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2021年高三上学期期初考试 数学试题(文理)

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2021年高三上学期开学考试数学(文)试题 含答案

2021年高三上学期开学考试数学(文)试题 含答案

A 1B 1C 1D 1ABCD 正视图侧视图俯视图32452021年高三上学期开学考试数学（文）试题 含答案一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 函数f (x )＝x ＋eln x 的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－∞，0)和(0，＋∞)D ．R2. 已知,,则是的( )A.充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3. 已知全集,则( )A. B ． C ． D ． 4. 函数的定义域为( )A. B ． C ． D ．5. 如图，在棱长为3的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点C 1到平面A 1BD 的距离为（ ）A ．B ．C ．D ．6. 已知函数的定义域是,则的定义域是( )A. B ． C ． D ．7. 已知函数f (x )＝－x 3＋ax －4(a ∈R)，若函数y ＝f (x )的图象在点P (1，f (1))处的切线的倾斜角为π4，则a ＝( )A ．2B ．-2C ．4D ．-48. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题为真命题的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则9．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．12B ．24C ．48D ．6010. 若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A．2 B．3 C．6 D．911．若函数f(x)＝2x2－ln x在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是( )A．恒成立．注：e为自然对数的底数．21.（本题满分12分）已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，.（1）求圆的圆心坐标；（2）求线段的中点的轨迹的方程；（3）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.请从下面所给的22 , 23 ,二题中任选一题做答，多答按所答第一题评分.22.(本题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，圆的极坐标方程为．（1）将圆的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）过点作斜率为1直线与圆交于两点，试求的值.23.（本题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知定义在R上的函数的最小值为.（1）求的值；（2）若为正实数，且，求证：.哈师大附中xx学年度高三上学期开学考试数学试题（文科）答案一、选择题二、选择题13. x=2; 14. ; 15. ; 16. .17.解答： 2分（1）由题意，得解得，所以 6分（2）由（1）知， 8分当时在是增函数，当时在是减函数， 10分∴在［-1,1］上的最大值为1，最小值为-3. 12分18．（1）证明：△ABD中，BD=4，AD=2，AB=，∴∠ADB=90o，即BD⊥AD． 2分∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AD平面ABCD∴BD⊥平面PAD． 5分（2）解：取AD中点H，等边三角形PAD中，PH⊥AD，且PH=∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AD平面ABCD∴PH⊥平面ABCD 8分设AB与CD距离为，Rt△ABD中，，得C 1B 1A 1NMGA BCHEF∵△ABD 与△CDB 具有相同的高，∴S △ACD = ∴S △ACD ×PH = 12分19．（1）证明：∵AA 1∥BB 1，∴∵B 1C 1∥BC ，∴∴AG ∥MN 2分 ∵MN 平面A 1EF ，AG 平面A 1EF ，∴AG ∥平面A 1EF ． 5分（2）解：取BC 中点H ，由AB =AC ，得AH ⊥BC ①∵BB 1⊥平面ABC ，AH 平面ABC ，∴BB 1⊥AH ② 由①②及BC ∩BB 1=B ，得AH ⊥平面BCC 1B 1．∴∠AGH 为直线AG 与平面BCC 1B 1所成角． 8分 Rt △ABC 中，AB =AC =1，∴AH = Rt △AHG 中，AC =GC =1，∴AG =． ∴Rt △AHG 中，∠AGH =30o．∴直线AG 与平面BCC 1B 1所成角为30o． 12分20.解：(1)因为f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，其中x >0，所以f ′(x )＝a 2x －2x ＋a ＝－x －a 2x ＋ax. 2分由于a >0，所以f (x )的增区间为(0，a )，减区间为(a ，＋∞)． 4分 (2)由题意得：f (1)＝a －1≥e－1，即a ≥e. 6分 由(1)知f (x )在内单调递增，要使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈恒成立， 8分只要⎩⎪⎨⎪⎧f1＝a －1≥e－1，f e ＝a 2－e 2＋a e≤e 2.解得a ＝e. 12分 21. 解：（1）由得，∴ 圆的圆心坐标为；（2）设，则∵ 点为弦中点即， ∴ 即，∴ 线段的中点的轨迹的方程为；（3）由（2）知点的轨迹是以为圆心为半径的部分圆弧 （如下图所示，不包括两端点），且，，又直线：过定点，当直线与圆相切时，由得，又，结合上图可知当时，直线：与曲线只有一个交点．22.23. （1）当且仅当时，等号成立，5分（2）由（1）知，又2222222∴++++≥++=9()(111)()p q r p q r即 10分28591 6FAF 澯32332 7E4C 繌X Q25465 6379 捹 28675 7003 瀃35373 8A2D 設38498 9662 院30377 76A9 皩um。

2021年高三上学期期初考试数学文试题 含答案

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【绝密★启用前 A 】南开实验学校xx 届高三上学期期初考试数学文试题 考试时间：120分钟 满分：150 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将答题卡试卷类型（A ）填涂在答题卡上。

在答题卡右上角的“试室号”和“座位号”栏填写试室号、座位号，将相应的试室号、座位号信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．{}{}{}{}{}{}1 0, .2 1, 0, . 2 1, . 2 . )(, 2 1, , 1 ,0 .1D C B A N M N M === 则则已知集合2. 2 . 29 . 29 . )(, 、 , )3,( , )6,4( .2D C B A x x --=-=的值为则的方向相反若已知向量2], (0 . ) , (20) , ( . ) , (0 . 2) , (0 . )()2(log )( .323D C B A x x x f ∞+-∞∞+-= 的定义域为函数{}432 . 128 . 18 . 64 . )( , 6 , 3 .473221D C B A a a a a a a n 为则满足已知等比数列=+=+1in , . 1in , . 1in , . 1in , . )( ” 1in , “ .50000>∈∃≤∈∃>∈∀≤∈∀>∈∀x s R x D x s R x C x s R x B x s R x A x s R x 的否定是命题πππππ4 . 2 . . 2. )( 4)23sin(3 .6D C B A x y 的最小正周期为函数+-=2. 2 . 12 . . )( ))1( , 1(2)( .73-=+=-==-=x y D x y C x y B x y A f A x x x f 处的切线方程为的图象在点函数), [0 . ) , [2] , ( . ) , [2 , 0] , ( . 2] , [0 . )( )( .82∞+∞+-∞∞+-∞=D e C B A ex x f x 的单调减区间为函数 411. 411 . 5 . 5 . )()2( , 2)( , 0 , )( .9--++=≤D C B A f a x x f x x f R x 的值为则时且当是奇函数上的函数已知定义在23. 21 . 23 . 21 . )()65( , 0,1)1(0,sin )( .10D C B A f x x f x x x f --⎩⎨⎧>+-≤=的值为则已知函数π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．._____2 , )1,3(),1,2( .11=-=-=b a b a 则已知向量.____ , 60 , 5 , 8 , .12o 的长为则边中BC BAC AB CA ABC =∠==∆ {}.______ , , 2 3.1711=+==+a n a a a a n n n 则满足已知数列._____ ____, , , , 5 , 4.1==⋅+⋅=y x AF y AE x BD D C 、B 、A 、ORTM 则量设向都在矩形的边上其中方形个大小相同的小正内放置矩形如图三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．（本小题满分12分） 已知函数（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）判断的奇偶性并说明理由； （Ⅲ）求的单调增区间. 16．（本小题满分12分） 在中，角的对边分别为，。

2021年高三上学期期初数学检测试卷(理科)含解析

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2021年高三上学期期初数学检测试卷（理科）含解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知集合A={0，1}，B={﹣1，0，a+3}，且A⊆B，则a= ．2．命题p：∃x∈R，使得f（x）=x，则¬p为．3．已知集合M={x|x2﹣2x﹣3＜0}和N={x|x＞1}的关系如图所示，则阴影部分所表示的集合为．4．“p∨q为真命题”是“¬p为假命题”成立的条件．A=[﹣1，﹣n]，则m2+n2= ．5．设全集U=R，A={x＞0}，∁U6．已知集合A={x|x﹣=0，x∈R}，则满足A∪B={﹣1，0，1}的集合B的个数是．7．设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的条件．（填充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要）8．若命题“∃x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是．9．命题p：若•＞0，则与的夹角为锐角；命题q：若函数f（x）在（﹣∞，0]及（0，+∞）上都是减函数，则f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数．下列说法：①“p∨q”是真命题；②“p∨q”是假命题；③非p为假命题；④非q为假命题．其中正确的是（填序号）．10．若全集U={0，1，2，3，4，5}且∁U A={x∈N*|1≤x≤3}，则集合A的真子集共有个．11．设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＜0，q：实数x满足x2﹣x﹣6≤0或x2+2x ﹣8＞0，且非p是非q的必要不充分条件，则实数a的范围是．12．已知两个非空集合A={x|x（x﹣3）＜4}，B={x|≤a}，若A∩B=B，则实数a的取值范围是．13．若x＜m﹣1或x＞m+1是x2﹣2x﹣3＞0的必要不充分条件，则实数m的取值范围是．14．设p：方程x2+2mx+1=0有两个不相等的正根；q：方程x2+2（m﹣2）x﹣3m+10=0无实根．则使p∨q为真，p∧q为假的实数m的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．若集合A={x|x2﹣2x﹣8＜0}，B={x|x﹣m＜0}．（1）若m=3，全集U=A∪B，试求A∩（∁U B）；（2）若A∩B=∅，求实数m的取值范围；（3）若A∩B=A，求实数m的取值范围．16．设p：|4x﹣3|≤1；q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0．若￢p是￢q的必要而不充分条件，求实数a的取值范围．17．设p：函数y=log a（x+1）（a＞0且a≠1）在（0，+∞）上单调递减；q：曲线y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点．如果p∧q为假，p∨q为真，求实数a的取值范围．18．（1）已知点P（3，1）在矩阵A= 变换下得到点P′（5，﹣1）．试求矩阵A和它的逆矩阵A﹣1．（2）在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（α为参数，m为常数）．以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=．若直线l与圆C有两个公共点，求实数m的取值范围．19．求证：关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是a≤1．20．已知函数f（x）=e x，g（x）=x﹣b，b∈R．（1）若函数f（x）的图象与函数g（x）的图象相切，求b的值；（2）设T（x）=f（x）+ag（x），a∈R，求函数T（x）的单调增区间；（3）设h（x）=|g（x）|•f（x），b＜1．若存在x1，x2∈[0，1]，使|h（x1）﹣h（x2）|＞1成立，求b的取值范围．xx学年江苏省常州市溧阳市竹箦中学高三（上）期初数学检测试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知集合A={0，1}，B={﹣1，0，a+3}，且A⊆B，则a=．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】由A为B的子集，得到A中的所有元素都属于B，得到a+3=1，即可求出a的值．【解答】解：∵集合A={0，1}，B={﹣1，0，a+3}，且A⊆B，∴a+3=1，解得：a=﹣2．故答案为：﹣22．命题p：∃x∈R，使得f（x）=x，则¬p为．【考点】命题的否定．【分析】根据特称命题的否定是全称命题，即可得到结论．【解答】解：∵命题p是特称命题，∴特称命题的否定是全称命题，即￢p：∀x∈R，都有f（x）≠x，故答案为：∀x∈R，都有f（x）≠x．3．已知集合M={x|x2﹣2x﹣3＜0}和N={x|x＞1}的关系如图所示，则阴影部分所表示的集合为．【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】根据Venn图得阴影部分对应的集合是M∩N，然后根据交集定义进行求解即可．【解答】解：依题意得M={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，题中的阴影部分所表示的集合为M∩N，则M∩N={x|1＜x＜3}．故答案为：{x|1＜x＜3}．4．“p∨q为真命题”是“¬p为假命题”成立的条件．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】“p∨q为真命题”则p或q为真命题，“¬p为假命题”，则p为真命题．因此“¬p为假命题”⇒“p∨q为真命题”，反之不成立．即可判断出．【解答】解：“p∨q为真命题”则p或q为真命题，“¬p为假命题”，则p为真命题．因此“¬p为假命题”⇒“p∨q为真命题”，反之不成立．∴“p∨q为真命题”是“¬p为假命题”成立必要不充分条件．故答案为：必要不充分．5．设全集U=R，A={x＞0}，∁U A=[﹣1，﹣n]，则m2+n2=．【考点】补集及其运算；其他不等式的解法．【分析】根据集合A的补集及全集R，得到集合A的范围，然后把集合A中的其他不等式化为x﹣1与x+m同号，根据范围的端点即可得到m与n的值，将n与m的值代入所求的式子中，即可求出值．【解答】解：由∁U A=[﹣1，﹣n]，知A=（﹣∞，﹣1）∪（﹣n，+∞），即不等式＞0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣n，+∞），而不等式＞0可化为：或，所以﹣n=1，﹣m=﹣1，因此m=1，n=﹣1，所以m2+n2=2故答案为：26．已知集合A={x|x﹣=0，x∈R}，则满足A∪B={﹣1，0，1}的集合B的个数是．【考点】并集及其运算．【分析】求出集合A，利用集合之间的运算关系即可得到结论．【解答】解：解方程x﹣=0，得x=1或x=﹣1，所以A={1，﹣1}，又A∪B={﹣1，0，1}，所以B={0}或{0，1}或{0，﹣1}或{0，1，﹣1}，集合B共有4个．故答案为：4．7．设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的条件．（填充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由|x﹣2|＜1得﹣1＜x﹣2＜1，得1＜x＜3，由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，则（1，3）⊊（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞），故“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要8．若命题“∃x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是．【考点】二次函数的性质．【分析】因为不等式对应的是二次函数，其开口向上，若“∃x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1＜0”，则相应二次方程有不等的实根．【解答】解：∵“∃x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1＜0∴x2+（a﹣1）x+1=0有两个不等实根∴△=（a﹣1）2﹣4＞0∴a＜﹣1或a＞3故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）9．命题p：若•＞0，则与的夹角为锐角；命题q：若函数f（x）在（﹣∞，0]及（0，+∞）上都是减函数，则f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数．下列说法：①“p∨q”是真命题；②“p∨q”是假命题；③非p为假命题；④非q为假命题．其中正确的是（填序号）．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】先判断命题p，q的真假，利用复合命题与简单命题之间的关系进行判断．【解答】解：∵当a•b＞0时，a与b的夹角为锐角或零度角，∴命题p是假命题；∵若函数f（x）在（﹣∞，0]及（0，+∞）上都是减函数，则f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，∴命题q是假命题，例如，f（x）=，综上可知，“p∨q”是假命题，故②正确．故答案为：②10．若全集U={0，1，2，3，4，5}且∁U A={x∈N*|1≤x≤3}，则集合A的真子集共有个．【考点】子集与真子集．【分析】对于有限集合，我们有以下结论：若一个集合中有n个元素，则它有2n个子集．有2n﹣1个真子集．【解答】解：∵∁U A={x∈N*|1≤x≤3}，∴∁U A={1，2，3}∴A={0，4，5}，所以集合A的真子集有23﹣1=7个．故答案为：711．设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＜0，q：实数x满足x2﹣x﹣6≤0或x2+2x ﹣8＞0，且非p是非q的必要不充分条件，则实数a的范围是．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用不等式的解法分别化简命题p，q．由于，非p是非q的必要不充分条件，即非q⇒非p，且非p推不出非q，等价于p⇒q且q推不出p，即可得出．【解答】解：对于命题p：由x2﹣4ax+3a2＜0及a＜0，得3a＜x＜a，即p：3a＜x＜a．对于命题q：又由x2﹣x﹣6≤0，得﹣2≤x≤3，由x2+2x﹣8＞0，得x＜﹣4或x＞2，那么q：x＜﹣4或x≥﹣2．由于，非p是非q的必要不充分条件，即非q⇒非p，且非p推不出非q，等价于p⇒q且q推不出p，于是，得或，解得﹣≤a＜0或a≤﹣4，故所求a的范围为[﹣，0）∪（﹣∞，﹣4]．故答案为：[﹣，0）∪（﹣∞，﹣4]．12．已知两个非空集合A={x|x（x﹣3）＜4}，B={x|≤a}，若A∩B=B，则实数a的取值范围是．【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，根据B为非空集合确定出a的范围，进而求出B中不等式的解集，根据A与B的交集为B，得到B为A的子集，确定出a的范围即可．【解答】解：由A中不等式x（x﹣3）＜4，解得：﹣1＜x＜4，∴A=（﹣1，4），又B是非空集合，∴a≥0，即B=[0，a2]，∵A∩B=B，∴B⊆A，∴a2＜4，解得：0≤a＜2，则实数a的取值范围是[0，2）．故答案为：[0，2）．13．若x＜m﹣1或x＞m+1是x2﹣2x﹣3＞0的必要不充分条件，则实数m的取值范围是．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式之间的关系进行求解即可．【解答】解：由x2﹣2x﹣3＞0得x＞3或x＜﹣1，若x＜m﹣1或x＞m+1是x2﹣2x﹣3＞0的必要不充分条件，则，即，即0≤m≤2，故答案为：[0，2]14．设p：方程x2+2mx+1=0有两个不相等的正根；q：方程x2+2（m﹣2）x﹣3m+10=0无实根．则使p∨q为真，p∧q为假的实数m的取值范围是．【考点】四种命题间的逆否关系；函数与方程的综合运用．【分析】由使p∨q为真，P∧q为假，则p，q中必然一真一假，故我们可以根据p：方程x2+2mx+1=0有两个不相等的正根；q：方程x2+2（m﹣2）x﹣3m+10=0无实根．求出各种情况下，m的取值范围，综合分析后，即可得到使p∨q为真，P∧q为假的实数m的取值范围．【解答】解：∵p∨q为真，P∧q为假∴p与q一个为真，一个为假由p：方程x2+2mx+1=0有两个不相等的正根当P为真时，m＜﹣1，则p为假时，m≥﹣1由q：方程x2+2（m﹣2）x﹣3m+10=0无实根当q为真时，﹣2＜m＜3，则q为假时，m≤﹣2，或m≥3当p真q假时，m≤﹣2当p假q真时，﹣1≤m＜3故使p∨q为真，P∧q为假的实数m的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，3）故答案为：（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，3）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．若集合A={x|x2﹣2x﹣8＜0}，B={x|x﹣m＜0}．（1）若m=3，全集U=A∪B，试求A∩（∁U B）；（2）若A∩B=∅，求实数m的取值范围；（3）若A∩B=A，求实数m的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】（1）先求出集合A和集合B，然后由U=A∪B求出全集U，由此能够求出A∩（C u B）．（2）先分别求出集合A和B，然后由A∩B=∅，可以求出实数m的取值范围．（3）先分别求出集合A和B，然后由A∩B=A，通过分类讨论，能够求出实数m的取值范围．【解答】解：（1）A={x|﹣2＜x＜4}，若m=3，B={x|x＜3}，全集U=A∪B={x|﹣2＜x＜4}∪{x|x＜3}={x|x＜4}．∴A∩（C u B）={x|﹣2＜x＜4}∩{x|3≤x＜4}={x|3≤x＜4}．（2）A={x|﹣2＜x＜4}，B={x|x＜m}，∵A∩B=∅，∴{m|m≤﹣2}．（3）∵A={x|﹣2＜x＜4}，B={x|x＜m}，①当m=4时，B={x|x＜4}，显然A∩B=A成立②当m＞4时，很明显A∩B=A也是成立的③当m＜4时，得到A∩B={x|﹣2＜x＜m}≠A，不成立综上有m≥4．16．设p：|4x﹣3|≤1；q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0．若￢p是￢q的必要而不充分条件，求实数a的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的真假判断与应用．【分析】根据绝对值的性质和十字相乘法分别求出命题p和q，再根据￢p是￢q的必要而不充分条件，可以推出p⇒q，再根据子集的性质进行求解；【解答】解：∵p：|4x﹣3|≤1；q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，∴p：﹣1≤4x﹣3≤1，解得{x|≤x≤1}，q：{x|a≤x≤a+1}，∵￢p是￢q的必要而不充分条件，∴￢q⇒￢p，￢p推不出￢q，可得p⇒q，q推不出p，∴解得0≤a≤，验证a=0和a=满足题意，∴实数a的取值范围为：a∈[0，]；17．设p：函数y=log a（x+1）（a＞0且a≠1）在（0，+∞）上单调递减；q：曲线y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点．如果p∧q为假，p∨q为真，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】先根据对数函数的单调性，和二次函数图象和x轴交点的情况与判别式的关系即可求出命题p，q下的a的取值范围．根据p∧q为假，p∨q为真即可判断p，q的真假情况，根据p，q的真假情况即可求出a的取值范围．【解答】解：p：∵函数y=log a（x+1）在（0，+∞）上单调递减；∴0＜a＜1；q：曲线y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点；∴△=（2a﹣3）2﹣4＞0，解得；∵p∧q为假，p∨q为真，∴p，q一真一假；若p真q假，则：0＜a＜1，且，∴；若p假q真，则：a＞1，且a，∴；∴实数a的取值范围为．18．（1）已知点P（3，1）在矩阵A= 变换下得到点P′（5，﹣1）．试求矩阵A和它的逆矩阵A﹣1．（2）在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（α为参数，m为常数）．以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=．若直线l与圆C有两个公共点，求实数m的取值范围．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）依题意得===，即，解出即可得出A．det（A）==﹣1，即可得出A的逆矩阵A﹣1．（2）圆C的普通方程为（x﹣m）2+y2=4．直线l的极坐标方程化为ρ（cosθ+sinθ）=，利用互化公式可得：直角坐标方程．利用点到直线的距离公式及其直线与圆的相交的充要条件即可得出．【解答】解：（1）依题意得===，∴，解得．∴A=．∵det（A）==1×（﹣1）﹣0×2=﹣1，∴A的逆矩阵A﹣1=．（2）圆C的参数方程为（α为参数，m为常数），利用平方关系可得：圆C的普通方程为（x﹣m）2+y2=4．直线l的极坐标方程化为ρ（cosθ+sinθ）=，即x+y=，化简得x+y﹣2=0．∵圆C的圆心为C（m，0），半径为2，圆心C到直线l的距离d=，∴d=＜2，解得2﹣2＜m＜2+2．19．求证：关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是a≤1．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】通过讨论a的范围结合二次函数的性质分别证明其充分性和必要性即可．【解答】证明：充分性：当a=0时，2x+1=0，其根为x=﹣，方程有一个负根，符合题意，当a＜0时，△=4﹣4a＞0，方程ax2+2x+1=0有2个不相等的实数根，且两根之积为＜0，方程两根一正一负，符合题意，当0＜a≤1时，△=4﹣4a≥0，方程ax2+2x+1=0有实数根且，故方程两根均为负，符合题意，综上知，当a≤1时，方程ax2+2x+1=0至少有一个负根，必要性：若方程ax2+2x+1=0至少有一个负根，当a=0时，方程2x+1=0符合题意，当a≠0时，方程ax2+2x+1=0应有一正根一负根或两个负根，则＜0或，解得a＜0或0＜a≤1，综上知：方程ax2+2x+1=0至少有一负根，则a≤1，故方程ax2+2x+1=0至少有一负根的充要条件是a≤1．20．已知函数f（x）=e x，g（x）=x﹣b，b∈R．（1）若函数f（x）的图象与函数g（x）的图象相切，求b的值；（2）设T（x）=f（x）+ag（x），a∈R，求函数T（x）的单调增区间；（3）设h（x）=|g（x）|•f（x），b＜1．若存在x1，x2∈[0，1]，使|h（x1）﹣h（x2）|＞1成立，求b的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）设切点为（t，e t），由导数的几何意义，可得e t=1，且e t=t﹣b，即可得到b=﹣1；（2）求出T（x）的导数，讨论当a≥0时，当a＜0时，由导数大于0，可得增区间；（3）求出h（x）的分段函数，讨论x的范围，求得单调区间，对b讨论，求得h（x）的最值，由存在性思想，即可得到b的范围．【解答】解：（1）设切点为（t，e t），因为函数f（x）的图象与函数g（x）的图象相切，所以e t=1，且e t=t﹣b，解得b=﹣1；（2）T（x）=e x+a（x﹣b），T′（x）=e x+a．当a≥0时，T′（x）＞0恒成立．当a＜0时，由T′（x）＞0，得x＞ln（﹣a）．所以，当a≥0时，函数T（x）的单调增区间为（﹣∞，+∞）；当a＜0时，函数T（x）的单调增区间为（ln（﹣a），+∞）．（3）h（x）=|g（x）|•f（x）=，当x＞b时，h′（x）=（x﹣b+1）e x＞0，所以h（x）在（b，+∞）上为增函数；当x＜b时，h′（x）=﹣（x﹣b+1）e x，因为b﹣1＜x＜b时，h′（x）=﹣（x﹣b+1）e x＜0，所以h（x）在（b﹣1，b）上是减函数；因为x＜b﹣1时，h′（x）=﹣（x﹣b+1）e x＞0，所以h（x）在（﹣∞，b﹣1）上是增函数．①当b≤0时，h（x）在（0，1）上为增函数．所以h（x）max=h（1）=（1﹣b）e，h（x）min=h（0）=﹣b．由h（x）max﹣h（x）min＞1，得b＜1，所以b≤0．②当0＜b＜时，因为b＜x＜1时，h′（x）=（x﹣b+1）e x＞0，所以h（x）在（b，1）上是增函数，因为0＜x＜b时，h′（x）=﹣（x﹣b+1）e x＜0，所以h（x）在（0，b）上是减函数．所以h（x）max=h（1）=（1﹣b）e，h（x）min=h（b）=0．由h（x）max﹣h（x）min＞1，得b＜．因为0＜b＜，所以0＜b＜．③当≤b＜1时，同理可得，h（x）在（0，b）上是减函数，在（b，1）上是增函数．所以h（x）max=h（0）=b，h（x）min=h（b）=0．因为b＜1，所以h（x）max﹣h（x）min＞1不成立．综上，b的取值范围为（﹣∞，）．xx年10月13日27834 6CBA 沺39358 99BE 馾27472 6B50 歐31852 7C6C 籬33723 83BB 莻30959 78EF 磯\24262 5EC6 廆M23900 5D5C 嵜35955 8C73 豳30151 75C7 症[22114 5662 噢。

2021年高三上学期期中测试数学(理)试题 含答案

2021年高三上学期期中测试数学(理)试题 含答案

2021年高三上学期期中测试数学（理）试题 含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷从第 1页至第2页；第Ⅱ卷从第3页至第4页；答题纸从第1页至第6页.共150分，考试时间120分钟.请在答题纸第1,3,5页左侧密封线内书写班级、姓名、准考证号.考试结束后，将本试卷的答题纸和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1. 已知锐角终边上一点的坐标是，则的弧度数是 （ A ）A ．B ．C ．D ． 2．若，为实数，则“”是“或”的 （ A ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知直线是的切线，则的值为 ( C )A ．B ．C ．D ． 4．若函数，若，则实数的取值范围是 （ A ）解析：特值法：取及成立，选A ；图象法：画图，看图；代数法：当时，12()0()log 001f a f a a a ->⇒-=>⇒<<； 当时2()0()log ()001f a f a a a -<⇒-=-<⇒<-<；A ．B ．C ．D ． 5． 函数的图象是（ A ）解析：奇函数；求导，极值点为.6．设函数，的零点分别为，则（ A ）20 2 6解析：A．B．C．D．7．对于函数，若存在区间（其中），使得则称区间M为函数的一个“稳定区间”.给出下列4个函数：①；②；③；④.其中存在“稳定区间”的函数有（ B ）A．①③B．①②③C．②④D．①②③④8．函数为定义在上的减函数，函数的图象关于点（1,0）对称，满足不等式，，为坐标原点，则当时，的取值范围为( D ) A．B．C．D．第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．若复数（）为纯虚数，则等于. 110．若，则与的夹角为.11．已知{不超过5的正整数}，，，且，则.12．函数的图象如图所示，则ω= ,．，13．已知向量满足,,，则.14．如图，在直角梯形中，，，，，，P为线段（含端点）上一个动点，设，，对于函数，给出以下三个结论：①当时，函数的值域为；②，都有成立；③，函数的最大值都等于4.其中所有正确结论的序号是_________.②③解析：以B为原点建立直角坐标系，则,，，设，∵，∴，，，，①当时，，，则，所以①错；②，所以②成立；③∵,∴开口向上，又∵对称轴，三、解答题：（本大题共6小题，共80分）15．（本小题共13分）在锐角中，且.（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若，求的值.15.解：（Ⅰ）由正弦定理可得 ----------2分因为所以 ------------------------5分在锐角中， ---------------------------7分（Ⅱ）由余弦定理可得 -------------------------9分又因为，所以，即 -------------------------11分解得， ---------------------------12分经检验，由可得，不符合题意，所以舍去. --------------------13分16.（本小题满分13分）已知向量，，，其中．（Ⅰ）当时，求值的集合；（Ⅱ）当时，求的最大值．16．解：（Ⅰ）由，得，即……4分则，∵,得或，．……………………………5分∴或为所求．………………………………6分（Ⅱ），………10分∵，∴，由图象性质，当即时，有最大值为12，有最大值为．……………………13分17.（本小题满分13分）某工厂生产某种产品，每日的成本（单位：万元）与日产量x（单位：吨）满足函数关系式，每日的销售额S（单位：万元）与日产量x的函数关系式已知每日的利润，且当时，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值.17.解：（Ⅰ）由题意可得：…………2分因为时，，所以. ……………………………………4分所以. ……………………………………5分（Ⅱ）当时，.1818182818=[2(8)]182********L x x x x x x （）（）≤.……………………………………9分 当且仅当，即时取得等号.……………………………………10分当时，. ……………………………………12分所以当时，取得最大值.所以当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大值6万元. …………………13分18.（本小题满分13分）如图，在直角坐标系中，角的顶点是原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于点，且．将角的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点．记．（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）分别过作轴的垂线，垂足依次为．记△ 的面积为，△的面积为．若，求角的值．解：（Ⅰ）由三角函数定义，得 ，…………2分因为 ，，所以 ． ………………3分所以 21cos()cos 322x π=+==αα-α（Ⅱ）解：依题意得 ，． 所以 ， ………………7分222111||[cos()]sin()sin(2)223343S x y ππ==-+⋅+=-+ααα ……9分 依题意得 ，整理得 ． ………………11分因为 ， 所以 ，所以 ， 即 ． ………………13分19.（本小题满分14分）已知函数，.（Ⅰ）若，求函数的极值；（Ⅱ）设函数，求函数的单调区间；（Ⅲ)若在区间（）上存在一点，使得成立，求的取值范围.19. 解：（Ⅰ）∵，∴，定义域 ，令得，减 增∴无极大值， ……3分（Ⅱ）， 定义域 ，∴ ………4分①当时，在上恒成立，∴在上递增； ………6分②当时，令得， 减 增∴在上递减，在上递增； …………8分（Ⅲ）∵区间上存在一点，使得成立，即： 在上有解，即：当时， …………9分由（Ⅱ）知①当时，在上增，∴；……10分②当时，在上递减，在上递增（ⅰ）当即时， 在上增， ∴， ∴无解 ……11分（ⅱ）当即时， 在上递减∴2min 11()01a e h h e e a a e e ++==-+<⇒>- ∴ …………12分 （ⅲ）当即时， 在上递减，在上递增∴，令2ln(1)2()1ln(1)a a a F a a a a+-+==+-+，则 ∴在递减 ∴ ∴无解即无解 ………14分综上：或20．（本小题满分14分）已知是定义在R 上的函数，其图象交x 轴于A 、B 、C 三点.若点B 的坐标为（2，0），且上有相同的单调性，在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性.（Ⅰ）求c 的值；（Ⅱ）在函数的图象上是否存在一点在点M 处的切线斜率为3b ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求的取值范围.20．解：（Ⅰ） ……………………………………2分依题意上有相反的单调性.所以的一个极值点.故 ………………4分（Ⅱ）令，由（Ⅰ）得………………………2分因为上有相反的单调性，所以上有相反的符号.故………………………………………………7分假设存在点使得在点M 处的切线斜率为3b ，则即因为),9(4364)3(34)2(22+=+=-⨯-=∆ab ab ab b b a b 且、b 异号.所以故不存在点使得在点M 处的切线斜率为3b .………………10分（Ⅲ）设),)(2)(()(),0,(),0,(βαβα---=x x x a x f C A 依题意可令 即]2)22()2([)(23αβαββαβα-+++++-=x x x a x f .2)22()2(23αβαββαβαa x a x a ax -+++++-= 所以即…………………………12分所以因为max 63,6,b b AC a a-≤≤-=-=所以当时 当………………………14分34534 86E6 蛦35150 894E 襎R23541 5BF5 寵2}22201 56B9 嚹%24349 5F1D 弝h27559 6BA7 殧[37382 9206 鈆 7。

2021年高三上学期期初数学试卷(文科)含解析

2021年高三上学期期初数学试卷(文科)含解析

2021年高三上学期期初数学试卷（文科）含解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的口号内（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）1．集合M={x|x2﹣2x≤0}，N={x|x2≥1}，则M∩N=（）A．[0，1] B．[1，2] C．[0，2] D．[﹣1，1]2．函数y=的定义域是（）A．[﹣，﹣1）∪（1，] B．（﹣，﹣1）∪（1，）C．[﹣2，﹣1）∪（1，2] D．（﹣2，﹣1）∪（1，2）3．已知Sn 是等差数列{an}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A．B．5 C．7 D．94．已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是增函数C．f（x）是周期函数D．f（x）的值域为[﹣1，+∞）5．已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞}，则f（10x）＞0的解集为（）A．{x|x＜﹣1或x＞﹣lg2} B．{x|﹣1＜x＜﹣lg2}C．{x|x＞﹣lg2} D．{x|x＜﹣lg2}6．设函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx．当0≤x＜π时，f（x）=0，则f（）=（）A． B． C．0 D．﹣7．设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则|+|=（）A． B． C． D．108．若两个非零向量，满足|+|=|﹣|=2丨丨，则向量与的夹角为（）A． B． C． D．9．函数f（x）=2sinωx在区间上的最小值为﹣2，则ω的取值范围是（）A． B． C． D．10．已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）二、填空题：请把答案写在题中横线上（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=．12．函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为．13．在△ABC中，，则=．14．已知各项皆为正数的等比数列{a n}（n∈N*），满足a7=a6+2a5，若存在两项a m、a n使得=4a1，则+的最小值为．15．若函数f（x）=2|x﹣a|（a∈R）满足f（1+x）=f（1﹣x），且f（x）在[m，+∞）上单调递增，则实数m的最小值等于．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共6个大题，共75分）16．已知函数，其图象过点（，）．（Ⅰ）求φ的值；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上个点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y=g （x）若A是锐角△ABC的最小内角，求g（A）的值域．17．已知向量=（sin x，sinx），=（sinx，﹣cosx），设函数，若函数g（x）=﹣f（﹣x）．（Ⅰ）求函数g（x）在区间[﹣，]上的最大值，并求出此时x的取值；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f（﹣）+g（+）=﹣，b+c=7，bc=8，求边a的长．18．设函数f（x）=mx2﹣mx﹣1（Ⅰ）若存在实数x，f（x）＜0成立，求m的取值范围；（Ⅱ）若对于x∈[1，4]，f（x）＜﹣m+5恒成立，求m的取值范围．19．已知等差数列{a n}的公差大于零，且a2、a4是方程x2﹣18x+65=0的两个根；各项均为正数的等比数列{b n}的前n项和为S n，且满足b3=a3，S3=13．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）若数列{c n}满足c n=，求数列的前项和T n．20．已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x．（1）若f（x）在[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）的单调区间及在[2，4]上的最值．21．设函数f（x）=lnx+a（1﹣x）．（Ⅰ）讨论：f（x）的单调性；（Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2时，求a的取值范围．xx学年山东省青岛九中高三（上）期初数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的口号内（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）1．集合M={x|x2﹣2x≤0}，N={x|x2≥1}，则M∩N=（）A．[0，1]B．[1，2]C．[0，2]D．[﹣1，1]【考点】交集及其运算．【分析】求解一元二次不等式化简集合M，N，然后直接利用交集运算求解．【解答】解：由M={x|x2﹣2x≤0}=[0，2]，N={x|x2≥1}=（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），得M∩N=[1，2]．故选：B．2．函数y=的定义域是（）A．[﹣，﹣1）∪（1，]B．（﹣，﹣1）∪（1，）C．[﹣2，﹣1）∪（1，2] D．（﹣2，﹣1）∪（1，2）【考点】函数的定义域及其求法；对数的运算性质．【分析】由函数表达式知，被开方数大于或等于0，故对数的真数大于0且对数值小于或等于1，x2﹣1＞0，且x2﹣1≤1；解可得答案．【解答】解：﹣≤x＜﹣1或1＜x≤．∴y=的定义域为[﹣，﹣1）∪（1，]．答案：A3．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A． B．5 C．7 D．9【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列{a n}的性质，a1+a3+a5=3=3a3，解得a3．再利用等差数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：由等差数列{a n}的性质，a1+a3+a5=3=3a3，解得a3=1．则S5==5a3=5．故选：B．4．已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是增函数C．f（x）是周期函数D．f（x）的值域为[﹣1，+∞）【考点】余弦函数的单调性．【分析】由三角函数和二次函数的性质，分别对各个选项判断即可．【解答】解：由解析式可知当x≤0时，f（x）=cosx为周期函数，当x＞0时，f（x）=x2+1，为二次函数的一部分，故f（x）不是单调函数，不是周期函数，也不具备奇偶性，故可排除A、B、C，对于D，当x≤0时，函数的值域为[﹣1，1]，当x＞0时，函数的值域为（1，+∞），故函数f（x）的值域为[﹣1，+∞），故正确．故选：D5．已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞}，则f（10x）＞0的解集为（）A．{x|x＜﹣1或x＞﹣lg2}B．{x|﹣1＜x＜﹣lg2}C．{x|x＞﹣lg2}D．{x|x＜﹣lg2}【考点】其他不等式的解法；一元二次不等式的解法．【分析】由题意可得f（10x）＞0等价于﹣1＜10x＜，由指数函数的单调性可得解集．【解答】解：由题意可知f（x）＞0的解集为{x|﹣1＜x＜}，故可得f（10x）＞0等价于﹣1＜10x＜，由指数函数的值域为（0，+∞）一定有10x＞﹣1，而10x＜可化为10x＜，即10x＜10﹣lg2，由指数函数的单调性可知：x＜﹣lg2故选：D6．设函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx．当0≤x＜π时，f（x）=0，则f（）=（）A． B． C．0 D．﹣【考点】抽象函数及其应用；函数的值．【分析】利用已知条件，逐步求解表达式的值即可．【解答】解：∵函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx．当0≤x＜π时，f（x）=0，∴f（）=f（）=f（）+sin=f（）+sin+sin=f（）+sin+sin+sin=sin+sin+sin==．故选：A．7．设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则|+|=（）A． B． C． D．10【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的模；平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】由两个向量垂直的性质可得2x﹣4=0，由两个向量共线的性质可得﹣4﹣2y=0，由此求出x=2，y=﹣2，以及的坐标，从而求得||的值．【解答】解：∵向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则有2x﹣4=0，﹣4﹣2y=0，解得x=2，y=﹣2，故=（3，﹣1 ）．故有||==，故选B．8．若两个非零向量，满足|+|=|﹣|=2丨丨，则向量与的夹角为（）A． B． C． D．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】设||=1，则|+|+|﹣|=2，故以、为邻边的平行四边形是矩形．设向量与的夹角为θ，则由cosθ==求得θ的值．【解答】解：设||=1，则|+|=|﹣|=2，故以、为邻边的平行四边形是矩形，且||=．设向量与的夹角为θ，则cosθ==，∴θ=，故选B．9．函数f（x）=2sinωx在区间上的最小值为﹣2，则ω的取值范围是（）A． B． C． D．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据正弦函数图象及性质对ω＞0，ω＜0讨论即可得到答案．【解答】解：当ω＞0时，x∈，那么ωx∈[，]，由题意：解得：ω≥2．当ω＜0时，ωx∈[，﹣]，由题意：解得：ω≤所以：ω的取值范围是（]∪[2，+∞）故选B．10．已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】由题意可得f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可．【解答】解：∵f（x）=ax3﹣3x2+1，∴f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；①当a=0时，f（x）=﹣3x2+1有两个零点，不成立；②当a＞0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；③当a＜0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；故f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上没有零点；而当x=时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；故f（）=﹣3•+1＞0；故a＜﹣2；综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）；故选：D．二、填空题：请把答案写在题中横线上（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由3sinA=5sinB，根据正弦定理，可得3a=5b，再利用余弦定理，即可求得C．【解答】解：∵3sinA=5sinB，∴由正弦定理，可得3a=5b，∴a=∵b+c=2a，∴c=∴cosC==﹣∵C∈（0，π）∴C=故答案为：12．函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为1．【考点】三角函数的最值；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．【分析】由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sinx，从而求得函数的最大值．【解答】解：函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）=sin[（x+φ）+φ]﹣2sinφcos（x+φ）=sin（x+φ）cosφ+cos（x+φ）sinφ﹣2sinφcos（x+φ）=sin（x+φ）cosφ﹣cos（x+φ）sinφ=sin[（x+φ）﹣φ]=sinx，故函数f（x）的最大值为1，故答案为：1．13．在△ABC中，，则=．【考点】正弦定理．【分析】由已知利用三角形面积公式可求c，可得三角形为正三角形，从而代入即可求值得解．【解答】解：在△ABC中，∵=bcsinA=，∴可得：c=2，∴由余弦定理可得：a===2，可得：A=B=C=60°，∴===．故答案为：．14．已知各项皆为正数的等比数列{a n}（n∈N*），满足a7=a6+2a5，若存在两项a m、a n使得=4a1，则+的最小值为．【考点】基本不等式在最值问题中的应用；等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的通项公式可得m+n=6，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：设各项皆为正数的等比数列{a n}的公比为q＞0（n∈N*），∵a7=a6+2a5，∴=a5q+2a5，化为q2﹣q﹣2=0，解得q=2．∵存在两项a m、a n使得，∴=4a1，∴2m+n﹣2=24，∴m+n=6．则==≥=，当且仅当n=2m=4时取等号．∴的最小值为．故答案为：．15．若函数f（x）=2|x﹣a|（a∈R）满足f（1+x）=f（1﹣x），且f（x）在[m，+∞）上单调递增，则实数m的最小值等于1．【考点】指数函数单调性的应用．【分析】根据式子f（1+x）=f（1﹣x），对称f（x）关于x=1对称，利用指数函数的性质得出：函数f（x）=2|x﹣a|（a∈R），x=a为对称轴，在[1，+∞）上单调递增，即可判断m的最小值．【解答】解：∵f（1+x）=f（1﹣x），∴f（x）关于x=1对称，∵函数f（x）=2|x﹣a|（a∈R）x=a为对称轴，∴a=1，∴f（x）在[1，+∞）上单调递增，∵f（x）在[m，+∞）上单调递增，∴m的最小值为1．故答案为：1．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共6个大题，共75分）16．已知函数，其图象过点（，）．（Ⅰ）求φ的值；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上个点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y=g （x）若A是锐角△ABC的最小内角，求g（A）的值域．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】（Ⅰ）由条件利用f（x）的图象过点（，），求得φ的值．（Ⅱ）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（A）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得g（A）的值域．【解答】解：（Ⅰ）∵函数的其图象过点（，），∴sinφ+cosφ﹣cosφ=，即sin（φ+）=，∴sin（φ+）=1，∴φ=，f（x）=sin2x+﹣=sin（2x+）．（Ⅱ）将函数y=f（x）=sin（2x+）的图象上个点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y=g（x）=sin（4x+）的图象，若A是锐角△ABC的最小内角，则A∈∈（0，），∴4A+∈（，），∴sin（4A+）∈（﹣1，1]，∴g（A）∈（﹣4，4]，即g（A）的值域为（﹣4，4]．17．已知向量=（sin x，sinx），=（sinx，﹣cosx），设函数，若函数g（x）=﹣f（﹣x）．（Ⅰ）求函数g（x）在区间[﹣，]上的最大值，并求出此时x的取值；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f（﹣）+g（+）=﹣，b+c=7，bc=8，求边a的长．【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（I）求出函数f（x）的解析式，并利用辅助角（和差角）公式化为正弦型函数，进而可得函数g（x）的解析式，进而可得函数g（x）在区间[﹣，]上的最大值，及最大值点；（Ⅱ）根据f（﹣）+g（+）=﹣，b+c=7，bc=8，解三角形，可得边a的长．【解答】解：（Ⅰ）∵向量=（sin x，sinx），=（sinx，﹣cosx），∴函数=sin2x﹣sinxcosx=﹣cos2x﹣sin2x=﹣sin（2x+），∴g（x）=﹣f（﹣x）=﹣[﹣sin（﹣2x+）]=sin（2x+）﹣，当x∈[﹣，]时，2x+∈[，]，故当2x+=，即x=﹣时，函数取最大值；（Ⅱ）∵f（﹣）+g（+）=﹣sin[2（﹣）+）]+sin[2（+）+]﹣=﹣2sinA=﹣，∴sinA=，则cosA=，∵b+c=7，bc=8，∴当cosA=时，a2=b2+c2+bc=（b+c）2﹣bc=41，此时a=，当cosA=时，a2=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=25，此时a=5．18．设函数f（x）=mx2﹣mx﹣1（Ⅰ）若存在实数x，f（x）＜0成立，求m的取值范围；（Ⅱ）若对于x∈[1，4]，f（x）＜﹣m+5恒成立，求m的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）问题是关于存在性问题，要注意对二次项次数的讨论，是二次不等式问题要注意二次不等式与二次函数之间的互相转化；（Ⅱ）函数在区间上恒成立问题，要转化为函数在给定区间上的最值问题，通过求解函数的最值，列出关于实数m的不等式，达到求解该题的目的．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=2mx﹣m=m（2x﹣1），m＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：x＜，∴f（x）在（﹣∞，）递减，在（，+∞）递增，若存在实数x，f（x）＜0成立，则只需f（x）min=f（）=﹣m﹣1＜0，显然成立，m＜0时，f（x）开口向下，满足题意，m=0时，f（x）=﹣1，满足题意，综上，m∈R；（Ⅱ）当m=0时，f（x）=﹣1＜0显然恒成立；当m≠0时，该函数的对称轴是x=，f（x）在x∈[1，4]上是单调函数．当m＞0时，由于f（1）=﹣1＜0，要使f（x）＜0在x∈[1，4]上恒成立，只要f（4）＜0即可．即16m﹣4m﹣1＜0得m＜，即0＜m＜；当m＜0时，若△＜0，由（1）知显然成立，此时﹣4＜m＜0；若△≥0，则m≤﹣4，由于函数f（x）＜0在x∈[1，4]上恒成立，只要f（1）＜0即可，此时f（1）=﹣1＜0显然成立，综上可知：m＜．19．已知等差数列{a n}的公差大于零，且a2、a4是方程x2﹣18x+65=0的两个根；各项均为正数的等比数列{b n}的前n项和为S n，且满足b3=a3，S3=13．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）若数列{c n}满足c n=，求数列的前项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差d＞0，依题意知a2+a4=18，a2•a4=65，可求得a2=5，与d=4，从而可得数列{a n}的通项公式；同理，可求得等比数列{b n}的通项公式；（2）由于数列{c n}满足c n=，分n≤6与n＞6讨论，分别利用等差数列与等比数列的求和公式即可求得数列{c n}的前项和T n．【解答】解：（1）依题意等差数列{a n}的公差d＞0，且a2+a4=18，a2•a4=65，解得：a4=13，a2=5，由a4=a2+2d得：d=4，∴a n=a2+（n﹣2）×4=4n﹣3．∴a3=9，依题意，公比为q（q＞0）的等比数列{b n}中，b3=a3=9，S3=b1+b2+9=13，即，解得：b1=1，q=3，故b n=3n﹣1．（2）∵c n=，数列{c n}的前项和为T n，∴当n≤6时，T n=a1+a2+…+a n==2n2﹣n；当n＞6时，T n=（a1+a2+…+a6）+（S n﹣S6）=（2×62﹣6）+（﹣）=66+（﹣）=﹣．∴T n=．20．已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x．（1）若f（x）在[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）的单调区间及在[2，4]上的最值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）对函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x进行求导，转化成f′（x）在[1，+∞）上恒有f′（x）≥0，求出参数a的取值范围；（2）先求导，再根据f′（3）=0，求得a=5，再根据导数求出函数极值，和端点值，求出最值即可．【解答】解：（1）y=3x2﹣2ax﹣3，∵f（x）在[1，+∞）上是增函数，∴f′（x）在[1，+∞）上恒有f′（x）≥0，即3x2﹣2ax﹣3≥0在[1，+∞）上恒成立．则必有≤1且f′（1）=﹣2a≥0，∴a≤0；实数a的取值范围是（﹣∞，0]．（2）∵f（x）=x3﹣ax2+3x．∴f′（x）=3x2﹣2ax+3．由题意有f′（3）=0，解得a=5，故f（x）=x3﹣5x2+3x，∴f′（x）=3x2﹣10x+3．令f′（x）=0，解得x=3∈[2，4]，x= （舍去），易知f（x）在区间[2，3]上单调递减，在[3，4]上单调递增，而f（2）=﹣6，f（4）=﹣4，f（3）=﹣9，故f（x）在区间[2，4]上的最大值为﹣4，最小值为﹣9．21．设函数f（x）=lnx+a（1﹣x）．（Ⅰ）讨论：f（x）的单调性；（Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2时，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）先求导，再分类讨论，根据导数即可判断函数的单调性；（2）先求出函数的最大值，再构造函数（a）=lna+a﹣1，根据函数的单调性即可求出a的范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=lnx+a（1﹣x）的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=﹣a=，若a≤0，则f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，若a＞0，则当x∈（0，）时，f′（x）＞0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，（Ⅱ），由（Ⅰ）知，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上无最大值；当a＞0时，f（x）在x=取得最大值，最大值为f（）=﹣lna+a﹣1，∵f（）＞2a﹣2，∴lna+a﹣1＜0，令g（a）=lna+a﹣1，∵g（a）在（0，+∞）单调递增，g（1）=0，∴当0＜a＜1时，g（a）＜0，当a＞1时，g（a）＞0，∴a的取值范围为（0，1）．xx年12月8日; 28019 6D73 浳:\?P22745 58D9 壙c25509 63A5 接28103 6DC7 淇34801 87F1 蟱37926 9426 鐦p。

2021年高三上学期入学考试数学(文)试题 含答案

2021年高三上学期入学考试数学(文)试题 含答案

2021年高三上学期入学考试数学（文）试题 含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{}{}{}20,1,2,3,4,5,1,3,|540U A B x Z x x ===∈-+<，则 （ ）A ．B ．C ．D ．2．若复数满足，则在复平面内对应的点所在的象限为 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知命题，命题，则下列命题中为真命题的是 （ ） A ． B ． C ． D ． 4．已知函数，若则的取值范围是 ( )A. B. C. D.5．等差数列中，为其前项和，且，则（ ）A ．B ．C ．D ． 6．在中，角A,B,C 所对的边分别是，，则角C 的取值范围是（ ） A ． B ． C ．D ．7．设曲线在点处的切线与直线平行，则（ ）A ．B ．C ．D ． 8．已知函数在上既有极大值又有极小值，则的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．9．设函数，的零点分别为，则（ ） A ． B ． C ． D ．10．已知函数 ，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）A． B．C． D．11.函数为定义在上的偶函数，且满足，当时，则（）A． B． C． D．12.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（）A． B．C． D．二、填空题：请把答案填在答题卡相应位置，本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量是单位向量，向量，若，则,的夹角为 .14.已知函数的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的倍，横坐标扩大到原来的倍，然后把所得的图象沿轴向左平移，这样得到的曲线和的图象相同，则已知函数的解析式为 .15.函数在定义域内可导，若，且当时，，设，，，则，，的大小关系为 .16.设函数，若不等式有解，则实数的最小值为 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，本大题共6个小题，共70分。

2021年高三上学期第一次月考数学试卷(文理) 含答案

2021年高三上学期第一次月考数学试卷(文理) 含答案

2021年高三上学期第一次月考数学试卷（文理）含答案1：本试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷，考试时间为120分钟，全卷满分为150分，总计22道小题2：请将答案填写在答案纸上。

Ⅰ卷一、选择题：（本大题共12道小题，每小题5分，共计60分）1、已知集合，B={1，m}，A∪B=A，则m=（）A．0或B．1或3 C．1或D．0或32、已知sinα=，并且α是第二象限的角，那么tanα的值等于（）A． B． C．﹣ D．﹣3、已知f（x5）=lgx，则f（2）=（）A．l g2 B．l g32 C．D．4、sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=（）A． B． C． D．5、下列命题：①∀x∈R，不等式x2+2x＞4x﹣3成立；②若log2x+log x2≥2，则x＞1；③命题“”的逆否命题；④若命题p：∀x∈R，x2+1≥1，命题q：∃x∈R，x2﹣2x﹣1≤0，则命题p∧¬q是真命题．其中真命题只有（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④6、已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（）A．f（x）=2sin（2x+）B．f（x）=2sin（x+）C．f（x）=2sin（2x+）D．f（x）=2sin（x+）7、函数f（x）=|x﹣2|﹣lnx在定义域内零点的个数为（）A． 2 B． 1 C． 0 D． 38、已知f（x）=sin（ωx+）+sin（ωx﹣）（ω＞0，x∈R）的最小正周期为π，则（）2() f xD、（，0）为的图象的一个对称中心9、已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a10、若函数f（x）=sinωx（ω＞0）在上是单调函数，则ω应满足的条件是（）A．0＜ω≤1 B．ω≥1 C．0＜ω≤1或ω=3 D．0＜ω≤311、函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的大致图象是（）A．B．C．D．12、已知函数f（x）=sinx﹣cosx的定义域为，值域为，则b﹣a的取值范围为（）A． B． C． D．Ⅱ卷二．填空题（本大题共4道小题，每小题5分，共计20分）13、命题“∃x∈R，e x＞x”的否定是．14、化简= ．15、已知命题p：∀x∈，a≥e x，命题q：“∃x∈R，x2+4x+a=0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是．16、如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD= m．三．解答题（本大题共6道小题，17题10分、18—22各12分，共计70分）17、在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan（+A）=2．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若B=，a=3，求△ABC的面积．18、（1）计算0.064﹣（﹣）0+16+0.25+2log36﹣log312；（2）已知﹣1≤x≤0，求函数y=2x+2﹣3•4x的最大值和最小值．19、已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0．﹣＜φ＜）的图象与x轴交点为（﹣，0），相邻最高点坐标为（，1）．（1）求函数y=f（x）的表达式；（2）若y=g（x）的图象与y=f（x）的图象关于点（，0）成中心对称，求y=g（x）的解析式及单调增区间．20、已知命题：“∃x∈{x|﹣1＜x＜1}，使等式x2﹣x﹣m=0成立”是真命题，（1）求实数m的取值集合M；（2）设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围．21、在海岛上有一个雷达观测站A，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距80海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ（其中sinθ=，θ为锐角）且与A点相距20海里的位置C．（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；（2）若该船始终不改变航行的方向，经过多长时间后，该船从点C到达海岛正东方向的D点处22、已知函数f（x）=lg（a＞0）为奇函数，函数g（x）=1+x+（b∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）当x∈时，关于x的不等式f（x）≤lgg（x）有解，求b的取值范围．通榆一中xx学年度上学期高三第一次月考数学试卷一、选择题1、已知集合，B={1，m}，A∪B=A，则m=（）A．0或B．1或3 C．1或D．0或3解：由题意A∪B=A，即B⊆A，又，B={1，m}，∴m=3或m=，解得m=3或m=0及m=1，验证知，m=1不满足集合的互异性，故m=0或m=3即为所求，故选：D．2、已知sinα=，并且α是第二象限的角，那么tanα的值等于（）A．﹣ B．﹣ C． D．解：∵sinα=且α是第二象限的角，∴，∴，故选A3、已知f（x5）=lgx，则f（2）=（）A．lg2 B．lg32 C．D．解：令x5=2，∴得x=，∵f（x5）=lgx，∴f（2）=lg=lg2．故选c4、sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=（）A． B． C． D．解：sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=．故选：D．5、下列命题：①∀x∈R，不等式x2+2x＞4x﹣3成立；②若log2x+log x2≥2，则x＞1；③命题“”的逆否命题；④若命题p：∀x∈R，x2+1≥1，命题q：∃x∈R，x2﹣2x﹣1≤0，则命题p∧¬q是真命题．其中真命题只有（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④解：不等式x2+2x＞4x﹣3可化为x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2＞0由实数的性质我们易得该不等式恒成立，故①为真命题；log2x+log x2≥2，则log2x＞0，即x＞1，故②为真命题；根据不等式的性质，成立，由原命题和其逆否命题真假性一致，故③为真命题；根据实数的性质，命题p：∀x∈R，x2+1≥1为真命题，命题q：∃x∈R，x2﹣2x﹣1≤0也为真命题，则¬q是假命题则命题p∧¬q也是假命题，故④为假命题；综上，①②③为真命题故选A6、已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（）A．f（x）=2sin（2x+）B．f（x）=2sin（x+）C．f（x）=2sin（2x+）D．f（x）=2sin（x+）解：由图象知函数的最大值为2，即A=2，函数的周期T=4（）=2，解得ω=1，即f（x）=2sin（x+φ），由五点对应法知+φ=π，解得φ=，故f（x）=2sin（x+），故选：B7、函数f（x）=|x﹣2|﹣lnx在定义域内零点的个数为（）A．0 B． 1 C． 2 D． 3解：由题意，函数f（x）的定义域为（0，+∞）；由函数零点的定义，f（x）在（0，+∞）内的零点即是方程|x﹣2|﹣lnx=0的根．令y1=|x﹣2|，y2=lnx（x＞0），在一个坐标系中画出两个函数的图象：由图得，两个函数图象有两个交点，故方程有两个根，即对应函数有两个零点选A．8、已知函数f（x）=sin（ωx+）+sin（ωx﹣）（ω＞0，x∈R）的最小正周期为π，则（）2() f xD、（，0）为的图象的一个对称中心解：f（x）=sin（ωx+）+sin（ωx﹣）=sin（ωx+）+sin（ωx+﹣）=sin（ωx+）﹣cosωx+）=2sin（ωx+﹣）=2sinωx．∵f（x）的最小正周期为π，∴T=，解得ω=2，即f（x）=2sin2x．∵f（）=2sin（2×）=2sinπ=0，∴（，0）为f（x）的图象的一个对称中心．故选：D9、已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a解：∵定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），m=0，∵f（x）=2|x|﹣1=，∴f（x）在（0，+∞）单调递增，∵a=f（log0.53）=f（log23），b=f（log25），c=f（2m）=f（0）=0，0＜log23＜log25，∴c＜a＜b，故选：B10、若函数f（x）=sinωx（ω＞0）在上是单调函数，则ω应满足的条件是（）A．0＜ω≤1 B．ω≥1 C．0＜ω≤1或ω=3 D．0＜ω≤3解：①若函数f（x）=sinωx（ω＞0）在上是单调递减．令+2kπ≤ωx≤+2kπ（k∈Z），则+≤x≤+（k∈Z），∴≤且≥，∴ω=3②若函数f（x）=sinωx（ω＞0）在上是单调递增．令﹣+2kπ≤ωx≤+2kπ（k∈Z），则﹣+≤x≤+∴﹣≤且≥∴0＜ω≤1综上可得：0＜ω≤1，ω=3．故选：C．11、函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的大致图象是（）A．B．C．D．解：由f（x）的图象可知0＜a＜1，b＜﹣1，则函数g（x）为减函数，且g（0）=1+b＜0，故选：A12、已知函数f（x）=sinx﹣cosx的定义域为，值域为，则b﹣a的取值范围为（）A． B． C． D．解：f（x）=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），∵f（x）的值域为，∴y=sin（x﹣）∈，其图象如图：其中A（，﹣），B（，1），C（，﹣），∴b﹣a的最小值为：﹣=， b﹣a的最大值为：﹣=，即b﹣a的取值范围为：，故选：A．二．填空题（共4小题）13、命题“∃x∈R，e x＞x”的否定是∀x∈R，e x≤x．14、化简= ．解：tan70°cos10°（tan20°﹣1）=cot20°cos10°（﹣1）=2cot20°cos10°（sin20°﹣cos20°）=2cos10°（sin20°cos30°﹣cos20°sin30°）=2•sin（﹣10°）==﹣1．故答案为：﹣1．15、已知命题p：∀x∈，a≥e x，命题q：“∃x∈R，x2+4x+a=0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是e≤a≤4．解：对于命题p：∀x∈，a≥e x，∴a≥（e x）max，x∈，∵e x在x∈上单调递增，∴当x=1时，e x取得最大值e，∴a≥e．对于命题q：∃x∈R，x2+4x+a=0，∴△=42﹣4a≥0，解得a≤4．若命题“p∧q”是真命题，则p与q都是真命题，∴e≤a≤4．故答案为：e≤a≤4．解：∵p：“∃x∈R，e x＞x∴￢p：∀x∈R，e x≤x故答案为∀x∈R，e x≤x16、如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD= m．解：设此山高h（m），则BC=h，在△ABC中，∠BAC=30°，∠CBA=105°，∠BCA=45°，AB=600．根据正弦定理得=，解得h=100（m）故答案为：100．三．解答题（共1小题）17、在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan（+A）=2．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若B=，a=3，求△ABC的面积．解：（Ⅰ）由tan（+A）=2．可得tanA=，所以==．（Ⅱ）由tanA=，A∈（0，π），可得sinA=，cosA=．又由a=3，B=及正弦定理，可得b=3，由sinC=sin（A+B）=sin（A+），可得sinC=．设△ABC的面积为S，则S=absinC=9．18、（1）计算0.064﹣（﹣）0+16+0.25+2log36﹣log312；（2）已知﹣1≤x≤0，求函数y=2x+2﹣3•4x的最大值和最小值．解：（1）0.064﹣（﹣）0+16+0.25+2log36﹣log312=﹣1+++=0.4﹣1=11．（2）∵y=2x+2﹣3•4x=﹣3•（2x）2+4•2x，令t=2x，则y=﹣3t2+4t=，∵﹣1≤x≤0，∴．又∵对称轴，∴当，即；当t=1，即x=0时，y min=1．19、已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0．﹣＜φ＜）的图象与x轴交点为（﹣，0），相邻最高点坐标为（，1）．（1）求函数y=f（x）的表达式；（2）若y=g（x）的图象与y=f（x）的图象关于点（，0）成中心对称，求y=g（x）的解析式及单调增区间．（1）根据题意，A=1，ω+φ=，又（﹣）ω+φ=0；解得ω=2，φ=，∴f（x）=sin（2x+）；（2）∵与y=f（x）的图象关于点（，0）成中心对称的函数是﹣y=f（﹣（x﹣2×）），即﹣y=sin，∴y=sin（2x﹣）；即g（x）=sin（2x﹣）；令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，∴+2kπ≤2x≤+2kπ，k∈Z，即+kπ≤x≤+kπ，k∈Z；∴g（x）的单调增区间是，k∈Z；20．已知命题：“∃x∈{x|﹣1＜x＜1}，使等式x2﹣x﹣m=0成立”是真命题，（1）求实数m的取值集合M；（2）设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围．解：（1）由x2﹣x﹣m=0可得m=x2﹣x=∵﹣1＜x＜1∴M={m|}（2）若x∈N是x∈M的必要条件，则M⊆N①当a＞2﹣a即a＞1时，N={x|2﹣a＜x＜a}，则即②当a＜2﹣a即a＜1时，N={x|a＜x＜2﹣a}，则即③当a=2﹣a即a=1时，N=φ，此时不满足条件综上可得21、在海岛上有一个雷达观测站A，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距80海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ（其中sinθ=，θ为锐角）且与A点相距20海里的位置C．（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；（2）若该船始终不改变航行的方向，经过多长时间后，该船从点C到达海岛正东方向的D点处．解：（1）如图所示，∵sinθ=，θ为锐角，∴=．设该船的行驶速度为x海里/小时．在△ABC中，由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cosθ，∴=﹣，化为x2=4500，解得x=30．（2）在△ABC中，由正弦定理可得，∴==．可知B为锐角，∴cosB==．∴sin∠ADB=sin（45°+B）==．在△ABD中，由正弦定理可得：，∴=40．∴CD=BD﹣BC=．设该船始终不改变航行的方向，经过t小时时间后，该船从点C到达海岛正东方向的D点处．则=，解得t=．22、已知函数f（x）=lg（a＞0）为奇函数，函数g（x）=1+x+（b∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）当x∈时，关于x的不等式f（x）≤lgg（x）有解，求b的取值范围．解：（Ⅰ）由为奇函数得f（﹣x）+f（x）=0，即，所以，解得a=1，经检验符合题意，故，所以f（x）的定义域是（﹣1，1）；（Ⅱ）不等式f（x）≤lgg（x）等价于，即b≥x2+x在有解，故只需b≥（x2+x）min，函数在单调递增，所以，所以b的取值范围是．32680 7FA8 羨37060 90C4 郄38931 9813 頓J436336 8DF0 跰-27768 6C78 汸29108 71B4 熴35359 8A1F 訟{27322 6ABA 檺*20347 4F7B 佻。

2021年高三上学期第一次测试数学(文)试题 含答案

2021年高三上学期第一次测试数学(文)试题 含答案

2021年高三上学期第一次测试数学（文）试题含答案考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.第I卷（选择题, 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列结论正确的有①集合，集合，A与B是同一个集合；②集合与集合是同一个集合；③由，，，，这些数组成的集合有5个元素；④集合是指第二和第四象限内的点集．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个2.函数的定义域是A． B． C． D．3.函数的值域是A． B．C． D．4.函数的图象A ．关于原点对称B ．关于直线对称C ．关于轴对称D ．关于轴对称5.给定函数①，②，③，④，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是A ． ①②B ． ②③C ． ③④D ． ①④6.设全集，{}{}|3,2,|15E x x x F x x =≤-≥=-<<或，则集合可以表示为A ．B ．C ．D ．7.设，则，，的大小关系是A ．B ．C ．D ．8.函数的图象可能是A ．B ．C ．D ．9.已知函数，则的值为A ．B ．C ．D ．10.对于连续不间断的函数，定义面积函数为直线与围成的图形的面积，则的值为A ．B ． C. D ．11.函数的零点个数为A ． 个B ．个C ．个D ．个12.若函数为上的单调递增函数，且对任意实数，都有(是自然对数的底数)，则的值等于A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上)13.是定义在上的偶函数，当时，，那么当时，.14. 已知函数在上单调递减，且，若，则的取值范围 .15.若偶函数对定义域内任意都有，且当时，，则 .16.已知为奇函数，当时，；当时，，若关于的不等式有解，则的取值范围为 .三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.全集{},11,01252>-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥+-=x x A x x x U求集合.18．已知函数是奇函数，（1）求的值；（2）若，求的值.19.已知定义在上函数对任意正数都有，当时，，且（1）求的值；（2）解关于的不等式：.20.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB＝CD＝CF=1，（1）求证：BD⊥平面AED；（2）求B到平面FDC的距离．21.已知函数.（1）当时，求满足的实数的范围；（2）若对任意的恒成立，求实数的范围.22.设和是函数的两个极值点，其中.（1）若，求的取值范围；（2）若,求的最大值(注:是自然对数的底数).哈尔滨市第三中学xx －xx 学年度高三第一次验收考试数学答案（文科）一、选择题A D C DB B A DC B C C二、填空题13. 14. 15. 16.三、解答题17.(]()U B C A B A U =+∞-∞-=)(,,21, .18．(1)因为为奇函数，所以对定义域内任意，都有 即1,011lg 11lg 11lg 222±==--=+++--a xa x ax x ax x ，由条件知，所以 (2)因为为奇函数，所以,令，则 所以19.（1），所以,解得（2）任取，且，则因为，所以，则，所以在上是增函数,因为所以即 所以，解得20.（1）证明：在等腰梯形中，,0090301=∠∴=∠∴==ADB CDB CD CB ,即AED BD A AE AD AE BD 平面⊥∴=⊥ ,（2）令点到平面的距离为 则h S FC S V V FDC CDB FDC B CDB F ⋅⋅=⋅⋅∴=∆∆--3131, ，解得21.（1）当时，则，整理得即，解得（2）因为对任意的，恒成立，则整理得：对任意的，，所以，则22.(Ⅰ)解:函数的定义域为,.依题意,方程有两个不等的正根,(其中).故 . 所以,221()()ln ()(2)()2f m f n mn m n a m n +=++-++ 2211[()2](2)()(2)1322m n mn a m n a =+--++=-+-<- 故的取值范围是(Ⅱ)解当时, .若设,则222()11(2)()22m n a m n t e mn t e++=+==++≥++. 于是有222211()()ln ()(2)()ln ()()()22n n f n f m n m a n m n m n m n m m m -=+--+-=+--+- 2222111ln ()ln ()ln ()22211ln ()2n n n m n n m n m m m mn m m n t t t-=--=-=--=-- 构造函数(其中),则.所以在上单调递减,.故的最大值是31448 7AD8 竘22071 5637 嘷h<D# 27876 6CE4 泤26174 663E 显|v+n。

2021-2022年高三上学期期初数学试卷(文科)含解析

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2021-2022年高三上学期期初数学试卷（文科）含解析一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置1．命题“∃实数x，使x2+1＜0”的否定可以写成．2．已知集合A={1，cosθ}，B={0，，1}，若A⊆B，则锐角θ=．3．（文）函数f（x）=cos2x+2sinx的最小值为．4．若角α的终边经过点P（1，﹣2），则tan2α的值为．5．函数（常数α∈Z）为偶函数，且在（0，+∞）上是单调递减函数，则α的值为．6．曲线y=x﹣cosx在点（，）处的切线方程为．7．方程3sinx=1+cos2x在区间[0，2π]上的解为．8．若函数f（x）=x3﹣3x+a有3个不同的零点，则实数a取值范围是．9．已知sinα是方程5x2﹣7x﹣6=0的根，且α是第三象限角，则= ．10．函数f（x）是R上的奇函数，f（x+2）=﹣f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=x+2，则f（7）= ．11．若动直线x=a与函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为．12．函数f（x）=sin2ωx+sinωxsin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，则y=f（x）的对称中心为．13．已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，不等式f（x）+xf′（x）＜0成立，若a=30.3f（30.3），b=（logπ3）f（logπ3），c=（log3）f（log3），则a，b，c间的大小关系是．14．设a，b∈R，c∈[0，2π），若对于任意实数x都有2sin（3x﹣）=asin（bx+c），则满足条件的有序实数组（a，b，c）的组数为．二．解答题：本大题共6小题，共计90分．15．在平面直角坐标系xOy中，设锐角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P（x1，y1），将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转后与单位圆交于点Q（x2，y2）．记f（α）=y1+y2．（1）求函数f（α）的值域；（2）若f（C）=，求∠C．16．已知p：1＜2x＜8；q：不等式x2﹣mx+4≥0恒成立，若￢p是￢q的必要条件，求实数m的取值范围．17．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣）的图象如图所示，直线x=，x=是其两条对称轴．（1）求函数f（x）的解析式及单调区间；（2）若f（α）=，且，求的值．18．已知函数f（x）=2sin（+）cos（+）﹣sin（x+π）．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，求g（x）在[0，π]上的最小值；（3）若f（α）=，α∈（，），求sin（2α+）的值．19．若函数f（x）满足下列条件：在定义域内存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）具有性质M；反之，若x0不存在，则称函数f（x）不具有性质M．（1）证明：函数f（x）=3x具有性质M，并求出对应的x0的值；（2）已知函数h（x）=lg具有性质M，求a的取值范围．20．如图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是矩形ABCD，上部是圆AB，该圆弧所在的圆心为O，为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH（其中E，F在圆弧AB上，G，H在弦AB上）．过O作OP⊥AB，交AB 于M，交EF于N，交圆弧AB于P，已知OP=10，MP=6.5（单位：m），记通风窗EFGH的面积为S（单位：m2）（1）按下列要求建立函数关系式：（i）设∠POF=θ（rad），将S表示成θ的函数；（ii）设MN=x（m），将S表示成x的函数；（2）试问通风窗的高度MN为多少时？通风窗EFGH的面积S最大？参考答案与试题解析一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置1．命题“∃实数x，使x2+1＜0”的否定可以写成∀x∈R，x2+1≥0．【考点】特称命题．【分析】由已知中原命题“∃实数x，使x2+1＜0”，根据特称命题的否定为一个全称命题，结合特称命题“∃x∈A，P（A）”的否定为“x∈A，非P（A）”，可得答案．【解答】解：命题“∃实数x，使x2+1＜0”为特称命题其否定是一个全称命题即命题“∃实数x，使x2+1＜0”的否定为“∀x∈R，x2+1≥0”故答案为：∀x∈R，x2+1≥02．已知集合A={1，cosθ}，B={0，，1}，若A⊆B，则锐角θ=．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】根据A⊆B，θ是锐角可得：cosθ=，再利用特殊角的三角函数值计算即可．【解答】解：∵集合A={1，cosθ}，B={0，，1}，A⊆B，θ是锐角，∴cosθ=，∴θ=，故答案为：．3．（文）函数f（x）=cos2x+2sinx的最小值为﹣3．【考点】二倍角的余弦；三角函数的最值．【分析】利用二倍角公式对已知函数化简，f（x）=cos2x+2sinx=﹣2sin2x+2sinx+1结合﹣1≤sinx≤1及二次函数的性质可求函数的最小值【解答】解：∵f（x）=cos2x+2sinx=﹣2sin2x+2sinx+1=﹣2+∵﹣1≤sinx≤1当sinx=﹣1时，函数有最小值﹣3故答案为：﹣34．若角α的终边经过点P（1，﹣2），则tan2α的值为．【考点】二倍角的正切；任意角的三角函数的定义．【分析】根据角α的终边经过点P（1，﹣2），可先求出tanα的值，进而由二倍角公式可得答案．【解答】解：∵角α的终边经过点P（1，﹣2），∴故答案为：．5．函数（常数α∈Z）为偶函数，且在（0，+∞）上是单调递减函数，则α的值为1．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据幂函数的性质，要使得函数为偶函数，且在（0，+∞）上是单调递减函数，则α2﹣2α﹣3为偶数，且α2﹣2α﹣3＜0，结合α∈Z 进行求解即可【解答】解：根据幂函数的性质，要使得函数为偶函数，且在（0，+∞）上是单调递减函数则α2﹣2α﹣3为偶数，且α2﹣2α﹣3＜0解不等式可得，﹣1＜α＜3∵α∈Z∴α=0，1，2当α=0时，α2﹣2α﹣3=﹣3不满足条件α=1时，α2﹣2α﹣3=﹣4满足条件α=2时，α2﹣2α﹣3=﹣3不满足条件故答案为：16．曲线y=x﹣cosx在点（，）处的切线方程为2x﹣y﹣=0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，再由点斜式方程即可得到所求切线方程．【解答】解：y=x﹣cosx的导数为y′=1+sinx，即有在点（，）处的切线斜率为k=1+sin=2，则曲线在点（，）处的切线方程为y﹣=2（x﹣），即为2x﹣y﹣=0．故答案为：2x﹣y﹣=0．7．方程3sinx=1+cos2x在区间[0，2π]上的解为或．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．【分析】利用二倍角公式化简方程为正弦函数的形式，然后求解即可．【解答】解：方程3sinx=1+cos2x，可得3sinx=2﹣2sin2x，即2sin2x+3sinx﹣2=0．可得sinx=﹣2，（舍去）sinx=，x∈[0，2π]解得x=或．故答案为：或．8．若函数f（x）=x3﹣3x+a有3个不同的零点，则实数a取值范围是（﹣2，2）．【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】分析：首先求导，令导数为零，求出函数的极大值和极小值，要使函数f（x）=x3﹣3x+a有3个不同的零点，只需函数的极大值大于零，且极小值小于零，解不等式组即可求得结果．【解答】解答：解：∵f′（x）=3x2﹣3=0解得x=1或x=﹣1，当x∈（﹣1，1）时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣1，1）上单调递减；当x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，﹣1）、（1，+∞）上单调递增，故当x=1时，f（x）取极小值﹣2+a，当x=﹣1时，f（x）取极大值2+a，∵f（x）=x3﹣3x+a有三个不同零点，∴，解得﹣2＜a＜2∴实数a的取值范围是：（﹣2，2）．故答案为：（﹣2，2）9．已知sinα是方程5x2﹣7x﹣6=0的根，且α是第三象限角，则=﹣．【考点】同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值．【分析】由已知先求sinα=﹣，然后知cosα=﹣，tanα=，原式即可化简求值．【解答】解：∵方程5x2﹣7x﹣6=0的根为x1=2，x2=﹣，由题知sinα=﹣，∴cosα=﹣，tanα=，∴原式==﹣tan2α=﹣．10．函数f（x）是R上的奇函数，f（x+2）=﹣f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=x+2，则f（7）=﹣3．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性的关系进行转化求解即可．【解答】解：∵f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），则函数f（x）是周期为4的周期函数，则f（7）=f（7﹣8）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（1+2）=﹣3，故答案为：﹣3．11．若动直线x=a与函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为．【考点】正弦函数的图象；余弦函数的图象．【分析】设x=a与f（x）=sinx的交点为M（a，y1），x=a与g（x）=cosx的交点为N（a，y2），求出|MN|的表达式，利用三角函数的有界性，求出最大值．【解答】解：设x=a与f（x）=sinx的交点为M（a，y1），x=a与g（x）=cosx的交点为N（a，y2），则|MN|=|y1﹣y2|=|sina﹣cosa|=|sin（a﹣）|≤．故答案为：．12．函数f（x）=sin2ωx+sinωxsin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，则y=f（x）的对称中心为（，），k∈Z．【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．【分析】利用二倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，由周期求得ω，再由相位的终边落在x轴上求得对称中心坐标．【解答】解：f（x）=sin2ωx+sinωxsin（ωx+）===sin（2ωx）．∵函数f（x）的最小正周期为π，∴，得ω=1．∴f（x）=sin（2x）．由，得x=，k∈Z．∴y=f（x）的对称中心为（，），k∈Z．故答案为：（，），k∈Z．13．已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，不等式f（x）+xf′（x）＜0成立，若a=30.3f（30.3），b=（logπ3）f（logπ3），c=（log3）f（log3），则a，b，c间的大小关系是c＞a＞b．【考点】利用导数研究函数的单调性；对数的运算性质．【分析】由“当x∈（﹣∞，0）时不等式f（x）+xf′（x）＜0成立”知xf（x）是减函数，要得到a，b，c的大小关系，只要比较a=30.3，logπ3，log3，的大小即可．【解答】解：设g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x）＜0（x＜0），∴当x＜0时，g（x）=xf（x）为减函数．又g（x）为偶函数，∴当x＞0时，g（x）为增函数．∵1＜30.3＜2，0＜logπ3＜1，log3=﹣2，∴g（﹣2）＞g（30.3）＞g（logπ3），即c＞a＞b．故答案为：c＞a＞b．14．设a，b∈R，c∈[0，2π），若对于任意实数x都有2sin（3x﹣）=asin（bx+c），则满足条件的有序实数组（a，b，c）的组数为4．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】根据三角函数恒成立，则对应的图象完全相同．【解答】解：∵对于任意实数x都有2sin（3x﹣）=asin（bx+c），∴必有|a|=2，若a=2，则方程等价为sin（3x﹣）=sin（bx+c），则函数的周期相同，若b=3，此时C=，若b=﹣3，则C=，若a=﹣2，则方程等价为sin（3x﹣）=﹣sin（bx+c）=sin（﹣bx﹣c），若b=﹣3，则C=，若b=3，则C=，综上满足条件的有序实数组（a，b，c）为（2，3，），（2，﹣3，），（﹣2，﹣3，），（﹣2，3，），共有4组，故答案为：4．二．解答题：本大题共6小题，共计90分．15．在平面直角坐标系xOy中，设锐角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P（x1，y1），将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转后与单位圆交于点Q（x2，y2）．记f（α）=y1+y2．（1）求函数f（α）的值域；（2）若f（C）=，求∠C．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】（1）根据三角函数的定义求出函数f（α）的表达式，即可求出处函数的值域；（2）若f（C）=，则f（C）═sin（C+）=，即可得到结论．【解答】解：（1）由三角函数定义知，y1=sinα，y2=sin（α+）=cosα，f（α）=y1+y2=cosα+sinα=sin（α+），∵角α为锐角，∴＜α+＜，∴＜sin（α+）≤1，∴1＜sin（α+）≤，则f（α）的取值范围是（1，]；（Ⅱ）若f（C）=，则f（C）═sin（C+）=，即sin（C+）=1，则C=．16．已知p：1＜2x＜8；q：不等式x2﹣mx+4≥0恒成立，若￢p是￢q的必要条件，求实数m的取值范围．【考点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由已知可求p：0＜x＜3，由￢p是￢q的必要条件可知p是q的充分条件，从而可得x2﹣mx+4≥0对于任意的x∈（0，3）恒成立，进而转化为m=对于任意的x∈（0，3）恒成立，利用基本不等式可求【解答】解：∵1＜2x＜8∴p：0＜x＜3∵￢p是￢q的必要条件∴p是q的充分条件即p⇒q∵x2﹣mx+4≥0对于任意的x∈（0，3）恒成立，∴m=对于任意的x∈（0，3）恒成立，∵=4，当且仅当x=即x=2时等号成立∴m≤417．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣）的图象如图所示，直线x=，x=是其两条对称轴．（1）求函数f（x）的解析式及单调区间；（2）若f（α）=，且，求的值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（1）根据函数的图象求出T、ω和φ的值，即得f（x），再求出f（x）的单调增区间；（2）解法1：由sin（2α﹣）求出cos（2α﹣）的值，利用两角和的公式计算f（+α）的值；解法2：由sin（2α﹣）得sin2α﹣cos2α的值，cos（α﹣）得cos（2α﹣）即sin2α+cos2α的值，计算出f（+α）的值；解法3：由sin（2α﹣）得sin2α﹣cos2α的值，再得sin4α的值，再求出sin2α的值，从而求出f（+α）的值．【解答】解：（1）由题意，=﹣=，∴T=π；又∵ω＞0，∴ω=2，∴f（x）=2sin（2x+φ）；∵f（）=2sin（+φ）=2，∴解得φ=2kπ﹣（k∈Z）；又∵﹣＜φ＜，∴φ=﹣，∴f（x）=2sin（2x﹣）；∵2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+（k∈Z），∴kπ﹣≤x≤kπ+（k∈Z），∴函数f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）；（2）解法1：依题意得，2sin（2α﹣）=，即sin（2α﹣）=，∵＜α＜，∴0＜2α﹣＜；∴cos（2α﹣）==，f（+α）=2sin[（2α﹣）+]；∵sin[（2α﹣）+]=sin（2α﹣）cos+cos（2α﹣）sin=（+）=，∴f（+α）=．解法2：依题意得，sin（2α﹣）=，得sin2α﹣cos2α=，①∵＜α＜，∴0＜2α﹣＜，∴cos（α﹣）==，由cos（2α﹣）=得，sin2α+cos2α=；②①+②得，2sin2α=，∴f（+α）=．解法3：由sin（2α﹣）=得，sin2α﹣cos2α=，两边平方得，1﹣sin4α=，∴sin4α=，∵＜α＜，∴＜4α＜，∴cos4α=﹣=﹣，∴sin22α==；又∵＜2α＜，∴sin2α=，∴f（+α）=．18．已知函数f（x）=2sin（+）cos（+）﹣sin（x+π）．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，求g（x）在[0，π]上的最小值；（3）若f（α）=，α∈（，），求sin（2α+）的值．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，求得f（x）的最小正周期．（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）在[0，π]上的最小值．（3）由条件求得sin（α+）的值，可得cos（α+）的值，再利用两角差的正弦公式求得sin （2α+）=sin[（2α+）﹣]的值．【解答】解：（1）函数f（x）=2sin（+）cos（+）﹣sin（x+π）=sin（x+）+sinx=cosx+sinx=2sin（x+），∴f（x）的最小正周期为2π．（2）将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）=2sin（x﹣+）=2sin（x+）的图象，在[0，π]上，x+∈[，]，故当x+=时，函数g（x）取得最小值为2•（﹣）=﹣1．（3）若f（α）=2sin（α+）=，∴sin（α+）=，∵α∈（，），∴α+∈（，），∴cos（α+）=﹣=﹣，sin（2α+）=2sin（α+）cos（α+）=﹣，∴cos（2α+）=2﹣1=﹣，∴sin（2α+）=sin[（2α+）﹣]=sin（2α+）cos﹣cos（2α+）sin=﹣﹣（﹣）•=．19．若函数f（x）满足下列条件：在定义域内存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）具有性质M；反之，若x0不存在，则称函数f（x）不具有性质M．（1）证明：函数f（x）=3x具有性质M，并求出对应的x0的值；（2）已知函数h（x）=lg具有性质M，求a的取值范围．【考点】抽象函数及其应用．【分析】（1）由新定义，将f（x）=3x代入f（x0+1）=f（x0）+f（1），化简计算即可得证；（2）h（x）的定义域为R，且可得a＞0．因为h（x）具有性质M，所以存在x0，使h（x0+1）=h（x0）+h（1），代入化简整理得到二次方程，讨论a=2，a≠2，且判别式大于等于0，解出它们求并集即可得到所求的范围．【解答】（1）证明：f（x）=3x代入f（x0+1）=f（x0）+f（1）得：，即：，解得．所以函数f（x）=3x具有性质M．（2）解：h（x）的定义域为R，且可得a＞0．因为h（x）具有性质M，所以存在x0，使h（x0+1）=h（x0）+h（1），代入得：．化为，整理得：有实根．①若a=2，得．②若a≠2，得△≥0，即a2﹣6a+4≤0，解得：a，所以：a．综上可得a．20．如图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是矩形ABCD，上部是圆AB，该圆弧所在的圆心为O，为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH（其中E，F在圆弧AB上，G，H在弦AB上）．过O作OP⊥AB，交AB 于M，交EF于N，交圆弧AB于P，已知OP=10，MP=6.5（单位：m），记通风窗EFGH的面积为S（单位：m2）（1）按下列要求建立函数关系式：（i）设∠POF=θ（rad），将S表示成θ的函数；（ii）设MN=x（m），将S表示成x的函数；（2）试问通风窗的高度MN为多少时？通风窗EFGH的面积S最大？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）由题意知，OF=OP=10，MP=6.5，OM=3.5．（i）在Rt△ONF中与矩形EFGH中表示出边长，从而由S=EF×FG写出面积公式S=10sinθ（20cosθ﹣7），注意角θ的取值范围；（ii）在Rt△ONF中与矩形EFGH中利用勾股定理等表示出边长，从而写出S=EF×FG=x，注意x的取值范围；（2）方法一：选择（i）中的函数模型，利用导数确定函数的单调性，从而示函数的最大值及最大值点，再代入求NM的长度即可；方法二：选择（ii）中的函数模型，利用导数确定函数的单调性，从而示函数的最大值及最大值点即可．【解答】解：（1）由题意知，OF=OP=10，MP=6.5，故OM=3.5．（i）在Rt△ONF中，NF=OFsinθ=10sinθ，ON=OFcosθ=10cosθ．在矩形EFGH中，EF=2MF=20sinθ，FG=ON﹣OM=10cosθ﹣3.5，故S=EF×FG=20sinθ（10cosθ﹣3.5）=10sinθ（20cosθ﹣7）．即所求函数关系是S=10sinθ（20cosθ﹣7），0＜θ＜θ0，其中cosθ0=．（ii）因为MN=x，OM=3.5，所以ON=x+3.5．在Rt△ONF中，NF===．在矩形EFGH中，EF=2NF=，FG=MN=x，故S=EF×FG=x．即所求函数关系是S=x，（0＜x＜6.5）．（2）方法一：选择（i）中的函数模型：令f（θ）=sinθ（20cosθ﹣7），则f′（θ）=cosθ（20cosθ﹣7）+sinθ（﹣20sinθ）=40cos2θ﹣7cosθ﹣20．由f′（θ）=40cos2θ﹣7cosθ﹣20=0，解得cosθ=，或cosθ=﹣．因为0＜θ＜θ0，所以cosθ＞cosθ0，所以cosθ=．设cosα=，且α为锐角，则当θ∈（0，α）时，f′（θ）＞0，f（θ）是增函数；当θ∈（α，θ0）时，f′（θ）＜0，f（θ）是减函数，所以当θ=α，即cosθ=时，f（θ）取到最大值，此时S有最大值．即MN=10cosθ﹣3.5=4.5m时，通风窗的面积最大．方法二：选择（ii）中的函数模型：因为S=，令f（x）=x2，则f′（x）=﹣2x（2x﹣9）（4x+39），因为当0＜x＜时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，所以当x=时，f（x）取到最大值，此时S有最大值．即MN=x=4.5m时，通风窗的面积最大．xx10月15日C36441 8E59 蹙/39120 98D0 飐J21960 55C8 嗈37865 93E9 鏩33846 8436 萶35994 8C9A 貚U39204 9924 餤25001 61A9 憩28126 6DDE 淞。

2021年高三上学期第一次统一考试数学(文)试题 含答案

2021年高三上学期第一次统一考试数学(文)试题 含答案

2021年高三上学期第一次统一考试数学（文）试题含答案本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时长120分钟.第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.设集合,集合为函数的定义域，则(A) (B) ( C) (D)2. 已知命题：直线，不相交，命题：直线，为异面直线，则是的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件3. 在等差数列中，,则的前5项和=( )（A）7 （B）15 （C）20 （D）25则这个三棱柱的体积等于（A）（B）（C）（D）5．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28 Array粒，则这批米内夹谷约为（A）134石（B）169石（C）338石（D）1365石6.某程序的框图如图所示, 执行该程序，若输入的为，则输出的的值分别为(A) (B) (C) (D)7. 圆心在曲线上，且与直线相切的面积最小的圆的方程为 （A ） （B ） （C ） （D ）8.已知是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为 （A ）（B ）（C ）（D ）9. 已知F 是椭圆的一个焦点，B 是短轴一个端点，线段BF 的延长线交椭圆于点D ，且，则椭圆的率心率是（A ） （B ） （C ） （D ）10.设函数()11sin 222f x x x πθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且其图像关于轴对称，则函数的一个单调递减区间是（）11．P 是所在的平面上一点，满足，若，则的面积为（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）16 12. 已知函数在区间内存在零点，则的取值范围是 (A) (B) (C) (D)宁城县高三年级统一考试（xx.10.20）数学试题（文科） 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13. 若复数满足，则在复平面内对应的点的坐标是______________ 14．已知实数列等比数列,其中成等差数列.则公比_______15． 已知为由不等式组，所确定的平面区域上的动点，若点，则的最大值为___________. 16．已知三棱柱的侧棱和底面垂直，且所有棱长都相等，若该三棱柱的各顶点都在球的表面上，且球的表面积为，则此三棱柱的体积为 .三、解答题（共5小题，70分，须写出必要的解答过程）17．（本小题满分12分）在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且3a ＝2c sin A ． (Ⅰ)确定角C 的大小；(Ⅱ)若c ＝7，且△ABC 的面积为332，求a ＋b 的值．18．（本小题满分12分）对某校全体教师在教学中是否经常使用信息技术实施教学的情况进行了调查，得到统计数据如下：（Ⅰ）求该校教师在教学中不．经常使用信息技术实施教学的概率； （Ⅱ）在教龄10年以下，且经常使用信息技术实施教学的教师中任选2人，其中恰有一人教龄在5年以下的概率是多少？19．（本小题满分12分）如图，已知AB平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，，且F是CD的中点．（Ⅰ）求证AF∥平面BCE；（Ⅱ）设AB＝1，求多面体ABCDE的体积．20．（本小题满分12分）已知是抛物线上一点，经过点的直线与抛物线交于两点（不同于点），直线分别交直线于点.（Ⅰ）求抛物线方程及其焦点坐标；（Ⅱ）已知为原点，求证：为定值.21．（本小题满分12分）设函数的导函数为.（Ⅰ）求函数的最小值；（Ⅱ）设，讨论函数的单调性；四、选做题（本小题满分10分.请考生22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分）22．选修4－1：几何证明选讲如图，⊙的半径为6，线段与⊙相交于点、，，，与⊙相交于点.（Ⅰ）求长；（Ⅱ）当⊥时，求证：.23．选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，以轴非负半轴为极轴，与直角坐标系取相同的长度单位，建立极坐标系. 设曲线参数方程为（为参数），直线的极坐标方程为.（Ⅰ）写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线上的点到直线的最大距离.24．选修4－5：不等式选讲设函数．（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）若的解集为，，求证：．宁城县高三年级统一考试（xx.10.20）数学试题（文科）参考答案一、选择题：DBBA BCAD CCAC二、填空题：13、；14、；15、4；16、.三、解答题:17. 解：(1)由3a＝2c sin A及正弦定理得，3sin A＝2sin C sin A．-----------2分∵sin A≠0，∴sin C＝3 2，∵△ABC是锐角三角形，∴C＝π3.------------------4分(2)∵C＝π3，△ABC面积为332，∴12ab sinπ3＝332，即ab＝6.①--------------------6分∵c＝7，∴由余弦定理得a 2＋b2－2ab cos π3＝7，即a2＋b2－ab＝7.②----------------------------9分由②变形得(a＋b)2＝3ab＋7.③将①代入③得(a＋b)2＝25，故a＋b＝5.----------------12分18.解：（Ⅰ）该校教师人数为8+10+30+18=66，该校经常使用信息技术实施教学的教师人数为2+4+10+4=20．……………………2分设“该校教师在教学中经常使用信息技术实施教学”为事件A，…………3分则，……………………5分．…………6分所以该校教师在教学中不经常使用信息技术实施教学的概率是．（Ⅱ）设经常使用信息技术实施教学，教龄在5年以下的教师为（i=1，2），教龄在5至10年的教师为（j=1，2，3，4），那么任选2人的基本事件为，，，，，，，，，，，，，，共15个．………………8分设“任选2人中恰有一人的教龄在5年以下”为事件B，包括的基本事件为，，，，，，，共8个，……………………10分则．所以恰有一人教龄在5年以下的概率是． -----------12分19．解：（Ⅰ）取CE 中点P ，连结FP 、BP ，∵F 为CD 的中点，∴FP//DE ，且FP ＝． 又AB//DE ，且AB ＝∴AB//FP ，且AB ＝FP ，∴ABPF 为平行四边形，∴AF //BP ． ……………4分 又∵AF 平面BCE ，BP 平面BCE ，∴AF //平面BCE ． ……………6分 （II ）∵直角梯形ABED 的面积为，C 到平面ABDE 的距离为，∴四棱锥C －ABDE 的体积为．即多面体ABCDE 的体积为．……………12分20.解：（Ⅰ）将代入，得所以抛物线方程为，焦点坐标为 ………………3分（Ⅱ）设，，， 设直线方程为与抛物线方程联立得到 ，消去，得： 则由韦达定理得： ………………5分 直线的方程为：，即，令，得， 同理可得： …………8分又 ，12124(2)(2)44(2)(2)M N y y OM ON y y y y --⋅=+=+++ ………11分所以，即为定值 ………………12分 21.（1）解：，令f /（x ）=0，得． ∵当时，f /（x ）＜0；当时，f /（x ）＞0， ∴当时，．----------------- 5分 （2）F （x ）=ax 2+lnx+1（x ＞0）， ．①当a≥0时，恒有F /（x ）＞0，F （x ）在（0，+∞）上是增函数； ②当a ＜0时，令F /（x ）＞0，得2ax 2+1＞0，解得；P令F /（x ）＜0，得2ax 2+1＜0，解得．综上，当a≥0时，F （x ）在（0，+∞）上是增函数； 当a ＜0时，F （x ）在上单调递增，在上单调递减．---12分四、选做题（本小题满分10分.请考生22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分）22.证明（1）∵OC =OD ，∴∠OCD =∠ODC ，∴∠OCA =∠ODB ， ∵∠BOD =∠A ，∴△OBD ∽△AOC ．∴，∵OC =OD =6，AC =4，∴，∴BD=9．…………………5分 （2）证明：∵OC =OE ，CE ⊥OD ．∴∠COD =∠BOD =∠A ． ∴∠AOD =180º–∠A –∠ODC=180º–∠COD –∠OCD=∠ADO ． ∴AD =AO ……………………10分 23. 解：⑴由得 ，∴……………2分 由得.………………5分⑵在上任取一点，则点到直线的距离为|cos 3sin 4|)4|22d θθθϕ-+++==. ………………7分其中，∴当1，.………………10分 24.解：（1）当时，不等式为，不等式的解集为； ------------ 5分 （2）即，解得，而解集是， ，解得,所以所以． -------------- 10分3755792B5銵n366648F38輸39066989A颚x(282656E69湩20759 5117 儗 40767 9F3F 鼿35494 8AA6 誦25586 63F2 揲34069 8515 蔕32368 7E70 繰。

2021年高三上学期期初考考试数学文试卷 Word版含答案

2021年高三上学期期初考考试数学文试卷 Word版含答案

2021年高三上学期期初考考试数学文试卷 Word 版含答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．已知角的终边过点，则的值为 ▲ ． 2．若实数且，则的最小值是 ▲ ．3．已知半径为2的扇形面积为，则扇形的圆心角为 ▲ ． 4．的解集为 ▲ ．5．已知()3312,,,sin ,sin 45413ππαβπαββ⎛⎫⎛⎫∈+=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则 ▲ ．6．已知函数（）的部分图象如图所示，则的解析式为 ▲ ．7．函数的对称中心是 ▲ ．8．设满足约束条件 ，则目标函数的最大值为 ▲ ． 9．若，，，且（）的最小值为16，则 ▲ ． 10．定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集是 ▲ ．11．把函数的图象上各点向右平移个单位，得到函数的图象，则的最小值为 ▲ ． 12．如果，那么 ▲ ．13．已知正实数满足，若恒成立，则实数的最大值是 ▲ ．14．已知且，则的最小值为 ▲ ．二、解答题：（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分14分）设二次函数，函数 F (x )＝f (x )－x 的两个零点为 m ，n ． （1）若 m ＝－1，n ＝2，求的值； （2）若，解不等式.16．（本题满分14分）已知函数()2sin cos sin sin 44f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求的最小正周期和单调减区间；（2）若的一个零点，求的值.17．（本题满分15分） 已知函数．（1）若，试求函数的最小值；（2）对于任意的，不等式成立，试求 的取值范围18．（本题满分15分）已知a ,b ,c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，且．（1）求的值；（2）若，求△ABC的面积．19．（本题满分16分）如图，某市欲规划一居民小区ABCD，AD=2千米，AB=1千米，∠A=90°，政府决定从该地块中划出一个直角三角形地块AEF建活动休闲区（点E，F分别在线段AB，AD上），且该直角三角形AEF的周长为1千米，△AEF的面积为S（1）①设AE=x，求S关于x的函数关系式；②设∠AEF=θ，求S关于θ的函数关系式；（2）试确定点E的位置，使得直角三角形地块AEF的面积S最大，并求出S的最大值．20．（本题满分16分）已知，函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.高邮市xx~xx 学年第一学期高三数学（文）期初调研测试参考答案一、填空题1． 2． 3． 4． 5． 6． 7． 8． 69． 9 10． 11． 12．- 13． 14． 6 二、解答题：15．解：（1）因函数 F (x )＝f (x )－x 的两个零点为－1，2．则()()()()()221122--=-+=+-+=-=x x x x c x b x x x f x F 所以，解得 ………………………………6分 （2）………………………………8分 若即时，的解集为……10分 若即时，的解集为……12分 若即时，的解集为……14分16．解：（1）()()()1cos 212sin cos sin cos 22x f x x x x x x -=++-1cos 2112cos 22cos 2222x x x x x -=-=-+（或）……………3分所以的最小正周期为……………………………………5分 由，得所以的单调减区间为………7分 （结果中少，扣2分） （2），所以……9分 又，，所以………………………………11分（不交待的范围，此步不给分，但不影响后面的得分） 所以()6sin 62sin 6cos 62cos 662cos 2cos 0000ππππππ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛-+=x x x x ………………………………14分（缺少公式展开过程，扣1分）17.解：（1）解：依题意得()()616111412-+++=++-=+=x x x x x x x f y 因为，所以，当仅且当，即时等号成立。

2021年高三上学期期初考试数学(理)试题 Word版含答案

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2021年高三上学期期初考试数学（理）试题 Word版含答案xx.8.29一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡．．．相应位置．．．．．1、集合共有个子集，f(x)＋n≤3都成立，求实数n的最大值．17、（本题14分）某中学在高一开设了数学史等4门不同的选修课，每个学生必须选修，且只能从中选一门．该校高一的3名学生甲、乙、丙对这4门不同的选修课的兴趣相同．(1) 求3个学生选择了3门不同的选修课的概率；(2) 求恰有2门选修课这3个学生都没有选择的概率；(3) 设随机变量X为甲、乙、丙这三个学生选修数学史这门课的人数，求X的分布列．18、（本题16分）某商店经销一种纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交a元（a为常数，2≤a≤5）的税收．设每件产品的售价为x元（35≤x≤41），根据市场调查，日销售量与e x（e为自然对数的底数）成反比例．已知当每件产品的售价为40元时，日销售量为10件．（1）求该商店的日利润L(x)元与每件产品的售价x的函数关系式；（2）当每件产品的日售价为多少元时，该商店的日利润L(x)最大，并求出L(x)的最大值．19、（本题16分）在各项均为正数的数列中,数列的前项和为满足.(1)求,的值；(2)由(1)猜想出数列的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想.20、（本题16分）已知,,是曲线在点处的切线.(Ⅰ)求的方程;(Ⅱ)若切线与曲线有且只有一个公共点,求的值;(Ⅲ)证明对任意的,函数总有单调递减区间,并求出单调递减区间的长度的取值范围.(区间的长度=)高三期初测试数学(理科)参考答案1、82、3、4、115、6、 7、 8、174 9、 10、5 11、和 12、 13、402514、15、解：A={0，-4}，又AB=B ，所以BA（Ⅰ）B=时，4（a+1）2-4(a 2-1)<0，得a<-1 (Ⅱ)B={0}或B={-4}时，0 得a=-1 （Ⅲ）B={0，-4}， 解得a=1 综上所述实数a=1 或a-1 16、17、 解：(1) 3个学生选择了3门不同的选修课的概率：P 1 ＝A 3443＝38.(2) 恰有2门选修课这3个学生都没有选择的概率：P 2＝C 24·C 23·A 2243＝916. (3) X ＝0，1，2，3，则有P (ξ＝ 0 ) ＝3343＝2764；P (X ＝ 1) ＝C 13·3243＝2764；P (X ＝ 2 ) ＝C 23·343＝964；P (X ＝ 3 ) ＝C 3343＝164.∴ X18、解：（1）设日销售量为k e x ，则k e 40＝10，∴k ＝10e 40． 则日销售量为10e 40ex 件．售价为x 元时，每件利润为(x －30－a )元，则日利润L (x )＝(x －30－a )10e 40e x ＝10e 40·x －30－a e x(35≤x ≤41) ························5'（2）L '(x )＝10e 40·31＋a －xe x． ························7'①当2≤a ≤4时，33≤31＋a ≤35，而35≤x ≤41， ∴L '(x )≤0，L (x )在上是单调递减函数．则当x ＝35时，L (x )取得最大值为10(5－a )e 5． ························9' ②当4＜a ≤5时，35＜31＋a ≤36，令L '(x )＝0，得x ＝a ＋31． 当x ∈时，L '(x )＜0，L (x )在(a ＋31,41]上是单调递减函数． ∴当x ＝a ＋31时，L (x )取得最大值为10e 9−a ． ························15' 综上，当2≤a ≤4时，L (x )max ＝10(5－a )e 5．当4＜a ≤5时，L (x )max ＝10e 9−a ．··················16'20、,11)22(21122)(2'+--+=++-=x x a ax x ax x f , ,切点,斜率为.∴切线的方程:(Ⅱ)切线与曲线有且只有一个公共点等价于方程有且只有一个实数解. 令,则有且只有一个实数解. ∵,∴有一解.1)]121([21)12(21112)(2'+--=+-+=++-=x a x ax x x a ax x ax x h ①在上单调递增, ∴是方程的唯一解;∴0)1ln()(,0)0()12(2>++-⨯==<-a a aa a h h a h , ∴方程在上还有一解.故方程的解不唯一;∴方程在上还有一解.故方程的解不唯一. 综上,当与曲线有且只有一个公共点时,. (Ⅲ);∵∴等价于.∵,对称轴,,∴有解,其中. ∴当时,.所以的减区间为22122121211214)222(4)(aa a a x x x x x x +=⨯+--=-+=- 当时,区间长度∴减区间长度的取值范围为]21172 52B4 労V39478 9A36 騶27061 69B5 榵25359 630F 挏123404 5B6C 孬N22511 57EF 埯24913 6151 慑WT=。

2021年高三上学期入学考试数学(理)试题含答案

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2021年高三上学期入学考试数学（理）试题含答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）1．已知全集U=R，集合，集合，则．2．不等式＞1的解集是．3．已知复数满足（为虚数单位），则共轭复数等于．4．设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的条件．（填充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要）5．执行如图所示的程序框图，则输出的值为．6．已知，，且与夹角为120°，则=________.7．已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则．8．已知函数,则．9．的值等于__________.10．若x＞0，y＞0，且2x+y=2，则的最小值是．11．若圆x2 + y2 = r2过双曲线的右焦点F，且圆与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为A，B，当四边形OAFB为菱形时，双曲线的离心率为．12．已知函数，则方程恰有两个不同的实根时，实数的取值范围是．（注：为自然对数的底数）13．已知，若在区间上任取三个数、、,均存在以、、为边长的三角形，则实数的取值范围为．14．设函数，为坐标原点，为函数图象上横坐标为的点，向量与向量的夹角为，则满足的最大整数的值为_______.二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分14分）已知向量，，，函数.（1）求的最小正周期及值域；（2）已知中，角的对边分别为，若，求的周长.16．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC = CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1 = E. 求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1.17．已知美国苹果公司生产某款iPhone手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元. 设苹果公司一年内共生产该款iPhone手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R(x)万美元，且（1）写出年利润W(万美元)关于年产量x(万只)的函数解析式；（2）当年产量为多少万只时，苹果公司在该款iPhone手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.18．如图，设是椭圆的下焦点，直线与椭圆相交于两点，与轴交于点.（1）若，求的值；（2）求证：；（3）求面积的最大值.19．已知正项数列满足：对任意，都有成等差数列，成等比数列，且.（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列的通项公式；（3）设，如果对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.20．已知函数f（x）= alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（3）求证：．高三年级期初考试 数学试题（理）参考答案一、填空题 1、2、（﹣1，）3、4、充分而不必要5、26、127、8、9、 10、 11、2 12、13、 14、2 二、解答题15.解：（1）由题意得，2231()sin 3sin cos cos 3sin cos cos(2)1223f x x x x x x x x π=--+=-+=++，又，得，在中，由余弦定理，得， 又，所以， 所以的周长为. 16．18．（1）由得， 所以，设，，则，， ………………2分因为，所以，代入上式求得. ………………………4分（2）由图形可知，要证明，等价于证明直线与直线的倾斜角互补，即等价于. …………………………………………6分21212122112211)(3211323311x x x x k x x k x kx x kx x y x y k k BF AF +-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+-=+++=+ . …………………………………………9分所以，. …………………………………………………10分 （3）由，得，所以212121211||||3()422ABF PBF PAF S S S PF x x x x x x ∆∆=-=⋅-=⋅+-△ ……13分 令，则，故（当且仅当，即，取等号）. ……15分所以，△面积的最大值是. ……………………………………………16分 19．（1）由已知， ①, ②， ………1分由②可得， ③， ……………………………2分 将③代入①得，对任意，，有，即，所以是等差数列． …………………………4分 （2）设数列的公差为，由，，得，，……6分 所以，，所以， ……………………7分 所以，)4(2222)1(225)1(1+=⋅-+=-+=n n d n b b n ， ………………8分 所以，，， ……………………9分． …………………………………………………………10分 （3）解法一：由（2），， ……………11分 所以，111111112245563444n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，……13分故不等式化为，即当时恒成立， …………………………………………14分 令)3(2312131121342)3()4)(2()(+++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++⋅+=+++=n n n n n n n n n n n n n n n f ， 则随着的增大而减小，且恒成立.故，所以，实数的取值范围是. ………………………………16分 解法二：由（2），， ……………………11分 所以，111111112245563444n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，……13分故不等式化为，所以，原不等式对任意恒成立等价于对任意恒成立， ……………………………………14分 设，由题意，，当时，恒成立； 当时，函数图像的对称轴为，在上单调递减，即在上单调递减，故只需即可， 由，得，所以当时，对恒成立． 综上，实数的取值范围是． …………………………16分20．解：（Ⅰ）当a ＞0时，f （x ）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）； 当a ＜0时，f （x ）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]； 当a=0时，f （x ）不是单调函数 （Ⅱ）得a=﹣2，f （x ）=﹣2lnx+2x ﹣3∴，∴g'（x）=3x2+（m+4）x﹣2∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）=﹣2∴由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有：，∴（Ⅲ）令a=﹣1此时f（x）=﹣lnx+x﹣3，所以f（1）=﹣2，由（Ⅰ）知f（x）=﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，∴∴Y€ 39915 9BEB 鯫e39022 986E 顮26074 65DA 旚>sN28668 6FFC 濼! 22502 57E6 埦。

2021年高三上学期期初考试数学(理)试题 含答案

2021年高三上学期期初考试数学(理)试题 含答案

南开实验学校xx届高三上学期期初考试数学理试题一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“，”的否定是（）A．，≥0 B．，C．，≥0 D．，2.若函数y=(x+1)(x-a)为偶函数,则a=( )A.-2B.-1C.1D.23.若，则（）A．B．C．D．4.计算的结果等于( )A. B. C. D.5.如果，且是第四象限的角，那么=（）A．B．C．D．6.下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的函数为（）A．B．C． D．7. 函数的图象大致是8.已知函数满足，且的导函数，则的解集为 ( )A. B. C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分9.10. 曲线在点(1,1)处的切线方程为________11. 已知定义在上的函数满足：，若，则________________12．若点P（3m，-4m），m＜0在角θ的终边上，则cosθ= ______________13.奇函数在上的解析式是，则在上=________________14.若方程x+log4x=7的解所在区间是（n，n+1）（n∈N*），则n=_________三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知集合{}22|240,,=-+-≤∈∈，A x x mx m x R m R（1）若求实数m的值；（2）若求实数m的取值范围.16.已知命题p ：“∀x ∈[1，2]，x 2-a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 02+2ax 0+2-a=0”，若命题“p 且q ”是真命题，求实数a 的取值范围．17. 已知函数()sin()(0,0,)f x A x A x R ϕϕπ=+><<∈的最大值是2，其图象经过点．（1）求的解析式； （2）已知，且，求的值．18.已知，（Ⅰ）求函数的最小正周期; (Ⅱ) 当,求函数的零点.19.已知函数．（Ⅰ）讨论函数在定义域内的极值点的个数；（Ⅱ）若函数在处取得极值，对恒成立，求实数的取值范围.20. 设常数，函数，.（Ⅰ）令，求的最小值，并比较的最小值与零的大小；（Ⅱ）求证：在上是增函数；（Ⅲ）求证：当时，恒有．【绝密★启用前 A】2021年高三上学期期初考试数学（理）试题含答案一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“，”的否定是（C ）A．，≥0 B．，C．，≥0 D．，2.若函数y=(x+1)(x-a)为偶函数,则a=( C )A.-2B.-1C.1D.23.若，则（ B ）A．B．C．D．4.计算的结果等于( D )A. B. C. D.5.如果，且是第四象限的角，那么=（ D ）A．B．C．D．6.下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的函数为（ A ）A．B．C． D．7. 函数的图象大致是（ C ）8.已知函数满足，且的导函数，则的解集为 ( B )A. B. C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分9. e10. 曲线在点(1,1)处的切线方程为__y=4x-3______11. 已知定义在上的函数满足：，若，则________________12．若点P（3m，-4m），m＜0在角θ的终边上，则cosθ= ______________ 13.奇函数在上的解析式是，则在上=__x(1+x)_____________14.若方程x+log4x=7的解所在区间是（n，n+1）（n∈N*），则n= 5_________三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知集合{}22|240,,=-+-≤∈∈，A x x mx m x R m R（3）若求实数m的值； 2（4）若求实数m的取值范围. m>5或m<-316.已知命题p ：“∀x ∈[1，2]，x 2-a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 02+2ax 0+2-a=0”，若命题“p 且q ”是真命题，求实数a 的取值范围． 解：由“p 且q ”是真命题，则p 为真命题，q 也为真命题． 若p 为真命题，a ≤x 2恒成立， ∵x ∈[1，2]， ∴a ≤1 ①；若q 为真命题，即x 2+2ax+2-a=0有实根， △=4a 2-4（2-a ）≥0， 即a ≥1或a ≤-2 ②，对①②求交集，可得{a|a ≤-2或a=1}， 综上所求实数a 的取值范围为a ≤-2或a=1．17. 已知函数()sin()(0,0,)f x A x A x R ϕϕπ=+><<∈的最大值是2，其图象经过点．（1）求的解析式； （2）已知，且，求的值．18.已知，（Ⅰ）求函数的最小正周期;(Ⅱ) 当,求函数的零点.解：（Ⅰ）=--------4分故 ------------------5分（Ⅱ）令，=0，又 ----------------7分------------------9分故函数的零点是 ---------------12分19.已知函数．（Ⅰ）讨论函数在定义域内的极值点的个数；（Ⅱ）若函数在处取得极值，对恒成立，求实数的取值范围.解：（Ⅰ），当时，在上恒成立，函数在单调递减，∴在上没有极值点；当时，得，得，∴在上递减，在上递增，即在处有极小值．∴当时在上没有极值点，当时，在上有一个极值点（Ⅱ）∵函数在处取得极值，∴，∴，令，可得在上递减，在上递增，∴，即．3分列表如下：∴在处取得极小值，即的最小值为．……5分，∵，∴，又，∴．……7分证明（Ⅱ）由（Ⅰ）知，的最小值是正数，∴对一切，恒有，……9分从而当时，恒有，故在上是增函数．……11分证明（Ⅲ）由（Ⅱ）知：在上是增函数，∴当时，，……12分又，……13分∴，即，∴故当时，恒有． (14)BWR21641 5489 咉31995 7CFB 系27977 6D49 浉28061 6D9D 涝o36291 8DC3 跃33335 8237 舷40032 9C60 鱠22257 56F1 囱35036 88DC 補。

2021年高三数学上学期第一次考试试题 理(含解析)

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2021年高三数学上学期第一次考试试题理（含解析）【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、不等式性质、导数的综合应用、函数的性质及图象、三角函数的定义、图像与性质、三角恒等变换命题及命题之间的关系等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．【题文】1. 若集合，集合,则 ( )A．B． C． D．【知识点】集合的表示及集合的交集A1【答案解析】C解析：因为，，所以，则选C.【思路点拨】在进行集合的运算时，能结合集合的元素特征进行转化的应先对集合进行转化再进行运算.【题文】2．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 ( )A．B．C．D．【知识点】函数的奇偶性与单调性B3B4【答案解析】A解析：由函数为奇函数排除D，又在其定义域内是减函数排除B,C，所以选A .【思路点拨】熟记常见函数的图像与性质是解题的关键.【题文】3．已知正角的终边上一点的坐标为（），则角的最小值为( )A． B． C． D．【知识点】三角函数的定义C1【答案解析】D解析：因为（）为第四象限的点，且tanα=，所以选D .【思路点拨】一般由角的终边位置确定角，可考虑用三角函数的定义进行解答.【题文】4．命题“所有能被5整除的数都是偶数”的否定形式是( )A．所有不能被5整除的数都是偶数 B ．所有能被5整除的数都不是偶数C ．存在一个不能被5整除的数都是偶数D ．存在一个能被5整除的数不是偶数【知识点】命题的否定A2【答案解析】D 解析：因为命题“所有能被5整除的数都是偶数”的否定形式是所有能被5整除的数不都是偶数，即存在一个能被5整除的数不是偶数，所以选D.【思路点拨】判断命题的否定注意从命题的整体含义进行否定，而不能简单的把是改为不是.【题文】5．设函数，若，则实数的取值范围是 ( )A ．B ．C ．D ．【知识点】分段函数及其应用B1【答案解析】C 解析： 因为f(0)=0＜1满足不等式，所以排除A,B,D ，则选C..【思路点拨】在选择题判断不等式的解集时，可用特例法快速判定结果.【题文】6．已知则的值等于 ( )A ．B ．C ．D ．【知识点】三角恒等变换C7【答案解析】D 解析：因为250119sin 2cos 2cos 22sin 11244169169x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+=+-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以选D.【思路点拨】在解三角函数给值求值问题时，要注意观察已知角和所求角之间是否存在和差倍角关系.【题文】7、已知函数f(x)=sin πx 的图像的一部分如图(1)，则图(2)的函数图像所对应的函数解析式可以为 ( )【知识点】三角函数的图像C3【答案解析】B 解析：由图像可知函数的最小正周期为1，则排除C,D ，又f(0)=0，排除A ，所以选B .【思路点拨】判断三角函数的图像一般从函数的周期性，振幅、及所过的特殊点等进行判断.【题文】8．已知函数关于原点对称，则函数的对称中心的坐标为( )A ．B ．C ．D ．【知识点】图像的平移变换B8C3【答案解析】C 解析：因为()2112cos ()1cos 122()1111x x f x x x ---=-=--- 该函数是由函数向右平移一个单位，再向下平移一个单位得到，所以其对称中心为，则选C.【思路点拨】通过对所求函数进行化简，利用函数的图像的平移变换，即可由已知函数的对称中心得到所求函数的对称中心.【题文】9．定义在上的可导函数，当时，恒成立，若， ， ，则的大小关系是( )A ．B ．C ．D ．【知识点】导数的应用B11 B12【答案解析】A 解析：由当时，恒成立，即 ，所以函数y=在上单调递增，所以 即，所以选A .【思路点拨】熟记导数计算法则，掌握导数与其单调性的关系是解题的关键.【题文】10．设函数，的零点分别为，则( )A ．B ．C ．D ．【知识点】对数函数与指数函数的图像与性质，函数的零点B6B7B9【答案解析】B 解析：函数f(x)的零点为函数图像的交点横坐标，函数g(x)的零点为函数图像的交点横坐标，由图像知，又，，两式相减得()12414241211log log log 044x xx x x x ⎛⎫⎛⎫+==-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，选B . 【思路点拨】利用对数的运算性质转化出两根之积是解题的关键，再利用指数函数与对数函数的性质解答即可.二、填空题：本大题共5个小题；每小题5分，共25分．【题文】11、已知函数f(x)为偶函数，且，则=_________.【知识点】定积分的性质B13【答案解析】16解析：因为函数f(x)为偶函数，且，所以=2 .【思路点拨】利用偶函数的性质可知偶函数在关于原点对称的区间上的定积分相等.【题文】12、已知α为第二象限角，则=______.【知识点】同角三角函数基本关系式C2【答案解析】0解析：因为α为第二象限角，所以11cos sin cos sin cos sin 0cos sin αααα•+•=- .【思路点拨】切化弦是三角函数常用的转化方法，本题把切转化成弦，再结合角所在的象限开方化简，即可解答.【题文】13、已知B 为锐角，，则cosB=_________.【知识点】三角函数的倍角公式C6【答案解析】 解析：因为B 为锐角，所以cosB=.【思路点拨】根据已知角的三角函数和所求角的三角函数中的角的关系，发现倍角公式特征，利用二倍角的余弦公式解答即可.【题文】14、在平面直角坐标系中，定义d(P,Q)=为两点之间的“折线距离”，则坐标原点O 与直线上任意一点的“折线距离”的最小值是_________.【知识点】点到直线的距离、两点间距离公式H12【答案解析】 解析：设点（x,y ）为直线上任意一点，则与o 的折线距离为 ，当时折线距离大于，当时折线距离大于等于，当x ＜0时，折线距离大于2，综上知坐标原点O 与直线上任意一点的“折线距离”的最小值是.【思路点拨】把折线距离转化为关于x 的绝对值函数的最小值问题，利用分段函数求最小值的方法解答即可.【题文】15、已知函数()()()()()1sin3sin,102sinx xf xg x ax ax++==+>+，对任意的，总存在，使，则实数a的取值范围是_________. 【知识点】函数的值域B3【答案解析】解析：因为()()()1sin3sin12sin2sin2sinx xf x xx x++==+-++，令t=2+sinx，因为，所以t∈[1,2]，因为函数又对于，，所以若对任意的，总存在，使，则，得0＜a≤.【思路点拨】根据题意对任意的，总存在，使，其本质就是函数g(x)的值域是函数f(x)的值域的子集，由两个集合的值域关系进行解答.三、解答题：本大题共6个小题共75分．每题解答过程写在答题卡上．【题文】16.（12分）已知命题：函数为上单调减函数,实数满足不等式.命题：当，函数。

2021年高三上学期期初考试 数学理

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长春市十一高中xx 学年度高三上学期期初考试2021年高三上学期期初考试 数学理第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合=｛4，5，7，9｝，=｛3，4，7，8，9｝，全集，则集合 中的元素共有( )A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个2.函数的图象如图所示，则导函数的图象可能是( )3．下列函数中，既不是奇函数又不是偶函数，且在上为减函数的是（ ）A ．B ． Ｃ． Ｄ． 4．下列说法错误．．的个数为（ ） ①命题“若，则一元二次方程有实根”的逆否命题是真命题 ②“x 2－3x ＋2＝0”是“x ＝2”的必要不充分条件③命题“若xy ＝0，则x ，y 中至少有一个为零”的否定是：“若xy ≠0，则x ，y 都不为零” ④命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋10；则p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋10 ⑤若命题p 为真，为假，则命题为真，为假A ．1B ．2C ．3D ．4 5．等差数列的前项和为，若，则（ ）A ．55B ．95C ．100Ｄ．不能确定6．若函数，则对其导函数最值的说法正确的是（ ）Ａ．只有最小值Ｂ．只有最大值Ｃ．既有最大值又有最小值 Ｄ．既无最大值又无最小值 7．设是函数f (x )＝在定义域内的最小零点，若，则的值满足 ( )A ．B ．C ．D ．的符号不确定 8．函数的定义域为，对任意则的解集为（ ） A ． B ． C ． D ．9．设函数在区间上是减函数，则的取值范围是（ ）A ．B ． Ｃ． Ｄ．xyOxyO AxyO Bxy OCxy O Df (x )体验 探究 合作 展示10．函数的单调递增区间为（）A．B．C．D．11．设，若，则a＝( )A．－1 B．0 C．2 D．312．设定义在R上的函数若关于的方程有9个不同实数解，则实数的取值范围是（）A．（0，1）B．C．D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．函数在区间上的最大值是．．14．已知是定义在上的函数，且对任意实数，恒有，且的最大值为1，则满足的解集为．15．已知是上最小正周期为2的周期函数，且当时，，则函数的图象在区间上与轴的交点的个数为．16．函数的最大值为，最小值为，则= ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知集合，函数的定义域为集合．（1）若，求集合；（2）已知，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.18.（本小题满分12分）在，角所对应的边为．（1）若,求的值；（2）若，求的值．19．（本小题满分12分）已知数列中，，数列满足．（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列中的最大项和最小项，并说明理由．20. （本小题满分12分）已知函数．（1）判断的奇偶性；（2）求满足的的取值范围.21．（本小题满分12分）设函数．（1）当时，在上恒成立，求实数的取值范围；（2）当时，若函数在上恰有两个不同零点，求实数取值范围．22.（本小题满分12分）定义函数．（1）令函数的图象为曲线，若存在实数，使得曲线在处有斜率是的切线，求实数的取值范围；（2）当，且时，证明：.参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A D D B B C A C A C D D二、填空题13. 14.15. 16.三、解答题17.（2）∵，∴此时，………………5分又∵∴……7分∵“”是“”的充分不必要条件，∴且∴23222225aaa a⎧>-⎪⎪≤⎨⎪+≥+⎪⎩∴…………10分18.(1)AAAA cos3sin,cos2)6sin(=∴=+π,……………5分(2)22228cos 2,3,31cos c A bc c b a c b A =-+=∴==,………………8分 由正弦定理：，而………………12分19.解：(1)证明：因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1.所以当n ≥2时，b n －b n －1＝1a n －1－1a n －1－1＝12－1a n －1－1－1a n －1－1＝a n －1a n －1－1－1a n －1－1＝1. 又b 1＝1a 1－1＝－52.所以，数列{b n }是以－52 为首项，以1为公差的等差数列．...................7分(2)由(1)知，b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n ＝1＋22n －7.设函数f (x )＝1＋22x －7，易知f (x )在区间(－∞，72)和(72，＋∞)内为减函数．所以，当n ＝3时，a n 取得最小值－1； 当n ＝4时，a n 取得最大值3...................12分20.(1)由条件知,,所以,,为奇函数................5分 (2) 即解不等式,由于..........7分 即:,解得:或............12分 21．22. （1）解：[]1)1(log ,1)(23232+++=+++=bx ax x bx ax x F x g ． 由，得．由，得．082)823(2322323>---=---++=++x ax x ax x x ax x bx ax x 在上有解．在上有解得在上有解，． 而，当且仅当时取等号，． （2）证明：()ln(1)ln(1),*,x y x y x y x y ++⇔>∈<N ． 令，则，当时，∵，∴，单调递减， 当时，． 又当时，， 当．且时，，即． - *T30591 777F 睿>33270 81F6 臶30314 766A 癪`40137 9CC9 鳉32015 7D0F 紏35672 8B58 識37820 93BC 鎼Y。

2021-2022年高三数学上学期期初联考试题 理(含解析)

2021-2022年高三数学上学期期初联考试题 理(含解析)

2021年高三数学上学期期初联考试题理（含解析）【试卷综评】命题把重点放在高中数学课程中最基础、最核心的内容上，充分关注考生在学习数学和应用数学解决问题中必须掌握的核心观念、思想方法、基本概念和常用技能。

试卷对中学数学的核心内容和基本能力，特别是对高中数学的主干知识进行较为全面地考查。

注重了知识之间的内在联系，重点内容重点考，没有片面追求知识及基本思想、方法的覆盖面，反映了新课程的理念.一、选择题：本大题有10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．【题文】1．设全集，集合，集合，则=（）A． B． C． D．【知识点】集合及其运算.A1【答案解析】A 解析：因为全集，集合，集合，所以，故，故选A.【思路点拨】根据已知条件先求出，然后再求即可.【题文】2．已知函数为奇函数,且当时, 则（）A. B. C. D.【知识点】奇函数的性质;考查函数的求值. B1 B4【答案解析】A 解析：∵函数为奇函数,且当时,∴，故选A．【思路点拨】利用奇函数的性质，即可求得答案．【题文】3．若有直线、和平面、，下列四个命题中，正确的是（）A．若，，则B．若，，，，则C．若，，则D．若，，，则【知识点】面面平行的判定定理;线面平行的定理; 面面垂直的性质定理.G4 G5【答案解析】D 解析：A不对，由面面平行的判定定理知，m与n可能相交，也可能是异面直线；B不对，由面面平行的判定定理知少相交条件；C不对，由面面垂直的性质定理知，m必须垂直交线；故选D．【思路点拨】由面面平行的判定定理和线面平行的定理判断A、B、D；由面面垂直的性质定理判断C．【题文】4．在中，“”是“角A、B、C成等差数列”的（）A．充分不必要条件 B. 充要条件 C．必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【知识点】两角差的余弦公式以及平方关系；充要条件. C 5 A2【答案解析】B 解析：因为，整理可得：22A C A C A A2cos cos sin sin cos sin，即,;而角A、B、C成等差数列可得，故在中，“”是“角A、B、C成等差数列”的充要条件.故选B.【思路点拨】先利用两角差的余弦公式以及平方关系把原式化简，然后双向判断即可. 【题文】5．直线和直线垂直，则实数的值为（）A．1 B．0 C．2 D．-1或0【知识点】直线的一般式方程;直线的垂直关系．H1 H2【答案解析】D 解析：∵直线mx+（2m-1）y+1=0和直线3x+my+3=0垂直，∴3m+m（2m-1）=0，解得m=0或m=-1．故选：D．【思路点拨】本题考查实数值的求法，解题时要认真审题，注意直线垂直的性质的合理运用．【题文】6．如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，AC=BC=4，，则二面角A-PB-C的大小的正弦值为（）A、 B、 C、 D、【知识点】二面角的求法.G5【答案解析】C 解析：如下图M连接CO，∵AC=BC=4，，∴，∴AB⊥OC，过O在平面PAB上作OM⊥PB于M，连接CM，由三垂线定理CM⊥PB，∴∠OMC是二面角A-PB-C的平面角，易知,所以在中，故选C.【思路点拨】连接CO，过O在平面PAB上作OM⊥PB于M，连接CM，∠OMC是二面角A-PB-C 的平面角，由此能求出二面角A-PB-C的大小的正弦值．【题文】7．若为等差数列,是其前项和,且S15 =,则tan的值为( )A． B． C． D．【知识点】等差数列的性质. D2【答案解析】B 解析：由等差数列{an}的前n项和的性质，，∴∴,故选B．【思路点拨】由等差数列{an}的前n项和的性质，n为奇数时，，求出，进而根据特殊角的三角函数值求出结果．【题文】8．过点（，0）引直线与曲线交于A,B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线的斜率等于（）A. B. C. D.【知识点】直线的斜率；直线与圆的关系. H1 H4【答案解析】B 解析：由，得x2+y2=1（y≥0）．所以曲线表示单位圆在x轴上方的部分（含与x轴的交点），设直线l的斜率为k，要保证直线l与曲线有两个交点，且直线不与x轴重合，则-1＜k＜0，直线l的方程为y-0=k(x−)，即kx−y−k＝0．则原点O到l的距离d=，l被半圆截得的半弦长为．则S△ABO＝=222222222(1)6(1)4462(1)(1)1k kk k k．令，则S△ABO＝，当t＝，即时，S△ABO有最大值为．此时由，解得k=．故选B．【思路点拨】由题意可知曲线为单位圆在x轴上方部分（含与x轴的交点），由此可得到过C点的直线与曲线相交时k的范围，设出直线方程，由点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，由勾股定理求出直线被圆所截半弦长，写出面积后利用配方法转化为求二次函数的最值．【题文】9．函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于（）A．2 B．3 C．4 D．6【知识点】正弦函数的图象；函数的零点与方程的根的关系.B9 C3【答案解析】C 解析：函数与的图象有公共的对称中心，作出两个函数的图象，当1＜x≤4时，≥，而函数在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在上是单调增且为正数函数，在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在(，3)上是单调减且为正数，∴函数在x=处取最大值为2≥，而函数在、上为负数与的图象没有交点，所以两个函数图象在（1，4）上有两个交点（图中C 、D ），根据它们有公共的对称中心（1，0），可得在区间（-2，1）上也有两个交点（图中A 、B ），并且：xA+xD=xB+xC=2，故所求的横坐标之和为4，故选C.【思路点拨】的图象关于点中心对称，再由正弦函数的对称中心公式，可得函数的图象的一个对称中心也是点，故交点个数为偶数，且对称点的横坐标之和为2,即可得到结果.【题文】10．在直角坐标平面中，的两个顶点A 、B 的坐标分别为A （－1，0），B （1，0），平面内两点G 、M 同时满足下列条件：（1） ，（2），（3），则的顶点C 的轨迹方程为（ ）A. B.C. D.【知识点】轨迹方程；椭圆的标准方程． H5 H9【答案解析】C 解析：由得，G 为重心，由得，M 为外心．所以M 点在y 轴上（M 到AB 两点距离相等）．又，则GM ∥AB ．设M 为（0，y ），G 为（x ，y ）（y ≠0），由重心坐标公式得C 为（3x ，3y ）．再由MA=MC ，得．整理得：①．再设c （x'，y'），由3x=x'，3y=y'得x ＝，y ＝代入①得：(x′)2+=1.所以△ABC 的顶点C 的轨迹方程为x2+ =1 (y≠0)．故选C ．【思路点拨】由题目给出的条件，分别得到G 为三角形ABC 的重心，M 为三角形ABC 的外心，设出G 点坐标，由GM ∥AB ，可知M 和G 具有相同的纵坐标，由重心坐标公式得到C 点的坐标，然后由M 到A 和C 的距离相等列式可得G 的轨迹方程，利用代入法转化为C 的轨迹方程．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）【题文】11. 若角的终边经过点P,则的值是【知识点】任意角的三角函数的定义. C1【答案解析】 解析：OP=r ＝＝1，∴点P 在单位圆上，∴sinα＝，tanα＝，得sinαtanα＝()×()＝．故答案为.【思路点拨】求出OP 的距离，利用任意角的三角函数的定义求出sin α，tan α，即可求出sin αtan α的值得到结果．【题文】12．一个组合体的三视图如图，则其体积为________________【知识点】由三视图求体积．G2【答案解析】 解析：三视图复原的几何体是下部为底面半径为2高为4的圆柱，上部是底面半径为2为3的圆锥，所以几何体的体积为：故答案为：．【思路点拨】利用三视图复原的几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．【题文】13．若则的值为 ____ .第12题图【知识点】分段函数求函数值.B1【答案解析】2 解析：由已知条件可知，所以，故答案为2.【思路点拨】先求出的值，再求即可.【题文】14. AB 为抛物线y2=2px(p>0)的过焦点的弦，若，，则= 。

辽宁高三期初考试数学文理科试卷

辽宁高三期初考试数学文理科试卷

辽宁2021-2021学年高三期初考试数学文理科试卷辽宁2021-2021学年高三期初考试数学文科试卷一.选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中只有一项符合题目要求的.)1. 设为虚数单位，假设，那么的共轭复数( )2. 全集，集合，，那么为( )3. 实数成等比数列，那么( )4. 一个几何体是由上、下两局部构成的组合体，其三视图如下图，假设图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为，那么该几何体的体积是( )5. 在区间上随机取一实数，使得的概率为( )6. 假设实数满足，那么的最小值为( )7. 有六名同学参加演讲比赛，编号分别为1，2，3，4，5，6，比赛结果设特等奖一名，四名同学对于谁获得特等奖进展预测. 说：不是1号就是2号获得特等奖;说:3号不可能获得特等奖;说: 4，5，6号不可能获得特等奖; 说;能获得特等奖的是4，5，6号中的一个.公布的比赛结果说明，中只有一个判断正确.根据以上信息，获得特等奖的是( )号同学.号中的一个8. 执行如下图的程序框图，那么输出的结果为( )9. 双曲线的一条渐近线的斜率为，且右焦点与抛物线的焦点重合，那么该双曲线的离心率等于( )10. 函数，那么的图象大致为( )11. 向量，，，假设，那么的取值范围是( )12. 函数有两个零点，，且，那么下面说法正确的选项是( )有极小值点，且第二卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4题，每题5分，共20分.)13. ，那么 .14. 设曲线在点处的切线方程为，那么实数的值为 .15. 点，，的周长是，那么的顶点的轨迹方程为 .16.各项均为正数的数列的前项和为，且满足，那么__________.三、解答题 (本大题共6小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. (本小题总分值12分)在中，内角的对边分别为，且(1)求角的值;(2)假设的面积为，的周长为，求边长18.(本小题总分值12分)全世界越来越关注环境保护问题，某市监测站点于2021年8月1日起连续天监测空气质量指数，数据统计如下：空气质量指数 0-50 51-100 101-150 151-200 201-250 空气质量等级空气优空气良轻度污染中度污染重度污染天数 20 40 10 5 (1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出的值，并完成頻率分布直方图：(2)由頻率分布直方图，求该组数据的平均数与中位数;(3)在空气质量指数分别为51-100和151-200的监测数据中，用分层抽样的方法抽取天，从中任意选取天，求事件“两天空气都为良〞发生的概率.19. (本小题总分值12分)等腰梯形(图1)中，，，，是中点，将沿折起，构成四棱锥(图2)分别是的中点.(1)求证：平面;(2)当平面平面时，求点到平面的间隔。

2021届高三数学上学期期初试题(含解析)

2021届高三数学上学期期初试题(含解析)

2021届高三数学上学期期初试题（含解析）第Ⅰ卷选择题（共45分）一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分，每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求.1. 设集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据集合的并集运算，求得可得，再集合集合的交集运算，即可求解.【详解】由题意，集合，可得，所以.故选：B.【点睛】本题主要考查了集合的交集与并集的概念及运算，其中解答中熟记集合的交集和并集的概念是解答的关键，着重考查运算与求解能力，属于基础题.2. 设是虚数单位，若复数是纯虚数，则的值为（）A. -3B. -1C. 1D. 3【答案】D【解析】【详解】因,故由题设,故,故选D．考点：复数的概念与运算.3. 已知命题，，则（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】利用全称命题的否定：改变量词，否定结论，可得出结果.【详解】命题，为全称命题，它否定为，.故选：C.【点睛】本题考查全称命题否定的改写，属于基础题.4. “”是“实系数一元二次方程有虚根”的条件．A. 必要非充分B. 充分非必要C. 充分必要D. 非充分非必要【答案】A【解析】【分析】实系数一元二次方程有虚根等价于，再根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．【详解】解：实系数一元二次方程有虚根，推不出，，“”是“实系数一元二次方程有虚根”的必要非充分条件．故选A．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．5. 函数的单调减区间是（）A. （0，1）B. （1，+∞）C. （﹣∞，1）D. （﹣1，1）【答案】A【解析】【分析】求得函数的定义域与导数，结合导数的符号，即可求得函数的递减区间，得到答案.【详解】由题意，函数的定义域为，且，因为，可得，令，即，解得，所以函数的递减区间为.故选：A.【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间，其中解答中熟记导数与函数的单调性的关系式解答的关键，着重考查推理与运算能力.6. 两人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别为、，则密码被译出的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用独立事件的概率乘法公式计算出两人都破译不出密码的概率，再利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由题意可知，两人都破译不出密码的概率为，因此，密码被译出的概率为.故选：B.【点睛】本题考查利用独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式求事件的概率，考查计算能力，属于基础题.7. 函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A【解析】【分析】直接利用函数极小值点的定义求解.【详解】由导函数在内的图象知：函数在开区间内有极小值点1个，故选：A【点睛】本题主要考查函数极小值点的定义，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题.8. 函数的定义域是R，，对任意，+<1，则不等式的解集为（）A. B.C. 或D. 或【答案】B【解析】【分析】构造函数，结合条件，求得函数的导数在定义域上恒小于零，即为减函数，从而将不等式转换为，根据单调性求得不等式的解集.【详解】构造函数，因为，所以为R上的减函数．又因为，所以原不等式转化为，即，解得.故选：B【点睛】本题主要考查构造函数法解不等式，考查运用函数的导数来求得函数的单调区间，考查化归与转化的数学思想方法.9. 如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用A. 288种B. 264种C. 240种D. 168种【答案】B【解析】先分步再排列先涂点E，有4种涂法，再涂点B，有两种可能：(1)B与E相同时，依次涂点F，C，D，A，涂法分别有3，2，2，2种；(2)B与E不相同时有3种涂法，再依次涂F、C、D、A点，涂F有2种涂法，涂C点时又有两种可能：（2.1）C与E相同，有1种涂法，再涂点D，有两种可能：①D与B相同，有1种涂法，最后涂A有2种涂法；②D与B不相同，有2种涂法，最后涂A有1种涂法．（2.2）C与E不相同，有1种涂法，再涂点D，有两种可能：①D与B相同，有1种涂法，最后涂A有2种涂法；②D与B不相同，有2种涂法，最后涂A有1种涂法．所以不同的涂色方法有4×{3×2×2×2+3×2×[1×(1×2+1×2)+1×(1×2+1×1)]}=4×(24+42)= 264．第II卷选择题（共105分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.10. 若复数满足，则的虚部为______.【答案】.【解析】【分析】根据复数的除法与模长公式求解再得出虚部即可.【详解】由题.故虚部为.故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的除法与模长的计算和虚部的概念等.属于基础题型.11. 若的二项展开式中的系数为，则（用数字作答）．【答案】2【解析】，令12. 设服从的随机变量的期望和方差分别是与，则二项分布的参数的值为________，的值为_______．【答案】 (1). (2).【解析】【分析】由二项分布的期望和方差公式可得出关于、的方程组，进而可解得这两个参数的值.【详解】由二项分布的期望和方差公式可得，解得.故答案为：；.【点睛】本题考查利用二项分布的期望和方差公式求参数值，考查计算能力，属于基础题.13. 已知直线与曲线相切，则_________．【答案】2【解析】分析：求函数的导数，由已知切线的方程，可得切线的斜率，求得切点的坐标，即可求得的值．详解：曲线的导数.∵直线与曲线相切∴切线的斜率为，可得切点的横坐标为.∴切点坐标为∴，即.故答案为.点睛：本题主要考查导数的应用，. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：（1）已知切点求斜率,即求该点处的导数；（2）己知斜率求切点即解方程；（3）巳知切线过某点 (不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.14. 用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）【答案】1080【解析】【考点】计数原理、排列、组合【名师点睛】计数原理包含分类计数原理（加法）和分步计数原理（乘法），组成四位数至多有一个数字是偶数，包括四位数字有一个是偶数和四位数字全部是奇数两类，利用加法原理计数.15. 对于总有成立，则= ．【答案】4【解析】本小题考查函数单调性及恒成立问题的综合运用，体现了分类讨论的数学思想．要使恒成立，只要在上恒成立．当时，，所以，不符合题意，舍去．当时，即单调递减，，舍去．当时①若时在和上单调递增，在上单调递减．所以②当时在上单调递减，，不符合题意，舍去．综上可知a=4.三、解答题：本大题共5个题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. 设函数的定义域为集合A，函数的定义域为集合．求：(1)集合;(2)．【答案】(1) ;;(2) ;.【解析】【分析】(1)求函数f(x)的定义域求得A,求函数g(x)的定义域求得B．(2)根据两个集合的交集的定义求得,再根据两个集合的并集的定义求得,再根据补集的定义求得．【详解】(1)由，得，∴．由得,∴．(2) ,,∴.【点睛】本题结合函数定义域，考查集合的运算，属于基础题.17. 已知集合，，且，求实数取值范围．【答案】【解析】【分析】先求得集合，再由，得到，分和两种情况讨论，列出不等式组，即可求解.【详解】由题意，集合，因为，即，又由集合当时，即，解得，此时符合题意；当时，要使得，则满足，解得，综上可得，实数的取值范围.【点睛】本题主要考查了利用集合运算求参数问题，其中解答中熟记集合间的包含关系，合理分类讨论是解答的关键，着重考查分类讨论思想，以及运算能力.18. 从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．（Ⅰ）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和数学期望；（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．【答案】（1）分布列见解析，；（2）.【解析】【分析】（1）由题意，得出随机变量的所有可能的取值为，求出对应的概率值，写出分布列，利用期望的计算公式，即可求解.（2）利用相互独立事件同时发生的概率计算公式，即可求得所求事件的概率.【详解】（1）由题意，随机变量的所有可能的取值为，因为各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，，所以，,，，所以随机变量的分布列所以随机变量的数学期望为.（2）设表示第一辆遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为：.所以这两辆共遇到1个红灯的概率为.【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列及数学期望的计算，以及概率的计算，其中解答中认真审题，结合独立事件的概率计算公式求解是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.19. 设函数，当时，函数有极值．（1）求函数解析式；（2）若方程有3个不同的根，求实数k的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意可得，，由此列方程组可解得，，从而可得解析式；（2）由（1）所求解析式可得，利用导数可得的单调区间及极值，根据的图象的大致形状即可求得的范围.【详解】（1）函数，可得，依题意得，解得，，所以所求解析式为,，令，得，经检验为极值点；（2）由（1）可得：当或时，当时，；所以当时，取得极大值，，当时，取得极小值，，其图如下所示：要使方程有3个解，只需．故实数的取值范围为：.【点睛】本题考查函数在某点取得极值的条件及根的个数判断，考查数形结合思想，属于中档题.20. 设函数＝，，其中．（1）求的单调区间；（2）若存在极值点，且＝，其中，求证：；（3）设，函数，求证：g在区间[0，2]上的最大值不小于．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析；【解析】【分析】（1）根据函数求导得到，然后分和两种求解讨论求解.（2）根据存在极值点，由（1）知：且，由，得到，然后分别求，，论证即可.（3）设g在区间[0，2]上的最大值为M，表示中最大值，结合（1）将端点函数值和极值比较，分，和三种情况讨论求解.【详解】（1）因为＝，所以，当时，，所以的增区间是，当时，令，得或，当或时，，所以的增区间是，减区间是，（2）因为存在极值点，所以由（1）知：且，所以，则，所以，，，，且，由题意知存在唯一实数，满足＝，且，所以，所以；（3）设g在区间[0，2]上的最大值为M，表示中最大值，下面分三种情况讨论：当时，，由（1）知：在递减，所以在上的取值范围是，所以，，，所以，当时，由（1）（2）知：，所以在上的取值范围是，所以，，，当时，由（2）知：，所以在上的取值范围是，所以，，，综上：当时，g在区间[0，2]上的最大值不小于【点睛】本题主要考查函数的单调性、极值、最值与导数，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于难题.2021届高三数学上学期期初试题（含解析）第Ⅰ卷选择题（共45分）一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分，每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求.1. 设集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据集合的并集运算，求得可得，再集合集合的交集运算，即可求解.【详解】由题意，集合，可得，所以.故选：B.【点睛】本题主要考查了集合的交集与并集的概念及运算，其中解答中熟记集合的交集和并集的概念是解答的关键，着重考查运算与求解能力，属于基础题.2. 设是虚数单位，若复数是纯虚数，则的值为（）A. -3B. -1C. 1D. 3【答案】D【解析】【详解】因,故由题设,故,故选D．考点：复数的概念与运算.3. 已知命题，，则（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】利用全称命题的否定：改变量词，否定结论，可得出结果.【详解】命题，为全称命题，它否定为，.故选：C.【点睛】本题考查全称命题否定的改写，属于基础题.4. “”是“实系数一元二次方程有虚根”的条件．A. 必要非充分B. 充分非必要C. 充分必要D. 非充分非必要【答案】A【解析】【分析】实系数一元二次方程有虚根等价于，再根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．【详解】解：实系数一元二次方程有虚根，推不出，，“”是“实系数一元二次方程有虚根”的必要非充分条件．故选A．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．5. 函数的单调减区间是（）A. （0，1）B. （1，+∞）C. （﹣∞，1）D. （﹣1，1）【答案】A【解析】【分析】求得函数的定义域与导数，结合导数的符号，即可求得函数的递减区间，得到答案.【详解】由题意，函数的定义域为，且，因为，可得，令，即，解得，所以函数的递减区间为.故选：A.【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间，其中解答中熟记导数与函数的单调性的关系式解答的关键，着重考查推理与运算能力.6. 两人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别为、，则密码被译出的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用独立事件的概率乘法公式计算出两人都破译不出密码的概率，再利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由题意可知，两人都破译不出密码的概率为，因此，密码被译出的概率为.故选：B.【点睛】本题考查利用独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式求事件的概率，考查计算能力，属于基础题.7. 函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A【解析】【分析】直接利用函数极小值点的定义求解.【详解】由导函数在内的图象知：函数在开区间内有极小值点1个，故选：A【点睛】本题主要考查函数极小值点的定义，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题.8. 函数的定义域是R，，对任意，+<1，则不等式的解集为（）A. B.C. 或D. 或【答案】B【解析】【分析】构造函数，结合条件，求得函数的导数在定义域上恒小于零，即为减函数，从而将不等式转换为，根据单调性求得不等式的解集.【详解】构造函数，因为，所以为R上的减函数．又因为，所以原不等式转化为，即，解得.故选：B【点睛】本题主要考查构造函数法解不等式，考查运用函数的导数来求得函数的单调区间，考查化归与转化的数学思想方法.9. 如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用A. 288种B. 264种C. 240种D. 168种【答案】B【解析】先分步再排列先涂点E，有4种涂法，再涂点B，有两种可能：(1)B与E相同时，依次涂点F，C，D，A，涂法分别有3，2，2，2种；(2)B与E不相同时有3种涂法，再依次涂F、C、D、A点，涂F有2种涂法，涂C点时又有两种可能：（2.1）C与E相同，有1种涂法，再涂点D，有两种可能：①D与B相同，有1种涂法，最后涂A有2种涂法；②D与B不相同，有2种涂法，最后涂A有1种涂法．（2.2）C与E不相同，有1种涂法，再涂点D，有两种可能：①D与B相同，有1种涂法，最后涂A有2种涂法；②D与B不相同，有2种涂法，最后涂A有1种涂法．所以不同的涂色方法有4×{3×2×2×2+3×2×[1×(1×2+1×2)+1×(1×2+1×1)]}=4×(24+42)=264．第II卷选择题（共105分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.10. 若复数满足，则的虚部为______.【答案】.【解析】【分析】根据复数的除法与模长公式求解再得出虚部即可.【详解】由题.故虚部为.故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的除法与模长的计算和虚部的概念等.属于基础题型.11. 若的二项展开式中的系数为，则（用数字作答）．【答案】2【解析】，令12. 设服从的随机变量的期望和方差分别是与，则二项分布的参数的值为________，的值为_______．【答案】 (1). (2).【解析】【分析】由二项分布的期望和方差公式可得出关于、的方程组，进而可解得这两个参数的值.【详解】由二项分布的期望和方差公式可得，解得.故答案为：；.【点睛】本题考查利用二项分布的期望和方差公式求参数值，考查计算能力，属于基础题. 13. 已知直线与曲线相切，则_________．【答案】2【解析】分析：求函数的导数，由已知切线的方程，可得切线的斜率，求得切点的坐标，即可求得的值．详解：曲线的导数.∵直线与曲线相切∴切线的斜率为，可得切点的横坐标为.∴切点坐标为∴，即.故答案为.点睛：本题主要考查导数的应用，. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：（1）已知切点求斜率,即求该点处的导数；（2）己知斜率求切点即解方程；（3）巳知切线过某点 (不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.14. 用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）【答案】1080【解析】【考点】计数原理、排列、组合【名师点睛】计数原理包含分类计数原理（加法）和分步计数原理（乘法），组成四位数至多有一个数字是偶数，包括四位数字有一个是偶数和四位数字全部是奇数两类，利用加法原理计数.15. 对于总有成立，则= ．【答案】4【解析】本小题考查函数单调性及恒成立问题的综合运用，体现了分类讨论的数学思想．要使恒成立，只要在上恒成立．当时，，所以，不符合题意，舍去．当时，即单调递减，，舍去．当时①若时在和上单调递增，在上单调递减．所以②当时在上单调递减，，不符合题意，舍去．综上可知a=4.三、解答题：本大题共5个题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. 设函数的定义域为集合A，函数的定义域为集合．求：(1)集合;(2)．【答案】(1) ;;(2) ;.【解析】【分析】(1)求函数f(x)的定义域求得A,求函数g(x)的定义域求得B．(2)根据两个集合的交集的定义求得,再根据两个集合的并集的定义求得,再根据补集的定义求得．【详解】(1)由，得，∴．由得,∴．(2) ,,∴.【点睛】本题结合函数定义域，考查集合的运算，属于基础题.17. 已知集合，，且，求实数取值范围．【答案】【解析】【分析】先求得集合，再由，得到，分和两种情况讨论，列出不等式组，即可求解.【详解】由题意，集合，因为，即，又由集合当时，即，解得，此时符合题意；当时，要使得，则满足，解得，综上可得，实数的取值范围.【点睛】本题主要考查了利用集合运算求参数问题，其中解答中熟记集合间的包含关系，合理分类讨论是解答的关键，着重考查分类讨论思想，以及运算能力.18. 从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．（Ⅰ）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和数学期望；（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．【答案】（1）分布列见解析，；（2）.【解析】【分析】（1）由题意，得出随机变量的所有可能的取值为，求出对应的概率值，写出分布列，利用期望的计算公式，即可求解.（2）利用相互独立事件同时发生的概率计算公式，即可求得所求事件的概率.【详解】（1）由题意，随机变量的所有可能的取值为，因为各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，，所以，,，，所以随机变量的分布列所以随机变量的数学期望为.（2）设表示第一辆遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为：.所以这两辆共遇到1个红灯的概率为.【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列及数学期望的计算，以及概率的计算，其中解答中认真审题，结合独立事件的概率计算公式求解是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.19. 设函数，当时，函数有极值．（1）求函数解析式；（2）若方程有3个不同的根，求实数k的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意可得，，由此列方程组可解得，，从而可得解析式；（2）由（1）所求解析式可得，利用导数可得的单调区间及极值，根据的图象的大致形状即可求得的范围.【详解】（1）函数，可得，依题意得，解得，，所以所求解析式为,，令，得，经检验为极值点；（2）由（1）可得：当或时，当时，；所以当时，取得极大值，，当时，取得极小值，，其图如下所示：要使方程有3个解，只需．故实数的取值范围为：.【点睛】本题考查函数在某点取得极值的条件及根的个数判断，考查数形结合思想，属于中档题.20. 设函数＝，，其中．（1）求的单调区间；（2）若存在极值点，且＝，其中，求证：；（3）设，函数，求证：g在区间[0，2]上的最大值不小于．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析；【解析】【分析】（1）根据函数求导得到，然后分和两种求解讨论求解. （2）根据存在极值点，由（1）知：且，由，得到，然后分别求，，论证即可.（3）设g在区间[0，2]上的最大值为M，表示中最大值，结合（1）将端点函数值和极值比较，分，和三种情况讨论求解.【详解】（1）因为＝，所以，当时，，所以的增区间是，当时，令，得或，当或时，，所以的增区间是，减区间是，（2）因为存在极值点，所以由（1）知：且，所以，则，所以，，，，且，由题意知存在唯一实数，满足＝，且，所以，所以；（3）设g在区间[0，2]上的最大值为M，表示中最大值，下面分三种情况讨论：当时，，由（1）知：在递减，所以在上的取值范围是，所以，，，所以，当时，由（1）（2）知：，所以在上的取值范围是，所以，，，当时，由（2）知：，所以在上的取值范围是，所以，，，综上：当时，g在区间[0，2]上的最大值不小于【点睛】本题主要考查函数的单调性、极值、最值与导数，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于难题.。

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2021年高三上学期期初考试 数学试题（文理）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释）1．已知集合m A B A mx x B A 则且,},1|{},1,1{===-= 的值为 （ ）A ．1或－1或0B ．－1C ．1或－1D ．02．已知向量，则 （ ）A. B. C. D.3．过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为（ ） A ． B ． C ． D ．4．若函数（）有大于零的极值点，则实数范围是 （ ）A ．B ．C ．D ．5．若，则角是 （ ）A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角D.第二或第四象限角6．“”是“”的（ ）A .充分不必要条件 B.必要不充分条件C .充要条件 D. 既不充分也不必要条件7．设直线m 、n 和平面,下列四个命题中，正确的是 （ ）A. 若B. 若C. 若D. 若8．为了得到函数的图象，可将函数的图象上所有的点的（ ）A.纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度B.纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变，再向左平移1个单位长度C.横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度D.横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度9．设集合P={1,2,3,4},集合M={3,4,5}全集U=R ，则集合P ∁UM= ( )A ．{1，2}B ．{3，4}C ．{1}D ．{-2，-1，0，1，2}10．. ，复数= ( )A. B. C. D.11．函数的一个零点落在下列哪个区间（）A.（0，1）B.（1，2）C.（2，3）D.（3，4）12．等差数列中，若，则等于（）A．3 B．4 C．5 D．6第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）13．在△ABC 中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则14．已知=-∈=+απαπαtan )0,2(,31)2sin(，则 15．已知的最大值为16．如右图，是⊙的直径，是延长线上的一点，过作⊙的切线，切点为，，若，则⊙的直径 ．三、解答题（题型注释）17．（本小题满分14分）已知，设函数（1）求的最小正周期及单调递增区间；（2）当时，求的值域.18．（本小题满分14分）如图，正三棱柱中，为的中点，为边上的动点.（Ⅰ）当点为的中点时，证明DP//平面；（Ⅱ）若，求三棱锥的体积.A19． （本小题满分12分）已知函数．（1）求的值；（2）若对于任意的，都有，求实数的取值范围．20．（本小题满分12分）在中，角所对的边为，已知。

（1）求的值；（2）若的面积为，且，求的值。

21．（本小题满分12分）如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直．∥，，，．（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）线段上是否存在点，使// 平面？若存在，求出；若不存在，说明理由．参考答案1．A【解析】因为,即m=0,或者,得到m 的值为1或－1或0，选A2．C【解析】因为222a (2,1),a b 10,a b (a b)50a 2a b b →→→→→→→→→→→=⋅=+=+==++，解得可知5，选C3．B A 1B 1 CBP AC 1D ·【解析】由题意知点P 的坐标为（-c,）,或（-c,-），因为，那么，这样根据a,b,c 的关系式化简得到结论为，选B4．B【解析】解：因为函数y=e （a-1）x +4x ，所以y′=（a-1）e （a-1）x +4（a ＜1），所以函数的零点为x 0=，因为函数y=e （a-1）x +4x （x∈R）有大于零的极值点，故＝0，得到a<-3,选B5．D【解析】因为，则角是第二或第四象限角，选D6．B【解析】因为“”是“”的逆否命题是“”是“”的必要不充分条件，选B7．D【解析】因为选项A 中，两条直线同时平行与同一个平面，则两直线的位置关系有三种，选项B 中，只有Mm,n 相交时成立，选项C 中，只有m 垂直于交线时成立，故选D8．A【解析】因为为了得到函数的图象，可将函数的图象上所有的点的纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度得到，选A9．A【解析】因为集合P={1,2,3,4},集合M={3,4,5}全集U=R ，则∁UM={1,2}，集合P ∁UM={1，2}，故选A.10．A【解析】因为，可知选A11．B【解析】因为，那么利用零点存在性定理可知，f(1)=-1<0,f(2)>0,故可知函数的零点区间为（1，2），选B12．C【解析】因为等差数列，因此选C13．1::2【解析】因为∠A:∠B:∠C=1:2:3,则可知A,B,C 分别为，根据直角三角形中边的比例关系可知，14．【解析】因为11sin(),(,0)23233tan ππααααα+=∈-==-=-，cos ,sin 则15．【解析】因为1,4116x y R x y xy +∈+=≥≤，且则 16．4【解析】因为根据已知条件可知，连接AC ，，，根据切线定理可知, ,可以解得为4.17．（1）的最小正周期为，的单调增区间为；（2）的值域为。

【解析】本试题主要是考查了三角函数的图像与性质的运用。

（1）将函数化简为单一函数，，然后运用周期公式得到结论。

（2）由（1）知，结合定义域求解得到，根据函数图像得到结论。

解：（1）∴的最小正周期为…………4分由得的单调增区间为…………8分（2）由（1）知又当故从而的值域为………14分18．【解析】本试题主要是考查了空间立体几何中线面平行的判定和三棱锥的体积的求解的综合运用。

（1）利用线线平行，得到线面平行。

（2）根据已知条件，证明线面垂直得到锥体的高，进而利用锥体体积公式得到结论。

19．（1）22ππππ3()cos ()sin cos 12121262f =--==．（2）． 【解析】本试题主要是考查了三角函数的性质的运用。

（1）将变量代入函数关系式中，得到22ππππ3()cos ()sin cos 1212126f =--==(2)因为对于任意的，都有，那么只要求解函数的最大值即可。

得到参数c 的范围。

解：（1）22ππππ3()cos ()sin cos 12121262f =--==． ………………4分 （2）1π1()[1cos(2)](1cos 2)232f x x x =+--- 1π133[cos(2)cos 2](2cos 2)23222x x x x =-+=+ ． ………8分因为 ，所以 ，所以当 ，即 时，取得最大值． ………………10分所以 ， 等价于 ．故当 ，时，的取值范围是． ………………12分20．（1） 41451)410(212sin 21cos 22-=-=⨯-=-=C C ；（2） 或 。

【解析】本试题主要是考查了解三角形的运用。

（1）因为41451)410(212sin 21cos 22-=-=⨯-=-=C C ，得到结论。

（2） ，由正弦定理可得：由（1）可知415cos 1sin 0,41cos 2=-=∴<<-=C C C C π，结合面积公式得到的值，结合余弦定理求解得到a,b,c 的值。

解：（1） 41451)410(212sin 21cos 22-=-=⨯-=-=CC…… 4分 （2） ，由正弦定理可得：由（1）可知415cos 1sin 0,41cos 2=-=∴<<-=C C C C π，得到 …………………………8分由余弦定理可得 …………………………10分由可得或， 所以或 ………12分21．（1）证明：见解析；（2）直线与平面所成角的正弦值为．（3）点满足时，有// 平面．【解析】本试题主要是考查了空间几何中点，线，面的位置关系的运用。

（1）取中点，连结，．因为，所以．同时得到 ．根据平面． 得到（2）因为平面平面，且所以B C ⊥平面，则即为直线与平面所成的角（3）假设存在点，且时，有// 平面，建立直角坐标系来证明。

解：（1）证明：取中点，连结，．因为，所以．因为四边形为直角梯形，，，所以四边形为正方形，所以．所以平面． 所以 ． ………………4分（2）解法1：因为平面平面，且所以B C ⊥平面则即为直线与平面所成的角设BC=a ，则AB=2a ，，所以则直角三角形CBE 中，即直线与平面所成角的正弦值为． ………………8分解法2：因为平面平面，且 ，所以平面，所以．由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．因为三角形为等腰直角三角形，所以，设，则(0,0,0),(1,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)O A B C D E -．所以，平面的一个法向量为．设直线与平面所成的角为，所以||3 sin|cos,|||||EC ODEC ODEC ODθ⋅=〈〉==，即直线与平面所成角的正弦值为．………8分（3）解：存在点，且时，有// 平面．证明如下：由，，所以．设平面的法向量为，则有所以取，得．因为，且平面，所以// 平面．即点满足时，有// 平面．………………12分22730 58CA 壊37827 93C3 鏃l39869 9BBD 鮽"32894 807E 聾23517 5BDD 寝#36912 9030 逰)36019 8CB3 貳36297 8DC9 跉T。

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