立体几何平行证明题

立体证明题(2)

1•如图，直二面角 D- AB- E中，四边形 ABCD是正方形，AE=EB F为CE上的点，且 BF丄

平面ACE

(1)求证：AE丄平面BCE

(2)求二面角 B-AC- E的余弦值.

2•等腰△ ABC中, AC=BC= r, AB=2, E、F分别为AC BC的中点，将△ EFC沿EF折起，使得C到P,得到四棱锥 P- ABFE且AP=BP*.

(1) 求证：平面 EFP1平面 ABFE

(2) 求二面角 B-AP- E的大小.

02

PADL 底面ABCD 且

ABCD 3•如图，在四棱锥 P- ABCD 中，底面是正方形，侧面 PA=PD=2 AD,若E 、F 分别为PC BD 的中点.

(I) 求证：EF//平面PAD

4•如图：正△ ABC 与Rt △ BCD 所在平面互相垂直，且/

(1)求证：AB 丄CD

BCD=90°,Z CBD=30°

5•如图，在四棱锥 P- ABCD中，平面PADL平面ABCD^ PAD是等边三角形，四边形

是平行四边形，/ ADC=120 , AB=2AD

6•如图，在直三棱柱 ABC- A i BQ 中，/ ACB=90°, AC=CB=CC2, E是 AB中点. (I)求证：AB丄平面A i CE

(H)求直线 AG与平面A i CE所成角的正弦值.

(1)求证：平面PADL平面PBD

7•如图，在四棱锥 P- ABCD中, PA丄平面 ABCD / DAB为直角，AB// CD, AD=CD=2AB=2

E, F分别为PC, CD的中点.

(I)证明：AB丄平面BEF;

(H)若PA=丄，求二面角 E- BD- C.

8•如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA丄平面 ABCD , PA=AB=AD=2，四边形 ABCD 满足

AB 丄 AD , BC // AD 且 BC=4，点 M 为 PC 中点.

(1)求证：DM丄平面PBC ；

BE

(2)若点E为BC边上的动点，且一一，是否存在实数人使得二面角 P- DE - B的

EC

2

余弦值为-?若存在，求出实数入的值；若不存在，请说明理由.

3

10.

如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形AB=2CD=2B, EA L EB

(1)求证：EA L平面EBC ABE所在的平面互相垂直, AB// CD, AB丄

BC,

9•如图，ABED是长方形，平面 ABEDL平面 ABC AB=AC=5 BC=BE=6且 M是BC的中点(I) 求证：AM L平面BEC

(H) 求三棱锥B- ACE的体积；

(川)若点Q是线段AD上的一点，且平面 QECL平面BEC求线段AQ的长.

(2)求二面角C- BE- D的余弦值.

£

D

11. 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形， AD// BC, / ADC=90°,平面PADL

底面ABCD O 为AD 中点，M 是棱PC 上的点，AD=2BC

12. 如图，三棱柱 ABC- ABC 中，侧棱

AA 丄平面ABC △ ABC 为等腰直角三角形，/ BAC=90，且 AB=AA, E 、F 分别是 CC, BC 的中点.

13. 如图，在菱形 ABCD 中，/ ABC=60°, AC 与BD 相交于点 Q AE 丄平面ABCD CF/ AE,

AB=AE=2

(I )求证：BD 丄平面ACFE

(II )当直线FQ 与平面BDE 所成的角为45°时，求二面角 B- EF- D

的余弦角

.

(1)求证：平面 POBL 平面 PAD (1)求证：平面 ABF 丄平面 AEF; (2 )求二面角 B 1 - AE- F 的余弦值.

14. 如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE BCF和一个正四棱锥 P- ABCD组合而成,

ADL AF, AE=AD=2

(1)证明：平面 PADL平面 ABFE

(2)求正四棱锥 P- ABCD的高h，使得二面角 C- AF- P的余弦值是二Ln

3

A

15. 如图，已知斜三棱柱 ABC一 ABC,/ BCA=90°, AC=BC=2 A在底面ABC上的射影恰为 AC的中点D,且BA丄AC.

(I)求证：AC丄平面A i BC;

(H)求二面角 A- A i B- C的平面角的余弦值.

试卷答案

•在 Rt △ BFG

中, 1.

【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定.

【分析】（1）由已知中直二面角 D- AB- E 中，四边形 ABCD 是正方形，且 BF 丄平面ACE 我们可以证得 BF 丄AE CB 丄AE 进而由线面垂直的判定定理可得 AE!平面BCE

（2）连接BD 与AC 交于G,连接FG 设正方形ABCD 的边长为2,由三垂线定理及二面角 的平面角的定义，可得/ BGF 是二面角B- AC- E 的平面角，解 Rt △ BFG 即可得到答案.

【解答】证明：（1）v BF 丄平面ACE

••• BF 丄 AE …

•••二面角 D- AB- E 为直二面角，且 CBL AB,

• CB 丄平面ABE

• CB 丄AE …

• AE 丄平面BCE …

解：（2）连接BD 与AC 交于G 连接FG 设正方形 ABCD 勺边长为2,

• BG 丄 AC, BG=］，…

•/ BF 垂直于平面 ACE 由三垂线定理逆定理得 FGL AC

• Z BGF 是二面角 B- AC- E 的平面角…

由（1） AE!平面 BCE 得 AE! EB,

••• AE=EB BE= ■'：.

•在 Rt △ BCE 中 , EC=丨「！讦’=.：，,…

由等面积法求得挖斗―

：

G0S ^DUr GB <2 3

故二面角B- AC- E 的余弦值为出.…

则酹-B 严