功的7种计算方法(解析版)

功的7种计算方法
方法1：利用定义式计算恒力做的功
(1)恒力做的功：
(2)合力做的功
方法一：先求合力F合，再用W合＝F合l cos α求功。

方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合力做的功。

【典例1】(多选)如图所示，水平路面上有一辆质量为M的汽车，车厢中有一个质量为m的人正用恒力F向前推车厢，在车以加速度a向前加速行驶距离L的过程中，下列说法正确的是()
A．人对车的推力F做的功为FL
B．人对车做的功为maL
C．车对人的作用力大小为ma
D．车对人的摩擦力做的功为(F＋ma)L
【答案】AD
方法2：利用动能定理求变力做的功
动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于求恒力做功，也适用于求变力做功。

因使用动能定理可由动能的变化来求功，所以动能定理是求变力做功的首选。

W＝1
2mv
2
2
－
1
2mv
2
1
【典例2】如图，一半径为R的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高；质量为m的质点自轨道端点P由静止开始滑下，滑到最低点Q时，对轨道的正压力为2mg，重力加速度大小为g。

质点自P滑到Q 的过程中，克服摩擦力所做的功为()
A.1
4mgR B.1
3mgR C.1
2
mgR D.π
4
mgR 【答案】 C
方法3：化变力为恒力求变力做的功
变力做功一般难以直接求解，但若通过转换研究的对象，有时可化为恒力做功，用W ＝Fl cos α求解。

此法常常应用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中。

当力的大小不变，而方向始终与运动方向相同或相反时，这类力的功等于力和路程(不是位移)的乘积。

如滑动摩擦力做功、空气阻力做功等。

【典例3】如图所示，在光滑的水平面上，物块在恒力F ＝100 N 作用下从A 点运动到B 点，不计滑轮的大小，不计绳、滑轮的质量及绳与滑轮间的摩擦，H ＝2.4 m ，α＝37°，β＝53°.求拉力F 所做的功．
【解析】在物块从A 点运动到B 点过程中，由于绳不能伸缩．故力F 的作用点的位移大小l 等于滑轮左侧绳子长度的减小量，即l ＝H sinα－H sinβ，又因力F 与力的作用点的位移l 方向相同，夹角为0.故拉力F
所做的功W ＝Fl ＝F (H sinα－H sinβ)＝100×(2.40.6－2.4
0.8
)J ＝100 J.
【典例4】如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，以大小恒定的拉力F 拉轻绳，使滑块从A 点起由静止开始上升。

若从A 点上升至B 点和从B 点上升至C 点的过程中，轻绳对滑块做的功分别为W 1和W 2，图中AB ＝BC ，则( )
A ．W 1＞W 2
B ．W 1＜W 2
C ．W 1＝W 2
D ．无法确定W 1和W 2的大小关系 【答案】 A
【解析】 轻绳对滑块做的功为变力做功，可以通过转换研究对象，将变力做的功转化为恒力做的功；因轻绳对滑块做的功等于拉力F 对轻绳做的功，而拉力F 为恒力，W ＝F ·Δl ，Δl 为轻绳拉滑块过程中拉力F 的作用点移动的位移，大小等于滑轮左侧轻绳的缩短量，由题图可知，Δl AB ＞Δl BC ，故W 1＞W 2，A 项正确。

方法4：利用微元法求变力做的功
将物体的位移分割成许多小段，因小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做功的代数和。

此法常应用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题。

【典例5】 如图所示，在水平面上，有一弯曲的槽道AB ，槽道由半径分别为R
2和R 的两个半圆构成。

现用大小恒为F 的拉力将一光滑小球从A 点沿槽道拉至B 点，若拉力F 的方向时刻与小球运动方向一致，则此过程中拉力F 所做的功为( )
A ．0
B ．FR
C ．2πFR D.32
πFR 【答案】 D
方法5：利用平均力求变力做的功
若力的方向不变，而大小随位移(注意不是随时间)均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为F ＝F 1＋F 2
2
的恒力作用，然后用公式W ＝F l cos α求此变力所做的功。

【典例6】 (多选)如图所示，n 个完全相同、边长足够小且互不粘连的小方块依次排列，总长度为l ，总质量为M ，它们一起以速度v 在光滑水平面上滑动，某时刻开始滑上粗糙水平面。

小方块与粗糙水平面之间的动摩擦因数为μ，若小方块恰能完全进入粗糙水平面，则摩擦力对所有小方块做功的大小为( )
A.1
2Mv 2 B ．Mv 2 C.1
2
μMgl D ．μMgl
【答案】 AC
【典例7】把长为l 的铁钉钉入木板中，每打击一次给予的能量为E 0，已知钉子在木板中遇到的阻力与钉子进入木板的深度成正比，比例系数为k 。

问此钉子全部进入木板需要打击几次？
【答案】kl 2
2E 0
【解析】在把钉子打入木板的过程中，钉子把得到的能量用来克服阻力做功，而阻力与钉子进入木板的深度成正比，先求出阻力的平均值，便可求得阻力做的功。

钉子在整个过程中受到的平均阻力为：F ＝0＋kl 2＝kl
2
钉子克服阻力做的功为：W F ＝Fl ＝1
2
kl 2
设全过程共打击n 次，则给予钉子的总能量：E 总＝nE 0＝12kl 2，所以n ＝kl 2
2E 0
方法6：用F -x 图像求变力做的功
在F -x 图像中，图线与x 轴所围“面积”的代数和表示力F 在这段位移所做的功，且位于x 轴上方的“面积”为正，位于x 轴下方的“面积”为负，但此方法只适用于便于求图线所围面积的情况(如三角形、矩形、圆等规则的几何图形)。

【典例8】如图甲所示，静止于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F 作用下，沿x 轴方向运动，拉力F 随物块所在位置坐标x 的变化关系如图乙所示，图线为半圆。

则小物块运动到x 0处时F 做的总功为( )
A ．0 B.12F m x 0 C.π4F m x 0 D.π
4x 20
【答案】C
【解析】 F 为变力，根据F -x 图象包围的面积在数值上等于F 做的总功来计算。

图线为半圆，由图线可知在数值上F m ＝12x 0，故W ＝12π·F 2m ＝12π·F m ·12x 0＝π
4
F m x 0。

方法7：利用W ＝Pt 求变力做的功
W ＝Pt 适用于变力的功率恒定或平均功率已知的情形。

【典例9】汽车质量为m, 输出功率恒为P , 沿平行公路前进距离x 的过程中， 其速度由v 1增至最大速度v 2，假设汽车在运动过程中所受阻力恒定， 则汽车通过距离x 所用的时间为多少？
【答案】 mv 22－mv 122P ＋x
v 2
【跟踪短训】
1. 如图所示，一个人推磨，其推磨杆的力的大小始终为F ，与磨杆始终垂直，作用点到轴心的距离为r ，磨盘绕轴缓慢转动．则在转动一周的过程中推力F 做的功为( )．
A．0B．2πrF
C．2Fr D．－2πrF
【答案】 B
【解析】磨盘转动一周，力的作用点的位移为0，但不能直接套用W＝Fs cos α求解，因为在转动过程中推力F为变力．我们可以用微元的方法来分析这一过程．由于F的方向在每时刻都保持与作用点的速度方向一致，因此可把圆周划分成很多小段来研究，如图所示，
当各小段的弧长Δs i足够小(Δs i→0)时，F的方向与该小段的位移方向一致，所以有：W F＝FΔs1＋FΔs2＋FΔs3＋…＋FΔs i＝F2πr＝2πrF(这等效于把曲线拉直)．
2. 质量是2 g的子弹，以300 m/s的速度射入厚度是5 cm的木板(如图所示)，射穿后的速度是100 m/s.子弹射穿木板的过程中受到的平均阻力是多大？你对题目中所说的“平均”一词有什么认识？
【答案】 1.6×103 N见解析
3.如图所示，半径为R，孔径均匀的圆形弯管水平放置，小球在管内以足够大的初速度在水平面内做圆周运动，设开始运动的一周内，小球与管壁间的摩擦力大小恒为F f，求小球在运动的这一周内，克服摩擦力所做的功．
【答案】 2πRF f
【解析】 将小球运动的轨迹分割成无数个小段，设每一小段的长度为Δx ，它们可以近似看成直线，且与摩擦力方向共线反向，如图所示，
元功W ′＝F f Δx ，而在小球运动的一周内小球克服摩擦力所做的功等于各个元功的和，即W ＝ΣW ′＝F f ΣΔx ＝2πRF f .
4. 一物体所受的力F 随位移x 变化的图象如图5－1－11所示，求在这一过程中，力F 对物体做的功为多少？
【答案】 6 J
5. 汽车的质量为m ，输出功率恒为P ，沿平直公路前进距离s 的过程中，其速度由v 1增至最大速度v 2.假定汽车在运动过程中所受阻力恒定，求汽车通过距离s 所用的时间．
【答案】
m
v 22－v 2
12P
＋s v 2
【解析】 当F ＝F f 时，汽车的速度达到最大速度v 2，由P ＝Fv 可得F f ＝P
v 2
对汽车，根据动能定理，有Pt －F f s ＝12mv 22－12mv 2
1 联立以上两式解得t ＝
m v 22－v 2
12P
＋s v 2
. 6. 如图甲所示，一质量为m ＝1 kg 的物块静止在粗糙水平面上的A 点，从t ＝0时刻开始物块受到如图乙所示规律变化的水平力F 的作用并向右运动，第3 s 末物块运动到B 点时速度刚好为0，第5 s 末物块刚好回到A 点，已知物块与粗糙水平面间的动摩擦因数μ＝0.2，(g ＝10 m/s 2)求：
(1)A与B间的距离；
(2)水平力F在前5 s内对物块做的功．【答案】(1)4 m(2)24 J。