2013年福建省高考数学试卷(理科)答案与解析
2013年高考理科数学福建卷-答案
【提示】由对称性可取双曲线2241x y -＝的顶点()2,0±，渐近线12y x =±，利用点到直线的距离公式即可得到顶点到渐近线的距离．【考点】双曲线的简单几何性质 4.【答案】B【解析】由频率分布直方图40~60分的频率为0.0050.01510)0.(2+⨯=，故估计不少于60分的学生人数为60010().2480⨯-=．【提示】根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率，然后根据频数=频率⨯总数可求出所求． 【考点】频率分布直方图 5.【答案】B【解析】0a =时，方程变为20x b +=，则b 为1-，0，1，2都有解；0a ≠时，若方程220ax x b +=+有实数解，则2240ab =-∆≥，即1ab ≤．当1a =-时，b 可取1-，0，1，2．当1a =时，b 可取1-，0，1． 当2a =时，b 可取1-，0，故满足条件的有序对(),a b 的个数为443213+++=．【提示】由于关于x 的方程220ax x b +=+有实数根，所以分两种情况：（Ⅰ）当0a =时，方程为一元二次方程，那么它的判别式大于或等于0，由此即可求出a 的取值范围；（Ⅱ）当0a ≠时，方程为20x b +=，此时一定有解．【考点】实系数一元二次方程 6.【答案】A【解析】当10k =时，执行程序框图如下：01S i ==，； 12S i ==，； 123S i =+=，；21224S i =++=，；…28122210S i =++⋯++=，；29122211S i =++⋯++=，【提示】从赋值框给出的两个变量的值开始，逐渐分析写出程序运行的每一步，便可得到程序框图表示的算法的功能．解法二：（Ⅰ）由已知得，小明中奖的概率为3，小红中奖的概率为5，且两人中奖与否互不影响． 记“这2人的累计得分3X ≤”的事件为A ，则事件A 包含有“0X =”，“2X =”，“3X =”三个两两互斥的事件，因为221()113550P X ⎛⎫⎛⎫=-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，222()13255P X ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭=，222()135135P X ⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭=，所以011()()(23)()15P A P X P X P X =====++， 即这2人的累计得分3X ≤的概率为1115． （Ⅱ）设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分1X ，都选择方案乙所获得的累计得分为2X ，则1X ，X 的分布列如下：所以102()49993E X ⨯+⨯+⨯==，29124120362525255()E X ⨯⨯⨯==＋＋ 因为12()()E X E X >，【提示】（Ⅰ）把2a =代入原函数解析式中，求出函数在1x =时的导数值，直接利用直线方程的点斜式写直线方程；（Ⅱ）求出函数的导函数，由导函数可知，当0a ≤时，()0f x '>，函数在定义域(0,)+∞上单调递增，函数无极值，当0a >时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，利用原函数的单调性得到函数的【提示】（Ⅰ）由题意，求出过,1()9i A i i *∈≤≤N 且与x 轴垂直的直线方程为x i =，i B 的坐标为(10,)i ，即可得到直线i OB 的方程为10i y x =．联立方程10x ii y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，即可得到i P 满足的方程；（Ⅱ）由题意，设直线l的方程为10y kx =+，与抛物线的方程联立得到一元二次方程，利用根与系数的关系，及利用面积公式4OCM OCN S S =△△，可得124|||x x =．即124x x =-．联立即可得到k ，进而得到直线方程．【考点】抛物线的标准方程，简单的几何性质，直线与抛物线的位置关系 19.【答案】（Ⅰ）取CD 的中点E ，连结BE ．∵AB DE ∥，3AB DE k ==，∴四边形ABED 为平行四边形， ∴BE AD ∥且4BE AD k ==．在BCE △中，∵4BE k =35CE k BC k ==，，∴222BE CE BC +=，∴90BEC ∠=︒，即BE CD ⊥， 又∵BE AD ∥，∴CD AD ⊥．∵1AA ABCD 平面⊥，CD ABCD ⊂平面，∴1AA CD ⊥．又1AA AD A =I ，∴11CD ADD A ⊥平面（Ⅱ）以D 为原点，DA u u u r ，DC u u u r ，1DD u u u ur 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，解得1k=，故所求k的值为1．【提示】（Ⅰ）取DC得中点E，连接BE，可证明四边形ABED是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理可得BE CD⊥，即CD AD⊥，又侧棱1AA ABCD⊥底面，可得1AA DC⊥，利用线面垂直的判定定理即可证明．（Ⅱ）通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与斜线的方向向量的夹角即可得出；（Ⅲ）由题意可与左右平面1111ADD A BCC B，，上或下面1111ABCD A B C D，拼接得到方案，新四棱柱共有4种不同方案．写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出()f k．当0x >且x 趋近于0时，()h x 趋向-∞， 当πx <且x 趋近于π时，()h x 趋向于-∞， 当πx >且x 趋近于π时，()h x 趋向于+∞， 当2πx <且x 趋近于2π时，()h x 趋向于+∞．故当1a >时，直线y a =与曲线()y h x =(0,π)内无交点，在(π,2π)内有2个交点； 当1a <-时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,π)内有2个交点，在(π,2π)内无交点； 当11a -<<时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,π)内有2个交点，在(π,2π)内有2个交点．由函数()h x 的周期性，可知当1a ≠±时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)πn 内总有偶数个交点，从而不存在正整数n ，使得直线y a =与曲线()y h x =在(0,)πn 内恰有2013个交点； 又11a a ==-或时，直线y a =与曲线()y h x =在()(0,ππ),2πU 内有3个交点， 由周期性，20133671=⨯，所以依题意得67121342n =⨯=综上，当11342a n ==，或11342a n =-=，时，函数()()()F x f x ag x =+在(0,)πn 内恰有2013个零点． 解法二：（Ⅰ）、（Ⅱ）同解法一．（Ⅲ）依题意，2()sin cos22sin sin 1F x a x x x a x =+=-++现研究函数()F x 在(0,2π]上的零点的情况．设sin t x =，2()2111()p t t at t =-++-≤≤，则函数()p t 的图象是开口向下的抛物线，又(0)10p =>，(1)1p a -=-，(1)1p a =-当1a >时，函数()p t 有一个零点1)0(1,t ∈-(另一个零点21t >，舍去)，()F x 在(0,2π]上有两个零点12x x ，，且12(π),2πx x ∈，；当1a <-时，函数()p t 有一个零点11(0),t ∈(另一个零点21t <-，舍去)，()F x 在(0,2π]上有两个零点12x x ，，且12)0,π(x x ∈，；当11a -<<时，函数()p t 有一个零点1)0(1,t ∈-，另一个零点21()0,t ∈，()F x 在(0,π)和(0,2π]分别有两个零点．由正弦函数的周期性，可知当1a ≠±时，函数()F x 在(0,)πn 内总有偶数个零点，从而不存在正整数n 满足题意．当1a =时，函数()p t 有一个零点1)0(1,t ∈-，另一个零点21t =； 当1a =-时，函数()p t 有一个零点11t =-，另一个零点t 2∈(0，1)，从而当1a =或1a =-时，函数()F x 在(0,2π]有3个零点．由正弦函数的周期性，20133671=⨯，所以依题意得67121342n =⨯=综上，当11342a n ==，或11342a n =-=，时，函数()()()F x f x ag x =+在(0,)πn 内恰有2013个零点． 【提示】（Ⅰ）依题意，可求得2ω=，π2ϕ=，利用三角函数的图象变换可求得()sin g x x =； （Ⅱ）依题意，ππ,64x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，1sin 2x <10cos sin cos2sin cos22x x x x x <<⇒>＞，问题转化为方程2cos2sin sin cos2x x x x =+在ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭内是否有解．通过()0G x '>，可知()G x 在ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增，而π06G ⎛⎫< ⎪⎝⎭，π04G ⎛⎫> ⎪⎝⎭，从而可得答案；。
2013年福建高考理科数学试卷(带详解)
2013年福建高考理科数学试卷(带详解)2013年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学（理工农医类）一．选择题1．已知复数z的共轭复数12iz=+（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【测量目标】复平面【考查方式】给出复数z的共轭复数，判断z在复平面内所在的象限.【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】由12iz=+，得z＝1－2i，故复数z对应的点(1，－2)在第四象限．2．已知集合{}1,a=”是“A B⊆”的A a=,{}B=,则“31,2,3（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【测量目标】充分、必要条件.【考查方式】给出元素与集合间的关系两个命题，判断4．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）A．588 B．480 C．450 D．120第4题图【测量目标】频率分布直方图.【考查方式】给出频率分布直方图，判断一定范围内的样本容量.【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】由频率分布直方图知40～60分的频率为(0.005＋0.015)×10＝0.2，故估计不少于60分的学生人数为600×(1－0.2)＝480.5．满足{}a b∈-，且关于x的方程220,1,0,1,2++=有实数解的ax x b有序数对(,)a b的个数为（）A．14 B．13 C．12 D．10【测量目标】实系数一元二次方程.【考查方式】给出含参量系数的一元二次方程，判断方程有序数对的个数.【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】a＝0时，方程变为2x＋b＝0，则b为－1,0,1,2都有解；（步骤1）a≠0时，若方程ax2＋2x＋b＝0有实数解，则Δ＝22－4ab0，即ab 1.（步骤2）当a＝－1时，b可取－1,0,1,2.当a＝1时，b可取－1,0,1.当a＝2时，b可取－1，0，故满足条件的有序对(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13.（步骤3）6．阅读如图所示的程序框图，若输入的10k=，则该算法的功能是（）A．计算数列{}12n-的前10项和B．计算数列{}12n-的前9项和C．计算数列{}n-的前10项和D．计算21数列{}n-的前9项和21第6题图【测量目标】循环结构程序框图，等比数列的通项. 【考查方式】给出程序框图的输入值，判断给出的程序框图的功能.【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】当k＝10时，执行程序框图如下：S＝0，i＝1；S＝1，i＝2；S＝1＋2，i＝3；S＝1＋2＋22，i＝4；…S＝1＋2＋22＋…＋28，i＝10；S＝1＋2＋22＋…＋29，i＝11.7．在四边形ABCD中，(1,2)BD=-，则四边形的AC=，(4,2)面积为（）A．5B．25C．5 D．10【测量目标】向量的数量积运算.【考查方式】给出四边形两条边的向量坐标，判断四边形的面积.【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】∵AC BD ＝1×(－4)＋2×2＝0，∴AC ⊥BD .（步骤1）又|AC |＝2125+，|BD |＝224216425(-)+=+=S 四边形ABCD ＝12|AC ||BD |＝5.（步骤2） 8．设函数()f x 的定义域为R ，00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，以下结论一定正确的是 （ ）A ．0,()()x f x f x ∀∈R B ．0x -是()f x -的极小值点C ．0x -是()f x -的极小值点D ．0x -是()f x --的极小值点【测量目标】函数单调性的综合应用. 【考查方式】给出函数()f x 的极值点0x0(0)x ≠，判断()f x -及()f x --的极值点.【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】选项A ，由极大值的定义知错误；（步骤1） 对于选项B ，函数f (x )与f (－x )的图象关于y 轴对称，－x 0应是f (－x )的极大值点，故不正确；（步骤2）对于C 选项，函数f (x )与－f (x )图象关于x 轴对称，x 0应是－f (x )的极小值点，故不正确；（步骤3）而对于选项D ，函数f (x )与－f (－x )的图象关于原点成中心对称，故正确．（步骤4）9．已知等比数列{}n a 的公比为q ，记(1)1(1)2(1)...,n m n m n m n m b a a a -+-+-+=+++(1)1(1)2(1)...(,),n m n m n m n m c a a a m n -+-+-+=∈*N 则以下结论一定正确的是（ ） A ．数列{}n b 为等差数列，公差为m q B ．数列{}nb 为等比数列，公比为2mq C ．数列{}n c 为等比数列，公比为2m q D ．数列{}nc 为等比数列，公比为mm q【测量目标】等差、等比数列的性质，通项与求和. 【考查方式】给出由等比数列{}n a 的m 项组成的数列 {}n b ，{}n c ，判断它们的性质【难易程度】中等【参考答案】C【试题解析】∵{a n }是等比数列，∴1mn m m n m aa +(-)+=(1)mn m m n m m q q +---=，（步骤1） ∴1n n cc +＝1211121mn mn mn m m n m n m n m a a a a a a +++(-)+(-)+(-)+……＝(q m )m ＝2m q .（步骤2）10．设S ，T ，是R 的两个非空子集，如果存在一个从S到T 的函数()y f x =满足：(i){()|};(ii)T f x x S =∈ 对任意12,,x x S ∈当12x x <时，恒有12()()f x f x <，那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是（ ）A．,A B ==*N N B ．{|13},{|8010}A x x B x x x =-==-<或C ．{|01},A x x B =<<=RD ．,A B ==Z Q【测量目标】函数的图象与性质.【考查方式】定义集合间的一种新关系，判断给出的集合是否符合.【难易程度】较难【参考答案】D【试题解析】由题意(1)可知，S 为函数y ＝f (x )的定义域，T 为函数y ＝f (x )的值域．由(2)可知，函数y ＝f (x )在定义域内单调递增，对于A ，可构造函数y ＝x －1，x ∈N *，y ∈N ，满足条件；（步骤1）对于B ，构造函数8,1,51,13,2x y x x -=-⎧⎪=⎨(+)-<⎪⎩满足条件；（步骤2） 对于C ，构造函数ππtan 22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x ∈(0,1)，满足条件；（步骤3）对于D ，无法构造函数其定义域为Z ，值域为Q 且递增的函数，故选D ．（步骤4）二．填空题11．利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a ，则时间“310a ->”发生的概率为________【测量目标】几何概型.【考查方式】利用几何概型求解事件概率.【难易程度】容易 【参考答案】23 【试题解析】由3a －1＞0得13a >，由几何概型知112313P -==.12．已知某一多面体内接于一个简单组合体，如果该组合体的正视图．侧视图．俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是_______________第12题图【测量目标】由三视图求几何体的表面积【考查方式】给出一个几何体的三视图，判断此几何体图形并求球的表面积.【难易程度】容易【参考答案】12π【试题解析】由题意知该几何体是一个正方体内接于球构成的组合体，球的直径222222212r =++=，所以3r =，故该球的表面积为S 球＝4πr 2＝4π×3＝12π.13．如图ABC △中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，22sin ,32,33BAC AB AD ∠===则BD 的长为_______________第13题图【测量目标】诱导公式，余弦定理.【考查方式】给出一个三角形的边角函数值，利用解三角形求线段长. 【难易程度】中等3【试题解析】∵AD ⊥AC ，∴∠DAC ＝π2.（步骤1） ∵sin ∠BAC ＝223，∴π22sin 23BAD ⎛⎫∠+=⎪⎝⎭， ∴cos ∠BAD ＝223.（步骤2）由余弦定理得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB AD cos ∠BAD ＝2(32)＋32－2×323×223＝3.∴BD 3（步骤3） 14．椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左．右焦点分别为12,F F ，焦距为2c ，若直线3()y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠，则该椭圆的离心率等于__________【测量目标】直线与椭圆的位置关系，椭圆的简单几何性质.【考查方式】给出直线与椭圆的交点与椭圆两焦点形成的角的关系，及椭圆的焦距，判断椭圆离心率. 【难易程度】中等31-【试题解析】由直线y 3(x ＋c )知其倾斜角为60°， 由题意知∠MF 1F 2＝60°，则∠MF 2F 1＝30°，∠F 1MF 2＝90°.故|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ．（步骤1） 又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，∴31)c ＝2a ， 即3131e ==+.（步骤2）15．当,1x x ∈<R 时，有如下表达式:211.......1n x xx x+++++=-两边同时积分得：11111222222011.......1ndx xdx x dx x dx dx x+++++=-⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式：23111111111()()...()...ln 2.2223212n n +⨯+⨯+⨯++⨯+=+请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算： 0122311111111C C ()C ()+C ()2223212nn n n n nn +⨯+⨯+⨯+⨯+…【测量目标】微积分基本定理求定积分，二项式定理. 【考查方式】根据给出的运用定积分计算的技巧，求解等式的值. 【难易程度】较难【参考答案】113[()1]12n n +-+【试题解析】由0122CC C C n nn n n n x x x++++…＝(1＋x )n ，两边同时积分得：1111012222220C 1CCCn n nnnndx xdx x dx x dx++++⎰⎰⎰⎰…120(1)nx dx =+⎰，2310121111111C C C C 2223212n n n n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭…＝111210111113111112112n n n x n n n n +++⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫(+)=+-=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥++++⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.三．解答题16．（本小题满分13分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲．乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中将可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中将可以得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中将与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为,X Y ，求3X的概率；（2）若小明,小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计的得分的数学期望较大？【测量目标】古典概型，离散型随机变量的分布列和期望.【考查方式】给出实际的数学模型，利用求解对立事件的概率及离散型随机变量的分布，求解概率及期望. 【难易程度】容易【试题解析】解法一：(1)由已知得小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X 3”的事件为A ， 则事件A 的对立事件为“X ＝5”，（步骤1）因为P (X ＝5)＝2243515⨯=，所以P (A )＝1－P (X ＝5)＝1115， 即这2人的累计得分X 3的概率为1115.（步骤2）(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X 1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X 2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E (2X 1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E (3X 2)．（步骤3）由已知可得，X 1～B 22,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，X 2～B 22,5⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以E (X 1)＝24233⨯=，E (X 2)＝24255⨯=，从而E (2X 1)＝2E (X 1)＝83，E (3X 2)＝3E (X 2)＝125.（步骤4） 因为E (2X 1)＞E (3X 2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．（步骤5）解法二：(1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．（步骤1）记“这2人的累计得分X 3”的事件为A ，则事件A 包含有“X ＝0”，“X ＝2”，“X ＝3”三个两两互斥的事件，（步骤2）因为P (X ＝0)＝22111355⎛⎫⎛⎫-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，P (X ＝2)＝2221355⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，P (X ＝3)＝22213515⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭，(步骤3) 所以P (A )＝P (X ＝0)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝1115，即这2人的累计得分X 3的概率为1115.（步骤4）(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X 1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则X1，X2的分布列如下：X102 4P 194949X203 6P 9251225425（步骤5）所以E(X1)＝0×19＋2×49＋4×49＝83，E(X2)＝0×925＋3×1225＋6×425＝125.因为E(X1)＞E(X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．（步骤6）17．（本小题满分13分）已知函数()ln()f x x a x a=-∈R（1）当2a=时，求曲线()y f x=在点(1,(1))A f处的切线方程；（2）求函数()f x的极值．【测量目标】导数的几何意义，利用导数求函数的极值. 【考查方式】利用导数的几何意义求解曲线的切线方程及函数的极值.【难易程度】容易【试题解析】函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，()f x'＝1－a x.（步骤1）(1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，()f x '＝1－2x (x ＞0)， 因而f (1)＝1，(1)f '＝－1，（步骤2）所以曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.（步骤3）(2)由()f x '＝1－a x ＝x ax -，x ＞0知： ①当a 0时，()f x '＞0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值；②当a ＞0时，由()f x '＝0，解得x ＝a ．(步骤4)又当x ∈(0，a )时，()f x '＜0；当x ∈(a ，＋∞)时，()f x '＞0， 从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值．（步骤5）综上，当a 0时，函数f (x )无极值；当a ＞0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值．（步骤6）18．（本小题满分13分）如图，在正方形OABC 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(10,0)，点C 的坐标为(0,10)．分别将线段OA 和AB 十等分，分点分别记为129,,A A A …和129,,B B B …，连结iOB ，过iA 做x 轴的垂线与iOB 交于点*(,19)i P i i ∈N ．（1）求证：点*(,19)iP i i ∈N 都在同一条抛物线上，并求该抛物线E 的方程；（2）过点C 做直线与抛物线E 交于不同的两点,M N ，若OCM △与OCN △的面积比为4:1，求直线的方程．第18题图【测量目标】抛物线的标准方程，简单的几何性质，直线与抛物线的位置关系.【考查方式】根据平面几何图形及坐标和三角形的面积关系，求解抛物线和直线方程.【难易程度】中等【试题解析】解法一：(1)依题意，过A i (i ∈N *,1i 9)且与x 轴垂直的直线方程为x ＝i ，B i 的坐标为(10，i )，所以直线OB i 的方程为y ＝10ix .（步骤1）设P i 的坐标为(x ，y )，由,,10x i i y x =⎧⎪⎨=⎪⎩得y ＝110x 2，即x 2＝10y .所以点P i (i ∈N *,1i 9)都在同一条抛物线上，且抛物线E的方程为x 2＝10y .（步骤2） (2)依题意，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋10.（步骤3） 由210.10.y kx x y =+⎧⎨=⎩得x 2－10kx －100＝0，此时Δ＝100k 2＋400＞0，直线l 与抛物线E 恒有两个不同的交点M ，N .（步骤4）设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则121210,100,x x k x x +=⎧⎨=-⎩①②因为S △OCM ＝4S △OCN ，所以|x 1|＝4|x 2|.（步骤5） 又x 1x 2＜0，所以x 1＝－4x 2，分别代入①和②，得222310,4100,x k x -=⎧⎨-=-⎩解得32k =±. 所以直线l 的方程为y ＝32±x ＋10，即3x －2y ＋20＝0或3x ＋2y－20＝0.（步骤6）19．（本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA ABCD ⊥底面，//AB DC ，11AA =，3AB k =，4AD k =，5BC k =，6DC k =(0)k >．（1）求证：11;CD ADD A ⊥平面（2）若直线1AA 与平面1AB C 所成角的正弦值为67，求k 的值；（3）现将与四棱柱1111ABCD A B C D -形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的棱柱，规定：若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案．问：共有几种不同的方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为()f k ，写出()f k 的表达式（直接写出答案，不必要说明理由）第19题图【测量目标】空间立体几何线面垂直，线面角.【考查方式】给出四棱柱中的线段及线面关系，求解线面关系及线面所成角问题.【难易程度】中等【试题解析】(1)取CD的中点E，连结BE.（步骤1）∵AB∥DE，AB＝DE＝3k，∴四边形ABED为平行四边形，∴BE∥AD且BE＝AD＝4k.（步骤2）在△BCE中，∵BE＝4k，CE＝3k，BC＝5k，∴BE2＋CE2＝BC2，∴∠BEC＝90°，即BE⊥CD，（步骤3）又∵BE∥AD，∴CD⊥AD．∵AA1⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，∴AA1⊥CD．又AA1∩AD＝A，∴CD⊥平面ADD1A1.（步骤4）第19图(2)以D为原点，DA，DC，DD的方向为x，y，z轴的正1方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A(4k,0,0)，C(0，6k,0)，B1(4k,3k,1)，A1(4k,0,1)，（步骤5）所以AC＝(－4k,6k,0)，AB＝(0,3k,1)，1AA＝(0,0,1)．1设平面AB 1C 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则由10,0,AC AB ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n得460,30.kx ky ky z -+=⎧⎨+=⎩取y ＝2，得n ＝(3,2，－6k )．（步骤6）设AA 1与平面AB 1C所成角为θ，则 sin θ＝|cos 〈1AA ，n 〉|＝11||||AA AA n n＝26673613k k =+，解得k ＝1，故所求k 的值为1.（步骤7）第19图(3)共有4种不同的方案． f (k )＝2257226,0,1853636,.18k k k k k k ⎧+<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩（步骤8）20．（本小题满分14分）已知函数()sin()(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的周期为π，图象的一个对称中心为π(,0)4，将函数()f x 图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），在将所得图象向右平移π2个单位长度后得到函数()g x 的图象．（1）求函数()f x 与()g x 的解析式；（2）是否存在0ππ(,)64x ∈，使得0000(),(),()()f x g x f x g x 按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定0x 的个数；若不存在，说明理由．（3）求实数a 与正整数n ，使得()()()F x f x ag x =+在(0,π)n 内恰有2013个零点．【测量目标】三角函数的图象及其变换，同角三角函数的基本关系，等差数列的性质，函数零点的求解与判断. 【考查方式】给出三角函数的周期及对称中心，求解函数关系式及变换后的函数关系式；判断在某一区内是否存在0x ,使得三角函数值呈等差数列；判断复合函数零点个数与区间的关系.【难易程度】较难【试题解析】解法一：(1)由函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的周期为π，ω＞0，得ω＝2πT＝2. 又曲线y ＝f (x )的一个对称中心为π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭，φ∈(0，π)， 故ππsin 2044f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得π2ϕ=，所以f (x )＝cos 2x .（步骤1） 将函数f (x )图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得y ＝cos x 的图象，再将y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位长度后得到函数π()=cos 2g x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象，所以g (x )＝sin x .（步骤2）(2)当x ∈ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭时，12＜sin x 2，0＜cos 2x ＜12， 所以sin x ＞cos 2x ＞sin x cos 2x .（步骤3）问题转化为方程2cos 2x ＝sin x ＋sin x cos 2x 在ππ,64⎛⎫⎪⎝⎭内是否有解．设G (x )＝sin x ＋sin x cos 2x －2cos 2x ，x ∈ππ,64⎛⎫⎪⎝⎭， 则G ′(x )＝cos x ＋cos x cos 2x ＋2sin 2x (2－sin x )．（步骤4）因为x ∈ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以G ′(x )＞0，G (x )在ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增． 又π1<064G ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，π2>042G ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且函数G (x )的图象连续不断，故可知函数G (x )在ππ,64⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一零点x 0，即存在唯一的x 0∈ππ,64⎛⎫⎪⎝⎭满足题意．（步骤5） (3)依题意，F (x )＝a sin x ＋cos 2x ，令F (x )＝a sin x ＋cos 2x ＝0.当sin x ＝0，即x ＝k π(k ∈Z)时，cos 2x ＝1，从而x ＝k π(k ∈Z)不是方程F (x )＝0的解，（步骤6）所以方程F (x )＝0等价于关于x 的方程cos2sin xa x=-，x ≠k π(k ∈Z)．现研究x ∈(0，π)(π，2π)时方程cos2sin x a x=-的解的情况．（步骤7）令()cos2sin xh x x=-，x ∈(0，π) (π，2π)， 则问题转化为研究直线y ＝a 与曲线y ＝h (x )，x ∈(0，π)(π，2π)的交点情况．22cos (2sin 1)()sin x x h x x +'=，令h ′(x )＝0，得π2x =或3π2x =.（步骤8） 当x 变化时，h ′(x )，h (x )的变化情况如下表：x π02⎛⎫ ⎪⎝⎭， π2 ππ2⎛⎫ ⎪⎝⎭， 3ππ2⎛⎫ ⎪⎝⎭， 3π2 3π2π2⎛⎫ ⎪⎝⎭， h ′(x ) ＋ 0 － － 0＋ h (x )1－1当x＞0且x趋近于0时，h(x)趋向于－∞，当x＜π且x趋近于π时，h(x)趋向于－∞，当x＞π且x趋近于π时，h(x)趋向于＋∞，当x＜2π且x趋近于2π时，h(x)趋向于＋∞.（步骤9）故当a＞1时，直线y＝a与曲线y＝h(x)在(0，π)内无交点，在(π，2π)内有2个交点；当a＜－1时，直线y＝a与曲线y＝h(x)在(0，π)内有2个交点，在(π，2π)内无交点；当－1＜a＜1时，直线y＝a与曲线y＝h(x)在(0，π)内有2个交点，在(π，2π)内有2个交点．（步骤10）由函数h(x)的周期性，可知当a≠±1时，直线y＝a与曲线y＝h(x)在(0，nπ)内总有偶数个交点，从而不存在正整数n，使得直线y＝a与曲线y＝h(x)在(0，nπ)内恰有2 013个交点；（步骤11）又当a＝1或a＝－1时，直线y＝a与曲线y＝h(x)在(0，π)(π，2π)内有3个交点，由周期性，2 013＝3×671，所以依题意得n＝671×2＝1 342.（步骤12）综上，当a＝1，n＝1 342或a＝－1，n＝1 342时，函数F(x)＝f(x)＋ag(x)在(0，nπ)内恰有2 013个零点．（步骤13）解法二：(1)、(2)同解法一．(3)依题意，F(x)＝a sin x＋cos 2x＝－2sin2x＋a sin x＋1. 现研究函数F(x)在(0,2π]上的零点的情况．设t＝sin x，p(t)＝－2t2＋at＋1(－1t1)，则函数p(t)的图象是开口向下的抛物线，（步骤1）又p(0)＝1＞0，p(－1)＝－a－1，p(1)＝a－1.当a＞1时，函数p(t)有一个零点t1∈(－1,0)(另一个零点t2＞1，舍去)，F(x)在(0,2π]上有两个零点x1，x2，且x1，x 2∈(π，2π)； 当a ＜－1时，函数p (t )有一个零点t 1∈(0,1)(另一个零点t 2＜－1，舍去)，F (x )在(0,2π]上有两个零点x 1，x 2，且x 1，x 2∈(0，π)；当－1＜a ＜1时，函数p (t )有一个零点t 1∈(－1,0)，另一个零点t 2∈(0,1)，F (x )在(0，π)和(π，2π)分别有两个零点．（步骤2）由正弦函数的周期性，可知当a ≠±1时，函数F (x )在(0，n π)内总有偶数个零点，从而不存在正整数n 满足题意． 当a ＝1时，函数p (t )有一个零点t 1∈(－1,0)，另一个零点t 2＝1；当a ＝－1时，函数p (t )有一个零点t 1＝－1，另一个零点t 2∈(0,1)，（步骤3）从而当a ＝1或a ＝－1时，函数F (x )在(0,2π]有3个零点．由正弦函数的周期性，2 013＝3×671，所以依题意得n ＝671×2＝1 342.综上，当a ＝1，n ＝1 342或a ＝－1，n ＝1 342时，函数F (x )＝f (x )＋ag (x )在(0，n π)内恰有2 013个零点．（步骤4）21．（本题满分14分）（1）（本小题满分7分）矩阵与变换已知直线:1l ax y +=在矩阵1201⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 对应的变换作用下变为直线':1l x by +=．（Ⅰ）求实数,a b 的值；（Ⅱ）若点0(,)p x y 在直线上，且0000x x y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ，求点p 的坐标．【测量目标】矩阵与行列式初步.【考查方式】根据直线方程在矩阵的变换求未知字母，利用点在直线上和矩阵乘积，求点坐标.【难易程度】容易 【试题解析】（I ）设直线l ：ax ＋y ＝1上任意点M (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的象是M ′(x ′，y ′)． 由 1 220 1x x x y y y y '+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 得2,.x x y y y '=+⎧⎨'=⎩（步骤1）又点M ′(x ′，y ′)在l ′上，所以x ′＋by ′＝1，即x ＋(b ＋2)y ＝1，依题意得=1,2=1,a b ⎧⎨+⎩解得=1,1.a b ⎧⎨=-⎩（步骤2） （II ）由0000x x y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ，得000002,,x x y y y =+⎧⎨=⎩解得y 0＝0.（步骤3）又点P (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝1. 故点P 的坐标为(1,0)．（步骤4）（2）（本小题满分7分）坐标系与参数方程：在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点A 的极坐标为π(2,)4，直线的极坐标方程为πcos()4a ρθ-=，且点A 在直线上． （I ）求a 的值及直线的直角坐标方程；（II ）圆C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩，（α为参数），试判断直线与圆的位置关系． 【测量目标】坐标系与参数方程.【考查方式】利用极坐标及极坐标方程求直角坐标方程，根据圆的参数方程判断直线与圆的位置关系. 【难易程度】中等【试题解析】（I ）由点A π2,4⎛⎫⎪⎝⎭在直线ρπcos 4θ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝a 上，可得2a =.所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.（步骤1） （II ）由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1， 所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1，（步骤2） 因为圆心C 到直线l 的距离d ＝2＝22＜1，所以直线l 与圆C 相交．（步骤3）（3）（本小题满分7分）不等式选讲：设不等式*2()x a a -∈N ＜的解集为A ，且32A ∈，12A ∉． （I ）求a 的值；（II ）求函数()2f x x a x =++-的最小值．【测量目标】绝对值不等式，基本不等式求最值. 【考查方式】根据绝对值不等式的解集判断未知参量的值，利用基本不等式求绝对值函数的最值. 【难易程度】中等【试题解析】（I）因为32∈A，且12∉A，所以32<2a-，且122a-，解得12＜a32.又因为a∈N*，所以a＝1.（步骤1）（II）因为|x＋1|＋|x－2||(x＋1)－(x－2)|＝3，当且仅当(x＋1)(x－2) 0，即－1x2时取到等号．所以f(x)的最小值为3.（步骤2）。
2013年福建省高考数学试卷(理科)教师版
2013年福建省高考数学试卷（理科）一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求的.1．（5分）（2013•福建）已知复数z的共轭复数（i为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】求出复数z，复数z的对应点的坐标，即可得到选项．【解答】解：因为复数z的共轭复数，所以z=1﹣2i，对应的点的坐标为（1，﹣2）．z在复平面内对应的点位于第四象限．故选：D．2．（5分）（2013•福建）已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊆B“的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】先有a=3成立判断是否能推出A⊆B成立，反之判断“A⊆B”成立是否能推出a=3成立；利用充要条件的题意得到结论．【解答】解：当a=3时，A={1，3}所以A⊆B，即a=3能推出A⊆B；反之当A⊆B时，所以a=3或a=2，所以A⊆B成立，推不出a=3故“a=3”是“A⊆B”的充分不必要条件故选：A．3．（5分）（2013•福建）双曲线的顶点到渐近线的距离等于（）A．B．C．D．【分析】由对称性可取双曲线的顶点（2，0），渐近线，利用点到直线的距离公式即可得到顶点到渐近线的距离．【解答】解：由对称性可取双曲线的顶点（2，0），渐近线，则顶点到渐近线的距离d=．故选：C．4．（5分）（2013•福建）某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）A．588B．480C．450D．120【分析】根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率，然后根据频数=频率×总数可求出所求．【解答】解：根据频率分布直方图，成绩不低于60（分）的频率为1﹣10×（0.005+0.015）=0.8．由于该校高一年级共有学生600人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级模块测试成绩不低于60（分）的人数为600×0.8=480人．故选：B．5．（5分）（2013•福建）满足a，b∈{﹣1，0，1，2}，且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对的个数为（）A．14B．13C．12D．10【分析】由于关于x的方程ax2+2x+b=0有实数根，所以分两种情况：（1）当a ≠0时，方程为一元二次方程，那么它的判别式大于或等于0，由此即可求出a的取值范围；（2）当a=0时，方程为2x+b=0，此时一定有解．【解答】解：（1）当a=0时，方程为2x+b=0，此时一定有解；此时b=﹣1，0，1，2；即（0，﹣1），（0，0），（0，1），（0，2）四种．（2）当a≠0时，方程为一元二次方程，∴△=4﹣4ab≥0，∴ab≤1．所以a=﹣1，1，2，此时a，b的对数为（﹣1，0），（﹣1，2），（﹣1，﹣1），（﹣1，1），（1，﹣1），（1，0），（1，1），（2，﹣1），（2，0），共9种，关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对的个数为13种，故选：B．6．（5分）（2013•福建）阅读如图所示的程序框图，若输入的k=10，则该算法的功能是（）A．计算数列{2n﹣1}的前10项和B．计算数列{2n﹣1}的前9项和C．计算数列{2n﹣1}的前10项和D．计算数列{2n﹣1}的前9项和【分析】从赋值框给出的两个变量的值开始，逐渐分析写出程序运行的每一步，便可得到程序框图表示的算法的功能．【解答】解：框图首先给累加变量S和循环变量i赋值，S=0，i=1；判断i＞10不成立，执行S=1+2×0=1，i=1+1=2；判断i＞10不成立，执行S=1+2×1=1+2，i=2+1=3；判断i＞10不成立，执行S=1+2×（1+2）=1+2+22，i=3+1=4；…判断i＞10不成立，执行S=1+2+22+…+29，i=10+1=11；判断i＞10成立，输出S=1+2+22+ (29)算法结束．故则该算法的功能是计算数列{2n﹣1}的前10项和．故选：A．7．（5分）（2013•福建）在四边形ABCD中，=（1，2），=（﹣4，2），则该四边形的面积为（）A．B．C．5D．10【分析】通过向量的数量积判断四边形的形状，然后求解四边形的面积即可．【解答】解：因为在四边形ABCD中，，，，，=0，所以四边形ABCD的对角线互相垂直，又，，该四边形的面积：==5．故选：C．8．（5分）（2013•福建）设函数f（x）的定义域为R，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是（）A．∀x∈R，f（x）≤f（x0）B．﹣x0是f（﹣x）的极小值点C．﹣x0是﹣f（x）的极小值点D．﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点【分析】A项，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，不一定是最大值点，故不正确；B项，f（﹣x）是把f（x）的图象关于y轴对称，因此，﹣x0是f（﹣x）的极大值点；C项，﹣f（x）是把f（x）的图象关于x轴对称，因此，x0是﹣f（x）的极小值点；D项，﹣f（﹣x）是把f（x）的图象分别关于x轴、y轴做对称，因此﹣x0是﹣f （﹣x）的极小值点．【解答】解：对于A项，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，不一定是最大值点，因此不能满足在整个定义域上值最大，故A错误；对于B项，f（﹣x）是把f（x）的图象关于y轴对称，因此，﹣x0是f（﹣x）的极大值点，故B错误；对于C项，﹣f（x）是把f（x）的图象关于x轴对称，因此，x0是﹣f（x）的极小值点，故C错误；对于D项，﹣f（﹣x）是把f（x）的图象分别关于x轴、y轴做对称，因此﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点，故D正确．故选：D．9．（5分）（2013•福建）已知等比数列{a n}的公比为q，记b n=a m（n﹣1）+1+a m（n﹣1）+2+…+a m（n﹣1）+m，c n=a m（n﹣1）+1•a m（n﹣1）+2•…•a m（n﹣1）+m，（m，n∈N*），则以下结论一定正确的是（）A．数列{b n}为等差数列，公差为q mB．数列{b n}为等比数列，公比为q2mC．数列{c n}为等比数列，公比为D．数列{c n}为等比数列，公比为【分析】①，当q=1时，b n=ma m（n﹣1），b n+1=ma m（n ﹣1）+m=ma m（n﹣1）=b n，此时是常数列，可判断A，B两个选项②由于等比数列{a n}的公比为q，利用等比数列的通项公式可得，=，得出即可判断出C，D两个选项．【解答】解：①，当q=1时，b n=ma m（n﹣1），b n+1=ma m （n﹣1）+m=ma m（n﹣1）=b n，此时是常数列，选项A不正确，选项B正确；当q≠1时，，=，此时，选项B不正确，又b n+1﹣b n=，不是常数，故选项A不正确，②∵等比数列{a n}的公比为q，∴，∴=，∴===，故C正确D不正确．综上可知：只有C正确．故选：C．10．（5分）（2013•福建）设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T 的函数y=f（x）满足：（i）T={f（x）|x∈S}；（ii）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（）A．A=N*，B=NB．A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x=﹣8或0＜x≤10}C．A={x|0＜x＜1}，B=RD．A=Z，B=Q【分析】利用题目给出的“保序同构”的概念，对每一个选项中给出的两个集合，利用所学知识，找出能够使两个集合满足题目所给出的条件的函数，即B是函数的值域，且函数为定义域上的增函数．排除掉是“保序同构”的，即可得到要选择的答案．【解答】解：对于A=N*，B=N，存在函数f（x）=x﹣1，x∈N*，满足：（i）B={f （x）|x∈A}；（ii）对任意x1，x2∈A，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），所以选项A是“保序同构”；对于A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x=﹣8或0＜x≤10}，存在函数，，满足：，＜（i）B={f（x）|x∈A}；（ii）对任意x1，x2∈A，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），所以选项B是“保序同构”；对于A={x|0＜x＜1}，B=R，存在函数f（x）=tan（），满足：（i）B={f（x）|x∈A}；（ii）对任意x1，x2∈A，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），所以选项C是“保序同构”；前三个选项中的集合对是“保序同构”，由排除法可知，不是“保序同构”的只有D．故选：D．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填写在答题卡的相应位置.11．（4分）（2013•福建）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a ﹣1＞0”发生的概率为．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出（0，1）上产生随机数a所对应图形的长度，及事件“3a﹣1＞0”对应的图形的长度，并将其代入几何概型计算公式，进行求解．【解答】解：3a﹣1＞0即a＞，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为P==．故答案为：．12．（4分）（2013•福建）已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是12π．【分析】由三视图可知，组合体是球内接正方体，正方体的棱长为2，求出球的半径，然后求出球的表面积即可．【解答】解：由三视图可知，组合体是球内接正方体，正方体的棱长为2，球的直径就是正方体的体对角线的长，所以2r=，r=，所以球的表面积为：4πr2=12π．故答案为：12π．13．（4分）（2013•福建）如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin ∠BAC=，AB=3，AD=3，则BD的长为．【分析】由∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAC=90°，得到∠BAC=∠BAD+90°，代入并利用诱导公式化简sin∠BAC，求出cos∠BAD的值，在三角形ABD中，由AB，AD及cos∠BAD的值，利用余弦定理即可求出BD的长．【解答】解：∵AD⊥AC，∴∠DAC=90°，∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+90°，∴sin∠BAC=sin（∠BAD+90°）=cos∠BAD=，在△ABD中，AB=3，AD=3，根据余弦定理得：BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cos∠BAD=18+9﹣24=3，则BD=．故答案为：14．（4分）（2013•福建）椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y=与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于．【分析】由直线可知斜率为，可得直线的倾斜角α=60°．又直线与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，可得，进而．设|MF2|=m，|MF1|=n，利用勾股定理、椭圆的定义及其边角关系可得，解出a，c即可．【解答】解：如图所示，由直线可知倾斜角α与斜率有关系=tanα，∴α=60°．又椭圆Γ的一个交点满足∠MF1F2=2∠MF2F1，∴，∴．设|MF2|=m，|MF1|=n，则，解得．∴该椭圆的离心率e=．故答案为．15．（4分）（2013•福建）当x∈R，|x|＜1时，有如下表达式：1+x+x2+…+x n+…=两边同时积分得：dx+xdx+x2dx+…+x n dx+…=dx从而得到如下等式：1×+×（）2+×（）3+…+×（）n+1+…=ln2请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：×+×（）2+×（）3+…+×（）n+1=．【分析】根据二项式定理得C n0+C n1x+C n2x2+…+C n n x n=（1+x）n，两边同时积分整理后，整理即可得到结论．【解答】解：二项式定理得C n0+C n1x+C n2x2+…+C n n x n=（1+x）n，对C n0+C n1x+C n2x2+…+C n n x n=（1+x）n两边同时积分得：从而得到如下等式：=故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（13分）（2013•福建）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为x，求x≤3的概率；（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？（1）记“他们的累计得分X≤3”的事事件为A，则事件A的对立事件是“X=5”，【分析】由题意知，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人抽奖中奖与否互不影响，先根据相互独立事件的乘法公式求出对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式即可求出他们的累计得分x≤3的概率．（2）设小明、小红两人都选择甲方案抽奖中奖次数为X1，甲小明、小红两人都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人都选择甲方案抽奖累计得分的数学期望为E（2X1），都选择乙方案抽奖累计得分的数学期望为E（3X2）．根据题意知X1～B（2，），X2～B（2，），利用贝努利概率的期望公式计算即可得出E（2X1）＞E（3X2），从而得出答案．【解答】解：（1）由题意知，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人抽奖中奖与否互不影响，记“他们的累计得分X≤3”的事件为A，则事件A的对立事件是“X=5”，因为P（X=5）=，∴P（A）=1﹣P（X=5）=；即他们的累计得分x≤3的概率为．（2）设小明、小红两人都选择甲方案抽奖中奖次数为X1，小明、小红两人都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人都选择甲方案抽奖累计得分的数学期望为E（2X1）都选择乙方案抽奖累计得分的数学期望为E（3X2）由已知可得，X1～B（2，），X2～B（2，），∴E（X1）=2×=，E（X2）=2×=，从而E（2X1）=2E（X1）=，E（3X2）=3E（X2）=，由于E（2X1）＞E（3X2），∴他们选择甲方案抽奖，累计得分的数学期望较大．17．（13分）（2013•福建）已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的极值．【分析】（1）把a=2代入原函数解析式中，求出函数在x=1时的导数值，直接利用直线方程的点斜式写直线方程；（2）求出函数的导函数，由导函数可知，当a≤0时，f′（x）＞0，函数在定义域（0，+∝）上单调递增，函数无极值，当a＞0时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，利用原函数的单调性得到函数的极值．【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），．（1）当a=2时，f（x）=x﹣2lnx，＞，因而f（1）=1，f′（1）=﹣1，所以曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0（2）由，x＞0知：①当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）为（0，+∞）上的增函数，函数f（x）无极值；②当a＞0时，由f′（x）=0，解得x=a．又当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0．从而函数f（x）在x=a处取得极小值，且极小值为f（a）=a﹣alna，无极大值．综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；当a＞0时，函数f（x）在x=a处取得极小值a﹣alna，无极大值．18．（13分）（2013•福建）如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为（10，0），点C的坐标为（0，10），分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A1，A2，…，A9和B1，B2，…，B9，连接OB i，过A i作x轴的垂线与OB i，交于点，．（1）求证：点，都在同一条抛物线上，并求抛物线E的方程；（2）过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M，N，若△OCM与△OCN的面积之比为4：1，求直线l的方程．（I）由题意，求出过，且与x轴垂直的直线方程为x=i，【分析】B i的坐标为（10，i），即可得到直线OB i的方程为．联立方程，即可得到P i满足的方程；（II）由题意，设直线l的方程为y=kx+10，与抛物线的方程联立得到一元二次方程，利用根与系数的关系，及利用面积公式S=S△OCN，可得|x1|=4|x2|．即△OCMx1=﹣4x2．联立即可得到k，进而得到直线方程．【解答】（I）证明：由题意，过，且与x轴垂直的直线方程为x=i，B i的坐标为（10，i），∴直线OB i的方程为．设P i（x，y），由，解得，即x2=10y．∴点，都在同一条抛物线上，抛物线E的方程为x2=10y．（II）由题意，设直线l的方程为y=kx+10，联立消去y得到x2﹣10kx﹣100=0，此时△＞0，直线与抛物线恒有两个不同的交点，设为M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=10k，x1x2=﹣100，=4S△OCN，∴|x1|=4|x2|．∴x1=﹣4x2．∵S△OCM联立，解得．∴直线l的方程为．即为3x+2y﹣20=0或3x﹣2y+20=0．19．（13分）（2013•福建）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k，（k＞0）（1）求证：CD⊥平面ADD1A1（2）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值（3）现将与四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f（k），写出f（k）的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）【分析】（1）取DC得中点E，连接BE，可证明四边形ABED是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理可得BE⊥CD，即CD⊥AD，又侧棱AA1⊥底面ABCD，可得AA1⊥DC，利用线面垂直的判定定理即可证明．（2）通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与斜线的方向向量的夹角即可得出；（3）由题意可与左右平面ADD1A1，BCC1B1，上或下面ABCD，A1B1C1D1拼接得到方案新四棱柱共有此4种不同方案．写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出f （k）．【解答】（1）证明：取DC的中点E，连接BE，∵AB∥ED，AB=ED=3k，∴四边形ABED是平行四边形，∴BE∥AD，且BE=AD=4k，∴BE2+EC2=（4k）2+（3k）2=（5k）2=BC2，∴∠BEC=90°，∴BE⊥CD，又∵BE∥AD，∴CD⊥AD．∵侧棱AA1⊥底面ABCD，∴AA1⊥CD，∵AA1∩AD=A，∴CD⊥平面ADD1A1．（2）解：以D为坐标原点，、、的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A（4k，0，0），C（0，6k，0），B1（4k，3k，1），A1（4k，0，1）．∴，，，，，，，，．设平面AB1C的一个法向量为=（x，y，z），则，取y=2，则z=﹣6k，x=3．∴，，．设AA1与平面AB1C所成角为θ，则＜，＞===，解得k=1，故所求k=1．（3）由题意可与左右平面ADD1A1，BCC1B1，上或下面ABCD，A1B1C1D1拼接得到方案新四棱柱共有此4种不同方案．写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出f（k）=，＜，＞20．（14分）（2013•福建）已知函数f（x）=sin（wx+φ）（w＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（，0），将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象．（1）求函数f（x）与g（x）的解析式（2）是否存在x0∈（，），使得f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x0的个数，若不存在，说明理由；（3）求实数a与正整数n，使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点．【分析】（1）依题意，可求得ω=2，φ=，利用三角函数的图象变换可求得g（x）=sinx；（2）依题意，当x∈（，）时，＜sinx＜，0＜cosx＜⇒sinx＞cos2x＞sinxcos2x，问题转化为方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（，）内是否有解．通过G′（x）＞0，可知G（x）在（，）内单调递增，而G（）＜0，G（）＞0，从而可得答案；（3）依题意，F（x）=asinx+cos2x，令F（x）=asinx+cos2x=0，方程F（x）=0等价于关于x的方程a=﹣，x≠kπ（k∈Z）．问题转化为研究直线y=a与曲线y=h（x），x∈（0，π）∪（π，2π）的交点情况．通过其导数，列表分析即可求得答案．【解答】解：（1）∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，∴ω==2，又曲线y=f（x）的一个对称中心为，，φ∈（0，π），故f（）=sin（2×+φ）=0，得φ=，所以f（x）=cos2x．将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得y=cosx的图象，再将y=cosx的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）=cos（x﹣）的图象，∴g（x）=sinx．（2）当x∈（，）时，＜sinx＜，0＜cos2x＜，∴sinx＞cos2x＞sinxcos2x，问题转化为方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（，）内是否有解．设G（x）=sinx+sinxcos2x﹣2cos2x，x∈（，），则G′（x）=cosx+cosxcos2x+2sin2x（2﹣sinx），∵x∈（，），∴G′（x）＞0，G（x）在（，）内单调递增，又G（）=﹣＜0，G（）=＞0，且G（x）的图象连续不断，故可知函数G （x）在（，）内存在唯一零点x0，即存在唯一零点x0∈（，）满足题意．（3）依题意，F（x）=asinx+cos2x，令F（x）=asinx+cos2x=0，当sinx=0，即x=kπ（k∈Z）时，cos2x=1，从而x=kπ（k∈Z）不是方程F（x）=0的解，∴方程F（x）=0等价于关于x的方程a=﹣，x≠kπ（k∈Z）．现研究x∈（0，π）∪（π，2π）时方程a=﹣的解的情况．令h（x）=﹣，x∈（0，π）∪（π，2π），则问题转化为研究直线y=a与曲线y=h（x），x∈（0，π）∪（π，2π）的交点情况．h′（x）=，令h′（x）=0，得x=或x=，当x变换时，h′（x），h（x）的变化情况如下表：当x＞0且x趋近于0时，h（x）趋向于﹣∞，当x＜π且x趋近于π时，h（x）趋向于﹣∞，当x＞π且x趋近于π时，h（x）趋向于+∞，当x＜2π且x趋近于2π时，h（x）趋向于+∞，故当a＞1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）内无交点，在（π，2π）内有2个交点；当a＜﹣1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）内有2个交点，在（π，2π）内无交点；当﹣1＜a＜1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）内有2个交点，在（π，2π）内有2个交点；由函数h（x）的周期性，可知当a≠±1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，nπ）内总有偶数个交点，从而不存在正整数n，使得直线y=a与曲线y=h（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点；又当a=1或a=﹣1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）∪（π，2π）内有3个交点，由周期性，2013=3×671，∴依题意得n=671×2=1342．综上，当a=1，n=1342，或a=﹣1，n=1342时，函数F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点．本题设有（21）、（22）、（23）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题计分.21．（7分）（2013•福建）选修4﹣2：矩阵与变换已知直线l：ax+y=1在矩阵对应的变换作用下变为直线l′：x+by=1（I）求实数a，b的值（II）若点P（x0，y0）在直线l上，且，求点P的坐标．【分析】（I）任取直线l：ax+y=1上一点M（x，y），经矩阵A变换后点为M′（x′，y′），利用矩阵乘法得出坐标之间的关系，求出直线l′的方程，从而建立关于a，b的方程，即可求得实数a，b的值；（II）由得，从而解得y0的值，又点P（x0，y0）在直线l上，即可求出点P的坐标．【解答】解：（I）任取直线l：ax+y=1上一点M（x，y），经矩阵A变换后点为M′（x′，y′），则有=，可得，又点M′（x′，y′）在直线l′上，∴x+（b+2）y=1，可得，解得（II）由得，从而y0=0，又点P（x0，y0）在直线l上，∴x0=1，∴点P的坐标为（1，0）．22．（7分）（2013•福建）选修4﹣4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为，，直线l的极坐标方程为，且点A 在直线l上．（Ⅰ）求a的值及直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）圆C的参数方程为为参数，试判断直线l与圆C的位置关系．【分析】（Ⅰ）根据点A在直线l上，将点的极坐标代入直线的极坐标方程即可得出a值，再利用极坐标转化成直角坐标的转换公式求出直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）欲判断直线l和圆C的位置关系，只需求圆心到直线的距离与半径进行比较即可，根据点到线的距离公式求出圆心到直线的距离然后与半径比较．【解答】解：（Ⅰ）点A，在直线l上，得，∴a=，故直线l的方程可化为：ρsinθ+ρcosθ=2，得直线l的直角坐标方程为x+y﹣2=0；（Ⅱ）消去参数α，得圆C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1圆心C到直线l的距离d=＜1，所以直线l和⊙C相交．23．（2013•福建）设不等式|x﹣2|＜a（a∈N*）的解集为A，且，（Ⅰ）求a的值（Ⅱ）求函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的最小值．【分析】（Ⅰ）利用，，推出关于a的绝对值不等式，结合a为整数直接求a的值．（Ⅱ）利用a的值化简函数f（x），利用绝对值三角不等式求出|x+1|+|x﹣2|的最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为，，所以＜且，解得＜，因为a∈N*，所以a的值为1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，当且仅当（x+1）（x﹣2）≥0，即x≥2或x≤﹣1时取等，所以函数f（x）的最小值为3．。
2013年福建省高考(理科)数学试卷及答案(Word解析版)
2013年福建省高考数学试卷及解析（理工农医类）一．选择题1．已知复数z 的共轭复数12z i =+（i 为虚数单位）、则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ． 第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D【解析】z 的共轭复数12z i =+、则12z i =-、对应点的坐标为(1,2)-、故答案为D ． 2．已知集合{}1,A a =,{}1,2,3B =,则“3a =”是“A B ⊆”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】3,a A B =⇒⊆2A B a ⊆⇒=、或3．因此是充分不必要条件．3．双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ ） A ．25 B ．45 CD【答案】C【解析】 2214x y -=的顶点坐标为(2,0)±、渐近线为2204x y -=、即20x y ±=．带入点到直线距离公式d ==． 4．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生、将他们的模块测试成绩分为6组：[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计、得到如图所示的频率分布直方图、已知高一年级共有学生600名、据此估计、该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ） A ．588 B ．480 C ．450 D ．120【答案】B【解析】由图知道60分以上人员的频率为后4项频率的和、由图知道(0.030.0250.0150.01)*P =+++=故分数在60以上的人数为600*0．8=480人．5．满足{},1,0,1,2a b ∈-、且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的个数为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．10 【答案】B【解析】方程220ax x b ++=有实数解、分析讨论①当0a =时、很显然为垂直于x 轴的直线方程、有解．此时b 可以取4个值．故有4种有序数对②当0a ≠时、需要440ab ∆=-≥、即1ab ≤．显然有3个实数对不满足题意、分别为（1,2）、（2,1）、（2,2）．(,)a b 共有4*4=16中实数对、故答案应为16-3=13．6．阅读如图所示的程序框图、若输入的10k =、则该算法的功能是（ ）A ．计算数列{}12n -的前10项和 B ．计算数列{}12n -的前9项和C ．计算数列{}21n -的前10项和D ．计算数列{}21n-的前9项和【答案】C【解析】第一循环：1,2S i ==、10i <第二条：3,3,10S i i ==<第三条：7,4,10S i i ==<…．．第九循环：921,10,10S i i =-==．第十循环：1021,11,10S i i =-=>、输出S ．根据选项、101(12)12S -=-、故为数列12n -的前10项和．故答案A ．7．在四边形ABCD 中、(1,2)AC =、(4,2)BD =-、则四边形的面积为（ ）A B ． C ．5 D ．10【答案】C【解析】由题意、容易得到AC BD ⊥．设对角线交于O 点、则四边形面积等于四个三角形面积之和 即S=11(****)(*)22AO DO AO BO CO DO CO BO AC BD +++=．容易算出AC BD ==、则算出S=5．故答案C8．设函数()f x 的定义域为R 、00(0)x x ≠是()f x 的极大值点、以下结论一定正确的是（ ）A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤B ．0x -是()f x -的极小值点C ．0x -是()f x -的极小值点D ．0x -是()f x --的极小值点 【答案】D【解析】A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤、错误．00(0)x x ≠是()f x 的极大值点、并不是最大值点．B ．0x -是()f x -的极小值点．错误．()f x -相当于()f x 关于y 轴的对称图像、故0x -应是()f x -的极大值点C ．0x -是()f x -的极小值点．错误．()f x -相当于()f x 关于x 轴的对称图像、故0x 应是()f x -的极小值点．跟0x -没有关系．D ．0x -是()f x --的极小值点．正确．()f x --相当于()f x 先关于y 轴的对象、再关于x 轴的对称图像．故D 正确9．已知等比数列{}n a 的公比为q 、记(1)1(1)2(1)...,n m n m n m n m b a a a -+-+-+=+++*(1)1(1)2(1)...(,),n m n m n m n m c a a a m n N -+-+-+=∙∙∙∈则以下结论一定正确的是（ ）A ．数列{}n b 为等差数列、公差为mq B ．数列{}n b 为等比数列、公比为2mq C ．数列{}n c 为等比数列、公比为2m q D ．数列{}n c 为等比数列、公比为mm q【答案】C【解析】等比数列{}n a 的公比为q,同理可得2222222,m m m mm m m a a a a a a ++++=∙=∙112...m c a a a =∙∙∙,212...,m m m m c a a a +++=∙∙∙321222...,m m m m c a a a +++=∙∙∙2213c c c ∴=∙∴数列{}n c 为等比数列、2221212211212............m m m m m m m m m ma a a a a a q c q q c a a a a a a +++∙∙∙∙∙∙∙====∙∙∙∙∙∙故选C10．设S 、T 、是R 的两个非空子集、如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足：(){()|};()i T f x x S ii =∈对任意12,,x x S ∈当12x x <时、恒有12()()f x f x <、那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是（ ）A ．*,A NB N == B ．{|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或C ．{|01},A x x B R =<<=D ．,A Z B Q == 【答案】D【解析】根据题意可知、令()1f x x =-、则A 选项正确；令55(13)()228(1)x x f x x ⎧+-<≤⎪=⎨⎪-=-⎩、则B 选项正确； 令1()tan ()2f x x π=-、则C 选项正确；故答案为D ．二．填空题11．利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a 、则时间“310a ->”发生的概率为________ 【答案】23【解析】13103a a ->∴>a 产生0~1之间的均匀随机数1(,1)3a ∴∈112313p -∴==12．已知某一多面体内接于一个简单组合体、如果该组合体的正视图．测试图．俯视图均如图所示、且图中的四边形是边长为2的正方形、则该球的表面积是_______________【答案】12π【解析】由图可知、图形为一个球中间是内接一个棱长为2的正方体、24122R S R ππ∴====球表13．如图ABC ∆中、已知点D 在BC 边上、AD ⊥AC、sin 33BAC AB AD ∠===则BD 的长为_______________【解析】sin sin()cos 23BAC BAD BAD π∠=∠+=∠=∴根据余弦定理可得222cos 2AB AD BD BAD AB AD+-∠=∙BD ==14．椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左．右焦点分别为12,F F 、焦距为2c 、若直线)y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠、则该椭圆的离心率等于__________1【解析】由直线方程)y x c +⇒直线与x 轴的夹角12233MF F ππ∠=或、且过点1-F （c,0）12212MF F MF F ∠=∠∴122123MF F MF F π∠=∠=即12F M F M ⊥12RT F MF ∴∆在中，12122,,F F c FM c F M ===∴由椭圆的第一定义可得21c a c a =∴== 15．当,1x R x ∈<时、有如下表达式:211.......1nx x x x+++++=- 两边同时积分得：1111122222200011.......1ndx xdx x dx x dx dx x+++++=-⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式：23111111111()()...()...ln 2.2223212n n +⨯+⨯+⨯++⨯+=+ 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法、计算：122311111111()()...()_____2223212nn n n n n n C C C C +⨯+⨯+⨯++⨯=+ 【答案】113[()1]12n n +-+【解析】由01221......(1)n nn n n n n C C x C x C x x +++++=+两边同时积分得：111112222220001......(1).nn n n n n C dx C xdx C x dx C x dx x dx +++++=+⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式：122311*********()()...()[()1]222321212n n n n n n n n n C C C C ++⨯+⨯+⨯++⨯=-++ 三．解答题 16．（本小题满分13分）某联欢晚会举行抽奖活动、举办方设置了甲．乙两种抽奖方案、方案甲的中奖率为23、中将可以获得2分；方案乙的中奖率为25、中将可以得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会、每次抽奖中将与否互不影响、晚会结束后凭分数兑换奖品．（1）若小明选择方案甲抽奖、小红选择方案乙抽奖、记他们的累计得分为,X Y 、求3X ≤的概率；（2）若小明．小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖、问：他们选择何种方案抽奖、累计的得分的数学期望较大？本小题主要考查古典概型．离散型随机变量的分布列．数学期望等基础知识、考查数据处理能力．运算求解能力．应用意识、考查必然和或然思想、满分13分． 解：（Ⅰ）由已知得：小明中奖的概率为23、小红中奖的概率为25、两人中奖与否互不影响、记“这2人的累计得分3≤X ”的事件为A 、则A 事件的对立事件为“5=X ”、224(5)3515==⨯=P X 、11()1(5)15∴=-==P A P X ∴这两人的累计得分3≤X 的概率为1115． （Ⅱ）设小明．小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为1X 、都选择方案乙抽奖中奖的次数为2X 、则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为1(2)E X 、选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为2(3)E X由已知：12~(2,)3X B 、22~(2,)5X B124()233∴=⨯=E X 、224()255=⨯=E X118(2)2()3∴==E X E X 、2212(3)3()5==E X E X12(2)(3)>E X E X∴他们都在选择方案甲进行抽奖时、累计得分的数学期望最大．17．（本小题满分13分）已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈ （1）当2a =时、求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的极值．本小题主要考查函数．函数的导数．不等式等基础知识、考查运算求解能力、考查函数与方程思想．分类与整合思想、数形结合思想．化归与转化思想．满分13分． 解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞、()1'=-a f x x． （Ⅰ）当2=a 时、()2ln =-f x x x 、2()1(0)'=->f x x x、 (1)1,(1)1'∴==-f f 、()∴=y f x 在点(1,(1))A f 处的切线方程为1(1)-=--y x 、即20+-=x y ．（Ⅱ）由()1,0-'=-=>a x a f x x x x可知： ①当0≤a 时、()0'>f x 、函数()f x 为(0,)+∞上的增函数、函数()f x 无极值； ②当0>a 时、由()0'=f x 、解得=x a ；(0,)∈x a 时、()0'<f x 、(,)∈+∞x a 时、()0'>f x()∴f x 在=x a 处取得极小值、且极小值为()ln =-f a a a a 、无极大值．综上：当0≤a 时、函数()f x 无极值当0>a 时、函数()f x 在=x a 处取得极小值ln -a a a 、无极大值．18．（本小题满分13分）如图、在正方形OABC 中、O 为坐标原点、点A 的坐标为(10,0)、点C 的坐标为(0,10)．分别将线段OA 和AB 十等分、分点分别记为129,,....A A A 和129,,....B B B 、连结i OB 、过i A 做x 轴的垂线与i OB 交于点*(,19)i P i N i ∈≤≤． （1）求证：点*(,19)iP i N i ∈≤≤都在同一条抛物线上、并求该抛物线E 的方程； （2）过点C 做直线l 与抛物线E 交于不同的两点,M N 、若OCM ∆与OCN ∆的面积比为4:1、求直线l 的方程．本小题主要考查抛物线的性质．直线与抛物线的位置关系等基础知识、考查运算求解能力．推理论证能力、考查化归与转化思想、数形结合思想．函数与方程思想．满分13分．解：（Ⅰ）依题意、过*(,19)∈≤≤i A i N i 且与x 轴垂直的直线方程为=x i(10,)i B i 、∴直线i OB 的方程为10=iy x 设i P 坐标为(,)x y 、由10=⎧⎪⎨=⎪⎩x iiy x 得：2110=y x 、即210=x y 、 ∴*(,19)∈≤≤i P i N i 都在同一条抛物线上、且抛物线E 方程为210=x y（Ⅱ）依题意：直线l 的斜率存在、设直线l 的方程为10=+y kx由21010=+⎧⎨=⎩y kx x y得2101000--=x kx 此时2100+4000∆=>k 、直线l 与抛物线E 恒有两个不同的交点,M N 设：1122(,)(,)M x y N x y 、则121210100+=⎧⎨⋅=-⎩x x kx x4∆∆=OCM OCN S S ∴124=x x又120⋅<x x 、∴124=-x x分别带入21010=+⎧⎨=⎩y kx x y、解得32=±k 直线l 的方程为3+102=±y x 、即32200-+=x y 或3+2200-=x y 19．（本小题满分13分）如图、在四棱柱1111ABCD A B C D -中、侧棱1AA ABCD ⊥底面、//AB DC 、11AA =、3AB k =、4AD k =、5BC k =、6DC k =(0)k >．（1）求证：11;CD ADD A ⊥平面（2）若直线1AA 与平面1AB C 所成角的正弦值为67、求k 的值； （3）现将与四棱柱1111ABCD A B C D -形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的棱柱、规定：若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同、则视为同一种拼接方案．问：共有几种不同的方案？在这些拼接成的新四棱柱中、记其中最小的表面积为()f k 、写出()f k 的表达式（直接写出答案、不必要说明理由）本小题主要考查直线与直线．直线与平面的位置关系．柱体的概念及表面积等基础知识、考查空间想象能力．推理论证能力．运算求解能力、考查数形结合思想．分类与整合思想．化归与转化思想、满分13分． 解：（Ⅰ）取CD 中点E 、连接BE//AB DE Q 、3AB DE k == ∴四边形ABED 为平行四边形//BE AD ∴且4BE AD k ==在BCE V 中、4,3,5BE k CE k BC k ===Q222BE CE BC ∴+=90BEC ∴∠=︒,即BE CD ⊥、又//BE AD Q 、所以CD AD ⊥1AA ⊥Q 平面ABCD 、CD ⊂平面ABCD 1AA CD ∴⊥、又1AA AD A =I 、CD ∴⊥平面11ADD A（Ⅱ）以D 为原点、1,,DA DC DD u u u r u u u r u u u r的方向为,,x y z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系(4,0,0)A k 、(0,6,0)C k 、1(4,3,1)B k k 、1(4,0,1)A k所以(4,6,0)AC k k =-u u u r 、1(0,3,1)AB k =u u u r 、1(0,0,1)AA =u u u r设平面1AB C 的法向量(,,)n x y z =、则由10AC n AB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu r uuu r得46030kx ky ky z -+=⎧⎨+=⎩取2y =、得(3,2,6)n k =-设1AA 与平面1AB C 所成角为θ、则111,sin |cos ,|||||AA nAA n AA n θ=〈〉=⋅uuu ruuu r uuu r67==、解得1k =．故所求k 的值为1 （Ⅲ）共有4种不同的方案2257226,018()53636,18k k k f k k k k ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩20．（本小题满分14分）已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的周期为π、图像的一个对称中心为(,0)4π、将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）、在将所得图像向右平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图像． （1）求函数()f x 与()g x 的解析式； （2）是否存在0(,)64x ππ∈、使得0000(),(),()()f x g x f x g x 按照某种顺序成等差数列？若存在、请确定0x 的个数； 若不存在、说明理由．（3）求实数a 与正整数n 、使得()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点． 本小题主要考查同角三角函数的基本关系．三角恒等变换．三角函数的图像与性质．函数．函数的导数．函数的零点．不等式等基础知识、考查运算求解能力．抽象概括能力、考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想．化归与转化思想、满分14分． 解：（Ⅰ）由函数()sin()f x x ωϕ=+的周期为π、0ω>、得2ω= 又曲线()y f x =的一个对称中心为(,0)4π、(0,)ϕπ∈故()sin(2)044f ππϕ=⨯+=、得2πϕ=、所以()cos 2f x x =将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得cos y x =的图象、再将cos y x =的图象向右平移2π个单位长度后得到函数()sin g x x =（Ⅱ）当(,)64x ππ∈时、1sin 2x <<、10cos 22x << 所以sin cos 2sin cos 2x x x x >>问题转化为方程2cos 2sin sin cos 2x x x x =+在(,)64ππ内是否有解 设()sin sin cos 22cos 2G x x x x x =+-、(,)64x ππ∈则()cos cos cos 22sin 2(2sin )G x x x x x x '=++- 因为(,)64x ππ∈、所以()0G x '>、()G x 在(,)64ππ内单调递增又1()064G π=-<、()04G π=> 且函数()G x 的图象连续不断、故可知函数()G x 在(,)64ππ内存在唯一零点0x 、 即存在唯一的0(,)64x ππ∈满足题意 （Ⅲ）依题意、()sin cos 2F x a x x =+、令()sin cos 20F x a x x =+=当sin 0x =、即()x k k Z π=∈时、cos 21x =、从而()x k k Z π=∈不是方程()0F x =的解、所以方程()0F x =等价于关于x 的方程cos 2sin xa x=-、()x k k Z π≠∈ 现研究(0,)(,2)x πππ∈U 时方程解的情况 令cos 2()sin xh x x=-、(0,)(,2)x πππ∈U 则问题转化为研究直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)x πππ∈U 的交点情况22cos (2sin 1)()sin x x h x x+'=、令()0h x '=、得2x π=或32x π= 当x 变化时、()h x 和()h x '变化情况如下表当0x >且x 趋近于0时、()h x 趋向于-∞ 当x π<且x 趋近于π时、()h x 趋向于-∞ 当x π>且x 趋近于π时、()h x 趋向于+∞ 当2x π<且x 趋近于2π时、()h x 趋向于+∞故当1a >时、直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有无交点、在(,2)ππ内有2个交点； 当1a <-时、直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点、在(,2)ππ内无交点； 当11a -<<时、直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点、在(,2)ππ内有2个交点由函数()h x 的周期性、可知当1a ≠±时、直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内总有偶数个交点、从而不存在正整数n 、使得直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内恰有2013个交点；当1a =±时、直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)πππU 内有3个交点、由周期性、20133671=⨯、所以67121342n =⨯=综上、当1a =±、1342n =时、函数()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点 21．（本题满分14分） （1）（本小题满分7分）矩阵与变换已知直线:1l ax y +=在矩阵1201A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下变为直线':1l x by +=． （1）求实数,a b 的值；（2）若点00(,)p x y 在直线l 上、且0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、求点p 的坐标．本小题主要考查矩阵．矩阵与变换等基础知识、考查运算求解能力．考查化归与转化思想．满分7分．解：解：（Ⅰ）设直线:1l ax y +=上任意一点(,)M x y 在矩阵A 对应的变换作用下的像是(,)M x y '''由12201x x x y y y y '+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭、得2x x y y y '=+⎧⎨'=⎩ 又点(,)M x y '''在l '上、所以1x by ''+=、即(2)1x b y ++=依题意121a b =⎧⎨+=⎩、解得11a b =⎧⎨=-⎩（Ⅱ）由0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、得000002x x y y y =+⎧⎨=⎩解得00y = 又点00(,)P x y 在直线l 上、所以01x = 故点P 的坐标为(1,0)（2）（本小题满分7分）坐标系与参数方程在平面直角坐标系中、以坐标原点为极点、x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点A 的极坐标为)4π、直线l 的极坐标方程为cos()4a πρθ-=、且点A 在直线l 上．（1）求a 的值及直线l 的直角坐标方程；（2）圆c 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩、（α为参数）、试判断直线l 与圆的位置关系．本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化．圆的参数方程等基础知识．考查运算求解能力、考查化归与转化思想、满分7分．解：（Ⅰ）由点)4A π在直线cos()4a πρθ-=上、可得a =所以直线l 的方程可化为cos sin 2ρθρθ+= 从而直线l 的直角坐标方程为20x y +-=（Ⅱ）由已知得圆C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+= 所以圆心为(1,0)、半径1r =以为圆心到直线的距离12d =<、所以直线与圆相交 （3）（本小题满分7分）不等式选讲 设不等式*2()x a a N -<∈的解集为A 、且32A ∈、12A ∉． （1）求a 的值；（2）求函数()2f x x a x =++-的最小值．本小题主要考查绝对猪不等式等基础知识、考查运算求解能力、考查化归与转化思想、满分7分． 解：（Ⅰ）因为32A ∈、且12A ∉、所以322a -<、且122a -≥解得1322a <≤、又因为*a N ∈、所以1a = （Ⅱ）因为|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-≥+--=当且仅当(1)(2)0x x +-≤、即12x -≤≤时取得等号、所以()f x 的最小值为3。
2013年高考数学真题(理)-福建
2013年高考数学真题（理）-福建（2013 福建 理 1）已知复数z 的共轭复数12z i =+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 【答案】D【解析】z 的共轭复数12z i =+，则12z i =-，对应点的坐标为(1,2)-，故答案为D 。
（2013 福建 理 2）已知集合{}1,A a =，{}1,2,3B =,则“3a =”是“A B ⊆”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】3,a A B =⇒⊆2A B a ⊆⇒=，或3，因此是充分不必要条件。
（2013 福建 理 3）双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ ） A.25 B.45C.D.【答案】C【解析】2214x y -=的顶点坐标为(2,0)±，渐近线为2204x y -=，即20x y ±=。
带入点到直线距离公式d ==。
（2013 福建 理 4）某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图。
已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ）A.588B.480C.450D.120 【答案】B【解析】由图知道60分以上人员的频率为后4项频率的和，由图知道(0.030.0250.0150.01)*100.8P =+++=，故分数在60以上的人数为600×0.8=480人。
（2013 福建 理 5）满足{},1,0,1,2a b ∈-，且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的个数为（ ）A.14B.13C.12D.10 【答案】B【解析】方程220ax x b ++=有实数解，分析讨论：①当0a =时，很显然为垂直于x 轴的直线方程，有解．此时b 可以取4个值．故有4种有序数对。
【精校word含答案】2013年普通高等学校招生全国统一考试福建卷(数学理)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理工农医类）(2013福建理)第Ⅰ卷(选择题 共50分)一．选择题(2013福建理)1．已知复数z 的共轭复数12z i =+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）D A ． 第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 (2013福建理)2．已知集合{}1,A a =,{}1,2,3B =,则“3a =”是“A B ⊆”的（ ）AA ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2013福建理)3．双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ )CA ．25 B ．45 C ．5 D ．5(2013福建理)4．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ）B A ．588 B ．480 C ．450 D ．120(2013福建理)5．满足{},1,0,1,2a b ∈-，且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的个数为（ ）B A ．14 B ．13 C ．12 D ．10(2013福建理)6．阅读如图所示的程序框图，若输入的10k =，则该算法的功能是（ ）CA ．计算数列{}12n -的前10项和 B ．计算数列{}12n -的前9项和C ．计算数列{}21n -的前10项和D ．计算数列{}21n-的前9项和(2013福建理)7．在四边形ABCD 中，(1,2)AC =，(4,2)BD =-，则四边形的面积为（ ）CA B ． C ．5 D ．10(2013福建理)8．设函数()f x 的定义域为R ，00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）DA ．0,()()x R f x f x ∀∈≤B ．0x -是()f x -的极小值点C ．0x -是()f x -的极小值点D ．0x -是()f x --的极小值点 (2013福建理)9．已知等比数列{}n a 的公比为q ，记(1)1(1)2(1)...,n m n m n m n m b a a a -+-+-+=+++*(1)1(1)2(1)...(,),n m n m n m n m c a a a m n N -+-+-+=∙∙∙∈则以下结论一定正确的是（ ）CA ．数列{}n b 为等差数列，公差为mq B ．数列{}n b 为等比数列，公比为2mq C ．数列{}n c 为等比数列，公比为2m qD ．数列{}n c 为等比数列，公比为mm q(2013福建理)10．设S ，T ，是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足：(){()|};()i T f x x S ii =∈对任意12,,x x S ∈当12x x <时，恒有12()()f x f x <，那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是（ ）DA ．*,A N B N == B ．{|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或 C ．{|01},A x x B R =<<= D ．,A Z B Q == 二．填空题(2013福建理)11．利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a ，则时间“310a ->”发生的概率为________23(2013福建理)12．已知某一多面体内接于一个简单组合体，如果该组合体的正视图．测试图．俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是_______________12π(2013福建理)13．如图ABC ∆中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin 33BAC AB AD ∠===则BD 的长为_______________(2013福建理)14．椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左．右焦点分别为12,F F ，焦距为2c ，若直线)y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠，则该椭圆的离心率等于1(2013福建理)15．当,1x R x ∈<时，有如下表达式:211.......1nx x x x+++++=- 两边同时积分得：1111122222200011.......1ndx xdx x dx x dx dx x+++++=-⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式：23111111111()()...()...ln 2.2223212n n +⨯+⨯+⨯++⨯+=+ 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算：122311111111()()...()_____2223212nn n n n n n C C C C +⨯+⨯+⨯++⨯=+113[()1]12n n +-+ 三．解答题(2013福建理)16．（本小题满分13分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲．乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中将可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中将可以得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中将与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品． （1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为,X Y ，求3X ≤的概率； （2）若小明．小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计的得分的数学期望较大？解：（Ⅰ）由已知得：小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，两人中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分3≤X ”的事件为A ，则A 事件的对立事件为“5=X”，224(5)3515==⨯=P X ，11()1(5)15∴=-==P A P X ∴这两人的累计得分3≤X 的概率为1115．（Ⅱ）设小明．小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为1X ，都选择方案乙抽奖中奖的次数为2X ，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为1(2)E X ，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为2(3)E X 由已知：12~(2,)3X B ，22~(2,)5X B 124()233∴=⨯=E X ，224()255=⨯=E X 118(2)2()3∴==E X E X ，2212(3)3()5==E X E X 12(2)(3)>E X E X ∴他们都在选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望最大．(2013福建理)17．（本小题满分13分）已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程；（2）求函数()f x 的极值．解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()1'=-a f x x ．（Ⅰ）当2=a 时，()2ln =-f x x x ，2()1(0)'=->f x x x， (1)1,(1)1'∴==-f f ，()∴=y f x 在点(1,(1))A f 处的切线方程为1(1)-=--y x ，即20+-=x y ．（Ⅱ）由()1,0-'=-=>a x a f x x x x可知：①当0≤a 时，()0'>f x ，函数()f x 为(0,)+∞上的增函数，函数()f x 无极值；②当0>a 时，由()0'=f x ，解得=x a ；(0,)∈x a 时，()0'<f x ，(,)∈+∞x a 时，()0'>f x ()∴f x 在=x a 处取得极小值，且极小值为()ln =-f a a a a ，无极大值．综上：当0≤a 时，函数()f x 无极值.当0>a 时，函数()f x 在=x a 处取得极小值ln -a a a ，无极大值． (2013福建理)18．（本小题满分13分）如图，在正方形OABC 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(10,0)，点C 的坐标为(0,10)．分别将线段OA 和AB 十等分，分点分别记为129,,....A A A 和129,,....B B B ，连结i OB ，过i A 做x 轴的垂线与i OB 交于点*(,19)i P i N i ∈≤≤．（1）求证：点*(,19)i P i N i ∈≤≤都在同一条抛物线上，并求该抛物线E 的方程；（2）过点C 做直线l 与抛物线E 交于不同的两点,M N ，若OCM ∆与OCN ∆的面积比为4:1，求直线l 的方程．解：（Ⅰ）依题意，过*(,19)∈≤≤i A i N i 且与x 轴垂直的直线方程为=x i ,(10,)i B i ，∴直线i OB 的方程为10=i y x 设i P 坐标为(,)x y ，由10=⎧⎪⎨=⎪⎩x ii y x 得：2110=y x ，即210=x y ，∴*(,19)∈≤≤i P i N i 都在同一条抛物线上，且抛物线E 方程为210=x y （Ⅱ）依题意：直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为10=+y kx由21010=+⎧⎨=⎩y kx x y得2101000--=x kx 此时2100+4000∆=>k ，直线l 与抛物线E 恒有两个不同的交点,M N 设：1122(,)(,)M x y N x y ，则121210100+=⎧⎨⋅=-⎩x x k x x 4∆∆=OCM OCN S S ∴124=x x 又120⋅<x x ，∴124=-x x 分别带入21010=+⎧⎨=⎩y kx x y，解得32=±k 直线l 的方程为3+102=±y x ，即32200-+=x y 或3+2200-=x y(2013福建理)19．（本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA ABCD ⊥底面，//AB DC ，11AA =，3AB k =，4AD k =，5BC k =，6DC k =(0)k >．（1）求证：11;CD ADD A ⊥平面（2）若直线1AA 与平面1AB C 所成角的正弦值为67，求k 的值；（3）现将与四棱柱1111ABCD A B C D -形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的棱柱，规定：若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案．问：共有几种不同的方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为()f k ，写出()f k 的表达式（直接写出答案，不必要说明理由）解：（Ⅰ）取CD 中点E ，连接BE//AB DE Q ，3AB DE k ==∴四边形ABED 为平行四边形 //BE AD ∴且4BE AD k ==在BCE V 中，4,3,5BE k CE k BC k ===Q222BE CE BC ∴+=90BEC ∴∠=︒,即BE CD ⊥，又//BE AD Q ，所以CD AD ⊥1AA ⊥Q 平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD 1AA CD ∴⊥，又1AA AD A =I ，CD ∴⊥平面11ADD A（Ⅱ）以D 为原点，1,,DA DC DD u u u r u u u r u u u r的方向为,,x y z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系(4,0,0)A k ，(0,6,0)C k ，1(4,3,1)B k k ，1(4,0,1)A k所以(4,6,0)AC k k =-u u u r ，1(0,3,1)AB k =u u u r ，1(0,0,1)AA =u u u r 设平面1AB C 的法向量(,,)n x y z =，则由10AC n AB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu r uuu r得46030kx ky ky z -+=⎧⎨+=⎩取2y =，得(3,2,6)n k =-设1AA 与平面1AB C 所成角为θ，则111,sin |cos ,|||||AA nAA n AA n θ=〈〉=⋅uuu ruuu r uuu r67==，解得1k =．故所求k 的值为1 （Ⅲ）共有4种不同的方案2257226,018()53636,18k k k f k k k k ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩(2013福建理)20．（本小题满分14分）已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的周期为π，图像的一个对称中心为(,0)4π，将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），在将所得图像向右平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图像． （1）求函数()f x 与()g x 的解析式； （2）是否存在0(,)64x ππ∈，使得0000(),(),()()f x g x f x g x 按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定0x 的个数；若不存在，说明理由．（3）求实数a 与正整数n ，使得()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点． 解：（Ⅰ）由函数()sin()f x x ωϕ=+的周期为π，0ω>，得2ω= 又曲线()y f x =的一个对称中心为(,0)4π，(0,)ϕπ∈故()sin(2)044f ππϕ=⨯+=，得2πϕ=，所以()cos 2f x x =将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得cos y x =的图象，再将cos y x =的图象向右平移2π个单位长度后得到函数()sin g x x =（Ⅱ）当(,)64x ππ∈时，1sin 2x <<，10cos 22x << 所以sin cos 2sin cos 2x x x x >>问题转化为方程2cos 2sin sin cos 2x x x x =+在(,)64ππ内是否有解 设()sin sin cos 22cos 2G x x x x x =+-，(,)64x ππ∈则()cos cos cos 22sin 2(2sin )G x x x x x x '=++- 因为(,)64x ππ∈，所以()0G x '>，()G x 在(,)64ππ内单调递增又1()064G π=-<，()042G π=> 且函数()G x 的图象连续不断，故可知函数()G x 在(,)64ππ内存在唯一零点0x ， 即存在唯一的0(,)64x ππ∈满足题意 （Ⅲ）依题意，()sin cos 2F x a x x =+，令()sin cos 20F x a x x =+=当sin 0x =，即()x k k Z π=∈时，cos 21x =，从而()x k k Z π=∈不是方程()0F x =的解，所以方程()0F x =等价于关于x 的方程cos 2sin xa x=-，()x k k Z π≠∈ 现研究(0,)(,2)x πππ∈U 时方程解的情况 令cos 2()sin xh x x=-，(0,)(,2)x πππ∈U 则问题转化为研究直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)x πππ∈U 的交点情况22cos (2sin 1)()sin x x h x x+'=，令()0h x '=，得2x π=或32x π=当x 变化时，()h x 和()h x '变化情况如下表当0x >且x 趋近于0时，()h x 趋向于-∞ 当x π<且x 趋近于π时，()h x 趋向于-∞ 当x π>且x 趋近于π时，()h x 趋向于+∞ 当2x π<且x 趋近于2π时，()h x 趋向于+∞故当1a >时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有无交点，在(,2)ππ内有2个交点； 当1a <-时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点，在(,2)ππ内无交点； 当11a -<<时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点，在(,2)ππ内有2个交点由函数()h x 的周期性，可知当1a ≠±时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内总有偶数个交点，从而不存在正整数n ，使得直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内恰有2013个交点；当1a =±时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)πππU 内有3个交点，由周期性，20133671=⨯，所以67121342n =⨯= 综上，当1a =±，1342n =时，函数()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点(2013福建理)21．（本题满分14分） （1）（本小题满分7分）矩阵与变换(2013福建理)已知直线:1l ax y +=在矩阵1201A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下变为直线':1l x by +=． （I ）求实数,a b 的值；（II ）若点00(,)p x y 在直线l 上，且0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求点p 的坐标． （2）（本小题满分7分）坐标系与参数方程(2013福建理)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点A 的极坐标为)4π，直线l 的极坐标方程为cos()4a πρθ-=，且点A 在直线l 上． （1）求a 的值及直线l 的直角坐标方程；（2）圆c 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩，（α为参数），试判断直线l 与圆的位置关系．解：（Ⅰ）由点)4A π在直线cos()4a πρθ-=上，可得a =所以直线l 的方程可化为cos sin 2ρθρθ+= 从而直线l 的直角坐标方程为20x y +-=（Ⅱ）由已知得圆C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+= 所以圆心为(1,0)，半径1r =以为圆心到直线的距离1d =<，所以直线与圆相交（3）（本小题满分7分）不等式选讲(2013福建理)设不等式*2()x a a N -<∈的解集为A ，且32A ∈，12A ∉． （1）求a 的值；（2）求函数()2f x x a x =++-的最小值．18. 19. 20.21. 解：（1）解：（Ⅰ）设直线:1l ax y +=上任意一点(,)M x y 在矩阵A 对应的变换作用下的像是(,)M x y '''由12201x x x y y y y '+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得2x x y y y '=+⎧⎨'=⎩ 又点(,)M x y '''在l '上，所以1x by ''+=，即(2)1x b y ++=依题意121a b =⎧⎨+=⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩（Ⅱ）由0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得000002x x y y y =+⎧⎨=⎩解得00y =又点00(,)P x y 在直线l 上，所以01x = 故点P 的坐标为(1,0) （2）（3）解：（Ⅰ）因为32A ∈，且12A ∉，所以322a -<，且122a -≥解得1322a <≤，又因为*a N ∈，所以1a = （Ⅱ）因为|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-≥+--=当且仅当(1)(2)0x x +-≤，即12x -≤≤时取得等号，所以()f x 的最小值为3。
2013年福建省高考试题数学试卷答案及解析
2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学试题（理工农医类）第Ⅰ卷(选择题 共50分)一．选择题1．已知复数z 的共轭复数12z i =+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ． 第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D【解析】z 的共轭复数12z i =+，则12z i =-，对应点的坐标为(1,2)-，故答案为D ． 2．已知集合{}1,A a =,{}1,2,3B =,则“3a =”是“A B ⊆”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】3,a A B =⇒⊆2A B a ⊆⇒=，或3．因此是充分不必要条件．3．双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ ） A ．25 B ．45CD 【答案】C【解析】 2214x y -=的顶点坐标为(2,0)±，渐近线为2204x y -=，即20x y ±=．带入点到直线距离公式d ==． 4．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ） A ．588 B ．480 C ．450D ．120【答案】B【解析】由图知道60分以上人员的频率为后4项频率的和，由图知道(0.030.0250.0150.01)*100.8P =+++=故分数在60以上的人数为600*0．8=480人．5．满足{},1,0,1,2a b ∈-，且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的个数为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．10 【答案】B【解析】方程220ax x b ++=有实数解，分析讨论①当0a =时，很显然为垂直于x 轴的直线方程，有解．此时b 可以取4个值．故有4种有序数对②当0a ≠时，需要440ab ∆=-≥，即1ab ≤．显然有3个实数对不满足题意，分别为（1,2），（2,1），（2,2）．(,)a b 共有4*4=16中实数对，故答案应为16-3=13．6．阅读如图所示的程序框图，若输入的10k =，则该算法的功能是（ ）A ．计算数列{}12n -的前10项和 B ．计算数列{}12n -的前9项和 C ．计算数列{}21n -的前10项和 D ．计算数列{}21n -的前9项和【答案】C【解析】第一循环：1,2S i ==，10i <第二条：3,3,10S i i ==<第三条：7,4,10S i i ==< …．．第九循环：921,10,10S i i =-==．第十循环：1021,11,10S i i =-=>，输出S ．根据选项，101(12)12S -=-，故为数列12n -的前10项和．故答案A ．7．在四边形ABCD 中，(1,2)AC = ，(4,2)BD =-，则四边形的面积为（ ）A B ． C ．5 D ．10【答案】C【解析】由题意，容易得到AC BD ⊥．设对角线交于O 点，则四边形面积等于四个三角形面积之和 即S=11(****)(*)22AO DO AO BO CO DO CO BO AC BD +++=．容易算出AC BD ==，则算出S=5．故答案C8．设函数()f x 的定义域为R ，00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤B ．0x -是()f x -的极小值点C ．0x -是()f x -的极小值点D ．0x -是()f x --的极小值点 【答案】D【解析】A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤，错误．00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，并不是最大值点． B ．0x -是()f x -的极小值点．错误．()f x -相当于()f x 关于y 轴的对称图像，故0x -应是()f x -的极大值点C ．0x -是()f x -的极小值点．错误．()f x -相当于()f x 关于x 轴的对称图像，故0x 应是()f x -的极小值点．跟0x -没有关系．D ．0x -是()f x --的极小值点．正确．()f x --相当于()f x 先关于y 轴的对象，再关于x 轴的对称图像．故D 正确9．已知等比数列{}n a 的公比为q ，记(1)1(1)2(1)...,n m n m n m n m b a a a -+-+-+=+++*(1)1(1)2(1)...(,),n m n m n m n m c a a a m n N -+-+-+=∙∙∙∈则以下结论一定正确的是（ ）A ．数列{}n b 为等差数列，公差为mq B ．数列{}n b 为等比数列，公比为2mq C ．数列{}n c 为等比数列，公比为2m q D ．数列{}n c 为等比数列，公比为mm q【答案】C【解析】等比数列{}n a 的公比为q,同理可得2222222,m m m mm m m a a a a a a ++++=∙=∙112...m c a a a =∙∙∙,212...,m m m m c a a a +++=∙∙∙321222...,m m m m c a a a +++=∙∙∙2213c c c ∴=∙∴数列{}n c 为等比数列，2221212211212............mm m m m m m m m ma a a a a a q c q q c a a a a a a +++∙∙∙∙∙∙∙====∙∙∙∙∙∙ 故选C 10．设S ，T ，是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足：(){()|};()i T f x x S ii =∈对任意12,,x x S ∈当12x x <时，恒有12()()f x f x <，那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是（ ）A ．*,A N B N == B ．{|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或 C ．{|01},A x x B R =<<= D ．,A Z B Q == 【答案】D【解析】根据题意可知，令()1f x x =-，则A 选项正确；令55(13)()228(1)x x f x x ⎧+-<≤⎪=⎨⎪-=-⎩，则B 选项正确； 令1()tan ()2f x x π=-，则C 选项正确；故答案为D ．二．填空题11．利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a ，则时间“310a ->”发生的概率为________ 【答案】23【解析】13103a a ->∴> a 产生0~1之间的均匀随机数1(,1)3a ∴∈112313p -∴== 12．已知某一多面体内接于一个简单组合体，如果该组合体的正视图．测试图．俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是_______________【答案】12π【解析】由图可知，图形为一个球中间是内接一个棱长为2的正方体，24122R S R ππ∴====球表13．如图ABC ∆中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC，sin 33BAC AB AD ∠===则BD 的长为_______________【解析】sin sin()cos 2BAC BAD BAD π∠=∠+=∠=∴根据余弦定理可得222cos 2AB AD BD BAD AB AD +-∠=∙BD ==14．椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>的左．右焦点分别为12,F F ，焦距为2c ，若直线)y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠，则该椭圆的离心率等于__________1【解析】由直线方程)y x c =+⇒直线与x 轴的夹角12233MF F ππ∠=或，且过点1-F （c,0）12212MF F MF F ∠=∠∴122123MF F MF F π∠=∠=即12F M F M ⊥12RT F MF ∴∆在中，12122,,F F c F M c F M ===∴由椭圆的第一定义可得21c a c a =∴==15．当,1x R x ∈<时，有如下表达式:211.......1n x x x x+++++=- 两边同时积分得：1111122222200011.......1ndx xdx x dx x dx dx x+++++=-⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式：23111111111()()...()...ln 2.2223212n n +⨯+⨯+⨯++⨯+=+ 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算：122311111111()()...()_____2223212nn n n n nn C C C C +⨯+⨯+⨯++⨯=+【答案】113[()1]12n n +-+ 【解析】由01221......(1)n nn n n n n C C x C x C x x +++++=+两边同时积分得：111112222220001......(1).nn n n n n C dx C xdx C x dx C x dx x dx +++++=+⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式：122311*********()()...()[()1]222321212n n n n n n nn n C C C C ++⨯+⨯+⨯++⨯=-++ 三．解答题16．（本小题满分13分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲．乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中将可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中将可以得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中将与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为,X Y ，求3X ≤的概率；（2）若小明．小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计的得分的数学期望较大？本小题主要考查古典概型．离散型随机变量的分布列．数学期望等基础知识，考查数据处理能力．运算求解能力．应用意识，考查必然和或然思想，满分13分． 解：（Ⅰ）由已知得：小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，两人中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分3≤X ”的事件为A ，则A 事件的对立事件为“5=X ”，224(5)3515==⨯= P X ，11()1(5)15∴=-==P A P X∴这两人的累计得分3≤X 的概率为1115． （Ⅱ）设小明．小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为1X ，都选择方案乙抽奖中奖的次数为2X ，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为1(2)E X ，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为2(3)E X由已知：12~(2,)3X B ，22~(2,)5X B124()233∴=⨯=E X ，224()255=⨯=E X 118(2)2()3∴==E X E X ，2212(3)3()5==E X E X12(2)(3)> E X E X∴他们都在选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望最大．17．（本小题满分13分）已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈ （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的极值．本小题主要考查函数．函数的导数．不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．分类与整合思想，数形结合思想．化归与转化思想．满分13分． 解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()1'=-a f x x． （Ⅰ）当2=a 时，()2ln =-f x x x ，2()1(0)'=->f x x x， (1)1,(1)1'∴==-f f ，()∴=y f x 在点(1,(1))A f 处的切线方程为1(1)-=--y x ，即20+-=x y ．（Ⅱ）由()1,0-'=-=>a x a f x x x x可知： ①当0≤a 时，()0'>f x ，函数()f x 为(0,)+∞上的增函数，函数()f x 无极值； ②当0>a 时，由()0'=f x ，解得=x a ；(0,)∈ x a 时，()0'<f x ，(,)∈+∞x a 时，()0'>f x()∴f x 在=x a 处取得极小值，且极小值为()ln =-f a a a a ，无极大值．综上：当0≤a 时，函数()f x 无极值当0>a 时，函数()f x 在=x a 处取得极小值ln -a a a ，无极大值．18．（本小题满分13分）如图，在正方形OABC 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(10,0)，点C 的坐标为(0,10)．分别将线段OA 和AB 十等分，分点分别记为129,,....A A A 和129,,....B B B ，连结i OB ，过i A 做x 轴的垂线与i OB 交于点*(,19)i P i N i ∈≤≤．（1）求证：点*(,19)i P i N i ∈≤≤都在同一条抛物线上，并求该抛物线E 的方程；（2）过点C 做直线l 与抛物线E 交于不同的两点,M N ，若OCM ∆与OCN ∆的面积比为4:1，求直线l 的方程．本小题主要考查抛物线的性质．直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力．推理论证能力，考查化归与转化思想，数形结合思想．函数与方程思想．满分13分． 解：（Ⅰ）依题意，过*(,19)∈≤≤i A i N i 且与x 轴垂直的直线方程为=x i(10,) i B i ，∴直线i OB 的方程为10=iy x 设i P 坐标为(,)x y ，由10=⎧⎪⎨=⎪⎩x ii y x 得：2110=y x ，即210=x y ，∴*(,19)∈≤≤i P i N i 都在同一条抛物线上，且抛物线E 方程为210=x y（Ⅱ）依题意：直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为10=+y kx由21010=+⎧⎨=⎩y kx x y得2101000--=x kx 此时2100+4000∆=>k ，直线l 与抛物线E 恒有两个不同的交点,M N设：1122(,)(,)M x y N x y ，则121210100+=⎧⎨⋅=-⎩x x kx x4∆∆= OCM OCN S S ∴124=x x又120⋅< x x ，∴124=-x x分别带入21010=+⎧⎨=⎩y kx x y，解得32=±k直线l 的方程为3+102=±y x ，即32200-+=x y 或3+2200-=x y19．（本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA ABCD ⊥底面，//AB DC ，11AA =，3AB k =，4AD k =，5BC k =，6DC k =(0)k >．（1）求证：11;CD ADD A ⊥平面（2）若直线1AA 与平面1AB C 所成角的正弦值为67，求k 的值； （3）现将与四棱柱1111ABCD A B C D -形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的棱柱，规定：若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案．问：共有几种不同的方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为()f k ，写出()f k 的表达式（直接写出答案，不必要说明理由）本小题主要考查直线与直线．直线与平面的位置关系．柱体的概念及表面积等基础知识，考查空间想象能力．推理论证能力．运算求解能力，考查数形结合思想．分类与整合思想．化归与转化思想，满分13分． 解：（Ⅰ）取CD 中点E ，连接BE//AB DE Q ，3AB DE k == ∴四边形ABED 为平行四边形 //BE AD ∴且4BE AD k ==在BCE V 中，4,3,5BE k CE k BC k ===Q222BE CE BC ∴+=90BEC ∴∠=︒,即BE CD ⊥，又//BE AD Q ，所以CD AD ⊥1AA ⊥Q 平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD 1AA CD ∴⊥，又1AA AD A =I ，CD ∴⊥平面11ADD A（Ⅱ）以D 为原点，1,,DA DC DD uu u r uuu r uuur的方向为,,x y z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系(4,0,0)A k ，(0,6,0)C k ，1(4,3,1)B k k ，1(4,0,1)A k所以(4,6,0)AC k k =-uuu r ，1(0,3,1)AB k =uuu r ，1(0,0,1)AA =uuu r设平面1AB C 的法向量(,,)n x y z =，则由100AC n AB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu r uuu r得46030kx ky ky z -+=⎧⎨+=⎩取2y =，得(3,2,6)n k =-设1AA 与平面1AB C 所成角为θ，则111,sin |cos ,|||||AA nAA n AA n θ=〈〉=⋅uuu ruuur uuu r67==，解得1k =．故所求k 的值为1 （Ⅲ）共有4种不同的方案2257226,018()53636,18k k k f k k k k ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩20．（本小题满分14分）已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的周期为π，图像的一个对称中心为(,0)4π，将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），在将所得图像向右平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图像． （1）求函数()f x 与()g x 的解析式； （2）是否存在0(,)64x ππ∈，使得0000(),(),()()f x g x f x g x 按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定0x 的个数； 若不存在，说明理由．（3）求实数a 与正整数n ，使得()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点． 本小题主要考查同角三角函数的基本关系．三角恒等变换．三角函数的图像与性质．函数．函数的导数．函数的零点．不等式等基础知识，考查运算求解能力．抽象概括能力，考查函数与方程思想，数形结合思想，分类与整合思想．化归与转化思想，满分14分． 解：（Ⅰ）由函数()sin()f x x ωϕ=+的周期为π，0ω>，得2ω= 又曲线()y f x =的一个对称中心为(,0)4π，(0,)ϕπ∈故()sin(2)044f ππϕ=⨯+=，得2πϕ=，所以()cos 2f x x =将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得cos y x =的图象，再将cos y x =的图象向右平移2π个单位长度后得到函数()sin g x x =（Ⅱ）当(,)64x ππ∈时，1sin 22x <<，10cos 22x << 所以sin cos2sin cos2x x x x >>问题转化为方程2cos2sin sin cos2x x x x =+在(,)64ππ内是否有解设()sin sin cos 22cos 2G x x x x x =+-，(,)64x ππ∈ 则()cos cos cos 22sin 2(2sin )G x x x x x x '=++- 因为(,)64x ππ∈，所以()0G x '>，()G x 在(,)64ππ内单调递增又1()064G π=-<，()042G π=> 且函数()G x 的图象连续不断，故可知函数()G x 在(,)64ππ内存在唯一零点0x ，即存在唯一的0(,)64x ππ∈满足题意 （Ⅲ）依题意，()sin cos 2F x a x x =+，令()sin cos 20F x a x x =+=当sin 0x =，即()x k k Z π=∈时，cos21x =，从而()x k k Z π=∈不是方程()0F x =的解，所以方程()0F x =等价于关于x 的方程cos 2sin xa x=-，()x k k Z π≠∈ 现研究(0,)(,2)x πππ∈U 时方程解的情况 令cos 2()sin xh x x=-，(0,)(,2)x πππ∈U 则问题转化为研究直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)x πππ∈U 的交点情况22cos (2sin 1)()sin x x h x x +'=，令()0h x '=，得2x π=或32x π=当x 变化时，()h x 和()h x '变化情况如下表当0x >且x 趋近于0时，()h x 趋向于-∞ 当x π<且x 趋近于π时，()h x 趋向于-∞ 当x π>且x 趋近于π时，()h x 趋向于+∞ 当2x π<且x 趋近于2π时，()h x 趋向于+∞故当1a >时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有无交点，在(,2)ππ内有2个交点； 当1a <-时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点，在(,2)ππ内无交点； 当11a -<<时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点，在(,2)ππ内有2个交点 由函数()h x 的周期性，可知当1a ≠±时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内总有偶数个交点，从而不存在正整数n ，使得直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内恰有2013个交点；当1a =±时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)πππU 内有3个交点，由周期性，20133671=⨯，所以67121342n =⨯=综上，当1a =±，1342n =时，函数()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点 21．（本题满分14分） （1）（本小题满分7分）矩阵与变换已知直线:1l ax y +=在矩阵1201A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下变为直线':1l x by +=． （1）求实数,a b 的值；（2）若点00(,)p x y 在直线l 上，且0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求点p 的坐标． 本小题主要考查矩阵．矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力．考查化归与转化思想．满分7分．解：解：（Ⅰ）设直线:1l ax y +=上任意一点(,)M x y 在矩阵A 对应的变换作用下的像是(,)M x y '''由12201x x x y y y y '+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得2x x y y y '=+⎧⎨'=⎩又点(,)M x y '''在l '上，所以1x by ''+=，即(2)1x b y ++=依题意121a b =⎧⎨+=⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩（Ⅱ）由0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得000002x x y y y =+⎧⎨=⎩解得00y =又点00(,)P x y 在直线l 上，所以01x = 故点P 的坐标为(1,0)（2）（本小题满分7分）坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点A 的极坐标为)4π，直线l 的极坐标方程为cos()4a πρθ-=，且点A 在直线l 上． （1）求a 的值及直线l 的直角坐标方程；（2）圆c 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩，（α为参数），试判断直线l 与圆的位置关系．本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化．圆的参数方程等基础知识．考查运算求解能力，考查化归与转化思想，满分7分．解：（Ⅰ）由点)4A π在直线cos()4aπρθ-=上，可得a =所以直线l 的方程可化为cos sin 2ρθρθ+= 从而直线l 的直角坐标方程为20x y +-=（Ⅱ）由已知得圆C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+= 所以圆心为(1,0)，半径1r =以为圆心到直线的距离12d =<，所以直线与圆相交 （3）（本小题满分7分）不等式选讲 设不等式*2()x a a N -<∈的解集为A ，且32A ∈，12A ∉． （1）求a 的值；（2）求函数()2f x x a x =++-的最小值．本小题主要考查绝对猪不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，满分7分．解：（Ⅰ）因为32A ∈，且12A ∉，所以322a -<，且122a -≥解得1322a <≤，又因为*a N ∈，所以1a = （Ⅱ）因为|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-≥+--=当且仅当(1)(2)0x x +-≤，即12x -≤≤时取得等号，所以()f x 的最小值为3。
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(福建卷,含答案)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学试题（理工农医类）第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求的.1.已知复数z 的共轭复数i 21z +=（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合{}a A ,1=，{}3,2,1=B ，则”“3=a 是”“B A ⊆的（） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件3.双曲线1422=-y x 的顶点到渐进线的距离等于（ ） A. 52 B.54 C. 552 D.554 4.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90),[90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图。
已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ）A.588B.480C.450D.1205.满足{}2,1,0,1,-∈b a ，且关于x 的方程022=++b x ax 有实数解的有序数对的个数为（ ）A. 14B. 13C. 12D. 106.阅读如图所示的程序框图，若编入的10=k ，则该算法的功能是（ ）A. 计算数列{}12-n 的前10项和B.计算数列{}12-n 的前9项和C. 计算数列{}1-2n 的前10项和D. 计算数列{}1-2n 的前9项和绝密★启用前7. 在四边形ABCD 中，)2,1(=，)2,4(-=,则该四边形的面积为（ ） A.5 B.52 C.5 D.10 ks5u8. 设函数)(x f 的定义域为R ，()000≠x x 是)(x f 的极大值点，以下结论一定正确的是（）A. )()(,0x f x f R x ≤∈∀B.0x -是)-(x f 的极小值点C. 0x -是)(-x f 的极小值点D.0x -是)-(-x f 的极小值点 ks5u9. 已知等比数列{}n a 的公比为q ，记m n m n m n m n a a a b +-+-+-+⋅⋅⋅++=)1(2)1(1)1(，m n m n m n m n a a a b +-+-+-*⋅⋅⋅**=)1(2)1(1)1(，()*,N n m ∈，则以下结论一定正确的是（ ）A. 数列{}n b 为等差数列，公差为m qB. 数列{}n b 为等比数列，公比为m q 2C. 数列{}n c 为等比数列，公比为2m qD. 数列{}n c 为等比数列，公比为mm q 10. 设T S ,是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数)(x f y =满足：)(i {}S x x f T ∈=)(；)(ii 对任意S x x ∈21,，当21x x <时，恒有)()(21x f x f <，那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（ ）A. N B N A ==*,B.{}{}1008,31≤<-==≤≤-=x x x B x x A 或C. {}R B x x A =<<=,10D. Q B Z A ==,第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填写在答题卡的相应位置.11. 利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件‘013<-a ’的概率为_________12. 已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是13. 如图，在ABC ∆中，已知点D 在BC 边上，AC AD ⊥,23,322sin ==∠AB BAC , 3=AD , 则BD 的长为14. 椭圆()01:2222>>=+Γb a by a x 的左右焦点分别为21,F F ,焦距为c 2，若直线()c x y +=3与椭圆的一个交点满足12212F MF F MF ∠=∠,则该椭圆的离心率等于_____15. 当1,<∈x R x 时，有如下表达式： xx x x n -=⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++1112 两边同时积分得：⎰⎰⎰⎰⎰-=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++2102102102210210111dx x dx x dx x xdx dx n从而得到如下等式：.2ln )21(11)21(31)21(21211132=⋅⋅⋅+⨯++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯+n n ks5u 请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：=⨯++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯+132210)21(11)21(31)21(2121n n n n n n C n C C C三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分13分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为32，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为52，中奖可以获得3分；未中奖则不得分。
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对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2013年福建省高考理数试卷(解析版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷） 数学试题（理工农医类）第Ⅰ卷(选择题 共50分)一．选择题1．已知复数z 的共轭复数12z i =+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ． 第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D【解析】z 的共轭复数12z i =+，则12z i =-，对应点的坐标为(1,2)-，故答案为D ． 2．已知集合{}1,A a =,{}1,2,3B =,则“3a =”是“A B ⊆”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】3,a A B =⇒⊆2A B a ⊆⇒=，或3．因此是充分不必要条件．3．双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ ） A ．25 B ．45C 25 D【答案】C【解析】 2214x y -=的顶点坐标为(2,0)±，渐近线为2204x y -=，即20x y ±=．带入点到直线距离公式d ==． 4．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ） A ．588 B ．480 C ．450 D ．120【答案】B【解析】由图知道60分以上人员的频率为后4项频率的和，由图知道(0.030.0250.0150.01)*100.8P =+++=故分数在60以上的人数为600*0．8=480人．5．满足{},1,0,1,2a b ∈-，且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的个数为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．10 【答案】B【解析】方程220ax x b ++=有实数解，分析讨论①当0a =时，很显然为垂直于x 轴的直线方程，有解．此时b 可以取4个值．故有4种有序数对②当0a ≠时，需要440ab ∆=-≥，即1ab ≤．显然有3个实数对不满足题意，分别为（1,2），（2,1），（2,2）．(,)a b 共有4*4=16中实数对，故答案应为16-3=13．6．阅读如图所示的程序框图，若输入的10k =，则该算法的功能是（ ）A ．计算数列{}12n -的前10项和 B ．计算数列{}12n -的前9项和 C ．计算数列{}21n -的前10项和 D ．计算数列{}21n -的前9项和【答案】C【解析】第一循环：1,2S i ==，10i <第二条：3,3,10S i i ==<第三条：7,4,10S i i ==<…．．第九循环：921,10,10S i i =-==．第十循环：1021,11,10S i i =-=>，输出S ．根据选项，101(12)12S -=-，故为数列12n -的前10项和．故答案A ．7．在四边形ABCD 中，(1,2)AC = ，(4,2)BD =-，则四边形的面积为（ ）A B ． C ．5 D ．10【答案】C【解析】由题意，容易得到AC BD ⊥．设对角线交于O 点，则四边形面积等于四个三角形面积之和 即S=11(****)(*)22AO DO AO BO CO DO CO BO AC BD +++=．容易算出AC BD ==，则算出S=5．故答案C8．设函数()f x 的定义域为R ，00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤B ．0x -是()f x -的极小值点C ．0x -是()f x -的极小值点D ．0x -是()f x --的极小值点 【答案】D【解析】A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤，错误．00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，并不是最大值点．B ．0x -是()f x -的极小值点．错误．()f x -相当于()f x 关于y 轴的对称图像，故0x -应是()f x -的极大值点C ．0x -是()f x -的极小值点．错误．()f x -相当于()f x 关于x 轴的对称图像，故0x 应是()f x -的极小值点．跟0x -没有关系．D ．0x -是()f x --的极小值点．正确．()f x --相当于()f x 先关于y 轴的对象，再关于x 轴的对称图像．故D 正确9．已知等比数列{}n a 的公比为q ，记(1)1(1)2(1)...,n m n m n m n m b a a a -+-+-+=+++*(1)1(1)2(1)...(,),n m n m n m n m c a a a m n N -+-+-+=∙∙∙∈则以下结论一定正确的是（ ）A ．数列{}n b 为等差数列，公差为m qB ．数列{}n b 为等比数列，公比为2mqC ．数列{}n c 为等比数列，公比为2m q D ．数列{}n c 为等比数列，公比为mmq【答案】C【解析】等比数列{}n a 的公比为q,同理可得2222222,m m m mm m m a a a a a a ++++=∙=∙112...m c a a a =∙∙∙,212...,m m m m c a a a +++=∙∙∙321222...,m m m m c a a a +++=∙∙∙2213c c c ∴=∙∴数列{}n c 为等比数列，2221212211212............mm m m m m m m m ma a a a a a q c q q c a a a a a a +++∙∙∙∙∙∙∙====∙∙∙∙∙∙ 故选C 10．设S ，T ，是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足：(){()|};()i T f x x S ii =∈对任意12,,x x S ∈当12x x <时，恒有12()()f x f x <，那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是（ ）A ．*,A N B N == B ．{|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或 C ．{|01},A x x B R =<<= D ．,A Z B Q == 【答案】D【解析】根据题意可知，令()1f x x =-，则A 选项正确；令55(13)()228(1)x x f x x ⎧+-<≤⎪=⎨⎪-=-⎩，则B 选项正确； 令1()tan ()2f x x π=-，则C 选项正确；故答案为D ． 二．填空题11．利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a ，则时间“310a ->”发生的概率为________ 【答案】23【解析】13103a a ->∴> a 产生0~1之间的均匀随机数1(,1)3a ∴∈112313p -∴== 12．已知某一多面体内接于一个简单组合体，如果该组合体的正视图．测试图．俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是_______________【答案】12π【解析】由图可知，图形为一个球中间是内接一个棱长为2的正方体，2412R S R ππ∴====球表13．如图ABC ∆中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ,33BAC AB AD ∠===则BD 的长为_______________【解析】sin sin()cos 23BAC BAD BAD π∠=∠+=∠=∴根据余弦定理可得222cos 2AB AD BD BAD AB AD +-∠=∙3BD ==14．椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>的左．右焦点分别为12,F F ，焦距为2c ，若直线)y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠，则该椭圆的离心率等于__________1【解析】由直线方程)y x c =+⇒直线与x 轴的夹角12233MF F ππ∠=或，且过点1-F （c,0）12212MF F MF F ∠=∠∴122123MF F MF F π∠=∠=即12F M F M ⊥12RT F MF ∴∆在中，12122,,F F c F M c F M ===∴由椭圆的第一定义可得21c a c a =∴== 15．当,1x R x ∈<时，有如下表达式:211.......1n x x x x+++++=- 两边同时积分得：1111122222200011.......1ndx xdx x dx x dx dx x+++++=-⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式：23111111111()()...()...ln 2.2223212n n +⨯+⨯+⨯++⨯+=+ 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算：122311111111()()...()_____2223212n n n n n n n C C C C +⨯+⨯+⨯++⨯=+ 【答案】113[()1]12n n +-+【解析】由01221......(1)n nn n n n n C C x C x C x x +++++=+两边同时积分得：11111222222000001......(1).n n n n n n C dx C xdx C x dx C x dx x dx +++++=+⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式：122311*********()()...()[()1]222321212n n n n n n nn n C C C C ++⨯+⨯+⨯++⨯=-++ 三．解答题16．（本小题满分13分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲．乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中将可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中将可以得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中将与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为,X Y ，求3X ≤的概率；（2）若小明．小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计的得分的数学期望较大？本小题主要考查古典概型．离散型随机变量的分布列．数学期望等基础知识，考查数据处理能力．运算求解能力．应用意识，考查必然和或然思想，满分13分． 解：（Ⅰ）由已知得：小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，两人中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分3≤X ”的事件为A ，则A 事件的对立事件为“5=X ”，224(5)3515==⨯= P X ，11()1(5)15∴=-==P A P X∴这两人的累计得分3≤X 的概率为1115． （Ⅱ）设小明．小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为1X ，都选择方案乙抽奖中奖的次数为2X ，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为1(2)E X ，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为2(3)E X由已知：12~(2,)3X B ，22~(2,)5X B124()233∴=⨯=E X ，224()255=⨯=E X 118(2)2()3∴==E X E X ，2212(3)3()5==E X E X12(2)(3)> E X E X∴他们都在选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望最大．17．（本小题满分13分）已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈ （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的极值．本小题主要考查函数．函数的导数．不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．分类与整合思想，数形结合思想．化归与转化思想．满分13分． 解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()1'=-a f x x． （Ⅰ）当2=a 时，()2ln =-f x x x ，2()1(0)'=->f x x x， (1)1,(1)1'∴==-f f ，()∴=y f x 在点(1,(1))A f 处的切线方程为1(1)-=--y x ，即20+-=x y ．（Ⅱ）由()1,0-'=-=>a x a f x x x x可知： ①当0≤a 时，()0'>f x ，函数()f x 为(0,)+∞上的增函数，函数()f x 无极值； ②当0>a 时，由()0'=f x ，解得=x a ；(0,)∈ x a 时，()0'<f x ，(,)∈+∞x a 时，()0'>f x()∴f x 在=x a 处取得极小值，且极小值为()ln =-f a a a a ，无极大值．综上：当0≤a 时，函数()f x 无极值当0>a 时，函数()f x 在=x a 处取得极小值ln -a a a ，无极大值．18．（本小题满分13分）如图，在正方形OABC 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(10,0)，点C 的坐标为(0,10)．分别将线段OA 和AB 十等分，分点分别记为129,,....A A A 和129,,....B B B ，连结i OB ，过i A 做x 轴的垂线与i OB 交于点*(,19)i P i N i ∈≤≤．（1）求证：点*(,19)i P i N i ∈≤≤都在同一条抛物线上，并求该抛物线E 的方程；（2）过点C 做直线l 与抛物线E 交于不同的两点,M N ，若OCM ∆与OCN ∆的面积比为4:1，求直线l 的方程．本小题主要考查抛物线的性质．直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力．推理论证能力，考查化归与转化思想，数形结合思想．函数与方程思想．满分13分． 解：（Ⅰ）依题意，过*(,19)∈≤≤i A i N i 且与x 轴垂直的直线方程为=x i(10,) i B i ，∴直线i OB 的方程为10=iy x 设i P 坐标为(,)x y ，由10=⎧⎪⎨=⎪⎩x ii y x 得：2110=y x ，即210=x y ，∴*(,19)∈≤≤i P i N i 都在同一条抛物线上，且抛物线E 方程为210=x y（Ⅱ）依题意：直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为10=+y kx由21010=+⎧⎨=⎩y kx x y得2101000--=x kx 此时2100+4000∆=>k ，直线l 与抛物线E 恒有两个不同的交点,M N设：1122(,)(,)M x y N x y ，则121210100+=⎧⎨⋅=-⎩x x kx x4∆∆= OCM OCN S S ∴124=x x又120⋅< x x ，∴124=-x x分别带入21010=+⎧⎨=⎩y kx x y，解得32=±k直线l 的方程为3+102=±y x ，即32200-+=x y 或3+2200-=x y19．（本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA ABCD ⊥底面，//AB DC ，11AA =，3AB k =，4AD k =，5BC k =，6DC k =(0)k >．（1）求证：11;CD ADD A ⊥平面（2）若直线1AA 与平面1AB C 所成角的正弦值为67，求k 的值； （3）现将与四棱柱1111ABCD A B C D -形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的棱柱，规定：若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案．问：共有几种不同的方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为()f k ，写出()f k 的表达式（直接写出答案，不必要说明理由）本小题主要考查直线与直线．直线与平面的位置关系．柱体的概念及表面积等基础知识，考查空间想象能力．推理论证能力．运算求解能力，考查数形结合思想．分类与整合思想．化归与转化思想，满分13分． 解：（Ⅰ）取CD 中点E ，连接BE//AB DE Q ，3AB DE k == ∴四边形ABED 为平行四边形 //BE AD ∴且4BE AD k ==在BCE V 中，4,3,5BE k CE k BC k ===Q222BE CE BC ∴+=90BEC ∴∠=︒,即BE CD ⊥，又//BE AD Q ，所以CD AD ⊥1AA ⊥Q 平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD 1AA CD ∴⊥，又1AA AD A =I ，CD ∴⊥平面11ADD A（Ⅱ）以D 为原点，1,,DA DC DD uu u r uuu r uuur的方向为,,x y z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系(4,0,0)A k ，(0,6,0)C k ，1(4,3,1)B k k ，1(4,0,1)A k所以(4,6,0)AC k k =-uuu r ，1(0,3,1)AB k =uuu r ，1(0,0,1)AA =uuu r设平面1AB C 的法向量(,,)n x y z =，则由100AC n AB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu r uuu r得46030kx ky ky z -+=⎧⎨+=⎩取2y =，得(3,2,6)n k =-设1AA 与平面1AB C 所成角为θ，则111,sin |cos ,|||||AA nAA n AA n θ=〈〉=⋅uuu ruuu r uuu r67==，解得1k =．故所求k 的值为1 （Ⅲ）共有4种不同的方案2257226,018()53636,18k k k f k k k k ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩20．（本小题满分14分）已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的周期为π，图像的一个对称中心为(,0)4π，将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），在将所得图像向右平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图像． （1）求函数()f x 与()g x 的解析式； （2）是否存在0(,)64x ππ∈，使得0000(),(),()()f x g x f x g x 按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定0x 的个数； 若不存在，说明理由．（3）求实数a 与正整数n ，使得()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点． 本小题主要考查同角三角函数的基本关系．三角恒等变换．三角函数的图像与性质．函数．函数的导数．函数的零点．不等式等基础知识，考查运算求解能力．抽象概括能力，考查函数与方程思想，数形结合思想，分类与整合思想．化归与转化思想，满分14分． 解：（Ⅰ）由函数()sin()f x x ωϕ=+的周期为π，0ω>，得2ω= 又曲线()y f x =的一个对称中心为(,0)4π，(0,)ϕπ∈故()sin(2)044f ππϕ=⨯+=，得2πϕ=，所以()cos 2f x x =将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得cos y x =的图象，再将cos y x =的图象向右平移2π个单位长度后得到函数()sin g x x =（Ⅱ）当(,)64x ππ∈时，1sin 22x <<，10cos 22x << 所以sin cos2sin cos2x x x x >>问题转化为方程2cos2sin sin cos2x x x x =+在(,)64ππ内是否有解设()sin sin cos 22cos 2G x x x x x =+-，(,)64x ππ∈ 则()cos cos cos 22sin 2(2sin )G x x x x x x '=++- 因为(,)64x ππ∈，所以()0G x '>，()G x 在(,)64ππ内单调递增 又1()064G π=-<，2()042G π=> 且函数()G x 的图象连续不断，故可知函数()G x 在(,)64ππ内存在唯一零点0x ，即存在唯一的0(,)64x ππ∈满足题意 （Ⅲ）依题意，()sin cos 2F x a x x =+，令()sin cos 20F x a x x =+=当sin 0x =，即()x k k Z π=∈时，cos21x =，从而()x k k Z π=∈不是方程()0F x =的解，所以方程()0F x =等价于关于x 的方程cos 2sin xa x=-，()x k k Z π≠∈ 现研究(0,)(,2)x πππ∈U 时方程解的情况 令cos 2()sin xh x x=-，(0,)(,2)x πππ∈U 则问题转化为研究直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)x πππ∈U 的交点情况22cos (2sin 1)()sin x x h x x +'=，令()0h x '=，得2x π=或32x π=当x 变化时，()h x 和()h x '变化情况如下表当0x >且x 趋近于0时，()h x 趋向于-∞ 当x π<且x 趋近于π时，()h x 趋向于-∞ 当x π>且x 趋近于π时，()h x 趋向于+∞ 当2x π<且x 趋近于2π时，()h x 趋向于+∞故当1a >时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有无交点，在(,2)ππ内有2个交点； 当1a <-时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点，在(,2)ππ内无交点； 当11a -<<时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点，在(,2)ππ内有2个交点由函数()h x 的周期性，可知当1a ≠±时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内总有偶数个交点，从而不存在正整数n ，使得直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内恰有2013个交点；当1a =±时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)πππU 内有3个交点，由周期性，20133671=⨯，所以67121342n =⨯=综上，当1a =±，1342n =时，函数()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点 21．（本题满分14分） （1）（本小题满分7分）矩阵与变换已知直线:1l ax y +=在矩阵1201A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下变为直线':1l x by +=． （1）求实数,a b 的值；（2）若点00(,)p x y 在直线l 上，且0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求点p 的坐标．本小题主要考查矩阵．矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力．考查化归与转化思想．满分7分．解：解：（Ⅰ）设直线:1l ax y +=上任意一点(,)M x y 在矩阵A 对应的变换作用下的像是(,)M x y '''由12201x x x y y y y '+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得2x x yy y '=+⎧⎨'=⎩又点(,)M x y '''在l '上，所以1x by ''+=，即(2)1x b y ++=依题意121a b =⎧⎨+=⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩（Ⅱ）由0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得000002x x y y y =+⎧⎨=⎩解得00y =又点00(,)P x y 在直线l 上，所以01x = 故点P 的坐标为(1,0)（2）（本小题满分7分）坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点A 的极坐标为)4π，直线l 的极坐标方程为cos()4a πρθ-=，且点A 在直线l 上． （1）求a 的值及直线l 的直角坐标方程；（2）圆c 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩，（α为参数），试判断直线l 与圆的位置关系．本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化．圆的参数方程等基础知识．考查运算求解能力，考查化归与转化思想，满分7分．解：（Ⅰ）由点)4A π在直线cos()4a πρθ-=上，可得a =所以直线l 的方程可化为cos sin 2ρθρθ+= 从而直线l 的直角坐标方程为20x y +-=（Ⅱ）由已知得圆C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+= 所以圆心为(1,0)，半径1r =以为圆心到直线的距离12d =<，所以直线与圆相交 （3）（本小题满分7分）不等式选讲 设不等式*2()x a a N -<∈的解集为A ，且32A ∈，12A ∉． （1）求a 的值；（2）求函数()2f x x a x =++-的最小值．本小题主要考查绝对猪不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，满分7分．解：（Ⅰ）因为32A ∈，且12A ∉，所以322a -<，且122a -≥解得1322a <≤，又因为*a N ∈，所以1a = （Ⅱ）因为|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-≥+--=当且仅当(1)(2)0x x +-≤，即12x -≤≤时取得等号，所以()f x 的最小值为3。
2013年高考理科数学福建卷-答案
【解析】由直线 y 3(x c) 知其倾斜角为 60 ，由题意知 MF1F2 60 ，则 MFF2 1 30 ，FMF1 2 90 ．
故 | MF1 | c ， | MF2 | c ．
又 | MF1 | | MF2 | 2a ，∴ ( 3 1)c 2a ，即 e
2 3 1
3 1．
【提示】由直线 y 3(x c) 知其倾斜角为 60 ，又直线与椭圆的一个交点，利用勾股定理、椭圆的定义及
4
2
得到顶点到渐近线的距离．
【考点】双曲线的简单几何性质
4.【答案】B 【解析】由频率分布直方图 40 ~ 60 分的频率为 (0.005 0.015) 10 0.2 ，故估计不少于 60 分的学生人数为 600 (1 0.2) 480 ．
【提示】根据频率分布直方图，成绩不低于 60 分的频率，然后根据频数 频率 总数可求出所求． 【考点】频率分布直方图
dx
2 0
(1
x)n
dx
，
4 / 13
1 2
Cn0
1 2
Cn1
1 2
2
1 3
Cn2
1 2
3
n
1
1
Cnn
1 2
n1
1
n
1
1 1
xn1
2 0
n 111
1 n1 2
1 n 1
1 n 1
3 n1 2
1
．
【提示】根据二项式定理得 C0n C1n x … C2n x2 Cnn xn (1 x)n ，两边同时积分整理后，整理即可得到结论．
【提示】由三视图可知，组合体是球内接正方体，正方体的棱长为 2，求出球的半径，然后求出球的表面积 即可． 【考点】由三视图求几何体的表面积
2013年福建高考理科数学试卷(带详解)
2013年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学（理工农医类）一．选择题1．已知复数z 的共轭复数12i z =+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于 （ ） A ． 第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【测量目标】复平面【考查方式】给出复数z 的共轭复数，判断z 在复平面内所在的象限. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】由12i z =+，得z ＝1－2i ，故复数z 对应的点(1，－2)在第四象限．2．已知集合{}1,A a =,{}1,2,3B =,则“3a =”是“A B ⊆”的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【测量目标】充分、必要条件.【考查方式】给出元素与集合间的关系两个命题，判断两个命题之间的关系. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】若a ＝3，则A ＝{1,3}⊆B ，故a ＝3是A ⊆B 的充分条件；(步骤1)而若A ⊆B ，则a 不一定为3，当a ＝2时，也有A ⊆B ．故a ＝3不是A ⊆B 的必要条件．故选A ．（步骤2）3．双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于 （ ）A ．25 B ．45C D 【测量目标】双曲线的简单几何性质.【考查方式】给出双曲线的方程，判断顶点到其渐近线的距离. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】双曲线24x －y 2＝1的顶点为(±2,0)，渐近线方程为12y x =±，（步骤1）即x －2y ＝0和x ＋2y ＝0.故其顶点到渐近线的距离d ===（步骤2）4．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：[40,50), [50,60), [60,70),[70,80), [80,90), [90,100)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为 （ ） A ．588 B ．480 C ．450 D ．120第4题图【测量目标】频率分布直方图.【考查方式】给出频率分布直方图，判断一定范围内的样本容量. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】由频率分布直方图知40～60分的频率为(0.005＋0.015)×10＝0.2，故估计不少于60分的学生人数为600×(1－0.2)＝480.5．满足{},1,0,1,2a b ∈-，且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的个数为（ ） A ．14 B ．13 C ．12 D ．10 【测量目标】实系数一元二次方程.【考查方式】给出含参量系数的一元二次方程，判断方程有序数对的个数. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】a ＝0时，方程变为2x ＋b ＝0，则b 为－1,0,1,2都有解；（步骤1）a ≠0时，若方程ax 2＋2x ＋b ＝0有实数解，则Δ＝22－4ab …0，即ab … 1.（步骤2）当a ＝－1时，b 可取－1,0,1,2.当a ＝1时，b 可取－1,0,1.当a ＝2时，b 可取－1，0，故满足条件的有序对(a ，b )的个数为4＋4＋3＋2＝13.（步骤3）6．阅读如图所示的程序框图，若输入的10k =，则该算法的功能是 （ ）A ．计算数列{}12n -的前10项和 B ．计算数列{}12n -的前9项和 C ．计算数列{}21n -的前10项和 D ．计算数列{}21n -的前9项和第6题图【测量目标】循环结构程序框图，等比数列的通项.【考查方式】给出程序框图的输入值，判断给出的程序框图的功能. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】当k ＝10时，执行程序框图如下： S ＝0，i ＝1； S ＝1，i ＝2； S ＝1＋2，i ＝3； S ＝1＋2＋22，i ＝4； …S ＝1＋2＋22＋…＋28，i ＝10； S ＝1＋2＋22＋…＋29，i ＝11.7．在四边形ABCD 中，(1,2)AC = ，(4,2)BD =-，则四边形的面积为 （ ）A B ． C ．5 D ．10 【测量目标】向量的数量积运算.【考查方式】给出四边形两条边的向量坐标，判断四边形的面积. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】∵AC BD ＝1×(－4)＋2×2＝0，∴AC ⊥BD.（步骤1）又|AC ||BD |==S 四边形ABCD ＝12|AC||BD |＝5.（步骤2）8．设函数()f x 的定义域为R ，00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，以下结论一定正确的是 （ ）A ．0,()()x f x f x ∀∈R …B ．0x -是()f x -的极小值点C ．0x -是()f x -的极小值点D ．0x -是()f x --的极小值点 【测量目标】函数单调性的综合应用.【考查方式】给出函数()f x 的极值点0x 0(0)x ≠，判断()f x -及()f x --的极值点.【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】选项A ，由极大值的定义知错误；（步骤1）对于选项B ，函数f (x )与f (－x )的图象关于y 轴对称，－x 0应是f (－x )的极大值点，故不正确；（步骤2） 对于C 选项，函数f (x )与－f (x )图象关于x 轴对称，x 0应是－f (x )的极小值点，故不正确；（步骤3） 而对于选项D ，函数f (x )与－f (－x )的图象关于原点成中心对称，故正确．（步骤4）9．已知等比数列{}n a 的公比为q ，记(1)1(1)2(1)...,n m n m n m n m b a a a -+-+-+=+++(1)1(1)2(1)...(,),n m n m n m n m c a a a m n -+-+-+=∈*N 则以下结论一定正确的是 （ ）A ．数列{}n b 为等差数列，公差为mq B ．数列{}n b 为等比数列，公比为2mq C ．数列{}n c 为等比数列，公比为2m qD ．数列{}n c 为等比数列，公比为mm q【测量目标】等差、等比数列的性质，通项与求和.【考查方式】给出由等比数列{}n a 的m 项组成的数列 {}n b ，{}n c ，判断它们的性质 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】∵{a n }是等比数列，∴1mn m m n ma a +(-)+=(1)mn m m n m m q q +---=，（步骤1）∴1n n c c +＝1211121mn mn mn m m n m n m n ma a a a a a +++(-)+(-)+(-)+ ……＝(q m )m＝2m q .（步骤2）10．设S ，T ，是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足：(i){()|};(ii)T f x x S =∈ 对任意12,,x x S ∈当12x x <时，恒有12()()f x f x <，那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是（ ）A ．,AB ==*N N B ．{|13},{|8010}A x x B x x x =-==-<或剟?C ．{|01},A x x B =<<=RD ．,A B ==Z Q【测量目标】函数的图象与性质.【考查方式】定义集合间的一种新关系，判断给出的集合是否符合. 【难易程度】较难 【参考答案】D【试题解析】由题意(1)可知，S 为函数y ＝f (x )的定义域，T 为函数y ＝f (x )的值域．由(2)可知，函数y ＝f (x )在定义域内单调递增，对于A ，可构造函数y ＝x －1，x ∈N *，y ∈N ，满足条件；（步骤1）对于B ，构造函数8,1,51,13,2x y x x -=-⎧⎪=⎨(+)-<⎪⎩…满足条件；（步骤2）对于C ，构造函数ππtan 22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x ∈(0,1)，满足条件；（步骤3）对于D ，无法构造函数其定义域为Z ，值域为Q 且递增的函数，故选D ．（步骤4）二．填空题11．利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a ，则时间“310a ->”发生的概率为________ 【测量目标】几何概型.【考查方式】利用几何概型求解事件概率. 【难易程度】容易 【参考答案】23【试题解析】由3a －1＞0得13a >，由几何概型知112313P -==.12．已知某一多面体内接于一个简单组合体，如果该组合体的正视图．侧视图．俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是_______________第12题图【测量目标】由三视图求几何体的表面积【考查方式】给出一个几何体的三视图，判断此几何体图形并求球的表面积. 【难易程度】容易 【参考答案】12π【试题解析】由题意知该几何体是一个正方体内接于球构成的组合体，球的直径2r ==，所以r =S 球＝4πr 2＝4π×3＝12π.13．如图ABC △中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin 3BAC AB AD ∠===则BD 的长为_______________第13题图【测量目标】诱导公式，余弦定理.【考查方式】给出一个三角形的边角函数值，利用解三角形求线段长. 【难易程度】中等【试题解析】∵AD ⊥AC ，∴∠DAC ＝π2.（步骤1）∵sin ∠BAC ＝3，∴πsin 23BAD ⎛⎫∠+= ⎪⎝⎭，∴cos ∠BAD ＝3.（步骤2）由余弦定理得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB AD cos ∠BAD ＝2＋32－2×3×3＝3.∴BD （步骤3）14．椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左．右焦点分别为12,F F ，焦距为2c ，若直线)y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠，则该椭圆的离心率等于__________【测量目标】直线与椭圆的位置关系，椭圆的简单几何性质.【考查方式】给出直线与椭圆的交点与椭圆两焦点形成的角的关系，及椭圆的焦距，判断椭圆离心率.【难易程度】中等1【试题解析】由直线yx＋c)知其倾斜角为60°，由题意知∠MF1F2＝60°，则∠MF2F1＝30°，∠F1MF2＝90°.故|MF1|＝c，|MF2|．（步骤1）又|MF1|＋|MF2|＝2a，∴1)c＝2a，即1e==.（步骤2）15．当,1x x∈<R时，有如下表达式:211.......1nx x xx+++++=-两边同时积分得：111112222220000011.......1ndx xdx x dx x dx dxx+++++=-⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式：23111111111()()...()...ln2.2223212nn+⨯+⨯+⨯++⨯+=+请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算：0122311111111C C()C()+C()2223212n nn n n nn+⨯+⨯+⨯+⨯+…【测量目标】微积分基本定理求定积分，二项式定理.【考查方式】根据给出的运用定积分计算的技巧，求解等式的值.【难易程度】较难【参考答案】113[()1]12nn+-+【试题解析】由0122C C C C n nn n n nx x x++++…＝(1＋x)n，两边同时积分得：1111012222220000C1C C C n nn n n ndx xdx x dx x dx++++⎰⎰⎰⎰…12(1)nx dx=+⎰，2310121111111C C C C2223212nnn n n nn+⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭…＝11121111113111112112n nnxn n n n+++⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫(+)=+-=-⎢⎥⎪ ⎪⎢⎥++++⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.三．解答题16．（本小题满分13分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲．乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中将可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中将可以得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中将与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为,X Y，求3X…的概率；（2）若小明,小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计的得分的数学期望较大？【测量目标】古典概型，离散型随机变量的分布列和期望.【考查方式】给出实际的数学模型，利用求解对立事件的概率及离散型随机变量的分布，求解概率及期望. 【难易程度】容易【试题解析】解法一：(1)由已知得小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响． 记“这2人的累计得分X …3”的事件为A ， 则事件A 的对立事件为“X ＝5”，（步骤1）因为P (X ＝5)＝2243515⨯=，所以P (A )＝1－P (X ＝5)＝1115， 即这2人的累计得分X …3的概率为1115.（步骤2）(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X 1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X 2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E (2X 1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E (3X 2)．（步骤3）由已知可得，X 1～B 22,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，X 2～B 22,5⎛⎫⎪⎝⎭， 所以E (X 1)＝24233⨯=，E (X 2)＝24255⨯=，从而E (2X 1)＝2E (X 1)＝83，E (3X 2)＝3E (X 2)＝125.（步骤4）因为E (2X 1)＞E (3X 2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．（步骤5） 解法二：(1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．（步骤1） 记“这2人的累计得分X …3”的事件为A ，则事件A 包含有“X ＝0”，“X ＝2”，“X ＝3”三个两两互斥的事件，（步骤2）因为P (X ＝0)＝22111355⎛⎫⎛⎫-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，P (X ＝2)＝2221355⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，P (X ＝3)＝22213515⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭，(步骤3)所以P (A )＝P (X ＝0)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝1115，即这2人的累计得分X …3的概率为1115.（步骤4）(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X 1，都选择方案乙所获得的累计得分为X 2，则X 1，X 2的分布列如下：（步骤5） 所以E (X 1)＝0×19＋2×49＋4×49＝83，E (X 2)＝0×925＋3×1225＋6×425＝125. 因为E (X 1)＞E (X 2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．（步骤6）17．（本小题满分13分）已知函数()ln ()f x x a x a =-∈R（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的极值．【测量目标】导数的几何意义，利用导数求函数的极值.【考查方式】利用导数的几何意义求解曲线的切线方程及函数的极值. 【难易程度】容易【试题解析】函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，()f x '＝1－ax.（步骤1） (1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，()f x '＝1－2x(x ＞0)， 因而f (1)＝1，(1)f '＝－1，（步骤2）所以曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)， 即x ＋y －2＝0.（步骤3）(2)由()f x '＝1－a x ＝x a x-，x ＞0知： ①当a …0时，()f x '＞0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值； ②当a ＞0时，由()f x '＝0，解得x ＝a ．(步骤4)又当x ∈(0，a )时，()f x '＜0；当x ∈(a ，＋∞)时，()f x '＞0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值．（步骤5） 综上，当a …0时，函数f (x )无极值；当a ＞0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值．（步骤6）18．（本小题满分13分）如图，在正方形OABC 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(10,0)，点C 的坐标为(0,10)．分别将线段OA 和AB 十等分，分点分别记为129,,A A A …和129,,B B B …，连结i OB ，过iA 做x 轴的垂线与i OB 交于点*(,19)i P i i ∈N 剟．（1）求证：点*(,19)i P i i∈N 剟都在同一条抛物线上，并求该抛物线E 的方程；（2）过点C 做直线与抛物线E 交于不同的两点,M N ，若OCM △与OCN △的面积比为4:1，求直线的方程．第18题图【测量目标】抛物线的标准方程，简单的几何性质，直线与抛物线的位置关系.【考查方式】根据平面几何图形及坐标和三角形的面积关系，求解抛物线和直线方程. 【难易程度】中等【试题解析】解法一：(1)依题意，过A i (i ∈N *,1…i …9)且与x 轴垂直的直线方程为x ＝i ， B i 的坐标为(10，i )，所以直线OB i 的方程为y ＝10ix .（步骤1） 设P i 的坐标为(x ，y )，由,,10x i i y x =⎧⎪⎨=⎪⎩得y ＝110x 2，即x 2＝10y . 所以点P i (i ∈N *,1…i …9)都在同一条抛物线上，且抛物线E 的方程为x 2＝10y .（步骤2）(2)依题意，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋10.（步骤3） 由210.10.y kx x y =+⎧⎨=⎩得x 2－10kx －100＝0， 此时Δ＝100k 2＋400＞0，直线l 与抛物线E 恒有两个不同的交点M ，N .（步骤4） 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则121210,100,x x k x x +=⎧⎨=-⎩ ①②因为S △OCM ＝4S △OCN ，所以|x 1|＝4|x 2|.（步骤5） 又x 1 x 2＜0，所以x 1＝－4x 2， 分别代入①和②，得222310,4100,x k x -=⎧⎨-=-⎩解得32k =±. 所以直线l 的方程为y ＝32±x ＋10，即3x －2y ＋20＝0或3x ＋2y －20＝0.（步骤6）19．（本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA ABCD ⊥底面，//AB DC ，11AA =，3AB k =，4AD k =，5BC k =，6DC k =(0)k >．（1）求证：11;CD ADD A ⊥平面（2）若直线1AA 与平面1AB C 所成角的正弦值为67，求k 的值； （3）现将与四棱柱1111ABCD A B C D -形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的棱柱，规定：若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案．问：共有几种不同的方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为()f k ，写出()f k 的表达式（直接写出答案，不必要说明理由）第19题图【测量目标】空间立体几何线面垂直，线面角.【考查方式】给出四棱柱中的线段及线面关系，求解线面关系及线面所成角问题. 【难易程度】中等【试题解析】(1)取CD 的中点E ，连结BE .（步骤1） ∵AB ∥DE ，AB ＝DE ＝3k ，∴四边形ABED 为平行四边形，∴BE ∥AD 且BE ＝AD ＝4k .（步骤2） 在△BCE 中，∵BE ＝4k ，CE ＝3k ，BC ＝5k ，∴BE 2＋CE 2＝BC 2， ∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥CD ，（步骤3） 又∵BE ∥AD ，∴CD ⊥AD ．∵AA 1⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴AA 1⊥CD ．又AA 1∩AD ＝A ， ∴CD ⊥平面ADD 1A 1.（步骤4）第19图(2)以D 为原点，DA ，DC ，1DD的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A (4k,0,0)，C (0，6k,0)，B 1(4k,3k,1)，A 1(4k,0,1)，（步骤5）所以AC ＝(－4k,6k,0)，1AB ＝(0,3k,1)，1AA ＝(0,0,1)．设平面AB 1C 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则由10,0,AC AB ⎧=⎪⎨=⎪⎩ n n得460,30.kx ky ky z -+=⎧⎨+=⎩取y ＝2，得n ＝(3,2，－6k )．（步骤6） 设AA 1与平面AB 1C 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈1AA ，n 〉|＝11||||AA AAnn67=， 解得k ＝1，故所求k 的值为1.（步骤7）第19图(3)共有4种不同的方案．f (k )＝2257226,0,1853636,.18k k k k k k ⎧+<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩…（步骤8）20．（本小题满分14分）已知函数()sin()(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的周期为π，图象的一个对称中心为π(,0)4，将函数()f x 图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），在将所得图象向右平移π2个单位长度后得到函数()g x 的图象． （1）求函数()f x 与()g x 的解析式；（2）是否存在0ππ(,)64x ∈，使得0000(),(),()()f x g x f x g x 按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定0x 的个数；若不存在，说明理由．（3）求实数a 与正整数n ，使得()()()F x f x ag x =+在(0,π)n 内恰有2013个零点．【测量目标】三角函数的图象及其变换，同角三角函数的基本关系，等差数列的性质，函数零点的求解与判断.【考查方式】给出三角函数的周期及对称中心，求解函数关系式及变换后的函数关系式；判断在某一区内是否存在0x ,使得三角函数值呈等差数列；判断复合函数零点个数与区间的关系.【难易程度】较难【试题解析】解法一：(1)由函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的周期为π，ω＞0，得ω＝2πT＝2. 又曲线y ＝f (x )的一个对称中心为π,04⎛⎫⎪⎝⎭，φ∈(0，π)， 故ππsin 2044f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得π2ϕ=，所以f (x )＝cos 2x .（步骤1） 将函数f (x )图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得y ＝cos x 的图象，再将y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位长度后得到函数π()=cos 2g x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象，所以g (x )＝sin x .（步骤2）(2)当x ∈ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭时，12＜sin x 0＜cos 2x ＜12， 所以sin x ＞cos 2x ＞sin x cos 2x .（步骤3）问题转化为方程2cos 2x ＝sin x ＋sin x cos 2x 在ππ,64⎛⎫⎪⎝⎭内是否有解． 设G (x )＝sin x ＋sin x cos 2x －2cos 2x ，x ∈ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则G ′(x )＝cos x ＋cos x cos 2x ＋2sin 2x (2－sin x )．（步骤4）因为x ∈ππ,64⎛⎫⎪⎝⎭，所以G ′(x )＞0，G (x )在ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增．又π1<064G ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，π4G ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 且函数G (x )的图象连续不断，故可知函数G (x )在ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭内存在唯一零点x 0， 即存在唯一的x 0∈ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭满足题意．（步骤5） (3)依题意，F (x )＝a sin x ＋cos 2x ，令F (x )＝a sin x ＋cos 2x ＝0. 当sin x ＝0，即x ＝k π(k ∈Z )时，cos 2x ＝1，从而x ＝k π(k ∈Z )不是方程F (x )＝0的解，（步骤6）所以方程F (x )＝0等价于关于x 的方程cos2sin x a x=-，x ≠k π(k ∈Z )．现研究x ∈(0，π) (π，2π)时方程cos2sin x a x=-的解的情况．（步骤7） 令()cos2sin x h x x =-，x ∈(0，π) (π，2π)， 则问题转化为研究直线y ＝a 与曲线y ＝h (x )，x ∈(0，π) (π，2π)的交点情况．22cos (2sin 1)()sin x x h x x+'=，令h ′(x )＝0，得π2x =或3π2x =.（步骤8） 当x当x ＞0且x 当x ＜π且x 趋近于π时，h (x )趋向于－∞，当x ＞π且x 趋近于π时，h (x )趋向于＋∞，当x ＜2π且x 趋近于2π时，h (x )趋向于＋∞.（步骤9）故当a ＞1时，直线y ＝a 与曲线y ＝h (x )在(0，π)内无交点，在(π，2π)内有2个交点；当a ＜－1时，直线y ＝a 与曲线y ＝h (x )在(0，π)内有2个交点，在(π，2π)内无交点；当－1＜a ＜1时，直线y ＝a 与曲线y ＝h (x )在(0，π)内有2个交点，在(π，2π)内有2个交点．（步骤10） 由函数h (x )的周期性，可知当a ≠±1时，直线y ＝a 与曲线y ＝h (x )在(0，n π)内总有偶数个交点，从而不存在正整数n ，使得直线y ＝a 与曲线y ＝h (x )在(0，n π)内恰有2 013个交点；（步骤11）又当a ＝1或a ＝－1时，直线y ＝a 与曲线y ＝h (x )在(0，π) (π，2π)内有3个交点，由周期性，2 013＝3×671，所以依题意得n ＝671×2＝1 342.（步骤12）综上，当a ＝1，n ＝1 342或a ＝－1，n ＝1 342时，函数F (x )＝f (x )＋ag (x )在(0，n π)内恰有2 013个零点．（步骤13）解法二：(1)、(2)同解法一．(3)依题意，F (x )＝a sin x ＋cos 2x ＝－2sin 2x ＋a sin x ＋1.现研究函数F (x )在(0,2π]上的零点的情况．设t ＝sin x ，p (t )＝－2t 2＋at ＋1(－1…t …1)，则函数p (t )的图象是开口向下的抛物线，（步骤1） 又p (0)＝1＞0，p (－1)＝－a －1，p (1)＝a －1.当a ＞1时，函数p (t )有一个零点t 1∈(－1,0)(另一个零点t 2＞1，舍去)，F (x )在(0,2π]上有两个零点x 1，x 2，且x 1，x 2∈(π，2π)；当a ＜－1时，函数p (t )有一个零点t 1∈(0,1)(另一个零点t 2＜－1，舍去)，F (x )在(0,2π]上有两个零点x 1，x 2，且x 1，x 2∈(0，π)；当－1＜a ＜1时，函数p (t )有一个零点t 1∈(－1,0)，另一个零点t 2∈(0,1)，F (x )在(0，π)和(π，2π)分别有两个零点．（步骤2）由正弦函数的周期性，可知当a ≠±1时，函数F (x )在(0，n π)内总有偶数个零点，从而不存在正整数n 满足题意．当a ＝1时，函数p (t )有一个零点t 1∈(－1,0)，另一个零点t 2＝1；当a ＝－1时，函数p (t )有一个零点t 1＝－1，另一个零点t 2∈(0,1)，（步骤3）从而当a ＝1或a ＝－1时，函数F (x )在(0,2π]有3个零点．由正弦函数的周期性，2 013＝3×671，所以依题意得n ＝671×2＝1 342.综上，当a ＝1，n ＝1 342或a ＝－1，n ＝1 342时，函数F (x )＝f (x )＋ag (x )在(0，n π)内恰有2 013个零点．（步骤4）21．（本题满分14分）（1）（本小题满分7分）矩阵与变换已知直线:1l ax y +=在矩阵1201⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 对应的变换作用下变为直线':1l x by +=． （Ⅰ）求实数,a b 的值；（Ⅱ）若点00(,)p x y 在直线上，且0000x x y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ，求点p 的坐标． 【测量目标】矩阵与行列式初步.【考查方式】根据直线方程在矩阵的变换求未知字母，利用点在直线上和矩阵乘积，求点坐标.【难易程度】容易【试题解析】（I ）设直线l ：ax ＋y ＝1上任意点M (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的象是M ′(x ′，y ′)． 由 1 220 1x x x y y y y '+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得2,.x x y y y '=+⎧⎨'=⎩（步骤1） 又点M ′(x ′，y ′)在l ′上，所以x ′＋by ′＝1，即x ＋(b ＋2)y ＝1，依题意得=1,2=1,a b ⎧⎨+⎩解得=1,1.a b ⎧⎨=-⎩（步骤2）（II ）由0000x x y y ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ，得000002,,x x y y y =+⎧⎨=⎩解得y 0＝0.（步骤3） 又点P (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝1.故点P 的坐标为(1,0)．（步骤4）（2）（本小题满分7分）坐标系与参数方程：在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点A的极坐标为π)4，直线的极坐标方程为πcos()4a ρθ-=，且点A 在直线上．（I ）求a 的值及直线的直角坐标方程；（II ）圆C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩，（α为参数），试判断直线与圆的位置关系．【测量目标】坐标系与参数方程.【考查方式】利用极坐标及极坐标方程求直角坐标方程，根据圆的参数方程判断直线与圆的位置关系.【难易程度】中等【试题解析】（I ）由点A π4⎫⎪⎭在直线ρπcos 4θ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝a上，可得a =所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.（步骤1）（II ）由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1，（步骤2）因为圆心C 到直线l 的距离d＝2＜1， 所以直线l 与圆C 相交．（步骤3）（3）（本小题满分7分）不等式选讲：设不等式*2()x a a -∈N ＜的解集为A ，且32A ∈，12A ∉． （I ）求a 的值；（II ）求函数()2f x x a x =++-的最小值． 【测量目标】绝对值不等式，基本不等式求最值.【考查方式】根据绝对值不等式的解集判断未知参量的值，利用基本不等式求绝对值函数的最值.【难易程度】中等【试题解析】（I ）因为32∈A ，且12∉A ，所以32<2a -，且122a -...， 解得12＜a (32).又因为a ∈N *，所以a ＝1.（步骤1） （II ）因为|x ＋1|＋|x －2|…|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当(x ＋1)(x －2) …0，即－1…x …2时取到等号．所以f (x )的最小值为3.（步骤2）。
2013年高考真题——理科数学(福建卷)解析版1 Word版含答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷） 数学试题（理工农医类）第Ⅰ卷(选择题 共50分)一．选择题1．已知复数z 的共轭复数12z i =+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ． 第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D【解析】z 的共轭复数12z i =+，则12z i =-，对应点的坐标为(1,2)-，故答案为D ． 2．已知集合{}1,A a =,{}1,2,3B =,则“3a =”是“A B ⊆”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】3,a A B =⇒⊆2A B a ⊆⇒=，或3．因此是充分不必要条件．3．双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A ．25 B ．45CD【答案】C【解析】 2214x y -=的顶点坐标为(2,0)±，渐近线为2204x y -=，即20x y ±=．带入点到直线距离公式d =． 4．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ） A ．588 B ．480C ．450D ．120【答案】B【解析】由图知道60分以上人员的频率为后4项频率的和，由图知道(0.030.0250.0150.01)*100.8P =+++=故分数在60以上的人数为600*0．8=480人．5．满足{},1,0,1,2a b ∈-，且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的个数为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．10 【答案】B【解析】方程220ax x b ++=有实数解，分析讨论①当0a =时，很显然为垂直于x 轴的直线方程，有解．此时b 可以取4个值．故有4种有序数对②当0a ≠时，需要440ab ∆=-≥，即1ab ≤．显然有3个实数对不满足题意，分别为（1,2），（2,1），（2,2）．(,)a b 共有4*4=16中实数对，故答案应为16-3=13．6．阅读如图所示的程序框图，若输入的10k =，则该算法的功能是（ ）A ．计算数列{}12n -的前10项和 B ．计算数列{}12n -的前9项和 C ．计算数列{}21n -的前10项和 D ．计算数列{}21n -的前9项和【答案】C【解析】第一循环：1,2S i ==，10i <第二条：3,3,10S i i ==<第三条：7,4,10S i i ==<…．．第九循环：921,10,10S i i =-==．第十循环：1021,11,10S i i =-=>，输出S ．根据选项，101(12)12S -=-，故为数列12n -的前10项和．故答案A ．7．在四边形ABCD 中，(1,2)AC =，(4,2)BD =-，则四边形的面积为（ ）A B ． C ．5 D ．10【答案】C【解析】由题意，容易得到AC BD ⊥．设对角线交于O 点，则四边形面积等于四个三角形面积之和 即S=11(****)(*)22AO DO AO BO CO DO CO BO AC BD +++=．容易算出，则算出S=5．故答案C8．设函数()f x 的定义域为R ，00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤B ．0x -是()f x -的极小值点C ．0x -是()f x -的极小值点D ．0x -是()f x --的极小值点 【答案】D【解析】A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤，错误．00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，并不是最大值点．B ．0x -是()f x -的极小值点．错误．()f x -相当于()f x 关于y 轴的对称图像，故0x -应是()f x -的极大值点C ．0x -是()f x -的极小值点．错误．()f x -相当于()f x 关于x 轴的对称图像，故0x 应是()f x -的极小值点．跟0x -没有关系．D ．0x -是()f x --的极小值点．正确．()f x --相当于()f x 先关于y 轴的对象，再关于x 轴的对称图像．故D 正确9．已知等比数列{}n a 的公比为q ，记(1)1(1)2(1)...,n m n m n m n m b a a a -+-+-+=+++*(1)1(1)2(1)...(,),n m n m n m n m c a a a m n N -+-+-+=∙∙∙∈则以下结论一定正确的是（ ）A ．数列{}n b 为等差数列，公差为mq B ．数列{}n b 为等比数列，公比为2mq C ．数列{}n c 为等比数列，公比为2m q D ．数列{}n c 为等比数列，公比为mm q【答案】C【解析】等比数列{}n a 的公比为q,同理可得2222222,m m m mm m m a a a a a a ++++=∙=∙112...m c a a a =∙∙∙,212...,m m m m c a a a +++=∙∙∙321222...,m m m m c a a a +++=∙∙∙2213c c c ∴=∙∴数列{}n c 为等比数列，2221212211212............mm m m m m m m m ma a a a a a q c q q c a a a a a a +++∙∙∙∙∙∙∙====∙∙∙∙∙∙故选C 10．设S ，T ，是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足：(){()|};()i T f x x S ii =∈对任意12,,x x S ∈当12x x <时，恒有12()()f x f x <，那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是（ ）A ．*,A N B N == B ．{|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或 C ．{|01},A x x B R =<<= D ．,A Z B Q == 【答案】D【解析】根据题意可知，令()1f x x =-，则A 选项正确；令55(13)()228(1)x x f x x ⎧+-<≤⎪=⎨⎪-=-⎩，则B 选项正确； 令1()tan ()2f x x π=-，则C 选项正确；故答案为D ． 二．填空题11．利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a ，则时间“310a ->”发生的概率为________ 【答案】23【解析】13103a a ->∴>a 产生0~1之间的均匀随机数1(,1)3a ∴∈112313p -∴==12．已知某一多面体内接于一个简单组合体，如果该组合体的正视图．测试图．俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是_______________【答案】12π【解析】由图可知，图形为一个球中间是内接一个棱长为2的正方体，2412R S R ππ∴====球表13．如图ABC ∆中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin 3BAC AB AD ∠===则BD 的长为_______________【解析】sin sin()cos 2BAC BAD BAD π∠=∠+=∠=∴根据余弦定理可得222cos 2AB AD BD BAD AB AD +-∠=∙BD ==14．椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左．右焦点分别为12,F F ，焦距为2c ，若直线)y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠，则该椭圆的离心率等于__________1-【解析】由直线方程)y x c =+⇒直线与x 轴的夹角12233MF F ππ∠=或，且过点1-F （c,0）12212MF F MF F ∠=∠∴122123MF F MF F π∠=∠=即12F M F M ⊥12RT F MF ∴∆在中，12122,,F F c F M c F M ===∴由椭圆的第一定义可得21c a c a =+∴==- 15．当,1x R x ∈<时，有如下表达式:211.......1n x x x x+++++=- 两边同时积分得：1111122222200011.......1ndx xdx x dx x dx dx x+++++=-⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式：23111111111()()...()...ln 2.2223212n n +⨯+⨯+⨯++⨯+=+ 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算：122311111111()()...()_____2223212n n n n n n n C C C C +⨯+⨯+⨯++⨯=+ 【答案】113[()1]12n n +-+【解析】由01221......(1)n nn n n n n C C x C x C x x +++++=+两边同时积分得：11111222222000001......(1).n n n n n n C dx C xdx C x dx C x dx x dx +++++=+⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式：122311*********()()...()[()1]222321212n n n n n n nn n C C C C ++⨯+⨯+⨯++⨯=-++ 三．解答题16．（本小题满分13分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲．乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中将可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中将可以得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中将与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为,X Y ，求3X ≤的概率；（2）若小明．小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计的得分的数学期望较大？本小题主要考查古典概型．离散型随机变量的分布列．数学期望等基础知识，考查数据处理能力．运算求解能力．应用意识，考查必然和或然思想，满分13分． 解：（Ⅰ）由已知得：小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，两人中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分3≤X ”的事件为A ，则A 事件的对立事件为“5=X ”，224(5)3515==⨯=P X ，11()1(5)15∴=-==P A P X ∴这两人的累计得分3≤X 的概率为1115． （Ⅱ）设小明．小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为1X ，都选择方案乙抽奖中奖的次数为2X ，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为1(2)E X ，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为2(3)E X由已知：12~(2,)3X B ，22~(2,)5X B124()233∴=⨯=E X ，224()255=⨯=E X 118(2)2()3∴==E X E X ，2212(3)3()5==E X E X12(2)(3)>E X E X∴他们都在选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望最大．17．（本小题满分13分）已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈ （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的极值．本小题主要考查函数．函数的导数．不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．分类与整合思想，数形结合思想．化归与转化思想．满分13分． 解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()1'=-a f x x． （Ⅰ）当2=a 时，()2ln =-f x x x ，2()1(0)'=->f x x x， (1)1,(1)1'∴==-f f ，()∴=y f x 在点(1,(1))A f 处的切线方程为1(1)-=--y x ，即20+-=x y ．（Ⅱ）由()1,0-'=-=>a x a f x x x x可知： ①当0≤a 时，()0'>f x ，函数()f x 为(0,)+∞上的增函数，函数()f x 无极值； ②当0>a 时，由()0'=f x ，解得=x a ；(0,)∈x a 时，()0'<f x ，(,)∈+∞x a 时，()0'>f x()∴f x 在=x a 处取得极小值，且极小值为()ln =-f a a a a ，无极大值．综上：当0≤a 时，函数()f x 无极值当0>a 时，函数()f x 在=x a 处取得极小值ln -a a a ，无极大值．18．（本小题满分13分）如图，在正方形OABC 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(10,0)，点C 的坐标为(0,10)．分别将线段OA 和AB 十等分，分点分别记为129,,....A A A 和129,,....B B B ，连结i OB ，过i A 做x 轴的垂线与i OB 交于点*(,19)i P i N i ∈≤≤．（1）求证：点*(,19)i P i N i ∈≤≤都在同一条抛物线上，并求该抛物线E 的方程；（2）过点C 做直线l 与抛物线E 交于不同的两点,M N ，若OCM ∆与OCN ∆的面积比为4:1，求直线l 的方程．本小题主要考查抛物线的性质．直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力．推理论证能力，考查化归与转化思想，数形结合思想．函数与方程思想．满分13分． 解：（Ⅰ）依题意，过*(,19)∈≤≤i A i N i 且与x 轴垂直的直线方程为=x i(10,)i B i ，∴直线i OB 的方程为10=iy x 设i P 坐标为(,)x y ，由10=⎧⎪⎨=⎪⎩x ii y x 得：2110=y x ，即210=x y ，∴*(,19)∈≤≤i P i N i 都在同一条抛物线上，且抛物线E 方程为210=x y（Ⅱ）依题意：直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为10=+y kx由21010=+⎧⎨=⎩y kx x y得2101000--=x kx 此时2100+4000∆=>k ，直线l 与抛物线E 恒有两个不同的交点,M N设：1122(,)(,)M x y N x y ，则121210100+=⎧⎨⋅=-⎩x x kx x4∆∆=OCM OCN S S ∴124=x x又120⋅<x x ，∴124=-x x分别带入21010=+⎧⎨=⎩y kx x y，解得32=±k直线l 的方程为3+102=±y x ，即32200-+=x y 或3+2200-=x y19．（本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA ABCD ⊥底面，//AB DC ，11AA =，3AB k =，4AD k =，5BC k =，6DC k =(0)k >．（1）求证：11;CD ADD A ⊥平面（2）若直线1AA 与平面1AB C 所成角的正弦值为67，求k 的值； （3）现将与四棱柱1111ABCD A B C D -形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的棱柱，规定：若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案．问：共有几种不同的方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为()f k ，写出()f k 的表达式（直接写出答案，不必要说明理由）本小题主要考查直线与直线．直线与平面的位置关系．柱体的概念及表面积等基础知识，考查空间想象能力．推理论证能力．运算求解能力，考查数形结合思想．分类与整合思想．化归与转化思想，满分13分． 解：（Ⅰ）取CD 中点E ，连接BE//AB DE Q ，3AB DE k == ∴四边形ABED 为平行四边形 //BE AD ∴且4BE AD k ==在BCE V 中，4,3,5BE k CE k BC k ===Q222BE CE BC ∴+=90BEC ∴∠=︒,即BE CD ⊥，又//BE AD Q ，所以CD AD ⊥ 1AA ⊥Q 平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD 1AA CD ∴⊥，又1AA AD A =I ，CD ∴⊥平面11ADD A（Ⅱ）以D 为原点，1,,DA DC DD uu u r uuu r uuur的方向为,,x y z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系(4,0,0)A k ，(0,6,0)C k ，1(4,3,1)B k k ，1(4,0,1)A k所以(4,6,0)AC k k =-uuu r ，1(0,3,1)AB k =uuu r ，1(0,0,1)AA =uuu r设平面1AB C 的法向量(,,)n x y z =，则由100AC n AB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu r uuu r得46030kx ky ky z -+=⎧⎨+=⎩取2y =，得(3,2,6)n k =-设1AA 与平面1AB C 所成角为θ，则111,sin |cos ,|||||AA nAA n AA n θ=〈〉=⋅uuu ruuu r uuu r67==，解得1k =．故所求k 的值为1 （Ⅲ）共有4种不同的方案2257226,018()53636,18k k k f k k k k ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩20．（本小题满分14分）已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的周期为π，图像的一个对称中心为(,0)4π，将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），在将所得图像向右平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图像．（1）求函数()f x 与()g x 的解析式； （2）是否存在0(,)64x ππ∈，使得0000(),(),()()f x g x f x g x 按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定0x 的个数； 若不存在，说明理由．（3）求实数a 与正整数n ，使得()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点． 本小题主要考查同角三角函数的基本关系．三角恒等变换．三角函数的图像与性质．函数．函数的导数．函数的零点．不等式等基础知识，考查运算求解能力．抽象概括能力，考查函数与方程思想，数形结合思想，分类与整合思想．化归与转化思想，满分14分． 解：（Ⅰ）由函数()sin()f x x ωϕ=+的周期为π，0ω>，得2ω= 又曲线()y f x =的一个对称中心为(,0)4π，(0,)ϕπ∈故()sin(2)044f ππϕ=⨯+=，得2πϕ=，所以()cos 2f x x =将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得cos y x =的图象，再将cos y x =的图象向右平移2π个单位长度后得到函数()sin g x x =（Ⅱ）当(,)64x ππ∈时，1sin 2x <<10cos 22x << 所以sin cos 2sin cos 2x x x x >>问题转化为方程2cos 2sin sin cos 2x x x x =+在(,)64ππ内是否有解设()sin sin cos 22cos 2G x x x x x =+-，(,)64x ππ∈ 则()cos cos cos 22sin 2(2sin )G x x x x x x '=++- 因为(,)64x ππ∈，所以()0G x '>，()G x 在(,)64ππ内单调递增又1()064G π=-<，()04G π=> 且函数()G x 的图象连续不断，故可知函数()G x 在(,)64ππ内存在唯一零点0x ，即存在唯一的0(,)64x ππ∈满足题意 （Ⅲ）依题意，()sin cos 2F x a x x =+，令()sin cos 20F x a x x =+=当sin 0x =，即()x k k Z π=∈时，cos 21x =，从而()x k k Z π=∈不是方程()0F x =的解，所以方程()0F x =等价于关于x 的方程cos 2sin xa x=-，()x k k Z π≠∈ 现研究(0,)(,2)x πππ∈U 时方程解的情况 令cos 2()sin xh x x=-，(0,)(,2)x πππ∈U 则问题转化为研究直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)x πππ∈U 的交点情况22cos (2sin 1)()sin x x h x x +'=，令()0h x '=，得2x π=或32x π= 当x 变化时，()h x 和()h x '变化情况如下表当0x >且x 趋近于0时，()h x 趋向于-∞ 当x π<且x 趋近于π时，()h x 趋向于-∞ 当x π>且x 趋近于π时，()h x 趋向于+∞ 当2x π<且x 趋近于2π时，()h x 趋向于+∞故当1a >时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有无交点，在(,2)ππ内有2个交点； 当1a <-时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点，在(,2)ππ内无交点； 当11a -<<时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点，在(,2)ππ内有2个交点由函数()h x 的周期性，可知当1a ≠±时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内总有偶数个交点，从而不存在正整数n ，使得直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内恰有2013个交点；当1a =±时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)πππU 内有3个交点，由周期性，20133671=⨯，所以67121342n =⨯=综上，当1a =±，1342n =时，函数()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点 21．（本题满分14分） （1）（本小题满分7分）矩阵与变换已知直线:1l ax y +=在矩阵1201A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下变为直线':1l x by +=． （1）求实数,a b 的值；（2）若点00(,)p x y 在直线l 上，且0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求点p 的坐标．本小题主要考查矩阵．矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力．考查化归与转化思想．满分7分．解：解：（Ⅰ）设直线:1l ax y +=上任意一点(,)M x y 在矩阵A 对应的变换作用下的像是(,)M x y '''由12201x x x y y y y '+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得2x x yy y'=+⎧⎨'=⎩又点(,)M x y '''在l '上，所以1x by ''+=，即(2)1x b y ++=依题意121a b =⎧⎨+=⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩（Ⅱ）由0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得000002x x y y y =+⎧⎨=⎩解得00y =又点00(,)P x y 在直线l 上，所以01x = 故点P 的坐标为(1,0)（2）（本小题满分7分）坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点A 的极坐标为)4π，直线l 的极坐标方程为cos()4a πρθ-=，且点A 在直线l 上． （1）求a 的值及直线l 的直角坐标方程；（2）圆c 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩，（α为参数），试判断直线l 与圆的位置关系．本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化．圆的参数方程等基础知识．考查运算求解能力，考查化归与转化思想，满分7分．解：（Ⅰ）由点)4A π在直线cos()4a πρθ-=上，可得a =所以直线l 的方程可化为cos sin 2ρθρθ+= 从而直线l 的直角坐标方程为20x y +-=（Ⅱ）由已知得圆C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+= 所以圆心为(1,0)，半径1r =以为圆心到直线的距离1d =<，所以直线与圆相交 （3）（本小题满分7分）不等式选讲 设不等式*2()x a a N -<∈的解集为A ，且32A ∈，12A ∉． （1）求a 的值；（2）求函数()2f x x a x =++-的最小值．本小题主要考查绝对猪不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，满分7分．解：（Ⅰ）因为32A ∈，且12A ∉，所以322a -<，且122a -≥ 解得1322a <≤，又因为*a N ∈，所以1a = （Ⅱ）因为|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-≥+--=当且仅当(1)(2)0x x +-≤，即12x -≤≤时取得等号，所以()f x 的最小值为3。
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2013年福建省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求的.
1．（5分）（2013•福建）已知复数z的共轭复数（i为虚数单位），则z在复平面内
，
3．（5分）（2013•福建）双曲线的顶点到渐近线的距离等于（）
B
由对称性可取双曲线的顶点（，渐近线
的顶点（，渐近线
d=
4．（5分）（2013•福建）某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）
5．（5分）（2013•福建）满足a，b∈{﹣1，0，1，2}，且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解
6．（5分）（2013•福建）阅读如图所示的程序框图，若输入的k=10，则该算法的功能是（）
7．（5分）（2013•福建）在四边形ABCD中，=（1，2），=（﹣4，2），则该四边形的
B
中，，
的对角线互相垂直，又
该四边形的面积：
8．（5分）（2013•福建）设函数f（x）的定义域为R，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，以
9．（5分）（2013•福建）已知等比数列{a n}的公比为q，记b n=a m（n﹣1）+1+a m（n﹣1）+2+…+a m（n
*
①
=
①，当
时，，
，此时
，∴
=
=，
10．（5分）（2013•福建）设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f （x）满足：（i）T={f（x）|x∈S}；（ii）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），
）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填写在答题卡的相应位置.
11．（4分）（2013•福建）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＞0”发
生的概率为．
＞
=
故答案为：．
12．（4分）（2013•福建）已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是12π．
2r=r=
13．（4分）（2013•福建）如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=，
AB=3，AD=3，则BD的长为．
BAD=
AB=3
．
故答案为：
14．（4分）（2013•福建）椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为
2c，若直线y=与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则该椭圆的离
心率等于．
可知斜率为
可得进而
与斜率有关系
，
，则，解得
故答案为
15．（4分）（2013•福建）当x∈R，|x|＜1时，有如下表达式：1+x+x2+…+x n+…=
两边同时积分得：dx+xdx+x2dx+…+x n dx+…=dx
从而得到如下等式：1×+×（）2+×（）3+…+×（）n+1+…=ln2
请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：
×+×（）2+×（）3+…+×（）n+1=．
=故答案为：
三、解答题：本大题共5小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（13分）（2013•福建）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，
方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中
奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为x，求x≤3的概率；
（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？
，小红中奖的概率为，且两人抽奖中奖与否互不影响，先
，
）由题意知，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为
，∴=
的概率为．
））
×=×=，
，
17．（13分）（2013•福建）已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的极值．
，
）由，
18．（13分）（2013•福建）如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为（10，0），点C的坐标为（0，10），分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A1，A2，…，
A9和B1，B2，…，B9，连接OB i，过A i作x轴的垂线与OB i，交于点．（1）求证：点都在同一条抛物线上，并求抛物线E的方程；
（2）过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M，N，若△OCM与△OCN的面积之比为4：1，求直线l的方程．
）由题意，求出过且与
的方程为．联立方程
）证明：由题意，过且与
的方程为
，解得，即
都在同一条抛物线上，抛物线
消去
，解得
的方程为
19．（13分）（2013•福建）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k，（k＞0）
（1）求证：CD⊥平面ADD1A1
（2）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值
（3）现将与四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f（k），写出f（k）的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）
、、的方向为
，
的一个法向量为=，取
．∴
==
20．（14分）（2013•福建）已知函数f（x）=sin（wx+φ）（w＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（，0），将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍
（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象．
（1）求函数f（x）与g（x）的解析式
（2）是否存在x0∈（），使得f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）按照某种顺序成等差
数列？若存在，请确定x0的个数，若不存在，说明理由；
（3）求实数a与正整数n，使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点．
=
（，）时，＜＜
在（，
）在（，）内单调递增，而（
，
=2
）×+=
个单位长度后得到函数）的图象，，）时，，＜
，）内是否有解．
（，
（）
）在（，）内单调递增，
）﹣（＞
）在（，）内存在唯一零点，
，
，
或，
，（，），
本题设有（21）、（22）、（23）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题计分.
21．（7分）（2013•福建）选修4﹣2：矩阵与变换
已知直线l：ax+y=1在矩阵对应的变换作用下变为直线l′：x+by=1
（I）求实数a，b的值
（II）若点P（x0，y0）在直线l上，且，求点P的坐标．
得
，则有=，
，又点
，解得
得
22．（7分）（2013•福建）选修4﹣4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为，且点A在直线l
上．
（Ⅰ）求a的值及直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）圆C的参数方程为，试判断直线l与圆C的位置关系．
A上，得，
＜
23．（2013•福建）设不等式|x﹣2|＜a（a∈N*）的解集为A，且
（Ⅰ）求a的值
（Ⅱ）求函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的最小值．
且。