导数偏导数及其应用
偏导数与方向导数的计算与应用
偏导数与方向导数的计算与应用导数是微分学中的重要概念，它不仅可以对函数进行切线的斜率计算，还可以对多元函数进行求导运算。
在多元函数中，偏导数和方向导数是导数的两种常见形式。
本文将介绍偏导数和方向导数的计算方法，并讨论它们在实际应用中的作用。
一、偏导数的计算方法偏导数是多元函数在某个指定变量上的导数。
它的计算方法与普通函数的导数类似，只需将其他变量视为常数进行求导即可。
例如，对于二元函数f(x, y)，要计算其对x的偏导数∂f/∂x，可以视y为常数，将f(x, y)作为只与x有关的函数进行求导。
同样地，计算其对y的偏导数∂f/∂y时，将x视为常数进行求导。
对于多元函数而言，偏导数可以存在多个，每个偏导数都表示函数在不同变量上的变化率。
通过偏导数的计算，可以得到函数在各个方向上的斜率信息，进而分析函数对各个变量的依赖程度。
二、方向导数的计算方法方向导数是多元函数在某个指定方向上的导数。
它表示函数在该方向上的变化率。
设函数为f(x, y, z)，要计算在点P(x0, y0, z0)处沿着向量u=(a, b, c)的方向导数，可以按照以下步骤进行计算。
1. 求出点P的梯度向量∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)。
2. 计算向量u与梯度向量的内积，即求出u与∇f的点积：u·∇f =a(∂f/∂x) + b(∂f/∂y) + c(∂f/∂z)。
3. 将点积的结果与向量u的模长相乘，得到方向导数的值：Duf = u·∇f × ||u||，其中||u||表示向量u的模长。
通过计算方向导数，我们可以研究函数在某个特定方向上的变化情况。
方向导数的大小和正负表明了函数增长或减少的趋势，对于优化问题和梯度下降算法等有重要应用价值。
三、偏导数和方向导数的应用偏导数和方向导数在数学和物理学中有广泛的应用，以下是其中的几个典型例子：1. 函数极值的判定：通过计算偏导数，可以找到多元函数的极值点。
多元函数的偏导数与全导数的研究与应用
多元函数的偏导数与全导数的研究与应用导数是微积分的基本概念之一，它描述了函数在给定点附近的变化率。
对于一元函数，我们可以通过导数来研究函数的特性与应用，然而，对于多元函数而言，由于存在多个自变量，我们需要引入偏导数和全导数的概念来对多元函数进行分析。
偏导数是多元函数对某一个自变量的导数。
我们假设有一个函数 f(x₁, x₂,..., xn)，其中 x₁, x₂,..., xn 是自变量。
那么，对于这个函数而言，它的偏导数分别指的是在其它自变量保持不变的情况下，对某个自变量的变化率。
偏导数用∂f/∂x₁,∂f/∂x₂,..., ∂f/∂xn 表示。
在研究多元函数的时候，我们常常需要计算它的偏导数，然后利用偏导数来分析函数的驻点、极值和拐点等特性。
通过偏导数，我们可以找到函数在不同自变量取值下的最优解。
此外，在工程学和物理学等领域，我们也常常需要利用偏导数来建立模型，并进行优化。
全导数是多元函数对所有自变量的导数。
有了偏导数的概念，我们自然会想到是否存在一种导数，可以同时对所有自变量求导。
这就是全导数的概念。
全导数对应于一个向量，被称为梯度。
利用全导数，我们可以进一步分析多元函数在给定点的变化率，以及函数的斜率和方向。
偏导数与全导数有着紧密的联系。
对于一个可微的函数而言，如果存在全导数，则它的全导数与偏导数是相等的。
也就是说，全导数是偏导数的向量形式。
然而，如果一个函数不可微，则偏导数和全导数的概念可能是不等价的。
多元函数的偏导数和全导数在实际应用中有着广泛的应用。
在工程学领域，偏导数和全导数常常被用来建立物理模型，并进行优化设计。
例如，在机械工程中，我们需要在给定资源下找到最优的设计方案，这时候可以利用偏导数和全导数来分析设计方案的效率和稳定性。
在经济学和金融学中，偏导数和全导数可以用来研究市场供给和需求的变化对价格的影响，从而预测市场走势。
此外，它们还可以用来研究风险和收益的关系，并进行投资组合的优化。
多元函数的偏导数及其在经济学中的应用
多元函数的偏导数及其在经济学中的应用多元函数的偏导数是微积分中重要的概念之一，对于经济学的研究和应用具有重要意义。
本文将从多元函数的偏导数的定义及性质入手，介绍其在经济学中的应用以及相关实例。
一、多元函数的偏导数的定义及性质1. 偏导数的定义：设函数f(x1, x2, ..., xn)是一个n元函数，对于其中的某一个变量xi，其偏导数表示为∂f/∂xi，表示在其他自变量保持不变的情况下，函数f关于xi的变化率。
2. 偏导数的计算：偏导数的计算与一元函数的导数类似，只需将其他自变量视为常数，对当前需要求导的变量进行求导。
3. 偏导数的性质：和一元函数的导数类似，多元函数的偏导数也具有线性性、乘法法则和链式法则等性质。
二、偏导数在经济学中的应用1. 边际分析：在经济学中，边际分析是一个重要的分析方法，可以用来研究经济决策中的最优选择。
偏导数在边际分析中起到重要作用，可以表示某个变量对于函数结果的边际变化率，帮助经济学家进行最优决策。
2. 生产函数和边际生产力：生产函数是经济学中用来描述产出与投入之间关系的函数。
偏导数可以用来描述生产要素对于产出的边际贡献，即边际生产力。
通过计算偏导数，可以分析各个要素对于产出的贡献程度，帮助企业进行生产要素的最优配置。
3. 需求弹性和供给弹性：偏导数可以用来计算价格对需求和供给的影响，从而得出需求弹性和供给弹性。
需求弹性和供给弹性的计算可以帮助经济学家分析市场的价格变动对于需求和供给的影响程度，揭示市场运行的规律。
4. 对数生产函数：对数生产函数是一种常用的生产函数形式，通过对数转化使其更便于计算和分析。
在对数生产函数中，偏导数可以用来分析各个生产要素对于产出的弹性，帮助经济学家进行生产要素配置的决策。
三、偏导数在经济学中的实例1. 在边际效应理论中，偏导数用来分析边际效应的大小和方向，帮助经济学家决定某决策或政策对经济变量的影响程度，如某个产品价格变动对市场供给量的影响。
函数的导数与偏导数在经济学中的应用浅析
函数的导数与偏导数在经济学中的应用浅析
龚江涛
（ 武汉理工大学数 学系，湖北 武汉 ４ ３ ８ ０ ０ ０ ）
摘 要 ：本文主要讨论函数的导数和偏 导数在 经济学中的应用． 用一些具体例题来加深理解． 关键词 ：导数 ；偏导数 ；经济学 ；应用 数学在经济学中的运用 由来 已久。 数学当中的 种种 新的方法和新 的思想到 了近代更是大量 的涌 入 到经济学中去， 使得经济学变成了一门更加的严 谨 的学科 。本文的思路就是先给定义， 然后辅 以例 题说 明。 １导数在经济学 中的应用 １ ． １边际分析 产量增加一单位时所增大的成本， 我们把它叫 作边 际成本… ． 若产量从 增至 ＋Ａ 。 那么 ｃ （ ）
Ｌ （ ｘ ， Ｙ ） ＝ （ ５ ＋ ４ ｙ ） 一 Ｉ ２ ０ ０ ＋ ＋ ２ ｙ ＋ ０ ． ０ １ （ ２ ｘ ＋ ｘ ｙ ＋ ｙ ） ｌ
ｆ （ ． Ｙ ） ＝ ４ － ０ ． ０ １ （ ４ ｘ ＋ ｙ ） ＝ ０
（ ， ｙ ） ＝ ２ － ０ ． Ｏ ｌ （ ｘ ＋ ２ ｙ ） ＝ Ｏ
Ａ ｒ ／
一 ｌ ｈ ｎ
＝ ＿ （ ＿ ｓ ） ． ５ ０ Ｌ ５ ｐ 一
：
／ ，
１ 可知 ｐ等于 ２ ５ ・
是正的， 两种物 品中任 意一个降低价格， 都将 使其 中一个需要量 减少， 另一个需要量增加， 所 以它们 是可 以相 互替 代的． 第二种都是负的， 即降低 它们 中任何一个价格 ， 需要量 和 ｙ 都会增大． 我们就
系为： Ｌ （ ｘ ） ＝ ３ ０ ０ － １ ０ ｘ ， 求当 每月产量为 １ ０ ｔ 、 １ ５ ｔ 、
２ ０ ｔ 的边 际利润． 解 ：由边际成本的定义： 边际利润为总利润函 数 的导数 ， 表示产量为 吨时． 总利润的变化率。 依题 知：
偏微分方程与偏导数的几何意义及其应用
偏微分方程与偏导数的几何意义及其应用偏微分方程（Partial Differential Equations, 简称PDEs）是数学中重要的一个分支，它描述了多元函数的各个方向的变化率，具有广泛的应用于自然科学和工程领域。
本文将探讨偏微分方程和偏导数的几何意义，以及在物理学、流体力学和电动力学等领域的常见应用。
一、偏微分方程的几何意义1. 偏导数的几何意义偏导数描述了函数在某个指定方向上的变化率。
在二元函数中，对于函数f(x, y)，f对于x的偏导数(∂f/∂x) 表示函数沿x方向的变化率，而f对于y的偏导数(∂f/∂y) 表示函数沿y方向的变化率。
对于高维函数，类似地，偏导数可以描述函数在各个方向上的变化率。
2. 偏微分方程的几何意义偏微分方程描述了函数在空间中的变化和分布规律。
一些重要的偏微分方程，如热传导方程、抛物线方程、椭圆方程和双曲线方程等，通过描述函数在物理空间中的波动、扩散和稳定性等现象，使我们能够从几何角度更好地理解和分析系统的行为。
二、偏微分方程的应用1. 物理学中的应用偏微分方程在解释和解析物理现象中起到了重要的作用。
例如，波动方程可以描述机械波传播、声波和光波的传播；热传导方程可以用来解释热量在材料中的传递过程；薛定谔方程可以描述量子力学中的微观粒子行为。
通过将物理现象建模成偏微分方程，可以预测和模拟复杂系统的行为，促进科学研究的发展。
2. 流体力学中的应用偏微分方程在流体力学中广泛应用于描述流体的运动和行为。
例如，纳维尔-斯托克斯方程描述了流体的运动和粘度，可以用于解释液体和气体的流动行为；欧拉方程描述了不可压缩流体的流动，可以分析水流和风力等现象。
通过求解这些偏微分方程，我们可以优化设计水力系统、气象预测以及模拟天然和人工湍流等问题。
3. 电动力学中的应用偏微分方程也广泛应用于电动力学问题中。
例如，麦克斯韦方程组描述了电磁感应、电场和磁场之间的相互作用，可以解释电磁波的传播行为和光的传播；泊松方程和拉普拉斯方程描述了电势分布，可以用于解决电场的引力和磁场的保持。
导数及偏导数的计算
偏导数在优化问题中的应用
总结词
偏导数可以用于求解约束优化问题，通过求偏导数并找到使目标函数取得极值的点，可以确定最优解 。
详细描述
在约束优化问题中，如果目标函数具有多个变量，则可以通过求偏导数并找到使目标函数取得极值的 点，从而确定最优解。偏导数的应用在多变量函数优化问题中具有广泛的应用价值。
THANKS.
导数在极值问题中的应用
总结词
导数可以用于求解函数的极值，通过求导数并找到导 数为零的点，然后分析该点附近的函数值变化情况， 可以确定函数的极值。
详细描述
如果一个函数在某一点的导数为零，且该点附近左侧 导数大于零、右侧导数小于零，则该点为函数的极大 值点；反之，则为极小值点。因此，通过求函数的导 数并找到导数为零的点，可以求解函数的极值。
幂函数求导法则
总结词
幂函数求导的常用方法。
详细描述
幂函数求导法则指出，对于幂函数$f(x) = x^n$，其导数为$f'(x) = nx^{n-1}$。此外， 对于复合幂函数，如$f(x) = (g(x))^n$，其导
数可以通过链式法则和幂函数求导法则进行 计算。
偏导数的定义与性质
03
偏导数的定义
复合函数求导法则
总结词
通过复合函数的导数计算方法。
详细描述
复合函数的导数可以通过链式法则进行计算。对于复合函数$f(g(x))$，其导数为 $f'(g(x)) cdot g'(x)$，其中$f'(g(x))$表示函数$f$关于$g(x)$的导数，$g'(x)$表示函
数$g$关于$x$的导数。
链式法则
导数的计算方法
02
定义法
总结词
偏导数计算与应用
偏导数计算与应用偏导数是微积分中的重要概念，它在求解多元函数的极值、描述函数的局部行为以及解决实际问题中扮演着重要角色。
本文将介绍偏导数的计算方法，并探讨其在不同领域的应用。
一、偏导数的定义和计算方法偏导数是多元函数在某一变量上的导数。
对于函数 f(x₁, x₂, ..., xn)，其关于变量 xi 的偏导数表示为∂f/∂xi。
偏导数衡量了函数在某一变量上的变化率。
偏导数的计算方法与一元函数的导数计算类似，可以通过求取关于变量 xi 的导数来得到。
对于一元函数 f(x)，其导数表示为 df/dx。
对于多元函数 f(x₁, x₂, ..., xn)，要计算偏导数，需要将其他变量视为常数进行求导。
举例来说，对于函数 f(x, y) = x² + 2xy + y²，我们可以计算关于 x 的偏导数为∂f/∂x = 2x + 2y，关于 y 的偏导数为∂f/∂y = 2x + 2y。
二、偏导数的几何意义偏导数在几何上有着重要的意义，它们能够描述函数在不同方向上的变化率。
对于函数 f(x, y)，其关于变量 x 的偏导数∂f/∂x 表示函数在x 轴方向上的变化率，而关于变量 y 的偏导数∂f/∂y 表示函数在 y 轴方向上的变化率。
偏导数还可以用于描述函数的切线和法向量。
对于函数 f(x, y)，在点 (a, b) 处，函数的切线的斜率等于∂f/∂x(a, b)。
类似地，函数的法向量可以由∂f/∂x 和∂f/∂y 所确定，即法向量为(∂f/∂x, ∂f/∂y)。
三、偏导数在极值和最优化问题中的应用偏导数在求解多元函数的极值问题中发挥着重要作用。
对于二元函数 f(x, y)，当∂f/∂x = 0 且∂f/∂y = 0 时，可以得到函数的驻点。
通过对二阶偏导数的研究，可以判断驻点的类型，从而确定函数的极值。
除了在数学上的应用外，偏导数也在最优化问题中发挥着重要作用。
在约束最优化问题中，通过求解拉格朗日函数的偏导数方程组，可以找到函数在给定约束条件下的最优解。
多元函数的偏导数及其应用探究
多元函数的偏导数及其应用探究多元函数是数学中重要的概念，它描述了多个变量之间的关系。
偏导数是研究多元函数变化率的重要工具之一。
本文将探究多元函数的偏导数及其应用。
一、多元函数的偏导数偏导数可以理解为多元函数关于某个变量的变化率。
对于一个函数f(x₁, x₂, ..., xn)，如果我们只关注其中一个变量的变化而将其他变量视为常数，那么我们可以计算该变量的偏导数。
示例：考虑一个二元函数f(x, y)，我们可以将其表示为f(x, y) = x² + 2y。
偏导数∂f/∂x表示在变量x变化时，函数的变化率，而∂f/∂y表示在变量y变化时，函数的变化率。
计算偏导数的方法与计算一元函数的导数类似，只需将其他变量视为常数进行求导即可。
例如，对于上述示例函数f(x, y) = x² + 2y，我们可以计算∂f/∂x = 2x和∂f/∂y = 2。
二、偏导数的几何意义偏导数在几何上有着重要的意义。
以二元函数f(x, y)为例，其偏导数可以理解为函数在坐标轴上的切线斜率。
具体而言，∂f/∂x表示函数在x轴方向上的切线斜率，而∂f/∂y表示函数在y轴方向上的切线斜率。
以二元函数f(x, y) = x² + 2y为例，我们可以通过计算偏导数的值来分析该函数的切线斜率。
当x增加时，∂f/∂x = 2x增加，表示函数在x轴方向上的切线变陡；当y增加时，∂f/∂y = 2不变，表示函数在y轴方向上的切线不变。
三、偏导数的应用1. 最优化问题：偏导数在最优化问题中有广泛应用。
通过计算偏导数，我们可以确定函数的极值点。
例如，对于一个二元函数f(x, y)，通过计算∂f/∂x = 0和∂f/∂y = 0可以找到函数的极小值或极大值点。
2. 梯度下降算法：梯度下降算法是一种常用的优化算法，它利用偏导数来确定函数的最小值。
通过计算函数在当前点的偏导数，我们可以朝着使函数值下降的方向进行迭代。
3. 泰勒展开：对于一个多元函数，我们可以使用泰勒展开来近似计算函数值。
高数大一偏导数知识点总结
高数大一偏导数知识点总结在高数大一的学习中，偏导数是一个非常重要的知识点。
它在计算多元函数的变化率、切平面方程、极值和最值等方面有广泛的应用。
本文将对大一偏导数的基本概念、计算方法和应用进行总结。
1. 偏导数的定义在多元函数中，偏导数表示函数在某个指定变量上的变化率。
对于一个具有n个变量的函数，其对第i个变量的偏导数可以记为∂f/∂xi。
其中，∂表示偏导数的符号。
例如，对于函数z=f(x,y)，它的偏导数可以表示为∂z/∂x和∂z/∂y。
2. 偏导数的计算方法2.1 偏导数的基本计算法则如同普通的导数计算一样，偏导数也有相应的计算法则，包括常数倍法则、和差法则、乘积法则和商法则等。
这些法则可以帮助我们更快、更准确地计算偏导数。
2.2 偏导数的高阶导数除了一阶偏导数外，我们还可以计算二阶、三阶以及更高阶的偏导数。
二阶偏导数表示对一阶偏导数再次求导的结果，以此类推。
高阶偏导数的计算需要使用到多元函数的链式法则或者直接对一阶偏导数进行多次求导。
3. 偏导数的几何意义偏导数在几何上有着重要的意义。
对于二元函数来说，∂z/∂x表示函数在平面上沿着x轴方向的变化率，即斜率；∂z/∂y表示函数在平面上沿着y轴方向的变化率，同样也是斜率。
利用这些斜率可以推导出函数在某点的切平面方程，帮助我们更好地理解函数的特性。
4. 偏导数的应用4.1 极值和最值在函数求解中，偏导数可以帮助我们找到函数的极值和最值。
通过求解偏导数为零的点，可以确定函数的临界点。
根据临界点及二阶偏导数的正负情况，可以判断其为极值点还是最值点。
4.2 泰勒展开式泰勒展开式是将一个函数表示为以某个点为中心的幂级数形式的展开。
在实际应用中，对于多元函数，我们可以利用偏导数求解泰勒展开式，从而在给定点附近近似计算函数值。
4.3 最小二乘法最小二乘法是一种用于拟合（Fitting）数据的常用方法，在回归分析、数据拟合等领域有广泛应用。
通过偏导数的计算，可以得到最小二乘法中的拟合方程参数的具体表达式，进而计算出最优解。
偏导数及其应用
偏导数及其应用在数学中，偏导数是多元函数的导数在给定坐标轴上的投影。
它衡量了函数在某个特定方向上的变化率。
偏导数的求解方法与普通的导数相似，只需将其他变量视为常数进行求导即可。
偏导数广泛应用于微积分、物理学和经济学等领域中的多元函数分析。
以下列举了偏导数的一些主要应用：1. 最优化问题：当涉及到找到函数的最大值或最小值时，偏导数是非常有用的。
通过求解偏导数为0的方程组，可以确定这些临界点，从而找到函数的最值点。
2. 条件极值问题：在约束条件下，求解函数的最大值或最小值时，偏导数可以帮助确定临界点。
结合拉格朗日乘数法，可以通过偏导数得到限制条件下的最值。
3. 泰勒展开与线性逼近：偏导数可以用于构建多元函数的一阶和二阶泰勒展开式，从而通过线性逼近近似求解函数的值。
4. 凸函数与凹函数：通过偏导数的符号，可以确定函数是否为凸函数或凹函数。
正定的二阶偏导数是凸函数的重要条件。
5. 线性回归分析：在统计学中，线性回归模型可以使用偏导数来分析自变量对应变量的影响。
偏导数可以量化自变量变化对响应变量的影响程度。
6. 物理学中的梯度和散度：梯度是一个向量，由偏导数组成，表示场在每个坐标轴上的变化率。
散度是一个标量，表示向量场的发散程度。
这些概念允许我们在物理上描述和理解流体力学、电磁学等领域。
7. 经济学中的边际分析：边际分析是经济学中重要的概念，它涉及到某一变量的微小变动对其他相关变量的影响。
通过偏导数，我们可以计算经济学模型中的边际效应，如边际成本、边际收益等。
总结而言，偏导数是研究多元函数变化率的重要工具，广泛应用于最优化问题、微积分、物理学和经济学等领域。
它有助于我们理解和分析函数在特定方向上的行为，把握函数的最值点、函数变化趋势、曲面性质等信息。
导数的物理解释与应用
导数的物理解释与应用导数是微积分中的重要概念之一，它在物理学中有着广泛的应用。
导数的物理解释与应用涉及到速度、加速度、斜率等概念，下面将从这些方面展开讨论。
首先，我们来看导数的物理解释。
导数可以理解为函数在某一点上的瞬时变化率。
在物理学中，速度就是位置随时间的导数。
假设一个物体在直线上运动，它的位置随时间的变化可以用函数表示。
那么在某一时刻，这个物体的速度就是该时刻位置函数的导数。
速度的正负表示了物体运动的方向，而速度的大小则表示了物体运动的快慢。
同样地，加速度可以理解为速度随时间的导数。
加速度的正负表示了速度变化的方向，而加速度的大小则表示了速度变化的快慢。
通过导数的物理解释，我们可以更好地理解速度和加速度的概念。
其次，导数在物理学中的应用非常广泛。
以速度为例，导数的概念使我们能够更好地描述物体的运动。
通过对位置函数求导，我们可以得到物体的速度函数。
利用速度函数，我们可以计算物体在不同时刻的速度，并进一步得到物体的加速度函数。
这样，我们就能够准确地描述物体在不同时刻的速度和加速度变化情况。
在实际应用中，导数的物理解释和应用可以帮助我们解决许多与运动相关的问题，如物体的轨迹、碰撞等。
此外，导数还可以用于求解最优化问题。
在物理学中，我们经常需要找到使某一物理量取得最大或最小值的条件。
通过对相关函数求导，我们可以找到函数的极值点。
这样，我们就能够确定物理问题中的最优解。
例如，在抛体运动中，我们可以通过对抛体的运动方程求导，找到抛体的最大高度和最远距离。
这种应用使得我们能够更好地理解和解决物理问题。
最后，导数的物理解释和应用不仅限于一维运动，还可以扩展到更复杂的情况。
在多维空间中，我们可以使用偏导数来描述物体的运动。
偏导数表示了函数在某一点上关于某个变量的变化率。
通过对多变量函数求偏导数，我们可以得到物体在不同方向上的速度和加速度变化情况。
这种扩展使得导数的物理解释和应用更加丰富和广泛。
综上所述，导数在物理学中具有重要的物理解释和应用。
导数和偏导数
导数和偏导数我们常听到“导数”和“偏导数”这两个词，不知道它们的来历，今天我就来跟大家讲讲它们的来历吧。
一、导数的概念所谓“导数”是一个与我们生活有着密切关系的物理概念。
可以说在我们的生活中处处都会用到导数。
例如：我们买东西付钱时要写账单、或是买食品、用水要记录时也会使用导数，我们坐车、走路、乘飞机、打车等等，都离不开导数。
只要把你学过的定义带入到上面的例子中，就会发现，导数就是一个与我们生活有着密切联系的物理概念。
二、偏导数的概念如果再给导数下一个定义，也就是说导数是一个连续的函数，那么偏导数就是指方向与变化趋势相反的导数，也叫做反函数。
举个例子，比如说在初中数学里所学到的洛必达法则，就是一种偏导数。
三、导数与偏导数的应用在我们的生活中，不论是大到国家领导人出访，还是小到普通百姓生活，甚至各个地区人们之间的交流，都需要使用导数来解决问题，甚至可以说没有导数，我们就不能很好地去生活。
当然，不光只有我们的生活才使用到导数，其实我们在解答数学问题时也经常使用到导数，因为解答数学问题必须借助于函数图像，函数图像就是由一些点构成的。
所以，我们要想准确地计算出一个数学问题的答案，我们就要先了解一些数学问题中的一些概念，如函数的表示法、导数的概念及其计算法则等。
因此，我们可以得出结论：导数与偏导数就是对于一些具体问题而提出的一种解决方法，它们在一定程度上更能让我们从根本上了解问题，认识问题的本质。
四、导数与偏导数在教学中的意义1、加深对导数和偏导数含义的理解，明白导数和偏导数的重要性，能自觉利用导数和偏导数解决有关问题。
2、体会数形结合的思想，理解导数和偏导数与函数概念的联系，会画函数图象。
3、体会解析几何研究问题的思想方法，培养分析问题的能力。
4、了解并掌握一些基本的数学思想方法，逐步提高观察能力、运算能力、推理能力、空间想象能力和抽象概括能力，逐步养成良好的学习习惯。
那么，什么是“平均数”？什么又是“方差”呢？我们在平时的学习生活中经常接触到“平均数”这个名词，可是却从来没有真正仔细地了解过，其实“平均数”和“方差”就是反映总体中两个数值之间离散程度的一个统计量，只是在数学上称之为“均值”和“方差”而已。
偏导数的计算与应用
偏导数的计算与应用在数学领域中，偏导数是对多元函数中某一个变量进行求导的一种特殊形式。
它在工程、物理学以及经济学等领域中都有着广泛的应用。
本文将介绍偏导数的计算方法以及它在实际问题中的应用。
一、偏导数的计算方法偏导数的计算方法与普通导数的计算方法类似，只是要注意对于多元函数而言，需要将其他变量视为常数进行求导。
下面以二元函数为例，介绍偏导数的计算方法。
考虑二元函数 f(x, y)，要计算关于 x 的偏导数∂f/∂x，我们将 y 视为常数，只对 x 进行求导。
具体计算步骤如下：1. 将 f(x, y) 视为 x 的函数，求出 f(x)。
2. 对 f(x) 求导，即可得到关于 x 的偏导数∂f/∂x。
同样地，对于关于 y 的偏导数∂f/∂y，只需将 x 视为常数，求关于 y的导数即可。
对于更高维的函数，即多于两个变量的函数，偏导数的计算方法也是类似的。
只需将其他变量视为常数，分别对每个变量求导即可。
二、偏导数的应用偏导数在实际问题中有着广泛的应用，以下将介绍其中两个应用场景。
1. 最优化问题在优化问题中，我们常常需要寻找使目标函数取得最小值或最大值的变量取值。
而偏导数在这类问题中起到了关键的作用。
考虑一个具体的问题，我们需要在平面上选取一点 P，使得点 P 到两条给定直线的距离之和最小。
设直线方程分别为 l1：ax + by + c1 = 0 以及 l2：dx + ey + c2 = 0，目标函数为 f(x, y) = |d1| + |d2|，其中 d1 表示点 P 到直线 l1 的距离，d2 表示点 P 到直线 l2 的距离。
为了寻找使得 f(x, y) 最小的点 P，我们可以使用偏导数的方法。
具体步骤如下：1. 将 f(x, y) 展开为 |d1| + |d2| 的形式。
2. 对 f(x, y) 分别关于 x 和 y 求偏导数，得到∂f(x, y)/∂x 和∂f(x, y)/∂y。
3. 令∂f(x, y)/∂x = 0 以及∂f(x, y)/∂y = 0，解得使得 f(x, y) 最小的点 P 的坐标。
【微积分】导数,偏导数,方向导数与梯度
【微积分】导数,偏导数,方向导数与梯度1. 引言1.1 概述微积分是数学中一个重要的分支，研究的是变化与无限小量的关系。
在微积分中，导数、偏导数和梯度是最基础的概念之一。
它们能够描述函数在某一点上的变化率以及方向性，并且在许多科学和工程领域中都有广泛应用。
1.2 文章结构本文将围绕导数、偏导数、方向导数和梯度展开讨论。
首先介绍导数的定义、性质和计算方法，接着详细讲解偏导数及其与多元函数的关系以及计算方法。
然后深入探究方向导数的定义、意义以及如何计算方向导数。
最后，将介绍梯度的概念，并探讨其在微积分中的应用。
1.3 目的本文旨在全面介绍和阐述微积分中与导数、偏导数、方向导数以及梯度相关的知识。
通过对这些概念进行详细解析，读者可以加深对它们背后原理和运用方法的理解。
同时，希望能够激发读者对微积分更深层次的思考，并提供进一步学习和研究的方向建议。
2. 导数2.1 导数的定义导数是微积分中一个重要的概念，用来描述函数在某一点上的变化率。
在数学上，给定函数y=f(x)，如果它在点x处有定义且在该点附近存在极限，那么它在点x 处的导数可以表示为f'(x)或dy/dx。
导数可以理解为函数的瞬时变化率。
2.2 导数的性质导数具有以下几个基本性质：- 可加性：若f(x)和g(x)可导，则(f+g)(x)也可导，并且其导函数为(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)。
- 常数倍性：若f(x)可导，则对于任意实常数a，af(x)也可导，并且其导函数为(a*f)'(x)=af'(x)。
- 乘积法则：若f(x)和g(x)可导，则(f*g)(x)也可导，并且其导函数为(f*g)'(x)=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)。
- 商法则：若f(x)和g(x)都可导且g(x)≠0，则(f/g)(x)也可导，并且其导函数为(f/g)'(x)=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/[g^2 (x)]。
偏导数及其在物理学和工程学中的应用
偏导数及其在物理学和工程学中的应用偏导数是微积分中一个重要的概念，它在数学、物理学和工程学等领域中都有广泛的应用。
本文将重点介绍偏导数的概念、性质和应用，并探讨其在物理学和工程学中的应用。
一、偏导数的概念与性质偏导数是多元函数中的一个重要概念，它表示函数在某一点处沿某一特定方向的变化率。
偏导数的符号通常用∂表示。
设函数f(x1,x2,...,xn)在点P(x1,x2,...,xn)处存在，则函数沿第i个自变量的偏导数为：∂f/∂xi = lim (f(xi+Δx1,x2,...,xn)- f(xi,x2,...,xn))/Δxi (Δxi≠0)当Δxi趋近于0时，该极限存在则称其偏导数存在。
偏导数有以下性质：1. 可加性：f(xi,x2,...,xn)对第i个自变量的偏导数与f(xi,x2,...,xn)对第j个自变量的偏导数可以相加。
2. 逆序性：f(x1,x2,...,xn)对第i个自变量的偏导数和f(xi,x2,...,xi-1,xi+1,...,xn)对xi的偏导数相等。
3. 连续性：如果多元函数在某点处的各个偏导数存在，那么该点处的函数一定是连续的。
二、偏导数在物理学中的应用偏导数在物理学中有着广泛的应用，例如：1. 牛顿第二定律牛顿第二定律F=ma（力等于质量乘以加速度），其中力是物体的质量和速度（动量）之间的比例关系。
因此，速度的偏导数描述了加速度的大小和方向，是物理学中重要的概念。
2. 牛顿万有引力定律牛顿万有引力定律描述了两个物体之间的力，该力由物质之间的引力引起。
偏导数可以用来描述物体的引力大小和方向，因此在物理学中广泛应用。
3. 热力学定律热力学定律是描述热力学过程的定律，其中偏导数被用来描述温度、熵和压力之间的变化关系。
三、偏导数在工程学中的应用偏导数在工程学中也有着广泛的应用，例如：1. 相变过程的分析相变过程是指物体在不同温度和压力下从一种态转变为另一种态。
这种过程可以通过偏导数分析，了解相变过程中的温度和压力变化。
多元函数的偏导数计算及其在自然科学中的应用
多元函数的偏导数计算及其在自然科学中的应用多元函数的偏导数计算是研究多个变量对函数的影响程度的重要工具，在自然科学中有广泛的应用。
本文将从理论与实际应用两个方面，介绍多元函数的偏导数计算以及在自然科学中的应用。
一、多元函数的偏导数计算1. 常见的多元函数公式多元函数是含有多个自变量的函数，常见的多元函数公式包括线性函数、多项式函数、指数函数和对数函数等。
对于这些函数，求偏导数可以根据变量的不同分别计算。
2. 偏导数的定义与计算方法偏导数是多元函数在某个变量上的变化率。
对于二元函数，其偏导数可以通过求偏导数的方法计算得到。
具体计算偏导数的方法包括使用偏导数定义、利用链式法则和隐函数求导法等。
3. 高阶偏导数的计算高阶偏导数是指对多元函数的某一偏导数再进行偏导数的操作。
高阶偏导数的计算可以使用迭代的方法，即先求一阶偏导数，再求二阶偏导数，依此类推。
二、多元函数偏导数在自然科学中的应用1. 物理学中的应用多元函数的偏导数在物理学中有着广泛的应用。
以力学为例，质点的速度和加速度可以表示为位置函数对时间的一阶和二阶导数。
此外，在热力学中，温度的梯度可以通过偏导数计算得到。
2. 经济学中的应用多元函数的偏导数在经济学中也有着重要的应用。
例如，在利润函数中，对各个生产要素的偏导数可以解释不同要素对利润的贡献程度。
此外，偏导数还可以用于求最优化问题中的边际效应。
3. 生物学中的应用生物学是研究生命现象的科学，多元函数的偏导数在生物学中也有重要的应用。
例如，种群动态模型中的增长率可以通过计算种群数量对时间的偏导数得到。
另外，在生物化学中，酶催化反应速率可以通过计算物质浓度对时间的偏导数得到。
4. 地理学中的应用多元函数的偏导数在地理学中也具有一定的应用。
例如，在地表变形分析中，地形高程对坐标的偏导数可以揭示地势变化的情况。
此外，气象学中的湿度梯度和气压梯度也可以通过偏导数计算得到。
5. 计算机科学中的应用在计算机科学中，多元函数的偏导数也有一定的应用。
连续导数和连续偏导数
连续导数和连续偏导数连续导数和连续偏导数是微积分中的重要概念，它们在数学和物理学中有着广泛的应用。
本文将介绍连续导数和连续偏导数的定义、性质以及它们的应用。
一、连续导数的定义和性质连续导数是函数在某一点处的导数存在且连续的情况。
具体地说，对于函数f(x)在点x=a处有定义，如果下列极限存在：f'(a)=lim┬(x→a)〖(f(x)-f(a))/(x-a)〗，并且f'(x)在x=a处连续，那么就称函数f(x)在点x=a处具有连续导数。
连续导数具有以下性质：1. 如果函数f(x)在点x=a处连续可导，则在该点的左、右导数存在且相等。
2. 连续函数一定是可导的，但可导函数不一定是连续的。
3. 连续函数的导函数也是连续的。
二、连续偏导数的定义和性质连续偏导数是多元函数在某一点处的偏导数存在且连续的情况。
对于二元函数f(x,y)，如果在点(x0,y0)处的偏导数f_x(x0,y0)和f_y(x0,y0)存在且连续，则称函数f(x,y)在点(x0,y0)处具有连续偏导数。
连续偏导数具有以下性质：1. 如果函数f(x,y)在点(x0,y0)处具有连续偏导数，则在该点的混合偏导数存在且相等。
2. 连续函数一定是具有连续偏导数的，但具有连续偏导数的函数不一定是连续的。
3. 具有连续偏导数的函数的偏导函数也是连续的。
三、连续导数和连续偏导数的应用连续导数和连续偏导数在数学和物理学中有着广泛的应用。
它们常常用于解决极值问题、曲线的切线和法线问题以及求解微分方程等。
1. 极值问题：连续导数和连续偏导数可以帮助我们确定函数的极值点。
对于一元函数，我们可以通过求导数并令其等于零来求得极值点。
对于多元函数，我们可以通过求偏导数并令其等于零来求得极值点。
2. 切线和法线问题：连续导数和连续偏导数可以帮助我们确定曲线的切线和法线。
对于一元函数，切线的斜率等于函数在给定点处的导数值。
对于多元函数，法线的斜率等于函数在给定点处的斜率向量的负倒数。
导数偏导数及其应用
第一讲 导数、偏导数及其应用(第二次作业)二、求多元函数的偏导数1.具体函数的偏导数30. (1)设 z = ln(J7+J7),则 x —^ + y —^- ________________ .ox dy设 u = In y]x 2 + y 2 + z 2,则+ 空v' dx- oy~ oz~(5) 设,则上二一二 Jv dxdy ・\V 2+2V 2 (0,0),则 /：(0,0)=().(x,y) = (0,0). (0131 •设 f(x,y} = \ x+y 0, (B) 2 (A)4【答】B 2.抽象函数的偏导数 32.设 z - +(D) 0其中/(“)为可导函数，求-V —+y —・dx dy33.设z = f(2x-3y,x 2+ y 2),其中/(w,v)具有二阶连续偏导数，求 dxdy 34.设z = + 其中/具有二阶连续偏导数，g 具有二阶导数，求 d 2Z dxdy35•设函数/(“)具有二阶连续导数，z = f(e x sin y)满足方程 篁 +上二=戶“ 6JT "F_2y 可将方程§竽+仝_字二。
简化为三£ = 0,求常数- y = x + ay ox^ oxcy dy~ dudv36 •设变换＜ 3. 一个方程确定的隐函数的(偏)导数 X37•设一=0 Z (7>,其中0(”)为可导函数，求x —+ }' — dx dy 、 dz dz 38・ 设= 0, a ——+ b ——・ dx dy 39•设y = y(x)由方程y -加=1确左，求竺的值.[92-3] df 【答】2/・求/(")・(2)(3) y»1 4- r设 fg y)=不' sin —+ ln ——-，则 £'(1,0)二x \ + yx + xy\-xy设 /(x, y) = arctan(4)43•设"=u(x 9 y\ v = v(x, y)是由方程组 <"八“如,确定的函数,求?空 y = e u-u cosvox dx45 .由方程x ）'z + yjx 2 + y 2 + z 2 = >/2所确泄的函数z = z （x,y ）在点（-1,0,1）处的全微分 d Z 二 •【答】dx+V2d>* 46. 设函数/（x, y ）在点（儿,儿）处的两个偏导数都存在，则（）.（A ）函数y （x,刃在点Cq ）,）b ）处连续 （B ）函数/（x,y ）在点仇,儿）处可微 （C ） 一元函数/匕,儿）在点旺处可导 （D ）以上答案都不对【答】C47. 函数/（x,y ）在点（儿,儿）处的两个偏导数都存在是函数f （x,y ）在点（兀,儿）处连续的（）.（A ）充分条件 （B ）必要条件（C ）充分必要条件（D ）既非充分也非必要的条件【答】D48. 函数/（x,y ）在点（珀）,儿）处的两个偏导数都存在是函数/（x,y ）在点（兀，儿）处可微的（）•（A ）充分条件 （C ）充分必要条件【答】Bx 2 + y ，H 0,则 /(x, y)在点(0,0)处()x 2 + y 2=0（A ）偏导数不存在 （B ）偏导数存在但不可微 （C ）可微但偏导数不连续 （D ）偏导数连续【答】B(X 2 + y 2)cos( ),x 2 + y 2 H0,dz . dz40•证明由方程F x + -,y + - =0所确左的函数z = Z(x,y)满足x —+ y — = z-xy ・ I y x 丿 dx dy41.设z = Z^y ）是由z + 确立的二元函数，求上三 dxdy （i.i） 4・由方程组确定的隐函数的（偏）导数 42•设Z = x = 0（”z ）,其中都是可微函数，求学dxsin” dvcos v-e lt【答】红 dx e li (sin v-cos v) + l 5.函数的全微分 44.当 x = 2,y = 1 时，函数 z = ln(l + x 2 + y 2)的全微分 dz 二 2 1 【答】—dx + -dy33 ’dx u[e lt (sin v 一 cos ”)+ 1]（B ）必要条件（D ）既非充分也非必要的条件49 •设函数 /(x, y) = <jF + y2 ,则/(x,y)在点(0,0)处( x2 + y2 = 00,(A)生戲不存在(B)堂,堂连续dx dy dx dy(C)可微(D)不连续【答】C6、方向导数与梯度51.已知U是曲线V “ ='在点(1,2,1)处的切线向量，且它与与OZ轴正向夹角为锐角，求牙_)丿+ Z = 0函数f(x.y.z) = Jx2 +y2 +z2在点(1,一1.0)处沿方向向量u的方向导数°厶・OU【答】r>u/(i-i,o)= v/'(i,-to)-u°=-| -52.设11为抛物线/ =4x在点(1,2)处与x轴正方向夹角为锐角的单位切向疑，则函数z = \n(x+y)在点(1, 2)处沿11方向的方向导数为______________________ .【答】v53.已知II是空间曲线r：X = t iy = t\z = r-4t在点3)处的切线向量，且它与6轴正向夹角为锐角，求函数f(x,y\z) = x2 + yz.在点P处沿方向向虽：u的方向导数空丄・du［答】= grad/.u° = {2,-3,1} J-1|) = 2 .cu 1 3 3 3 J/ . \ 2 254.求函数f(x.y) = x2-y2在点P 纭-二处沿曲线4 + 4 = 1在该点的外法线方向的方向1>/2 >12) cr lr导数.【答】乞= gg//・n°=O.on55.函数“ =In(x2 + y2 + F)在点(1J,1)处的最大方向导数是__________________ ・2 【答】4=三、一元函数导数的应用1. 求曲线的切线与法线56.(1)求曲线>'=x3在点(1,1)处的切线与法线的方程.(2)过点(2,0)作曲线>-=x3的切线，求此切线方程.57.已知曲线y = ax2 ( a为常数)与y = lnx在点x = b处有公共切线，求的值.58.求极坐标方程p = a(l +cos0)的图形对应6 =-处的切线方程.359.若曲线y = /+似+ b和2y = -\ + xy3在点(1,-1)处相切，英中“上是常数，则().(A) a = 0,b = —2(B) a = l,Z? = —3 (C) a = -3,b = 1 (D) a = —l,b = —160.设/(x)为可导函数，它在x = O的某邻域内满足/(I + x)-2/(1 -x) = 3x + o(x),其中o(x)是当XT O时比x髙阶的无穷小克则曲线y = f(x)/£点(1J(1))处的切线方程为()•61 •设函数/(x) = (In x)n 的图形在点(匕1)处的切线与;i 轴的交点坐标为(％0),试求lim /t'2. —元函数的单调性与极值1 262•讨论函数/(x) = (x-r )J (x-2)7的单凋区间与极值.63.设lim ― =-1,则在点x = a 处()・i (x-aY(A) /(x)的导数存在，且广@)工0 (B) /(x)取得极大值(C) /(x)取得极小值(D) /(兀)的导数不存在64. 已知常数«>0,问方程有几个实数根？ 3. —元函数图形的凹凸性 65. 求曲线$ =疋厂丫的凹凸区间与拐点.丄66. 用导数知识画出函数y = (x + 6)e 7的图形.67.如果 /(-x) = /(x),且在(0,*o)内，广(x)>0,/"(x)>0,则在(Y \0)内，(). (A) r (x)>0，r (x)>0 (B)广(x)>O,/"(x)vO (C) f(x) < 0,/7x) >0(D) f(x) < 0,/7x) v 0 68.设函数/W 在(G “)内连续，其导函数的图形如右，记卩为函数/(X )的极值点个数，q 为 图形的拐点个数，则((A) p = 4, q = 1 (C) p = 3、q = 269・设0(/)是正值连续函数，/(%)= ［ \x-t\(p(t}dt > J -a -a<x<a @>0),证明函数/(x)在区间［-心］上的图形是 向上凹的.70.先将函数/(x) = xln(l + x 2)展开成带佩亚诺余项的7阶麦克劳林公式，再求/⑺(0),并问点(0,0)是否为该函数图形的 拐点?4. 函数的最大值与最小值71. 用输油管把离岸12公里的一座油井和沿岸往下20公里处的炼油厂连接起来(如图5.1.8),如 果水下输油管的铺设成本为每公里50万元，陆地输汕管的铺设成本为每公里30万元.问应如何铺设水下和陆地输油管，使总的连接费用最小？【答】最小的连接成本为1080万元，最优的连接方案 为：从炼油厂沿岸在陆地上铺设11公里到D 点，然后 在水下铺设15公里的管道AD.72. 某种疾病的传播模型为/(/) =」一，其中尸是\ + ce总人口数，c 是固龙常数，/(/)是到f 时刻感染该病的 总人数，求(1)该种疾病的传播速率:(A) y = x + 2 (B) y = x+\ (C)y = x_l (D) y = x-2).(B) p = 4、q = 2 (D) p = 2、q = 3第71题图油井到炼油厂的输油管道(2)当传播速率最大时，感染该病的总人数.73.三角形由y = 3x,y = 3O —2x,y = 0围成，在三角形内作矩形磁9,其一边肋与x 轴重合，另 两顶点B 、C 分别在y = 3x,y = 3O-2兀上，求此长方形而积的最大值. 5. 用洛必达法则及泰勒公式求不定型极限75.计算下列极限"•计算极限烛益需7严 4 = 2’…(B) 0 = 0" = —2(D) a = 0,b = -279. 一容器的侧面和底而分别由曲线段y = x 2-l(l<x<2)和直线段y = 0 (0 S x S 1)绕y 轴旋转 而成(坐标单位长度为1米)，若以每分钟1立方米的速度向容器内注水，求当水而髙度达到容器深 度一半时，水平而上升的速度. 【答】—(米/分)5龙8 0 •现有甲乙两条正在航行的船只，甲船向正南航行，乙船向正东直线航行・开始时甲船恰在乙船 正北40 km 处，后来在某一时刻测得甲船向南航行了 20 km,此时速度为15 km/h ：乙船向东航行了 15 km ,此时速度为25 km/h •问这时两船是在分离还是在接近， 度是多少？ 【答】它们正以3 km/h 的速度彼此远离.四、多元函数偏导数的应用1. 空间曲线的切线和法平面81・空间曲线X = /, y =尸一 2f, z =尸一 1在对应于t = 1的点处的切线方程是74•设/(x)在心处二阶可导,求极限 liQ5+〃)一 2心)+ /%_)h 2(1) ..x-sinx lim --------- :—— J\ + x sin x - J cos x lim xln(l + x) (3) lim[丄-—!— II )xtanx )(4) lim(l-x 2)tanyX(5) lim x x2(r(6) 丄lim (V +2*)7V->X \ 丿(7)lim | 1 sin 丄 + cos?X XX(8) x-sinx lim --- r->xx + sinxx-sinx77.设/(x)在点x = 0的某邻域内可导,且lim (2) lim -4 +fW]X 2 >=0.sin 3x fW=0,求(1) /(0),广(0),八0)；6.变化率与相关变化率第70题图【答】D83. 证明：圆柱螺旋线厂：x = acost,y = asint,z = bt 在任意一点处的切线都与某左直线交成相等 的夹角.【证明】曲线r 上任意一点的切向量为:T = {#(/),y'(/),Z(r)} = {-asin2cos”}.因为cos/ = -=L=为常数，所以T 与k 交成相等的夹角，即圆柱螺旋线上任意一点处的切线都与 \la 2+b~z 轴交成相等的夹角.84. 曲线x = t,y = t\z=t 3的所有切线中，与平而x + 2y + z = 4平行的切线( )•(A)只有1条 (B)只有2条 (C)至少有3条 (D)不存在 【答】B2. 曲面的切平面和法线85. 求曲而z = 8-2x 2-3y 2在点(1,-1,3)处的切平面方程与法线方程.【答】4—6)* — 13 = 0・-46-186.已知曲而z = x 2 + r+z 2上点P 处的切平而与平面x-2y + 2z = 0平行，求点P 的坐标以及曲 而在该点的切平而方程.【答】x-2y + 2z. + - = 0 以及 x-2y + 2z-- = 0.2 287・曲而x 2 + y 2=2z 在点(1,-1J)处的法线方程为 ______________________________ ・【答】1-1-188. 曲而z = 2x 2 + y 2 +1在点M(l,—1,4)处的切平而方程为 ____________________ .【答】4x-2y-z-2 = 03.多元函数的极值与条件极值89. 求函数 /(x, y) = x 3 + y 3 -3x 2 - 3y 2 的极值.【答】/(0,0) = 0为函数的极大值：/(2,2) = —8为函数的极小值.90. 设 /(x,y) = x 4 + / -x 2 -2xy- y 2, A(l, 1)和 B(—1,—1)是函数的驻点，则(). (A) A 是极大点，B 是极小点 (B)A 及B 都是极大点 (C) A 是极小点，3是极大点(D)A 及B 都是极小点【答】口上仝1 0 382.设函数/(x, y)在点(旺，儿)处的两个偏导数都存在，则下列结论正确的是()• (A) (C)(D) 函数f(x, y) /£点(x (),)b)处可微<B)函数/(x,>')在点(々，儿)处连续7 = f (X V )”在点(心儿J (心)b))的切线方向向量为{OJ,/；(x o ,y o )l 1/ =无 7 = f (X V )'在点(心,儿，/(心儿))的切线方向向量为{1, o, f ；(x 0, y 0))1>，==>?0曲线x-l y + \ 乙一3 x-l y + 1? — 1【答】D91.某工厂生产甲、乙两种产品，其销售价格分别为每台12万元与每台18万元，总成本C是两种产品产量x和y （单位：台）的函数C（x,y） = 2A2+^ + 2/+4 （单位：万元），问：当两种产品的产量各为多少台时，可获最大利润？最大利润是多少？【答】生产甲产品2台，乙产品4台时，利润最大，对应的最大利润为44万元.2 2 292.在已给的椭球而4+4+C=i内的所有内接长方体（各边平行于坐标轴）中，求苴体积之最cr l大者.【答】（5）=备畚引时，V取最大值律・3V393.平而x+y + z = 0交圆柱而x2 + y2=l成一个椭圆，求这个椭圆上离原点最近和最远的点.【答】1和血・（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
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第一讲 导数、偏导数及其应用(第二次作业)二、求多元函数的偏导数1．具体函数的偏导数 30．（1）设z =，则 z zxy x y∂∂+∂∂= ． （2）设1(,)sinln 1xy xf x y ex y -+=++，则(1,0)x f '= ． （3）设(,)arctan1x xyf x y xy+=-，则(1,2)x f '= ． （4）设u =222222u u ux y z∂∂∂++∂∂∂= ． （5）设223d x y t xz e t --=⎰，则2zx y∂∂∂= ． 31．设222,(,)(0,0),(,)0,(,)(0,0).x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪=⎩则(0,0)y f '= ( ).(A)4 (B) 2 (C)1 (D) 0 【答】B2．抽象函数的偏导数 32．设 x z xy f y ⎛⎫=+⎪⎝⎭，其中()f u 为可导函数，求 z zx y x y ∂∂+∂∂． 33．设 22(23,)z f x y x y =-+，其中(,)f u v 具有二阶连续偏导数，求 2zx y∂∂∂．34．设 (,)y z f x xy x g x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中f 具有二阶连续偏导数，g 具有二阶导数，求 2z x y ∂∂∂．35．设函数()f u 具有二阶连续导数，(sin )xz f e y =满足方程 22222xz z e z x y∂∂+=∂∂，求()f u ． 36．设变换2u x y v x ay=-⎧⎨=+⎩可将方程2222260z z z x x y y ∂∂∂+-=∂∂∂∂简化为20zu v ∂=∂∂,求常数a . 3．一个方程确定的隐函数的（偏）导数 37．设x y z z ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中()u ϕ为可导函数，求 z z x y x y ∂∂+∂∂． 38．设(),0f cx az cy bz --=，求 z zab x y∂∂+∂∂． 39．设()y y x =由方程1yy xe -=确定，求202d d x yx =的值．[92-3]【答】22e ．40．证明由方程,0z z F x y y x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭所确定的函数(,)z z x y =满足z z x y z xy x y ∂∂+=-∂∂．41．设(,)z z x y =是由zz e xy +=确定的二元函数，求2(1,1)zx y∂∂∂.4．由方程组确定的隐函数的（偏）导数42．设(,),(,)z f x y x y z ϕ==，其中,f ϕ都是可微函数，求d d y x． 43．设(,),(,)u u x y v v x y ==是由方程组sin ,cos uux e u v y e u v⎧=+⎪⎨=-⎪⎩确定的函数，求,u v x x ∂∂∂∂. 【答】sin cos ,(sin cos )1[(sin cos )1]uu uu v v v e x e v v x u e v v ∂∂-==∂-+∂-+.5．函数的全微分44．当2,1x y ==时，函数22ln(1)z x y =++的全微分d z = ． 【答】21d d 33x y + 45．由方程xyz =所确定的函数(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分d z = ．【答】d x y46．设函数(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个偏导数都存在，则（ ）．（A ）函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续 （B ）函数(,)f x y 在点00(,)x y 处可微 （C ）一元函数0(,)f x y 在点0x 处可导 （D ）以上答案都不对 【答】C47．函数(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个偏导数都存在是函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续的（ ）. （A ）充分条件 （B ）必要条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分也非必要的条件 【答】D48．函数(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个偏导数都存在是函数(,)f x y 在点00(,)x y 处可微的（ ）. （A ）充分条件 （B ）必要条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分也非必要的条件 【答】B49．设函数22220(,)0,0x y f x y x y +≠=+=⎩，则(,)f x y 在点(0,0)处（ ）.(A)偏导数不存在 (B)偏导数存在但不可微 (C)可微但偏导数不连续 (D)偏导数连续 【答】B50．设函数222222(0,(,)0,0x y x yf x yx y⎧++≠⎪=⎨⎪+=⎩，则(,)f x y在点(0,0)处（）.（A ）,f f x y ∂∂∂∂不存在 （B ）,f fx y∂∂∂∂连续 （C ）可微 （D ）不连续 【答】C6、方向导数与梯度51．已知u 是曲线2226,0x y z x y z ⎧++=⎨-+=⎩在点(1,2,1)处的切线向量，且它与与oz 轴正向夹角为锐角，求函数(,,)f x y z =在点(1,1,0)-处沿方向向量u 的方向导数fu∂∂.【答】01(1,1,0)(1,1,0)2D f f -=∇-=-u u ．52．设u 为抛物线24y x =在点(1,2)处与x 轴正方向夹角为锐角的单位切向量，则函数ln()z x y =+在点(1,2)处沿u 方向的方向导数为 ．【答】353．已知u 是空间曲线Γ：22,,4x t y t z t t ===- 在点(1,1,3)P -处的切线向量，且它与Oz 轴正向夹角为锐角，求函数2(,,)f x y z x y z =+在点P 处沿方向向量u 的方向导数f u∂∂. 【答】{}012,3,1,233322f f u ∂⎧⎫==---=⎨⎬∂⎩⎭grad u ，． 54．求函数22(,)f x y x y =-在点P 处沿曲线22221x y a b +=在该点的外法线方向的方向导数. 【答】00fgrad f n∂==∂n ． 55．函数()222ln u x y z =++在点(1,1,1)处的最大方向导数是 .三、一元函数导数的应用 1． 求曲线的切线与法线56．（1）求曲线3y x =在点(1,1)处的切线与法线的方程．（2）过点(2,0)作曲线3y x =的切线，求此切线方程．57．已知曲线2y ax =（a 为常数）与ln y x =在点x b =处有公共切线，求,a b 的值． 58．求极坐标方程(1cos )a ρθ=+的图形对应3πθ=处的切线方程．59．若曲线2y x ax b =++和321y xy =-+在点(1,1)-处相切，其中,a b 是常数，则（ ）. （A ） 0,2a b ==- （B ）1,3a b ==- （C ） 3,1a b =-= （D ）1,1a b =-=- 60．设)(x f 为可导函数，它在0=x 的某邻域内满足)(3)1(2)1(x o x x f x f +=--+，其中)(x o 是当0→x 时比x 高阶的无穷小量，则曲线)(x f y =在点())1(,1f 处的切线方程为（ ）.(A)2+=x y (B)1+=x y (C)1-=x y (D)2-=x y61．设函数nx x f )(ln )(=的图形在点)1,(e 处的切线与x 轴的交点坐标为)0,(n a ，试求)(lim n n a f ∞→.2． 一元函数的单调性与极值62．讨论函数1233()(1)(2)f x x x =--的单调区间与极值． 63．设2()()lim1()x af x f a x a →-=--，则在点x a =处（ ）. （A ） ()f x 的导数存在，且()0f a '≠ （B ）()f x 取得极大值 （C ） ()f x 取得极小值 （D ）()f x 的导数不存在 64．已知常数0a >，问方程xe ax =有几个实数根？3． 一元函数图形的凹凸性65．求曲线xy xe -=的凹凸区间与拐点． 66．用导数知识画出函数1(6)xy x e =+的图形．67．如果()()f x f x -=，且在(0,)+∞内，()0,()0f x f x '''>>，则在(,0)-∞内，（ ）． （A ）()0,()0f x f x '''>> （B ） ()0,()0f x f x '''>< （C ）()0,()0f x f x '''<> （D ）()0,()0f x f x '''<<68．设函数()f x 在(,)a b 内连续，其导函数的图形如右，记p 为函数()f x 的极值点个数，q 为()f x 图形的拐点个数，则（ ）．（A ）4,1p q == （B ）4,2p q == （C ） 3,2p q == （D ）2,3p q == 69．设()t ϕ是正值连续函数，()||()d a af x x t t t ϕ-=-⎰，(0)a x a a -≤≤>，证明函数()f x 在区间[,]a a -上的图形是向上凹的．70．先将函数)1ln()(2x x x f +=展开成带佩亚诺余项的7阶麦克劳林公式，再求)0()7(f ，并问点(0,0)是否为该函数图形的拐点？4． 函数的最大值与最小值71．用输油管把离岸12公里的一座油井和沿岸往下20公里处的炼油厂连接起来（如图5.1.8），如果水下输油管的铺设成本为每公里50万元，陆地输油管的铺设成本为每公里30万元.问应如何铺设水下和陆地输油管，使总的连接费用最小？【答】最小的连接成本为1080万元，最优的连接方案为：从炼油厂沿岸在陆地上铺设11公里到D 点，然后在水下铺设15公里的管道AD .72．某种疾病的传播模型为()1tPf t ce-=+，其中P 是总人口数，c 是固定常数，)(t f 是到t 时刻感染该病的总人数，求（1）该种疾病的传播速率；第68题图（2）当传播速率最大时，感染该病的总人数．73．三角形由0,230,3=-==y x y x y 围成，在三角形内作矩形ABCD ，其一边AD 与x 轴重合，另两顶点B 、C 分别在x y x y 230,3-==上，求此长方形面积的最大值．5． 用洛必达法则及泰勒公式求不定型极限74．设()f x 在0x 处二阶可导，求极限00020()2()()lim h f x h f x f x h h→+-+-． 75．计算下列极限 （1）30sin limx x x x →- （2）0x → （3）2011lim tan x x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭（4）()21lim 1tan 2x xx π→- （5）0lim xx x+→ （6）()12lim 2xxx x →∞+（7）2112lim sin cos x x x x x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭（8）sin lim sin x x x x x →∞-+ （9）x x dt e x xt x sin lim 002-⎰--→76．计算极限 2230cos limln(1)x x x ex x -→-+．77．设()f x 在点0x =的某邻域内可导，且320sin 3()lim 0x x f x x x →⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求（1）(0),(0),(0)f f f '''；（2）2203()lim 0x f x x x →⎛⎫+=⎪⎝⎭．78．设 20ln(1)()lim 2x x ax b x→+-+=，则（ ）． （A ） 51,2a b ==- （B ）0,2a b ==-（C ） 50,2a b ==- （D ）0,2a b ==-【答】（A ）6． 变化率与相关变化率79．一容器的侧面和底面分别由曲线段)21(12≤≤-=x x y 和直线段)10(0≤≤=x y 绕y 轴旋转而成（坐标单位长度为1米），若以每分钟1立方米的速度向容器内注水，求当水面高度达到容器深度一半时，水平面上升的速度． 【答】π52(米/分) ８０．现有甲乙两条正在航行的船只，甲船向正南航行，乙船向正东直线航行．开始时甲船恰在乙船正北 40 km 处，后来在某一时刻测得甲船向南航行了 20 km ，此时速度为 15 km/h ；乙船向东航行了15 km ，此时速度为 25 km/h ．问这时两船是在分离还是在接近 ，速度是多少 ？【答】 它们正以3 km/h 的速度彼此远离 ．四、多元函数偏导数的应用1. 空间曲线的切线和法平面81．空间曲线23,2,1x t y t t z t ==-=-在对应于1t =的点处的切线方程是．【答】11103x y z-+== 82．设函数(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个偏导数都存在，则下列结论正确的是（ ）.（A ）函数(,)f x y 在点00(,)x y 处可微 （B ）函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续 （C ）曲线0(,),z f x y x x =⎧⎨=⎩在点0000(,,(,))x y f x y 的切线方向向量为00{0,1,(,)}x f x y '（D ）曲线0(,),z f x y y y =⎧⎨=⎩在点0000(,,(,))x y f x y 的切线方向向量为00{1,0,(,)}x f x y '【答】D83．证明：圆柱螺旋线Γ：cos ,sin ,x a t y a t z bt ===在任意一点处的切线都与某定直线交成相等的夹角.【证明】曲线Γ上任意一点的切向量为：{(),(),()}{sin ,cos ,}x t y t z t a t a t b '''==-T .因为cos γ=为常数，所以T 与k 交成相等的夹角，即圆柱螺旋线上任意一点处的切线都与z 轴交成相等的夹角.84．曲线23,,x t y t z t ===的所有切线中，与平面24x y z ++=平行的切线（ ）. (A)只有1条 (B)只有2条 (C)至少有3条 (D)不存在 【答】B2. 曲面的切平面和法线85．求曲面22823z x y =--在点(1,1,3)-处的切平面方程与法线方程. 【答】46130x y z -+-=．113461x y z -+-==--． 86．已知曲面222z x y z =++上点P 处的切平面与平面220x y z -+=平行，求点P 的坐标以及曲面在该点的切平面方程. 【答】 12202x y z -++= 以及 52202x y z -+-=． 87．曲面 222x y z +=在点(1,1,1)-处的法线方程为 ． 【答】111111x y z -+-==-- 88．曲面2221z x y =++在点(1,1,4)M -处的切平面方程为 . 【答】4220x y z ---= 3. 多元函数的极值与条件极值89．求函数3322(,)33f x y x y x y =+--的极值.【答】(0,0)0f =为函数的极大值；(2,2)8f =-为函数的极小值．90．设4422(,)2,(1,1)f x y x y x xy y A =+---和(1,1)B --是函数的驻点，则（ ）. (A)A 是极大点，B 是极小点 (B)A 及B 都是极大点 (C)A 是极小点，B 是极大点 (D)A 及B 都是极小点 【答】D91．某工厂生产甲、乙两种产品，其销售价格分别为每台12万元与每台18万元，总成本C 是两种产品产量x 和y （单位：台）的函数22(,)224C x y x xy y =+++（单位：万元），问：当两种产品的产量各为多少台时，可获最大利润？最大利润是多少？【答】生产甲产品2台，乙产品4台时，利润最大，对应的最大利润为44万元．92．在已给的椭球面2222221x y z a b c++=内的所有内接长方体（各边平行于坐标轴）中，求其体积之最大者.【答】(,,)x y z =时，V . 93．平面0x y z ++=交圆柱面221x y +=成一个椭圆，求这个椭圆上离原点最近和最远的点．【答】1．（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。