计算方法复习新详解

因为 f (x*) = 0 所以 Φ ′ (x*) = 0 也即 Φ(x)在根的附近收敛很
（1）局部收敛定理(p30)
设 f ′(x) 存在， 且 f ′(x) 在方程f(x)=0 的根x*附近不为零 ，
| f (x) f "(x) |
若| Φ ′(x) | =
[ f ' (x)2 ] <= L <1 , 则Newton迭代格式收敛
Xi(即a
in+1(i))=(a
(i) in+1
-
）/aii(i)
Gauss列主元消去法
关键步骤
第k次消元时，在系数矩阵A的第k列 元素中选取绝对值最大的元素为主元 素。
意义 对分次数n的计算
n ln(b a) ln 1
ln 2
迭代法
• 基本思想 xn1 (xn )
•收敛条件 '(x) 1 （收敛定理1）
• 收敛阶
记ek x* xk
lim
k
ek 1 ek p
C( 0)
P 阶收敛
迭代法
'(x*) 0
一阶收敛
'(x*) 0 ''(x*) 0 二阶收敛
er*
e* x*
x* x*
x
,
x
0
er*
e* x*
* r
绝对误差、相对误差、有效数字的定义
有效数字的定义 x* ( x110 1 x210 2 xn10 n ) 10 m x* x 1 10 mn
2
x* x 1 10k 2
误差同有效数字的关系
① x x* 1 10mn 2
计算方法
总复习
第一章 误差和有效数字
误差的来源及分类 绝对误差、相对误差、有效数字的定义 误差同有效数字的关系 数值计算中应注意的几个问题
误差的来源及分类
模型误差 观测误差 截断误差 舍入误差
绝对误差、相对误差、有效数字的定义
绝对误差与绝对误差限 e* x* x
e* x* x *
相对误差与相对误差限
y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
令 y=0, 则得此切线与x轴
的交点x1, 即
x1
x0
f (x0 ) f ( x0 )
…
x k 1
xk
f (xk ) f ( xk )
y
f (x0)
x*
x
x1 x0
牛顿迭代法又 称切线法
收敛性 由 Φ(x) 的表达式得：
| Φ′ (x) | = | f (x) f "(x) | [ f '(x)2]
则Newton迭代序列收敛于f(x) =0 在[ a, b]的唯一根
牛顿迭代法
牛顿迭代公式至少二阶收敛
特点
在单根附近具有较高的收敛速度。
公式
xk 1 xk
f (xk ) f '(xk )
牛顿迭代法
m重根
'(x*) 1 1 0
m
xk 1
xk
mf (xk ) f '(xk )
第三章 线性代数方程组的解法
(2) 全局收敛定理（p31大范围收敛定理）
设 f( x) 在[ a ,b] 上满足
① f(a)f(b) <0 ;
------.>保证有根
②f ′ (x) ≠ 0 ;
------.>保证单根
③ f 〞 (x) 存在且不变号； ------.>保证凸凹性不变
④ 取 x0 ∈ (a, b) , 使 f 〞(x0) f(x0) >0 ------.>保证收敛
直接法（快速有效） 迭代方法（节省内存） 向量范数、矩阵范数的定义、性质 条件数及其对相对误差的影响（三个证 明）
直接法
Gauss消去法、Gauss列主元消去法（算 法描述） 追赶法（三对角严格对角占优） 平方根法
Gauss消去法
消元过程
ami(jikk1)
a(k) ik
ai(jk
a(k) kk
) mik
(k ak(kj
)
1,2,, n 1) (i, j k 1,,
n)
bi(k1) bi(k) mik bk(k) (i k 1,, n)
回代过程
xn
xk
bn( n ) (bk(k )
a(n) nn
n
ak(kj ) x j )
a(k) kk
jk 1
(k n 1,,1)
二、算法描述 1、消元
x
小结：
1、什么是舍入误差？什么是截断误差？它们 的来源是什么？
2、什么是绝对误差、相对误差和有效数字？ 3、绝对误差、相对误差和有效数字之间的关
系是什么？
4、 п=3.141592654… (1) 若其近似值取5位有效数字，则该近似 值是多少？其绝对、相对误差限是多少？
（2）若其近似值取3.1415, 绝对误差限是什 么？有效数字是什么
5、下列近似值有几位有效数字，其相对误 差限是什么？,绝对误差限是什么?
（1) x1=e= 2.71828=x1*
(2) x2=0.030051 x2*=0.0300
(3)x3=e/100 0.02718=x3*
第二章 非线性方程的解法
对分法 迭代法 牛顿迭代法
对分法
条件
f(x)在[a,b]上连续，f(a)f(b)<0，单调
② x x* x*
1 10(n1) 2x1
③
* r
1 2(x1 1)
10 (n1)
四舍五入得到
则x*至少具有n位有效数字
如 3.14= 0.314×101
（X * =±0.X1X2…Xn ×10m） n=3,m=1
|п – 3.14| =
|3.1415926… - 3.14| =0.0015926….
对k=1…..n-1
消元因子： C= aik(k)/ akk(k) ( i= k+1….n ）
系数变化：
① aij(k+1) = aij(k) （i≤ k) ② aij(k+1) = aij(k) - C. akj(k)
( i > k , j=k+1,…,n+1 )
2、回代 第 i次回代公式 （ i=n,n-1….1)
≤ 0.005
=
10-2 =
101-3 =
10 m-n
数值计算中应注意的几个问题
避免两相近数相减 防止大数“吃”小数 除数不能太小 算法稳定性 简化运算步骤，减少运算次数
x1 x 1 x1 x
类似的：
e x 1 x 1 1 x 1 x2 ...
2 6
ห้องสมุดไป่ตู้
xε x
ε
;
xε x
lnx ε ln x ln1 ε ;
牛顿迭代法
条件
设f(x)在[a,b]上连续，f(a) f(b)<0，且x0为[a,b] 上根x*∈[a, b ]的一个近似值。
几何意义
用切线与x轴的交点近似代替取限于x轴的交 点。
.牛顿迭代法的几何意义： 以f ’(x0)为斜率作过(x0 , f (x0))点的直线，即作f(x)在 点x0 的切线方程：