高中数学必修二直线与圆的综合问题

直线与圆一．解答题（共10小题）

1．已知直线x﹣y+3=0与圆心为（3，4）的圆C相交，截得的弦长为2．

（1）求圆C的方程；

（2）设Q点的坐标为（2，3），且动点M到圆C的切线长与|MQ|的比值为常数k（k＞0）．若动点M的轨迹是一条直线，试确定相应的k值，并求出该直线的方程．

2．已知直线l：y=x+2被圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2=r2（r＞0）截得的弦AB的长等于该圆的半径．

（1）求圆C的方程；

（2）已知直线m：y=x+n被圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2=r2（r＞0）截得的弦与圆心构成三角形CDE．若△CDE 的面积有最大值，求出直线m：y=x+n的方程；若△CDE的面积没有最大值，说明理由．

3．已知M（4，0），N（1，0），曲线C上的任意一点P满足：?=6||

（Ⅰ）求点P的轨迹方程；

（Ⅱ）过点N（1，0）的直线与曲线C交于A，B两点，交y轴于H点，设=λ1，=λ2，试问λ1+λ2是否为定值？如果是定值，请求出这个定值；如果不是定值，请说明理由．

4．已知动圆P与圆F1：（x+2）2+y2=49相切，且与圆F2：（x﹣2）2+y2=1相内切，记圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）设Q为曲线C上的一个不在x轴上的动点，O为坐标原点，过点F2作OQ的平行线交曲线C于M，N 两个不同的点，求△QMN面积的最大值．

5．已知动圆P过定点且与圆N：相切，记动圆圆心P的轨迹为曲线C．

（Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）过点D（3，0）且斜率不为零的直线交曲线C于A，B两点，在x轴上是否存在定点Q，使得直线AQ，BQ的斜率之积为非零常数？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．

6．如图所示，在△ABC中，AB的中点为O，且OA=1，点D在AB的延长线上，且．固定边AB，

在平面内移动顶点C，使得圆M与边BC，边AC的延长线相切，并始终与AB的延长线相切于点D，记顶点C 的轨迹为曲线Γ．以AB所在直线为x轴，O为坐标原点如图所示建立平面直角坐标系．

（Ⅰ）求曲线Γ的方程；

（Ⅱ）设动直线l交曲线Γ于E、F两点，且以EF为直径的圆经过点O，求△OEF面积的取值范围．7．已知△ABC的顶点A（1，0），点B在x轴上移动，|AB|=|AC|，且BC的中点在y轴上．

（Ⅰ）求C点的轨迹Γ的方程；

（Ⅱ）已知过P（0，﹣2）的直线l交轨迹Γ于不同两点M，N，求证：Q（1，2）与M，N两点连线QM，QN的斜率之积为定值．

8．已知圆M：x2+y2+2y﹣7=0和点N（0，1），动圆P经过点N且与圆M相切，圆心P的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；

（2）点A是曲线E与x轴正半轴的交点，点B、C在曲线E上，若直线AB、AC的斜率k1，k2，满足k1k2=4，求△ABC面积的最大值．

9．已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1交于点M，N两点．

（1）求k的取值范围；

（2）请问是否存在实数k使得（其中O为坐标原点），如果存在请求出k的值，并求|MN|；如果不存在，请说明理由．

10．已知O为坐标原点，抛物线C：y2=nx（n＞0）在第一象限内的点P（2，t）到焦点的距离为，C在点

P处的切线交x轴于点Q，直线l1经过点Q且垂直于x轴．

（1）求线段OQ的长；

（2）设不经过点P和Q的动直线l2：x=my+b交C交点A和B，交l1于点E，若直线PA，PB的斜率依次成等差数列，试问：l2是否过定点？请说明理由．

直线与圆

一．解答题（共10小题）

1．已知直线x﹣y+3=0与圆心为（3，4）的圆C相交，截得的弦长为2．

（1）求圆C的方程；

（2）设Q点的坐标为（2，3），且动点M到圆C的切线长与|MQ|的比值为常数k（k＞0）．若动点M的轨迹是一条直线，试确定相应的k值，并求出该直线的方程．

【分析】（1）求出圆心C到直线l的距离，利用截得的弦长为2求得半径的值，可得圆C的方程；（2）设动点M（x，y），则由题意可得=k，即=k，化简可得（k2﹣1）?x2+

（k2﹣1）?y2+（6﹣4k2）x+（8﹣6k2）y+13k2﹣9=0，若动点M的轨迹方程是直线，则k2﹣1=0，即可得出结论．

【解答】解：（1）圆心C到直线l的距离为=，

∵截得的弦长为2，

∴半径为2，

∴圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4；

（2）设动点M（x，y），则由题意可得=k，即=k，

化简可得（k2﹣1）?x2+（k2﹣1）?y2+（6﹣4k2）x+（8﹣6k2）y+13k2﹣21=0，

若动点M的轨迹方程是直线，则k2﹣1=0，∴k=1，

直线的方程为x+y﹣4=0．

【点评】本小题主要考查直线与圆的位置关系，弦长公式的应用，圆的一般式方程，属于中档题．

2．已知直线l：y=x+2被圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2=r2（r＞0）截得的弦AB的长等于该圆的半径．

（1）求圆C的方程；

（2）已知直线m：y=x+n被圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2=r2（r＞0）截得的弦与圆心构成三角形CDE．若△CDE 的面积有最大值，求出直线m：y=x+n的方程；若△CDE的面积没有最大值，说明理由．

【分析】（1）根据直线和圆相交得到的弦长公式求出圆的半径即可求圆C的方程；

（2）根据直线和圆相交的位置关系，结合△CDE的面积公式即可得到结论．

【解答】解：（1）设直线l与圆C交于A，B两点．

∵直线l：y=x+2被圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2=r2（r＞0）截得的弦长等于该圆的半径，

∴△CAB为正三角形，

∴三角形的高等于边长的，

∴圆心C到直线l的距离等于边长的．

∵直线方程为x﹣y+2=0，圆心的坐标为（3，2），