立体几何平行证明题

立体几何平行证明题

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ﻩ

立体证明题(2）

1.如图,直二面角Ｄ﹣AB﹣Ｅ中，四边形AＢCD是正方形,AE＝EB，F为CＥ上的点，且BF⊥

平面ＡCE．

(1)求证:AE⊥平面BＣE;

(2)求二面角Ｂ﹣ＡC﹣E的余弦值．

2.等腰△AＢC中,AC=BC=，AB=2，E、F分别为AC、BC的中点,将△EFＣ沿EF折起,使得Ｃ到P,得到四棱锥P﹣ＡＢFE,且AP=BP=．

（1)求证：平面EFP⊥平面ABFＥ；

（2)求二面角Ｂ﹣AP﹣Ｅ的大小．

3.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面是正方形，侧面ＰAD⊥底面AＢCD，且PＡ＝PD=AD,若E、Ｆ分别为PC、ＢD的中点．

(Ⅰ) 求证：EF∥平面PＡD；

（Ⅱ）求证：EF⊥平面PDC.

4．如图:正△AＢC与Rt△BCD所在平面互相垂直,且∠ＢCD=９０°，∠CBD=３0°.

（１)求证：ＡB⊥CD；

（2)求二面角D﹣AＢ﹣C的正切值.

5．如图，在四棱锥P﹣ABCＤ中，平面PAD⊥平面AＢCD,△PAD是等边三角形,四边形AＢC Ｄ是平行四边形,∠ADC=120°，AＢ＝2ＡD.

（１）求证:平面PAD⊥平面PBD;

（2）求二面角Ａ﹣ＰB﹣Ｃ的余弦值.

6.如图,在直三棱柱ＡBC ﹣A 1B 1C １中,∠A ＣB ＝９０°,ＡC=CB ＝C Ｃ１＝2，E 是A Ｂ中点. （Ⅰ）求证：AB 1⊥平面A １CE;

(Ⅱ)求直线A １C １与平面A 1ＣE 所成角的正弦值.

７.如图,在四棱锥P ﹣ABCD 中,PA ⊥平面ABC Ｄ,∠D ＡＢ为直角,AB ∥CD,ＡD=CD=2AB=2，Ｅ，F 分别为PC,C Ｄ的中点．

(Ⅰ）证明:AB ⊥平面B ＥF ；

(Ⅱ）若P Ａ=，求二面角Ｅ﹣BD ﹣C.

８.如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P Ａ⊥平面A ＢCD ，PA ＝AB=ＡD=2，四边形ABC Ｄ满足ＡB ⊥AD ，BC ∥A Ｄ且BC=4，点M 为ＰC 中点．

（１)求证：DM ⊥平面P ＢＣ；

（2)若点E 为BC 边上的动点，且

λ=EC BE ，是否存在实数λ，使得二面角P ﹣DE ﹣B 的余弦值为3

2？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由.

9.如图,AＢEＤ是长方形,平面ABＥD⊥平面ABＣ,AB＝ＡＣ=5，BC＝BE=６,且Ｍ是BＣ的中点（Ⅰ)求证：ＡM⊥平面ＢEC；

(Ⅱ)求三棱锥B﹣ACＥ的体积;

（Ⅲ）若点Q是线段AD上的一点，且平面QEC⊥平面ＢＥC，求线段AＱ的长．

10．如图,直角梯形ABＣＤ与等腰直角三角形ＡBＥ所在的平面互相垂直，AＢ∥CD，AB⊥ＢC,AB＝２CＤ=２BC，EA⊥EB

(1）求证：EA⊥平面EＢC

（2）求二面角C﹣BE﹣Ｄ的余弦值．

1１.如图，在四棱锥Ｐ﹣ＡBCD中,底面ABＣD为直角梯形，AD∥ＢC,∠ADC=90°，平面PAD ⊥底面ABCD,Ｏ为AD中点,M是棱PC上的点,AD＝２ＢC．

(1)求证:平面POB⊥平面PAＤ;

１2.如图,三棱柱AＢC﹣A1B１C1中,侧棱ＡＡ1⊥平面AＢC,△ABＣ为等腰直角三角形，∠BAC=9０°，且ＡB=AA１,E、Ｆ分别是ＣC1，BC的中点.

(1）求证：平面ＡＢ1Ｆ⊥平面AEF；

（2)求二面角B１﹣AE﹣F的余弦值.

１3.如图，在菱形AＢＣＤ中,∠ＡBC=6０°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ＡBCD，CF∥AE，AB=AE=2.

（ I）求证:BD⊥平面AＣFE;

( II）当直线FO与平面BDE所成的角为45°时，求二面角Ｂ﹣EF﹣D的余弦角.

14.如图所示，该几何体是由一个直三棱柱AＤE﹣BＣF和一个正四棱锥Ｐ﹣AＢCD组合而成,ＡD⊥AF,ＡE＝AD＝2．

（1）证明:平面PＡD⊥平面ABFＥ；

(2）求正四棱锥Ｐ﹣ABCＤ的高h,使得二面角C﹣AＦ﹣Ｐ的余弦值是.

１5.如图，已知斜三棱柱ＡBC一A1B１Ｃ1,∠BCA=９0°，AC=BＣ=２，Ａ1在底面AＢC上的射影恰为AＣ的中点D，且BA1⊥AC1．

(Ⅰ)求证:AＣ1⊥平面A1BC;

（Ⅱ）求二面角Ａ﹣A1B﹣C的平面角的余弦值．

ﻬ试卷答案

1.

【考点】与二面角有关的立体几何综合题;直线与平面垂直的判定．

【分析】(1)由已知中直二面角D﹣AB﹣E中,四边形ABCＤ是正方形，且ＢF⊥平面ACＥ,我们可以证得BF⊥AE，CB⊥ＡＥ，进而由线面垂直的判定定理可得AE⊥平面ＢCＥ.

(2)连接BD与AC交于G，连接FG,设正方形ABCD的边长为2,由三垂线定理及二面角的平面角的定义,可得∠BGF是二面角B﹣AＣ﹣E的平面角,解Rt△ＢFＧ即可得到答案．

【解答】证明：(１)∵BF⊥平面AＣE

∴BF⊥AE…

∵二面角Ｄ﹣AＢ﹣E为直二面角，且ＣＢ⊥AB，

∴ＣＢ⊥平面AＢE

∴CＢ⊥AE…

∴AＥ⊥平面BCＥ.…

解:（2)连接BD与AC交于G，连接FＧ，设正方形ABCD的边长为2,

∴BG⊥ＡC，ＢG＝,…

∵BF垂直于平面ACE，由三垂线定理逆定理得FG⊥ＡＣ

∴∠BGF是二面角B﹣AC﹣Ｅ的平面角…

由(1）AE⊥平面BＣE,得AE⊥EB，

∵AＥ=EB,BE=．

∴在Rｔ△BCＥ中，EC==,…

由等面积法求得,

则

∴在Rｔ△BFG中，

故二面角B﹣ＡC﹣E的余弦值为．…

2.

【考点】二面角的平面角及求法;平面与平面垂直的判定.

【分析】(1）用分析法找思路，用综合法证明.取EF中点Ｏ,连接OP、OC．等腰三角形CEF 中有ＣO⊥ＥF，即OP⊥ＥF．根据两平面垂直的性质定理，平面PEF和平面ABFE的交线是EF,且ＰO⊥EＦ，分析得PＯ⊥平面ＡBFE.故只需根据题中条件证出PO⊥平面AＢFE，即可利用面面垂直的判定定理证得平面EFP⊥平面ＡBFE．

(2)根据第一问分析空间位置关系，可建立空间直角坐标线求得平面ABP和平面AＥP的法向量的所成角，利用向量角和二面角关系，确定二面角大小．

【解答】解：（１)证明:在△AＢC中，D为AB中点,O为EF中点.