运筹学讲义6

第六讲排队论X/Y/ZX处填写表示相继到达间隔时间的分布;Y处填写表示服务时间的分布;Z处填写并列的服务台的数目c.c=1 单服务台，c>1 多服务台表示相继到达间隔时间和服务时间的各种分布的符号: M —负指数分布 D —确定型Ek —k 阶爱尔朗分布GI — 一般相互独立的时间间隔的分布 G — 一般服务时间的分布 X/Y/Z/A/B/CA 处填写系统容量限制N ；N=c 损失制，N=∞等待制系统，N>c 混合制系统B 处填写顾客源数m （有限、无限）；C 处填写服务规则（FCFS/LCFS/SIRO/PR ）。

约定：FCFS Z Y X /////∞∞如略去后三项，即指1、平均到达率(λ)：单位时间内平均到达的顾客数。

平均到达间隔 (1/λ)2、平均服务率(μ)：单位时间内平均服务的顾客数。

平均服务时间(1/μ)3、队长(Ls)：排队系统中顾客的平均数。

4、队列长(Lq)： 指系统中排队等候服务的顾客数。

Ls=Lq+正被服务的顾客数5、逗留时间(Ws)：指一个顾客在系统中的停留时间。

6、等待时间(Wq)：指一个顾客在系统中排队等待的时间。

Ws=Wq+服务时间7、系统的状态：描述系统中的顾客数损失制、服务台个数c系统容量N系统容量无限0,1,2,...,N0,1,2,...0,1,2,...,c8、系统的状态概率[Pn ( t )] ：指t 时刻、系统状态为n 的概率9、稳定状态（统计平衡状态）：lim Pn (t )→PnP n =P {N =n }稳态 系统中有n 个顾客概率 P 1稳态 系统中有1个顾客概率 P 0稳态 所有服务台全部空闲概率模型P n (t)的计算（在时刻t 系统中有n 个顾客的概率）在时刻在时刻×O×O离去到达n n n n××O Onn +1n -1n(A)(B)(C)(D)t +Δt 顾客数在区间（t , t +Δt ）t顾客数情况λΔt μΔtλΔtP n (t )P n (t )P n+1(t )P n-1(t )1-λΔt 1-λΔt μΔt1-μΔt1-μΔtP n (t +Δt )=P n (t )(1-λΔt )(1-μΔt )+P n +1(t )(1-λΔt )μΔt++P n-1(t)λΔt(1- μΔt) +P n (t)λΔt μΔt n ≥1整理得：P n (t +Δt )=P n (t )(1-λΔt -μΔt )+P n +1(t )μΔt +P n -1(t )λΔt +o(Δt ) [P n (t +Δt )-P n (t )]/Δt =λP n -1(t )+μP n +1(t )-(λ+μ)P n (t ) 令ΔtdP n (t )/d t =λP n -1(t )+μP n +1(t )–(λ+μ)P n (t )( n ≥1) (1) 考虑P 0(t )的情况：在时刻在时刻×O O离去到达000××O010(A)(B)(C)t +Δt 顾客数在区间（t , t +Δt ）t 顾客数情况μΔt P 0(t )P 1(t )1-λΔt 1-λΔt 1P 0(t )λΔtμΔtP 0(t +Δt )=P 0(t )(1-λΔt )+P 1(t )(1-λΔt )μΔt+ P 0(t )λΔt μΔt 令ΔtdP 0(t )/d t =-λP 0(t )+μP 1(t ) （2）令dP n (t )/d t =0，由(1)和(2)得到-λP 0+μP 1=0 (3)λP n -1+μP n +1-(λ+μ)P n =0 (4)1 =P P 0λμ由(3)式得λ, 012==nn P P n （），，，0μ通过求解可得令n =1，由(4)式得220P P λμ=（）200001n n P P P P λλμμ∞=⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑1λρμ=<（令）2001111P ()P ρρρ+++==-01(1),1n n P P n ρρρ=-=-≥011n n P P P ρ∞==-==∑忙λλ…...0P 1λP n -1+μP n +1 =(λ+μ)P n对状态0对状态n (n ≥1)系统状态转移速度图（1）系统中平均顾客数（L s ）01230123S n n L nP P P P P ∞===⋅+⋅+⋅+⋅∑=-+++23(1)(23)ρρρρS ⎫=+++⎪⇒⎬=+++⎪⎭S 232342323ρρρρρρρ-=+++=-S 23(1)1ρρρρρρ/11/s L ρλμλρλμμλ===---记230(1)1(1)2(1)3(1)ρρρρρρρ=⋅-+⋅-+⋅-+⋅-+（2）队列中等待的平均顾客数（L q ）∞==⋅+⋅+⋅+=-∑1231012(1)q nn L P P P n P∞∞===-=--=-=-∑∑011(1)n n s s n n nP P L P L λρρμλ（3）顾客逗留时间的期望值（W s ）李泰勒（Little ）证明了在很宽的条件下，排队系统数量指标之间有以下的关系式： W s =L s /λe=⋅=--11s W λμλλμλ（4）队列中顾客等待时间（W q ）李泰勒证明了在很宽的条件下，排队系统数量指标之间有以下的关系式==-=-=--111qq s e L W W ρλμμλμμλ()1 ,111/0≥-=-=<=n ρρP ρP n n μλρ(1) 队长（L s ）指在系统中的顾客数(2) 排队长（L q ）指系统中排队等候服务的顾客数L q =L s -正被服务的顾客数λμλ-=s LλμλρρL L s q -=-=(3) 逗留时间（W s ）指一个顾客在系统中的停留时间(4) 等待时间（W q ）指一个顾客在系统中排队等待的时间W q =W s -服务时间λμW E W s -==1][λμρμW W s q -=-=1（5）顾客在系统中逗留的时间W （随机变量），在M/M/1情形下，它服从参数为μ-λ的负指数分布，即()()()() ()1 ()() ()1() ()()1w w wwF w e f w e w P W w F w e w P W w F w e μλμλμλμλμλ--------=-=->=-=≤==-分布函数密度函数顾客在系统中逗留时间超过的概率是顾客在系统中逗留时间不超过的概率是（12年，第二题，15分）某修理店只有一个修理工，来修理的顾客到达过程为泊松流，平均4人/小时；修理时间服从负指数分布，平均每人服务时间为6分钟。

请计算： 1）修理店空闲的概率； 2）店内恰有3个顾客的概率； 3）在店内的平均顾客数；4）每位顾客在店内的平均逗留时间； 5）等待服务的平均顾客数； 6）每位顾客平均等待服务的时间； 7）必须在店内消耗10分钟以上的概率。

解：由已知条件知4/10/λμ==人小时，人小时 ，因此40.410λρμ===0P 10.6ρ=-=33P (1)0.0384ρρ=-=42L 1043s λμλ===--111W 1046s μλ===--0.444L 10415q ρλμλ⨯===--0.41W 10415s ρμλ===--1）修理店空闲的概率2）店内恰有3个顾客的概率3）在店内的平均顾客数4）每位顾客在店内的平均逗留时间5）等待服务的平均顾客数6）每位顾客平均等待服务的时间7）必须在店内消耗10分钟以上的概率()11P(W>)6w e e μλ---==（08年，第五题，15分）顾客按泊松分布到达某单人理发店，平均间隔20分钟。

理发时间为负指数分布，平均每人15分钟。

设该系统符合M/M/1模型，求： a ）顾客不必等待的概率； b ）顾客在店内平均等待时间；c ）若顾客在店内耗时超过1.25小时，则雇人帮忙，问平均到达率达到多少以上需雇人帮忙。

解：由已知条件知3/4/λμ==人小时，人小时，因此30.754λρμ===a ）顾客不必等待的概率0P 10.25ρ=-=；b ）顾客在店内平均等待时间q 0.75W 0.7543ρμλ=--==小时；c ）若顾客在店内耗时超过1.25小时，即s W 1.25=，因此111.25, 3.24λμλλ=--==，平均到达率达到32/.人小时以上需雇人帮忙。

M/M/1/N/∞模型（混合制系统）假定系统最大容量为N，单服务台情形排队等待的顾客最多为N-1λλμλλμN+1个状态μ10111()n n nN NP PP P PP Pλμλλμμλ+--=+=+=P n 的计算2000001NNn n P P P P P ρρρ==+++=∑1 =P P 0λμ通过求解可得, 10nn P P n Nλμ=≤≤（）2011N P ()ρρρ+++=10111N ()P ρρ+-⋅=-n1 n N N n N P P ++-=≠--=≤-0111111ρρρρρρ解得：ρ（队长++=+==-≠--∑N Nn N n N nP 1s 11L , 111ρρρρ）(1) ==-=--∑Nn s o n n P L P q 1L 11 （）（）(2) 队列长有效到达率λe =λ(1-P N ) 系统不满时顾客以λ的速度进入系统1W 1q q q s e N L L W P λλμ===--（）(4) 顾客等待时间0W 1sss e L L P λμ==-（）(3) 顾客逗留时间λe = μ(1-P 0)顾客源为有限的情形（M/M/1/∞/m ）mλλμμ机器故障问题：设共有m台机器，机器故障停机表示到达，待修机器形成队列，修理工是服务员。

+--=+-+=-+≤≤-=10111(1)[()],11n n nm mP m PP m n P m n P n mP PμλμλλμμλM/M/c 规定各服务台工作相互独立且平均分配服务率相同，即⎧μ1=μ2=…=μc=μ整个服务机构的平均服务率为cμ,(n≥c)nμ,(n <c)⎨⎩μ…...cμn≤c n>cλλλλ()(c)μλμλλμμλλμ+-+-=++=+≤<+=+≥101111(1)(),1(),n n nn n nP Pn P P n P n cc P P c P n如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。