2020春人教B版高三高考总复习数学文科必考知识点第九章 第5节 第1课时 椭圆及简单几何性质

xy (3)点 P(x0，y0)在椭圆外⇔a2＋b2>1.
基础自测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内与两个定点 F1，F2 的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.( ) (2)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆.( )
(3)方程 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆.( )
焦点坐标为(0，±3).
答案 B x2 y2
5.(2018·全国Ⅰ卷)已知椭圆 C： ＋ ＝1 的一个焦点为(2，0)，则 C 的离心率为 a2 4
( )
1
1
2
22
A.
B.
C.
D.
3
2
2
3
解析 不妨设 a>0.因为椭圆 C 的一个焦点为(2，0)，所以焦点在 x 轴上，且 c＝2，
c2 所以 a2＝4＋4＝8，所以 a＝2 2，所以椭圆 C 的离心率 e＝ ＝ .
第 5 节 椭 圆
最新考纲 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中 的作用；2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
知识梳理
1.椭圆的定义
在平面内与两定点 F1，F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆. 这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
(a>b>0)
y2 x2 ＋ ＝1
a2 b2 (a>b>0)
图形
范围
性质
对称性 顶点
轴 焦距
－a≤x≤a
－b≤x≤b
－b≤y≤b
－a≤y≤a
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
A1(－a，0)，A2(a，0)，
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
B1(－b，0)，B2(b，0)
其数学表达式：集合 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a＞0，c＞0， 且 a，c 为常数：
(1)若 a＞c，则集合 P 为椭圆；
(2)若 a＝c，则集合 P 为线段；
(3)若 a＜c，则集合 P 为空集.
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
x2 y2 ＋ ＝1
a2 b2
A.椭圆
B.双曲线
C.抛物线
D.圆
x2 y2
(2)(2019·德阳诊断)设
P
为椭圆
C： ＋ ＝1 49 24
上一点，F1，F2
分别是椭圆
C
的左、
右焦点，且△PF1F2 的重心为点 G，若|PF1|∶|PF2|＝3∶4，那么△GPF1 的面积为
( )
A.24
B.12
C.8
D.6
解析 (1)连接 QA.
a2
答案 C
x2 y2
x2
y2
6.(2019·武汉模拟)曲线 ＋ ＝1 与曲线 ＋ ＝1(k<9)的( )
25 9
25－k 9－k
A.长轴长相等
B.短轴长相等
C.离心率相等
D.焦距相等
x2 y2 解析 曲线 ＋ ＝1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，其长轴长为 10，短轴长为 6，焦
25 9
4
x2
y2
x2 y2
y2 x2
(4) ＋ ＝1(a>b>0)与 ＋ ＝1(a>b>0)的焦距相同.( )
a2 b2
a2 b2
解析 (1)由椭圆的定义知，当该常数大于|F1F2|时，其轨迹才是椭圆，而常数等于
|F1F2|时，其轨迹为线段 F1F2，常数小于|F1F2|时，不存在这样的图形.
( ) c a2－b2
由已知得|QA|＝|QP|.
所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.
又因为点 A 在圆内，所以|OA|＜|OP|，根据椭圆的定义，点 Q 的轨迹是以 O，A
为焦点，r 为长轴长的椭圆.
x2 y2
(2)∵P
为椭圆
C： ＋ ＝1 49 24
上一点，|PF1|∶|PF2|＝3∶4，|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，
54
2
2
2
Βιβλιοθήκη Baidu
15 或( ，－1).
2
15
15
答案 ( ，1)或( ，－1)
2
2
x2 y2 4.(2019·张家口调研)椭圆 ＋ ＝1 的焦点坐标为( )
16 25
A.(±3，0)
B.(0，±3)
C.(±9，0)
D.(0，±9)
解析 根据椭圆方程可得焦点在 y 轴上，且 c2＝a2－b2＝25－16＝9，∴c＝3，故
54 及焦点 F1，F2 为顶点的三角形的面积等于 1，则点 P 的坐标为________.
解析 设 P(x，y)，由题意知 c2＝a2－b2＝5－4＝1，
所以 c＝1，则 F1(－1，0)，F2(1，0)，由题意可得点 P 到 x 轴的距离为 1，所以 y＝±1，
x2 y2
15
15
15
把 y＝±1 代入 ＋ ＝1，得 x＝± ，又 x＞0，所以 x＝ ，∴P 点坐标为( ，1)
长轴 A1A2 的长为 2a；短轴 B1B2 的长为 2b
|F1F2|＝2c
离心率 a，b，c 的关系
c e＝ ∈(0，1)
a c2＝a2－b2
[微点提醒]
点 P(x0，y0)和椭圆的位置关系
xy (1)点 P(x0，y0)在椭圆内⇔a2＋b2<1；
xy (2)点 P(x0，y0)在椭圆上⇔a2＋b2＝1；
距为 8，离心率为 .曲线 ＋ ＝1(k<9)表示焦点在 x 轴上的椭圆，其长轴
5 25－k 9－k
4
长为 2 25－k，短轴长为 2 9－k，焦距为 8，离心率为
.对照选项，知 D 正
25－k
确.
答案 D
第 1 课时 椭圆及简单几何性质
考点一 椭圆的定义及其应用 【例 1】 (1)如图，圆 O 的半径为定长 r，A 是圆 O 内一个定点，P 是圆上任意一 点，线段 AP 的垂直平分线 l 和半径 OP 相交于点 Q，当点 P 在圆上运动时，点 Q 的轨迹是( )
解析 因为|PF1|＋|PF2|＝10>|F1F2|＝6，所以点 P 的轨迹是以 F1，F2 为焦点的椭圆， x2 y2
其中 a＝5，c＝3，b＝ a2－c2＝4，故点 P 的轨迹方程为 ＋ ＝1. 25 16
x2 y2 答案 ＋ ＝1
25 16
x2 y2 3.(选修 1－1P42A6 改编)已知点 P 是椭圆 ＋ ＝1 上 y 轴右侧的一点，且以点 P
b2
b
(2)因为 e＝ ＝
＝ 1－ ，所以 e 越大，则 越小，椭圆就越扁.
aa
a
a
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
2.(选修 1－1P42A1 改编)若 F1(3，0)，F2(－3，0)，点 P 到 F1，F2 的距离之和为 10，
则 P 点的轨迹方程是_________________________________.