数学规划-数学建模与大学生数学建模竞赛
全国大学生数学建模竞赛常用建模方法总结
邯郸学院本科毕业论文题目全国大学生数学建模竞赛常用建模方法探讨学生柴云飞指导教师闫峰教授年级2009级本科专业数学与应用数学二级学院数学系（系、部）邯郸学院数学系2013年6月郑重声明本人的毕业论文是在指导教师闫峰的指导下独立撰写完成的．如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为，本人愿意承担由此产生的各种后果，直至法律责任，并愿意通过网络接受公众的监督．特此郑重声明．论文经“中国知网”论文检测系统检测，总相似比为5.80%．毕业论文作者（签名）：年月日全国大学生数学建模竞赛常用建模方法探讨摘要全国大学生数学建模竞赛作为全国高校规模最大的基础性学科竞赛，越来越受到人们的重视，所以建模竞赛的方法也就变得尤为重要．随着竞赛的不断发展，赛题的开放性逐步增大，一道赛题可用多种解法，各种求解的算法有时会相互融合，同时也在向大规模数据处理方向发展，这就对选手的能力提出了更高的要求．由于建模方法种类众多，无法一一介绍，所以本文主要介绍了四种比较常用的数学建模竞赛方法，包括微分与差分方程建模方法、数学规划建模方法、统计学建模方法、图论方法，并结合历年赛题加以说明．关键词：数学建模竞赛统计学方法数学规划图论Commonly Used Modeling Method ofChina Undergraduate Mathematical Contest in ModelingChai yunfei Directed by Professor Yan fengABSTRACTThe China undergraduate mathematical contest in modeling has been attention by more and more people as a basic subject of the largest national college competition. The method of modeling competition has become more and more important. Open questions gradually increased with the development of competition. Most of the games can be solved by lots of solutions. Sometimes these methods can be used together. And there is also a lot of data which puts forward higher requirement on the ability of players. The modeling methods is too numerous to mention, so this article mainly four kinds Commonly used modeling method are introduced that differential and difference equations modeling method, Mathematical programming modeling method, Statistics modeling method, graph theory and interprets with calendar year’s test questions.KEY WORDS：Mathematical contest in modeling Statistics method Mathematical programming Graph theory目录摘要 (I)英文摘要 (II)前言 (1)1微分方程与差分方程建模 (2)1.1微分方程建模 (2)1.1.1微分方程建模的原理和方法 (2)1.1.2微分方程建模应用实例 (3)1.2差分方程建模 (4)1.2.1 差分方程建模的原理和方法 (4)1.2.2 差分方程建模应用实例 (5)2数学规划建模 (5)2.1线性规划建模的一般理论 (6)2.2线性规划建模应用实例 (7)3统计学建模方法 (8)3.1聚类分析 (8)3.1.1 聚类分析的原理和方法 (8)3.1.2 聚类分析应用实例 (8)3.2回归分析 (9)3.2.1 回归分析的原理与方法 (9)3.2.2 回归分析应用实例 (10)4图论建模方法 (10)4.1两种常见图论方法介绍 (11)4.1.1 模拟退火法的基本原理 (11)4.1.2 最短路问题 (11)4.2图论建模应用实例 (12)5小结 (13)参考文献 (13)致谢 (14)前言全国大学生数学建模竞赛创办于1992年，每年一届，目前已成为全国高校规模最大的基础性学科竞赛，也是世界上规模最大的数学建模竞赛．参赛者需要根据题目要求，在三天时间内完成一篇包括模型假设、模型建立和求解、计算方法的设计和实现、模型结果的分析和检验、模型的改进等方面的论文．通过参加竞赛的训练和比赛，可以提高学生用数学方法解决实际问题的意识和能力，而且在培养团队精神和撰写科技论文等方面都会得到十分有益的锻炼．竞赛题目的涉及面比较宽，有工业、农业、工程设计、交通运输、经济管理、生物医学和社会事业等．竞赛选手不一定预先掌握深入的专业知识，而只需要学过高等数学的相关课程即可，并且题目具有较大的灵活性，便于参赛者发挥其创造能力．近年来，竞赛题目包含的数据较多，手工计算一般不能实现，所以就对参赛者的计算机能力提出了更高的要求，如2003年B题，某些问题的解决需要使用计算机软件；2001年A题，问题的数据读取需要计算机技术，并且对于给出的图像，需要用图像处理的方法获得；再如2004年A题则需要利用数据库数据，数据库方法，统计软件包等等．竞赛题目的总体特点可大致归纳如下：（1）实用性不断加强，问题和数据来自于实际，解决方法需要切合实际，模型和结果可以应用于实际；（2）综合性不断加强，解法多样，方法融合，学科交叉；（3）数据结构越来越复杂，包括数据的真实性，数据的海量性，数据的不完备性，数据的冗余性等；（4）开放性也越来越突出，题意的开放性，思路的开放性，方法多样，结果不唯一等．总体来说，赛题向大规模数据处理方向发展，求解算法和各类现代算法相互融合．纵观历年的赛题，主要用到的建模方法有：初等数学模型、微分与差分方程建模、组合概率、数据处理、统计学建模、计算方法建模、数学规划、图论方法、层次分析、插值与拟合、排队论、模糊数学、随机决策、多目标决策、随机模拟、计算机模拟法、灰色系统理论、时间序列等．本文不一一列举竞赛题目中涉及的所有方法，只是重点讨论其中一些比较常用的方法，包括微分与差分方程建模方法、数学规划建模方法、统计学建模方法、图论建模方法，并结合案例说明建模方法的原理及应用．1 微分方程与差分方程建模在很多竞赛题目中，常常会涉及很多变量之间的关系，找出它们之间的函数关系式具有重要意义．可在许多实际问题中，我们常常不能直接给出所需要的函数关系，但可以得到含有所求函数的导数（或微分）或差分（即增量）的方程，这样的方程称为微分方程或差分方程. 建立微分方程或差分方程的数学模型是一种重要的建模方法.如1996年A 题“最优捕鱼策略”，1997年A 题“零件参数设计”，2003年A 题“SARS 的传播”，2007年A 题“中国人口增长预测”，2009年A 题“最优捕鱼策略”等赛题中，都用到了这种方法．1.1 微分方程建模1.1.1 微分方程建模的原理和方法一般来说，任何时变问题中随时间变化而发生变化的量与其它一些量之间的关系经常以微分方程的形式来表现．例1.1 有一容器装有某种浓度的溶液，以流量1v 注入该容器浓度为1c 的同样溶液，假定溶液立即被搅拌均匀，并以2v 的流量流出混合后的溶液，试建立反映容器内浓度变化的数学模型．解 注意到溶液浓度=溶液体积溶液质量，因此，容器中溶液浓度会随溶质质量和溶液体积变化而发生变化．不妨设t 时刻容器中溶质质量为()t s ，初始值为0s ,t 时刻容器中溶液体积为()t v ，初始值为0v ，则这段时间()t t t ∆+,内有⎩⎨⎧∆-∆=∆∆-∆=∆t v t v V t v c t v c s 212211， （1） 其中1c 表示单位时间内注入溶液的浓度，2c 表示单位时间内流出溶液的浓度，当t ∆很小时，在()t t t ∆+,内有≈2c =)()(t V t s tv v V t s )()(210-+. （2） 对式（1）两端同除以t ∆，令0t ∆→，则有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-=00212211)0(,)0(V V s s v v dtdV v c v c dt ds . （3） 即所求问题的微分方程模型．虽然它是针对液体溶液变化建立的，但对气体和固体浓度变化同样适用．实际应用中，许多时变问题都可取微小的时间段t ∆去考察某些量之间的变化规律，从而建立问题的数学模型，这是数学建模中微分方程建模常用手段之一．常用微分方程建模的方法主要有：（1）按实验定律或规律建立微分方程模型．此种建模方法充分依赖于各个学科领域中有关实验定律或规律以及某些重要的已知定理，这种方法要求建模者有宽广的知识视野,这样才能对具体问题采用某些熟知的实验定律．（2）分析微元变化规律建立微分方程模型．求解某些实际问题时，寻求一些微元之间的关系可以建立问题的数学模型．如例1.1中考察时间微元t ∆，从而建立起反应溶液浓度随时间变化的模型．此建模方法的出发点是考察某一变量的微小变化，即微元分析，找出其他一些变量与该微元间的关系式，从微分定义出发建立问题的数学模型．（3）近似模拟法．在许多实际问题中，有些现象的规律性并非一目了然，或有所了解亦是复杂的，这类问题常用近似模拟方法来建立问题的数学模型．一般通过一定的模型假设近似模拟实际现象，将问题做某些规范化处理后建立微分方程模型，然后分析、求解，并与实际问题作比较，观察模型能否近似刻画实际现象．近似模拟法的建模思路就是建立能够近似刻画或反映实际现象的数学模型，因此在建模过程中经常做一些较合理的模型假设使问题简化，然后通过简化建立近似反映实际问题的数学模型．1.1.2 微分方程建模应用实例例1.2（2003年高教社杯全国大学生数学建模竞赛A 题） SARS 传播的预测． 2003年爆发的“SARS ”疾病得到了许多重要的经验和教训，使人们认识到研究传染病的传播规律的重要性．题目给出了感病情况的三个附件，要求对SARS 的传播建立数学模型：（1）对SARS 的传播建立一个自己的模型，并说明模型的优缺点；（2）收集SARS 对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测．问题求解过程分析 由于题目具有开放性，故选择文献[1]中的求解思路分析. 传染病的传播模式可近似分为自由传播阶段和控后阶段，然后将人群分为易感者S ，感病者I ，移出者R 三类．由三者之间的关系可得到下列微分方程：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++=-=-=NR I S hI dt dR hI kIS dt dI kISdt dS ， 利用附件中给出的数据，可以将上述方程变形为I hI kNI dtdI λ=-=， 其中h kN -=λ，其解为t e I t I λ-=0)(.其中0I 为初始值．但此模型只适用于病例数与总人口数具有可比性的情况，当病例数远小于总人口数时，感病人数将随时间以指数增长.这是按实验定律或规律建立的微分方程模型.为进一步改进模型，用计算机跟踪病毒的个体传播情况，又建立计算机模拟模型．然后用计算机模拟北京5月10日之前SARS 的传播情况，并对5月10日以后的传播情况进行预测．但是得到的有效接触率与实际统计数据有所偏差，所以统计数据，为参数的确定寻求医学上的支持，并以随机模拟取代完全确定性的模拟，对原模型进行改进，建立随机模拟模型．通过计算机编程，产生正态分布的随机数，并对传染情况进行500次模拟，即可进行预测，并可得出对SARS 疫情控制提出的相应建议．1.2 差分方程建模1.2.1 差分方程建模的原理和方法差分方程在数学建模竞赛中应用的频率极高，所以要对这种方法引起足够的重视．它针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量．具体方法是：根据实际的规律性质、平衡关系等，建立离散变量所满足的关系式，从而建立差分方程模型．差分方程可以分为不同的类型，如一阶和高阶差分方程，常系数和变系数差分方程，线性和非线性差分方程等等．建立差分方程模型一般要注意以下问题：（1）注意题中的离散变化量，对过程进行分析，尤其要注意形成变化运动过程的时间或距离的分化而得到离散变量；（2）通过对具体变化过程的分析，列出满足题意的差分方程，其中入手点是找出变量所能满足的平衡关系、增量或减量关系及规律，从而得到差分方程．1.2.2差分方程建模应用实例例1.3（2007年高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题）中国人口增长预测.题目要求从中国的实际情况和人口增长的特点出发，参考附录中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测，特别要指出模型中的优点与不足之处.问题求解过程分析由于题目具有开放性，故选择文献[2]中的求解思路分析.通过分析题中相关的数据，考虑到我国近年来人口发展的总趋势，因为涉及到人口的增长和变换，所以可以先用微分方程来建立模型，并对我国人口增长的中短期和长期趋势做出预测．首先，根据灰色系统理论，使用灰色关联分析模型法对人口系统结构进行关联分析，找出影响人口增长的主要因素；其次使用年龄推算法进行短期预测.在建立和求解长期预测模型时，根据人口阻滞增长模型（Logistic模型），可以考虑对中国人口老龄化进程加速、出生人口性别比例持续升高以及乡村人口城镇化等因素建立新的人口增长的差分方程模型.但是它仅给出了人口总数的变化规律，反映不出各类人口的详细信息，所以我们需要建立离散化的模型，并进一步可以得到全面系统地反应一个时期内人口数量状况的差分方程，可以用微分和差分方程理论来表现和模拟人口数量的变化规律．从而对人口分布的状况、变化趋势、总体特征等有更加详细和科学的了解．在模型的求解过程中，用到了MATLAB软件，并做参数估计，利用所得结果和题目给出的近五年来的人口数据，对我国人口发展趋势进行了预测，得到了在老龄化进程加速、出生人口性别比例持续升高以及乡村人口城镇化等因素影响下，未来我国人口发展预测情况.2 数学规划建模数学规划是指在一系列条件限制下，寻求最优方案，使得目标达到最优的数学模型，它是运筹学的一个重要分支．数学规划的内容十分丰富，包括许多研究分支，如：线性规划、非线性规划、整数规划、二次规划、0-1规划、多目标规划、动态规划、参数规划、组合优化、随机规划、模糊规划、多层规划问题等．在1993年A 题“非线性交调的频率设计”，1993年B 题“足球队排名”，1995年A 题“飞行管理问题”，1996年B 题“节水洗衣机”，1997年A 题“零件的参数设计”，1998年A 题“一类投资组合问题”，1999年B 题“钻井布局”，2001年B 题“公交车调度问题”，2002年A 题“车灯线光源的优化”，2006年A 题“出版社书号问题”，2007年B 题“城市公交线路选择问题”等赛题中，都用到了规划的方法．在此以线性规划为例，对规划的方法进行探讨．2.1 线性规划建模的一般理论线性规划建模方法主要用于解决生产实际中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型．线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法．一般的优化问题是指用“最好”的方式，使用或分配有限的资源即劳动力、原材料、机器、资金等，使得费用最小或利润最大．优化模型的一般形式为:()m ax m in 或 ()x f z = (4)().0..≤x g t s ()m i ,,2,1 = (5)()()12,,T n x x x x =，.由（4）、（5）组成的模型属于约束优化．若只有（4）式就是无约束优化．()x f 称为目标函数，()0g x ≤称为约束条件．在优化模型中，如果目标函数()x f 和约束条件中的()g x 都是线性函数，则该模型称为线性规划．建立实际问题线性规划模型的步骤如下：（1）设置要求解的决策变量．决策变量选取得当，不仅能顺利地建立模型而且能方便地求解，否则很可能事倍功半．（2）找出所有的限制，即约束条件，并用决策变量的线性方程或线性不等式来表示．当限制条件多，背景比较复杂时，可以采用图示或表格形式列出所有的已知数据和信息，从而避免“遗漏”或“重复”所造成的错误．（3）明确目标要求，并用决策变量的线性函数来表示，标出对函数是取极大还是取极小的要求．需要特别说明的是，要使用线性规划方法来处理一个实际问题，必须具备下面的条件：（1）优化条件：问题的目标有极大化或极小化的要求,而且能用决策变量的线性函数来表示．（2）选择条件：有多种可供选择的可行方案，以便从中选取最优方案．（3）限制条件：达到目标的条件是有一定限制的（比如，资源的供应量有限度等），而且这些限制可以用决策变量的线性等式或线性不等式表示出来．此外，描述问题的决策变量相互之间应有一定的联系，才有可能建立数学关系，这一点自然是不言而喻的．线性规划模型的求解可用图解法或单纯形法．随着计算机的普及和大量数学软件的出现，可以利用现成的软件MATLAB或LINGO等求解，在此不再叙述．2.2线性规划建模应用实例例2.1（2006年高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题）艾滋病疗法的评价及疗效的预测.题目给出了美国某艾滋病医疗试验机构公布的两组数据，数据涉及到了病人CD4和HIV的浓度含量的测试结果.根据所给的资料需要参赛者完成以下问题：（1）利用附件1的数据，预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间；（2）利用附件2的数据，评价4种疗法的优劣（仅以4CD为标准），并对较优的疗法预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间；（3）如果病人需要考虑4种疗法的费用，对评价和预测有什么影响.问题求解过程分析由于题目具有开放性，故选择文献[3]中的求解思路进行分析.首先对题目所给数据进行分析,考虑到治疗的效果与患者的年龄有关，将患者按年龄分组，如25~35岁及45岁以上4组．每组中按照4种疗法和4个25岁,45~~14岁,35治疗阶段（如1020周，4030周），构造16个决策单元．取4~~~~0周，2010周，30种药品量为输入，治疗各个阶段末患者的4CD值的比值为输出.CD值与开始治疗时4然后建立相应的数学模型,利用相对有效性评价方法，建立分式规划模型并经过变换，转化为线性规划模型求解，对各年龄组患者在各阶段的治疗效率进行评价．计算结果：对第1年龄组疗法2和4在整个治疗中效率较高，在第4阶段仍然有效；对第2年龄组疗法1在第1，2阶段有效；对第3年龄组疗法1，2，3在第1阶段有效；对第4年龄组疗法1，2在第1，2阶段有效．表明只有2514岁的年4种轻患者，才能在治疗的最~后阶段仍然有有效的疗法．随后，由线性规划模型的对偶形式建立预测模型，对各年龄组各种疗法下一阶段的疗效进行预测．若由某决策单元得到的实际输出大于预测输出，则该决策单元相对有效；反之，说明该种疗法对该组患者在治疗的未来阶段不再有效，应该转换疗法．3 统计学建模方法在数学建模竞赛中，常常会涉及到大量的数据，因此，我们就需要用统计学建模方法对这些数据进行处理．此类方法主要包括统计分析、计算机模拟、回归分析、聚类分析、数据分类、判别分析、主成分分析、因子分析、残差分析、典型相关分析、时间序列等．如2004年A题“奥运会临时超市网点设计问题”，2004年B题“电力市场的输电阻塞管理问题”，2007年A题“人口增长预测问题”，2008年B题“大学学费问题”，2012年A题“葡萄酒的评价”等都用到了这种建模方法．在此选取其中两类方法进行阐述．3.1聚类分析3.1.1聚类分析的原理和方法该方法说的通俗一点就是，将n个样本，通过适当的方法选取m聚类中心，通过研究各样本和各个聚类中心的距离，选择适当的聚类标准，通常利用最小距离法来聚类，从而可以得到聚类．结果利用sas 软件或者spss 软件来做聚类分析，就可以得到相应的动态聚类图．这种模型的的特点是直观，容易理解．聚类分析的类型可分为：Q型聚类（即对样本聚类）和R型聚类（即对变量聚类）．通常聚类中有相似系数法和距离法两种衡量标准.聚类方法种类多样，有可变类平均法、中间距离法、最长距离法、利差平均和法等.在应用时要注意,在样本量比较大时，要得到聚类结果就显得不是很容易,这时需要根据背景知识和相关的其他方法辅助处理．主要的方法步骤大致如下：（1）首先把每个样本自成一类；（2）选取适当的衡量标准，得到衡量矩阵；（3）重新计算类间距离，得到衡量矩阵；（4）重复第2步，直到只剩下一个类.3.1.2聚类分析应用实例例3.1（2012年高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题）葡萄酒的评价.题目的附件中给出了某一年份一些葡萄酒的评价结果，和该年份这些葡萄酒的和酿酒葡萄的成分数据.要求参赛者建立数学模型解决以下问题：（1）分析附件1中两组评酒员的评价结果有无显著性差异，哪一组结果更可信；（2）根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对这些酿酒葡萄进行分级；（3）分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系；（4）分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，并论证能否用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量.问题求解过程分析由于题目具有开放性，故选择文献[4]中的求解思路分析.由于给定了酿酒葡萄的理化指标，首先可将附录2和附录3中的一些数据进行处理.并可以据此对各种酿酒葡萄进行聚类分析，但是，由于题目中所给的数据庞大，所以可通过主成分分析法，简化并提取大部分有效信息，再用聚类分析对酿酒葡萄进行分级．最后根据酿酒葡萄对应葡萄酒质量的平均值大小进行比较，排序分级．接下来针对问题中分析酿酒葡萄与葡萄酒理化指标之间的联系，及上面整理好的数据，采用回归分析原理，在SPSS中得到酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系．再通过相关分析，得出相应的相关系数，从而得到相应的判断结论．在分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系时，还用到了多元线性回归分析．该模型用于生活实践中，也可以解决很多实际问题．3.2回归分析回归分析是利用数据统计原理，对大量数据进行数学处理，并确定因变量与某些自变量的相关关系，建立一个相关性较好的回归方程，并加以外推，用于预测今后的因变量的变化的分析方法．3.2.1回归分析的原理与方法回归分析是在一组数据的基础上研究这样几个问题：建立因变量与自变量之间的回归模型；对回归模型的可信度进行检验；判断每个自变量对因变量的影响是否显著；判断回归模型是否适合这组数据；利用回归模型对进行预报或控制．回归分析主要包括一元线性回归、多元线性回归、非线性回归．回归分析的主要步骤为：（1）根据自变量和因变量的关系，建立回归方程．（2）解出回归系数．（3）对其进行相关性检验，确定相关系数．（4）当符合相关性要求后，便可与具体条件结合，确定预测值的置信区间.需要注意的是，要尽可能定性判断自变量的可能种类和个数，并定性判断回归方程的可能类型．另外，最好应用高质量的统计数据，再运用数学工具和相关软件定量定性判断．3.2.2回归分析应用实例例3.2（2006年高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题）艾滋病疗法的评价及疗效的预测.题目同例2.1．问题求解过程分析由于题目具有开放性，故选择文献[3]中的求解思路进行分析.问题2的解决就用到回归模型.首先分析数据知，应建立时间的一次与二次函数模型，并经过统计分析比较，确定哪种较好．所以可建立一个统一的回归模型，也可对每种疗法分别建立一个模型．以总体回归模型为例，分别用一次与二次时间函数模型进行比较，可知疗法3~1用一次模型较优，且一次项系数为负，即4CD在减少，从数值看疗法3优于疗法2和1；疗法4用二次模型较优，即4t左右达到最大．可以通过4条回归CD先增后减，在20曲线进行比较，显示疗法4在30周之前明显优于其它．最后再用检验法作比较，结果是疗法1与2无显著性差异，而疗法1与3，2与3，3与4均有显著性差异．4 图论建模方法图论建模方法在建模竞赛中也经常涉及，应用十分广泛，并且解法巧妙，方法灵活多变．如1990年B题“扫雪问题”，1991年B题“寻找最优Steiner树”，1992年B题“紧急修复系统的研制”，1993年B题“足球队排名”，1994年A题“逢山开路问题”，1994年B题“锁具装箱问题”，1995年B题“天车与冶炼炉的作业调度”，1997年B题“截断切割的最优排列”，1998年B题“灾情巡视最佳路线”，1999年B题“钻井布局”，2007年B题“城市公交线路选择问题”等都应用到了图论的方法．图论近几年来发展十分迅速，在物理、化学、生物学、地理学、计算机科学、信息论、控制论、社会科学、军事科学以及计算机管理等方面都有着广泛的应用．因此图论越来越受到了全世界数学界和工程技术界乃至经营决策管理者的重视．同时也成为了数学建模中一种十分重要的方法．图论问题算法很多，包括最短路、最大流、最小生成树、二分匹配、floyd、frim等．。
本科数学工作规划
一、前言作为一名本科数学专业的学生，我对数学学科充满热爱和敬畏。
数学不仅是逻辑思维的训练场，也是解决实际问题的有力工具。
为了在未来的学习和工作中更好地发挥数学专业的优势，我制定了以下工作规划。
二、短期目标（1-2年）1. 学术基础夯实- 专注于数学专业核心课程的学习，如高等数学、线性代数、概率论与数理统计等。
- 参加数学竞赛，如数学建模竞赛、大学生数学竞赛等，以检验自己的数学能力和团队协作能力。
2. 英语能力提升- 提高英语阅读和写作能力，为阅读英文数学文献和撰写论文做好准备。
- 通过英语四六级考试，争取获得更高的英语水平证书。
3. 软技能培养- 学习计算机编程语言，如Python、MATLAB等，以便在数学研究中运用计算机技术。
- 参加社团活动，锻炼自己的组织协调能力和人际交往能力。
三、中期目标（3-5年）1. 专业深度拓展- 选择一个数学领域的细分方向进行深入研究，如微分方程、数值分析、运筹学等。
- 参与导师的科研项目，积累实践经验，提升自己的研究能力。
2. 学术成果产出- 发表学术论文，提升自己的学术影响力。
- 申请奖学金或助学金，为继续深造和参加学术会议提供资金支持。
3. 实践经验积累- 寻找实习机会，将所学知识应用于实际工作中，了解行业需求。
- 参加教师培训，为将来从事教育工作做准备。
四、长期目标（5年以上）1. 职业发展定位- 根据个人兴趣和市场需求，确定未来的职业发展方向，如科研、教育、金融等。
- 争取进入国内外知名高校或研究机构继续深造，提升自己的学术地位。
2. 学术成就追求- 在数学领域取得显著成果，如发表高影响因子论文、获得科研项目资助等。
- 参与或主持国际学术会议，扩大自己的学术视野。
3. 社会影响力提升- 将数学知识应用于社会问题解决，如参与社会公益项目、提供专业咨询等。
- 在数学教育领域发挥作用，培养更多优秀的数学人才。
五、结语本工作规划旨在指导我在本科阶段及以后的学习和工作中，不断提升自己的专业能力和综合素质。
数学建模竞赛相关知识介绍
注重团队协作、合理分配任务、时间管理、 文档规范等。
06
数学建模竞赛发展前景 与展望
国际数学建模竞赛现状与趋势
国际数学建模竞赛规模不断扩大
参与国家和地区数量逐年增加，参赛队伍越来越多，影响力日益扩 大。
竞赛难度不断提高
题目更加复杂，涉及领域更加广泛，需要选手具备更强的数学建模、 算法设计和编程能力。
统计方法
基于数据分析和统计原理，对不确 定性问题进行建模。
03
02
数值法
通过数值计算和模拟，对问题进行 近似求解。
优化方法
通过寻找最优解，解决最优化问题。
04
数学建模步骤
问题分析
对问题进行深入理解和分析，明确问题的性 质和目标。
建立模型
根据问题分析，选择合适的数学方法和工具， 建立数学模型。
求解模型
取舍。
04
数学建模竞赛经验分享
团队协作与分工
明确团队成员角色
在组队时，应明确每个成员的专长和角色，以便 在竞赛中发挥各自的优势。
有效沟通与协作
团队成员之间应保持及时、有效的沟通，确保信 息共享和协作顺畅。
分工合理化
根据团队成员的特长进行合理分工，能够提高整 体效率，减少重复劳动。
问题分析与转化
决策类问题
总结词
决策类问题主要考察数学建模参赛者根据给定条件制定最 优决策方案的能力。
详细描述
决策类问题通常要求参赛者根据给定的条件，制定最优的决策 方案，以满足某些目标或约束条件。这类问题涉及的数学方法
包括博弈论、决策分析、多目标决策等。
解题思路
首先明确决策目标和约束条件，然后选择合适的数学方法进行 建模和求解。在求解过程中，需要考虑不同方案之间的权衡和
2024版参加数学建模国赛需要掌握的模型和算法
最大流问题
Ford-Fulkerson算法、EdmondsKarp算法、Dinic算法等。
匹配问题 匈牙利算法、KM算法等。
经典网络优化算法介绍
01
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04
05
线性规划：单纯形法、 内点法等。
整数规划：分支定界法、 割平面法等。
动态规划：背包问题、 启发式算法：遗传算法、 注意：以上所列算法并
随机过程模型简介及应用场景
01
随机过程基本概念
随机过程、状态空间、轨迹、概率 空间等；
03
马尔可夫过程
马尔可夫链、马尔可夫性质、状态 转移概率矩阵等，以及在天气预报、
市场预测等领域的应用；
02
泊松过程
泊松过程的定义、性质及应用，如 排队论、电话交换等；
04
布朗运动
布朗运动的定义、性质及在金融领 域的应用，如股票价格波动等。
最长公共子序列问题等。 模拟退火算法、蚁群算 非全部，参加数学建模
法等。
国赛需要广泛掌握各类
模型和算法，并根据实
际问题选择合适的方法
进行求解。同时，也需
要不断学习和探索新的
算法和技术，以提高解
题能力和水平。
06
机器学习算法在建模中应用
机器学习简介及发展历程
01
02
03
机器学习定义
机器学习是一门研究计算 机如何从数据中学习并做 出预测的学科。
决策树
通过树形结构对数据进行分类或回归预测， 易于理解和解释。
神经网络
模拟人脑神经元连接方式，构建一个高度复 杂的非线性模型。
机器学习在数学建模中实践案例
数据预处理
使用机器学习算法对数据进行 清洗、特征选择和降维等预处 理操作。
数学建模竞赛策划方案
数学建模竞赛策划方案Ⅰ. 背景介绍数学建模竞赛作为一项旨在提高学生数学建模能力和创新思维的重要活动，已经在高校和学校中得到广泛的开展和推广。
为了促进学生对数学建模竞赛的兴趣和参与度，我们制定了以下竞赛策划方案。
Ⅱ. 竞赛目标本次数学建模竞赛的目标是：1. 激发学生对数学建模的兴趣，提高数学建模能力；2. 培养学生的创新思维和团队合作精神；3. 提升学生解决实际问题的能力和应用数学知识的能力。
Ⅲ. 竞赛内容本次竞赛将围绕以下几个主题展开：1. 生态环境保护：探索如何优化生态环境并降低人类活动对环境的负面影响；2. 交通运输规划：研究如何优化城市交通网络，提高交通效率和安全性；3. 社会经济发展：分析如何合理配置资源，实现可持续的社会经济发展。
Ⅳ. 竞赛流程1. 报名阶段：- 宣传推广：通过校内宣传栏、班会等方式向学生宣传竞赛内容和报名方法；- 团队组建：学生自由组队，每队3-5人，要求跨年级、专业、兴趣方向等，增强团队合作意识。
2. 竞赛准备阶段：- 基础知识培训：组织数学建模培训课程，帮助学生夯实数学建模基础知识；- 指导教师辅导：为每个参赛队伍指派一位指导教师，提供技术指导和建议。
3. 竞赛实施阶段：- 题目发布：竞赛当天，发布竞赛题目，并给出解题时间，组织学生进行自主研究和分析；- 解题答辩：学生团队按照规定的时间提交解题报告，并进行解题答辩，展示解题过程和结果。
4. 评选阶段：- 评委评审：组织专家组成评委会，对参赛队伍的解题报告和答辩情况进行评审；- 优秀团队评选：根据评委评审结果，评选出一定数量的优秀团队，并给予奖励和表彰。
Ⅴ. 竞赛资源1. 奖项设置：- 一等奖：优秀团队奖金+荣誉证书；- 二等奖：良好团队奖金+荣誉证书；- 三等奖：优秀团队奖金+荣誉证书；- 其他参赛队伍：参与奖+参赛证书。
2. 竞赛支持：- 赛题设计：邀请有丰富经验的教师团队负责赛题的设计；- 技术工具支持：提供数学建模软件和其他辅助工具，帮助学生进行建模和分析；- 解题指导：指派专业教师对参赛团队进行解题指导和辅导；- 竞赛场地和设备提供：提供适当的场地和设备支持。
数学建模-数学规划
（4）图上作业与表上作业法
前一种是50年代由我国数学工作者提出的，后者是1950年 Dantzing提出的； 这二种方法主要是为解决运输问题（特殊的线性规划）而设计的。 据统计在用线性规划解决的实际问题中，70%以上属于运输问题类 型。
3. 线性规划问题的软件解法
求解线性规划的常用方法是1947年G.B.Dantzig提出的单 纯形法。
min f 5x1 5x2 8x3 2x4 6x5 3x6 s.t x1 x2 x3 x4 x5 x6 140
0.45x1 0.45x2 1.05x3 0.40x4 0.50x5 0.50x6 6 10x1 28x2 59x3 25x4 22x5 75x6 25 415x1 9065x2 2550x3 75x4 15x5 235x6 17500 8x1 3x2 53x3 27x4 5x5 8x6 245 0.30x1 0.35x2 0.60x3 0.15x4 0.25x5 0.80x6 5
n
max f (x1, x2,..., xn ) c j x j
n
j 1
s.t.gi (x1,..., xn ) aij x j bi ,i 1,..., m
j 1
x j 0, j 1,..., n
• 约束条件的意义是：每种原料生产n种产品所需要的资源总量不能超 过该种资源的库存量；每种产品的生产计划数不能为负。
约束条件： （1）铁的需求量至少6个单位数：
0.45x1 0.45x2 1.05x3 0.40x4 0.50x5 0.50x6 6
（2）磷的需求量至少25个单位数：
10x1 28x2 59x3 25x4 22x5 75x6 25
（3）维生素A的需求量至少17500个单位：
全国大学生数学建模竞赛D题解析
汇报人：
CONTENTS
PRT ONE
PRT TWO
竞赛名称：全国大学生数学建模竞 赛
竞赛目的：培养大学生数学建模能 力提高解决实际问题的能力
添加标题
添加标题
竞赛级别：国家级
添加标题
添加标题
竞赛影响：促进大学生数学建模技 术的发展选拔优秀人才
竞赛起始于XXXX年 每年举办一次 参赛对象为全国大学生 竞赛目的是提高大学生数学建模能力和科技创新能力
组建合适的团队分工明确
制定详细的计划合理安排时间
充分准备所需的知识和技能
准备阶段：研究 题目收集资料建 立模型
实施阶段：编程 实现模拟实验优 化模型
总结阶段：撰写 论文整理思路提 炼经验
反思阶段：总结 得失分析原因改 进策略
赛题分析：对竞赛题目进行深入剖析明确解题思路和要点 经验教训：总结竞赛过程中遇到的问题和不足提出改进措施 团队协作：评估团队成员在竞赛中的表现和贡献提出优化建议 未来规划：根据竞赛经验和教训制定个人和团队未来的学习和发展计划
模型验证：通过对比实际数据和模型预测结果对模型的准确性和可靠性进行评估和改进
数据清洗：去除异常值、缺失值和重复值 数据筛选：根据需求筛选有效数据 数据转换：对数据进行必要的转换以适应分析需求 数据可视化：通过图表、图像等形式直观展示数据
确定问题类型和目 标函数
确定算法的输入和 输出
设计算法的流程图 和伪代码
培养团队协作精神 提升大学生数学应用能力
促进学科交叉融合
为国家和社会培养创新型人 才
PRT THREE
题目背景：全国大学生数学建模竞赛D题 题目要求：分析D题所涉及的数学建模方法和技巧 题目内容：对D题进行解析包括问题分析、模型建立、求解过程等 题目难度：对D题的难度进行评估并给出解题建议
全国大学生数学建模竞赛赛题基本解法
全国大学生数学建模竞赛赛题基本解法全国大学生数学建模竞赛是中国高校中最具权威和影响力的学科竞赛之一。
该竞赛由教育部、中共中央组织部、中国科学院及其他部门共同主办。
该竞赛旨在促进青年学生对于数学和工程的综合应用，培养学生的创新能力和实践能力。
竞赛模式全国大学生数学建模竞赛一般分为两个阶段：第一阶段为选拔赛，第二阶段为决赛。
选拔赛一般在当年11月份进行，由各高校数学系作为考场。
每个参赛队伍由3名学生组成，比赛时间为两天。
选手可以使用任何工具，比如计算器、软件、读者，但是不得使用互联网。
决赛一般在翌年1月份或2月份举行，由主办单位确定比赛地点。
决赛选手数量有限制，根据各省市选手数量的比例确定。
赛题解法全国大学生数学建模竞赛的赛题涵盖的面非常广，包括应用数学、工程数学、运筹学、优化理论等多个领域。
以下是该竞赛可能出现的赛题及其基本解法：1. 背包问题背包问题是计算机科学和数学中的一个经典问题，指在给定约束条件下，从若干种物品中选择若干件物品装入背包，使得背包能够承载的重量最大或体积最大。
解法：背包问题可以用动态规划、贪心算法、分支定界等算法解决。
2. 最优路径问题最优路径问题也就是指在一个有向加权图中，找到从起点到终点的最短路径或者最长路径。
解法：最优路径问题通常可以用Dijkstra算法、Bellman-Ford算法、Floyd算法等解决。
3. 线性规划问题线性规划问题是运筹学中的一个重要问题，由一个线性目标函数和多个约束条件组成，目的是找出一组变量，使得目标函数最大或最小，并同时满足全部的约束条件。
解法：线性规划问题可以使用单纯性算法、内点法等算法进行解决。
4. 工程优化问题工程优化问题是指如何在给定资源的限制之下，设计和生产最符合要求的产品或系统。
工程优化问题常常包含多个目标和多个变量，并且这些变量之间具有复杂的相关性。
解法：工程优化问题可以使用遗传算法、蚁群算法、模拟退火等高级优化算法进行解决。
大学生数学建模竞赛
大学生数学建模竞赛
针对这个题目，我首先想到的是关于团队合作的一些方面。
数学建模竞赛是一个充分考验团队协作能力的机会，因此，有良好的团队合作能力也是成功的一个重要因素。
一支优秀的竞赛队伍需要充分利用每个队员的优势，避
免重复工作，团队中各成员间要彼此信任、互相支持。
这需要每个队员在讨论中充分表现出自己的个性、特点和主见，同时又要能够接受他人的意见、倾听他人的想法。
这些积极的态度是团队合作成功的保证。
其次团队中不同成员的专业领域也是需要考虑的。
数学
建模竞赛中需要各个领域的知识进行综合的运用，不同领域的成员的专业知识和技能是不可或缺的。
这就需要团队中每一个队员都要充分认识和珍惜自己所具备的专业知识，并且彼此之间要进行积极的协调和沟通，以达到最好的合作效果。
此外，在竞赛过程中，每个队员需要尽量承担自己的责任，并且对完成任务都要有清晰的认识和规划，争取在有限的时间里完成最多的任务。
关于时间分配同样也是团队合作的关键之一。
像这样的项目通常时间紧迫、任务繁重，因此，合理规划时间并分配任务，在有限的时间内高效完成任务是非常重要的。
团队中需要有人来负责时间的安排，并且团队中的成员要做好紧急处理或多方位的预防措施，对于不可避免的问题，及时对团队成员进行安排。
通过以上几点的分析，我们可以看到，优秀的团队合作
是数学建模竞赛所需要的关键。
在此基础上，还有其他方面的
技巧和策略，我无法在这篇短文中都列出来，但是，无论如何，成功的团队合作是乘数倍加成的，它可以使我们在困难的竞赛中获得优异的成绩。
数学建模竞赛中应当掌握的常用算法
常用算法案例说明
1. 蒙特卡罗算法 大多数建模赛题中都离不开计算机仿真，随机性模拟是非常常 见的算法之一。 举个例子就是 97 年的 A 题，每个零件都有自己的标定值， 也都有自己的容差等级，而求解最优的组合方案将要面对着的是一 个极其复杂的公式和 108 种容差选取方案，根本不可能去求解析 解，那如何去找到最优的方案呢？随机性模拟搜索最优方案就是其 中的一种方法，在每个零件可行的区间中按照正 态分布随机的选 取一个标定值和选取一个容差值作为一种方案，然后通过蒙特卡罗 算法仿真出大量的方案，从中选取一个最佳的。另一个例子就是去 年 y 的彩票第二问，要求设计一种更好的方案，首先方案的优劣 取决于很多复杂的因素，同样不可能刻画出一个模型进行求解，只 能靠随机仿真模拟。
4. 图论算法 这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及 到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。
5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法 这些算法是算法设计中比较常用的方法，竞赛中很多场合会用到。
6. 最优化理论的三大非经典算法 模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。这些问题是用来解决一些较 困难的最优化问题的，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较 困难，需慎重使用。 7. 网格算法和穷举法 两者都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论 模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高 级语言作为编程工具。
数学建模竞赛中应当掌握的常用算法
常用算法
1. 蒙特卡罗算法 该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法， 同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，几乎是比赛时必用的 方法。 2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法 比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于 这些算法，通常使用 MATLAB 作为工具。 3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法 建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数 学规划算法来描述，通常使用 Lindo 、 Lingo 软件求解。
全国大学生数学建模竞赛参赛规则
全国大学生数学建模竞赛参赛规则1. 参赛对象全国大学生数学建模竞赛面向全国高校（含港澳台地区）在校本科生，研究生及在职研究生。
2. 组队要求（1）本科生组队要求：每队3名正式在籍的本科生（含预科生），不得来自同一年级、同一学院（或同一系）、同一导师及同一小组；（2）研究生及在职研究生组队要求：每队3名正式在籍的研究生（含在职研究生/博士生），不得来自同一导师及同一课题组。
3. 比赛形式全国大学生数学建模竞赛采取网络/校内考试+现场答辩的形式，共分为A、B两场比赛。
（1）A场比赛：全国大学生数学建模竞赛A场比赛是在12月第一个周末统一全国范围内进行的网络/校内考试，线上时间为4个小时；（2）B场比赛：全国大学生数学建模竞赛B场比赛是在以下月份之一内的一个周末统一在指定城市进行的现场答辩，具体时间及地点由主办方另行公布。
在B场比赛中，参赛队伍需根据现场情况选择一道A场试题或一道B场试题进行现场展示及答辩，答辩时间为20分钟。
4. 竞赛规则（1）本科生组别：比赛期间每队只允许使用一台笔记本电脑或台式计算机，无需提前上传程序；（2）研究生及在职研究生组别：比赛期间每队只允许使用计算器、规划板、铅笔、直尺等简单的绘图工具，无需提前上传程序。
（3）A场试题：比赛时间为4个小时，答题方式为探究式，在试题规定的时间内，回答试题、写论文、制作报告，并将报告提交至主办方指定邮箱；（4）B场试题：参赛队伍在B场现场答辩时，面对评委会进行现场展示及答辩，为每组答辩提供20分钟时间。
5. 评分规则全国大学生数学建模竞赛A、B两个环节各占总成绩的50%。
（1）A场环节：A场比赛作为团队成员的表现考察，其团队报告的分数占总成绩的50%；（2）B场环节：作为个人表现的考核，B场答辩分数占团队总分的50%。
6. 竞赛奖励全国大学生数学建模竞赛根据团队总成绩高低，分别颁发特等奖、一等奖、二等奖、三等奖及优秀奖，并颁发证书。
同时，优秀成员也将获得荣誉证书。
大学生数学建模竞赛介绍
2015 OUTSTANDING WINNERS
• THE FIVE OUTSTANDING WINNERS OF THE CONTINUOUS MCM (A) PROBLEM ARE: • Northwestern Polytechnical University, China • State University of New York, University at Buffalo, NY — MAA Prize Recipient • Chongqing University, China — SIAM Prize RecipientCentral South University, China — Ben Fusaro Award • University of Adelaide, Australia — INFORMS Prize Recipient • THE FIVE OUTSTANDING WINNERS OF THE DISCRETE MCM (B) PROBLEM ARE: • University of Colorado Boulder, CO — SIAM Prize Recipient & Two Sigma Scholarship Award • Bethel University, MN — MAA Prize Recipient & Frank Giordano Award • University of Colorado Boulder, CO • Colorado College, CO — INFORMS Prize Recipient • Tsinghua University, China • THE FIVE OUTSTANDING WINNERS OF THE INTERDISCIPLINARY ICM (C) PROBLEM ARE: • Xidian University, China • Shanghai Jiao Tong University, China • Xi'an Jiaotong University, China — Leonhard Euler Award • Tsinghua University, China • National University of Defense Technology, China • Also winning as a FINALIST is: • University of Colorado Denver, CO — INFORMS Prize Recipient • THE FOUR OUTSTANDING WINNERS OF THE INTERDISCIPLINARY ICM (D) PROBLEM ARE: • NC School of Science and Mathematics, NC — INFORMS Prize Recipient • Xi'an Jiaotong University, China • Humboldt State University, CA — Rachel Carson Award & Two Sigma Scholarship Award • Zhejiang University, China
全国大学生数学建模竞赛历年试题
（浙江大学：刘祥官,李吉 分析法、PETRIБайду номын сангаас法、图论方
此）
鸾）
法、排队论方法
最优捕鱼策略问题（北京师范 大学：刘来福）
微分方程、积分、优化（非线性 规划）
节水洗衣机问题（重庆大学： 付鹂）
非线性规划
零件参数设计问题（清华大 学：姜启源）
截断切割问题（复旦大学:谭 微积分、非线性规划、随机模拟 永基，华东理工大学:俞文
微分方程
数码相机定位
非线性方程模型
制动器试验台的控制方法分析
DVD在线租赁问题(清华大学: 谢金星等)
GM
0-1规划 多目标规划
艾滋病疗法的评价及疗效的预
测（天大：边馥萍）
乘公交，看奥运（吉大：方沛
辰，国防科大：吴孟达）
高等教育学费标准探讨
（开放性题目）
眼科病床的合理安排
1999 2000 2001
拟合、规划
足球排名次问题（清华大学： 矩阵论、图论、层次分、整数
蔡大用）
规划
逢山开路问题（西安电子科技 大学：何大可）
图论、插值、动态规划
锁具装箱问题（复旦大学:谭 永基，华东理工大学:俞文 图论、组合数学 此）
飞行管理问题（复旦大学:谭
天车与冶炼炉的作业调度问题 非线性规划、动态规划、层次
永基，华东理工大学:俞文 非线性规划、线性规划
酒后开车问题（清华大学：姜 启源）
微分方程
雨量预报方法的评价问题(复 旦大学:谭永基)
模糊评价 插值
易拉罐形状和尺寸的最优设计
（北理工：叶其孝）
手机“套餐”优惠几何(信息
工程大学:韩中庚)
地面搜索
一笔画问题、数学规划模型
数学建模与竞赛案例选讲
数学建模与竞赛案例选讲数学建模和竞赛是现代数学教育中不可或缺的一部分。
数学建模是指利用数学方法，对实际问题进行分析、建模、求解和评价的过程。
竞赛则是通过比赛形式，来提高学生的数学能力和创造力。
本文将选取一些有代表性的数学建模和竞赛案例进行讲解。
一、数学建模案例1. 旅游路径规划旅游路径规划是一个非常有趣的建模问题。
假设一个人要参加某个国家的旅游，他想尽可能地游览这个国家的所有城市。
但是由于时间和费用有限，他不可能去到所有城市。
问题是，如何规划他的路线，使他在游览尽可能多的城市的同时，不会浪费太多时间和费用？这个问题可以建立一个旅游路径规划模型。
我们可以按照以下步骤进行：第一步，将这个国家的所有城市标注在地图上，并确定城市之间的距离。
第二步，制定一个有效的算法来求解最优路径。
一种常用的算法是旅行商问题（TSP）算法。
第三步，考虑一些现实因素的影响，如交通拥堵、天气等因素，将这些因素纳入到模型中。
通过这个建模过程，我们可以得到一个规划出的旅游路径，从而帮助人们更加有效地规划旅游行程。
2. 环境污染模拟现代化城市发展中，环境污染问题越来越受到关注。
环境污染模拟可以有效地评估城市中各种环境因素的影响。
我们可以按照以下步骤来建立环境污染模拟模型：第一步，建立一个三维城市地图。
这个城市地图可以包括建筑物、道路、污染源等信息。
第二步，将城市地图中的各种环境因素纳入到模型中，如空气污染、噪音污染等。
第三步，利用数学方法对各种环境因素进行模拟，发现环境污染的趋势和程度。
第四步，根据模拟结果，提出环境污染防治的措施。
通过这个建模过程，我们可以帮助城市规划师有效地评估和控制城市环境污染。
二、竞赛案例1. 国际数学奥林匹克竞赛（IMO）国际数学奥林匹克竞赛是世界上最具盛名的数学竞赛之一，每年分为两个阶段：初赛和决赛。
初赛是在各国内举行，本着公平、公正、公开的原则选拔出一定数量的佼佼者。
而决赛是在国际上举行，只有各国初赛的获胜者才能参加。
2023年运筹学模型与数学建模竞赛
运筹学模型与数学建模竞赛一、引言一般来说，大学生数学建模竞赛所涉及到的运筹学模型涉及数学规划（线性规划和非线性规划），网络优化（含网络计划技术），排队模型，动态规划等，请看下表注：从1999年起，全国大学生数学建模竞赛开始设立专供大专院校学生做的C ，D 题。
下面重点介绍运筹学模型的数学规划。
二、数学规划的一般形式))(m ax ()(m in x f or x f⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=≤==ub x lb m j x g li x h t s j i ,,2,1,0)(,,2,1,0)(.. 线性规划： 整数规划： 非线性规划：三、数学规划问题举例1 下料问题现要用100×50厘米的板料裁剪出规格分别为40×40 厘米与50×20厘米的零件，前者需要25件，后者需要30件。
问如何裁剪，才干最省料？解：先设计几个裁剪方案记 A---------40×40；B-----------50×20注：尚有别的方案吗？显然，若只用其中一个方案，都不是最省料的方法。
最佳方法应是三个方案的优化组合。
设方案i 使用原材料x i 件(i =1,2,3)。
共用原材料f 件。
则根据题意，可用如下数学式子表达：⎪⎩⎪⎨⎧=≥≥++≥+++=)3,2,1(03053252..min 32121321j x x x x x x t s x x x f j，整数 这是一个整数线性规划模型。
2 运送问题现要从两个仓库（发点）运送库存原棉来满足三个纺织厂（收点）的需要，数据如下表，方案1方案2方案3试问在保证各纺织厂的需求都得到满足的条件下应采用哪个运送方案，才干使总运费达成最小？（运价（元/吨）如下表）解：题意即要拟定从i 号仓库运到j 号工厂的原棉数量。
故设ij x 表达从i 号仓运到j 号工厂的原棉数量（吨）f 表达总运费.则运送模型为：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥⎪⎭⎪⎬⎫=+=+=+⎭⎬⎫≤++≤+++++++=运输量非负约束；需求量约束运出量受存量约束),,j ,i (x x x x x x x x x x x x x .t .s x x x x x x f min ij 321210251540305042232231322122111232221131211232221131211 一般地，对于有m 个发点和n 个收点的运送模型为⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥===≤=∑∑∑∑====),...2,1;,...2,1(0)...2,1(),...3,2,1(..min 1111n j m i x n j b x m i a x t s x c f ij mi j ij nj i ij m i nj ijij 其中a i 为i 号发点的运出量，b j 为j 号收点的需求量，c ij 为从i 号发点到j 号收点的单位运价。
全国大学生数学建模比赛题目数学建模
环境保护
通过数学建模对环境问题 进行评估和预测，为环境 保护提供科学依据。
公共卫生
利用数学模型对疾病传播 等进行模拟和预测，为公 共卫生政策制定提供支持 。
05
CATALOGUE
数学建模比赛的准备和策略
知识储备和技能提升
01
数学知识储备
熟练掌握高等数学、线性代数、 概率论与数理统计等基础知识， 以便进行数学建模。
难度分析
题目难度逐年增加，需要参赛者具备 扎实的数学基础和广泛的知识面，同 时需要具备运用数学方法解决实际问 题的能力。
解题思路和方法探讨
解题思路
首先需要仔细阅读题目，理解题目的背景和要求，然后分析问题，选择合适的数学模型和方法进行求 解。
方法探讨
可以采用多种数学方法进行求解，如统计分析、优化方法、模拟方法等。同时，也可以借助计算机软 件进行数值计算和模拟。在解题过程中，需要注意数学模型的建立和求解的准确性，同时也要考虑实 际问题的复杂性和多变性。
总结与展望
数学建模比赛的意义和价值
提升数学素养
通过数学建模比赛，学生可以深入了解数学理论 和应用，提高数学素养和综合能力。
培养创新思维
数学建模比赛鼓励学生运用所学知识解决实际问 题，培养创新思维和解决问题的能力。
增强团队合作精神
比赛通常由小组合作完成，学生可以学会如何分 工合作、共同解决问题，增强团队合作精神。
建筑设计
通过数学建模对建筑结构 进行优化设计，提高建筑 物的稳定性和安全性。
机械设计
利用数学模型对机械零件 进行优化设计，提高机械 性能和效率。
电力系统
通过数学建模对电力系统 进行优化，提高电力系统 的稳定性和可靠性。
社会领域的应用
数学建模组织部工作计划
数学建模组织部工作计划数学建模组织部工作计划应包括以下几个关键部分：1. 目标设定：- 明确数学建模组织部的年度目标，包括参与竞赛的数量、提高团队建模能力、增加团队成员等。
2. 团队建设：- 招募新成员，包括有潜力的本科生和研究生。
- 组织团队培训，提升成员的数学建模、编程和数据分析能力。
3. 竞赛规划：- 确定参与的数学建模竞赛，如全国大学生数学建模竞赛、美国大学生数学建模竞赛等。
- 制定竞赛准备计划，包括赛前培训、模拟竞赛等。
4. 资源配置：- 确定所需的软件、硬件和其他资源，如MATLAB、LINDO、专业书籍等。
- 预算规划，包括竞赛报名费、培训费用等。
5. 学术交流：- 组织内部学术交流会，分享建模经验。
- 邀请外部专家进行讲座，拓宽团队视野。
6. 项目管理：- 为每个竞赛项目设立项目经理，负责项目的进度和质量。
- 定期检查项目进度，确保按时完成。
7. 成果展示：- 组织成果展示会，让团队成员展示自己的建模成果。
- 鼓励成员将优秀作品投稿至相关期刊或参加学术会议。
8. 风险管理：- 识别可能影响组织部运作的风险因素，如成员流失、资源不足等。
- 制定应对策略，减少风险对组织部运作的影响。
9. 评估与反馈：- 定期对工作计划的执行情况进行评估。
- 收集团队成员的反馈，不断优化工作计划。
10. 持续改进：- 根据评估结果和反馈，不断调整和改进工作计划。
- 保持对数学建模领域最新动态的关注，及时更新培训内容和竞赛策略。
通过上述计划的实施，数学建模组织部将能够更高效地运作，提升团队的整体竞争力，并在数学建模领域取得优异的成绩。
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S={(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2}
uk~第k次渡船上的商人数
uk, vk=0,1,2;
vk~第k次渡船上的随从数
k=1,2,
dk=(uk , vk)~决策 D={(u , v) u+v=1, 2} ~允许决策集合
sk+1=s+k (-1)k
•二者结合 用机理分析建立模型结构, 用测试分析确定模型参数
问题分析
多步决策过程
3名商人 3名随从
决策~ 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员 要求~在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有 限步使全体人员过河.
模型构成
xk~第k次渡河前此岸的商人数 yk~第k次渡河前此岸的随从数 sk=(xk , yk)~过程的状态
xk, yk=0,1,2,3; k=1,2, S ~ 允许状态集合
• 回答原问题（船速每小时20千米/小时）。
数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling)
数学模型
对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
数学
建立数学模型的全过程
=0, y=0,1,2,3;
xy=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2} s1
3
2
d1
1 d11
0sn+ 1
2
3x
1
1.4 数学建模的方法和步骤
数学建模的基本方法
•机理分析 根据对客观事物特性的认识， 找出反映内部机理的数量规律
•测试分析 将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的 统计分析，找出与数据拟合最好的模型
地图、电路图、分子结构图… … ~ 符号模型 模型是为了一定目的，对客观事物的一部分 进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物 模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征
你碰到过的数学模型——“航行问题”
甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时， 从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少?
C´
对称性
A
O
x
D´ D
A,C 两脚与地面距离之和 ~ f( ) B,D 两脚与地面距离之和 ~ g( )
正方形ABCD 绕O点旋转
模型构成
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来
地面为连续曲面
椅子在任意位置 至少三只脚着地
f( ) , g( )是连续函 数
对任意, f(), g()
建模 （包括表述、求解、解释、检验等）
1.2 数学建模的重要意义
• 电子计算机的出现及飞速发展； • 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。
数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步， 越来越受到人们的重视。
• 在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地； • 在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具； • 数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。
数学建模的具体应用
• 分析与设计
• 预报与决策
• 控制与优化
数学建模
• 规划与管理
如虎添翼
计算机技术
知识经济
1.3 数学建模示例
1.3.1 椅子能在不平的地面上放稳吗
问题分析 通常 ~ 三只脚着地 放稳 ~ 四只脚着地
• 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚
模 连线呈正方形;
型 假
• 地面高度连续变化，可视为数学上的连续
评注和思考 建模的关键 ~ 和 f(), g()的确定
假设条件的本质与非本质 考察四脚呈长方形的椅子
1.3.2 商人们怎样安全过河
问题(智力游戏)
随从们密约, 在河的任一 岸, 一旦随从的人数比商 人多, 就杀人越货.
河 小船(至多2人)
但是乘船渡河的方案由商人决定. 商人们怎样才能安全过河?
设 曲面;
• 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三
只脚同时着地。
模型构成
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来
• 椅子位置 利用正方形(椅脚连线)的对称性
用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置 B ´ B A ´
• 四只脚着地 椅脚与地面距离为零
距离是 的函
C
四个距离
数
两个距离
(四只脚) 正方形
数学规划模型
第一章 建立数学模型
1.1 从现实对象到数学模型 1.2 数学建模的重要意义 1.3 数学建模示例 1.4 数学建模的方法和步骤 1.5 数学模型的特点和分类 1.6 怎样学习数学建模
1.1 从现实对象到数学模型
我们常见的模型 玩具、照片、飞机、火箭模型… … ~ 实物模型
水箱中的舰艇、风洞中的飞机… … ~ 物理模型
用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：
(x y)30750
x =20
(x y)50750求解 y =5
答：船速每小时20千米/小时.
航行问题建立数学模型的基本步骤
• 作出简化假设（船速、水速为常数）； • 用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）； • 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 • 时间）列出数学式子（二元一次方程）； • 求解得到数学解答（x=20, y=5）；
至少一个为0
数学 问题
已知： f( ) , g( )是连续函数 ; 对任意 ， f( ) • g( )=0 ; 且 g(0)=0， f(0) > 0.
证明：存在 0，使f( 0) = g( 0) = 0.
模型求解
给出一种简单、粗糙的证明方法
将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。 由g(0)=0， f(0) > 0 ，知f( /2)=0 , g( /2)>0. 令h( )= f( )–g( ), 则h(0)>0和h( /2)<0. 由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性 质, 必存在 0 , 使h( 0)=0, 即f( 0) = g( 0) . 因为f( ) • g( )=0, 所以f( 0) = g( 0) = 0.
~状态转移律
d多k 步决策 求dk D(k=1,2, n), 使sk S, 并
问题
按转移律由 s1=(3,3)到达
sn+1=(0,0).
模型求解
• 穷举法 ~ 编程上机 • 图解法 状态s=(x,y) ~ 16个格点
允许状态 ~ 10个 点 允许决策 ~ 移动1或2格; k奇,左下移; k偶,右上移.