立体几何共线共点共面问题
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立体几何中的共点、共线、共面问题
一、共线问题
例1.若ΔABC所在的平面和ΔA1B1C1所在平面相交,并且直线AA1、BB1、CC1相交于一点O,求证:
(1)AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分别在同一平面内;
(2)如果AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分别相交,那么交点在同一直线上(如图).
例2.点P、Q、R分别在三棱锥A-BCD的三条侧棱上,且PQ∩BC=X,QR∩CD=Z,PR ∩BD=Y.求证:X、Y、Z三点共线.
例3.已知△ABC三边所在直线分别与平面α交于P、Q、R三点,求证:P、Q、R三点共线。
二、共面问题
例4.直线m、n分别和平行直线a、b、c都相交,交点为A、B、C、D、E、F,如图,求证:直线a、b、c、m、n共面.
例5. 证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内.
已知:如图,直线l 1,l 2,l 3,l 4两两相交,且不共点.
求证:直线l 1,l 2,l 3,l 4在同一平面内
例6. 已知:A 1、B 1、C 1和A 2、B 2、C 2分别是两条异面直线l 1和l 2上的任意三点,M 、N 、R 、T 分别是A 1A 2、B 1A 2、B 1B 2、C 1C 2的中点.求证:M 、N 、R 、T 四点共面.
例7. 在空间四边形ABCD 中,M 、N 、P 、Q 分别是四边上的点,且满足MB AM =NB CN =QD AQ =PD
CP =k. (1)求证:M 、N 、P 、Q 共面.
(2)当对角线AC =a,BD =b ,且MNPQ 是正方形时,求AC 、BD 所成的角及k 的值(用a,b 表示)
三、共点问题
例8. 三个平面两两相交得三条直线,求证:这三条直线相交于同一点或两两平行.
1、(1)证明:∵AA 1∩BB 1=O,
∴AA 1、BB 1确定平面BAO ,
∵A 、A 1、B 、B 1都在平面ABO 内,
∴AB ⊂平面ABO ;A 1B 1⊂平面ABO.
同理可证,BC 和B 1C 1、AC 和A 1C 1分别在同一平面内.
(2)分析:欲证两直线的交点在一条直线上,可根据公理2,证明这两条直线分别在两个相交平面内,那么,它们的交点就在这两个平面的交线上.
2证明:如图,设AB ∩A 1B 1=P ;
AC ∩A 1C 1=R ;
∴ 面ABC ∩面A 1B 1C 1=PR.
∵ BC ⊂面ABC ;B 1C 1⊂面A 1B 1C 1,
且 BC ∩B 1C 1=Q ∴ Q ∈PR,
即 P 、R 、Q 在同一直线上.
3解析:∵A 、B 、C 是不在同一直线上的三点
∴过A 、B 、C 有一个平面β
又βα⊂=⋂AB P AB 且,Θ
.,,l p l P ∈=⋂∴则设内内又在既在点βααβ .
,,,:三点共线同理可证R Q P l R l Q ∴∈∈ 4解析: 证明若干条直线共面的方法有两类:一是先确定一个平面,证明其余的直线在这个平面里;二是分别确定几个平面,然后证明这些平面重合.
证明 ∵a ∥b,∴过a 、b 可以确定一个平面α.
∵A ∈a,a ⊂α,∴A ∈α,同理B ∈a.
又∵A ∈m ,B ∈m,∴m ⊂α.同理可证n ⊂α.
∵b ∥c,∴过b,c 可以确定平面β,同理可证m ⊂β.
∵平面α、β都经过相交直线b 、m,
∴平面α和平面β重合,即直线a 、b 、c 、m 、n 共面.
5、解析:证明几条直线共面的依据是公理3及推论和公理1.先证某两线确定平面α,然后证其它直线也在α内.
证明:图①中,l 1∩l 2=P ,
∴ l 1,l 2确定平面α.
又 l 1∩l 3=A,l 2∩l 3=C, ∴ C,A ∈α.
故 l 3⊂α.
同理 l 4⊂α.
∴ l 1,l 2,l 3,l 4共面.
图②中,l 1,l 2,l 3,l 4的位置关系,同理可证l 1,l 2,l 3,l 4共面.
所以结论成立.
6、证明 如图,连结MN 、NR ,则MN ∥l 1,NR ∥l 2,且M 、N 、R 不在同一直线上(否则,根据三线平行公理,知l 1∥l 2与条件矛盾).∴ MN 、NR 可确定平面β,连结B 1C 2,取其中点S.连RS 、ST ,则RS ∥l 2,又RN ∥l 2,∴ N 、R 、S 三点共线.即有S ∈β,又ST ∥l 1,MN ∥l 1,∴MN ∥ST ,又S ∈β,∴ ST ⊂β.
∴ M 、N 、R 、T 四点共面.
7解析:(1)∵ MB AM =QD
AQ =k ∴ MQ ∥BD ,且MB AM AM +=1
+k k ∴ BD
MQ =AB AM =1+k k ∴ MQ =
1+k k BD 又 NB CN =PD
CP =k ∴ PN ∥BD ,且
NB CN CN +=1+k k ∴ BD NP =CB CN =1+k k 从而NP =1
+k k BD ∴ MQ ∥NP ,MQ ,NP 共面,从而M 、N 、P 、Q 四点共面.
(2)∵ MA BM =k 1,NC BN =k
1 ∴ MA BM =NC BN =k 1,MA BM BM +=1
1+k ∴ MN ∥AC ,又NP ∥BD.
∴ MN 与NP 所成的角等于AC 与BD 所成的角.
∵ MNPQ 是正方形,∴ ∠MNP =90°
∴ AC 与BD 所成的角为90°,
又AC =a ,BD =b ,AC MN =BA BM =1
1+k ∴ MN =1
1+k a 又 MQ =
11+k b,且MQ =MN , 1+k k b =11+k a ,即k =b
a . 说明:公理4是证明空间两直线平行的基本出发点.
已知:平面α∩平面β=a ,平面β∩平面γ=b ,平面γ∩平面α=c . 求证:a 、b 、c 相交于同一点,或a ∥b ∥c .
证明:∵α∩β=a ,β∩γ=b
∴a 、b ⊂β
∴a 、b 相交或a ∥b .
(1)a 、b 相交时,不妨设a ∩b =P ,即P ∈a ,P ∈b
而a 、b ⊂β,a ⊂α
∴P ∈β,P ∈α,故P 为α和β的公共点
又∵α∩γ=c
由公理2知P ∈c
∴a 、b 、c 都经过点P ,即a 、b 、c 三线共点.
(2)当a ∥b 时