哈工大第十四章动能定理

由 1转到 2角度时，力系作功
平面运动刚体上力系的功就等于力系 向质心简化所得的力和力偶作功之和。
基点也可以是刚体上任意一点。
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§14—2 质点和质点系的动能
一．质点的动能
1、瞬时量,与速度方向无关的正标量。
2、动能具有与功相同的量纲 dim F =ML2 T –2 单位也是J。
3、动能和动量都是表征机械运动的量。
第十四章 动能定理
引言 §14—1 力的功 §14—2 质点和质点系的动能 §14—3 动能定理 §14—4 功率·功率方程·机械效率 §14—5 势力场·势能·机械能守恒定律 §14—6 普遍定理的综合应用举例
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引言
动量定理和动量矩定理 动能定理
矢量 标量
与运动有关的物理量—动能和作用力的物理量—功之间的联 系，这是一种能量传递的规律。
中作功为 （自然形式表达式）
（矢量式）
（直角坐标表达式）
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三．合力的功 质点M 受n个力
合力 FR 的功
作用合力为
，则
即
在任一路程上，合力的功等于各分力功的代数和。
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四．常见力的功 1．重力的功 质点：重力在三轴上的投影：
质点系：
质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置重 心的高度差的乘积，而与各质点的路径无关。
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4．平面运动刚体上力系的功 取刚体的质心C为基点， 当
刚体有无限小位移时，任一力 Fi 作用点 Mi 的位移为
力 Fi 在点 Mi 的位移上所作元功为
∵ 转动位移 大小
方向
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力系全部力所作元功之和为
其中F R’为力系主矢，Mc为力系对质心的主矩。 刚体质心C由C1移到C2，同时刚体又
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(3)平面运动刚体的动能
设图形中的点P是某瞬时的瞬心，刚体 质心C。平面运动的刚体的动能为
作平面运动的刚体的动能，等于随 质心平动的动能与绕质心转动的动 能的和。
车轮在地面只滚不滑，质量分布在轮缘， 轮辐的质量不计。
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§14—3 动能定理
1．质点的动能定理
∴质点动能定理的微分形式
质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。
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质点动能定理的积分形式
在质点运动的某个过程中，质点动能的改变量等于作用于 质点的力作的功。
力作正功 W>0 力作负功 W<0
质点动能增加； 质点动能减小。
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2．质点系的动能定理 对质点系中的一质点 mi ： 对整个质点系，有
质点系动能定理的微分形式
能量法不仅在机械运动的研究中有重要的应用，而且是沟通 机械运动和其它形式运动的桥梁。
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§14—1 力的功
力的功是力沿路程累积效应的度量。 一．常力的功
力的功是代数量。
时,正功；
时,功为零；
单位：焦耳（Ｊ）；
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时,负功。
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二．变力的功
元功：在一无限小位移中力作的功。
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力 F 在曲线路程
当弹簧伸长时 r＞ l0 F与ro的反向
当弹簧压缩时
r < l0
F与ro的同向
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点A由Al到A2时，弹性力作功为
计算弹性力作功的普遍公式
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弹性力作的功只与弹簧在初始和 末了位置的变形量δ有关，与力 作用点A的轨迹形状无关。
δ1 ＞ δ2 δ1 < δ2
正功 负功
弹性力功的大小可由图所示的阴 影面积表示
2．活动铰支座、固定铰支座和向心轴承
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3．联接刚体的光滑铰链（中间铰）
4．柔索约束（不可伸长的绳索）
拉紧时，内部拉力的元功之和恒 等于零。
5．刚性二力杆
在理想约束条件，质点系动能 的改变只与主动力作功有关
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② 摩擦力的功 (1) 动滑动摩擦力的功
FN = 常量时, W= –f FN S , 与质点的路径有关。
两段相同位移内，弹性力作功也 是不相等的。
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3．定轴转动刚体上作用力的功 设在绕 z 轴转动的刚体上M点作用有力 F
当刚体绕定轴转动时，
力F 的元功为
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作用于转动刚体上力的功等于力矩的功。
如果作用力偶 M , 且力偶的作用Baidu Nhomakorabea垂直 转轴
若 M = 常量, 则
注意：功的符号的确定。
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2．弹性力的功 在弹性极限内，弹性力的大小与其变形量δ成正比，
即 力的方向总是指向自然位置(即弹簧未变形时端点的位置A0)。
k—弹簧的刚度系数，表示使弹 簧发生单位变形时所需的力
单位为N/m , N/mm
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以点O为原点，设点A的矢径为r，其长度为r。令沿矢径方向 的单位矢量为ro，弹簧的自然长度为l0 ，则弹性力
动能与质点速度的平方成正比，是一个标量；
动量与质点速度的一次方成正比，是一个矢量。
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二．质点系的动能
m1 = 2 m2 = 4 m3 绳的质量和变形忽略不计
计算质点系的动能不必考虑速度的方向。
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三．刚体的动能 (1)平动刚体的动能
(2)定轴转动刚体的动能
绕定轴转动的刚体的动能．等于刚体对于 转轴的转动惯量与角速度平方乘积的一半。
质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所作的元功的和。 质点系动能定理的积分形式
质点系在某段运动过程中，起点和终点的动能的改变量．等于 作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和。
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3. 理想约束 ① 理想约束反力的功
约束反力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束。 1．光滑固定面约束
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③ 质点系内力的功
只要A、B两点间距离保持不变,内力的元功和就等于零。 不变质点系的内力功之和等于零。 刚体的内力功之和等于零。 不可伸长的绳索内力功之和等于零。
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[例1] 图示系统中,均质圆盘A、B各重P，半径均为R, 两盘中心 线为水平线, 盘A上作用矩为M(常量)的一力偶；重物D重Q。问 下落距离h时重物的速度与加速度。(绳重不计，绳不可伸长， 盘B作纯滚动，初始时系统静止)
一般情况下，滑动摩擦力与物体的相对位移反向，摩擦 力作负功，不是理想约束，应用动能定理时要计入摩擦 力的功。
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(2) 圆轮沿固定面作纯滚动时，滑动摩擦力的功 正压力FN ，摩擦力 FS 作用于瞬心C处，而瞬心的元位移
(3) 滚动摩擦阻力偶 M 的功 若M = 常量 则
不计滚动摩阻时，纯滚动的接触点也是理想约束。