江苏省南京市2021届高三上学期期初数学试题(PDF版,无答案)
2021年高三上学期初考试数学试题含答案
苏省苏州中学xx 学年度第一学期期初考试2021年高三上学期初考试数学试题含答案一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 若a ＋i 1－i (i 是虚数单位)是实数，则实数a 的值是____________．2. 已知集合A ＝{x |x ＞1}，B ＝{x |x 2－2x ＜0}，则A ∪B ＝____________.3. 命题“若实数a 满足a ≤2，则a 2＜4”的否命题是______ (填“真”或“假”)命题．4.在如图所示的算法流程图中，若输入m ＝4，n ＝3，则输出的a ＝__________.(第4题)5.把一个体积为27 cm 3的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成体积为 1 cm 3的27个小正方体，现从中任取一块，则这一块至少有一面涂有红漆的概率为____________．6. 在约束条件⎩⎨⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1下，则x －12＋y 2的最小值为__________．7.设α、β是空间两个不同的平面，m 、n 是平面α及β外的两条不同直线．从“① m ⊥n ；② α⊥β；③ n ⊥β；④ m ⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：____________.(填序号)．8.在平面直角坐标系xOy 中，已知A 、B 分别是双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点，△ABC 的顶点C 在双曲线的右支上，则sin A －sin Bsin C的值是____________．9. 已知点A (0,2)，抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，线段FA 交抛物线于点B ，过B 作l 的垂线，垂足为M ，若AM ⊥MF ，则p ＝__________.10. 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＜0，－2－x，x ＞0，则函数y ＝f (f (x ))的值域是____________．11. 如图所示，在直三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，AC ⊥BC ，AC ＝4，BC ＝CC 1＝2.若用平行于三棱柱A 1B 1C 1—ABC 的某一侧面的平面去截此三棱柱，使得到的两个几何体能够拼接成长方体，则长方体表面积的最小值为________．(第11题)12. 已知椭圆x 24＋y 22＝1，A 、B 是其左、右顶点，动点M 满足MB ⊥AB ，连结AM 交椭圆于点P ，在x 轴上有异于点A 、B 的定点Q ，以MP 为直径的圆经过直线BP 、MQ 的交点，则点Q 的坐标为____________．13. 在△ABC 中，过中线AD 中点E 任作一直线分别交边AB 、AC 于M 、N 两点，设AM →＝xAB →，AN →＝yAC →(x 、y ≠0)，则4x ＋y 的最小值是______________．14.设m ∈N ，若函数f (x )＝2x －m 10－x －m ＋10存在整数零点，则m 的取值集合为______________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，平面PAC ⊥平面ABC ，点E 、F 、O 分别为线段PA 、PB 、AC 的中点，点G 是线段CO 的中点，AB ＝BC ＝AC ＝4，PA ＝PC ＝2 2.求证：(1) PA ⊥平面EBO ； (2) FG ∥平面EBO .16. (本小题满分14分)已知函数f (x )＝2cos x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3cos x 2－sin x2.(1) 设θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，且f (θ)＝3＋1，求θ的值； (2) 在△ABC 中，AB ＝1，f (C )＝3＋1，且△ABC 的面积为32，求sin A ＋sin B 的值．17. (本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1、A 2，上、下顶点分别为B 1、B 2.设直线A 1B 1的倾斜角的正弦值为13，圆C 与以线段OA 2为直径的圆关于直线A 1B 1对称．(1) 求椭圆E 的离心率；(2) 判断直线A 1B 1与圆C 的位置关系，并说明理由； (3) 若圆C 的面积为π，求圆C 的方程．18. (本小题满分16分)心理学家研究某位学生的学习情况发现：若这位学生刚学完的知识存留量记为1，则x天后的存留量y1＝4x＋4；若在t(t＞4)天时进行第一次复习，则此时知识存留量比未复习情况下增加一倍(复习时间忽略不计)，其后存留量y2随时间变化的曲线恰为直线的一部分，其斜率为at＋42(a＜0)，存留量随时间变化的曲线如图所示．当进行第一次复习后的存留量与不复习的存留量相差最大时，则称此时刻为“二次复习最佳时机点”．(1) 若a＝－1，t＝5求“二次复习最佳时机点”；(2) 若出现了“二次复习最佳时机点”，求a的取值范围．19. (本小题满分16分)已知各项均为正数的等差数列{a n}的公差d不等于0，设a1、a3、a k是公比为q的等比数列{b n}的前三项．(1) 若k＝7，a1＝2.①求数列{a n b n}的前n项和T n；②将数列{a n}与{b n}中相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{c n}，设其前n项和为S n，求S－22n－1＋3·2n－1的值；(2) 若存在m＞k，m∈N*使得a1、a3、a k、a m成等比数列，求证：k为奇数．20. (本小题满分16分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋a ，x ＜0，ln x ，x ＞0，其中a 是实数．设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))为该函数图象上的两点，且x 1＜x 2.(1)指出函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线互相垂直，且x 2＜0，证明：x 2－x 1≥1； (3)若函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线重合，求a 的取值范围．江苏省苏州中学xx 学年度第一学期期初考试数学II(理科附加)本试卷满分40分,考试时间30分钟,将正确的答案写在答题卡的相应位置上。
江苏省南京市秦淮区2021届高三上学期期中三校联考数学试卷(解析版)
江苏省南京市秦淮区2020-2021学年度第一学期第一阶段质量检测（第三高级中学、第五高级中学、第二十七中学）期中联考高三数学一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．已知全集U=R ，集合M ={}13|<<-x x ，N ={}11|<<-x x ，则阴影部分表示的集合是（ ）A.[]11，- B ．(]13，- C ．(]13--， D ．()()∞+--∞-，，13 【答案】C【考点】集合的运算【解析】由题意阴影部分表示M 中去掉M ∩N 的部分，且M ∩N =N=()11，-，则阴影部分表示：(]13--，，故答案选C. 2．若复数i z -=1，则=-z z 1（ ） A ．1 B ．2 C ．22 D ．4【答案】B【考点】复数的运算【解析】由题意()211111111=+=--=-+=⋅-=-=-i i i i i i i i z z ，故答案选B. 3．已知函数()()x x f x x ln 22-+=的图象大致为（ ）【答案】B【考点】函数的图象 【解析】由题意该函数()()()x f x x f x x =-+=--ln 22，为偶函数，且非三角函数类型，则排除D 选项；因为()022>+-x x ，而x ln 可以取到负数，则排除C 选项；去特殊值()01=f ，且当()+∞→+∞→x f x ，，则排除A ，故答案选B.4．()()()432111x x x +++++的展开式中，含x 2的系数是（ ） A ．1 B ．3C ．6D ．10【答案】D【考点】二项式定理展开式 【解析】由题意()()()432111x x x +++++的展开式中，含x 2的系数为10242322=++C C C ，故答案选D.5．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥nC ．若m ⊥α，m ∥n ，n ⊂β，则α⊥βD ．若α β=m ，n ⊂α，则n ⊥β【答案】C【考点】立体几何的位置关系判断：平行与垂直【解析】对于A 选项，m 与n 可相交、异面，则选项A 错误；对于B 选项，m 与n 可异面，则选项B 错误；对于C 选项，若m ⊥α，m ∥n ，可推导出n ⊥α，又由n ⊂β，利用面面垂直的判定定理可推出α⊥β，则选项C 正确；对于D 选项，n 与β可平行、相交，则选项D 错误；故答案选C.6．已知奇函数()x f 的图象关于直线x =3对称，当[]30，∈x 时，()x x f -=，则()=-16f （ ）A ．－2B ．－1C ．1D ．2【答案】D【考点】函数概念与基本性质【解析】由题意()x f 为奇函数，则()()x f x f -=-，又()x f 的图象关于直线x =3对称，则()()x f x f -=6，则有()()()x f x f x f --=-=6，即()()x f x f -=-6，所以()()()()()x f x f x f x f =--=--=-612，则周期为12，所以()()()()224416=-=-=-=-f f f f .故答案选D.7．历史上数列的发展，折射出很多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233……即F （1）=F （2）=1，F （n ）=F （n －1）＋F （n －2），()*3N n n ∈≥，．此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新数列{}n b ，则b 2020=（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】A【考点】文化题：利用周期性求数列的项【解析】由题意可知“兔子数列”被4整除后的余数构成一个新数列为：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，……则可得到周期为6，所以b 2020=b 4=3，故答案选A.8．已知函数[](()⎩⎨⎧∞+∈--∈+-，，，，0220211x x f x x ，若方程()a x x f +=在区间[]42，-内有3个不相等的实根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．{}02|<<-a aB ．{}02|≤<-a aC ．{}2102|<<<<-a a a 或D ．{}102|=<<-a a a 或【答案】D【考点】函数的概念与性质、函数方程（零点）【解析】由题意方程()a x x f +=在区间[]42，-内有3个不相等的实根，可等价于函数()x f y =与函数a x y +=的图象在[]42，-内有三个交点.因为当[]02，-∈x 时，()11+-=x x f ，当(]20，∈x 时，(]022，-∈-x ，所以()()()11222--=-=x x f x f ，因为当()42，∈x 时，()202，∈-x ，所以()()()31422--=-=x x f x f ， 如图，可画出函数()x f y =在[]42，-内的图象，有图象可知，当02<<-a 或a =1时，()x f y =与函数a x y +=的图象在[]42，-内有三个交点.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有错选的得0分．9．比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值（满分为5分，分值高者为优），绘制了如图所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是（）A.甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值B.甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值C.乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平D.甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值【答案】AC【考点】信息统计与理解应用【解析】对于A选项，甲的逻辑推理能力指标值为4，乙的逻辑推理能力指标值为3，所以甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值，故选项A 正确；对于B 选项，甲的数学建模能力指标值为3，乙的直观想象能力指标值为5，所以乙的数学建模能力指标值优于甲的直观想象能力指标值，故选项B 错误；对于C 选项，甲的六维能力指标值的平均值为()62343543461=+++++⨯，乙的六维能力指标值的平均值为()623434534561>=+++++⨯，所以乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平，所以选项C 正确；对于D 选项，甲的数学运算能力指标值为4，甲的直观想象能力指标值为5，所以甲的数学运算能力指标值不优于甲的直观想象能力指标值，所以选项D 错误；故答案选AC.10．若将函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=122cos πx x f 的图象向左平移8π个单位长度，得到函数()x g 的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．()x g 的最小正周期为πB ．()x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，上单调递减C ．12π=x 不是函数()x g 图象的对称轴D ．()x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-66ππ，上的最小值为21- 【答案】ACD【考点】三角函数的图象与性质【解析】由题意可知()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32cos 1282cos πππx x x g ，对于选项A ，()x g 的最小正周期为ππ=22，所以A 选项正确；对于选项B ，若()x g 单调递减，则[]Z k k k x ∈+∈+，，ππππ2232，解得Z k k k x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-∈，，ππππ36，所以()x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡30π，上单调递减，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡23ππ，上单调递增，所以B 选项错误；对于选项C ，当12π=x 时，103122cos 12±≠=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛πππg ，所以12π=x 不是函数()x g 图象的对称轴，故C 选项正确；对于选项D ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈66ππ，x ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+32032ππ，x ，则()x g ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈121，，即()x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-66ππ，上的最小值为21-，故D 选项正确。
2021届江苏省南京市秦淮中学高三上学期期初调研数学试题(解析版)
2021届江苏省南京市秦淮中学高三上学期期初调研数学试题一、单选题1．设{}1A x x =>，{}220B x x x =--<，则()R C A B ⋂=（ ）A ．{}1x x >- B ．{}11x x -<≤ C ．{}11x x -<< D ．{}12x x <<【答案】B【解析】化简集合B ，求出R C A ，利用交集的定义运算即可． 【详解】{}|1=≤R C A x x ，{}()(){}{}220=|210|12B x x x x x x x x =--<-+<=-<<则()R C A B ={}11x x -<≤故选：B 【点睛】本题考查集合的交并补运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题． 2．若()11+=-z i i ，则z =（ ） A ．1–i B ．1+iC ．–iD ．i【答案】D【解析】先利用除法运算求得z ，再利用共轭复数的概念得到z 即可. 【详解】因为21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-，所以z i . 故选：D 【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到共轭复数的概念，是一道基础题.3．为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加、、A B C 三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有（ ） A ．24 B ．36C ．48D ．64【答案】B【解析】根据题意，有两种分配方案，一是3:1:1，二是2:2:1，然后各自全排列，再求和. 【详解】当按照3:1:1进行分配时，则有133318C A =种不同的方案；当按照2:2:1进行分配，则有233318C A =种不同的方案. 故共有36种不同的派遣方案， 故选：B. 【点睛】本题考查排列组合、数学文化，还考查数学建模能力以及分类讨论思想，属于中档题. 4．如图，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2BB 1，P 为B 1C 1的中点.则异面直线AC 与BP 所成的角为（ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°【答案】B【解析】取A 1B 1中点Q ，可得∠BPQ 就是异面直线AC 与BP 所成的角或补角，进而可证明△BPQ 是等边三角形，从而求得. 【详解】A 1B 1中点Q ，连接PQ ，BQ ，∵PQ ∥AC ，∴∠BPQ 就是，异面直线AC 与BP 所成的角或补角，又∵1111ABCD A B C D -为正四棱柱，且12AB BB = ,P 为11B C 中点， ∴111111,,,B B B P B Q B B B P B Q ==两两垂直，111,,,Rt PB Q Rt PB B Rt BB Q 全等，∴PQ PB BQ ==， ∴△BPQ 是等边三角形， ∴∠BPQ ＝60°，即异面直线AC 与BP 所成的角为60°， 故选：B. 【点睛】本题考查异面直线所成的角，属基础题.5．甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，若两人各投2次，则两人投中次数不等的概率是（ ） A ．0.6076 B ．0.7516 C ．0.3924 D ．0.2484【答案】A【解析】先求出两人投中次数相等的概率，再根据对立事件的概率公式可得两人投中次数不相等的概率. 【详解】两人投中次数相等的概率P ＝2211220.40.3+0.60.40.70.3C C ⨯⨯⨯⨯⨯⨯+220.60.70.3924⨯=，故两人投中次数不相等的概率为：1﹣0.3924＝0.6076. 故选：A . 【点睛】本题考查了对立事件的概率公式和独立事件的概率公式，属于基础题.6．ABC ∆是边长为1的等边三角形，点,D E 分别是边,AB BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则·AF BC 的值为（ ） A ．58- B ．18C ．14D ．118【答案】B【解析】试题分析：设BA a =，BC b =，∴11()22DE AC b a ==-，33()24DF DE b a ==-， 1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=. 【考点】向量数量积【名师点睛】研究向量的数量积问题，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是将“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．7．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1et I K t --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ ）（ln19≈3） A ．60 B ．63C ．66D ．69【答案】C【解析】将t t *=代入函数()()0.23531t KI t e--=+结合()0.95I t K *=求得t*即可得解.【详解】()()0.23531t K I t e--=+，所以()()0.23530.951t K I t K e**--==+，则()0.235319t e*-=，所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23t *≈+≈. 故选：C. 【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题. 8．设函数()()xxf x x e ae-=+的导函数为()'f x ，若()'f x 是奇函数，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为（ ）A ．2e -B ．1e-C ．2D ．2e【答案】D 【解析】利用()'f x 为奇函数求得a 的值，由此求得()'1f 的值.【详解】依题意()()'x x x x fx e ae x e ae --=++-，由于()'f x 是奇函数，所以()'010f a =+=，解得1a =-，所以()()'x x x x f x e e x e e --=-++，所以()'1112f e e e e e=-++=.故选：D 【点睛】本小题主要考查函数导数的计算，考查函数的奇偶性，属于基础题.二、多选题9．为了对变量x 与y 的线性相关性进行检验，由样本点()11,x y 、()22,x y 、、()1010,x y 求得两个变量的样本相关系数为r ，那么下面说法中错误的有（ ）A ．若所有样本点都在直线21y x =-+上，则1r =B ．若所有样本点都在直线21y x =-+上，则2r =-C ．若r 越大，则变量x 与y 的线性相关性越强D ．若r 越小，则变量x 与y 的线性相关性越强 【答案】ABD【解析】根据相关系数与变量x 与y 的线性相关性之间的关系可判断出各选项的正误. 【详解】若所有样本点都在直线21y x =-+上，且直线斜率为负数，则1r =-，A 、B 选项均错误；若r 越大，则变量x 与y 的线性相关性越强，C 选项正确，D 选项错误. 故选：ABD. 【点睛】本题考查相关系数与线性相关性之间关系的判断，考查推理能力，属于基础题.10．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，则有（ ）A ．渐近线方程为y =B ．渐近线方程为3y x =± C ．60MAN ∠=︒D ．120MAN ∠=︒【答案】BC【解析】由离心率公式222 22c a b a a+=化简可得渐近线方程，通过求圆心A到渐近线的距离结合直角三角形可得到MAN∠的值.【详解】双曲线2222:1y,x y bC xa b a-==±的渐近线方程为离心率为23ca=，2222222224131,,333c a b b b ba a a a a则则，+==+===±故渐近线方程为33y x=±，取MN的中点P,连接AP,利用点到直线的距离公式可得d APabc==,则cosabAP acPANAN b c∠===，所以221cos cos2212aMAN PANc∠=∠=⨯-=则60MAN∠=︒故选BC【点睛】本题考查双曲线的简单的几何性质，考查双曲线的渐近线和离心率的应用，考查圆的有关性质，属于中档题.11．已知函数()()(0,0,0)f x Acos x Aωϕωϕπ=+>><<的图象的一个最高点为,312π⎛⎫-⎪⎝⎭，与之相邻的一个对称中心为,06π⎛⎫⎪⎝⎭，将()f x的图象向右平移6π个单位长度得到函数()g x的图象，则（）A．()g x为偶函数B．()g x的一个单调递增区间为5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()g x 为奇函数D ．()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上只有一个零点 【答案】BD【解析】先根据余弦函数的图象和性质，求得()f x 的解析式，再结合三角函数的图象变换，求得函数()g x 的解析式，再结合余弦函数的图象与性质，即可求解. 【详解】 由题意，可得()46124T πππ=--=，所以T π=，可得22w Tπ==， 所以()3cos(2)f x x ϕ=+，因为()3cos[2()]31212f ππϕ-=⨯-+=，所以2,6k k Z πϕπ-=∈，因为0ϕπ<<，所以6π=ϕ，即()3cos(2)6f x x π=+，所以()3cos[2()]3cos(2)666g x x x πππ=-+=-， 可得函数()g x 为非奇非偶函数， 令222,6k x k k Z ππππ-+≤-≤∈，可得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 当0k =时，函数()g x 的一个单调递增区间为5[,]1212ππ-； 由2,,62x k k Z πππ-=+∈，解得,3x k k Z ππ=+∈，所以函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上只有一个零点. 故选：BD 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质，其中解答中熟记三角函数的图象变换，以及熟练应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.12．若0a >，0b >，则下面有几个结论正确的有（ ） A ．若1a ≠，1b ≠，则log log 2a b b a +≥B ．2a b ≥+C ．若142a b +=，则92a b +≥ D ．若22ab b +=，则34a b +≥ 【答案】BCD【解析】根据基本不等式，对选项逐一分析即可. 【详解】对于A ：当01,1a b <<>时，log 0,log 0a b b a <<，即log log 0a b b a +<，故A 不正确；对于B ：若0a >，0b >，由基本不等式得:222a b ab +≥，即有()()2222a b a b +≥+a b ≥=+≥a b =”时取等号，故B 正确；对于C ：由0a >，0b >，11412a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以()1141415522922b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++≥+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝+=+=， 当且仅当1442,b aa b a b +==，即3,32a b ==时取等号，故C 正确； 对于D ：由0a >，0b >，()22ab b a b b +=+=，即有()24b a b +=，根据基本不等式有：()324a b a b b +=++≥=，当且仅当22,2ab b a b b +=+=，即1a b ==时取等号，故D 正确.综上：BCD 正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查基本不等式，应用基本不等时：“一正，二定，三相等”缺一不可，属于基础题．三、填空题13．《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2个月后，每对老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只.以此类推，假设n 个月后共有老鼠n a 只，则n a =_____.【答案】27n ⨯【解析】根据1个月后的老鼠为原来雌雄两只老鼠和新出生的小鼠有(16)227+⨯=⨯只，类似的方法得到2个月后有22(16)727+⨯=⨯只，3个月后有327⨯只，根据以上分析进行归纳推理即可得n 个月后老鼠的只数n a . 【详解】由题意可得1个月后的老鼠的只数1(16)227a =+⨯=⨯,2个月后老鼠的只数222(16)727a =+⨯=⨯, 3个月后老鼠的只数2332(16)727a =+⨯=⨯…， n 个月后老鼠的只数27nn a =⨯.故答案为：27n ⨯. 【点睛】本题考查利用不完全归纳法求数列的通项公式，考查运算求解能力.14．函数()log 31a y x =+-.（0a >且1a ≠）的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上（其中m ，0n >），则12m n+的最小值等于__________. 【答案】8【解析】根据函数平移法则求出点A ()2,1--，得21m n +=，再结合基本不等式即可求解 【详解】由题可知，()log 31a y x =+-恒过定点()2,1--，又点A 在直线 10mx ny ++=上，故21m n +=，()121242448n m m n m n m n m n⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当122n m ==时取到等号，故12m n+的最小值等于8 故答案为：8 【点睛】本题考查函数平移法则的使用，基本不等式中“1”的妙用，属于中档题15．已知椭圆22142x y +=的焦点为F ，短轴端点为P ，若直线PF 与圆222:(0)O x y R R +=>相切，则圆O 的半径为___________【答案】1【解析】根据椭圆的性质写出点F 、P 的坐标，求出直线PF 的方程，利用圆心到直线的距离等于半径即可求解. 【详解】由椭圆22142x y +=的焦点为F ，短轴端点为P ，则c =不妨取)F，(P ，则直线PF的方程：0y x -+=， 由直线PF 与圆222:(0)O x y R R +=>相切，所以1R ==.故答案为：1 【点睛】本题考查了椭圆的简单几何性质以及点到直线的距离公式，考查了基本运算能力，属于基础题.四、双空题16．棱长为12的正四面体ABCD 与正三棱锥E —BCD 的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE 的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥E —BCD 的体积为_______，该正三棱锥内切球的半径为_______. 【答案】【解析】根据组合体的结构特征，设2AE R =，正三棱锥E BCD -侧棱长x ，列出方程组，求得,R x 的值，利用体积公式，即可求得三棱锥E BCD -的体积与表面积，再结合等体积法，即可求得内切球的半径，得到答案. 【详解】由棱长为12的正四面体ABCD 与正三棱锥E BCD -的底面重合， 若由它们构成的多面体ABCDE 的顶点均在一球的球面上， 所以多面体ABCDE 的外接球即为正四面体ABCD 的外接球， 且其外接球的直径为AE ，设2AE R =，正三棱锥E BCD -侧棱长x ，则()((2222222122R x x R ⎧=+⎪⎨=+-⎪⎩，解得R x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 由题意得证四面体ABCD的高为，外接球的半径为 设正三棱锥E BCD -的高为h ，因为AE h ==，所以h =因为底面BCD ∆的边长为12，所以EB EC ED ===则正三棱锥E BCD -三条侧棱两两垂直，可得正三棱锥E BCD -的表面积为108S =+体积为V＝21123⨯= 设正三棱锥E BCD -的内切球的半径为r ，由13S r ⋅=r =故答案为：. 【点睛】本题主要考查了组合体的结构各种，以及正三棱锥内切球的半径的求法，三棱锥的体积的计算，其中解答中熟练应用组合体的结构特征，以及球的性质是解答的关键，着重考查空间想象能力，以及推理与计算能力.五、解答题17．在①cos 220B B +=，②2cos 2b C a c =-，③b a =三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若_____，且a ，b ，c 成等差数列，则ABC ∆是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】①；证明见解析【解析】选择①：由余弦降幂公式代入即可求得sin B ，结合a ，b ，c 成等差数列可得2b a c =+，3B π=，代入余弦定理公式，即可得2b ac =，结合等式2b a c =+可求得a c =，进而证明ABC ∆为等边三角形. 【详解】选择①cos 220B B +=，证明：则由余弦降幂公式可得212sin 20B B -+=，即(2sin sin 0B B =，由0B π<<可得sin B =， 又因为a ，b ，c 成等差数列，则B 为锐角， 则2b a c =+，3B π=，由余弦定理可知2222cos b a c ac B =+-， 代入可得()223b a c ac =+-，即2b ac =，则22a c ac +⎛⎫= ⎪⎝⎭，化简可得()20a c -=， 即a c =，又因为3B π=，所以ABC ∆为等边三角形. 【点睛】本题考查了三角函数解析式的化简应用，余弦降幂公式化简三角函数式，余弦定理解三角形，等差中项性质的应用，综合性较强，属于中档题.18．记n S 是正项数列{}n a 的前n 项和，1n a +是4和n S 的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记11(1)(1)n n n b a a +=++，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =-；（2）4(1)nnT n =+.【解析】（1）本小题先借n S 与n a 的关系判断数列{}n a 为等差数列，再求通项公式即可；（2）本小题直接运用裂项相消法求解即可. 【详解】（1）因为1n a +是4和n S 的等比中项，所以2(1)4n n a S +=①，当2n ≥时，211(1)4n n a S --+=②，由①②得：2211(1)(1)44n n n n a a S S --+-+=-，化简得221(1)(1)n n a a --=+，即111n n a a --=+或者11(1)0n n a a --++=（舍去），故12n n a a --=(2)n ≥，数列{}n a 为等差数列，因为211(1)4a S +=，解得11a =，所以数列{}n a 是首项为1、公差为2的等差数列， 通项公式：21n a n =-. （2）∵ 111111(1)(1)2(22)41n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++⋅++⎝⎭，∴12311111111(1)()()()42233414(1)n n nT b b b b n n n ⎡⎤=++++=-+-+-++-=⎢⎥++⎣⎦. 【点睛】本题考查数列通项公式的求法以及数列的前n 项和的求法，考查等差数列的判定，考查裂项相消法求和，考查推理能力与计算能力，是中档题.19．根据教育部《中小学生艺术素质测评办法》，为提高学生审美素养，提升学生的综合素质，江苏省中考将增加艺术素质测评的评价制度，将初中学生的艺术素养列入学业水平测试范围.为初步了解学生家长对艺术素质测评的了解程度，某校随机抽取100名学生家长参与问卷测试，并将问卷得分绘制频数分布表如下： 得分 [)30,40 [)40,50 [)50,60 [)60,70 [)70,80 [)80,90 []90,100男性人数 49 12 13 11 6 3女性人数1 2 2 21 10 4 2（1）将学生家长对艺术素质评价的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为“学生家长对艺术素质评价的了解程度”与“性别”有关？（2）以这100名学生家长中“比较了解”的频率代替该校学生家长“比较了解”的概率.现在再随机抽取3名学生家长，设这3名家长中“比较了解”的人数为X，求X的概率分布列和数学期望.附：()()()()()22n ad bca b c d a c b dχ-=++++，()n a b c d=+++.临界值表：【答案】（1）列联表见解析，有把握；（2）分布列见解析，()21 10E X=.【解析】（1）根据题中已知条件完善22⨯列联表，并计算出2χ的观测值，结合临界值表可得出结论；（2）由题意可知7~3,10X B⎛⎫⎪⎝⎭，利用二项分布可得出随机变量X的分布列，并由此可计算出随机变量X的数学期望. 【详解】（1）由题意得列联表如下：不太了解 比较了解 合计男性 25 33 58女性 5 37 42合计30701002χ的观测值()22100253733511.29130704258χ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.因为11.29110.828>，所以有99.9%的把握认为学生家长对艺术素质评价的了解程度与性别有关；（2）由题意得该校1名学生家长“比较了解”的概率为70710010=， 73,10XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()33731010k kk P X k C -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0k =、1、2、3， 即X 的概率分布列如下表所示：X123P271000189100044110003431000所以()72131010E X =⨯=. 【点睛】本题考查利用独立性检验解决实际问题，同时也考查了利用二项分布求随机变量的分布列与数学期望值，考查数据处理能力，属于中等题.20．如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上除A ，B 外的一个动点，DC 垂直于半圆O 所在的平面，//DC EB ，1DC EB ==，4AB =.（1）证明：平面ADE ⊥平面ACD ；（2）当C 点为半圆的中点时，求二面角D AE B --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）6-.【解析】（1）结合线面垂直判定定理证明DE ⊥平面ACD 即可；（2）采用建系法，以C 为原点，以CA ，CB ，CD 为坐标轴建立空间坐标系，求出平面DAE 和平面AEB 的法向量，结合向量夹角公式即可求解 【详解】（1）证明：∵AB 是圆O 的直径，∴AC BC ⊥，∵DC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴DC BC ⊥，又DC AC C ⋂＝，∴BC ⊥平面ACD ，∵//DC EB ，DC EB ＝，∴四边形DCBE 是平行四边形，∴//DE BC ，∴DE ⊥平面ACD ，又DE ⊂平面ADE ，∴平面ACD ⊥平面ADE . （2）当C点为半圆的中点时，AC BC ==以C 为原点，以CA ，CB ，CD 为坐标轴建立空间坐标系如图所示：则()001D ，，，()0E，()0A ，，()0B ，∴()AB =﹣，0,0,1BE =（），()0,DE =，(21)DA =-， 设平面DAE 的法向量为111,m x y z =（）,，平面ABE 的法向量为222,,n x y z =（）， 则00m DA m DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，00AB BE n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11100z ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，22200z ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，令11x=得(m =，令21x =得()1,1,0n =.∴,63m n cos m n m n⋅===⨯. ∵二面角D AE B --是钝二面角， ∴二面角D AE B --的余弦值为6-.【点睛】本题考查面面垂直的证明，建系法求解二面角的余弦值，属于中档题 21．已知函数321(2)()232a f x x x ax +=++. （1）当2a =时，求过坐标原点且与函数()y f x =的图像相切的直线方程； （2）当()0,2a ∈时，求函数()f x 在[]2,a a -上的最大值. 【答案】（1）4y x =；y x =；（2）32max 5()36f x a a =+. 【解析】（1）设出切点坐标，代入a 的值，表示出切线方程，根据切线过(0，0)，求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可． 【详解】（1）设切点坐标为()00,x y ，当2a =时，321()243f x x x x =++， 则2()44f x x x '=++ 所以切线方程为322000000124(44)()3y x x x x x x x ---=++-， 又过原点(0，0)，所以3232000000124443x x x x x x ---=---， 32002203x x +=，解得00x =或03x =-， 当00x =时，切线方程为4y x =﹔ 当03x =时，切线方程为y x =. （2）因321(2)()232a f x x x ax +=++，所以()()()()2222f x x a x a x x a '=+++=++，令()0f x '=，得x a =-，2x =-，①当22a -≥-，即01a <≤时，()f x 在()2,a a --上单调递减，在(),a a -上单调递增，所以()()(){}max 2,f x max f a f a =-. 因3322382(2)244033f a a a a a a -=-++-=-<， 33223215()230326a f a a a a a a =+++=+>，所以()()2f a f a -<，所以32max 5()()36f x f a a a ==+. ②当22a -<-，即12a <<时，()f x 在()2,2a --上单调递增，在()2,a --上单调递减，在(),a a -上单调递增，所以()(){}max (2,f x max f f a =-.842(2)2442333f a a a -=-++-=-+<-，3322321523()233266a f a a a a a a =+++=+>， 所以()()max f x f a =. 综上可得：32max 5()()36f x f a a a ==+. 【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22．已知点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>上，(1,0)F 是椭圆的一个焦点.（1）求椭圆C 的方程；（2）椭圆C 上不与P 点重合的两点D ，E 关于原点O 对称，直线PD ，PE 分别交y 轴于M ，N 两点.求证：以MN 为直径的圆被直线32y =截得的弦长是定值.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析. 【解析】（1）利用椭圆的定义求解即可；（2）由题意可知D ，E 两点与点P 不重合，设出D ，E 两点的坐标，求出直线PD 和PE ，设以MN 为直径的圆与直线32y =交于G ，H 两点，利用0GM GN ⋅=，可得出弦长为定值． 【详解】（1）依题意，椭圆的另一个焦点为()1,0F '-，且1c =.因为24a ==，所以2a =，b == 所以椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）证明：由题意可知D ，E 两点与点P 不重合.因为D ，E 两点关于原点对称，所以设(),D m n ，()E m n --，，()1m ≠±， 设以MN 为直径的圆与直线32y =交于3,2G t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,(0)2H t t ⎛⎫-> ⎪⎝⎭两点，所以GM GN ⊥直线PD ：332(1)21n y x m --=--当0x =时，33212n y m -=-+-，所以3320,12n M m ⎛⎫- ⎪-+ ⎪- ⎪⎝⎭直线PE ：332(1)21n y x m +-=-+当0x =时，3+32+12n y m =-+，所以3320,12n N m ⎛⎫+ ⎪-+ ⎪+ ⎪⎝⎭所以32,1n GM t m ⎛⎫- ⎪=-- ⎪- ⎪⎝⎭，32,1n GN t m ⎛⎫+ ⎪=-- ⎪+ ⎪⎝⎭，因为GM GN ⊥，所以0GM GN ⋅=，所以2224904(1)n GM GN t m -⋅=+=-. 因为22143m n +=，即223412m n +=，224933n m -=-，所以2304t -=，所以2t =，所以322G ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，32H ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以GH =.所以以MN 为直径的圆被直线32y =. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查定值问题，考查数量积的坐标表示，属于中档题．。
江苏省南京市六校联合体2020-2021学年高三上学期期初数学试题
江苏省南京市六校联合体2020-2021学年高三上学期期初数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．集合{}1,0,1A =-，{}|20B x x =-<<，则A B 中元素的个数是______．2．已知复数z 满足1i 1zz-=-+，则z =________. 3．某校共有学生1600人，其中高一年级400人．为了解各年级学生的兴趣爱好情况，用分层抽样的方法从中抽取容量为80的样本，则应抽取高一学生____人． 4．已知函数()()cos 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为4，则ω=________. 5．已知命题“存在2000,40x R x ax a ∈+-<”为假命题，则实数a 的取值范围是_______．6．执行如图所示的伪代码，则输出的S 的值为______.7．从分别写有1,2,3,4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为_____．8．已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为340x y ±=，则双曲线的离心率为____.9．已知实数,x y 满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则目标函数3z x y =+的取值范围为_____．10．已知圆C ：22(1)()16x y a -+-=，若直线20ax y +-=与圆C 相交于A ，B 两点，且CA CB ⊥，则实数a 的值为_______.11．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =__________．12．知a >0，b >0，且a ＋3b ＝11b a-，则b 的最大值为________． 13．如图，在平面四边形ABCD 中，90CBA CAD ∠=∠=︒，30ACD ∠=︒，AB BC =，点E 为线段BC 的中点．若AC AD AE λμ=+(,R λμ∈)，则λμ的值为_______．14．已知函数330()ln 0x mx m x f x x m x ，，，⎧--≤=⎨->⎩有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是____．二、解答题15．在ABC ∆中，2sin 3A =，A π(,π)2∈．（1）求sin 2A 的值； （2）若1sin 3B =，求cos C 的值． 16．如图，在三棱锥P —ABC 中，过点P 作PD⊥AB，垂足为D ．E ，F 分别是PD ，PC 的中点，且平面PAB⊥平面PCD ．（1）求证：EF∥平面ABC ； （2）求证：CE⊥AB．17．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2,且过点(.（Ⅰ）求椭圆的方程;（Ⅱ）已知点()()2,1,3,0A B --,过点B 的直线l 交椭圆于,P Q 两点,直线,AP AQ 的斜率分别为12,k k ,求证: 12k k +为定值.18．某公园准备在一圆形水池里设置两个观景喷泉，观景喷泉的示意图如图所示，,A B 两点为喷泉，圆心O 为AB 的中点，其中OA OB a ==米，半径10OC =米，市民可位于水池边缘任意一点C 处观赏． （1）若当23OBC π∠=时，1sin 3BCO ∠=，求此时a 的值；（2）设22y CA CB =+，且22232CA CB +≤． （i ）试将y 表示为a 的函数，并求出a 的取值范围；（ii ）若同时要求市民在水池边缘任意一点C 处观赏喷泉时，观赏角度ACB ∠的最大值不小于6π，试求,A B 两处喷泉间距离的最小值．19．设函数32()f x x ax bx =++(a ，b ∈R)的导函数为()f x ,已知1x ，2x 是()f x '的两个不同的零点． （1）证明：23a b >；（2）当b ＝0时，若对任意x ＞0，不等式()ln f x x x ≥恒成立，求a 的取值范围； （3）求关于x 的方程1211()()()()2x x f x f x x f x -+'+=的实根的个数． 20．已知数列{}n a 的前n 项和记为n A ，且()12n n n a a A +=，数列{}n b 是公比为q 的等比数列，它的前n 项和记为n B .若110a b =≠，且存在不小于3的正整数k ，m ，使得k m a b =.（1）若11a =，35a =，求2a 的值； （2）求证：数列{}n a 是等差数列； （3）若2q，是否存在整数m ，k ，使得86k m A B =，若存在，求出m ，k 的值；若不存在，请说明理由.21．已知矩阵01M ⎡=⎢⎣ 10-⎤⎥⎦，21N ⎡=⎢-⎣12⎤⎥-⎦.（1）求MN ；（2）若曲线221:1C x y -=在矩阵MN 对应的变换作用下得到另一曲线2C ，求2C 的方程.22．在极坐标系下，已知圆C ：cos sin ρθθ=+和直线l ：20x y -+=. （Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程和直线l 的极坐标方程； （Ⅱ）求圆C 上的点到直线l 的最短距离．23．某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满200元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：一个袋子装有5只形状和大小均相同的玻璃球，其中两只是红色，三只是绿色，顾客从袋子中一次摸出两只球，若两只球都是红色，则奖励20元；共两只球都是绿色，则奖励10元；若两只球颜色不同，则不奖励． （1）求一名顾客在一次摸奖活动中获得20元的概率；（2）记X 为两名顾客参与该摸奖活动获得的奖励总数额，求随机变量X 的分布列和数学期望．24．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P 3(,)4m 到准线的距离与到原点O 的距离相等，抛物线的焦点为F . (1)求抛物线的方程；(2)若A 为抛物线上一点(异于原点O )，点A 处的切线交x 轴于点B ，过A 作准线的垂线，垂足为点E ，试判断四边形AEBF 的形状，并证明你的结论.参考答案1．1 【分析】对A 中元素逐个检验后可得A B 中元素的个数.【详解】A 中仅有1B -∈，故A B 中元素的个数为1，填1 .【点睛】本题考查集合的交，属于基础题. 2．1 【分析】化简原式，利用复数的乘法运算法则求得z i ，利用复数模的计算公式即可得结果.【详解】 复数z 满足11zi z-=-+， (1)1i z i ∴-=+，(1)(1)(1)(1)i i z i i ∴+-=++，即22z i =，z i ∴=， 则1z =，故答案为1. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查乘除运算，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 3．20 【解析】 【分析】利用分层抽样方法直接求解. 【详解】由题意，应抽取高一学生40080201600⨯=（人）， 故答案是20.该题考查的是有关分层抽样中某层所抽个体数的问题，涉及到的知识点有分层抽样要求每个个体被抽到的概率是相等的，列式求得结果，属于简单题目. 4．2π【解析】 【分析】()()cos 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的周期计算公式2T ωπ= 可得答案【详解】()()cos 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭由周期计算公式可得24T πω==，解得ω=2π【点睛】()()cos f x A x ωϕ=+或()()sin f x A x ωϕ=+的最小正周期计算公式均为2T ωπ=5．[-16,0] 【解析】试题分析：命题：“存在x ∈R ，使x 2+ax-4a ＜0”为假命题， 即x 2+ax-4a≥0恒成立，必须△≤0， 即：a 2+16a≤0，解得-16≤a≤0， 故实数a 的取值范围为[-16，0]． 考点：命题的真假判断与应用 6．30 【分析】根据循环语句的意义求出S 的表达式,再计算即可. 【详解】根据循环语句可知, 213530S =⨯⨯⨯=. 故答案为：30本题主要考查了根据循环语句计算输出结果的问题,属于基础题.7．3 8【分析】先求出别写有1,2,3,4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件的个数，然后再求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的基本事件的个.数，运用古典概型公式求出概率.【详解】写有1,2,3,4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件的个数为4416⨯=，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的基本事件为：(2,1),(3,1),(3,2)(4,1)(4,2),(4,3)，共6个，因此抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为63 168=.【点睛】本题考查了古典概型概率的计算公式，考查了有放回抽样，属于基础题.8．5 4【解析】【分析】焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为34y x，可知34ba，由此可求出双曲线的离心率。
江苏省南京市中华中学2021-2022学年高三上学期期初考试数学试卷
）
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．已知 a＝log315，b＝log420，2c＝1.9，则（ ）
A．a＞c＞b
B．a＞b＞c
C．b＞a＞c
D．c＞a＞b
7．已知抛物线 C:y2＝8x 的焦点为 F，抛物线 C 上一点 A 满足|AF|＝5，则以点 A 为圆心，
AF 为半径的圆被 x 轴所截得的弦长为（ ）
x2＋3x＋c 所以[exf(x)]'＝2x＋3，则 exf(x)＝x2＋3x＋c，所以 f(x)＝ ex ，
c 因为 f(0)＝1，所以 f(0)＝e0＝c＝1，
x2＋3x＋1 所以 f(x)＝ ex ，
(2x＋3)ex－ex(x2＋3x＋1) －(x2＋x－2) －(x＋2)(x－1)
f'(x)＝
＝(1＋i)(1－i)＝1－i，所以复数 z 的虚部为－1；
3．A【详解】由题 2×(－2)－x＝0 得 x＝－4，所以 3a＋b＝3(2，1)＋(－4，－2)＝(2，1)，
所以|3a＋b|＝ 22＋12＝ 5
4．B【详解】分两步：（1）安排 2 名老师：共 A22＝2 种不同的参加方式；
（2）安排 4 名学生：又分两类：� 参加两项活动的学生人数为一项 3 人，一项 1 人：共
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10．已知函数 f(x)＝Asin(2x＋φ)(A＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则下列说法正 确的是（ ） A．f(x)＝ 3sin(2x＋π3) B．函数 f(x)在[π6，23π]上单调递减 C．函数 f(x)的图象关于（51π2，0）中心对称 D． 函数 g(x)＝ 3cos2x 的图象可由函数 f(x)的图象向左平移1π2个单位得到
2021届江苏省南京市高三第一学期期初联考数学试题Word版含解析
2021届江苏省南京市高三第一学期期初联考数学试题一、填空题1．已知集合A ＝{}12x x -<≤，B ＝{}0x x ≤，则A B ＝_______． 【答案】{}10x x -<≤【解析】根据交集定义直接求得结果. 【详解】由交集定义可得：{}10A B x x ⋂=-<≤ 本题正确结果：{}10x x -<≤ 【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题. 2．已知复数z 31ii-=+（i 是虚数单位），则z 的虚部是 . 【答案】-2【解析】直接利用复数代数形式的除法运算化简，则复数z 的虚部可求． 【详解】 ∵z ()()()()31324121112i i i ii i i i ----====-++-， ∴z 的虚部是﹣2． 故答案为﹣2． 【点睛】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．对一批产品的质量（单位：克）进行抽样检测，样本容量为1600，检测结果的频率分布直方图如图所示．根据标准，单件产品质量在区间[25，30)内为一等品，在区间[15，20)，[20，25)和[30，35)内为二等品，其余为三等品．则样本中三等品件数为_______．【答案】200.【解析】根据频率分布直方图求得三等品对应频率，根据频数等于频率乘以总数求得结果. 【详解】由题意可知，单间产品质量在[)10,15和[)35,40的为三等品∴三等品对应的频率为：0.0125250.125⨯⨯= ∴三等品件数为：16000.125200⨯=本题正确结果：200 【点睛】本题考查根据频率分布直方图计算频数的问题，属于基础题.4．现有三张卡片，分别写有“1”、“2”、“3”这三个数字．将这三张卡片随机排序组成一个三位数，则该三位数是偶数的概率是_______． 【答案】13. 【解析】计算出三位数个数和其中偶数个数，根据古典概型概率公式求得结果. 【详解】三张卡片随机排序组成一个三位数，共有：336A =个，其中偶数有：222A =个∴该三位数是偶数的概率：2163p == 本题正确结果：13【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，属于基础题. 5．函数21log y x =+______． 【答案】1[,)2+∞【解析】直接由根式内部的代数式大于等于0，然后求解对数不等式得答案. 【详解】由201log 0x x >⎧⎨+≥⎩，得12x ≥，∴函数21log y x =+的定义域为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法，考查对数不等式的解法，是基础题. 6．运行如图所示的伪代码，其结果为 ．【答案】17【解析】试题分析：第一次循环，I=1，S=1+1=2；第二次循环，I=3，S=2+3=5；第三次循环，I=5，S=5+5=10；第四次循环，I=7，S=10+7=17，结束循环输出S=17 【考点】循环结构流程图7．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：222116x y a -=(a ＞0)的右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为453，则双曲线C 的方程为_______．【答案】2212016x y -=.【解析】由方程得到顶点坐标和渐近线方程，利用点到直线距离公式构造方程求得2a ，从而得到所求方程. 【详解】由双曲线方程知，右顶点为(),0a ，渐近线方程为：4y x a=±，即40x ay ±-= ∴右顶点到双曲线渐近线距离2445316ad a ±=+220a =∴双曲线C 的方程为：2212016x y -=本题正确结果：2212016x y -=【点睛】本题考查双曲线标准方程的求解，关键是能够利用点到直线距离公式构造方程求得未知量.8．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为_______．【答案】32. 【解析】设球的半径为R ，可知圆柱高为2R ；根据圆柱表面积和球的表面积公式分别求得表面积，作比得到结果. 【详解】设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R∴圆柱的表面积2212226S R R R R πππ=+⋅=；球的表面积224S R π=∴圆柱的表面积与球的表面积之比为21226342S R S R ππ==本题正确结果：32【点睛】本题考查圆柱表面积和球的表面积公式的应用，属于基础题.9．函数()Asin()f x x ωϕ=+(A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示．若函数()y f x =在区间[m ，n ]上的值域为[2-2]，则n ﹣m 的最小值是_______．【答案】3.【解析】根据三角函数图象求得函数解析式()2sin 4f x x π=；利用()2f x =-()2f x =求得x 的取值，可知当12k k =时取最小值，从而得到结果. 【详解】由图象知：()max 2f x = 2A ∴=，又()22628T πω==⨯-= 4πω∴=()22sin 22f πϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭2k ϕπ∴=，k Z ∈()2sin 22sin 44f x x k x πππ⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭当()2f x =-1244x k πππ=-+或15244x k πππ=+，1k Z ∈ 181x k ∴=-或185x k =+，1k Z ∈当()2f x =时，2242x k πππ=+，2k Z ∈ 282x k ∴=+若n m -最小，则12k k = ()min 3n m ∴-= 本题正确结果：3 【点睛】本题考查利用三角函数图象求解函数解析式、根据值域求解定义域的问题；关键是能够通过特殊角三角函数值确定角的取值.10．在公比为q 且各项均为正数的等比数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和．若121a q =，且527S S =+，则首项1a 的值为_______． 【答案】14. 【解析】首先验证1q =时，不符合题意，可知1q ≠；利用()252317S S a q q-=++=和2311aa q ==可构造方程求得q ，代入求得结果. 【详解】当1q =时，由527S S =+得：11527a a =+，解得：173a = 与11a =矛盾，可知1q ≠()252345317S S a a a a q q -=++=++=，2311a a q ==260q q ∴+-=，又0q >，解得：2q114a ∴=本题正确结果：14【点睛】本题考查等比数列通项公式的应用，关键是能够利用已知等式构造出关于公比的方程.11．已知()f x 是定义在区间(﹣1，1)上的奇函数，当x ＜0时，()(1)f x x x =-．已知m 满足不等式2(1)(1)0f m f m -+-<，则实数m 的取值范围为_______．【答案】(0，1).【解析】根据二次函数性质和奇偶性可知()f x 在()1,1-上单调递减；将不等式变为()()211f m f m -<-，根据单调性和定义域可得不等式组，解不等式组求得结果. 【详解】()f x 为定义在()1,1-上的奇函数 ()00f ∴=(]1,0x ∴∈-时，()221124f x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭ ()f x ∴在(]1,0-上单调递减()f x 为奇函数 ()f x ∴在[)0,1上单调递减 ()f x ∴在()1,1-上单调递减由()()2110f m f m-+-<得：()()()22111f m f m f m-<--=-2211111111m m m m -<-<⎧⎪∴-<-<⎨⎪->-⎩，解得：01m <<，即m 的取值范围为：()0,1 本题正确结果：()0,1 【点睛】本题考查利用单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，关键是能够将问题转化为函数值之间的比较，根据单调性将函数值的比较变为自变量的比较；易错点是忽略定义域的要求，造成求解错误.12．已知圆O ：x 2＋y 2＝4和圆O 外一点P(0x ，0y )，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，且∠AOB ＝120°．若点C(8，0)和点P 满足PO ＝λPC ，则λ的范围是_______． 【答案】1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】根据4PO =可知220016x y +=，利用PO PC λ=构造方程可求得0215x λ=-；根据044x -≤≤且0λ>可解不等式求得结果.【详解】120AOB ∠=，2OA OB == 4cos60AO PO ∴==，即22016x y += 又()22008PC x y =-+且PO PC λ= ()22200816x y λ⎡⎤∴-+=⎣⎦且0λ> 解得：20225115x λλλ-==-220016x y += 044x ∴-≤≤ 21454λ∴-≤-≤，解得：1,13λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦本题正确结果：1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查直线与圆的综合应用问题，涉及到两点间距离公式的应用、点的轨迹方程的求解；关键是能够利用λ表示出动点的横坐标，从而根据横坐标范围构造不等式. 13．如图，已知梯形ABCD ，//AD BC ，23BC AD =，取BD 中点E ，连接AE 并延长交CD 于F ，若2AB AD FA CD ⋅=⋅，则ABAD=_______．【答案】33. 【解析】作//FG AD ，根据三角形相似得到比例关系证得34DF DC =；利用平面向量线性运算可用AD ，AB表示出CD，FA ，根据数量积的运算律可整理得到223122AB AD=，从而得到结果.【详解】作//FG AD，交BD于点GAED FEG∆∆GF EGAD DE∴=，又2FG GD DE EGBC BD DE+==又23BCAD=，可得：2DE EG=3344DF DG EGDC DB EG∴===2133CD CB BA AD DA BA AD AD AB=++=++=-()3313344344FA AD DF AD DC AD AD AB AD AB⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴=-+=-+=-+-+=--⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦22133312234422FA CD AD AB AD AB AB AD AB AD⎛⎫⎛⎫∴⋅=-⋅--=+⋅-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又2AB AD FA CD⋅=⋅223122AB AD∴=，即223122AB AD=3ABABAD AD∴==本题正确结果：33【点睛】本题考查平面向量的综合应用问题，涉及到向量的线性运算、向量数量积的运算律等知识；关键是能够用基底准确的表示向量，将数量积运算转化为模长之间的关系，属于较难题.14．已知函数()1ln,111,122x xf xx x+≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩,若12x x≠，且()()122f x f x+=，则12x x+的取值范围是________.【答案】[32ln2,)-+∞【解析】首先可根据题意得出12x x、不可能同时大于1，然后令121x x，根据122f x f x即可得出122212ln x x x x ，最后通过构造函数12ln 1g xx x x 以及对函数12ln 1g x x x x 的性质进行分析即可得出结果。
2021届江苏省南京师大附中高三上学期期中数学试题(学生版)
C. D.
9.某人退休前后各类支出情况如下，已知退休前工资收入为8000元月，退休后每月储蓄的金额比退休前每月储蓄的金额少1500元，则下面结论中正确的是()
A.该教师退休前每月储蓄支出2400元
B.该教师退休后的旅行支出是退休前旅行支出的3倍
C.该教师退休工资收入为6000元月
D.该教师退休后的其他支出比退休前的其他支出少
一、单项选择题
1.已知集合 ， ，则 ()
A. B.
C. D.
2.设 ，则 的虚部为()
A. B.
C. D.
3.已知 ，则“ ”是“抛物线 的焦点在 轴正半轴上”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
4.设 为实数，已知向量 =(-1，2)， =(1， ).若 ，则向量 +2 与 之间的夹角为()
南师附中2020-2021学年度第一学期高三期中考试
数学试题
注意事项:
1考试时间: 120分钟，试卷满分150分.
2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置上.
3.请用0.5术黑色墨水的签字笔按题号在答题纸上指定区域内作答:在其它位置作答一律无效;考试结束后，请将答题纸、卡交回.
A.
B. 三棱锥 的体积与点 位置有关系
C. 平面 截正方体 的截面面积为
D. 点 到平面 的距离为
12.已知函数 ，则下列说法正确 有()
A. 直线y=0为曲线y=f(x)的一条切线
B.f(x)的极值点个数为3
C.f(x)的零点个数为 4
D. 若f( )=f( )( ≠ )，则 + =0
江苏省南京市三校2021届高三第一学期期中联考数学试卷【含答案】
江苏省南京市三校2021届高三第一学期期中联考数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定的位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合[1,3)M =，(2,5]N =，则M N =（ ）A. []1,5B. ()2,3C. [)1,2D. (]3,52. 已知i 是虚数单位，设复数22ia bi i-+=+，其中,a b ∈R ，则+a b 的值为（ ） A.75B. 75-C. 15D. 15-3. 从5名同学中选若干名分别到图书馆、食堂做志愿者，若每个地方至少去2名，则不同的安排方法共有（ ） A. 20种B. 50种C. 80种D. 100种4. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”你的计算结果是（ ） A. 80里B. 86里C. 90里D. 96里5. 若正数a 是一个不等于1的常数，则函数log a y x =与函数(0)a y x x =>在同一个坐标系中的图象可能是（ ）A. B. C. D.6. 设 2.10.3a =，0.32.1b =，0.3log 2.1c =， 2.1log 0.3d =，则a ，b ，c ，d 的大小关系为（ ） A. a b c d >>>B. d c b a >>>C. b a c d >>>D. b a d c >>>7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:9C x y +=及圆C 内的一点()1,2P ，圆C 的过点P 的直径为MN ，若线段AB 是圆C 的所有过点P 的弦中最短的弦，则()AM BN AB -⋅的值为（ ）A. 8B. 16C. 4D. 438. 设()f x 是定义在R 上的函数，()(1)g x f x =+．若函数()g x 满足下列条件：①()g x 是偶函数；②()g x 在区间[)0,+∞上是增函数；③()g x 有一个零点为2，则不等式(1)()x f x +>0的解集是（ ） A. (3,)+∞ B. (1,)+∞C. (,1)(1,)-∞-+∞ D. (,1)(3,)-∞-+∞二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9. 在平面直角坐标系xOy 中，为了使方程2220x my +-=表示准线垂直于x 轴的圆锥曲线，实数m 的取值范围可以是（ ） A. (1,)+∞B. (,0)-∞C. (,)-∞+∞D. (0,)+∞10. 若将函数sin()y A x ωϕ=+的图象上所有的点向右平移3π个单位，再把得到的图象上各点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），最后得到函数22sin 33y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，则实数ϕ的值可能是（ ） A.43πB.23π C. 23π-D. 43π-11. 设0a >，0b >，且24a b +=，则下列结论正确的是（ ） A.11a b+2 B.21a b+的最小值为2 C. 12a b+的最小值为94D.111b a a b +≥++ 12. 设常数R a ∈，N n *∈，对于二项式(1)n x +的展开式，下列结论中，正确的是（ ）A. 若1a n<，则各项系数随着项数增加而减小 B. 若各项系数随着项数增加而增大，则a n >C. 若2a =-，10n =，则第7项的系数最大D. 若2a =7n =，则所有奇数项系数和为239三、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中相应的横线上.13. 在平面直角坐标系xOy 中，过抛物线2:C y mx =的焦点F 作斜率为1的直线，与抛物线C 交于A ，B 两点．若弦AB 的长为6，则实数m 的值为__________.14. 今年元旦，市民小王向朋友小李借款100万元用于购房，双方约定年利率为5%，按复利计算（即本年利息计入次年本金生息），借款分三次等额归还，从明年的元旦开始，连续三年都是在元旦还款，则每次的还款额是__________元．（四舍五入，精确到整数）15. 数学家研究发现，对于任意的x ∈R ，()357211sin (1)N 3!5!7!(21)!n n x x x x x x n n --*=-+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅∈-，称为正弦函数的泰勒展开式．在精度要求不高的情况下，对于给定的实数x ，可以用这个展开式来求sin x 的近值．如图，百货大楼的上空有一广告气球，直径为6米，在竖直平面内，某人测得气球中心B 的仰角30BAC ∠=︒，气球的视角2α=︒，则该气球的高BC 约为_________米．（精确到1米）16. 如图所示，多面体ABCDEFGH 中对角面CDEF 是边长为6的正方形，//AB DC ，//HG DE ，且AB ，GH 到平面CDEF 的距离都是3，则该多面体的体积为___________.四、解答题：本题共6小题；共70分.将解答写在答题卡中相应的空白处.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设函数2()434sin cos 1f x x x x =-+. （1）求()f x 最小正周期和值域；（2）在锐角ABC 中，设角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ．若()1f A =，1a =，求ABC 周长的取值范围．18. 阅读本题后面有待完善的问题，在下列三个关系①1112n n a a +=+，②12n n a a +=+，③21n n S a =-中选择一个作为条件，补充在题中横线标志的__________处，使问题完整，并解答你构造的问题．（如果选择多个关系并分别作答，在不出现逻辑混乱的情况下，按照第一个解答给分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，对任意的*N n ∈，都有_________；等比数列{}n b 中，对任意的*N n ∈，都有0n b >，2123n n n b b b ++=+，且11b =，问：是否存在*N k ∈，使得：对任意的*N n ∈，都有n k k n a b a b ≤？若存在，试求出k 的值；若不存在，试说明理由．19. 如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，点M 是侧棱PC 的中点，AM ⊥平面PBD ．（1）求PA 的长；（2）求棱PC 与平面AMD 所成角的正弦值．20. 在20人身上试验某种血清对预防感冒的作用，把他们一年中是否患感冒的人数与另外20名未用血清的人是否患感冒的人数作比较，结果如下表所示．未感冒 感冒 使用血清 17 3 未使用血清146（1）从上述患过感冒的人中随机选择4人，以进一步研究他们患感冒的原因．记这4人中使用血清的人数为X ，试写出X 的分布列；（2）有多大的把握得出“使用该种血清能预防感冒”的结论？你的结论是什么？请说明理由．附：对于两个研究对象Ⅰ（有两类取值：类A ，类B ）和Ⅱ（有两类取值：类1，类2）统计数据的一个2×2列联表：Ⅱ类1类2Ⅰ类Aab类Bcd有22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.临界值表（部分）()2P k χ≥0.50 0.40 0.25 015 0.10 0.05 0.025 0.010 0005 0.001k0.445 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82821. 设M 是定义在R 上且满足下列条件的函数()f x 构成的集合： ①方程()0f x x -=有实数解； ②函数()f x 的导数fx 满足0()1f x '<<．（1）试判断函数sin ()24x x f x =+是否集合M 的元素，并说明理由； （2）若集合M 中的元素()f x 具有下面的性质：对于任意的区间[],m n ，都存在0[,]x m n ∈，使得等式()0()()()f n f m n m f x '-=-成立，证明：方程()0f x x -=有唯一实数解．（3）设1x 是方程()0f x x -=的实数解，求证：对于函数()f x 任意的23,x x R ∈，当211x x -<，311x x -<时，有()()322f x f x -<．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E 与双曲线22:13612y x C -=有共同的中心和准线，且双曲线C 的一条渐近线被椭圆E 截得的弦长为42 （1）求椭圆E 的方程；（2）若过点(0,)P m 存在两条互相垂直的直线都与椭圆E 有公共点，求实数m 的取值范围．（答案）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定的位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合[1,3)M =，(2,5]N =，则M N =（ ）A. []1,5B. ()2,3C. [)1,2D. (]3,5【答案】B2. 已知i 是虚数单位，设复数22ia bi i-+=+，其中,a b ∈R ，则+a b 的值为（ ） A.75B. 75-C. 15D. 15-【答案】D3. 从5名同学中选若干名分别到图书馆、食堂做志愿者，若每个地方至少去2名，则不同的安排方法共有（ ） A. 20种 B. 50种C. 80种D. 100种【答案】B4. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”你的计算结果是（ ） A. 80里 B. 86里C. 90里D. 96里【答案】D5. 若正数a 是一个不等于1的常数，则函数log a y x =与函数(0)a y x x =>在同一个坐标系中的图象可能是（ ）A. B. C. D.【答案】C6. 设 2.10.3a =，0.32.1b =，0.3log 2.1c =， 2.1log 0.3d =，则a ，b ，c ，d 的大小关系为（ ） A. a b c d >>> B. d c b a >>>C. b a c d >>>D. b a d c >>>【答案】C7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:9C x y +=及圆C 内的一点()1,2P ，圆C 的过点P 的直径为MN ，若线段AB 是圆C 的所有过点P 的弦中最短的弦，则()AM BN AB -⋅的值为（ ）A. 8B. 16C. 4D. 43【答案】B8. 设()f x 是定义在R 上的函数，()(1)g x f x =+．若函数()g x 满足下列条件：①()g x 是偶函数；②()g x 在区间[)0,+∞上是增函数；③()g x 有一个零点为2，则不等式(1)()x f x +>0的解集是（ ） A. (3,)+∞ B. (1,)+∞C. (,1)(1,)-∞-+∞D. (,1)(3,)-∞-+∞【答案】A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9. 在平面直角坐标系xOy 中，为了使方程2220x my +-=表示准线垂直于x 轴的圆锥曲线，实数m 的取值范围可以是（ ） A. (1,)+∞ B. (,0)-∞C. (,)-∞+∞D. (0,)+∞【答案】AB10. 若将函数sin()y A x ωϕ=+的图象上所有的点向右平移3π个单位，再把得到的图象上各点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），最后得到函数22sin 33y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，则实数ϕ的值可能是（ ）A.43π B.23π C. 23π-D. 43π-【答案】AC11. 设0a >，0b >，且24a b +=，则下列结论正确的是（ ） A.11a b+的最小值为2 B.21a b+的最小值为2 C. 12a b+的最小值为94D.111b a a b +≥++ 【答案】BCD12. 设常数R a ∈，N n *∈，对于二项式(1)n a x +的展开式，下列结论中，正确的是（ ）A. 若1a n<，则各项系数随着项数增加而减小 B. 若各项系数随着项数增加而增大，则a n >C. 若2a =-，10n =，则第7项的系数最大D. 若2a =-，7n =，则所有奇数项系数和为239 【答案】BCD三、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中相应的横线上.13. 在平面直角坐标系xOy 中，过抛物线2:C y mx =的焦点F 作斜率为1的直线，与抛物线C 交于A ，B 两点．若弦AB 的长为6，则实数m 的值为__________. 【答案】3±14. 今年元旦，市民小王向朋友小李借款100万元用于购房，双方约定年利率为5%，按复利计算（即本年利息计入次年本金生息），借款分三次等额归还，从明年的元旦开始，连续三年都是在元旦还款，则每次的还款额是__________元．（四舍五入，精确到整数） 【答案】36720915. 数学家研究发现，对于任意的x ∈R ，()357211sin (1)N 3!5!7!(21)!n n x x x x x x n n --*=-+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅∈-，称为正弦函数的泰勒展开式．在精度要求不高的情况下，对于给定的实数x ，可以用这个展开式来求sin x 的近值．如图，百货大楼的上空有一广告气球，直径为6米，在竖直平面内，某人测得气球中心B 的仰角30BAC ∠=︒，气球的视角2α=︒，则该气球的高BC 约为_________米．（精确到1米）【答案】8616. 如图所示，多面体ABCDEFGH 中对角面CDEF 是边长为6的正方形，//AB DC ，//HG DE ，且AB ，GH 到平面CDEF 的距离都是3，则该多面体的体积为___________.【答案】108四、解答题：本题共6小题；共70分.将解答写在答题卡中相应的空白处.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设函数2()434sin cos 1f x x x x =-+. （1）求()f x 的最小正周期和值域；（2）在锐角ABC 中，设角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ．若()1f A =，1a =，求ABC 周长的取值范围．【答案】（1）T π=；[323,523]-++；（2）31,3]+.18. 阅读本题后面有待完善的问题，在下列三个关系①1112n n a a +=+，②12n n a a +=+，③21n n S a =-中选择一个作为条件，补充在题中横线标志的__________处，使问题完整，并解答你构造的问题．（如果选择多个关系并分别作答，在不出现逻辑混乱的情况下，按照第一个解答给分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，对任意的*N n ∈，都有_________；等比数列{}n b 中，对任意的*N n ∈，都有0n b >，2123n n n b b b ++=+，且11b =，问：是否存在*N k ∈，使得：对任意的*N n ∈，都有n k k n a b a b ≤？若存在，试求出k 的值；若不存在，试说明理由． 【答案】答案见解析19. 如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，点M 是侧棱PC 的中点，AM ⊥平面PBD ．（1）求PA的长；（2）求棱PC与平面AMD所成角的正弦值．【答案】（1）1；（26 .20. 在20人身上试验某种血清对预防感冒的作用，把他们一年中是否患感冒的人数与另外20名未用血清的人是否患感冒的人数作比较，结果如下表所示．未感冒感冒使用血清17 3未使用血清14 6（1）从上述患过感冒的人中随机选择4人，以进一步研究他们患感冒的原因．记这4人中使用血清的人数为X，试写出X的分布列；（2）有多大的把握得出“使用该种血清能预防感冒”的结论？你的结论是什么？请说明理由．附：对于两个研究对象Ⅰ（有两类取值：类A，类B）和Ⅱ（有两类取值：类1，类2）统计数据的一个2×2列联表：Ⅱ类1 类2 Ⅰ类A a b类B c d有22()()()()()n ad bca b c d a c b dχ-=++++，其中n a b c d=+++.临界值表（部分）()2P k χ≥ 0.50 0.40 0.25 015 0.10 0.05 0.025 0.010 0005 0.001k0.445 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.21. 设M 是定义在R 上且满足下列条件的函数()f x 构成的集合：①方程()0f x x -=有实数解；②函数()f x 的导数f x 满足0()1f x '<<．（1）试判断函数sin ()24x x f x =+是否集合M 的元素，并说明理由； （2）若集合M 中的元素()f x 具有下面的性质：对于任意的区间[],m n ，都存在0[,]x m n ∈，使得等式()0()()()f n f m n m f x '-=-成立，证明：方程()0f x x -=有唯一实数解．（3）设1x 是方程()0f x x -=的实数解，求证：对于函数()f x 任意的23,x x R ∈，当211x x -<，311x x -<时，有()()322f x f x -<．【答案】（1）是集合M 中的元素．理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E 与双曲线22:13612y x C -=有共同的中心和准线，且双曲线C 的一条渐近线被椭圆E 截得的弦长为42（1）求椭圆E 的方程；（2）若过点(0,)P m 存在两条互相垂直的直线都与椭圆E 有公共点，求实数m 的取值范围．【答案】（1）22196y x +=或2231248y x +=；（2）答案不唯一见解析.。
2021届江苏省南京市高三上学期期中考试考前训练数学试题 PDF版
)
2
2
4
A．函数 f (x ) 为奇函数 12
B．函数 f (x) 在[ ， ] 上单调递増 12 3
C．若 |
f
(x1)
f
(x2 ) | 2 ，则 |
x1
x2
| 的最小值为 3
D．函数 f (x) 的图象向右平移 个单位长度得到函数 y cos3x 的图象 4
11．已知等比数列{an} 的公比
3 i1 2i 1+2i1 2i
1 7i 5
1 5
7i 5
2. A 解 析 ∵ A=(0,2],B=[1,5],故AUB=(0,5]. 3. B 解 析 ： 双 曲 线
C:
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b 0) 的离心率为
5， 2
可得： c a
5 2
，即 1
b2 a2
5 4
，
可得 b 1 ， a2
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。
9. AB 解析： A 、找出所求数据中最大的值 173，最小值 161，再代入公式求值极差
173 16112 ，故本选项符合题意； B 、男生身高的数据在167 ~ 192 之间，女生身高数据在161 ~ 173 之间，所以男生身高的均 值较大，故本选项符合题意；
8
8
参考公式及数据：bˆ
i 1 n
，aˆ y bˆ x ， xi yi 16310 ， xi2 20400 ．
xi2 n·x 2
i1
i1
i 1
19．(本小题满分 12 分)
江苏省南京市秦淮中学2021届高三上学期期初调研考试数学试题(学生版)
南京市秦淮中学 届高三期初调研考试试卷注意事项及说明：本卷考试时间为 120 50 分．公式：球体积 V = 4 πR 3，随机变量 ξ 的方差 V （ξ） =n x 2 p - μ2i i= 1一、单项选择题：（本题共 8 小题．每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请将答案填写在答题卡相应的位置上．） 1．设 A = x x > 1 ， B = x x 2 - x - 2 < 0 ，则 C R A ∩ B =（ ）A ． x C ． xx > - 1B ． x - 1 < x < 1D ． x - 1 < x ≤ 11 < x < 22．若 z (1 + i ) = 1 - i ，则 z =（ ）A ． 1 - iB ． 1 + iC ． -iD ． i 3．为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加 A 、 B 、 C 三个贫困县的调研工作，每个县至少去 1 人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县， 则不同的派遣方案共有（ ）A ． 24B ． 36C ． 48D ． 644．如图，在正四棱柱 ABCD — A 1B 1C 1D 1 中， AB = 2BB 1， P 为 B 1C 1 的中点.则异面直线 AC 与 BP 所成的角为（）A . 90°B . 60°C . 45°D . 30°5．甲、乙两人投篮，投中的概率分别为 0.6， 0.7，若两人各投 2 次，则两人投中次数不等的概率是（ ）A . 0.6076B . 0.7516C . 0.3924D . 0.24846．△ ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D , E 分别是边 AB , BC 的中点，连接 DE 并延长到点 F ，使得 D E = 2E F ，则 A F ·BC 的值为（ ）A ． -58B ． 1 8C ． 1 4D ．11 8 7． Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 I t （t 的单位：天）的 L o g isic 模型： I t = K，其中1 + e -0.23t - 53K 为最大确诊病例数．当 I t ∗ = 0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则 t ∗ 约为（ln 19 ≈ 3）3（ ）A ． 60B ． 63C ． 66D ． 698．设函数 f (x ) = x (e x + a e -x ) 的导函数为 f (x )，若 f (x ) 是奇函数，则曲线 y = f (x ) 在点 (1, f (1)) 处切线的斜率为（）A ． -2eB ． -1 eC ． 2D ． 2e二、多项选择题：（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得 5 分，部分选对得 3 分，有选错得 0 分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．）9．为了对变量 x 与 y 的线性相关性进行检验，由样本点 x 1, y 1 、 x 2, y 2 、 ⋯、 x 10, y 10 变量的样本相关系数为 r ，那么下面说法中错误的有（ ）A. 若所有样本点都在直线 y = - 2x + 1 上，则 r = 1B. 若所有样本点都在直线 y = - 2x + 1 上，则 r = - 2 求得两个C. 若 rD. 若 r越大，则变量 x 与 y 的线性相关性越强 越小，则变量 x 与 y 的线性相关性越强x 2 y 223 10．已知双曲线 C ： a 2 - b 2 = 1(a > 0， b > 0) 的离心率为 3，右顶点为 A ，以 A 为圆心， b 为 半径作圆 A ，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M ， N 两点，则（ ）A. 渐近线方程为 y = ± 3 xB. 渐近线方程为 y = ± 3 x3 C . ∠ MAN = 60° D . ∠ MAN = 120°11．已知函数 f x = A c o s ωx + φ (A > 0, ω > 0, 0 < φ < π) 的图象的一个最高点为 -π , 3 12，与之 相邻的一个对称中心为 π , 0 6 ，将 f x 的图象向右平移 π个单位长度得到函数 g x 6的图象，则（ ）A ． g x 为偶函数B ． g x 的一个单调递增区间为 -5π , πC ． g x 为奇函数D ． g x 12 12 在 0, π上只有一个零点 2 12．若 a > 0， b > 0，则下面有几个结论正确的有（ ）A . 若 a ≠ 1， b ≠ 1，则 log a b + log b a ≥ 2B .a 2+b 2a + b≥ 2 2 C . 若 1 + 4 = 2，则 a + b ≥ 9D . 若 ab + b 2 = 2，则 a + 3b ≥ 4a b 2三、填空题： ( 本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．请将答案填写在答题卡相应的位置上． ) 13．《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生 12 只，且雌雄各半. 1 个月后，有一对老鼠生了 12 只小老鼠，一共有 14 只； 2 个月后，每对老鼠各生了 12 只小老鼠，一共有 98 只.以此类推，假设 n 个月后共有老鼠 a n 只，则 a n =.14．函数 y = log (x + 3) - 1, (a > 0 且 a ≠ 1) 的图象恒过定点 A ，若点 A 在直线 mx + ny + 1 = 0 上（其中 m ， n > 0），则1 m + 2的最小值等于 .nn x 2 y 2 15．已知椭圆 += 1 的焦点为 F ，短轴端点为 P ，若直线 PF 与圆 O : x 2 + y 2 = R 2(R > 0) 相4 2切，则圆 O 的半径为 . 16．棱长为 12 的正四面体 ABCD 与正三棱锥 E — BCD 的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE 的顶点均在一球的球面上，则正三楼锥 E — BCD 的体积为 ，该正三棱锥内切球的半径为.四、解答题： ( 本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案 填写在答题卡相应的位置上． )17．在① cos2B - + 2 = 0，② 2b c o s C = 2a - c ，③ b = c o s B +1三个条件中任选一个， 3 sin B 补充在下面问题中，并加以解答．a 3 sin A已知 △ ABC 的内角 A ， B ， C 所对的边分别是 a ， b ， c ，若，且 a ， b ， c 成等差数列，则 △ ABC 是否为等边三角形?若是，写出证明；若不是，说明理由， 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．记 S n 是正项数列 a n 的前 n 项和， a n + 1 是 4 和 S n 的等比中项. （1）求数列 a n 的通项公式；（2）记 b =1 ，求数列 b 的前 n 项和 T .na +1 ⋅ a n + 1 + 1 nnn (ad - b c )219．根据教育部《中小学生艺术素质测评办法》，为提高学生审美素养，提升学生的综合素质，江苏省中考将增加艺术素质测评的评价制度，将初中学生的艺术素养列入学业水平测试范围．为初步了解学生家长对艺术素质测评的了解程度，某校随机抽取 100 名学生家长参与问卷测试， 并将问卷得分绘制频数分布表如下：得分 [30， 40） [40， 50） [50， 60） [60， 70） [70， 80） [80， 90） [90， 100]男性人数 4 9 12 13 11 6 3 女性人数122211042（1）将学生家长对艺术素质评价的了解程度分为“比较了解”（得分不低于 60 分）和“不太了解” （得分低于 60 分）两类，完成 2 × 2 列联表，并判断是否有 99.9% 的把握认为“学生家长对艺术素质评价的了解程度”与“性别”有关？不太了解 比较了解 合计男性 女性 合计（2）以这 100 名学生家长中“比较了解”的频率代替该校学生家长“比较了解”的概率现在再随机抽取 3 名学生家长，设这 3 名家长中“比较了解”的人数为 X ，求 X 的概率分布和数学期望． 附： X 2 =， n = a + b + c + d ．(a + b ) (c + d ) (a + c ) (b + d )临界值表：P X 2 ≥ x 00.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 x 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820．如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上除A，B 外的一个动点，DC 垂直于半圆O 所在的平面，DC ∥ EB，DC = EB = 1，AB = 4.（1）证明：平面ADE ⊥ 平面ACD；（2）当C 点为半圆的中点时，求二面角D ﹣AE ﹣B 的余弦值.21．已知函数f(x)= 1x3+(a+2)x2+2a x．3 2（1）当a = 2 时，求过坐标原点且与函数y = f x的图像相切的直线方程；（2）当a ∈ 0, 2时，求函数f x在-2a,a上的最大值．3 x2y222．已知点P(1, 2 ) 在椭圆C：a2 + b2 = 1(a > b > 0) 上，F(1, 0) 是椭圆的一个焦点．（1）求椭圆C 的方程；（2）椭圆C 上不与P 点重合的两点D，E 关于原点O 对称，直线PD，PE 分别交y 轴于M，N两点．求证：以M N为直径的圆被直线y= 3截得的弦长是定值．2。
003-2021江苏省南京市秦淮中学2021届高三上学期期初调研考试数学试题
南京市秦淮中学2021届高三期初调研考试试卷数 学注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分．公式：球体积343V R π=，随机变量ξ的方差221ni i i Vx p ξμ==-∑（） 一、单项选择题：（本题共8小题．每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请将答案填写在答题卡相应的位置上．） 1.设{}1A x x =>，{}220B x x x =--<，则()B A C R ⋂=A ．{}1x x >- B ．{}11x x -<≤ C ．{}11x x -<< D ．{}12x x <<2.若)(1i 1i z +=-，则z = A ．1–iB ．1+iC ．–iD ．i3．为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加、、A B C 三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有 A ．24 B ．36C ．48D ．644.如图，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2BB 1，P 为B 1C 1的中点.则异面直线AC 与BP 所成的角为（ ）A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°5甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，若两人各投2次，则两人投中次数不等的概率是（ ） A. 0.6076B. 0.7516C. 0.3924D. 0.24846.ABC ∆是边长为1的等边三角形，点,D E 分别是边,AB BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则·AF BC 的值为 A ．58-B ．18C ．14D ．1187.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()I t （t 的单位：天）的Logisic 模型：()()0.23531et K I t --=+，其中K 为最大确诊病例数．当()0.95I tK *=时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（ln193≈）（ ）A ．60B ．63C ．66D ．69 8.设函数()()xxf x x e ae-=+的导函数为()'f x ，若()'f x 是奇函数，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为（ ）A ．2e -B ．1e-C ．2D ．2e二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．）9.为了对变量x 与y 的线性相关性进行检验，由样本点()11,x y 、()22,x y 、、()1010,x y 求得两个变量的样本相关系数为r ，那么下面说法中错误的有（ ） A. 若所有样本点都直线21y x =-+上，则1r =B. 若所有样本点都在直线21y x =-+上，则2r =-C. 若r 越大，则变量x 与y 的线性相关性越强D. 若r 越小，则变量x 与y 的线性相关性越强10. 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2 33，右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，则( )A. 渐近线方程为y ＝±3xB. 渐近线方程为y ＝±33x C. ∠MAN ＝60°D. ∠MAN ＝120°11．已知函数()()(0,0,0)f x Acos x A ωϕωϕπ=+>><<的图象的一个最高点为,312π⎛⎫-⎪⎝⎭，与之相邻的一个对称中心为,06π⎛⎫⎪⎝⎭，将()f x 的图象向右平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象，则（ ） A ．()g x 为偶函数B ．()g x 的一个单调递增区间为5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()g x 为奇函数D ．()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上只有一个零点12.若0a >，0b >，则下面有几个结论正确的有（ ）A. 若1a ≠，1b ≠，则log log 2a b b a +≥B. ≥C. 若142a b +=，则92a b +≥ D. 若22ab b +=，则34a b +≥ 三、填空题：(本题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．) 13.《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2个月后，每对老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只.以此类推，假设n 个月后共有老鼠n a 只，则n a =_____.14.函数()log 31,(0a y x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上（其中m ，n ＞0），则12m n+的最小值等于__________. 15.已知椭圆22142x y +=的焦点为F ，短轴端点为P ，若直线PF 与圆222:(0)O x y R R +=>相切，则圆O 的半径为___________16.棱长为12的正四面体ABCD 与正三棱锥E —BCD 的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE 的顶点均在一球的球面上，则正三楼锥E —BCD 的体积为_______，该正三棱锥内切球的半径为_______.四、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填写在答题卡相应的位置上．)17．在①cos 220B B -+=，②2cos 2b C a c =-，③b a =三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．已知ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若______，且a ，b ，c 成等差数列，则ABC △是否为等边三角形?若是，写出证明；若不是，说明理由， 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18记n S 是正项数列{}n a 的前n 项和，1n a +是4和n S 的等比中项.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记()()1111n n n b a a +=+⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．根据教育部《中小学生艺术素质测评办法》，为提高学生审美素养，提升学生的综合素质，江苏省中考将增加艺术素质测评的评价制度，将初中学生的艺术素养列入学业水平测试范围．为初步了解学生家长对艺术素质测评的了解程度，某校随机抽取100名学生家长参与问卷测试，并将问卷得分绘制频数分布表如下：（1）将学生家长对艺术素质评价的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“学生家长对艺术素质评价的了解程度”与“性别”有关？（2）以这100名学生家长中“比较了解”的频率代替该校学生家长“比较了解”的概率现在再随机抽取3名学生家长，设这3名家长中“比较了解”的人数为X，求X的概率分布和数学期望．附：22()()()()()n ad bcXa b c d a c b d-=++++，()n a b c d=+++．临界值表：20.如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A，B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，DC＝EB＝1，AB＝4.（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；（2）当C点为半圆的中点时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值.21．已知函数321(2)()232a f x x x ax +=++． (1)当2a =时，求过坐标原点且与函数()y f x =的图像相切的直线方程； (2)当()0,2a ∈时，求函数()f x 在[]2,a a -上的最大值．22.已知点3(1,)2P 在椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>上，(1,0)F 是椭圆的一个焦点。
江苏省南京市2020-2021学年高三上学期9月期初数学试题(wd无答案)
江苏省南京市2020-2021学年高三上学期9月期初数学试题一、单选题(★) 1. 已知集合，，则 A B＝（）A．B．C．D．(★★) 2. 已知(3﹣4 i) z＝1＋ i，其中 i为虚数单位，则在复平面内 z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(★★) 3. 已知向量，满足＝1，＝2，且，则与的夹角为（）A．B．C．D．(★★★) 4. 在平面直角坐标系 xOy中，若点 P( ，0)到双曲线 C：的一条渐近线的距离为6，则双曲线 C的离心率为（）A．2B．4C．D．(★★★) 5. 在△ ABC中，角 A， B， C的对边分别为 a， b， c．若2 bcos C≤2 a﹣ c，则角B的取值范围是（）A．(0，]B．(0，]C．[，)D．[，)(★★) 6. 设，，，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b(★★) 7. 在平面直角坐标系 xOy中，已知圆 A：，点 B(3，0)，过动点 P引圆 A的切线，切点为 T．若 PT＝ PB，则动点 P的轨迹方程为（）A．B．C．D．(★★★) 8. 已知奇函数的定义域为，且．若当时，，则的值是（）A．B．C．2D．3二、多选题(★★) 9. 由我国引领的5 G时代已经到来，5 G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值.如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5 G经济产出所做的预测.结合下图，下列说法正确的是（）A．5G的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加B．设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓C．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D．信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势(★★) 10. 将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则（）A．函数的图象关于直线对称B．函数的图象关于点(，0)对称C．函数在区间(，)上单调递增D．函数在区间(0，)上有两个零点(★★★) 11. 已知，则（）A．的值为2B．的值为16C．的值为﹣5D．的值为120(★★★) 12. 记函数与的定义域的交集为 I．若存在 I，使得对任意 I，不等式恒成立，则称( ，)构成“ M函数对”．下列所给的两个函数能构成“ M函数对”的有（）A．，B．，C．，D．，三、填空题(★★) 13. 如图，一个底面半径为 R的圆柱形量杯中装有适量的水．若放入一个半径为 r的实心铁球（小球完全浸入水中），水面高度恰好升高，则＝_______．(★★) 14. 被誉为“数学之神”之称的阿基米德（前287—前212），是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二．这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形．在平面直角坐标系心中，已知直线 l ： y ＝4与抛物线C ： 交于 A ， B 两点，则弦与拋物线 C 所围成的封闭图形的面积为_______．(★★★) 15. 若不等式 对一切 x R 恒成立，其中 a ， b R ， e 为自然对数的底数，则 a ＋ b 的取值范围是_______．四、双空题(★★★) 16. 已知数列的各项均为正数，其前 n 项和为 ，且， n，则＝_______；若 ＝2，则＝_______．五、解答题(★★★) 17. 已知向量，，，设函数．（1）求函数 的最小正周期； （2）若，且，求的值．(★★★) 18. 已知数列是公比为2的等比数列，其前 n 项和为 ，（1）在① ，②，③，这三个条件中任选一个，补充到上述题干中．求数列的通项公式，并判断此时数列 是否满足条件 P ：任意 m ， n，均为数列 中的项，说明理由； （2）设数列满足， n，求数列 的前 n 项和 ．注：在第（1）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．(★★★) 19. 为调查某校学生的课外阅读情况，随机抽取了该校名学生（男生 人，女生人），统计了他们的课外阅读达标情况（一个学期中课外阅读是否达到规定时间），结果如下：是否达标 性别不达标达标男生女生（1）是否有的把握认为课外阅读达标与性别有关？附： ．（2）如果用这名学生中男生和女生课外阅读“达标”的频率分别代替该校男生和女生课外阅读“达标”的概率，且每位学生是否“达标”相互独立．现从该校学生中随机抽取 人（ 男 女），设随机变量 表示“ 人中课外阅读达标的人数”，试求 的分布列和数学期望．(★★★) 20. 如图，在四棱锥 P — ABCD 中，平面 PAD⊥平面 ABCD ， AD// BC ， AB ＝ BC ＝ PA ＝1， AD ＝2，∠ PAD＝∠ DAB＝90°，点 E 在棱 PC 上，设 CE ＝ CP ．（1）求证： CD⊥ AE；（2）记二面角 C — AE — D 的平面角为 ，且，求实数 的值．(★★★★) 21. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C ：．（1）设椭圆 C 的左、右焦点分别为 F 1， F 2， T 是椭圆 C 上的一个动点，求 的取值范围；（2）设 A(0，-1)，与坐标轴不垂直的直线 l 交椭圆 C 于 B ， D 两点，若△ ABD 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，求直线 l 的方程．(★★★) 22. 已知函数，．（1）当 时，求函数 的单调区间；（2）当 时， 恒成立，求 k 的取值范围；（3）设 n，求证：．。
2021届江苏省南京市秦淮中学高三上学期期初调研数学试题解析
绝密★启用前数学试卷学校：___________注意事项：注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．设{}1A x x =>，{}220B x x x =--<，则()R C A B ⋂=（ ）A ．{}1x x >- B ．{}11x x -<≤ C ．{}11x x -<< D ．{}12x x <<答案B化简集合B ，求出R C A ，利用交集的定义运算即可． 解：{}|1=≤R C A x x ，{}()(){}{}220=|210|12B x x x x x x x x =--<-+<=-<<则()R C A B ={}11x x -<≤故选：B 点评：本题考查集合的交并补运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题． 2．若()11+=-z i i ，则z =（ ） A ．1–i B ．1+iC ．–iD ．i答案D先利用除法运算求得z ，再利用共轭复数的概念得到z 即可. 解：因为21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-，所以z i . 故选：D 【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到共轭复数的概念，是一道基础题.3．为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加、、A B C三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有（）A．24 B．36 C．48 D．64答案B根据题意，有两种分配方案，一是3:1:1，二是2:2:1，然后各自全排列，再求和. 解：当按照3:1:1进行分配时，则有133318C A=种不同的方案；当按照2:2:1进行分配，则有233318C A=种不同的方案.故共有36种不同的派遣方案，故选：B.点评：本题考查排列组合、数学文化，还考查数学建模能力以及分类讨论思想，属于中档题. 4．如图，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2BB1，P为B1C1的中点.则异面直线AC与BP所成的角为（）A．90°B．60°C．45°D．30°答案B取A1B1中点Q，可得∠BPQ就是异面直线AC与BP所成的角或补角，进而可证明△BPQ 是等边三角形，从而求得.解：A1B1中点Q，连接PQ，BQ，∵PQ ∥AC ，∴∠BPQ 就是，异面直线AC 与BP 所成的角或补角，又∵1111ABCD A B C D -为正四棱柱，且12AB BB = ,P 为11B C 中点， ∴111111,,,B B B P B Q B B B P B Q ==两两垂直，111,,,Rt PB Q Rt PB B Rt BB Q 全等，∴PQ PB BQ ==， ∴△BPQ 是等边三角形， ∴∠BPQ ＝60°，即异面直线AC 与BP 所成的角为60°， 故选：B. 点评：本题考查异面直线所成的角，属基础题.5．甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，若两人各投2次，则两人投中次数不等的概率是（ ） A ．0.6076 B ．0.7516 C ．0.3924 D ．0.2484答案A先求出两人投中次数相等的概率，再根据对立事件的概率公式可得两人投中次数不相等的概率. 解：两人投中次数相等的概率P ＝2211220.40.3+0.60.40.70.3C C ⨯⨯⨯⨯⨯⨯+220.60.70.3924⨯=，故两人投中次数不相等的概率为：1﹣0.3924＝0.6076. 故选：A . 点评：本题考查了对立事件的概率公式和独立事件的概率公式，属于基础题.6．ABC ∆是边长为1的等边三角形，点,D E 分别是边,AB BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则·AF BC 的值为（ ） A ．58- B ．18C ．14D ．118答案B试题分析：设BA a =，BC b =，∴11()22DE AC b a ==-，33()24DF DE b a ==-，1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=.【考点】向量数量积【名师点睛】研究向量的数量积问题，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是将“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．7．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1et I K t --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ ）（ln19≈3） A ．60 B ．63 C ．66 D ．69答案C将t t *=代入函数()()0.23531t KI t e--=+结合()0.95I t K *=求得t*即可得解.解：()()0.23531t K I t e--=+，所以()()0.23530.951t K I t K e**--==+，则()0.235319t e*-=，所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23t *≈+≈. 故选：C. 点评：本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题. 8．设函数()()xxf x x e ae-=+的导函数为()'f x ，若()'f x 是奇函数，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为（ ）A ．2e -B ．1e-C ．2D ．2e答案D 利用()'f x 为奇函数求得a 的值，由此求得()'1f 的值.解： 依题意()()'x x x x fx e ae x e ae --=++-，由于()'f x 是奇函数，所以()'010f a =+=，解得1a =-，所以()()'x x x x f x e e x e e --=-++，所以()'1112f e e e e e=-++=.故选：D 点评：本小题主要考查函数导数的计算，考查函数的奇偶性，属于基础题.二、多选题9．为了对变量x 与y 的线性相关性进行检验，由样本点()11,x y 、()22,x y 、、()1010,x y 求得两个变量的样本相关系数为r ，那么下面说法中错误的有（ ）A ．若所有样本点都在直线21y x =-+上，则1r =B ．若所有样本点都在直线21y x =-+上，则2r =-C ．若r 越大，则变量x 与y 的线性相关性越强D ．若r 越小，则变量x 与y 的线性相关性越强 答案ABD根据相关系数与变量x 与y 的线性相关性之间的关系可判断出各选项的正误. 解：若所有样本点都在直线21y x =-+上，且直线斜率为负数，则1r =-，A 、B 选项均错误；若r 越大，则变量x 与y 的线性相关性越强，C 选项正确，D 选项错误. 故选：ABD. 点评：本题考查相关系数与线性相关性之间关系的判断，考查推理能力，属于基础题.10．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，则有（ ）A ．渐近线方程为3y x =± B ．渐近线方程为33y x =± C ．60MAN ∠=︒ D ．120MAN ∠=︒答案BC由离心率公式22222c a b a a+=化简可得渐近线方程，通过求圆心A 到渐近线的距离结合直角三角形可得到MAN ∠的值. 解：双曲线2222:1y ,x y b C x a b a -==±的渐近线方程为离心率为233c a =，2222222224131,,33c a b b b b a a a a a 则则，+==+===± 故渐近线方程为3y x =±， 取MN 的中点P,连接AP,利用点到直线的距离公式可得d AP ab c==, 则cos ab AP a c PAN AN b c∠===， 所以221cos cos 2212a MAN PAN c ∠=∠=⨯-=则60MAN ∠=︒故选BC点评：本题考查双曲线的简单的几何性质，考查双曲线的渐近线和离心率的应用，考查圆的有关性质，属于中档题.11．已知函数()()(0,0,0)f x Acos x A ωϕωϕπ=+>><<的图象的一个最高点为,312π⎛⎫- ⎪⎝⎭，与之相邻的一个对称中心为,06π⎛⎫⎪⎝⎭，将()f x 的图象向右平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象，则（ ） A ．()g x 为偶函数B ．()g x 的一个单调递增区间为5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()g x 为奇函数D ．()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上只有一个零点 答案BD先根据余弦函数的图象和性质，求得()f x 的解析式，再结合三角函数的图象变换，求得函数()g x 的解析式，再结合余弦函数的图象与性质，即可求解. 解： 由题意，可得()46124T πππ=--=，所以T π=，可得22w Tπ==， 所以()3cos(2)f x x ϕ=+，因为()3cos[2()]31212f ππϕ-=⨯-+=，所以2,6k k Z πϕπ-=∈，因为0ϕπ<<，所以6π=ϕ，即()3cos(2)6f x x π=+，所以()3cos[2()]3cos(2)666g x x x πππ=-+=-， 可得函数()g x 为非奇非偶函数， 令222,6k x k k Z ππππ-+≤-≤∈，可得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 当0k =时，函数()g x 的一个单调递增区间为5[,]1212ππ-； 由2,,62x k k Z πππ-=+∈，解得,3x k k Z ππ=+∈，所以函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上只有一个零点.故选：BD 点评：本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质，其中解答中熟记三角函数的图象变换，以及熟练应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.12．若0a >，0b >，则下面有几个结论正确的有（ ） A ．若1a ≠，1b ≠，则log log 2a b b a +≥B ≥C ．若142a b +=，则92a b +≥ D ．若22ab b +=，则34a b +≥ 答案BCD根据基本不等式，对选项逐一分析即可. 解：对于A ：当01,1a b <<>时，log 0,log 0a b b a <<，即log log 0a b b a +<，故A 不正确；对于B ：若0a >，0b >，由基本不等式得:222a b ab +≥，即有()()2222a b a b +≥+a b ≥=+，故2a b ≥+，当且仅当“a b =”时取等号，故B 正确；对于C ：由0a >，0b >，11412a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以()1141415522922b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++≥+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝+=+=， 当且仅当1442,b aa b a b +==，即3,32a b ==时取等号，故C 正确； 对于D ：由0a >，0b >，()22ab b a b b +=+=，即有()24b a b +=，根据基本不等式有：()324a b a b b +=++≥=，当且仅当22,2ab b a b b +=+=，即1a b ==时取等号，故D 正确.综上：BCD 正确. 故选：BCD. 点评：本题考查基本不等式，应用基本不等时：“一正，二定，三相等”缺一不可，属于基础题．三、填空题13．《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2个月后，每对老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只.以此类推，假设n 个月后共有老鼠n a 只，则n a =_____.答案27n ⨯根据1个月后的老鼠为原来雌雄两只老鼠和新出生的小鼠有(16)227+⨯=⨯只，类似的方法得到2个月后有22(16)727+⨯=⨯只，3个月后有327⨯只，根据以上分析进行归纳推理即可得n 个月后老鼠的只数n a . 解：由题意可得1个月后的老鼠的只数1(16)227a =+⨯=⨯,2个月后老鼠的只数222(16)727a =+⨯=⨯, 3个月后老鼠的只数2332(16)727a =+⨯=⨯…， n 个月后老鼠的只数27nn a =⨯.故答案为：27n ⨯. 点评：本题考查利用不完全归纳法求数列的通项公式，考查运算求解能力.14．函数()log 31a y x =+-.（0a >且1a ≠）的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上（其中m ，0n >），则12m n+的最小值等于__________. 答案8根据函数平移法则求出点A ()2,1--，得21m n +=，再结合基本不等式即可求解 解：由题可知，()log 31a y x =+-恒过定点()2,1--，又点A 在直线 10mx ny ++=上，故21m n +=，()121242448n m m n m n m n m n⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当122n m ==时取到等号，故12m n+的最小值等于8故答案为：8 点评：本题考查函数平移法则的使用，基本不等式中“1”的妙用，属于中档题15．已知椭圆22142x y +=的焦点为F ，短轴端点为P ，若直线PF 与圆222:(0)O x y R R +=>相切，则圆O 的半径为___________答案1根据椭圆的性质写出点F 、P 的坐标，求出直线PF 的方程，利用圆心到直线的距离等于半径即可求解. 解：由椭圆22142x y +=的焦点为F ，短轴端点为P ，则c =不妨取)F，(P ，则直线PF的方程：0y x -+=， 由直线PF 与圆222:(0)O x y R R +=>相切，所以1R ==.故答案为：1 点评：本题考查了椭圆的简单几何性质以及点到直线的距离公式，考查了基本运算能力，属于基础题.四、双空题16．棱长为12的正四面体ABCD 与正三棱锥E —BCD 的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE 的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥E —BCD 的体积为_______，该正三棱锥内切球的半径为_______. 答案根据组合体的结构特征，设2AE R =，正三棱锥E BCD -侧棱长x ，列出方程组，求得,R x 的值，利用体积公式，即可求得三棱锥E BCD -的体积与表面积，再结合等体积法，即可求得内切球的半径，得到答案. 解：由棱长为12的正四面体ABCD 与正三棱锥E BCD -的底面重合， 若由它们构成的多面体ABCDE 的顶点均在一球的球面上， 所以多面体ABCDE 的外接球即为正四面体ABCD 的外接球， 且其外接球的直径为AE ，设2AE R =，正三棱锥E BCD -侧棱长x ，则()((2222222122R x x R ⎧=+⎪⎨=+-⎪⎩，解得R x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 由题意得证四面体ABCD的高为，外接球的半径为 设正三棱锥E BCD -的高为h ，因为AE h ==，所以h =因为底面BCD ∆的边长为12，所以EB EC ED ===则正三棱锥E BCD -三条侧棱两两垂直，可得正三棱锥E BCD -的表面积为108S =+体积为V＝211234⨯⨯= 设正三棱锥E BCD -的内切球的半径为r ，由13S r ⋅=r =故答案为：. 点评：本题主要考查了组合体的结构各种，以及正三棱锥内切球的半径的求法，三棱锥的体积的计算，其中解答中熟练应用组合体的结构特征，以及球的性质是解答的关键，着重考查空间想象能力，以及推理与计算能力.五、解答题17．在①cos 220B B +=，②2cos 2b C a c =-，③b a =三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若_____，且a ，b ，c 成等差数列，则ABC ∆是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 答案①；证明见解析选择①：由余弦降幂公式代入即可求得sin B ，结合a ，b ，c 成等差数列可得2b a c =+，3B π=，代入余弦定理公式，即可得2b ac =，结合等式2b a c =+可求得a c =，进而证明ABC ∆为等边三角形. 解：选择①cos 220B B +=，证明：则由余弦降幂公式可得212sin 20B B -+=，即(2sin sin 0B B =，由0B π<<可得sin 2B =， 又因为a ，b ，c 成等差数列，则B 为锐角， 则2b a c =+，3B π=，由余弦定理可知2222cos b a c ac B =+-， 代入可得()223b a c ac =+-，即2b ac =，则22a c ac +⎛⎫= ⎪⎝⎭，化简可得()20a c -=， 即a c =，又因为3B π=，所以ABC ∆为等边三角形. 点评：本题考查了三角函数解析式的化简应用，余弦降幂公式化简三角函数式，余弦定理解三角形，等差中项性质的应用，综合性较强，属于中档题.18．记n S 是正项数列{}n a 的前n 项和，1n a +是4和n S 的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记11(1)(1)n n n b a a +=++，求数列{}n b 的前n 项和n T .答案（1）21n a n =-；（2）4(1)n nT n =+.（1）本小题先借n S 与n a 的关系判断数列{}n a 为等差数列，再求通项公式即可； （2）本小题直接运用裂项相消法求解即可. 解：（1）因为1n a +是4和n S 的等比中项，所以2(1)4n n a S +=①，当2n ≥时，211(1)4n n a S --+=②，由①②得：2211(1)(1)44n n n n a a S S --+-+=-，化简得221(1)(1)n n a a --=+，即111n n a a --=+或者11(1)0n n a a --++=（舍去），故12n n a a --=(2)n ≥，数列{}n a 为等差数列，因为211(1)4a S +=，解得11a =，所以数列{}n a 是首项为1、公差为2的等差数列， 通项公式：21n a n =-. （2）∵ 111111(1)(1)2(22)41n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++⋅++⎝⎭，∴12311111111(1)()()()42233414(1)n n nT b b b b n n n ⎡⎤=++++=-+-+-++-=⎢⎥++⎣⎦. 点评：本题考查数列通项公式的求法以及数列的前n 项和的求法，考查等差数列的判定，考查裂项相消法求和，考查推理能力与计算能力，是中档题.19．根据教育部《中小学生艺术素质测评办法》，为提高学生审美素养，提升学生的综合素质，江苏省中考将增加艺术素质测评的评价制度，将初中学生的艺术素养列入学业水平测试范围.为初步了解学生家长对艺术素质测评的了解程度，某校随机抽取100名学生家长参与问卷测试，并将问卷得分绘制频数分布表如下： 得分 [)30,40 [)40,50 [)50,60 [)60,70 [)70,80 [)80,90 []90,100男性人数49 12 13 11 6 3（1）将学生家长对艺术素质评价的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为“学生家长对艺术素质评价的了解程度”与“性别”有关？（2）以这100名学生家长中“比较了解”的频率代替该校学生家长“比较了解”的概率.现在再随机抽取3名学生家长，设这3名家长中“比较了解”的人数为X，求X的概率分布列和数学期望.附：()()()()()22n ad bca b c d a c b dχ-=++++，()n a b c d=+++.临界值表：答案（1）列联表见解析，有把握；（2）分布列见解析，()21 10E X=.（1）根据题中已知条件完善22⨯列联表，并计算出2χ的观测值，结合临界值表可得出结论；（2）由题意可知7~3,10X B⎛⎫⎪⎝⎭，利用二项分布可得出随机变量X的分布列，并由此可计算出随机变量X的数学期望. 解：（1）由题意得列联表如下：不太了解比较了解合计男性 25 33 58女性 5 37 42合计30701002χ的观测值()22100253733511.29130704258χ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.因为11.29110.828>，所以有99.9%的把握认为学生家长对艺术素质评价的了解程度与性别有关；（2）由题意得该校1名学生家长“比较了解”的概率为70710010=， 73,10XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()33731010k kk P X k C -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0k =、1、2、3， 即X 的概率分布列如下表所示：X123P271000189100044110003431000所以()72131010E X =⨯=. 点评：本题考查利用独立性检验解决实际问题，同时也考查了利用二项分布求随机变量的分布列与数学期望值，考查数据处理能力，属于中等题.20．如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上除A ，B 外的一个动点，DC 垂直于半圆O 所在的平面，//DC EB ，1DC EB ==，4AB =.（1）证明：平面ADE ⊥平面ACD ；（2）当C 点为半圆的中点时，求二面角D AE B --的余弦值. 答案（1）证明见解析；（2）6-.（1）结合线面垂直判定定理证明DE ⊥平面ACD 即可；（2）采用建系法，以C 为原点，以CA ，CB ，CD 为坐标轴建立空间坐标系，求出平面DAE 和平面AEB 的法向量，结合向量夹角公式即可求解 解：（1）证明：∵AB 是圆O 的直径，∴AC BC ⊥，∵DC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴DC BC ⊥，又DC AC C ⋂＝，∴BC ⊥平面ACD ，∵//DC EB ，DC EB ＝，∴四边形DCBE 是平行四边形，∴//DE BC ，∴DE ⊥平面ACD ，又DE ⊂平面ADE ，∴平面ACD ⊥平面ADE . （2）当C点为半圆的中点时，AC BC ==以C 为原点，以CA ，CB ，CD 为坐标轴建立空间坐标系如图所示：则()001D ，，，()0E，()0A ，，()0B ，∴()AB =﹣，0,0,1BE =（），()0,DE =，(21)DA =-， 设平面DAE 的法向量为111,m x y z =（）,，平面ABE 的法向量为222,,n x y z =（）， 则00m DA m DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，00AB BE n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11100z ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，22200z ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，令11x =得(m =，令21x =得()1,1,0n =.∴,63m n cos m n m n⋅===⨯. ∵二面角D AE B --是钝二面角， ∴二面角D AE B --的余弦值为6-.点评：本题考查面面垂直的证明，建系法求解二面角的余弦值，属于中档题 21．已知函数321(2)()232a f x x x ax +=++. （1）当2a =时，求过坐标原点且与函数()y f x =的图像相切的直线方程； （2）当()0,2a ∈时，求函数()f x 在[]2,a a -上的最大值. 答案（1）4y x =；y x =；（2）32max 5()36f x a a =+. （1）设出切点坐标，代入a 的值，表示出切线方程，根据切线过(0，0)，求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可． 解：（1）设切点坐标为()00,x y ，当2a =时，321()243f x x x x =++， 则2()44f x x x '=++ 所以切线方程为322000000124(44)()3y x x x x x x x ---=++-， 又过原点(0，0)，所以3232000000124443x x x x x x ---=---， 32002203x x +=，解得00x =或03x =-， 当00x =时，切线方程为4y x =﹔ 当03x =时，切线方程为y x =. （2）因321(2)()232a f x x x ax +=++，所以()()()()2222f x x a x a x x a '=+++=++，令()0f x '=，得x a =-，2x =-，①当22a -≥-，即01a <≤时，()f x 在()2,a a --上单调递减，在(),a a -上单调递增，所以()()(){}max 2,f x max f a f a =-. 因3322382(2)244033f a a a a a a -=-++-=-<， 33223215()230326a f a a a a a a =+++=+>，所以()()2f a f a -<，所以32max 5()()36f x f a a a ==+. ②当22a -<-，即12a <<时，()f x 在()2,2a --上单调递增，在()2,a --上单调递减，在(),a a -上单调递增，所以()(){}max (2,f x max f f a =-.842(2)2442333f a a a -=-++-=-+<-，3322321523()233266a f a a a a a a =+++=+>， 所以()()max f x f a =. 综上可得：32max 5()()36f x f a a a ==+. 点评：本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22．已知点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>上，(1,0)F 是椭圆的一个焦点.（1）求椭圆C 的方程；（2）椭圆C 上不与P 点重合的两点D ，E 关于原点O 对称，直线PD ，PE 分别交y 轴于M ，N 两点.求证：以MN 为直径的圆被直线32y =截得的弦长是定值.答案（1）22143x y +=；（2）证明见解析. （1）利用椭圆的定义求解即可；（2）由题意可知D ，E 两点与点P 不重合，设出D ，E 两点的坐标，求出直线PD 和PE ，设以MN 为直径的圆与直线32y =交于G ，H 两点，利用0GM GN ⋅=，可得出弦长为定值． 解：（1）依题意，椭圆的另一个焦点为()1,0F '-，且1c =.因为24a ==，所以2a =，b == 所以椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）证明：由题意可知D ，E 两点与点P 不重合.因为D ，E 两点关于原点对称，所以设(),D m n ，()E m n --，，()1m ≠±， 设以MN 为直径的圆与直线32y =交于3,2G t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,(0)2H t t ⎛⎫-> ⎪⎝⎭两点，所以GM GN ⊥直线PD ：332(1)21n y x m --=--当0x =时，33212n y m -=-+-，所以3320,12n M m ⎛⎫- ⎪-+ ⎪- ⎪⎝⎭直线PE ：332(1)21n y x m +-=-+当0x =时，3+32+12n y m =-+，所以3320,12n N m ⎛⎫+ ⎪-+ ⎪+ ⎪⎝⎭所以32,1n GM t m ⎛⎫- ⎪=-- ⎪- ⎪⎝⎭，32,1n GN t m ⎛⎫+ ⎪=-- ⎪+ ⎪⎝⎭，因为GM GN ⊥，所以0GM GN ⋅=，所以2224904(1)n GM GN t m -⋅=+=-. 因为22143m n +=，即223412m n +=，224933n m -=-，所以2304t -=，所以2t =，所以322G ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，32H ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以GH =.所以以MN 为直径的圆被直线32y =. 点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查定值问题，考查数量积的坐标表示，属于中档题．。
南京2021-2022学年高三上学期第一次调研检测 数学试题
南京2021-2022学年高三上学期第一次调研检测数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合290240{},{},A x x B x x =-≤=->则A B ⋂=A.3(,]-∞-B.3[,)-+∞C.D.23(,]2.已知2a ii+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则实数a = A.2- B.12-C.12D.23.“1m =”是“直线304x y m ++=与圆2220x y x +-=相切”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要 条件 D.既不充分也不必要条件4.已知,a b 为单位向量，且43()(),a b a b -⊥+则,a b 夹角的余弦值为 A.7-11 B.1-11 C.111 D.7115.将4名志愿者全部安排到某社区参加3项工作，每人参加1项，每项工作至少有1人参加，则不同的安排方式共有A. 24种B.36种C. 60种D.72种6.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2222100:(,)x y C a b a b -=>>的左右焦点分别为12,,F F 过2F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于,P Q 两点，1F Q 与y 轴的交点为,R 1,F Q PR ⊥则C的离心率为2【答案】B7.取一条长度为1的线段,将它三等分,去掉中间一段,留剩下的两段;再将剩下的两段分别三等分,各去掉中间一段,留剩下的更短的四段;……;将这样的操作一直继续下去,直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中,所形成的线段数目越来越多,长度越来越小,在极限的情况下，得到一个离散的点集,称为康托尔三分集.若在第n 次操作中去掉的线段长度之和不小于160，则n 的最大值为A.6B. 7C.8D.98. 已知01,,(,),a b c ∈且22223212223ln ,ln ,ln a a e b b e c c e -+=-+=-+=，其中e 是自然对数的底数，则A.a b c >>B. a c b >>C.c a b >>D.c b a >>二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.房地产市场与城市经济发展密切相关,更与百姓的生活密切相关.按照房地产市场经济理论，房屋销售量与房价有密切关系.下图是某城市过去一年中七个楼盘的新房成交均价与成交面积折线图,则下列结论中正确的是A. 这七个楼盘中,每个楼盘的成交均价都在[88.8,120.0]内B. 这七个楼盘中,楼盘2的成交总额最大C. 这七个楼盘﹐成交面积的平均值低于200D. 这七个楼盘,成交面积与成交均价呈负相关10. 已知m,n 是两条不同的直线,a,β,是三个不同的平面.下列说法中正确的是 A.若m//a,m ⊂β,a∩β=n ,则m// n B.若m//n,m //α,则n// α C.若a∩β=n ,α⊥β，βγ⊥,则n γ⊥ D.若,,//m m αβαγ⊥⊥,则//βγ11.设正实数x ，y 满足12=+y x ，则 A.xy 的最大值是41B.y x 12+的最小值是9C.224y x +的最小值为21D.y x +2的最大值为212.已知()x f 是周期为4的奇函数，且当20≤≤x 时，()⎩⎨⎧≤<-≤≤=21,210,x x x x x f ，设()()()1++=x f x f x g ，则A.函数()x g y =为周期函数B.函数()x g y =的最大值为2C.函数()x g y =在区间()8,7上单调递增D.函数()x g y =的图像既有对称轴又有对称中心三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.将函数x y cos =的图像向右平移()0>ϕϕ个单位长度，所得图像与x y sin =的图像重合，则ϕ的一个可能的值为 .（写出一个正确答案即可）14. 已知()*∈⎪⎭⎫⎝⎛+N n x n211的展开式中2x 的系数是7，则=n ；若r x 与1+r x ()N r ∈的系数相等，则=r .15.如图1所示，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于某焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等，具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点.图2是图1的轴截面，A ，B 两点关于抛物线的对称轴对称，F 是抛物线的焦点，AFB ∠是馈源的方向角，记为θ.焦点F 到顶点的距离f 与口径d 的比值df称为抛物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等.如果某抛物面天线的焦径比等于5.0，那么馈源方向角θ的正切值为 .16.在三棱锥ABC P -中，ABC ∆和PBC ∆都是边长为32的正三角形，23=PA .若M 为三棱锥ABC P -外接球上的动点，则点M 到平面ABC 距离的最大值为 .四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，137a S =，且1a ，22+a ，3a 成等差数列. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若⎩⎨⎧=为偶数，为奇数，n n n a b n n ，求数列{}n b 的前n 2项和n T 2.18.（本小题满分12分） 请在①2=⋅AC AB ；②734sin =B ；③5=+b a 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知()A B C A sin sin sin =+-，2=c ， ，若该三角形存在，求该三角形的面积；若该三角形不存在，请说明理由.19.科研小组为提高某种水果的果径，设计了一套实验方案，并在两片果园中进行对比实验.其中实验园采用实验方案，对照园未采用.实验周期结束后，分别在两片果园中各随机选取100个果实，按果径分成5组进行统计：[)26,21，[)31,26，[)36,31，[)41,36，[]46,41（单位：mm ）.统计后分别制成如下的频率分布直方图，并规定果径达到36mm 及以上的为“大果”.（1）请根据题中信息完成下面的列联表，并判断是否有%9.99的把握认为“大果”与“采用实验方案”有关；（2）根据长期种植经验，可以认为对照园中的果径X 服从正态分布()2,σμN ，其中μ近似为样本平均数x ，5.5≈σ，请估计对照园中果径落在区间()50,39内的概率.（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）附：①()()()()()d b c a d c b a bc ad n x ++++-=22②若X 服从正态分布()2,σμN ，则()683.0=σ+μ<<σ-μX P ，()954.022=σ+μ<<σ-μX P ，()997.033=σ+μ<<σ-μX P20.（本小题满分12分）如图，在三棱锥ABC P -中，2=AC ，4=BC ，PAC ∆为正三角形，D 为AB 的中点，PD AC ⊥，︒=∠90PCB .（1）求证：PAC BC 平面⊥；（2）求PD 与平面PBC 所成角的正弦值.21.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆:C ()012222>>=+b a by a x 的左、右顶点分别为A ，B .F 是椭圆C 的右焦点，且FB AF 3=，3=⋅FB AF . （1）求椭圆C 的方程；（2）不过点A 的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，记直线l ，AM ，AN 的斜率分别为k ，1k ，2k ，若()121=+k k k ，证明直线l 过定点，并求出定点的坐标.22.设函数()()x e a x x f -=2，R a ∈，e 是自然对数的底数. （1）若3=a ，求函数()x f 的极值；（2）当0≥x 时，()0≥++a x x f ，求a 的取值范围.答 案三、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合290240{},{},A x x B x x =-≤=->则A B ⋂=A.3(,]-∞-B.3[,)-+∞C.D.23(,]【答案】D【解析】33223[,](,)(,],A B ⋂=-⋂+∞=故选D32[,)-2.已知2a ii+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则实数a = A.2- B.12-C.12D.2 【答案】C 【解析】2212255()()()()=,a i a i i a a i i +++-++=-若为纯虚数，则12102,a a -==，故选C3.“1m =”是“直线304x y m ++=与圆2220x y x +-=相切”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要 条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】由题意可知，圆心为10(,),半径为1，若直线和圆相切，则圆心到直线的距离为41195,,,m d m +===-所以为充分不必要条件，所以选A4.已知,a b 为单位向量，且43()(),a b a b -⊥+则,a b 夹角的余弦值为A.7-11 B.1-11 C.111 D.711【答案】B【解析】由题意可知，431110()()=cos ,a b a b a b θ-•++=所以1cos -，11θ=故选B5.将4名志愿者全部安排到某社区参加3项工作，每人参加1项，每项工作至少有1人参加，则不同的安排方式共有B. 24种 B.36种C. 60种D.72种 【答案】B【解析】234336,C A =故选B6.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2222100:(,)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,,F F 过2F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于,P Q 两点，1F Q 与y 轴的交点为,R 1,F Q PR ⊥则C 的离心率为2【答案】B【解析】由题意可知1,PQ PF =22b c a⋅=，故e = B7.取一条长度为1的线段,将它三等分,去掉中间一段,留剩下的两段;再将剩下的两段分别三等分,各去掉中间一段,留剩下的更短的四段;……;将这样的操作一直继续下去,直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中,所形成的线段数目越来越多,长度越来越小,在极限的情况下，得到一个离散的点集,称为康托尔三分集.若在第n 次操作中去掉的线段长度之和不小于160，则n 的最大值为A.6B. 7C.8D.9 【答案】C【解析】第一次操作去掉的线段长度为13，第二次操作去掉的线段长度之和为2133⨯，第三次操作去掉的线段长度之和为221333⨯⨯，...，第n 次操作去掉的线段长度之和为12133n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭，由题意可知，12113360n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭≥，则21330n⎛⎫⎪⎝⎭≥，则2lg lg301lg33n -=--≥，所以()lg2lg31lg3n ---≥，即1lg 3lg 3lg 2n +-≤，又lg 20.3010,lg30.4771≈≈，带入上式，可得8n ≤9. 已知01,,(,),a b c ∈且22223212223ln ,ln ,ln a a e b b e c c e -+=-+=-+=，其中e 是自然对数的底数，则A.a b c >>B. a c b >>C.c a b >>D.c b a >> 【答案】A【解析】设()()22ln ,e x f x x x g x x =-=-，则()()()()()()1,2,3f a g f b g f c g ===， 又()()'e 100x g x x =-＞＞，所以()g x 在()0,+∞上单调递增， 所以()()()321g g g ＞＞，即()()()f c f b f a ＞＞，因为()()()()2212'200,1x f x x x x x-=-=∈＜，所以()f x 在()0,1上单调递减，所以a b c ＞＞四、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.房地产市场与城市经济发展密切相关,更与百姓的生活密切相关.按照房地产市场经济理论，房屋销售量与房价有密切关系.下图是某城市过去一年中七个楼盘的新房成交均价与成交面积折线图,则下列结论中正确的是E. 这七个楼盘中,每个楼盘的成交均价都在[88.8,120.0]内F. 这七个楼盘中,楼盘2的成交总额最大G. 这七个楼盘﹐成交面积的平均值低于200H. 这七个楼盘,成交面积与成交均价呈负相关 【答案】BD【解析】由楼盘2,3,4,5的数据可知，A 错误； 计算七个楼盘各自的成交总额可知，B 正确； 成交面积的均值1123894212401978011145020077++++++=＞，C 错误；7个楼盘整体呈现均价越低，则成交面积越大的趋势，D 正确.10. 已知m,n 是两条不同的直线,a,β,是三个不同的平面.下列说法中正确的是 A.若m//a,m ⊂β,a∩β=n ,则m// n B.若m//n,m //α,则n// α C.若a∩β=n ,α⊥β，βγ⊥,则n γ⊥ D.若,,//m m αβαγ⊥⊥,则//βγ 【答案】ACD【解析】由线面平行的性质定理可知，A 正确； 若,m m n α∥∥，则n α∥或n α⊆，即B 错误； 设,αβ的法向量分别为,a b ，若n αβ=，则,n n ⊥⊥a b ，又,αγβγ⊥⊥，则γγ∥,∥a b ，所以n γ⊥，即C 正确；若,m m αβ⊥⎰，则αβ∥，又αγ∥，则βγ∥，即D 正确.11.设正实数x ，y 满足12=+y x ，则 A.xy 的最大值是41B.y x 12+的最小值是9C.224y x +的最小值为21D.y x +2的最大值为2 【答案】BC【解析】因为21x y +=≥18xy ≤，A 错误；()2121222559y x x y x y x y x y⎛⎫+=++=+++= ⎪⎝⎭≥，B 正确；()22221422x y x y ++=≥，即C 正确；2122x y +=+≥D 错误.12.已知()x f 是周期为4的奇函数，且当20≤≤x 时，()⎩⎨⎧≤<-≤≤=21,210,x x x x x f ，设()()()1++=x f x f x g ，则A.函数()x g y =为周期函数B.函数()x g y =的最大值为2C.函数()x g y =在区间()8,7上单调递增D.函数()x g y =的图像既有对称轴又有对称中心 【答案】ACD【解析】由()()4f x f x +=，所以()()()()()()4451g x f x f x f x f x g x +=+++=++=，A 正确；易知()()11f x f =≤，所以()()12f x f x ++≤，又()1f x =与()11f x +=不能同时取等， 所以()2g x ＜，B错误；当()7,8x ∈时，()()81,0,70,1x x -∈--∈，所以()()()()887g x g x f x f x =-=-+-，所以()()()()8787215g x f x f x x x x =--+-=--+-=-，单调递增，C 正确；作图可知，()g x 关于12x =成轴对称，关于1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称，D 正确.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.将函数x y cos =的图像向右平移()0>ϕϕ个单位长度，所得图像与x y sin =的图像重合，则ϕ的一个可能的值为 .（写出一个正确答案即可） 【答案】π2（满足即可） 【解析】因为πcos sin 2x ϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以π2ϕ=满足.15. 已知()*∈⎪⎭⎫⎝⎛+N n x n211的展开式中2x 的系数是7，则=n ；若r x 与1+r x ()N r ∈的系数相等，则=r . 【答案】8;2【解析】由题意，221C 72n⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，则()156n n -=，解得8n =，由118811C C 22r r r r ++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得1882C C r r +=，即()()()28!8!!8!1!7!r r r r ⨯=⋅-+⋅-，即2181r r =-+， 解得2r =.15.如图1所示，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于某焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等，具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点.图2是图1的轴截面，A ，B 两点关于抛物线的对称轴对称，F 是抛物线的焦点，AFB ∠是馈源的方向角，记为θ.焦点F 到顶点的距离f 与口径d 的比值df称为抛物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等.如果某抛物面天线的焦径比等于5.0，那么馈源方向角θ的正切值为 .【答案】247-【解析】设抛物线方程为()220y px p =＞，则2p f =，又0.5fd =，所以d p =， 所以,,,8282p p p p A B ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，直线BF 的斜率42328pk p p ==-，所以4tan 23θ=，所以8243tan 16719θ==--.16.在三棱锥ABC P -中，ABC ∆和PBC ∆都是边长为32的正三角形，23=PA .若M 为三棱锥ABC P -外接球上的动点，则点M 到平面ABC 距离的最大值为 .1【解析】设BC 中点为T ，ABC △的外心为1O ，PBC △的外心为2O ，球心为O ， 易知3PT AT ==，又PA =PT AT ⊥，所以平面PBC ⊥平面ABC ，所以四边形12OO TO 是边长为1的正方形，所以外接球半径R ===， M 到平面ABC的距离11d R OO +=≤.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，137a S =，且1a ，22+a ，3a 成等差数列. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若⎩⎨⎧=为偶数，为奇数，n n n a b n n ，求数列{}n b 的前n 2项和n T 2.【解析】(1)因为137a S =，所以，712=++q q解得（舍）； 又1a ，22+a ，3a 成等差数列， 所以2（22+a ）=1a +3a ，解得41=a ， 所以{}n a 的通项公式为12+=n n a .(2)因为⎩⎨⎧=为偶数，为奇数，n n n a b n n ，所以)1(344)2...64164()2...642(122++-=+++++++++=+n n n T n nn . 3,2-==q q18.（本小题满分12分） 请在①2=⋅AC AB ；②734sin =B ；③5=+b a 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知()A B C A sin sin sin =+-，2=c ， ，若该三角形存在，求该三角形的面积；若该三角形不存在，请说明理由.【解析】选③，因为πA B C ++=，所以()()()sin sin πsin sin cos sin cos B A C A C A C C A =-+=+=+， 又()sin sin cos sin cos A C A C C A -=-，所以()sin sin 2sin cos A C B A C -+=， 又()sin sin sin A C B A -+=，所以1cos 2C =，即π3C =， 因为2c =，由余弦定理可知，()22242cos 3a b ab C a b ab =+-=+-， 即()()223434a b a b ab ++-=≤，所以4a b +≤，即5a b +=不可能成立，该三角形不存在.19.科研小组为提高某种水果的果径，设计了一套实验方案，并在两片果园中进行对比实验.其中实验园采用实验方案，对照园未采用.实验周期结束后，分别在两片果园中各随机选取100个果实，按果径分成5组进行统计：[)26,21，[)31,26，[)36,31，[)41,36，[]46,41（单位：mm ）.统计后分别制成如下的频率分布直方图，并规定果径达到36mm 及以上的为“大果”.（3）请根据题中信息完成下面的列联表，并判断是否有%9.99的把握认为“大果”与“采用实验方案”有关；（4）根据长期种植经验，可以认为对照园中的果径X 服从正态分布()2,σμN ，其中μ近似为样本平均数x ，5.5≈σ，请估计对照园中果径落在区间()50,39内的概率.（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）附：①()()()()()d b c a d c b a bc ad n x ++++-=22②若X 服从正态分布()2,σμN ，则683.0=σ+μ<<σ-μX P ，)954.022=σ+μ<<σ-μX P ，()997.033=σ+μ<<σ-μX P【解析】（1）列联表如下：合计 100100 200()222006070304020010.8281001009011011χ⨯-⨯==⨯⨯⨯＞，所以有99.9%的把握认为两者有关； （2）由题中数据，23.50.128.50.233.50.438.50.243.50.133.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 则()()0.9970.683395030.1572P X P X μσμσ-=++==＜＜＜＜.20.（本小题满分12分）如图，在三棱锥ABC P -中，2=AC ，4=BC ，PAC ∆为正三角形，D 为AB 的中点，PD AC ⊥，︒=∠90PCB .（1）求证：PAC BC 平面⊥；（2）求PD 与平面PBC 所成角的正弦值.【解析】（1）证明：作AC 的中点O ，连接,OD OP ， 因为PAC △是正三角形，所以OP AC ⊥，又,,,AC PD PD OP P PD OP ⊥=⊂平面POD ，所以AC ⊥平面POD ， 又OD ⊂平面POD ，所以AC OD ⊥， 因为OD BC ∥，所以AC BC ⊥， 又,,,PC BC PCAC C PC AC ⊥=⊂平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC ；（2）以{},,OA OD OP 为,,x y z 轴非负半轴，建立空间直角坐标系， 则()()()()1,0,0,0,2,0,1,4,0,0,0,3C D B P --， 所以()()()1,0,3,0,4,0,0,2,3CP CB PD ===-，设平面PBC 的法向量为(),,m x y z =，则3040m CP x z m CB y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，取3x =，则()3,0,1m =-，设PD 与平面PBC 所成角为θ，则sin 144m PD m PDθ⋅==⋅.21.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆:C ()012222>>=+b a by a x 的左、右顶点分别为A ，B .F 是椭圆C 的右焦点，且FB AF 3=，3=⋅FB AF . （1）求椭圆C 的方程；（2）不过点A 的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，记直线l ，AM ，AN 的斜率分别为k ，1k ，2k ，若()121=+k k k ，证明直线l 过定点，并求出定点的坐标.【解析】（许志伟）（1）13422=+y x ；（2）设直线l 方程为m kx y +=，联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=13422y x mkx y ，整理得()0124834222=-+++m mkx x k348221+-=+k mk x x 341242221+--=k m x x()()()()424222221212121221121+++++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+x x x x mx x m k x kx k x y x y k k k k 化简得()()052=--k m k m ，所以k m 2=或k m 5= 对应直线方程分别为k kx y 2+=，k kx y 5+=故过定点()0,2-，()0,5-，因为l 不过()0,2-A ,所以过()0,5-.1161642412222=+--=k mk m k mk22.设函数()()x e a x x f -=2，R a ∈，e 是自然对数的底数. （1）若3=a ，求函数()x f 的极值；（2）当0≥x 时，()0≥++a x x f ，求a 的取值范围.【解析】(许志伟）（1）()()x e x x f 32-=，()()()()3132'2+-=-+=x x e x x e x f x x ，所以()x f 在()3,-∞-，()+∞,1单增，()1,3- 单减， 所以极大值()363ef =-，极小值()e f 21-=， （2）()()()a x e a x a x x f x g x ++-=++=2，()00=g ，()()12'2+-+=a x x e x g x ，()10'+-=a g ， ()()a x x e x g x -++=24''2，()a g -=20''，①当01≥+-a ，即1≤a 时，()0''>x g ，所以()x g '单增，()()00''≥≥g x g ， 所以()x g 单增，()()00=≥g x g ，符合题意.②当01<+-a ，即1>a 时，00>∃x ，使得当()0,0x x ∈时()0'<x g ，所以()x g 在()0,0x 单减，()()00=<g x g ，矛盾，所以舍去. 综上1≤a .。