运筹学讲义——影子价格讲解材料
物流运筹学(第9节-影子价格)
说明，在当前的情况下， 钢材是有剩余的，煤炭 和设备才是企业的瓶颈。
再增加一台时设备，利润会增加 6/7
Page 10
对偶问题的经济解释－影子价格
影子价格的经济意义
Page 11
2）根据对偶理论的互补松弛性定理: 生产过程中如果某种资源未得到充分利用时，该种资源 的子价格为零；又当资源的影子价格不为零时，表明该种 资源在生产中已耗费完毕。
若第i 种资源的单位市场价格为mi ，则有当yi* > mi 时，企业愿意 购进这种资源，单位纯利为yi*－mi ，则有利可图；如果yi* < mi ， 则企业有偿转让这种资源，可获单位纯利mi－yi * ，否则，企业 无利可图，甚至亏损。 结论：若yi* > mi 则购进资源i，可获单位纯利yi*－mi 若yi* < mi则转让资源i ，可获单位纯利mi－yi
对偶性质
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性质2 弱对偶原理(弱对偶性)：设 X 0 和 Y 0分别是问题(P)和 (D)的可行解，则必有 n m max Z=C X 0 0 CX Y b 即： c j x j yi bi s.t. AX≤b j 1 i 1
推论1: 原问题任一可行解的目标函数值是其对偶 问题目标函数值的下届；反之，对偶问题任意可 行解的目标函数值是其原问题目标函数值的上界。 推论2: 在一对对偶问题（P）和（D）中，若其中 一个问题可行但目标函数无界，则另一个问题无 可行解。这也是对偶问题的无界性。
对偶问题的经济解释－影子价格
3）影子价格是一种机会成本
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影子价格是在资源最优利用条件下对单位资源的估价， 这种估价不是资源实际的市场价格。因此，从另一个角度说， 它是一种机会成本。
若第i 种资源的单位市场价格为mi ，则有当yi* > mi 时，企业愿意 购进这种资源，单位纯利为yi*－mi ，则有利可图；如果yi* < mi ， 则企业有偿转让这种资源，可获单位纯利mi－yi * ，否则，企业 无利可图，甚至亏损。 结论：若yi* > mi 则购进资源i，可获单位纯利yi*－mi 若yi* < mi则转让资源i ，可获单位纯利mi－yi
运筹学课件--影子价格的经济意义
经济分析:
1.哪些资源是稀缺资源?程度如何?
稀缺资源是原材料和设备 剩余资源是劳动力和电
2.企业应怎样合理利用资源?部门之间资源如何调整?
增加稀缺资源的投入,减少剩余资源; 资源由影子价格低的部门调向较高的部门
2013-6-17
运筹学课件
3.如果企业改进工艺使原材料的消耗减少10%,计算 对总利润的影响.
资源占用者赋予资源的一个内部价格,与资源的市场 价格无直接关系.
影子价格可以计算出经济活动的成本
2013-6-17 运筹学课件
例: 某家企业生产A,B,C三种产品,需要使用的原材料,劳动 力,设备使用时数,电是有限的,各种产品对每种资源的单位 消耗系数aij及产品的单位利润Cj见下表.
A 原材料(吨) 劳动力(人) 1 1 B 2 1 C 4 2 资源限制b 100 88
Y*=(0.4,0,1.2,0) Y*(aij)=(0.4,0,1.2,0)* (4,1,2,1)T=4 能投产. 即产品成本为4万
Λ=5-4=1>0
2013-6-17
运筹学课件
X1+ X2+ 2X3 ≤88
s.t
Y2
3X1+ X2+ 2X3 ≤180 Y3 2X1+ 2X2+ X3 ≤213 Y4 xj≥0, j=1,2,3
(D)
Min z=100Y1+88Y2+180Y3+213Y4 Y1+ Y2+ 3Y3 + 2Y4≥4 2Y1+ Y2+ Y3 + 2Y4≥2
s.t
4Y1+ 2Y2+ 2Y3 + Y4≥3
影子价格的经济意义
线性规划问题的影子价格研究解析
目录1 引言....................................................................................................... 错误!未定义书签。
2 文献综述............................................................................................... 错误!未定义书签。
2.1 国内外研究现实状况.......................................................................... 错误!未定义书签。
2.2 国内外研究现实状况评价.................................................................. 错误!未定义书签。
2.3 提出问题.............................................................................................. 错误!未定义书签。
3 技术系数与约束右端项不发生变化................................................... 错误!未定义书签。
3.1线性规划原问题与对偶问题及其性质............................................... 错误!未定义书签。
3.2详细应用............................................................................................... 错误!未定义书签。
3.3 影子价格确实定.................................................................................. 错误!未定义书签。
运筹学：对偶理论与敏感性分析-影子价格培训课件
3
x2
2
0
1
1/2
σj
-14
0
0
-1.5
x4
x5
1/4
0
1/2
1
-1/8
0
-1/8
0
若生现产在I该和厂II，从求其此他时地的方最抽优调方4台案时设备用于
b1 增加 4
0 0.25 0 这里 B-1 = -2 0.5 1
0.5 -0.125 0
各列分别对应 b1, b2, b3 的单一变化。 因此，设 b1 增加 4，则 x1, x5, x2 分别变为： 4+0×4=4, 4+(-2)×4=-4<0, 2+0.5×4=4 用对偶单纯形法进一步求解。
用单纯形法继续迭 代 用对偶单纯形法继 续迭代 引入人工变量，编 制新的单纯形表重 新计算
16
价值系数c发生变化： 考虑检验数
j =- cj +∑i = 1, 2, …, m ci a’ij ,
j =1,2,……,n
这里a’ij 为最优单纯形表中的系数，不 同于初始的aij
1. c是非基变量的系数： 2. c是基变量的系数：
j = - cj +∑ ci a’ij ， 若用单j纯≥ 形0，法则求最解优。解不变；否则，进一步
34
2. B 中某一列变化：
稍微复杂些，一般可重新列表计算， 也可以用列替换的方法在原最优单 纯形表上继续进行计算。
例2.10：例2.6中 x2 的系数 P2 改变为( 4, 0, 2 )T， c2 改变为1。
22
例2.6：线性规划
max z = 2x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4+ 0x5
运筹学02.4对偶问题的经济意义-影子价格
影子价格 y1 = 50的经济意义：原料 A的供应量 b1增加1个单位 时，最大利润将增加 50个单位.
影子价格 y 2 = 0的经济意义：原料 B的供应量 b2增加1个单位
时，最大利润将不变化 . 影子价格 y3 = 50的经济意义：原料 C的供应量 b2增加1个单位 时，最大利润将增加 50个单位.
2011-3-10
5
运筹学
Operations Research
∴ 原线性规划问题的最优解为(50,250)T .
故产品Ⅰ，Ⅱ的产量分别为50，250即可满足要求.
2011-3-10
6
运筹学
Operations Research
T T (2)由最终的单纯形表得影子价格为 y = ( y1 , y2 , y3 ) = (50,0,50) .
此线性规划问题恰是(LP)的对偶问题，其最优解为
y = ( y1 , y2 , y3 )T = (50,0,50)T .
故该厂只需将三种原料的价格分别定为50，0，50，双方 即可都能接受.▌
2011-3-10
8
运筹学
Operations Research
例2 给定线性规划问题 max z = 2 x1 + 3x 2 + x3 s. t. x1 + x 2 + x3 ≤ 3 x1 + 4 x 2 + 7 x3 ≤ 9 x1 , x 2 , x3 ≥ 0 （1）利用单纯形法求解此线性规划问题； （2）计算影子价格，并分析其经济意义.
运筹学
Operations Research
§2.4 对偶问题的经济意义 -影子价格
2011-3-10
1
运筹学
影 子 价 格
影子价格 对偶问题的最优解y1*，y2*，…，ym*，称为原问 题中各种资源的影子价格。
Y*= CBB－1
m
z*=w*= Y*b= bi yi* i 1
z * bi
yi*
影子价格反映资源对目标函数的边际贡献。
n
aij
x
* j
bi ，第i种资源有剩余，其影子价格yi*=0。
j 1
m
aij
y
* i
c
，把生产一个单位第j种产品的资源转让
j
i 1
出去，所得收入高于该产品的价格，故产量xj*=0。
一、对偶变量的经济意义 影子价格： 指当资源改变一个单位时引起的最优收益值 的改变量。
（一）由单纯形法看影子价格的含义 书21页求得： 原问题(a) X*=(2, 3 ,0 ,4 ,0)T z*=19 对偶问题（b） Y*= (2, 0, 1/4) w*=19
2．由影子价格可以了解到，花费多大的代价增 加资源才是有利的。
显然增加该种资源所需的代价或成本不应超过 增加该种资源所带来的收益。
3．利用影子价格分析现有产品价格变动对资源 紧缺情况的影响。
运筹学
由原问题的最优解可知，原材料A和原材料C已经用 完，而原材料B剩余4个单位，所以，即使再增加这一材 料的供应量也不会使得目标函数（总利润）增加，也即 它的影子价格y2=0.因此材料B不是紧缺资源。
二、影子价格的作用
1．由影子价格可了解到，若要增加资源以增加 收益的话，应首先增加哪种资源最为有利，哪 种资源最稀缺。如上例中，三种资源影子价格 为(2, 0, 1/4)说明应首先增加第一种资源。因相 比之下，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ加它所增加的收益最大，而不应增 加第二种资源。
运筹学课件第三节影子价格
第三节 影子价格
对偶问题解的经济解释——影子价格
我们已经明白原始线性规划与对偶线性规 划之间形式上的对偶以及他们解之间的关系， 那么对偶问题的解除了前面引例中提到的租金 这种经济含义外其深刻的经济含义是什么呢？
运筹学教程
线性规划的对偶理论
对偶问题解的经济含义分析：
从单纯形法的矩阵描述中，目标函数取值 Z = CBB-1 b ， 和检验数CN -CBB-1N 中都有乘子 Y = CBB-1。
注意：在初始单纯形表其对偶问题应该是基 可行解，对多数线性规划问题难实现。
主要应用：灵敏度分析。
运筹学教程
练习:使用对偶单纯形法求解
min Z 4 x1 x2 3x3 x1 x2 x3 5 st. x1 x2 4 x3 3 x ,x ,x 0 1 2 3
当产品产值大于隐含成本时，表明生产该产品有利。 当产品产值小于隐含成本时，表明用资源生产别的产品有利。
运筹学教程
第四节 对偶单纯形法
一、对偶单纯形法的基本思路 对偶单纯形法是应用对偶原理求解线性 规划的一种方法 ——在原问题的单纯形表 上进行对偶处理。
注意：不是解对偶问题的单纯形法！
运筹学教程
1、 单纯形法求解 初始可行基（对应一个初始基可行解） →迭代→另一个可行基（对应另一个基可行 解），直至所有检验数≤0为止。
j 1
n
若 aij x j bi, 有yi 0
j 1
n
运筹学教程
特点5、从影子价格考察单纯形表的计算。
j c j CB B 1Pj c j aij yi
i 1
m
Cj代表第j种产品的产值，
运筹学之影子价格培训讲义
2023-10-29CATALOGUE 目录•运筹学概述•影子价格理论•运筹学在影子价格计算中的应用•影子价格在现实问题中的应用案例•结论与展望01运筹学概述定义运筹学是一门应用科学，旨在寻找最优决策，以有限资源达到最佳效果。
特点运筹学强调数学模型的应用，通过定量分析为决策提供依据，同时注重系统性和整体性。
运筹学的定义与特点运筹学可以帮助企业或组织在复杂情况下做出更明智的决策，提高决策效率和准确性。
提高决策效率优化资源配置增强企业竞争力运筹学可以优化企业或组织的资源配置，使有限的资源发挥最大的效益。
通过运筹学的应用，企业可以在激烈的市场竞争中获得更大的优势，提高市场占有率。
03运筹学的重要性0201运筹学起源于二战时期，当时英国科学家蒙哥马利将军在北非战役中运用运筹学方法进行作战指挥。
起源运筹学在20世纪50年代得到了迅速发展，应用领域不断扩大，逐渐成为一门独立的学科。
发展运筹学广泛应用于生产、管理、军事、交通等领域，为实际问题提供最优解决方案。
应用运筹学的发展历程02影子价格理论影子价格是一种资源利用最优化的评估价格，它反映了资源的真实价值，由资源的机会成本决定。
在运筹学中，影子价格被广泛应用于线性规划问题中，用以确定最优解和判断资源的分配是否合理。
影子价格的概念影子价格具有以下性质：它是资源的边际价值，反映了资源的稀缺性；它是资源的优化评估价格，与市场价格不同；它依赖于问题的具体设定和约束条件。
影子价格的性质影子价格的概念与性质线性规划问题中的影子价格在求解线性规划问题时，可以使用单纯形法、对偶单纯形法等方法来计算影子价格。
这些方法通过迭代过程求解最优解，并同时得到每个约束条件的影子价格。
其他计算方法除了在线性规划问题中的应用，影子价格还可以通过其他方法进行计算，例如在非线性规划问题中可以使用梯度法、共轭梯度法等方法来计算影子价格。
这些方法根据目标函数的性质和约束条件来求解最优解和影子价格。
运筹学讲义——影子价格
运筹学讲义——影子价格1. 引言影子价格是运筹学中重要的概念之一，它是一种用于衡量资源的价值及其影响因素的指标。
在运筹学的研究中，影子价格广泛应用于线性规划、非线性规划等问题的求解过程中。
本讲义将介绍影子价格的概念、计算方法以及在运筹学中的应用。
2. 影子价格的概念影子价格是指在约束条件下，增加或减少某一资源单位所引起目标函数值的变化量。
影子价格可以理解为资源的边际价值，即某一额外单位资源对于目标函数值的贡献。
在最优解中，影子价格的值通常为零。
3. 影子价格的计算方法影子价格的计算涉及到对约束条件的变化进行分析，一般通过对目标函数做边际分析来求解。
3.1 单纯形法单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的方法，其中也可以通过对基变量进行边际分析来计算影子价格。
具体方法是，在求解最优解的过程中，通过检验数判断基变量是否为零，若不为零则计算相应基变量对应的影子价格。
3.2 灵敏度分析灵敏度分析是通过对约束条件进行改变，观察目标函数值的变化来计算影子价格。
常见的灵敏度分析方法包括增加或减少资源限制条件、增加或减少目标函数系数等。
4. 影子价格的应用影子价格在运筹学中有着广泛的应用，特别是在供应链管理、生产调度、资源配置等方面。
4.1 供应链管理在供应链管理中，供应商的影子价格可以衡量其对供应链整体利润的贡献程度。
通过计算不同供应商的影子价格，企业可以优化供应链结构，选择最佳的供应商以最大程度地提高供应链利润。
4.2 生产调度在生产调度中，影子价格可以用来衡量不同工序之间的资源转移成本。
通过计算影子价格，企业可以优化生产调度方案，合理利用资源，提高生产效率。
4.3 资源配置影子价格可以用于资源配置的决策过程中。
通过计算各种资源的影子价格，企业可以合理配置资源，从而最大程度地满足生产需求，提高利润。
5.影子价格是运筹学中一个重要的概念，可以衡量资源的边际价值及其影响因素。
通过计算影子价格，可以优化决策过程，提高整体效益。
影子价格理论
影子价格理论运算价格和影子价格费用效益分析与财务分析最要紧的区别之一是:前者使用影子价格,后者使用市场价格。
影子价格源于运筹学里的线性规划,是在既定资源约束条件下实现目标函数时得到的对偶解。
那个对偶解被称为“影子价格”是针对资源实际价格而言的,即先有了“竿”,然后才有太阳底下的“影”,没有“竿”就无从有“影”。
在传统的费用效益分析中,投入与产出都有“实际价格”或“现行市场价格”,假如那个市场价格不是由市场机制形成的,它就不可能反映投入产出的经济价值,那么就可设定资源最优配置的条件,在确定的目标下,运算能反映其经济价值的“影子价格”。
关于项目中的投入、产出,包括劳动力与外汇,亚洲开发银行主张用其“经济价值”表现。
在许多项目中,费用或效益全然就没有市场价格,例如1公顷林地垦耕还林涵养水分的价格,高速公路节约旅行时刻的价格,空气质量恶化引发呼吸道疾病造成的费用(价格),卫生防疫减少发病率、降低死亡率的价格,培训教师提高授课质量和学生升学率的效益等等。
没有市场价格并不等于这些活动可不能有经济产出,其内在的经济价值只是目前未能找到公认的简便方法来计量与表达,但通过努力在今后是能够实现的。
将上述几种情形中的估量价格称为影子价格尽管能够为人明白得,但未免过于牵强。
在Little和Mirrlees的专著《进展中国家项目评判与打算》[6]中,他们指出经济学家使用影子价格“是一种不幸”,并主张使用“运算价格”,并在该书中有必要用能反映汇率经济价值的影子汇率取代实际汇率,实际工作中可使用影子汇率换算系数乘以实际汇率求得。
由于汇率是全国统一的,影子汇率换算系数确实是国家级的评判参数,一样由国家投资主管部门组织测定与公布。
在《建设项目经济评判方法与参数》(第三版)的编制过程中,有关部门依照均衡汇率的原理,测罢了影子汇率换算系数为1·04。
主编单位“考虑到进口增值税税率一样为17%,出口产品通常免征增值税,再考虑非贸易外汇收支不征收增值税,非贸易外汇收支占我国外汇收支一定比例,最终影子汇率换算系数取值为1·08”。
运筹学讲义-影子价格
03
影子价格可以帮助企业了解库 存水平变化对供应链整体效益 的影响，从而制定科学的库存 控制策略。
运输优化问题
影子价格可以用于运输优化 问题，通过比较不同运输方 案的影子价格，选择最优的 运输方式、路径和合作伙伴
。
影子价格可以反映运输延迟 和运输成本对供应链总成本 的影响，有助于企业制定合
理的运输策略。
风险调整
在风险决策分析中，影子价格可以作为风险调整因 子，用于调整不同投资方案的预期收益，以反映风 险水平对预期收益的影响。
风险分散
通过计算不同风险投资方案的影子价格，投资者可 以了解不同投资方案的风险分散程度，从而选择更 稳健的投资组合。
多目标决策分析
80%
目标权重
在多目标决策分析中，影子价格 可以作为目标权重，用于平衡不 同目标之间的冲突和矛盾，以实 现整体最优。
THANK YOU
感谢聆听
在线性规划问题中，影子价格 通常与最优解中的非基变量相 关，反映了资源的边际贡献。
影子价格的概念不仅适用于货 币资源，还可以扩展到其他类 型的资源，如时间、人力等。
影子价格在运筹学中的重要性
影子价格在运筹学中具有重要的实际意义，它可以帮助决策者理解资源的稀缺性，优化资源配置，提 高经济效益。
通过比较不同资源的影子价格，决策者可以判断哪些资源对目标函数的贡献更大，从而优先分配这些资 源。
100%
目标优化
通过影子价格对不同目标进行优 化，可以找到满足所有目标的最 佳方案，实现多目标决策的最优 解。
80%
目标优先级
影子价格还可以用于确定不同目 标的优先级，以指导决策者在资 源有限的情况下做出最优选择。
机会成本分析
机会成本计算
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数为正时，则应以该变量进基，作
单纯形迭代，从而找出新的最优解。
灵 敏 度 分 析
例2－11
XB CB
0 x4 0 x5
cj
233 0 0 5
xj x1 x2 x3
x4
x5
x6
b
3
111 1 0 2
9
147 0 1 3
2 x1
1
1 0 -1 4/3 -1/3 5/3 3/5
3 x2
2
0 1 2 -1/3 1/3 1/3 6
CBT XB B-1b
B-1B
B-1N
分 析
－Ｚ
- CB B-1b CB- CB B-1B CN- CB B-1N
灵敏度分析总是在最优表上进行
灵 敏 度 分 析
例2－7 线性规划
m Z 2 a x 1 3 x x 2 3 x 3 0 x 4 0 x 5
x1 x2 x3 x4 3 x1 4x2 7x3 x5 9 x1 ~ x5 3
市场价格
影子价格
影 商品的价值的货币 资源最优利用时的边际
子 表现
价值
价 随着市场的供求情 随着经济结构的变化而
格
况和有关方针，政 变化，同一资源在不同 策的变化而变化。 的经济结构中影子价格
的
不同。
特 它的制定含定价者 它的形成完全由经济结
点 的主观因素
构的客观条件确定。
它的制定是个比较 它的计算是比较容易的。
－Ｚ
-8
0 0 -1 -5/3 -1/3 2/3
5 x6
3/5 3/5 0 -3/5 4/5 -1/5 1
3 x2
9/5 -1/5 1 11/5 -3/5 2/5 0
－Ｚ
-42/5 -2/5 0 -3/5 -11/5 -1/5 0
增加一个约束
在企业的生产过程中，经常有一些突发
灵
事件产生，造成原本不紧缺的某种资源 变成为紧缺资源，对生产计划造成影响，
格
价格低于影子价格，就买进资源，当市场
价格高于影子价格，就卖出资源）
■影子价格越小，说明这种资源相对不紧缺
■如果最优生产计划下某种资源有剩余，这
种资源的影子价格一定等于0
A
B
C 拥有量
工时
1
1
1
3
材料
影
单件利润
1
4
7
9
2
3
3
子 价
m inW3y19y2 y*1=5/3, y*2=1/3
即工时的影子价格为5/3，
分 施中上述状况发生了改变，则决策者所关 心的是目前所执行的计划还是不是最优，
析 如果不是应该如何修订原来的最优计划。
更进一步，为了防止在各类状
况发生时，来不及随时对其变
化作出反应，即所谓“计划不
灵
如变化快”，企业应当预先了
敏
解，当各项因素变化时，应当 作出什么样的反应。
度
分
析
设线性规划问题：
maxZ=CX
格 举
y1 y2 2
s
.t
.
y1 y1
4 7
y2 y2
3 3
材料的影子价格为1/3。
如果目前市场上材料的价 格低于1/3，则企业可以 购进材料来扩大生产，反
例
y 1 0 , y 2 0 之可以卖掉部分材料。
如果有客户以高于5/3
的价格购买工时，则可以
出售一些工时，反之则反
和市场价格的比较
点
随之改变。
在生产计划问题的一般形式中，A代
表企业的技术状况，b代表企业的资源状况，
而C代表企业产品的市场状况，在这些因
灵 素不变的情况下企业的最优生产计划和最 大利润由线性规划的最优解和最优值决定。
敏
在实际生产过程中，上述三类因素均是
度 在不断变化的，如果按照初始的状况制订 了最佳的生产计划，而在计划实施前或实
3 3
3≤b2 ≤12
增加一个变量
若企业在计划期内，有新的产品可
灵
以生产，则在知道新产品的单位利 润，单件资源消耗量时，可以在最
敏
优表中补充一列，其中的前m行可
度
以由基矩阵的逆矩阵得到，而检验 数行也可以由与其它列相同的方法
分
计算得到。若检验数非正，则原最
析
优解仍为最优，原生产计划不变， 不生产这种新产品；否则，当检验
影
它反映了在最优经济结构中， 在资源得到最优配置前提下，
子
资源的边际使用价值。
价
单纯形表中松弛变量所对应的
格
检验数的相反数是在该经济结
构中的影子价格，也可以说对
偶问题的最优解向量是结构中
的影子价格。
定理1：在某项经济活动中，在资源
得到最优配置条件下，
影
m
子
若xj〉0，则有 aij yj c j ; i=1
3 x2
2
01
2 -1/3 1/3
－Ｚ
-8
0 0 C3-1-4 -5/3 -1/3
如果C3>4,则目前解不再是最优解,应该用单纯形方 法继续求解,否则解不变。即对于C3而言,使最优解 不变的条件是C3≤4。
灵 敏 度 分 析
例2－7 线性规划
价值系数CN发生改变
cj
23
5
XB
xj x1 x2
x3
CB
-1 4/3 -1/3 2 -1/3 1/3 -1 -5/3 -1/3
4 B19b1331
13319b1334b1b1/33
9/4≤b1 ≤9
灵 敏 度 分 析
例2－7 线性规划
右端常数b发生改变
cj
233
0
0
XB
xj x1 x2 x3
x4
x5
CB
b
0 x4
2
111
1
0
0 x5
9
147
0
1
2 x1 -1/3 1 0 -1 4/3 -1/3
4 1
B193
331
3 1
3
93
12
4 B1N3 31
1 3 317 1
1 0
1 021
4
3 1
3
1 3 1 3
灵 敏 度 分 析
例2－7 线性规划
XB CB
0 x4 0 x5
cj
233 0 0
xj x1 x2 x3
x4
X5
b
3
111 1 0
9
147 0 1
2 x1
1
1 0 -1 4/3 -1/3
价
m
若 aij yj c j ,则有xj =0
格
i=1
此定理的经济意义：
的 （1）若生产一个单位第j种产品按消耗
基
资源的影子价格计算的支出等于销售 一个单位该产品所得收入，则可生产
本 此产品。
性 （2）如果生产一个单位的第j种产品按
质
所消耗资源的影子价格计算的支出大 于销售一个单位该产品得到的收入，
灵 敏 度 分 析
例2－7 线性规划
价值系数CB发生改变
cj
C21 3 3
0
XB
xj x1 x2 x3
x4
CB
b
0 x4
3
111
1
0 x5
9
147
0
0
x5
0 1
C21 x1
1
1 0 -1 4/3
-1/3
3 x2
2
0 1 2 -1/3
1/3
－Ｚ
-8
0 0 C1-1-3 1-4-5//33C1 1/3-1C/31-1
111
1
0
0 X5
6
036
-1
1
－Ｚ
-12 0 -1 -1 -4
0
灵 敏 度 分 析
例2－7 线性规划
右端常数b发生改变
cj
23
3
XB
xj
x1
x2
x3
CB
b
0 x4
b31
0 x5
9
11
1
14
7
00 x4 x5
10 01
2 x1 4b11/3-3 1 0
3 x2 3-b21/3 0 1 －Ｚ -3-5-b81/3 0 0
1
0
0 x5
9
147
0
1
2 x1
13
3 x2
-1
－Ｚ
-23
最小比值
1 0 -1 4/3 -1/3 0 1 2 -1/3 1/3 0 0 -1 -5/3 -1/3
5
2 X1
9
147
0
1
0 X4
3
0 -3 -6
1
-1
－Ｚ
-18 0 -5 -11 0
-2
灵 敏 度 分 析
例2－7 线性规划
右端常数b发生改变
价。
当B是原问题的最优基时，Y=CBB-1 就是影子价格向量。
工时
材料
影
单件利润
A
B
C 拥有量
1
1
1
3
1
4
7
9
2
3
3
子
价
m inW3y19y2
格
y1 y2 2
举 例
s
.t
.
y1 y1
ห้องสมุดไป่ตู้
4 7
y2 y2
3 3
y 1 0 , y 2 0
影子价格是根据资源在生产中 作出的贡献而作出的估价，这 种估价不是资源的市场价格。