2019-2020学年上海市控江中学高一下学期期中数学试题(解析版)
2020年上海市杨浦区控江中学高一(下)期中数学试卷
期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.若α是象限角，则下列各式中，不恒成立的是（）A. tan（π+α）=tan（-α）B.C. D. （secα-1）（secα+1）=tan2α2.若，，则角θ的终边在第（）象限．A. 一B. 二C. 三D. 四3.在平面直角坐标系中，，，，是圆x2+y2=1上的四段弧（如图），点P其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tanα＜cosα＜sinα，则P所在的圆弧是（）A. B. C. D.4.对于数列{a n}，若存在常数M，使得对任意n∈N*，a n与a n+1中至少有一个不小于M，则记作{a n}＞M，那么下列命题正确的是（）A. 若{a n}＞M，则数列{a n}各项均大于或等于MB. 若{a n}＞M，{b n}＞M，则{a n+b n}＞2MC. 若{a n}＞M，则{a n2}＞M2D. 若{a n}＞M，则{2a n+1}＞2M+1二、填空题（本大题共11小题，共33.0分）5.若扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的面积为______．6.若点P（-3，y）是角α终边上的一点，且，则y=______．7.已知sinα+cosα=，则sin2α的值为______．8.若等差数列{a n}中，a6=3，{a n}的前n项和为S n，则S11=______．9.若且tanα＜0，则=______．10.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为______11.将式子化成A cos（α+φ）（其中A＞0，φ∈[-π，π））的形式为______．12.若且，则=______．13.数列{a n}的前n项和S n满足：，n∈N*，则数列{a n}的通项公式a n=______．14.若tanα，tanβ是方程的两根，且α、，则α+β=______．15.已知k是正整数，且1≤k≤2019，则满足方程：sin1°+sin2°+…+sin k°=sin1°•sin2°•…sin k°的k有______个．三、解答题（本大题共6小题，共63.0分）16.将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为______．17.已知tanα=2．（1）求的值；（2）求的值．18.已知{a n}为等差数列，a3+a8=10，a6=6．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求a2+a5+a8+…+a68的值．19.已知，．（1）判断tan x+tan y的正负性，并说明理由；（2）若，求cos2x和cos y的值．20.对于集合Ω={θ1，θ2，…，θn}和常数θ0，定义：为集合Ω相对θ0的“余弦方差”．（1）若集合，θ0=0，求集合Ω相对θ0的“余弦方差”；（2）若集合，证明集合Ω相对于任何常数θ0的“余弦方差”是一个常数，并求这个常数；（3）若集合，α∈[0，π），β∈[π，2π），相对于任何常数θ0的“余弦方差”是一个常数，求α，β的值．21.设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a2+b3=a3+b2=7．（1）求{a n}、{b n}的通项公式；（2）设c n=，n∈N*，若c3，c k，c m成等差数列（k、m为正整数且3＜k＜m），求k和m的值；（3）设B n为数列{b n}的前n项和，是否存在实数p，使得对一切n∈N*均成立？若存在，求出p的最大值；若不存在，说明理由．答案和解析1.【答案】A【解析】解：对于A，左边=tan（π+α）=tanα≠tan（-α）=右边，故不成立；对于B，左边=-tanα=-=右边，故成立；对于C，左边===右边，故成立；对于D，左边=（-1）（+1）=-1==tan2α=右边．故选：A．利用诱导公式，同角三角函数基本关系式逐一化简求解即可．本题考查运用诱导公式化简求值，考查同角三角函数间的关系式的应用，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：若，，则2kπ+＜＜2kπ+π，k∈Z，∴4kπ+＜θ＜4kπ+2π，故角θ为第四象限角，故选：D．先求出的范围，可得θ的范围，从而得出结论．本题主要考查三角函数在各个象限中的符号，不等式的性质，属于基础题．3.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查三角函数象限和符号的应用，分别判断三角函数线的大小是解决本题的关键．根据三角函数线的定义，分别进行判断排除即可．【解答】解：如图：A．在AB段，正弦线小于余弦线，即co sα＜sinα不成立，故A不满足条件．B．在CD段正切线最大，则cosα＜sinα＜tanα，故B不满足条件．C．在EF段，正切线，余弦线为负值，正弦线为正，满足tanα＜cosα＜sinα，D．在GH段，正切线为正值，正弦线和余弦线为负值，满足cosα＜sinα＜tanα不满足tanα＜cosα＜sinα．故选：C．4.【答案】D【解析】解：A中，在数列1，2，1，2，1，2…中，M可以为1.5，列{a n}各项均大于或等于M不成立，故A不正确；B中，数列{a n}为1，2，1，2，1，2…，{b n}为2，1，2，1，2…，M可以为1.6，而{a n+b n}各项均为3，则{a n+b n}＞2M不成立，故B不正确；C中在数列1，2，1，2，1，2…中，M可以为-3，此时{a n2}＞M2不正确，C错误；D中，若{a n}＞M，则{2a n+1}中，2a n+1与2a n+1+1中至少有一个不小于2M+1，故{2a n+1}＞2M+1正确．故选：D．举出反例，易知A、B、C不正确；根据题意，若{a n}＞M，则{2a n+1}中，2a n+1与2a n+1+1中至少有一个不小于2M+1，故可得D正确．本题考查数列的性质和应用，解题时要真正理解定义{a n}＞M．5.【答案】【解析】解：∵扇形的圆心角为，半径为2，∴扇形的面积为S=×××22×=．故答案为：．由已知利用扇形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了扇形的面积公式的应用，属于基础题．6.【答案】-4【解析】解：∵点P（-3，y）是角α终边上的一点，且=，则y=-4，故答案为：-4．由题意利用任意角的三角函数的定义，求出y的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．7.【答案】【解析】解：∵已知sinα+cosα=，平方可得1+2sinαcosα=1+sin2α=，解得sin2α=-，故答案为-．把所给的条件平方，再利用二倍角公式求得sin2α的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用，属于基础题．8.【答案】33【解析】解：根据题意，在等差数列{a n}中，S11===11a6=33，故答案为：33．根据题意，由等差数列的前n项和公式分析可得S11==11a6，计算即可得答案．本题考查等差数列的前n项和公式的应用，涉及等差数列的性质，属于基础题．9.【答案】-【解析】解：∵＞0，且tanα=＜0，∴sinα＜0∴=sinα=-=-．故答案为：-．由已知利用同角三角函数基本关系式，诱导公式即可计算求解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．10.【答案】3【解析】解：设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{a n}公比为2的等比数列，∴S7==381，解得a1=3．故答案为：3．设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{a n}公比为2的等比数列，利用等比数列前n项和公式能求出结果．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.【答案】【解析】解：=2（=2cos（），故答案为：2cos（）．直接结合辅助角公式即可化简．本题主要考查了辅助角公式的简单应用，属于基础试题．12.【答案】-3【解析】解：若且，∴sinα=-=-，则===-3，故答案为：-3．由题意利用同角三角函数的基本关系求得cosα，再利用半角的正切公式求得tan的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，半角的正切公式的应用，属于基础题．13.【答案】．【解析】解：根据题意，数列{a n}的前n项和S n满足：，n∈N*，当n=1时，a1=S1=1+7=8，当n≥2时，a n=S n-S n-1=（n2+7）-[（n-1）2+7]=2n-1，而a1=8不满足a n=2n-1；故；故答案为：．根据题意，在数列{a n}的S n公式中令n=1，可得a1的值，当n≥2时，分析可得a n=S n-S n-1=2n-1，验证a1是否满足a n=2n-1，综合即可得答案．本题考查数列的前n项和与通项公式的关系，注意验证n=1是否满足，属于基础题．14.【答案】【解析】解：由题意可得，tanα+tanβ=-4＜0，tanαtanβ=5＞0，∴tanα＜0，tanβ＜0，又∵α、，所以α，β，所以α+β∈（-π，0），所以tan（α+β）===，所以α+β=-．故答案为：-．由已知结合方程的根与系数关系及两角和的正切公式即可求解tan（α+β），然后结合角α+β的范围即可求解．本题主要考查了方程的根与系数关系及两角和的正切公式的应用，属于中档试题．15.【答案】11【解析】解：由三角函数的单调性及值域，可知sin1°•sin2°…sin k°＜1．∴除k=1外只有当等式sin1°+sin2°+…+sin k°=sin1°•sin2°…sin k°的左右两边均为0时等式成立，则k=1、359、360、719、720、1079、1080、1439、1440、1799、1800时等式成立，满足条件的正整数k有11个．故答案为：11．由三角函数的值域可知，除k=1外当等式sin1°+sin2°+…+sin k°=sin1°•sin2°…sin k°的左右两边均为0时等式成立，由此可得正整数k的个数．本题考查三角函数的化简求值，寻找规律是解答该题的关键，属基础题．16.【答案】解：前n-1行共有正整数1+2+…+（n-1）个，即个，因此第n行第3个数是全体正整数中第+3个，即为．故第n行（n≥3）从左向右的第3个数为．【解析】首先找出前n-1行正整数的个数，前n-1行整数共有1+2+…+（n-1）个，然后找出第n行第3个数．本小题考查归纳推理和等差数列求和公式，难点在于求出数列的通项，解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力．17.【答案】解：（1）∵tanα=2，∴；（2）∵tanα=2，∴．【解析】（1）由已知利用两角和的正切函数公式即可计算得解．（2）由已知利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式即可计算得解．本题主要考查了两角和的正切函数公式，二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.【答案】解：（1）依题意：由a3+a8=10，a6=6得方程组：（a1，d为首项和公差）解得：，∴通项公式为：a n=2n-6（n∈N*）；（2）易知a2+a5+a8+…+a68也为等差数列求和；且该数列项数为项，首项a2=-2，公差为3d=6．∴．【解析】（1）依题意：由a3+a8=10，a6=6得方程组：（a1，d为首项和公差）联立解得即可得出．（2）易知a2+a5+a8+…+a68也为等差数列求和；且该数列项数为项，首项a2=-2，公差为3d=6，利用求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．19.【答案】解：（1）∵sin（x+y）=sin x cos y+cos x sin y，∴tan x+tan y=+===，∵0＜x＜，＜y＜π，∴cos x＞0，cos y＜0，则tan x+tan y=＜0．（2）由，得tan x==，∵0＜x＜，∴cos x=，sin x=，则cos2x=2cos2x-1=2×-1=-∵0＜x＜，＜y＜π，∴＜x+y＜，则由．得cos（x+y）=-，则cos y=cos（x+y-x）=cos（x+y）cos x+sin x（x+y）sin x=-+=-．【解析】（1）根据同角三角函数关系进行化简，结合三角函数符号与角的关系进行判断即可．（2）利用三角函数的倍角公式以及两角和差的三角公式进行转化求解即可．本题主要考查三角函数的化简和求值，结合同角的三角函数关系以及三角函数的倍角公式以及两角和差的三角公式进行转化是解决本题的关键，考查学生的运算能力，难度中等．20.【答案】解：（1）当集合为，θ0=0时，集合Ω相对θ0的“余弦方差μ==；（2）当集合时，集合Ω相对于常数θ0的“余弦方差”μ====∴此时“余弦方差”是一个常数，且常数为；（3）当集合，α∈[0，π），β∈[π，2π）时，集合Ω相对于任何常数θ0的“余弦方差”μ==•[（）cos2θ0+（1+sin2α+sin2β）sinθ0cosθ0+（）sin2θ0] 要是上式是一个常数，则1+sin2α+sin2β=0且=由α∈[0，π），β∈[π，2π）取α=，β=可满足上式．【解析】由新定义结合三角函数公式分别计算可得．本题考查新定义，涉及三角函数的恒等变换，属中档题．21.【答案】解：（1）依题意，设已知两数列的公差为d，公比为q，q＞0，由a1=b1=1，a2+b3=a3+b2=7，有，解出：，∴a n=2n-1，，n∈N*；（2）∵，由c3，c k，c m成等差数列，可得2c k=c3+c m，得（k、m为正整数且3＜k＜m），化简得，又3＜k＜m得，得m＞3，，当k为正整数时，2m+4=50，m=23，此时k=5；（3）由等比数列的求和公式可得，假设存在实数p，使得对一切n∈N*均成立，则32n-1≥64•2n+p对一切n∈N*成立，即p≤32n-1-2n+6对一切n∈N*成立，即求32n-1-2n+6在n∈N*的最小值．由g（n）=32n-1-2n+6，g（1）=-125，g（2）=-229，g（3）=-269，g（4）=1163，g（5）=17643，…，可得g（n）为先减后增数列，当n=3时取最小值为-269．∴存在p，且最大值为-269满足题意．【解析】（1）设已知两数列的公差为d，公比为q，q＞0，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差、公比，即可得到所求通项公式；（2）求得c n，由等差中项的定义可得k关于m的式子，运用分离常数，结合整数解，可得所求值；（3）运用等比数列的求和公式可得B n，假设存在实数p，使得对一切n∈N*均成立，由参数分离和构造数列，结合单调性，可得所求最大值．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离，以及数列的单调性，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．。
2019-2020学年上海中学高一(下)期中数学试卷
2019-2020学年上海中学高一（下）期中数学试卷试题数：21.满分：01.（填空题.3分）已知点A（2.-1）在角α的终边上.则sinα=___ ．2.（填空题.3分）函数y=sin（πx+2）的最小正周期是___ ．3.（填空题.3分）设扇形半径为2cm.圆心角的弧度数为2.则扇形的面积为___ ．4.（填空题.3分）已知函数f（x）=sinx（x∈[0.π]）和函数g（x）= 12tanx的图象交于A.B.C三点.则△ABC的面积为___ ．5.（填空题.3分）在平面直角坐标系xOy中.角α与角β均以Ox为始边.它们的终边关于y轴对称.若sinα= 13.则cos（α-β）=___ ．6.（填空题.3分）已知sin（x- π4）= 35.则sin2x的值为 ___ ．7.（填空题.3分）设x.y∈（0.π）.且满足sin2x−cos2x+cos2xcos2y−sin2xsin2ysin(x+y)=1 .则x-y=___ ．8.（填空题.3分）我国古代数学家秦九韶在《数学九章》中记述了“三斜求积术”.用现代式子表示即为：在△ABC中.∠A.∠B.∠C所对的边长分别为a.b.c.则△ABC的面积S=√1 4[(ab)2−(a2+b2−c22)2]．根据此公式若acosB+（b+3c）cosA=0.且a2-b2-c2=2.则△ABC的面积为___ ．9.（填空题.3分）若函数f(x)=2sin(2x+π6)+a−1(a∈R)在区间[0，π2]上有两个不同的零点x1.x2.则x1+x2-a的取值范围是___ ．10.（填空题.3分）已知函数f(α)=m−sinαcosα在(0，π2)上单调递减.则实数m的取值范围是___ ．11.（单选题.3分）已知cosα=k.k∈R.α∈（π2.π）.则sin（π+α）=（）A.- √1−k2B. √1−k2C.± √1−k2D.-k12.（单选题.3分）对任意的锐角α.β.下列不等关系中正确的是（）A.sin（α+β）＞sinα+sinβB.sin（α+β）＞cosα+cosβC.cos（α+β）＜sinα+sinβD.cos（α+β）＜cosα+cosβ13.（单选题.3分）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A.ω.φ是常数.A＞0.ω＞0.|φ|＜π2）.为了得到f（x）的图象.则只需将g（x）=cos2x的图象（）A.向右平移π12个单位B.向右平移π6个单位C.向左平移π12个单位D.向左平移π6个单位14.（单选题.3分）若函数f（x）=sin（2x- π3）与 g（x）=cosx-sinx都在区间（a.b）（0＜a ＜b＜π）上单调递减.则b-a的最大值为（）A. π6B. π3C. π2D. 5π1215.（单选题.3分）已知α.β为锐角且α+β＞π2，x∈R，f(x)=(cosαsinβ)|x|+(cosβsinα)|x|.下列说法正确的是（）A.f（x）在定义域上为递增函数B.f（x）在定义域上为递减函数C.f（x）在（-∞.0]上为增函数.在（0.+∞）上为减函数D.f（x）在（-∞.0]上为减函数.在（0.+∞）上为增函数16.（单选题.3分）在△ABC中.a.b.c分别为角A.B.C的对边的长.若a2+b2=2020c2.则2tanA•tanBtanC(tanA+tanB)的值为（）A.1B.2018C.2019D.202017.（问答题.0分）化简：f(α)=sin(−α)cos(π+α)cos(π2−α)cos(π−α)sin(2π+α)tan(π+α)．18.（问答题.0分）已知函数f(x)=√3cos2x−sin2x．（1）用五点法作出f（x）在一个周期内的图象.并写出f（x）的值域.最小正周期.对称轴方程（只需写出答案即可）；（2）将f（x）的图象向左平移一个π4单位得到函数y=g（x）的图象.求y=g（x）的单调递增区间．19.（问答题.0分）如图.矩形ABCD中.E.F两点分别在边AB.BC上.∠DEF=90°.设∠ADE=α.∠EDF=β．（1）试用该图中提供的信息证明两角和的余弦公式；（2）若x∈(0，π4)，y∈(π4，3π4) .且sin（3π4+x）= 513.cos（π4-y）= 45.求cos（x-y）的值．20.（问答题.0分）某公司要在一条笔直的道路边安装路灯.要求灯柱AB与地面垂直.灯杆BC 与灯柱AB所在的平面与道路垂直.路灯C采用锥形灯罩.射出的光线与平面ABC的部分截面如图中阴影部分所示．已知∠ABC= 23π.∠ACD= π3.路宽AD=24米．设∠BAC=θ (π12≤θ≤π6)．（1）求灯柱AB的高h（用θ表示）；（2）此公司应该如何设置θ的值才能使制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小？最小值为多少？（结果精确到0.01米）21.（问答题.0分）设函数f（x）=5cosθsinx-5sin（x-θ）+（4tanθ-3）sinx-5sinθ为偶函数．（1）求tanθ的值；（2）若f（x）的最小值为-6.求f（x）的最大值及此时x的取值；（3）在（2）的条件下.设函数g(x)=λf(ωx)−f(ωx+π2) .其中λ＞0.ω＞0．已知y=g（x）在x=π6处取得最小值并且点(2π3，3−3λ)是其图象的一个对称中心.试求λ+ω的最小值．2019-2020学年上海中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21.满分：01.（填空题.3分）已知点A（2.-1）在角α的终边上.则sinα=___ ．【正确答案】：[1]- √55【解析】：根据三角函数的坐标法定义.直接计算即可．【解答】：解：设O为坐标原点.因为A（2.-1）．由已知得|OA|=√22+(−1)2=√5 .∴ sinα=−1|OA|=−√55．故答案为：−√55．【点评】：本题考查三角函数的坐标法定义.以及学生的运算能力.属于基础题．2.（填空题.3分）函数y=sin（πx+2）的最小正周期是___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：由题意利用正弦函数的周期性.得出结论．【解答】：解：函数y=sin（πx+2）的最小正周期是2ππ=2.故答案为：2．【点评】：本题主要考查正弦函数的周期性.属于基础题．3.（填空题.3分）设扇形半径为2cm.圆心角的弧度数为2.则扇形的面积为___ ．【正确答案】：[1]4cm2【解析】：由已知利用扇形的面积公式即可计算得解．【解答】：解：由已知可得：半径r为2cm.圆心角α的弧度数为2.则扇形的面积S= 12 r2α= 12×22×2 =4cm2．故答案为：4cm2．【点评】：本题主要考查了扇形的面积公式的应用.属于基础题．4.（填空题.3分）已知函数f（x）=sinx（x∈[0.π]）和函数g（x）= 12tanx的图象交于A.B.C 三点.则△ABC的面积为___ ．【正确答案】：[1] √3π4【解析】：画出两个函数的图象.求出三个点的坐标.然后求解三角形面积．【解答】：解：函数f（x）=sinx（x∈[0.π]）和函数g（x）= 12tanx的图象.可得A（0.0）.B（π.0）.令sinx= 12 tanx.解得C（π3. √32）.所以S△ABC= 12× π×√32= √3π4．故答案为：√3π4．【点评】：本题考查三角函数的图象以及三角形的面积的求法.考查转化思想以及计算能力．5.（填空题.3分）在平面直角坐标系xOy中.角α与角β均以Ox为始边.它们的终边关于y轴对称.若sinα= 13.则cos（α-β）=___ ．【正确答案】：[1]- 79【解析】：方法一：根据教的对称得到sinα=sinβ= 13.cosα=-cosβ.以及两角差的余弦公式即可求出方法二：分α在第一象限.或第二象限.根据同角的三角函数的关系以及两角差的余弦公式即可求出【解答】：解：方法一：∵角α与角β均以Ox为始边.它们的终边关于y轴对称.∴sinα=sinβ= 13.cosα=-cosβ.∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=-cos2α+sin2α=2sin2α-1= 29 -1=- 79方法二：∵sinα= 13.当α在第一象限时.cosα=2√23. ∵α.β角的终边关于y 轴对称.∴β在第二象限时.sinβ=sinα= 13.cosβ=-cosα=- 2√23. ∴cos （α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=- 2√23 × 2√23 + 13 × 13 =- 79：∵sinα= 13 .当α在第二象限时.cosα=-2√23. ∵α.β角的终边关于y 轴对称.∴β在第一象限时.sinβ=sinα= 13 .cosβ=-cosα= 2√23. ∴cos （α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=- 2√23 × 2√23 + 13 × 13 =- 79综上所述cos （α-β）=- 79 ．方法三：∵α.β角的终边关于y 轴对称. ∴α+β=π+2kπ.k∈Z .∴cos （α-β）=cos （α-（π+2kπ-α））=cos （2α-π）=-cos2α=2sin²α-1=2×（ 13 ）²-1=- 79． 故答案为：- 79 ．【点评】：本题考查了两角差的余弦公式.以及同角的三角函数的关系.需要分类讨论.属于基础题6.（填空题.3分）已知sin （x- π4 ）= 35 .则sin2x 的值为 ___ ． 【正确答案】：[1] 725【解析】：利用二倍角的正弦可求得 sin 2(x −π4) = 1−sin2x 2 = 925.从而可得sin2x 的值．【解答】：解：∵sin （x- π4 ）= 35. ∴ sin 2(x −π4) = 1−cos[2(x−π4)]2 = 1−sin2x 2 = 925. ∴1-sin2x= 1825. ∴sin2x= 725 ． 故答案为： 725 ．【点评】：本题考查二倍角的正弦.考查诱导公式的应用.考查转化思想与运算能力.属于中档题．7.（填空题.3分）设x.y∈（0.π）.且满足sin2x−cos2x+cos2xcos2y−sin2xsin2ysin(x+y)=1 .则x-y=___ ．【正确答案】：[1] π2【解析】：结合已知条件.利用和差角公式.平方关系化简可得sin（x-y）=1.进而得到答案．【解答】：解：∵x.y∈（0.π）.且-π＜x-y＜π.∴ sin2x−cos2x+cos2xcos2y−sin2xsin2ysin(x+y)=1⇒sin2x(1−sin2y)+cos2x(cos2y−1)sin(x+y)=1⇒sin2xcos2y−cos2xsin2ysin(x+y)=(sinxcosy+cosxsiny)(sinxcosy−cosxsiny)sin(x+y)=1⇒sin(x+y)sin(x−y)sin(x+y)=sin(x−y)=1⇒x−y=π2（由于-π＜x-y＜π）.故答案为：π2．【点评】：本题主要考查三角函数的化简求值.考查和差角公式以及同角三角函数基本关系的运用.考查运算能力.属于基础题．8.（填空题.3分）我国古代数学家秦九韶在《数学九章》中记述了“三斜求积术”.用现代式子表示即为：在△ABC中.∠A.∠B.∠C所对的边长分别为a.b.c.则△ABC的面积S=√1 4[(ab)2−(a2+b2−c22)2]．根据此公式若acosB+（b+3c）cosA=0.且a2-b2-c2=2.则△ABC的面积为___ ．【正确答案】：[1] √2【解析】：直接利用三角函数关系式的恒等变换和余弦定理的应用求出结果．【解答】：解：由于acosB+（b+3c）cosA=0.整理得：acosB+bcosA=-3ccosA.故是sinAcosB+cosAsinB=-3sinCcosA.即sin（A+B）=sinC=-3sinCcosA.故：cosA=−13．由余弦定理得：b2+c2-a2=2bccosA=-2.整理得bc=3.所以：S=√14[(bc)2−(b2+c2−a22)2]=√2．故答案为：√2【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换.余弦定理的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题型．9.（填空题.3分）若函数f(x)=2sin(2x+π6)+a−1(a∈R)在区间[0，π2]上有两个不同的零点x1.x2.则x1+x2-a的取值范围是___ ．【正确答案】：[1] [π3，π3+1)【解析】：由题意将问题转化为y=2sin(2x+π6)与y=1-a在区间[0，π2]上有两个不同的交点的问题.作出两个函数的图象.可求解．【解答】：解：若函数f(x)=2sin(2x+π6)+a−1(a∈R)在区间[0，π2]上有两个不同的零点x1.x2.即2sin(2x+π6)=1−a在区间[0，π2]上有两个不同的零点x1.x2.也就是y=2sin(2x+π6)与y=1-a区间[0，π2]上有两个不同的交点.横坐标分别为x1.x2.数形结合可知. x1+x22=π6，1−a∈[1，2) .∴ x1+x2=π3，−a∈[0，1)∴ x1+x2−a∈[π3，π3+1)．故答案为：[π3，π3+1)．【点评】：本题考查三角函数的图象与性质.以及利用数形结合思想解决问题的能力.同时考查了学生的运算能力.属于中档题．10.（填空题.3分）已知函数f(α)=m−sinαcosα在(0，π2)上单调递减.则实数m的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-∞.1]【解析】：根据题意.任取0＜α＜β＜π2.由函数单调性的定义分析可得f（α）-f（β）=m(cosβ−cosα)−sin(α−β)cosαcosβ＞0 .据此变形可得m＜1+tanα2tanβ2tanα2+tanβ2.分析1+tanα2tanβ2tanα2+tanβ2的最小值.即可得答案．【解答】：解：根据题意.任取0＜α＜β＜π2.若函数f(α)=m−sinαcosα在(0，π2)上单调递减.则有f（α）-f（β）＞0.即f（α）-f（β）=m(cosβ−cosα)−sin(α−β)cosαcosβ＞0则有m•2sinα+β2•sinα−β2＞2sinα−β2cosα−β2可得m＜cosα−β2sinα+β2=cosα2cosβ2+sinα2sinβ2sinα2cosβ2+cosα2sinβ2=1+tanα2tanβ2tanα2+tanβ2.又由0＜α＜β＜π2 .则0＜α2＜β2＜π4，0＜tanα2＜tanβ2＜1从而1+tanα2tanβ2−(tanα2+tanβ2)=(1−tanα2)(1−tanβ2)＞0 .变形可得1+tanα2tanβ2tanα2+tanβ2＞1 .必有m≤1.即m的取值范围为（-∞.1]；故答案为（-∞.1]．【点评】：本题函数的单调性的性质.涉及三角函数的恒等变形以及和差公式的应用.属于基础题11.（单选题.3分）已知cosα=k.k∈R.α∈（π2.π）.则sin（π+α）=（）A.- √1−k2B. √1−k2C.± √1−k2D.-k【正确答案】：A【解析】：由已知及同角三角函数基本关系的运用可求sinα.从而由诱导公式即可得解．【解答】：解：∵cosα=k.k∈R.α∈（π2.π）.∴sinα= √1−cos2α = √1−k2 .∴sin（π+α）=-sinα=- √1−k2．故选：A．【点评】：本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用.运用诱导公式化简求值.属于基本知识的考查．12.（单选题.3分）对任意的锐角α.β.下列不等关系中正确的是（）A.sin（α+β）＞sinα+sinβB.sin（α+β）＞cosα+cosβC.cos（α+β）＜sinα+sinβD.cos（α+β）＜cosα+cosβ【正确答案】：D【解析】：对于A.B中的α.β可以分别令为30°.60°验证即可.对于C中的α.β可以令他们都等于15°.验证即可.对于D我们可以用放缩法给出证明cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ＜cosα×1+cosβ×1=cosα+cosβ【解答】：解：对于AB中的α.β可以分别令为30°.60°则知道A.B均不成立对于C中的α.β可以令他们都等于15°.则知道C不成立cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ＜cosα×1+cosβ×1=cosα+cosβ故选：D．【点评】：本题考查了两角和与差的正余弦公式.同时也考查了放缩法对命题的证明.属于基础题．13.（单选题.3分）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A.ω.φ是常数.A＞0.ω＞0.|φ|＜π）.为了2得到f（x）的图象.则只需将g（x）=cos2x的图象（）个单位A.向右平移π12个单位B.向右平移π6C.向左平移π个单位12个单位D.向左平移π6【正确答案】：A【解析】：由函数的图象的顶点坐标求出A.由周期求出ω.由五点法作图求出φ的值.可得f（x）的解析式.再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律.得出结论．【解答】：解：利用函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A.ω.φ是常数.A＞0.ω＞0.|φ|＜π2）的图象.可得A=1. 14•2πω= π3- π12.∴ω=2．再根据五点法作图.可得2× π12+φ= π2.∴φ= π3.故f（x）=sin（2x+ π3）．将g（x）=cos2x=sin（2x+ π2）的图象向右平移π12个单位.可得y=sin（2x- π6 + π2）=sin（2x+ π3）=f（x）的图象.故选：A．【点评】：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式.由函数的图象的顶点坐标求出A.由周期求出ω.由五点法作图求出φ的值.函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律.属于基础题．14.（单选题.3分）若函数f（x）=sin（2x- π3）与 g（x）=cosx-sinx都在区间（a.b）（0＜a ＜b＜π）上单调递减.则b-a的最大值为（）A. π6B. π3C. π2D. 5π12【正确答案】：B【解析】：求出函数f（x）、g（x）在（0.π）上的单调递减区间.从而求得b-a的最大值．【解答】：解：函数f（x）=sin（2x- π3）在（0. 5π12）上单调递增.在（5π12 . 11π12）上单调递减.在（11π12.π）上单调递减；函数g（x）=cosx-sinx= √2 cos（x+ π4）在（0. 3π4）上单调递减.在（3π4.π）上单调递增；∴f（x）、g（x）都在区间（5π12 . 3π4）上单调递减.∴b-a的最大值为3π4 - 5π12= π3．故选：B．【点评】：本题考查了三角函数在某一区间上的单调性问题.是中档题．15.（单选题.3分）已知α.β为锐角且α+β＞π2，x∈R，f(x)=(cosαsinβ)|x|+(cosβsinα)|x|.下列说法正确的是（）A.f（x）在定义域上为递增函数B.f（x）在定义域上为递减函数C.f（x）在（-∞.0]上为增函数.在（0.+∞）上为减函数D.f（x）在（-∞.0]上为减函数.在（0.+∞）上为增函数【正确答案】：C【解析】：先利用α.β为锐角且α+β＞π2结合三角函数的单调性得出cosαsinβ. cosβsinα的取值范围.再对x的值分类讨论.结合指数函数的单调性即可得出答案．【解答】：解：∵α.β为锐角且α+β＞π2 .∴ π2＞α＞π2-β＞0.∴cosα＜cos（π2 -β）.sinα＞sin（π2-β）.即0＜cosα＜sinβ.sinα＞cosβ＞0.∴0＜cosαsinβ＜1.0＜cosβsinα＜1．∴在（-∞.0]上. f(x)=(cosαsinβ)−x+(cosβsinα)−x为增函数.在（0.+∞）上. f(x)=(cosαsinβ)x+(cosβsinα)x为减函数．故选：C．【点评】：本题主要考查了指数函数的单调性与特殊点.考查了三角函数的性质.属于基础题．16.（单选题.3分）在△ABC中.a.b.c分别为角A.B.C的对边的长.若a2+b2=2020c2.则2tanA•tanBtanC(tanA+tanB)的值为（）A.1B.2018C.2019D.2020【正确答案】：C【解析】：直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理余弦定理的应用求出结果．【解答】：解：由于△ABC中.a.b.c分别为角A.B.C的对边的长.若a2+b2=2020c2.所以a2+b2-c2=2019c2.则：2tanA•tanBtanC(tanA+tanB)=2sinAcosAsinBcosBsinCcosC(sinAcosA+sinBcosB).= 2sinAsinBcosCsinC(sinAcosB+cosAsinB)=2sinAsinBcosCsin2C.= 2abcosCc2=a2+b2−c2c2=2019故选：C．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换.正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题型．17.（问答题.0分）化简：f(α)=sin(−α)cos(π+α)cos(π2−α)cos(π−α)sin(2π+α)tan(π+α)．【正确答案】：【解析】：利用诱导公式化简要求的式子.再利用同角三角函数的基本关系化简到最简形式．【解答】：解：f(α)=sin(−α)cos(π+α)cos(π2−α)cos(π−α)sin(2π+α)tan(π+α)= (−sinα)(−cosα)sinα(−cosα)sinαtanα=−cosα．【点评】：本题考查同角三角函数的基本关系.诱导公式的应用.要特别注意公式中的符号．18.（问答题.0分）已知函数f(x)=√3cos2x−sin2x．（1）用五点法作出f（x）在一个周期内的图象.并写出f（x）的值域.最小正周期.对称轴方程（只需写出答案即可）；（2）将f（x）的图象向左平移一个π4单位得到函数y=g（x）的图象.求y=g（x）的单调递增区间．【正确答案】：【解析】：（1）用五点作图法即可作出函数在一个周期上的图象.利用余弦函数的性质即可求解其值域.最小正周期.对称轴方程．（2）由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律和正弦函数的图象和性质即可求解y=g （x）的单调递增区间．【解答】：解：（1）f(x)=√3cos2x−sin2x =2cos（2x+ π6）.列表如下：2x+ π6π2π3π22πx - π12π65π122π311π12y 2 -2 2 作图：可得：f（x）的值域为[-2.2].最小正周期为π.对称轴方程为x=kπ2−π12，k∈Z．（2）将f（x）=2cos（2x+ π6）的图象向左平移一个π4单位得到函数y=g（x）=2cos（2x+ π2+ π6）=-2sin（2x+ π6）的图象.令2kπ+ π2≤2x+ π6≤2kπ+ 3π2.k∈Z.解得kπ+ π6≤x≤kπ+ 2π3.k∈Z.可得函数的单调递增区间为：[kπ+π6，kπ+2π3]，k∈Z．【点评】：本题主要考查用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的图象.y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律.考查正弦函数的性质.属于基础题．19.（问答题.0分）如图.矩形ABCD中.E.F两点分别在边AB.BC上.∠DEF=90°.设∠ADE=α.∠EDF=β．（1）试用该图中提供的信息证明两角和的余弦公式；（2）若x∈(0，π4)，y∈(π4，3π4) .且sin（3π4+x）= 513.cos（π4-y）= 45.求cos（x-y）的值．【正确答案】：【解析】：（1）根据题意利用直角三角形的边角关系.即可证明cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；（2）利用三角恒等变换化简求值即可．【解答】：解：（1）由已知∠ADE=∠BEF=α.所以cos（α+β）=cos∠DFC= CFDF = BC−BFDF= ADDE• DEDF- BFEF• EFDF=cosαcosβ-sinαsinβ；（2）由已知3π4+x∈(3π4，π)，π4−y∈(−π2，0) .从而cos(3π4+x)=−√1−sin2(3π4+x)=−1213.sin(π4−y)=−√1−cos2(π4−y)=−35.所以cos(x−y)=−cos(x−y+π)=−cos[(3π4+x)+(π4−y)]= sin(3π4+x)sin(π4−y)−cos(3π4+x)cos(π4−y)=513•(−35)−(−1213)•45=3365．【点评】：本题考查了直角三角形边角关系应用问题.也考查了三角函数化简求值问题.是中档题．20.（问答题.0分）某公司要在一条笔直的道路边安装路灯.要求灯柱AB与地面垂直.灯杆BC 与灯柱AB所在的平面与道路垂直.路灯C采用锥形灯罩.射出的光线与平面ABC的部分截面如图中阴影部分所示．已知∠ABC= 23π.∠ACD= π3.路宽AD=24米．设∠BAC=θ (π12≤θ≤π6)．（1）求灯柱AB的高h（用θ表示）；（2）此公司应该如何设置θ的值才能使制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小？最小值为多少？（结果精确到0.01米）【正确答案】：【解析】：（1）在△ACD中与在△ABC中.分别利用正弦定理即可得出；（2）△ABC中.利用正弦定理可得：BC.再利用和差公式即可得出．【解答】：解：（1）在△ACD中. ∠CDA=θ+π6.由ADsin∠ACD =ACsin∠CDA.得AC=AD•sin∠CDAsin∠ACD=16√3sin(θ+π6) .在△ABC中. ∠ACB=π3−θ .由ABsin∠ACB =ACsin∠ABC.得ℎ=AC•sin∠ACBsin∠ABC=32sin(θ+π6)sin(π3−θ)(π12≤θ≤π6)．（2）△ABC中.由BCsin∠BAC =ACsin∠ABC.得BC=AC•sin∠BACsin∠ABC=32sin(θ+π6)sinθ .∴ AB+BC=32sin(θ+π6)sin(π3−θ)+32sin(θ+π6)sinθ = 16sin2θ+8√3 .∵ π12≤θ≤π6.∴ π6≤2θ≤π3.∴当θ=π12时.AB+BC取得最小值8+8√3≈21.86．故制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小.最小值约为21.86米．【点评】：本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角函数求值.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．21.（问答题.0分）设函数f（x）=5cosθsinx-5sin（x-θ）+（4tanθ-3）sinx-5sinθ为偶函数．（1）求tanθ的值；（2）若f（x）的最小值为-6.求f（x）的最大值及此时x的取值；（3）在（2）的条件下.设函数g(x)=λf(ωx)−f(ωx+π2) .其中λ＞0.ω＞0．已知y=g（x）在x=π6处取得最小值并且点(2π3，3−3λ)是其图象的一个对称中心.试求λ+ω的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）利用三角函数关系式的恒等变换和函数的性质的应用求出结果．（2）利用函数的关系式的变换和三角函数的性质的应用求出结果．（3）利用分类讨论思想的应用和关系式的变换的应用求出参数的值．【解答】：解：（1）f（x）=5cosxsinθ+（4tanθ-3）sinx-5sinθ.f（x）是偶函数. ∴（4ta nθ-3）sinx=0对一切x∈R恒成立.∴ tanθ=34（2）f（x）=5sinθ（cosx-1）.其最小值为-6.此时sinθ=35，cosx=−1 .∴f（x）=3（cosx-1）.从而f（x）的最大值为0.此时x的取值为x=2kπ.k∈Z；（3）g(x)=λf(ωx)−f(ωx+π2)=3λcosωx−3λ−3cos(ωx+π2)+3=3λcosωx-3λ+3sinωx+3由g（x）在x=π6处取最小值.知g（x）的图象关于x=π6对称.有g(−π3)=g(2π3)=3−3λ故3λcos(−ωπ3)+3sin(−ωπ3)=0 .且3λcos2ωπ3+3sin2ωπ3=0 .从而λ=tanωπ3=−tan2ωπ3=tan(kπ−2ωπ3) .则ωπ3=kπ−2ωπ3.即ω=k（k∈Z）又ω＞0.则ω是正整数.∵λ＞0.ω是正整数.∴ ω=3l−2(l∈N∗)，λ=√3 .当ω=1时. g(x)=3√3cosx+3sinx+3−3√3显然.g（x）在x=π6处有最大值.而不是最小值.矛盾．当ω=4时. g(x)=3√3cos4x+3sin4x+3−3√3 .显然.g（x）在x=π6处有最大值.而不是最小值.矛盾．当ω=7时. g(x)=3√3cos7x+3sin7x+3−3√3 .显然.g（x）g（x）在x=π6处有最小值.且y=g（x）的图象关于点(2π3，3−3√3)中心对称.∴λ+ω的最小值为√3+7．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换.正弦型函数的性质的应用.分类讨论思想的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题型．。
上海市控江中学2019-2020学年高一下学期期中数学试题
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了含 的二次函数的值域，分离参数的方法，集合的概念，属于中档题.
10． 或
【解析】
【分析】
利用正弦定理表示 为 的函数，即可求解.
【详解】
由正弦定理可得 , ,
又 ， ，
所以 在 有唯一解，
故 或
故答案为： 或
【点睛】
本题主要考查了正弦定理解三角形，考查函数零点个数问题，注意转化思想的应用，属于中档题.
5．
【解析】
【分析】
由反余弦函数的定义域及单调性可得 ，再求解即可.
【详解】
解：由函数 是定义在 的减函数，
又 ，
则 ，解得： ，
即不等式的解集为： ，
故答案为 .
【点睛】
本题考查了反余弦函数的定义域及单调性，属基础题.
6．
【解析】
利用正弦定理有： ，则 ，则角 的最小值是 ．
7．-7
【解析】
【分析】
（1）若C是半径OA的中点，求线段PC的大小；
（2）设 ，求 面积的最大值及此时 的值.
20．某同学用“五点法”画函数 在某一周期内的图像时，列表并填入部分数据，如表所示.
0
0
2
-2
0
（1）请将表中数据补充完整，填写在相应位置，并写出 的解析式；
（2）将函数 的图像上每一点的横坐标缩小为原来的 ，纵坐标不变，得到函数 的图像，a、b、c分别为锐角 的三个内角A、B、C的对边，若 ， ，求 的面积S的的最大值.
21．已知函数 ，且 .
（1）求a的值；
（2）求出 的最小正周期，并证明；（“周期”要证，“最小”不用证明）
（3）是否存在正整数n，使得 在区间 内恰有2021个零点，若存在，求出n的值；若不存在，说明理由.
2019-2020学年高一数学下学期期中试题(含解析)_12
2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i为虚数单位，复数z满足，则复数z的共轭复数等于（）A. 1-iB. -1-iC. 1+iD. -1+i【答案】B【解析】【分析】利用复数的运算法则解得，结合共轭复数的概念即可得结果.【详解】∵复数满足，∴，∴复数的共轭复数等于，故选B.【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上（包括50岁）的人，用分层抽样的方法从中抽取20人，各年龄段分别抽取的人数为（）A. 7，5，8B. 9，5，6C. 7，5，9D. 8，5，7【答案】B【解析】【分析】分层抽样按比例分配,即可求出各年龄段分别抽取的人数.【详解】由于样本容量与总体中的个体数的比值为，故各年龄段抽取的人数依次为，，.故选B 【点睛】本题考查分层抽样方法,关键要理解分层抽样的原则,属于基础题.3.已知平面向量,是非零向量,||=2,⊥(+2),则向量在向量方向上的投影为( )A. 1B. -1C. 2D. -2【答案】B【解析】【分析】先根据向量垂直得到(+2),=0，化简得到=﹣2，再根据投影的定义即可求出．【详解】∵平面向量,是非零向量,||=2,⊥(+2),∴(+2),=0，即即=﹣2∴向量在向量方向上的投影为=﹣1，故选B．【点睛】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．4.如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且PA＝AC，则二面角P－BC－A的大小为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC又PA∩AC＝C，∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA为二面角P－BC－A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°，故选C．点睛：二面角的寻找主要利用线面垂直，根据二面角定义得二面角的棱垂直于二面角的平面角所在平面.5.在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正方体中，，将问题转化为求共面直线与所成角的正切值，在中进行计算即可.【详解】在正方体中，，所以异面直线与所成角为，设正方体边长为，则由为棱的中点，可得，所以，则故选C.【点睛】求异面直线所成角主要有以下两种方法：（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角；（2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.6.设中边上的中线为，点满足，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】作出图形，利用、表示，然后利用平面向量减法的三角形法则可得出可得出结果.【详解】如下图所示：为的中点，则，，，，故选：A.【点睛】本题考查利用基底表示向量，考查了平面向量减法和加法三角形法则的应用，考查计算能力，属于中等题.7.已知向量，是不平行于轴的单位向量，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设，根据题意列出关于、方程组，求出这两个未知数的值，即可得出向量的坐标.【详解】设，其中，则.由题意得，解得，即.故选：B.【点睛】本题考查向量坐标的求解，根据向量数量积和模建立方程组是解题的关键，考查方程思想的应用以及运算求解能力，属于基础题.8.已知两直线m､n，两平面α､β，且m⊥α，nβ.下面有命题中正确的个数是（）①若α//β，则有m⊥n；②若m⊥n，则有α//β；③若m//n，则有α⊥β；④若α⊥β，则有m//n.A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】①由条件可知，再判断结论；②由条件判断是否成立；③由条件可知，再判断结论；④根据面面垂直的性质定理判断.【详解】①若，，则，，则，所以①正确；②若，，不能推出，所以不能推出，所以②不正确；③若，，则，又有，所以，所以③正确；④若，，则或，当，不能推出，所以④不正确.故选：C【点睛】本题考查点，线，面位置关系的判断，重点考查想象，推理能力，属于基础题型.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求.9.下列各式中结果为零向量的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】根据向量加法和减法逐一判断选项，得到正确答案.【详解】A.，所有A正确；B.，不正确；C.，不是零向量；D.，所有D正确.故选：AD【点睛】本题考查向量加减法，属于基础题型.10.（多选题）已知集合，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】根据题意，中，时，；时，；时，；时，，.选项A中，；选项B中，；选项C中，；选项D中，.故选：BC.【点睛】此题考查复数的基本运算，涉及复数的乘方和乘法除法运算，准确计算才能得解.11.已知锐角，内角、、的对边分别为，，，若，，则边的可能取值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】CD【解析】【分析】由于三角形的正弦定理和正弦函数的值域可得的范围，讨论，结合条件可得所求结论.【详解】在中，，，由可得，由于可得，即有若，则，即，为等边三角形成立；若可得，且，即即为，即有成立.故选：【点睛】本题考查正弦定理与三角函数有界性，考查计算能力，属于中等题型.12.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，下列结论正确的是（）A. AC⊥BDB. △ACD是等边三角形C. AB与平面BCD成角D. AB与CD所成的角是60°【答案】ABD【解析】【分析】首先画出几何体，由线面垂直的性质定理判断A是否正确；根据直二面角的条件计算的长度，判断是否是等边三角形；根据线面角的定义判断C；由异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，取的中点，连结，转化为求或其补角.【详解】A.取的中点，连结,由条件可知，又，所有平面，平面，所有,所以A正确；B.设正方形边长为2，则，且，所有，所以是等边三角形，所以B正确；C.由条件可知平面，所以与平面所成的角为，所以C不正确；D.取的中点，连结，则，则所成的角是或其补角，由以上说明可知，,所以是等边三角形，所以，故AB与CD所成的角是60°，所以D正确.综上可知：ABD正确.故选：ABD【点睛】本题考查线线，线面位置关系，和线面，异面直线所成的角，重点考查推理能力，空间想象能力，属于基础题型.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次是[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100)，则60分为成绩的第__________百分位数.【答案】30【解析】【分析】首先求前两组的频率，根据百分位数的定义直接求结果.【详解】由条件可知前两组的频率是则60分为成绩的第30百分位数.故答案为：30【点睛】本题考查频率分布直方图，重点考查基本概念，属于基础题型.14.已知向量，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】由与的夹角为锐角，则，列出不等式解出，要去掉使与同向（与的夹角为0）的的取值.【详解】∵与的夹角为锐角∴，即，解得，当时，与同向，∴实数的取值范围是故答案为：.【点睛】本题考查的知识点是向量数量积的性质及运算律，将夹角转化为数量积与0的关系是解题的关键，属于中档题.15.事件为独立事件，若，则_____．【答案】【解析】【详解】分析：根据独立事件的关系列出方程，解出.详解：设,因，所以所以所以点睛：本题主要考查相互独立事件的概率的乘法公式及对立事件的概率关系，属于中档题．16.如图，-辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶到处时测得公路北侧一山顶在北偏西的方向上，仰角为，行驶米后到达处，测得此山顶在北偏西的方向上，仰角为，若，则此山的高度________米，仰角的正切值为________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】设山的高度（米），由题可得：,,（米）, ,在中利用正弦定理可得:（米）,（米）, 在中,由可得：（米），在中，可得：，问题得解.【详解】设山的高度（米），由题可得：,,（米）,在中，可得：，利用正弦定理可得：，解得：（米）,（米）在中，由可得：（米）在中，可得：【点睛】本题主要考查了利用正弦定理解三角形，还考查了空间思维能力及识图能力，考查转化能力及计算能力，属于中档题．四､解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17.如图，平行四边形ABCD中，，，，分别是，的中点，为上一点，且．（1）以，为基底表示向量与；（2）若，，与的夹角为，求．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】(1)由题可得：，利用向量的加法法则和减法法则，以及向量的中点表示，即可得到；(2)先求出，再由(1)得到的结论，化简即可得到所求向量的数量积.【详解】（1）∵平行四边形中，，，，是，的中点，，∴，（2）∵，，与的夹角为，∴，∴．【点睛】本题考查了向量的加法，减法法则，考查了向量数量积的运算，属于较易题.18.某中学团委组织了“纪念抗日战争胜利73周年”的知识竞赛，从参加竞赛的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段，，…，后，画出如图所示的部分频率分布直方图.观察图形给出的信息，回答下列问题：（1）求第四组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）估计这次竞赛的及格率（60分及以上为及格）和平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）【答案】（1）0.3 （2）；71【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图中的各组的频率和等于1，求出第四小组的频率，求出纵坐标，补全这个频率分布直方图即可．（2）求出60及以上的分数所在的第三、四、五、六组的频率和；利用组中值估算抽样学生的平均值为各组的中点乘以各组的频率和为平均值．【详解】解：（1）因为各组的频率和等于1，故第四组的频率：，频率分布直方图第四小组的纵坐标是：，则频率分布直方图如下图所示：（2）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为，所以，抽样学生成绩的合格率是，利用组中值估算抽样学生的平均分为：，所以估计这次考试的平均分是71.【点睛】本题考查频率分布直方图、等可能事件的概率等．在频率分布直方图中，数据的平均值等于各组的中点乘以各组的频率之和；频率等于纵坐标乘以组距；属于基础题．19.在校体育运动会中，甲乙丙三支足球队进行单循环赛(即每两队比赛一场)，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局.在每场比赛中，甲胜乙的概率为甲胜丙的概率为乙胜丙的概率为（1）求甲队获第一名且丙队获第二名的概率；（2）求在该次比赛中甲队至少得3分的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）若满足条件只需甲胜乙，甲胜丙，且丙胜乙，写出概率；（2）甲队至少得3分包含甲队恰得3分，和甲队得6分，根据分值判断获胜情况，求得概率.【详解】（1）若甲队获第一名且丙队获第二名，即甲胜乙，甲胜丙，且丙胜乙，即，即甲队获第一名且丙队获第二名的概率是；（2）当甲队恰得3分，即甲队胜了一场，甲胜乙且丙胜甲，或甲胜丙且乙胜甲，当甲恰得6分，即甲队胜了2场，即,那么该次比赛中甲队至少得3分的概率.【点睛】本题考查对立事件同时发生的概率，重点考查读题，抽象概括能力，属于基础题型，本题的关键是正确理解题意.20.已知的内角的对边分别是，且.（1）求；（2）若，的面积为，求的周长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据，由二倍角正弦公式得到，然后由正弦定理求解.（2）根据，利用余弦定理，得到，再根据的面积为，得到，两式联立求解.【详解】（1）由，得，由正弦定理，得，由于，所以.因为，所以.（2）由余弦定理，得，又，所以.①又的面积为，即，即，即.②由①②得，则，得.所以的周长为.【点睛】本题主要考查等正弦定理，余弦定理的应用以及二倍角公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21.如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，,,垂足为，是四棱锥的高．（Ⅰ）证明：平面平面;（Ⅱ）若,60°,求四棱锥的体积．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）因为PH是四棱锥P-ABCD的高．所以AC PH,又AC BD,PH,BD都在平面PHD内,且PHBD=H.所以AC平面PBD.故平面PAC平面PBD.（Ⅱ）因为ABCD为等腰梯形，AB CD,AC BD,AB=.所以HA=HB=.因为APB=ADR=600所以PA=PB=,HD=HC=1.可得PH=.等腰梯形ABCD的面积为S=AC x BD = 2+.所以四棱锥的体积为V=x（2+）x=考点：本题主要考查立体几何中的垂直关系，体积的计算．点评：中档题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算．在计算问题中，有“几何法”和“向量法”．利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用向量则能简化证明过程．本题（I）较为简单，（II）则体现了“一作、二证、三计算”的解题步骤．22.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD平行四边形，△PCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD=2，AD=3.（1）设G，H分别为PB，AC的中点，求证：GH//平面PAD；（2）求证：⊥平面PCD；（3）求直线AD与平面PAC所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【解析】【分析】（1）要证明线面平行，转化为证明线线平行，连结，由题意得，利用中位线证明；（2）要证明线面垂直，根据判断定理可知需垂直于平面内的两条直线，利用面面垂直的性质定理，取棱中点，连结，再证明；（3）连结，由平面，知是直线与平面所成角，由此能求出直线与平面所成角的正弦值．【详解】（1）连结，由题意得，，又由，得，平面，平面，平面．（2）取棱中点，连结，依题意得，又平面平面，平面平面，平面，又平面，，又，，平面．（3）连结，由（2）中平面，知是直线与平面所成角，是等边三角形，，且为中点，，又，在中，．直线与平面所成角的正弦值为．【点睛】本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成角等基础知识，考查空间想象能力和运算求解能力，属于中档题型.2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i为虚数单位，复数z满足，则复数z的共轭复数等于（）A. 1-iB. -1-iC. 1+iD. -1+i【答案】B【解析】【分析】利用复数的运算法则解得，结合共轭复数的概念即可得结果.【详解】∵复数满足，∴，∴复数的共轭复数等于，故选B.【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上（包括50岁）的人，用分层抽样的方法从中抽取20人，各年龄段分别抽取的人数为（）A. 7，5，8B. 9，5，6C. 7，5，9D. 8，5，7【答案】B【解析】【分析】分层抽样按比例分配,即可求出各年龄段分别抽取的人数.【详解】由于样本容量与总体中的个体数的比值为，故各年龄段抽取的人数依次为，，.故选B【点睛】本题考查分层抽样方法,关键要理解分层抽样的原则,属于基础题.3.已知平面向量,是非零向量,||=2,⊥(+2),则向量在向量方向上的投影为( )A. 1B. -1C. 2D. -2【答案】B【解析】【分析】先根据向量垂直得到(+2),=0，化简得到=﹣2，再根据投影的定义即可求出．【详解】∵平面向量,是非零向量,||=2,⊥(+2),∴(+2),=0，即即=﹣2∴向量在向量方向上的投影为=﹣1，故选B．【点睛】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．4.如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且PA＝AC，则二面角P－BC－A的大小为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC又PA∩AC＝C，∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA为二面角P－BC－A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°，故选C．点睛：二面角的寻找主要利用线面垂直，根据二面角定义得二面角的棱垂直于二面角的平面角所在平面.5.在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正方体中，，将问题转化为求共面直线与所成角的正切值，在中进行计算即可.【详解】在正方体中，，所以异面直线与所成角为，设正方体边长为，则由为棱的中点，可得，所以，则故选C.【点睛】求异面直线所成角主要有以下两种方法：（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角；（2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.6.设中边上的中线为，点满足，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】作出图形，利用、表示，然后利用平面向量减法的三角形法则可得出可得出结果.【详解】如下图所示：为的中点，则，，，，故选：A.【点睛】本题考查利用基底表示向量，考查了平面向量减法和加法三角形法则的应用，考查计算能力，属于中等题.7.已知向量，是不平行于轴的单位向量，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设，根据题意列出关于、方程组，求出这两个未知数的值，即可得出向量的坐标.【详解】设，其中，则.由题意得，解得，即.故选：B.【点睛】本题考查向量坐标的求解，根据向量数量积和模建立方程组是解题的关键，考查方程思想的应用以及运算求解能力，属于基础题.8.已知两直线m､n，两平面α､β，且m⊥α，nβ.下面有命题中正确的个数是（）①若α//β，则有m⊥n；②若m⊥n，则有α//β；③若m//n，则有α⊥β；④若α⊥β，则有m//n.A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】①由条件可知，再判断结论；②由条件判断是否成立；③由条件可知，再判断结论；④根据面面垂直的性质定理判断.【详解】①若，，则，，则，所以①正确；②若，，不能推出，所以不能推出，所以②不正确；③若，，则，又有，所以，所以③正确；④若，，则或，当，不能推出，所以④不正确.故选：C【点睛】本题考查点，线，面位置关系的判断，重点考查想象，推理能力，属于基础题型.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求.9.下列各式中结果为零向量的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】根据向量加法和减法逐一判断选项，得到正确答案.【详解】A.，所有A正确；B.，不正确；C.，不是零向量；D.，所有D正确.故选：AD【点睛】本题考查向量加减法，属于基础题型.10.（多选题）已知集合，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】根据题意，中，时，；时，；时，；时，，.选项A中，；选项B中，；选项C中，；选项D中，.故选：BC.【点睛】此题考查复数的基本运算，涉及复数的乘方和乘法除法运算，准确计算才能得解. 11.已知锐角，内角、、的对边分别为，，，若，，则边的可能取值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】CD【解析】【分析】由于三角形的正弦定理和正弦函数的值域可得的范围，讨论，结合条件可得所求结论.【详解】在中，，，由可得，由于可得，即有若，则，即，为等边三角形成立；若可得，且，即即为，即有成立.故选：【点睛】本题考查正弦定理与三角函数有界性，考查计算能力，属于中等题型.12.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，下列结论正确的是（）A. AC⊥BDB. △ACD是等边三角形C. AB与平面BCD成角D. AB与CD所成的角是60°【答案】ABD【解析】【分析】度，判断是否是等边三角形；根据线面角的定义判断C；由异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，取的中点，连结，转化为求或其补角.【详解】A.取的中点，连结,由条件可知，又，所有平面，平面，所有,所以A正确；B.设正方形边长为2，则，且，所有，所以是等边三角形，所以B正确；C.由条件可知平面，所以与平面所成的角为，所以C不正确；D.取的中点，连结，则，则所成的角是或其补角，由以上说明可知，,所以是等边三角形，所以，故AB与CD所成的角是60°，所以D正确.综上可知：ABD正确.故选：ABD【点睛】本题考查线线，线面位置关系，和线面，异面直线所成的角，重点考查推理能力，空三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次是[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100)，则60分为成绩的第__________百分位数.【答案】30【解析】【分析】首先求前两组的频率，根据百分位数的定义直接求结果.【详解】由条件可知前两组的频率是则60分为成绩的第30百分位数.故答案为：30【点睛】本题考查频率分布直方图，重点考查基本概念，属于基础题型.14.已知向量，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】由与的夹角为锐角，则，列出不等式解出，要去掉使与同向（与的夹角为0）的的取值.【详解】∵与的夹角为锐角∴，即，解得，当时，与同向，∴实数的取值范围是故答案为：.【点睛】本题考查的知识点是向量数量积的性质及运算律，将夹角转化为数量积与0的关系是解题的关键，属于中档题.15.事件为独立事件，若，则_____．【答案】【解析】【详解】分析：根据独立事件的关系列出方程，解出.详解：设,因，所以所以所以点睛：本题主要考查相互独立事件的概率的乘法公式及对立事件的概率关系，属于中档题．16.如图，-辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶到处时测得公路北侧一山顶在北偏西的方向上，仰角为，行驶米后到达处，测得此山顶在北偏西的方向上，仰角为，若，则此山的高度________米，仰角的正切值为________.【答案】 (1). (2).【分析】设山的高度（米），由题可得：,,（米）, ,在中利用正弦定理可得:（米）,（米）, 在中,由可得：（米），在中，可得：，问题得解.【详解】设山的高度（米），由题可得：,,（米）,在中，可得：，利用正弦定理可得：，解得：（米）,（米）在中，由可得：（米）在中，可得：【点睛】本题主要考查了利用正弦定理解三角形，还考查了空间思维能力及识图能力，考查转化能力及计算能力，属于中档题．四､解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17.如图，平行四边形ABCD中，，，，分别是，的中点，为上一点，且．（1）以，为基底表示向量与；（2）若，，与的夹角为，求．【答案】（1），；（2）【解析】(1)由题可得：，利用向量的加法法则和减法法则，以及向量的中点表示，即可得到；(2)先求出，再由(1)得到的结论，化简即可得到所求向量的数量积.【详解】（1）∵平行四边形中，，，，是，的中点，，∴，（2）∵，，与的夹角为，∴，∴．【点睛】本题考查了向量的加法，减法法则，考查了向量数量积的运算，属于较易题.18.某中学团委组织了“纪念抗日战争胜利73周年”的知识竞赛，从参加竞赛的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段，，…，后，画出如图所示的部分频率分布直方图.观察图形给出的信息，回答下列问题：（1）求第四组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）估计这次竞赛的及格率（60分及以上为及格）和平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）【答案】（1）0.3 （2）；71【分析】（1）利用频率分布直方图中的各组的频率和等于1，求出第四小组的频率，求出纵坐标，补全这个频率分布直方图即可．（2）求出60及以上的分数所在的第三、四、五、六组的频率和；利用组中值估算抽样学生的平均值为各组的中点乘以各组的频率和为平均值．【详解】解：（1）因为各组的频率和等于1，故第四组的频率：，频率分布直方图第四小组的纵坐标是：，则频率分布直方图如下图所示：（2）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为，所以，抽样学生成绩的合格率是，利用组中值估算抽样学生的平均分为：，所以估计这次考试的平均分是71.【点睛】本题考查频率分布直方图、等可能事件的概率等．在频率分布直方图中，数据的平均值等于各组的中点乘以各组的频率之和；频率等于纵坐标乘以组距；属于基础题．19.在校体育运动会中，甲乙丙三支足球队进行单循环赛(即每两队比赛一场)，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局.在每场比赛中，甲胜乙的概率为甲胜丙的概率为乙胜丙的概率为。
上海控江初级中学数学高一下期中测试卷(含解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：12427]已知三棱锥A BCD -中，5AB CD ==，2==AC BD ，3AD BC ==，若该三棱锥的四个顶点在同一个球面上，则此球的体积为（ ）A ．32π B ．24πC ．6πD ．6π2．(0分)[ID ：12422]已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线0l ：220x y --=的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为（ ） A ．4330x y --= B ．3430x y --= C ．3440x y --=D ．4340x y --=3．(0分)[ID ：12379]已知点(),P x y 是直线()400kx y k ++=>上一动点，,PA PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线，切点分别为,A B ，若四边形PACB 的面积最小值为2，则k 的值为（ ）A ．3B ．212C ．22D ．24．(0分)[ID ：12374]如图是某四面体ABCD 水平放置时的三视图（图中网格纸的小正方形的边长为1，则四面体ABCD 外接球的表面积为A ．20πB ．1256π C ．25π D ．100π5．(0分)[ID ：12357]如图是水平放置的平面图形的斜二测直观图，其原来平面图形面积是（ ）A ． 22B ． 42C ．4D ．86．(0分)[ID ：12349]已知三棱锥S ABC -的每个顶点都在球O 的表面上，ABC ∆是边长为43的等边三角形，SA ⊥平面ABC ，且SB 与平面ABC 所成的角为6π，则球O 的表面积为（ ） A ．20π B ．40πC ．80πD ．160π7．(0分)[ID ：12345]若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积等于（ ）A ．310cmB ．320cmC ．330cmD ．340cm8．(0分)[ID ：12341]正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ） A ．814πB ．16πC ．9πD ．274π9．(0分)[ID ：12395]正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AD ，DD 1的中点，AB ＝4，则过B ，E ，F 的平面截该正方体所得的截面周长为（ ） A ．25B ．25C ．25D ．2510．(0分)[ID ：12392]设有两条直线m ，n 和三个平面α，β，γ，给出下面四个命题：①m αβ=，////n m n α⇒，//n β ②αβ⊥，m β⊥，//m m αα⊄⇒；③//αβ，//m m αβ⊂⇒； ④αβ⊥，//αγβγ⊥⇒ 其中正确命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．(0分)[ID ：12389]在长方体1111ABCD A B C D -中，11111,2AA A D a A B a ===，点P 在线段1AD 上运动，当异面直线CP 与1BA 所成的角最大时，则三棱锥11C PA D -的体积为（ ）A ．34aB ．33aC ．32aD ．3a 3a12．(0分)[ID ：12369]某锥体的三视图如图所示（单位：cm ），则该锥体的体积（单位：cm 3）是（ ）A ．13B ．12C ．16D ．113．(0分)[ID ：12403]如图在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点O 为线段BD 的中点. 设点P 在线段CC 1上，直线OP 与平面A 1BD 所成的角为α，则sinα的取值范围是( )A ．[√33,1]B ．[√63,1]C ．[√63,2√23]D ．[2√23,1]14．(0分)[ID ：12406]圆心在x +y =0上，且与x 轴交于点A （-3，0）和B （1，0）的圆的方程为（ ） A ．22(1)(1)5x y ++-= B ．22(1)(1)5x y -++= C ．22(1)(1)5x y -++=D ．22(1)(1)5x y ++-=15．(0分)[ID ：12362]如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中： ①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 是异面直线 ③CN 与BM 成60︒角 ④DM 与BN 是异面直线 以上四个命题中，正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题16．(0分)[ID ：12475]如图，在正方体1111—ABCD A B C D 中，M N ，分别为棱111C D C C ，的中点，有以下四个结论：①直线AM 与1CC 是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与1MB 是异面直线； ④直线AM 与1DD 是异面直线． 其中正确的结论的序号为________．17．(0分)[ID ：12461]如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 为B 1C 1中点，连接A 1B ，D 1M ，则异面直线A 1B 和D 1M 所成角的余弦值为________________________．18．(0分)[ID ：12457]点(5,2)到直线()1(21)5m x m y m -+-=-的距离的最大值为________.19．(0分)[ID ：12528]《九章算术》中，将底面为长方形且由一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，2,4PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为__________.20．(0分)[ID ：12527]如图，在圆柱O 1 O 2 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1 O 2 的体积为V 1 ,球O 的体积为V 2 ，则12V V 的值是_____21．(0分)[ID ：12522]在三棱锥P ABC -中,PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，3AB =，4BC =，5PA =，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为__________22．(0分)[ID ：12464]如图，在△ABC 中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD=DA ，PB=BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是 .23．(0分)[ID ：12498]函数2291041y x x x =++-+的最小值为_________. 24．(0分)[ID ：12472]已知棱台的上下底面面积分别为4,16，高为3,则该棱台的体积为________.25．(0分)[ID ：12468]如图：点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，则下列四个命题：①三棱锥1A D PC -的体积不变； ②1A P ∥面1ACD ；③1DP BC ；④面1PDB 面1ACD ．其中正确的命题的序号是__________.三、解答题26．(0分)[ID ：12587]如图，在棱长均为4的三棱柱111ABC A B C -中，1,D D 分别是BC 和11B C 的中点.（1）求证：11//A D 平面1AB D（2）若平面ABC ⊥平面111,60BCC B B BC ∠=︒，求三棱锥1B ABC -的体积.27．(0分)[ID ：12557]如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，ABE ∆是等腰直角三角形，AB AE =，FA FE =，45AEF ∠=︒．（1）设线段CD AE 、的中点分别为P M 、，求证：//PM 平面BCE ； （2）求二面角F BD A --所成角的正弦值．28．(0分)[ID ：12549]已知点(3,4),(9,0)A B -，,C D 分别为线段,OA OB 上的动点，且满足AC BD =（1）若4,AC =求直线CD 的方程；（2）证明：OCD ∆的外接圆恒过定点（异于原点）．29．(0分)[ID ：12609]在平面直角坐标系xOy 中，已知两直线1:330l x y --=和2:10l x y ++=，定点(1,2)A .（1）若1l 与2l 相交于点P ，求直线AP 的方程；（2）若1l 恰好是△ABC 的角平分线BD 所在的直线，2l 是中线CM 所在的直线，求△ABC 的边BC 所在直线的方程.30．(0分)[ID ：12537]如图，四棱锥P ABCD -中，AP ⊥平面1,//,,,2PCD AD BC AB BC AD E F ==分别为线段,AD PC 的中点.（1）求证：//AP 平面BEF ； （2）求证：平面BEF ⊥平面PAC【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1．C2．D3．D4．C5．C6．C7．B8．A9．A10．B11．B12．A13．B14．A15．B二、填空题16．③④【解析】【分析】【详解】试题分析：因为四边不共面所以直线与是异面直线所以①错误的；同理直线与也是异面直线直线与是异面直线直线与是异面直线所以②是错误的；③是正确的④是正确的故填③④考点：空间中直17．【解析】【分析】连接取的中点连接可知且是以为腰的等腰三角形然后利用锐角三角函数可求出的值作为所求的答案【详解】如下图所示：连接取的中点连接在正方体中则四边形为平行四边形所以则异面直线和所成的角为或其18．【解析】【分析】先判断过定点可得点到直线的距离的最大值就是点与点的距离从而可得结果【详解】化简可得由所以过定点点到直线的距离的最大值就是点与点的距离为故答案为【点睛】本题主要考查直线过定点问题以及两19．【解析】【分析】由题意得该四面体的四个面都为直角三角形且平面可得因为为直角三角形可得所以因此结合几何关系可求得外接球的半径代入公式即可求球的表面积【详解】本题主要考查空间几何体由题意得该四面体的四个20．【解析】设球半径为则故答案为点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体锥体或台体则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出则常21．【解析】【分析】以为长宽高构建长方体则长方体的外接球是三棱锥的外接球由此能求出三棱锥的外接球的表面积【详解】由题意在三棱锥中平面以为长宽高构建长方体则长方体的外接球是三棱锥的外接球所以三棱锥的外接球22．【解析】中因为所以由余弦定理可得所以设则在中由余弦定理可得故在中由余弦定理可得所以过作直线的垂线垂足为设则即解得而的面积设与平面所成角为则点到平面的距离故四面体的体积设因为所以则（1）当时有故此时因23．【解析】【分析】将变形为设则即轴上的一动点到的距离之和作点关于轴的对称点即可求出距离和的最小值；【详解】解：设则即轴上的一动点到的距离之和作点关于轴的对称点连接则即为距离和的最小值故答案为：【点睛】24．28【解析】【分析】由题意结合棱台的体积公式求解棱台的体积即可【详解】由棱台的体积公式可得棱台的体积：故答案为：28【点睛】本题主要考查棱台的体积公式及其应用意在考查学生的转化能力和计算求解能力25．①②④【解析】对于①因为从而平面故上任意一点到平面的距离均相等以为顶点平面为底面则三棱锥的体积不变正确；对于②连接容易证明且相等由于①知：平面平面所以可得面②正确；对于③由于平面若则平面则为中点与动三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】作出三棱锥A BCD -的外接长方体AEBF GDHC -，计算出该长方体的体对角线长，即可得出其外接球的半径，然后利用球体体积公式可计算出外接球的体积. 【详解】作出三棱锥A BCD -的外接长方体AEBF GDHC -，如下图所示：设DG x =，DH y =，DE z =，则2223AD x z =+=，2224DB y z =+=，2225DC x y =+=， 上述三个等式相加得()222222234512AD BD CD x y z++=++=++=，2226x y z ++=6R =， 因此，此球的体积为346632ππ⎛⨯= ⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查三棱锥外接球体积的计算，将三棱锥补成长方体，利用长方体的体对角线作为外接球的直径是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.2．D解析：D 【解析】设直线0l 的倾斜角为α，则斜率01tan 2k α==，所以直线l 的倾斜角为2α，斜率22tan 4tan 21tan 3k ααα===-，又经过点（1,0），所以直线方程为4(1)3y x =-，即4340x y --=，选D.3．D解析：D 【解析】 【分析】当且仅当PC 垂直于()400kx y k ++=>时，四边形PACB 的面积最小，求出PC 后可得最小面积，从而可求k 的值. 【详解】圆C 方程为()2211x y +-=，圆心()0,1C ，半径为1．因为PA ，PB 为切线，221PC PA ∴=+且1=2122PACB S PA PA ⨯⨯⨯==四边形．∴当PA 最小时，PACB S 四边形最小，此时PC 最小且PC 垂直于()400kx y k ++=>．又min PC =，2222+1⎛⎫∴=，2k ∴=，故选D. 【点睛】圆中的最值问题，往往可以转化圆心到几何对象的距离的最值来处理，这类问题属于中档题.4．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】由三视图可知，这是三棱锥的三视图，如下图所示，三角形BCD 为等腰直角三角形， 其外心为BD 中点1O ，设O 为AD 中点， 则O 为外接球球心，半径长度为1522AD =， 所以表面积为25π.5．C解析：C 【解析】分析：由三视图还原实物图,再根据三角形面积公式求解.详解：在斜二测直观图中OB=2,OA=2, 所以在平面图形中OB=2,OA=4， OA ⊥OB ， 所以面积为12442S =⨯⨯=. 选C.点睛： 1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图． 2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．6．C解析：C 【解析】 【分析】根据线面夹角得到4SA =，计算ABC ∆的外接圆半径为42sin ar A==，2222SA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得答案.【详解】SA ⊥平面ABC ，则SB 与平面ABC 所成的角为6SBA π∠=，故4SA =. ABC ∆的外接圆半径为42sin ar A==，设球O 的半径为R ， 则2222SA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得5R =O 的表面积为2480R ππ=. 故选：C .本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.7．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：. 由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图：棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4， ∴几何体的体积V ＝×3×4×5﹣××3×4×5＝20（cm 3）． 考点：1.三视图读图的能力；2.几何体的体积公式.8．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】正四棱锥P-ABCD 的外接球的球心在它的高1PO 上， 记为O ，PO=AO=R ，14PO =，1OO =4-R ， 在Rt △1AOO 中，12AO =，由勾股定理()2224R R =+-得94R =， ∴球的表面积814S π=，故选A.考点：球的体积和表面积9．A【解析】 【分析】利用线面平行的判定与性质证明直线1BC 为过直线EF 且过点B 的平面与平面11BCC B 的交线,从而证得1,,,B E F C 四点共面,然后在正方体中求等腰梯形1BEFC 的周长即可. 【详解】 作图如下:因为,E F 是棱1,AD DD 的中点, 所以11////EF AD BC ,因为EF ⊄平面11BCC B ,1BC ⊂平面11BCC B , 所以//EF 平面11BCC B ， 由线面平行的性质定理知,过直线EF 且过点B 的平面与平面11BCC B 的交线l 平行于直线EF , 结合图形知,l 即为直线1BC ,过B ，E ，F 的平面截该正方体所得的截面即为等腰梯形1BEFC , 因为正方体的棱长AB ＝4,所以1122,25,42EF BE C F BC ==== 所以所求截面的周长为2+5 故选:A 【点睛】本题主要考查多面体的截面问题和线面平行的判定定理和性质定理；重点考查学生的空间想象能力;属于中档题.10．B解析：B 【解析】 【分析】根据直线与平面、平面与平面的位置关系的性质和定理，逐项判断，即可得到本题答案. 【详解】对于选项①，,//m n m αβ⋂=不能得出,////n n αβ，因为n 可能在α或β内，故①错误；对于选项②，由于,,m m αββα⊥⊥⊄，则根据直线与平面平行的判定，可得//m α，故②正确；对于选项③，由于//αβ，m α⊂，则根据面面平行的性质定理可得//m β，故③正确； 对于选项④，由于,αβαγ⊥⊥，则,βγ可能平行也可能相交，故④错误. 故选：B 【点睛】本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系的性质和定理，考查学生的空间想象能力和推理判断能力.11．B解析：B 【解析】 【分析】当P 与A 重合时，异面直线CP 与BA 1所成的角最大，由此能求出当异面直线CP 与BA 1所成的角最大时，三棱锥C ﹣PA 1D 1的体积． 【详解】如图，当P 与A 重合时，异面直线CP 与BA 1所成的角最大， ∴当异面直线CP 与BA 1所成的角最大时， 三棱锥C ﹣PA 1D 1的体积：11C PA D V -=11C AA D V -=1113AA D SAB ⨯⨯=1111132AA A D AB ⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=11232a a a ⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=33a ． 故选:B ． 【点睛】求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. ①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．12．A解析：A【解析】【分析】根据三视图知该几何体对应的三棱锥，结合图中数据求得三棱锥的体积．【详解】由题意可知三棱锥的直观图如图：三棱锥的体积为：111211323⨯⨯⨯⨯=．故选：A．【点睛】本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，考查了空间想象能力，是基础题．13．B解析：B【解析】【分析】【详解】设正方体的棱长为1，则A1C1=√2,A1C=√3,A1O=OC1=√1+12=√32,OC=√12，所以cos∠A1OC1=32+32−22×32=13,sin∠A1OC1=2√23，cos∠A1OC=32+12−32×√32=−√33,sin∠A1OC=√63.又直线与平面所成的角小于等于90∘，而∠A1OC为钝角，所以sinα的范围为[√63,1]，选B.【考点定位】空间直线与平面所成的角.14．A解析：A【解析】【分析】由题意得：圆心在直线x=-1上，又圆心在直线x+y=0上，故圆心M的坐标为（-1，1），再由点点距得到半径。
上海控江中学高一下学期数学期中试卷及答案
控江中学高一期中数学试卷2022.04一. 填空题1.若扇形的圆心角为23π，半径为2，则此扇形的面积为 2.函数22()sin cos f x x x =-的最小正周期为3.已知3cos 5α=且tan 0α<，则cos()2πα-=4.已知1sin cos 3αα-=，则sin 2α=5.函数3()sin()2f x x π=+的奇偶性为函数. (填“奇”、“偶”或“非奇非偶”) 6.已知tan()2αβ-=-，tan(34πβ+=，则tan()4πα+=7.在△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边. 已知a =4，b =2，C =60°，则△ABC 外接圆的半径是8.若[,]42ππθ∈，sin 2θ=sin θ= 9.若函数()2sin()f x x α=+的图像关于直线6x π=对称，则α的一个可能的值为10.己知P 是边长为1的正六边形ABCDEF 的边上的任意一点，则AP AB ⋅的取值范围是11.函数2sin 2cos y x x =+的定义域为2[,]3πα-，值域为1[,2]4-，则α的取值范围是12.若k 是正整数，且12022k ≤≤，则满足方程sin1sin 2sin sin1sin 2sin k k ︒︒︒︒︒︒++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅的k 有个二.选择题13.将函数sin y x =的图像上每点的横坐标缩小为原来的12(纵坐标不变)，再把所得图像 向左平移6π个单位，得到的函数解析式为（）A.sin(2)6y x π=+B.sin(23y x π=+C.sin()26x y π=+D.sin()212x y π=+14.函数2sin()14y x π=+-在下列哪个区间上是严格增函数（）A.[,22ππ-B. 3[,]44ππ-C. [,0]π-D.3[,]44ππ-15.△ABC 中，平面内一点P 满足PA PB PC AB ++=，则点P 与△ABC 的关系为（）A.P 在△ABC 内部B.P 在△ABC 外部C.P 在AB 边所在的直线上D.P 是AC 边的一个三等分点16.已知sin sin sin()αβαβ+=+，有以下两个结论：①存在α在第一象限，β在第二象限；② 存在α在第一象限，β在第四象限. 则（）A.①②均正确B.①②均错误C.①错②对D.①对②错三.解答题17.已知tan 2α=.（1）求tan(4πα+的值；（2）求2sin 2sin cos21ααα-+的值.18.已知a 、b 的夹角为60°，且||1a = ，||2b = ，设3m a b =-，2n ta b =+ .（1）若m n ⊥ ，求实数t 的值；（2）当2t =时，求m 与n的夹角.19.如图，某城市有一矩形街心广场ABCD ，其中AB =4百米，BC =3百米. 现将挖掘一个三角形水池DMN 种植荷花，其中M 点在BC 边上，N 点在AB 边上，要求∠MDN =4π.（1）若AN =CM =2百米，判断△DMN 是否符合要求，并说明理由；（2）设∠CDM =θ，求△DMN 的面积S 关于θ的函数关系式，并求出S 的最小值.20.已知函数()y f x =，x ∈R 是周期为π的周期函数，当[,)22x ππ∈-时，()sin 2xf x =. （1）求365()3f π的值；（2）当5[,)22x ππ∈--时，求()f x 的表达式；（3）设()()2|()|g x f x f x =+，求方程1()2g x =的解集. 21.对于函数()f x （x D ∈），若存在正常数T ，使得对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +≥成立，我们称函数()f x 为“T 同比不减函数”.（1）判断函数2()f x x =是否为“T 同比不减函数”？并说明理由；（2）若函数()sin f x kx x =+是“2π同比不减函数”，求k 的取值范围；（3）是否存在正常数T ，使得函数()|1||1|f x x x x =+--+为“T 同比不减函数”，若存在，求T 的取值范围，若不存在，请说明理由.参考答案一. 填空题 1.43π 2.π 3.45- 4.895.偶6.177.28.349.3π10.13[,]22-11.2[0,3π12.11二.选择题13.B 14.B15.D16.C三.解答题17.（1）3-；（2）1218.（1）1-；（2）1arccos 719.（1）不符合；（2）cos cos()4S θθ=-，最小值为12-20.（1）12-；（2）当53[,22x ππ∈--时，()sin 2x f x =-，当3[,22x ππ∈--，()cos 2xf x =；（3）{|23x x k ππ=-或122arcsin ,}6x k k π=+∈Z21【解析】（1）任取正常数T ，存在0x T =-，所以00x T +=，（2分） 因为200()()(0)()f x f T T f f x T =-=>=+，即()()f x f x T ≤+不恒成立 所以2()f x x =不是“T 同比不减函数” （4分） （2）因为函数()sin f x kx x =+是“2π同比不减函数”所以()()2f x f x π+≥恒成立，即()sin()sin 22k x x kx x ππ+++≥+恒成立（6分）)2(sin cos )4x x x k πππ--≥=对一切x ∈R 成立 （8分）所以max)4(x k ππ-≥=（10分）（3）设函数()|1||1|f x x x x =+--+是“T 同比不减函数” ， 2 (1)() (11)2 (1)x x f x x x x x -≥⎧⎪=--<<⎨⎪+≤-⎩当1x =-时，因为(1)(1)1(3)f T f f -+≥-==成立， 所以13T -+≥，所以4T ≥，而另一方面，若4T ≥， （Ⅰ）当(1]x ∈-∞-,时，()()|1||1|(2)f x T f x x T x T x T x +-=+++--++-+|1||1|2T x T x T =++--++-因为 |1||1| |(1)(1)|2x T x T x T x T +--++≥-+--++=-所以 ()()220f x T f x T +-≥--≥，所以有()()f x T f x +≥成立（15分） （Ⅱ）当[1)x ∈-+∞,时，()()2(|1||1|)f x T f x x T x x x +-=+--+--+2|1|+|1|T x x =---+因为 |1||1| |(1)(1)|2x x x x +--≥-+--=-所以 ()()220f x T f x T +-≥--≥，即 ()()f x T f x +≥成立 （17分） 综上，恒有有()()f x T f x +≥成立所以T 的取值范围是[4)+∞, （18分）。
2019-2020学年上海中学高一下学期期中数学试卷(有解析)
2019-2020学年上海中学高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共6小题，共18.0分）1.若sin(π+α)=√53且α∈(−π2,0)，则cos(π−α)=()A. −23B. −√53C. 23D. ±232.若sinαsinβ=1，则cos(α+β)=()A. 1B. −1C. 0D. 0或−13.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式是()A. f(x)=2sin(2x+π3)B. f(x)=2sin(x+π3)C. f(x)=2sin(2x+π6)D. f(x)=2sin(x+π6)4.函数f(x)=cos(π6−x)的单调递减区间是()A. [2kπ+π6,2kπ+7π6]，k∈Z B. [2kπ−5π6,2kπ+π6]，k∈ZC. [2kπ+7π6,2kπ+13π6]，k∈Z D. [2kπ,2kπ+π]，k∈Z5.求满足2x(2sinx−√3)≥0，x∈(0,2π)的角α的集合()A. (0,π3) B. [π3,2π3] C. [π3,π2] D. [π2,2π3]6.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且ctanC=√3acosB+√3bcosA，若c=√7,a=2，则b的值为()A. 3B. 1C. 2D. √2二、单空题（本大题共10小题，共30.0分）7.点P是角α的终边上的一点，且P(3,−4)，则sinα−cosα=______ ．8.函数y=3sin(π2x+3)的最小正周期为________。
9.在单位圆中，面积等于1的扇形所对的圆心角的弧度数为____．10.已知(x0,0)是函数f(x)=3sin(x+π6)图象的一个对称中心，则tan(5π+x0)=．11.已知α，β∈(0,π2)，sin(α−β)=35，cosβ=1213，则sinα=______．12.已知，则的值为_________．13.若，则的值为__________．14.在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若b2+c2=4a2，则cos A的最小值为______．15.函数y=2sin(3x+π3)在区间[−π6,π3]上的最小值为__________．16.函数y=x+5x−a在(−1,+∞)上是单调递减函数，则实数a的取值范围是____．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知α为第三象限角，f(α)=sin(α−π2)cos(3π2+α)tan(π−α)tan(−α−π)sin(−α−π)．(1)化简f(α)；(2)若f(α)=45，求tanα18.设函数的最小正周期为．(1)若f(α2+3π8)=2425，且α∈(−π2,π2)，求tanα的值．(2)“五点法”画出函数y=f(x)在区间[0,π]上的简图．(3)y=f(x)的图象经过怎样的图象变换，可以得到y=sinx的图象．y=f(x)→ _____________ →y=sinx19.已知sinα=23，α∈(π2,π)，cosβ=−35，β∈(π,3π2)，求sin(α+β)的值．20.如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米后到达点B，又从点B 测得斜度为45°，建筑物的高CD为50米．求此山对于地平面的倾斜角θ的余弦值．21.已知函数f(x)=2√3sin(x+π4)cos(x+π4)+sin2x+a的最大值为1．(1)求实数a的值;(2)若将f(x)的图象向左平移π6个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0,π2]上的最小值．【答案与解析】1.答案：A解析：解：∵sin(π+α)=√53，∴sinα=−√53，且α∈(−π2,0)，∴cosα=√1−sin 2α=23，则cos(π−α)=−cosα=−23． 故选：A ．已知等式利用诱导公式化简求出sinα的值，根据α的范围，利用同角三角函数间基本关系求出cosα的值，所求式子利用诱导公式化简后将cosα的值代入计算即可求出值． 此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．2.答案：B解析：解：由sinαsinβ=1，得cosαcosβ=0， ∴cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=−1． 故选：B ．由sinαsinβ=1，得cosαcosβ=0，利用两角和的余弦函数公式可得答案． 本题考查两角和与差的余弦公式，考查学生的运算能力，属基础题．3.答案：B解析：本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，属于基础题．由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由f (76π)=−2结合0<φ<π2求出φ的值． 解：由函数过点(2π3,0)，(7π6,−2) 可得A =2，14T =π2ω=7π6−2π3=π2则ω=1，即f (x )=2sin (x +φ)，又f(76π)=−2，即sin(76π+φ)=−1，所以76π+φ=32π+2kπ(k∈Z)，又0<φ<π2，所以φ=π3，所以函数f(x)=2sin(x+π3)．故选B．4.答案：A解析：本题考查了余弦函数的单调性，属于基础题．先根据余弦函数的单调性判断出单调递减时x−π6的范围，进而求得x的范围，求得函数的单调递减区间．解：对于函数，∵y=cosx的单调减区间为[2kπ,2kπ+π]，k∈Z，∴2kπ≤x−π6≤2kπ+π，k∈Z，解得2kπ+π6≤x≤2kπ+7π6，k∈Z，故函数f(x)的单调减区间为[2kπ+π6,2kπ+7π6]，k∈Z故选A．5.答案：B解析：解：∵满足2x(2sinx−√3)≥0，2x>0．∴sinx≥√32，∵x∈(0,2π)，∴π3≤x≤2π3，故选：B．满足2x(2sinx−√3)≥0，化为sinx≥√32，由于x∈(0,2π)，利用正弦函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数的单调性、正弦函数的单调性，属于基础题．6.答案：A解析：本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sinCtanC =√3sinC ，结合sinC ≠0，可求得tanC =√3，结合范围C ∈(0,π)，可求C ，进而根据余弦定理b 2−2b −3=0，解方程可求b 的值． 解：∵ctanC =√3acosB +√3bcosA ，∴由正弦定理可得：sinCtanC =√3(sinAcosB +sinBcosA)=√3sin(A +B)=√3sinC ， ∵sinC ≠0， ∴可得tanC =√3， ∵C ∈(0,π)， ∴C =π3， ∵c =√7，a =2，∴由余弦定理c 2=a 2+b 2−2abcosC ，可得7=4+b 2−2×2×b ×12，可得b 2−2b −3=0， ∴解得b =3，或b =−1(负值舍去)． 故选A ．7.答案：−73解析：解：∵|OP|=√32+(−4)2=5， ∴sinα=−45，cosα=35． ∴sinα−cosα=−45−35=−75．故答案为：−75．利用三角函数的定义即可得出．本题考查了三角函数的定义，属于基础题．8.答案：4解析：本题考查三角函数的周期公式．依题意，最小正周期为2ππ2=4，即可得到结果．解：因为y=3sin(π2x+3)，所以最小正周期为2ππ2=4，故答案为4．9.答案：2解析：本题考查了扇形的面积公式应用问题，根据扇形的面积公式，计算该扇形的圆心角弧度数即可，是基础题．解：由题意可知扇形的半径为r=1，面积为S=1，则S=12α⋅r2=12α=1，α=2，∴该扇形的圆心角α的弧度数是2．故答案为2．10.答案：−√33解析：本题主要考查正弦函数的图像及性质和正切的诱导公式及周期，属于基础题．首先根据正弦函数的图像和性质求出x0，然后利用诱导公式求正切即可．解：因为(x0,0)是函数f(x)=3sin(x+π6)图象的一个对称中心，所以x0+π6=kπ(k∈Z)，即x0=kπ−π6(k∈Z)，所以tan(5π+x0)=tanx0=tan(kπ−π6)=−tanπ6=−√33．11.答案：5665解析：解：α，β∈(0,π2)，sin(α−β)=35，cosβ=1213，可得cos(α−β)=√1−sin2(α−β)=45，sinβ=√1−cos2β=513，sinα=sin(α−β+β)=sin(α−β)cosβ+cos(α−β)sinα=35×1213+45×513=5665．故答案为：5665．利用同角三角函数基本关系式以及两角和与差的正弦函数化简求解即可．本题考查同角三角函数基本关系式以及两角和与差的三角函数，考查计算能力．12.答案：78解析：题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．由诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求，结合已知即可计算求值．解：，，∴sin2x=cos(π2−2x)=1−2sin2(π4−x)=78．故答案为78.13.答案：解析：，则14.答案：34解析：本题考查了余弦定理和基本不等式的应用问题，是基础题．利用余弦定理和基本不等式，即可求得cos A的最小值．解：△ABC中，b2+c2=4a2，则a2=14(b2+c2)，由余弦定理得，cosA=b2+c2−a22bc=b2+c2−14(b2+c2)2bc=3(b2+c2)8bc ≥3×2bc8bc=34，当且仅当b=c时取等号，∴cosA的最小值为34．故答案为：34．15.答案：−√3解析：因为x∈[−π6,π3]，所以3x+π3∈[−π6,4π3]，所以当3x+π3=4π3时，函数y=2sin(3x+π3)有最小值−√3...16.答案：(−5,−1]解析：本题以分式函数为例，考查了函数的单调性的判断与证明，属于基础题.题中的分式函数与反比例函数有关，因此用反比例函数的图象研究比较恰当．根据题意，将题中的函数分离常数，变形为y=1+a+5x−a ，进而研究反比例函数y=a+5x在区间(0,+∞)上是一个单调减的函数，从而得出实数a的取值范围．解：函数y=x+5x−a =1+a+5x−a函数的图象可由函数y=a+5x的图象先向右平移a个单位，再向上平移1个单位而得，∵函数在(−1,+∞)上单调递减，∴{a +5>0a ≤−1，可得−5<a ≤−1， 故答案为(−5,−1]．17.答案：解：(1)由f(α)=sin(α−π2)cos(3π2+α)tan(π−α)tan(−α−π)sin(−α−π)=−cosαsinα⋅(−tanα)−tanα⋅sinα=−cosα． (2)∵f(α)=45，即cosα=−45，α为第三象限角，那么：sinα=−√1−cos 2α=−35可得tanα=sinαcosα=34．解析：(1)根据诱导公式化简可得f(α)；(2)利用同角三角函数关系式即可得解．本题主要考察了同角三角函数关系式和诱导公式的应用，属于基本知识的考查．18.答案：解：(1)∵函数的最小正周期为， ∴2πω=π，∴ ω=2.可知f(x)=sin(2x −3π4) ， 由f(α2+3π8)=2425得：sinα=2425， ∵−π2<α<π2， ∴cosα=725，∴tanα=247.(2)由(1)知f(x)=sin(2x −3π4)，于是有： x 0 π8 5π8π y −√22−1 0 1 0 −√22描点，连线，函数y =f(x)在区间[0,π]上的图象如下：(3)把y =f(x)=sin(2x −3π4)图象上点的横坐标变为原来的2倍， 可得函数y =sin(x −3π4)的图象； 再把图象向左平移3π4个单位长度，可得函数y =sinx 的图象.解析：本题主要考查正弦函数的性质，用五点法作函数y =Asin(ωx +φ)在一个周期上的简图，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于中档题．(1)由周期可得：f(x)=sin(2x −3π4)，然后利用已知结合α的取值范围求解．(2)用五点法作函数y =Asin(ωx +φ)在一个周期上的简图．(3)根据函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，可得结论．19.答案：解：∵sinα=23，α∈(π2,π)，cosβ=−35，β∈(π,3π2)，∴cosα=−√1−sin 2α=−√53，sinβ=−√1−cos 2β=−45， ∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=23×(−35)+(−√53)×(−45)=4√5−615． 解析：由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，sinβ的值，进而利用两角和的正弦函数公式即可计算得解sin(α+β)的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想和计算能力，属于基础题．20.答案：解：在△ABC 中，∠BAC =15°，AB =100米，∠ACB =45°−15°=30°. (3分)根据正弦定理有100sin30∘=BC sin15∘，∴BC =100sin15°sin30∘. (6分)又在△BCD 中，∵CD =50，BC =100sin15°sin30∘，∠CBD =45°，∠CDB =90°+θ，根据正弦定理有50sin45∘=100sin15°sin30∘sin(90∘+θ).(10分)解得cosθ=√3−1(12分)解析：在△ABC中，根据正弦定理求出BC，在△BCD中，推出∠CDB=90°+θ，通过正弦定理转化求解即可．本题考查正弦定理的实际应用，解三角形的方法，考查计算能力．21.答案：解：(1)∵函数f(x)=2√3sin(x+π4)cos(x+π4)+sin2x+a=√3cos2x+sin2x+a=2sin(2x+π3)+a≤2+a=1，∴a=−1；(2)将f(x)的图象向左平移π6个单位，得到函数g(x)的图象，∴g(x)=f(x+π6 )=2sin[2(x+π6)+π3]−1=2sin(2x+2π3)−1．当x∈[0,π2]时，2x+2π3∈[2π3,5π3]，故当2x+2π3=3π2时，sin (2x+2π3)=−1，函数g(x)取得最小值为−2−1=−3．解析：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图像和性质，属于中档题．(1)由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式为函数f(x)=2sin(2x+π3)+a，可得a=−1．(2)根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，可得g(x)=2sin(2x+2π3)−1.再根据x∈[0,π2]，利用正弦函数的图像和性质求得函数g(x)的最小值．。
2019~2020学年第二学期期中高一数学试卷及答案详解
2019-2020学年第二学期期中考试高一数学一 选择题（每题5分，共30分）1. 在△ABC 中，a b c ，，分别为A B C ，，所对的边，若π22,,π63a A B ===，则b 等于( ) A ．2 B ．23 C ．3 D ．4 2. 求值：0000sin 24cos36cos24sin36+等于( )A ．12B ．3C ．12-D ．3-3. 已知tan 2α=，则()πtan 4α+的值为( )A ．3B ．13C ．3-D ．13-4. .已知a ，b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b 的关系为( )A ．一定是异面直线；B ．一定是相交直线；C ．不可能是平行直线；D ．不可能是相交直线．5. △ABC 中，a b c ，，分别为A B C ，，所对的边，若2π,3B b ac ==，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形6. 已知α为锐角，()π3cos 65α+=，则()5cos 2π6α+的值为( )A ．1225B ．1225-C ．2425D ．2425-二 填空题（每题5分，共50分）7. 函数()sin cos f x x x =⋅的最小正周期是_______；8. △ABC 中，a b c ，，分别为A B C ，，所对的边，若π2,3,3a c B ===，则b =_______；9. 已知35π,2π,cos 213αα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，则()πcos 4α+=_______；10. 如图，正方体1AC 中，异面直线1AA 与BC 所成角的大小是______；（第10题图）11. 在△ABC 中，已知8,18a b ==，△ABC 的面积为363，且C 为锐角，则C 等于_______； 12. 函数()cos 26cos 2f x x x =-+的最小值是_______；13. 如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A ，B ，灯塔B 位于灯塔A 的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A 的北偏西75°方向，与A 相距32海里的D 处；乙船位于灯塔B 的北偏西60°方向，与B 相距5海里的C 处，则两艘轮船之间的距离为____海里；（第13题图） （第14题图）14. 正方体1AC 中，直线1AC 与平面ABCD 所成角的正切值是________； 15. 求值：()00sin5013tan10+=________；16. ,,a b c 为三条不重合的直线，,,αβγ为三个不重合的平面，下列说法中：()1a c a b b c ⎫⇒⎬⎭∥∥∥ ，()2a a b b γγ⎫⇒⎬⎭∥∥∥ ， ()3c c ααββ⎫⇒⎬⎭∥∥∥()4αγαββγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭∥， ()5a c a c αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭∥ ， ()6a a αγγα⊥⎫⇒⎬⊥⎭∥ 其中正确的说法有________．（填序号）三 解答题（共70分）17. 如图，在四棱锥P ABCD -中，,E F 分别为棱,PA PC 的中点.求证：EF ∥平面ABCD .18. 已知()π,π2α∈，5sin α=.（1）求cos2α的值； （2）求sin 2α的值.ABC P Q19. 如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，过AD的平面分别与PB，PC交于点E，F．（1）求证：BC⊥平面PCD；（2）求证：AD∥EF．20. 如图，某生态园将一块三角形地ABC的一角APQ开辟为水果园，已知角A为120o，,AB AC的长度均大于200米，现在边界,AP AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆.（1）若围墙AP、AQ总长度为200米，当AP长度为多少时三角形地块APQ面积最大？并求出最大值.（不妨设AP长为x米）（2）已知竹篱笆长为米，AP段围墙高1米，AQ段围墙高2米，造价均为每平方米100元，求围墙总造价的取值范围.（不妨设APQα=∠）PACDEF（第19题）AA 1B 1 CD 1 B C 1D MO 121. 如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，M 是AB的中点，O 1是A 1C 1与B 1D 1的交点． （1）求证：O 1M ∥平面BB 1C 1C ；（2）若平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ，求证：四边形BB 1D 1D 是矩形．22. 在△ABC 中，a b c ，，分别为A B C ，，所对的边，且1sin cos sin cos 3a A C c A A c +=，（1）若11,sin 3cC ==，求△ABC的面积S ；（2）若D 是AC 的中点，且cos B BD =，求△ABC 的最短边的边长.高 一 数学 答案一 选择题（每题5分，共30分）1-6B B CC CD 7 π；8910 π2；11 π3；12 3-；13 14 ；15 1；16 ()1.17. 证明：连接AC ，在△PAC 中，E 为PA 中点，F 为PC 中点，则EF ∥AC ， …………5分 又因为EF 不在平面ABCD 中，则EF ∥平面ABCD …………10分18. 解：（1）2cos212sin αα=- …………4分23155=-=； …………6分（2）因为()π,π2α∈，所以cos 0,α< …………8分所以cos α== …………10分所以4sin 22sin cos 5ααα==-. …………12分19. 证：（1）因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD BC ⊥． …………2分因为底面ABCD 是矩形，所以CD BC ⊥． …………4分因为CD PD D ⋂=I ，,CD PD ⊂平面PCD ，所以BC ⊥平面PCD ． …………6分 （2）底面ABCD 是矩形，所以AD ∥BC ，因为BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ，所以AD ∥平面PBC ． …………8分 因为AD ⊂平面ADFE ，平面ADFE ⋂I 平面PBC EF =，所以AD ∥EF ． ………12分20.（1）设AP x = (米)，则200AQ x =-,所以()()011sin 200sin12020022APQ S AP AQ A x x x ∆=⋅⋅=--= (米2) ……3分当100x =时，即100AP AQ == (米)，max S =(米2) ……5分(2)由题意，100sin PQA ==∠ 由正弦定理100sin sin sin AQ PQ AP AQP APQ A===∠∠∠， 得()0100sin 60,100sin AP AQ αα=-= …………7分故围墙总造价()1002y AP AQ =+即()()00100100sin 60200sin 10000sin 602sin y αααα⎡⎤⎡⎤=-+=-+⎣⎦⎣⎦化简得：()030y α=+ …………9分 因为00060α<<，所以()01sin 3012α<+<…………11分元). …………12分21.（1）取11A B 的中点E ，连接1,ME O E ，因为底面ABCD 是菱形， 所以平面1111A B C D 也为菱形，因为1O 为11A C 与11B D 的交点，所以1O 为11A C 的中点，又因为E 为11A B 的中点，由中位线定理得111O E B C ∥,因为1O E 不在平面BB 1C 1C 内，11B C ⊂平面BB 1C 1C ，所以1O E ∥平面BB 1C 1C ， …………3分 同理得ME ∥平面BB 1C 1C ，又1O E ME E ⋂=，1O E ME ⊂，平面1O EM ，所以平面1O EM ∥平面BB 1C 1C ，因为1O M ⊂平面1O EM ，所以O 1M ∥平面BB 1C 1C ； …………6分 （2）连接AC 与BD ，因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，又因为平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ，平面11AAC C ⋂平面ABCD AC =，所以BD ⊥平面11AA C C ， …………10分因为1AA ⊂平面11AA C C ，所以1111BD AA BB AA BD BB ⊥⊥，∥，，所以四边形11BB D D 是矩形. …………12分 22. 解：（1）由正弦定理，1sin cos sin cos 3a A C c A A c +=可化为1sin sin cos sin sin cos sin 3A A C C A A C += …………2分()1sin sin cos sin cos sin 3A A C C A C +=()1sin sin sin 3A A C C +=在△ABC 中，因为πA B C ++=，所以πA C B +=-，所以()sin sin A C B +=，则上式可化为1sin sin sin 3A B C =，又因为1sin 3C =，所以2sin sin sin A B C =，…………4分由正弦定理有21ab c ==，所以△ABC 的面积1111sin 12236S ab C ==⨯⨯= …………6分（2）方法一：由（1）可得1sin sin sin 3A B C =，因为cos B 所以sin B =则1sin sin 3C =，由正弦定理可得c =因为D 是AC 的中点，所以()12BD BA BC =+uu u r uu r uu u r， …………8分两边平方化简可得：()221262cos 4a c ac B =++，将c =，cos B =代入化简可得：220a =，即a =6c = …………10分在△ABC 中，由余弦定理有，2222cos b a c ac B =++8=，所以b =<<，所以△ABC的最短边的边长为b=…………12分因为b a c方法二：本题也可以分别在△ABD和△CBD中利用余弦定理解决.。
2019-2020学年上海市控江中学高一下学期数学期中考试试卷带详解
2019学年第二学期高一数学期中测试一、填空题（每题5分）1.圆心角为1弧度的扇形面积为2,则这个扇形的半径为_______.2.()5sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调减区间是___________.3.方程2cos 210x -=的解集是___________.4.若()cos 2cos3f x x =-，则()sin 75f ︒=___________.5.不等式arccos arccos(1)x x >-的解为______6.在ABC ∆中，222sin sin sin sin sin B A C A C +≥+，则角B 的最小值是____________.7.已知()4cos 5αβ+=，()3cos 5αβ-=-，则tan tan αβ=___________.8.函数()cos 2f x x =，,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π的反函数是___________.9.已知m 是实常数，若{}2cos sin 0x x x m ++=≠∅，则m 的取值范围是___________.10.ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若满足60A ∠=︒，4a =的ABC 恰有一个，则c 的取值范围是___________.11.已知函数()()()sin 0,0,f x A x b A ωϕωϕπ=++>><的最大值为4，最小值为0，最小正周期为2π，直线3x π=是其图像的一条对称轴，且42f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 的解析式为___________.12.在ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，现有下列命题：①若tan tan A B ≥，则sin sin A B ≥；②若2a b c +>，则3C π<；③若cos cos a b B A=，则ABC 为等腰三角形；④若sin cos A B <，则ABC为钝角三角形；⑤若tan tan 1A B >，则tan tan tan 1A B C >；其中正确的命题是______________（请填写相应序号）.二、选择题（每题5分）13.函数sin sin y x x =-的值域是（）A.{}0 B.[]22-, C.[]0,2 D.[]2,0-14.已知下列两个命题：①将函数4sin 2y x =图像向左平移3π个单位得到函数4sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；②函数cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像关于直线22k x ππ=-，()k Z ∈成轴对称其中（）A.①真②真B.①真②假C.①假②真D.①假②假15.已知,a b ∈R ，“0a b +=”是“()sin sin 44a x x f b x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是偶函数”的（）条件.A.充分非必要B.必要不充分C.充要D.非充分非必要16.已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，()5sin ,014211,14x x x f x x π⎧⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程()()()()255660f x a f x a a R -++=∈⎡⎤⎣⎦有且仅有6个不同实数根，则a 的取值范围是（）A.01a <≤或54a =B.01a ≤≤或54a =C.01a <<或54a =D.514a <≤或0a =三、解答题：17.已知tan 2α=.（1）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值.18.已知函数()4tan sin()cos()323f x x x x ππ=---；（1）求()f x 的定义域与最小正周期；（2）求()f x 在区间[,44ππ-上的单调性与最值.19.如图所示，扇形AOB ，圆心角AOB 的大小等于3π，半径为2，在半径OA 上有一动点C ，过点C 作平行于OB 的直线交弧AB 于点P .（1）若C 是半径OA 的中点，求线段PC 的大小；（2）设COP θ∠=，求POC ∆面积的最大值及此时θ的值.20.某同学用“五点法”画函数()()sin 0,0,2f x M x M πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在某一周期内的图像时，列表并填入部分数据，如表所示.x ωϕ+02ππ32π2πx2π72π()f x 02-20（1）请将表中数据补充完整，填写在相应位置，并写出()f x 的解析式；（2）将函数()f x 的图像上每一点的横坐标缩小为原来的13，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像，a 、b 、c 分别为锐角ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边，若()1g A =，2a =，求ABC 的面积S 的的最大值.21.已知函数()()sin cos 4sin 29f x a x x x =+++，且134f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求a 的值；（2）求出()f x 的最小正周期，并证明；（“周期”要证，“最小”不用证明）（3）是否存在正整数n ，使得()f x 在区间[]0,n π内恰有2021个零点，若存在，求出n 的值；若不存在，说明理由.2019学年第二学期高一数学期中测试一、填空题（每题5分）1.圆心角为1弧度的扇形面积为2,则这个扇形的半径为_______.【答案】2【解析】【分析】由题意求出扇形的半径，然后求出扇形的面积．【详解】因为扇形的面积为2，圆心角为1弧度，所以211222r r ⨯⨯=∴=故答案为2．【点睛】本题是基础题，考查扇形面积的求法，注意题意的正确理解，考查计算能力．2.()5sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调减区间是___________.【答案】[,]()88k k k 3π7ππ+π+∈Z 【解析】【分析】根据正弦函数的单调性直接求解即可.【详解】因为()5sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令2232242x k k πππππ≤-≤++，k Z ∈解得3788x k k ππππ≤≤++，k Z ∈，所以函数()5sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递减区间为[,]()88k k k 3π7ππ+π+∈Z ，故答案为：[,]()88k k k 3π7ππ+π+∈Z 【点睛】本题主要考查了正弦函数的单调性，考查了运算能力，属于容易题.3.方程2cos 210x -=的解集是___________.【答案】{|6x x k ππ=+或,}6x k k Z ππ=-∈【解析】【分析】根据余弦函数的图象与性质解三角方程即可.【详解】由2cos 210x -=可得：1cos 22x =，所以223x k ππ=+或223x k ππ=-，()k ∈Z 即6x k ππ=+或6x k ππ=-故答案为：{|6x x k ππ=+或,}6x k k Z ππ=-∈【点睛】本题主要考查了余弦函数的图象与性质，三角方程的解法，属于中档题.4.若()cos 2cos3f x x =-，则()sin 75f ︒=___________.【答案】222-.【解析】【分析】由诱导公式可知sin 75cos15︒=︒，所以()()sin 75cos15f f ︒=︒，直接代入公式即可求出结果.【详解】()()sin 75cos152cos 45222f f ︒=︒=-︒=-.故答案为：222-.【点睛】本题主要考查了三角函数诱导公式的应用，属于基础题.5.不等式arccos arccos(1)x x >-的解为______【答案】10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】由反余弦函数的定义域及单调性可得111111x x x x -≤≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪<-⎩，再求解即可.【详解】解：由函数arccos y x =是定义在[]1,1-的减函数，又arccos arccos(1)x x >-，则111111x x x x-≤≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪<-⎩，解得：102x ≤<，即不等式的解集为：10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故答案为10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查了反余弦函数的定义域及单调性，属基础题.6.在ABC ∆中，222sin sin sin sin sin B A C A C +≥+，则角B 的最小值是____________.【答案】3π【解析】利用正弦定理有：222b ac a c +≥+，则2221cos 22a cb B ac +-=≤，则角B 的最小值是3π．7.已知()4cos 5αβ+=，()3cos 5αβ-=-，则tan tan αβ=___________.【答案】-7【解析】【分析】根据()4cos 5αβ+=，()3cos 5αβ-=-，利用两角和与差的余弦公式展开，再两式相加、相减分别得到cos cos αβ、sin sin αβ，然后利用商数关系求解.【详解】因为()4cos 5αβ+=，()3cos 5αβ-=-，所以43cos cos sin sin ,cos cos sin sin 55αβαβαβαβ-=+=-，两式相加得：1cos cos 10αβ=，两式相减得：7sin sin 10αβ=-，所以tan tan 7αβ=-，故答案为：-7【点睛】本题主要考查两角和与差的三角函数的应用以及同角三角函数的基本关系式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8.函数()cos 2f x x =，,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π的反函数是___________.【答案】1()arccos 2f x x =-【解析】【分析】根据反余弦函数的定义及,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π，利用偶函数性质求解即可.【详解】因为,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π，所以2[],0x π∈-由()cos 2cos(2)f x x x ==-，且[]20,x π-∈所以2arccos x y -=，即1arccos 2y x =-故答案为：1()arccos 2f x x =-【点睛】本题主要考查了反余弦函数，反余弦函数的值域，属于中档题.9.已知m 是实常数，若{}2cos sin 0x x x m ++=≠∅，则m 的取值范围是___________.【答案】5[,1]4-【解析】【分析】由题意可转化为2sin sin 1m x x =--有解，换元求函数的值域即可.【详解】由2cos sin 0x x m ++=可得：2sin sin 1m x x =--，若{}2cos sin 0x x x m ++=≠∅，则方程2sin sin 1m x x =--有解，令sin t x =，11t -≤≤，则221551()[,1]244y t t t =--=--∈-，所以只需5[,1]4m ∈-，故答案为：5[,1]4-【点睛】本题主要考查了含sin x 的二次函数的值域，分离参数的方法，集合的概念，属于中档题.10.ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若满足60A ∠=︒，4a =的ABC 恰有一个，则c 的取值范围是___________.【答案】3c =或04c <≤【解析】【分析】利用正弦定理表示c 为sin C 的函数，即可求解.【详解】由正弦定理可得sin sin a C c A =,20,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,又60A ∠=︒，4a =，所以c =在20,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭有唯一解，故3c =或04c <≤故答案为：833c =或04c <≤【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形，考查函数零点个数问题，注意转化思想的应用，属于中档题.11.已知函数()()()sin 0,0,f x A x b A ωϕωϕπ=++>><的最大值为4，最小值为0，最小正周期为2π，直线3x π=是其图像的一条对称轴，且42f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 的解析式为___________.【答案】()2sin 426f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭【解析】【分析】首先根据函数的最大值和最小值，列式求,A b ，根据周期公式求ω，再代入对称轴3x π=，求ϕ，最后再验证，确定函数的解析式.【详解】14f π⎛⎫=⎪⎝⎭【点睛】本题考查根据三角函数的性质求函数的解析式，重点考查公式计算，属于基础题型.12.在ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，现有下列命题：①若tan tan A B ≥，则sin sin A B ≥；②若2a b c +>，则3C π<；③若cos cos a bB A=，则ABC 为等腰三角形；④若sin cos A B <，则ABC为钝角三角形；⑤若tan tan 1A B >，则tan tan tan 1A B C >；其中正确的命题是______________（请填写相应序号）.【答案】②④⑤.【解析】【分析】①取45,105A B =︒=︒验证可判断；②由2a b c +>及基本不等式求cos C 的范围，从而可判断；③由cos cos a bB A=和正弦定理可判断；④若sin cos A B <，则sin sin 2A B π⎛⎫<-⎪⎝⎭，结合正弦函数的单调性可判断；⑤若tan tan 1A B >，则可判断出A 、B 、C 均为锐角，由()tan tan tan tan +=1tan tan A BC A B A B+=---，结合均值定理可判断tan tan tan 1A B C >.【详解】解：①令45,105A B =︒=︒，则tan tan A B ≥，但sin sin sin 75A B <=︒，故①错误.②若2a b c +>，则222a b c +⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，()22222222326212cos 22882a b a b a b ab a b c ab ab C ab ab ab ab +⎛⎫+- ⎪+-+--⎝⎭=>=≥，cos y x =在()0,π递减，所以3C π<，故②正确；③由正弦定理及cos cos a b B A =，得sin 2sin 2A B =所以A B =或2A B π+=，则ABC 为等腰三角形或直角三角形，故③错误.④由sin cos A B <，则,0,2A B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,22B ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，sin sin 2A B π⎛⎫<- ⎪⎝⎭，所以,22A B A B ππ<-+<，则ABC 为钝角三角形，故④正确.⑤若tan tan 1A B >，则,0,2A B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()sin sin cos cos ,cos 0A B A B A B >+<，,2A B ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan 0C >，()tan tan ,tan tan +=1tan tan A BC A B C A B A Bπ+=--=---，所以tan tan tan tan tan tan 2tan 2A B C C A B C =++≥>+>，所以tan tan tan 1A B C >，故⑤正确综合以上有②④⑤正确故答案为：②④⑤.【点睛】根据正余弦定理、三角函数的单调性以及基本不等式考查三角形边角之间的关系，中档题.二、选择题（每题5分）13.函数sin sin y x x =-的值域是（）A.{}0 B.[]22-, C.[]0,2 D.[]2,0-【答案】D 【解析】【分析】去绝对值号转化为分段函数，即可求出值域.【详解】因为0,sin 0sin sin 2sin ,sin 0x y x x x x ≥⎧=-=⎨<⎩，由正弦函数的值域可知20-≤≤y ，故选：D【点睛】本题主要考查了正弦函数的值域，考查了分段函数值域的求法，属于中档题．14.已知下列两个命题：①将函数4sin 2y x =图像向左平移3π个单位得到函数4sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；②函数cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像关于直线22k x ππ=-，()k Z ∈成轴对称其中（）A.①真②真B.①真②假C.①假②真D.①假②假【答案】D 【解析】【分析】根据图象平移变换可判断①，根据余弦函数的对称轴可判断②【详解】①将函数4sin 2y x =图像向左平移3π个单位得到函数24sin 2()4sin(2)33y x x ππ=+=+，故①假；②函数cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像的对称轴方程为2,6x k k Z ππ+=∈，解得212k x ππ=-，k Z ∈，故②假.故选：D【点睛】本题主要考查了三角函数图象的平移变换，余弦函数的对称轴，属于中档题.15.已知,a b ∈R ，“0a b +=”是“()sin sin 44a x x f b x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是偶函数”的（）条件.A.充分非必要B.必要不充分C.充要D.非充分非必要【答案】C 【解析】【分析】利用函数为偶函数()()f x f x -=即可求解.【详解】根据题意可得()()f x f x -=sin sin sin sin 4444a x b x a x b x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++--=++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即sin sin sin sin 4444a x b x a x b x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+=++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()sin sin 044a b x a b x ππ⎛⎫⎛⎫++++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2sin sin04a b x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，对于任意x ∈R ，恒成立，则0a b +=.“0a b +=”是“()sin sin 44a x x f b x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是偶函数”的充要条件.故选：C【点睛】本题考查了充分条件、必要条件，函数奇偶性的应用，属于基础题.16.已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，()5sin ,014211,14x x x f x x π⎧⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程()()()()255660f x a f x a a R -++=∈⎡⎤⎣⎦有且仅有6个不同实数根，则a 的取值范围是（）A.01a <≤或54a = B.01a ≤≤或54a =C.01a <<或54a =D.514a <≤或0a =【答案】A 【解析】【分析】运用偶函数的定义可得()f x 在0x <的解析式，作出函数()f x 的图象，由25[()](56)()60f x a f x a -++=，解得()f x a =或6()5f x =，结合图象，分析有且仅有6个不同实数根的a 的情况，即可得到a 的范围．【详解】函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x 时，5sin()(01)42()1(1(1)4x x x f x x π⎧⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩ ，当0x <时，5sin(),10()4241,1x x x f x x π⎧--⎪=⎨⎪+<-⎩．作函数()f x 的图象，由于关于x 的方程25[()](56)()60f x a f x a -++=，解得()f x a =或6()5f x =，当01x时，()[0f x ∈，54，1x >时，()(1f x ∈，5)4．由65154<<，则6()5f x =有4个实根，由题意，只要()f x a =有2个实根，由图象可得当01a <时，()f x a =有2个实根，当54a =时，()f x a =有2个实根．综上可得：01a <或54a =．故选：A ．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的运用，考查方程和函数的转化思想，运用数形结合的思想方法是解决的常用方法．三、解答题：17.已知tan 2α=.（1）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值.【答案】（1）3-；（2）1【解析】试题分析：（1）本题考察的是求三角函数的值，本题中只需利用两角和的正切公式，再把tan 2α=代入到展开后的式子中，即可求出所求答案．（2）本题考察的三角函数的化简求值，本题中需要利用齐次式来解，先通过二倍角公式进行展开，然后分式上下同除以2cos α，得到关于tan α的式子，代入tan 2α=，即可得到答案．试题解析：（Ⅰ）tan tan214tan() 3.41211tan tan 4παπαπα+++===--⨯-（Ⅱ）原式222sin cos sin sin cos 2cos a ααααα=+-22tan tan tan 2ααα=+-2221222⨯==+-．考点：（1）两角和的正切公式（2）齐次式的应用18.已知函数()4tan sin()cos(23f x x x x ππ=--（1）求()f x 的定义域与最小正周期；（2）求()f x 在区间[,44ππ-上的单调性与最值.【答案】（1）定义域π{|π,}2x x k k ≠+∈Z ，T π=；（2）单调递增：[,]124ππ-，单调递减：[,]412ππ--，最大值为1，最小值为2-；【解析】试题分析：(1)简化原函数，()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭结合定义域求最小正周期;(2)在给定区间上结合正弦曲线，求单调性与最值.试题解析：()4tan sin cos 4tan cos cos 4sin cos 2333f x x x x x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2πsin2sin22sin 23x x x x x ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭；（1）()f x 的定义域：{|,}2x x k k Z ππ≠+∈，最小正周期2ππ2T ==；（2）()π5πππ1,2,sin 21,2,14436632x x x f x ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎤⎡∈-⇒-∈-⇒+∈-⇒∈- ⎪⎦⎣⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎣⎦，即最大值为1，最小值为2-，单调递增：,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，单调递减：,412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，19.如图所示，扇形AOB ，圆心角AOB 的大小等于3π，半径为2，在半径OA 上有一动点C ，过点C 作平行于OB 的直线交弧AB 于点P .（1）若C 是半径OA 的中点，求线段PC 的大小；（2）设COP θ∠=，求POC ∆面积的最大值及此时θ的值.【答案】（1）1132PC -+=；（2）6πθ=时，()S θ取得最大值为33【解析】【分析】（1）在POC ∆中，23OCP π∠=，2,1OP OC ==，由余弦定理即可求边长PC ；（2）在POC ∆中，利用正弦定理，得到CP θ=，3OC πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据三角形面积公式，将上面2个边长代入，利用二倍角公式、降幂公式、两角和与差的正弦公式化简表达式，再求三角函数的最值即可.【详解】（1）在POC ∆中，23OCP π∠=，2,1OP OC ==，由22222cos 3OP OC PC OC PC π=+-⋅，得230PC PC +-=，解得12PC -=；（2）∵//CP OB ，∴3CPO POB πθ∠=∠=-，在POC ∆中，由正弦定理得sin sin OP CP PCO θ=∠，即22sin sin 3CPπθ=，∴CP θ=，又2sin sin 33OC OPππθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，3OC πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，记POC ∆的面积为()S θ，则12()sin 23S CP OC πθ=⋅，13sin 2323ππθθθθ⎛⎫⎛⎫=⋅-⨯=⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21cos sin 2sin cos 22θθθθθθ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭sin 2cos 2sin(233363πθθθ=+-=+-∴6πθ=时，()S θ取得最大值为3.【点睛】本题考查解三角形中正弦定理、余弦定理的应用，三角形面积公式以及运用三角公式进行恒等变形，考查学生的分析能力和计算能力，属中档题.20.某同学用“五点法”画函数()()sin 0,0,2f x M x M πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在某一周期内的图像时，列表并填入部分数据，如表所示.x ωϕ+02ππ32π2πx2π72π()f x 02-20（1）请将表中数据补充完整，填写在相应位置，并写出()f x 的解析式；（2）将函数()f x 的图像上每一点的横坐标缩小为原来的13，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像，a 、b 、c 分别为锐角ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边，若()1g A =，2a =，求ABC 的面积S 的的最大值.【答案】（1）详见解析（2【解析】【分析】（1）利用五点法作图，将表中数据补充完整，并求出()f x 的解析式．（2）利用sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，求得()g x 的解析式，再利用条件以及余弦定理、基本不等求得ABC 面积的最大值．【详解】（1）请将上表数据补充完整，如表：x ωϕ+02ππ32π2πx2π2π72π5π132π()f x 0202-0根据表格易知2M =，·027·2πωϕπωϕπ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得136ωπϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故()2sin(36x f x π=-．（2）将函数()f x 的图象每一点的横坐标缩短到原来的13倍，纵坐标不变，得到函数()2sin(6g x x π=-的图象，在ABC 中，若g （A ）2sin()16A π=-=，1sin(62A π∴-=，3A π∴=，2BC = ，故由余弦定理可得22242··cos 2···BC AC AB AC AB A AC AB AC AB AC AB ==+--= ，·4AC AB ∴ ，ABC ∴面积为113···sin ·4·222AC AB A ∠= ，故ABC 面积的最大值为【点睛】本题主要考查五点法作图，sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，余弦定理、基本不等式的应用，属于中档题．21.已知函数()()sin cos 4sin 29f x a x x x =+++，且134f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求a 的值；（2）求出()f x 的最小正周期，并证明；（“周期”要证，“最小”不用证明）（3）是否存在正整数n ，使得()f x 在区间[]0,n π内恰有2021个零点，若存在，求出n 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）9-（2）证明见解析（3）存在正整数505n =，理由见解析.【解析】【分析】（1）计算4x π=时()f x 的值，从而解得a 的值；（2）根据()()f x f x π+=，求得()f x 的最小正周期为π；（3）根据()f x 的最小正周期为π，且[0x ∈，)π内有4个零点，可解得n ．【详解】（1）函数()(sin cos )4sin 29f x a x x x =+++，令4x π=，得4913++=-9a =-；（2）()9[sin()cos()]4sin 2()99(sin cos )4sin 29()f x x x x x x x f x ππππ+=-++++++=-+++=，所以()f x 的最小正周期为π．（3）存在正整数505n =，使得()0f x =在区间[0，]n π内恰有2021个零点．当[0,]2x π∈时，()9(sin cos )4sin 29f x x x x =-+++．设sin cos 4t x x x t π=+=+∈，则2sin 22sin cos 1x x x t ==-，于是2()9(sin cos )4sin 29495f x x x x t t =-+++=-+，令24950t t -+=，得1t =或54t =∈，于是0,2x π=，或00(04x x x π=<<或02x x π=-，其中0sin()48x π+=，当(,)2x ππ∈时，()9(sin cos )4sin 29f x x x x =--++．设sin cos ),4t x x x t π=-=-∈，则2sin 22sin cos 1x x x t ==-，于是2()9(sin cos )4sin 294913f x x x x t t =--++=--+，令249130t t --+=，解得1t =或134t =-∉，故()f x 在(,)2x ππ∈没有实根．综上讨论可得，()0f x =在[0，)π上有4个零点，而202145051=⨯+，所以函数在[]0,505π有2021个零点.【点睛】本题考查三角函数的周期性及其求法，根据三角函数的值求角的大小，判断()0f x =在[0,)π上有4个零点是解题的关键，属于难题.。
控江中学高一期中(2019.04)
控江中学高一期中数学试卷2019.04一. 填空题1. 若扇形的圆心角为23π，半径为2，则扇形的面积为 2. 若点(3,)P y -是角α终边上的一点，且4sin 5α=-，则y = 3. 若2sin cos 3αα+=，则sin2α= 4. 若等差数列{}n a 中，63a =，{}n a 的前n 项和为n S ，则11=S5. 若3cos 5α=且tan 0α<，则cos()2πα-= 6. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增， 共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层的 下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层有灯 盏7. 将式子cos αα+化成cos()A αϕ+（其中0A >，[,)ϕππ∈-）的形式为8. 若32ππα<<且4cos 5α=-，则tan 2α= 9. 数列{}n a 的前n 项和n S 满足：27n S n =+()n *∈N ，则数列{}n a 的通项公式n a =10. 将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 67 8 9 10⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅按照以上排列的规律，第n 行(3)n ≥从左向右的第3个数为11. 若tan α、tan β是方程250x ++=的两根，且,(,)22ππαβ∈-，则αβ+= 12. 若k 是正整数，且12019k ≤≤，则满足sin1sin 2sin3sin k ︒︒︒︒+++⋅⋅⋅+= sin1sin 2sin3sin k ︒︒︒︒⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅的k 有 个二. 选择题13. 若α是象限角，则下列各式中，不恒成立的是（ ）A. tan()tan()παα+=-B. sin cot()2cos πααα+=- C. 1csc sin()απα=- D. 2sec 1)sec 1tan ααα-+=（（）14. 若5sin 213θ=，12cos 213θ=-，则角θ的终边在第（ ）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四15. 如图，在平面直角坐标系中，»AB ，»CD，»EF ，¼GH 是以原点为圆心的单位圆上的四段弧，点P 是其中⋅⋅⋅段弧上的动点，角α以Ox 为始边，OP 为终边，且恒有tan cos sin ααα<<，则点P 所在的圆弧是弧（ ）A. »ABB. »CDC. »EFD. ¼GH 16. 对于数列{}n a ，若存在常数M ，使得对任意n *∈N ，n a 与1n a +中至少有一个不小于M ，则记作{}n a M >，下列命题中，正确的是（ ）A. 若{}n a M >，则数列{}n a 各项均大于或等于MB. 若{}n a M >，则22{}na M > C. 若{}n a M >，{}nb M >，则{}2n n a b M +>D. 若{}n a M >，则{21}21n a M ++>三. 解答题17. 已知tan 2α=.（1）求tan()4πα+的值；（2）求2sin 2sin cos21ααα-+的值.18. 已知{}n a 为等差数列，3810a a +=，66a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求25868a a a a +++⋅⋅⋅+的值.19. 已知02x y ππ<<<<，5sin()13x y +=. （1）判断tan tan x y +的正负性，并说明理由；（2）若1tan22x =，求cos2x 和cos y 的值.20. 对于集合12{,,,}n θθθΩ=⋅⋅⋅和常数0θ，定义：22210200cos ()cos ()cos ()n nθθθθθθμ-+-+⋅⋅⋅+-=为集合Ω相对0θ的“余弦方差”. （1）若集合{,}34ππΩ=，00θ=，求集合Ω相对0θ的“余弦方差”； （2）求证：集合2{,,}33πππΩ=相对任何常数0θ的“余弦方差”是一个与0θ无关的定值，并求此定值； （3）若集合{,,}4παβΩ=，[0,]απ∈，[,2)βππ∈相对任何常数0θ的“余弦方差”是 一个与0θ无关的定值，求出α、β.21. 设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==， 23327a b a b +=+=.（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设1()n nc n a *=∈N ，若3c ，k c ，m c 成等差数列（,k m 为正整数且3k m <<），求k 和m 的值；（3）设n B 为数列{}n b 的前n 项和，是否存在实数p ，使得364(1)n a n B p ≥++对一切n *∈N 均成立？若存在，求出p 的最大值；若不存在，说明理由.参考答案一. 填空题 1. 43π 2. 4- 3. 59- 4. 33 5. 45- 6. 192 7. 2cos()3πα- 8. 3- 9. 81212n n a n n =⎧=⎨-≥⎩ 10. 2322n n -+ 11. 23π-12. 11二. 选择题13. A 14. D 15. C 16. D三. 解答题17.（1）3-；（2）13.18.（1）26n a n =-；（2）1472.19.（1）负；（2）7cos225x =-，16cos 65y =-.20.（1）38；（2）12；（3）712πα=，1112πβ=.21.（1）21n a n =-，12n n b -=；（2）5k =，23m =；（3）269-.。
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A．充分非必要B．必要不充分C．充要D．非充分非必要
【答案】C
【解析】利用函数为偶函数 即可求解.
【详解】
根据题意可得
，
即 ，
，
所以 ，
对于任意 ，恒成立，
则 .
“ ”是“ 是偶函数”的充要条件.
故选：C
【点睛】
本题考查了充分条件、必要条件，函数奇偶性的应用，属于基础题.
二、填空题
5．圆心角为1弧度的扇形面积为2,则这个扇形的半径为_______.
【答案】2
【解析】由题意求出扇形的半径，然后求出扇形的面积．
【详解】
因为扇形的面积为2，圆心角为1弧度，
所以
故答案为2．
【点睛】
本题是基础题，考查扇形面积的求法，注意题意的正确理解，考查计算能力．
6． 的单调减区间是___________.
由 可得：
，
所以 或 ，
即 或
故答案为： 或
【点睛】
本题主要考查了余弦函数的图象与性质，三角方程的解法，属于中档题.
8．若 ，则 ___________.
【答案】 .
【解析】由诱导公式可知 ，所以 ，直接代入公式即可求出结果.
【详解】
.
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查了三角函数诱导公式的应用，属于基础题.
【答案】 或
【解析】利用正弦定理表示 为 的函数，即可求解.
【详解】
由正弦定理可得 , ,
又 ， ，
所以 在 有唯一解，
故 或
故答案为： 或
【点睛】
本题主要考查了正弦定理解三角形，考查函数零点个数问题，注意转化思想的应用，属于中档题.
15．已知函数 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为 ，直线 是其图像的一条对称轴，且 ，则 的解析式为___________.
9．不等式 的解为___单调性可得 ，再求解即可.
【详解】
解：由函数 是定义在 的减函数，
又 ，
则 ，解得： ，
即不等式的解集为： ，
故答案为 .
【点睛】
本题考查了反余弦函数的定义域及单调性，属基础题.
10．在 中， ，则角 的最小值是____________.
4．已知函数 是定义域为R的偶函数，当 时， ，若关于x的方程 有且仅有6个不同实数根，则a的取值范围是（）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【答案】C
【解析】运用偶函数的定义可得 在 的解析式，作出函数 的图象，由 ，解得 或 ，结合图象，分析有且仅有6个不同实数根的 的情况，即可得到 的范围．
【答案】
【解析】利用正弦定理有： ，则 ，则角 的最小值是 ．
11．已知 ， ，则 ___________.
【答案】-7
【解析】根据 ， ，利用两角和与差的余弦公式展开，再两式相加、相减分别得到 、 ，然后利用商数关系求解.
【详解】
因为 ， ，
所以 ，
两式相加得： ，
两式相减得： ，
所以 ，
故答案为：-7
【答案】
【解析】首先根据函数的最大值和最小值，列式求 ，根据周期公式求 ，再代入对称轴 ，求 ，最后再验证，确定函数的解析式.
【详解】
【点睛】
本题考查根据三角函数的性质求函数的解析式，重点考查公式计算，属于基础题型.
16．在 中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，现有下列命题：①若 ，则 ；②若 ，则 ；③若 ，则 为等腰三角形；④若 ，则 为钝角三角形；⑤若 ，则 ；其中正确的命题是______________（请填写相应序号）.
A．①真②真B．①真②假C．①假②真D．①假②假
【答案】D
【解析】根据图象平移变换可判断①，根据余弦函数的对称轴可判断②
【详解】
①将函数 图像向左平移 个单位得到函数 ，故①假；
②函数 的图像的对称轴方程为 ，解得 ， ，故②假.
故选：D
【点睛】
本题主要考查了三角函数图象的平移变换，余弦函数的对称轴，属于中档题.
【答案】②④⑤.
【解析】①取 验证可判断；
②由 及基本不等式求 的范围，从而可判断；
③由 和正弦定理可判断；
④若 ，则 ，结合正弦函数的单调性可判断；
⑤若 ，则可判断出A、B、C均为锐角，由 ，结合均值定理可判断 .
【详解】
函数 是定义域为 的偶函数，
当 时， ，
当 时， ．
作函数 的图象，
由于关于 的方程 ，
解得 或 ，
当 时， ， ， 时， ， ．
由 ，则 有4个实根，
由题意，只要 有2个实根，
由图象可得当 时， 有2个实根，
当 时， 有2个实根．
综上可得： 或 ．
故选： ．
【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的运用，考查方程和函数的转化思想，运用数形结合的思想方法是解决的常用方法．
2019-2020学年上海市控江中学高一下学期期中数学试题
一、单选题
1．函数 的值域是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】去绝对值号转化为分段函数，即可求出值域.
【详解】
因为 ，
由正弦函数的值域可知 ，
故选：D
【点睛】
本题主要考查了正弦函数的值域，考查了分段函数值域的求法，属于中档题．
2．已知下列两个命题：①将函数 图像向左平移 个单位得到函数 ；②函数 的图像关于直线 ， 成轴对称其中（）
【答案】
【解析】根据正弦函数的单调性直接求解即可.
【详解】
因为 ，
令 ，
解得 ， ，
所以函数 的单调递减区间为 ，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了正弦函数的单调性，考查了运算能力，属于容易题.
7．方程 的解集是___________.
【答案】 或
【解析】根据余弦函数的图象与性质解三角方程即可.
【详解】
【点睛】
本题主要考查两角和与差的三角函数的应用以及同角三角函数的基本关系式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
12．函数 ， 的反函数是___________.
【答案】
【解析】根据反余弦函数的定义及 ，利用偶函数性质求解即可.
【详解】
因为 ，
所以2
由 ，且
所以 ，即
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了反余弦函数，反余弦函数的值域，属于中档题.
13．已知m是实常数，若 ，则m的取值范围是___________.
【答案】
【解析】由题意可转化为 有解，换元求函数的值域即可.
【详解】
由 可得：
，
若 ，
则方程 有解，
令 ， ，
则 ，
所以只需 ，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了含 的二次函数的值域，分离参数的方法，集合的概念，属于中档题.
14． 的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若满足 ， 的 恰有一个，则c的取值范围是___________.