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《数理经济学》课件
符号意义
数学符号在数理经济学中具有特定的意义，它们代表了经济变量、参数和函数等。理解这些符号的意义 是理解数理经济学理论的关键。
数学模型与方程
01
模型构建
数理经济学家使用数学模型来描述经济系统。这些模型通常由一组方程
式构成，用来表示不同经济变量之间的关系。
02
方程类型
在数理经济学中，常见的方程类型包括线性方程、非线性方程、微分方
数理经济学的发展历程
总结词
数理经济学的发展历程可以追溯到19世纪，其发展经 历了多个阶段，包括古典数理经济学、新古典数理经 济学和现代数理经济学等。
详细描述
数理经济学的发展历程可以追溯到19世纪，当时一些 经济学家开始尝试运用数学方法来描述和预测经济现 象。古典数理经济学阶段主要关注生产、分配和交换 等经济活动的均衡问题。新古典数理经济学阶段则强 调个体行为和市场均衡的研究，并引入了边际分析和 效用函数等概念。现代数理经济学则更加注重数学模 型的复杂性和精确性，并广泛应用于宏观和微观经济 学等领域。
在数理经济学中，证明方法多种多样 ，包括直接证明、反证法、归纳法和 演绎法等。这些方法用于证明经济定 理和推导经济关系，确保经济理论的 严谨性和准确性。
在数理经济学中，必须遵循一定的推 理原则，如公理化原则、一致性原则 和完备性原则等。这些原则确保了经 济理论的逻辑严密性和科学性。
03
数理经济学的应用
宏观经济学中的应用
经济增长与经济发展
数理经济学在研究经济增长、经济发展等方面发挥了重要作用，通 过建立数学模型来解释国家或地区的经济增长和发展趋势。
财政政策与货币政策
利用数理经济学方法分析财政政策和货币政策的效果，为政府制定 经济政策提供科学依据。
数学符号在数理经济学中具有特定的意义，它们代表了经济变量、参数和函数等。理解这些符号的意义 是理解数理经济学理论的关键。
数学模型与方程
01
模型构建
数理经济学家使用数学模型来描述经济系统。这些模型通常由一组方程
式构成，用来表示不同经济变量之间的关系。
02
方程类型
在数理经济学中，常见的方程类型包括线性方程、非线性方程、微分方
数理经济学的发展历程
总结词
数理经济学的发展历程可以追溯到19世纪，其发展经 历了多个阶段，包括古典数理经济学、新古典数理经 济学和现代数理经济学等。
详细描述
数理经济学的发展历程可以追溯到19世纪，当时一些 经济学家开始尝试运用数学方法来描述和预测经济现 象。古典数理经济学阶段主要关注生产、分配和交换 等经济活动的均衡问题。新古典数理经济学阶段则强 调个体行为和市场均衡的研究，并引入了边际分析和 效用函数等概念。现代数理经济学则更加注重数学模 型的复杂性和精确性，并广泛应用于宏观和微观经济 学等领域。
在数理经济学中，证明方法多种多样 ，包括直接证明、反证法、归纳法和 演绎法等。这些方法用于证明经济定 理和推导经济关系，确保经济理论的 严谨性和准确性。
在数理经济学中，必须遵循一定的推 理原则，如公理化原则、一致性原则 和完备性原则等。这些原则确保了经 济理论的逻辑严密性和科学性。
03
数理经济学的应用
宏观经济学中的应用
经济增长与经济发展
数理经济学在研究经济增长、经济发展等方面发挥了重要作用，通 过建立数学模型来解释国家或地区的经济增长和发展趋势。
财政政策与货币政策
利用数理经济学方法分析财政政策和货币政策的效果，为政府制定 经济政策提供科学依据。
ch03 数理经济学
• o o
内生变量 外生变量 常量与参数
Qd ≡ Qs ≥ 0 Q = a − bP d Qs = −c + dP a, b, c, d > 0
3.2.2 模型求解
• 数学问题 –代数方程组求解（ 2元1次） – 消元法：通过代换逐步消去未知变量
• 几何解释 a
Q*=Qd=Qs O -c
第3章 经济学中的均衡分析
• 内容
• 均衡的含义 • 局部市场均衡 – 线性模型 • 局部市场均衡 – 非线性模型 • 一般市场均衡模型 • 国民收入分析中的均衡
3.1均衡的含义
• 简单的市场经济模型 需求 供给 生产厂商 家庭/个人 团体 家庭 个人/团体 个人 生产要素市场 需求 (劳动 资本,技术 土地) (劳动,资本,技术,土地) 劳动,资本 技术,土地 供给 商品或劳务市场
消费支出=收入 （产品需求=劳动供给）
• 国民收入均衡 — Y(国民收入)=C（消费）+I（投资）
+G(政府支出)+(X（出口）- Z（进口）)
• 证券市场股票价格—
3.2 局部市场均衡 – 线性模型
• 问题 – 静态均衡模型中，求解满足均衡条件下模型的内生变量。 3.2.1 模型构造 (局部市场均衡模型 – 孤立市场中的价格决定模型) • 经济理论 – 商品的需求量Q_d、供给量Q_s、价格P • 均衡条件 – 需求量Q_d =供给量Q_s • 数学模型
Qd = 4 − P 2 Q = 4 P − 1 s
最简单的非线性方程
f ( P ) = −5 + 4 P + P 2
3.3.3二次方程的求解
• 因式分解公式
ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0 − b ± b2 − 4ac xi = , i = 1,2 2a
数理经济学
第4组：第8章与第9章
第8章一般函数模型的比较静态分析
主要内容： 1、微分 2、全微分 3、微分法则 4、全导数 5、隐函数的导数 6、一般函数模型的比较静态学 7、比较静态学的局限性
引言
• 静态分析与比较静态分析的概念：
静态分析：根据既定的外生变量来求得内生变量值的分析
方法。它是考察在既定的条件下某一经济事物在 经济变量的相互作用下所实现的均衡状态。 比较静态分析方法：研究外生变量变化对内生变量的影响方 式，以及分析比较不同数值的外生变量下的内生变量的不同 数值。它是考察当原有的条件或外生变量发生变化时，原有 的均衡状态会发生什么变化，并分析比较新旧均衡状态。
2、导数的链并不仅限于两个“环节”（两个导数相乘）；全导数
的概念可拓展至复合函数具有两个或多个环节的情况。
3、在讨论的所有情形中，全导数，包括偏全导数，度量因变量对
链中某些基本变量，或者说对某些具有外生性的或不能表示成 其他变量的函数的变量的变化率。全导数和全微分法的实质， 是考虑到直接和间接的所有渠道；通过这些渠道，基本变量变 化的影响能够传递到所研究的特定因变量中。
隐函数的导数
241页例4： 假设方程F（Q,K,L）=0隐含地被定义了一个生产函数Q=f（K,L）， 让我买求出表示与函数F相关的边际物质产品，MPP 和MPP 的方 K L Q Q 法。因为边际产品仅为偏导数 抖 / K 和抖 / L 我们可应用隐函数法则并写出： MPP ≡ ¶ Q = _ FK K ¶ k FQ
D x 0
微分与点弹性
• 弹性：表示因变量对自变量变化的反应的敏感程度 • 弹性系数=因变量的变动比例/自变量的变动比例 • 对于需求函数，点弹性可以表示为：
• ed =（dQ/Q）/（dp/p）=（dQ/dP）/（Q/P）
第8章一般函数模型的比较静态分析
主要内容： 1、微分 2、全微分 3、微分法则 4、全导数 5、隐函数的导数 6、一般函数模型的比较静态学 7、比较静态学的局限性
引言
• 静态分析与比较静态分析的概念：
静态分析：根据既定的外生变量来求得内生变量值的分析
方法。它是考察在既定的条件下某一经济事物在 经济变量的相互作用下所实现的均衡状态。 比较静态分析方法：研究外生变量变化对内生变量的影响方 式，以及分析比较不同数值的外生变量下的内生变量的不同 数值。它是考察当原有的条件或外生变量发生变化时，原有 的均衡状态会发生什么变化，并分析比较新旧均衡状态。
2、导数的链并不仅限于两个“环节”（两个导数相乘）；全导数
的概念可拓展至复合函数具有两个或多个环节的情况。
3、在讨论的所有情形中，全导数，包括偏全导数，度量因变量对
链中某些基本变量，或者说对某些具有外生性的或不能表示成 其他变量的函数的变量的变化率。全导数和全微分法的实质， 是考虑到直接和间接的所有渠道；通过这些渠道，基本变量变 化的影响能够传递到所研究的特定因变量中。
隐函数的导数
241页例4： 假设方程F（Q,K,L）=0隐含地被定义了一个生产函数Q=f（K,L）， 让我买求出表示与函数F相关的边际物质产品，MPP 和MPP 的方 K L Q Q 法。因为边际产品仅为偏导数 抖 / K 和抖 / L 我们可应用隐函数法则并写出： MPP ≡ ¶ Q = _ FK K ¶ k FQ
D x 0
微分与点弹性
• 弹性：表示因变量对自变量变化的反应的敏感程度 • 弹性系数=因变量的变动比例/自变量的变动比例 • 对于需求函数，点弹性可以表示为：
• ed =（dQ/Q）/（dp/p）=（dQ/dP）/（Q/P）
数理经济学
A I ( B I C ) = ( A I B) I C 并与交的分配律：A U ( B I C ) = ( A U B) I ( A U C ), A I ( B U C ) = ( A I B) U ( A I C )
2011-4-30
I.25
GuoSipei@CCNUMATH
2.4 关系与函数
2011-4-30 I.15 GuoSipei@CCNUMATH
数学方法具有如下优点：
运用的“语言”更为简练、精确 有大量的数学定理可为我所用 迫使我们明确陈述所有假设，作为运用数学定理的 先决条件，这能使我们戒除不自觉地采用不明确假 设的缺点 使我们能够处理n个变量的一般情况
本课程的目的就是将经济学文献中相关的数学 方法汇聚到一处，按逻辑顺序组织，完整地解 释，并阐述其在经济学中的应用
第一篇 导 论
第1章 数理经济学的实质
1.1 数理经济学与非数理经济学 1.2 数理经济学与经济计量学
第2章 经济模型
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7
2011-4-30
数学模型的构成 实数系 集合 关系与函数 函数的类型 两个或两个以上自变量的函数 一般性水平
I.1 GuoSipei@CCNUMATH
注：当未特别设定时，我们将定义域和值域理解为 仅包括使函数具有经济意义的那些数值.
2011-4-30
I.27
GuoSipei@CCNUMATH
2.5 函数的类型
常值函数
在平面直角坐标系中这样的函数表现为一条水平线 在国民收入模型中，当投资（I）为外生决定的，可以有下 述形式的投资函数：I=1亿美元，或I=I0
数学定理按照“如果-那么”的形式陈述，为导出“那么”,分析者 必须保证每个分析阶段中“如果”与其采纳的假设相一致 超越几何学分析方法是完全有必要的：方程工具打破维数限制，分 析更一般的情况,如无差异曲线的一般图形讨论时，标准假设是消 费者只能得到2种商品，因为要绘出3维或更多维的图形是基本不现 实的
2011-4-30
I.25
GuoSipei@CCNUMATH
2.4 关系与函数
2011-4-30 I.15 GuoSipei@CCNUMATH
数学方法具有如下优点：
运用的“语言”更为简练、精确 有大量的数学定理可为我所用 迫使我们明确陈述所有假设，作为运用数学定理的 先决条件，这能使我们戒除不自觉地采用不明确假 设的缺点 使我们能够处理n个变量的一般情况
本课程的目的就是将经济学文献中相关的数学 方法汇聚到一处，按逻辑顺序组织，完整地解 释，并阐述其在经济学中的应用
第一篇 导 论
第1章 数理经济学的实质
1.1 数理经济学与非数理经济学 1.2 数理经济学与经济计量学
第2章 经济模型
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7
2011-4-30
数学模型的构成 实数系 集合 关系与函数 函数的类型 两个或两个以上自变量的函数 一般性水平
I.1 GuoSipei@CCNUMATH
注：当未特别设定时，我们将定义域和值域理解为 仅包括使函数具有经济意义的那些数值.
2011-4-30
I.27
GuoSipei@CCNUMATH
2.5 函数的类型
常值函数
在平面直角坐标系中这样的函数表现为一条水平线 在国民收入模型中，当投资（I）为外生决定的，可以有下 述形式的投资函数：I=1亿美元，或I=I0
数学定理按照“如果-那么”的形式陈述，为导出“那么”,分析者 必须保证每个分析阶段中“如果”与其采纳的假设相一致 超越几何学分析方法是完全有必要的：方程工具打破维数限制，分 析更一般的情况,如无差异曲线的一般图形讨论时，标准假设是消 费者只能得到2种商品，因为要绘出3维或更多维的图形是基本不现 实的
数理经济学
数理经济学
数理经济学是一门研究数量和经济行为的综合学科，它对数学、统计学和经济学的应用相结合。
它的出现开拓了经济学的发展范围，深入剖析经济存在的问题，提供有效的解决解决方案，并实施经济政策。
数理经济学主要通过定量分析及模型去研究社会经济现象和政策，比如微观经济，宏观经济，货币市场，国际经济等等。
数理经济学运用了数学、统计、技术分析和实验方法来建模经济各类问题和政策，推导出有效的经济分析结果以及经济政策可行性分析。
数理经济学还有助于更好地理解复杂的经济系统，比如，金融市场中各类金融资产价格的变化，这些价格变化受多种因素共同影响，既有宏观因素也有微观因素，数理经济学使分析师们能够深入分析相关问题，并利用概率模型来研究当前的经济形势和走势。
总而言之，数理经济学运用了数学、统计、技术分析和经济学的原理，以及实验和模型等，来研究经济现象。
它为经济研究和经济政策制定提供了有效的方法，这极大地推动了经济发展和改善了现实经济环境。
数理经济学
1.3 数理经济学与其他经济学之间的关系
1.3.1 经济学分类
1.3.2 经济学、数学和统计学结合产生的学科
1.3.3 联系与区别
1.4 数理经济学的研究方法
1.4.1 方程
1.4.2 研究方法
1.5 数理经济学的内容与地位
1.5.1 数理经济学的内容
杰文斯的目的是要为价值的最终理论以及建立在这个理论之上的市场规律提供数学解说。他的理论中心是“价值完全由效用决定”。他把商品对所有者的效用分为总效用和最后程度的效用(即后来的边际效用)，后者是商品拥有或消费总量增加时，总效用增加量对商品增加量的比率。
他认为随着商品拥有量的增加。最后程度的效用会逐渐降低，并据此用数学方法推出：一种商品所有者和另一种商品所有者互相交换商品可以增加总效用，交换要进行到两种商品的最后程度效用相等、总效用最大达到均衡时才停止，这时两种商品在两个所有者之间的交换比率应该等于交换完成后两种商品的最后程度效用的反比。
2.2.1 函数四则运算的导数
2.2.2 复合函数及其导数
2.2.3 反函数及其导数
2.2.4 参数式函数及其导数
2.3 微分
2.3.1 微分定义
2.3.2 微分定义的经济应用——近似计算
2.4 微分运算法则
2.4.1 函数四则运算的微分法
2.4.2 复合函数的微分法
2.4.3 微分形式的不变性
2.5 Lagrange中值定理与Taylor公式
2.5.1 Lagrange中值定理
2.5.2 Taylor公式
2.6 函数的单调性、凹凸性、极值与最值
2.6.1 函数单调性的判定
2.6.2 函数凹凸性及其判别准则
1.3.1 经济学分类
1.3.2 经济学、数学和统计学结合产生的学科
1.3.3 联系与区别
1.4 数理经济学的研究方法
1.4.1 方程
1.4.2 研究方法
1.5 数理经济学的内容与地位
1.5.1 数理经济学的内容
杰文斯的目的是要为价值的最终理论以及建立在这个理论之上的市场规律提供数学解说。他的理论中心是“价值完全由效用决定”。他把商品对所有者的效用分为总效用和最后程度的效用(即后来的边际效用)，后者是商品拥有或消费总量增加时，总效用增加量对商品增加量的比率。
他认为随着商品拥有量的增加。最后程度的效用会逐渐降低，并据此用数学方法推出：一种商品所有者和另一种商品所有者互相交换商品可以增加总效用，交换要进行到两种商品的最后程度效用相等、总效用最大达到均衡时才停止，这时两种商品在两个所有者之间的交换比率应该等于交换完成后两种商品的最后程度效用的反比。
2.2.1 函数四则运算的导数
2.2.2 复合函数及其导数
2.2.3 反函数及其导数
2.2.4 参数式函数及其导数
2.3 微分
2.3.1 微分定义
2.3.2 微分定义的经济应用——近似计算
2.4 微分运算法则
2.4.1 函数四则运算的微分法
2.4.2 复合函数的微分法
2.4.3 微分形式的不变性
2.5 Lagrange中值定理与Taylor公式
2.5.1 Lagrange中值定理
2.5.2 Taylor公式
2.6 函数的单调性、凹凸性、极值与最值
2.6.1 函数单调性的判定
2.6.2 函数凹凸性及其判别准则
数理经济学课件
Matrix Operation Scalar Multiplication
• The product of a matrix ������ and a number ������, denoted by ������������, is a matrix created by multiplying each entry of ������ by ������. ������11 ⋯ ������1������ ������������11 ⋯ ������������1������ ������������������ ⋮ ⋮ ������������������������ ⋮ ������ ⋮ = ������������1 ⋯ ������������������ ������������������1 ⋯ ������������������������ • In summary, within the class of ������ × ������ matrices, addition, subtraction and scalar multiplication are all defined in terms of the corresponding entry of the matrices.
• Note that is this case, the product taken in reverse order, ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ • is not defined.
Matrix Operation Multiplication
Matrix Operation Subtraction
《数理经济学讲义》课件
经济增长模型
总结词
经济增长模型是用于描述一个国家或地区经 济增长规律的数理经济学模型。
详细描述
经济增长模型通常以国民收入或国内生产总 值为研究对象，通过分析影响经济增长的要 素，如劳动力、资本、技术等，来解释经济 增长的原因和规律。该模型对于制定经济发
展战略和政策具有重要的指导意义。
贸易模型
总结词
贸易模型是用于描述国际贸易关系的数理经济学模型 。
详细描述
贸易模型通常以国家间的贸易往来为研究对象，通过 分析比较优势、机会成本等因素，来解释国际贸易的 动因和结果。该模型对于理解国际贸易格局、分析贸 易政策的影响等方面具有重要价值。
2023
REPORTING
THANKS
感谢观看
模型复杂性与解释性
模型复杂性
数理经济学模型往往涉及多个变量和复杂的 相互作用，这使得模型的建立和验证变得困 难。如何简化模型并保持其解释力是数理经 济学家面临的一个重要挑战。
模型解释性
数理经济学模型通常侧重于数学推导和统计 分析，而忽视了模型的经济解释。提高模型 的解释性，使其更好地反映经济现实，是数 理经济学未来的一个重要发展方向。
未来展望
随着数学和计算机科学的进步，数理经济学将继续发展壮大，研究范围将更加广泛，对 经济学的贡献也将更加显著。
2023
PART 02
数理经济学的基本概念
REPORTING述经济现象和过程的抽象数学结构。
02
数学模型能够通过数学方程和不等式来表达经济关系和规律，帮助我 们理解和预测经济行为和结果。
2023
PART 05
数理经济学的挑战与未来 发展
REPORTING
数据质量与可获得性
数理经济学
完全信息博弈与不完全信息博弈按照大家是否清楚对局情况下每个局中人的得益。
“各种对局情况下每个人的得益是多少”是所有局中人的共同知识..据“共同知识”的掌握分为完全信息与不完全信息博弈。
静态博弈与动态博弈同时决策或者同时行动的博弈属于静态博弈；先后决策或者行动的博弈，属于动态博弈，后行动者在自己行动之前能观测到先行动者的行动。
即使决策或行动有先后，但只要局中人在决策时都还不知道对手的决策或者行动是什么，也算是静态博弈。
完美信息博弈与不完美信息博弈是关于动态博弈进行过程之中面临决策或者行动的参与人对于博弈进行迄今的历史是否清楚的一种刻划。
如果在博弈进行过程中的每一时刻，面临决策或者行动的参与人，对于博弈进行到这个时刻为止所有参与人曾经采取的决策或者行动完全清楚，则称为完美信息博弈；否则称为不完美信息。
零和博弈与非零和博弈如果一个博弈在所有各种对局下全体参与人之得益总和总是保持为零，这个博弈就叫零和博弈；相反，如果一个博弈在所有各种对局下全体参与人之得益总和不总是保持为零，这个博弈就叫非零和博弈。
零和博弈是利益对抗程度最高的博弈。
博弈论（game theory）是研究决策主体的行为发生直接相互作用时候的决策以及这种决策的均衡问题。
研究理性决策者之间的冲突与合作的理论..”关于至少存在部分利益冲突的两个或多个决策者所处情况的分析”追求个体利益最大化，最后得到的结果不一定是最好的。
个人理性导致集体非理性。
严格占优策略,就是能够使参与人的利益在任何情况下都得到最大化的策略.严格劣策略,存在绝对的劣势的策略.逐步剔除严格劣策略的优势均衡：逐次删去绝对劣势战略得到唯一的占优战略组合.如果每次剔除的劣战略（包括严格劣战略和弱劣战略）不止一个，那么各个劣战略剔除的顺序不同，得到的博弈结果也可能不同，除非每次剔除的都是严格劣战略。
策略:就是一个完整的相机决策规则,其作用在于在每一种可能出现的情况下指出参与人应该如何行动. 纳什均衡在占优战略重复剔除解法中不会被剔除。
数理经济学的基本方法第三章(经济学中的均衡分析)
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3.4一般市场均衡
限定条件：1.
2.为保证P*为正，分子、分母的符号无应忧相P同PT。整理发布
3.4一般市场均衡
一般方程组的解 （解值总是以参数表示的）
因此，对于一般函数模型，比如含有m个参数（a1,a2,…,am)的一般 函数模型（m不一定等于n），可以预期n种均衡价格取如下一般解析 形式：
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3.4一般市场均衡
不相容 函数相关
独立且相容 无忧PPT整理发布
3.4一般市场均衡
习题：
两商品市场模型的需求和供给函数如下：
Qd1=18-3P1+P2 Qs1=-2+4P1
Qd2=12+P1-2P2 Qs2=-2+3P2
求 P*i,Q*i (i=1,2).(使用分数，不要使用小数）
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3.2局部市场均衡—线性模型
模型的构建
假设条件：当且仅当超额需求为零（Qd-Qs=0），
即市场出清时，市场实现均衡。
建模：Qd=Qs,
Qd=a-bP, (a,b>0) Qs=-c+dP, (c,d>0)
(3.1)
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3.2局部市场均衡—线性模型
图3.1
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3.1均衡的含义
缺乏依据的结论：均衡是事物的一种理想的或合意的状态， 因为只有理想状态才会缺乏变化动力。（利润最大化、非充 分就业的国民收入均衡水平）
唯一合理的解释是：均衡是这样一种状态，其一旦达到且外 力不发生变化时，就有维持不变的倾向。
本章--非目标均衡：不是由于对特定目标的刻意追求，而是 由于非个人的或超个人的经济力量相互作用与调节所致。 （给定供求条件下的市场均衡、给定消费与投资方式下的国 民收入均衡）
3.4一般市场均衡
限定条件：1.
2.为保证P*为正，分子、分母的符号无应忧相P同PT。整理发布
3.4一般市场均衡
一般方程组的解 （解值总是以参数表示的）
因此，对于一般函数模型，比如含有m个参数（a1,a2,…,am)的一般 函数模型（m不一定等于n），可以预期n种均衡价格取如下一般解析 形式：
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3.4一般市场均衡
不相容 函数相关
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3.4一般市场均衡
习题：
两商品市场模型的需求和供给函数如下：
Qd1=18-3P1+P2 Qs1=-2+4P1
Qd2=12+P1-2P2 Qs2=-2+3P2
求 P*i,Q*i (i=1,2).(使用分数，不要使用小数）
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3.2局部市场均衡—线性模型
模型的构建
假设条件：当且仅当超额需求为零（Qd-Qs=0），
即市场出清时，市场实现均衡。
建模：Qd=Qs,
Qd=a-bP, (a,b>0) Qs=-c+dP, (c,d>0)
(3.1)
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3.2局部市场均衡—线性模型
图3.1
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3.1均衡的含义
缺乏依据的结论：均衡是事物的一种理想的或合意的状态， 因为只有理想状态才会缺乏变化动力。（利润最大化、非充 分就业的国民收入均衡水平）
唯一合理的解释是：均衡是这样一种状态，其一旦达到且外 力不发生变化时，就有维持不变的倾向。
本章--非目标均衡：不是由于对特定目标的刻意追求，而是 由于非个人的或超个人的经济力量相互作用与调节所致。 （给定供求条件下的市场均衡、给定消费与投资方式下的国 民收入均衡）
数理经济学精要
约束为资本的储蓄方程式：
K = I − δ K
§3 变分法
14
例3.1.2 最优资本存量问题
由此问题的 Euler 方程可推导出：
FK
=
⎛ ⎜
r
⎝
+δ
−
p p
⎞ ⎟ ⎠
p
该方程左边表示资本的边际收益，右边表示资本的
实际成本，它等于用投资品价格衡量的利息和折旧
与因资本价格变动带来的收益(购入后资本价格升
§3 变分法
22
可变端点变分问题的Euler方程
【定理 3.2.3】（可变端点变分问题的 Euler 方程和横 截性条件）
设 f ，ψ 为二阶连续可微函数， x∗，t1*为变分法 问题(CVP-4)的最优解，则 Euler 方程(3.1.2)成立，且 满足下述边界条件
⎡⎣ f (t, x∗, x∗ ) + (ψ − x∗ ) fx (t, x∗, x∗ )⎤⎦t=t1* = 0 （3.1.7）
(3.1.4)
L(t, x(t), x(t)) = f (t, x(t), x(t)) + μT g(t, x(t), x(t))。
§3 变分法
17
例3.2.1：等周问题
如下图，考虑连接两点 A、B 的长度为一定的， 与线段 AB 围成的面积最大的曲线。
y
A
B
x0 图 3.2.1 等周问题 x1 x
厦门大学经济系 邵宜航
数理经济学精要
——经济学中的最优化数学分析
变分法原理与应用 （讲义要点）
第三章 变分法
§3.1 最简变分问题 §3.2 条件变分和可 动边界变分
3.1.1. 最简泛函的第一 变分与第二变分
相关主题
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税收政策对房地产项目开发成本的影响；r 为社会平均资本收益率，rB 则为房地产开发商
用自有资金 B 开发房产项目的机会成本）。
由一阶条件推导房产的需求、供给曲线。 市场均衡价格是多少？分析各种参数变动对房产价格的影响。 从前面的分析中，你能给出调控房产价格的政策建议吗？这个模型与相应的建议还
有哪些局限性？
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最优化问题，求出相应的要素需求函数 K , A,Y;r, w和 L, A,Y;r, w。
验证两个最优化问题的等价性。（提示：第一种办法可验证达到利润最大化和成本 最小化时，厂商的要素需求函数是等价的；此外也可验证达到利润最大化时的产出
函数Y * Y * , A;r, w,C 所隐含的C* Y *1 , A;r, w,C ，与成本最小化时的成本函 数C* C* , A,Y;r, w 等价。）
MaxU 不考虑银行贷款，购房者的最优化问题为： H
ln G
ln PH
（其中 G
为其他商
s.t.G PH Y
Max PH cH 2 r B
品消费，Y 为家庭收入），房地产开发商的最优化问题为： H
2
，（其
s.t. cH 2 B
2
中：c 为开发成本参数，代表企业的开发建筑成本和管理成本，也可以反映政府的土地、
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樊潇彦 复旦大学经济学院 2009
第三讲 静态最优化问题
樊潇彦 复旦大学经济学院 2009
1. 消费者问题之“线性支出”系统（参考 MWG，3.D.6，P137）：
考虑一个有三种商品的情形，消费者的效用函数为U x x1 b1 x2 b2 x3 b3 ： 写出 UMP 的一阶条件，推导消费的需求函数 x 和间接效用函数U p ；
写出 dY 和 dY 的表达式，当1 CY IY LY 时，验证 dY 0， dY 0 ，该结果
dG dM
Ir
Lr
dG
dM
能用来分析一个国家的财政政策和货币政策的作用吗？那么条件1 CY IY LY
Ir
Hale Waihona Puke Lr6第三讲 静态最优化问题
樊潇彦 复旦大学经济学院 2009
的含义呢？（提示：分析 IS－LM 曲线隐含的 dr 的符号，也就是它们在 r-Y 平面 dY
分别为r 和 w，商品市场与要素市场均为完全竞争： 如果生产者要在生产成本rK wL C 的情况下追求“利润最大化”，写出生产者最
优化问题，求出相应的要素需求函数 K , A;r, w,C和 L, A;r, w,C。
如果生产者要在产出 AK L1 Y 的情况下追求“成本最小化”，写出此时的生产者
2 为 p2 t 1 z。
求两个商场的均衡价格 p1*、 p2*和均衡利润1* 、*2 ，解释经济含义。
两种方法求解：简单最优化（弗登博格和梯若尔，2002，P12）；库恩－塔克方法（MWG， P550）。
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第三讲 静态最优化问题
樊潇彦 复旦大学经济学院 2009
4. 最优化问题、市场均衡与比较静态分析（参考袁志刚、樊潇彦，2003）：
上的斜率）
如果长期来看价格水平也是内生的，也就是说财政、货币政策对长期价格也有影
响，那么你能否从前面的假设中解出 dP 和 dP ？为什么？ dG dM
假定长期供给曲线为 P AY, A 0，求解 dY ? dP ? G, M , A
d d
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第三讲 静态最优化问题
樊潇彦 复旦大学经济学院 2009
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第三讲 静态最优化问题
樊潇彦 复旦大学经济学院 2009
3. 线性空间产品差异的 Hotelling 模型
一个长度为 1 的线性城市，消费者在0,1区间上均匀分布；两家厂商（商场）位于
城市的两端，销售同样的产品，售价分别为 p1、 p2，两个商场的单位成本均为c 。消费 者去购物要承担每单位距离为t 的交通成本，到商场 1 购物的总支出为 p1 t z ，到商场
数理经济学第三讲
静态最优化问题
樊潇彦 复旦大学经济学院 2009
第三讲 静态最优化问题
本讲主要内容： 1. 消费者问题之“线性支出”系统 2. 生产者问题的对偶性 3. 线性空间产品差异的 Hotelling 模型 4. 最优化问题、市场均衡与比较静态分析 5. IS－LM 与 AD－AS 模型 6. 宏观经济中的价格决定：卢卡斯供给曲线
这一需求系统被称为“线性支出”系统，它是由斯通（1954）提出的。解释你所得
到结果的经济含义。
对 x和U 做比较静态分析，说明参数变化的经济和福利影响。
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第三讲 静态最优化问题
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2. 生产者问题的对偶性（参考瓦里安，4.3 节，P58）： 假定厂商有 CD 生产函数Y AK L1 ，产品价格正规化为 1，资本和劳动要素的价格
6. 宏观经济中的价格决定：卢卡斯供给曲线 阅读附件中的材料（节选自袁志刚、宋铮，2001），推导相关结果。
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------参考文献： 1. D. 弗登博格、J. 梯若尔著：《博弈论》，黄涛等译，姚洋校，中国人民大学出版社，2002.10 2. H.R. 瓦里安著：《微观经济学（高级教程，第三版）》，周洪等译，经济科学出版社，2002.10 3. 袁志刚、宋铮著：《高级宏观经济学》，复旦大学出版社，2001.9
0；
－货币市场均衡（LM 曲线）： M P
L(Y , r)，其中 LY
0 ， Lr
0。
假定短期内价格水平不变，请通过对 IS－LM 曲线求全微分验证下述矩阵表达式：
1 CY IY
LY
Ir Lr
dY
dr
dG 1 dM P
在什么情况下我们能从上述方程组中“解出”dY ? dr ?（提示：隐函数定理）
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第三讲 静态最优化问题
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5. IS－LM 与 AD－AS 模型（参考袁志刚、宋铮，1.2 节，P20）：
将一个国家的宏观经济用 IS－LM 模型表述如下：
－商品市场均衡（IS
曲线）：Y
C(Y ) I (Y,r) G，其中CY
dC dY
0,1 ，IY
0 ，Ir