极值点偏移的判定方法

极值点偏移的判定方法和运用策略 一、判定方法

1、极值点偏移的定义

对于函数)(x f y =在区间),(b a 内只有一个极值点0x ，方程0)(=x f 的解分别为

21x x 、，且b x x a <<<21，（1）若

02

12

x x x ≠+，则称函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 偏移；（2） 若

02

12

x x x >+，则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 左偏，简称极值点0x 左偏； （3）若02

12

x x x <+，则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 右

偏，简称极值点0x 右偏。 2、极值点偏移的判定定理

判定定理1 对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，方程0)(=x f 的解分别为21x x 、，且b x x a <<<21，（1）若0)2

(

'2

1>+x x f ，则02

1)(2

x x x ><+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极大（小）值点0x 右（左）偏；

（2）0若0)2('21<+x x f ，则021)(2x x x <>+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极大（小）值点

0x 左（右）偏。

证明：（1）因为可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，则函数)(x f y =的单调递增（减）区间为),(0x a ，单调递减（增）区间为),(0b x ，又

b x x a <<<21，有

),(221b a x x ∈+由于0)2('21>+x x f ，故),(2

021x a x

x ∈+，所以02

1)(2

x x x ><+，即函数极大（小）值点0x 右（左）偏。 结论（2）证明略。

判定定理2 对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，方程0)(=x f 的解分别为21x x 、，且b x x a <<<21，（1）若)2()(201x x f x f -<，则

02

1)(2x x x ><+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极大（小）值点0x 右（左）偏；

（2）若)2()(201x x f x f ->，则

02

1)(2x x x <>+，

即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极大（小）值

点0x 左（右）偏。

证明：（1）因为对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，则函数)(x f y =的单调递增（减）区间为),(0x a ，单调递减（增）区间为),(0b x ，又

b x x a <<<21，有01x x <，且0202x x x <-，又)2()(201x x f x f -<，故2012)(x x x -><

，所以

02

1)(2

x x x ><+，即函数极大（小）值点0x 右（左）偏. 结论（2）证明略。 应用举例

例1：函数,34)(34x x x f -

=与直线)3

1

(->=a a y 交于),(),(21a x B a x A 、，证明：221<+x x 。

解法1:（运用定义证明）：设21x x <，由题意得,343141a x x =-

,3

4324

2a x x =-两式相减整理得

,)

(342

2

2122212121x x x x x x x x +++=+设

)1(1

2

>=

t x x t ，故

,21

34341)

1(34222

21<+⨯+=+++=+t t

t t t x x 即221<+x x 。

由于仅用a 难表示21x x +，故两式相减，构造用1

2

x x t =

表示21x x +的函数求解。 解法2:（运用判定定理1证明）：设21x x <，2

3

44)('x x x f -=，函数3

43

4)(x x x f -

=的单调递减区间为)1,(-∞，单调递增区间为),1(+∞，又,)(342

2

2122212121x x x x x x x x +++=+有0)

(3)()2('2

2212

222121<+--=+x x x x x x f ，则122

1<+x x ，即221<+x x 。 判断)2

('2

1x x f +与0的关系，此解法用的是不等式放缩法。当然，也可构造函数求解。

解法3:（运用判定定理2证明）：设21x x <，函数343

4

)(x x x f -=的单调递减区间为)1,(-∞，

得证。，所以单调递减区间为（又函数又时，即时，，所以当）又单调递增区间为（故设有，单调递增区间为（,2)1,3

4)(,12,1),2())1(1()()().1()1(0,0)0()(000(),,)(,.0)123(8)('),1()1()(,1),1213

421222122x x x x x f x x x f x f x f x f x f x f x F x F x F x F x x x F x f x f x F x -<∞--

=<-<->-+==->+>=>>=+∞∞->+-=--+=>∞+为此题的难点。函函数)1()1()(数，构构是构构解决极决极值点偏移的2运用判定定理 x f x f x F --+=

.0),)(()(2)()1(.11)(2013(22121212

<+≠=+-=x x x x x f x f x f e x

x x f x

）证明：当（的单调区间；

求天津文）已知函数：例

分析：构造对称函数

.

2),()(,)3();

()(11)()(2)()1().()(2010(212121>+=≠>>===∈=-x x x f x f x x x g x f x x x f y x g y x f R x xe x f x 证明：且如果时，证明：当对称，的图像关于直线的图像与函数）已知函数（的单调区间；

求函数天津理）已知函数

分析：（3）构造比较函数。

.

2

),(,)

()(ln ln ),(b

a b a L ab b a a b a b a b

a b a L b a +≤≤⎪⎩⎪

⎨⎧=≠--=有如下关系：

的对数平均、定义：两个正数对数平均不等式：

2

),(,)()(),(,2

n

m n

m m n

m n

m e e b a E e

n m e n m n m e e b a E e b e a +≤

≤⎪⎩⎪⎨⎧=≠--===+不等式有如下关系：根据对数平均

，则设在对数平均的定义中，指数不等式：

.

0)('2)1(.

),0,()0,),()(4212121<<∈+-=x x f x x x x B x A x R a a ax e x f x ）证明：（的取值范围；求且、（轴交于其图像与：设函数例