运筹学讲义6

第六讲排队论

X/Y/Z

X处填写表示相继到达间隔时间的分布;

Y处填写表示服务时间的分布;

Z处填写并列的服务台的数目c.c=1 单服务台，c>1 多服务

台

表示相继到达间隔时间和服务时间的各种分布的符号: M —负指数分布 D —确定型

Ek —k 阶爱尔朗分布

GI — 一般相互独立的时间间隔的分布 G — 一般服务时间的分布 X/Y/Z/A/B/C

A 处填写系统容量限制N ；N=c 损失制，N=∞等待制系统，N>c 混合制系统

B 处填写顾客源数m （有限、无限）；

C 处填写服务规则（FCFS/LCFS/SIRO/PR ）。 约定：FCFS Z Y X /////∞∞如略去后三项，即指

1、平均到达率(λ)：单位时间内平均到达的顾客数。 平均到达间隔 (1/λ)

2、平均服务率(μ)：单位时间内平均服务的顾客数。平均服务时间(1/μ)

3、队长(Ls)：排队系统中顾客的平均数。

4、队列长(Lq)： 指系统中排队等候服务的顾客数。Ls=Lq+正被服务的顾客数

5、逗留时间(Ws)：指一个顾客在系统中的停留时间。

6、等待时间(Wq)：指一个顾客在系统中排队等待的时间。

Ws=Wq+服务时间

7、系统的状态：描述系统中的顾客数

损失制、服务台个数c

系统容量N

系统容量无限

0,1,2,...,N

0,1,2,...

0,1,2,...,c

8、系统的状态概率[Pn ( t )] ：指t 时刻、系统状态为n 的概率

9、稳定状态（统计平衡状态）：lim Pn (t )→Pn

P n =P {N =n }稳态 系统中有n 个顾客概率 P 1稳态 系统中有1个顾客概率 P 0稳态 所有服务台全部空闲概率

模型

P n (t)的计算（在时刻t 系统中有n 个顾客的概率）

在时刻在时刻×O

×O

离去到达n n n n

××O O

n

n +1n -1n

(A)(B)(C)(D)

t +Δt 顾客数

在区间（t , t +Δt ）t

顾客数

情况λΔt μΔt

λΔt

P n (t )P n (t )P n+1(t )P n-1(t )1-λΔt 1-λΔt μΔt

1-μΔt

1-μΔt

P n (t +Δt )=

P n (t )(1-λΔt )(1-μΔt )

+

P n +1(t )(1-λΔt )μΔt++

P n-1(t)λΔt(1- μΔt) +

P n (t)λΔt μΔt n ≥1

整理得：P n (t +Δt )=

P n (t )(1-λΔt -μΔt )+P n +1(t )μΔt +P n -1(t )λΔt +o(Δt ) [P n (t +Δt )-P n (t )]/Δt =λP n -1(t )+μP n +1(t )-(λ+μ)P n (t ) 令Δt

dP n (t )/d t =λP n -1(t )+μP n +1(t )–(λ+μ)P n (t )

( n ≥1) (1) 考虑P 0(t )的情况：

在时刻在时刻×

O O

离去

到达000

×

×O

010

(A)(B)(C)

t +Δt 顾客数

在区间（t , t +Δt ）t 顾客数

情况μΔt P 0(t )P 1(t )1-λΔt 1-λΔt 1

P 0(t )

λΔt

μΔt

P 0(t +Δt )=P 0(t )(1-λΔt )+P 1(t )(1-λΔt )μΔt+ P 0(t )λΔt μΔt 令Δt

dP 0(t )/d t =-λP 0(t )+μP 1(t ) （2）

令dP n (t )/d t =0，由(1)和(2)得到

-λP 0+μP 1=0 (3)

λP n -1+μP n +1-(λ+μ)P n =0 (4)

1 =P P 0λμ由(3)式得λ, 012

==n

n P P n （），，，0μ

通过求解可得

令n =1，由(4)式得2

20P P λμ

=（）

2

00001n n P P P P λλμμ∞

=⎛⎫⎛⎫

=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

∑1λρμ=<（令）2

00

1111P ()P ρρρ+++==-

01(1),1n n P P n ρ

ρρ=-=-≥

01

1n n P P P ρ∞

==-==∑忙

λ

λ…...

0P 1

λP n -1+μP n +1 =(λ+μ)P n

对状态0对状态n (n ≥1)

系统状态转移速度图

（1）系统中平均顾客数（L s ）

0123

0123S n n L nP P P P P ∞

===⋅+⋅+⋅+⋅

∑=-+++

23(1)(23)

ρρρρS ⎫=+++

⎪⇒⎬=+++⎪⎭

S 23234

2323ρρρρρρρ-=+++=

-S 23

(1)1ρρρρρρ

/11/s L ρλμλρλμμλ

===

---记

230(1)1(1)2(1)3(1)ρρρρρρρ=⋅-+⋅-+⋅-+

⋅-+

（2）队列中等待的平均顾客数（L q ）

∞

==⋅+⋅+⋅+=-∑1231012(1)q n

n L P P P n P

∞

∞

===-=--=-=-∑∑01

1

(1)n n s s n n nP P L P L λρρ

μλ

（3）顾客逗留时间的期望值（W s ）

李泰勒（Little ）证明了在很宽的条件下，排队系统数量指标之间有以下的关系式： W s =L s /λe

=

⋅

=

--1

1s W λ

μλλ

μλ