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2023年高考数学(文科)一轮复习——对数与对数函数

第6节对数与对数函数考试要求 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，12的对数函数的图象；3.体会对数函数是一类重要的函数模型；4.了解指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数.1.对数的概念如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2.对数的性质、运算性质与换底公式(1)对数的性质：①a log a N＝N；②log a a b＝b(a>0，且a≠1).(2)对数的运算性质如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①log a(MN)＝log a M＋log a N；②log a MN＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M(n∈R).(3)换底公式：log b N＝log a Nlog a b(a，b均大于零且不等于1，N>0).3.对数函数及其性质(1)概念：函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x ＝1时，y ＝0，即过定点(1，0)当x >1时，y >0；当0<x <1时，y <0当x >1时，y <0；当0<x <1时，y >0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称.1.换底公式的两个重要结论(1)log a b ＝1log b a (a >0，且a ≠1；b >0，且b ≠1).(2)log am b n ＝nm log a b (a >0，且a ≠1；b >0；m ，n ∈R ，且m ≠0). 2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.3.对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)log 2x 2＝2log 2x .( )(2)函数y ＝log 2(x ＋1)是对数函数.( ) (3)函数y ＝ln1＋x1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同.( ) (4)当x >1时，若log a x >log b x ，则a <b .( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×解析 (1)log 2x 2＝2log 2|x |，故(1)错误.(2)形如y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)为对数函数，故(2)错误. (4)若0<b <1<a ，则当x ＞1时，log a x ＞log b x ，故(4)错误.2.(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足L ＝5＋lg V .已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(1010≈1.259)( ) A.1.5 B.1.2 C.0.8D.0.6答案 C解析由题意知，4.9＝5＋lg V ，得lg V ＝－0.1，得V ＝10－110＝11010≈11.259≈0.8，所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.3.(2021·天津卷)设a ＝log 2 0.3，b ＝log 120.4，c ＝0.40.3，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a ＜b ＜cB.c ＜a ＜bC.b ＜c ＜aD.a ＜c ＜b答案 D解析 ∵log 20.3＜log 21＝0，∴a ＜0. ∵log 120.4＝－log 20.4＝log 252＞log 22＝1，∴b ＞1.∵0＜0.40.3＜0.40＝1，∴0＜c ＜1， ∴a ＜c ＜b .4.(易错题)函数y ＝log a (x －1)＋2(a >0，且a ≠1)的图象恒过的定点是________. 答案 (2，2)解析当x ＝2时，函数y ＝log a (x －1)＋2(a >0，且a ≠1)的值为2，所以图象恒过定点(2，2).5.(易错题)已知lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，则xy ＝________. 答案 4解析 ∵lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )， ∴lg(xy )＝lg(x －2y )2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，x －2y >0，xy ＝（x －2y ）2，即⎩⎪⎨⎪⎧x >2y ，y >0，（x －y ）（x －4y ）＝0，则x ＝4y >0，∴xy ＝4.6.若函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a ＝________. 答案 2或12解析当0<a <1时，f (x )＝log a x 在[2，4]上单调递减，故f (x )max ＝f (2)，f (x )min ＝f (4)，则f (2)－f (4)＝log a 12＝1，解得a ＝12.当a >1时，f (x )在[2，4]上单调递增，此时f (x )max ＝f (4)，f (x )min ＝f (2)，则f (4)－f (2)＝log a 2＝1，解得a ＝2.考点一对数的运算1.(2020·全国Ⅰ卷)设a log 34＝2，则4－a ＝( ) A.116 B.19C.18D.16答案 B解析法一因为a log 34＝2，所以log 34a ＝2，则4a ＝32＝9，所以4－a ＝14a ＝19. 法二因为a log 34＝2，所以a ＝2log 34＝2log 43＝log 432＝log 49，所以4－a ＝4－log 49＝4log 49－1＝9－1＝19.2.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1，2).已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A.1010.1 B.10.1 C.lg 10.1D.10－10.1答案 A解析依题意，m 1＝－26.7，m 2＝－1.45，代入所给公式得52lg E 1E 2＝－1.45－(－26.7)＝25.25.所以lg E 1E 2＝25.25×25＝10.1，即E 1E 2＝1010.1.3.(2021·天津卷)若2a ＝5b ＝10，则1a ＋1b ＝( ) A.－1 B.lg 7 C.1 D.log 710答案 C解析 ∵2a ＝5b ＝10， ∴a ＝log 210，b ＝log 510，∴1a ＋1b ＝1log 210＋1log 510＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.4.计算：（1－log 63）2＋log 62·log 618log 64＝________.答案 1解析原式＝1－2log 63＋（log 63）2＋log 663·log 6（6×3）log 64＝1－2log 63＋（log 63）2＋1－（log 63）2log 64＝2（1－log 63）2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.感悟提升 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.a b ＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.考点二对数函数的图象及应用例1 (1)函数f (x )＝log a |x |＋1(0<a <1)的图象大致为( )(2)若方程4x ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则实数a 的取值范围为________.答案 (1)A (2)⎝⎛⎦⎥⎤0，22解析 (1)由函数f (x )的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y 轴对称.设g (x )＝log a |x |，先画出x >0时，g (x )的图象，然后根据g (x )的图象关于y 轴对称画出x <0时g (x )的图象，最后由函数g (x )的图象向上整体平移一个单位长度即得f (x )的图象，结合图象知选A.(2)若方程4x ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则函数y ＝4x 和函数y ＝log a x 的图象在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有交点，由图象知⎩⎨⎧0<a <1，log a 12≤2，解得0<a ≤22. 感悟提升对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质，函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.训练1 (1)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A.a >1，c >1B.a >1，0<c <1C.0<a <1，c >1D.0<a <1，0<c <1(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________. 答案 (1)D (2)(1，＋∞)解析 (1)由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，∴0<a <1，∵图象与x 轴的交点在区间(0，1)之间，∴该函数的图象是由函数y ＝log a x 的图象向左平移不到1个单位长度后得到的，∴0<c <1.(2)问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a >1.考点三解决与对数函数的性质有关的问题角度1 比较大小例2 (1)已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A.a >b >cB.a >c >bC.c >b >aD.c >a >b(2)若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2<0，则下列关系中正确的是( ) A.a <b <c B.b <a <c C.c 1.∴c >a >b .(2)根据不等式的性质和对数的换底公式可得1log 2a <1log 2b <1log 2c <0，即log 2c <log 2b <log 2a <0，可得c a >c . 角度2 解对数不等式例3 (1)(2022·太原质检)定义在R 上的奇函数f (x )，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则不等式f (x )<－1的解集是________.(2)不等式log a (a 2＋1)<log a (2a )<0，则a 的取值范围是________. 答案 (1)(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1解析 (1)设x <0，则－x >0， ∴f (x )＝－f (－x )＝－log 2(－x )， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，0，x ＝0，－log 2（－x ），x <0.当x >0时，f (x )<－1，即log 2x <－1＝log 212，解得0<x <12. 当x <0时，f (x )<－1，即－log 2(－x )<－1，则log 2(－x )>1＝log 22，解得x <－2. 当x ＝0时，f (x )＝0<－1显然不成立.综上，原不等式的解集为(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.(2)由题意得a >0且a ≠1，故必有a 2＋1>2a .又log a (a 2＋1)<log a (2a )<0，所以0<a <1，所以2a >1，即a >12. 综上，12<a <1.角度3 对数型函数性质的综合应用例4 已知函数f (x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋a .(1)若函数f (x )是R 上的奇函数，求a 的值；(2)若函数f (x )的定义域是一切实数，求a 的取值范围；(3)若函数f (x )在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a 的取值范围.解 (1)若函数f (x )是R 上的奇函数，则f (0)＝0，∴log 2(1＋a )＝0，∴a ＝0.当a ＝0时，f (x )＝－x 是R 上的奇函数. 所以a ＝0.(2)若函数f (x )的定义域是一切实数，则12x ＋a >0恒成立.即a >－12x 恒成立，由于－12x ∈(－∞，0)，故只要a ≥0，则a 的取值范围是[0，＋∞).(3)由已知得函数f (x )是减函数，故f (x )在区间[0，1]上的最大值是f (0)＝log 2(1＋a )，最小值是f (1)＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋a .由题设得log 2(1＋a )－log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋a ≥2，则log 2(1＋a )≥log 2(4a ＋2). ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ≥4a ＋2，4a ＋2>0，解得－12<a ≤－13. 故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，－13.感悟提升 1.比较对数值的大小与解形如log a f (x )>log a g (x )的不等式，主要是应用函数的单调性求解，如果a 的取值不确定，需要分a >1与0<a <1两种情况讨论. 2.与对数函数有关的复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.训练2 (1)(2019·天津卷)已知a ＝log 27，b ＝log 38，c ＝0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.c 0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a 的取值范围是________.答案 (1)A (2)[1，2) (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83 解析 (1)显然c ＝0.30.2∈(0，1).因为log 33<log 38<log 39，所以1log 24＝2，所以a >2.故c 0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1，2).(3)当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1，2]上是减函数，由f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，则f (x )min ＝f (2)＝log a (8－2a )>1，即8－2a >a ，且8－2a >0，解得1<a <83.当0<a <1时，f (x )在[1，2]上是增函数，由f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，知f (x )min ＝f (1)＝log a (8－a )>1，且8－2a >0.∴8－a <a 且8－2a >0，此时解集为∅.综上可知，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83.1.已知b >0，log 5b ＝a ，lg b ＝c ，5d ＝10，则下列等式一定成立的是( )A.d ＝acB.a ＝cdC.c ＝adD.d ＝a ＋c 答案 B解析 ∵log 5b ＝a ，lg b ＝c ，∴5a ＝b ，10c ＝b .又∵5d ＝10，∴5a ＝b ＝10c ＝(5d )c ＝5cd ，∴a ＝cd .2.(2021·濮阳模拟)已知函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋43x ＋m 的值域是全体实数，则实数m 的取值范围是( )A.(－4，＋∞)B.[－4，＋∞)C.(－∞，－4)D.(－∞，－4]答案 D解析由题意可知3x ＋43x ＋m 能取遍所有正实数.又3x ＋43x ＋m ≥m ＋4，所以m ＋4≤0，即m ≤－4.∴实数m 的取值范围为(－∞，－4].3.若函数f (x )＝|x |＋x 3，则f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＋f (lg 5)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 15＝( ) A.2B.4C.6D.8答案 A 解析由于f (x )＝|x |＋x 3，得f (－x )＋f (x )＝2|x |.又lg 12＝－lg 2，lg 15＝－lg 5.所以原式＝2|lg 2|＋2|lg 5|＝2(lg 2＋lg 5)＝2.4.(2021·新高考Ⅱ卷)已知a ＝log 52，b ＝log 83，c ＝12，则下列判断正确的是( )A.c 0，且a ≠1)的图象可能是( )答案 D解析若a >1，则y ＝1a x 单调递减，A ，B ，D 不符合，且y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，C 项不符合，因此0<a <1.当0<a <1时，函数y ＝a x 的图象过定点(0，1)，在R 上单调递减，于是函数y ＝1a x的图象过定点(0，1)，在R 上单调递增，函数y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12的图象过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，在(－12，＋∞)上单调递减.因此，选项D 中的两个图象符合.6.已知函数f (x )＝log 2(1－|x |)，则关于函数f (x )有下列说法：①f (x )的图象关于原点对称；②f (x )的图象关于y 轴对称；③f (x )的最大值为0；④f (x )在区间(－1，1)上单调递增.其中正确的是( )A.①③B.①④C.②③D.②④答案 C解析f(x)＝log2(1－|x|)为偶函数，不是奇函数，∴①错误，②正确；根据f(x)的图象(图略)可知④错误；∵1－|x|≤1，∴f(x)≤log21＝0，故③正确.7.(2021·济南一中检测)已知函数y＝log a(2x－3)＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，则b＝________.答案－7解析令2x－3＝1，得x＝2，∴定点为A(2，2)，将定点A的坐标代入函数f(x)中，得2＝32＋b，解得b＝－7.8.计算：lg 25＋lg 50＋lg 2·lg 500＋(lg 2)2＝________.答案 4解析原式＝2lg 5＋lg(5×10)＋lg 2·lg(5×102)＋(lg 2)2＝2lg 5＋lg 5＋1＋lg 2·(lg 5＋2)＋(lg 2)2＝3lg 5＋1＋lg 2·lg 5＋2lg 2＋(lg 2)2＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2(lg 5＋lg 2)＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2＝3(lg 5＋lg 2)＋1 ＝4.9.函数f(x)＝log2x·log2(2x)的最小值为________.答案－1 4解析依题意得f(x)＝12log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log2x＋122－14≥－14，当log2x＝－12，即x＝22时等号成立，所以函数f(x)的最小值为－14.10.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝log a(x＋1)(a>0，且a≠1).(1)求函数f (x )的解析式；(2)若－1<f (1)<1，求实数a 的取值范围.解 (1)当x <0时，－x >0，由题意知f (－x )＝log a (－x ＋1)，又f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (－x )＝f (x ).所以当x <0时，f (x )＝log a (－x ＋1)，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log a （x ＋1），x ≥0，log a （－x ＋1），x <0.(2)因为－1<f (1)<1，所以－1<log a 2<1，所以log a 1a <log a 2<log a a .①当a >1时，原不等式等价于⎩⎨⎧1a <2，a >2，解得a >2； ②当0<a <1时，原不等式等价于⎩⎨⎧1a >2，a <2，解得0<a <12.综上，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞). 11.已知函数f (x )＝log 21＋ax x －1(a 为常数)是奇函数. (1)求a 的值与函数f (x )的定义域；(2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋log 2(x －1)>m 恒成立，求实数m 的取值范围.解 (1)因为函数f (x )＝log 21＋ax x －1是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以log21－ax－x－1＝－log21＋axx－1，即log2ax－1x＋1＝log2x－11＋ax，所以a＝1，f(x)＝log21＋x x－1，令1＋xx－1>0，解得x<－1或x>1，所以函数的定义域为{x|x<－1或x>1}.(2)f(x)＋log2(x－1)＝log2(1＋x)，当x>1时，x＋1>2，所以log2(1＋x)>log22＝1.因为x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log2(x－1)>m恒成立，所以m≤1，所以m的取值范围是(－∞，1].12.(2022·烟台模拟)某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系式为P＝P0e－kt，其中P0，k为正常数.如果一定量的废气在前10 h的过滤过程中污染物被消除了20%，那么污染物减少到最初含量的50%还需要经过多长时间？(结果四舍五入取整数，参考数据：ln 2≈0.693，ln 5≈1.609)()A.11 hB.21 hC.31 hD.41 h答案 B解析由已知得1－15＝e－10k，方程两边同取自然对数得ln 45＝－10k，所以k＝2ln 2－ln 5－10≈0.022 3.设污染物减少到最初含量的50%需要经过t h，则12＝e－0.022 3t，方程两边同取自然对数得ln 12＝－0.022 3t，解得t≈31.所以还需要经过31－10＝21(h)使污染物减少到最初含量的50%，故选B.13.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2（x －1），x >1，2x ，x ≤1，且关于x 的方程f (x )－a ＝0有两个实数根，则实数a 的取值范围为( )A.(0，1)B.(0，1]C.(1，2)D.(0，2]答案 D解析作出函数y ＝f (x )的图象(如图)，方程f (x )－a ＝0有两个实数根，即y ＝f (x )与y ＝a 有两个交点，由图知，0<a ≤2.14.(2022·郑州调研)在①f (x )＋f (－x )＝0，②f (x )－f (－x )＝0，③f (－2)＝－f (2)这三个条件中选择一个合适的补充在下面问题中，并给出解答.已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a ＋x )(a ∈R )满足________.(1)求a 的值；(2)若函数g (x )＝2f (－x )＋1－x 2＋1，证明：g (x 2－x )≤54. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.解若选择②f (x )－f (－x )＝0，因为f (x )－f (－x )＝0，所以log 2(x 2＋a ＋x )－log 2(x 2＋a －x )＝0，所以x 2＋a ＋x ＝x 2＋a －x ，所以x ＝0，a ≥0，此时求不出a 的具体值，所以不能选②. 若选择①f (x )＋f (－x )＝0，(1)因为f (x )＋f (－x )＝0，所以log 2(x 2＋a ＋x )＋log 2(x 2＋a －x )＝0，所以log 2[(x 2＋a ＋x )(x 2＋a －x )]＝0，所以x 2＋a －x 2＝1，解得a ＝1. 若选择③f (－2)＝－f (2)，(1)因为f (－2)＝－f (2)，所以log 2(4＋a －2)＝－log 2(4＋a ＋2)，所以(4＋a －2)(4＋a ＋2)＝1，所以4＋a －4＝1，所以a ＝1.(2)由(1)知f (x )＝log 2(x 2＋1＋x )， f (－x )＝log 2(x 2＋1－x )，所以g (x )＝2log2(x 2＋1－x )＋1－x 2＋1 ＝x 2＋1－x ＋1－x 2＋1＝－x ＋1，所以g (x 2－x )＝－(x 2－x )＋1＝－x 2＋x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋54≤54.。

高考文科数学所有知识点总结

高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图子集B A ⊆（或)A B ⊇A 中的任一元素都属于B(1)A ⊆A (2)A ∅⊆(3)若B A ⊆且B C ⊆，则A C ⊆ (4)若B A ⊆且B A ⊆，则A B =A(B)或B A真子集A ≠⊂B（或B ≠⊃A ） B A ⊆，且B 中至少有一元素不属于A（1）A ≠∅⊂（A 为非空子集） (2)若A B ≠⊂且B C ≠⊂，则A C ≠⊂BA集合相等A B =A 中的任一元素都属于B ，B 中的任一元素都属于A(1)A ⊆B(2)B ⊆AA(B)（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n个子集，它有21n -个真子集，它有21n-个非空子集，它有22n-非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集名称记号意义性质示意图交集A B{|,x x A ∈且}x B ∈（1）A A A = （2）A ∅=∅ （3）A B A ⊆ AB B ⊆BA并集A B{|,x x A ∈或}x B ∈（1）A A A = （2）A A ∅= （3）A B A ⊇ A B B ⊇BA补集 U A ð{|,}x x U x A ∈∉且1()U A A =∅ð 2()U A A U =ð【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集||(0)x a a <> {|}x a x a -<<||(0)x a a >> |x x a <-或}x a >||,||(0)ax b c ax b c c +<+>>把ax b +看成一个整体，化成||x a <，||(0)x a a >>型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式24b ac ∆=-0∆> 0∆= 0∆<二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象O一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的根21,242b b ac x a-±-=（其中12)x x <122b x x a==-无实根20(0)ax bx c a ++>>的解集1{|x x x <或2}x x >{|x }2b x a≠-R20(0)ax bx c a ++<>的解集12{|}x x x x <<∅ ∅〖1.2〗函数及其表示【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）()()()U U U A B A B =痧?()()()U U U A B A B =痧?叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a xb <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．〖1.3〗函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4）利用复合函数yxo 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、(0,]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反． ④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象．利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩 01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y y f x y f x =−−−→=-轴()()y f x y f x =−−−→=--原点 1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象 ()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．（3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．第二章基本初等函数(Ⅰ)〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次方根用符号n a 表示；当n 是偶数时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号n a -表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．②式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数函数名称指数函数定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a > 01a <<xa y =xy(0,1)O1y =x a y =xy(0,1)O 1y =定义域 R值域 (0,)+∞过定点图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对图象的影响在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a NaN =⑤log log (0,)b n a a n M M b n R b =≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数函数名称对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a > 01a <<定义域 (0,)+∞值域 R过定点图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y fx -=．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()x fy -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y fx -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当qpα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q py x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则qpy x =是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．〖补充知识〗二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．（3）二次函数图象的性质①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a--． ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2ba-+∞上递增，当2b x a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2ba -+∞上递减，当2bx a =-时，2max 4()4ac b f x a-=．③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时，图象与x 轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||||M x M x M M x x a ∆=-=．（4）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=- ③判别式：∆ ④端点函数值符号．①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+．（Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2bm f a=- ③若2b q a ->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2bM f a=- ③若2b q a ->，则()M f q =x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2bf a-x>O-=f (p)f (q)()2bf a-x>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q)()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

高考文科数学数列专题复习(附答案及解析)

高考文科数学数列专题复习数列常用公式数列的通项公式与前n 项的和的关系a n s , n 11s s ,n 2n n 1( 数列{a n} 的前n 项的和为s n a1 a2 a n ).等差数列的通项公式*a a1 (n 1)d dn a1 d(n N ) ；n等差数列其前n 项和公式为n(a a ) n(n 1)1 ns na1 d n2 2 d 12n (a d)n .12 2等比数列的通项公式an 1 1 n *a a1q q (n N )nq；等比数列前n 项的和公式为na (1 q )1s 1 qn , q 1或sna a q1 n1 q,q 1na ,q 1 1 na ,q 1 1一、选择题1.( 广东卷) 已知等比数列{a n} 的公比为正数，且a3 ·a9 =2 2a ，a2 =1，则a1 =5A. 12B.22C. 2D.22.（安徽卷）已知为等差数列，，则等于A. -1B. 1C. 3D.7 3（. 江西卷）公差不为零的等差数列{a n} 的前n项和为S n .若a4 是a3与a7 的等比中项, S8 32, 则S等于10A. 18B. 24C. 60D. 904（湖南卷）设S n 是等差数列a n 的前n 项和，已知a2 3，a6 11，则S7 等于【】第1页/ 共8页A ．13 B．35 C．49 D．633.（辽宁卷）已知a为等差数列，且a7 －2 a4 ＝－1, a3 ＝0, 则公差d＝n（A）－2 （B）－12 （C）12（D）24.（四川卷）等差数列｛a n ｝的公差不为零，首项a1 ＝1，a2 是a1 和a5 的等比中项，则数列的前10 项之和是A. 90B. 100C. 145D. 1905.（湖北卷）设x R, 记不超过x 的最大整数为[ x ], 令{x }= x -[ x ]，则{ 52 1} ，[ 521],521A.是等差数列但不是等比数列B.是等比数列但不是等差数列C.既是等差数列又是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列6.（湖北卷）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：他们研究过图1 中的1，3，6，10，⋯，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16⋯这样的数成为正方形数。

函数的概念与基本初等函数-高考文科数学复习资料

函数的概念与基本初等函数-高考文科数学复习资料学科思想分类讨论思想例已知二次函数最大值2，求的值．【思路分析】本题考查用分类讨论思想解决二次函数问题，解题的关键是对称轴的位置．【解析】①当②当时，时，得．．，解得的差为，故该方程在③当综上可知,时，或．（1）求m的值，并确定【方法技巧】求解二次函数在闭区间上的最值问题，关键是抓住“三点一轴”，“三点”即区间端点与区间中上为增函数，求实数a的取值范围．点，“一轴”即二次函数的对称轴，合理进行讨论．数形结合思想例若a是实数，试讨论数．【思路分析】本题考查含参数的函数零点个数问题，求解时需将法求解．【解析】设，．转化为，利用数形结合是（）222A．某1＋某2＋某3＝14B．1＋a ＋b＝0C．某1＋某3＝4D．某1＋某3>2某2的零点的个6．设定义域为R的函数（2）若的解析式；在上无解．4．已知函数，得．．2．函数取值范围是__________．，若在上有训练题组1．若a>0，且a≠1，p=loga （a3+1），q=loga（a2+1），则p，q的大小关系是（）A．p=qB．p“qD．当a>1时，p>q；当0”在同一直角坐标系内作出两个函数的图象如图．7．已知，下列不等式中成立的是（）A．B．C．由图可知，当零点；当当当当时，函数有2个零点；时，函数有4个零点；时，函数有3个零点；时，函数有2个零点；的图象为的图象时，两函数图象无交点，因此函数无8．已知是方程D．的一个根，是方程的一个根，那么的值是（）A．6B．3C．2D．1【方法技巧】本题中在某轴及其上方的部分不变，将某轴下方的部分以某轴为对称轴，翻折到上方而得到．转化与化归思想9．若函数例若函数（1）若函数（2）若函数函数的零点．【思路分析】本题考查函数零点的求解方法以及零点的性质，求解的关键是将函数的零点转化为方程的根．【解析】（1）令∵，得．．．有零点，求实数b的取值范围；有零点，试讨论零点的个数，并求出值范围__________．有零点，则实数a的取10．设f（某）是定义在R上的奇函数，且当某≥0时，f（某）=某2，若对任意某∈[a，a+2]，f（某+a）≥f（3某+1恒成立，则实数a的取值范围是__________．11．设函数f（某）＝ka某–a–某（a>0且a≠1）是定义域为的奇函数．（1）若（f1）>0，试求不等式（f某2＋2某）＋（f某–4）>的解集；3（2）若f（1）＝2，且g（某）＝a2某＋a–2某–4f（某）求g（某）在[1，＋∞）上的最小值．∴当函数存在零点时，时，．，此时方程12．已知某满足不等式数的最值．，求函（2）①由（1）知当的根为②当∴∵∴令∴当，，因此函数时，∵．∴的零点为0；．．．的解为，得时，．，故．．的解为综合①②知，当分别为当时，函数；当时，函数时，函数或的零点有两个，；的零点只有一个，为的零点只有一个，为的零点与方程．的根的零【方法技巧】函数是可以相互转化的，一般地，由研究函数点，转化为研究方程函数思想例已知2≤某≤5，求代数式的最值．的根．13．对任意a∈［–1，1］，函数f（某）=某2+（a–4）某+4–2的值总大于零，则某的取值范围是（）A．1＜某＜3B．某＜1或某＞3C．1＜某＜2D．某＜1或某＞2【思路分析】本题考查二次函数的区间最值．解题的关键是结合二次函数的图象进行分析．【解析】设，所得函数是二次函数．14．如果0 15．设不等式2某–1>m（某2–1）对满足|m|≤2的一切实数配方，得，∴抛物线的顶点坐标是都成立，则的取值范围__________．．∵自变量的取值范围是2≤某≤5，而某=1不在此16．设方程某2–（a2–a+1）某–4=0在[1，4]上有解，求实数的取值范围．范围内，∴二次函数是抛物线的图象的一部分，不含顶点，这部分在对称轴的右侧，根据二次函数的性质，∵a=–3<0，∴抛物线开口向下，在对称轴的右侧，y随某的增大而减小．∴当某=2时，当某=5时，【方法技巧】想到二次函数式的最值．；．是关于某的二次三项式，联的图象和性质求此代数1．【答案】C【解析】当0loga（a2+1），即p>q．当a>1时，y=a某和y=loga某在其定义域上均为增函数，则a3+1>a2+1，∴loga（a3+1）>loga（a2+1），即p>q．综上可得p>q．2．【答案】【解析】当时，，此时不等式的解集是时，；当时，，此时不等式无解；当以a的取值范围是．，此时不等式无解．所133．【答案】–2或23【解析】当a>1时，y＝a是增函数，∴a–a＝，∴a＝2．某2当0某24．【解析】（1）由∵当当为减函数，∴时，时，，得，解得，∴．∵．．为奇函数，不合题意；为偶函数．∴，此时．上单调递增，且∴实数a的取值范围为．∴．解得．5．【解析】令t＝a某（a＞0且a≠1），则原函数化为y＝（t＋1）2–2（t＞0）．①当0＜a＜1时，某∈[–1，1]，t＝a∈a，某此时f（t）在a上为增函数．11所以f（t）ma某＝fa＝＋1–2＝14．111所以＋1＝16，所以a＝–5或a ＝3．1又因为a＞0，所以a＝3．11②当a＞1时，某∈[–1，1]，t＝a∈，a，此时f（t）在，a上是增函数．某所以f（t）ma某＝f（a）＝（a＋1）2–2＝14，解得a＝3（a＝–5舍去）．综上得a＝3或3．6．【答案】D【解析】作出f（某）的图象，图象关于某＝2对称，且某＝2时，f（某）＝1，故f（某）＝1有3个不同实数根某，除此之外，只有两个根或无根．又f2（某）＋af（某）＋b＝0有3个不同的实数解某1某3＝3，故A，B，C正确．故选D．7．【答案】C【解析】在同一坐标系中分别作出，即当时，，，图象，如图，当时，．故选C．8．【答案】B【解析】将已知的两个方程变形得．在同一坐标系中分别作出象，如图所示．，、和．令的图记与的交点为，对称，便有代入上式，得有零点，有实数解．，则原方程化为上有实数解．（），与的交点为，，即，利用函数的性质易知A、B两点关于直线得9．【答案】【解析】∵函数∴方程设该方程在，再将．将A点坐标代入直线方程，．故选B．②当方程的解一个在上，另一个在上时，令，则或，即．．综合①②知，函数10．【答案】（–∞，–5]有零点时，实数a的取值范围为【解析】因为当某≥0时，f（某）=某2，所以此时函数f（某）在[0，+∞）上单调递增．又因为f（某）是定义在R上的奇函数，且f（0）=0，所以f（某）在R上单调递增．若对任意某∈[a，a+2]，不等式f（某+a）≥f（3某+1）恒成立，则某+a≥3某+1恒成立，即a≥2某+1恒成立，因为某∈[a，a+2]，所以（2某+1）（a+2）+1=2a+5，即a≥2a+5，解得a≤–5．即ma某=2实数a的取值范围是（–∞，–5]．11．【解析】因为f（某）是定义域为R的奇函数，所以f（0）＝0，所以k–1＝0，即k＝1，f（某）＝a某–a–某．（1）因为f（1）>0，所以a–a>0，又a>0且a≠1，所以a>1．因为f′（某）＝a某lna＋a–某lna＝（a某＋a–某）lna>0，所以f（某）在R上为增函数，原不等式可化为f（某2＋2某）>f（4–某），所以某2＋2某>4–某，即某2＋3某–4>0，所以某>1或某所以不等式的解集为{某|某>1或某313（2）因为f（1）＝2，所以a–a＝2，1即2a–3a–2＝0，所以a＝2或a＝–2（舍去）．2所以g（某）＝22某＋2–2某–4（2某–2–某）＝（2某–2–某）2–4（2某–2–某）＋2．令t（某）＝2某–2–某（某≥1），3则t（某）在（1，＋∞）为增函数（由（1）可知），即t（某）≥t （1）＝2，所以原函数为ω（t）＝t2–4t＋2＝（t–2）2–2，所以当t＝2时，ω（t）min＝–2，此时某＝log2（1＋）．即g（某）在某＝log2（1＋）时取得最小值–2．12．【解析】由，可解得，即，∴．∵∴当当，即，即时，时，有最小值有最大值6．，；∴当的最大值为6，最小值为13．【答案】B．【解析】依题意有某2+（a–4）某+4–2a>0恒成立，即（某–2）a+某2–4某+4>0恒成立．令g（a）=（某–2）a+某2–4某+4，把g（a）看作是关于主元a的函数，则g（a）是一次函数（某≠2）或是常数函数（某=2），因为a∈［–1，1］，要g（a）>0恒成立，只需解得某＜1或某＞3，故选B．14．【答案】A 【解析】设y1＝a|某|，y2＝|loga某|，分别作出它们的图象如图所示：，由图可知，有两个交点．。

高考数学复习资料(推荐5篇)

高考数学复习资料（推荐5篇）1.高考数学复习资料第1篇三、一元函数积分学(一)不定积分知识范围(1)不定积分原函数与不定积分的定义原函数存在定理不定积分的性质(2)基本积分公式(3)换元积分法第一换元法(凑微分法) 第二换元法(4)分部积分法(5)一些简单有理函数的积分要求(1)理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质，了解原函数存在定理。

(2)熟练掌握不定积分的基本公式。

(3)熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法(限于三角代换与简单的根式代换)。

(4)熟练掌握不定积分的分部积分法。

(5)会求简单有理函数的不定积分。

(二)定积分知识范围(1)定积分的概念定积分的定义及其几何意义可积条件(2)定积分的性质(3)定积分的计算变上限积分牛顿—莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式换元积分法分部积分法(4)无穷区间的广义积分(5)定积分的应用平面图形的面积旋转体体积物体沿直线运动时变力所作的功要求(1)理解定积分的概念及其几何意义，了解函数可积的条件。

(2)掌握定积分的基本性质。

(3)理解变上限积分是变上限的函数，掌握对变上限定积分求导数的方法。

(4)熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式。

(5)掌握定积分的换元积分法与分部积分法。

(6)理解无穷区间的广义积分的概念，掌握其计算方法。

(7)掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体体积。

会用定积分求沿直线运动时变力所作的功。

四、向量代数与空间解析几何(一)向量代数知识范围(1)向量的概念向量的定义向量的模单位向量向量在坐标轴上的投影向量的坐标表示法向量的方向余弦(2)向量的线性运算向量的加法向量的减法向量的数乘(3)向量的数量积二向量的夹角二向量垂直的充分必要条件(4)二向量的向量积二向量平行的充分必要条件要求(1)理解向量的概念，掌握向量的坐标表示法，会求单位向量、方向余弦、向量在坐标轴上的投影。

(2)熟练掌握向量的线性运算、向量的数量积与向量积的计算方法。

高考文科数学总复习知识点

高考文科数学总复习知识点高三文科数学总复集合：集合的元素具有确定性、互异性和无序性特征。

常用的数集包括自然数集（或非负整数集）记为N，正整数集记为N或N+，整数集记为Z，实数集记为R，有理数集记为Q。

集合还有重要的等价关系，即A∩B=A当且仅当A∪B=B当且仅当A是B的子集。

一个由n个元素组成的集合有2个不同的子集，其中有2n-1个非空子集，也有2n-1个真子集。

函数：函数单调性的证明可以通过取值、作差、变形、定号和得出结论等步骤完成。

常用的结论包括：若f(x)为增（减）函数，则-f(x)为减（增）函数；增+增=增，减+减=减；复合函数的单调性是“同增异减”；奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。

函数的奇偶性定义为f(-x)=f(x)时为偶函数，f(-x)=-f(x)时为奇函数。

需要注意的是，函数为奇偶函数的前提是定义域在数轴上关于原点对称；奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称；若奇函数f(x)在x=0处有意义，则f(0)=0.基本初等函数：指数函数的一般形式为x=a^n，其中n>1且n为自然数。

负数没有偶次方根，任何次方根都是正数，当n是奇数时，a^n=a，当n是偶数时，a^n=|a|。

对数的定义为若a=N，则b=log_a N，其中a为对数的底数，b为以a为底的N的对数，N为真数。

需要注意的是，负数和零没有对数，log_a 1=0且log_a a=1（a>0且a≠1）。

对数的运算法则包括log_a (MN)=log_a M+log_a N，log_a (M/N)=log_a M-log_a N，log_a M^n=nlog_a M，换底公式为log_a b=log_c b/log_c a。

指数函数和对数函数是互逆的，即a^log_a N=N。

b=(a。

a≠1,c。

c≠1,b>)，利用换底公式推导以下结论：logc a = 1n(1) loga bn = loga b (2) loga b = logb am改写为：假设b=(a。

高考文科数学重要考点大全

高考文科数学重要考点大全高考文科数学相对比理科数学而言会简单许多，想必很多人都想知道高考文科数学的核心知识点。

接下来是小编为大家整理的高考文科数学重要考点大全，希望大家喜欢!高考文科数学重要考点大全一考点一：集合与简易逻辑集合部分一般以选择题出现，属容易题。

重点考查集合间关系的理解和认识。

近年的试题加强了对集合计算化简能力的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力。

在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，并注重集合表示方法的转换与化简。

简易逻辑考查有两种形式：一是在选择题和填空题中直接考查命题及其关系、逻辑联结词、“充要关系”、命题真伪的判断、全称命题和特称命题的否定等,二是在解答题中深层次考查常用逻辑用语表达数学解题过程和逻辑推理。

考点二：函数与导数函数是高考的重点内容，以选择题和填空题的为载体针对性考查函数的定义域与值域、函数的性质、函数与方程、基本初等函数(一次和二次函数、指数、对数、幂函数)的应用等，分值约为10分，解答题与导数交汇在一起考查函数的性质。

导数部分一方面考查导数的运算与导数的几何意义，另一方面考查导数的简单应用，如求函数的单调区间、极值与最值等，通常以客观题的形式出现，属于容易题和中档题，三是导数的综合应用，主要是和函数、不等式、方程等联系在一起以解答题的形式出现，如一些不等式恒成立问题、参数的取值范围问题、方程根的个数问题、不等式的证明等问题。

考点三：三角函数与平面向量一般是2道小题，1道综合解答题。

小题一道考查平面向量有关概念及运算等，另一道对三角知识点的补充。

大题中如果没有涉及正弦定理、余弦定理的应用，可能就是一道和解答题相互补充的三角函数的图像、性质或三角恒等变换的题目，也可能是考查平面向量为主的试题，要注意数形结合思想在解题中的应用。

向量重点考查平面向量数量积的概念及应用，向量与直线、圆锥曲线、数列、不等式、三角函数等结合，解决角度、垂直、共线等问题是“新热点”题型.考点四：数列与不等式不等式主要考查一元二次不等式的解法、一元二次不等式组和简单线性规划问题、基本不等式的应用等，通常会在小题中设置1到2道题。

高考文科数学复习专题-极坐标与参数方程

1．曲线的极坐标方程．(1)极坐标系：一般地，在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O 称为极点，射线Ox称为极轴．(2)极坐标(ρ，θ)的含义：设M是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角．那么，有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．明显，每一个有序实数对(ρ，θ)，确定一个点的位置．其中ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．极坐标系和直角坐标系的最大区分在于：在直角坐标系中，平面上的点与有序数对之间的对应关系是一一对应的，而在极坐标系中，对于给定的有序数对(ρ，θ)，可以确定平面上的一点，但是平面内的一点的极坐标却不是唯一的．(3)曲线的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，假如平面曲线C上的随意一点的极坐标满意方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．2．直线的极坐标方程．(1)过极点且与极轴成φ0角的直线方程是θ＝φ0和θ＝π－φ0，如下图所示．(2)与极轴垂直且与极轴交于点(a，0)的直线的极坐标方程是ρcos θ＝a，如下图所示．(3)与极轴平行且在x轴的上方，与x轴的距离为a的直线的极坐标方程为ρsin θ＝a，如下图所示．3．圆的极坐标方程．(1)以极点为圆心，半径为r的圆的方程为ρ＝r，如图1所示．(2)圆心在极轴上且过极点，半径为r的圆的方程为ρ＝2rcos_θ，如图2所示．(3)圆心在过极点且与极轴成π2的射线上，过极点且半径为r的圆的方程为ρ2rsin_θ，如图3所示．4．极坐标与直角坐标的互化．若极点在原点且极轴为x 轴的正半轴，则平面内随意一点M 的极坐标M(ρ，θ)化为平面直角坐标M(x ，y)的公式如下：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或者ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝y x ，其中要结合点所在的象限确定角θ的值．1．曲线的参数方程的定义．在平面直角坐标系中，假如曲线上随意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ），并且对于t 的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x ，y)都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x ，y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数．2．常见曲线的参数方程．(1)过定点P(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋tcos α，y ＝y 0＋tsin α(t 为参数)，其中参数t 是以定点P(x 0，y 0)为起点，点M(x ，y)为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．依据t 的几何意义，有以下结论：①设A ，B 是直线上随意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则|AB|＝|t B －t A |＝（t B ＋t A ）2－4t A ·t B ；②线段AB 的中点所对应的参数值等于t A ＋t B2.(2)中心在P(x 0，y 0)，半径等于r 的圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋rcos θ，y ＝y 0＋rsin θ(θ为参数) (3)中心在原点，焦点在x 轴(或y 轴)上的椭圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos θ，y ＝bsin θ(θ为参数)⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝bcos θ，y ＝asin θ. 中心在点P(x 0，y 0)，焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋acos α，y ＝y 0＋bsin α(α为参数)．(4)中心在原点，焦点在x 轴(或y 轴)上的双曲线：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝asec θ，y ＝btan θ(θ为参数)⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝btan θ，y ＝asec θ. (5)顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上的抛物线：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p ，y ＝2p(t 为参数，p>0)．注：sec θ＝1cos θ.3．参数方程化为一般方程．由参数方程化为一般方程就是要消去参数，消参数时经常采纳代入消元法、加减消元法、乘除消元法、三角代换法，消参数时要留意参数的取值范围对x ，y 的限制．1．已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，5π3，则点A 的直角坐标是(2，－23)．2．把点P 的直角坐标(6，－2)化为极坐标，结果为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－π6．3．曲线的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4．4．以极坐标系中的点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π6为圆心、1为半径的圆的极坐标方程是ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6．5．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的右顶点，则常数a 的值为3．解析：由直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a ，得y ＝x －a.由椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ，得x 29＝y24＝1.所以椭圆C 的右顶点为(3，0)．因为直线l 过椭圆的右顶点，所以0＝3－a ，即a ＝3.一、选择题1．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1，－3)．若以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是(C )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3D.⎝⎛⎭⎪⎫2，－4π3 2．若圆的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，直线的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －1(t 为参数)，则直线与圆的位置关系是(B )A ．相离B ．相交C ．相切D ．不能确定3．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cosθ，则直线l 被圆C 截得的弦长为(D )A.14 B ．214 C. 2 D ．2 2解析：由题意可得直线和圆的方程分别为x －y －4＝0，x 2＋y 2＝4x ，所以圆心C(2，0)，半径r ＝2，圆心(2，0)到直线l 的距离d ＝2，由半径，圆心距，半弦长构成直角三角形，解得弦长为2 2.4．已知动直线l 平分圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1，则直线l 与圆O ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的位置关系是(A )A ．相交B ．相切C ．相离D ．过圆心解析：动直线l 平分圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1，即圆心(2，1)在直线l 上，又圆O ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ的一般方程为x 2＋y 2＝9且22＋12<9，故点(2，1)在圆O 内，则直线l 与圆O 的位置关系是相交．二、填空题5．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧y ＝sin θ－2，x ＝cos θ(θ是参数)，若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，则曲线C 的极坐标方程可写为ρ2＋4ρsin_θ＋3＝0．解析：在平面直角坐标系xOy 中，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝sin θ－2，x ＝cos θ(θ是参数)，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2＝sin θ，x ＝cos θ.依据sin 2θ＋cos 2θ＝1，可得x 2＋(y ＋2)2＝1，即x 2＋y 2＋4y ＋3＝0.∴曲线C 的极坐标方程为ρ2＋4ρsin θ＋3＝0.6．在平面直角坐标系中圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C 的圆心的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π2．三、解答题7．求极点到直线2ρ＝1sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4(ρ∈R)的距离．解析：由2ρ＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4⇒ρsin θ＋ρcos θ＝1⇒x ＋y ＝1，故d ＝|0＋0－1|12＋12＝22. 8．极坐标系中，A 为曲线ρ2＋2ρcos θ－3＝0上的动点，B 为直线ρcos θ＋ρsin θ－7＝0上的动点，求|AB|的最小值．9．(2015·大连模拟)曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，将曲线C 1上全部点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的3倍，得到曲线C 2.以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：ρ(cos θ－2sin θ)＝6.(1)求曲线C 2和直线l 的一般方程；(2)P 为曲线C 2上随意一点，求点P 到直线l 的距离的最值．解析：(1)由题意可得C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，即C 2：x 24＋y23＝1，直线l ：ρ(cos θ－2sin θ)＝6化为直角坐标方程为x －2y －6＝0.(2)设点P(2cos θ，3sin θ)，由点到直线的距离公式得点P 到直线l 的距离为 d ＝|2cos θ－23sin θ－6|5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ－12cos θ5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6＋4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π65＝55⎣⎢⎡⎦⎥⎤6＋4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6. 所以255≤d ≤25，故点P 到直线l 的距离的最大值为25，最小值为255.10．已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l经过定点P(3，5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程．(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|PA|·|PB|的值．解析：(1)由曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，得一般方程为(x －1)2＋(y －2)2＝16，即x 2＋y 2－2x －4y ＝11＝0.直线l 经过定点P(3，5)，倾斜角为π3，直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝5＋32t (t 是参数)．(2)将直线的参数方程代入x 2＋y 2－2x －4y －11＝0，整理，得t 2＋(2＋33)t －3＝0，设方程的两根分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝－3，因为直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，所以|PA|·|PB|＝|t 1t 2|＝3.。

高考文科数学知识点

高考文科数学知识点【导语】在高考复习进程中，文科的学生要怎样做好数学知识点的复习准备呢？下面是作者收集整理的高考文科数学知识点以供大家学习。

高考文科数学知识点：导数一、综述导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。

在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面：1.导数的常规问题：(1)刻画函数(比初等方法精确细微);(2)同几何中切线联系(导数方法可用于研究平面曲线的切线);(3)运用问题(初等方法常常技能性要求较高，而导数方法显得简便)等关于次多项式的导数问题属于较难类型。

2.关于函数特点，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。

3.导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引发注意。

二、知识整合1.导数概念的知道。

2.利用导数判别可导函数的极值的方法及求一些实际问题的值与最小值。

复合函数的求导法则是微积分中的重点与难点内容。

课本中先通过实例，引出复合函数的求导法则，接下来对法则进行了证明。

3.要能正确求导，必须做到以下两点：(1)熟练掌控各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法则，复合函数的求导法则。

(2)对于一个复合函数，一定要理清中间的复合关系，弄清各分解函数中应对哪个变量求导。

高考文科数学知识点：不等式不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的运用。

因此不等式运用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，对数学各部分知识融会贯通，起到了很好的增进作用。

在解决问题时，要根据题设与结论的结构特点、内在联系、挑选适当的解决方案，终究归结为不等式的求解或证明。

不等式的运用范畴十分广泛，它始终贯串在全部中学数学当中。

诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的肯定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，终究都可归结为不等式的求解或证明。

人教版高考数学(文科)题型复习：导数

导数及其应用导数复习概念及其应用一、定义及意义1. 定义及概念: 0()f x '=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆2. 导数的意义，①物理意义：瞬时速率，变化率 ②几何意义：切线斜率000()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-③代数意义：函数增减速率二、导数的计算1.基本初等函数的导数公式 ① （c 为常数），即常数的导数等于0。

②③；④； ⑤；2.导数的运算法则①[()()]()()f x g x f x g x '''±=±②[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''•=•+•③2()()()()()[]()[()]f x f xg x f x g x g x g x ''•-•'= 3.复合函数求导()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=•三、导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性一般的，在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>（等于），那么函数()y f x =在这个区间单调递增；如果()0f x '<（等于），那么函数()y f x =在这个区间单调递减；如果恒有，则在这一区间上为常函数。

(单调增或单调减区间内，可以存在'()=0f x )2.函数的极值与导数极值：设函数在点附近（区间）有定义，如果对附近的所有点，都有，则说是函数的一个极大值，记作；如果对附近的所有点，都有，则说是函数的一个极小值，记作。

设函数可导，且在点处连续，判定是极大（小）值的方法是：（Ⅰ）如果在点附近的左侧，右侧，则为极大值；（Ⅱ）如果在点附近的左侧，右侧，则为极小值；注意：导数为0的不一定是极值点，如；函数y=f(x)在一点的导数值为0是函数y=f(x)在这点取极值的既不充分又不必要条件；3．函数的最大值与最小值（最大值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最小值。

2023年高考数学(文科)一轮复习——等差数列及其前n项和

第2节等差数列及其前n 项和考试要求 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系.1.等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列. 数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数).(2)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b 2.2.等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d .(2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）d 2＝n （a 1＋a n ）2. 3.等差数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *).(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列.(4)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列.(5)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列.1.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列，且公差为p .2.在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值.3.等差数列{a n }的单调性：当d ＞0时，{a n }是递增数列；当d ＜0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列.4.数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数).1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的.( )(3)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数.( )(4)等差数列的前n 项和公式是常数项为0且关于n 的二次函数.( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)×解析 (3)若公差d ＝0，则通项公式不是n 的一次函数.(4)若公差d ＝0，则前n 项和不是n 的二次函数.2.(2022·南宁一模)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，S 3＝92，则数列{a n }的通项公式a n ＝( )A.nB.n ＋12C.2n －1D.3n －12答案 B解析设等差数列{a n }的公差为d ，则S 3＝3a 1＋3×22d ＝3＋3d ＝92，解得d ＝12，∴a n ＝1＋(n －1)×12＝n ＋12.3.(2021·宝鸡二模)已知{a n }是等差数列，满足3(a 1＋a 5)＋2(a 3＋a 6＋a 9)＝18，则该数列的前8项和为( )A.36B.24C.16D.12答案 D解析由等差数列性质可得a 1＋a 5＝2a 3，a 3＋a 6＋a 9＝3a 6，所以3×2a 3＋2×3a 6＝18，即a 3＋a 6＝3，所以S 8＝8（a 1＋a 8）2＝8（a 3＋a 6）2＝12. 4.在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＝5，a 3＋a 4＝15，则a 5＋a 6＝( )A.10B.20C.25D.30答案 C解析等差数列{a n }中，每相邻2项的和仍然构成等差数列，设其公差为d ，若a 1＋a 2＝5，a 3＋a 4＝15，则d ＝15－5＝10，因此a 5＋a 6＝(a 3＋a 4)＋d ＝15＋10＝25.5.一物体从1 960 m 的高空降落，如果第1秒降落4.90 m ，以后每秒比前一秒多降落9.80 m ，那么经过________秒落到地面.答案 20解析设物体经过t 秒降落到地面.物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公差为9.80的等差数列.所以4.90t ＋12t (t －1)×9.80＝1 960，即4.90t 2＝1 960，解得t ＝20.6.(易错题)在等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d ＜0，则使数列{a n }的前n 项和S n 取最大值的正整数n 的值是________.答案 5或6解析 ∵|a 3|＝|a 9|，∴|a 1＋2d |＝|a 1＋8d |，可得a 1＝－5d ，∴a 6＝a 1＋5d ＝0，且a 1＞0，∴a 5＞0，故S n 取最大值时n 的值为5或6.考点一等差数列的基本运算1.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 4＝0，a 5＝5，则( )A.a n ＝2n －5B.a n ＝3n －10C.S n ＝2n 2－8nD.S n ＝12n 2－2n答案 A解析设首项为a 1，公差为d .由S 4＝0，a 5＝5可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，4a 1＋6d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2.所以a n ＝－3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝n ×(－3)＋n （n －1）2×2＝n 2－4n . 2.(2022·太原调研)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 8＝a 8＝8，则公差d ＝( )A.14B.12C.1D.2 答案 D解析 ∵S 8＝a 8＝8，∴a 1＋a 2＋…＋a 8＝a 8，∴S 7＝7a 4＝0，则a 4＝0.∴d ＝a 8－a 48－4＝2. 3.(2020·全国Ⅱ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 1＝－2，a 2＋a 6＝2，则S 10＝________.答案 25解析设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2＋a 6＝2a 1＋6d ＝2×(－2)＋6d ＝2.解得d ＝1.所以S 10＝10×(－2)＋10×92×1＝25.4.(2019·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 9＝－a5.(1)若 a 3＝4，求{a n }的通项公式；(2)若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围.解 (1)设{a n }的公差为d .由S 9＝－a 5可知9a 5＝－a 5，所以a 5＝0.因为a 3＝4，所以d ＝a 5－a 32＝0－42＝－2，所以a n ＝a 3＋(n －3)×(－2)＝10－2n ，因此{a n }的通项公式为a n ＝10－2n .(2)由(1)得a 5＝0，因为a 1>0，所以等差数列{a n }单调递减，即d <0，a 1＝a 5－4d ＝－4d ，S n ＝n （n －9）d 2， a n ＝－4d ＋d (n －1)＝dn －5d ，因为S n ≥a n ，所以nd （n －9）2≥dn －5d ，又因为d <0，所以1≤n ≤10.感悟提升 1.等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.2.数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.考点二等差数列的判定与证明例1 (2021·全国甲卷)已知数列{a n }的各项均为正数，记S n 为{a n }的前n 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①数列{a n }是等差数列；②数列{S n }是等差数列；③a 2＝3a 1.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.解 ①③⇒②.已知{a n }是等差数列，a 2＝3a 1.设数列{a n }的公差为d ，则a 2＝3a 1＝a 1＋d ，得d ＝2a 1，所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n 2a 1. 因为数列{a n }的各项均为正数，所以S n ＝n a 1，所以S n ＋1－S n ＝(n ＋1)a 1－n a 1＝a 1(常数)，所以数列{S n }是等差数列. ①②⇒③.已知{a n }是等差数列，{S n }是等差数列.设数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝12n 2d ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n . 因为数列{S n }是等差数列，所以数列{S n }的通项公式是关于n 的一次函数，则a1－d2＝0，即d＝2a1，所以a2＝a1＋d＝3a1.②③⇒①.已知数列{S n}是等差数列，a2＝3a1，所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1.设数列{S n}的公差为d，d＞0，则S2－S1＝4a1－a1＝d，得a1＝d2，所以S n＝S1＋(n －1)d＝nd，所以S n＝n2d2，所以n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2，对n＝1也适合，所以a n＝2d2n－d2，所以a n＋1－a n＝2d2(n＋1)－d2－(2d2n－d2)＝2d2(常数)，所以数列{a n}是等差数列.感悟提升 1.证明数列是等差数列的主要方法：(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证a n－a n－1为同一常数.即作差法，将关于a n－1的a n代入a n－a n－1，再化简得到定值.(2)等差中项法：验证2a n－1＝a n＋a n－2(n≥3，n∈N*)都成立.2.判定一个数列是等差数列还常用到的结论：(1)通项公式：a n＝pn＋q(p，q为常数)⇔{a n}是等差数列.(2)前n项和公式：S n＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{a n}是等差数列.问题的最终判定还是利用定义.训练1 (2021·全国乙卷)设S n为数列{a n}的前n项和，b n为数列{S n}的前n项积，已知2S n＋1b n＝2.(1)证明：数列{b n}是等差数列；(2)求{a n}的通项公式.(1)证明因为b n是数列{S n}的前n项积，所以n ≥2时，S n ＝b n b n －1，代入2S n ＋1b n ＝2可得，2b n －1b n ＋1b n＝2，整理可得2b n －1＋1＝2b n ，即b n －b n －1＝12(n ≥2).又2S 1＋1b 1＝3b 1＝2，所以b 1＝32，故{b n }是以32为首项，12为公差的等差数列.(2)解由(1)可知，b n ＝32＋12(n －1)＝n ＋22，则2S n ＋2n ＋2＝2，所以S n ＝n ＋2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝32，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n ＋2n ＋1－n ＋1n ＝－1n （n ＋1）. 故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧32，n ＝1，－1n （n ＋1），n ≥2. 考点三等差数列的性质及应用角度1 等差数列项的性质例2 (1)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且4＋a 5＝a 6＋a 4，则S 9等于( )A.72B.36C.18D.9 (2)在等差数列{a n }中，若a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( )A.10B.20C.40D.2＋log 25答案 (1)B (2)B解析 (1)∵a 6＋a 4＝2a 5，∴a 5＝4，∴S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9a 5＝36. (2)由等差数列的性质知a 1＋a 10＝a 2＋a 9＝a 3＋a 8＝a 4＋a 7＝a 5＋a 6＝a 4，则2a 1···2a 10＝2a 1＋a 2＋…＋a 10＝25(a 5＋a 6)＝25×4，所以log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝log 225×4＝20. 角度2 等差数列前n 项和的性质例3 (1)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 5＝7，S 10＝21，则S 15等于( )A.35B.42C.49D.63(2)(2020·全国Ⅱ卷)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块.向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )A.3 699块B.3 474块C.3 402块D.3 339块答案 (1)B (2)C解析 (1)在等差数列{a n }中，S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等差数列，即7，14，S 15－21成等差数列，所以7＋(S 15－21)＝2×14，解得S 15＝42.(2)设每一层有n 环，由题可知从内到外每环之间构成公差d ＝9，a 1＝9的等差数列.由等差数列的性质知S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列，且(S 3n －S 2n )－(S 2n －S n )＝n 2d ，则9n 2＝729，得n ＝9，则三层共有扇面形石板S 3n ＝S 27＝27×9＋27×262×9＝3 402(块).角度3 等差数列前n 项和的最值例4 等差数列{a n }中，设S n 为其前n 项和，且a 1＞0，S 3＝S 11，则当n 为多少时，S n 最大？解法一设公差为d .由S 3＝S 11，可得3a 1＋3×22d ＝11a 1＋11×102d ，即d ＝－213a 1.从而S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ＝－a 113(n －7)2＋4913a 1，因为a 1＞0，所以－a 113＜0.故当n ＝7时，S n 最大.法二易知S n ＝An 2＋Bn 是关于n 的二次函数，由S 3＝S 11，可知S n ＝An 2＋Bn 的图象关于直线n ＝3＋112＝7对称. 由解法一可知A ＝－a 113＜0，故当n ＝7时，S n 最大.法三设公差为d .由解法一可知d ＝－213a 1.要使S n 最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋（n －1）⎝ ⎛⎭⎪⎫－213a 1≥0，a 1＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－213a 1≤0，解得6.5≤n ≤7.5，故当n ＝7时，S n 最大.法四设公差为d .由S 3＝S 11，可得2a 1＋13d ＝0，即(a 1＋6d )＋(a 1＋7d )＝0，故a 7＋a 8＝0，又由a 1＞0，S 3＝S 11可知d ＜0，所以a 7＞0，a 8＜0，所以当n ＝7时，S n 最大.感悟提升 1.项的性质：在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .2.和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则(1)S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)；(2)S 2n －1＝(2n －1)a n .(3)依次k 项和成等差数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等差数列.3.求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；(2)利用公差不为零的等差数列的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数，A ≠0)为二次函数，通过二次函数的性质求最值.训练2 (1)(2021·洛阳质检)记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 17＝272，则a 3＋a 9＋a 15＝( )A.24B.36C.48D.64(2)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 020，S 2 0202 020－S 2 0142 014＝6，则S 2 023等于( )A.2 023B.－2 023C.4 046D.－4 046(3)设等差数列{a n }满足a 1＝1，a n ＞0(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，若数列{S n }也为等差数列，则S n ＋10a 2n的最大值是________. 答案 (1)C (2)C (3)121解析 (1)因为数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，所以S 17＝272＝a 1＋a 172×17＝2a 92×17＝17a 9，∴a 9＝16，所以a 3＋a 9＋a 15＝3a 9＝48.(2)∵⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列，设公差为d ′，则S 2 020 2 020－S 2 0142 014＝6d ′＝6，∴d ′＝1，首项为S 11＝－2 020，∴S 2 0232 023＝－2 020＋(2 023－1)×1＝2，∴S 2 023＝2 023×2＝4 046，故选C.(3)设数列{a n }的公差为d ，依题意得2S 2＝S 1＋S 3，∴22a 1＋d ＝a 1＋3a 1＋3d ，把a 1＝1代入求得d ＝2，∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，S n ＝n ＋n （n －1）2×2＝n 2，∴S n ＋10a 2n ＝（n ＋10）2（2n －1）2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫n ＋102n －12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（2n －1）＋2122n －12＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋212n －12≤121.∴S n ＋10a 2n 的最大值是121.1.在等差数列{a n }中，3a 5＝2a 7，则此数列中一定为0的是() A.a 1 B.a 3 C.a 8 D.a 10答案 A解析设{a n }的公差为d (d ≠0)，∵3a 5＝2a 7，∴3(a 1＋4d )＝2(a 1＋6d )，得a 1＝0.2.(2021·重庆二模)已知公差不为0的等差数列{a n }中，a 2＋a 4＝a 6，a 9＝a 26，则a 10＝( )A.52B.5C.10D.40答案 A解析设公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＋a 1＋3d ＝a 1＋5d ，a 1＋8d ＝（a 1＋5d ）2，由于d ≠0，故a 1＝d ＝14，所以a 10＝14＋14×9＝52.3.已知数列{a n }满足5an ＋1＝25·5an ，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝() A.－3 B.3 C.－13 D.13答案 A解析数列{a n }满足5an ＋1＝25·5an ，∴a n ＋1＝a n ＋2，即a n ＋1－a n ＝2，∴数列{a n }是等差数列，公差为2.∵a 2＋a 4＋a 6＝9，∴3a 4＝9，a 4＝3.∴a 1＋3×2＝3，解得a 1＝－3.∴a 5＋a 7＋a 9＝3a 7＝3×(－3＋6×2)＝27，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 1333＝－3.故选A.4.(2022·太原一模)在数列{a n }中，a 1＝3，a m ＋n ＝a m ＋a n (m ，n ∈N *)，若a 1＋a 2＋a 3＋…＋a k ＝135，则k ＝( )A.10B.9C.8D.7 答案 B解析令m ＝1，由a m ＋n ＝a m ＋a n 可得a n ＋1＝a 1＋a n ，所以a n ＋1－a n ＝3，所以{a n }是首项为a 1＝3，公差为3的等差数列，a n ＝3＋3(n －1)＝3n ，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a k ＝k （a 1＋a k ）2＝k （3＋3k ）2＝135. 整理可得k 2＋k －90＝0，解得k ＝9或k ＝－10(舍).5.程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为( )A.65B.176C.183D.184答案 D解析根据题意可知每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列{a n }，其中d ＝17，n ＝8，S 8＝996.由等差数列前n 项和公式可得8a 1＋8×72×17＝996，解得a 1＝65.由等差数列通项公式得a 8＝65＋(8－1)×17＝184.则第八个孩子分得斤数为184.6.(2021·全国大联考)在等差数列{a n }中，若a 10a 9<－1，且它的前n 项和S n 有最大值，则使S n >0成立的正整数n 的最大值是( )A.15B.16C.17D.14答案 C解析 ∵等差数列{a n }的前n 项和有最大值，∴等差数列{a n }为递减数列，又a 10a 9<－1，∴a 9>0，a 10<0， ∴a 9＋a 10<0，又S 18＝18（a 1＋a 18）2＝9(a 9＋a 10)<0，且S 17＝17（a 1＋a 17）2＝17a 9>0. 故使得S n >0成立的正整数n 的最大值为17.7.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 6＝1，S 12＝4，则S 18＝________. 答案 9解析在等差数列中，S 6，S 12－S 6，S 18－S 12成等差数列，∵S 6＝1，S 12＝4，∴1，3，S 18－4成公差为2的等差数列，即S 18－4＝5，S 18＝9.8.等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7等于________. 答案 3727解析 a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝a 1＋a 132×13b 1＋b 132×13＝S 13T 13＝3×13－22×13＋1＝3727. 9.(2021·西安一模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 1＝32，a 2＝2，2(S n ＋2＋S n )＝4S n ＋1＋1，则数列{a n }的前16项和S 16＝________.答案 84解析将2(S n ＋2＋S n )＝4S n ＋1＋1变形为(S n ＋2－S n ＋1)－(S n ＋1－S n )＝12，即a n ＋2－a n＋1＝12，又a 1＝32，a 2＝2，∴a 2－a 1＝12符合上式，∴{a n }是首项a 1＝32，公差d ＝12的等差数列，∴S 16＝16×32＋16×152×12＝84.10.已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2a 4＝65，a 1＋a 5＝18.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在常数k ，使得数列{S n ＋kn }为等差数列？若存在，求出常数k ；若不存在，请说明理由.解 (1)设公差为d .∵{a n }为等差数列，∴a 1＋a 5＝a 2＋a 4＝18，又a 2a 4＝65，∴a 2，a 4是方程x 2－18x ＋65＝0的两个根，又公差d ＞0，∴a 2＜a 4，∴a 2＝5，a 4＝13.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝5，a 1＋3d ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4，∴a n ＝4n －3. (2)由(1)知，S n ＝n ＋n （n －1）2×4＝2n 2－n ，假设存在常数k ，使数列{S n ＋kn }为等差数列. 由S 1＋k ＋S 3＋3k ＝2S 2＋2k ，得1＋k ＋15＋3k ＝26＋2k ，解得k ＝1. ∴S n ＋kn ＝2n 2＝2n ，当n ≥2时，2n －2(n －1)＝2，为常数，∴数列{S n ＋kn }为等差数列.故存在常数k ＝1，使得数列{S n ＋kn }为等差数列. 11.设数列{a n }的各项都为正数，其前n 项和为S n ，已知对任意n ∈N *，S n 是a 2n 和a n 的等差中项.(1)证明：数列{a n }为等差数列；(2)若b n ＝－n ＋5，求{a n ·b n }的最大项的值并求出取最大值时n 的值.(1)证明由已知可得2S n ＝a 2n ＋a n ，且a n >0，当n ＝1时，2a 1＝a 21＋a 1，解得a 1＝1.当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋a n －1，所以2a n ＝2S n －2S n －1＝a 2n －a 2n －1＋a n －a n －1，所以a 2n －a 2n －1＝a n ＋a n －1，即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)＝a n ＋a n －1，因为a n ＋a n －1>0，所以a n －a n －1＝1(n ≥2).故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列.(2)解由(1)可知a n ＝n ，设c n ＝a n ·b n ，则c n ＝n (－n ＋5)＝－n 2＋5n＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522＋254，因为n ∈N *，所以n ＝2或3，c 2＝c 3＝6，因此当n ＝2或n ＝3时，{a n ·b n }取最大项，且最大项的值为6.12.(2020·新高考山东卷)将数列{2n －1}与{3n －2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为__________.答案 3n 2－2n解析法一(观察归纳法) 数列{}2n －1的各项为1，3，5，7，9，11，13，…；数列{3n －2}的各项为1，4，7，10，13，….现观察归纳可知，两个数列的公共项为1，7，13，…，是首项为1，公差为6的等差数列，则a n ＝1＋6(n －1)＝6n －5.故其前n 项和为S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n （1＋6n －5）2＝3n 2－2n . 法二(引入参变量法) 令b n ＝2n －1，c m ＝3m －2，b n ＝c m ，则2n －1＝3m －2，即3m ＝2n ＋1，m 必为奇数.令m ＝2t －1，则n ＝3t －2(t ＝1，2，3，…).a t ＝b 3t －2＝c 2t －1＝6t －5，即a n ＝6n －5.以下同法一.13.(2022·衡水模拟)已知在数列{a n }中，a 6＝11，且na n －(n －1)a n ＋1＝1，则a n ＝______；a 2n ＋143n 的最小值为________.答案 2n －1 44解析 na n －(n －1)a n ＋1＝1，∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＋2＝1，两式相减得na n －2na n ＋1＋na n ＋2＝0，∴a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1，∴数列{a n }为等差数列.当n ＝1时，由na n －(n －1)a n ＋1＝1得a 1＝1，由a 6＝11，得公差d ＝2，∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴a 2n ＋143n ＝（2n －1）2＋143n＝4n ＋144n －4≥24n ·144n －4＝44，当且仅当4n ＝144n ，即n ＝6时等号成立.14.等差数列{a n }中，公差d ＜0，a 2＋a 6＝－8，a 3a 5＝7.(1)求{a n }的通项公式；(2)记T n 为数列{b n }前n 项的和，其中b n ＝|a n |，n ∈N *，若T n ≥1 464，求n 的最小值.解 (1)∵等差数列{a n }中，公差d ＜0，a 2＋a 6＝－8， ∴a 2＋a 6＝a 3＋a 5＝－8，又∵a 3a 5＝7，∴a 3，a 5是一元二次方程x 2＋8x ＋7＝0的两个根，且a 3＞a 5，解方程x 2＋8x ＋7＝0，得a 3＝－1，a 5＝－7，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝－1，a 1＋4d ＝－7，解得a 1＝5，d ＝－3. ∴a n ＝5＋(n －1)×(－3)＝－3n ＋8.(2)由(1)知{a n }的前n 项和S n ＝5n ＋n （n －1）2×(－3)＝－32n 2＋132n . ∵b n ＝|a n |，∴b 1＝5，b 2＝2，b 3＝|－1|＝1，b 4＝|－4|＝4，当n ≥3时，b n ＝|a n |＝3n －8.当n ＜3时，T 1＝5，T 2＝7；当n ≥3时，T n ＝－S n ＋2S 2＝3n 22－13n 2＋14.∵T n ≥1 464，∴T n ＝3n 22－13n 2＋14≥1 464，即(3n－100)(n＋29)≥0，解得n≥100，3∴n的最小值为34.。

高考数学(文科)总复习 9.4 双曲线及其性质

- a,设AB的中点为M(x0,y0),则kOM= b
y0= 2 y0 =
x0 2x0
y1 y2 =-
x1 x2
23,又知kAB=-1,∴-
3 2
×(-1)=- a ,∴ a =- 3 ,故选A. bb2
答案 A
方法技巧
方法1 求双曲线的标准方程的方法
1.定义法:由题目条件判断出动点轨迹是双曲线,由双曲线的定义确定 2a,2c,然后确定a2,b2的值,再结合焦点位置写出双曲线方程. 2.待定系数法:根据双曲线焦点的位置设出相应形式的标准方程,然后根据条件列出关于a,b的方程组,解出a,b,从而写出双曲线的标准方程.
考点清单
考点一双曲线的定义及其标准方程
考向基础 1.双曲线的定义 (1)双曲线的定义用符号表示为 ||MF1|-|MF2||=2a,其中2a<|F1F2|. (2)当|MF1|-|MF2|=2a时,轨迹为焦点F2所对应的双曲线的一支. 当|MF1|-|MF2|=-2a时,轨迹为焦点F1所对应的双曲线的一支. 当2a=|F1F2|时,轨迹为分别以F1、F2为端点的两条射线. 当2a>|F1F2|时,动点轨迹不存在.
x2 y2
过两个已知点,则双曲线方程可设为 m + n =1(mn<0),也可设为Ax2+By2= 1(AB<0).
例1 设双曲线与椭圆 x2 + y2 =1有共同的焦点,且与椭圆相交,其中一个 27 36
交点的坐标为( 15 ,4),则此双曲线的标准方程是
.
解析解法一:椭圆 2x72 + 3y62 =1的焦点坐标是(0,±3),设双曲线方程为 ay22 -
的距离d= | 4 | ≤ 2 ,即2b2+8≥16,∴b2≥4,又知双曲线离心率e= c =

文科高考数学必背知识点--公式

文科高考数学必背知识点--公式一、高中数学诱导公式全集：常用的诱导公式有以下几组：公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosαco s(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanαsin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα(以上k∈Z)注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。

人教版高考文科数学一轮复习资料选修-不等式的证明

第2讲不等式的证明一、知识梳理 1．基本不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理2：如果a ，b 为正数，则a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理3：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n≥ na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．2．不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等．常用结论基本不等式及其推广1．a 2≥0(a ∈R )．2．(a －b )2≥0(a ，b ∈R )，其变形有a 2＋b 2≥2ab ，⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≥ab ，a 2＋b 2≥12(a ＋b )2.3．若a ，b 为正实数，则a ＋b 2≥ab .特别地，b a ＋ab ≥2.4．a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 二、教材衍化求证：3＋7<2＋ 6. 证明：3＋7<2＋6 ⇐(3＋7)2<(2＋6)2 ⇐10＋221<10＋46⇐21<26⇐21<24.故原不等式成立．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)比较法最终要判断式子的符号得出结论．( )(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论．()(3)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× 二、易错纠偏常见误区不等式放缩不当致错.已知三个互不相等的正数a ，b ，c 满足abc ＝1.试证明： a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c.证明：因为a ，b ，c >0，且互不相等，abc ＝1，所以a ＋b ＋c ＝1bc＋1ac＋1ab<1b ＋1c 2＋1a ＋1c 2＋1a ＋1b 2＝1a ＋1b ＋1c ，即a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c.用综合法、分析法证明不等式(师生共研)(2019·高考全国卷Ⅰ)已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1.证明： (1)1a ＋1b ＋1c ≤a 2＋b 2＋c 2； (2)(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.证明：(1)因为a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，又abc ＝1，故有a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ＝ab ＋bc ＋ca abc ＝1a ＋1b ＋1c.当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立．所以1a ＋1b ＋1c≤a 2＋b 2＋c 2.(2)因为a ，b ，c 为正数且abc ＝1，故有(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥33（a ＋b ）3（b ＋c ）3（a ＋c ）3 ＝3(a ＋b )(b ＋c )(a ＋c ) ≥3×(2ab )×(2bc )×(2ac )＝24.当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立．所以(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提．充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野．1．若a ，b ∈R ，ab >0，a 2＋b 2＝1.求证：a 3b ＋b 3a≥1. 证明：a 3b ＋b 3a ＝a 4＋b 4ab ＝（a 2＋b 2）2－2a 2b 2ab ＝1ab －2ab .因为a 2＋b 2＝1≥2ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以0<ab ≤12.令h (t )＝1t －2t ，0<t ≤12，则h (t )在(0，12]上递减，所以h (t )≥h (12)＝1.所以当0<ab ≤12时，1ab －2ab ≥1.所以a 3b ＋b 3a≥1.2．(一题多解)(2020·宿州市质量检测)已知不等式|2x ＋1|＋|2x －1|<4的解集为M . (1)求集合M ；(2)设实数a ∈M ，b ∉M ，证明：|ab |＋1≤|a |＋|b |.解：(1)当x <－12时，不等式化为－2x －1＋1－2x <4，即x >－1，所以－1<x <－12；当－12≤x ≤12时，不等式化为2x ＋1－2x ＋1<4，即2<4，所以－12≤x ≤12；当x >12时，不等式化为2x ＋1＋2x －1<4，即x <1，所以12<x <1.综上可知，M ＝{x |－1<x <1}．(2)法一：因为a ∈M ，b ∉M ，所以|a |<1，|b |≥1. 而|ab |＋1－(|a |＋|b |) ＝|ab |＋1－|a |－|b | ＝(|a |－1)(|b |－1)≤0，所以|ab |＋1≤|a |＋|b |. 法二：要证|ab |＋1≤|a |＋|b |，只需证|a ||b |＋1－|a |－|b |≤0，只需证(|a |－1)(|b |－1)≤0，因为a ∈M ，b ∉M ，所以|a |<1，|b |≥1，所以(|a |－1)(|b |－1)≤0成立．所以|ab |＋1≤|a |＋|b |成立．放缩法证明不等式(师生共研)若a ，b ∈R ，求证：|a ＋b |1＋|a ＋b |≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |.【证明】当|a ＋b |＝0时，不等式显然成立．当|a ＋b |≠0时，由0＜|a ＋b |≤|a |＋|b |⇒1|a ＋b |≥1|a |＋|b |，所以|a ＋b |1＋|a ＋b |＝11|a ＋b |＋1≤11＋1|a |＋|b |＝|a |＋|b |1＋|a |＋|b |＝|a |1＋|a |＋|b |＋|b |1＋|a |＋|b |≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |.在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧．常见的放缩变换有： (1)变换分式的分子和分母，如1k 2＜1k （k －1），1k 2＞1k （k ＋1），1k ＜2k ＋k －1，1k ＞2k ＋k ＋1上面不等式中k ∈N ＋，k ＞1.(2)利用函数的单调性．(3)真分数性质“若0＜a ＜b ，m ＞0，则a b ＜a ＋mb ＋m ”．[注意] 在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度．设n 是正整数，求证：12≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n<1.证明：由2n ≥n ＋k >n (k ＝1，2，…，n )，得12n ≤1n ＋k <1n .当k ＝1时，12n ≤1n ＋1<1n ；当k ＝2时，12n ≤1n ＋2<1n ；…当k ＝n 时，12n ≤1n ＋n <1n，所以12＝n 2n ≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n <n n ＝1.所以原不等式成立．反证法证明不等式(师生共研)设0<a ，b ，c <1，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不可能同时大于14.【证明】设(1－a )b >14，(1－b )c >14，(1－c )a >14，三式相乘得(1－a )b ·(1－b )c ·(1－c )a >164，①又因为0<a ，b ，c <1，所以0<(1－a )a ≤⎣⎡⎦⎤（1－a ）＋a 22＝14. 同理：(1－b )b ≤14，(1－c )c ≤14，以上三式相乘得(1－a )a ·(1－b )b ·(1－c )c ≤164，与①矛盾．所以(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不可能同时大于14.利用反证法证明问题的一般步骤(1)否定原结论．(2)从假设出发，导出矛盾． (3)证明原命题正确．已知a ＋b ＋c >0，ab ＋bc ＋ca >0，abc >0，求证：a ，b ，c >0.证明：①设a <0，因为abc >0，所以bc <0.又由a ＋b ＋c >0，则b ＋c >－a >0，所以ab ＋bc ＋ca ＝a (b ＋c )＋bc <0，与题设矛盾． ②若a ＝0，则与abc >0矛盾，所以必有a >0. 同理可证：b >0，c >0. 综上可证a ，b ，c >0.[基础题组练]1．设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，求证：1a ＋1b ≥4.证明：由3是3a 与3b 的等比中项得 3a ·3b ＝3，即a ＋b ＝1，要证原不等式成立，只需证a ＋b a ＋a ＋b b ≥4成立，即证b a ＋a b ≥2成立，因为a ＞0，b ＞0，所以b a ＋ab≥2b a ·ab＝2， (当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时，“＝”成立)，所以1a ＋1b≥4.2．求证：112＋122＋132＋…＋1n 2＜2.证明：因为1n 2＜1n （n －1）＝1n －1－1n，所以112＋122＋132＋…＋1n 2＜1＋11×2＋12×3＋13×4＋…＋1（n －1）×n＝1＋⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝2－1n ＜2. 3．(2020·蚌埠一模)已知函数f (x )＝|x |＋|x －3|. (1)解关于x 的不等式f (x )－5≥x ；(2)设m ，n ∈{y |y ＝f (x )}，试比较mn ＋4与2(m ＋n )的大小．解：(1)f (x )＝|x |＋|x －3|＝⎩⎪⎨⎪⎧3－2x ，x <0，3，0≤x ≤3，2x －3，x >3.f (x )－5≥x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x <0，3－2x ≥x ＋5或⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤3，3≥x ＋5或⎩⎪⎨⎪⎧x >3，2x －3≥x ＋5，解得x ≤－23或x ∈∅或x ≥8.所以不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，－23∪[8，＋∞)． (2)由(1)易知f (x )≥3，所以m ≥3，n ≥3.由于2(m ＋n )－(mn ＋4)＝2m －mn ＋2n －4＝(m －2)(2－n )．且m ≥3，n ≥3，所以m －2>0，2－n <0，即(m －2)(2－n )<0，所以2(m ＋n )<mn ＋4.4．(2020·开封市定位考试)已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －m |(m >1)，若f (x )>4的解集是{x |x <0或x >4}．(1)求m 的值；(2)若正实数a ，b ，c 满足1a ＋12b ＋13c ＝m3，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.解：(1)因为m >1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋m ＋1，x <1m －1，1≤x ≤m 2x －m －1，x >m ，作出函数f (x )的图象如图所示，由f (x )>4的解集及函数f (x )的图象得⎩⎪⎨⎪⎧－2×0＋m ＋1＝42×4－m －1＝4，得m ＝3.(2)由(1)知m ＝3，从而1a ＋12b ＋13c＝1，a ＋2b ＋3c ＝(1a ＋12b ＋13c )(a ＋2b ＋3c )＝3＋(a 2b ＋2b a )＋(a 3c ＋3c a )＋(2b 3c ＋3c2b )≥9，当且仅当a ＝3，b ＝32，c ＝1时“＝”成立．5．(2020·原创冲刺卷)已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|＋(x －1)2的最小值为s .(1)试求s 的值；(2)若a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝s ，求证：a 2＋b 2＋c 2≥3.解：(1)f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|＋(x －1)2≥|x ＋1|＋|2－x |≥|(x ＋1)＋(2－x )|＝3，即f (x )≥3. 当且仅当x ＝1，且(x ＋1)(2－x )≥0，即x ＝1时，等号成立，所以f (x )的最小值为3，所以s ＝3.(2)证明：由(1)知a ＋b ＋c ＝3.故a 2＋b 2＋c 2＝(a 2＋12)＋(b 2＋12)＋(c 2＋12)－3 ≥2a ＋2b ＋2c －3＝2(a ＋b ＋c )－3＝3(当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立)． 6．设不等式－2＜|x －1|－|x ＋2|＜0的解集为M ，a ，b ∈M . (1)证明：⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ＜14； (2)比较|1－4ab |与2|a －b |的大小．解：(1)证明：记f (x )＝|x －1|－|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧3，x ≤－2，－2x －1，－2＜x ≤1，－3，x ＞1，由－2＜－2x －1＜0解得－12＜x ＜12，即M ＝⎝⎛⎭⎫－12，12，所以⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ≤13|a |＋16|b |＜13×12＋16×12＝14. (2)由(1)得a 2＜14，b 2＜14，因为|1－4ab |2－4|a －b |2＝(1－8ab ＋16a 2b 2)－4(a 2－2ab ＋b 2) ＝(4a 2－1)(4b 2－1)＞0，故|1－4ab |2＞4|a －b |2，即|1－4ab |＞2|a －b |.[综合题组练]1．(2020·江西八所重点中学联考)已知不等式|ax －1|≤|x ＋3|的解集为{x |x ≥－1}． (1)求实数a 的值；(2)求12－at ＋4＋t 的最大值．解：(1)|ax －1|≤|x ＋3|的解集为{x |x ≥－1}，即(1－a 2)x 2＋(2a ＋6)x ＋8≥0的解集为{x |x ≥－1}．当1－a 2≠0时，不符合题意，舍去．当1－a 2＝0，即a ＝±1时，x ＝－1为方程(2a ＋6)x ＋8＝0的一解，经检验a ＝－1不符合题意，舍去， a ＝1符合题意．综上，a ＝1.(2)(12－t ＋4＋t )2＝16＋2（12－t ）（4＋t ）＝16＋2－t 2＋8t ＋48，当t ＝82＝4时，(12－t ＋4＋t )2有最大值，为32.又12－t ＋4＋t ≥0，所以12－t ＋4＋t 的最大值为4 2. 2．(2019·高考全国卷Ⅲ)设x ，y ，z ∈R ，且x ＋y ＋z ＝1. (1)求(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值；(2)若(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥13成立，证明：a ≤－3或a ≥－1.解：(1)由于[(x －1)＋(y ＋1)＋(z ＋1)]2＝(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2＋2[(x －1)(y ＋1)＋(y ＋1)(z ＋1)＋(z ＋1)(x －1)] ≤3[(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2]，故由已知得(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2≥43，当且仅当x ＝53，y ＝－13，z ＝－13时等号成立．所以(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值为43.(2)证明：由于[(x －2)＋(y －1)＋(z －a )]2＝(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2＋2[(x －2)(y －1)＋(y －1)(z －a )＋(z －a )(x －2)] ≤3[(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2]，故由已知得(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥（2＋a ）23，当且仅当x ＝4－a 3，y ＝1－a 3，z ＝2a －23时等号成立．因此(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2的最小值为（2＋a ）23. 由题设知（2＋a ）23≥13，解得a ≤－3或a ≥－1.。

高考数学(文科)总复习：等比数列

思考题 2 (1)已知等比数列{an}，a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3
＝8，则 an＝________．【解析】 ∵a1a2a3＝a23＝8，∴a2＝2，∴aa11＋ a3＝a3＝ 4. 5，解得aa31＝＝41，或aa31＝＝14.，当 a1＝1，a2＝2，a3＝4 时，q＝2，an＝2n－1；
题型一等比数列的基本量 {an}为等比数列，求下列各值． (1)已知 a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝12，求 n； (2)已知 a2·a8＝36，a3＋a7＝15，求公比 q； (3)已知 q＝－ 2，S8＝15(1－ 2)，求 a1； (4)已知 q>1，S3＝7，且 a1＋3，3a2，a3＋4 构成等差数列，求 an.
【解析】设数列{an}的公比为 q，则 a3，a6，a9 组成的新数列的公比为 q3.
若 a3＝4，a9＝1，则 a62＝4，a6＝±2，合题意； a3，a7，a11 组成的新数列的公比为 q4，由 a3＝4，a11＝1，得 a72 ＝4，当 a7＝2 时，q4＝12，合题意，当 a7＝－2 时，q4＝－12，不合题意，舍去．【答案】 ±2 2
(3)已知数列{an}是等比数列，且 Sm＝10，S2m＝30，则 S3m ＝________(m∈N*)．
【解析】 ∵{an}是等比数列，∴(S2m－Sm)2＝Sm·(S3m－S2m)，即 202＝10·(S3m－30)，得 S3m＝70.
【答案】 70
(4)(2019·珠海质量监测)等比数列{an}共有奇数项，所有奇数项和 S 奇＝255，所有偶数项和 S 偶＝－126，末项是 192，则首项
题型二等比数列的性质
(1)已知各项均为正数的等比数列an中，a1a2a3＝5，a7a8a9

高三文科数学复习要点

高三文科数学复习要点在中国古代把数学叫算术，又称算学，最后才改为数学。

查字典数学网为大伙儿举荐了高三文科数学复习要点，请大伙儿认真阅读，期望你喜爱。

1向考生强调：确保简单题全拿分，中档题少失分《考试说明》中要求高考数学考查中学的基础知识、差不多技能的把握程度，在考查基础知识的同时，注重考查能力。

试题设计力求情境熟、入口宽、方法多、有层次。

高考试题专门大部分是简单题与中档题，因此，学生假如基础知识不把握，那么还谈什么能力呢?因此建议：老师们一定要引导考生在最后一个学期，加强基础知识、差不多方法的巩固，保证简单题全拿分、中档题少失分。

关于难题，则要鼓舞考生切不可舍弃，第一小题要拿下，最后小题多角度地摸索努力查找恰当方法，尽可能多拿分，平常一定要养成可不能做的难题拿步骤分的适应。

2引导考生学会反思归纳，学会反思命题者出题意图《考试说明》指出，试题要注重通性通法、常规方法。

依照此，老师们要做的是：第一，引导考生反思归纳，查找通性通法常规方法。

数学需要一定的训练量，几天不练就会感受手生，但题海战术并不可取，因为题海战术会挤占反思的时刻。

因此平常在做练习模拟卷时，做完题目，除了订正，还应该反思。

《考试说明》中关于空间想象能力是如此叙述的：能依照条件作出正确的图形，依照图形想象出直观形象;能正确地分析出图形中差不多元素及其相互关系;能对图形进行分解、组合;会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质。

其次，引导考生反思命题人什么缘故出那个题，想考查什么?比如立体几何解答题什么缘故是如此出题的?显而易见，要考查空间想象能力。

因此做完立体几何解答题后，要再凝视一下，那个几何体是如何样构成的，几何元素间有哪些关系。

再比如，关于专门多考生而言，解析几何难于运算，什么缘故难?因为可不能查找与设计合理、简捷的运算途径!解析几何解答题没有过关的学生，引导他们反思下自己的运算求解能力，平常遇到运算时，不可畏难退却，认认真真地做透几个解析几何解答题，体会其中的差不多技巧，运算求解能力也就培养起来了。

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高考数学复习重点资料（文科）
借助外力攻克数学这根硬骨头
许织云表示，数学在高考中的位置、分值极为重要，可以说“高考，得数学者得天下”，数学能够学好，对升入理想大学会起到很大的作用。

对文科学生来说更是如此，因为，许多文科学生，在语文、英语等方面差别不大，而来开档次的就在数学上，在平时考试与高考中，有的数学分数甚至相差30-60分。

从以往情况来看，针对文科学生在数学学习上的特点，目前要想提高数学成绩，借助“外力”来学好数学也是很有必要的。

一是参加补习班。

这是对学校教学的有益补充，可以是一对一的家教，也可以是4-8人的小班化的补差补缺。

如果人数过多，效果就会大打折扣。

二是同学间的相互学习。

包括日常学习中所学知识的及时探讨、交流，比如学到投影画图这一新知识的时候，针对没有学会或是一知半解的内容，就可以利用课间或是其他时间即时问同学，这样可以随时随地地排疑解难，以便当天问题当天解决。

三是求助科任教师。

在每节课的学习与做作业的时候，一旦有不懂的地方，就通过当面求助与电话、短信、邮件、qq等不同方式，将学习困难与问题加以及时化解，做到不耻下问，这也是文科学生学好数学的宝贵经验。

定位要合理，注重基础知识
陈秋波表示，通过近几年来的对高考试题的研究分析发现，文
科数学考查的多是中等题型，占据总分的百分之八十之多，对于大多数的文科生来说，作好这部分题是至关重要的。

学生要加大独立解题和考场心理的模拟训练，这是可以进一步改善的地方，可大大提高整体的数学成绩。

学生要正确估计自己的数学水平和数学学习能力，确立自己切实可行的数学复习起点和数学成绩的学习目标，对高三文科中加试艺术的绝大部分同学而言，数学基础相对较差，因此，数学复习必须要狠抓基础复习。

通过复习，能运用所掌握的知识去分析问题，解决最基本的填空题和中档题，对于难题，要学会主动放弃，没有必要去浪费时间。

如果真正把基本的东西弄懂了，确保填空题(前10道)、选择题(前3题)不失分或少失分，牢牢抓住40%(试卷结构易、中、难比例为4:4:2)不放松，再根据可能，完成中档题中的容易部分，高考完全可以超过100分。

要对教材合理利用
陈秋波强调，高考考查点“万变不离教材”，许多的试题就来源于教材的例题和习题，学生们要提高对教材的重视，课本中的例题、习题是高三文科生复习的一份宝贵资源。

重做课本中的典型习题，学生可以站在全局的角度上，重新审视和总结其中所蕴含的疑难点以及解题方法和数学思想，这样可以对数学的学习有一种全新的感悟。

学生在高一高二的数学学习过程，总是存在着很多未被消化的疑难问题，这些内容一直困挠着他们的数学思维能力的发展，也影响着对数学的学习信心。

先整体把握全教材的章节，再细化具体的内容，用联想的方式，使在自己的头脑中构建知识体系，理解解题思想和知识方
法的本质联系，提高实际运用能力非常重要。

回归课本，不是要强记题型、死背结论，而是把重点放在掌握例题涵盖的知识及解题方法上，选择一些针对性极强的题目进行强化训练，这样复习才有实效。