实数(实数的概念、运算、及大小比较)
沪科版七年级数学下册《实数的运算及大小比较》评课稿
沪科版七年级数学下册《实数的运算及大小比较》评课稿一、教材解析1. 教材概述《实数的运算及大小比较》是沪科版七年级数学下册的一章内容。
本章主要介绍了实数及其运算的基本概念和方法，同时涉及实数的大小比较。
2. 教材内容本章主要包括以下内容：1.实数的定义与分类：介绍实数的概念以及整数、有理数和无理数的分类。
2.实数的绝对值：讲解实数的绝对值的概念，以及绝对值与数轴上的位置的关系。
3.实数的加法和减法运算：详细介绍实数的加法和减法运算规则，并且通过例题展示了运算的方法和技巧。
4.实数的乘法和除法运算：探讨实数的乘法和除法运算规则，并通过实例演示了运算的过程和方法。
5.实数大小的比较：介绍了实数大小比较的方法，包括相等、不等以及在数轴上的位置关系。
二、教学设计1. 教学目标本章的教学目标主要包括：1.了解实数的定义和分类，能够准确区分整数、有理数和无理数。
2.掌握实数的绝对值的概念和计算方法。
3.掌握实数的加法和减法运算规则，能够熟练运用。
4.掌握实数的乘法和除法运算规则，能够熟练运用。
5.能够正确使用实数大小比较的方法，能够在数轴上标定实数的位置。
2. 教学内容与方法本章的内容主要是实数的运算及大小比较，因此在教学过程中应重点围绕以下几个方面展开：1.通过教材示例引入，引发学生对实数的兴趣，并加深对实数概念的理解。
2.通过整合和归纳，帮助学生系统掌握实数的分类、绝对值、加法和减法运算、乘法和除法运算等。
3.培养学生的分析和解决问题的能力，培养学生的逻辑思维和推理能力。
4.结合实生活例展示实数计算的实际应用场景，增强学生对实数运算的认知。
3. 教学步骤为了更好地完成本章的教学目标，可以采用以下教学步骤：步骤一：导入与概念引入通过呈现一些实际问题的实例，让学生对实数的运算及大小比较有初步的了解，激发学生学习的兴趣。
步骤二：绝对值与数轴介绍实数的绝对值的定义与概念，并详细讲解绝对值与数轴上的位置关系。
通过练习题让学生熟练运用绝对值的计算方法。
第一章数与式第2讲 实数的运算及大小比较
014
×( － 0.125)2
015
＝
×( － 0.125)
2 015
＝8
2 014
×( － 0.125)
2 014
×
( － 0.125) ＝ [8×( － 0.125)]2
014
×( － 0.125) ＝ 1×( － 0.125) ＝
19．已知 x，y 是实数，且满足(x＋4) ＋|y－5|＝0， 则(x＋y)
(3)近似估算法(利用有理数估算无理数的大小范围 )； (4)中间值法；(5)平方法；(6)倒数法．
考点四
实数非负性的应用
若 n 个非负数的和为 0，则这 n 个非负数同时为 0. 如|a|＋b2＋ c＝0，则 a＝b＝c＝0.
温馨提示：
实数中三种重要的非负数形式：|a|≥ 0，b2≥ 0， c≥0c≥0，其中 a，b，c 可以表示一个字母，也 可以表示一个代数式.
方法总结： 实数混合运算的一般顺序为先乘方、开方，再乘 除，最后加减；同级运算，从左到右进行；如有括号， 先做括号内的运算.
1．比较－3,1，－2的大小，正确的是( A A．－3＜－2＜1 C．1＜－2＜－3 ∴－3＜－2＜1.故选A. B．－2＜－3＜1 D. 1＜－3＜－2
)
解析：∵|－3|>|－2|，∴－3＜－2.
解析：由非负数和的性质，可得 x－1＝0，y＋3 ＝0，解得 x＝1，y＝－3.∴x＋y＝1－3＝－2.故选 A.
11． 如图， 数轴上 A， B 两点表示的数分别为 2和 5.1，则 A，B 两点之间表示整数的点共有( C )
A．6 个
B．5 个
C．4 个
D．3 个
解析： ∵1＜ 2 ＜ 2， ∴ 2 和 5.1 之间的整数有 2,3,4,5 共 4 个．故选 C.
实数的概念和运算
实数的概念和运算实数是数学中的一种重要概念，它包括有理数和无理数两部分。
实数运算指对实数进行加、减、乘、除等基本运算的操作。
在本文中，我们将从实数的概念入手，探讨实数的性质、分类以及基本运算规则。
一、实数的概念实数是一种可以用来表示尺寸、时间、温度、权重等具体物理量的数。
它包括有理数和无理数两个部分。
有理数是可以表示为两个整数的比值的数，而无理数则无法表示为有理数的比值。
有理数是实数的一部分，它包括整数、分数和小数。
整数是不带小数点的正负整数，分数是两个整数的比值，小数是无限位小数或者有限位小数。
有理数之间的运算满足交换律、结合律和分配律等基本运算规则。
无理数包括无限不循环小数和根号形式的数。
无限不循环小数是指小数位数无限且没有循环的小数，如圆周率π和自然对数的底数e。
根号形式的数是指无法表示为有理数的平方根或立方根等形式的数，如根号2和根号3等。
二、实数的分类实数可以分为有限实数和无限实数。
有限实数是指小数位数有限的实数，而无限实数则是指小数位数无限的实数。
在有限实数中，又可以进一步分为有理数和有限不循环小数。
有理数是可以表示为两个整数的比值，而有限不循环小数则是指小数位数有限且不出现循环的小数，如0.25和0.333等。
在无限实数中，又可以进一步分为无理数和无限不循环小数。
无理数是指无法表示为有理数的比值的数，而无限不循环小数是指小数位数无限且不出现循环的小数，如π和e等。
三、实数的基本运算规则实数的基本运算包括加法、减法、乘法和除法。
下面将分别介绍它们的运算规则。
1. 加法：实数的加法满足交换律、结合律和零元素的存在。
即对于任意实数a、b和c，满足以下规则：- 交换律：a + b = b + a- 结合律：(a + b) + c = a + (b + c)- 零元素：a + 0 = a2. 减法：实数的减法可以转化为加法运算。
即对于任意实数a、b 和c，满足以下规则：- 减法定义：a - b = a + (-b)3. 乘法：实数的乘法满足交换律、结合律和单位元素的存在。
初二实数的概念及运算
初二实数的概念及运算实数是数学中最基本的数集之一，包括正数、负数和零。
初二数学课程中，学生开始接触实数的概念和运算。
本文将详细介绍初二实数的概念以及基本运算。
1. 实数的概念实数是一种用来表示具体数量的数。
它们可以是有理数或无理数的集合。
有理数是可以用两个整数的比表示的数，包括整数、分数和可以有限或无限循环的小数。
无理数是无法表示为有理数的数，例如根号2和圆周率π等。
初二阶段，学生主要学习实数的基本概念，包括正数、负数和零。
正数是大于零的数，负数是小于零的数，零是不大于也不小于零的唯一数。
2. 实数的运算实数具有四种基本的运算，分别是加法、减法、乘法和除法。
下面我们将逐一介绍这些运算。
2.1 加法实数的加法满足交换律和结合律。
给定实数a、b和c，a + b的结果仍然是一个实数，记作c。
例如，2 + 3 = 5，-5 + 7 = 2。
2.2 减法实数的减法也是一种加法运算，可以将减法转化为加法的形式。
给定实数a和b，a - b的结果可以表示为a + (-b)。
例如，5 - 3 = 5 + (-3) = 2。
2.3 乘法实数的乘法也满足交换律和结合律。
对于给定的实数a、b和c，a × b的结果仍然是一个实数，记作c。
例如，2 × 3 = 6，-5 × 7 = -35。
2.4 除法实数的除法也可以转化为乘法的形式。
给定实数a和b，a ÷ b的结果可以表示为a × (1/b)。
需要注意的是，除数b不能为零，否则结果将无意义。
例如，6 ÷ 3 = 6 × (1/3) = 2，-15 ÷ (-5) = -15 × (1/(-5)) = 3。
3. 实数的性质实数具有许多重要的性质，下面我们简要介绍其中几个。
3.1 闭合性实数的加法和乘法都满足闭合性。
也就是说，对于任意的实数a和b，a + b和a × b仍然是实数。
七年级上册数学实数知识点
七年级上册数学实数知识点本文对于七年级上册数学实数知识点进行了详细的阐述。
针对初中数学课程中的实数知识点，为了让同学们更好地掌握并应用，本文进行了整理和总结，详细讲解了实数的概念、性质、大小比较、集合的概念与运算等内容。
一、实数的概念实数指的是包括有理数和无理数在内的所有实数的集合，用符号R表示。
其中，有理数包括整数、分数和小数。
无理数指的是不能表示为有理数的数，例如π、√2等。
二、实数的性质1. 一切整数都是实数。
2. 一切分数都是实数。
3. 实数具有传递性，即如果a<b，b<c，则a<c。
4. 实数具有比较性，即任意两个实数都可以进行大小比较。
5. 实数具有相反数性质，即对于任意的实数a，在实数集合中存在唯一的一个实数-b，使得a+b=0。
称-b为a的相反数。
6. 实数具有相加性质，即对于任意的实数a、b，在实数集合中存在一个唯一的实数c，使得a+b=c。
7. 实数具有相乘性质，即对于任意的实数a、b，在实数集合中存在一个唯一的实数c，使得a×b=c。
三、实数的大小比较1. 整数大小比较：对于任意两个整数a、b，如果a<b，则称a 小于b。
反之，如果a>b，则称a大于b。
2. 有理数大小比较：对于任意两个有理数a、b，如果a-b>0，则称a大于b。
如果a-b=0，则称a等于b；如果a-b<0，则称a小于b。
3. 无理数大小比较：无理数大小比较可以采用数轴上的方法。
对于两个无理数a、b，如果它们对应数轴上的点在同一侧，则可以以这两个无理数对应线段的长度来判断大小。
即长度较大的线段所对应的无理数大于长度较小的线段所对应的无理数。
四、实数集合的概念与运算1. 实数集合的概念：实数集合就是由实数构成的集合，它可以用花括号{}括起来表示。
2. 实数集合的分类：（1）有理数集合：由有理数构成的集合，用符号Q表示。
（2）无理数集合：由无理数构成的集合，用符号I表示。
实数的大小比较及运算
实数的大小比较及运算实数是数学中的一个重要概念，它包括有理数和无理数两大类。
在数学运算中，实数的大小比较及运算是最基础的部分之一，对于学生来说，掌握实数的大小比较及运算是非常重要的。
本文将从实数的大小比较和基本运算两个方面进行详细介绍。
一、实数的大小比较1. 正数和负数的比较正数是大于零的实数，负数是小于零的实数。
在实数中，正数大于负数。
例如，1比-1要大，2比-2要大。
当然，绝对值较大的负数，比绝对值较小的正数要小。
比如，-5比3要小。
2. 零和正数、负数的比较零是实数中最小的数，比任何正数都要小，但是大于任何负数。
如0比1要小，0比-1要大。
3. 实数的比较运算规则（1）同号相乘为正，异号相乘为负。
（2）同号相加为正，异号相加为负。
（3）绝对值较大的数，在同号运算时，结果的绝对值较大；在异号运算时，结果的绝对值较小。
二、实数的基本运算1. 实数的加法实数的加法满足交换律、结合律和分配律等基本性质。
例如，a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)，a(b+c)=ab+ac。
2. 实数的减法实数的减法可以转化为加法运算，即a-b=a+(-b)。
减法满足减法的交换律：a-b≠b-a。
3. 实数的乘法实数的乘法满足交换律、结合律和分配律等基本性质。
例如，ab=ba，a(bc)=(ab)c，a(b+c)=ab+ac。
4. 实数的除法实数的除法定义为a÷b=a×(1/b)，其中b≠0。
除法满足除法的性质：a÷b≠b÷a。
5. 实数的乘方与开方实数的乘方定义为a的n次方是指n个a相乘，即an=a×a×…×a。
实数的开方是乘方的逆运算，即对于实数a，若b是满足b^n=a的实数，则b叫做a的n次方根。
通过以上详细介绍，相信大家对实数的大小比较及运算有了更深入的了解。
掌握实数的大小比较及运算是数学学习的基础，也是解决实际问题的重要方法。
在日常学习中多加练习，相信你会掌握实数的大小比较及运算，取得更好的学习成绩。
实数知识点详细总结
实数知识点详细总结\section{实数的定义}实数是一种可以在数轴上表示的数，包括了有理数和无理数两种。
有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数和分数；而无理数是不能表示为有理数的数，包括了无限不循环小数的数。
在数轴上，实数按照大小顺序排列，可以用有理数和无理数填满。
实数具有如下的性质：1. 实数的封闭性：实数的加法、减法、乘法和除法结果仍然是实数。
2. 实数的稠密性：在任意两个实数之间，都存在另外一个实数。
3. 实数的有序性：实数可以按照大小顺序进行比较。
4. 实数的存在性：实数可以在数轴上表示，并且可以用准确的小数表示。
\section{实数的性质}实数具有很多重要的性质，包括了有理数和无理数的性质。
其中，有理数具有如下的性质：1. 有理数的封闭性：有理数的加法、减法、乘法和除法结果仍然是有理数。
2. 有理数的稠密性：在任意两个有理数之间，都存在另外一个有理数。
3. 有理数的有序性：有理数可以按照大小顺序进行比较。
4. 有理数的存在性：有理数可以在数轴上表示，并且可以用准确的分数表示。
而无理数具有如下的性质：1. 无理数的无限不循环小数性质：无理数不能表示为有理数的形式，它们的小数部分是无限不循环的。
2. 无理数的稠密性：在任意两个无理数之间，都存在另外一个无理数。
3. 无理数的振荡性：无理数是无限不循环小数，其小数部分具有振荡的性质。
4. 无理数的无法准确表示性：无理数不能用准确的分数表示，并且有时候也无法用有限小数或者无限循环小数表示。
\section{实数的运算}实数的运算是实数研究中一个非常重要的方面，它包括了加法、减法、乘法和除法等多种运算。
在实数的运算中，有些运算具有交换律、结合律和分配律等性质，而有些运算则不具有这些性质。
在实数的运算中，还可以涉及到有理数和无理数的混合运算，这是实数运算中一个比较复杂的部分。
1. 实数的加法：实数的加法满足交换律和结合律，即对任意实数a、b、c，有a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)。
实数基本概念
实数基本概念实数基本概念及应用一、实数的定义与性质1.1 实数的定义实数是由有理数和无理数组成的数。
其中，有理数包括整数和分数，无理数则是无法表示为有限小数或无限循环小数的数。
1.2 实数的性质实数具有连续性、完备性、有序性等性质。
连续性指实数在数轴上是可以无限接近的，没有间隙；完备性指实数可以表示为任意精确程度的有限小数或无限循环小数；有序性指实数可以按照大小进行比较，可以排序。
二、实数的表示方法2.1 有限小数表示法有限小数表示法是指用小数点后几位数字来表示实数的方法。
例如，123.45表示为有限小数123.45。
2.2 无限小数表示法无限小数表示法包括无限循环小数和无限不循环小数。
无限循环小数是指小数点后的数字重复出现，例如1/3=0.3333……。
无限不循环小数是指小数点后的数字不重复出现，例如π=3.141592……。
三、实数的运算3.1 加法运算实数的加法运算按照加法交换律和结合律进行。
即a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)。
3.2 减法运算实数的减法运算按照加法交换律和结合律进行。
即a-b=a+(-b)，a-b-c=a+(-b)+(-c)。
3.3 乘法运算实数的乘法运算按照乘法交换律和结合律进行。
即a×b=b×a，(a×b)×c=a×(b×c)。
3.4 除法运算实数的除法运算按照乘法交换律和结合律进行。
即a/b=c，则ac=bc，c/a=b，则ca=cb。
3.5 指数运算实数的指数运算可以使用幂运算进行。
即a^b=c，则log(a)c=b。
3.6 对数运算实数的对数运算可以使用指数运算进行。
即log(a)b=x，则a^x=b。
四、实数在生活中的应用4.1 测量中的应用实数在测量中有着广泛的应用。
例如，长度、面积、体积等都可以用实数来表示。
4.2 工程中的应用在工程中，实数被广泛应用于计算各种物理量。
例如，物体的质量、速度、加速度等都可以用实数来表示。
实数的大小比较以及运算乐乐学堂
实数的大小比较以及运算乐乐学堂实数是数学中一类重要的数值，它包括所有的有理数和无理数。
在数学运算中，实数的大小比较和运算是非常基本且重要的操作。
本文将详细介绍实数的大小比较和四则运算等内容。
首先，我们来讨论实数的大小比较。
在实数集合中，我们可以通过不等式来比较两个实数的大小。
实数的大小关系可以分为三种情况：大于、小于和等于。
1.大于（>）：如果实数a的值大于实数b的值，我们可以表示为a > b。
例如，2大于1，我们可以写作2 > 1。
2.小于（<）：如果实数a的值小于实数b的值，我们可以表示为a < b。
例如，1小于2，我们可以写作1 < 2。
3.等于（=）：如果实数a的值等于实数b的值，我们可以表示为a = b。
例如，2等于2，我们可以写作2 = 2。
需要注意的是，实数的大小比较并不仅仅适用于整数和有理数，也可以适用于无理数。
无论是有理数还是无理数，都可以通过大小比较来确定它们的相对大小。
接下来，我们来讨论实数的四则运算，包括加法、减法、乘法和除法。
1.加法：实数的加法是指将两个实数相加，得到一个新的实数。
例如，对于实数a和b，它们的和c可以表示为c = a + b。
例如，1加上2等于3，我们可以写作1 + 2 = 3。
2.减法：实数的减法是指从一个实数中减去另一个实数，得到一个新的实数。
例如，对于实数a和b，它们的差c可以表示为c = a - b。
例如，2减去1等于1，我们可以写作2 - 1 = 1。
3.乘法：实数的乘法是指将两个实数相乘，得到一个新的实数。
例如，对于实数a和b，它们的积c可以表示为c = a * b。
例如，2乘以3等于6，我们可以写作2 * 3 = 6。
4.除法：实数的除法是指将一个实数除以另一个实数，得到一个新的实数。
例如，对于实数a和b（其中b不为0），它们的商c可以表示为c = a / b。
例如，6除以2等于3，我们可以写作6 / 2 = 3。
(完整版)实数知识点总结
(完整版)实数知识点总结1. 实数的定义实数是包括有理数和无理数在内的数的集合。
实数集包含有理数集和无理数集。
2. 有理数的性质有理数是可以表示为两个整数的比值的数。
有理数的性质包括：- 有理数的四则运算性质：加法、减法、乘法和除法。
- 有理数的分数形式，即可以表示为两个整数的比值。
- 有理数可以表示为小数，且小数可以是有限的或无限循环的。
3. 无理数的性质无理数是不能表示为两个整数的比值的数。
无理数的性质包括：- 无理数不能表示为分数形式。
- 无理数的十进制表示是无限不循环的。
- 无理数可以用无限不循环的小数表示，但无法精确表示。
4. 实数的数轴表示实数可以在数轴上表示，数轴上的每个点都对应一个实数。
5. 实数的运算实数的运算包括加法、减法、乘法和除法。
实数的运算满足以下性质：- 交换律：a + b = b + a，a * b = b * a。
- 结合律：(a + b) + c = a + (b + c)，(a * b) * c = a * (b * c)。
- 分配律：a * (b + c) = a * b + a * c。
6. 绝对值绝对值是一个数离0的距离，可以用来表示数的大小。
绝对值的性质包括：- 绝对值非负：|a| >= 0。
- 非零数的绝对值大于0：|a| > 0。
- 绝对值的加法：|a + b| <= |a| + |b|。
7. 实数的比较实数可以进行大小比较，实数的比较满足以下性质：- 反身性：a = a。
- 对称性：如果a > b，则b < a。
- 传递性：如果a > b，b > c，则a > c。
8. 实数的区间实数可以按照大小关系分为开区间、闭区间、半开半闭区间等。
区间的边界可以是实数也可以是无穷大。
9. 实数的近似值由于实数的无理数部分是无限不循环的，所以我们一般用近似值来表示实数。
10. 实数的应用实数在数学和科学中有广泛的应用，如在几何中表示线段长度、在物理中表示物体的质量等。
实数基础知识点
实数基础知识点实数是数学中一个非常重要的概念。
它是数轴上所有的有理数和无理数的集合，包括正数、负数以及零。
在数学中，实数用R来表示。
接下来，我们将逐步介绍实数的一些基础知识点。
一、实数的分类实数可以分为有理数和无理数两大类。
1.有理数：有理数是可以表示为两个整数的比值的数。
它包括正整数、负整数、零，以及所有可以表示为两个整数的比值的分数。
例如，1、-5、0、1/2等都属于有理数。
2.无理数：无理数是不能表示为两个整数的比值的数。
它包括无限不循环小数，如根号2、π等。
无理数的小数表示是无限不循环的，例如根号2≈1.4142135…，π≈3.1415926…等。
二、实数的运算实数的运算包括加法、减法、乘法和除法。
下面我们来逐一介绍。
1.加法：实数的加法满足交换律和结合律。
例如，对于任意的实数a、b和c，有a + b = b + a和(a + b) + c = a + (b + c)。
2.减法：实数的减法是加法的逆运算。
例如，对于任意的实数a和b，有a - b = a + (-b)。
3.乘法：实数的乘法满足交换律和结合律。
例如，对于任意的实数a、b和c，有a * b = b * a和(a * b) * c = a * (b * c)。
4.除法：实数的除法是乘法的逆运算。
例如，对于任意的实数a和b（其中b≠0），有a / b = a * (1 / b)。
三、实数的性质实数具有一些重要的性质，包括有序性、稠密性和连续性。
1.有序性：实数可以进行大小比较。
对于任意的实数a和b，有a < b、a = b或者a > b。
这是实数的一个重要性质，它使得我们可以对实数进行排序。
2.稠密性：实数是稠密的，即在任意两个不相等的实数之间，都存在着其他的实数。
这意味着在数轴上，任意两个实数之间都可以找到一个实数。
3.连续性：实数具有连续性，即在数轴上不存在间隙。
任意两个实数之间都存在着无限个实数。
这个性质对于实数的运算和分析非常重要。
2. 实数的运算与大小比较
导学互动教案课题实数的运算与大小比较讲课人时间教学目标知识与能力通过练习和检测，能熟练准确进行实数的运算，会比较实数的大小。
过程与方法态度、情感、价值观教学重点能熟练准确进行实数的运算，会比较实数的大小教学难点能熟练准确进行实数的运算，会比较实数的大小教学方法导学互动教学准备教学过程提纲导学激趣导入出示导纲一、实数的运算1．实数的运算种类有：加法、减法、乘法、除法、、六种，其中减法转化为运算，除法、乘方都转化为运算。
2. 数的乘方=na，其中a叫做，n叫做 .3. =a（其中a 0 且a是）=-pa（其中a 0）4. 实数运算先算，再算，最后算；如果有括号，先算里面的，同一级运算按照从到的顺序依次进行.二、实数的大小比较1．数轴上两个点表示的数，的点表示的数总比的点表示的数大.2．正数 0，负数 0，正数负数；两个负数比较大小，绝对值大的绝对值小的．3．实数大小比较的特殊方法⑴设a、b是任意两个数，若a-b>0，则a b；若a-b=0，则a b，若a-b<0，则a b；⑵平方法⑶商比较法：已知a>0、b>0，若ba>1，则a b；若ba=1，则a b；若ba<1，则a b；⑷近似估算法⑸找中间值法4．n个非负数的和为0，则这n个非负数同时为0.自学设疑自学导纲，标出存有疑惑的地方合作小组交流小组内对导纲中的问题或自己的疑问一起交流讨论互动展示评价1，3，5，7组展示，2，4，6组评价质疑解难导学归纳学生归纳教师引导拓展训练教师编题学生编题一、中考真题练习1.比较大小：－6 －8．（填“＜”、“=”或“＞”）2.3(1)-等于（）A．－1 B．1 C．－3 D．33.计算3×(-2) 的结果是A．5 B．-5 C．6 D．-6二、学生编题板书设计实数的运算与大小比较一、二、三、四、演板：演板：演板：演板：课后作业教学反思。
实数概念例题和知识点总结
实数概念例题和知识点总结一、实数的概念实数是有理数和无理数的总称。
有理数包括整数和分数，整数又分为正整数、零和负整数；分数包括正分数和负分数。
无理数是无限不循环小数。
二、实数的分类1、按定义分类实数可以分为有理数和无理数。
有理数：能表示为两个整数之比的数，包括整数、有限小数和无限循环小数。
无理数：不能表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数，如π、＼（＼sqrt{2}＼）等。
2、按正负分类实数可以分为正实数、零和负实数。
正实数：大于零的实数，包括正有理数和正无理数。
负实数：小于零的实数，包括负有理数和负无理数。
零：既不是正实数也不是负实数。
三、实数的性质1、实数与数轴上的点一一对应。
数轴上的每一个点都对应一个实数，反之，每一个实数都能在数轴上找到一个对应的点。
2、实数的运算（1）加法：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得零。
（2）减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
（3）乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与零相乘都得零。
（4）除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数（除数不为零）。
（5）实数的运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。
四、实数的大小比较1、正数大于零，零大于负数，正数大于负数。
2、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。
3、作差法：若\（a b ＞ 0\），则\（a ＞ b\）；若\（a b ＝ 0\），则\（a ＝ b\）；若\（a b ＜ 0\），则\（a ＜ b\）。
4、作商法：对于两个正数\（a\）、＼（b\），若\（＼frac{a}｛b} ＞ 1\），则\（a ＞ b\）；若\（＼frac{a}｛b} ＝ 1\），则\（a ＝ b\）；若\（＼frac{a}｛b} ＜ 1\），则\（a ＜ b\）。
实数的概念与运算
实数的概念与运算实数是数学中一个非常重要的概念，它包括有理数和无理数。
在本文中，我们将详细介绍实数的概念以及实数的基本运算法则。
一、实数的概念实数是指包括正数、负数和零的全体数。
实数可以表示为有限小数、无限小数或无限不循环小数。
它们可以在数轴上表示，并且可以进行加法、减法、乘法和除法运算。
实数可以用符号表示，如正数表示为“+”，负数表示为“-”，零表示为“0”。
例如，3、-2、1.5 都是实数。
二、实数的加法运算实数的加法运算是指将两个实数相加，得到它们的和。
加法运算满足以下法则：1. 结合律：对于任意实数 a、b、c，有 (a+b)+c=a+(b+c)。
2. 交换律：对于任意实数 a、b，有 a+b=b+a。
3. 零元素：对于任意实数 a，有 a+0=a。
4. 相反数：对于任意实数 a，存在一个实数 -a，使得 a+(-a)=0。
例如，对于实数 2、3 和 4，我们有 2+3+4=9，符合以上的加法运算法则。
三、实数的减法运算实数的减法运算是指将一个实数减去另一个实数，得到它们的差。
减法运算满足以下法则：1. 减法的定义：对于任意实数 a 和 b，a-b 可以理解为 a+(-b)。
2. 减法的法则：对于任意实数 a、b、c，有 a-(b+c)=(a-b)-c。
例如，对于实数5 和3，我们有5-3=2，符合以上的减法运算法则。
四、实数的乘法运算实数的乘法运算是指将两个实数相乘，得到它们的积。
乘法运算满足以下法则：1. 结合律：对于任意实数 a、b、c，有 (a*b)*c=a*(b*c)。
2. 交换律：对于任意实数 a、b，有 a*b=b*a。
3. 单位元素：对于任意实数 a，有 a*1=a。
4. 零元素：对于任意实数 a，有 a*0=0。
例如，对于实数 2、3 和 4，我们有 2*3*4=24，符合以上的乘法运算法则。
五、实数的除法运算实数的除法运算是指将一个实数除以另一个实数，得到它们的商。
除法运算满足以下法则：1. 除法的定义：对于任意实数 a 和 b（b≠0）， a/b 可以理解为a*(1/b)。
实数的概念和运算法则
实数的有关概念1.实数的分类：整数包括:正整数、0、负整数和分数包括:有限小数和无限环循小数都是有理数. 无限不循环小数是无理数,有理数和无理数统称为实数.2.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴．实数和数轴上的点一一对应.3.绝对值：几何意义：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫数a的绝对值,记作∣a∣,代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.4.相反数：符号不同、绝对值相等的两个数,叫做互为相反数．a的相反数是-a,0的相反数是0.5. 5.倒数：乘积为1的两个数互为倒数,()0≠a a的倒数为1.a 6.有效数字：一个近似数,从左边笫一个不是0的数字起,到最末一个数字止,所有的数字,都叫做这个近似数的有效数字.7.科学记数法：把一个数写成±a×10n的形式其中1≤a<10,n是整数,这种记数法叫做科学记数法.如:407000=4.07×105,0.000043=4.3×10－5.8.大小比较：正数大于0,负数小于0,两个负数,绝对值大的反而小.9.数的乘方：求相同因数的积的运算叫乘方,乘方运算的结果叫幂.记作a n.10.平方根：一般地,如果一个数x的平方等于a,即x2=a那么这个数x就叫做a的平方根也叫做二次方根．记作()0≥±aa一个正数有两个平方根,它们互为相反数；0只有一个平方根,它是0本身；负数没有平方根．11.开平方：求一个数a的平方根的运算,叫做开平方．12.算术平方根：一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x就叫做a的算术平方根,记作a()0a.0的算术平方根是0．≥a.0≥13.立方根：一般地,如果一个数x的立方等于a,即x3=a,那么这个数x就叫做a的立方根也叫做三次方根记作3a.正数的立方根是正数;负数的立方根是负数；0的立方根是0．14.开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开立方．实数的运算15.有理数加法法则：同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加；异号两数相加,绝对值相等时和为0；绝对值不等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加,仍得这个数．16．有理数减法法则：减去一个数,等于加上这个数的相反数．17．有理数乘法法则：两个有理数相乘,同号得正,异号得负,再把绝对值相乘；任何数与0相乘,积仍为0．18.几个不等于零的数相乘,积的符号由负因数的个数决定,当负因数的个数为奇数时,积为负；当负因数的个数为偶数个时,积为正;19．有理数除法法则：两个有理数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除；0除以任何非0的数都得0；除以一个数等于乘以这个数的倒数．20.幂的运算法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是正数,负数的偶次幂是正数；零的任何次幂都是零; 21实数的运算顺序：先算乘方开方,再算乘除,最后算加减；如果有括号,先算括号里面的．22．有理数的运算律：加法交换律：a+b=b+a(a b、为任意有理数加法结合律：a+b+c=a+b+ca, b,c为任意有理数。
实数的概念及其大小比较
分析：这是求有特定条件的代数式的值的问题；
故通常从条件出发，寻找条件与所求的切入点.
解：由条件a2+4b2-2a+4b+2
=a2+2a+1+4b2+4b+1=0
有(a-1)2+(2b+1)2=0
因此有a-1=0且2b+1=0.解得a=1,b= 所以4b2- 1 =4-(-2)=6
1 2
b
互为相反数，求8a-4b-
1a与2a的大小。
解：由于a-2a = - a， 所以 当a>0时，- a<0，则 a-2a<0，即a<2a；
当a=0时，- a=0，则 a-2a=0，即a=2a； 当a<0时，- a>0，则 a-2a>0，即a>2a.
例4 已知a,b为实数，且a2+4b2-2a+4b+2=0,求 4a2- 1 的值.
（3）倒数——1除以一个非零数的商叫做这 个数的倒数. 若a,b互为倒数，则ab=1；反之， 若ab=1，则a,b互为倒数.
（4）平方根——如果一个数的平方等于a， 那么这个数叫做a的平方根.即如果x2=a,那么 x就叫做a的平方根.记作x=正负根号a
①正数的平方根有两个，他们互为相反数； ②零的平方根只有一个，仍是零；
③负数没有平方根（因为任何实数的平方不 可能是负数）.
3、实数大小的比较
比较任意两个实数的大小，这里主要学习差 比法，即： 如果a - b > 0 ， 那么 a > b ； 如果a - b = 0 ， 那么 a = b ； 如果a - b < 0 ， 那么 a < b .
例1.已知a的倒数是2/3，b的倒数是4/3，c与d
实数知识点总结
实数知识点总结一、实数的定义实数是可以在数轴上表示的数，包括有理数和无理数。
有理数是可以表示为两个整数之比的数，而无理数则不能表示为两个整数之比。
二、实数的分类1. 有理数a. 整数：正整数、负整数和零。
b. 分数：可以表示为两个整数之比的数，包括有限小数和无限循环小数。
2. 无理数a. 非循环小数：无法表示为分数的小数，其小数部分无限且不重复。
b. 根号开不尽的数：如根号2、根号3等。
3. 特殊实数a. 圆周率πb. 自然对数的底数e三、实数的性质1. 有序性：实数具有大小顺序，可以比较大小。
2. 封闭性：实数集合在加法、减法、乘法和除法（除以非零实数）下是封闭的。
3. 完备性：任何实数序列都有极限，即任何实数序列都收敛于某个实数。
四、实数的运算1. 加法a. 同号相加，结果的符号与原数相同。
b. 异号相加，结果的符号取决于绝对值较大的数。
c. 任何实数与零相加等于原数。
2. 减法a. 减去一个数等于加上这个数的相反数。
3. 乘法a. 正数乘以正数得正数，负数乘以负数得正数。
b. 正数乘以负数得负数，负数乘以正数得负数。
c. 任何实数与零相乘等于零。
4. 除法a. 除以一个非零实数，等于乘以这个数的倒数。
b. 零除以任何非零实数等于零。
五、实数的绝对值和倒数1. 绝对值：一个实数的绝对值是它与零之间的距离，用符号| |表示。
2. 倒数：一个非零实数的倒数是1除以这个数。
六、实数的平方和平方根1. 平方：一个实数的平方是它自身乘以自身。
2. 平方根：一个正实数的平方根是满足平方等于该实数的数。
七、实数的对数1. 对数定义：如果 \(a^x = b\)，那么 \(x\) 叫做以 \(a\) 为底\(b\) 的对数，记作 \(x = \log_a b\)。
2. 常用对数：以10为底的对数称为常用对数，记作 \(\log b\) 或\(\log_{10} b\)。
3. 自然对数：以 \(e\) 为底的对数称为自然对数，记作 \(\ln b\)。
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实数（实数的概念、运算、及大小比较）一. 教学内容：第一单元实数（实数的概念、运算、及大小比较）二. 教学目标：1. 使学生复习巩固有理数、实数的有关概念．（1）了解有理数、无理数以及实数的有关概念；理解数轴、相反数、绝对值等概念，了解数的绝对值的几何意义。
（2）会求一个数的相反数和绝对值，会比较实数的大小（3）画数轴，了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，会利用数轴比较大小。
2. 通过复习，使学生能熟练进行实数的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算，绝对值、非负数的有关应用等。
（1）了解有理数的加、减、乘、除的意义，理解乘方、幂的有关概念、掌握有理数运算法则、运算律和运算顺序，能熟练地进行有理数加、减、乘、除、乘方和简单的混合运算。
（2）了解有理数的运算律和运算法则在实数运算中同样适用，复习巩固有理数的运算法则，灵活运用运算律简化运算，能正确进行实数的加、减、乘、除、乘方运算。
（3）了解近似数和准确数的概念，会根据指定的精确度或有效数字的个数，用四舍五入法求有理数的近似值（在解决某些实际问题时也能用进一法和去尾法取近似值），会按所要求的精确度运用近似的有限小数代替无理数进行实数的近似运算。
（4）了解计算器使用的基本过程。
三. 教学重点和难点：1. 有理数、无理数、实数、非负数概念；2. 相反数、倒数、数的绝对值概念；3. 在已知中，以非负数a2、|a|、（a≥0）之和为零作为条件，解决有关问题。
4. 使学生能熟练进行实数的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算，绝对值、非负数的有关应用等。
四. 课堂教学：（一）知识要点：知识点1：实数分类方法（1）{INCLUDEPICTURE"/tongbu/chusan/7833/c3sxq833.files/image002.gif"|，方法（2）注：有限小数、无限循环小数是有理数，可化为分数；无限不循环小数是无理数知识点2：实数的有关概念（1）数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意1：上述规定的三要素缺一个不可，2：实数与数轴上的点是一一对应的，3：数轴上任一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数．）（2）相反数实数的相反数是一对数（只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，零的相反数是零）．注意：从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称．（3）绝对值注意：从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离（4）倒数实数a（a≠0）的倒数是（乘积为1的两个数，叫做互为倒数）；注意：零没有倒数．知识点3：平方根、算术平方根、立方根若x2＝a，则x叫做a的平方根。
记作，而正的平方根叫做算术平方根知识点4：零指数、负整指数幂a0＝1（a≠0）；（a≠0）知识点5：科学记数法、近似数、有效数字把一个数写成a×10n（1≤a＜10，n是整数）的形式一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，四舍五入得到的数从左边第一个非零数字起到末位数字止，所有的数字叫做这个近似数的有效数字知识点6：三种重要的非负数（绝对值、偶次方、算术平方根）知识点7：常见的几种无理数（开方开不尽的数、含圆周率的数、无限不循环的数）知识点8：实数的运算实数的运算法则（1）加法同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加；异号两数相加。
取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；任何数与零相加等于原数。
（2）减法（3）乘法两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都得零．即（4）除法（5）乘方（6）开方如果x2＝a且x≥0，那么；如果x3＝a，那么在同一个式子里，先乘方、开方，然后乘、除，最后加、减．有括号时，先算括号里面的．实数的运算律：（1）加法交换律a＋b＝b＋a（2）加法结合律（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）（3）乘法交换律ab＝ba．（4）乘法结合律（ab）c＝a（bc）（5）分配律a（b＋c）＝ab＋ac其中a、b、c表示任意实数．运用运算律有时可使运算简便．知识点9：实数的大小比较（常见的方法－数轴比较法；差值比较法；商值比较法；绝对值比较法）【典型例题】例1 判断题：（1）两有理数的和、差、积、商是有理数；（2）有理数与无理数的积是无理数；（3）有理数与无理数的和、差是无理数；（4）小数都是有理数；（5）零是整数，是有理数，是实数，是自然数；（6）任何数的平方是正数；（7）实数与数轴上的点一一对应；（8）两无理数的和是无理数。
解：（1）对（2）不对（3）对（4）不对（5）对（6）不对（7）对（8）不对例2 选择题：（1）如果a是实数，下列四种说法：①和都是正数，②，那么ａ一定是负数，③a的倒数是，④a和的两个数表示的点分别在原点的两侧，其中正确的说法有（A）A. 0B. 1C. 2D. 3（2）下列说法中，正确的是（B）A. |m|与－m互为相反数B. 与互为倒数C. 1998.8用科学记数法表示为1.9988×102D. 0.4949用四舍五入法保留两个有效数字的近似值为0.50（3）近似数1.30所表示的准确数A的范围是（C）A. 1.25≤A＜1.35B. 1.20＜A＜1.30C. 1.295≤A＜1.305D. 1.300≤A＜1.305（4）2006年全年国内生产总值按可比价格计算，比上年增长9.5%，达到136515亿元，136515亿元用科学记数法表示（保留4个有效数字）为（B）A. 元B.元C. 元D.元例3 填空题：（1）下列各数中：，0，，，1.101001，，，，，2，.有理数集合{ …}；正数集合{ …}；整数集合{ …}；自然数集合{ …}；分数集合{ …}；无理数集合{ …}；绝对值最小的数的集合{ …}；解：略（2）无理数a满足不等式，请写出两个符合条件的无理数_______、_______．（3）观察下列数表：1 2 3 4 …第一行2 3 4 5 …第二行3 4 5 6 …第三行4 5 6 7 …第四行第第第第一二三四列列列列根据表中所反映的规律，猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为___11___，第n行（n 为正整数）与第n列的交叉点上的数应为____2n－1_____．（4）已知：，，，……，若（a、b都是正整数），则a＋b的最小值是_ 19____．例4 有条件化简：①当1＜a＜2时，化简；②a，b，c为三角形的三边，化简；③如图，化简。
解：①因为1＜a＜2所以原式＝②因为|a＋b－c|＝a＋b－c |a－b－c|＝b＋c－a所以原式＝a＋b－c＋b＋c－a＝2b③例5 无条件化简：化简解：步骤①找零点；②分段；③讨论。
①当m＜－2时＝－m－2＋3－m＝－2m＋1②当－2≤m≤3时＝m＋2＋3－m＝5③当m＞3时＝m＋2＋m－3＝2m－1例6 阅读下面材料并完成填空：你能比较两个数20042005和20052004的大小吗？为了解决这个问题先把问题一般化，要比较n n＋1和（n＋1）n的大小（的整数），先从分析n＝1，＝2，＝3，……这些简单的情况入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论。
通过计算，比较下列①——⑦各组中两个数的大小（在横线上填“＞、＝、＜”号＝①12 21；②2332；③3443；④4554；⑤5665；⑥6776；⑦7887（2）对第（1）小题的结果进行归纳,猜想出n n＋1和（n＋1）n的大小关系是（3）根据上面的归纳结果猜想得到的一般结论是：2004200520052004解：（1）＜＜＞＞＞＞＞（2）当n＜3时，n n＋1＜（n＋1）n当n≥3时，n n＋1＞（n＋1）n（3）20042005＞20052004例7 计算：（1）（2）解：（1）原式＝3－1＋4×＋＝4＋（2）0.3－1－（－）－2＋43－3－1＋（π－3）0＋tg230°＝－36＋64－＋1＋＝分析：本题运用方根的概念，零指数幂的法则，负整数指数幂的法则，特殊三角函数值，分母有理化等知识加以计算。
例8 化简：分析：这道题隐含着a＜0是解此题的关键，而a＜0时，|a|＝－a，这一点是该题错误的根本原因，另外，在化简时，注意计算步骤要严谨。
解：原式＝－a－a2×（－）＋（－a）＝－a例9 若|a|＝3，，ab＜0，则a－b＝分析：本题主要是运用绝对值的意义、二次根式成立的条件等数学知识。
解：因为|a|＝3 所以a＝3 或a＝－3b＝4又因为ab＜0所a＝－3，b＝4所以a－b＝－7拓展：此类命题拓展的思路是将绝对值、方根、代数式的化简综合构建考题。
如计算：（1）当时，＝。
（2）若互为相反数，则a2006a2007＝。
例10 已知：值解：因为x＝所以x2＝例11 给出下列算式：32－12＝8＝8×152－32＝16＝8×272－52＝24＝8×392－72＝32＝8×4……观察上面一系列等式，你能发现什么规律？用代数式来表示这个规律。
解：（2n＋1）2－（2n－1）2＝8n （n取正整数）预测：本题以列代数式为载体，体现了用字母表示数的简明性和普遍性，蕴含着一种数学简洁的美。
同时可考查观察能力和抽象概括能力，渗透着从特殊到一般的辩证关系。
该题是通过观察给出的运算，找到反映其规律的表达式。
这是中考中的热点问题，此类问题不仅考查对知识的掌握，同时考查观察分析的能力。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）一. 选择题1. 下列说法正确的是（）A. 无限小数都是无理数B. 无理数都是无限小数C. 带根号的数都是无理数D. 不带根号的数一定不是无理数。
2. 和数轴上的点一一对应的数是（）A. 整数B. 有理数C. 无理数D. 实数3. 若2a与1－a互为相反数，则a等于（）A. 1B. －1C.D.4. 当＝－a时，实数a在数轴上对应的点在（）A. 原点右侧B. 原点左侧C. 原点或原点的右侧D. 原点或原点的左侧5. 代数式＋＋的所有可能的值有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 无数个6. 下列命题中：（1）几个有理数相乘，如果负因数个数是奇数，则积必为负；（2）两数之积为1，那么这两数都是1或都是－1；（3）两个实数之和为正数，积为负数，则两数异号，且正数的绝对值较大；（4）一个实数的偶次幂是正数，那么这个实数一定大于零，其中错误的命题的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二. 填空题7. 0的相反数是，3－л的相反数是，的相反数是；－л的绝对值是，0的绝对值是，的倒数是8. 把下列语句译成式子：（1）a是负数（2）a、b两数异号（3）a、b互为相反数（4）a、b互为倒数（5）x与y的平方和是非负数（6）c、d两数中至少有一个为零（7）a、b两数均不为09. 数轴上点A表示数－1，若AB＝3，则点B所表示的数为10. 2006年底国家统计局公布我国总人口129999万人，如果以亿为单位保留两位小数，可以写成约为亿人。