极值点偏移(2020年10月整理).pdf

极值点偏移问题

一、极值点偏移的含义

众所周知，函数)(x f 满足定义域内任意自变量x 都有)2()(x m f x f −=，则函数)(x f 关于直线m x =对称；可以理解为函数)(x f 在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若

)(x f 为单峰函数，则m x =必为)(x f 的极值点. 如二次函数)(x f 的顶点就是极值点0x ，

若c x f =)(的两根的中点为2

2

1x x +，则刚好有0212x x x =+，即极值点在两根的正中间，

也就是极值点没有偏移.

若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数)(x f 的极值点为m ，且函数)(x f 满足定义域内m x =左侧的任意自变量x 都有)2()(x m f x f −>或)2()(x m f x f −<，则函数)(x f 极值点m 左右侧变化快慢不同. 故单峰函数)(x f 定义域内任意不同的实数21,x x 满足)()(21x f x f =，则

2

2

1x x +与极值点m 必有确定的大小关系： 若221x x m +<，则称为极值点左偏；若2

2

1x x m +>，则称为极值点右偏.

左快右慢（极值点左偏22

1x x m +<

⇔） 左慢右快（极值点右偏2

21x x m +>⇔）

左快右慢（极值点左偏221x x m +<⇔） 左慢右快（极值点右偏2

2

1x x m +>⇔） 如函数x e

x

x g =)(的极值点10=x 刚好在方程c x g =)(的两根中点221x x +的左边，我们称

之为极值点左偏.

二、极值点偏移问题的一般题设形式：

1. 若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，求证：0212x x x >+（0x 为函数)(x f 的极值点）；

2. 若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，求证：0212x x x >+（0x 为函数)(x f 的极值点）；

3. 若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，令2

2

10x x x +=

，求证：0)('0>x f ； 4. 若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，令2

2

10x x x +=，求证：

0)('0>x f .

5.

()2

120x x x ><

三、应对极值点偏移问题的若干思路

思路一: 对称化构造

1、方法概述：

（1）求出函数)(x f 的极值点0x ；

（2）构造一元差函数)()()(00x x f x x f x F −−+=；或)2()()(0x x f x f x F −−= （3）确定函数)(x F 的单调性；

（4）结合0)0(=F ，判断)(x F 的符号，从而确定)(0x x f +、)(0x x f −的大小关系. 口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随. 2、抽化模型

答题模板：若已知函数)(x f 满足)()(21x f x f =，0x 为函数)(x f 的极值点，求证：

0212x x x <+.

（1）讨论函数)(x f 的单调性并求出)(x f 的极值点0x ；

假设此处)(x f 在),(0x −∞上单调递减，在),(0+∞x 上单调递增.

（2）构造)()()(00x x f x x f x F −−+=；

注：此处根据题意需要还可以构造成)2()()(0x x f x f x F −−=的形式.（对结论()2

120x x x

><，构造

()()20x F x f x f x ⎛⎫

=− ⎪⎝⎭

），

（3）通过求导)('x F 讨论)(x F 的单调性，判断出)(x F 在某段区间上的正负，并得出

)(0x x f +与)(0x x f −的大小关系；

假设此处)(x F 在),0(+∞上单调递增，那么我们便可得出

0)()()()(000=−=>x f x f x F x F ，从而得到：0x x >时，)()(00x x f x x f −>+.

（4）不妨设201x x x <<，通过)(x f 的单调性，)()(21x f x f =，)(0x x f +与)(0x x f −的大小关系得出结论；

接上述情况，由于0x x >时，)()(00x x f x x f −>+且201x x x <<，)()(21x f x f =，故)2()]([)]([)()(2002002021x x f x x x f x x x f x f x f −=−−>−+==，又因为01x x <，

0202x x x <−且)(x f 在),(0x −∞上单调递减，从而得到2012x x x −<，从而0212x x x <+得证.

（5）若要证明0)2

(

'2

1<+x x f ，还需进一步讨论221x x +与0x 的大小，得出221x x +所在的

单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.

此处只需继续证明：因为0212x x x <+，故02

12

x x x <+，由于)(x f 在),(0x −∞上单调递减，故0)2

('2

1<+x x f . 【说明】

（1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；

（2）此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求)(x f 的单调性、极值点，证明)(0x x f +与)(0x x f −（或)(x f 与)2(0x x f −）的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如0212x x x <+或0)2

(

'2

1<+x x f 的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题. 口诀为：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；

四个步骤环相扣，两次单调紧跟随。

例1．

解：