运筹学讲义——影子价格

格
数，相对比较稳 资源利用情况，是
定。
未知数。因企业生
的
产任务，产品的结
特
构等情况发生变化， 资源的影子价格也
点
随之改变。
灵敏度分析
11
在生产计划问题的一般形式中，A代
表企业的技术状况，b代表企业的资源状况，
而C代表企业产品的市场状况，在这些因
灵 素不变的情况下企业的最优生产计划和最 大利润由线性规划的最优解和最优值决定。
2
3
3
子 价
minW 3y1 9 y2
y*1=5/3, y*2=1/3 即工时的影子价格为5/3，
格 举
y1 y2 2
s.t.

y1 y1

4 y2 7 y2

3 3
材料的影子价格为1/3。
如果目前市场上材料的价 格低于1/3，则企业可以 购进材料来扩大生产，反
价。
当B是原问题的最优基时，Y=CBB-1 就是影子价格向量。
工时
材料
影
单件利润
A
B
C 拥有量
1
1
1
3
1
4
7
9
2
3
3
子
价
minW 3y1 9 y2
格
y1 y2 2
举 例
s.t.

y1 y1

4 y2 7 y2

3 3
y1 0, y2 0
y*1=5/3, y*2=1/3
例
影子价格是根据资源在生产中 作出的贡献而作出的估价，这 种估价不是资源的市场价格。
影
它反映了在最优经济结构中， 在资源得到最优配置前提下，
子
资源的边际使用价值。
价
单纯形表中松弛变量所对应的
格
检验数的相反数是在该经济结
构中的影子价格，也可以说对
偶问题的最优解向量是结构中
的影子价格。
定理1：在某项经济活动中，在资源
的
不同。
特 它的制定含定价者 它的形成完全由经济结
点 的主观因素
构的客观条件确定。
它的制定是个比较 它的计算是比较容易的。
复杂的过程，不存 用单纯形法求得
在统一的计算公式。
继续比较
影
任何一种商品的 影子价格可以为0， 市场价格都不可 当资源过剩是，其
子 能为0
影子价格为0
价 市场价格为已知 影子价格则有赖于
得到最优配置条件下，
影
m
子
若xj〉0，则有 aij yj c j ; i=1
价
m
若 aij yj c j , 则有xj =0
格
i=1
此定理的经济意义：
的 （1）若生产一个单位第j种产品按消耗
基
资源的影子价格计算的支出等于销售 一个单位该产品所得收入，则可生产
本 此产品。
性 （2）如果生产一个单位的第j种产品按
x1 x2 x3 x4 3 x1 4x2 7x3 x5 9 x1 ~ x5 3
XB CB
0 x4 0 x5
cj
233 0 0
xj x1 x2 x3
x4
X5
b
3
111 1 0
质
所消耗资源的影子价格计算的支出大 于销售一个单位该产品得到的收入，
则不宜生产此产品。
定理2：在某项经济活动中，在资源得到
最优配置条件下，
n
（1）若第种资源供大于求，即 aijxj bi
j=1
则该项资源的影子价格为0
n
影
（2）若第种资源供求平衡，即
aij
x
j

bi
j=1
则该项资源的影子价格大于等于0。
④增加一个约束
⑤技术系数A发生变化
若B是最优基，则最优表形式如下
cj
CB
灵 敏
CB XB
xj b
XBT
CN
XNT

度
CBT XB B-1b
B-1B
B-1N
分 析
－Ｚ
- CB B-1b CB- CB B-1B CN- CB B-1N
灵敏度分析总是在最优表上进行
灵 敏 度 分 析
例2－7 线性规划
max Z 2x1 3x2 3x3 0x4 0x5
子 ■影子价格越大，说明这种资源越是相对紧
价
缺（根据影子价格确定资源采购,当市场
格
价格低于影子价格，就买进资源，当市场
价格高于影子价格，就卖出资源）
■影子价格越小，说明这种资源相对不紧缺
■如果最优生产计划下某种资源有剩余，这
种资源的影子价格一定等于0
A
B
C 拥有量
工时
1
1
1
3
材料
影
单件利润
1
4
7
9
即工时的影子价格为5/3，材料的影子价格为1/3。
影
子
分析： 1. y1=5/3说明在现有的资源限量的条件下，
价
增加一个单位第一种资源可以给企业带来5/3元 的利润；如果要出售该资源，其价格至少在成本
格
价上加5/3元。 如果y1为0，则表示增加第一种资源不会增加利
举 润，因为第一种资源还 没有用完。
例
y1 0, y2 0 之可以卖掉部分材料。
如果有客户以高于5/3
的价格购买工时，则可以
出售一些工时，反之则反
和市场价格的比较
市场价格
影子价格
影 商品的价值的货币 资源最优利用时的边际
子 表现
价值
价 随着市场的供求情 随着经济结构的变化而
格
况和有关方针，政 变化，同一资源在不同 策的变化而变化。 的经济结构中影子价格
敏
在实际生产过程中，上述三类因素均是
度 在不断变化的，如果按照初始的状况制订 了最佳的生产计ห้องสมุดไป่ตู้，而在计划实施前或实
分 施中上述状况发生了改变，则决策者所关 心的是目前所执行的计划还是不是最优，
析 如果不是应该如何修订原来的最优计划。
更进一步，为了防止在各类状
况发生时，来不及随时对其变
化作出反应，即所谓“计划不
最优化后分析，可归为以下两类问题：
1）当系数A，b，C发生改变时，目前
最优基是否还最优？
灵
2） 为保持目前最优基还是最优，系
敏
数A，b，C的允许变化范围是什么？ 假设每次只有一种系数变化
度
灵敏度分析包括以下五种： ①目标系数C变化
分
基变量系数发生变化； 非基变量系数发生变化；
析
②右端常数b变化
③增加一个变量
影子价格
1
对偶最优解的经济含义――影子价格
Z* b1 y1* b2 y2* bm ym*
影
Z bi

yi代表着当第i个右端常数增加一个
单位时，最优目标函数值的相应增量。
子
其含义是在目前已给定的情况下，最
价 优目标值随资源数量变化的变化率； 格 其经济含义是为约束条件所付出的代
灵
如变化快”，企业应当预先了
敏
解，当各项因素变化时，应当 作出什么样的反应。
度
分
析
设线性规划问题：
maxZ=CX
灵
s.t. AX=b
敏 A代表企业技术状况
度 b 代表企业资源状况
分 C代表企业产品市场状况（利润)
析
这些因素不 变的情况下，企业最 优生产计划和最大利润由线性规划
的最优解和最优值决定。