春季高考数学数列历年真题
江苏春季高考数学真题试卷
江苏春季高考数学真题试卷2019年江苏春季高考数学真题试卷一、选择题1. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n=\frac{n}{2}(3a_1+(n-1)d)$，若$S_5=30$，$a_5=4$，则$a_1=$（）A. 2B. 3C. 4D. 52. 设二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图象经过点$A(1,1)$，$B(2,5)$，则$f(x)$的最小值为（）A. 2B. 4C. 6D. 83. 函数$f(x)=\log_2(x^2+px+q)$的值域为$R$，则$q$的取值范围为（）A. $q\geq 0$B. $q>0$C. $q<0$D. $q\neq 0$4. 设$a,b$为正数，$a-b=1$，则$\frac{2}{a}+\frac{2}{b}$的最小值是（）A. 4B. 3C. 2D. 15. 在直角坐标系中，$A(-1,1)$，$B(4,4)$，$C(16,1)$，则$\triangle ABC$的内角$A$的平分线方程是（）A. $y=x+1$B. $y=2x-1$C. $y=x-1$D. $y=2x+1$6. 若$z=a+bi$是复数，且$|z-1-2i|=5$，则$a^2+b^2=$（）A. 16B. 25C. 36D. 497. 已知集合$A=\{x\in R|2\leq x\leq 6\}$，$B=\{x\in R|3\leq x\leq 5\}$，则集合$A\cap B=$（）A. $\{3,4,5,6\}$B. $\{3,4,5\}$C. $\{2,3,4,5\}$D. $\{4,5\}$8. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n=3n^2+5n$，若$a_2=1$，则$a_{10}=$（）A. 20B. 30C. 40D. 509. 若函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图象经过点$(-1,1)$，$(1,-1)$和$(2,4)$，则$f(x)=0$的根为（）A. $x=-2$或$x=1$B. $x=-1$或$x=2$C. $x=1$或$x=2$D.$x=1$或$x=-4$10. 设函数$f(x)=\frac{1}{x^2}+ax+b$，且$f(1)=1$，$f(2)=\frac{5}{4}$，则$a+b=$（）A. $\frac{1}{2}$B. $\frac{7}{6}$C. $\frac{9}{8}$D.$\frac{5}{4}$二、填空题11. 函数$f(x)=3^x$的定义域是\_\_\_\_\_\_\_。
(word完整版)09数列(中职数学春季高考练习题)
学校______________班级______________专业______________考试号______________姓名______________数学试题 数列． 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分100分，考试时间90分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． ． 本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，最后结果精确到0.01．第Ⅰ卷（选择题，共60分）30小题，每小题2分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项 ． 数列1111--，，，，……的一个通项公式是 A ．1n a =±B ．()1nn a =-C ．()11n n a +=-D ．1nn a =-． 已知数列{}n a 的通项公式为()1n a n n =-，则72是这个数列的 A ．第7项B ．第8项C ．第9项D ．第10项． 数列()1111111242n n +---，，，……，，……的第5项是 A ．110B ．116C ．116-D ．132． 以下四个数中，是数列()1223341n n ⨯⨯⨯+L L ，，，，，中的一项的是 A ．17B ．18C ．19D ．20． 在数列{}n a 中，111112n n a a a +=-=+，，则23a a +等于A ．34B ．43C ．47D ．74． 已知数列{}n a 满足1121n n a a a +=-=，，则通项公式为 A ．21n a n =+B ．21n a n =-C ．23n a n =-+D ．23n a n =+． 在2和16之间插入3个数a b c ，，，使216a b c ，，，，成等差数列，则b 的值为 A ．7B ．8C ．9D ．108． 在等差数列258---，，，……中，已知32n a =-，则n 的值为A ．8B ．9C ．10D ．119． 在等差数列中，若28510a a ==，，则14a 的值为A ．15B ．16C ．17D ．1810． 等差数列{}n a 中，3815a a +=，那么29a a +=A ．20B ．15C ．10D ．511． 在等差数列{}n a 中，34567450a a a a a ++++=，那么28a a +等于A ．45B ．75C ．180D ．30012． 已知等差数列的前三项为1223a a a -++，，，则此数列的通项公式为A ．35n -B ．32n -C ．31n -D ．31n +13． 若a b c ，，成等差数列，公差不为零，则二次函数()22f x ax bx c =++的图象与x 轴的交点个数为A ．0B ．1C ．2D ．不确定14． 数列{}n a 为等比数列的充要条件是A ．1n na a +=常数 B ．1n n a a +-=常数C ．1nn a a -=常数 D ．1n n a a +⨯=常数15． 已知数列{}n a 为等比数列，下列等式中成立的是A ．2824a a a =B ．2423a a a =C ．2417a a a =D ．2214a a a =16． 下列数列中，既是等差数列又是等比数列的是 A ．0000，，，，…… B ．1111--，，，，……C ．111124816，，，，……D ．1111，，，，……学校______________班级______________专业______________考试号______________姓名______________． 已知等比数列128643216，，，，……，则116是它的 A ．第10项B ．第11项C ．第12项D ．第14项． 若数列{}n a 为等比数列，358a a ⨯=，则17a a ⨯等于 A ．8B ．10C ．15D ．25． “2b ac =”是“b 为a c ，的等比中项”的 A ．充要条件B ．充分条件C ．必要条件D ．不充分不必要条件． 等比数列{}n a 中，45032n a a a >=，，则212228log log log a a a +++=…A ．10B ．20C ．36D ．128． 已知等比数列{}n a 中，2435460225n a a a a a a a >++=，，那么35a a +的值等于A ．5B ．10C ．15D ．20． 等比数列{}n a 中，已知12323463a a a a a a ++=++=-，，则345678a a a a a a +++++=A ．2116B ．1916C ．98D ．34． 在等比数列{}n a 中，2462256a a a ==，，则8a 的值为 A ．128B ．256C ．64D ．32． 已知数列3333--，，，，…，，则该数列是 A ．等差数列 B ．等比数列C ．既是等差数列又是等比数列D ．既非等差数列又非等比数列． 设a R ∈，且0a ≠，则23na a a a ++++…的值为A ．()11n a a a-- B ．()111n a a a+-- C ．()11n a a a--或nD ．()111n a a a+--或n26． 在等差数列{}n a 中，已知前15项之和为1590S =，则8a 的值为A ．3B ．4C ．6D ．1227． 已知等比数列{}n a 中，3516a a ⨯=，则147a a a ⨯⨯等于A ．128B ．128±C ．64D ．64±28． 已知数列{}n a 的首项为1，其他各项由公式111n n a a -=+给出，则这个数列的第4项为A ．2B ．32C ．53 D ．13±29． 某种电子产品自投放市场以来，经过三次降价，单价由375元降到192元，若每次降价的百分率相同，则这种产品每次降价的百分率是A ．18％B ．20％C ．19％D ．17％30． 两个数的等比中项为8，等差中项为10，则这两个数为A ．8，8B ．4，16C ．2，18D ．6，14第Ⅱ卷（非选择题，共40分）二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）31． 在等比数列{}n a 中，若1324510a a a a +=+=，，则该数列前四项依次为__________________．32． 公差不为零的等差数列{}n a 中，1a 与2a 是方程2340x a x a -+=的两个根，则n a =_______________________．33． 等比数列{}n a 中，已知1232342856a a a a a a ++=++=，，则此数列的通项公式是_______________________．34． 设12x x ，是方程2650x x ++=的两根，则12x x ，的等比中项是______________．学校______________班级______________专业______________考试号______________姓名______________4小题，共28分） ． 在等比数列{}n a 中，已知333922a S ==，，求公比q ． ． 一个等比数列{}n a ，前三项的和为7，积为8，求这个数列的公比． 37． 已知数列{}n a 的前n 项和为22n S n n =--，求数列{}n a 的通项公式n a ．38． 成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上1，3，9后又成等比数列，求这三个数．。
2022年山东省春季高考招生考试数学卷试题
山东省2022年普通高校招生（春季）考试数学试题1. 本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分，满分120分，考试时间120分钟.考生请在答题卡上答题，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2. 本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，除题目有具体要求外，最后结果精确到0.01.卷一（选择题 共60分）一、选择题：本大题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1. 已知集合{}1,2M =，{}2,3,N x =，若M N ⊆，则实数x 的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 42. 已知a b >，则下列不等式成立的是（ ）A. 0a b +>B. 0ab >C. a b >D.33a b +>+3. 已知向量a 与向量b 的方向相反，4a =，3b =，则a b ⋅等于（ ） A. －6B. 6C. －12D. 124. 在等差数列{}n a 中，已知12a =，2310a a +=，则该数列的公差是（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4 5. 已知函数()()25sin f x a x x =-+是奇函数，则实数a 的值是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 66. 如图所示，上下两个正四棱柱的底面边长之比是1:2，则该组合体三视图中的俯视图是（ ）A. B. C. D.7. 已知直线过点()0,2，且倾斜角为135︒，则该直线的方程是（ ） A. 20x y --=B. 20x y -+=C. 20x y ++=D.20x y +-=8. 已知p 是假命题，q 是真命题，则下列命题为真命题的是（ ） A. q ⌝B. p q ⌝∧C. ()p q ⌝∨D. p q ∧9. 如图所示，在ABC △中，D 是BC 的中点，设AB a =，AD b =，则AC 等于（ ）A. 2a b -B. 2a b +C. 2a b -+D. 2a b -- 10. 圆224630x y x y +-+-=的圆心坐标是（ ） A. ()2,3B. ()2,3-C. ()2,3-D. ()2,3--11. 已知()tan 3πα-=，且α是第二象限角，则sin α等于（ ） A.10 B. 10 C.310D. 31012. 在()62x -的二项展开式中，二项式系数最大的项是（ ） A. 3160xB. 3160x -C. 460xD. 460x -13. 如图所示的圆柱形容器，其底面半径为1m ，高为3m （不计厚度），设容器内液面高度为()m x ，液体的体积为()3m V ，把V 表示为x 的函数，则该函数的图像大致是（ ）A. B. C. D.14. 某职业学校计划举行合唱、舞蹈、书画三项活动，若甲、乙两名同学每人从这三项活动中任选一项，则恰好都选择舞蹈的概率是（ ） A.16B.19C.29D.1315. 已知函数()2f x x bx =+图像的对称轴为1x =.则不等式()0f x <的解集是（ ） A. ()2,0- B. ()(),20,-∞-+∞C. ()0,2D. ()(),02,-∞+∞16. 已知点()cos ,sin A αα，()cos ,sin B ββ，若3πβα-=，则AB 等于（ ）A. 1B.2C.3 D. 217. 对于a Z ∈，01b ≤<，给出运算法则：[]2a b a +=-，则[]1.414-的值等于（ ） A. 1B. 0C. －3D. －418. 下列约束条件中，可以表示如图所示区域（阴影部分）的是（ ）A. 2020y x y -≥⎧⎨-+<⎩B. 2020y x y -≤⎧⎨-+<⎩C. 2020y x y -≥⎧⎨-+>⎩D.2020y x y -≤⎧⎨-+>⎩19. 有三张卡片，第一张卡片的正反两面分别写有数字1，3，第二张卡片的正反两面分别写有数字2，4，第三张卡片的正反两面分别写有数字5，7，现从这三张卡片中任取两张并排放在桌面上，两张卡片朝上一面的数字组合成一个两位数，则所有不同两位数的个数是（ ） A. 8 B. 12 C. 18 D. 2420. 已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左右焦点分别是1F ，2F ，O 是坐标原点，过点2F 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为P ，若13PF OP =，则双曲线的离心率是（ ） A.6B.5 C.3 D.2卷二（非选择题 共60分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.21. 抛物线22x y =的焦点坐标是_________.22. 若底面边长为4的正四棱锥与棱长为2的正方体体积相等，则四棱锥的高等于_________. 23. 在ABC △中，已知6AC =30A ∠=︒，45B ∠=︒，则BC =_________.24. 某企业操作岗位、技术岗位和管理岗位的人数分别是700，210，140，为了解该企业不同岗位员工的健康状况，采用分层抽样的方法，从这三个岗位的所有员工中随机抽取300人进行体检，则抽取操作岗位的人数是_________.25. 已知0a >且1a ≠，若函数()()()[)15,,2,2,x a x x f x a x -+∈-∞⎧⎪=⎨∈+∞⎪⎩在(),-∞+∞上具有单调性，则实数a 的取值范围是_________.三、解答题：本大题共5小题，共40分. 26.（7分）已知函数()kf x x=，且()21f =. （1）求实数k 的值；（2）证明函数()f x 在()0,+∞上是减函数.27.（8分）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是棱1B B 上的点，求证：（1）AC ∥平面11A PC ； （2）1AC D P ⊥.28.（8分）如图所示，已知等边ABC △的边长为6，顺次连接ABC △各边的中点，构成111A B C △，再顺次连接111A B C △各边的中点，构成222A B C △，依此进行下去，直至构成n n n A B C △，这n 个新构成的三角形的边长依次记作1a ，2a ，…，n a .（1）求1a ，2a ，3a 的值；（2）若n n n A B C △的边长小于0.01，求n 的最小值.29.（8分）已知函数2()23cos 2cos f x x x x m =-+的图像过点()0,1-.（1）求函数()f x 的最大值； （2）若0,2a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()1f a =，求a 的值. 30.（9分）如图所示，已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的右顶点是A ，左右焦点分别是1F ，2F ，且121AF =，221AF =.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线l ：20x y m -+=交椭圆于点M ，N ，以线段2F M ，2F N 为邻边作平行四边形2F MPN ，若点P 在椭圆上，求实数m 的值.。
春季高考数学数列历年真题
春季⾼考数学数列历年真题v1.0 可编辑可修改⼀、单项选择题1、（2003）已知数列{an }是等差数列，如果a1=2，a4=-6则前4项的和S4是（）A -8B -12C -2D 42、（2004年）在?ABC中，若∠A、∠B、∠C成等差数列，且BC=2，BA=1，则AC 等于（）A332B 1C 3D 73、（2004）在洗⾐机的洗⾐桶内⽤清⽔洗⾐服，如果每次能洗去污垢的32，则要使存留在⾐服上的污垢不超过最初⾐服上的2℅，该洗⾐机⾄少要清洗的次数是（）A 2 B 3 C 4 D 5 4、（2005年）在等差数列{an }中，若a1+a12=10，则a2+a3+ a10A 10B 20C 30D 405、（2005年）在等⽐数列{an }中，a2=2,a5=54,则公⽐q=（）A 2B 3C 9D 276、（2006年）若数列的前n项和Sn =3n n-2,则这个数列的第⼆项a2等于（）A 4B 6C 8D 107、（2007）为了治理沙漠，某农场要在沙漠上栽种植被，计划第⼀年栽种15公顷，以后每⼀年⽐上⼀年多栽种4公顷，那么10年后该农场栽种植被的公顷数是（）A 510B 330C 186D 518、（2007年）如果a,b,c成等⽐数列，那么函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的交点个数是（）A 09、（2007年）⼩王同学利⽤在职业学校学习的知识，设计了⼀个⽤计算机进⾏数字变换的游戏，只要游戏者输⼊任意三个数a1，a2，a3，计算机就会按照规则：a1+2a2- a3，a2+ 3a3,5a3进⾏处理并输出相应的三个数，若游戏者输⼊三个数后，计算机输出了29,50,55三个数，则输⼊的三个数依次是（）A 6,10,11B 6,17,11C 10,17,11D 6,24,1110、（2008年）在等差数列{an}中，若a2+a5=19，则a=20，则该数列的前9项和是（）A 26B 100C 126D 15511、（2009年）在等差数列{an}中，若a1+a8=15，则S8等于（）A 40B 60C 80D 24012、（2009年）甲、⼄两国家2008年的国内⽣产总值分别为a（亿元）和4a(亿元)，甲国家计划2028年的国内⽣产总值超过⼄国，假设⼄国的年平均增长率为，那么甲v1.0 可编辑可修改国的年平均增长率最少应为（）A ℅B ℅C ℅D ℅13、（2009年）如果三个实数a,b,c成等⽐数列，那么函数y=ax2+bx+c与y=ax+b在同⼀坐标系中的图像可能是（）14、（2010年）已知2，m，8构成等差数列，则实数m的值是（）A 4B 4或-4C 10D 515、（2010年）已知数列的前n项和Sn =n n+2,则第⼆项a2的值是（）A 2B 4C 6D 816、（2011年）如果三个正数a,b,c成等⽐数列，那么lga,lgb,lgc（）A.成等差数列但不成等⽐数列B.成等⽐数列但不成等差数列C.成等差数列且成等⽐数列D.既不成等差数列也不成等⽐数列17、（2011年）已知等差数列{a n}，a3=5,a7=13，则该数列前10项的和为（）。
2023年广东省春季高考数学试卷及答案
2023年广东省春季高考数学试卷及答案一、选择题（共20题，每题4分，共80分）1.以下哪个函数是一个一次函数？A. y = x^2 + 3x + 1B. y = sin(x)C. y = 2x - 3D. y = log(x)答案：C2.若两个圆的半径分别为3cm和5cm，则它们的半径之比是多少？A. 2:1B. 1:2C. 3:5D. 5:3答案：D3.若x的平方与y的平方之和等于9，则以下哪个点满足这个条件？A. (2, 3)B. (-2, -3)C. (3, -2)D. (-3, 2)答案：A…二、填空题（共10题，每题6分，共60分）1.在平面直角坐标系中，直线y = 2x - 1与y轴的交点坐标为（__，__）。
答案：(0, -1)2.已知正方体体积为64cm³，则其边长为__cm。
答案：43.设函数f(x) = ex + 2，则f(-2)的值为__。
答案：1…三、解答题（共4题，每题20分，共80分）1.已知以下等差数列的前n项和为Sn = 3n² + 5n，求该数列的通项公式。
答案：设该等差数列的首项为a，公差为d。
根据等差数列前n项和的公式，有Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)。
根据题意，Sn= 3n² + 5n，代入得3n² + 5n = (n/2)(2a + (n-1)d)。
整理得3n + (5/2)n = an + (n² - n)d。
由于等差数列的前n项和与n有关，而通项公式的系数与n无关，所以可以得到两个方程：3 = a + d 和 (5/2) = ad。
解这个方程组，得到a = 2，d = 1。
因此，该等差数列的通项公式为an = 2 + (n - 1)。
2.设函数f(x) = x³ - 3x² + 2x + 5，求f’(x)和f’’(x)。
答案：f’(x) = 3x² - 6x + 2，f’’(x) = 6x - 6。
春考数学试题及答案
春考数学试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数f(x)=x^2-4x+3，求f(2)的值。
A. 1B. 3C. 5D. 7答案：B2. 已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=3，求a5的值。
A. 17B. 14C. 11D. 8答案：A3. 若直线l的方程为y=2x+1，求该直线与x轴的交点坐标。
A. (-1/2, 0)B. (1/2, 0)C. (0, 1)D. (0, -1)答案：B4. 已知圆C的方程为(x-2)^2+(y+1)^2=9，求圆心C到直线l：x+y=0的距离。
A. √2B. √5C. 2√2D. 3√2答案：C5. 若复数z=1+i，求|z|的值。
A. √2B. 2C. √5D. 1答案：A6. 已知向量a=(3, -2)，b=(2, 4)，求向量a与向量b的数量积。
A. 2B. -2C. 10D. -10答案：D7. 若函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f'(x)的值。
A. 3x^2-6xB. x^2-6x+2C. 3x^2-6x+2D. x^3-3x^2+2答案：C8. 已知双曲线C的方程为x^2/4-y^2=1，求双曲线的焦点坐标。
A. (±√5, 0)B. (±2, 0)C. (0, ±√5)D. (0, ±2)答案：A9. 若抛物线C的方程为y^2=4x，求抛物线C的准线方程。
A. x=-1B. x=1C. y=-1D. y=1答案：A10. 已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，求f(0)的值。
A. 3B. 1C. 2D. 0答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知等比数列{bn}的首项b1=8，公比q=1/2，求b4的值。
答案：212. 若函数f(x)=x^2-6x+8，求该函数的最小值。
答案：213. 已知椭圆C的方程为x^2/16+y^2/9=1，求椭圆的离心率。
答案：√7/814. 若直线l的方程为3x-4y+5=0，求该直线的斜率。
2021年高考数学试卷(上海)(春考)(解析卷)
2021年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．已知等差数列{}n a 的首项为3，公差为2，则10a = 21 ．【思路分析】由已知结合等差数列的通项公式即可直接求解．【解析】：因为等差数列{}n a 的首项为3，公差为2，则101939221a a d =+=+´=．故答案为：21．2．已知13z i =- ．【解析】：z =Q 31i i -=则|||12|z i i -=+=．【归纳总结】本题考查复数的加减运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．3．已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为 4p ．【思路分析】根据圆柱的侧面积公式计算即可．【解析】：圆柱的底面半径为1r =，高为2h =，所以圆柱的侧面积为22124S rh p p p ==´´=侧．故答案为：4p ．【归纳总结】本题考查了圆柱的侧面积公式应用问题，是基础题．4．不等式2512x x +<-的解集为 (7,2)- ．【思路分析】由已知进行转化702x x +<-，进行可求．【解析】：252571100222x x x x xx +++<Þ-<Þ<---，解得，72x -<<．故答案为：(7,2)-．【归纳总结】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题．5．直线2x=-10y -+=的夹角为 6p ．【思路分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角．【解析】：Q 直线2x =-的斜率不存在，倾斜角为2p，10y -+=，倾斜角为3p，故直线2x =-10y -+=的夹角为236ppp-=故答案为：6p．【归纳总结】本题主要考查直线的斜率和倾斜角，两条直线的夹角，属于基础题．6．若方程组111222a x b y c a x b y c +=ìí+=î无解，则1122a b a b = 0 ．【思路分析】利用二元一次方程组的解的行列式表示进行分析即可得到答案．【解析】：对于方程组111222a xb yc a x b y c +=ìí+=î，有111111222222,,x y a b c b a c D D D a b c b a c ===，当0D ¹时，方程组的解为x y D x DD y Dì=ïïíï=ïî，根据题意，方程组111222a x b y c a x b y c +=ìí+=î无解，所以0D =，即11220a b D a b ==，故答案为：0．【归纳总结】本题考查的是二元一次方程组的解行列式表示法，这种方法可以使得方程组的解与对应系数之间的关系表示的更为清晰，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解行列式表示法中对应的公式．7．已知(1)n x +的展开式中，唯有3x 的系数最大，则(1)n x +的系数和为 64 ．【思路分析】由已知可得6n =，令1x =，即可求得系数和．【解析】：由题意，32nn C C >，且34n n C C >，所以6n =，所以令1x =，6(1)x +的系数和为6264=．故答案为：64．【归纳总结】本题主要考查二项式定理．考查二项式系数的性质，属于基础题．8．已知函数()3(0)31x x af x a =+>+的最小值为5，则a = 9 ．【思路分析】利用基本不等式求最值需要满足“一正、二定、三相等”，该题只需将函数解析式变形成()31131x x af x =++-+，然后利用基本不等式求解即可，注意等号成立的条件．【解析】：()3311153131x xx x a a f x =+=++--=++…，所以9a =，经检验，32x =时等号成立．故答案为：9．【归纳总结】本题主要考查了基本不等式的应用，以及整体的思想，解题的关键是构造积为定值，属于基础题．9．在无穷等比数列{}n a 中，1lim()4n n a a ®¥-=，则2a 的取值范围是 (4-，0)(0È，4) ．【思路分析】由无穷等比数列的概念可得公比q 的取值范围，再由极限的运算知14a =，从而得解．【解析】：Q 无穷等比数列{}n a ，\公比(1q Î-，0)(0È，1)，\lim 0n n a ®¥=，\11lim()4n n a a a ®¥-==，214(4a a q q \==Î-，0)(0È，4)．故答案为：(4-，0)(0È，4)．【归纳总结】本题考查无穷等比数列的概念与性质，极限的运算，考查学生的运算求解能力，属于基础题．10．某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如表所示，问有几种运动方式组合 23种 .A 运动B 运动C 运动D 运动E 运动7点8-点8点9-点9点10-点10点11-点11点12-点30分钟20分钟40分钟30分钟30分钟【思路分析】由题意知至少要选2种运动，并且选2种运动的情况中，AB 、DB 、EB 的组合不符合题意，由此求出结果．【解析】：由题意知，至少要选2种运动，并且选2种运动的情况中，AB 、DB 、EB 的组合不符合题意；所以满足条件的运动组合方式为：234555553101051323C C C C +++-=+++-=（种)．故答案为：23种．【归纳总结】本题考查了组合数公式的应用问题，也考查了统筹问题的思想应用问题，是基础题．11．已知椭圆2221(01)y x b b+=<<的左、右焦点为1F 、2F ，以O 为顶点，2F 为焦点作抛物线交椭圆于P ，且1245PF F Ð=°，则抛物线的准线方程是 1x =【思路分析】先设出椭圆的左右焦点坐标，进而可得抛物线的方程，设出直线1PF 的方程并与抛物线联立，求出点P 的坐标，由此可得212PF F F ^，进而可以求出1PF ，2PF 的长度，再由椭圆的定义即可求解．【解析】：设1(,0)F c -，2(,0)F c ，则抛物线24y cx =，直线1:PF y x c =+，联立方程组24y cxy x c ì=í=+î，解得x c =，2y c =，所以点P 的坐标为(,2)c c ，所以2PF F F ^，又22112,PF F F c PF ===所以所以PF =，所以12(222PF PF c a +=+==，则1c =-，1x c =-=故答案为：1x =-．【归纳总结】本题考查了抛物线的定义以及椭圆的定义和性质，考查了学生的运算推理能力，属于中档题．12．已知0q >，存在实数j ，使得对任意*n N Î，cos()n q j +<q 的最小值是 25p ．【思路分析】在单位圆中分析可得3pq >，由2*N pqÎ，即2kpq =，*k N Î，即可求得q 的最小值．【解析】：在单位圆中分析，由题意可得n q j +的终边要落在图中阴影部分区域（其中)6AOx BOx pÐ=Ð=，所以3AOB pq >Ð=，因为对任意*n N Î都成立，所以2*N p q Î，即2kp q =，*k N Î，同时3pq >，所以q 的最小值为25p ．故答案为：25p ．【归纳总结】本题主要考查三角函数的最值，考查数形结合思想，属于中档题．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)13．下列函数中，在定义域内存在反函数的是( )A ．2()f x x =B ．()sin f x x=C ．()2xf x =D ．()1f x =【思路分析】根据函数的定义以及映射的定义即可判断选项是否正确．【解析】：选项A ：因为函数是二次函数，属于二对一的映射，根据函数的定义可得函数不存在反函数，A 错误，选项B ：因为函数是三角函数，有周期性和对称性，属于多对一的映射，根据函数的定义可得函数不存在反函数，B 错误，选项C ：因为函数的单调递增的指数函数，属于一一映射，所以函数存在反函数，C 正确，选项D ：因为函数是常数函数，属于多对一的映射，所以函数不存在反函数，D 错误，故选：C ．【归纳总结】本题考查了函数的定义以及映射的定义，考查了学生对函数以及映射概念的理解，属于基础题．14．已知集合{|1A x x =>-，}x R Î，2{|20B x x x =--…，}x R Î，则下列关系中，正确的是( )A ．A BÍB ．R R A BÍððC ．A B =ÆI D ．A B R=U 【思路分析】根据集合的基本运算对每一选项判断即可．【解析】：已知集合{|1A x x =>-，}x R Î，2{|20B x x x =--…，}x R Î，解得{|2B x x =…或1x -…，}x R Î，{|1R A x x =-…ð，}x R Î，{|12}R B x x =-<<ð；则A B R =U ，{|2}A B x x =I …，故选：D ．【归纳总结】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．15．已知函数()y f x =的定义域为R ，下列是()f x 无最大值的充分条件是( )A ．()f x 为偶函数且关于点(1,1)对称B ．()f x 为偶函数且关于直线1x =对称C ．()f x 为奇函数且关于点(1,1)对称D ．()f x 为奇函数且关于直线1x =对称【思路分析】根据题意，依次判断选项：对于ABD ，举出反例可得三个选项错误，对于C ，利用反证法可得其正确．【解析】：根据题意，依次判断选项：对于A ，()cos 12xf x p =+，()f x 为偶函数，且关于点(1,1)对称，存在最大值，A 错误，对于B ，()cos()f x x p =，()f x 为偶函数且关于直线1x =对称，存在最大值，B 错误，对于C ，假设()f x 有最大值，设其最大值为M ，其最高点的坐标为(,)a M ，()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，则()f x 的图象存在最低点(,)a M --，又由()f x 的图象关于点(1,1)对称，则(,)a M --关于点(1,1)对称的点为(2,2)a M ++，与最大值为M 相矛盾，则此时()f x 无最大值，C 正确，对于D ，()sin 2xf x p =，()f x 为奇函数且关于直线1x =对称，D 错误，故选：C ．【归纳总结】本题考查了充分条件和反证法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16．在ABC D 中，D 为BC 中点，E 为AD 中点，则以下结论：①存在ABC D ，使得0AB CE ×=uuu r uuu r；②存在三角形ABC D ，使得//()CE CB CA +uuu r uuu r uuu r ；它们的成立情况是( )A ．①成立，②成立B ．①成立，②不成立C ．①不成立，②成立D ．①不成立，②不成立【思路分析】设(2,2)A x y ，(1,0)B -，(1,0)C ，(0,0)D ，(,)E x y ，由向量数量的坐标运算即可判断①；F 为AB 中点，可得()2CB CA CF +=uuu r uuu r uuu r，由D 为BC 中点，可得CF 与AD 的交点即为重心G ，从而可判断②【解析】：不妨设(2,2)A x y ，(1,0)B -，(1,0)C ，(0,0)D ，(,)E x y ，①(12,2)AB x y =---uuu r ，(1,)CE x y =-uuu r，若0AB CE ×=uuu r uuu r，则2(12)(0x x y -+-=，即2(12)(1)2x x y -+-=，满足条件的(,)x y 存在，例如，满足上式，所以①成立；②F 为AB 中点，()2CB CA CF +=uuu r uuu r ，CF 与AD 的交点即为重心G ，因为G 为AD 的三等分点，E 为AD 中点，所以CE uuu r 与CG uuu r不共线，即②不成立．故选：B ．【归纳总结】本题主要考查平面向量数量积的运算，共线向量的判断，属于中档题．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）四棱锥P ABCD -，底面为正方形ABCD ，边长为4，E 为AB 中点，PE ^平面ABCD ．（1）若PAB D 为等边三角形，求四棱锥P ABCD -的体积；（2）若CD 的中点为F ，PF 与平面ABCD 所成角为45°，求PC 与AD 所成角的大小．【思路分析】（1）由13ABCD V PE S =×正方形，代入相应数据，进行运算，即可；（2）由PE ^平面ABCD ，知45PFE Ð=°，进而有4PE FE ==，PB =//AD BC ，知PCB Ð或其补角即为所求，可证BC ^平面PAB ，从而有BC PB ^，最后在Rt PBC D 中，由tan PBPCB BCÐ=，得解．1）PAB D Q 为等边三角形，且E 为AB 中点，4AB =，PE \=，又PE ^平面ABCD ，\四棱锥P ABCD -的体积211433ABCD V PE S =×=´=正方形．（2）PE ^Q 平面ABCD ，PFE \Ð为PF 与平面ABCD 所成角为45°，即45PFE Ð=°，PEF \D 为等腰直角三角形，E Q ，F 分别为AB ，CD 的中点，PE \PB \==//AD BC Q ，PCB \Ð或其补角即为PC 与AD 所成角，PE ^Q 平面ABCD ，PE BC \^，又BC AB ^，PE AB E =I ，PE 、AB Ì平面PAB ，BC \^平面PAB ，BC PB \^在Rt PBC D 中，tan PB PCB BC Ð==故PC 与AD 所成角的大小为．【归纳总结】本题考查棱锥的体积、线面角和异面直线夹角的求法，理解线面角的定义，以及利用平移法找到异面直线所成角是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．18．（14分）已知A 、B 、C 为ABC D 的三个内角，a 、b 、c 是其三条边，2a =，1cos 4C =-．（1）若sin 2sin A B =，求b 、c ；（2）若4cos(45A p -=，求c ．【思路分析】（1）由已知利用正弦定理即可求解b 的值；利用余弦定理即可求解c 的值．（2）根据已知利用两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式可求得cos A ，sin A ，sin C 的值，进而根据正弦定理可得c 的值．【解析】：（1）因为sin 2sin A B =，可得2a b =，又2a =，可得1b =，由于1cos 4C ==-，可得c =（2）因为4)5A =，可得cos A +又22cos sin A +，可解得cos A =，sin A =sin A =cos A =因为cos sin C ，tan C =，若sin A =cos A =，可得tan 7A =，可得tan tan tan tan()0tan tan 1A C B A C A C +=-+==<-，可得B C 为钝角矛盾，舍去，所以sin A =2sin sin c A C=，可得c =．【归纳总结】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．（14分）（1）团队在O 点西侧、东侧20千米处设有A 、B 两站点，测量距离发现一点P 满足||||20PA PB -=千米，可知P 在A 、B 为焦点的双曲线上，以O 点为原点，东侧为x 轴正半轴，北侧为y 轴正半轴，建立平面直角坐标系，P 在北偏东60°处，求双曲线标准方程和P 点坐标．（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有C 、D 两站点，测量距离发现||||30QA QB -=千米，||||10QC QD -=千米，求||OQ （精确到1米）和Q 点位置（精确到1米，1)°【思路分析】（1）求出a ，c ，b 的值即可求得双曲线方程，求出直线OP 的方程，与双曲线方程联立，即可求得P 点坐标；（2）分别求出以A 、B 为焦点，以C ，D 为焦点的双曲线方程，联立即可求得点Q 的坐标，从而求得||OQ ，及Q 点位置．【解析】：（1）由题意可得10a =，20c =，所以2300b =，所以双曲线的标准方程为221100300x y -=，直线:OP y =，联立双曲线方程，可得x =，y =，即点P 的坐标为．（2）①||||30QA QB -=，则15a =，20c =，所以2175b =，双曲线方程为221225175x y -=；②||||10QC QD -=，则5a =，15c =，所以2200b =，所以双曲线方程为225y -两双曲线方程联立，得，所以||19OQ »米，Q 点位置北偏东66°．20．（16分）已知函数()f x x =-．（1）若1a =，求函数的定义域；（2）若0a ¹，若()f ax a =有2个不同实数根，求a 的取值范围；（3）是否存在实数a ，使得函数()f x 在定义域内具有单调性？若存在，求出a 的取值范围．【思路分析】（1）把1a =代入函数解析式，由根式内部的代数式大于等于0求解绝对值的不等式得答案；（2）()f ax a ax a =Û=+，设0ax a t +=…，得2a t t =-，0t …，求得等式右边关于t 的函数的值域可得a 的取值范围；（3）分x a -…与x a <-两类变形，结合复合函数的单调性可得使得函数()f x 在定义域内具有单调性的a 的范围．【解析】：（1）当1a =时，()f x x =-，由|1|10x +-…，得|1|1x +…，解得2x -…或0x …．\函数的定义域为(-¥，2][0-U ，)+¥；（2）()f ax ax -，()f ax a ax a =Û+，设ax a t +=t 有两个不同实数根，整理得2a t t =-，0t …，211(24a t \=--+，0t …，当且仅当104a <…时，方程有2个不同实数根，又0a ¹，a \的取值范围是1(0,)4；（3）当x a -…时，211())24f x x x =-=-=--+，在1[4，)+¥上单调递减，此时需要满足14a -…，即14a -…，函数()f x 在[a -，)+¥上递减；当x a <-时，()f x x x ==，在(-¥，2]a -上递减，104a -<Q …，20a a \->->，即当14a -…时，函数()f x 在(,)a -¥-上递减．综上，当(a Î-¥，14-时，函数()f x 在定义域R 上连续，且单调递减．【归纳总结】本题考查函数定义域的求法，考查函数零点与方程根的关系，考查函数单调性的判定及其应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题．21．（18分）已知数列{}n a 满足0n a …，对任意2n …，n a 和1n a +中存在一项使其为另一项与1n a -的等差中项．（1）已知15a =，23a =，42a =，求3a 的所有可能取值；（2）已知1470a a a ===，2a 、5a 、8a 为正数，求证：2a 、5a 、8a 成等比数列，并求出公比q ；（3）已知数列中恰有3项为0，即0r s t a a a ===，2r s t <<<，且11a =，22a =，求111r s t a a a +++++的最大值．【思路分析】（1）根据n a 和1n a +中存在一项使其为另一项与1n a -的等差中项建立等式，然后将1a ，2a ，4a 的值代入即可；（2）根据递推关系求出5a 、8a ，然后根据等比数列的定义进行判定即可；（3）分别求出1r a +，1s a +，1t a +的通项公式，从而可求出各自的最大值，从而可求出所求．【解析】：（1）由题意，112n n n a a a +-=+或112n n n a a a +-=+，2312a a a \=+解得31a =，3212a a a =+解得34a =，经检验，31a =，（2）证明：1470a a a ===Q ，322a a \=，或232a a =，经检验，232aa =；\32524a a a ==，或2512a a a =-=-（舍)，\254aa =；\52628a a a ==，或2654a a a =-=-（舍)，\268aa =；\628216a a a ==，或2868a a a =-=-（舍)，\2816aa =；综上，2a 、5a 、8a 成等比数列，公比为14；（3）由112n n n a a a +-=+或112n n n a a a +-=+，可知2111n n n n a a a a +++-=-或21112n n n n a a a a +++-=--，由第（2）问可知，0r a =，则212r r a a --=，即121r r r a a a ----=-，0r a \=，则3111221111111()()1()(,*222222i r i i r r r r a a a a a a i N --+---==--=-×-××-=-×-Î，\11()4r max a +=，同理，2*1111111()1()(),22224j s r j j s r r a a a j N ---++=-×-××-=-×-×Î，\11()16s max a +=，同理，11()64t max a +=，111r s t a a a +++\++的最大值2164．【归纳总结】本题主要考查了数列的综合应用，等比数列的判定以及通项公式的求解，同时考查了学生计算能力，属于难题．。
山东省2019-2021年普通高校招生(春季)考试数学真题+详解答案
山东省2019年普通高校招生(职教)考试数学试题1．本试卷分卷一(选择题)和卷二(非选择题)两部分，满分120分，考试时间120分钟．考生请在答题卡上答题，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，除题目有具体要求外，最后结果精确到0.01．卷一(选择题，共60分)一、选择题(本大题20个小题，每小题3分，共60分，在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，并填涂在答题卡上) 1．已知集合M ＝{0，1}，N ＝{1，2}，则M ∪N 等于( ) A ．{1}B ．{0，2}C ．{0，1，2}D ．∅ 2．若实数a ，b 满足ab >0，a +b >0，则下列选项正确的是( )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <03．已知指数函数y =a x ，对数函数y =log xb 的图象如图所示，则下列关系式成立的是( )A ．0<a <b <1B ．0<a <1<bC ．0<b <1<aD ．a <0<1<b4．已知函数f (x )=x 3+x ，若f (a )=2，则f (-a )的值是( ) A ．-2 B ．2C ．-10D ．10 5．若等差数列{a n }的的前七项的和为70，则a 1+a 7等于( )A ．5B ．10C ．15D ．206．如图所示，已知菱形ABCD 的边长是2，且∠DAB =60°，则AC AB ⋅的值是( )A ．4B ．324+C ．6D ．324-7．对于任意角α，β，“α=β”是“sin α=sin β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．如图所示，直线l ⊥OP ，则直线l 的方程是( )A ．3x -2y =0B ．3x +2y -12=0C ．2x -3y +5=0D ．2x +3y -13=09．在(1+x )n 的二项展开式中，若所有项的系数之和为64，则第3项是 ( )A ．15x 3B ．20x 3C ．15x 2D ．20x 2 10．在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =3，BC =4，M 是线段AC 上的动点，设点M 到BC 的距离x ，△MBC 的面积为y ，则y 关于x 的函数是( )A ．y =4x ，x ∈(0，4]B ．y =2x ，x ∈(0，3]C ．y =4x ，x ∈(0，+∞)D ．y =2x ，x ∈(0，+∞) 11．现把甲、乙等6位同学排成一列，若甲同学不能排在前两位，且乙同学必须排在甲同学前面( 相邻或不相邻均可)，则不同排法的种数是( ) A ．360B ．336C ．312D ．24012．设集合M ={-2，0，2，4}，则下列命题为真命题的是( )A ．M a ∈∀，a 是正数B ．M b ∈∀，b 是自然数C ．,M c ∈∃c 是奇数D ．,M d ∈∃d 是有理数 13．已知sin α=31，则cos2α的值是( )A ．98 B ．98-C ．97D ．97-14．已知y =f (x )在R 上是减函数，若)2()1(f a f <+，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1) ∪(1，＋∞)C ．(－1，1)D ．(－∞，-1)∪(1，＋∞)15．已知O 为坐标原点，点M 在x 轴的正半轴上，若直线MA 与圆x 2+y 2=2相切于点A ，且AM AO =，则点M 的横坐标是( )A ．2B ．2C ．22D ．416．如图所示，点E ，F ，G ，H 分别是正方体四条棱的中点，则直线EF 与GH 的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．异面D ．重合17．如图所示，若x ，y 满足线性约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≥+-1002y x y x ，则线性目标函数z =2x -y 取得最小值时的最优解是 ( )A ．(0，1)B ．(0，2)C ．(-1，1)D ．(-1，2)18．箱子中放有6张黑色卡片和4张白色卡片，从中任取一张，恰好取到黑色卡片的概率是( )A ．61 B ．31 C ．52 D ．53 19．已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，若该抛物线经过点M (-2，4)，则其标准方程是( )A ．y 2=-8xB ．y 2=-8x 或x 2=yC ．x 2=yD ．y 2=-8x 或x 2=-y20．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a =6，sin A =2cos B sin C ，向量),3,(b a =m),sin ,cos (B A -=n 且n m //，则△ABC 的面积是( )A ．318B ．93C ．33D ．3卷二(非选择题，共60分)二、填空题(本大题5个小题，每小题4分，共20分．请将答案填在答题卡相应题号的横线上) 21．弧度制与角度制的换算：rad 5π=________． 22．若向量),2(m =a ，)8,(m =b 且<b a ,>=180°，则实数m 的值是_______．23．某公司A ，B ，C 三种不同型号产品的库存量数量之比为2：3：1，为检验产品的质量，现采用分层抽样的方法从库存产品中抽取一个样本，若在抽取的产品中，恰有A 型号产品18件，则该样本容量 是________．24．已知圆锥的高于底面圆半径相等，若底面圆的面积为1，则该圆锥的侧面积是________． 25．已知O 为坐标原点，双曲线12222=-by a x ，(a >0，b >0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2=2py (p >0)交于A ，B 两点，若OF BF AF 8=+，则该双曲线的渐近线方程是________．三、解答题(本大题5个小题，共40分)26．(本小题7分)已知二次函数f (x )图象的顶点在直线y =2x -1上，且f (1)= -1，f (3)= -1，求该函数的解析式．27．(本小题8分)已知函数),sin()(ϕω+=x A x f 其中A >0，2,0πϕω<>，此函数的部分图象如图所示，求：(1)函数f (x )的解析式；(2)当f (x )≥1时，求实数x 的取值范围．28．(本小题8分)已知三棱锥S -ABC ，平面SAC ⊥平面ABC ，且SA ⊥AC ，AB ⊥B C ．(1)求证：BC ⊥平面SAB ；(2)若SB =2，SB 与平面ABC 所成的角是30°的角，求点S 到平面ABC 的距离．29．(本小题8分)如图所示，已知椭圆12222=+by a x ，(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，短轴的两个端点分别为B 1，B 2，四边形F 1B 1F 2B 2为正方形，且椭圆经过点P (1，22)(1)求椭圆的标准方程；(2)与椭圆有公共焦点的双曲线，其离心率e =223，且与椭圆在第一象限交于点M ，求线段MF 1， MF 2的长度．30．(本小题9分)某城市2018年底人口总数为50万，绿化面积为35万平方米，假定今后每年人口总数比上一年增加 1.5万，每年新增绿化面积是上一年年底绿化面积的5%，并且每年均损失0.1万平 方米的绿化面积(不考虑其它因素)(1)到哪一年底，该城市人口总数达到60万(精确到1年)？(2)假如在人口总数达到60万并保持平稳，不增不减的情况下，到哪一年年底，该城市人均绿化面 积达到0.9平方米(精确到1年)？山东省2020年普通高校招生(职教)考试数学试题1．本试卷分卷一(选择题)和卷二(非选择题)两部分，满分120分，考试时间120分钟．考生请在答题卡上答题，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，除题目有具体要求外，最后结果精确到0.01．卷一(选择题，共60分)一、选择题(本大题20个小题，每小题3分，共60分。
年高考（春考3套秋考29套全word版有详细解答）数学试题分章汇编----03第三章 数列
年高考题分章节汇编第三章 数列一、选择题1、(年高考·福建卷·理2文3)已知等差数列}{n a 中，1,16497==+a a a ，则12a 的值是 ( ) A ．15B ．30C ．31D ．642、(年高考·湖南卷·文5)已知数列}{n a 满足)(133,0*11N n a a a a n n n ∈+-==+，则20a 的值是 （ ）A ．0B ．3-C ．3D ．233、(年高考·江苏卷3)在各项都为正数的等比数列}{n a 中，首项31=a ，前三项和为21，则=++543a a a （ ）A ．33B ．72C ．84D ．1894、(年高考·山东卷·文1){}n a 使首项11a =，公差3d =的等差数列，如果2005n a =，则序号n 等于 （ ）A ．667B ．668C ．669D ．6705、(年高考·全国卷II ·文7)如果数列}{n a 是等差数列，则 （ ） A ．5481a a a a +<+ B ．5481a a a a +=+C ．5481a a a a +>+D ．5481a a a a =6、(年高考·全国卷II ·理11) 如果1a ，2a ，…，8a 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则( )A ．1a 8a >45a aB ．8a 1a <45a aC ．1a +8a >4a +5aD ．1a 8a =45a a二、填空题1、 (年春考·上海卷9)设数列{}n a 的前n 项和为n S （N ∈n ）. 关于数列{}n a 有下列三个命题：（1）若{}n a 既是等差数列又是等比数列，则)(1N ∈=+n a a n n ；（2）若()R ∈+=b a n b n a S n 、2，则{}n a 是等差数列；（3）若()nn S 11--=，则{}n a 是等比数列.这些命题中，真命题的序号是 ．2、(年高考·湖北卷·理15)设等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若1+n S 、n S 、2+n S 成等差数列，则q 的值为 ．3、 (年春考·上海卷12)已知函数2()2log xf x x =+，数列{}n a 的通项公式是na n 1.0=（N ∈n ），当|()2005|n f a -取得最小值时，n = ．4、(年高考·天津卷·理13)在数列{a n }中, 11=a , 22=a 且， )( )1(12*+∈-+=-N n a a n n n ， 则100S = （文：10S ＝ ）．5、(年高考·全国卷II ·文13)在22738和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为 ．6、(年高考·上海卷·理12填空题文16选择题)用n 个不同的实数n a a a ,,,21 可得到!n 个不同的排列，每个排列为一行写成一个!n 行的数阵.对第i 行in i i a a a ,,,21 ，记in ni i i i na a a a b )1(32321-++-+-= ，!,,3,2,1n i =.例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，621b b b +++ 2412312212-=⨯-⨯+-=，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，12021b b b +++ = _．（文）A ．－3600B ．1800C ．—1080D ．—7207、(年高考·北京卷·理14)已知n 次式项式n n n n n a x a x a x a x P ++++=--1110)( . 如果在一种算法中，计算),,4,3,2(0n k x k=的值需要k －1次乘法，计算)(03x P 的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算)(0x P n （文科)(010x P ）的值共需要 次运算．00)(a x P =，)1,,2,1,0()()(11-=+=++n k a x xP x P k k k下面给出一种减少运算次数的算法：00)(a x P =，,2,1,0()()(11=+=++k a x xP x P k k k)1,-n ．利用该算法，计算P 3（x 0）的值共需要6次运算，计算)(0x P n （文科)(010x P ）的值共需要 次运算．123213132312231321三、解答题１、（本小题满分14分）(年春考·北京卷·文17)已知{}n a 是等比数列，21=a ，544=a ；{}n b 是等差数列，21=b ，4321b b b b +++ 321a a a ++=．（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S 的公式； （2）求数列{}n b 的通项公式； （3）设1023741,,2,1,U n b b b b U n n 求其中 =++++=-的值．２、(本题满分14分) (年春考·上海卷20)某市年底有住房面积1200万平方米，计划从年起，每年拆除20万平方米的旧住房. 假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%. （1）分别求年底和年底的住房面积 ；（2）求2024年底的住房面积.（计算结果以万米2为单位，且精确到0.01）３、（本小题共13分）(年高考·北京卷·文17) 数列}{n a 的前n 项和为n S ，且 ,3,2,1,31,111===+n S a a n n ，求： （Ⅰ）432,,a a a 的值及数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）n a a a a 2642++++ 的值．４、（本小题满分12分）(年高考·福建卷·文19)已知{n a }是公比为q 的等比数列，且231,,a a a 成等差数列. （Ⅰ）求q 的值；（Ⅱ）设{n b }是以2为首项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为n S ，当n ≥2时，比较n S 与n b 的大小，并说明理由．５、（本小题满分12分）(年高考·湖北卷·文19)设数列}{n a 的前n 项和为n S =2n 2，}{n b 为等比数列，且.)(,112211b a a b b a =-= （Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （Ⅱ）设nnn b a c =，求数列}{n c 的前n 项和n T６、（本小题满分12分）(年高考·湖南卷·文16)已知数列))}(1({log *2N n a n ∈-为等差数列，且.9,331==a a（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）证明.111112312<-++-+-+nn a a a a a a７、（本小题满分14分）(年高考·江西卷·文22) 已知数列{n a }的前n 项和n S 满足n S －2-n S =3,23,1),3()21(211-==≥--S S n n 且求数列{n a }的通项公式．８、（本小题满分12分）(年高考·重庆卷·文22) 数列}{n a 满足：11=a 且)1(05216811≥=++-++n a a a a n n n n ．记)1(211≥-=n a b n n ．（Ⅰ）求b 1、b 2、b 3、b 4的值；（Ⅱ）求数列}{n b 的通项公式及数列}{n n b a 的前n 项和n S ．９、（本小题满分14分）(年高考·浙江卷·文16)已知实数a 、b 、c 成等差数列，1+a 、1+b 、1+c 成等比数列，求a 、b 、c１０、(本小题满分12分) (年高考·天津卷·文18) 若公比为c 的等比数列{}n a 的首项11a =且满足221--+=n n n a a a (n 3,4,…)(Ⅰ)求c 的值； (Ⅱ)求数列{}n na 的前n 项和S１１、（本小题满分12分）(年高考·全国卷Ⅰ·文21) 设正项等比数列}{n a 的首项211=a ，前n 项和为n S ，且.0)12(21020103010=++-S S S （Ⅰ）求}{n a 的通项； （Ⅱ）求}{n nS 的前n 项和n T１２、（本小题满分12分）(年高考·全国卷II ·理18文19)已知}{n a 是各项均为正数的等差数列，1lg a 、2lg a 、4lg a 成等差数列，又na b n 21=，n=1，2，3…（Ⅰ）证明}{n b 为等比数列；（Ⅱ）（文）如果数列}{n b 前3项的和等于247，求数列{a n }的首项a 1和公差d ． （Ⅱ）（理）如果无穷等比数列}{n b 各项的和31=S ，求数列}{n a 的首项a 1和公差d ．（注：无穷数列各项的和即为：当∞→n 时数列前n 项和的极限）１３、(本小题满分12分) (年高考·全国卷Ⅲ·理20文20)在等差数列}{n a 中，公差412,0a a a d 与是≠的等比中项．已知数列,,,,,,2131n k k k a a a a a 成等比数列，求数列}{n k 的通项n k１４、（本题满分14分）(年高考·上海卷·理20文20)假设某市年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底，（1）该市历年所建中低价层的累计面积（以年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？１５、（本小题满分12分）(年高考·山东卷·理21文21)已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ，且)(52*1N n n S S n n ∈++⋅=+（Ⅰ）证明数列{}1n a +是等比数列；（Ⅱ）令212()n n f x a x a x a x =+++，求函数()f x 在点1x =处的导数(1)f '，（Ⅲ）（理科）并比较2(1)f '与22313n n -的大小.１６、（本小题满分14分）(年高考·江苏卷23)设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知,11,6,1321===a a a 且n n S n S n )25()85(1+--+,3,2,1,=+=n B An ，其中A ，B 为常数．（Ⅰ）求A 与B 的值； （Ⅱ）证明数列}{n a 为等差数列； （Ⅲ）证明不等式15>-n m mn a a a 对任何正整数m 、n 都成立．１７、（本小题满分14分）(年春考·北京卷·理17)已知{}n a 是等比数列，21=a ，183=a ；{}n b 是等差数列，21=b ，4321b b b b +++20321>++=a a a ．（1）求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和n S 的公式；（3）设23741-++++=n n b b b b P ，82141210+++++=n n b b b b Q ，其中,2,1=n ，试比较n P 与n Q 的大小，并证明你的结论．１８、（本小题共12分）(年高考·北京卷·理19)设数列⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=≠=+.,41,,21,41}{11为奇数为偶数且的首项n a n a a a a a n nn n ，记.,3,2,1,4112 =-=-n a b n n （Ⅰ）求a 2，a 3； （Ⅱ）判断数列}{n b 是否为等比数列，并证明你的结论；（Ⅲ）求).(lim 21n n b b b +++∞→１９、（本小题满分14分）(年高考·福建卷·理22) 已知数列{a n }满足a a =1，nn a a 111+=+我们知道当a 取不同的值时，得到不同的数列，如当1=a 时，得到无穷数列：.0,1,21:,21;,35,23,2,1---=得到有穷数列时当a （Ⅰ）求当a 为何值时a 4=0；（Ⅱ）设数列{n b }满足11-=b ，)(11*1N n b b n n ∈-=+，求证a 取数列{n b }中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{a n }； （Ⅲ）若)4(223≥<<n a n ，求a 的取值范围．２０、（本小题满分12分）(年高考·江西卷·理21) 已知数列:,}{且满足的各项都是正数n a .),4(21,110N n a a a a n n n ∈-⋅==+ （1）证明N n a a n n ∈<<+,21； （2）求数列}{n a 的通项公式a n２１、（本小题满分12分）(年高考·天津卷·理18)已知)0,0,( 1221>>∈+++++=*---b a N n b ab b a b a a u n n n n n n . （Ⅰ）当b a =时，求数列{}n u 的前n 项和n S ； （Ⅱ）求1lim -∞→n n n u u .２２、（本小题满分12分）(年高考·全国卷Ⅰ·理19) 设等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项和n S >0（n=1，2，…） （Ⅰ）求q 的取值范围；（Ⅱ）设,2312++-=n n n a a b 记}{n b 的前n 项和为n T ，试比较n S 和n T 的大小.２３、（本小题满分14分）(年高考·浙江卷·理20)设点)0,(n n x A 、)2,(1-n n n x P 和抛物线n C ：)(*2N n b x a x y n n ∈+⋅+=，其中12142----=n n n a ，n x 由以下方法得到：11=x ，点)2,(22x P 在抛物线1C ：112b x a x y +⋅+=上，点)0,(11x A 到2P 的距离是1A 到1C 上点的最短距离，…，点)2,(111-++n n n x P 在抛物线n C ：)(*2N n b x a x y n n ∈+⋅+=，点)0,(n n x A 到1+n P 的距离是n A 到n C 上点的最短距离．(Ⅰ)求2x 及1C 的方程．(Ⅱ)证明：{}n x 是等差数列．。
春季高考数学数列历年真题资料讲解
春季高考数学数列历年真题收集于网络，如有侵权请联系管理员删除第五章：数列历年高考题一、 单项选择题1、（2003）已知数列{a n }是等差数列，如果a 1=2，a 4=-6则前4项的和S 4是（ ）A -8B -12C -2D 42、（2004年）在∆ABC 中，若∠A 、∠B 、∠C 成等差数列，且BC=2，BA=1，则AC 等于（ ）A 332 B 1 C 3 D 73、（2004）在洗衣机的洗衣桶内用清水洗衣服，如果每次能洗去污垢的32，则要使存留在衣服上的污垢不超过最初衣服上的2℅，该洗衣机至少要清洗的次数是（ ）A 2B 3C 4D 54、（2005年）在等差数列{a n }中，若a 1+a 12=10，则a 2+a 3+ a 10+a 11 等于（ ）A 10B 20C 30D 405、（2005年）在等比数列{a n }中，a 2=2,a 5=54,则公比q=（ ） A 2 B 3 C 9 D 276、（2006年）若数列的前n 项和S n =3n n -2,则这个数列的第二项a 2等于（ ）A 4B 6C 8D 107、（2007）为了治理沙漠，某农场要在沙漠上栽种植被，计划第一年栽种15公顷，以后每一年比上一年多栽种4公顷，那么10年后该农场栽种植被的公顷数是（ ）A 510B 330C 186D 518、（2007年）如果a,b,c 成等比数列，那么函数y=ax 2+bx+c 的图像与x 轴的交点个数是（ ）A 0B 1C 2D 1或29、（2007年）小王同学利用在职业学校学习的知识，设计了一个用计算机进行数字变换的游戏，只要游戏者输入任意三个数a 1 ，a 2，a 3，计算机就会按照规则：a 1+ 2a 2- a 3，a 2+ 3a 3,5a 3进行处理并输出相应的三个数，若游戏者输入三个数后，计算机输出了29,50,55三个数，则输入的三个数依次是（ ） A 6,10,11 B 6,17,11 C 10,17,11 D 6,24,1110、（2008年）在等差数列{a n }中，若a 2+a 5=19，则a 7 =20，则该数列的前9项和是（ ）A 26B 100C 126D 15511、（2009年）在等差数列{a n }中，若a 1+a 8=15，则S 8等于（ ） A 40 B 60 C 80 D 24012、（2009年）甲、乙两国家2008年的国内生产总值分别为a （亿元）和4a(亿元)，甲国家计划2028年的国内生产总值超过乙国，假设乙国的年平均增长率为，那么甲国的年平均增长率最少应为（ ）A 9.6℅B 9.2℅C 8.8℅D 8.4℅13、（2009年）如果三个实数a,b,c 成等比数列，那么函数y=ax 2+bx+c 与y=ax+b 在同一坐标系中的图像可能是（ ）y yx xy收集于网络，如有侵权请联系管理员删除14、（2010年）已知2，m ，8构成等差数列，则实数m 的值是（ ） A 4 B 4或-4 C 10 D 515、（2010年）已知数列的前n 项和S n =n n +2,则第二项a 2的值是（ ） A 2 B 4 C 6 D 816、（2011年）如果三个正数a,b,c 成等比数列，那么lga,lgb,lgc （ ） A.成等差数列但不成等比数列 B.成等比数列但不成等差数列 C.成等差数列且成等比数列 D.既不成等差数列也不成等比数列17、（2011年）已知等差数列{a n }，a 3=5,a 7=13，则该数列前10项的和为（ ）。
山东省春季高考数学试卷(含解析)
山东省春季高考数学试卷一、选择题1已知全集U={1 , 2}，集合M={1}，则？U M等于( )A. ?B. {1}C. {2}D. {1，2}2 •函数■，-= -p_—的定义域是( )A. [ - 2, 2] B .( — s, —2] U [2 , +R) C. (- 2, 2) D.( — s, —2)U( 2, +3. 下列函数中，在区间（-s, 0）上为增函数的是（）A. y=xB. y=1C. .D. y=|x|4. 二次函数f (x)的图象经过两点(0, 3), (2, 3)且最大值是5,则该函数的解析式是( )A. f (x) =2x2- 8x+11B. f (x) =- 2x2+8x - 1C. f (x) =2x2- 4x+3D. f ( x )=-2x2+4x+35. 等差数列{a n}中，a=- 5, a3是4与49的等比中项，且a3v 0,贝U a5等于( )A. - 18 B . - 23 C . - 24 D . - 326. 已知A ( 3, 0), B (2,1),则向量忑的单位向量的坐标是( )A. (1,-1)B. (- 1 , 1)7. “p V q为真”是“p为真”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D .既不充分也不必要条件&函数y=cos2x - 4cosx+1的最小值是（）A.- 3B. - 2C. 5D. 69.下列说法正确的是（）A. 经过三点有且只有一个平面B. 经过两条直线有且只有一个平面C. 经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直D. 经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直A. 1B. 2C. - 1D. - 214.如果-:,:::..,那么.• |等于（）17.已知圆G 和C 2关于直线y= - x 对称，若圆C 的方程是 2 2 2 2 2 2 A. ( x+5) +y =2 B. x + (y+5) =4 C . (x - 5) +y =2 D . 18 .若二项式 f 三八的展开式中，只有第 4项的二项式系数最大，则展开式中的常数 项是（ ） A. 20B. - 20 C . 15D. - 1519 .从甲、乙、丙、丁四位同学中选拔一位成绩较稳定的优秀选手，参加山东省职业院校技 能大赛，在同样条件下经过多轮测试，成绩分析如表所示，根据表中数据判断，最佳人选为 （ ） 成绩分析表甲 乙 丙 丁平均成绩； 96 96 85 8510 .过直线x+y+1=0与2x - y - 4=0的交点，且一个方向向量j t :：，的直线方程是（ ）A. 3x+y -仁0B. x+3y - 5=0C. 3x+y - 3=0D. x+3y+5=011 .文艺演出中要求语言类节目不能相邻，现有4个歌舞类节目和2个语言类节目，若从中任意选出4个排成节目单，则能排出不同节目单的数量最多是 A. 72B. 120C. 144D. 28812.若a , b , c 均为实数，且 a v b v 0, 则下列不等式成立的是（2 2A. a+c v b+c B . ac v beC. a v bD .呼「「“'J13.函数 f (x ) =2kx , g (x ) =log a x ,若f (- 1) =g (9),则实数k 的值是（）A. — 18 B .-6 C. 0D. 1815.已知角 a 的终边落在直线 y= - 3x 上，则COS （ n +2 a ）的值是（B.16 .二元一次不等式 2x - y >0表示的区域（阴影部分）是（（x+5） 2+y 2=4,则圆C 2的方程是2 2x + (y - 5) =4A.C .D.2 2' -(a>0, b>0)的两个顶点，以2 1 2 1 a b20.已知A, A为双曲线AA为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于M N两点，若△ A MN的面积为―，则该双曲线的离心率是( )2A.匚B. _C. _D.匚3 3 3 3二、填空题：21 .若圆锥的底面半径为1，母线长为3,则该圆锥的侧面积等于____________ .22 .在厶ABC中，a=2, b=3,Z B=2/ A 贝U cosA= ________ .2 223 .已知F i, F2是椭圆’< =1的两个焦点，过F i的直线交椭圆于P、Q两点，则△ PQF16 36的周长等于_______ .24 .某博物馆需要志愿者协助工作，若从6名志愿者中任选3名，则其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中的概率是_________ .■- x25 .对于实数m n,定义一种运算：，已知函数f (x) =a*a，其中0v a| n,V 1，若f (t - 1 )> f ( 4t ),则实数t的取值范围是______________ .三、解答题：26 .已知函数f (x) =log 2 (3+x)- log 2 (3 - x),(1)求函数f ( x)的定义域，并判断函数 f (x)的奇偶性；(2)已知f (sin a ) =1，求a的值.27 .某职业学校的王亮同学到一家贸易公司实习，恰逢该公司要通过海运出口一批货物，王亮同学随公司负责人到保险公司洽谈货物运输期间的投保事宜，保险公司提供了缴纳保险费的两种方案：①一次性缴纳50万元，可享受9折优惠；②按照航行天数交纳：第一天缴纳0.5元，从第二天起每天交纳的金额都是其前一天的2倍，共需交纳20天.请通过计算，帮助王亮同学判断那种方案交纳的保费较低.28.已知直三棱柱ABC- ABQ的所有棱长都相等，D, E分别是AB, AQ的中点，如图所示.(1)求证：DE//平面BCCB;(2 )求DE与平面ABC所成角的正切值.(1)求该函数的最小正周期;(2)求该函数的单调递减区间;(3 )用“五点法”作出该函数在长度为一个周期的闭区间上的简图.2 230.已知椭圆’的右焦点与抛物线y2=4x的焦点F重合，且椭圆的离心a2 b2率是，如图所示.(1)求椭圆的标准方程；(2)抛物线的准线与椭圆在第二象限相交于点A,过点A作抛物线的切线I ,1与椭圆的另一个交点为B,求线段AB的长.参考答案与试题解析一、选择题29.已知函数1已知全集U={1 , 2}，集合M={1}，则？U M等于（）A. ?B. {1}C. {2}D. {1 , 2}【考1F：补集及其运算.点】【分根据补集的定义求出M补集即可.析】【解解：全集U={1, 2}, 集合M={1}，则?U M={2}答】故选：C.2 •函数；.-=-p——的定义域是（）A. [ - 2, 2] B . （-a, - 2] U [2 , +R） C. （- 2, 2） D.（-汽-2）U（2, + OO）【考点】33:函数的定义域及其求法.【分析】根据函数y的解析式，列出不等式求出x的取值范围即可.【解答】解：函数丁二] ------ 2>0,即|x| >2,解得X V- 2或x > 2,•函数y的定义域是（-O,-2）U（2, +O）.故选：D.3.下列函数中，在区间（-O,0）上为增函数的是（）A. y=xB. y=1C.，-丄D. y=|x|【考点】3E:函数单调性的判断与证明.【分析】根据基本初等函数的单调性，判断选项中的函数是否满足条件即可.【解答】解：对于A函数y=x，在区间（-O, 0）上是增函数，满足题意；对于B,函数y=1，在区间（-O,0）上不是单调函数，不满足题意；对于C,函数y=—，在区间(-^, 0)上是减函数，不满足题意；x对于C,函数y=|x|，在区间(-8, 0)上是减函数，不满足题意.故选：A.4•二次函数f (x)的图象经过两点(0, 3), (2, 3)且最大值是5,则该函数的解析式是( )A. f (x) =2x2- 8x+11B. f (x) =- 2X2+8X- 1C. f (x) =2x2- 4x+3D. f ( x )=-2X2+4X+3【考点】3W二次函数的性质.【分析】由题意可得对称轴x=1，最大值是5，故可设f (x) =a (x- 1) 2+5,代入其中一个点的坐标即可求出a的值，问题得以解决【解答】解：二次函数f (x)的图象经过两点(0, 3) , (2, 3),则对称轴x=1，最大值是5,可设 f (x) =a (x - 1) 2+5,于是3=a+5,解得a=- 2,故 f (x) =- 2 ( x - 1) 2+5= - 2x2+4x+3,故选：D.5.等差数列｛a n｝中，a1=- 5, a3是4与49的等比中项，且a3v 0,贝U a5等于( )A. - 18 B . - 23 C . - 24 D . - 32【考点】8F:等差数列的性质；84 :等差数列的通项公式.【分析】根据题意，由等比数列的性质可得( a s) 2=4X 49,结合解a s v 0可得a s的值，进而由等差数列的性质a5=2a3 - a1，计算即可得答案.【解答】解：根据题意，a a是4与49的等比中项，则(a3)2=4X 49,解可得a3=± 14,又由a3v 0,贝U a3= - 14,又由a1=- 5,则a5=2a3 —a1 = - 23,故选：B.6.已知A ( 3, 0), B (2, 1),则向量爲的单位向量的坐标是( )【考点】95:单位向量.【分析】先求出'.：；=(-1, 1),由此能求出向量：的单位向量的坐标. 【解答】解：••• A ( 3, 0) , B (2 , 1), •••：.；=(- 1, 1), •••丨：.；|=-,•••向量丁啲单位向量的坐标为( ―，丄一)，即(-二,—).|AB I |AB I 2 2故选：C.7•“p V q 为真”是“p 为真”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D .既不充分也不必要条件【考点】2L :必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】由真值表可知：“ p V q 为真命题”则p 或q 为真命题,故由充要条件定义知 为真”是“p 为真”必要不充分条件【解答】解：“ p V q 为真命题”则p 或q 为真命题，所以“p V q 为真”推不出“p 为真”，但“p 为真” 一定能推出“ p V q 为真”， 故“p V q 为真”是“p 为真”的必要不充分条件， 故选：B.&函数y=cosx - 4cosx+1的最小值是( )A.- 3B. - 2C. 5D. 6【考点】HW 三角函数的最值.【分析】利用查余弦函数的值域，二次函数的性质，求得y 的最小值.【解答】 解：T 函数 y=cos 2x - 4cosx+1= (cox - 2) 2- 3，且 cosx € [ - 1, 1]，故当 时，函数y 取得最小值为-2, 故选：B.A. ( 1, -1)B •(— 1 , 1)cosx=1 D.9. 下列说法正确的是（ ）A. 经过三点有且只有一个平面B. 经过两条直线有且只有一个平面C. 经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直D. 经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直 【考点】LJ :平面的基本性质及推论.【分析】在A 中，经过共线的三点有无数个平面； 在B 中，两条异面直线不能确定一个平面； 在C 中，经过平面外一点无数个平面与已知平面垂直； 在D 中，由线面垂直的性质得经过平 面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.【解答】在A 中，经过不共线的三点且只有一个平面，经过共线的三点有无数个平面，故 A错误；在B 中，两条相交线能确定一个平面， 两条平行线能确定一个平面， 两条异面直线不能确定 一个平面，故B 错误；在C 中，经过平面外一点无数个平面与已知平面垂直，故C 错误；在D 中，由线面垂直的性质得经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直， 故D 正确.故选：D.10.过直线x+y+1=0与2x - y - 4=0的交点，且一个方向向量：1. 的直线方程是（ ）A. 3x+y -仁0B. x+3y - 5=0C. 3x+y - 3=0D. x+3y+5=0【考点】IB :直线的点斜式方程.【分析】 求出交点坐标，代入点斜式方程整理即可.由方向向量. ■得: 直线的斜率k= - 3, 故直线方程是：y+2= - 3 （x - 1）, 整理得：3x+y -仁0, 故选：A.11 •文艺演出中要求语言类节目不能相邻， 现有4个歌舞类节目和2个语言类节目，若从中【解答】解：由2x-y-4=0解得：X=1y=-2,任意选出4个排成节目单，则能排出不同节目单的数量最多是（）A. 72B. 120C. 144D. 288【考点】D8:排列、组合的实际应用.【分析】根据题意，分3种情况讨论：①、取出的4个节目都是歌舞类节目，②、取出的 4 个节目有3个歌舞类节目，1个语言类节目，③、取出的4个节目有2个歌舞类节目，2个语言类节目，分别求出每种情况下可以排出节目单的数目，由分类计数原理计算可得答案.【解答】解：根据题意，分3种情况讨论：①、取出的4个节目都是歌舞类节目，有1种取法，将4个节目全排列，有A44=24种可能，即可以排出24个不同节目单，②、取出的4个节目有3个歌舞类节目，1个语言类节目，有C21G3=8种取法，将4个节目全排列，有A/=24种可能，则以排出8X 24=192个不同节目单，③、取出的4个节目有2个歌舞类节目，2个语言类节目，有G2G2=6种取法，将2个歌舞类节目全排列，有A2=2种情况，排好后有3个空位，在3个空位中任选2个，安排2个语言类节目，有A2=6种情况，此时有6 X 2X 6=72种可能，就可以排出72个不同节目单，则一共可以排出24+192+72=288个不同节目单，故选：D.12. 若a, b, c均为实数，且a v b v 0,则下列不等式成立的是（）A, a+c v b+c B . ac v be C. a2v b2 D.；.【考点】R3:不等式的基本性质.【分析】A由a v b v 0，可得a+c v b+c;B, c的符号不定，则ac, bc大小关系不定；C, 由a v b v 0,可得a2> b2;D, 由a v b v 0,可得-a>- b? .' I ;【解答】解：对于A由a v b v 0，可得a+c v b+c,故正确;对于B, c 的符号不定，则 ac , be 大小关系不定，故错;2 2对于C,由a v b v 0,可得a > b ,故错； 对于 D,由 a v b v 0,可得-a >- b? 一_ “ _i ,故错; 故选：A13.函数 f (x ) =2kx , g (x ) =log a x ,若 f (- 1) =g (9),则实数 k 的值是( )A. 1B. 2C. - 1D.- 2【考点】4H:对数的运算性质.【分析】由g (9) =log a 9=2=f (- 1) =2- k ，解得即可. 【解答】 解：g (9) =log a 9=2=f (- 1) =2-k , 解得k= - 1, 故选：C14•如果 ||_5 ：,那么 * ］等于()A.- 18 B . - 6 C. 0D. 18【考点】9R 平面向量数量积的运算.【分析】由已知求出 「|及［与一的夹角，代入数量积公式得答案. 【解答】解： ••• _：：二 _；,且V 皿］：：：> =n .则一-j= 1=3 X 6X(- 1) = - 18.故选：A.15 .已知角a 的终边落在直线 y= - 3x 上，贝U COS ( n +2 a )的值是(【考点】GO 运用诱导公式化简求值； G9任意角的三角函数的定义. 【分析】由直线方程，设出直线上点的坐标，可求 COS a ,利用诱导公式，二倍角的余弦函 数公式可求COS ( n +2 a )的值.【解答】解：若角a 的终边落在直线y= - 3x 上, (1)当角a 的终边在第二象限时，不妨取x= - 1,则y=3 , r=寸.j.；ld = !:',C.A.B . 土 - D. b2 ■所以COS a = ^，可得COS ( n +2 a ) =- COS2 a =1 - 2COS a ="' ；V10 5（2）当角a的终边在第四象限时，不妨取x=1，则y= - 3,所以sin a =——,COS a =一，可得COS ( n +2 a ) = - COS2 a =1 - 2COS2% = 一‘ , V10V10 5故选：B.【考点】7B:二元一次不等式（组）与平面区域.【分析】禾U用二元一次不等式（组）与平面区域的关系，通过特殊点判断即可.【解答】解：因为（1, 0）点满足2x - y> 0,所以二元一次不等式2x - y >0表示的区域（阴影部分）是： C.故选：C.17.已知圆G和C2关于直线y= - x对称，若圆C的方程是(x+5) 2+y2=4,则圆G的方程是( )A. ( x+5) 2+y2=2B. x2+ (y+5) 2=4C. (x - 5) 2+y2=2D. x2+ (y -5) 2=4【考点】J1:圆的标准方程.【分析】由已知圆的方程求出圆心坐标和半径，求出圆G的圆心关于y= - x的对称点，再由圆的标准方程得答案.【解答】解：由圆C的方程是（x+5）2+y2=4,得圆心坐标为（-5, 0）,半径为2,设点（-5, 0）关于y= - x的对称点为（x o, y o）,•••圆C2的圆心坐标为（0, 5）, 则圆C2的方程是x2+ （y - 5）2=4. 故选：D.18•若二项式讳勺展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的常数上■项是( )A. 20B. - 20 C • 15 D.- 15【考点】DB二项式系数的性质.则*，解得16.二元一次不等式2x - y >0表示的区域（阴影部分）是（【分析】先求出n的值，可得二项式展开式的通项公式，再令x的幕指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值.【解答】解：•二项式1’的展开式中只有第4项的二项式系数最大，•••n=6,x6—3r则展开式中的通项公式为T r+i=C6r? (- 1) r?x --------------- .令6- 3r=0，求得r=2，故展开式中的常数项为C62? (- 1) 2=15,故选：C.19•从甲、乙、丙、丁四位同学中选拔一位成绩较稳定的优秀选手，参加山东省职业院校技能大赛，在同样条件下经过多轮测试，成绩分析如表所示，根据表中数据判断，最佳人选为( )成绩分析表A.甲B.乙C.丙D. 丁【考点】BC极差、方差与标准差.【分析】根据平均成绩高且标准差小，两项指标选择即可.【解答】解：根据表中数据知，平均成绩较高的是甲和乙，标准差较小的是乙和丙, 由此知乙同学成绩较高，且发挥稳定，应选乙参加.故选：B.2 220.已知A, A为双曲线'(a>0, b>0)的两个顶点，以AA为直径的圆与双曲a2 b22线的一条渐近线交于M N两点，若△ A i MN 的面积为匚，则该双曲线的离心率是()2A W2B 座C -D 应~~3_ ~~3_~~3_【考点】KC 双曲线的简单性质.【分析】由题意求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求得A i (- a , 0)到直线渐近线的距离 d ,根据三角形的面积公式，即可求得△ AMN 的面积，即可求得 a 和b 的关 系，利用双曲线的离心率公式，即可求得双曲线的离心率.【解答】解：由双曲线的渐近线方程 y= ± x ，设以A i A 为直径的圆与双曲线的渐近线 y=^a ax 交于M N 两点，△ A i MN 的面积S= x 2a x 丄=' ='，整理得：b= c ,2 c c 2 2贝H a 2=b 2 - c 2= • c 2, 即 a= c ,4 2双曲线的离心率e == _,故选B.二、填空题：21•若圆锥的底面半径为 1，母线长为3,则该圆锥的侧面积等于 3 n .【考点】L5:旋转体(圆柱、圆锥、圆台).【分析】圆锥侧面展开图是一个扇形，半径为 I ，弧长为2n ，则圆锥侧面积 S=n rl ，由此 能求出结果.【解答】 解：圆锥侧面展开图是一个扇形，半径为 I ，弧长为2 n r •••圆锥侧面积：［二厂二 丁n r|则A i (- a , 0)到直线y=—x 的距离d= aaXO-bXa |=ab=n X 1 X 3=3 n .故答案为：3 n ./ :jT H22.在△ ABC中，a=2, b=3,/ B=2/ A 贝U cosA=_4一【考点】HR余弦定理.【分析】由二倍角的正弦函数公式，正弦定理即可计算得解. 【解答】解：•••/ B=2/ A,• sin / B=2sin / Acos Z A,又T a=2, b=3,•由正弦定理可得：2 3 sinZ^A 2sin.ZAcos.ZA-sin Z A M 0, •- cos Z A==.4故答案为：一423.已知F1, F2是椭圆=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于P、Q两点，则△ PQF的周长等于24【考点】K4:椭圆的简单性质.【分析】利用椭圆的定义|PF1|+|PF 2|=2a=12 , |QF1|+|QF2|=2a=12即可求得厶PQF的周长.【解答】解：椭圆——< =1的焦点在y轴上，则a=6, b=4,设厶PQF的周长为I ,16 36则l=|PF 2|+|QF2|+|PQ| ,=(|PF i|+|PF 2| ) + (|QF i|+|QF 2| )=2a+2a,=4a=24.• △ PQF的周长24 ,故答案为：24.24.某博物馆需要志愿者协助工作，若从6名志愿者中任选3名，则其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中的概率是【考点】CB古典概型及其概率计算公式.本事件个数：m・，一」=4,由此能求出甲、乙两名志愿者恰好同时被选中的概率.【解答】解：某博物馆需要志愿者协助工作，从6名志愿者中任选3名，基本事件总数n=「| ,其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中包含的基本事件个数：m= 「4,•••其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中的概率是：m 4 1P= = =「故答案为：=乙两名志愿者恰好同时被选中包含的基【分析】先求出基本事件总数< 1，若f (t - 1 )> f ( 4t ),则实数t的取值范围是(-丄，2].3【考点】5B:分段函数的应用.【分析】求出f (x)的解析式，得出f (x)的单调性，根据单调性得出t - 1和4t的大小关系，从而可得t的范围.【解答】解：T 0 < a< 1,•••当x< 1 时，a x> a,当x > 1 时，a> a x,••• f (x)在(-g, 1]上单调递减，在(1, +8)上为常数函数, ••• f (t - 1)> f ( 4t),• t - 1 < 4t W 1 或t - 1 W 1 < 4t ,解得-—< t W—或厶--■ ■-:.3 4 4故答案为：(-_, 2].D1三、解答题:26. 已知函数f (x) =log 2 (3+x)- log 2 (3 - x),(1)求函数f ( x)的定义域，并判断函数 f (x)的奇偶性;(2)已知f (sin a ) =1，求a的值.【考点】4N:对数函数的图象与性质.(x) =log 2 (3+x) - log 2 (3 - x)有意义，则< 3即可,由 f (- x) =log 2 (3 - x)- log 2 (3+x) =- f (x)，可判断函数 f (x)为奇函数.(2 )令f (x) =1,即一’「，解得x=1 .即sin a =1,可求得a .【解答】解：(1)要使函数f (x) =log 2 ( 3+x)- log 2 (3 - x)有意义，则 '" ? - 3 25.对于实数m n,定义一种运算:的』m,叮口已知函数(x) =a*a x，其中0< a 【分析】(1 )要使函数1 3-x>0v x v 3,•••函数f (x)的定义域为(-3, 3);T f (- x) =log 2 (3-x) - log 2 ( 3+x) =- f (x)，•函数f ( x)为奇函数.(2 )令 f (x) =1,即 4 二，解得x=1 .• sin a =1,•- a=2k r } —^~,(k€ Z).27. 某职业学校的王亮同学到一家贸易公司实习，恰逢该公司要通过海运出口一批货物，亮同学随公司负责人到保险公司洽谈货物运输期间的投保事宜，保险公司提供了缴纳保险费的两种方案：①一次性缴纳50万元，可享受9折优惠；②按照航行天数交纳：第一天缴纳0.5元，从第二天起每天交纳的金额都是其前一天的倍，共需交纳20天.请通过计算，帮助王亮同学判断那种方案交纳的保费较低.【考点】5D:函数模型的选择与应用.【分析】分别计算两种方案的缴纳额，即可得出结论.【解答】解：若按方案①缴费，需缴费50X 0.9=45万元；若按方案②缴费，则每天的缴费额组成等比数列，其中玄1=石,q=2, n=20,丄门-乡1 1•••共需缴费S20= - - =,_=219- =524288 - ,_ ~ 52.4 万元，~ 2 2 2•方案①缴纳的保费较低.28. 已知直三棱柱ABC- ABQ的所有棱长都相等，D, E分别是AB, AQ的中点，如图所示(1)求证：DE//平面BCGB;(2 )求DE与平面ABC所成角的正切值.【考点】Ml:直线与平面所成的角；LS:直线与平面平行的判定.【分析】(1 )取AC的中点F,连结EF, DF,贝U EF// CG, DF// BQ故平面DEF//平面BCCB i, 于是DE//平面BCCB i.(2)在Rt△ DEF中求出tan / EDF.【解答】(1)证明：取AC的中点F,连结EF, DF,•••D, E, F分别是AB AC, AC的中点，••• EF// CC, DF// BC,又DF A EF=F, AC A CC=C,•••平面DEF// 平面BCCB i,又DE?平面DEF,•DE//平面BCCB i.(2)解：• EF// CG, CC丄平面BCCB.•EF丄平面BCCB i,•••/ EDF是DE与平面ABC所成的角，设三棱柱的棱长为1,贝U DF= , EF=1,(1) 求该函数的最小正周期；(2) 求该函数的单调递减区间;29.已知函数y=3(sin27Txcci —cos2xsirrit7(3 )用“五点法”作出该函数在长度为一个周期的闭区间上的简图. 【考点】HI :五点法作函数 y=Asin (3 x+$ )的图象；H2：正弦函数的图象. 【分析】(1)由已知利用两角差的正弦函数公式可得 y=3sin (2x-—),利用周期公式即6可得解.(2) 令 2k n + W 2x - W 2k n + ------------- , k € Z ,解得：k n +W x W k n +, k € Z ,可2 6 2 36得函数的单调递减区间.(3 )根据五点法作图的方法先取值，然后描点即可得到图象. TT ItIT【解答】解: (..一 . ' =3sin (2x - ^―),•••函数的最小正周期 T= =n .2x 兀71 T1257T 6 13K 122x -匹 60 7T Tn3H 22n y0 3-3(2)7t2k n + W 2x兀3兀 ”W 2k n + 一 , k € Z ,解得: 0 £.n+ . W x W k nk € Z ,•函数的单调递减区间为:[k 兀Tt +57T],k € Z ,描点、连线如图所示:30.已知椭圆. 的右焦点与抛物线y 2=4x 的焦点F 重合，且椭圆的离心a 2b 2率是'，如图所示.2(1) 求椭圆的标准方程； (2)抛物线的准线与椭圆在第二象限相交于点 A ,过点A 作抛物线的切线I ,1与椭圆的另一个交点为B ，求线段AB 的长.【考点】KL :直线与椭圆的位置关系.【分析】(1)根据题意得F (1, 0),即c=1,再通过e=l 及c 2=a 2 - b 2计算可得椭圆的方程；(2)将准线方程代入椭圆方程，求得 A 点坐标，求得抛物线的切线方程，由△ =0,求得k 的值，分别代入椭圆方程，求得 B 点坐标，利用两点之间的距离公式，即可求得线段 AB 的长.【解答】解：(1)根据题意，得F (1 , 0), ••• c=1, 又 e 「, • a=2,「. b 2=a 2 - c 2=3, 2 2故椭圆的标准方程为：：'一•=—_：4 33由A 位于第二象限，则 A (- 1,),3冥 + (—1 )过点A 作抛物线的切线I 的方程为：*r'由* /异，解得- 3，----- F --- -1U 3(2)抛物线的准线方程为x=- 1垃二T2 2即直线I : 4x - 3y - 4=0214x-3y-4=02整理得4 ' -=1整理得：ky2- 4y+4k+6=0 ,3当k=0,解得：y<_，不符合题意,当k=时，直线2[2 2x丄y ,直线与椭圆只有一个交点，不符合题意,当k z 0，由直线与抛物线相切，则△=0,(4k+6) =0,解得:k=「或k= - 2,当k= - 2时，直线I的方程为3y- I：= -2 (x+1),2 24‘，整理得：y-y=-2(s+l)则y1=,『2=--三，由以上可知点A (- 1 , ), B (―,- •),u 1 勺>0 W•••丨AB 丨= I 「: . 1：~ = ,V L19 wr 3呂！2 ' 19由-11192--19x +8x - 11=0，解得：X i=- 1 , X2= ,19(x+1),，整理得：（x+1）2=0,22。
2023年天津市春季高考数学试卷
2023年天津市春季高考数学试卷（内部资料，仅供考生使用）注意事项：1. 本试卷满分150分，考试时间为120分钟。
2. 考生答题前，请将姓名、准考证号填写在答题卡上。
3. 所有试题均选择题，答案只能填涂在答题卡上，不得在试卷上作答。
4. 请根据题目要求，作答完整，不得涂改。
第一部分：选择题（共100分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
下面每题给出四个选项，请选出一个正确答案。
1. 设a是方程x²+ax+1=0的一个根，那么a的值是：A. 1B. -1C. -2D. 22. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn=2n²+3n，那么a₁的值是：A. 1B. 2C. 3D. 43. 在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=4。
则BC的长度为：A. 5B. 7C. 10D. 124. 已知函数f(x)=x³+ax²+bx+1，若f(1)=5，f'(1)=2，则a+b的值是：A. 4B. 3C. 2D. 15. 一个数的平方减去该数的两倍等于6，这个数为：A. 2B. 4C. -2D. -46. 若函数f(x)在区间[2,5]上是减函数，那么f'(x)在该区间上的符号为：A. 正B. 负C. 零D. 无法确定7. 设集合A={2,4,6}，集合B={1,6,9}，则集合A∪B的元素个数为：A. 4B. 5C. 6D. 78. 在等比数列{an}中，已知a₁=3，公比q=2，求a₃的值。
A. 3B. 6C. 9D. 129. 已知直线y=kx-8与x轴和y轴分别交于点A和点B，且三角形OAB的面积为16，那么k的值为：A. 1B. 2C. 3D. 410. 若数列{an}满足a₁=2，an=an-1+n(n-1)，则a₄的值为：A. 11B. 9C. 7D. 6二、选择题共10小题，每小题6分，共60分。
下面每题给出四个选项，请选出一个正确答案。
2020年山东省春季高考数学真题
2020年山东省春季高考数学真题2020年山东省春季高考数学真题一、单选题1.已知全集 $U=\{a,b,c,d\}$，集合 $M=\{a,c\}$，则 $U-M$ 等于（）XXXB。
$\{a,c\}$C。
$\{b,d\}$D。
$\{a,b,c,d\}$2.函数 $f(x)=\dfrac{1}{\lg x}$ 的定义域是（）A。
$(0,+\infty)$B。
$(0,1)\cup(1,+\infty)$C。
$[0,1)\cup(1,+\infty)$D。
$(1,+\infty)$3.已知函数 $f(x)$ 的定义域是 $\mathbb{R}$，若对于任意两个不相等的实数 $x_1,x_2$，总有 $\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}>0$ 成立，则函数 $f(x)$ 一定是（）A。
奇函数B。
偶函数C。
增函数D。
减函数4.已知平行四边形$ABCD$，点$E$，$F$ 分别是$AB$，$BC$ 的中点（如图所示），设 $AB=a$，$AD=b$，则$EF$ 等于（）A。
$\dfrac{1}{2}(a+b)$B。
$\dfrac{1}{2}(a-b)$C。
$\dfrac{1}{2}(b-a)$D。
$a+b$5.在等比数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=1$，$a_2=-2$，则$a_9$ 等于（）A。
256B。
$-256$C。
512D。
$-512$6.已知直线 $l:y=x\sin\theta+\cos\theta$ 的图像如图所示，则角 $\theta$ 是（）图略】A。
第一象限角B。
第二象限角C。
第三象限角D。
第四象限角7.已知圆心为 $(-2,1)$ 的圆与 $y$ 轴相切，则该圆的标准方程是（）A。
$(x+2)^2+(y-1)^2=1$B。
$(x+2)^2+(y-1)^2=22$C。
$(x-2)^2+(y+1)^2=122$D。
$(x-2)^2+(y+1)^2=422$8.现从 $4$ 名男生和 $3$ 名女生中，任选 $3$ 名男生和$2$ 名女生，分别担任 $5$ 门不同学科的课代表，则不同安排方法的种数是（）A。
2022-2023年上海市春季高考数学试卷历年真题以及预测题答案解析
2022年上海市普通高等学校春季招生真题考试数学试卷一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，直接填写结果，每题答对得4分，否则一律得零分.二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，考生必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 5分，否则一律得零分.三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.19. (本题满分12分) 本题共有两个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.21. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.22. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.23. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.2023年上海市春季高考数学试卷一.填空题（本大题共12题，满分48分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．设集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则A∪B= ．2．不等式|x﹣1|＜3的解集为．3．若复数z满足2﹣1=3+6i（i是虚数单位），则z= ．4．若，则= ．5．若关于x、y的方程组无解，则实数a= ．6．若等差数列{an }的前5项的和为25，则a1+a5= ．7．若P、Q是圆x2+y2﹣2x+4y+4=0上的动点，则|PQ|的最大值为．8．已知数列{an}的通项公式为，则= ．9．若的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为．10．设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点P在该椭圆上，则使得△F1F2P是等腰三角形的点P的个数是．11．设a1、a2、…、a6为1、2、3、4、5、6的一个排列，则满足|a1﹣a2|+|a3﹣a4|+|a5﹣a6|=3的不同排列的个数为．12．设a、b∈R，若函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，则f（1）的取值范围为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．函数f（x）=（x﹣1）2的单调递增区间是（）A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，1]14．设a∈R，“a＞0”是“”的（）条件．A．充分非必要 B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要15．过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（）A．三角形B．长方形C．对角线不相等的菱形 D．六边形16．如图所示，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为2，若P为该正八边形边上的动点，则的取值范围为（）A．B．C D．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3；（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1C与DD1所成角的大小．18．（12分）设a∈R，函数；（1）求a的值，使得f（x）为奇函数；（2）若对任意x∈R成立，求a的取值范围．19．（12分）某景区欲建造两条圆形观景步道M1、M2（宽度忽略不计），如图所示，已知AB⊥AC，AB=AC=AD=60（单位：米），要求圆M1与AB、AD分别相切于点B、D，圆M2与AC、AD分别相切于点C、D；（1）若∠BAD=60°，求圆M1、M2的半径（结果精确到0.1米）（2）若观景步道M1与M2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，如何设计圆M1、M2的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）20．（12分）已知双曲线（b＞0），直线l：y=kx+m（km≠0），l与Γ交于P、Q两点，P'为P关于y轴的对称点，直线P'Q与y轴交于点N（0，n）；（1）若点（2，0）是Γ的一个焦点，求Γ的渐近线方程；（2）若b=1，点P的坐标为（﹣1，0），且，求k的值；（3）若m=2，求n关于b的表达式．21．（12分）已知函数f（x）=log2；（1）解方程f（x）=1；（2）设x∈（﹣1，1），a∈（1，+∞），证明：∈（﹣1，1），且f（）﹣f（x）=﹣f（）；（3）设数列{xn }中，x1∈（﹣1，1），xn+1=（﹣1）n+1，n∈N*，求x1的取值范围，使得x3≥xn对任意n∈N*成立．2023年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，满分48分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．设集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则A∪B= {1，2，3，4} ．2．不等式|x﹣1|＜3的解集为（﹣2，4）．3．若复数z满足2﹣1=3+6i（i是虚数单位），则z= 2﹣3i ．4．若，则= ．5．若关于x、y的方程组无解，则实数a= 6 ．6．若等差数列{an }的前5项的和为25，则a1+a5= 10 ．7．若P、Q是圆x2+y2﹣2x+4y+4=0上的动点，则|PQ|的最大值为 2 ．8．已知数列{an}的通项公式为，则= ．9．若的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为160 ．10．设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点P在该椭圆上，则使得△F1F2P是等腰三角形的点P的个数是 6 ．11．设a1、a2、…、a6为1、2、3、4、5、6的一个排列，则满足|a1﹣a2|+|a3﹣a4|+|a5﹣a6|=3的不同排列的个数为48 ．12．设a、b∈R，若函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，则f（1）的取值范围为（0，1）．解：函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，即方程x2+bx+a=0在区间（1，2）上两个不相等的实根，⇒⇒，如图画出数对（a，b）所表示的区域，目标函数z=f（1）═a+b+1∴z的最小值为z=a+b+1过点（1，﹣2）时，z的最大值为z=a+b+1过点（4，﹣4）时∴f（1）的取值范围为（0，1）故答案为：（0，1）二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．函数f（x）=（x﹣1）2的单调递增区间是（ B ）A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，1]14．设a∈R，“a＞0”是“”的（ C ）条件．A．充分非必要 B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要15．过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（ A ）A．三角形B．长方形C．对角线不相等的菱形 D．六边形16．如图所示，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为2，若P为该正八边形边上的动点，则的取值范围为（ B ）A．B．C．D．解：由题意，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的每一个内角为135°，且，，，．再由正弦函数的单调性及值域可得，当P与A8重合时，最小为==．结合选项可得的取值范围为．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（12分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3；（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1C与DD1所成角的大小．解：（1）∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3，∴四棱锥A1﹣ABCD的体积：====4．（2）∵DD1∥CC1，∴∠A1CC1是异面直线A1C与DD1所成角（或所成角的补角），∵tan∠A1CC1===，∴=．∴异面直线A1C与DD1所成角的大小为；18．（12分）设a∈R，函数；（1）求a的值，使得f（x）为奇函数；（2）若对任意x∈R成立，求a的取值范围．解：（1）由f（x）的定义域为R，且f（x）为奇函数，可得f（0）=0，即有=0，解得a=﹣1．则f（x）=，f（﹣x）===﹣f（x），则a=﹣1满足题意；（2）对任意x∈R成立，即为＜恒成立，等价为＜，即有2（a﹣1）＜a（2x+1），当a=0时，﹣1＜0恒成立；当a＞0时，＜2x+1，由2x+1＞1，可得≤1，解得0＜a≤2；当a＜0时，＞2x+1不恒成立．综上可得，a的取值范围是[0，2]．19．（12分）某景区欲建造两条圆形观景步道M1、M2（宽度忽略不计），如图所示，已知AB⊥AC，AB=AC=AD=60（单位：米），要求圆M1与AB、AD分别相切于点B、D，圆M2与AC、AD分别相切于点C、D；（1）若∠BAD=60°，求圆M1、M2的半径（结果精确到0.1米）（2）若观景步道M1与M2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，如何设计圆M1、M2的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）解：（1）M1半径=60tan30°≈34.6，M2半径=60tan15°≈16.1；（2）设∠BAD=2α，则总造价y=0.8•2π•60tanα+0.9•2π•60tan（45°﹣α），设1+tanα=x，则y=12π•（8x+﹣17）≥84π，当且仅当x=，tanα=时，取等号，∴M1半径30，M2半径20，造价42.0千元．20．（12分）已知双曲线（b＞0），直线l：y=kx+m（km≠0），l与Γ交于P、Q两点，P'为P关于y轴的对称点，直线P'Q与y轴交于点N（0，n）；（1）若点（2，0）是Γ的一个焦点，求Γ的渐近线方程；（2）若b=1，点P的坐标为（﹣1，0），且，求k的值；（3）若m=2，求n关于b的表达式．解：（1）∵双曲线（b＞0），点（2，0）是Γ的一个焦点，∴c=2，a=1，∴b2=c2﹣a2=4﹣1=3，∴Γ的标准方程为： =1，Γ的渐近线方程为．（2）∵b=1，∴双曲线Γ为：x2﹣y2=1，P（﹣1，0），P′（1，0），∵=，设Q（x2，y2），则有定比分点坐标公式，得：，解得，∵，∴，∴=．（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2），kPQ=k，则，由，得（b2﹣k2）x2﹣4kx﹣4﹣b2=0，，，由，得（）x2﹣2knx﹣n2﹣b2=0，﹣x1+x2=，﹣x1x2=，∴x1x2==，即，即=，====，化简，得2n 2+n （4+b 2）+2b 2=0，∴n=﹣2或n=，当n=﹣2，由=，得2b 2=k 2+k 02，由，得，即Q （，），代入x 2﹣=1，化简，得：，解得b 2=4或b 2=kk 0，当b 2=4时，满足n=，当b 2=kk 0时，由2b 2=k 2+k 02，得k=k 0（舍去），综上，得n=．21．（12分）已知函数f （x ）=log 2；（1）解方程f （x ）=1；（2）设x ∈（﹣1，1），a ∈（1，+∞），证明：∈（﹣1，1），且f （）﹣f （x ）=﹣f （）；（3）设数列{x n }中，x 1∈（﹣1，1），x n+1=（﹣1）n+1，n ∈N *，求x 1的取值范围，使得x 3≥x n 对任意n ∈N *成立． 解：（1）∵f （x ）=log 2=1，∴=2，解得；（2）令g （x ）=，ax a a x g --+-=21)(∵a ∈（1，+∞），∴g （x ）在（﹣1，1）上是增函数， 又g （﹣1）=，g （1）==1，∴﹣1＜g （x ）＜1，即∈（﹣1，1）．∵f （x ）﹣f （）=log 2﹣log 2=log 2﹣log 2=log 2（）=log 2，f （）=log 2=log 2．∴f （）=f （x ）﹣f （），∴f （）﹣f （x ）=﹣f （）．（3）∵f （x ）的定义域为（﹣1，1）， f （﹣x ）=log 2=﹣log 2=﹣f （x ），∴f （x ）是奇函数．∵x n+1=（﹣1）n+1，∴x n+1=．①当n 为奇数时，f （x n+1）=f （）=f （x n ）﹣f （）=f （x n ）﹣1，∴f （x n+1）=f （x n ）﹣1； ②当n 为偶数时，f （x n+1）=f （﹣）=﹣f （）=1﹣f （x n ），∴f （x n+1）=1﹣f （x n ）．∴f （x 2）=f （x 1）﹣1，f （x 3）=1﹣f （x 2）=2﹣f （x 1）， f （x 4）=f （x 3）﹣1=1﹣f （x 1），f （x 5）=1﹣f （x 4）=f （x 1）， f （x 6）=f （x 5）﹣1=f （x 1）﹣1，…∴f （x n ）=f （x n+4），n ∈N +． 设12111)(---=-+=x x x x h ∴h （x ）在（﹣1，1）上是增函数， ∴f （x ）=log 2=log 2h （x ）在（﹣1，1）上是增函数．∵x 3≥x n 对任意n ∈N *成立，∴f （x 3）≥f （x n ）恒成立，∴，即，解得：f （x 1）≤1，即log 2≤1，∴0＜≤2，解得：﹣1＜x 1≤．2022年上海市春季高考（学业水平考试）数学试卷2022.1一. 填空题（本大题共12题，每题3分，共36分） 1. 复数34i +（i 为虚数单位）的实部是 ； 2. 若2log (1)3x +=，则x = ； 3. 直线1y x =-与直线2y =的夹角为 ； 4. 函数()2f x x =-的定义域为 ；5. 三阶行列式135400121--中，元素5的代数余子式的值为 ； 6. 函数1()f x a x=+的反函数的图像经过点(2,1)，则实数a = ； 7. 在△ABC 中，若30A ︒=，45B ︒=，6BC =AC = ；8. 4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为 ；（结果用数值表示）9. 无穷等比数列{}n a 的首项为2，公比为13，则{}n a 的各项和为 ； 10. 若2i +（i 为虚数单位）是关于x 的实系数一元二次方程250x ax ++=的一个虚根，则a = ；11. 函数221y x x =-+在区间[0,]m 上的最小值为0，最大值为1，则实数m 的取值范围 是 ；12. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 是圆22650x y x +-+=上的两个动点，且满足||23AB =||OA OB +的最小值为 ；二. 选择题（本大题共12题，每题3分，共36分） 13. 满足sin 0α>且tan 0α<的角α属于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限； 14. 半径为1的球的表面积为（ ）A. πB.43π C. 2π D. 4π 15. 在6(1)x +的二项展开式中，2x 项的系数为（ ） A. 2 B. 6 C. 15 D. 20 16. 幂函数2y x -=的大致图像是（ ）A. B. C. D.17. 已知向量(1,0)a =，(1,2)b =，则向量b 在向量a 方向上的投影为（ ） A. 1 B. 2 C. (1,0) D. (0,2) 18. 设直线l 与平面α平行，直线m 在平面α上，那么（ ） A. 直线l 平行于直线m B. 直线l 与直线m 异面 C. 直线l 与直线m 没有公共点 D. 直线l 与直线m 不垂直19. 用数学归纳法证明等式2123...22n n n ++++=+*()n N ∈的第（ii ）步中，假设n k =时原等式成立，那么在1n k =+时，需要证明的等式为（ ） A. 22123...22(1)22(1)(1)k k k k k k ++++++=+++++ B. 2123...22(1)2(1)(1)k k k k ++++++=+++C. 22123...2(21)2(1)22(1)(1)k k k k k k k ++++++++=+++++ D. 2123...2(21)2(1)2(1)(1)k k k k k ++++++++=+++20. 关于双曲线221164x y -=与221164y x -=的焦距和渐近线，下列说法正确的是（ ） A. 焦距相等，渐近线相同 B. 焦距相等，渐近线不相同 C. 焦距不相等，渐近线相同 D. 焦距不相等，渐近线不相同21. 设函数()y f x =的定义域为R ，则“(0)0f =”是“()y f x =为奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件22. 下列关于实数a 、b 的不等式中，不恒成立的是（ ） A. 222a b ab +≥ B. 222a b ab +≥- C. 2()2a b ab +≥ D. 2()2a b ab +≥-23. 设单位向量1e 与2e 既不平行也不垂直，对非零向量1112a x e y e =+，2122b x e y e =+， 有结论：① 若12210x y x y -=，则a ∥b ；② 若12120x x y y +=，则a b ⊥；关于以上两 个结论，正确的判断是（ ）A. ①成立，②不成立B. ①不成立，②成立C. ①成立，②成立D. ①不成立，②不成立24. 对于椭圆22(,)22:1a b x y C a b +=(,0,)a b a b >≠，若点00(,)x y 满足2200221x y a b+<，则称该点在椭圆(,)a b C 内，在平面直角坐标系中，若点A 在过点(2,1)的任意椭圆(,)a b C 内或椭圆(,)a b C 上，则满足条件的点A 构成的图形为（ ）A. 三角形及其内部B. 矩形及其内部C. 圆及其内部D. 椭圆及其内部三. 解答题（本大题共5题，共8+8+8+12+12=48分）25. 如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的体积为3，求异面直线1BC 与AC 所成的角的大小；26. 已知函数()sin f x x x =，求()f x 的最小正周期及最大值，并指出()f x 取得 最大值时x 的值；27. 如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点F 处，已知灯口直径是24cm ，灯深10cm ，求灯泡与反射 镜的顶点O 的距离；28. 已知数列{}n a 是公差为2的等差数列； （1）若1a 、3a 、4a 成等比数列，求1a 的值；（2）设119a =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 满足11b =，11()2nn n b b +-=，记 12n n n n c S b -=+⋅()n N *∈，求数列{}n c 的最小值0n c ；（即0n n c c ≤对任意n N *∈成立）29. 对于函数()f x 与()g x ，记集合{|()()}f g D x f x g x >=>； （1）设()2||f x x =，()3g x x =+，求f g D >；（2）设1()1f x x =-，21()()313x xf x a =+⋅+，()0h x =，如果12f hf h D D R >>=，求实数a 的取值范围；附加题一. 选择题（本大题共3题，每题3分，共9分）1. 若函数()sin()f x x ϕ=+是偶函数，则ϕ的一个值是（ ） A. 0 B.2πC. πD. 2π2. 在复平面上，满足|1|4z -=的复数z 所对应的点的轨迹是（ ） A. 两个点 B. 一条线段 C. 两条直线 D. 一个圆3. 已知函数()f x 的图像是折线段ABCDE ，如图，其中(1,2)A 、(2,1)B 、(3,2)C 、(4,1)D 、(5,2)E ，若直线y kx b =+(,)k b R ∈与()f x 的图像恰有4个不同的公共点，则k 的取值范围是（ ）A. (1,0)(0,1)- B. 11(,)33-C. (0,1]D. 1[0,]3二. 填空题（本大题共3题，每题3分，共9分）4. 椭圆221259x y +=的长半轴的长为 ； 5. 已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30︒，则该圆锥的侧面积为 ； 6. 小明用数列{}n a 记录某地区2015年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k 天 下过雨时，记1k a =，当第k 天没下过雨时，记1k a =-(131)k ≤≤；他用数列{}n b 记录该 地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k 天有雨时，记1k b =，当预报第k 天 没有雨时，记1k b =-(131)k ≤≤；记录完毕后，小明计算出1122333131...a b a b a b a b ++++25=，那么该月气象台预报准确的总天数为 ；三. 解答题（本大题12分）7. 对于数列{}n a 与{}n b ，若对数列{}n c 的每一项k c ，均有k k c a =或k k c b =，则称数列{}n c 是{}n a 与{}n b 的一个“并数列”；（1）设数列{}n a 与{}n b 的前三项分别为11a =，23a =，35a =，11b =，22b =，33b =， 若数列{}n c 是{}n a 与{}n b 的一个“并数列”，求所有可能的有序数组123(,,)c c c ； （2）已知数列{}n a 、{}n c 均为等差数列，{}n a 的公差为1，首项为正整数t ，{}n c 的前10项和为30-，前20项和为260-，若存在唯一的数列{}n b ，使得{}n c 是{}n a 与{}n b 的 一个“并数列”，求t 的值所构成的集合；参考答案一. 填空题1. 3；2. 7；3.4π； 4. [2,)+∞；5. 8；6. 1；7.8. 24；9. 3； 10. 4-； 11. [1,2]； 12. 4；二. 选择题13. B ； 14. D ； 15. C ； 16. C ； 17. A ； 18. C ； 19. D ； 20. B ； 21. B ； 22. D ； 23. A ； 24. B ；三. 解答题25. 34arccos 10h θ=⇒=； 26. 2T π=，当26x k ππ=+()k Z ∈时，有max 2y =；27. 214.4|| 3.6y x OF cm =⇒=；28.（1）18a =-；（2）22021nn c n n =-+-，min 449c c ==-；29.（1）(,1)(3,)f g D >=-∞-+∞；（2）49a >-；附加题1. B ；2. D ；3. B ；4. 5；5. 50π；6. 28；7.（1）(1,3,5)，(1,3,3)，(1,2,5)，(1,2,3)； （2）*{|3,6,}t t t t N ≠≠∈；。
2022年山东省春季高考数学试题及答案
山东省2022年普通高校招生（春季）考试数学试题1．本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分，满分120分，考试时间120分钟。
考生清在答题卡上答题，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2．本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，除题目有具体要求外，最后结果精确到0.01。
卷一（选择题共60分）一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，并填涂在答题卡上）1．已知集合M＝{1，2}，N＝{2，3，x}，若M N，则实数x的值是（）．A．1B．2C．3D．42．已知a＞b，则下列不等式成立的是（）．A．a＋b＞0B．ab＞0C．|a|＞|b|D．3＋a＞3＋b3．已知向量a与向量b的方向相反，|a|＝4，|b|＝3，则a⋅b等于（）．A．－6B．6C．－12D．124．在等差数列{a n}中，已知a1＝2，a2＋a3＝10，则该数列的公差是（）．A．1B．2C．3D．45．已知函数f (x)＝(a－5)x2＋sin x是奇函数，则实数a的值是（）．A．3B．4C．5D．66．如图所示，上下两个正四棱柱的底面边长之比是1 : 2，则该组合体三视图中的俯视图是（）．（第6题图）A．B．C．D．7．已知直线过点(0，2)，且倾斜角为135°，则该直线的方程是（）．A．x－y－2＝0 B．x－y＋2＝0 C．x＋y＋2＝0 D．x＋y－2＝08．已知p 是假命题，q 是真命题，则下列命题为真命题的是（ ）． A ．⌝qB ．⌝p ∧qC ．⌝(p ∨q )D ．p ∧q9．如图所示，△ABC 中，D 是BC 的中点，设→AB ＝a ，→AD ＝b ，则→AC 等于（ ）． A ．a －2 b B ．a ＋2 b C ．－a ＋2 b D ．－a －2 b 10．圆x 2＋y 2－4x ＋6y －3＝0的圆心坐标是（ ）．A ．(2，3)B ．(2，－3)C ．(－2，3)D ．(－2，－3)11．已知tan(π－α)＝3，且α是第二象限角，则sin α等于（ ）．A ．1010B ．－1010C ．31010D ．－3101012．在(x －2)6的二项展开式中，二项式系数最大的项是（ ）．A ．160 x 3B ．－160 x 3C ．60 x 4D ．－60 x 413．如图所示的圆柱形容器，其底面半径为1m ，高为3m （不计厚度）．设容器内液面高度为x （m ），液体的体积为V （m 3），把V 表示为x 的函数，则该函数的图像大致是（ ）．A ．B ．C ．D ．14．某职业学校计划举行合唱、舞蹈、书画三项活动，若甲、乙两名同学每人从这三项活动中任选一项，则恰好都选择舞蹈的概率是（ ）． A ．16B ．19C ．29D ．1315．已知函数f (x )＝x 2＋bx 图像的对称轴为x ＝1，则不等式f (x )＜0的解集是（ ）．A ．(－2，0)B ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)C ．(0，2)D ．(－∞，0)∪(2，＋∞)16．已知点A (cos α，sin α)，B (cos β，sin β)，若β－α＝π3，则|→AB |等于（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．2ACBD（第9题图）x (m) O V (m 3)3 x (m) O V (m 3)3 x (m)O V (m 3)3 x (m) O V (m 3)3 （第13题图）x (m)17．对于a ∈Z ，0≤b ＜1，给出运算法则：【a ＋b 】＝a －2，则【－1.414】的值等于（ ）．A ．1B ．0C ．－3D ．－418．下列约束条件中，可以表示如图所示区域（阴影部分）的是（ ）．A ．⎩⎨⎧y －2≥0x －y ＋2＜0B ．⎩⎨⎧y －2≤0x －y ＋2＜0C ．⎩⎨⎧y －2≥0x －y ＋2＞0D ．⎩⎨⎧y －2≤0x －y ＋2＞019．有三张卡片，第一张卡片的正反两面分别写有数字1，3，第二张卡片的正反两面分别写有数字2，4，第三张卡片的正反两面分别写有数字5，7．现从这三张卡片中任取两张并排放在桌面上，两张卡片朝上一面的数字组成一个两位数，则所有不同两位数的个数是（ ）． A ．8B ．12C ．18D ．2420．已知双曲线 x 2a 2－y 2b 2＝1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点分别是F 1，F 2，O 是坐标原点，过点F 2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为P . 若|PF 1|＝3|OP |，则双曲线的离心率是（ ）． A ．6B ．5C ．3D ．2卷二（非选择题 共60分）二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分．请将答案填在答题卡相应题号的横线上） 21．抛物线x 2＝2y 的焦点坐标是 ．22．若底面边长为4的正四棱锥与棱长为2的正方体体积相等，则正四棱锥的高等于 ． 23．在△ABC 中，已知AC ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝45°，则BC ＝____________．24．某企业操作岗位、技术岗位和管理岗位的人数分别是700，210，140．为了解该企业不同岗位员工的健康状况，采用分层抽样的方法，从这三个岗位的所有员工中随机抽取300人进行体检，则抽取操作岗位的人数是 ． 25．已知a ＞0且a ≠1，若函数f (x )＝()()[)1522+xa x x a x ⎧-+∈-∞⎪⎨∈∞⎪⎩，，，，在(－∞，＋∞)上具有单调性，则实数a 的取值范围是 ．y －2＝0xyOx －y+2＝0（第18题图）三、解答题（本大题5个小题，共40分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤） 26．(7分)已知函数f (x )＝kx ，且f (2)＝1．（1）求实数k 的值；（2）证明函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数．27．（8分）如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 是棱BB 1上的点，求证： （1）AC ∥平面A 1PC 1； （2）AC ⊥D 1P ．28．（8分）如图所示，已知等边△ABC 的边长为6，顺次连接△ABC 各边的中点，构成△A 1B 1C 1，再顺次连接△A 1B 1C 1各边的中点，构成△A 2B 2C 2，依此进行下去，直至构成△A n B n C n ，这n 个新构成的三角形的边长依次记做a 1，a 2，…，a n ． （1）求a 1，a 2，a 3的值；（2）若△A n B n C n 的边长小于0.01，求n 的最小值．29．（8分）已知函数f (x )＝23sin x cos x －2cos 2x ＋m 的图像过点(0，－1)． （1）求函数f (x )的最大值；（2）若α∈ (0，π2)，且f (α)＝1，求α的值．30．（9分）如图所示，已知椭圆 x 2a 2＋y 2b2＝1（a ＞b ＞0）的右顶点是A ，左右焦点分别是F 1，F 2，且|AF 1|＝2＋1，|AF 2|＝2－1． （1）求椭圆的标准方程；（2）设直线l ：x －2y ＋m ＝0交椭圆于点M ，N ， 以线段F 2M ，F 2N 为邻边作平行四边形F 2MPN ， 若点P 在椭圆上，求实数m 的值．（第30题图）xyOF 1PAF 2N Ml AB CD A 1B 1C 1D 1P（第27题图）A BCA 1B 1C 1 B 2A 2 C 2 … （第28题图）山东省2022年普通高校招生（春季）考试数学试题答案卷一（选择题 共60分）一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，并填涂在答题卡上）【附解析】1.A （提示：因为M ⊆ N ，所以集合M 中的元素都是集合N 中的元素，则x ＝1）2.D （提示：本题可以从选项入手，采用反例法逐一验证.如当a ＝3，b ＝－3时，选项A 、B 、C 都错误；而D 选项，根据不等式的性质，在不等式的两边同时加上3，不等号的方向保持不变）3.C （提示：因为向量a 与向量b 的方向相反，则＜a ，b ＞＝180︒，所以a ⋅b ＝|a ||b |cos ＜a ，b ＞＝4×3×cos180︒＝－12）4.B （提示：因为数列{a n }是等差数列，a 1＝2，所以a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d ．因为a 2＋a 3＝10，所以2×2＋3d ＝10，解得d ＝2）5.C （提示：因为函数f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，则由f (x )的解析式可得， (a －5)(－x )2＋sin(－x )＝－[(a －5)x 2＋sin x ]，即(a －5)x 2－sin x ＝－(a －5)x 2－sin x ，2(a －5)x 2＝0，a ＝5．本题亦可采用赋值法求解，如f (－1)＝－f (1) ）6.A （提示：根据俯视图的定义，该几何体的俯视图是两个正方形，其边长之比为1:2，且小正方形位于大正方形的右上角）7.D （提示：斜率k =tan135°＝－1，又因为直线过(0,2)，所以其纵截距为2，则直线方程为y ＝－x +2，即x ＋y －2＝0）8.B （提示：q 是真命题，⌝ q 为假命题，A 错误；p 是假命题，⌝ p 为真命题，⌝ p ∧q 为真命题，B 正确；(p ∧q )为真，⌝(p ∧q )是假命题，C 错误；p ∧q 为假命题，D 错误） 9.C （提示：由→AD ＝12(→AB ＋→AC )，得→AC ＝2→AD －→AB ＝2b －a ＝－a ＋2b ）10.B （提示：配方得，(x －2)2＋(y ＋3)2＝16，则圆心为(2，－3)，半径为r ＝4）11.C （提示：由tan(π－α)＝－tan α＝3，得tan α＝－3，由⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α ＝－3 sin 2α＋cos 2α＝1，得sin 2α＝910，又α是第二象限角，则sin α＝31010）12.B （提示：展开式共有7项，中间一项的二项式系数最大，即T 4＝C 36x 3(－2)3＝－160x 3）13.A （提示：因为V ＝Sh ＝πx ，x ∈[0，3]，所以V 是关于x 的正比例函数，且在区间[0，3]上单调递增，其图像是一条自左而右逐渐上升的直线）14.B （提示：甲乙两名同学每人从这三项活动中任选一项，一共有n ＝3×3＝9个基本事件，随机事件A “恰好都选择舞蹈”的基本事件个数为m ＝1，所以概率是P (A )＝m n ＝19）15.C （提示：由对称轴x ＝－b2＝1，得b ＝－2，解不等式x 2－2x ＜0，得0＜x ＜2）16.A （提示：|→AB |＝(cos β－cos α)2＋(sin β－sin α)2 ＝2－2cos βcos α－2sin βsin α ＝2－2(cos βcos α＋sin βsin α) ＝2－2cos(β－α)＝2－2cos π3＝1）17.D （提示：【－1.414】＝【－2＋0.586】＝－2－2＝－4）18.B （提示：阴影区域在直线 y －2＝0的下方与直线x －y ＋2＝0的左侧公共部分，根据系数法可知需满足x －y ＋2＜0且y －2≤0）19.D （提示：一共6个数字，十位上的数字有6种不同的选法，个位上的数字有4种不同的选法，所以由分步计数原理可得，N ＝6×4＝24个两位数）20.A （提示：如图所示，在Rt ∆OF 2P 中，易知OP ＝a ，PF 2＝b ，OF 2＝c ；令∠OF 2P ＝θ，则cos θ＝F 2P OF 2＝bc.又在∆PF 1F 2中，易知PF 1＝3OP ＝3a ，PF 2＝b ，F 1F 2＝2c ，则由余弦定理可得，cos θ＝PF 22＋F 1F 22－PF 122PF 2×F 1F 2＝b 2＋(2c )2－(3a )2 2b ×2c ＝b 2＋4c 2－9a 24bc ；由b c ＝b 2＋4c 2－9a 24bc ，可得b 2＋4c 2－9a 2＝4b 2，即4c 2－9a 2＝3b 2＝3(c 2－a 2)；化简得，c 2＝6a 2，c ＝6a ，则e ＝ca ＝6）（第20题图）yOF 1F 2Pθx卷二（非选择题 共60分）二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分．请将答案填在答题卡相应题号的横线上） 21. (0，12)22. 3223. 324. 20025. (0，1)∪[3，＋∞)【附解析】21. (0，12)（提示：焦点在y 轴的正半轴上）22. 32（提示：V ＝13×42×h ＝23，解得h ＝32）23. 3（提示：在∆ABC 中，由BC sin A ＝ACsin B ，得BC ＝AC ×sin A sin B ＝6×sin30°sin45°＝3） 24.200（提示：分层抽样，700×300700＋210＋140＝700×3001050＝200）25. (0，1)∪[3，＋∞)（提示：分两种情况进行讨论.若函数f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数，如25题图（1）所示，可得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＞0，a ＞1，a 2≥2(a －1)＋5，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a ＞1，a ≤－1或a ≥3，解得a ≥3；若函数f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，如25题图（2）所示，可得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＜0，0＜a ＜1，a 2≤2(a －1)x ＋5，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＜1，0＜a ＜1，－1≤a ≤3，解得0＜a ＜1；综上所述，实数a 的取值范围是(0，1)∪[3，＋∞) ）三、解答题（本大题5个小题，共40分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤） 26.（1）解：因为函数f (x )＝k x ，且f (2)＝1，所以k2＝1，解得k ＝2．（2）证明：由（1）得，f (x )＝2x．设x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，x2Oy第25题图（1）y ＝a x ，x ≥2y ＝(a －1) x ＋5，x ＜2x2 O y第25题图（2）y ＝a x ，x ≥2y ＝(a －1) x ＋5，x ＜2则△x ＝x 2－x 1，△y ＝y 2－y 1＝f (x 2)－f (x 1)＝2x 2－2x 1＝2(x 1－x 2)x 1x 2，因此，△y △x ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝2(x 1－x 2)x 1x 2×1x 2－x 1＝－2x 1x 2，因为x 1，x 2∈(0，＋∞)，所以x 1x 2＞0，则△y △x ＝－2x 1x 2＜0， 所以函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数．27.证明：（1）如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，因为AA 1∥CC 1且AA 1＝CC 1，所以四边形AA 1C 1C 为平行四边形，故AC ∥A 1C 1， 因为AC ⊄平面A 1PC 1，A 1C 1 ⊂平面A 1PC 1，所以AC ∥平面A 1PC 1． （2）如图所示，连接BD ，B 1D 1.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，因为BB 1⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以BB 1⊥AC ， 因为四边形ABCD 为正方形，所以AC ⊥BD ，因为BB 1∩BD ＝B ，BB 1⊂平面BB 1D 1D ，BD ⊂平面BB 1D 1D ，所以AC ⊥平面BB 1D 1D ， 因为D 1P ⊂平面BB 1D 1D ，所以AC ⊥D 1P ． 28.解：（1）a 1＝3，a 2＝32，a 3＝34．（2）这 n 个新构成的三角形的边长成等比数列{a n }，a 1＝3，q ＝12， 则a n ＝a 1 q n＝3×(12)n －1．因为△A n B n C n 的边长小于0.01，所以3×(12)n －1 ＜ 0.01，即(12)n －1 ＜1300 ．所以n －1＞log 12 1300，n ＞9.23，即n 的最小值为10．29.解：（1）因为函数图像过点(0，－1)，所以f (0)＝ 2 3 sin0 cos0－2cos 20＋m ＝－1，解得m ＝1．则函数f (x ) ＝2 3 sin x cos x －2cos 2x ＋1＝ 3 sin2x －cos2x ＝2 sin(2x －π6)，所以函数f (x )的最大值是2．（2）因为f (α)＝2sin(2α－π6)＝1，即sin(2α－π6)＝12，所以2α－π6＝π6＋2k π或者2α－π6＝5π6＋2k π（k ∈Z ），解得α＝π6＋k π或者α＝π2＋k π（k ∈Z ），AB CD A 1B 1C 1D 1P（第27题图）因为α∈ (0，π2)，所以α＝π6．30. 解：（1）因为|AF 1|＝2＋1，|AF 2|＝2－1，即a ＋c ＝2＋1，a －c ＝2－1， 解得a ＝2，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝1， 所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.（2）由（1）可知，F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x ,y )，由题意可知，→F 2M ＋→F 2N ＝→F 2P ,即(x 1－1，y 1)＋(x 2－1,y 2)＝(x －1,y )，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 1－1＋x 2－1＝x －1y 1＋y 2＝y ，化简得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 2－1 y ＝y 1＋y 2①，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1 x －2y ＋m ＝0，消去x 可得6y 2－4my ＋m 2－2＝0.因为直线与椭圆有两个不同交点，所以Δ＝(4m )2－4×6×(m 2－2)＞0，解得－6＜m ＜6， 由韦达定理得，y 1＋y 2＝4m 6＝2m3，又由直线方程可知x ＝2y －m ，则x 1＋x 2＝2y 1－m ＋2y 2－m ＝2(y 1＋y 2)－2m ＝2×2m 3－2m ＝－2m3，代入①，可得⎩⎨⎧x ＝－2m3－1y ＝2m 3，因为P 在椭圆上，所以满足椭圆方程(－2m3－1)22＋(2m3)2＝1，化简得4m 2+4m －3＝0，解得m ＝12或m ＝－32（满足△＞0），所以m 的值为12或－32.。
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第五章：数列历年高考题一、单项选择题
1、（2003）已知数列{a
n }是等差数列，如果a
1
=2，a
4
=-6则前4项的和S
4
是（）
A -8
B -12
C -2
D 4
2、（2004年）在∆ABC中，若∠A、∠B、∠C成等差数列，且BC=2，BA=1，则AC 等于（）
A
33
2
B 1
C 3
D 7
3、（2004）在洗衣机的洗衣桶内用清水洗衣服，如果每次能洗去污垢的
3
2，则要使存留在衣服上的污垢不超过最初衣服上的2℅，该洗衣机至少要清洗的次数是（）A 2 B 3 C 4 D 5
4、（2005年）在等差数列{a
n }中，若a
1
+a
12
=10，则a
2
+a
3
+ a
10
+a
11
等于（）
A 10
B 20
C 30
D 40
5、（2005年）在等比数列{a
n }中，a
2
=2,a
5
=54,则公比q=（）
A 2
B 3
C 9
D 27
6、（2006年）若数列的前n项和S
n =3n n
-
2,则这个数列的第二项a
2
等于（）
A 4
B 6
C 8
D 10
7、（2007）为了治理沙漠，某农场要在沙漠上栽种植被，计划第一年栽种15公顷，以后每一年比上一年多栽种4公顷，那么10年后该农场栽种植被的公顷数是（）A 510 B 330 C 186 D 51
8、（2007年）如果a,b,c成等比数列，那么函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的交点
个数是（）
A 0
B 1
C 2
D 1或2
9、（2007年）小王同学利用在职业学校学习的知识，设计了一个用计算机进行数字变换的游戏，只要游戏者输入任意三个数a
1
，a
2
，a
3
，计算机就会按照规则：a
1
+
2a
2
- a
3
，a
2
+ 3a
3
,5a
3
进行处理并输出相应的三个数，若游戏者输入三个数后，计算机输出了29,50,55三个数，则输入的三个数依次是（）
A 6,10,11
B 6,17,11
C 10,17,11
D 6,24,11
10、（2008年）在等差数列{a
n
}中，若a
2
+a
5
=19，则a
7
=20，则该数列的前9项和是（）
A 26
B 100
C 126
D 155
11、（2009年）在等差数列{a
n
}中，若a
1
+a
8
=15，则S
8
等于（）
A 40
B 60
C 80
D 240
12、（2009年）甲、乙两国家2008年的国内生产总值分别为a（亿元）和4a(亿元)，甲国家计划2028年的国内生产总值超过乙国，假设乙国的年平均增长率为，那么甲国的年平均增长率最少应为（）
A 9.6℅
B 9.2℅
C 8.8℅
D 8.4℅
13、（2009年）如果三个实数a,b,c成等比数列，那么函数y=ax2+bx+c与y=ax+b 在同一坐标系中的图像可能是（）
14、（2010年）已知2，m，8构成等差数列，则实数m的值是（）
A 4
B 4或-4
C 10
D 5
15、（2010年）已知数列的前n项和S
n
=n n
+
2,则第二项a
2
的值是（）
A 2
B 4
C 6
D 8
16、（2011年）如果三个正数a,b,c成等比数列，那么lga,lgb,lgc（）
x
A.成等差数列但不成等比数列
B.成等比数列但不成等差数列
C.成等差数列且成等比数列
D.既不成等差数列也不成等比数列 17、（2011年）已知等差数列{a n }，a 3=5,a 7=13，则该数列前10项的和为（ ）。
A.90 B.100 C.110 D.120 17、（2012年）已知1和4的等比中项是log 3x,则实数x 的值是（ ） A.2或21 B.3或31 C.4或41 D.9或91
18、（2013年）“b c a 2=+”是“a,b,c ”成等差数列的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
19、（2015年）在等比数列{}n a 中，241,3a a ==，则6a 的值是（ ） A -5 B. 5 C. -9 D. 9
20、（2017年）等差数列{}n a 中，135,a a =-是4与49的等比中项，且30a ＜，则
5a =（ ）
A. -18
B.-23
C.-24
D.-32
二、填空题（2002年）已知3，a ，33成等比数列，则a 的值是____________. 三、解答题 1、（2001年）一对夫妇为了给独生孩子支付上大学的费用，在婴儿出生之日到银行去存一笔钱，以后每年孩子的生日，都要到银行去存一笔相同的款作为教育基金（不交利息税），设上大学费用共需a 万元，银行储蓄利息为年息2.25℅，按复利计算，要使孩子到18岁生日取出时本息和共a 万元，问每年需存多少元？
2、（2002年）已知等差数列{a n }的第3项是9，第9项是3，求它的第12项
3、（2003年）在8和36之间插入两个数，使前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，求这两个数。
4、（2006年）某城镇2005年底住房面积为800万平方米，当地有关部门计划：从2006年开始，每年新建住房面积是上一年底住房面积的10℅，并且每年拆除一定面积的旧住房。
（1）设每年要拆除的旧住房面积为x 万平方米，写出2006年底该城镇的住房面积.（用含x 的代数式表示）
（2）如果2015年底该城镇的住房面积是2005年底的2倍，求每年要拆除的旧住房面积x.
5、（2010年）某房地产公司在2010年对某户型推出两种售房方案：第一种是一次性付款方案，购房的优惠价为28.5万元；第二种是分期付款方案，要求购房时缴纳首付款10万元，然后从第二年起连续10年，在每年购房日向银行付款2.25万元.
假设在此期间银行存款的年利率为3℅，若不考虑其他因素，试问：对于购房者来说，采用哪种方案省钱？请计算说明.
6、（2012年）为减少沙尘暴对城市环境的影响，某市政府决定在城市外围构筑一道新的防护林，计划从2011年起每年都植树20000棵。
2011底检查发现防护林内损失了1000棵树，假设以后每一年损失的树都比上一年多300棵，照此计算：（1）2020年这一年将损失多少棵树？
（2）到2020年年底，该防护林内共存活多少棵树？（不考虑其他因素影响）7、（2013年）在等比数列{}n a中，4
2
=
a，8
3
=
a。
求：
（1）该数列的通向公式；
（2）该数列的前10项和。
8、（2014年）等差数列{a n}的公差d（d≠0）是方程x2＋3x＝0的根，前6项的和
S6＝a6＋10,求S10.
9、（2015年）某学校合唱团参加演出，需要把120名演员排成5排，并且从第二排起，每排比前一排多3名，求第一排应安排多少名演员.
10、（2016年）已知数列{
}的前n 项和322
n -=n S 求：
（1）第二项2a （2）通项公式n a
11、（2017年）某职业学校的王亮同学到一家贸易公司实习，恰逢该公司要通过海
运出口一批货物，王亮随公司负责人到保险公司洽谈货物运输期间的投保事宜，保险公司提供了交纳保险费的两种方案： ①一次性交纳50万元，可享受9折优惠；
②按照航行天数交纳：第一天交纳0.5元，从第二天起每天交纳的金额都是其前一天的2倍，共需交纳20天。
请通过计算，帮助王亮同学判断哪种方案交纳的保费较低。