几何证明选讲知识点总结

相似三角形的判定及有关性质一一备课人：李发

知识点1比例线段的相关概念

比例线段：对于四条线段a b c、d ,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即- -

b d （或a:b=cd ）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.

注意：⑴在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位.

⑵当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式.

⑶比例线段是有顺序的，如果说a是b,c,d的第四比例项，那么应得比例式为：b d

c a

知识点2:比例的性质

基本性质：(1) a: b c: d ad bc；(2) a : c c: b c a b .

反比性质（把比的前项、后项交换）：

a c

b d

b d a c

b a d c

a c a

b cd 合比性质：•.发生同样和差变化比例仍成立.如： a

c a c等等.

b d b d a b

c d

a b c d

o p p m八，，小、a c e m a

等比性质：如果一(b d f n 0)，那么

b d f n b d f n b

注意：实际上，由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如ad be,除

了可化为a:b c:d，还可化为a:c b:d , c: d a : b , b:d a : c , b:a d:c, c:a d:b, d : c b: a , d:b c:a.

知识点3:比例线段的有关定理

平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等•推论1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边•（三角形中位线定理的逆定理）

推论2 :经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰•（梯形中位线定理的逆定理）

平行线等分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.

推论：（1）平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例.

（2）平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.

定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第三边.

知识点：4 :黄金分割

把线段AB分成两条线段AC,BC（AC BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线

段AB的黄金分割点，其中AC AB 0.618AB .

2

知识点5:相似图形

1、相似图形的定义：把形状相同的图形叫做相似图形（即对应角相等、对应边的比也相等的图形）

相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比值叫

做相似比（或相似系数）

（1 ）相似三角形是相似多边形中的一种;

2、相似三角形的判定方法

预备定理：平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.

定理的基本图形语言：

数学符号语言表述是：DE // BC ••• ADE s ABC .

判定定理1：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似•简述为：两角对应相等，两三角形相似•

判定定理2:如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似•简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似

判定定理3 :如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似•简述为：三边对应成比例，两个三角形相似•

判定定理4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似.

从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法•

3、相似三角形的性质定理：

(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；

(2)相似三角形的周长比等于相似比；

(3)相似三角形的面积比等于相似比的平方；

(4)相似三角形内切圆与外接圆的直径比、周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方

4、相似三角形的等价关系

(1)反身性：对于任一ABC有ABC s ABC .

⑵对称性：若ABC s A'B'C'，则A'B'C's ABC .

⑶ 传递性：若 ABC s A'B'C ，且 A'B'C s ABC ，贝V ABC s ABC •

5、 相似直角三角形

引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的线段成比例，那么这两条直线平行于三角形的 第三边•（与三角形的中位线定理类似）

定理：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么这两个直角三角形相似 定理 定理 6、 直角三角形的射影定理

从一定向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影；一条线段在直线上的正射影，是指线段 的两个端点在这条直线上的正射影间的线段

•

点和线段的正射影简称为射影

直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在 斜边上的射影与斜边的比例中项 •

推论：直角三角形中其中一条直角边是该直角边在斜边上的射影与斜边的比例中项

B

经过归纳和总结，相似三角形有以下几种基本类型

如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似 如果两个直角三角形的斜边和一直边对应成比例，那么这两个直角三角形相似