2021届江苏省南通市高三上学期期初调研数学试题(解析版)
2021届江苏省南通市高三第一次教学质量调研考试数学试题Word版含答案
2021届江苏省南通市高三第一次教学质量调研考试数学试，一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需要写出解答过程，清将答案填写在等呼下 相应的位置上.)1 .已知集合 A={x|-1 vxv3} , B= { - L 0, 1, 2, 3},则 A 「| B=.2 .已知复数z 满足(l + i)z =3 —i (其中i 为虚数单位)，则复数z 的模为. 3 .双曲线下一丁 二 1的顶点到渐近线的距离为.4 54 . 口袋中有形状和大小完全相同的4个小球，球的编号分别为1, 2, 3, 4,若从袋中一次性摸出2个球, 则摸出的两个球编号之和为奇数的概率为.5 .函数/*) = J ； — log4(x — l)的定义域为.|x + 2|,-2<x<0八 c c ，贝4/(/(17))-tan ——,0< x< 24的值为.7 .设函数/。
)=碗(5・+ 土)(2>0)，若f(x)< /(£)对任意的实数X 都成立，则出的最小值为8 4v <n8 .己知函数/(x)=,则不等式/(制>一1+ 1的解集为 ________lgM x>09 .设aeR,函数/(x) = 3f —为奇函数，则函数/(X)的极大值为10・ 已知 sin(a - £)=金，0 < a < 三，则 cos(a + 二)= 6 5 2 12 11 .已知Iog2〃 + log2^ = 2,则2"+2,的最小值为 12 .如图，在△ABC 中，D 为AC 的中点，BC±BD, BC=2, 则B A B C=.13 .在锐角AABC 中，设角A, B, C 的对边分别为a, 6, c ,若」的取值范围为14 .定义在 R 上的函数 “X), »(X), /7(x),若对 Vx £R,点(主，h(x) ) > (x 9 g(x))关于点(x , f (x))对称，则称函数〃(x)是函数g(x)关于函数/‘(X)的"对称函数”.已知函数/z(x)是函数 g(X)=。
江苏省南通市2021届高三数学上学期初调研试题含解析
江苏省南通市2021届高三数学上学期期初调研试题（含解析）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．记全集U ＝R ，集合A ＝{}216x x ≥，集合B ＝{}22x x ≥，则U (A)B ＝A ．[4，+∞)B ．(1，4]C ．[1，4)D ．(1，4)2．已知5log 2a =，7log 2b =，20.5a c -=，则a ，b ，c 的大小关系为A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b3．若3cos()5αβ+=，5sin()413πβ-=，α，β∈(0，2π)，则cos()4πα+＝ A ．3365- B ．3365 C ．5665 D ．1665-4．我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2~3艘驱逐舰，1~2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为 A ．30 B ．60 C ．90 D ．1205．函数()2sin()f x x ωϕ=+(ω＞0，ϕ＜π)的部分图像如图所示，且()f x 的图像过A(2π，1)，B(2π，﹣1)两点，为了得到()2sin g x x ω=的图像，只需将()f x 的图像 A ．向右平移56π B ．向左平移56π C ．向左平移512π D ．向右平移512π第5题 第6题6．《易经》是中国传统文化中的精髓，上图是易轻八卦图(含乾、坤、舞、震、坎、离、良、兑八卦)，每一卦由三根线组成( -表示一根阳线，--表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为 A ．18 B ．14 C ．38 D ．127．设F 1，F 2分别为双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与圆O ：222x y a +=相切，l 与C 的渐近线在第一象限内的交点是P ，若PF 2⊥x 轴，则双曲线的离心率等于AB ．2 C．．48．对于函数()y f x =，若存在区间[a ，b ]，当x ∈[a ，b ]时的值域为[ka ，kb ](k ＞0)，则称()y f x =为k 倍值函数．若()e 2xf x x =+是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是 A ．(e ＋1，+∞) B ．(e ＋2，+∞)C ．(1e e +，+∞) D ．(2e e+，+∞) 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．下列说法正确的是A ．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后，方差也变为原来的a 倍B ．设有一个回归方程y ＝3﹣5x ，变量x 增加1个单位时，y 平均减少5个单位C ．线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D ．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，2σ)(σ＞0)，则P(ξ＞1)＝0.5 10．已知抛物线C ：22y px =过点P(1，1)，则下列结论正确的是 A ．点P 到抛物线焦点的距离为32B ．过点P 作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q ，则△OPQ 的面积为532C ．过点P 与抛物线相切的直线方程为x ﹣2y ＋1＝0D ．过P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于点M ，N ，则直线MN 的斜率为定值 11．在△ABC 中，已知b cosC ＋c cosB ＝2b ，且111tan A tan B sin C+=，则 A ．a ，b ，c 成等比数列B ．sinA ：sinB ：sinC ＝2：1C ．若a ＝4，则S △ABCD ．A ，B ，C 成等差数列12．已知函数()ln f x x x =，若120x x <<，则下列选项正确的是A ．1212()()0f x f x x x -<- B ．1122()()x f x x f x +<+C ．2112()()x f x x f x <D ．当211ex x >>时，11222112()()()()x f x x f x x f x x f x +>+ 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．高二某班共有60名学生，其中女生有20名，三好学生占全班人数的16，而且三好学生中女生占一半．现在从该班任选一名同学参加某一座谈会．则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率为 ．14．曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 ．15．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围是 ． 16．椭圆与双曲线有相同的焦点F 1(﹣c ，0)，F 2(c ，0)，椭圆的一个短轴端点为B ，直线F 1B与双曲线的一条渐近线平行．若椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则12e e ＝ ；且22123e e +的最小值为 ．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知函数2()cos 2sin 1f x x x x =+-． （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(A)2f =，C ＝4π，c ＝2，求△ABC 的面积． 18．（本小题满分12分）2020年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为11：13，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线（1）完成2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；（2）从被调查中对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生中抽取3名学生，作学习经验介绍，其中抽取男生的个数为ξ．求出ξ的分布列及期望值．附公式及表：22()n ad bc K -=，其中n a b c d =+++．19．（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点，其焦点与双曲线22221x y -=的焦点重合，点P(0)在椭圆C 上，动直线l ：y ＝kx ＋m 交椭圆于不同两点A ，B ，且OA OB 0⋅=(O 为坐标原点)．（1）求椭圆的方程；（2）讨论7m 2﹣12k 2是否为定值；若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 20．（本小题满分12分）已知函数2()fx x bx c =++，且()0f x ≤的解集为[﹣1，2]． （1）求函数()f x 的解析式；（2）解关于x 的不等式()2(1)mf x x m >--(m ≥0)； （3）设()31()2f x xg x +-=，若对于任意的1x ，2x ∈[﹣2，1]都有12()()g x g x M -≤，求M 的最小值． 21．（本小题满分12分）已知221()(ln )x f x a x x x -=-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当a ＝1时，证明3()()2f x f x '>+对于任意的x ∈[1，2]成立． 22．（本小题满分12分）已知点P 是抛物线C 1：24y x =的准线上任意一点，过点P 作抛物线的两条切线PA 、PB ，其中A 、B 为切点．（1）证明：直线AB 过定点，并求出定点的坐标；（2）若直线AB 交椭圆C 2：22143x y +=于C 、D 两点，S 1，S 2分别是△PAB ，△PCD 的面积，求12S S 的最小值．江苏省南通市2021届高三上学期开学考试数学试题2020．9一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．记全集U ＝R ，集合A ＝{}216x x ≥，集合B ＝{}22x x ≥，则U (A)B ＝A ．[4，+∞)B ．(1，4]C ．[1，4)D ．(1，4)答案：C解析：∵集合A ＝{}{}21644x x x x x ≥=≥≤-或，∴{}UA 44x x =-<<，又∵B ＝{}{}221x x x x ≥=≥，∴U (A)B ＝[1，4)，故选C ．2．已知5log 2a =，7log 2b =，20.5a c -=，则a ，b ，c 的大小关系为A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b 答案：A解析：∵555log 2log 1<=，∴1a <，∴210.50.52a -->=，∴2c >，又57log 2log 2>，a b >，∴b ＜a ＜c ，故选A ．3．若3cos()5αβ+=，5sin()413πβ-=，α，β∈(0，2π)，则cos()4πα+＝ A ．3365- B ．3365 C ．5665 D ．1665-答案：C解析：∵α，β∈(0，2π)，∴αβ+∈(0，π)，4πβ-∈(4π-，4π)，∴4sin()5αβ+=，12cos()413πβ-=，∴cos()cos[()()]cos()cos()sin()444πππααββαββαβ+=+--=+-++3124556sin()451351365πβ-=⨯+⨯=，故选C ．4．我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2~3艘驱逐舰，1~2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为 A ．30 B ．60 C ．90 D ．120 答案：B解析：有两种情况，①一艘航母配2搜驱逐舰和1搜核潜艇，另一艘航母配3搜驱逐舰和2搜核潜艇，②一艘航母配2搜驱逐舰和2搜核潜艇，另一艘航母配3搜驱逐舰和1搜核潜艇，2122535360C C C C +=，故选B ．5．函数()2sin()f x x ωϕ=+(ω＞0，ϕ＜π)的部分图像如图所示，且()f x 的图像过A(2π，1)，B(π，﹣1)两点，为了得到()2sin g x x ω=的图像，只需将()f x 的图像A ．向右平移56πB ．向左平移56πC ．向左平移512πD ．向右平移512π 答案：C解析：由题意知22T π=，T π=，∴ω＝2，2226k ππϕπ⨯+=+，526k ϕππ=-+， ∵ϕ＜π，∴56ϕπ=-，∴55()2sin(2)2sin 2()612f x x x ππ=-=-，故选C ．6．《易经》是中国传统文化中的精髓，上图是易轻八卦图(含乾、坤、舞、震、坎、离、良、兑八卦)，每一卦由三根线组成( -表示一根阳线，--表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为A ．18 B ．14 C ．38 D ．12 答案：C 解析：P ＝38，故选C ． 7．设F 1，F 2分别为双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与圆O ：222x y a +=相切，l 与C 的渐近线在第一象限内的交点是P ，若PF 2⊥x 轴，则双曲线的离心率等于AB ．2 C．．4 答案：A解析：12tan P F F 2bc a a b c∠==，222b a =，223c a =，e =A ． 8．对于函数()y f x =，若存在区间[a ，b ]，当x ∈[a ，b ]时的值域为[ka ，kb ](k ＞0)，则称()y f x =为k 倍值函数．若()e 2xf x x =+是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是 A ．(e ＋1，+∞) B ．(e ＋2，+∞) C ．(1e e +，+∞) D ．(2e e+，+∞) 答案：B解析：()e 2xf x x =+是单调增函数，故e 2e 2a b a ka b kb⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，故a ，b 是方程e 2xx kx +=的两个根，令()e (2)x g x k x =+-，()e (2)xg x k '=+-，当k ＞2，x ＝ln(2)k -时，()g x 有最小值为(ln(2))2(2)ln(2)0g k k k k -=----<，解得k ＞e ＋2，故选B ． 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．下列说法正确的是A ．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后，方差也变为原来的a 倍B ．设有一个回归方程y ＝3﹣5x ，变量x 增加1个单位时，y 平均减少5个单位C ．线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D ．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，2σ)(σ＞0)，则P(ξ＞1)＝0.5 答案：BD解析：选项A ，方差变为原来的a 2倍，故A 错误；线性相关系数r 的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强；线性相关系数r 的绝对值越接近0，线性相关性越弱，由此可见C 错误，故选BD ． 10．已知抛物线C ：22y px =过点P(1，1)，则下列结论正确的是 A ．点P 到抛物线焦点的距离为32B ．过点P 作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q ，则△OPQ 的面积为532C ．过点P 与抛物线相切的直线方程为x ﹣2y ＋1＝0D ．过P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于点M ，N ，则直线MN 的斜率为定值 答案：BCD解析：∵抛物线C ：22y px =过点P(1，1)，∴12p =，∴2y x =，故该抛物线焦点坐标为(14，0)，准线方程为x ＝14-，故点P 到抛物线焦点的距离为54，故A 错误；△OPQ 的面积215442sin 3225p S θ===⨯，故B 正确；设过点P 的直线方程为1y kx k =+-，与抛物线联立并化简得210ky y k -+-=，14(1)0k k --=，解得k ＝12，故过点P 与抛物线相切的直线方程为x ﹣2y ＋1＝0，C 正确；设PM 的斜率为k ，则PN 的斜率为﹣k ，求得M(22(1)k k -，1k k -)，N(22(1)k k+，1k k +-)，求得MN 的斜率为12-，D 正确，故选BCD ． 11．在△ABC 中，已知b cosC ＋c cosB ＝2b ，且111tan A tan B sin C+=，则 A ．a ，b ，c 成等比数列B ．sinA ：sinB ：sinC ＝2：1C ．若a ＝4，则S △ABCD ．A ，B ，C 成等差数列答案：BC 解析：由111tan A tan B sin C +=得，cos cos 1sin sin sin A B A B C+=，2sin sin sin A B C =，故ab ＝c 2，故a ，c ，b 成等比数列，故A 错误；∵b cosC ＋c cosB ＝2b ，∴a ＝2b ，又ab ＝c 2，∴cb ，∴a ：b ：c ＝2：1，∴sinA ：sinB ：sinC ＝2：1，故B正确；cosC ＝222412322214a b c ab +-+-==⨯⨯，sinC＝，∴S ＝11sin 422a b C ⨯⨯=⨯⨯2=，故C 正确；cosB＝22228a c b ac +-==，故B ≠60°，故D 错误，故选BC ． 12．已知函数()ln f x x x =，若120x x <<，则下列选项正确的是A ．1212()()0f x f x x x -<- B ．1122()()x f x x f x +<+C ．2112()()x f x x f x <D ．当211ex x >>时，11222112()()()()x f x x f x x f x x f x +>+ 答案：CD解析：首先注意到函数()ln f x x x =，在(0，1e )单调递减，在(1e，+∞)单调递增，故A 错误，112221121112()()()()()[()()]0x f x x f x x f x x f x x x f x f x +>+⇒-->，故D 正确；令()()ln g x f x x x x x =+=+，不是单调函数，故B 错误；令()()ln f x h x x x==，是单调增函数，故C 正确，故选CD ． 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．高二某班共有60名学生，其中女生有20名，三好学生占全班人数的16，而且三好学生中女生占一半．现在从该班任选一名同学参加某一座谈会．则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率为 ． 答案：18解析：P ＝51408=． 14．曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 ． 答案：2y x =解析：ln 1y x x =++，11y x'=+，设切点横坐标为0x ，001121x x +=⇒=，所以切点(1，2)，故切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =．15．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围是 ． 答案：(﹣2，6)解析：点P 与点F 重合时，AP AB ⋅有最小值为﹣2，当点P 与点C 重合时，AP AB ⋅有最大值为6，故AP AB ⋅的取值范围是(﹣2，6)．16．椭圆与双曲线有相同的焦点F 1(﹣c ，0)，F 2(c ，0)，椭圆的一个短轴端点为B ，直线F 1B与双曲线的一条渐近线平行．若椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则12e e ＝ ；且22123e e +的最小值为 ．答案：1；解析：设椭圆方程为2222111x y a b +=，双曲线方程为2222221x y a b -=，则由直线F 1B 与双曲线的一条渐近线平行，得222222212121222222222211b b b b a c c a e c a c a c a e --=⇒=⇒=⇒=，∴12e e ＝1；所以2212123e e e +≥=21223e e ⎧=⎪⎨⎪=⎩取等号．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知函数2()cos 2sin 1f x x x x =+-． （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(A)2f =，C ＝4π，c ＝2，求△ABC 的面积．解：（1）∵()221f x sin x =+-=x ﹣cos2x＝2sin （2x 6π-）， 令2k π2π-≤2x 6π-≤2k π2π+，k ∈Z ，解得k π6π-≤x ≤k π3π+，k ∈Z ，∴函数f （x ）的单调递增区间为：[k π6π-，k π3π+]，k ∈Z ．（2）∵f （A ）＝2sin （2A 6π-）＝2， ∴sin （2A 6π-）＝1， ∵A ∈（0，π），2A 6π-∈（6π-，116π），∴2A 62ππ-=，解得A 3π=，∵C 4π=，c ＝2，∴由正弦定理sin a b sinA B =，可得2sin sin 1c B b sinC ππ⎛⎫⨯+ ⎪⋅===+∴S △ABC12=ab sinC 12=（1=． 18．（本小题满分12分）2020年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为11：13，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线（1）完成2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；（2）从被调查中对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生中抽取3名学生，作学习经验介绍，其中抽取男生的个数为ξ．求出ξ的分布列及期望值．附公式及表：22()n ad bc K -=，其中n a b c d =+++．解：（1）因为男生人数为：120551113⨯=+，所以女生人数为1205565-=，于是可完成22⨯列联表，如下： 根据列联表中的数据，得到2K 的观测值2120(30152550)960 6.713 6.63555658040143k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”（2）由（1）可知男生抽3人，女生抽5人，依题可知ξ的可能取值为0,1,2,3，并且ξ服从超几何分布，()()335380,1,2,3k kC C P k k C ξ-===，即 3215533388515(0),(1)2828C C C P P C C ξξ======, 1235333388151(2),(3)5656C C C P P C C ξξ======. 可得分布列为可得5151519()0123282856568E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.19．（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点，其焦点与双曲线22221x y -=的焦点重合，点P(0)在椭圆C 上，动直线l ：y ＝kx ＋m 交椭圆于不同两点A ，B ，且OA OB 0⋅=(O 为坐标原点)．（1）求椭圆的方程；（2）讨论7m 2﹣12k 2是否为定值；若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 解：（1）因为双曲线22221xy -=的焦点为()1,0，所以在椭圆C 中1c =，设椭圆C 的方程为()2222110y x a a a +=>-，由点(P 在椭圆C 上得2311a =-，解得242a a =⇒=，则b == 所以椭圆C 的方程为22143x y +=（2）22712m k -为定值，理由如下：设()()1122,,,A x y B x y ，由0OA OB ⋅=可知12120x x y y +=，联立方程组()222223484120143y kx mk x mkx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩， 由()()2222644344120m k km∆=-+->得2234m k <+，21212228412,3434km m x x x x k k -+=-=++，① 由12120x x y y +=及y kx m =+得()()12120x x kx m kx m +++=， 整理得()()22121210kx xkm x x m ++++=，将①式代入上式可得()222224128103434m kmk km m k k-+⋅-⋅+=++， 同时乘以234k +可化简得()()222222214128340kmk m m m k +--++=，所以22712=12m k -，即22712m k -为定值.20．（本小题满分12分）已知函数2()f x x bx c =++，且()0f x ≤的解集为[﹣1，2]． （1）求函数()f x 的解析式；（2）解关于x 的不等式()2(1)mf x x m >--(m ≥0)； （3）设()31()2f x x g x +-=，若对于任意的1x ，2x ∈[﹣2，1]都有12()()g x g x M -≤，求M 的最小值．解：（1）因为()0f x ≤的解集为[1,2]-，所以20x bx c ++=的根为1-，2， 所以1b -=，2c =-，即1b =-，2c =-；所以2()2f x x x =--；（2）()2(1)mf x x m >--，化简有2(2)2(1)m x x x m -->--，整理(2)(1)0mx x -->，所以当0m =时，不等式的解集为(,1)-∞， 当02m <<时，不等式的解集为2(,1),m ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭， 当2m =时，不等式的解集为(,1)(1,)-∞+∞，当2m >时，不等式的解集为()2(,)1,m-∞+∞，（3）因为[2,1]x ∈-时2()3123f x x x x +-=+-，根据二次函数的图像性质，有2()3123[4,0]f x x x x +-=+-∈-，则有2()3123()22f x x xx g x +-+-==，所以，1(),116g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 因为对于任意的12,[2,1]x x ∈-都有12|()()|g x g x M -≤， 即求12|()()|Max g x g x M -≤，转化为()()Max Min g x g x M -≤， 而()(1)1Max g x g ==，1()(1)16Min g x g =-=，所以， 此时可得1516M ≥， 所以M 的最小值为1516.21．（本小题满分12分）已知221()(ln )x f x a x x x-=-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当a ＝1时，证明3()()2f x f x '>+对于任意的x ∈[1，2]成立． 解：（1）的定义域为；223322(2)(1)'()a ax x f x a x x x x--=--+=. 当，时，'()0f x >，单调递增；(1,),'()0x f x ∈+∞<时，单调递减.当时，3(1)22'()()()a x f x x x x a a-=+-. ① ，，当或x ∈时，'()0f x >，单调递增；当x ∈时，'()0f x <，单调递减；②时，，在x ∈内，'()0f x ≥，单调递增；③ 时，，当或x ∈时，'()0f x >，单调递增；当x ∈时，'()0f x <，单调递减.综上所述， 当时，函数在内单调递增，在内单调递减；当时，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增； 当时，在内单调递增；当，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增.（2）由（Ⅰ）知，时，22321122()'()ln (1)x f x f x x x x x x x --=-+---+23312ln 1x x x x x=-++--，，令，.则()'()()()f x f x g x h x -=+， 由1'()0x g x x-=≥可得，当且仅当时取得等号.又24326'()x x h x x --+=，设，则在x ∈单调递减，因为， 所以在上存在使得时，时，，所以函数()h x 在上单调递增；在上单调递减，由于，因此，当且仅当取得等号，所以3()'()(1)(2)2f x f xg h->+=，即3()'()2f x f x>+对于任意的恒成立22．（本小题满分12分）已知点P是抛物线C1：24y x=的准线上任意一点，过点P作抛物线的两条切线PA、PB ，其中A、B为切点．（1）证明：直线AB过定点，并求出定点的坐标；（2）若直线AB交椭圆C2：22143x y+=于C、D两点，S1，S2分别是△PAB，△PCD的面积，求12SS的最小值．解：（1）证明：设点()11,A x y、()22,B x y，则以A为切点的切线方程为()1112y y x xy-=-，即()112y y x x=+，同理以B为切点的切线方程为()222y y x x=+，两条切线均过点()1,P t-，()()11222121ty xty x⎧=-+⎪∴⎨=-+⎪⎩，即1122220220x tyx ty--=⎧⎨--=⎩，所以，点A、B的坐标满足直线220x ty--=的方程，所以，直线AB的方程为220x ty--=，在直线AB的方程中，令0y=，可得1x=，所以，直线AB过定点()1,0；（2）设点P 到直线AB 的距离为d ，则1212PAB PCDd AB AB S S CD d CD ⋅==⋅△△. 由题意可知，直线AB 不与x 轴重合，可设直线AB 的方程为1x my =+，设()33,C x y 、()44,D x y ，由241y x x my ⎧=⎨=+⎩，得2440y my --=，()21610m ∆=+>恒成立，由韦达定理得124y y m +=，124y y =-，由弦长公式可得()21241AB y m =-==+由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2234690m y my ++-=，()()22236363414410m m m ∆=++=+>恒成立.由韦达定理得342634m y y m +=-+，342934y y m =-+，由弦长公式得()234212134m CD y m +=-==+.()()2222241344433312134PAB PCD m AB S m m S CD m m ++∴====+≥++△△，当且仅当0m =时，等号成立.因此，12S S 的最小值为43.。
2021届江苏省南通市高三年级第一次调研测试数学(理)试题Word版含解析
2021届江苏省南通市高三年级第一次调研测试数学（理）试题一、填空题1．已知集合{}1,0,A a =-， {}0,B a =.若B A ⊆,则实数a 的值为__________． 【答案】1【解析】∵B A ⊆， ∴a A ∈． ∴a a =，解得1a =或0a =（舍去）． 答案：12．[2018·南通调研]已知复数，其中为虚数单位，则复数的实部为_________．【答案】【解析】 ，所以复数的实部为3．已知某校高一、高二、高三的学生人数分别为400， 400， 500.为了解该校学生的身高情况，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为65的样本，则应从高三年级抽取_________名学生. 【答案】25【解析】由分层抽样得应从高三年级抽取50065=25400+400+500⨯名学生4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为_________.【答案】10【解析】执行循环得=2,3;=5,5;=10,5;S i S i S i === 结束循环，输出=10S5．某同学欲从数学建模、航模制作、程序设计和机器人制作4个社团中随机选择2个，则数学建模社团被选中的概率为_________.【答案】12【解析】从4个社团中随机选择2个，有6种选法，其中数学建模社团被选中的选法有3种选法，所以概率为31=626．若实数,x y 满足1,{3, 10,x y x y ≥≤--≤则2x y -的最大值为________. 【答案】5【解析】作可行域，如图，则直线2x y z -=过点A(4,3)时z 取最大值5点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.7．在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 为抛物线28y x =的焦点，则点F 到双曲线221169x y -=的渐近线的距离为________.【答案】65【解析】()2,0F , 双曲线221169x y -=的渐近线为340x y ±=，距离为|32+0|6=55⨯8．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =， 8646a a a =+，则3a 的值为_________. 3【解析】由8646a a a =+得4223263,3,3q q q q a a q =+∴====9．在平面直角坐标系xOy 中，将函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移ϕ 02πϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度.若平移后得到的图像经过坐标原点，则ϕ的值为_________. 【答案】6π【解析】函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移ϕ 02πϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位得sin 223y x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为过坐标原点，所以()-2036226k k k Z πππππϕπϕϕϕ+=∈∴=-<<∴=点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数()()sin y A x x R ωϕ=+∈是奇函数()πk k Z ϕ⇔=∈；函数()()sin y A x x R ωϕ=+∈是偶函数()ππ+2k k Z ϕ⇔=∈；函数()()cos y A x x R ωϕ=+∈是奇函数()ππ+2k k Z ϕ⇔=∈；函数()()cos y A x x R ωϕ=+∈是偶函数()πk k Z ϕ⇔=∈.10．若曲线ln y x x =在1x =与x t =处的切线互相垂直，则正数t 的值为_________. 【答案】2e -【解析】因为ln 1y x '=+ ，所以()()2ln11ln 11ln 2,t t t e -++=-∴=-=11．11．如图，铜质六角螺帽毛胚是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知正六棱柱的底面边长、高都为，圆柱的底面积为.若将该螺帽熔化后铸成一个高为的正三棱柱零件，则该正三棱柱的底面边长为_________.（不计损耗）【答案】【解析】设正三棱柱的底面边长为 ，则12．如图，已知矩形的边长，.点， 分别在边，上，且，则的最小值为_________.【答案】【解析】以A 坐标原点，AB,AD 所在直线为x,y 轴建立直角坐标系，设所以因为，所以因为 ，所以因此点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()4,0A -， ()0,4B ，从直线AB 上一点P 向圆224x y +=引两条切线PC ， PD ，切点分别为C ， D .设线段CD 的中点为M ，则线段AM 长的最大值为_________. 【答案】32【解析】由射影定理得2224OD OM OP OM OP =⋅∴⋅==设()()1111,,,4,4y y M x y P x y x x ==∴= 2214x y x x+∴=因为11144x y +=- ，所以11x 1,44x yx +⋅=- 14x x y x=- 所以2222221114400,+-222x y y x x y y x x y y x+⎛⎫⎛⎫∴=->∴+-+=+= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭因此线段AM =点睛：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． ②定义法：根据圆、直线等定义列方程． ③几何法：利用圆的几何性质列方程．④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．14．已知函数()()221,{ ,x ax a f x ln x --+=- 0,0,x x ≥< ()212g x x a =+-，若函数()()y f g x =有4个零点，则实数a 的取值范围是__________．【答案】()1,⎫⋃+∞⎪⎪⎝⎭【解析】由题意得()()min 01,12f a g x a =-=-．（1）当1a >时， ()()2010,410f a a a =-∆=+-，如图，函数()y f x =有2个零点，即11x =-，20x >．又()min 120g x a =-<，故方程2121220x a x a =-+=->和方程22210x a x =-+>各有两个解， ∴方程()0g x =有4个解．∴函数()()y f g x =有4个零点．故1a >满足题意．（2）当1a =时， ()00,40f =∆=>，如图，函数()y f x =有3个零点，即11x =-， 20x >，30x >．又()min 10g x =-<，结合（1）中的方法可得方程()211,2,3i x x i =+=有5个解． ∴函数()()y f g x =有5个零点．故1a =不满足题意．（3）当1a <时， ()010f a =->， ①若()2410a a ∆=+->，即5112a -<<时，如图，函数()y f x =有3个零点，即11x =-， 20x >， 30x >．又()min 121g x a =->-，故当11x =-时，方程2220x a =-<无解． 所以要是函数()()y f g x =有4个零点，需满足()12{120a af a -<->，解得113a <<，故5112a -<<．②当512a -≤时，结合图象可得，函数()()y f g x =不会有4个零点． 综上可得5112a -<<或1a >． 故实数a 的取值范围是()51,11,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭． 答案： ()51,11,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、解答题15．如图，在三棱锥P ABC -中， AB PC ⊥， CA CB =， M 是AB 的中点.点N 在棱PC 上，点D 是BN 的中点.求证：（1）//MD 平面PAC ； （2）平面ABN ⊥平面PMC .【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据三角形中位线性质得//MD AN ，再根据线面平行判定定理得结论（2）由等腰三角形性质得AB MC ⊥，再由已知AB PC ⊥，以及线面垂直判定定理得AB ⊥平面PMC .最后根据面面垂直判定定理得结论试题解析：（1）在ABN ∆中， M 是AB 的中点， D 是BN 的中点， 所以//MD AN .又因为AN ⊂平面PAC ， MD ⊄平面PAC ， 所以//MD 平面PAC .（2）在ABC ∆中， CA CB =， M 是AB 的中点， 所以AB MC ⊥，又因为AB PC ⊥， PC ⊂平面PMC ， MC ⊂平面PMC ， PC MC C ⋂=，所以AB ⊥平面PMC .又因为AB ⊂平面ABN ， 所以平面ABN ⊥平面PMC .16．在ABC ∆中，角A ， B ， C 所对的边分别是a ， b ， c ，且222a b c bc =+-， 15a =. （1）求sin B 的值；（2）求cos 12C π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】（152）10 【解析】试题分析：（1）根据余弦定理得3A π=.再根据正弦定理得sin B 的值（2）根据同角三角函数平方关系得cos B ，再根据三角形内角关系以及两角差余弦公式得结果试题解析：（1）在ABC ∆中，根据余弦定理及222a b c bc =+-得， 2221cos 22b c a A bc +-==. 又因为()0,A π∈，所以3A π=.在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a bA B =得， sin sin bB A a =3515==. （2）因为15a b =>，所以A B >，即得03B π<<. 又5sin 5B =，所以225cos 1sin 5B B =-=. 在ABC ∆中， A B C π++=，所以cos cos 1212C A B πππ⎛⎫⎛⎫+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ cos 4B π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ cos cos sin sin 44B B ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭252525252⎛⎫=-⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭ 1010=-. 17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b+= (0)a b >>的离心率为22，两条准线之间的距离为42.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的左顶点为A ，点M 在圆2289x y +=上，直线AM 与椭圆相交于另一点B ，且AOB ∆的面积是AOM ∆的面积的2倍，求直线AB 的方程.【答案】（1）22142x y +=（2）220x y ++=， 220x y -+= 【解析】试题分析：（1）根据两条准线之间的距离为22a c，联立离心率条件解得2a =， 2c =2b =.（2）由面积关系得M 为AB 中点，由直线AB 点斜式方程与椭圆方程联立解得B 坐标，由中点坐标公式得M 坐标，代入圆方程解得直线AB 斜率试题解析：（1）设椭圆的焦距为2c ，由题意得， 22c a =，2242a c= 解得2a =， 2c =2b =所以椭圆的方程为22142x y +=. （2）方法一：因为2AOB AOM S S ∆∆=， 所以2AB AM =，所以点M 为AB 的中点.因为椭圆的方程为22142x y +=，所以()2,0A -.设()00,M x y ，则()0022,2B x y +.所以220089x y +=①，()()2200222142x y ++=②， 由①②得20918160x x --=， 解得023x =-， 083x =（舍去）.把023x =-代入①，得023y =±，所以12AB k =±，因此，直线AB 的方程为()122y x =±+即220x y ++=， 220x y -+=.方法二：因为2AOB AOM S S ∆∆=，所以2AB AM =，所以点M 为AB 的中点. 设直线AB 的方程为()2y k x =+.由()221,{ 422,x y y k x +==+得()2222128840k x k x k +++-=， 所以()()22212420x k x k ⎡⎤+++-=⎣⎦，解得222412B k x k -=+，所以()2224212B M x k x k +--==+， ()22212M M ky k x k =+=+， 代入2289x y +=得2222242812129k k k k ⎛⎫-⎛⎫+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 化简得422820k k +-=， 即()()2272410k k +-=，解得12k =±， 所以，直线AB 的方程为()122y x =±+即220x y ++=， 220x y -+=.18．如图，某小区中央广场由两部分组成，一部分是边长为80cm 的正方形ABCD ，另一部分是以AD 为直径的半圆，其圆心为O .规划修建的3条直道AD ， PB ， PC 将广场分割为6个区域：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ为绿化区域（图中阴影部分），Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ为休闲区域，其中点P 在半圆弧上， AD 分别与PB ， PC 相交于点E ， F .（道路宽度忽略不计）（1）若PB 经过圆心，求点P 到AD 的距离；（2）设POD θ∠=， 0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.①试用θ表示EF 的长度；②当sin θ为何值时，绿化区域面积之和最大. 【答案】（1）5m （2）①最小值为)2640021m ②当sin 222θ=时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大【解析】试题分析：（1）先建立直角坐标系，联立直线OB 方程与圆方程解得P 点纵坐标，即得点P 到AD 的距离；（2）①先求点P 到AD 的距离为40sin θ，再根据三角形相似得EF 的长度；②根据三角形面积公式求三个三角形面积，再用总面积相减得绿化区域面积，最后利用导数求函数最值试题解析：以AD 所在直线为x 轴，以线段AD 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系. （1）直线PB 的方程为2y x =， 半圆O 的方程为22240x y += ()0y ≥， 由()2222,{400,y x x y y =+=≥得5y =所以，点P 到AD 的距离为165m .（2）①由题意，得()40cos ,40sin P θθ. 直线PB 的方程为()sin 28040cos 1y x θθ++=++，令0y =，得80cos 8040sin 2E x θθ+=-+ 80cos 40sin sin 2θθθ-=+. 直线PC 的方程为()sin 28040cos 1y x θθ-+=--，令0y =，得80cos 8040sin 2F x θθ-=++ 80cos 40sin sin 2θθθ+=+. 所以， EF 的长度为 ()F E f x x θ=- 80sin sin 2θθ=+， 0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.②区域Ⅳ、Ⅵ的面积之和为1180sin 80802sin 2S θθ⎛⎫=⨯-⨯ ⎪+⎝⎭ 6400sin 2θ=+， 区域Ⅱ的面积为2140sin 2S EF θ=⨯⨯ 180sin 40sin 2sin 2θθθ⎛⎫=⨯⨯ ⎪+⎝⎭ 21600sin sin 2θθ=+， 所以2121600sin 6400sin 2S S θθ++=+ (0)2πθ<<.设sin 2t θ+=，则23t <<，()212160026400t S S t-++=.816004t t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()16004≥ )64001=-.当且仅当t =sin 2θ=时“=”成立.所以，休闲区域Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ的面积12S S +的最小值为)264001m .答：当sin 2θ=时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大.19．已知函数()32g x x ax bx =++ (),a b R ∈有极值，且函数()()x f x x a e =+的极值点是()g x 的极值点，其中e 是自然对数的底数.（极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值） （1）求b 关于a 的函数关系式；（2）当0a >时，若函数()()()F x f x g x =-的最小值为()M a ，证明： ()73M a <-.【答案】（1）243b a a =---， 32a ⎛⎫≠- ⎪⎝⎭（2）见解析【解析】试题分析：（1）先分别求两函数极值点，再根据条件得b 关于a 的函数关系式；最后求自变量取值范围（2）先研究()F x 导函数零点情况，仅有一个零点，再根据导函数符号变化规律确定最小值，最后再利用导数求最小值函数单调性，根据单调性证明不等式 试题解析：（1）因为()()'x x f x e x a e =++ ()1x x a e =++，令()'0f x =，解得1x a =--.所以1x a =--时， ()f x 取得极小值. 因为()2'32g x x ax b =++，由题意可知()'10g a --=，且24120a b ∆=-> 所以()()231210a a a b --+--+=， 化简得243b a a =---，由2412a b ∆=- ()()2412130a a a =+++>，得32a ≠-. 所以243b a a =---， 32a ⎛⎫≠- ⎪⎝⎭.（2）因为()()()F x f x g x =- ()()32x x a e x ax bx =+-++，所以()()()'''F x f x g x =- ()()()213213x x a e x ax a a ⎡⎤=++-+-++⎣⎦()()()1133x x a e x a x a =++-++-- ()()133x x a e x a =++-++记()33x h x e x a =-++，则()'3x h x e =-，令()'0h x =，解得ln3x =.所以ln3x =时， ()h x 取得极小值，也是最小值， 此时， ()ln3ln33ln33h ea =-++ 63ln3a =-+ ()32ln3a =-+ 23ln 03e a a ⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭.令()'0F x =，解得1x a =--.所以1x a =--时， ()F x 取得极小值，也是最小值.所以()()1M a F a =--= ()()()()()3211111a a e a a a b a -------+--+--()()2112a e a a --=--++.令1t a =--，则1t <-，记()()21t m t e t t =--- 32t e t t =-+-， 1t <-， 则()2'32t m t e t t =-+-， 1t <-. 因为10t e e --<-<， 2325t t ->， 所以()'0m t >，所以()m t 单调递增.所以()172233t m t e -<--<--=-，所以()73M a <-.点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.20．若数列{}n a 同时满足：①对于任意的正整数n ， 1a n a a +≥恒成立；②对于给定的正整数k ，2n k n k n a a a -++=对于任意的正整数()n n k >恒成立，则称数列{}n a 是“()R k 数列”.（1）已知22,,{2,,n n n a n n -=为奇数为偶数判断数列{}n a 是否为“()2R 数列”，并说明理由；（2）已知数列{}n b 是“()3R 数列”，且存在整数(1)p p >，使得33p b -， 31p b -， 31p b +， 33p b +成等差数列，证明： {}n b 是等差数列.【答案】（1）是（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据定义验证两个条件是否成立，由于函数为分段函数，所以分奇偶分别验证（2）根据定义数列隔项成等差，再根据单调性确定公差相等，最后求各项通项，根据通项关系得数列{}n b 通项，根据等差数列证结论试题解析：（1）当n 为奇数时， ()()1212130n n a a n n +-=+--=>，所以1n n a a +≥.22n n a a -++= ()()()2212212212n n n n a --++-=-=.当n 为偶数时， ()121210n n a a n n +-=+-=>，所以1n n a a +≥.22n n a a -++= ()()222242n n n n a -++==.所以，数列{}n a 是“()2R 数列”. （2）由题意可得： 332n n n b b b -++=，则数列1b ， 4b ， 7b ， ⋅⋅⋅是等差数列，设其公差为1d ， 数列2b ， 3b ， 8b ， ⋅⋅⋅是等差数列，设其公差为2d ， 数列3b ， 6b ， 9b ， ⋅⋅⋅是等差数列，设其公差为3d . 因为1n n b b +≤，所以313234n n n b b b +++≤≤， 所以()1122111b nd b nd b n d +≤+≤++，所以()2112n d d b b -≥-①，()21121n d d b b d -≤-+②. 若210d d -<，则当1221b b n d d ->-时，①不成立； 若210d d ->，则当12121b b d n d d -+>-时，②不成立；若210d d -=，则①和②都成立，所以12d d =.同理得： 13d d =，所以123d d d ==，记123d d d d ===. 设31333131p p p p b b b b --+--=- 3331p p b b λ++=-=， 则()()()313231311n n p p b b b n p d b n p d ---+-=+--+--3131p p b b d d λ-+=-+=-.同理可得： 331313n n n n b b b b d λ-+-=-=-，所以1n n b b d λ+-=-. 所以{}n b 是等差数列.【另解】3133p p b b λ--=- ()()()2312b p d b p d =+--+- 23b b d =-+，3131p p b b λ+-=- ()()12121b pd b p d b b d =+-+-=-+， 3331p p b b λ++=- ()3131b pd b pd b b =+-+=-，以上三式相加可得： 32d λ=，所以23d λ=， 所以()3211n b b n d -=+- ()13213db n =+-+，()3121n b b n d -=+- ()11b d n d λ=+-+- ()13113db n =+--，()331n b b n d =+- ()11b n d λ=++- ()1313db n =+-，所以()113n d b b n =+-，所以13n n db b +-=，所以，数列{}n b 是等差数列. 21．如图，已知的半径为，的半径为，两圆外切于点.点为上一点，与切于点.若，求的长.【答案】【解析】试题分析： 作辅助线，即延长交与点，连结，，，则过点．则得，然后证得，根据相似三角形的性质可得，从而可求得.试题解析： 延长交与点，连结，，，则过点．由切割线定理得：.因为，与均为等腰三角形，所以，所以，所以，即.又，所以.22．已知R x ∈，向量01⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵1[ 0A = 2x ⎤⎥⎦的属于特征值λ的一个特征向量，求λ与1A -.【答案】2λ=， 11[ 0A -= 012⎤⎥⎥⎦【解析】试题分析：由向量01⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵1[ 0A = 2x ⎤⎥⎦的属于特征值λ的一个特征向量可得1[ c 2x ⎤⎥⎦ 00121x λ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，由此可求得,x λ，从而可得A ，然后根据逆矩阵的定义并由待定系数法求得1A -． 试题解析：由已知得1[ c 2x ⎤⎥⎦ 00121x λ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以2,{0.x λ==所以1[ 0A = 02⎤⎥⎦.设1[ a A c -= b d ⎤⎥⎦，则11[ 0AA -= 0[ 2a c ⎤⎥⎦ b d ⎤⎥⎦ 1[ 0= 01⎤⎥⎦，即[ 2ac 1[ 20bd ⎤=⎥⎦ 01⎤⎥⎦.解得1a =， 0b c ==， 12d =， 所以11[ 0A -= 012⎤⎥⎥⎦.综上2λ=， 11[ 0A -= 012⎤⎥⎥⎦.23．在平面直角坐标系xOy 中，直线y x =与曲线21,{ 1x t y t =-=-（t 为参数）相交于A ， B 两点，求线段AB 的长.【解析】试题分析：先把曲线的参数方程化成普通方程，然后将曲线方程和直线方程联立解方程组，从而得到点A ， B 的坐标，再用两点间的距离公式求解． 试题解析： 由21,{1x t y t =-=-消去参数t 得22y x x =+，所以曲线的普通方程为22y x x =+. 解方程组2,{2,y x y x x ==+得0,{x y ==或1,{1,x y =-=-所以()0,0A ， ()1,1B --， 所以AB ==即线段AB ．24．已知1a >， 1b >，求2211b a a b +--的最小值. 【答案】8【解析】试题分析：根据基本不等式得()24141b a b a +-≥-， ()24141a b a b +-≥-，再两式相加即得22811b a a b +≥--.即可得最小值 试题解析：因为1a >， 1b >，所以()24141b a b a +-≥-， ()24141a b a b +-≥-. 两式相加：()()22414111b a a b a b +-++-≥-- 44b a +， 所以22811b a a b +≥--. 当且仅当()2411b a a =--且()2411a b b =--时“=”成立. 即2a b ==时， 2211b a a b +--取得最小值8. 25．如图，在四棱锥P ABCD -中， AP ， AB ， AD 两两垂直， //BC AD ，且4AP AB AD ===， 2BC =.（1）求二面角P CD A --的余弦值；（2）已知点H 为线段PC 上异于C 的点，且DC DH =，求PHPC的值. 【答案】（1）23（2）13λ=【解析】试题分析：（1）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解得各面法向量，利用向量数量积求向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系求结果（2）设PH PC λ=，根据向量坐标表示距离，再根据距离相等解得λ，即为PH PC 的值. 试题解析：以{},,AB AD AP 为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -.则()0,0,0A ， ()4,0,0B ， ()4,2,0C ， ()0,4,0D ， ()0,0,4P （1）由题意可知， ()0,4,4DP =-， ()4,2,0DC =-.设平面PCD 的法向量为()1,,n x y z =，则110{ 0n DP n DC ⋅=⋅=即440{ 420y z x y -+=-=令1x =，则2y =， 2z =.所以()11,2,2n =.平面ACD 的法向量为()20,0,1n =，所以1212122cos ,3n n n n n n ⋅==， 所以二面角P CD A --的余弦值23.（2）由题意可知， ()4,2,4PC =-， ()4,2,0DC =-，设()4,2,4PH PC λλλλ==-，则DH DP PH =+= ()4,24,44λλλ--，因为DC DH =，所以()()()2224244420λλλ+-+-=化简得23410λλ-+=，所以1λ=或13λ=.又因为点H 异于点C ，所以13λ=. 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.26．（1）用数学归纳法证明：当*n N ∈时，cos cos2cos3cos x x x nx +++⋅⋅⋅+= 1sin 12122sin 2n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-（x R ∈，且2x k π≠， k Z ∈）； （2）求234sin 2sin3sin 4sin 6666ππππ++++ 20182018sin 6π⋅⋅⋅+的值. 【答案】（1）见解析（220152【解析】试题分析：（1）根据数学归纳法格式逐一证明，主要用到两角差正弦公式给以论证（2）先对等式两边分别求导，再取自变量为6π，即得所求的值 试题解析：（1）①当1n =时，等式右边1sin 112122sin 2x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=- 11sin 1sin 12212sin 2x x x ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= 1111sin cos cos sin sin cos cos sin 222212sin 2x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= cos x = =等式左边，等式成立.②假设当n k =时等式成立，即cos cos2cos3cos x x x kx +++⋅⋅⋅+ 1sin 12122sin 2k x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-. 那么，当1n k =+时，有()cos cos2cos3cos cos 1x x x kx k x +++⋅⋅⋅+++()1sin 12cos 1122sin 2k x k x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-++()()11sin 12sin cos 1122122sin 2k x x x k x x ⎡⎤+-++⎢⎥⎣⎦=- ()()()111sin 1cos cos 1sin 2sin cos 11222122sin 2k x x k x x x k x x +-+++=- ()()11sin 1cos cos 1sin 122122sin 2k x x k x x x +++=- 1sin 112122sin 2k x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=- 这就是说，当1n k =+时等式也成立.根据①和②可知，对任何*n N ∈等式都成立.（2）由（2）可知， cos cos2cos3cos2018x x x x +++⋅⋅⋅+= 1sin 201812122sin 2x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-， 两边同时求导，得sin 2sin23sin32018sin2018x x x x ----⋅⋅⋅-21111112018cos 2018sin sin 2018cos 22222212sin 2x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭= 所以232018sin 2sin 3sin 2018sin 6666ππππ----⋅⋅⋅- 211112018cos 2018sin sin 2018cos 22612226122sin 12πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=20152= 所以2342018sin2sin 3sin 4sin 2018sin 66666πππππ++++⋅⋅⋅+20152=.。
南通市2021届高三第一次调研测试—解析
南通市2021届高三第一次调研测试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}26A x x =∈<<N ，{}2log (1)2B x x =-<，A B =A ．{}35x x ≤<B ．{}25x x <<C ．{}3,4D ．{}3,4,5【答案】C2．已知2i +是关于x 的方程250x ax ++=的根，则实数a = A ．2i - B ．4-C ．212D ．4【答案】B3．哥隆尺是一种特殊的尺子.图1的哥隆尺可以一次性度量的长度为1,2,3,4,5,6.图2的哥隆尺不能一次性度量的长度为A ．11B ．13C ．15D ．17【答案】C4．医学家们为了揭示药物在人体呢吸收、排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述.在该模型中，人体内药物含量x （单位：mg ）与给药时间t （单位：h ）近似满足锤子数学函数关系式0(1e )kt k x k-=-，其中0,k k 分别称为给药速率和药物消除速率（单位：mg/h ）.经测试发现，当23t =时，02k x k=，则该药物的消除速率k 的值约为(ln 20.69)≈A ．3100B ．310C ．103D ．1003【答案】A5．(12)n x -的二项展开式中，奇数项的系数和为 A ．2nB ．12n -C ．(1)32n n-+D ．(1)32n n--【答案】C 6．函数sin 21xy x π=-的图象大致为【答案】D7．已知点P 是ABC ∆所在平面内一点，有下列四个等式： 甲：PA PB PC ++=0；乙：()()PA PA PB PC PA PB ⋅-=⋅-；丙：PA PB PC ==；丁：PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅.如果只有一个等式不成立，则该等式为 A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】B【解析】若甲成立，则P 是锤子数学ABC ∆的重心； 若乙成立，则AB AC ⊥； 若丙成立，则P 是ABC ∆外心； 若丁成立，则P 是ABC ∆垂心.甲丙丁至少有两个成立，不论哪两个成立，都可以得到P 是中心.ABC ∆是正三角形，另外一个也成立.∴只有乙不成立..故选：B.8．已知曲线ln y x =在11(,)A x y ，22(,)B x y 两点处的切线分别与曲线e x y =相切于33(,)C x y ，44(,)D x y ，则1234x x y y +的值为A ．1B ．2C ．52D ．174【答案】B【解析】依题意有()331131ln 11x x e x x x e ⎧=⎪⎨⎪-=-+⎩，且()442241ln 11x x e x x x e ⎧=⎪⎨⎪-=-+⎩得()()1112221ln 11ln 1x x x x x x -=+⎧⎪⎨-=+⎪⎩， 记()()1ln 1g x x x x =---，则()1ln 111111ln 1x x x g x x x xx ---⎛⎫⎛⎫=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以可知121x x =，得121x x =则1234121212x x y y x x x x +=+=，故选B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知,m n 是两条不重合的直线，,αβ是两个不重合锤子数学的平面，则 A ．若m α，n α，则mnB ．若m α，m β⊥，则αβ⊥C ．若αβ，m α⊥，n β⊥，则m nD ．若αβ⊥，m α，n β，则m n ⊥【答案】BC10．已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则A ．()f x 的最小正周期为πB ．将sin 2y x =的图象上所有点向右平移6π个单位长度，可得到()f x 的图象 C ．()f x 在,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增D ．点5,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心【答案】ACD11．若函数32,1,()1ln ,1x x m x f x x x x ⎧--++<=⎨+-≥⎩的值域为[2,)+∞，则A ．(3)(2)f f >B ．2m ≥C ．ln 212e f f ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．(1)log (1)log (2)m m m m ++>+【答案】ABD 【解析】()f x 在(,1)-∞，(1,)+∞，A 正确；()f x 的锤子数学值域为[2,)+∞，1122m ∴--++≥，2m ∴≥，B 正确；ln ()x g x x =，21ln ()0xg x x-'==，e x =， ()g x 在(0,e)，(e,)+∞，max 1()(e)e g x g ==，ln 2112e ∴<<，ln 212e f f ⎛⎫⎛⎫∴> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 错误； 1ln(2)ln(1)log (2)log (1)ln(1)ln m m m m m m m m++++-+=-+2ln ln(2)(ln(1))ln(1)ln m m m m m +-+=+22(ln ln(2))(ln(1))4ln(1)ln m m m m m ++-+<+2222(ln(2))(ln(21))04ln(1)ln m m m m m m +-++=<+1log (2)log (1)m m m m +∴+<+，D 正确；故选：ABD.12．冬末春初，乍暖还寒，人们容易感冒发热.若发生群体性发热，则会影响到人们的身体健康，干扰正常工作生产.某大型公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3℃，则称没有发生群体性发热.下列连续7天体温高于37.3℃人数的统计特征数中，能判定该公司没有发生群体性发热的为 A ．中位数为3，众数为2 B ．均值小于1，中位数为1 C ．均值为3，众数为4 D ．均值为2【答案】BD【解析】中位数为3，众数为2，则7天数据为1，2，2，3，4，5，6，不能判定，A 错误；中位数为1，7天,,,,,x y z a b c ，1x y z a b c ≤≤≤≤≤≤，17x y z a b c ++++++<，c y ∴<，可以判定B 正确； 均值为3，7天数据和为21.若7天数据锤子数学为0，1，2，3，4，4，7，不可判定，C 错误； 均值为222，则222222212345671(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)27x x x x x x x ⎡⎤-+-+-+-+-+-+-=⎣⎦ 222222123467(2)(2)(2)(2)(2)(2)14x x x x x x -+-+-+-+-+-= 其中不可能有6i x ≥，∴可以判定，D 正确. 故选：BD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．在正项等比数列{}n a 中，若35727a a a =，则931log i i a ==∑__________.【答案】914．已知双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，写出双曲线C 的一个标准方程：__________.【答案】2214yx -=15．“康威圆定理”是英国数学家约翰·康威引以为豪的研究成果之一.定理的内容是这样的：如图，ABC ∆的三条边长分别为BC a =，AC b =，AB c =.延长线段CA 至点1A ，使得1AA a =，以此类推得到点2121,,,A B B C 和2C ，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆.已知4a =，3b =，5c =，则由ABC ∆生成的康威圆的半径为__________.【解析】过圆心O 分别作,,AB AC BC 的高，锤子数学垂足分别为,,E D F 则E 为11A B 中点，OE 为ABC ∆内切圆半径.1OE =，26A E =，2OA ∴=【15题拓展】Conway Circle 半径I F ===其中ABC △的半周长2a b cp ++=，ABC △的内切圆半径2s r a b c ==++16．已知在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.过直线12O O 的平面截圆柱得到四边形ABCD ，其面积为8.若P 为圆柱底面圆弧CD 的中点，则平面PAB 与球O 的交线长为__________.【答案】5【解析】法一：由残缺美学拿出三角形P O O 21，则易知21tan =θ，51sin =θ，∴52512=⋅=OH 再拿出来：58)52()2(22=-=r πππ5104254022===r l . 法二：暴击法)0,0,2(P ，)22,2,0(-A ，)22,2,0(B ，)2,0,0(0 则5221|222|22=+-=d ，则58=r ，πππ5104254022===r l . 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知等差数列{}n a 满足1235n n a a n ++=+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S .若*n ∀∈N ，24nS λλ<-+（λ为偶数），求λ的值.【解析】（1）设等差数列首项为1a ，公差d等差数列}{n a ，∴d n a a n )1(1-+=5321+=++n a a n n ，∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=+112823221a a a a ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+++=++11)2(28)(21111d a d a d a a ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧==121d a ，∴1+=n a n .（2） 1+=n a n ，∴2111)2)(1(111+-+=++=+n n n n a a n n ∴数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前n 项和：14332211...111+++++=n n n a a a a a a a a S )2111(...)6151()5141()4131()3121(+-+++-+-+-+-=n n 2121+-=n *∈∀N n ，λλ42+-<n S ，∴*∈∀N n ，λλ421212+-<+-n∴2142≥+-λλ，01822≤+-λλ，∴21442144+≤≤-λ λ为偶数，∴2=λ.18．（12分）在①()()b a c b a c ac +--+=；②cos()sin()A B A B +=-；③tansin 2A BC +=这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求b 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在ABC ∆，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且a =，__________，__________？注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分. 【解析】选①②由22()()()b a c b a c b a c ac +--+⇒--=222122a cb ac +-⇒=，1cos 2B ∴=，3B π=.由cos()sin()2,2A B A B A B A B k k ππ+=-⇒++-=+∈Z或2,2A B A B k k ππ-=+++∈Z4A k ππ∴=+或,4B k k ππ=--∈Z ，4A π∴=.22a =sin sin a bb A B=⇒=故存在，b =.19．（12分）2019年4月，江苏省发布了高考综合改革实施方案，试行“312++”高考新模式.为调研新高考模式下，某校学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三年级800名学生的选科情况，部分数据如下表：（1）物理或历史与性别有关；（2）该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从该类学生中抽取5人，组成数学学习小组.一段时间后，从该小组中抽取3人汇报数学学习心得.记3人中男生人数为X ，求X 的分布列和数学期望()E X .附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++【解析】（1）2800(300150250100)16010.82855025040040011K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯ 故有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关. （2）抽取的男女比例为2:3，故抽取5人中男生2人，女生3人.X 的所有可能取值为0，1，233351(0)10C P X C ===，12233563(1)105C C P X C ⋅====， 2123353(2)10C C P X C ===X ∴的分布列如下：1()012105105E X ∴=⨯+⨯+⨯=. 20．（12分）如图，在正六边形ABCDEF 中，将ABF ∆沿直线BF 翻折至A BF '∆，使得平面A BF '⊥平面BCDEF ，O ，H 分别为BF 和A C '的中点. （1）证明：OH平面A EF '；（2）求平面A BC '与平面A DE '所成锐二面角的余弦值.【解析】（1）证明：取A B '中点M ，连接OM ，MH ，OM A F '∴，MHBC又BC EF ，∴MH EF ，∴OM 平面A EF '，MH 平面A EF ',OM MH ⊂平面MOH ，OMMH M =，∴平面MOH平面A EF '∴OH平面A EF '（2）平面A BF '⊥平面BCDEF ，平面A BF'平面BCDEF BF =A O BF '⊥，A O '∴⊥平面BCDEF ，又DO BF ⊥如图锤子数学建立空间直角坐标系，设2BC =，1,3A O OD '∴==(0,0,1)A '∴，B，C ，(0,3,0)D，(E(3,0,1)A B '=-，(0,2,0)BC =，(0,3,1)A D'=-，(1,0)DE =--设平面A BC '，平面A DE '的法向量分别为1111(,,)n x y z =，2222(,,)n xy z =11111100200n A B z n y n BC ⎧'⋅=-=⎪∴⇒⇒=⎨=⋅=⎪⎪⎩⎩2222222300(00y z n A D n y n DE ⎧-='⎧⋅=⎪⎪⇒⇒=-⎨⎨-=⋅=⎪⎪⎩⎩ 设平面A BC '与平面A DE '所成角为θ，12,n n 所成角为ϕ1212cos cos 312n n n n θϕ⋅∴====⨯⋅. 21．（12分）已知函数22ln ()xf x x a x=--. （1）若()0f x≥，求实数a 的取值范围；（2）若函数()f x 有两个零点12,x x ，证明：121x x <. 【解析】（1）2min 2ln ()0x f x a x x ⎛⎫≥⇒≤- ⎪⎝⎭令22ln ()xF x x x=-，32222ln 2(ln 1)()2x x x F x x x x -+-'=-= 令3()ln 1x x x ϕ=+-，显然()x ϕ在(0,)+∞上，注意到(1)0ϕ= 当01x <<时，()0x ϕ<，()0F x '<，()F x ；当1x >时，()0x ϕ>，()0F x '>，()Fxmin ()(1)1F x F ∴==，1a ∴≤，即锤子数学实数a 的取值范围为(,1]-∞（2）由（1）知()f x 在(0,1)上，(1,)+∞上要使()f x 有两个零点，则min ()(1)101f x f a a ==-<⇒> 此时1(0,1)x ∈，2(1,)x ∈+∞要证121x x <，只需证211x x <⇔证211()f x f x ⎛⎫<⎪⎝⎭，即证111()f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭令2212ln 1()()2ln x g x f x f x x x x x x ⎛⎫=-=--- ⎪⎝⎭ 1112ln x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭112ln x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭令1()2ln ,(0,1)h x x x x x=--∈ 222221221(1)()10x x x h x x x x x-+-'=+-==> ()h x ∴在(0,1)上，()(1)0h x h <=，1()0f x f x ⎛⎫∴-< ⎪⎝⎭，(0,1)x ∈111()f x f x ⎛⎫∴< ⎪⎝⎭，证毕！22．（12分）已知点,A B 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上，点A 在第一象限，O 为坐标原点，且OA AB ⊥.（1）若3a =1b =，直线OA 的方程为30x y -=，求直线OB 的斜率；（2）若OAB ∆是等腰三角形（点,,O A B 按顺时针排列），求ba的最大值.【解析】（1）3ABk =-，223321132x y x x y y ⎧=⎧=⎪⎪⎪⇒⎨⎨+=⎪⎪=⎩⎪⎩，31,22A ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭ AB 方程为3133522y x y x ⎛⎫=--+⇒=-+ ⎪⎝⎭2222353(53)3(23)(712)033y x x x x x x y =-+⎧⇒+-=⇒--=⎨+=⎩127B x ⇒= 121,77B ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，112OB k =-.（2）设直线OA 的方程为(0)y kx k =>，222222y kxb x a y a b=⎧⎨+=⎩ 222222A a k b a k b ⎛⎫∴++ 过A 作AM y ⊥轴于点M ，过B 作BN MA ⊥交其延长线于点NB ⎛⎫∴，B 在椭圆上 2222222222222222(1)(1)a b k a b k b a a b a k b a k b+-∴⋅+⋅=++ 22222222222222222(1)(1)1(12)(21)b k a k b k k a k k a k b a k b a k b+-+=⇒+++-+=+++ 222(2)(21)b k k a k ∴+=-22221,02b k k a k k-=>+，令21k m -=，只需考虑0m >的情形2222445651612b m m a m m m m m m ∴===≤+++⎛⎫++++ ⎪⎝⎭12b a -∴≤=.。
2021届江苏省南通市普通高中高三上学期期中学情检测数学试题及答案
绝密★启用前江苏省南通市普通高中2021届高三年级上学期期中学情调研检测数学试题注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，包含［单选题（1~8）多选题9~12，填空题（第13题～第16题，共80分）、解答题（第17～22题，共70分）。
本次考试时间120分钟，满分150分、考试结束后，请将答题卡交回。
2．答题前，请考生务必将自己的姓名、学校、班级、座位号、考试证号用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上相应的位置，并将考试证号用2B 铅笔正确填涂在答题卡的相应位置。
3．答题时请用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答。
在试卷或草稿纸上作答一律无效。
4．如有作图需要，可用2B 铅笔作图，并请加黑加粗，描写清楚。
一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分。
在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}21,2,A m =，{}1,B m =.若B A ⊆，则m =（ ）A. B. 2 C. 0或2 D. 1或22．设x R ∈，则2"log (2)1"x -<是"2"x >的（ ）条件.A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分又不必要3．已知41)75cos(=+α ，则=-)230cos(α （ ）．A ．43B ．45C ．58D ．784．把与直线l 垂直的向量称为直线l 的法向量。
设(,)e A B =是直线l 的一个方向向量，那么(,)n B A =- 就是直线l 的一个法向量。
借助直线的法向量,我们可以方便地计算点到直线的距离。
已知P 是直线l 外一点,n 是直线l 的一个法向量,在直线l 上任取一点Q ,那么PQ 在法向量n 上的投影向量为cos n PQ n θ⋅（）(θ为向量n 与PQ 的夹角）,其模就是点P 到直线l 的距离d ,即PQ nd n ⋅=。
2021届江苏省南通市通州区高三上学期9月第一次诊断测试数学试题(解析版)
2021届江苏省南通市通州区高三上学期9月第一次诊断测试数学试题一、单选题1．函数()f x =的定义域为（ ） A ．[1,3] B ．(1,3]C ．(,1)-∞D ．[3,)+∞【答案】B【解析】根据函数解析式求定义域即可. 【详解】由()f x 解析式知：3010x x -≥⎧⎨->⎩，解之得：13x <≤，故选：B 【点睛】本题考查了具体函数的定义域求法，属于简单题. 2．已知,,,a b c d R ∈，则下列命题正确的是（ ） A ．若,a N b n *>∈，则n n a b > B ．若,a b c d ><，则a c b d ->- C ．若,a b c d >>，则ac bd > D ．若a b >，则11a b< 【答案】B【解析】利用不等式的性质，结合特殊值法即可判断选项的正误. 【详解】A 选项，22(1)(2)-<-，故A 错误；B 选项，,a b c d ><有,a b c d >->-，即有a c b d ->-，故B 正确；C 选项，1,0,1,2a b c d ===-=-，ac bd <，故C 错误；D 选项，0a b >>时不等式不成立，故D 错误； 故选：B 【点睛】本题考查了不等关系的判断，结合不等式性质、特殊值法等知识的应用，属于简单题.3．集合M =8,,1y y x N y N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭的非空子集个数是（ ）A ．3B ．7C ．15D ．31【答案】C【解析】根据集合描述求集合，由集合中元素的个数即可求非空子集个数. 【详解】 由M =8,,1y y x N y N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭知：{1,2,4,8}M = ∴非空子集个数为：42115-=， 故选：C 【点睛】本题考查了集合中子集个数，利用已知集合求其元素的个数，进而确定非空子集的个数，属于简单题.4．已知131()2a -=，13log 2b =，121()3c =，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】D【解析】根据对数、指数的性质比较大小即可. 【详解】131()12a -=>，13log 20b =<，1210()13c <=<， ∴b c a <<， 故选：D 【点睛】本题考查了指数、对数比较大小，根据对应函数的性质结合边界值0、1比较大小，属于简单题.5．函数1()()cos f x x x x=-在其定义域上的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】利用函数的奇偶性，以及特殊点的函数值符号即可由排除法选出正确图象. 【详解】()11()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x-=-+-=--=-，所以函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，故排除选项A D 、， 因为当02x π<<时，(1)0f =，02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π，故在区间()0,2π与x 轴有两个交点，故 排除B 故选：C 【点睛】本题主要考查了根据函数的解析式选择正确的图象，属于中档题. 6．函数1()ln 2f x x x x=--的单调减区间为（ ） A ．(1,)+∞ B ．()0,1 C ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭和(1,)+∞ 【答案】A【解析】求出导函数，由'()01f x x <⇒>，从而可得答案.【详解】因为1()ln 2f x x x x=--， 所以()()2'2221121121()2,0x x x x f x x x x x x -+-++=-+==> 由'()01f x x <⇒>， 所以函数1()ln 2f x x x x=--的单调减区间为(1,)+∞，故选：A. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，解题的关键是熟练掌握求导公式，属于基础题.7．某种物体放在空气中冷却，如果原来的温度是1θ℃，空气的温度是0θ℃，那么min t 后物体的温度θ(单位：℃)满足：0.2010()teθθθθ-=+-.若将物体放在15℃的空气中从62℃分别冷却到45℃和30℃所用时间为1t ，2t ，则21t t -的值为(取207,2718ln e ==⋯．．)（ ）A ．72-B ．27-C ．72D ．27【答案】C【解析】根据题中所给函数模型，分别求出1t ，2t ，再由对数的运算，即可得出结果. 【详解】若物体放在15℃的空气中从62℃分别冷却到45℃， 则有10.24515(6215)t e-=+-，即10.23047t e -=，则10.24730t e=，解得1475ln 30t =； 若物体放在15℃的空气中从62℃分别冷却到30℃， 则有20.23015(6215)t e -=+-，即20.21547t e -=，则20.24715t e=，解得2475ln 15t =； 因此2147305ln 5ln 2 3.51647t t ⎛⎫-=⨯== ⎪⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题主要考查对数的运算，考查给定函数模型的应用，属于常考题型. 8．已知函数()ln ,,[1,2],af x x m n m n x =+∀∈≠时，都有(1)(1)0f m f n m n+-+>-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞ B ．(,1]-∞C ．(,2)-∞D ．(,2]-∞【答案】D【解析】[],1,2m n ∀∈且m n ≠，都有()()110f m f n m n+-+>-，等价于()()ln 11ag x x x =+++在[]1,2x ∈上单调递增，只需()'0g x ≥恒成立即可. 【详解】()()1ln 11af x x x +=+++， 令()()()1ln 11ag x f x x x =+=+++， [],1,2m n ∀∈且m n ≠，都有()()110f m f n m n+-+>-，()g x ∴在[]1,2x ∈上单调递增，即()()()2211'0111a x a g x x x x +-=-=≥+++恒成立， 即1a x ≤+，[]1,2,12x x ∈∴+≥，2a ∴≤，故选：D. 【点睛】本题主要考查函数单调性的定义，考查利用导数研究函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于中档题.二、多选题9．下列命题正确的是（ ）A ．“1a >”是“21a >”的充分不必要条件B ．“M N >”是“lgM lgN >”的必要不充分条件C ．命题“2,10x R x ∀∈+<”的否定是“x R ∃∈，使得210x +<”D ．设函数()f x 的导数为()'f x ，则“0()0f x '=”是“()f x 在0x x =处取得极值”的充要条件 【答案】AB【解析】根据定义法判断是否为充分、必要条件，由全称命题的否定是∀→∃，否定结论，即可知正确的选项. 【详解】A 选项中，211a a >⇒>，但211a a >⇒>或1a <-，故A 正确；B 选项中，当0M N >>时有lgM lgN >，而lgM lgN >必有0M N >>，故B 正确；C 选项中，否定命题为“x R ∃∈，使得210x +≥”，故C 错误；D 选项中，0()0f x '=不一定有()f x 在0x x =处取得极值，而()f x 在0x x =处取得极值则0()0f x '=，故D 错误； 故选：AB 【点睛】本题考查了充分、必要条件的判断以及含特称量词命题的否定，属于简单题. 10．设0a b >>，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．0a bb a-< B ．20201a b ->C ．2aba b<+D ．b a a b >【答案】BC【解析】对选项A ，利用做差法即可判断；对选项B ，利用指数函数的性质即可判断，对选项C ，利用基本不等式即可判断，对选项D ，利用赋值法即可判断. 【详解】对选项A ，22a b a b b a ab--=，因为0a b >>，所以22a b >，0ab >.所以0a bb a->，故A 错误. 对选项B ，因为a b >，所以0a b ->，即20201a b ->，故B 正确.对选项C ，因为0a b >>，所以(22aba b a b ab a b+>⇒+>⇒>+， 故C 正确.对选项D ，设4a =，3b =，满足0a b >>，此时3464b a ==，4381a b ==，不满足b a a b >，故D 错误. 故选：BC 【点睛】本题主要考查利用作差法，基本不等式法和赋值法比较大小，属于简单题. 11．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11+f x f x -=，则（ ） A ．函数()f x 的图象关于原点对称 B ．函数()f x 的图象关于直线1x =对称C ．函数()f x 是周期函数且对于任意x ∈R ，(2)()f x f x +=成立D ．当(0,1]x ∈时，()1x f x e =-，则函数()f x 在区间[]14,34()k k k Z ++∈上单调递减(其中e 为自然对数的底数) 【答案】ABD【解析】由函数()f x 是奇函数，可判断A ；由()()11+f x f x -=，可得函数()f x 的图象关于直线1x =对称，可判断B ；因为()()(2)1+1+f x f x f x +=≠⎡⎤⎣⎦，可判断C ；当(0,1]x ∈时，()1xf x e =-，由函数()f x 的奇偶性、单调性和周期性可判断D.【详解】定义在R 上的函数()f x 是奇函数，所以函数()f x 的图象关于原点对称，故A 正确； 因为函数()f x 满足()()11+f x f x -=，函数()f x 的图象关于直线1x =对称，故B 正确；因为()()()()(2)1+1+11+()f x f x f x f x f x f x +==-=-=-≠⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，()()()()()(4)1+3+13+(2)2+f x f x f x f x f x f x f x +==-=--=-=--=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以函数()f x 的周期为4，故C 不正确；当(0,1]x ∈时，()1xf x e =-，且()1xf x e =-在(0,1]x ∈上单调递增，因为函数()f x 是奇函数，所以函数()f x 在()10x ∈-，上单调递增， 又函数()f x 关于直线1x =对称，所以函数()f x 在()13x ∈，上单调递减，所以()()1>3f f ，又函数()f x 的周期为4，所以()()1+4>3+4f k f k ，所以函数()f x 在区间[]14,34()k k k Z ++∈上单调递减，故D 正确； 故选：ABD. 【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性、单调性、周期性，以及对称性，属于中档题. 12．已知函数4()nnf x x x =+(n 为正整数)，则下列判断正确的是（ ） A ．函数()f x 始终为奇函数B ．当n 为偶数时，函数()f x 的最小值为4C ．当n 为奇数时，函数()f x 的极小值为4D ．当1n =时，函数()y f x =的图象关于直线2y x =对称 【答案】BC【解析】由已知得()()4()nnf x x x -=-+-，分n 为偶数和n 为奇数得出函数()f x 的奇偶性，可判断A 和；当n 为偶数时，>0n x ，运用基本不等式可判断B ；当n 为奇数时，令n t x =，则>0,>0;0,0x t x t <<，构造函数4()g t t t=+，利用其单调性可判断C ；当1n =时，取函数4()f x x x=+上点()15P ，，求出点P 关于直线2y x =对称的对称点，代入可判断D . 【详解】因为函数4()nn f x x x=+(n 为正整数)，所以()()4()n n f x x x -=-+-， 当n 为偶数时，()()44()()nn nnf x x x f x x x -=-+=+=-，函数()f x 是偶函数； 当n 为奇数时，()4()nnf x x f x x-=-+=--，函数()f x 是奇函数，故A 不正确； 当n 为偶数时，>0n x，所以4()4n n f x x x =+≥=，当且仅当4n n x x =时， 即2>0n x =取等号，所以函数()f x 的最小值为4，故B 正确；当n 为奇数时，令n t x =，则>0,>0;0,0x t x t <<，函数()f x 化为4()g t t t=+， 而4()g t t t =+在()()22-∞-+∞，，，上单调递增，在()()2002-，，，上单调递递减， 所以4()g t t t =+在2t =时，取得极小值4(2)242g =+=，故C 正确；当1n =时，函数4()f x x x=+上点()15P ，，设点P 关于直线2y x =对称的对称点为()000P x y ，，则000051121+5+222y x x y -⎧=-⎪-⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，解得00175195x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即0171955P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，而将0171955P ⎛⎫⎪⎝⎭，代入4()f x x x=+不满足， 所以函数()y f x =的图象不关于直线2y x =对称，故D 不正确，故选：BC ． 【点睛】本题考查综合考查函数的奇偶性，单调性，对称性，以及函数的最值，属于较难题.三、填空题13．已知函数1,01()2(1),1x f x x x x ⎧<<⎪=⎨⎪-≥⎩，若()(1)f a f a =+，则实数a =___________.【答案】2【解析】根据分段函数各分支上的性质有011a a <<<+，结合解析式得12a a=即可求a . 【详解】∵()f x 在不同分支上是单调的， ∴()(1)f a f a =+有011a a <<<+，即12a a=，解之得：2a =，（舍去2a =-），故答案为：2【点睛】本题考查了利用分段函数各分支的性质，根据函数的等量关系，结合函数解析式求参数值，属于简单题.14．若()230,0s t st s t +=>>，则s t +的最小值是___________.【答案】5+【解析】利用“1”的代换，结合基本不等式求s t +的最小值. 【详解】 由题意知：231t s+=，∴2323()()555s t s t s t tst s +=++=++≥++，=时等号成立故答案为：5+【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，应用了“1”的代换转化目标式的形式，进而使用基本不等式，属于简单题.15．已知偶函数()f x (0)x ≠的导函数为()'f x ，()f e e =，当0x >时，()2()0xf x f x '->，则使21(1)(1)ef x x ->-成立的x 的取值范围是___________.(其中e 为自然对数的底数)【答案】(,1)(1,)e e -∞-⋃++∞；【解析】构造函数()()2f x g x x =，求导()()()''32xf x g xf x x -=，由已知分析出函数()g x 的奇偶性的单调性，可求得答案.【详解】令()()2f x g x x =，则()()()()()'''43222f x xf x xf x f x x x g x x--==， 因为当0x >时，()2()0xf x f x '->，所以当0x >时，()'>0g x ，()g x 单调递增，又()f x 是偶函数，所以()()()()()22f x f xg x x x g x --==-=，所以()g x 是偶函数， 而21(1)(1)ef x x ->-，所以()22(1)1(1)f e f x x e e ->=-，即()(1)g x g e ->，所以()(1)g x g e ->，又()g x 在()0+∞，单调递增，所以1x e ->，解得+1x e >或1x e <-， 故答案为：(,1)(1,)e e -∞-⋃++∞. 【点睛】本题考查构造函数求解抽象不等式，构造合适的函数是解决问题的关键，属于中档题. 16．在①AB A =，②A B ⋂≠∅，③R BC A ⊆这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数a 存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由.问题：已知集合{}20,,log (1)1,1x a A xx R B x x x R x -⎧⎫=<∈=-≤∈⎨⎬+⎩⎭∣∣，是否存在实数a ，使得___________？ 【答案】答案见解析【解析】求得集合[1,1)B =-，化简集合{()(1)0,}A xx a x x R =-+<∈∣，分1a >-，1a =-，1a <-三种情况讨论得到集合A ；再分别得若选择①，若选择②，若选择③时，实数a 的取值范围. 【详解】{}2log (1)1,R [1,1)B x x x =-≤∈=-∣，0,{()(1)0,}1x a A x x R x x a x x R x -⎧⎫=<∈=-+<∈⎨⎬+⎩⎭∣∣，当1a >-时，(1,)A a =-； 当1a =-时，A =∅； 当1a <-时，(,1)A a =- 若选择①AB A =，则A B ⊆，当1a >-时，要使(1,)[1,1)a -⊆-，则1a ≤，所以11a -<≤ 当1a =-时，A =∅，满足题意 当1a <-时，(,1)A a =-不满足题意 所以选择①，则实数a 的取值范围是[-1,1] 若选择②A B ⋂≠∅，当1a >-时，(1,),[1,1)A a B =-=-，满足题意； 当1a =-时，A =∅，不满足题意；当1a <-时，(,1),[1,1)A a B =-=-，不满足题意 所以选择②，则实数a 的取值范围是(1,)-+∞. 若选择③RB A ⊆，当1a >-时，(1,),(,1][,)RA a A a =-=-∞-⋃+∞，而[1,1)B =-，不满足题意当1a =-时，,R RA A =∅=，而[1,1)B =-，满足题意当1a <-时，(,1),(,][1,)RA a A a =-=-∞⋃-+∞，而[1,1)B =-，满足题意.所以选择③，则实数a 的取值范围是(,1]-∞-，综上得：若选择①，则实数a的取值范围是[-1,1]；若选择②，则实数a的取值范围是(1,)-+∞；若选择③，则实数a的取值范围是(,1]-∞-.【点睛】本题考查集合间的包含关系，集合间的运算，属于中档题.四、双空题17．校园内因改造施工，工人师傅用三角支架固定墙面(墙面与地面垂直)(如图)，现在一支架斜杆长为16dm，一端靠在墙上，另一端落在地面上，则该支架斜杆与其在墙面和地面上射影所围成三角形周长的最大值为___________dm；现为调整支架安全性，要求前述直角三角形周长为30dm，面积为230dm，则此时斜杆长度应设计为___________dm.【答案】16162+13.【解析】（1）由勾股定理有22256x y+=，结合基本不等式即可求周长最大值；（2）设斜杆长为a，它与地面的夹角为θ，根据题设列方程组并结合同角三角函数关系构造方程求值即可；【详解】（1）设其在墙面和地面上射影分别为x、y，则：周长16l x y=++，而22256x y+=，又222()x y x y+≤+，∴2216162()16(12)l x y x y=++≤+=，（2）设斜杆长为a，它与地面的夹角为θ，由题意有：22sin cos30sin cos sin2602a a aaaθθθθθ++=⎧⎪⎨==⎪⎩，∴21202sin cosaθθ=，而30sin cosaaθθ-+=，结合22sin cos1θθ+=，知：2230120()1a a a--=，解之得13a =，故答案为：16+13； 【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，应用勾股定理、同角三角函数关系列方程求直角三角形斜边长，属于中档题.五、解答题18．已知函数2()f x x ax b =++，,R a b ∈，关于x 的不等式()0f x <的解集为()2,3.（1）求a ，b 的值；（2）求函数()()2y f f x =-的所有零点之积. 【答案】（1）5a =-，6b =；（2）10.【解析】（1）根据不等式的解集得到方程20x ax b ++=的解为2和3，列出方程组求解，即可得出结果； （2）令()()20ff x -=，由（1）得到2[()]5()62f x f x -+=，求出()1f x =或()4f x =，由韦达定理，即可求出结果.【详解】（1）因为不等式()0f x <的解集为()2,3，即20x ax b ++<的解集为()2,3， 所以方程20x ax b ++=的解为2和3，所以24056a b a b ⎧->⎪-=⎨⎪=⎩，解得5a =-，6b =；（2）由（1）得2()56f x x x =-+，令()()20ff x -=，即2[()]5()62f x f x -+=，解得()1f x =或()4f x =，即2550x x -+=或2520x x -+=，2212(5)4550,(5)42170∆=--⨯=>∆=--⨯=>,方程2550x x -+=有两解，设为1x ，2x ，方程2520x x -+=有两解，设为3x ，4x ， 所以125x x =，342x x =，即函数()()2y f f x =-的所有零点之积为123410x x x x =. 【点睛】本题主要考查由一元二次不等式的解集求参数，考查求函数的零点之积，属于常考题型. 19．设函数()3221()(1)23,,3f x x k x k k x x R k R =+-+--∈∈. （1）若函数()f x 为奇函数，求函数()f x 在区间[]3,3﹣上的最值； （2）若函数()f x 在区间()0,2内不单调，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）最大值为163，最小值为163-；（2）(3,1)(1,3)--. 【解析】（1）由已知得()()f x f x -=对x R ∀∈成立，根据恒等式的思想可求得1k =，得到31()43f x x x =-，求导，分析导函数取得正负的区间，从而得函数的单调性，可求得函数的最值.（2）对函数求导得()22()2(1)23(3)(1)f x x k x k k x k x k '=+-+--=+-++，令()0f x '=，得3x k =-或1x k =--，由已知条件建立不等式可求得实数k 的取值范围. 【详解】（1）因为函数()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=对x R ∀∈成立， 即()()32232211(1)23(1)2333x k x k k x x k x k k x -+----=------对R x ∀∈成立，即22(1)0k x -=对x R ∀∈成立，所以1k =，此时31()43f x x x =-， 2()4(2)(2),[3,3]f x x x x x '=-=+-∈-，令()0f x '=，则2x =-或2x =，函数()f x 的极大值为16(2)3f -=，极小值为16(2)3f =-，而(3)3f -=，(3)3f =-. 所以函数()f x 在区间[-3,3]上的最大值为163，最小值为163-；（2）因为()3221()(1)233f x x k x k k x =+-+--，所以()22()2(1)23(3)(1)f x x k x k k x k x k '=+-+--=+-++，令()0f x '=，得3x k =-或1x k =--，因为函数()f x 在区间(0,2)内不单调，所以032k <-<或012k <--<，解得13k <<或31k -<<-.所以实数k 的取值范围为(3,1)(1,3)--.【点睛】本题考查利用导函数研究函数的单调性，极值，最值，属于中档题.20．经验表明，在室温25C ︒下，85C ︒开水冷至35︒C 到40C ︒(温水)饮用对身体更有益.某研究人员每隔1min 测量一次开水温度(如下表)，经过min x 后的温度为C y ︒.现给出以下2个函数模型：①25(,01,0)ay kx k R a x =+∈<<≥；②25(,01,0)xy ka k R a x =+∈<<≥，其中a 为温度衰减比例，计算公式为：11251()525i n i i y a i N y =--=∈-∑.开水温度变化（1）请选择一个恰当的函数模型描述,x y 之间的关系，并求出k ； （2）求a 值(a 保留0.01)；（3）在25C ︒室温下，85C ︒开水至少大约放置多长时间(单位：min ，保留整数)才能冷至到对身体有益温度？(参考数据：16.6140.92≈，21.5160.92≈) 【答案】（1）应该选择②，k 的值为60；（2）0.92；（3）17min .【解析】（1）应用表格数据代入所选模型确定是否合适，有矛盾的排除，选择合适的模型即可；（2）根据题设提供的公式计算求值；（3）由人体合适温度在35C ︒到40C ︒之间，结合（1）（2）所得模型列不等式求x 范围即可； 【详解】（1）若选择①25(,01,0)a y kx k R a x =+∈<<≥，把0x =代入得2585y =≠矛盾；若选择②25(,01,0)xy ka k R a x =+∈<<≥，把0,85x y ==代入，得60k =. ∴选择②25(,01,0)xy ka k R a x =+∈<<≥，其中k 的值为60.（2）5112511545046434052556054504643i i i y a y =--⎛⎫==++++ ⎪-⎝⎭∑0.92≈ （3）由（1）（2）知，x 、y 之间的关系为600.9225xy =⨯+，∵85C ︒开水冷至35C ︒到40C ︒ (温水)饮用对身体更有益， ∴35600.922540x ≤⨯+≤，有110.9264x ≤≤，即1460.92x ≤≤， 又16.621.5114,60.920.92≈≈，得16.621.5x ≤≤，∴在25C ︒室温下，85C ︒开水至少大约放置17min 才能冷至到对身体有益温度. 【点睛】本题考查了利用表格数据选择合适的数学模型，并确定模型中的参数值，进而应用模型计算预测值，属于中档题.21．已知函数()(2)ln 1f x x x x =-+-.（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线方程；（2）已知0x x =是函数()y f x =的极值点，若()()121212,,,f x f x x x x x R =≠∈，求证：1202x x x +>(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值). 【答案】（1）0y =；（2）证明见解析.【解析】（1）利用导数的几何意义求()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线方程即可；（2）利用导数研究()f x 有极值点01x =；结合已知条件构造()()(2),01h x f x f x x =--<<，应用导数研究其单调性及()()12f x f x =即可证122x x +>.【详解】（1）由()(2)ln 1f x x x x =-+-，有2()ln 1x f x x x'-=++∴()01f '=，而(1)0f =，可知曲线()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线方程为0y = （2）由（1）得22()ln 1ln 2x f x x x x x '-=++=+-，令2()ln 2,0g x x x x=+->， 则212()0g x x x'=+>在(0,)+∞上恒成立，即2()ln 2g x x x =+-在(0,)+∞上单调递增，而(1)0g =，知当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>，∴当函数()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，即()f x 在1x =处取得极大值.∵()()121212,,,f x f x x x x x R =≠∈，不妨设1201x x <<<， 令()()(2),01h x f x f x x =--<<，则22()()(2)ln 2ln(2)22h x f x f x x x x x'''=+-=+-+-+--4ln (2)4(2)x x x x =-+--因为01x <<，所以0(2)1x x <-<，即有4ln (2)0,40(2)x x x x -<-<-，∴()0h x '<，即函数()()(2)h x f x f x =--在(0,1)上单调递减，而(1)(1)(1)0h f f =-=，所以()(1)0h x h >=在(0,1)上恒成立，即()(2)f x f x >-在(0,1)上恒成立，有()()112f x f x >-在(0,1)上恒成立，又()()12f x f x =，所以()()212f x f x >-，因为1201x x <<<且121x ->，而函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，所以212x x >-，即122x x +>，而01x =，所以1202x x x +>得证. 【点睛】本题考查了由导数的几何意义求切线方程，利用导数研究函数的单调性，并结合已知条件构造函数并判断其单调性，进而证明不等式.22．已知函数1()x f x e ax -=+，()ln g x bx b x =-，其中e 为自然对数的底数，,a b ∈R . （1）讨论函数()f x 在(0,)+∞上的单调性；（2）当0a =时，()()f x xg x ≥对0x >恒成立，求实数b 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）(,1]-∞.【解析】（1）求得函数的导函数，将参数分为1a e ≥-、1a e<-讨论函数的单调区间；（2）[方法1]由不等式构造含参函数1()ln x h x bx b x xe -=-+，结合导数研究其在0x >上的单调区间，再由不等式恒成立为前提分类讨论参数b 并确定其范围；[方法2、3]利用导数研究函数不等式恒成立问题，结合参变分离，构造函数()g x 将问题转化为min ()b g x ≤，由()g x 的导数研究单调性得到最小值，进而求得b 的范围.【详解】（1）因为1()x f x e ax -=+，则1(),0x f x e a x '-=+>当1a e ≥-时，1()0f x e a -'>+≥，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增；当1a e<-时令1()0x f x e a '-=+>，得1ln()x a >+-，所以()f x 在)(ln()1,a -++∞上单调递增，令1()0x f x e a '-=+<，得1ln()x a <+-，所以()f x 在(0,ln()1)a -+上单调递减，综上，当1a e ≥-时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；当1a e<-时，函数()f x 在)(ln()1,a -++∞上单调递增，在(0,ln()1)a -+上单调递减；（2）当0a =时，()()f x xg x ≥对0x >恒成立12ln x e bx bx x -⇔≥-对0x >恒成立， 【方法1】1ln 0x bx e b x x--+≥对0 x >恒成立，令1()ln x h x bx b x x e -=-+则112(1)(1)(1)(),0x x b x x x b x h x x x x xe e --⎛⎫-- ⎪--⎝⎭'=+=>， 设1()x b e x x ϕ-=-，令12(1)()0x x x xe ϕ--'==，得1x =， ∴当1x >时，()0x ϕ'>，()ϕx 在(1,)+∞上单调递增；当01x <<时，()0x ϕ'<，()ϕx 在(0,1)上单调递减，所以()(1)1x b ϕϕ≥=-.①若10b -≥，即1b ≤，当1x >时，()0h x '>，所以函数()h x 在(1,)+∞上单调递增；当01x <<时，()0h x '<，所以函数()h x 在(0,1)上单调递减，所以()(1)10h x h b ≥=-≥成立. 即1b ≤时()()f x xg x ≥对0x >恒成立.②当10-<b ，即1b >时，(1)10h b =-<与()0h x ≥矛盾； 综上，实数b 的取值范围为(,1]-∞ 【方法2】1ln (ln )0x x b x x e ----≥对0x >恒成立，令()ln h x x x =-，由11()10x h x x x-'=-==得1x =，即当1x >时，()0h x '>，()h x 在(1,)+∞上单调递增，当01x <<时，()0h x '<，()h x 在(0,1)上单调递减，所以()(1)1h x h ≥=.令ln t x x =-，则1t ≥，则原问题等价于10t t e b --≥，对1t ≥恒成立，等价于1t b te -≤，对1t ≥恒成立，令1(),1t e p t t t -=≥，则12(1)()0t t p t e t--'=≥，所以()p t 在[1,)+∞上单调递增，所以min ()1p t =，所以，实数b 的取值范围为(,1]-∞. 【方法3】令()ln x x x ϕ=-，由1()10x xϕ'=-=得1x =，函数()ϕx 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，有()(1)1x ϕϕ≥=，所以ln 1x x -≥当且仅当1x =时取等号.令()1xp x e x =--，则由()10x p x e '=-=得0x =，函数()p x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，所以()(0)0p x p ≥=，所以1x e x ≥+当且仅当0x =时取等号.因为ln 1x x -≥，所以原条件等价于11ln (ln )ln x x xe e b x x x x x---≤=--对0x >恒成立，令1ln ()ln x xe g x x x --=-，因为1ln 1ln 1ln x x x e x x x ----+=-≥，当且仅当ln 10x x --=时取等号，即1x =时取等号，所以1ln ()(1)1ln x xg x g x xe --=≥=-，所以min ()1g x =，即1b ≤.综上，实数b 的取值范围为(,1]-∞ 【点睛】本题考查了应用分类讨论求含参函数的单调区间，第二问--方法一：应用导数研究函数单调区间、结合参数分类讨论求参数范围；方法二、三：利用导函数研究函数不等式恒成立问题：应用参变分离法将问题转化为min ()b g x ≤，由导数得到函数的最值，进而求参数范围.。
江苏省南通市如东县2021届高三上学期期中调研考试 数学答案
x04 4
12
3x04 48x02 144
0，
因为 0 x02 8 4 7 ，故此解符合题意．
………………12 分
22. （1）函数 f x 的定义域为 0, ，且 f x 2x 2 ln x 2 ，令 h x f x ，
则有 h x 2 x 1 ，由 h x 0 可得 x 1，如下表：
h 2
,
h 2
，
所以点
P
在圆
N
:
x
120
h 2 2
y
h 2 2
h2 2
,x
120
上，
而点 P 又在圆 M : x2 ( y 60)2 3600 上，
所以 60 2 h 2
120
h 2
2
h 2
60
2
60
2h， 2
………………9 分
解得 240(3 2) h 240(3 2) .
因为 PC 平面 PAC ，所以 BD PC ．
因为 BD / / 平面 AMHN ， BD 平面 PBD ，
且平面 AMHN 平面 PBD MN ，
所以 BD / /MN ，所以 MN PC ．
………………4 分
（2）由（1）知 BD AC 且 PO BD ，因为 PA PC ，且 O 为 AC
2021 届高三期中学情检测
数学参考答案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。 1~8CADACDBA 9．ABD 10．BD 11．ABD
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
12．BD
13． y 2x
14．
8 27
，4 9
2021届江苏省南通市如皋市高三上学期10月第一次教学质量调研数学试题解析
2021届江苏省南通市如皋市高三上学期10月第一次教学质量调研数学试题一、单选题1．已知复数z 满足()12i z i +=，其中i 为虚数单位，则复数z 的模为（）A B ．2C ．1D答案：D解题思路：根据复数的乘除运算可得1z i =+，再利用复数模的运算即可求解. 解： 由()()()()21211111i i i z i i i i i i -===-=+++-，所以z ==故选：D 点评：本题考查了复数的乘除运算、复数模的求法，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 2．已知集合(){}ln 2A x y x ==-，{}2,xB y y x A ==∈，则AB =（）A ．(),2-∞B ．(),4-∞C ．()0,2D ．()0,4答案：C解题思路：化简集合,A B ，再进行交集运算； 解：(){}{}ln 22A x y x x x ==-=<，{}{}{}2,0404x B y y x A y y x x ==∈=<<=<<， ∴()0,2A B =，故选：C. 点评：本题考查交集的运算，考查运算求解能力，属于基础题. 3．已知α、β、γ是三个不同的平面，且m αγ=，n βγ=，则“//m n ”是“//αβ”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：B解题思路：根据几何模型与面面平行的性质定理，结合充分条件和必要条件的定义可判断出“//m n ”是“//αβ”的必要而不充分条件. 解：如下图所示，将平面α、β、γ视为三棱柱的三个侧面，设a αβ⋂=，将a 、m 、n 视为三棱柱三条侧棱所在直线，则“//m n ”⇒“//αβ”；另一方面，若//αβ，且m αγ=，n βγ=，由面面平行的性质定理可得出//m n .所以，“//αβ”⇒“//m n ”，因此，“//m n ”是“//αβ”的必要而不充分条件. 故选：B. 点评：本题考查必要不充分条件的判断，同时也考查了空间中平行关系的判断，考查推理能力，属于中等题.4．函数()()sin e exxf x -=+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．答案：A解题思路：根据奇偶性，可排除BC ，由()0sin 20f =>，可排除D ，从而可选出答案. 解：函数()f x 的定义域为R ，且()()()sin ee xx f x f x --=+=，故函数()f x 为R 上的偶函数，其图象关于y 轴对称，可排除BC ；()()000sin e e sin 2f =+=，因为()20,π∈，所以()0sin 20f =>，可排除D ，只有A 选项符合题意. 故选：A. 点评：本题考查函数图象的识别，注意利用函数的奇偶性、特殊值，考查学生的推理能力，属于基础题.5．《九章算术》是我国古代的一本数学名著.全书为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题.在第六章“均输”中有这样一道题目：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为：“现有五个人分5钱，每人所得成等差数列，且较多的两份之和等于较少的三份之和，问五人各得多少？”在此题中，任意两人所得的最大差值为多少？（） A ．13B ．23C ．16D ．56答案：B解题思路：设每人分到的钱数构成的等差数列为{}n a ，公差0d >，由题意可得，12345a a a a a ++=+，55S =，结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解．解：解：设每人分到的钱数构成的等差数列为{}n a ，公差0d >， 由题意可得，12345a a a a a ++=+，55S =， 故113327a d a d +=+，15105a d +=， 解可得，123a =，16d =， 故任意两人所得的最大差值243d =． 故选：B ． 点评：本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式在实际问题中的应用，属于基础题．6．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥面ABC ，ABC 是边长为2的正三角形，且PA =则二面角P BC A --的大小为（）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．无法确定答案：B解题思路：取BC 的中点D ，连接PD 、AD ，由二面角的定义可得PDA ∠即为二面角P BC A --的平面角，即可得解. 解：取BC 的中点D ，连接PD 、AD ，如图，因为PA ⊥平面ABC ，ABC 是边长为2的正三角形，所以PA AB ⊥，PA AC ⊥，PA BC ⊥，PA AD ⊥，AD BC ⊥， 所以PB PC =，PD BC ⊥，所以PDA ∠即为二面角P BC A --的平面角， 又3AD PA ==，所以45PDA ∠=，所以二面角P BC A --的大小为45︒. 故选：B. 点评：本题考查了二面角的求解，考查了运算求解能力与空间思维能力，属于基础题.7．在平面直角坐标系xOy 中，点F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点，A 为椭圆的上顶点，过点A 作垂直于AF 的直线分别与x 轴正半轴和椭圆交于点M ，N ，若3AM MN =，则椭圆C 的离心率e 的值为（）A ．22B ．512C ．12D ．13答案：A解题思路：设出直线AN 的方程与椭圆联立求出点N 的坐标，再根据向量关系可得13N A y y =-，从而求得离心率；解：:AFb l y x bc =+，∴2:AM b bl y x b cc x y b c =-+⇒=-+，代入22221x y a b+=得：4222562222222222220b b b b b b y a y a b a y y a b c c c c c ⎛⎫⎛⎫⋅-++=⇒+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，5222A N N kb y y b y ac b+==++， 3AM MN =，33A N N by y y ∴=-⇒=-，245422242233b b b ac b a c b ∴=⇒=++， ∴4222b a c =⇒()22222b ac a c ac =⇒-=，22220e e e ∴+-=⇒=， 故选：A.点评：本题考查椭圆离心率的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，计算量较大.8．已知全集{},12020U x N x n n =∈=≤≤，若集合A U ⊆，B U ⊆，AB =∅，A ，B 的元素个数相同，且对任意的n A ∈，2n B ∈，则A B 的元素个数最多为（）A ．20B ．18C ．16D ．以上结果都不正确 答案：C解题思路：列举出符合条件的A ，B 的元素，利用A ，B 的元素个数相同，只需让A ，B 都取最大元素个数，即可得到A B 的元素个数的最大值.解：{},12020,,U x N x n n A U B U =∈=≤≤⊆⊆， ,2n n B A ∈∈，1n U ∴=∈时，122U =∈，即1,2B A ∈∈，同理可得，2,4B A ∈∈，3,8B A ∈∈， 416,B A ∈∈， 532,B A ∈∈， 664,B A ∈∈， 1287,B A ∈∈， 2568,B A ∈∈， 5129,B A ∈∈， 1010,24A B ∈∈，A B =∅，A ，B 的元素个数相同，∴若A B 的元素个数最多，则{}1,3,4,5,6,7,9,10A =，共8个元素，{}2,8,16,32,64,128,512,1024B =，共8个元素，A B ∴⋃的元素个数为8816，故选：C. 点评：本题主要考查集合与元素的关系，考查集合的交集、并集的运算，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于中档题. 二、多选题9．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，且双曲线C 的左焦点在直线0x y ++=上，A ，B 分别是双曲线C 的左，右顶点，点P 是双曲线C 的右支上位于第一象限的动点，记PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则下列说法正确的是（）A ．双曲线C 的渐近线方程为2y x =±B ．双曲线C 的方程为2214x y -=C ．12k k 为定值14D ．存在点P ，使得121k k +=答案：BC 解题思路：解：因为双曲线C 的左焦点(,0)c -在直线0x y +=上，所以c =又离心率为c e a ==， 所以2a =，故2221b c a =-=，所以双曲线方程为2214x y -=，故双曲线的渐近线方程为20x y ±=，故A 错误；B 正确； 由题意可得(2,0),(2,0)A B -，设P(m,n)，可得2214m n -=，即有22144n m =-，所以212212244n n n k k m m m =⋅==+--，故C 正确；因为点P 是双曲线C 的右支上位于第一象限的动点， 所以120,0k k >>，则121212k k +≥=⨯=，当且仅当12k k =时，等号成立，由A ，B 为左右顶点，可得12k k ≠， 所以121k k +>，故D 错误. 故选：BC 点评：本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单几何性质，直线的斜率，属于中档题. 10．已知等比数列{}n a 的公比0q <，等差数列{}n b 的首项10b >，若99a b >，且1010a b >，则下列结论一定正确的是（）A ．9100a a <B ．910a a >C ．100b >D ．910b b >答案：AD解题思路：根据等差、等比数列的性质依次判断选项即可. 解：对选项A ，因为0q <，所以29109990a a a a q a q =⋅=<，故A 正确； 对选项B ，因为9100a a <，所以91000a a >⎧⎨<⎩或9100a a <⎧⎨>⎩，即910a a >或910a a <，故B 错误；对选项C ，D ，因为910,a a 异号，99a b >，且1010a b >，所以910,b b 中至少有一个负数， 又因为10b >，所以0d <，910b b >，故C 错误，D 正确. 故选：AD 点评：本题主要考查等差、等比数列的综合应用，考查学生分析问题的能力，属于中档题. 11．设α，β是两个相交平面，则下列说法正确的是（）A ．若直线m α⊥，则在平面β内一定存在无数条直线与直线m 垂直B ．若直线m α⊥，则在平面β内一定不存在与直线m 平行的直线C ．若直线m α⊂，则在平面β内一定存在与直线m 垂直的直线D ．若直线m α⊂，则在平面β内一定不存在与直线m 平行的直线 答案：AC解题思路：利用线面垂直的性质定理对四个命题分别分析解答. 解：对于A,若直线m α⊥,则直线m 垂直于平面α内的所有直线,则在平面β内,一定存在无数条直线与直线m 垂直.故A 正确;对于B,若直线m α⊥,如果α，β互相垂直,则在平面β内,存在与直线m 平行的直线.故B 错误;对于C,若直线m α⊂,则在平面β内,一定存在与直线m 垂直的直线.故C 正确; 对于D,若直线m α⊂,则在平面β内,存在与直线m 平行的直线.故D 错误. 故选:AC. 点评：本题考查了线面垂直的性质定理的运用判断直线的位置关系;关键是熟练运用定理,全面考虑.12．关于函数()e cos xf x a x =-，()π,πx ∈-下列说法正确的是（）A ．当1a =时，()f x 在0x =处的切线方程为y x =B ．若函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，则0a =C ．对任意0a >，()0f x ≥恒成立D ．当1a =时，()f x 在()π,π-上恰有2个零点 答案：ABD解题思路：直接逐一验证选项，利用导数的几何意义求切线方程，即可判断A 选项；利用分离参数法，构造新函数和利用导数研究函数的单调性和极值、最值，即可判断BC 选项；通过构造新函数，转化为两函数的交点个数来解决零点个数问题，即可判断D 选项. 解：解：对于A ，当1a =时，()e cos xf x x =-，()π,πx ∈-，所以()00e cos00f =-=，故切点为（0，0），则()e sin xf x x '=+，所以()00e sin01f '=+=，故切线斜率为1，所以()f x 在0x =处的切线方程为：()010y x -=⨯-，即y x =，故A 正确； 对于B ，()e cos xf x a x =-，()π,πx ∈-，则()e sin xf x a x '=+，若函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，即()0f x '=在()π,π-上恰有一个解，令()0f x '=，即e sin 0x a x +=在()π,π-上恰有一个解，则sin xxa e-=在()π,π-上恰有一个解， 即y a =与()sin xxg x e -=的图象在()π,π-上恰有一个交点，()sin cos xx xg x e -'=，()π,πx ∈-，令()0g x '=，解得：134x π=-，24x π=， 当3,,44x ππππ⎛⎫⎛⎫∈--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0g x '>，当3,44x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0g x '<， ()g x ∴在3,4ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，在443,ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以极大值为3423204g e ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，极小值为42204g e ππ-⎛⎫=< ⎪⎝⎭， 而()()()0,0,00g g g ππ-===， 作出()sinx g x e-=，()π,πx ∈-的大致图象，如下：由图可知，当0a =时，y a =与()sinxg x e -=的图象在()π,π-上恰有一个交点， 即函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，则0a =，故B 正确；对于C ，要使得()0f x ≥恒成立，即在()π,πx ∈-上，()e cos 0xf x a x =-≥恒成立，即在()π,πx ∈-上，cos x xa e ≥恒成立，即maxcos x x a e ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，设()cos x x h x e =，()π,πx ∈-，则()sin cos xx xh x e--'=，()π,πx ∈-， 令()0h x '=，解得：14x π=-，234x π=， 当3,,44x ππππ⎛⎫⎛⎫∈--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0h x '>，当3,44x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0h x '<， ()h x ∴在,4ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递增，在3,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在3,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以极大值为4204h e ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，()()11,h h e e ππππ--==，所以()cos x xh x e =在()π,πx ∈-上的最大值为4204h e ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭， 所以42a e π-≥时，在()π,πx ∈-上，()e cos 0xf x a x =-≥恒成立，即当42a e π-≥时，()0f x ≥才恒成立，所以对任意0a >，()0f x ≥不恒成立，故C 不正确； 对于D ，当1a =时，()e cos xf x x =-，()π,πx ∈-，令()0f x =，则()e cos 0xf x x =-=，即e cos x x =，作出函数xy e =和cos y x =的图象，可知在()π,πx ∈-内，两个图象恰有两个交点，则()f x 在()π,π-上恰有2个零点，故D 正确.故选：ABD. 点评：本题考查函数和导数的综合应用，考查利用导数的几何意义求切线方程，考查分离参数法的应用和构造新函数，以及利用导数研究函数的单调性、极值最值、零点等，考查化简运算能力和数形结合思想. 三、填空题13．命题p ：“0x ∀>，20x >”的否定p ⌝：__________． 答案：0x ∃>，20x ≤解题思路：利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可． 解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p “0x ∀>，20x >”的否定p ⌝为：0x ∃>，20x ≤. 故答案为：0x ∃>，20x ≤. 点评：本题考查全称命题的否定，考查全称命题与特称命题的关系，属于基本知识的考查. 14．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校欲利用每周的社团活动课可设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”6门课程，每周开设一门，连续开设六周．若课程“乐”不排在第一周，课程“书”排在第三周或第四周，则所有可能的排法种数为__________． 答案：192解题思路：对“乐”课程进行讨论，一类排在第2，5，6周，一类排在3或4周，再利用排列数进行计算，即可得答案； 解：（1）当“乐”课程排在第2，5，6周时，114324144N A A A =⨯⨯=； （2）当“乐”课程排在第3或4周时，11421448N A A A =⨯⨯=，∴所有可能的排法种数为192.点评：本题考排列数计算，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意进行分类. 15．在梯形ABCD 中，//AD BC ，AB BC ⊥，222AD AB BC ===，将ABC 沿对角线AC 翻折到AMC ，连结MD ．当三棱锥M ACD -的体积最大时，该三棱锥的外接球的表面积为__________．答案：4π解题思路：将ABC 沿对角线AC 翻折到AMC ，当平面AMC ⊥平面ACD 时，三棱锥M ACD -的体积最大时，取AD 的中点F ，可证明F 为外接球的球心，进而可知半径12r AD =，求出外接球的表面积即可. 解：在梯形ABCD ，△ABC 为等腰直角三角形，2222112AC AB BC =+=+，在△ACD 中，45DAC ACB ︒∠=∠=, 由余弦定理2222cos CD AC AD AC AD DAC=+-⋅⋅∠，即22242222CD =+-=，则2CD AC ==，所以△ACD 为等腰直角三角形，90ACD ︒=∠.将ABC 沿对角线AC 翻折到AMC ，当平面AMC ⊥平面ACD 时，三棱锥M ACD -的体积最大时，取AC 的中点E ，AD 的中点F ，连结,ME EF ，则ME AC ⊥，因为ME ⊂平面MAC ，所以ME ⊥平面ACD ，因为//EF CD ，所以EF AC ⊥，又EF ⊂平面ACD ，所以EF ⊥平面MAC ， 过F 作//FK ME ，则FK ⊥平面ACD ，因为△MAC 的外接圆圆心为E ，EF ⊥平面MAC ，所以三棱锥的外接球球心在直线EF 上，因为△ACD 的外接圆圆心为F ，FK ⊥平面ACD ，所以三棱锥的外接球球心在直线FK 上，因为EFFK F =，所以外接球球心为F ，则外接球的半径为112r AD ==，外接球的表面积为24π4πr =. 故答案为：4π. 点评：本题考查外接球问题，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题. 四、双空题16．已知F 是抛物线()2:20C y px p =>的焦点，设点(),1A p ，点M 为抛物线C 上任意一点，且MA MF +的最小值为3，则p =__________，若线段AF 的垂直平分线交抛物线C 于P 、Q 两点，则四边形APFQ 的面积为__________ 答案：243解题思路：过A 作抛物线的准线的垂线交于M ，由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离可得，||||MA MF +的最小值为A 到准线的距离，由题意可得p 的值，进而求出A ，F 的坐标，求出线段AF 的中点D 的坐标，及AF 的斜率，进而求出线段AF 的中垂线的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，求出弦长||PQ ，及||AF 的长度，进而求出四边形APFQ 的面积．解：解：过A 作抛物线的准线的垂线交抛物线于M ， 交准线与于点，由抛物线的性质可得||||MF MN =，所以3||||||||||()22p pMA MF MA MN AN p +=+≥=--=，由题意可得：332p=，解得2p =， 所以抛物线的方程为：24x y =； 由抛物线的方程可得(1,2)A ，(0,1)F ，所以AF 的中点1(2D ，3)2，21110AF k -==-， 所以AF 的中垂线的方程为：31()22y x -=--， 即2y x =-+，设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，与抛物线联立224y x x y=-+⎧⎨=⎩，整理可得2480x x +-=，124x x +=-，128x x =-，所以弦||PQ =，||AF =所以11||||22APFQ S PQ AF =⋅=⋅；故答案为：2，点评：本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合，线段的中垂线的求法、弦长公式和对角线互相垂直的四边形的面积的求法，属于中档题． 五、解答题17．在①1a ，2a ，5a 成等比数列，且2n n T b -=；②242S S =，且1122n n T -⎛⎫=- ⎪⎝⎭这两个条件中任选一个填入下面的横线上并解答．已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，11a =，其前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若__________．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n Q ． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．答案：（1）条件性选择见解析，21n a n =-，112n n b -⎛⎫ ⎪⎝⎭=；（2）()2323nn Q n =-⨯+．解题思路：（1）若选①，根据1a ，2a ，5a 成等比数列，得到()()21114d d +=⋅+，解方程即可得到21n a n =-，再根据2n n T b -=，得到数列{}n b 是首项为1，公比为12的等比数列，即可得到112n n b -⎛⎫ ⎪⎝⎭=.（2）首先根据（1）得到()1212n nna nb -=-，再利用错位相加法求和即可. 解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠， 选①，因为1a ，2a ，5a 成等比数列，故1225a a a =，即()()21114d d +=⋅+，解得2d =或0d =（舍），所以21n a n =-．因为2n n T b -=，当1n =时，1112T b b -==，所以11b =. 当2n ≥时，()1122n n n n n b T T b b --=-=---，整理得：112n n b b -=，所以数列{}n b 是首项为1，公比为12的等比数列，故112n n b -⎛⎫ ⎪⎝⎭=． 选②．因为242S S =，故()2434112d d ⨯+=++，解得2d =或0d =（舍），， 所以21n a n =-．由1122n n T -⎛⎫=- ⎪⎝⎭可得，当1n =时，111b T ==，当2n ≥时，121111122222n n n n n n b T T ----⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=---=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，检验1n =时，011112b T ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以112n n b -⎛⎫ ⎪⎝⎭=.（2）由（1）可知，()112121212n n n n a n n b ---==-⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()0121123252212n n Q n -=⨯+⨯+⨯++-⨯…，()1232123252212n n Q n =⨯+⨯+⨯++-⨯…，所以()231222212nnn Q n -=++++--⨯…，即()()21212121212n n nQ n ---=+--⨯-，解得()2323nn Q n =-⨯+．点评：本题第一问考查等差等比的综合应用，同时考查了由前n 项和求通项公式，第二问考查了错位相减法求数列的和，属于中档题.18．如图，在六面体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC ，底面ABCD 是菱形，且1A D ⊥平面1AA C ．（1）求证：平面1AB C ⊥平面1A DB ； （2）求证：11//BB DD ．答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析.解题思路：（1）利用线面垂直的性质定理可得1A D AC ⊥，再由AC BD ⊥，根据线面垂直的判定定理可得AC ⊥平面1A DB ，再由面面垂直的判定定理即可证明.（2）由线面平行的判定定理可得1//AA 平面11BB C C ，根据线面平行的性质定理可得11//AA BB ，同理证出11//AA DD ，即证.解：（1）因为底面ABCD 是菱形， 所以AC BD ⊥．因为1A D ⊥平面1AA C ，AC ⊂平面1AA C ，所以1A D AC ⊥．又1A D BD D ⊥=，1A D ，BD ⊂平面1A DB ，所以AC ⊥平面1A DB ．又AC ⊂平面1AB C ，所以平面1AB C ⊥平面1A DB ．（2）因为11//AA CC ，1CC ⊂平面11BB C C ，1AA ⊄平面11BB C C ，所以1//AA 平面11BB C C ．又1AA ⊂平面11ABB A ，平面11ABB A ⊥平面111BB C C BB =，所以11//AA BB ．同理，11//AA DD ．所以11//BB DD ．点评：本题考查了面面垂直的判定定理、线面平行的性质定理，考查了逻辑推理能力，属于基础题.19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知等轴双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左顶点A ，过右焦点F 且垂直于x 轴的直线与E 交于B ，C 两点，若ABC 的面积为21+．（1）求双曲线E 的方程；（2）若直线:1l y kx =-与双曲线E 的左，右两支分别交于M ，N 两点，与双曲线E 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，求MNPQ 的取值范围．答案：（1）221x y -=；（2）(MNPQ∈． 解题思路：（1）依题意可得a b =，所以得到c =，根据ABC 的面积112BC AF ⨯⨯=，计算可得； （2）联立直线方程与曲线方程，消元、列出韦达定理，依题意得到210,0,0,M Nk x x ⎧-≠⎪∆>⎨⎪<⎩，从而求出参数k 的取值范围，利用弦长公式表示出MN ，PQ ，即可得到MN PQ的取值范围； 解：解：（1）因为双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>为等轴双曲线，所以a b =，设双曲线的焦距为2c ，0c >，故2222c a b a =+=，即c =．因为BC 过右焦点F ，且垂直于x 轴，将B x c ==代入22221x y a b-=，可得B y a =，故2BC a =．将ABC1，所以112BC AF ⨯⨯=，即()1212a a c ⨯⨯+=， 所以21a =，1a =，故双曲线E 的方程为221x y -=．（2）依题意，直线:1l y kx =-与双曲线E 的左，右两支分别交于M ，N 两点，联立方程组221,1,x y y kx ⎧-=⎨=-⎩消去y 可得，()221220k x kx -+-=，所以()()()222210,24120,20,1M N k k k x x k ⎧⎪-≠⎪⎪∆=--⨯->⎨⎪-⎪=<⎪-⎩解得11k -<<，且222,12.1M N M N k x x k x x k -⎧+=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩所以M N MN x ==-=== 联立方程组,1,y x y kx =⎧⎨=-⎩得11P x k =-，同理11Q x k =+，所以11P Q PQ x k =-==+．所以221MN PQ k ==-，其中11k -<<，所以(MNPQ∈． 点评：本题考查直线与双曲线的综合应用，弦长公式的应用，属于中档题. 20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2n n S a n =-，*N n ∈． （1）求证：数列{}1n a +为等比数列；（2）设11n n n n a b a a ++=，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求满足不等式3031n T ≥的最小正整数n 的值．答案：（1）证明见解析；（2）4.解题思路：（1）利用11n n n S S a ++-=，利用数列递推式，结合等比数列的定义，即可得出结论；（2）由（1）得，111112121n n n n n n a b a a +++==---，利用裂项相消法即可求得数列{}n b 的前n 项和为n T ，再求3031n T ≥，即可得出结果. 解：（1）因为2n n S a n =-，*n ∈N ， 故()1121n n S a n ++=-+，所以111221n n n n n S S a a a +++-==--，即121n n a a +=+， 所以()1121n n a a ++=+．又当1n =时，1121S a =-，11a =，1120a +=≠，故10n a +≠．所以1121n n a a ++=+为定值， 所以数列{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列．（2）由（1）可知，12nn a +=，21n n a =-．所以()()()()()()1111121211211212121212121n n n n n n n n n n n n n a b a a +++++---+====-------，1223111111111121212121212121n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为3031n T ≥， 即113012131n +-≥-， 解得4n ≥，*n ∈N ．所以满足不等式3031n T ≥的最小正整数n 的值为4． 点评：本题主要考查了等比数列的定义及裂项相消法求和，考查了解不等式.属于中档题.21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，焦距为2，且经过点21,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．若斜率为k 的直线l 与椭圆交于第一象限内的P ，Q 两点（点P 在Q 的左侧），且OP PQ ⊥．（1）求椭圆C 的方程；（2）若12//PF QF ，求实数k 的值．答案：（1）2212x y +=；（2）2-．解题思路：（1）由焦距求出c ，再由椭圆定义求出a ，即可求出b ，得出椭圆方程； （2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，直线:l y kx t =+，联立椭圆方程得()222214220kx ktx t +++-=，列出韦达定理，依题意OP PQ ⊥，可知直线PQ 的方程为1=-y x k ，联立直线l 得121kt x k -=+，同理得221221ktx k -=+，即可列出方程求出212t kt kt +=-，进而求出k .解：（1）设椭圆C 的焦距为()20c c >，则22c =，1c =，故()11,0F -，()21,0F ．设1,2M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以122a MF MF =+==故a =2221b a c =-=，1b =，所以椭圆C 的方程为2212x y +=．（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，直线:l y kx t =+，k 0<，0t >．联立方程组221,2,x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，得()222214220k x ktx t +++-=，所以()()()22212221224421220,4,2122,21kt k t kt x x k t x x k ⎧∆=-+⨯->⎪⎪-⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩，即221222122210,4,2122.21k t kt x x k t x x k ⎧⎪-+>⎪-⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩（） 依题意，OP PQ ⊥，故直线PQ 的方程为1=-y x k， 联立方程组1,,y x k y kx t ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩得121kt x k -=+．① 又12//PF QF ，设PQ 的中点为G ，则12////OG PF QF ．据（）可得，222,2121ktt G k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，故直线OG 的斜率为12k -， 所以直线2QF 的方程为()112y x k=--， 联立方程组()112y x k y kx t⎧=--⎪⎨⎪=+⎩解得221221kt x k -=+．② 将①②代入（）可得222222212412121122212121ktkt kt k k k kt kt t k k k ---⎧+=⎪⎪+++⎨---⎪⋅=⎪+++⎩， 化简得2221121t kt k k kt⎧+=+⎪⎨⎪+=-⎩，所以212t kt kt +=-， 又0t >，故32t k =-，代回上式，可得2312k k k ⎛⎫+=-⋅- ⎪⎝⎭， 又k 0<，解得k =t =22210k t -+>． 所以实数k的值为 点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，属于较难题.22．已知函数()()ln =-+xf x xe a x x ，0x >，若()f x 在0x x =处取得极小值．（1）求实数a 的取值范围； （2）若()00f x >，求证：()03002f x x x >-． 答案：（1）()0,∞+；（2）证明见解析. 解题思路：（1）求得()()()1x x xe a f x x+-'=，对实数a 的取值进行分类讨论，利用导数分析函数()y f x =在区间()0,∞+上的单调性，结合已知条件可得出实数a 的取值范围；（2）由极值点的定义可得出00x x ea =，由()00f x >可得出001x <<，构造函数()ln 1p x x x =-+可得出00ln 1x x <+，构造函数()1x q x e x =--可得出001x e x >+，进而可得出()()200021f x x x >-，即可证得结论成立.解：（1）依题意，()()ln =-+xf x xe a x x ，0x >，()()()1111x x x f x x e a xe a x x +⎛⎫'=+-+=⋅- ⎪⎝⎭．①当0a ≤时，则()0f x '>，函数()y f x =在()0,∞+上单调递增，函数()y f x =无极小值，所以0a ≤不符题意；②若0a >，令()xg x xe a =-，0x >，()()10xg x x e '=+>，故函数()y g x =在()0,∞+上单调递增，又()00g a =-<，()()10ag a a e =->，据零点存在性定理可知，存在()00,x a ∈，使得()00g x =，()00f x '=， 且当00x x <<时，()0g x <，()0f x '<，函数()y f x =在()00,x 上单调递减； 当0x x >时，()0g x >，()0f x '>，函数()y f x =在()0,x +∞上单调递增. 所以()f x 在0x x =处取得极小值，所以0a >符合题意． 综上所述，实数a 的取值范围是()0,∞+；（2）由（1）可知，当0a >时，存在()00,x a ∈，使得()00g x =，即00x x ea =．又()00f x >，即()0000ln 0xx e a x x -+>，所以()00001ln 0xx e x x -->．因为00x >，00x e >，所以001ln 0x x -->，即00ln 10x x +-<． 令()ln 1h x x x =+-，0x >，()110h x x'=+>， 故函数()y h x =在()0,∞+上单调递增，又()10h =，据()00h x <，可得001x <<． 令()ln 1p x x x =-+，01x <<，()110p x x'=->， 故函数()y p x =在()0,1上单调递增，所以()()10p x p <=，故ln 1x x <-，其中01x <<．令()1xq x e x =--，01x <<，()10xq x e '=->．故函数()y q x =在()0,1上单调递增，所以()()00q x q >=，故1x e x >+，其中01x <<． 所以()()()()()0200000000001ln 11121x f x x ex x x x x x x x =-->+---=-⎡⎤⎣⎦， 结合001x <<，可得()03002f x x x >-． 点评：本题考查利用函数存在极值点求参数的取值范围，同时也考查了利用导数证明函数不等式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.。
2021届江苏省南通市如东县普通高中高三上学期期中调研考试数学试题及答案
绝密★启用前江苏省南通市如东县普通高中2021届高三年级上学期期中教学质量调研数学试题2020年11月注意事项:1. 本试卷共150分,考试时间120分钟.2. 答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.一、 单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A ={1，2，m 2}，B ={1，m }.若B ⊆A ，则m 等于 ( )A. 0B. 2C. 0或2D. 1或22. 设x ∈R ，则“log 2(x -2)<1”是“x >2”的( )条件( ) A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要3. 已知cos(75°+α)=14，则cos(30°-2α)等于( )A. 34 B . 54 C . 58 D . 78 4. 把与直线l 垂直的向量称为直线l 的法向量.设e =(A ，B )是直线l 的一个方向向量，那么n =(-B ，A )就是直线l 的一个法向量.借助直线的法向量，我们可以方便地计算点到直线的距离.已知P 是直线l 外一点，n 是直线l 的一个法向量，在直线l 上任取一点Q ，那么PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 在法向量n 上的投影向量为(|PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos θ)·n |n|(θ为向量n 与PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角)，其模就是点P 到直线l 的距离d ，即d =|PQ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n||n|.据此，请解决下面的问题:已知点A (-4，0)，B (2，-1)，C (-1，3)，则点A 到直线BC 的距离是 ( )A. 215B. 7C. 275D. 85. 在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD =2，∠BAD =π3，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于 ( )A. 12B. 16C. 20D. 246. 已知函数f (x )=mx 2-(3-m )x +1，g (x )=mx ，若对于任意实数x ，f (x )与g (x )的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是 ( )A. (1，9)B. (3，+∞)C. (-∞，9)D. (0，9)7. 设点M (x 0，1)，若在圆O :x 2+y 2=1上存在点N ，使得∠OMN =45°，则x 0的取值范围是 ( )A. [0，1]B. [-1，1]C. ，D. ， 8. 若f (x )是定义域为(0，+∞)的单调函数，对任意的x ∈(0，+∞)，都有f (f (x )+lo g 13x )=4，且方程|f (x )-3|=a 在区间(0，3]上有两解，则实数a 的取值范围是 ( )A. {a |0<a ≤1}B. {a |a <1}C. {a |0<a <1}D. {a |a ≥1} 二、 多项选择题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有错选的得0分.9. 关于等差数列和等比数列，下列四个选项中不正确的是 ( )A. 若数列{a n }的前n 项和S n =an 2+bn +c (a ，b ，c 为常数)，则数列{a n }为等差数列B. 若数列{a n }的前n 项和S n =2n +1-2，则数列{a n }为等差数列C. 若数列{a n }是等差数列，S n 为前n 项和，则S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n ，…仍为等差数列D. 若数列{a n }是等比数列，S n 为前n 项和，则S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n ，…仍为等比数列。
江苏省南通市通州区2021届高三数学第一次调研抽测试题(含解析)
江苏省南通市通州区2021届高三数学第一次调研抽测试题（含解析）参考公式：锥体的体积公式13V Sh =锥体，其中S 为锥体的底面积，h 为高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置. 1.已知集合{1,1,2}A =-，{1,2,4}B =，则A B =________.【答案】{1,2} 【解析】 【分析】根据集合交集的概念，可直接得出结果. 【详解】因为{1,1,2}A =-，{1,2,4}B =， 所以{1,2}AB =.故答案为{1,2}【点睛】本题主要考查集合的交集运算，熟记概念即可，属于基础题型.2.设i 为虚数单位，则复数3(1)i +的实部为________. 【答案】-2 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算，化简3(1)i +，即可得出结果. 【详解】因为32(1)((1)2(1)221)=++=+-++=i i i i i i ，所以其实部为2-. 故答案为2-【点睛】本题主要考查复数的运算，熟记复数的乘法运算法则即可，属于常考题型.3.某校共有学生2400人，其中高三年级600人.为了解各年级学生兴趣爱好情况，用分层抽样的方法从全校学生中抽取容量为100的样本，则高三年级应抽取的学生人数为_______. 【答案】25 【解析】【分析】先由题意确定抽样比，进而可得出结果.【详解】由题意，从全校2400人中抽取100人，抽样比为1001 240024=，又高三年级共有600人，所以高三年级应抽取的学生人数为1 6002524⨯=.故答案为25【点睛】本题主要考查分层抽样各层样本数的问题，熟记分层抽样的概念，会求抽样比即可，属于常考题型.4.若从甲乙丙丁4位同学中选出3位同学参加某个活动，则甲被选中的概率为__________．【答案】3 4【解析】分析：先确定4位同学中选出3位同学事件数，再确定甲被选中事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.详解：因为4位同学中选出3位同学共有344C=种，甲被选中事件数有233C=,所以甲被选中的概率为34.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.5.在如图所示的算法流程图中，若输出的y的值为-2，则输入的x的值为_______.【答案】14【解析】 【分析】先由程序框图，得到该算法流程图表示求分段函数222,1log ,1x x y x x ⎧->=⎨≤⎩的函数值，由输出的y 值为2-，分类讨论，即可求出结果.【详解】由题意可得，程序框图表示求分段函数222,1log ,1x x y x x ⎧->=⎨≤⎩的函数值；因为输出的y 的值为2-，当1x ≤时，有2log 2x =-，所以14x =，满足题意； 当1x >时，有222x -=-，所以0x =，不满足题意； 所以输入的x 的值为14. 故答案为14【点睛】本题主要考查条件结构的流程图，会分析流程图的作用即可，属于常考题型.6.已知双曲线2221(0)x y a a-=>的焦距为4.则a 的值为________.3【解析】 【分析】根据双曲线方程，得到焦距为2==c ，求解，即可得出结果.【详解】因为双曲线2221(0)x y a a-=>的焦距为4，所以24===c，解得a =【点睛】本题主要考查由双曲线的焦距求参数的问题，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.7.不等式23122x x --<的解集为_______. 【答案】(﹣1，2) 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性求解即可【详解】由题23122xx --<则2311222x x ---<=，故23112x x x --<-⇒-<< 故填(﹣1，2)【点睛】本题考查指数函数的单调性及指数运算，是基础题8.设A ，B 分别为椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的右顶点和上顶点，已知椭圆C 过点P(2，1)，当线段AB 长最小时椭圆C 的离心率为_______.【答案】2【解析】 【分析】先由题意得到(,0)A a ，(0,)B b ，再由椭圆过点(2,1)P ，得到22411a b +=，由基本不等式，确定AB =取最小值时的条件，进而可得出结果.【详解】因为A ，B 分别为椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的右顶点和上顶点，所以(,0)A a ，(0,)B b ， 又椭圆C 过点(2,1)P ， 所以22411a b +=，所以3===≥=AB ，当且仅当22224a b b a=，即222a b =时，取等号，此时222a c =，所以离心率为2===c e a .故答案为2【点睛】本题主要考查椭圆的离心率，熟记椭圆的简单性质，以及基本不等式的应用即可，属于常考题型.9.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若21a =，3680a a +=，则5S 的值为______. 【答案】112- 【解析】 【分析】先设等比数列的公比为q ，由题中条件，列出方程组，求出首项与公比，再由求和公式，即可得出结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意可得212536111880a a q a a a q a q ==⎧⎨+=+=⎩，即13180a q q =⎧⎨+=⎩， 解得1122a q ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，因此5151(132)(1)1121122-+-===--+a q S q .故答案为112-【点睛】本题主要考查等比数列前n 项和基本量的运算，熟记通项公式与求和公式即可，属于常考题型.10.将函数()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ个单位，得到函数y g x =（）的图象.则“34πϕ=”是“函数()g x 为偶函数”的________条件，（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”中选填一个） 【答案】充分不必要 【解析】 【分析】先由题意得到sin 4（）=πϕ⎛⎫+- ⎪⎝⎭gx x ，结合充分条件与必要条件的概念，即可得出结果. 【详解】由题意，将函数()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ个单位，可得sin 4（）=πϕ⎛⎫+- ⎪⎝⎭gx x 的图像， 当34πϕ=时，可得3sin sin cos 442（）=πππ⎛⎫⎛⎫+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g x x x x ，显然()g x 为偶函数，所以“34πϕ=”是“函数()g x 为偶函数”的充分条件； 若函数()g x 为偶函数，则,42ππϕπ-=+∈k k Z ，即,4πϕπ=--∈k k Z ，不能推出34πϕ=， 所以“34πϕ=”不是“函数()g x 为偶函数”的必要条件， 因此“34πϕ=”是“函数()g x 为偶函数”的充分不必要条件.故答案为：充分不必要【点睛】本题主要考查命题的充分不必要条件的判定，熟记充分条件与必要条件的概念即可，属于常考题型.11.已知函数()()xf x ax b e =+，若曲线y f x =（）在点(0,(0))f 处的切线方程为310x y -+=，则(1)f 的值为_______.【答案】3e 【解析】 【分析】先对函数求导，得到(0)'=+f a b ，再由曲线y f x =（）在点(0,(0))f 处的切线方程为310x y -+=，列出方程组，求出函数解析式，从而可得出结果.【详解】因为()()xf x ax b e =+，所以((()))++=++'=x x x ax b f x ae a e x b e a ，则(0)'=+f a b ，又曲线y f x =（）在点(0,(0))f 处的切线方程为310x y -+=，当0x =时，1y =，即(0)1f =，所以有31a b b +=⎧⎨=⎩，解得2,1a b ==.因此()(21)xf x x e =+，所以(1)3f e =.故答案为3e【点睛】本题主要考查由曲线的切线方程求参数的问题，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型.12.设x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝4，则(4)(2)x y xy++的最小值为_________.【答案】9 【解析】 【分析】将分式展开，利用基本不等式求解即可【详解】(4)(2)82416161x y xy x y xy xy xy xy xy++++++===+又x ＋2y ＝422,xy ≥即2xy ≤，当且仅当2,1x y ==等号成立，故原式9≥ 故填9【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查等价变换思想与求解能力，注意等号成立条件13. 函数2()3f x x x k =--有两个零点，则k 的取值范围是_______. 【答案】()90,4⎧⎫-+∞⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】 先令2()3=-g x x x，作出其图像，根据函数2()3f x x x k =--有两个零点，得到2()3=-g x x x 的图像与直线y k =有两个交点，结合图像，即可得出结果.【详解】令2223,0()33,0x x x g x x x x x x ⎧-≥=-=⎨+<⎩，因为函数2()3f x x x k =--有两个零点， 所以2()3=-g x xx 的图像与直线y k =有两个交点，作出函数2()3=-g x x x 的图像如下：因为min 39()24⎛⎫=±=- ⎪⎝⎭g x g ， 由图像可得：min 9()4==-k g x 或0k >. 故答案为()90,4⎧⎫-+∞⎨⎬⎩⎭【点睛】本题主要考查由函数零点的个数求参数的问题，通常需要将函数零点个数转化为两函数图像交点个数来处理，结合函数图像即可求解，属于常考题型.14.在长方体1111ABCD A B C D -中，已知底面ABCD 为正方形，P 为11A D 的中点，1AD =，1AA 点Q 为正方形ABCD 所在平面内的一个动点，且满足QC =，则线段BQ的长度的最大值为 _______. 【答案】6 【解析】 【分析】先以D 点为坐标原点，分别以DA ，DC ，1DD 所在方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，由题意得到(0,2,0)C ，(1,P ，(2,2,0)B ，设(,,0)Q x y ，由QC =，得到22(2)(2)4-++=x y ，再由圆上的点与定点距离的问题，即可求出结果.【详解】以D 点为坐标原点，分别以DA ，DC ，1DD 所在方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，因为在长方体1111ABCD A B C D -中，已知底面ABCD 为正方形，P 为11A D 的中点，2AD =，1AA =所以(0,2,0)C ，(1,P ，(2,2,0)B ， 因为点Q 为正方形ABCD 所在平面内的一个动点， 设(,,0)Q x y ，因为QC =，=整理得：22(2)(2)4-++=x y即点Q 可看作圆22(2)(2)4-++=x y 上的点，又22(2)(2)=-+-BQ x y ，所以BQ 表示圆22(2)(2)4-++=x y 上的点与定点(2,2)之间的距离，因此22max (22)(22)426=-+--+=+=BQ r （其中r 表示圆22(2)(2)4-++=x y 的半径.） 故答案为6【点睛】本题主要考查立体几何中的最值问题，通常可用建系的方法求解，灵活运用转化与化归的思想即可，属于常考题型.二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是平行四边形，AC ，BD 相交于点O ，OP OC =，E 为PC 的中点，PA PD ⊥.（1）求证：//PA 平面BDE ； （2）求证：PA ⊥平面PCD 【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【解析】 【分析】（1）连结OE ，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立； （2）根据线面垂直的判定定理，即可直接证明结论成立. 【详解】（1）连结OE .因为四边形ABCD 是平行四边形，AC ，BD 相交于点O ， 所以O 为AC 的中点. 因为E 为PC的中点，所以//OE PA .因为OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ， 所以//PA 平面BDE .（2）因为OP OC =，E 为PC 的中点，所以OE PC ⊥. 由（1）知，//OE PA ，所以PA PC ⊥.因为PA PD ⊥，PC ， PD ⊂平面PCD ，PC PD P ⋂=， 所以PA ⊥平面PCD .【点睛】本题主要考查线面平行，线面垂直的判定，熟记判定定理即可，属于常考题型.16.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知向量sin ,16a A π⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，向量()1,cos b A =，且12a b ⋅=.（1）求角A 的大小；（2）若4b =，5c =，求sin 2B 的值. 【答案】（1）3A π=（2）7【解析】 【分析】（1）利用数量积的坐标运算，结合两角和差正弦公式和辅助角公式可求得1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，根据角的范围可确定3A π=；（2）利用余弦定理求得a ，根据正弦定理求得sin B ；由三角形大边对大角知道B 为锐角，从而求得cos B ；利用二倍角公式求得结果. 【详解】（1）1sin cos sin cos cos sin cos cos 66622a b A A A A A A Aπππ⎛⎫⋅=+-=+-=- ⎪⎝⎭1sin 62A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()0,A π∈ 5π,666ππA ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭ 66A ππ∴-=，解得：3A π=（2）由余弦定理得：2222cos 162540cos213a b c bc A π=+-=+-=a ∴=由正弦定理sin sin ab A B=得：4sin sin b A B a ⨯===b c < B C ∴< B ∴为锐角cos 7B ∴==sin 22sin cos 2777B B B ∴==⨯=【点睛】本题考查解三角形知识的应用，涉及到正弦定理和余弦定理解三角形、两角和差和辅助角公式化简三角函数、平面向量数量积公式的应用、二倍角公式的应用等知识，属于常考题型.17.设数列{}n a 的各项均为正数，{}n a 的前n 项和()2128n n S a =+，*n N ∈ （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设等比数列{}n b 的首项为2，公比为q （0q >），前n 项和为n T .若存在正整数m ，使得33m S S T =⋅，求q 的值.【答案】（1）42n a n =-（2）12-+或24-+. 【解析】 【分析】 （1）先由()2128n n S a =+求出12a =，再由2n 时，1n n n a S S -=-，求出通项，进而可求出结果；（2）先由（1）得到22n S n =，根据33m S S T =⋅，得到22912q q m=++，结合题意求出1m =或2m =，分情况讨论，即可求出结果. 【详解】（1）当1n =时，()2111128a S a ==+，则12a =. 当2n 时，()()2211112288n n n n n a S S a a --=-=+-+， 即2211440n n n n a a a a -----=， 所以()()1140n n n n a a a a --+--=.因为数列{}n a 的各项均为正数，所以10n n a a ->+， 所以14n n a a --=，所以数列{}n a 是公差为4的等差数列， 所以24(1)42n a n n =+-=-.（2）由（1）知，22n S n =.由33m S S T =⋅，得()22182222m q q =⋅++，所以22912q q m=++. 因为0q >，所以2912m >，即322m <， 由于*m ∈N ，所以1m =或2m =. 当1m =时，2702q q +-=，解得1152q -±=（舍负）， 当2m =时，2108q q +-=，解得264q -±=（舍负）， 所以q 的值为115-+或26-+. 【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的综合，熟记等差数列与等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型.18.如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通A ，B 两地，A 地位于东西方向的直线MN 上的陆地处，B 地位于海上一个灯塔处，在A 地用测角器测得4BAN π∠=，在A 地正西方向4km 的点C 处，用测角器测得3tan BCN ∠=.拟定铺设方案如下：在岸MN 上选一点P ，先沿线段AP 在地下铺设，再沿线段PB 在水下铺设.预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元/km 和4万元/km ，设BPN θ∠=，,42ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭，铺设电缆的总费用为()f θ万元.（1）求函数()f θ的解析式；（2）试问点P 选在何处时，铺设的总费用最少，并说明理由.【答案】（1）2cos ()1212sin f θθθ-=+⨯，其中,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（2）当点P 选在距离A 地(623)km -处时，铺设的总费用最少，详见解析.【解析】 【分析】（1）过B 作MN 的垂线，垂足为D ，根据题中条件，得到BD AD =，3BD DC =，由BPN θ∠=，得到6sin BP θ=，6tan DP θ=，66tan AP θ=-，进而得到66()264tan sin f θθθ⎛⎫=⨯-+⨯ ⎪⎝⎭，化简即可得出结果； （2）根据（1）的结果，先设2cos ()sin h θθθ-=，,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，对()θh 求导，用导数的方法研究其单调性，即可求出最值.【详解】（1）过B 作MN 的垂线，垂足为D .在Rt BAD ∆中，4BAD π∠=，则BD AD =.在Rt BCD ∆中，tan 3BDBCD DC∠==， 所以3BD DC =. 因为4AC =，所以143BD BD -=， 所以6BD =.由BPN θ∠=，则6sin BP θ=，6tan DP θ=.由6AD BD ==，得66tan AP θ=-. 所以66()264tan sin f θθθ⎛⎫=⨯-+⨯ ⎪⎝⎭， 即2cos ()1212sin f θθθ-=+⨯，其中,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（2）设2cos ()sin h θθθ-=，,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则222sin (2cos )cos 12cos ()sin sin h θθθθθθθ'---==. 令()0h θ'=，得1cos 2θ=，所以3πθ=.列表如下：所以当3πθ=时，2cos ()sin h θθθ-=所以()f θ取得最小值12+6AP =-答：当点P 选在距离A 地(6-处时，铺设的总费用最少，且为12+. 【点睛】本题主要考查函数的模型的应用，以及导数的方法求最值的问题，熟记导数的方法研究函数的单调性，最值等即可，属于常考题型.19.在平面直角坐标系xOy 中，己知椭圆C ：22221(0)43x y t t t-=>的左、右顶点为A ，B ，右焦点为F .过点A 且斜率为k （0k >）的直线交椭圆C 于另一点P .（1）求椭圆C 的离心率；（2）若12k =，求22PA PB 的值；（3）设直线l :2x t =，延长AP 交直线l 于点Q ，线段BO 的中点为E ，求证：点B 关于直线EF 的对称点在直线PF 上。
2021届江苏省南通市高三第一次教学质量调研考试数学试题Word版含答案
2021届江苏省南通市高三第一次教学质量调研考试数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡．．．相应的位置上．．．．．．．） 1．已知集合A ＝{}13x x -<<，B ＝{﹣1，0，1，2，3}，则AB ＝ ．2．已知复数z 满足(1i)3i z +=-（其中i 为虚数单位），则复数z 的模为 ．3．双曲线22145x y -=的顶点到渐近线的距离为 ． 4．口袋中有形状和大小完全相同的4个小球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次性摸出2个球，则摸出的两个球编号之和为奇数的概率为 ． 5．函数41()log (1)2f x x =--的定义域为 ． 6．函数()f x 满足(4)()(R)f x f x x +=∈，[2x ∈-，2)时，2,20()tan ,024x x f x xx π⎧+-≤<⎪=⎨-≤<⎪⎩，则((17))f f 的值为 ． 7．设函数()sin()(0)8f x x πωω=+>，若()()4f x f π≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为 ． 8．已知函数20()lg 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，则不等式()1f x x >-+的解集为 ．9．设a ∈R ，函数32()3(1)f x x a x ax =+--为奇函数，则函数()f x 的极大值为 ．10．已知4sin()65πα-=，02πα<<，则cos()12πα+＝ ． 11．已知22log log 2a b +=，则22a b +的最小值为 ． 12．如图，在△ABC 中，D 为AC 的中点，BC ⊥BD ，BC ＝2，则BA BC ⋅＝ ．13．在锐角△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若sinC ﹣sinA ＝2sinAcosB ，baλ=，则实数λ的取值范围为 ．14．定义在R 上的函数()f x ，()g x ，()h x ，若对x ∀∈R ，点(x ，()h x )，(x ，()g x )关于点(x ，()f x )对称，则称函数()h x 是函数()g x 关于函数()f x 的“对称函数”．已知函数()h x 是函数()1g x a x =-关于函数2()8f x x x =+的“对称函数”且函数()h x 存在4个零点，则实数a 的取值范围为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（本题满分14分）如图，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 为菱形，SA ⊥平面ABCD ． （1）求证：AB ∥平面SCD ； （2）求证：BD ⊥SC ．16．（本题满分14分）已知平面向量(sin a α=，cos 2)α，3(cos 2b α=，)t ，R t ∈． （1）若a b =，求t 的值； （2）若t 3，a b ⊥，求tan(2)4πα+的值．17．（本题满分14分）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12123a a a a +=，14a ，23S ，32S 成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设等差数列{}n b 中，12b a =，861b a =-．①求数列{}n b 的前n 项和n T ；②若对n N*∈，不等式230n n na T n λ-+≥恒成立，求实数λ的最小值．18．（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知F(1，0)为椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的右焦点，A，B为左右顶点．过点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点，其中点P在第一象限，且点P到两个焦点的距离之和为4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）记△AFP与△BFQ的面积分别为1S，2S，若123 2SS=，求直线l的方程．19．（本题满分16分）一个创业青年租用一块边长为4百米的等边△ABC田地（如图）养蜂、产蜜与售蜜．田地内拟修建笔直小路MN，AP，其中M，N分别为AC，BC的中点，点P在BC上．规划在小路MN与AP的交点O（O与M、N不重合）处设立售蜜点，图中阴影部分为蜂巢区，空白部分为蜂源植物生长区，A，N为出入口（小路的宽度不计）．为节约资金，小路MO段与OP段建便道，供蜂源植物培育之用，费用忽略不计．为车辆安全出入，小路AO段的建造费用为每百米4万元，小路ON段的建造费用为每百米3万元．（1）若拟修的小路AO7百米，求小路ON段的建造费用；（2）设∠BAP＝θ，求cosθ的值，使得小路AO段与ON段的建造总费用最小．20．（本题满分16分）设R a ∈，函数()x f x e ax =+，其中e 为自然对数的底数．（1）若函数()f x 是增函数，求实数a 的取值范围；（2）设直线210x y -+=与函数()y f x =的图像相切．①求实数a 的值；②求证：当x ≥0时，2()21f x x ≥+．（参考数据：148＜e 5＜149）2021届江苏省南通市高三第一次教学质量调研考试数学试题参考答案1．{0，1，2} 2．5 3．253 4．23 5．(1，3] 6．1 7．328．(1，+∞) 9．2910．210- 11．8 12．﹣4 13．2，3)14．a ＞815．证明：（1）∵底面ABCD 为菱形 ∴AB ∥CD∵AB ⊄平面SCD ，CD ⊂平面SCD∴AB ∥平面SCD（2）∵SA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ∴SA ⊥BD连接AC ，∵底面ABCD 为菱形 ∴AC ⊥BD又∵SA AC ＝A ∴BD ⊥平面SAC ∵SC ⊂平面SAC ∴BD ⊥SC 16．解：（1）∵a b =∴sin cos 2t ααα⎧=⎪⎨⎪=⎩①②由①得tan 2α=由②得22222222cos sin 1tan 1cos 2cos sin =cos sin 1tan 7t ααααααααα--==-==++ （2）当t时3=sin cos 222a b ααααα⋅=+ 由a b ⊥，得=0a b ⋅，即sin 2204αα+=，求得tan 24α=- ∴tan 2tan4134tan(2)41(4)51tan 2tan 4παπαπα+-++===---- 17．（1）∵12123a a a a +=∴113q a q +=①∵14a ，23S ，32S 成等差数列 ∴21332S a S =+，化简得322a a =，即2q = 将2q =代入①式求得112a =∴数列{}n a 的通项公式：11211()222n n n naa q ---==⋅=（2）①01221b a ===，48612115b a =-=-=∴81142817b b d -===- ∴2(1)22n n n T n n -=+=②要使不等式230nn na T n λ-+≥恒成立则222230n n n n λ--+≥，即max 223()2n n λ--≥ 令2232n n n c --=，则1121212352222n n n n n n n nc c +-------=-=∴当1≤n ≤2时，10n nc c +->，此时{}n c 单调递增当n ≥3时，10n nc c +-<，此时{}n c 单调递减∴当n ＝3时，max 33()2n c c == 即当max 2233()22n n λ--≥=时，原不等式恒成立 ∴实数λ的最小值为3218．（1）由F(1，0)，得c ＝1由点P 到两个焦点的距离之和为4，得2a ＝4，即a ＝2∴b 2＝a 2﹣c 2＝3∴椭圆C 的标准方程为22143x y += （2）113AF PF sin AFP PF sin AFP 22S =⋅∠=∠ 211BF QF sin BFQ QF sin BFQ 22S =⋅∠=∠由1232S S =，得QF 2PF =，即2Q P y y =-（0P y >） 设直线PQ 为：1x my =+由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)690m y my ++-=∴2634P Q m y y m +=-+①，2934P Q y y m ⋅=-+②，又2Q P y y =-③由①和③求得：226341234P Q m y m my m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，代入②求得24=5m由0P y >可知m ＞0，∴=5m 所以直线PQ的方程：15x y =+20y --= 19．（1）在△AOM 中，222AO AM OM 2AM OM cos AMO =+-⋅∠∴2222AM 22AM 2cos 3π=+- 化简得：2AM 2AM 30+-= ∵AM ＞0，∴AM ＝1，则ON MN AM 211=-=-=，3×1＝3答：小路ON 段的建造费用为3万元． （2）由正弦定理得：AM AO OM2sin sin sin()33θπθ==-则AO sin θ=，sin OM sin θθθ-=ON MN AM 2=-==设小路AO 段与ON 段的建造总费用为()f θ则9sin ()4AO 3ON sin f θθθθ-+=+=63ππθ<<2()sin f θθθ'=，若0θ满足03cos 4θ=，且063ππθ<<，列表如下：则当θ＝0θ时，()f θ有极小值，此时也是()f θ的最小值∴03cos cos 4θθ== 答：当cos θ34=，小路AO 段与ON 段的建造总费用最小．。
江苏省南通市如皋县2021届高三数学上学期期中调研考试试题及答案
江苏省南通市如皋县2021届高三数学上学期期中调研考试试题注意事项:1.本试卷共150分,考试时间120分钟.2.答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知a 为正实数,复数1+a i(i 为虚数单位)的模为2,则a 的值为()A. B.1 C.2 D.32.已知集合M ={1,2},集合N 满足M ∪N ={0,1,2},则集合N 的个数为()A.3B.4C.6D.73.已知a =,b =log 25,c =log 37,则a ,b ,c 的大小顺序是()A.a >b >cB.c >a >bC.c >b >aD.b >c >a4.5人排成一排照相,甲排在乙左边(可以相邻,也可以不相邻)的排法总数为()A.30B.60C.120D.2405.在平面直角坐标系xOy 中,O 为坐标原点,双曲线x 2-=1的右焦点为F ,则以F 为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为()A.x 2+y 2+4x +1=0 B.x 2+y 2+4x +3=0C.x 2+y 2-4x -1=0D.x 2+y 2-4x +1=06.在正三棱锥S -ABC 中,若SA =2,AB =2,则该棱锥外接球的表面积为()A.4πB.4πC.12πD.6π(第7题)7.将函数f(x)=sin+1的图象向右平移个单位长度后,再进行周期变换可以得到如图所示的图象()A. B.C. D.8.函数y=tan2x-2tan x的最大值为()A.-3B.3C.0D.-3二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对得5分,部分选对得3分,不选或有错选的得0分.9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E,F分别为B1B,B1C1的中点,则()A.直线A1E∥平面ACD1B.直线B1D⊥平面ACD1C.平面A1EF∥平面ACD1D.平面A1B1CD⊥平面ACD110.下列关于函数的描述正确的是()A.函数y=f(x)是奇函数的一个必要不充分条件是f(0)=0B.定义:如果一个函数既是奇函数又是偶函数,这样的函数称为“两面派”函数,那么“两面派”函数一定有无数个C.若一个奇函数在定义域内每个点处均有导数,则其导函数必为偶函数D.若一个函数的导函数是奇函数,则该函数必为偶函数11.已知A=B={1,2,3},分别从集合A,B中各随机取一个数a,b,得到平面上一个点P(a,b),事件“点P(a,b)恰好落在直线x+y=n上”对应的随机变量为X,P(X=n)=Pn,X的数学期望和方差分别为E(X),V(X),则()A.P4=2P2B.P(3≤X≤5)=C.E(X)=4D.V(X)=12.已知抛物线C:y2=4x,其焦点为F,P为直线x=-2上任意一点,过P作抛物线C的两条切线,切点分别为A,B,斜率分别为k1,k2,则()A.k 1k 2=-B.|k 1-k 2|=2C.AB 过定点(2,0)D.AF ·BF 的最小值为8三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知正三角形ABC 的边长为3,=,=2,则·=.14.设(1-2x )5(1+x )=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+…+a 6x 6,则a 0+a 3=.15.已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ,b ,c 均为正数)过点(1,1),值域为[0,+∞),则ac 的最大值为;若实数λ满足1-b =λ,则λ的取值范围为.16.《周髀算经》是中国古代重要的数学著作,其记载的“日月历法”曰“阴阳之数,日月之法,十九岁为一章,四章为一蔀,七十六岁,二十蔀为一遂,一千五百二十岁,…,生数皆终,万物复始,天以更元作纪历”.如皋是著名的长寿之乡,该地区的如城街道一老年公寓共有20位老人,他们的年龄(均为正整数)之和为一遂又三蔀,其中有两位百岁老人(均不到110岁),他们的年龄相差一岁,其余18位老人的年龄也恰好依次相差一岁,则20位老人中年龄最小的岁数为.四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)已知锐角三角形ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,b =2,c =3,△ABC 的面积为.(1)求BC 边上的高;(2)求sin(A -C )的值.18.(本小题满分12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,S n =(a n +1-1).(1)求证:数列{a n }是等比数列,并求通项a n ;(2)若等差数列{b n }的各项均为正数,求数列{a n b n }的前n 项和T n .19.(本小题满分12分)如图,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,底面三角形ABC 是边长为2的正三角形,侧面ACC 1A 1是菱形,且平面ACC 1A 1⊥平面ABC ,E ,F 分别是棱A 1C 1,BC 的中点,=2.(1)求证:EF ∥平面ABB 1A 1;(2)若①三棱锥C 1-ABC 的体积为1;②C 1C 与底面所成的角为60°;③异面直线BB 1与AE 所成的角为30°.请选择一个条件求平面EFG 与平面ACC 1A 1所成的二面角(锐角)的余弦值.(第19题)20.(本小题满分12分)利用简单随机抽样的方法,从某校高一年级男生体检表格中抽取20名同学的胸围x (单位:cm)与肺活量y (单位:ml)的样本,计算平均值=80.5,=4030,并求出线性回归方程为=32.26x +a.高一男生胸围与肺活量样本统计表胸围70758085827377738572肺活量3700460040004300440034003200380044003500胸围708378918174917610490肺活量3600450037004100470037004600400047003700(1)求a的值;(2)求样本y与x的相关系数r,并根据相关性检验的临界值表,判断有无99%的把握认为肺活量与胸围线性关系是有意义的(精确到0.001);(3)将肺活量不低于4500ml视为大肺活量,用样本大肺活量的频率作为全校高一男生大肺活量的概率,求从本校高一年级任意抽取4名男同学,恰有两名是大肺活量的概率.附:相关性检验的临界值表n-2检验水平0.050.01160.4680.590170.4560.575180.4440.561190.4330.549200.4230.53721.(本小题满分12分)已知椭圆E:+=1(a>b>0),点(1,e)和都在椭圆E上,其中e为椭圆E的离心率.(1)求椭圆E的方程;(2)设椭圆E的左、右顶点分别为A,B,过点Q(-2,2)的直线l与椭圆E分别交于点M,N,直线OQ与BM交于点T,试问:直线AT与BN是否一定平行?请说明理由.(第21题)22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(x-1)-(x+2)sin x.(1)当x∈时,求y=f(x)零点的个数;(2)当x∈[0,2π]时,求y=f(x)极值点的个数.【参考答案】（2020－2021学年度高三年级第一学期教学质量调研（二））1.A2.B3. D4.B5.D6.C7.B8.A9. BD 10. BC 11. BCD 12. AC13.72− 14.39− 15. 1162,)+∞ 16. 7717.（1）在ABC ∆中，因为1sin 2S bc A =123sin 2A =⨯⨯⨯，sin A =又02A π<<，所以3A π=. ………………2分由余弦定理得：22223223cos 73a π=+−⨯⨯⨯=，a =因为12a S a h =⋅12a h =，a h =. ………………5分（2）由（1）知3a A π==，因为sin sin c a C A =，所以3sin sin c A C a ==， 因为02C π<<，所以cos C =. ………………8分所以11sin()sin()sin 322A C C C C π−=−=−−= ………………10分18.（1）11(1)2n n S a +=−Q ，11(1)(2)2n n S a n −∴=−≥，以上两式相减得：111()2n n n n S S a a −+−=−，即11()2n n n a a a +=−，所以132n n a a n +=≥（）； ………………2分 又由1n =时，121(1)2a a =−及 11a =，得23a =，213a a =，合并为13()n n a a n N *+=∈. ………………3分由110a =≠知0n a ≠，所以13n na a +=， 数列{}n a 组成以1为首项公比为3的等比数列，11133n n n a −−=⨯=.………………4分 （2）设数列{}nb 的公差为d ，由4124i i b ==∑，得1434242b d ⨯+=，所以12312b d +=①；由（1）知：1231,3,9a a a ===，据条件：112233,,a b a b a b +++成等比数列得 2111(3)(1)(92)b d b b d ++=+++②，由①②解得：124,12,b d =⎧⎨=−⎩或13,2.b d =⎧⎨=⎩………………7分当124,12,b d =⎧⎨=−⎩时，3242120a =−⨯=，与题意0n b >不符；当13,2.b d =⎧⎨=⎩时，210n b n =+>，合题意. ………………8分所以021335373(21)3n n T n −=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯，于是 2313335353(21)3(21)3n n n T n n −=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+−⨯++⨯，以上两式相减：1213(13)232(333)(21)332(21)32313n n nn n n T n n n −−−−=+⨯++⋅⋅⋅+−+⨯=+⨯−+⨯=−⨯−，所以3n n T n =⋅. ………………12分19.（1）取AB 的中点H ，连1,A H HF ， 因为,H F 分别是,AB BC 的中点， 所以//HF AC ，12HF AC =；又E 为11A C 的中点，1//A E AC ，112A E=所以1//HF A E ，1HF A E =，故四边形1A HFE 是平行四边形， ………………2分 所以1//EF A H ，又EF ⊄面11ABB A ，1A H ⊂面11ABB A ，所以//EF 平面11ABB A . ………………4分（2）选①在平面11ACC A 内，过1C 作1C O AC ⊥，垂足为O ，连OB ， 因为面11ACC A ⊥面ABC ，面11ACC A I 面ABC AC =，所以1C O ⊥面ABC . ………………5分1211112133C ABC ABC V S C O C O −∆=⋅=⨯=，得1C O =1CO =，所以O 为AC 的中点，OB AC ⊥. ………………6分以O 为原点，1,,OB OC OC 为正交基底建立空间直角坐标系，则(0,0,0)O ，B ，(0,1,0)C ，(0,1,0)A −，1(0,A −，1C，1,0)2F，(0,E −.设(,,)G x y z ，因为113CG CC =u u u r u u u u r，所以1(,1,)(0,3x y z −=−，得20,,3x y z ===2(0,3G ，所以5(0,3GE =−u u u r，1,6GF =−u u u r，设平面EFG 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，则50,310,6GE n y GF n y ⎧⋅=−=⎪⎪⎨⎪⋅=−−=⎪⎩u u ur r u u u r r令y =4,5x z ==，所以(4,5)n =r ， ………………9分又OB =u u u r是平面11ACC A 的一个法向量，设平面EFG 与平面11ACC A 所成的角（锐角）为θ，则cos n OB n OBθ⋅===⋅r u u u rr u u u r ………………12分 选②同①，作1C O AC ⊥，垂足为O ，并证明1C O ⊥面ABC ， 所以0160C CO ∠=，011sin 602C O C C ===，以下同①. 选③0111//,30A A B B A AE ∴∠=Q ，在1A AE ∆中，1111sin sin A A A E A EA A AE =∠∠，即0121sin sin 30A EA =∠， 所以1sin 1A EA ∠=，0190A EA ∠=，11AE A C ⊥，又11//A C AC ，所以AE AC ⊥， 同①可证AE ⊥平面ABC .在平面ABC 内过A 作AX AC ⊥， 以A 为原点，,,AX AC AE 为正交基底 建立空间直角坐标系.则(0,0,0)A，B ，(0,2,0)C，3,0)2F ，1(0,A −，E，1C . 设(,,)G x y z由113CG CC =u u u r u u u u r，得1(,2,)(0,3x y z −=−，所以50,,3x y z ===，5(0,3G .所以51(0,,36GE GF =−=−u u u r u u u r ， 以下同①.（选条件②③参照①评分）20.（1）由于回归直线：$32.26y x a =+过点(80.5,4030)，所以403032.2680.51433.07a =−⨯=. ………………2分 （2）假设0:H 变量,x y 不具有线性相关关系， ………………3分由参考公式知：r b =$， 所以3832.260.6012040r =⨯≈， ………………6分由相关性检验临界值表知：0.010.561r =，0.6010.561r =>，所以有99%的把握认为肺活量的大小与胸围具有线性相关关系. ………………7分 （3）从统计表中可知，20个样本中不低于4500ml 有5个，所以全校高一男生大肺活量的概率为51204=， ………………9分 设从高一年级任取4名男同学，恰有两名男生是大肺活量的概率为p ，则22241327()()44128p C =⋅=. ………………11分 答：从高一年级任取4名男同学，恰有两名男生是大肺活量的概率为27128. ………………12分21. （1）依题意，点()1，e 在椭圆E 上， 故222211+=c a a b，又=c e a ，222=+a b c ，解得21=b ．………………2分又因为点⎭在椭圆E 上，故222112+=a b 即21112+=a ，解得24=a ， 所以椭圆E 的方程为2214+=x y ． ……………………4分（2）结论：//.AT BN依题意，(2,0)A −，(2,0)B ，直线l 不与x 轴平行．设直线l 的方程为()22x t y +=−，()11M x y ，，()22N x y ，， 联立方程组()222214x t y x y ⎧+=−⎪⎨+=⎪⎩，，消去x 可得，()()()22441420t y t t y t t +−+++=，所以0∆>，且()122414t t y y t ++=+，()122424t t y y t +=+ ………………6分 直线BM 的方程为()1122y y x x =−−，直线OQ 的方程为y x =−， 联立方程组()1122y y x x y x ⎧=−⎪−⎨⎪=−⎩，，解得1111112222y x x y y y x y ⎧=⎪+−⎪⎨⎪=−⎪+−⎩，， 即1111112222y y T x y x y ⎛⎫− ⎪+−+−⎝⎭，． 记直线,AT BN 的斜率分别为k 1，k 2，则11111111112222222y x y y k y x y x y −+−==−+−++−，2222y k x =−．………………8分 所以()()()12211212212121111222222222x y x y y y y y y y k k x x y x y x ++−+−=+=−+−+−− 由于1221121222()x y x y y y y y ++−+12211212[2(1)][2(1)]22()ty t y ty t y y y y y =−++−++−+12122(1)2(2)()t y y t y y =+−++224(2)4(1)2(1)2(2)44t t t t t t t t ++=+⨯−+⨯++ 0=，所以12k k =，所以//AT BN . …………………12分22. （1）由题意()(1)(2)sin 0f x x x x =−−+=，[,]2x ππ∈, '()1sin (2)cos f x x x x =−−+, ………………2分 由于2x ππ≤≤，cos 0x ≤，又sin 1x ≤，所以'()0f x ≥，()f x 在[,]2ππ上单调递增， 因为()302f π=−<，()10f ππ=−>，所以函数()f x 在[,]2ππ上有唯一零点． ………………4分（2）由题意()(1)(2)sin f x x x x =−−+，[02]x π∈，.则()1sin (2)cos f x x x x '=−−+，令()1sin (2)cos h x x x x =−−+，'()2cos (2)sin h x x x x =−++，①当04x π≤≤时，因为cos x ≥，12cos 1210x −<−=<， 所以'()1sin (2)cos (12cos )sin 2cos 0f x x x x x x x =−−+=−−−< 所以函数()f x 在[0,]4π上无极值点. ………………6分 ②当4x ππ<<时，()02h π=， 当2x ππ<<时，因为cos 0x <，所以 ()2cos (2)sin 0h x x x x '=−++>，所以()h x 在[]2ππ，上是增函数，()()02h x h π>=即'()0f x > ； 当42x ππ<<时，sin cos x x >，所以()2cos (2)sin 2(sin cos )sin 0h x x x x x x x x '=−++=−+>， 所以()h x 在(,)42ππ是增函数，()()02h x h π<=即'()0f x < ， 所以2π是()f x 在()4ππ，上的极小值点. ………………9分 ③当32x ππ<≤时，sin 0cos 0x x <≤，，则()0f x '>，所以函数()f x 无极值点； ④当322x ππ<≤时，cos 0x >，sin 0x <，所以()2cos (2)sin 0h x x x x '=−++<， 所以()h x 在3(2)2ππ，上是减函数，且3()20(2)2102h h πππ=>=−−<，， 所以()h x 在3(2)2ππ，上有唯一零点2x ． 当232x x π<<时，()0f x '>；当22x x π<<时，()0f x '<， 所以2x x =是函数()f x 的一个极大值点．综上所述，函数()f x 存在两个极值点． ………………12分。
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【南通市2021届高三第一次调研测试】南通市2021届高三第一次调研测试数学南通市20XX届高三第一次调研测试南通市20XX届高三第一次调研测试数学考试前快用试题来测试知识的掌握情况吧，下面是范文网在线网xxxx小编为大家带来的南通市20XX届高三第一次调研测试数学，希望能帮助到大家南通市20XX届高三第一次调研测试数学(一)1已知集合，，则答案2若复数(为虚数单位，)满足，则的值为答案3从这四个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为偶数的概率是答案4根据下图所示的伪代码，可知输出的结果为答案145为了了解居民家庭网上购物消费情况，某地区调查了10000户家庭的月消费金额(单位：元)，所有数据均在区间上，其频率分布直方图如下图所示，则被调查的10000户家庭中，有户月消费额在1000元以下消费元3000250020XX15001000500O4500400035000000050000500004000030000200001(第5题)答案750WhileEndWhilePrintS(第4题)6设等比数列的前n项和为若，，则的值为答案637在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线过点P，其一条渐近线方程为，则该双曲线的方程为答案8已知正方体的棱长为1，点是棱的中点，则三棱锥的体积为答案9若函数()为奇函数，则的值为答案10已知，则的值为答案11在平面直角坐标系xOy中，点若直线上存在点使得，则实数m的取值范围是答案12已知边长为6的正三角形，，，与交于点P，则的值为答案13在平面直角坐标系xOy中，直线l与曲线和均相切，切点分别为和，则的值为答案14已知函数若对于任意，都有成立，则的最大值是答案南通市20XX届高三第一次调研测试数学(二)(本小题满分14分)在ABC中，角所对的边分别为，(1)求角C的大小(2)若，求ABC的面积解(1)在ABC中，由(abc)(abc)ab，得，即cosC3分因为00，得函数f(x)的零点个数为08分(ii)当a2e1时，因f(x)在(e2，)上是单调增，在(0，e2)上单调减，故x(0，e2)(e2，)时，f(x)f(e2)0此时，函数f(x)的零点个数为110分(iii)当a0为了使得an为等比源数列，只需要an中存在第n项，第k项(mnk)，使得an2amak成立，即am(nm)d2amam(km)d，即(nm)2am(nm)dam(km)成立13分当namm，k2amamdm时，上式成立所以an中存在am，an，ak成等比数列所以，数列an为等比源数列16分数学(附加题)参考答案及评分建议21选做题本题包括ABCD四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤 A选修41：几何证明选讲(本小题满分10分)如图，圆的直径，为圆上一点，过作圆的切线，于点，且交圆于点，求的长 (第21_A题)解因为圆的直径为，为圆上一点，所以因为直线为圆的切线，所以所以RtRt，所以5分又因为，所以，由，得10分B选修42：矩阵与变换(本小题满分10分)已知矩阵，求逆矩阵的特征值解设，则，所以，所以解得所以5分的特征多项式，所以或所以，矩阵的逆矩阵的特征值为或10分C选修44：坐标系与参数方程(本小题满分10分)在极坐标系中，已知点，圆的方程为(圆心为点)，求直线的极坐标方程解法一以极点为原点，极轴所在直线为轴建立平面直角坐标系xOy圆的平面直角坐标方程为，即，圆心的直角坐标为4分直线的斜率所以，直线的直角坐标方程为，8分极坐标方程为，即10分解法二在直线上任取一点，不妨设点M在线段AC上由于圆心为，，4分所以，即化简，得直线的极坐标方程为10分D选修45：不等式选讲(本小题满分10分)已知，求证：证明2分4分8分又，所以，即10分必做题第2223题，每小题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤22如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，是棱上一点，且(1)求直线与所成角的余弦值(2)求二面角的余弦值解(1)如图，分别以为轴建立空间直角坐标系则设，由，得，(第22题)xyz，点坐标为，，2分设直线与所成的角为，则4分(2)设平面的一个法向量为，所以令，则，6分设平面的一个法向量为，由于，所以，令，则，8分设二面角的大小为，由于，所以，由向量的方向，得10分23已知函数，设为的导数，(1)求的表达式(2)写出的表达式，并用数学归纳法证明解(1)因为为的导数，所以，2分同理，4分(2)由(1)得，5分把分别改写为猜测()7分下面用数学归纳法证明上述等式(i)当时，由(1)知，等式()成立(ii)假设当时，等式()成立，即则当时，即当时，等式()成立综上所述，当时，成立10分。
江苏省南通市2020-2021学年度高三年级第一学期期初调研数学试题
学习资料分享[公司地址]2020-2021学年度高三年级第一学期期初调研数学2020.9.2一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．记全集U =，集合{}2|16A x x =≥，集合{}|22xB x =≥，则()U A B =( ).A ．[4,)+∞B ．(1,4]C ．[1,4)D ．(1,4)2．已知257log 2,log 2,0.5a a b c −===，则,,a b c 的大小关系为( ). A ．b a c <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．c a b <<3．若()35cos ,sin ,,0,54132ππαββαβ⎛⎫⎛⎫+=−=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭( ).A ．3365−B ．3365C ．5665D ．1665−4．我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2~3艘驱逐舰，1~2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为( ). A ．30B ．60C ．90D ．1205．函数()2sin(),(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><的部分图像如图所示，且()f x 的图像过(),1,,12A B ππ⎛⎫− ⎪⎝⎭两点，为了得到()2sin g x x ω=的图像，只需将()f x 的图像( ).A ．向右平移56π B ．向左平移56π C ．向左平移512π D ．向右平移512π 6．《易经》是中国传统文化中的精髓，上图是易轻八卦图(含乾、坤、舞、震、坎、离、良、兑八卦)，每一卦由三根线组成( -表示一根阳线，--表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为( ). A ．18B ．14C ．38D ．127．设12,F F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b −=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与222:O x y a +=相切，l 与C 的渐近线在第一象限内的交点是P ，若2PF x ⊥轴，则双曲线的离心率等于( ). AB ．2C ．D ．48．对于函数()y f x =，若存在区间[,]a b ，当[,]x a b ∈时的值域为[,](0)ka kb k >，则称()y f x =为k 倍值函数.若()2x f x e x =+是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是( ). A ．()1,e ++∞B ．()2,e ++∞C ．1,e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭D ．2,e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是( ).A ．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后，方差也变为原来的a 倍B ．设有一个回归方程35y x =−，变量x 增加1个单位时，y 平均减少5个单位C ．线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D ．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布2(1,)(0)N σσ>，则(1)0.5P ξ>= 10．已知抛物线2:2C y px =过点(1,1)P ，则下列结论正确的是( ). A ．点P 到抛物线焦点的距离为32B ．过点P 作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q ，则OPQ △的面积为532C ．过点P 与抛物线相切的直线方程为210x y −+=D ．过点P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于点,M N ，则直线MN 的斜率为定值 11．在ABC △中，已知cos cos 2b C c B b +=，且111tan tan sin A B C+=，则( ). A ．,,a b c 成等比数列B．sin :sin :sin 2A B C =C ．若4a =，则ABC S =△D ．,,A B C 成等差数列12．已知函数()ln f x x x =，若120x x <<，则下列选项正确的是( ). A ．1212()()0f x f x x x −<−B ．1122()()x f x x f x +<+C ．2112()()x f x x f x <D ．当211x x e>>时，11222112()()()()x f x x f x x f x x f x +>+三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．高二某班共有60名学生，其中女生有20名，三好学生占全班人数的16，而且三好学生 中女生占一半.现在从该班任选一名同学参加某一座谈会.则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率为__________.14．曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为__________.15．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围是__________. 16．椭圆与双曲线有相同的焦点12(,0),(,0)F c F c −，椭圆的一个短轴端点为B ，直线1F B 与双曲线的一条渐近线平行.若椭圆与双曲线的离心率分别为12,e e ，则12e e = __________；且22123e e +的最小值为__________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(10分)已知函数2()cos 2sin 1f x x x x =+−. (1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()2,,24f A C c π===，求ABC △的面积.18．(12分)2020年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为11:13，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线上教育不满意.(1)完成2x2列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；(2)从被调查中对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生中抽取3名学生，作学习经验介绍，其中抽取男生的个数为ξ.求出ξ的分布列及期望值附公式及表22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d−=++++，其中n a b c d=+++.19．(12分)已知椭圆C 的中心在原点，其焦点与双曲线22221x y −=的焦点重合，点P 在椭圆C 上，动直线:l y kx m =+交椭圆于不同两点,A B ，且0OA OB ⋅= (O 为坐标原点). ()求椭圆的方程;(2)讨论22712m k −是否为定值；若是，求出该定值；若不是，请说明理由.20．(12分)已知函数2()f x x bx c =++，且()0f x ≤的解集为[1,2]−. (1)求函数()f x 的解析式；(2)解关于x 的不等式()2(1),(0)mf x x m m >−−≥；(3)设()31()2f x x g x +−=，若对于任意的12,[2,1]x x ∈−都有12|()()|g x g x M −≤，求M 的最小值21．(12分)已知221()(ln )x f x a x x x −=−+，. (1)讨论()f x 的单调性;(2)当1a =时，证明3()'()2f x f x >+对于任意的[1,2]x ∈成立，22．(12分)已知点P 是抛物线21:4C y x =的准线上任意一点，过点P 作抛物线的两条切线PA 、PB ，其中A 、B 为切点，(1)证明:直线AB 过定点，并求出定点的坐标;(2)若直线AB 交椭圆222:143x y C +=于C 、D 两点，12,S S 分别是,PAB PCD △△的面积,求12S S 的最小值.高三数学期初答案一、单选题1-4 CACD 5-8 CCAB 二、多选题9.BD 10.BCD 11.BC 12.CD 三、填空题 13.1814. 2y x = 15. ()2,6− 16. 1四、解答题17． 解：（1）∵()221f x sin x =+−=x ﹣cos2x＝2sin （2x 6π−）， ……2分 令2k π2π−≤2x 6π−≤2k π2π+，k ∈Z ，解得k π6π−≤x ≤k π3π+，k ∈Z ，∴函数f （x ）的单调递增区间为：[k π6π−，k π3π+]，k ∈Z ． ……4分（2）∵f （A ）＝2sin （2A 6π−）＝2， ∴sin （2A 6π−）＝1， ∵A ∈（0，π），2A 6π−∈（6π−，116π）， ∴2A 62ππ−=，解得A 3π=，……6分∵C 4π=，c ＝2，∴由正弦定理sin a b sinA B =，可得2sin sin 12c B b sinC ππ⎛⎫⨯+ ⎪⋅===……8分∴S △ABC 12=ab sinC 12=（1322+=．……10分18． 解：（1）因为男生人数为：11120551113⨯=+，所以女生人数为1205565−=，于是可完成22⨯列联表，如下：……4分根据列联表中的数据，得到2K 的观测值2120(30152550)960 6.713 6.63555658040143k ⨯⨯−⨯==≈>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”. ……6分（2）由（1）可知男生抽3人，女生抽5人，依题可知ξ的可能取值为0,1,2,3，并且ξ服从超几何分布，()()335380,1,2,3k kC C P k k C ξ−===，即 3215533388515(0),(1)2828C C C P P C C ξξ======, 1235333388151(2),(3)5656C C C P P C C ξξ======. 可得分布列为可得1519()0123282856568E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……12分 19. 解：（1）因为双曲线22221x y −=的焦点为()1,0，所以在椭圆C 中1c =，设椭圆C 的方程为()2222110y x a a a +=>−，由点(P 在椭圆C 上得2311a =−，解得242a a =⇒=，则b == 所以椭圆C 的方程为22143x y +=.……4分（2）22712m k −为定值，理由如下：设()()1122,,,A x y B x y ，由0OA OB ⋅=可知12120x x y y +=，联立方程组()222223484120143y kx m k x mkx m x y =+⎧⎪⇒+++−=⎨+=⎪⎩， 由()()2222644344120m k km∆=−+−>得2234m k <+，……6分21212228412,3434km m x x x x k k−+=−=++，① ……8分 由12120x x y y +=及y kx m =+得()()12120x x kx m kx m +++=， 整理得()()22121210kx xkm x x m ++++=，将①式代入上式可得()222224128103434m km k km m k k−+⋅−⋅+=++， 同时乘以234k +可化简得()()222222214128340kmk m m m k +−−++=，所以22712=12m k −，即22712m k −为定值. ……12分20． 解：（1）因为()0f x ≤的解集为[1,2]−，所以20x bx c ++=的根为1−，2， 所以1b −=，2c =−，即1b =−，2c =−；所以2()2f x x x =−−； ……2分 （2）()2(1)mf x x m >−−，化简有2(2)2(1)m x x x m −−>−−，整理(2)(1)0mx x −−>，所以当0m =时，不等式的解集为(,1)−∞， 当02m <<时，不等式的解集为2(,1),m ⎛⎫−∞+∞ ⎪⎝⎭，当2m =时，不等式的解集为(,1)(1,)−∞+∞，当2m >时，不等式的解集为()2(,)1,m−∞+∞， ……7分（3）因为[2,1]x ∈−时2()3123f x x x x +−=+−，根据二次函数的图像性质，有2()3123[4,0]f x x x x +−=+−∈−，则有2()3123()22f x x xx g x +−+−==，所以，1(),116g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ……9分 因为对于任意的12,[2,1]x x ∈−都有12|()()|g x g x M −≤，即求12|()()|Max g x g x M −≤，转化为()()Max Min g x g x M −≤， ……10分 而()(1)1Max g x g ==，1()(1)16Min g x g =−=，所以， 此时可得1516M ≥， 所以M 的最小值为1516. ……12分 21.解：（1）的定义域为； ……1分223322(2)(1)'()a ax x f x a x x x x−−=−−+=. 当，时，'()0f x >，单调递增；(1,),'()0x f x ∈+∞<时，单调递减.当时，3(1)'()(a x f x x x x −=. ① ，，当或x ∈时，'()0f x >，单调递增；当x ∈时，'()0f x <，单调递减；② 时，，在x ∈内，'()0f x ≥，单调递增；③ 时，，当或x ∈时，'()0f x >，单调递增；当x ∈时，'()0f x <，单调递减. ……5分综上所述， 当时，函数在内单调递增，在内单调递减；当时，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增； 当时，在内单调递增；当，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增. ……6分 （2）由（Ⅰ）知，时，22321122()'()ln (1)x f x f x x x x x x x −−=−+−−−+23312ln 1x x x x x=−++−−，，令，.则()'()()()f x f x g x h x −=+， 由1'()0x g x x−=≥可得，当且仅当时取得等号. ……8分又24326'()x x h x x−−+=， 设，则在x ∈单调递减，因为， 所以在上存在使得时，时，，所以函数()h x 在上单调递增；在上单调递减，由于，因此，当且仅当取得等号， ……10分所以3()'()(1)(2)2f x f xgh −>+=， 即3()'()2f x f x >+对于任意的恒成立 ……12分22.解：（1）证明：设点()11,A x y 、()22,B x y ， 则以A 为切点的切线方程为()1112y y x x y −=−，即()112y y x x =+， 同理以B 为切点的切线方程为()222y y x x =+， ……2分两条切线均过点()1,P t −，()()11222121ty x ty x ⎧=−+⎪∴⎨=−+⎪⎩，即1122220220x ty x ty −−=⎧⎨−−=⎩， 所以，点A 、B 的坐标满足直线220x ty −−=的方程， ……4分 所以，直线AB 的方程为220x ty −−=，在直线AB 的方程中，令0y =，可得1x =，所以，直线AB 过定点()1,0；……6分（2）设点P 到直线AB 的距离为d ，则1212PABPCDd AB AB S S CD d CD ⋅==⋅△△. 由题意可知，直线AB 不与x 轴重合，可设直线AB 的方程为1x my =+，设()33,C x y 、()44,D x y ，由241y x x my ⎧=⎨=+⎩，得2440y my −−=，()21610m ∆=+>恒成立，由韦达定理得124y y m +=，124y y =−，由弦长公式可得()21241AB y y m =−==+……8分由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2234690m y my ++−=，()()22236363414410m m m ∆=++=+>恒成立.由韦达定理得342634m y y m +=−+，342934y y m =−+，由弦长公式得()234212134m CD y m +=−==+.……10分()()2222241344433312134PAB PCD m AB S m m S CD m m ++∴====+≥++△△，当且仅当0m =时，等号成立. ……12分因此，12S S 的最小值为43.。
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江苏省南通市2021届高三上学期开学考试数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．记全集U ＝R ，集合A ＝{}216x x ≥，集合B ＝{}22x x ≥，则U (A)B ＝A ．[4，+∞)B ．(1，4]C ．[1，4)D ．(1，4)2．已知5log 2a =，7log 2b =，20.5a c -=，则a ，b ，c 的大小关系为A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b 3．若3cos()5αβ+=，5sin()413πβ-=，α，β∈(0，2π)，则cos()4πα+＝ A ．3365-B ．3365C ．5665D ．1665- 4．我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2~3艘驱逐舰，1~2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为 A ．30B ．60C ．90D ．1205．函数()2sin()f x x ωϕ=+(ω＞0，ϕ＜π)的部分图像如图所示，且()f x 的图像过A(2π，1)，B(2π，﹣1)两点，为了得到()2sin g x x ω=的图像，只需将()f x 的图像 A ．向右平移56πB ．向左平移56πC ．向左平移512πD ．向右平移512π第5题第6题6．《易经》是中国传统文化中的精髓，上图是易轻八卦图(含乾、坤、舞、震、坎、离、良、兑八卦)，每一卦由三根线组成(-表示一根阳线，--表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为 A ．18B ．14C ．38D ．127．设F 1，F 2分别为双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与圆O ：222x y a +=相切，l 与C 的渐近线在第一象限内的交点是P ，若PF 2⊥x 轴，则双曲线的离心率等于A ．2C ．．48．对于函数()y f x =，若存在区间[a ，b ]，当x ∈[a ，b ]时的值域为[ka ，kb ](k ＞0)，则称()y f x =为k 倍值函数．若()e 2x f x x =+是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是A ．(e ＋1，+∞)B ．(e ＋2，+∞)C ．(1e e +，+∞) D ．(2e e+，+∞) 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．下列说法正确的是A ．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后，方差也变为原来的a 倍B ．设有一个回归方程y ＝3﹣5x ，变量x 增加1个单位时，y 平均减少5个单位C ．线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D ．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，2σ)(σ＞0)，则P(ξ＞1)＝0.5 10．已知抛物线C ：22y px =过点P(1，1)，则下列结论正确的是A ．点P 到抛物线焦点的距离为32B ．过点P 作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q ，则△OPQ 的面积为532C ．过点P 与抛物线相切的直线方程为x ﹣2y ＋1＝0D ．过P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于点M ，N ，则直线MN 的斜率为定值 11．在△ABC 中，已知b cosC ＋c cosB ＝2b ，且111tan A tan B sin C+=，则A ．a ，b ，c 成等比数列B ．sinA ：sinB ：sinC ＝2：1C ．若a ＝4，则S △ABCD ．A ，B ，C 成等差数列12．已知函数()ln f x x x =，若120x x <<，则下列选项正确的是A ．1212()()0f x f x x x -<- B ．1122()()x f x x f x +<+ C ．2112()()x f x x f x < D ．当211ex x >>时，11222112()()()()x f x x f x x f x x f x +>+ 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．高二某班共有60名学生，其中女生有20名，三好学生占全班人数的16，而且三好学生中女生占一半．现在从该班任选一名同学参加某一座谈会．则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率为[[[[[[[．14．曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为[[[[[[[．15．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围是[[[[[[[． 16．椭圆与双曲线有相同的焦点F 1(﹣c ，0)，F 2(c ，0)，椭圆的一个短轴端点为B ，直线F 1B与双曲线的一条渐近线平行．若椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则12e e ＝[[[[[[[；且22123e e +的最小值为[[[[[[[．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知函数2()cos 2sin 1f x x x x =+-． （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(A)2f =，C ＝4π，c ＝2，求△ABC 的面积．18．（本小题满分12分）2020年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为11：13，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线（1）完成2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；（2）从被调查中对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生中抽取3名学生，作学习经验介绍，其中抽取男生的个数为ξ．求出ξ的分布列及期望值．附公式及表：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．19．已知椭圆C 的中心在原点，其焦点与双曲线22221x y -=的焦点重合，点P(0)在椭圆C 上，动直线l ：y ＝kx ＋m 交椭圆于不同两点A ，B ，且OA OB 0⋅=(O 为坐标原点)． （1）求椭圆的方程；（2）讨论7m 2﹣12k 2是否为定值；若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 20．（本小题满分12分）已知函数2()f x x bx c =++，且()0f x ≤的解集为[﹣1，2]． （1）求函数()f x 的解析式；（2）解关于x 的不等式()2(1)mf x x m >--(m ≥0)； （3）设()31()2f x xg x +-=，若对于任意的1x ，2x ∈[﹣2，1]都有12()()g x g x M -≤，求M 的最小值． 21．（本小题满分12分）已知221()(ln )x f x a x x x-=-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当a ＝1时，证明3()()2f x f x '>+对于任意的x ∈[1，2]成立． 22．（本小题满分12分）已知点P 是抛物线C 1：24y x =的准线上任意一点，过点P 作抛物线的两条切线PA 、PB ，其中A 、B 为切点．（1）证明：直线AB 过定点，并求出定点的坐标；（2）若直线AB 交椭圆C 2：22143x y +=于C 、D 两点，S 1，S 2分别是△PAB ，△PCD 的面积，求12S S 的最小值．江苏省南通市2021届高三上学期开学考试数学试题2020．9一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．记全集U ＝R ，集合A ＝{}216x x ≥，集合B ＝{}22x x ≥，则U (A)B ＝A ．[4，+∞)B ．(1，4]C ．[1，4)D ．(1，4)答案：C解析：∵集合A ＝{}{}21644x x x x x ≥=≥≤-或，∴{}UA 44x x =-<<，又∵B ＝{}{}221x x xx ≥=≥，∴U (A)B ＝[1，4)，故选C ．2．已知5log 2a =，7log 2b =，20.5a c -=，则a ，b ，c 的大小关系为A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b 答案：A解析：∵555log 2log 1<=，∴1a <，∴210.50.52a -->=，∴2c >，又57log 2log 2>，a b >，∴b ＜a ＜c ，故选A ． 3．若3cos()5αβ+=，5sin()413πβ-=，α，β∈(0，2π)，则cos()4πα+＝ A ．3365-B ．3365C ．5665D ．1665- 答案：C解析：∵α，β∈(0，2π)，∴αβ+∈(0，π)，4πβ-∈(4π-，4π)，∴4sin()5αβ+=，12cos()413πβ-=， ∴cos()cos[()()]cos()cos()sin()444πππααββαββαβ+=+--=+-++ 3124556sin()451351365πβ-=⨯+⨯=，故选C ．4．我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2~3艘驱逐舰，1~2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为 A ．30B ．60C ．90D ．120 答案：B解析：有两种情况，①一艘航母配2搜驱逐舰和1搜核潜艇，另一艘航母配3搜驱逐舰和2搜核潜艇，②一艘航母配2搜驱逐舰和2搜核潜艇，另一艘航母配3搜驱逐舰和1搜核潜艇，2122535360C C C C +=，故选B ．5．函数()2sin()f x x ωϕ=+(ω＞0，ϕ＜π)的部分图像如图所示，且()f x 的图像过A(2π，。