概率论与数理统计复习题

《概率论与数理统计》综合练习题
第一章﹑事件与概率
1． 事件之间的关系与运算：事件的积、和、差，事件的包含，尤其是对互不相容（互斥）事件，互逆（对立）事件，事件的独立性等概念的理解及其应用；交换律，结合律，分配律，对偶律等的运用
例1．设A ﹑B 是任意两个概率不为零的互不相容事件，则下列结论中哪些是正确的：
A 、P(AB)=P(A)P(B),
B 、P(A+B)=P(A)+P(B),
C 、P(A
¯B ¯)=0, D 、P(A-B)=P(A), E 、P(A ∪B)=1， F 、P(AB) > 0
2．古典概型的计算：公式P(A)=N(A)/N(Ω)
例2．将五个不同的球随机地放入四个不同的杯中，求(1)出现三个空杯的概率；(2)杯中球的个数最多为一个的概率。

3．伯努利概型，二项概率公式的应用，其公式：X~B(n,p), P{X=k}= C n
k p k (1-p)n-k , k=0,1,2,…,n 。

例3．一批产品的次品率为p (0<p<1)，则检查4件产品中（1）恰有一件次品的概率为多少；（2）至少有一件次品的概率为多少。

4．全概率公式，贝叶斯公式，事件独立性
例4．某商店有100台相同型号的冰箱待售，其中70台是甲厂生产的，20台是乙厂生产的，10台是丙厂生产的，已知这三个厂生产的冰箱质量不同，它们的不合格率依次为0.1、0.4、0.2，现有一位顾客从这批冰箱中随机地取了一台，试求：（1）该顾客取到一台合格冰箱的概率；（2）顾客开箱测试后发现冰箱不合格，试问这台冰箱来自甲厂的概率是多大？
例5．若甲盒中有三个白球，二个黑球，乙盒中装有一个白球，二个黑球。

由甲盒中任取一球投入 乙盒，再从乙盒中任取一球。

（1）求从乙盒中取得一个白球的概率；
（2）若从乙盒中取得一个黑球，问从甲盒中也取得一个黑球的概率。

第二章﹑随机变量与概率分布
1．随机变量X 的分布函数、密度函数的定义及其性质；掌握常见的离散型随机变量的分布律，并会用离散型随机变量分布律求分布函数和概率。

例6．设随机变量X 的概率密度为f(x)，则f(x)下列哪些是正确的：
A 、0≤x ≤1
B 、P{X ≥x}=⎠⎛-∞x f(t) dt
C 、⎠⎛-∞
+∞ f(t) dt =1 D 、f(-∞)=0 E 、f(x)在(-∞,+∞)上单调增加 F 、f(x) ≥0
例7．设随机变量X 的概率分布为 ⎣⎡⎦⎤X 1 2 3P 1/2 1/3 1/6 , 求：(1) X 的分布函数F(x)；(2) P{X ≥2}。

2．连续型随机变量的密度函数的性质，f(x)≥0 , ⎰-∞+∞f(x)dx=1；掌握常见的连续型随机变量的密度函数，
并且利用密度函数求概率；
例8．设随机变量X 服从正态分布N(μ, σ2)， (1)若密度函数f(x)= 14πe -(x-1)28 ，求μ, σ2的值。

(2)若密度函数为f(x)= 12πe -x 24 ，则μ, σ2的值各为多少？
例9．设随机变量X 服从区间 [4, 7]上的均匀分布，求P{5<X<9}；
例10．设连续性随机变量X 的概率密度为f(x)= ⎩⎨⎧cx-1， 0 ≤ x ≤ 10， 其它
，试确定常数c ，并求P{X>1/ 2}。

例11. 设连续随机变量X 的概率密度为f(x)=⎩⎨⎧ke -6x
x ≥0 0 x<0 试确定常数k ，并求P{X>3}。

第三章﹑二维随机变量与概率分布
1．二维离散型随机变量的联合分布律的性质，边缘分布律，随机变量独立性的概念
例12．设二维随机变量(X,Y)取下列数组(-1,0), (-1,1), (0,0), (1,0)的概率依次为3/(4c), 1/2c, 3/(4c), 1/c ， 其余数组概率为0，求c 的值。

2．二维连续型随机变量(X,Y)的联合分布，联合密度，边缘分布，边缘密度等；已知联合密度求边缘密度；随机变量独立性的概念
例13．设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，求(1)P{Y>1}的积分表达式；
(2) P{X<1}的积分表达式。

例14．设随机变量(X,Y)的密度函数为f(x,y)=⎩⎪⎨⎪⎧73 e - 7y 0 ≤x ≤ 3，y ≥0 0 其他
， 求X 、Y 的边缘概率密度函数f X (y)，f Y (y) .
例15．设二维随机变量(X, Y)的联合概率密度为f(x,y)= ⎩⎨⎧ x+y 0≤x ≤1，0≤y ≤1 0 其他
，求： (1)X 、Y 的边际概率密度f X (x), f Y (y)； (2)P{0<X<1/4}；(3)X 与Y 是否相互独立?
例16．设二维随机变量(X, Y)的联合概率密度为f(x,y)=⎩⎪⎨⎪⎧14xy 0≤x ≤2. 0≤y ≤2 0 其他
，求： (1)X 、Y 的边际概率密度f X (x), f Y (y)； (2)P{0<X<1}；(3)X 与Y 是否相互独立?
第四章﹑数字特征
1．期望、方差的计算，并会利用其性质求解；掌握常见的离散型和连续型随机变量的期望与方差 例17．设随机变量X~N(2, 9)，Y=aX+b ，且Y~N(0,1)，求a, b 的值。

例18. 已知随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且P{X=3}=4P{X=2}，求D(X).
例19．已知随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且E(X+1)=3，求D(X).
2．已知二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律，求期望、方差、协方差与相关系数。

例20．设随机变量的联合分布律为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤X ╲Y 1 2 0 1/4 1/12 2 1/6 1/2 求：(1) E(X), E(Y),E(XY)；(2)D(X), D(Y)；(3) ρxy 。

3．期望的应用：求预期利润，利润平均值，预期收益等。

例21. 一商店经销某种商品，每周进货的数量X 与顾客对该种商品的需求量Y 是相互独立的随机变
量，且都服从区间[10,20]上的均匀分布。

商店每售出一单位商品可得利润1000元；若需求量超过进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品可获利润为500元。

试计算此商店经销该种商品每周所得到利润的期望值。

第五、六章﹑中心极限定理与统计量分布
1．独立同分布的中心极限定理和二项分布的中心极限定理的应用
例22．设随机变量序列X 1，X 2，…，X n ，…独立同分布，且E(X i )=μ, D(X i )=σ2,σ>0,i=1,2,….,Φ(x) 为标准正态分布的分布函数，则对于任意实数x ，
求：(1)lim x →∝ P{∑i=1n Xi -n μσn ≤2}, (2) lim x →∝ P{∑i=1n Xi -n μ
σn
≥x}
例23．设X 1,X 2,…,X n ,…是相互独立且同分布的随机变量序列，其分布律为⎣⎡⎦⎤X i 0 1P 1-p p , i=1,2,…，
0<p<1。

令Y n =∑i=1
n X i ，n=1,2,…, Φ(x)为标准正态分布函数，求 lim n →∝ P {Y n -np np(1-p)≤1}
.
例24. 设随机变量X~B(100, 0.8)，应用中心极限定理求P{X ≥85}。

(已知Φ(1.25)=0.8944)
2．几种常用的统计量及其分布：χ2分布，t 分布，F 分布
例25．设X 1,X 2,X 3,X 4,X 5,X 6来自总体X ～N(0,3)的样本，
（1）设Y = X 12+X 22+X 32+X 42，求C 1，使得C 1Y ～χ2(4)
（2）设Z =(X 1+X 2+X 3)2+(X 4+X 5+X 6)2，求C 2，使得C 2Z ～χ2(2).
第七章﹑参数估计
1．掌握利用矩方法求未知参数的估计量；掌握估计量的两种评选标准：无偏性和有效性
例26. 设X 1,X 2,…,X n 是均匀分布总体X~U[θ,3θ]的样本，θ>0是未知参数，记 X ¯=1n ∑i=1
n X i ， 求θ的矩估计θ^。

例27. 设总体X~N(μ,1)，其中μ为未知参数，X 1,X 2,X 3为X 的某个样本，
设 μ1^=12X 1+aX 2+14X 3 , μ2^=bX 1+14X 2+13
X 3 , 都是μ的无偏估计，求a,b 的值； 并确定哪一个无偏估计是最有效的。

2．单个正态总体均值方差的区间估计
例28．用传统工艺加工某种水果罐头，每瓶中维生素C 的含量为随机变量X （单位：mg ）。

设
X~N （μ，σ2），其中μ，σ2均未知。

.现抽查25瓶罐头进行测试，测得维生素C 的平
均含量为20.80mg ，样本标准差为1.60mg ，试求μ的置信度95%置信区间。

（附：t 0.025(24)=2.0639，t 0.025(25)=2.0595）
例29．某次考研的数学统考卷中，从答卷中随机抽取25份，算得平均分数为80分，样本方差s 2=400，又据历年资料知统考分数服从正态分布N(μ, σ2)。

求该次统考的平均分数μ的置信度为0.95的置信区间。

(精确到三位小数，t 0.025(24)=2.0639, t 0.05(24)=1.7109)。