三次样条曲线
三次样条曲线推导过程
三次样条曲线推导过程三次样条曲线是一种常用的曲线插值方法，可以通过一系列已知控制点来生成平滑的曲线。
下面是推导三次样条曲线的基本过程：1.整理控制点：给定一组已知控制点P0, P1, P2, ..., Pn，其中每个点Pi的坐标为(xi, yi)。
我们的目标是找到一个曲线函数C(t)，其中t的范围在[0, 1]之间。
2.定义曲线段：将整个插值范围[0, 1]划分为一系列曲线段，每个曲线段由相邻的两个控制点构成。
我们有n个控制点，则会有n个曲线段。
3.插值求解：对于每个曲线段，我们希望找到一条插值曲线，使得该曲线通过两个相邻控制点，并且在相邻曲线段的连接处保持平滑。
4.建立方程：为了推导每个曲线段的曲线方程，我们需要定义一些参数。
引入参数t，其中t的范围为[0, 1]。
假设我们有一个曲线段的控制点Pi和Pi+1。
我们需要定义两个参数h和u，其中h = xi+1 - xi，u = (t - xi) / h。
5.插值方程：通过插值方法，我们可以得到曲线段的插值方程。
一个典型的三次样条曲线方程为： C(t) = (1 - u)^3 * P_i+ 3 * (1 - u)^2 * u * P_i+1 + 3 * (1 - u) * u^2 * P_i+2 + u^3 *P_i+3这个方程表示了在t范围内从Pi到Pi+3的曲线。
对每个相邻的控制点对应的曲线段都应用相同的方法，然后将它们拼接在一起，就可以得到整个三次样条曲线。
请注意，以上是三次样条曲线的简化推导过程，实际的推导可能会涉及更多的数学推导和符号表示。
样条函数(三次样条)
样条插值是一种工业设计中常用的、得到平滑曲线的一种插值方法，三次样条又是其中用的较为广泛的一种。
1. 三次样条曲线原理假设有以下节点1.1 定义样条曲线是一个分段定义的公式。
给定n+1个数据点，共有n个区间，三次样条方程满足以下条件：a. 在每个分段区间（i = 0, 1, …, n-1，x递增），都是一个三次多项式。
b. 满足（i = 0, 1, …, n ）c. ，导数，二阶导数在[a, b]区间都是连续的，即曲线是光滑的。
所以n个三次多项式分段可以写作：，i = 0, 1, …, n-1其中ai, bi, ci, di代表4n个未知系数。
1.2 求解已知:a. n+1个数据点[xi, yi], i = 0, 1, …, nb. 每一分段都是三次多项式函数曲线c. 节点达到二阶连续d. 左右两端点处特性（自然边界，固定边界，非节点边界）根据定点，求出每段样条曲线方程中的系数，即可得到每段曲线的具体表达式。
插值和连续性：, 其中i = 0, 1, …, n-1微分连续性：, 其中i = 0, 1, …, n-2样条曲线的微分式：将步长带入样条曲线的条件：a. 由(i = 0, 1, …, n-1)推出b. 由(i = 0, 1, …, n-1)推出c. 由(i = 0, 1, …, n-2)推出由此可得：d. 由(i = 0, 1, …, n-2)推出设，则a. 可写为：，推出b. 将ci, di带入可得：c. 将bi, ci, di带入(i = 0, 1, …, n-2)可得：端点条件由i的取值范围可知，共有n-1个公式，但却有n+1个未知量m 。
要想求解该方程组，还需另外两个式子。
所以需要对两端点x0和xn的微分加些限制。
选择不是唯一的，3种比较常用的限制如下。
a. 自由边界(Natural)首尾两端没有受到任何让它们弯曲的力，即。
具体表示为和则要求解的方程组可写为：b. 固定边界(Clamped)首尾两端点的微分值是被指定的，这里分别定为A和B。
三次样条的s曲线加减速算法 verilog
《三次样条的s曲线加减速算法 verilog》1. 引言在近年来的工程实践中，对于加减速算法的需求越来越迫切。
特别是在Verilog领域，随着数字逻辑设计的复杂度不断提升，对于运动控制的要求也日益严格。
三次样条的s曲线加减速算法成为现代Verilog设计中的一个热门话题。
本文将从深度和广度两个方面进行全面评估，并据此撰写有价值的文章。
2. 三次样条的s曲线加减速算法2.1 三次样条曲线简介三次样条曲线是一种用于模拟和逼真地描述曲线轨迹的方法。
它通过一系列的插值点来构建平滑的曲线，具有良好的光滑性和连续性。
在Verilog设计中，三次样条曲线常常被用于描述运动轨迹，实现精确的加减速控制。
2.2 S曲线加减速算法S曲线是一种具有平滑加减速过程的曲线形状。
其特点是起始和结束的加减速过程较为平滑，可以有效减少机械系统的冲击和损耗。
在Verilog设计中，S曲线加减速算法常常被应用于运动控制系统，以实现高效、精准的运动控制。
3. 从简到繁，由浅入深地探讨三次样条的s曲线加减速算法3.1 算法基础在Verilog中，实现S曲线加减速算法的关键是理解三次样条曲线的原理和计算方法。
通过插值和数学建模，可以得到在Verilog中实现S曲线加减速的数学表达式和计算方法。
3.2 Verilog实现通过Verilog HDL语言，可以将S曲线加减速算法实现为硬件逻辑。
利用FPGA或ASIC等数字逻辑芯片，可以将S曲线加减速算法应用于实际的运动控制系统中。
3.3 实际应用结合实际的机械系统和运动控制需求，可以将S曲线加减速算法应用于各种场景中，实现高效、精准的运动控制。
机械臂、CNC数控机床、自动化生产线等领域都可以受益于S曲线加减速算法的应用。
4. 主题文字的多次提及在上述内容中，我们多次提到了“三次样条的s曲线加减速算法”，这是我们在本文中关注的核心主题。
其在Verilog设计中的应用对于实现精准、高效的运动控制具有重要意义。
三次样条曲线
2 M1+ M2=6[( y2- y1)/ h1- y1']/ h1; λi Mi-1+2 Mi+μi Mi+1= Di，i=2,3,…,n-1; Mn-1+ 2Mn=6[ yn' -( yn- yn-1)/ hn-1]/ hn-1;
p4
三次参数样条曲线定义
三次参数样条曲线的表达式 p(t)=B1+B2t+B3t2 +B4t3 0<=t<=tm
在两点p1,p2之间定义一条该曲线（参数形 式） 令p1t=0; p2t=t2; 已知： p’1， p’2 代入方程可得方程系数B1\B2\B3 \B4
p1 p2
三 次
p(0) p1
pi1 ]t2 ti1
线
0 t ti1
推
导
连
续 的 三
由条件，
有
曲线在pi1应达到二阶连续
即
2B3i
6B4iti1
2
B i1 3
次
pi
参 数 样 条
[ti2
2(ti2 ti|1)
ti1
]
pi1
pi2
3( ti1 ti2
( pi2
pi 1 )
ti2 ti1
( pi1
pi ))
曲
线 i 1,, n 2
p(p01)
B1 B2
三次样条曲线表达式
三次样条曲线表达式：灵活优美的曲线绘制方式在计算机图形学、数值计算和信号处理等领域中，数字化的连续函数是非常重要的一种形式。
而曲线是这种函数形式中的一个最基本的形式，可以被广泛地应用在计算机图形学、几何建模、视觉处理等方面。
而三次样条曲线就是其中一种非常灵活优美的曲线绘制方式。
三次样条曲线是将一段数据区间上的数据点插值得到的平滑曲线，其中“三次样条”的名称来自于插值函数的阶数和一种类似于自然样条函数的方式。
插值函数在每个插值点上都有一个有限的导数，因此在这些点之间不能出现任何角或拐点。
而且，由于样条插值函数比全局多项式插值函数具有更低的阶数，因此这种方法能够防止烦人的振荡现象。
三次样条曲线曲线绘制的基本思想是利用一个三次多项式来连接相邻的数据点。
该多项式的系数由这些点的值和导数决定，且利用相邻点间的差分来解出这些系数。
这样，曲线就可以平滑地穿过数据点，同时保持足够的灵活性，以便能够在不同的数据点之间呈现出各种优美的曲线。
一个三次样条曲线可以写成如下形式：S(x) = Si(x), xi ≤ x ≤ xi+1其中，i表示插值点之间的段数，xi是第i个插值点的x坐标，Si是第i个样条段的函数。
在插值点处，三次样条曲线具有相同的函数值和导数，即：Si(xi) = y[i]，即第i个段的起点函数值等于第i个插值点的函数值Si(xi+1) = y[i+1]，即第i个段的终点函数值等于第i+1个插值点的函数值Si'(xi) = d[i]，即第i个段的起点导数等于第i个插值点的导数Si'(xi+1) = d[i+1]，即第i个段的终点导数等于第i+1个插值点的导数而在插值点之间的点处，三次样条曲线的函数值和导数是由相邻两个插值点之间的三次多项式决定的。
也就是说，插值点之间的段数越多，函数值和导数的变化就越平滑，曲线就越优美。
利用三次样条曲线的灵活性，我们可以将其应用于如下场景中：1.计算机图形学：三次样条曲线在计算机图形学方面的应用非常广泛，它可以被用于绘制三维曲面的边缘、建立多边形曲线、创建复杂的动画效果等。
贝塞尔曲线三次样条曲线
贝塞尔曲线三次样条曲线
答：贝塞尔曲线和三次样条曲线都是用于描述曲线或曲面形状的方法，但它们有一些不同之处。
贝塞尔曲线是一种由法国工程师皮埃尔·贝塞尔发明的数学曲线。
它是一系列线段的组合，这些线段在给定的控制点之间以一种特定的方式连接。
贝塞尔曲线最初被用于描述船舶和航空器的流线型设计，但后来被广泛应用于计算机图形学、CAD/CAM等领域。
三次样条曲线则是一种数学曲线，它由三个参数定义：起点、终点和两个控制点。
三次样条曲线的形状由这三个点和两个控制点决定，可以用于平滑地连接两个已知点之间的曲线。
在计算机图形学中，三次样条曲线通常用于创建更复杂的形状和动画效果。
总的来说，贝塞尔曲线和三次样条曲线都是通过控制点来定义曲线的形状，但它们的具体实现方式和应用场景有所不同。
python 三次样条曲线拟合
python 三次样条曲线拟合三次样条曲线拟合是一种利用三次多项式来逼近一组数据的方法。
它在数据不光滑或不连续的情况下能够产生一个平滑的曲线。
在Python中，有多种方法可以实现三次样条曲线拟合，例如利用SciPy库中的interpolate模块或使用numpy.polyfit函数。
下面将介绍这两种方法的基本原理和具体实现过程。
一、基本原理三次样条曲线拟合的基本原理是通过使用多个三次多项式来逼近一组数据，使得拟合的曲线在每个数据点处与原始数据相切且平滑。
这意味着在每个数据点的一阶导数值相等，从而保证了曲线的平滑特性。
为了实现这一点，我们可以将原始数据分成多个小段，每一段对应一个三次多项式。
这样，我们只需确定每一段的系数，即可拟合出整个曲线。
二、SciPy库的interpolate模块SciPy是一个强大的科学计算库，其中的interpolate模块提供了许多插值和拟合的函数。
在进行三次样条曲线拟合时，我们可以使用interp1d函数来实现。
具体步骤如下：1.导入必要的库```pythonimport numpy as npfrom scipy.interpolate import interp1dimport matplotlib.pyplot as plt```2.准备数据```pythonx = np.array([0, 1, 2, 3, 4, 5]) #自变量数据y = np.array([1, 2, 1, 0, 1, 2]) #因变量数据```3.使用interp1d函数进行拟合```pythonf = interp1d(x, y, kind='cubic') # cubic表示三次样条插值```4.生成插值点```pythonx_new = np.linspace(0, 5, num=100) #生成100个均匀分布的插值点y_new = f(x_new) #计算插值点的纵坐标值```5.绘制拟合曲线和原始数据```pythonplt.plot(x, y, 'o', label='原始数据') #绘制原始数据点plt.plot(x_new, y_new, '-', label='拟合曲线') #绘制拟合曲线plt.legend() #显示图例plt.show() #显示图像```通过上述步骤，我们就能够得到拟合曲线，并将其与原始数据绘制在一张图上。
三次样条曲线的定义
三次样条曲线的定义嘿，咱们今天来聊聊三次样条曲线这个有趣的玩意儿！先给您说个事儿哈，就前几天，我去商场买东西，路过一家珠宝店。
那店里的橱窗展示着一串珍珠项链，那珍珠的排列可不一般，仔细一瞧，居然有点像三次样条曲线的形状！一颗颗珍珠错落有致，顺滑又自然，仿佛是按照某种神秘的规律排列着。
要说这三次样条曲线啊，它其实就是一种数学上特别有用的曲线表示方法。
简单来讲，就是通过一系列给定的点，构建出一条既平滑又连续的曲线。
您想想，假如您要画一条曲线来表示一辆汽车在一段时间内的速度变化。
如果只是随便画，那曲线可能会歪歪扭扭，看起来乱糟糟的。
但如果用三次样条曲线，就能把这个速度变化表现得特别流畅和自然。
三次样条曲线有几个重要的特点。
首先，它在每个小段内都是一个三次多项式。
这意味着它有一定的灵活性，可以很好地适应各种复杂的形状。
其次，它在连接点处不仅函数值相等，一阶导数和二阶导数也相等。
这就保证了曲线的平滑过渡，没有突然的拐弯或者抖动。
比如说，在设计桥梁的时候，工程师们就会用到三次样条曲线。
桥梁的形状得既要美观，又要能承受各种力的作用。
通过使用三次样条曲线来设计桥梁的轮廓，就能让桥梁看起来线条优美，而且受力均匀，更加稳固可靠。
再比如，在计算机图形学中，绘制各种曲线图形的时候，三次样条曲线就大显身手啦。
它能让画面中的曲线更加逼真、自然，给人一种赏心悦目的感觉。
回到开始说的那串珍珠项链，其实它的排列就近似于三次样条曲线。
每个珍珠的位置就像是给定的点，而串起来的整体就形成了一条优美的曲线。
总之，三次样条曲线在我们的生活和各种领域中都有着广泛的应用。
它就像是一位神奇的“曲线魔法师”，能够把那些看似杂乱无章的点变成一条优美、流畅的曲线。
怎么样，这下您对三次样条曲线是不是有了更清晰的认识啦？希望今天的讲解能让您有所收获！。
三次b样条曲线rrt算法详解
三次b样条曲线rrt算法详解三次B样条曲线是一种常用于曲线插值和平滑的数学方法。
而RRt 算法是一种基于树结构的路径规划算法。
本文将详细介绍三次B样条曲线和RRt算法的原理及应用。
我们先来了解一下三次B样条曲线。
B样条曲线是一种由多个控制点确定的曲线，它具有良好的局部性质和平滑性。
而三次B样条曲线是指B样条曲线中每个控制点的自由度为3，即可以确定一个点的位置和两个方向。
这使得三次B样条曲线更加灵活和精确。
三次B样条曲线的构造过程可以简单描述为以下几步：首先，根据给定的控制点，确定每个控制点的位置和方向。
然后，通过插值或逼近的方法，计算出曲线上的所有点的坐标。
最后，根据需要，可以对曲线进行平滑处理或者进行局部调整。
三次B样条曲线的应用非常广泛。
在计算机图形学中，它常用于曲线的绘制和形状的变形。
在工程设计中，它常用于曲线的建模和路径规划。
在动画制作中，它常用于曲线的运动轨迹生成。
总之，三次B样条曲线是一种非常重要和实用的数学工具。
接下来，我们来介绍一下RRt算法。
RRt算法是一种基于树结构的路径规划算法，它通过不断扩展树结构来搜索最优路径。
RRt算法的基本思想是从起点开始，随机采样一个点，然后通过最近邻搜索找到树中离该点最近的节点。
然后，利用运动模型或者其他方法，将该点与最近节点连接起来，形成一条新的路径。
不断重复这个过程，直到找到终点或者达到搜索次数的限制。
RRt算法的优点是可以在高维空间中搜索最优路径，适用于复杂环境和非线性约束。
它也可以用于动态环境下的路径规划，通过不断更新树结构来适应环境的变化。
此外，RRt算法还具有较好的实时性能，可以在较短的时间内找到可行路径。
RRt算法的应用非常广泛。
在机器人领域，它常用于自主导航和路径规划。
在无人机领域，它常用于航迹规划和避障。
在虚拟现实和游戏开发中，它常用于角色行为的规划和控制。
总之，RRt算法是一种非常重要和实用的路径规划算法。
三次B样条曲线和RRt算法是两种不同领域的数学方法，分别用于曲线插值和路径规划。
三次参数样条曲线
目 录
• 参数样条曲线简介 • 三次参数样条曲线的数学模型 • 三次参数样条曲线的构建过程 • 三次参数样条曲线的应用实例 • 三次参数样条曲线的优缺点分析 • 三次参数样条曲线与其他插值方法的比较
01
CATALOGUE
参数样条曲线简介
定义与特性
定义
三次参数样条曲线是一种数学函 数，通过给定的数据点，使用参 数化方法拟合出一条光滑的曲线 。
与多项式插值的比较
1
多项式插值适用于已知数据点之间存在某种特定 关系的情况，而三次参数样条曲线则不需要事先 知道这种关系。
2
多项式插值在处理高阶数据时可能会遇到计算量 大和稳定性差的问题，而三次参数样条曲线则相 对较稳定。
3
多项式插值在处理非线性数据时可能会产生较大 的误差，而三次参数样条曲线能够更好地适应非 线性数据的处理。
算法实现
可以使用数值计算方法和编程语言来实现三次参数 样条曲线的计算，例如Python、MATLAB等。
优化方法
为了提高计算效率和精度，可以采用一些优 化方法，如共轭梯度法、牛顿法等。
03
CATALOGUE
三次参数样条曲线的构建过程
数据准备
数据收集
01
收集用于拟合曲线的离散数据点，确保数据具有代表性且分布
易于理解和实现
三次参数样条曲线具有直观的几 何意义，易于理解和实现，不需 要复杂的数学背景。
缺点分析
01
对异常值敏感
三次参数样条曲线对异常值比较 敏感，如果数据中存在异常值， 可能会导致拟合结果偏差。
02
对初始程可 能会陷入局部最优解，影响拟合 效果，需要合理设置初始值。
合理。
数据清洗
三次B样条曲线
0
1
PP32
t 0, 1
三次B样条曲线
➢ 性质1：端点位置
P0,3
(0)
1 6
( P0 4 P1 P2 )
1 3
P0
2
P2
2 3
P1 ,
P0,3
(1)
1 6
( P1 4 P2 P3 )
1 3
P1
2
P3
2 3
P2 ,
➢ 性质2：端点切矢及二阶导数
P
0,3(0)
其中，基函数 Gi,n (t) 定义为：
Gi,n (t)
1 n!
ni j 0
(1)
j
Cnj1 (t
n i
j)n
t [0,1], i 0数,字1,图.像..处,n理
B 样条曲线示例
二次B 样条曲线示例
数字图像处理
B 样条曲线示例
二次B 样条曲线示例
数字图像处理
B 样条曲线示例
三次B 样条曲线示例
样条基函数：
1 , Bi,1(t) 0 ,
ti t ti1 otherwise
Bi,k (t)
t ti tik 1 ti
Bi,k 1(t)
tik t tik ti1
Bi1,k 1(t)
t
数字图像处理
非均匀 B 样条曲线
➢ 设P1, P2 ,...Pn (n k)为给定空间的n个点,称下列参 数曲线
0)
S
(k
)
(
x i
1
0),
k 0,1,
2
2
(3)满足插值条件 yi S ( xi ), i 0,1,..., n.
数字图像处理
三次B样条曲线
数字图像处理
B 样条曲线示例
三次B 三次 样条曲线示例
数字图像处理
B 样条曲线示例
三次B 三次 样条曲线示例
数字图像处理
B 样条曲线示例
四次B 样条曲线示例 四次
数字图像处理
B 样条曲线示例
五次B 五次 样条曲线示例
数字图像处理
2.2 B 样条曲线基函数的性质
B样条函数基函数为：
1 n−i G i ,n (t ) = ( − 1 ) j C nj+ 1 ( t + n − i − j ) n ∑ n! j = 0 t ∈ [ 0 ,1 ], i = 0 ,1 ,..., n
如左图所示，六个 控制顶点控制的三 次B样条曲线由三 段B样条曲线段组 成。其中，每一条 曲线段由四个顶点 控制。
数字图像处理
B 样条曲线的性质
2.几何不变性
由于定义式所表示的B样条曲线是参数形式，因此，和 Bezier曲线一样，B样条曲线的形状和位置与坐标系选 择无关。
3. 连续性
当给定的m+n+1个控制顶点Pi (i=0，1，…，m+n)互不 相重，则所控制的整条B样条曲线具有n-1阶几何连续 (G n-1)。当给定的控制顶点相邻最大重顶点数为h（即h 个控制顶点重合在一起），则整条B样条曲线具有n-h1阶几何连续(G n-h-1)。
数字图像处理
B 样条曲线的性质
4. 对称性
根据B样条曲线的基函数的对称性可推导
Pk , n (1 − t ) = =
∑
n
n
i=0
Pi + k G i , n (1 − t ) Pi + k G n − i , n ( t ) ( t ∈ [ 0 ,1 ])
三次样条曲线生成算法研究摘要
三次样条曲线的生成算法本文由天空乐园河南自考网整理分享摘要三次样条函数曲线具有的最高多项式插值精度是三次多项式函数，对其进行推广构造的三次参数样条曲线应至少具有同样的插值精度。
本文讨论了构造三次参数样条曲线中节点选取问题，相邻两节点之间的跨度规范化为1，提出了构造2GC 三次参数样条曲线的新方法。
文中首先讨论了2GC 三次参数样条曲线需满足的连续性方程，然后讨论了平面有序五点确定一组三次多项式函数曲线和平面有序六点唯一确定一条三次多项式函数曲线。
在此基础上，提出了为给定数据点选取节点值的新方法。
新方法构造的2GC 三次参数样条曲线具有三次多项式函数的插值精度。
最后以具体数据点对新方法和已有的四种节点选取方法构造的插值曲线的精度做了比较。
关键词：三次样条曲线；曲线拟合；计算机图形学自1946年美国数学家I. J. Schoenberg 提出样条函数[1]以来，样条函数以其构造简单、易于计算又有很好的力学背景等特点而被广泛用于科学计算、工程设计和计算机辅助设计等领域，成为最重要的曲线和曲面构造方法之一。
在样条函数的应用中，三次样条函数由于具有极小模性质、最佳逼近性质和很强的收敛性[2,3,4]等而成为最主要的方法应用于构造插值曲线和曲面。
用样条函数方法构造三次插值曲线，曲线的连续性基本可满足实际应用的要求。
当曲线的端点条件确定之后，曲线的精度和形状是由曲线需满足的连续性方程唯一决定的。
在小挠度的情况下，插值曲线的精度和形状都是非常理想的。
对大挠度曲线和任意平面数据点，则需推广三次样条函数方法构造三次参数样条曲线，此时需知道每个数据点处的参数值（节点值）。
在实际应用中，这些参数值一般是无法预先给定的，所以构造三次参数样条曲线的第一步是对给定数据点参数化，即为每个数据点指定节点值。
如果指定的节点值是精确的，给定适当的端点条件，可使构造的插值曲线的代数精度达到三次参数多项式。
构造三次参数样条曲线，当曲线的端点条件确定之后，能够决定曲线插值精度的量只有节点。
三次样条曲线表达式
三次样条曲线表达式三次样条曲线是一种常用的插值方法，用于在给定的数据点之间进行平滑插值。
三次样条曲线由一组三次多项式组成，在每个相邻数据点之间使用不同的三次多项式来实现平滑曲线的连接。
这些三次多项式在相邻数据点处具有连续的一阶和二阶导数，以确保曲线的平滑性和连续性。
要表示三次样条曲线的表达式，首先需要确定数据点的坐标和插值方法。
假设我们有n个数据点 (x_0, y_0), (x_1, y_1), ..., (x_n, y_n)，我们可以使用三次样条插值方法来计算出每个相邻数据点之间的三次多项式表达式。
具体而言，三次样条曲线由n-1个三次多项式组成，每个三次多项式在相邻数据点之间定义。
假设第i个三次多项式在区间[x_{i-1}, x_i] 上的表达式为 S_i(x)，其中 i = 1, 2, ..., n-1。
在每个区间 [x_{i-1}, x_i] 上，三次样条曲线的表达式为：S_i(x) = a_i(x x_i)^3 + b_i(x x_i)^2 + c_i(x x_i) + d_i.其中 a_i, b_i, c_i, d_i 是待定系数。
为了确定这些系数，我们需要满足一些插值条件，例如在每个数据点处函数值相等，以及相邻区间的三次多项式在相邻数据点处的一阶和二阶导数相等。
通过解这些条件，可以得到每个区间上的三次多项式的系数，从而得到整个三次样条曲线的表达式。
最终的三次样条曲线表达式将是所有区间上三次多项式的组合。
总之，三次样条曲线的表达式包括了每个相邻数据点之间的三次多项式表达式，通过满足插值条件来确定每个区间上的系数，从而得到整个曲线的表达式。
这样的表达式能够实现对给定数据点之间的平滑插值，从而得到连续且平滑的曲线。
三次样条曲线的定义
三次样条曲线的定义《说说三次样条曲线那些事儿》嘿，大家好呀！今天咱来唠唠三次样条曲线的定义。
啥是三次样条曲线呢？简单来说，就是一条超级光滑、超级厉害的曲线！它就像是一个有着完美身材的模特，曲线玲珑有致，每一处都过渡得那么自然。
想象一下哈，你在画一条曲线，要是随随便便画，那可能就歪歪扭扭跟蚯蚓似的。
但三次样条曲线可不一样，它那是精益求精，绝不允许自己有一点不和谐的地方。
它就像是一条神奇的魔法线，把一个个点巧妙地连接起来。
这些点就好像是散落在地上的珍珠，而三次样条曲线就是那根线，把珍珠串成了一条美丽的项链。
为啥咱要这么在意这条曲线呢？那是因为在好多实际情况里，咱都需要它呀！比如说汽车设计，那车身的线条得漂亮吧，得流畅吧，不然开出去多没面子。
这时候三次样条曲线就派上用场了，设计师们用它勾勒出最帅气的车身形状。
再比如，咱手机上的那些漂亮图标、界面，说不定背后就有三次样条曲线的功劳呢！它能让那些图案看起来特别舒服，特别自然，一点儿也不生硬。
我记得我第一次了解到三次样条曲线的时候，就觉得好神奇啊！怎么可以有这么厉害的东西，能把零散的点变成如此美妙的曲线。
当时我就想，这玩意儿就像是一个隐藏的高手，默默发挥着巨大的作用。
而且哈，它还特别靠谱。
你给它一些条件，它就能乖乖地按照你的要求来生成曲线。
就像一个听话的小朋友，你让它干啥它就干啥。
总之，三次样条曲线这东西，真的是让我又爱又佩服。
它那流畅的线条，就像生活中那些美好的瞬间，顺顺利利，没有一点儿波折。
每次想到它，我都忍不住感叹，数学的世界真是奇妙无穷啊！说不定哪天又会冒出一个像三次样条曲线这样厉害的东西，让我们大开眼界呢！我已经迫不及待地想要继续探索这个神奇的领域啦！。
三次B样条曲线
1. 样条函数的概念
1.1: 一般样条函数的定义 1.2: 三次样条函数
1.3: 二次样条函数
2. B 样条曲线
2.1: B样条曲线的定义
2.5: 三次B样条曲线
2.2: B样条曲线基函数性 2.6: 二、三次B样条曲线的 质 应用 2.3: B样条曲线的性质
2.7: 非均匀B样条曲线
具有如下性质： 1）有界正性：当 t [0,1] 时， Gi,n (t ) 1, 0
(i 0,1,...,n)
(i 0,1,...,n)
2）权性： 即
G
i 0
n
i ,n
(t ) 1,
t [0,1]
3）对称性：当 t [0,1] 时， i,n (t ) Gni,n (1 t ), G
数字图像处理
，则称S(x)为插Байду номын сангаас样条函
1.2 三次样条函数
假设在区间〔a，b〕上给定一个分割 Δ： a=x0<x1<…<xn-1<xn=b, 在〔a,b〕上的一个函数S(x)称为插值三次样条函数， 如果满足下列条件: (1)在每一小区间〔xi-1,xi〕(i=1，2，…，n)内S(x)分别 是三次多项式函数； (2)在节点xi(i＝1，2，…，n-1)处成立 :
5.递推性
n次B样条曲线段的递推曲线表示形式： l 0 Pi k i Pk ,l (t ) i ,l (t ) Pki,l 1 (t ) i ,l (t ) Pki,11 (t ), l 1,2,...,n, l
k 0,1,...,m 其中： 1 i ,l (t ) (i 1 t ); n l 1 1 i ,l (t ) ( n l i t ); n l 1 t [0,1]; i 0,1,...,n l ;
二,三次样条曲线的定义
二,三次样条曲线的定义二次样条曲线是一类平滑的曲线，它由一系列的二次多项式组成，每个多项式在相邻数据点之间进行插值。
具体而言，对于给定的一组数据点，二次样条曲线在每两个相邻数据点之间使用二次多项式来拟合曲线形状，并满足在每个数据点上的连续性和光滑性条件。
二次样条曲线的定义有两个基本要素：节点和控制点。
节点是指给定的一组数据点，这些数据点是曲线的特征点，确定了曲线的形状。
控制点是指在每个相邻节点之间的插值点，它们用于确定每个二次多项式的系数，进而确定曲线的形状。
在定义了节点和控制点之后，可以通过以下步骤来计算二次样条曲线的系数：1. 先计算每个数据点之间的差值，得到节点间的步长。
2. 对于每个相邻节点，根据插值条件计算二次多项式的系数。
这可以通过求解一个线性方程组来实现，其中包括节点的值以及在该节点处的导数值。
3. 通过插值条件和平滑性条件，得到额外的线性方程组，用于求解每个控制点处的导数值。
4. 最后，通过求解上述线性方程组，可以确定每个二次多项式的系数，从而得到整个二次样条曲线。
二次样条曲线在计算机图形学和数据拟合中经常使用。
它们能够提供平滑的曲线形状，并且具有较低的计算复杂度。
然而，二次样条曲线的插值精度相对较低，不能完全通过节点来准确表示原始数据点的形状。
与二次样条曲线相比，三次样条曲线提供了更高的插值精度。
它由一组三次多项式组成，每个多项式在相邻数据点之间进行插值。
与二次样条曲线不同，三次样条曲线在每个数据点处不仅满足连续性和光滑性条件，还满足一阶导数的连续性条件。
这使得三次样条曲线能够更准确地拟合数据点的形状。
计算三次样条曲线的系数也需要进行类似的步骤，但相应的线性方程组更复杂。
通过求解这些方程组，可以得到每个三次多项式的系数，从而确定整个三次样条曲线。
总结而言，二次样条曲线和三次样条曲线都是常用的平滑曲线拟合方法。
二次样条曲线适用于需要快速计算和较低插值精度的情况，而三次样条曲线适用于需要更高插值精度和平滑性的情况。
[机械仪表]第3章31三次样条曲线与参数样条曲线
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上课内容3/61一、背景知识1.放样与设计设计放样6/61几种典型的设计方法7/619/61打点：按给定的数据将型值点准确地点在图板上描线：用“压子”使“样条”通过型值点三次样条函数及其力学背景三次样条函数及其力学背景模线绘制的一般过程分段：两个“压子”之间可以认为是一段。
数学本质是每两个“压子”之间曲线的表达式不同模线的形状特征具体地：给出一张函数表选择一个函数φ(x)使得φ(x i)=yi i=0,1…n作为f(x)的近似，这样函数逼近为满足上述关系式的函数φ(x)为f(x)的插值函数12/61对于寻求一个n次的代数多项式插值，必须给出n+1互异的插值基点P n (x)=a+a1x+a2x2+…+anx nPn(xi )=yii=0,1…n压铁(型值点)由于在各小段上M(x)是线性函数，因此可知，在各小段上函数y(x)18/61由样条函数构成的曲线称为样条曲线。
当要求在每个数据点处三阶或更高阶的导数也连续时，就要用高次样条，例如，五次样条有四阶导数连续。
条件:两个端点处的值与一阶导数值,a,a21/61解：设三次插值函数，对y(u)求一阶导数，即，根据端点条件，u=0,y 0,y 0’u=1, y 1,y 1’代入端点条件即二、三次样条曲线（用型值点处的一阶导数表示的三次样条曲线）例题：曲线段方程y(u)=y 0F 0(u)+ y 1F 1(u) + y ’0G 0(u) + y ’1G 1(u)，式中F 0(u)、F 1(u) 、G 0(u)、G 1(u)称为埃尔米特基函数或三次混合函数。
试描述一下上述四个混合函数对曲线形状的影响。
0001231'10'123123a y a a a a y a y a a a y =+++==++=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡'1'01032103210001011110001y y y y a a a a 0011'20'311000001033212211a y a y a y a y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦⎣⎦[]00112323'20'31010101'0'110000010()1133212211()()()()a y a y y u uu u u u u a y a y y y F u F u G u G u y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦22/61function hermit()%画出Hermit基函数close all;u=linspace(0,1,20);F0=2*u.^3-3*u.^2+1;F1=-2*u.^3+3*u.^2;G0=u.*(u-1).^2;G1=u.^2.*(u-1);F0c=6*u.^2-6*u; %F0的一阶导数F1c=-6*u.^2+6*u; %F1的一阶导数G0c=3*u.^2-4*u+1; %G0的一阶导数G1c=3*u.^2-2*u; %G1的一阶导数subplot(121);plot(u,F0,'-r','LineWidth',2);title('埃尔米特基函数');hold all;plot(u,F1,'--r','LineWidth',2);plot(u,G0,'-b','LineWidth',2);plot(u,G1,'--b','LineWidth',2);subplot(122);plot(u,F0c,'-r','LineWidth',2);title('埃尔米特基函数的导数');hold all;plot(u,F1c,'--r','LineWidth',2);plot(u,G0c,'-b','LineWidth',2);plot(u,G1c,'--b','LineWidth',2);23/61 Ferguson曲线Bézier曲线B样条曲线25/61 4. Step3:进行拼接26/61二、三次样条曲线（用型值点处的一阶导数表示的三次样条曲线）5. 结论：m-关系式注意端点条件27/6129/61一个问题z给定一批型值点，如何构造处二阶连续的曲线？三次样条函数的理论基础三次样条函数的理论基础xy x i-1x iaby iy i-1(1)按照m 关系式构造出方程组，称该方程组为三切矢方程（组），计算出各型值点处的切矢量；（2）各型值点之间的曲线段表示为：]u G m h u G m [h u F y u F y x y 1i i 01-i i 1i 01-i )()()()()(+++=30/61i1i ii1-i iC mμ2m m λ=+++三切矢方程的普通表达形式121101C m μ2m m λ=++……1-n 1-n 1-n 21-n C m μ2m m λ=++−n n如何求解：（n -1）个线性方程，内节点的m 1、m 2、…、m n -1未知三次样条函数的理论基础三次样条函数的理论基础31/61用型值点处的二阶导数表示的三次样条曲线这样处理，保证了在Pi-1Pi两点间严格为直线，且在直线和曲线的衔接处不会产生波动等现象，同时包括直线段在内的整条曲线有一个统一的表达式。
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主要内容
1. 插值问题和样条函数 2. 三次样条的理论基础
1. 插值问题和样条函数
1.1 插值问题 1.2 样条函数的工程背景 1.3 三次样条函数的数学定义
1.1 插值问题
• 插值
… 给定一组有序的数据点(xi,yi,zi),i=0,1, ,n，要求构造一条曲线顺序
通过这些数据点，称为对这些数据点进行插值（interpolation），所 构造的曲线称为插值曲线。
bx
2. 三次样条的理论基础
2.1 Hermite 基 函 数 2.2 三切矢方程 2.3 三次样条插值的局限性
• Charles Hermite（1822－1901）
• 法国洛林（Lorraine ）
• 巴黎综合工科技术学院
• 曾任法兰西学院、巴黎高等师 范学校、巴黎大学教授。法兰 西科学院院士。
y1 y2 o x1 x2
(b)
y3 x3 x
图3.1.线4 性线插性值插与值抛和物抛线物插插值
1.1 插值问题
已知 n+1个节点 (xj,yj)(j0,1 , n,其中 x j
互不相同，不妨设 ax0x1 xnb ),
求任一插值点 x*( xj )处的插值 y * .
y*
y1
y0 •
• •
x0 x1 x*
（1）在每一个子区间（xi,xi+1）(i=0,1,…,n-1) 上s(x)是三次多项式； （2） s(x)在区间［a,b］上具有二阶连续导数； （3）s(xi)=yi(i=0,1,…,n), s'(x0)=y'0, s′(xn)=y'n。 我们就称s(x)为三次样条函数。
y
yi-1 yi
a
xi-1 xi
欧拉公式
1 ρ(x)
y 平面曲线的曲率
(1
y
2
)
3 2
y
M(x)
(1
y
2
)
3 2
EJ
y 1 , y M(x) EJ
由于M(x)是线性函数，所以y(x)是三次多项式。
1.3 三次样条函数的数学定义
定义 给定［a,b］的分划：a=x0<x1<…<xn=b, 如果函数s(x)在区 间［a,b］
• 逼近
构造一条曲线使之在某种意义下最为接近给定的数据点，称为对这些 数据点进行逼近（approximation），所构造的曲线称为逼近曲线。
• 拟合
插值和逼近统称为拟合（fitting）。
–线性插值：假设给定函数f(x)在两个不同点x1 和x2的值，用一个线性函数：y=ax+b，近似代 替，称为f(x)的线性插值函数。
–抛物线插值:已知在三个互异点 x1, x2, x3 的函 数值为 y1, y2, y3 ，要求构造一个函数
(x)a2xbxc
使抛物线 (x)在结点 xi(i1,2,3) 处与 f (x) 在 x i 处的值相等
y
y f (x)
y (x)
y1 o x1
y2 x2 x
(a)
y
y f (x)
y (x)
a
1
1
1
1
1
y1
a a
2 3
0
0
1 1
0 2
0
3
y y
'0 '1
a0 1 0 0 0 y0
a
1
a a
2 3
0
－ 3
2
0 3 －2
1 －2
1
0 －1 1
y1 y '0 y '1
y (u )= a 0+ a 1 u+ a 2 u 2+ a 3 u 3
• •
xn
节点可视为由
yg(x)产生,
g表达式复杂,
或无封闭形式,
或未知。
求解插值问题的基本思路
构造一个(相对简单的)函数 y f (x),通过全部节点, 即
f(x j) y j (j 0 ,1 , n )
再用 f (x) 计算插值，即 y* f (x*).
y*
y1
y0 •
• •
x0 x1 x*
两种插值方式的图例
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
n=10
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
分段线性插值
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
三次样条插值
1.2 样 条 函 数 的 工程背景
飞机、船体、汽车外形的放样（设计）
模线绘制的一般过程
y(u)1 u u2
1 0 0 0 y0
u303 2
0 3 2
问题：自变量为u,区间[0,1]上两端点的 y0,y1,y0'y1'，
构造三次曲线满足条件：
y (u )= a 0+ a 1 u+ a 2 u 2+ a 3 u 3
y0'
•y1 '
y1
• y0
y(u)中系数ai的确定
y (u )= a 0+ a 1 u+ a 2 u 2+ a 3 u 3
系数
y(0)y0 a0a10a202a303 a0 y(1)y0 a0a11a212a313 a0a1a2a3 y'(0)y0'a12a203a302 a1 y'(1)y1'a112a213a312 a12a23a3
打点：按给定的数据将型值点准确地点在图板上
描线：用“压子”使“样条”通过型 值点
放样现场
模线的形状特征
分段：两个“压子”之间可以认为是一段。数学本 质是每两个“压子”之间曲线的表达式不同 光滑：不象每两点之间连线那样有明显的棱角。数 学本质是整条曲线具有连续的导函数
模线的力学实质
1 M(x) ρ(x) EJ
y(u)中系数ai的确定
y0 = a0
y1 = a0 + a1 + a2 + a3
y'0 = a1
y'1 = a1 + 2a2 + 3a3
y0 1 0 0 0 a0
y1
1
1
1
1
a
1
y y
'0 '1
0 0
1 1
0 2
0பைடு நூலகம்
3
a a
2 3
y(u)中系数ai的确定
a0 1 0 0 0 1 y0
• 在函数论、高等代数、微分方 程等方面都有重要发现。1858 年利用椭圆函数首先得出五次 方程的解。1873年证明了自然 对数的底e的超越性。在现代数 学各分支中以他姓氏命名的概 念（表示某种对称性）很多， 如“Hermite二次型”、 “Hermte算子”等。
2.1 Hermite 基 函 数
• •
xn
几种常用插值方法
分段线性插值：
收敛性良好 只用两个节点，且线性，简单实用 曲线不光滑
三次样条插值:(*)
曲线2阶光滑，收敛性有保证 实际中应用广泛 误差估计较难
B样条插值：
曲线光滑随B样条的次数增加而增加，收敛性有保证 实际中应用广泛 理论知识比较复杂，编程实现比较繁琐