3.3.2函数的极值与导数学案

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3・3・2函数的极值与导数(导学案)一. 【知识链接】1 •用导数求函数单调区间的步骤：2. 求下列函数单调区间(1 )f(x)=2x~+2x-4; (2)f(x)=2x 3+4x; (3) f(x)=x+cosx; xW ( 0,§ ); 预习教材完成下列问题：探究一 •极值的概念1、观察下图中的曲线在a 、b 处的函数值f(a)、f(b)与它附近的函数值比较有什么特点？ a 点的函数值f(a)比它临近点紅虽数值都点的函数值都2、极值的概念：一般地，设函数f(x)在点X 。

附近有定义，如果对X 。

附近的所有的点，都有f(x)< f(Xo),我们就说Xo 是函数f(x)的一个 __________________ , f(x ())是函数f(x)的一个_________ ，记作y 极大值= f(xo);如果对Xo 附近的所有的点，都有f(x)>f(x 0),我们就说&)是函数f(x)的一个 ________________________ , f(xo)是函数f(x)的一个 __________________ , •i 己作y 极小值=f(x 0)・注意：在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值•请注意以下几点：(i )极值是一个局部概念•它只是某个点、的函数值与它吐近直的函数值比较是最大或最小•并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.・b 点、的理数值f(b)比它临近(ii )函数的极值不是唯一的•即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.(iii)极大值与极小值之间无确定的大小关系•即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，工i是极大值点，•耳是极小值点，而畑>畑・(iv)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点•而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.探究二、极值的求法3、观察下图中的曲线，曲线在极值点处附近切线的斜率情况.上图中，曲线在极值点处切线的斜率为______________ ,极大值点左侧导数为_________,右侧为________ ;极小值点左侧导数为___________ ,右侧为_______ ・(填正、负)4、利用导数判别函数的极大(小)值：一般地，当函数f(x)在点、xO处连续时，判别f(xO)是极大(小)值的方法是：(1)如果在xO附近的左侧f'(x)>0,右侧f *(x)<0,那么，f(xO)是________________ 值;⑵如果在x()附近的左侧f f(x)<0,右侧f'(x)>0,那么，f(xO)是__________________ 值;思考：导数值为0的点一定为极值点吗？极值点一定导数值为0吗？三.【新知应用】例1求函数•并利用性质画出简图:［总结］:求可导函数f(x)的极值的步骤：⑴.(2).(3).⑷巩固练习P96 1,2四.【课堂小结】1.函数的极值的定义：2.导数求极值的步骤：五.自我检测求下列函数的极值(1) f(x)=6x2+x+2 ; (2) f(x)=x3-12; (3) f(x)=6-12x+x3; (4) f(x)=48x-x3.33.3函数的最大(小)值与导数导学案一、学习目标：1 •连续函数在闭区间上的最大值与最小值定理；2•结合函数图象，能够求闭区间上不超过三次的多项式函数最值.二、重难点：1・重点：会用导数求在给定区间上函数的最值；2•难点：最值与极值的区别.三、学习过程：1 •思考发现：能否认为函数的最大值一定是函数的极大值，函数的最小值必是函数的极小值？从下题中得出结论：如图为函数/(x)在区间［a,b］上的图象，请说出/(X)的极大值，极小值，最大值及最小值.2•由(1)你能总结出最值的概念吗？函数/(兀)在［a,b］上的最值，如果在区间［d,b］上的函数的图象是一条____ 的曲线，那么/(兀)必有最大值和最小值，此性质包括两个条件:(1) 给定函数的区间是 __________ :(2) 图彖在区间上的每一点必须 _______ •函数的最值是比较整个 __________ 的函数值得出的，函数的极值是比较 _________ 的函数值取得的.例1求函数f(x) = -x 3-4x + 4在［0,3］上的最大值与最小值. 2•你能总结出求函数/(x)在［d,切上的最值的步骤吗?巩固练习1•下列命题中，真命题是()A.函数的最大值一定不是该函数的极大值 C ・函数在某一闭区间上的极小值就是函数的最小值D ・函数在开区间不存在最大值和最小值 2•函数.f (兀)-3x4-1在闭区间［-3,0］上的最大值，最小值分别是()3 •函数f\x) = l2x-x 3在区间［-3,3］上的最小值 _______ 4•函数/(兀)二In 兀一兀在(0, e ］上的最大值 ______5 •求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：(1) /(%) = 6x 2+x + 2, xe ［-l,l ］(2) /(x) = ?-12x, xe ［-3,3］7•稲于/©)=丘一丄/ 一2兀+ 5,当兀引一1,2］时，f(x)<m 恒成立，求实数加的取值范 2 B.函数的极大值可以小于该函数的极小值 C.3,-17 D.9,-19。

高中数学新人教版A版精品教案《3.3.2 函数的极值与导数》0

2．本课内容剖析：
函数是高中的重要数学概念，而导数是研究函数的有力工具，因此，先学习导数，方便学生学习和研究函数
教
学
目
标
1知识与技能目标：
（1）理解极大值、极小值的概念；
（2）能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；
（3）掌握求可导函数的极值的步骤
2过程与方法目标：
（1）培养他们的辨析能力；
（2）培养他们的分析问题和解决问题的能力；
3情感、态度与价值观目标：
通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。通过合作与交流，让学生感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，激发学生对数学知识的热爱，养成实事求是的科学态度
教学重点
极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤
教学难点
布
置
作
业
课本99页第5题
巩固本节课知识
板书设计
3.3.3函数的极值与导数
一．定义学生板书
1极大值和极大值点
2极小值和极小值点
二．求函数极值的基本步骤
三．函数极值的应用
通过实际生活中的几个具体例子，一图片的形式给出与本节课相关的图片，一方面吸引学生的注意力，另一方面让学生对极值有一个直观的认识
依
据
图
形
形
成
概
念
【思考】
（1）端点值处有极值吗？
（2）极值点是一个点吗？
（3）极大值一定比极小值大吗？
（4）“点是函数的极值点”是“ ”的什么条件？
1.根据预习情况，完成学案知识梳理部分；
3.3.2函数的极值与导数
新乡市一中刘秋玲
教
材
分
析
1．导数的地位、作用：

高中数学选修1-1优质学案3：3.3.2 函数的极值与导数

3.3.2函数的极值与导数学习要求：1.了解函数极值的概念，会从几何直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件.学法指导：函数的极值反映的是函数在某点附近的性质，是局部性质.函数极值可以在函数图象上“眼见为实”，通过研究极值初步体会函数的导数的作用.1.极值点与极值(1)极小值点与极小值如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧单调递减，右侧单调递增，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.2.求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值.(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值.引言“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，说的是庐山的高低起伏，错落有致，在群山中，各个山峰的顶端，虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点.那么每个山峰附近的走势如何？与导数有什么关系？探究点一函数的极值与导数的关系问题1如图观察，函数y＝f(x)在d、e、f、g、h、i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y＝f(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y＝f(x)的导数的符号有什么规律？问题2 函数的极大值一定大于极小值吗？在区间内可导函数的极大值和极小值是唯一的吗？例1：求函数y ＝2x ＋8x 的极值．探究点二利用函数极值确定参数的值问题已知函数的极值，如何确定函数[解析]式中的参数？例2：已知f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝1与x ＝－23时都取得极值，且f (－1)＝32，求a 、b 、c的值．达标检测1．下列说法正确的是( )A ．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大B ．函数在闭区间上的极大值一定比极小值小C ．函数f (x )＝|x |只有一个极小值D ．函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上一定存在极值2．函数f (x )的定义域为区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在(a ，b )内的极小值的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．43．函数y ＝f (x )是定义在R 上的可导函数，则f ′(x 0)＝0是x 0为函数y ＝f (x )的极值点的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．求函数y ＝x ＋1x 的极值．课堂小结：1.在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值.2.函数的极值是函数的局部性质.可导函数f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0且在x 0两侧f ′(x )符号相反.3.利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.——★ 参考答案 ★——：例1：解：函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．y ′＝2－8x 2，令y ′＝0，得x ＝±2.当x 变化时，y ′、y 的变化情况如下表：极大值当x ＝2时，y 极小值＝8.例2：解：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，令f ′(x )＝0，由题设知x ＝1与x ＝－23为f ′(x )＝0的解．∴⎩⎨⎧1－23＝－23a ，1×(－23)＝b3.解得a ＝－12，b ＝－2.∴f ′(x )＝3x 2－x －2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表知，函数在x ＝1与－23处取得极值．∴a ＝－12，b ＝－2.∴f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，由f (－1)＝－1－12＋2＋c ＝32，得c ＝1. 达标检测1．[解析]函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系，单调函数在区间(a，b)上没有极值，故A、B、D错误，C正确，函数f(x)＝|x|只有一个极小值为0.[答案]C2．[解析]在(a，b)内，f′(x)＝0的点有A、B、O、C.要为函数的极小值点，则在该点处的左、右两侧导函数的符号满足左负右正，只有点B 符合．[答案]A3．[解析]f′(x0)＝0⇒/ y＝f(x)在x0处有极值，但y＝f(x)在x0处有极值⇒f′(x0)＝0，应选B.[答案]B4．解：y′＝1－1x2＝x2－1x2，令y′＝0解得x＝±1，而原函数的定义域为{x|x≠0}，∴当x变化时，y′，y的变化情况如下表：所以当x＝－1时，y极大值＝－2，当x＝1时，y极小值＝2.。

河北省承德市高中数学第三章导数及其应用 3.3.2 函数的极值与导数导学案新人教A版选修1-1

函数的极值与导数
1．如图是函数y＝f(x)的图象，在x＝a邻近的左侧
(x)______0，右侧f(x)单调递______，f ′(x) ______0
数值都比f(a)小，且f ′(a)_____0.在x＝b邻近情形恰好相反，图形上与类似的点还有__________，(e，f(e))，与b类似的点还有
我们把点a叫做函数f(x)的极______值点，f(a)是函数的一个极函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧
牛刀小试
1．函数y＝x3＋1的极大值是( )
A．1 B．0 C．2 D．不存在
2．下列说法正确的是( )
A．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大
B．函数在闭区间上的极大值一定比极小值小
C．函数f(x)＝|x|只有一个极小值
D．函数y＝f(x)在区间(a，b)上一定存在极值
3．函数y＝x3－6x的极大值为( )
A．4 2 B．3 2 C．－3 2 D．－4 2 4．函数y＝2x3－15x2＋36x－24的极大值为__________ __________.
二例题分析
例1求函数y＝3x3－x＋1的极值．
f
将你认为正确的序号填在横线上)．
′(x)的图象如图所示，则函数
2x2＋2ax的单调区间与极值．
时有极值0，求常数a
的定义域为开区间(a，b)，导函数
(在开区间(a，b)内有极小值点
C．3个 D．4
的极小值点求函数的递减区间．
′＝＝0
2－。

高中数学选修1-1优质学案：3.3.2 函数的极值与导数

3.3.2 函数的极值与导数学习目标 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件.知识点1极值点与极值的概念(1)极小值点与极小值如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y ＝f(x)的极小值.(2)极大值点与极大值如(1)中图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)若有极大值和极小值，则极大值一定大于极小值.()(2)若f′(x0)＝0，则x0是函数f(x)的极值点.()(3)若f(x)在区间(a，b)上是单调函数，则f(x)在区间(a，b)上没有极值点.() 提示(1)函数f(x)的极大值和极小值的大小关系不确定，如图所示，极大值f(x1)小于极小值f(x2)，所以(1)错.(2)反例：f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，则f′(0)＝0，但0不是f(x)＝x3的极值点，(2)错.(3)由极值的定义可知(3)正确.[答案](1)×(2)×(3)√知识点2求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值.(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值.【预习评价】函数f(x)＝13x3－x2－3x＋6的极大值为________，极小值为________.[解析]f′(x)＝x2－2x－3，令f′(x)＞0，得x＜－1或x＞3，令f′(x)＜0得－1＜x ＜3，故f(x)在(－∞，－1)，(3，＋∞)上单增，在(－1，3)上单减，故f(x)的极大值为f(－1)＝233，极小值为f(3)＝－3.[答案]233－3题型一求函数的极值【例1】求函数f(x)＝2xx2＋1－2的极值.解函数的定义域为R.f′(x)＝2（x2＋1）－4x2（x2＋1）2＝－2（x－1）（x＋1）（x2＋1）2.令f′(x)＝0，得x＝－1，或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1(－1，1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)↘－3↗－1↘由上表可以看出：当x＝－1时，函数有极小值，且极小值为f(－1)＝－3；当x＝1时，函数有极大值，且极大值为f(1)＝－1.规律方法求可导函数f(x)的极值的步骤：(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格.检测f′(x)在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.【训练1】求函数f(x)＝3x＋3ln x的极值.解函数f(x)＝3x＋3ln x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－3x2＋3x＝3（x－1）x2.令f′(x)＝0，得x＝1.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：↘↗因此当x＝1时，f(题型二利用函数极值确定参数的值【例2】已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.(1)求常数a，b，c的值；(2)判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值.解 (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c . ∵x ＝±1是函数f (x )的极值点，∴x ＝±1是方程f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧－2b3a ＝0，①c3a ＝－1，②又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1. ③由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32. (2)由(1)知f (x )＝12x 3－32x ，∴f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)，当x <－1或x >1时，f ′(x )>0，当－1<x <1时，f ′(x )<0，∴函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1，1)上是减函数，∴当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1，当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1.规律方法 (1)利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解.(2)因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性.【训练2】已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在x ＝x 0处取得极大值5，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1，0)，(2，0)，如图所示，求： (1)x 0的值；(2)a ，b ，c 的值.解 (1)由图象可知，在(－∞，1)上f ′(x )＞0，在(1，2)上f ′(x )＜0，在(2，＋∞)上f ′(x )＞0.故f (x )在(－∞，1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1，2)上单调递减，因此f (x )在x ＝1处取得极大值，所以x 0＝1. (2)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由f ′(1)＝0，f ′(2)＝0，f (1)＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＋c ＝0，12a ＋4b ＋c ＝0，a ＋b ＋c ＝5，解得a ＝2，b ＝－9，c ＝12. 互动探究题型三函数极值的综合应用解 f ′(x )＝9x 2－1，令f ′(x )＞0，得x ＜－13或x ＞13，令f ′(x )＜0，得－13＜x ＜13，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13，⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13上单调递减，因此，当x ＝－13时，f (x )有极大值，且极大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝119，当x ＝13时，f (x )有极小值，且极小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝79，由此易知f (x )的大致形状及走向如图所示，由图可知f (x )共有一个零点.【探究2】设函数f (x )＝x 3－6x ＋5，x ∈R . (1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)若关于x 的方程f (x )＝a 有三个不同的实根，求实数a 的取值范围.解(1)f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝ 2.因为当x>2或x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜2时，f′(x)＜0，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)；单调递减区间为(－2，2).当x＝－2时，f(x)有极大值5＋42；当x＝2时，f(x)有极小值5－4 2.(2)由(1)的分析知y＝f(x)的图象的大致形状及走向如图所示.所以，当5－42＜a＜5＋42时，直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，即当a∈(5－42，5＋42)时，方程f(x)＝a有三个不同的实根.规律方法用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法.它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数.【训练3】设a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a.(1)求f(x)的极值；(2)是否存在实数a，使得方程f(x)＝0恰好有两个实数根？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由.解(1)f′(x)＝－3x2＋3，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.因为当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＜0，当x∈(－1，1)时，f′(x)＞0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，所以f(x)的极小值为f(－1)＝a－2，极大值为f(1)＝a＋2.(2)因为f(x)在(－∞，－1)内单调递减，且当x→－∞时，f(x)→＋∞，f(x)在(1，＋∞)内单调递减，且当x→＋∞时，f(x)→－∞，而a＋2＞a－2，即函数的极大值大于极小值，所以当极大值等于0时，极小值小于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，所以a＋2＝0，a＝－2，如图1所示.当极小值等于0时，极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，所以a－2＝0，a＝2，如图2所示.综上所述，当a＝2或a＝－2时，方程f(x)＝0恰有两个实数根.课堂达标1.函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A.无极大值点，有四个极小值点B.有三个极大值点，两个极小值点C.有两个极大值点，两个极小值点D.有四个极大值点，无极小值点[解析]f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值，f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点.[答案] C2.已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于点(1，0)，则f(x)的极值情况为()A.极大值为427，极小值为0B.极大值为0，极小值为427 C.极大值为0，极小值为－427 D.极大值为－427，极小值为0[解析] f ′(x )＝3x 2－2px －q ，根据题意，知x ＝1是函数的一个极值点，则⎩⎪⎨⎪⎧f ′（1）＝3－2p －q ＝0，f （1）＝1－p －q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1，所以f ′(x )＝3x 2－4x ＋1.令f ′(x )＝0，得x ＝13或x ＝1，易判断当x ＝13时，f (x )有极大值为427，当x ＝1时，f (x )有极小值为0，故选A. [答案] A3.已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为( ) A.(－1，2)B.(－3，6)C.(－∞，－1)∪(2，＋∞)D.(－∞，－3)∪(6，＋∞)[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)，因为f (x )既有极大值又有极小值，那么Δ＝(2a )2－4×3×(a ＋6)>0，解得a >6或a <－3. [答案] D4.设函数f (x )＝6x 3＋3(a ＋2)x 2＋2ax .若f (x )的两个极值点为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，则实数a 的值为________.[解析] f ′(x )＝18x 2＋6(a ＋2)x ＋2a .由已知f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝0，从而x 1x 2＝2a18＝1，所以a ＝9，经验证此时Δ＞0，符合题意. [答案] 95.已知关于x 的函数f (x )＝－13x 3＋bx 2＋cx ＋bc ，若函数f (x )在x ＝1处取得极值－43，则b ＝________，c ＝________.[解析] f ′(x )＝－x 2＋2bx ＋c ，由f (x )在x ＝1处取得极值－43，得⎩⎨⎧f ′（1）＝－1＋2b ＋c ＝0，f （1）＝－13＋b ＋c ＋bc ＝－43.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝3.若b ＝1，c ＝－1，则f ′(x )＝－x 2＋2x －1＝－(x －1)2≤0，此时f (x )没有极值；若b ＝－1，c ＝3，则f ′(x )＝－x 2－2x ＋3 ＝－(x ＋3)(x －1)，当－3＜x ＜1时，f ′(x )＞0，当x ＞1时，f ′(x )＜0.所以当x ＝1时，f (x )有极大值－43. 故b ＝－1，c ＝3. [答案] －1 3课堂小结1.在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值.2.函数的极值是函数的局部性质.可导函数f (x )在点x ＝x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0且在x ＝x 0两侧f ′(x )符号相反.3.利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.。

高中数学新人教版A版精品教案《3.3.2 函数的极值与导数》

3.3.2 函数的极值与导数课前预学案一、预习目标了解并掌握函数极值的定义以及导数与函数极值的关系，会利用导数求函数的极值二、自主学习观察图象回答问题1函数在点x a =的函数值与这点附近的函数值与这点附近的函数值有什么大小关系？2()f a '等于多少？在点x a =附近，函数的导数的符号有什么规律？3函数在点x b =处的情况呢通过以上问题的探究，你能得到什么结论？用文字语言描述：函数在图象拐弯处的导数值等于0，且在该处左右两侧的导数值异号时取得极值用图形语言描述：Oyxf 'f '(x )>0'ba极值的定义：（1）极大值点与极大值：函数 f 在=a 的函数值fa 比在点=a 附近其他点的函数值都小，且__________,在点=a 附近的左侧________,右侧______,则a 为函数 = f 的极大值点，函数值fa 为函数的极大值；（2）极小值点与极小值：函数 f 在=b 的函数值fb 比在点=b 附近其他点的函数值都小，且__________,在点=a 附近的左侧________,右侧______,则b 为函数 = f 的极小值点，函数值fb 为函数的极小值；3 极大值和极小值统称为极值，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值思考1：结合极值定义，你认为判断 = f 的极值的一般方法？思考2：结合教材例4，你认为应如何求函数的极值？思考3：极大值一定大于极小值吗？思考4：导数值为0的点一定是函数的极值点吗？预学检测＝f 的导函数＝f ′的图象，对此图象，有如下结论： ①在区间－2,1内f 是增函数； ②在区间1,3内f 是减函数； ③＝2时，f 取到极大值； ④在＝3时，f 取到极小值．其中正确的是__________将你认为正确的序号填在横线上．2．函数=f 的导数/与函数值和极值之间的关系为A 、导数/由负变正,则函数由减变为增,且有极大值 B 、导数/由负变正,则函数由增变为减,且有极大值 C 、导数/由正变负,则函数由增变为减,且有极小值 D 、导数/由正变负,则函数由增变为减,且有极大值3．函数331x x y -+=有 ( ) A ．极小值-1，极大值1 B ．极小值-2，极大值3 C ．极小值-2，极大值2 D ．极小值-1，极大值34．若2=x 是函数233)(x ax x f -=的极值点，则a 为A ．1B ．2C ．D ．33.3.2 函数的极值与导数课内探究案【学习目标】1理解极大值、极小值的概念，理解函数极值与导数的关系；2会判别函数极大值、极小值；3会利用导数求函数的极值；探究1：极值点与极值的概念知识归纳：注意事项：1极值是一个局部概念，反映了函数值在某一个点附近的大小情况；2极值不是唯一，函数的极值可能不止一个；3极大值与极小值之间无确定性大小关系，函数的极大值未必大于极小值；4函数的极值点一定出现在区间中部，区间的端点不能成为极值点；探究2：极值与导数的关系方法总结：求函数=f 的极值的方法：先确定定义域,再解方程()0f x '=当()0f x '=时①如果在0附近的左侧()0f x '>右侧()0f x '<,那么,f 0是极大值; ②如果在0附近的左侧()0f x '<右侧()0f x '>,那么,f 0是极小值探究3：极值点与导数的关系结论：左右侧导数异号f 的极值点 (f '反过来是否成立点是极值点的充分不必要条件是在这点两侧的导数异号；点是极值点的必要不充分条件是在这点的导数为0探究4：求函数的极值求函数3()3ln f x x x=+的极值错误!变式1：设32()f x ax bx cx =++，在1x =和1x =-处有极值，且(1)1f -=-,求a ，b ，c 的值，并1x =±判断分别是极大值点还是极小值点？变式2：设函数32()9f x x ax x =+-的导函数()f x '，且(2)15f '=（1）求函数()f x 的图象在0x =处的切线方程2求函数()f x 的极值庖丁解牛感受高考）（2021年天津卷）函数的定义域为开区间，导函数)(x f '在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个注意：数形结合以及原函数与导函数图像的区别当堂检测1函数,93)(23-++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值，则a =2函数2()ln 3f x a x bx x =++的极值点121,2x x ==，求,a b 的值3已知函数c bx ax x x f +++=23)(，且知当1-=x 时取得极大值7，当3=x 时取得极小值，试求函数的解析式并。

函数的极值与导数经典教案

3.3.2函数的极值与导数[教材分析]：《函数的极值与导数》是在学生学习了《函数的单调性与导数》，初步具备了运用导数研究函数的能力后学习的，并为《函数的最大（小）值与导数》奠定了知识与方法的基础，起着承上启下的作用。

本节课在本单元乃至整个数学学习中都具有十分重要的地位。

[学情分析]：学生已经初步学习了运用导数研究函数，但还不够深入，因此在学习上还有一定困难。

本节课能够进一步提高学生运用导数研究函数的能力,体会导数的工具作用。

[教学目标]：知识与技能：•了解函数极值的定义，会从几何图形直观理解函数的极值与其导数的关系，增强学生的数形结合意识，提升思维水平；•掌握利用导数求不超过三次的多项式函数极值的一般方法；•了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件。

过程与方法：•培养学生观察、分析、探究、归纳得出数学概念和规律的学习能力。

情感态度与价值观：•体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性；•培养学生大胆创新、勇于探索、互相合作的精神；•激发学生的民族自豪感，培养学生的爱国主义精神。

[教学重点和教学难点]：教学重点：掌握利用导数求不超过三次的多项式函数极值的一般方法。

教学难点：函数在某点取得极值的必要条件和充分条件。

[教法学法分析]：教法分析和教学用具：本节课我将采用自主学习—成果展示—合作探究—教师点拨—巩固提高的教学环节。

并利用信息技术创设实际问题的情境。

发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在我引导下的“再创造”过程。

学法分析通过用导数研究函数的极值，提高了学生的导数应用能力。

通过用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值，得到求极值的一般方法。

教学过程教学内容设计意图一、自主学习：课前将学案发给学生，让学生明确学习目标，带着问题对课本进行预习，并解答这些问题，落实基础知识。

通过检查学案，了解学生自主学习的情况，设计导学思路与措施。

培养学生的自主学习能力，为学生的终身学习奠定基础。

二、成果展示：对自主学习的情况先在组内进行交流，对自主学习的问题组内达成共识。

高中数学_3.3.2 利用导数研究函数的极值教学设计学情分析教材分析课后反思

效果分析我经常在思考：长期以来，我们的学生为什么对数学不感兴趣，甚至害怕数学，其中的一个重要因素就是数学离学生的生活实际太远了。

事实上，数学学习应该与学生的生活融合起来，从学生的生活经验和已有的知识背景出发，让他们在生活中去发现数学、探究数学、认识并掌握数学。

1. 教材由山峰、山谷的实例，引入极大值、极小值、极值、极值点等概念，非常直观，贴近生活。

2. 我在这里借助一个函数图像，把生活和数学联系起来，培养学生应用数形结合方法的习惯。

本节课在教师的积极引导下，学生能主动回答问题，提出问题，学生与学生之间，教师与学生之间有效的互动使课堂气氛和谐活跃，学生参与面广，能照顾到各个层次的学生。

课标分析本节课的重点是利用导数知识求导数的极值。

教材给出极大值、极小值、极值、极值点的定义后，借助函数图象介绍了利用函数的导数求极值和最值的方法；利用函数的导数求极值时，首先要确定函数的定义区间；其次，为了清楚起见，可用导数为0的点，将函数的定义区间分成若干小区间，并列表格，判断导数在各小区间的符号；求函数的最值，需要先确定函数的极大值和极小值，因此函数的极值的求法是关键。

学情分析学生前面学习了《利用导数研究函数单调性》，为学习本节奠定了基础，但还不够深入，因此在学习上还有一定的困难，本节课能进一步提高学生利用导数研究函数的能力。

在教学中要特别重视学法的指导。

随着《基础教育课程改革纲要（试行）》的颁布实施，课程改革形成由点到面，逐步铺开的良好态势。

倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流与合作的能力”。

数学作为基础教育的核心课程之一，转变学生数学学习方式，不仅有利于提高学生的数学素养，而且有利于促进学生整体学习方式的转变。

我以建构主义理论为指导，辅以多媒体手段，采用着重于学生探索研究的启发式教学方法，结合师生共同讨论、归纳。

在课堂结构上，我根据学生的认知水平，我设计了①创设情境——引入概念；观察归纳——形成概念②讨论研究——深化概念③寻找充要条件④即时训练—巩固新知⑤深入探讨——提高认识⑥任务后延——自主探究六个层次的学法，它们环环相扣，层层深入，从而顺利完成教学目标。

函数的极值与导数学案

§3.3.2《函数的极值与导数》导学案赵琳 2018年12月18日学习目标1.理解极大值、极小值的概念；2.能够运用导数知识来求函数的极值；3.掌握求可导函数的极值的步骤. 重点:利用导数知识求函数的极值难点:对极值概念的理解及求可导函数的极值的步骤学习过程一.知识回顾复习1.函数的单调性与其导函数的正负的关系一般地,设函数y=f(x)在某个区间（a ，b ）内有导数,如果0)(>'x f ,那么函数y=f(x) 在这个区间内；如果0)(<'x f ,那么函数y=f(x) 在这个区间内。

2.用导数求函数单调区间的步骤。

二、新棵导学探究一：问题1：下图高台跳水运动员的高度h 随时间t 变化的函数的图象，(1).函数h(t)在t=a 处的导数值是；(2).当t ∈ 时,函数h(t)单调递增，)(t h ' 0 ; 当t ∈ 时,函数h(t)单调递减，)(t h ' 0.(3)导入：对一般的函数y=f(x)是否也有相同的性质？探究二：问题2：观察教材 P 27图1.3-10，思考：新知1：点a 叫做函数()y f x =的，()f a 叫做函数()y f x =的记作；点b 叫做函数()y f x =的，()f b 叫做函数()y f x =的记作；极大值点、极小值点统称为，极大值、极小值统称为。

思考：极值点是点吗？极值点与极值有何区别？问题3：观察教材 P 27图1.3-11（见右图），思考：函数()y f x =在c,d,e,f,g,h,处，哪些是极大值点，哪些是极小值点？思考：（1）函数的极值。

（填是，不是）唯一的. (2) 一个函数的极大值是否一定大于极小值. ？探究三：极值与导数的关系新知二：求函数极值的方法归纳1.求函数y=f(x)极值的方法是什么？(1).函数y=f(x)在点a,b 的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?(2) 函数y=f(x)在点a,b 的导数值是多少? （3）在点a,b 附近, y=f(x)的导数的符号有什么规律?1x)※ 典型例题1.下图是函数()y f x =的图象,试找出函数()y f x =的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点？（2）如果把函数图象改为导函数)(x f y '=的图象，哪些是极大值点,哪些是极小值点?例1 . 求函数31443y x x =-+ 的极值.归纳. 求函数y=f(x)极值的步骤是什么？例2求函数y=x1+x 的极值。

高中数学第三章导数及其应用 3.3.2 函数的极值与导数导学案新人教A版选修1-1(2021

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函数的极值与导数结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性．重点：利用导数的知识求函数的极值．难点：函数的极值与导数的关系．方法：合作探究一新知导学1．如图是函数y＝f(x)的图象，在x＝a邻近的左侧f(x）单调递______,f ′(x)______0，右侧f(x)单调递______，f ′(x) ______0,在x＝a邻近的函数值都比f(a)小,且f ′（a）_____0。

在x＝b邻近情形恰好相反,图形上与a类似的点还有__________,(e，f(e）），与b类似的点还有__________ ．我们把点a叫做函数f(x）的极______值点，f（a)是函数的一个极______值；把点b叫做函数f(x)的极______值点，f（b)是函数的一个极______值．2．一般地，已知函数y＝f（x)及其定义域内一点x0，对于包含x0在内的开区间内的所有点x,如果都有__________，则称函数f(x)在点x0处取得__________，并把x0称为函数f(x）的一个___________;如果都有__________，则称函数f(x)在点x0处取得__________，并把x0称为函数f（x)的一个__________．极大值与极小值统称为__________，极大值点与极小值点统称为课堂随笔:__________．3．理解极值概念时需注意的几点(1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧__________的点而言的．（2）极值点是函数__________的点,而函数定义域的端点绝不是函数的极值点．(3)若f(x）在定义域[a，b］内有极值，那么f(x)在［a，b］内绝不是单调函数，即在定义域区间上的单调函数_________极值．（4）极大值与极小值没有必然的大小关系．一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值,在某一点的极小值可能大于另一点的极_______值．（如图）牛刀小试1．函数y＝x3＋1的极大值是( ）A．1 B．0 C．2 D．不存在2．下列说法正确的是( ）A．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大B．函数在闭区间上的极大值一定比极小值小C．函数f(x）＝｜x|只有一个极小值D．函数y＝f(x）在区间(a，b）上一定存在极值3．函数y＝x3－6x的极大值为( ）A．4错误! B．3错误! C．－3错误! D．－4错误! 4．函数y＝2x3－15x2＋36x－24的极大值为__________,极小值为__________。

高二数学(人教A版)《3.3.2函数的极值与导数》导学案

3.3.2函数的极值与导数[自学目标]:1.理解函数的极大值、极小值、极值点的意义；2.掌握函数极值的判别方法.进一步体验导数的作用.[重点]: 极大、极小值的概念和判别方法。

[难点]: 严格套用求极值的步骤[教材助读]一般地，设函数f (x )在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有________我们就说f (x 0)是函数f (x )的一个极大值，记作y 极大值＝f (x 0)；如果对x 0附近的所有的点，都有________，我们就说f (x 0)是函数f (x )的一个极小值，记作y 极小值＝f (x 0)．利用导数判别函数的极大（小）值：一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时，判别f (x 0)是极大（小）值的方法是：⑴如果在x 0附近的左侧f '(x )＞0，右侧f '(x )＜0，那么，f (x 0)是________⑵如果在x 0附近的左侧f '(x )＜0，右侧f '(x )＞0，那么，f (x 0)是________注意：导数为0的点不一定是极值点．[预习自测]1．函数y =f (x )的导数y /与函数值和极值之间的关系为( )A 、导数y /由负变正,则函数y 由减变为增,且有极大值B 、导数y /由负变正,则函数y 由增变为减,且有极大值C 、导数y /由正变负,则函数y 由增变为减,且有极小值D 、导数y /由正变负,则函数y 由增变为减,且有极大值2．求函数x e x y -=2的极值。

上与老师和同学探究解决。

[合作探究展示点评]探究一：极值点两侧导数正负符号有何规律?1．求()31443f x x x =-+的极值填写下表并求极值探究二：极值点处导数值(即切线斜率）有何特点？2．求y =(x 2－1)3+1的极值[当堂检测]1．求下列函数的极值:（1）2()62f x x x =-- （2）3()27f x x x =-（3）3()612f x x x =+- （4）3()3f x x x =-2．已知32()(0)f x ax bx cx a =++≠在x ＝±1时取得极值，且f (1)＝－1，(1)试求常数a 、b 、c 的值；(2)试判断x ＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由．[拓展提升]1．函数2()ln 3f x a x bx x =++的极值点为11x =，22x =，则a = ，b = ．★2．已知函数32()32f x x ax bx =-+在1x =处有极小值1-，试求,a b 的值，并求出()f x 的单调区间．★★3.已知某工厂生产x 件产品的成本为212500020040C x x =++（元），问：（1）要使平均成本最低，应生产多少件产品？（2）若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？。

高中数学第三章导数及其应用3.3导数的应用3.3.2利用导数研究函数的极值课堂导学案

3.3.2 利用导数研究函数的极值课堂导学三点剖析一、求函数极值【例1】确定函数f (x )=12+x x在区间［-2,2］上的单调性并求f (x )在区间［-2,2］上的极大值、极小值、最大值和最小值.解析：由已知得f ′(x )=2222222)1(1)1()1()1(+-=+'+-+'x x x x x x x ,令f ′(x )=0,解得x =-1或x =1.列出下表：x-2 (-2,-1) -1 (-1,1) 1 (1,2) 2 f ′(x ) - 0 + 0 - f (x )极小值极大值由表可知：f (x )的极小值是f (-1)=211)1(12-=+--;极大值是f (1)=21. 又f (-2)=-52,f (2)=52, ∴f (x )在区间［-2,2］上的最大值是21，最小值是-21. 温馨提示即函数f (x )=12+x x 的定义域为R.又∵1lim 2+∞→x xx =0, ∴f (x )在R 上的最大值与最小值还分别为21和-21.又f (0)=0, ∴函数f (x )=12+x x 在R 上的值域为［-21,21］. 二、极值的应用【例2】已知函数f (x )=x 3-3ax 2+2bx 在点x =1处有极小值-1,试确定a 、b 的值，并求出f (x )的极值.思路分析：先利用极值点是导函数对应方程的根，以及极值点的两个坐标满足函数关系式列出方程组，即可求出a 、b 的值，再求函数f (x )的单调区间. 解：由已知，得f (1)=1-3a +2b =-1,又f ′(x )=3x 2-6ax +2b ① ∴f ′(1)=3-6a +2b =0② 由①②得a =31,b =-21. 故函数的解析式为f (x )=x 3-x 2-x .由此得f ′(x )=3x 2-2x -1,由二次函数的性质，当x <-31或x >1时，f ′(x )>0；当-31<x <1时，f ′(x )<0.因此，在区间(-∞,- 31)和(1,+∞)上，函数f (x )为增函数；在区间(-31，1)内，函数f (x )为减函数.因此,f (x )max =f (-31)=275,f (x )min =f (1)=-1. 温馨提示此类问题根据极值点为导函数的根构造方程组.利用待定系数法求解. 三、利用导数极值求函数的解析式【例3】已知函数f (x )=x 3-3ax 2+2bx 在x =-1处有极小值1，试确定a 、b 的值，并求f (x )的单调区间.解：由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎩⎨⎧=++='=--=.21,31.0263)1(,1231)1(b a b a f b a f 解得∴f (x )=x 3+x 2-x ,∴f ′(x )=3x 2+2x -1.由f ′(x )>0,得x <-1或x >31;由f ′(x )<0,得-1<x <31.∴函数f (x )的单调递增区间是(-∞,-1)和(31,+∞),单调递减区间是(-1,31).各个击破类题演练1求函数y =x 4-2x 2-1的极值.解：y ′=4x 3-4x ,令y ′=0,得x 1=-1,x 2=0,x 3=1.将x 、y 及在相应区间上y ′的符号关系列表如下：x (-∞,-1)-1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,+∞) y ′ -+-+y极小值-2 极大值-1极小值-2 所以当x =-1时，函数有极小值-2；当x =0时，函数有极大值-1；当x =1时函数有极小值-2.变式提升1求函数y =322)2(x x -的极值.解：y ′=33222)(3)1(4)2(])2[(·32x x x x x x x x --=--由y ′=0得x =1,由3)2( 3x x -得x =0或x =2 当x 变化时,y ′、y 的变化情况如下表：x (-∞,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 (2,+∞) y ′ - 不存在 + 0 - 不存在 + y极小值极大值极小值∴当x =0时，y 极小值=0. 当x =1时，y 极大值=1. x =2时,y 极小值=0.类题演练2若f (x )=x 3+3ax 2+3(a +2)x +1有极大值和极小值，求a 的取值范围.解：f (x )为三次函数.f ′(x )为二次函数.要使f (x )既有极大值又有极小值，需f ′(x )=0有两个不相等的实数根，从而有Δ=(2a )2-4(a +2)>0，解得a <-1或a >2.变式提升2如果函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 满足b 2-3ac <0,a ≠0, 求证：函数f (x )无极值.证明：f ′(x )=3ax 2+2bx +c 当a >0时，∵Δ=4b 2-12ac <0∴f ′(x )>0恒成立，f (x )在(-∞,+∞)内单调递增. f (x )无极值.当a <0时，∵Δ=4b 2-12ac <0∴f ′(x )<0恒成立，f (x )在(-∞,+∞)内单调递减，f (x )无极值.类题演练3设x =1与x =2是函数f (x )=a ln x +bx 2+x 的两个极值点. 试确定常数a 和b 的值. 解：f ′(x )=xa+2b +1 ∵f ′(1)=f ′(2)=0∴⎪⎩⎪⎨⎧=++=++0142012b a b a解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=6132b a∴f (x )=-32ln x -61x 2+x变式提升3 设a <0 证明：f (x )=12++x bax 取得极大值和极小值的点各1个. 证明：f ′(x )=222)1()(2)1(++-+x b ax x x a =222)1(2++--x a bx ax ,令f ′(x )=0,即ax 2+2bx -a =0,①.∵Δ=4b 2+4a 2>0,∴方程①式有两个不相等的实根，记为x 1、x 2，不妨设x 1<x 2,则有f ′(x )=a (x -x 1)(x -x 2),f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：x (-∞,x 1) x 1 (x 1,x 2) x 2 (x 2,+∞)。

人教版高中数学优质教案：3.3.2 函数的极值和导数教学设计

3.3.2 函数的极值与导数教学目标重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤.知识点：理解极大值、极小值的概念；能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；掌握求可导函数的极值的步骤. 教具准备：多媒体课件课堂模式：设计学案，借助多媒体辅助教学，增强课堂教学的生动性与直观性。

一. 引入新课师：通过上节课的学习，导数和函数单调性的关系是什么？生：在某个区间),(b a 内，如果0)(/>x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递增；如果0)(/<x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递减．如果0)(/=x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内是常函数．【设计意图】回忆函数的单调性与导数的关系，与已有知识的联系. 二．探究新知师：观察表示高台跳水运动员的高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图象，回答以下问题（1）当a t =时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数)(t h 在a t =处的导数是多少呢？（2）在点a t =附近的图象有什么特点？（3）点a t =附近的导数符号有什么变化规律？师生共同归纳: 函数)(t h 在a t =点处0)(/=a h ,在a t =的附近,当a t <时,函数()h t 单调aoht递增, 0)(/>t h ;当a t>时,函数()h t 单调递减, 0)(/<t h ,即当t 在a 的附近从小到大经过a 时, )(/t h 先正后负,且)(/t h 连续变化,于是0)(/=a h .【设计意图】用高台跳水的例子发展学生的数学应用意识，发挥学生的主体作用.用信息技术辅助教学，突破难点.【设计说明】对学生解决不了的问题，重点讲解思路与方法，引导学生最终去解决问题，以生成新目标、新知识、新能力.师：对于这一事例是这样，对其他的连续函数是不是也有这种性质呢？观察下图所表示的)(x f y =的图象，回答以下问题：（1）函数)(x f y =在b a ,点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系? （2）函数)(x f y =在b a ,点的导数值是多少?（3）在b a ,点附近,)(x f y =的导数的符号分别是什么，并且有什么关系呢?如图，函数)(x f y =在h g f e d c b a ,,,,,,,等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？)(x f y =在这些点的导数值是________,在这些点附近，)(x f y =的导数的符号有什么规律？【设计意图】用两个例子使学生经历直观感知、观察发现、归纳类比的思维过程，引导学生创新与实践.培养学生大胆创新、勇于探索、互相合作的精神. 理解从特殊到一般的数学思想和归纳的数学方法.【设计说明】两种情况分析一种，另一种鼓励学生用类比的方法自己归纳.帮助学生进一步了解极值点和极值的含义，增强学习的信心，让学生体验成功的喜悦.通过思考与讨论，进一步了解极值点和极值的含义，知道极值刻画函数的局部性质,培养学生合作交流的精神. 三. 理解新知师生共归纳：极值的定义：在a x =附近，)(x f 先减后增，)('x f 先___后___，)('x f 连续变化，于是有0)('=a f ．)(a f 比在点a x =附近其它点的函数值都小.我们把点a 叫做函数)(x f y =的__________,)(a f 叫做函数的___________.在b x =附近，)(x f 先增后减，)('x f 先___后___，)('x f 连续变化，于是有0)('=b f ．)(b f 比在点b x =附近其它点的函数值都大.我们把点b 叫做函数)(x f y =的__________,)(b f 叫做函数的___________.极小值点和极大值点统称为_____________，极大值和极小值统称为_____________. 负、正、极小值点、正、负、极大值点、极大值、极值点、极值【设计意图】根据探究，总结极小值点、极小值、极大值点、极大值、极值点、极值的定义,培养学生的归纳能力.练习1：师：判断正误：点0=x 是函数3x y =的极值点. 画函数图像，观察得出结论：函数3x y =在0=x 处导数为0，但在该点两侧都单调递增，无极值，故导数值为0的点是该点为极值点的必要非充分条件.【设计意图】通过一道判断题，分解难点.培养学生的观察、概括及表达能力，帮助学生进一步了解极值点和极值的含义.师：通过以上探索，你能归纳出可导函数在某点0x 取得极值的充要条件吗？充要条件：0)('0=x f 且点0x 的左右附近的导数值符号要相反练习2：下图是导函数)('x f y =的图象，试找出函数)(x f y =的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点，极大值一定大于极小值吗？不一定，极值是函数的局部性概念练习3:如图是函数)(x f y =的图象,试找出函数)(x f y =的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点.如果把函数图象改为导函数)(/x f y =的图象呢?【设计意图】通过练习，进一步突出重点，使学生从感性认识升华到理性认识.通过练习1突出判断极值点的条件，从而突破难点.练习2帮助学生理解极值是函数的局部性质.练习3给的图像是原函数和导函数的图像，进一步让学生区分如何用原函数和导函数的图像判断函数的极大值与极小值.从而突出重点、突破难点. 四．运用新知例1、求函数4431)(3+-=x x x f 的极值教师分析:①求)(/x f ,解出0)(/=x f ,找函数极值点②由函数单调性确定在极值点0x 附近)(/x f 的符号,从而确定哪一点是极大值点,哪一点为极小值点,从而求出函数的极值.学生动手做,教师引导.解:∵4431)(3+-=x x x f ∴4)(2/-=x x f 令0)(/=x f ,解得2,2-==x x 或. 下面分两种情况讨论:(1) 当0)(/>x f 时,即2,2-<>x x 或; (2) 当0)(/<x f 时,即22<<-x .当x 变化时, )(/x f ,)(x f 的变化情况如下表:因此,当2-=x 时, )(x f 有极大值,且极大值为 ;当2=x 时, )(x f 有极小值,且极小值为思考：根据上表，你能画出该函数的大致图象吗？函数4431)(3+-=x x x f 的图像如图所示归纳：求函数)(x f y =极值的方法是: 求)(/x f ,解方程0)(/=x f ,解得0x x =(1) 如果在附近的左边0)(/>x f ,右边0)(/<x f ,那么)(0x f 是极大值. (2) 如果在附近的左边0)(/<x f ,右边0)(/>x f 那么)(0x f 是极小值讨论：求极值的步骤(1)求导 (2)求极值点 (3)讨论单调性 (4)列表 (5)写出极值.328)2(=-f 34)2(-=f 0xx【设计说明】例题由老师板书，体现示范功能,为解此类问题提供经验.表格的使用，可使极值点两侧的增减性一目了然.图象是函数性质的直观载体，根据极值自己作图可为我们的结论提供直观验证，进一步培养学生数形结合的能力.【设计意图】通过典型例题巩固学生对新知识的理解,通过对典型例题的板演，让学生明确求极值的方法，突出本节课的重点.培养学生规范的表达能力，形成严谨的科学态度.作图时先作出两个极值点，再根据单调性作图.通过作图，使学生掌握数形结合思想及作图的一般步骤.练习．求下列函数的极值.(1)x x y 273-= (2) 求()1132+-=x y 解：(1) ()()()333273'27'23-+=-=-=x x x x x y令0'=y ，解得31-=x ，32=x . 当x 变化时，'y ，y 的变化情况如下表.∴当-3x =时，y 有极大值，且54y =极大值. 当3x =时，y 有极小值，且-54y =极小值 (2)解：()2222)1()1(616'-+=-=x x x x x y , 令0'=y 解得11-=x ，02=x ，3=x当x 变化时，'y ，y 的变化情况如下表∴当0=x 时，y 有极小值且0y =极小值【设计意图】练习源于例题，让学生板演，关注学生的数学表达，学生提供的反馈素材，应及时校正.照顾学有余力的学生，灵活运用所学知识，培养其逆向思维和化归转化的数学思想和方法.【设计说明】通过练习、巩固提高.例2. 设()cx bx ax x f ++=23，在1x =和1x -=处有极值，且()11-=f ,求c b a ,,的值，并求出相应的极值.解：c bx ax x f ++=23)(2/，∵1x ±=是函数的极值点，则1,1-是方程0)(/=x f 的根，即有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=+-a c a b 313211⇒⎩⎨⎧-==a c b 30，又1)1(-=f ，则有1-=++c b a ，由上述三个方程可知23,0,21-===c b a ，函数的表达式为x x x f 2321)(3-=，∴2323)(2/-=x x f ，令0)(/=x f ，得1x ±=，当x 变化时，)(/x f ,)(x f 的变化情况表：由上表可知因此,当1-=x 时, )(x f 有极大值,且极大值为 ;当1=x 时, )(x f 有极小值,且极小值为练习.已知()()0223≠++=a bx ax x f 在1=x 处取得极值2-，求b a ,的值.五.课堂小结 1.函数极值的定义2.求函数()x f y =极值的方法是:求)(/x f ,解方程0)(/=x f ,解得0x x =(1)如果在附近的左边0)(/>x f ,右边()0f x '<,那么)(0x f 是极大值. (2)如果在附近的左边0)(/<x f ,右边0)(/>x f 那么)(0x f 是极小值. 3.一个点为函数的极值点的充要条件.可导函数极值点的导数为0，但导数为零的点不一定是1)1(=-f 1)1(-=f 0x 0x极值点，要看这点两侧的导数是否异号.【设计意图】通过师生共同反思，优化学生的认知结构.六. 布置作业（配套作业）。

高中数学《函数的极值与导数》导学案 (2)

第三章导数及其应用3.3.2函数的极值与导数一、学习目标：1.了解函数极值点、极值的概念，理解函数取得极值的必要条件2.掌握求可导函数极值的步骤，会利用导数求函数的极大值、极小值【重点、难点】重点：极值的概念、利用导数求函数的极值难点：极值的综合应用二、学习过程【情景创设】横看成林侧成峰，远近高低各不同.在群山之中，各个山峰的顶端，虽然不一定是群山中的最高处，但它却是其附近的最高点；同样，各个谷底虽然不一定是群山之中的最低处，但它却是其附近的最低点！而对于函数图象，曲线在升、降转折点处形成“峰”“谷”，函数的这种性质以及这种特点，无论在实际上还是在实际应用上都具有重要的意义.这节课我们将学习函数的这些知识——极值.【导入新课】1.观察下图中P 点附近图像从左到右的变化趋势、P 点的函数值以及点P 位置的特点函数图像在P 点附近从左侧到右侧由“上升”变为“下降”（函数由单调递增变为单调递减），在P 点附近，P 点的位置最高，函数值最大，同理找出点Q 附近的函数值变化情况.2.极小值点与极小值若函数()f x 满足:(1)在x a =附近其他点的函数值()f x ___()f a ;(2)()f a '=__;(3)在x a =附近的左侧_________,在x a =附近的右侧_________,则点a 叫做函数()y f x =的极小值点, ()f a 叫做函数()y f x =的极小值.3.极大值点与极大值若函数()f x 满足:(1)在x b =附近其他点的函数值()f x ___()f b ;(2)()f b '=__;(3)在x b =附近的左侧_________,在x b =附近的右侧_________,则点b 叫做函数()y f x =的极大值点, ()f b 叫做函数()y f x =的极大值.4.极值的定义(1)极小值点、极大值点统称为_______.(2)极大值与极小值统称为_____.5.求函数()y f x =的极值的方法(1)如果在0x 附近的左侧_________,右侧_________,那么()0f x 是极大值.(2)如果在0x 附近的左侧_________,右侧_________,那么()0f x 是极小值.【典型例题】例1 观察图形,回答下列问题:（1）可导函数()f x 在点0x 处取极值的充要条件是什么?（2）函数在某个区间上有多个极值点,那么一定既有极大值也有极小值吗?（3）上图中哪些是极大值点，哪些是极小值点？例2 求函数()31443f x x x =-+的极值.例3 函数()32113f x x x ax =-+-有极值点，求a 的取值范围.【变式拓展】已知函数()3ln 42x a f x x x =+--，其中a R ∈，，且曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线垂直于12y x =. (1)求a 的值.(2)求函数()y f x =的单调区间与极值三、学习总结1.对于极值的认识(1)函数的极值是一个局部性的概念,是仅对某一点的左右两侧区域而言的.极值点是区间内部的点而不会是端点.(2)若()f x 在某区间内有极值,那么()f x 在该区间内一定不是单调函数,即在区间上单调的函数没有极值. 2.对函数取极值条件的认识（1）可导函数的极值点是导数为零的点,但是导数为零的点不一定是极值点,即“函数()y f x =在一点的导数值为零是函数()y f x =在这点取极值的必要条件,而非充分条件.”（2）可导函数()f x 在点0x 处取得极值的充要条件是()00f x '=,且在0x 左侧和右侧()f x '的符号不同.（3）如果在0x 的两侧()f x '的符号相同,则0x 不是()f x 的极值点.3.对于函数极值点的认识(1)函数()f x 在某区间内有极值,它的极值点的分布是有规律的,相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.(2)当函数()f x 在某区间上连续且有有限个极值点时,函数()f x 在该区间内的极大值点与极小值点是交替出现的.(3)从曲线的切线角度看,曲线在极值点处切线的斜率为0,并且,曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正.四、随堂检测1. 函数()y f x =是定义在R 上的可导函数,则下列说法不正确的是 ( )A.若函数在0x x =时取得极值,则()00f x '=B.若()00f x '=,则函数在0x x =处取得极值C.若在定义域内恒有()00f x '=,则()y f x =是常数函数D.函数()y f x =在0x x =处的导数是一个常数2. 设函数()xf x xe =,则 ( ) A.1x =为()f x 的极大值点 B.1x =-为()f x 的极大值点C.1x =为()f x 的极小值点D.1x =-为()f x 的极小值点3.设三次函数()f x 的导函数为()f x ',函数()y x f x '=⋅的图象的一部分如图所示,则 ( )A.()f x 极大值为3f ,极小值为(3f -B.()f x 极大值为(3f ,极小值为3fC.()f x 极大值为()3f -,极小值为()3fD.()f x 极大值为()3f ,极小值为()3f -4. 已知函数()2x f x x e =,求()f x 的极小值和极大值.。

3.3.2导数在研究函数中的应用极值导学案

§3.3.2函数的极值与导数学习目标： 1.理解极大值、极小值的概念;2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值;3.掌握求可导函数的极值的步骤.学习重点：极大、极小值的概念和判别方法,以及求可导函数的极值的步骤. 学习难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤.一、创设情景阅读课本P93-P94回答探究问题二、探索新知1.问题从跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像及高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像.运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像,我们可以发现:(1)运动员从起点到最高点,离水面的高度h 随时间t 的增加而增加,即()h t 是单调函数.此时,'()()0v t h t =>.(2)从最高点到入水,运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少,即()h t 是单调函数.相应地,'()()0v t h t =<.a x =处则0=)('a f ,为什么？是否其他函数也有同样的性质？2.函数的极值与导数一般地,函数)(x f 对0=x x 及附近的所有点,都有，且0=)('0x f ,而且在点0=x x 附近的左侧0>)('0x f ，右侧0<)('0x f ，就说)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值,记作)(0x f y =极大值,0x 是 . 一般地,函数)(x f 对0=x x 及附近的所有点,都有，且0=)('0x f ,而且在点0=x x 附近的左侧0<)('0x f ，右侧0>)('0x f ，就说)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值,记作)(=0x f y 极小值,0x 是 . 注: (1)极值是一个局部概念.由定义,极值只是某个点的与它附近点的比较是最大或最小并不意味着它在函数的最大或最小.(2)函数的极值不是唯一的.即一个函数在某区间上或定义域内 .(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值可以于极小值(4)函数的极值点一定出现在 ,区间的端点极值点.(5)函数)(=x f y 在一点的导数值为0是函数在这点取极值的_______条件.3.判别)(0x f 是极大、极小值的方法若0x 满足 ,且异号,则0x 是)(x f 的极值点,)(0x f 是极值,并且如果)(x f '在0x 两侧满足“ ”,则0x 是)(x f 的极大值点,)(0x f 是极大值;如果)(x f '在0x 两侧满足“ ”,则0x 是)(x f 的极小值点,)(0x f 是极小值.4.求可导函数)(x f 的极值的步骤(1)(2)(3)(4)三、典例分析例1 求()31443f x x x =-+的极值. 解:四、巩固练习求下列函数的极值(1)672+-=x x y (2)x x y 273-=五、学后反思求极值的步骤六、布置作业P96 1、23.3.2第二课时一、复习回顾1.导数和函数单调性的关系2．函数)(x f 的定义域为区间（a ，b ），导函数)('x f 在（a ，b ）内的图如图所示，则函数)(x f 在（a ，b ）内的极小值有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3.求下列函数的极值（1）2)(3--=x x x f （2）3431)(x x x f -=二、例题析解例1．已知函数bx ax x x f 23)(23+-=在1=x 处有极小值1-,试确定b a ,的值,并求出)(x f 的单调区间.解：例2. 设函数d cx bx ax x f +++=)(23的图象与y 轴的交点为P ，且曲线f(x)在P 点出处的切线方程为24x+y －12=0，又函数在x=2处取得极值－16，求该函数的单调递减区间．三、课堂练习：1.已知函数223)(a bx ax x x f +++=在1=x 处有极值10,求b a ,的值.2.函数b xa x x f ++=)(有极小值2,求b a ,应满足的条件.3.已知c bx ax x f +-=35)(在1±=x 处有极值,且极大值为4,极小值为0,试确定c b a ,,的值.四、回顾总结函数的极大、极小值的定义以及判别方法．求可导函数f (x )的极值的三个步骤，还有要弄清函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在整个定义区间可能有多个极值，且要在这点处连续．可导函数极值点的导数为0，但导数为零的点不一定是极值点，要看这点两侧的导数是否异号．五、布置作业课本P98 3、4、5（3）、（4）。

高中数学《函数的极值与导数》导学案

3．3.2函数的极值与导数1．函数的极值定义设函数f(x)在点x0及其附近有定义，如果对x0附近的所有点，都有□01 f(x)≤f(x0)，则称f(x0)是函数f(x)的一个□02极大值，记作y极大值＝f(x0)；如果对x0附近的所有点都有□03f(x)≥f(x0)，则称f(x0)是函数f(x)的一个□04极小值，记作y极＝f(x0)．极大值与极小值统称为极值．小值2．函数极值的判定当函数f(x)在点x0处连续时，判断f(x0)是否存在极大(小)值的方法是：(1)如果在x0附近的左侧□05f′(x)>0，右侧□06f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧□07f′(x)<0，右侧□08f′(x)>0，那么f(x0)是极小值；(3)如果f′(x)在点x0的左右两侧符号不变，则f(x0)□09不是函数f(x)的极值．3．求可导函数极值的步骤一般情况下，我们可以通过如下步骤求出函数y＝f(x)的极值点：(1)求出导数□10f′(x)；(2)解方程□11f′(x)＝0；(3)对于方程f′(x)＝0的每一个解x0，分析f′(x)在x0左、右两侧的符号[即f(x)的单调性]，确定□12极值：①若f′(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为□13极大值点；②若f′(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为□14极小值点；③若f′(x)在x0两侧的符号相同，则x0□15不是极值点．函数极值点的两种情况(1)若点x0是可导函数f(x)的极值点，则f′(x0)＝0，反过来不一定成立．(2)函数的不可导点也可能是函数的极值点，如：y＝|x|在x＝0处不可导，但x＝0是函数的极小值点，因此，函数取极值点只可能为f′(x)＝0的根或不可导点两种情况．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)＝x3＋ax2－x＋1必有2个极值．()(2)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合．()(3)函数f(x)＝1x有极值．()答案(1)√(2)√(3)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极大值点的个数为________．(2)函数f(x)＝ax3＋x＋1有极值的充要条件是________．(3)已知函数f(x)＝x2－2ln x，则f(x)的极小值是________．答案(1)2(2)a<0(3)1探究1求已知函数的极值例1求下列函数的极值．(1)f(x)＝3x＋3ln x；(2)f(x)＝x3－3x2－2在(a－1，a＋1)内的极值(a>0)．[解](1)函数f(x)＝3x＋3ln x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－3x2＋3x＝3(x－1)x2.令f′(x)＝0得x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x (0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)极小值3因此当x＝1时，f(x)有极小值，并且f(1)＝3.(2)由f(x)＝x3－3x2－2得f′(x)＝3x(x－2)，令f′(x)＝0得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由此可得：当0<a<1时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极大值f(0)＝－2，无极小值；当a＝1时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值；当1<a<3时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极小值f(2)＝－6，无极大值；当a≥3时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值．综上得，当0<a<1时，f(x)有极大值－2，无极小值；当1<a<3时，f(x)有极小值－6，无极大值；当a＝1或a≥3时，f(x)无极值．[条件探究]若将例1(2)中a＞0改为a＜0，结果会怎样？解由例1(2)中表可得：当－1<a<0时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极大值f(0)＝－2，无极小值．当a≤－1时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值．综上得，当－1<a<0时，f(x)有极大值－2，无极小值．当a≤－1时，f(x)无极值．拓展提升求函数极值的方法一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法是：解方程f′(x)＝0，设解为x0，(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．注：如果在x0附近的两侧f′(x)符号相同，则x0不是函数f(x)的极值点．例如，对于函数f(x)＝x3，我们有f′(x)＝3x2.虽然f′(0)＝0，但由于无论是x>0，还是x <0，恒有f ′(x )>0，即函数f (x )＝x 3是单调递增的，所以x ＝0不是函数f (x )＝x 3的极值点．一般地，函数y ＝f (x )在一点的导数值为0是函数y ＝f (x )在这点取极值的必要条件，而非充分条件．【跟踪训练1】求下列函数的极值． (1)f (x )＝2xx 2＋1－2； (2)f (x )＝x 2e －x .解 (1)函数的定义域为R . f ′(x )＝2(x 2＋1)－4x 2(x 2＋1)2＝－2(x －1)(x ＋1)(x 2＋1)2.令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：由上表可以看出，当x ＝－1时，函数有极小值，且极小值为f (－1)＝－3；当x ＝1时，函数有极大值，且极大值为f (1)＝－1. (2)∵f (x )＝x 2e x ，∴f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2e x ′＝2x ·e x －x 2e x (e x )2＝x (2－x )e x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：由上表可以看出，当x ＝0时，函数有极小值，且f (0)＝0；当x ＝2时，函数有极大值，且f (2)＝4e 2. 探究2 已知函数的极值求参数例2 已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，求常数a ，b 的值． [解] 因为f (x )在x ＝－1时有极值0，且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b .所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)＝0，f (－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0，所以f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去．当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)．当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数；当x ∈(－∞，－3]和[－1，＋∞)时，f (x )为增函数．所以f (x )在x ＝－1时取得极小值，因此a ＝2，b ＝9. 拓展提升已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式，进而研究函数性质时，注意两点：(1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解． (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后还须验证根的合理性．【跟踪训练2】已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，f(x)在点x＝0处取得极值，并且在单调区间[0,2]和[4,5]上具有相反的单调性．(1)求实数b的值；(2)求实数a的取值范围．解(1)因为f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f(x)在点x＝0处取得极值，所以f′(0)＝0，解得b＝0.(2)令f′(x)＝0，即3x2＋2ax＝0，解得x＝0或x＝－23a.依题意有－23a>0.又函数在单调区间[0,2]和[4,5]上具有相反的单调性，所以必有2≤－23a≤4，解得－6≤a≤－3.探究3利用极值判断方程根的个数例3已知曲线f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a与x轴只有一个交点，求实数a的取值范围．[解]f′(x)＝－3x2＋6x＋9.令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3.列表：所以当x＝－1时，f(x)有极小值f(－1)＝a－5；当x＝3时，f(x)有极大值f(3)＝a＋27.画出大致图象，要使f(x)的图象与x轴只有一个交点，只需极大值小于0(如图1)或极小值大于0(如图2)．所以a－5>0或a＋27<0.解得a>5或a<－27.故实数a的取值范围为a>5或a<－27.拓展提升(1)研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题．一般地，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)的图象的交点的横坐标．(2)事实上利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．【跟踪训练3】设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同实根，求实数a的取值范围．解(1)f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝ 2.因为当x>2或x<－2时，f′(x)>0；当－2<x<2时，f′(x)<0.所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)；单调减区间为(－2，2)．当x＝－2时，f(x)有极大值5＋42；当x＝2时，f(x)有极小值5－4 2.(2)由(1)的分析知y＝f(x)的图象的大致形状及走向如右图所示，当5－42<a<5＋42时，直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同交点，即方程f (x )＝a 有三个不同的解．1.在极值的定义中，取得极值的点的横坐标称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值.2.函数的极值是函数的局部性质．可导函数f (x )在点x ＝x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0且在x ＝x 0两侧f ′(x ) 符号相反.3.利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.1．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2，则a ，b 的值分别为( ) A ．1，－3 B ．1,3 C ．－1,3 D ．－1，－3答案 A解析 ∵f ′(x )＝3ax 2＋b ，∴f ′(1)＝3a ＋b ＝0.① 又当x ＝1时有极值－2，∴a ＋b ＝－2.② 联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3.2．设函数f (x )＝x e x ，则( ) A ．x ＝1为f (x )的极大值点 B ．x ＝1为f (x )的极小值点 C ．x ＝－1为f (x )的极大值点 D ．x ＝－1为f (x )的极小值点答案 D解析求导得f ′(x )＝e x ＋x e x ＝e x (x ＋1)，令f ′(x )＝e x (x ＋1)＝0，解得x ＝－1，易知x ＝－1是函数f (x )的极小值点．3．函数f (x )＝x 3－6x 2－15x ＋2的极大值是________，极小值是________．答案 10 －98解析 f ′(x )＝3x 2－12x －15＝3(x －5)(x ＋1)，在(－∞，－1)，(5，＋∞)上f ′(x )>0，在(－1,5)上f ′(x )<0，所以f (x )极大值＝f (－1)＝10，f (x )极小值＝f (5)＝－98.4．函数y ＝x e x 在其极值点处的切线方程为________．答案 y ＝－1e解析由题知y ′＝e x ＋x e x ，令y ′＝0，解得x ＝－1，代入函数解析式可得极值点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－1e ，又极值点处的切线为平行于x 轴的直线，故方程为y＝－1e .5．已知函数f (x )＝x 3－3x ＋a (a 为实数)，若方程f (x )＝0有三个不同实根，求实数a 的取值范围．解令f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)＝0，解得x 1＝－1，x 2＝1. 当x <－1时，f ′(x )>0；当－1<x <1时，f ′(x )<0；当x >1时，f ′(x )>0.所以当x ＝－1时，f (x )有极大值f (－1)＝2＋a ；当x ＝1时，f (x )有极小值f (1)＝－2＋a . 因为方程f (x )＝0有三个不同实根，所以y ＝f (x )的图象与x 轴有三个交点，如图．所以极大值2＋a ＞0，极小值－2＋a ＜0，解得－2＜a ＜2，故实数a 的取值范围是(－2,2)．A 级：基础巩固练一、选择题1．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋c ，其导函数图象如图所示，则函数f (x )的极小值是( )A．a＋b＋cB．8a＋4b＋cC．3a＋2bD．c答案 D解析由图象可以看出，当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(0,2)时，f′(x)>0，函数f(x) 单调递增；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．所以x＝0时，函数取得极小值，f(0)＝c.2．函数f(x)＝x3－3x2－9x(－2<x<2)有()A．极大值为5，极小值为－27B．极大值为5，极小值为－11C．极大值为5，无极小值D．极大值为－27，无极小值答案 C解析f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)．令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3(舍去)．当－2<x<－1时，f′(x)>0；当－1<x<2时，f′(x)<0，故当x＝－1时，f(x)有极大值，f(x)极大值＝f(－1)＝5，无极小值．3．设函数y＝f(x)在R上可导，则f′(x0)＝0是y＝f(x)在x＝x0处取得极值的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析以f(x)＝x3为例，f(x)＝x3在x＝0处导数为0，但不取得极值．故f′(x0)＝0是y＝f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件．4．若函数f(x)＝2x3－9x2＋12x－a恰好有两个不同的零点，则a可能的值为()A．4 B．6 C．7 D．8答案 A解析由题意得f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)，由f′(x)>0得x<1或x>2，由f′(x)<0得1<x<2，所以函数f(x)在(－∞，1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减，从而可知f(x)的极大值和极小值分别为f(1)，f(2)，若欲使函数f(x)恰好有两个不同的零点，则需使f(1)＝0或f(2)＝0，解得a＝5或a＝4，而选项中只给出了4.故选A.5．设a∈R，若函数y＝e x＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则()A．a<－1 B．a>－1C．a<－1e D．a>－1e答案 A解析∵y＝e x＋ax，∴y′＝e x＋a，令y′＝e x＋a＝0，则e x＝－a. 即x＝ln (－a)，又∵x>0，∴－a>1，即a<－1.二、填空题6．函数f(x)＝13x3－x2－3x－1的图象与x轴的交点个数是________．答案 3解析f′(x)＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)，函数在(－∞，－1)和(3，＋∞)上是增函数，在(－1,3)上是减函数，由f(x)极小值＝f(3)＝－10<0，f(x)极大值＝f(－1)＝23>0知函数f(x)的图象与x轴的交点个数为3.7．函数f(x)＝2x＋ln x的极小值为________．答案1＋ln 2解析由f(x)＝2x＋ln x知，f′(x)＝－2x2＋1x＝x－2x2，令f′(x)＝0，得x＝2.x，f′(x)，f(x)取值情况如下表：f (x )1＋ln 2∴f (x )极小值＝f (2)＝1＋ln 2.8．如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y ＝f (x )在区间 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－12内单调递增； ②函数y ＝f (x )在区间 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3内单调递减； ③函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增； ④当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值； ⑤当x ＝－12时，函数y ＝f (x )有极大值．其中正确的结论为________．答案 ③解析由导函数的图象知：当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(－2,2)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈(2,4)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(4，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；在x ＝－2时，f (x )取极小值；在x ＝2时，f (x )取极大值；在x ＝4时，f (x )取极小值．所以只有③正确．三、解答题9．已知函数y ＝ax 3＋bx 2，当x ＝1时，有极大值3. (1)求实数a ，b 的值； (2)求函数y 的极小值．解 (1)y ′＝3ax 2＋2bx .由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝3，f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝3，3a ＋2b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9.(2)由(1)，知y ＝－6x 3＋9x 2.所以y ′＝－18x 2＋18x ＝－18x (x －1)．令y ′＝0，解得x 1＝1，x 2＝0.所以当x <0时，y ′<0；当0<x <1时，y ′>0；当x >1时，y ′<0.所以当x ＝0时，y 有极小值，其极小值为0.10．已知a ∈R ，讨论函数f (x )＝e x (x 2＋ax ＋a ＋1)的极值点的个数．解 f ′(x )＝e x (x 2＋ax ＋a ＋1)＋e x (2x ＋a ) ＝e x [x 2＋(a ＋2)x ＋(2a ＋1)]．令f ′(x )＝0，所以x 2＋(a ＋2)x ＋2a ＋1＝0.※ ①当Δ＝(a ＋2)2－4(2a ＋1)＝a 2－4a >0，即a <0或a >4时，设※有两个不同的根x 1，x 2，不妨设x 1<x 2，所以f ′(x )＝e x (x －x 1)(x －x 2)．即f (x )有两个极值点．②当Δ＝0，即a ＝0或a ＝4时，设※有两个相等实根x 1，所以f ′(x )＝e x (x －x 1)2≥0，所以f (x )无极值．③当Δ<0，即0<a<4时，x2＋(a＋2)x＋2a＋1>0，所以f′(x)>0(x∈R)．故f(x)也无极值．综上所述，当a<0或a>4时，f(x)有两个极值点，当0≤a≤4时f(x)无极值点．B级：能力提升练1．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是()答案 C解析因为f(x)在x＝－2处取得极小值，所以在x＝－2附近的左侧，f(x)单调递减，即f′(x)<0；在x＝－2附近的右侧，f(x)单调递增，即f′(x)>0.故在x＝－2附近的左侧有y＝xf′(x)>0；在x＝－2附近的右侧有y＝xf′(x)<0.所以可排除选项A，B，D，只有选项C满足这一条件．而且当x＝0时，xf′(x)＝0，选项C也满足这一条件．故选C.2．已知函数f(x)＝ax3＋x2(a∈R)在x＝－43处取得极值．(1)确定a的值；(2)若g(x)＝f(x)e x，讨论g(x)的单调性．解(1)对f(x)求导得f′(x)＝3ax2＋2x，因为f(x)在x＝－43处取得极值，所以f′⎝⎛⎭⎪⎫－43＝0，即3a·169＋2·⎝⎛⎭⎪⎫－43＝16a3－8 3＝0，解得a＝12.(2)由(1)得g(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫12x3＋x2e x，故g′(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫32x2＋2x e x＋⎝⎛⎭⎪⎫12x3＋x2e x＝⎝⎛⎭⎪⎫12x3＋52x2＋2x e x＝12x(x＋1)(x＋4)e x.令g′(x)＝0，解得x＝0，x＝－1或x＝－4.当x<－4时，g′(x)<0，故g(x)为减函数；当－4<x<－1时，g′(x)>0，故g(x)为增函数；当－1<x<0时，g′(x)<0，故g(x)为减函数；当x>0时，g′(x)>0，故g(x)为增函数．综上知g(x)在(－∞，－4)和(－1,0)内为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)内为增函数．。