|4-x|+|x+1|

∵若|4-x|=0,则x=4;若|x+1|=0则x=-1，则本题需要将x的取值分成三段，即分x≤-1, -1

当x≤-1时，原式=4-x+(-x-1)=4-x-x-1=3-2x.

当-1

当x≥4时，原式=x-4+x+1=2x-3.

例4.把根号外的因式移至根号内：

（1）2（2）-5（3）m(m≥0)

（4）x(x≤0)（5）a

分析：本题需逆用性质=·（a≥0,b≥0)只能将根号外的正因式移至根号内。

解：（1）2=·=。

（2）-5=-·=-。

（3）∵m≥0, ∴m=·=。

（4）x(x≤0) ∴x=-·=-。

（5）∵成立，∴隐含a<0,

∴a·=-·=-=-。

例5.（1）已知：y-1=,求：x+2y的值。

（2）若+|x-2y|=0, 求：x2+y2的值。

分析：（1）观察已知条件，等式右边有两个根式，要使两个根式有意义，则

∴x=2，

∴y=1, 从而可求出x+2y的值。