k52006年高考第一轮复习数学：10.5 二项式定理

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10.5 二项式定理

●知识梳理

1.二项展开式的通项公式是解决与二项式定理有关问题的基础.

2.二项展开式的性质是解题的关键.

3.利用二项式展开式可以证明整除性问题，讨论项的有关性质，证明组合数恒等式，进行近似计算等.

●点击双基

1.已知（1－3x ）9

=a 0+a 1x +a 2x 2

+…+a 9x 9

，则｜a 0｜+｜a 1｜+｜a 2｜+…+｜a 9｜等于 A.29

B.49

C.39

D.1

解析：x 的奇数次方的系数都是负值，

∴｜a 0｜+｜a 1｜+｜a 2｜+…+｜a 9｜=a 0－a 1+a 2－a 3+…－a 9. ∴已知条件中只需赋值x =－1即可. 答案：B

2.（2004年江苏，7）（2x +x ）4的展开式中x 3的系数是 A.6

B.12

C.24

D.48

解析：（2x +x ）4=x 2（1+2x ）4，在（1+2x ）4中，x 的系数为C 24

·22=24. 答案：C

3.（2004年全国Ⅰ，5）（2x 3－x

1）7的展开式中常数项是 A.14

B.－14

C.42

D.－42

解析：设（2x 3

－

x

1

）7

的展开式中的第r +1项是T 1+r =C r 7（2x 3

）r

-7（－

x

1）r

=C r

72r -7·

（－1）r ·x

)

7(32

x r -+-，

当－

2

r +3（7－r ）=0，即r =6时，它为常数项，∴C 67（－1）6·21

=14.

答案：A

4.（2004年湖北，文14）已知（x 2

3

+x

3

1-

）n 的展开式中各项系数的和是128，则展开式

中x 5

的系数是_____________.（以数字作答）

解析：∵（x 23

+x

3

1-

）n

的展开式中各项系数和为128，

∴令x =1，即得所有项系数和为2n =128.

∴n =7.设该二项展开式中的r +1项为T 1+r =C r

7

（x 23

）r -7·（x

3

1-

）r

=C r 7

·x

6

1163r

-，

令

6

1163r

-=5即r =3时，x 5

项的系数为C 37

=35. 答案：35

5.若（x +1）n

=x n

+…+ax 3

+bx 2

+cx +1（n ∈N *

），且a ∶b =3∶1，那么n =_____________. 解析：a ∶b =C 3n ∶C 2n =3∶1，n =11. 答案：11 ●典例剖析

【例1】 如果在（x +421x

）n 的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的

有理项.

解：展开式中前三项的系数分别为1，2

n ，

8

)1(-n n ，

由题意得2×

2

n =1+

8

)1(-n n ，得n =8.

设第r +1项为有理项，T 1+r =C r

8

·r

2

1·x

4

316r

-，则r 是4的倍数，所以r =0，4，8.

有理项为T 1=x 4

，T 5=

8

35x ，T 9=

2

2561x

.

评述：求展开式中某一特定的项的问题常用通项公式，用待定系数法确定r . 【例2】 求式子（｜x ｜+|

|1x －2）3的展开式中的常数项.

解法一：（｜x ｜+

|

|1x －2）3

=（｜x ｜+|

|1x －2）（｜x ｜+

|

|1x －2）（｜x ｜+

|

|1x －2）得

到常数项的情况有：①三个括号中全取－2，得（－2）3；②一个括号取｜x ｜，一个括号取

|

|1x ，一个括号取－2，得C 13C 12（－2）=－12， ∴常数项为（－2）3+（－12）=－20. 解法二：（|x |+

|

|1x －2）3=（||x －

|

|1x ）6.

设第r +1项为常数项，

则T 1+r =C r 6·（－1）r ·（

|

|1x ）r ·|x |r -6=（－1）6·C r

6·|x |r 26-，得6－2r =0，r =3.

∴T 3+1=（－1）3·C 36=－20.

思考讨论

（1）求（1+x +x 2

+x 3

）（1－x ）7

的展开式中x 4

的系数； （2）求（x +

x

4－4）4

的展开式中的常数项；

（3）求（1+x ）3+（1+x ）4+…+（1+x ）50的展开式中x 3的系数.