北师大版八年级下数学期末复习压轴题()

合集下载

2020年八年级数学下册期末复习压轴题练习(含答案)

2020年八年级数学下册期末复习压轴题练习1.如图①，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PE=PA，PE交CD于F．（1）求证：PC=PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图②，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其它条件不变，若∠ABC=65°，则∠CPE=度．2.如图①，在△ABC中，AB=AC，过AB上一点D作DE∥AC交BC于点E，以E为顶点，ED为一边，作∠DEF=∠A，另一边EF交AC于点F．（1）求证：四边形ADEF为平行四边形；（2）当点D为AB中点时，判断▱ADEF的形状；（3）延长图①中的DE到点G，使EG=DE，连接AE，AG，FG，得到图②，若AD=AG，判断四边形AEGF的形状，并说明理由．3.如图，将边长为4的正方形ABCD沿着折痕EF折叠，使点B落在边AD的中点G处．（1）求线段BE的长；（2）连接BF、GF，求证：BF=GF；（3）求四边形BCFE的面积．4.四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG（1）如图，求证：矩形DEFG是正方形；（2）若AB=2，CE=2，求CG的长；（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC的度数．5.如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=3cm，AD=5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF．（1）求证：四边形BFEP为菱形.（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动；①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形BFEP的边长；②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．6.已知矩形ABCD和点P，当点P在BC上任一位置（如图（1）所示）时，易证得结论：PA2+PC2=PB2+PD2，请你探究：当点P分别在图（2）、图（3）中的位置时，PA2、PB2、PC2和PD2又有怎样的数量关系请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图（2）证明你的结论．答：对图（2）的探究结论为；对图（3）的探究结论为；7.如图，正方形ABCD中，G为射线BC上一点，连接AG，过G点作GN⊥AG，再作∠DCM的平分线，交GN于点H.（1）如图1，当G是线段BC的中点时，求证：AG=GH；（2）如图2，当G是线段BC上任意一点时，（1）中结论还成立吗？若不成立请说明理由；若成立，请写出证明过程.（3）当G是线段BC的延长线上任意一点时，（1）中结论还成立吗？若不成立请说明理由；若成立，请写出证明过程.8.菱形ABCD中，点P为CD上一点，连接BP.（1）如图1，若BP⊥CD，菱形ABCD边长为10，PD=4，连接AP，求AP的长.（2）如图2，连接对角线AC、BD相交于点O，点N为BP的中点，过P作PM⊥AC于M，连接ON、MN.试判断△MON的形状，并说明理由.9.将正方形ABCD放在如图所示的直角坐标系中,A点的坐标为(4,0),N点的坐标为(3,0)，MN平行于y轴，E是BC的中点，现将纸片折叠，使点C落在MN上，折痕为直线EF.(1)求点G的坐标；(2)求直线EF的解析式；(3)设点P为直线EF上一点，是否存在这样的点P，使以P,F,G的三角形是等腰三角形?若存在，直接写出P点的坐标;若不存在，请说明理由.10.如图1，在△OAB中，∠OAB=90º，∠AOB=30º，OB=8．以OB为一边，在△OAB外作等边三角形OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．(1)求点B的坐标；(2)求证：四边形ABCE是平行四边形；(3)如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．11.阅读下面材料：我们知道一次函数y=kx+b(k≠0，k、b 是常数)的图象是一条直线，到高中学习时，直线通常写成Ax+By+C=0(A≠0，A、B、C 是常数)的形式，点P(x 0，y 0)到直线Ax+By+C=0的距离可用公式d=计算．例如：求点P(3，4)到直线y=﹣2x+5的距离．根据以上材料解答下列问题：(1)求点Q(﹣2，2)到直线3x﹣y+7=0的距离；(2)如图，直线y=﹣x 沿y 轴向上平移2个单位得到另一条直线，求这两条平行直线之间的距离．12.如图，点A 的坐标是(﹣2，0)，点B 的坐标是(6，0)，点C 在第一象限内且△OBC 为等边三角形，直线BC 交y 轴于点D，过点A 作直线AE⊥BD，垂足为E，交OC 于点F.(1)求直线BD 的函数表达式；(2)求线段OF 的长；(3)连接BF，OE，试判断线段BF 和OE 的数量关系，并说明理由.13.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b 的图象与x 轴交于点A（-3，0），与y 轴交于点B，且与正比例函数的图象交点为C（m，4）．求：（1）一次函数y=kx+b 的解析式；（2）若点D 在第二象限，△DAB 是以AB 为直角边的等腰直角三角形，则点D 的坐标为；（3）在x 轴上求一点P 使△POC 为等腰三角形，请求出所有符合条件的点P 的坐标．14.已知一次函数y=2x－4的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A、B，点P 在该函数的图象上，P到x 轴、y 轴的距离分别为d 1、d 2.(1)当P 为线段AB 的中点时，求d 1＋d 2的值；(2)直接写出d 1＋d 2的范围，并求当d 1＋d 2=3时点P 的坐标；(3)若在线段AB 上存在无数个P 点，使d 1＋ad 2=4(a 为常数)，求a 的值．15.阅读理解：运用“同一图形的面积相等”可以证明一些含有线段的等式成立，这种解决问题的方法我们称之为面积法．如图1，在等腰△ABC 中，AB=AC，AC 边上的高为h，点M 为底边BC 上的任意一点，点M 到腰AB、AC 的距离分别为h 1、h 2，连接AM，利用S △ABC =S △ABM +S △ACM ，可以得出结论：h=h 1+h 2．类比探究：在图1中，当点M 在BC 的延长线上时，猜想h、h 1、h 2之间的数量关系并证明你的结论．拓展应用：如图2，在平面直角坐标系中，有两条直线l 1：y=0.75x+3，l 2：y=﹣3x+3，若l 2上一点M 到l 1的距离是1，试运用“阅读理解”和“类比探究”中获得的结论，求出点M 的坐标．16.如图，直线y=2x+m(m>0)与x 轴交于点A(-2,0)直线y=-x+n(n>0)与x 轴、y 轴分别交于B、C 两点，并与直线y=2x+m(m>0)相交于点D，若AB=4．（1）求点D 的坐标；（2）求出四边形AOCD 的面积；（3）若E 为x 轴上一点，且△ACE 为等腰三角形，直接写出点E 的坐标．17.如图，己知直线l：y=x+1（k≠0）的图象与x轴、y轴交于A、B两点.（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）若P是x轴上的一个动点，求出当△PAB是等腰三角形时P的坐标；（3）在y轴上有点C（0，3），点D在直线l上.若△ACD面积等于4.请直接写出D的坐标.18.如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣2x+8的图象与x轴，y轴分别交于点A，点C，过点A作AB⊥x轴，垂足为点A，过点C作CB⊥y轴，垂足为点C，两条垂线相交于点B．（1）线段AB，BC，AC的长分别为AB=，BC=，AC=；（2）折叠图1中的△ABC，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕DE交AB于点D，交AC于点E，连接CD，如图2．请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择题．A：①求线段AD的长；②在y轴上，是否存在点P，使得△APD为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．B：①求线段DE的长；②在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得以点A，P，C为顶点的三角形与△ABC全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．19.如图，直线l 1与x 轴、y 轴分别交于A、B 两点，直线l 2与直线l 1关于x 轴对称.已知直线l 1的解析式为y=x+3.（1）求直线l 2的解析式；（2）过A 点在△ABC 的外部作一条直线l 3，过点B 作BE⊥l 3于E,过点C 作CF⊥l 3于F 分别，请画出图形并求证：BE＋CF=EF（3）△ABC 沿y 轴向下平移，AB 边交x 轴于点P，过P 点的直线与AC 边的延长线相交于点Q，与y 轴相交与点M，且BP=CQ，在△ABC 平移的过程中，①OM 为定值；②MC 为定值。

解答题压轴题训练(一)(解析版)-2020-2021学年八年级数学下学期期中考试压轴题专练(北师大版

2021年八下期中考试金牌解答题压轴题训练（一）（时间：60分钟总分：100）班级姓名得分一、解答题1．已知在ABC 中，AB AC =，射线BM 、BN 在ABC ∠内部，分别交线段AC 于点G 、H ．（1）如图1，若60ABC ∠=︒，30MBN =︒∠，过点A 作AE BN ⊥于点D ，分别交BC 、BM 于点E 、F ；①求证：CE AG =；①若2BF AF =，连接CF ，求CFE ∠的度数；（2）如图2，点E 为BC 上一点，AE 交BM 于点F ，连接CF ．若2∠=∠=∠BFE BAC CFE ，请直接写出=ABF ACFSS________．【答案】（1）①见解析；①30°；（2）2 【分析】（1）①根据题意可得60BFD ∠=︒，ABC 为等边三角形，从而综合三角形的外角定理得到ABF CAF ∠=∠，最终运用“角边角”证明ABG CAE △≌△即可； ①取BF 的中点K ，连接AK ，由2BF AF =推出FAK 是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到FAK FKA ∠=∠，并求出1302FKA BFD ∠=∠=︒，然后结合①的结论证明GAK EFC △≌△，从而得到30CFE AKF ∠=∠=︒；（2）在BF 上取BK =AF ，连接AK ，推出①EAC =①FBA ，根据全等三角形的性质得到CF ABKA SS =△，①AKB =①AFC ，证得①F AK 是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到AF =FK ，即可得到结论．【详解】（1）①①AE BN ⊥，30MBN =︒∠， ①60BFD ∠=︒，即：60ABF BAF ∠+∠=︒， ①60ABC ∠=︒，AB AC =， ①ABC 为等边三角形，则60BAF CAF BAC ∠+∠=∠=︒，60BAG C ∠=∠=︒， ①ABF CAF ∠=∠，在ABG 和CAE 中，ABF CAF AB ACBAG C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩①()ABG CAE ASA △≌△， ①CE AG =；①如图所示，取BF 的中点K ，连接AK ， ①2BF AF =， ①12AF BK FK BF ===， ①FAK 是等腰三角形，①FAK FKA ∠=∠，①2BFD FAK FKA FKA ∠=∠+∠=∠， ①1302FKA BFD ∠=∠=︒，由①可得：AG CE =，BG AE =，AGB AEC ∠=∠， ①KG BG BK AE AF FE =-=-=，在GAK 与EFC 中，AG CE AGB AEC KG FE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①()GAK EFC SAS △≌△， ①30CFE AKF ∠=∠=︒；（2）如图所示，在BF 上取BK =AF ，连接AK ， ①①BFE =①BAF +①ABF ，①BFE =①BAC ， ①①BAF +①EAC =①BAF +①ABF ， ①①EAC =①FBA ，在①ABK 和①ACF 中，AB AC ABK FAC BK AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①①ABK ①①ACF (SAS )， ①CF ABKA SS =△，①AKB =①AFC ，①①BFE =2①CFE ， ①①BFE =2①AKF ，①①BFE =2①AKF =①AKF +①KAF ， ①①AKF =①KAF ，①F AK 是等腰三角形， ①AF =FK ， ①BK =AF =FK ， ①FK ABKA S S =△， ①22FAFK ABFABKABKAC SSS SS=+==△，①2ABF ACFS S=，故答案为：2．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质等，正确结合题意作出辅助线是解题关键．2．某市出租车的起步价是7元（起步价是指不超过3km 行程的出租车价格），超过3km 行程后，其中除3km 的行程按起步价计费外，超过部分按每千米1.6元计费（不足1km 按1km 计算）．如果仅去程乘出租车而回程时不乘坐此车，并且去程超过3km ，那么顾客还需付回程的空驶费，超过3km 部分按每千米0.8元计算空驶费（即超过部分实际按每千米2.4元计费）．如果往返都乘同一出租车并且中间等候时间不超过3分钟，则不收取空驶费而加收1.6元等候费．现设小文等4人从市中心A 处到相距km x （12x ）的B 处办事，在B 处停留的时间在3分钟以内，然后返回A 处．现在有两种往返方案：方案一：去时4人同乘一辆出租车，返回都乘公交车（公交车票为每人2元）；方案二：4人乘同一辆出租车往返．问选择哪种计费方式更省钱？（写出过程）【答案】当x 小于5时，方案二省钱；当x=5时，两种方案费用相同；当x 大于5且不大于12时时，方案一省钱【分析】先根据题意列出方案一的费用：起步价+超过3km 的km 数×1.6元+回程的空驶费+乘公交的费用，再求出方案二的费用：起步价+超过3km 的km 数×1.6元+返回时的费用1.6x+1.6元的等候费，最后分三种情况比较两个式子的大小．【详解】方案一的费用：7+（x -3）×1.6+0.8（x -3）+4×2 =7+1.6x -4.8+0.8x -2.4+8=7.8+2.4x，方案二的费用：7+（x-3）×1.6+1.6x+1.6=7+1.6x-4.8+1.6x+1.6=3.8+3.2x，①费用相同时x的值7.8+2.4x=3.8+3.2x，解得x=5，所以当x=5km时费用相同；①方案一费用高时x的值7.8+2.4x＞3.8+3.2x，解得x＜5，所以当x＜5km方案二省钱；①方案二费用高时x的值7.8+2.4x＜3.8+3.2x，解得x＞5，所以当x＞5km方案一省钱．【点睛】此题考查了应用类问题，解答本题的关键是根据题目所示的收费标准，列出x的关系式，再比较．3．已知：如图，①AOB=α，OC平分①AOB，D是边OA上一点，将射线OB沿OD平移至射线DE，交OC于点F，E在F右侧．M是射线DA上一点（与D不重合），N是线段DF上一点（与D，F不重合），连接MN，①OMN=β．（1）请在图1中根据题意补全图形；（2）求①MNE的度数（用含α，β的式子表示）；（3）点G在线段OF上（与O，F不重合），连接GN并延长交OA于点T，且满足2①NGO ＋①OMN=180°，画出符合题意的图形，并探究①ENM与①ENG的数量关系．【答案】（1）见解析；（2）①MNE=β＋α，（3）见解析，①ENM=180°﹣2①ENG 【分析】（1）根据要求画出图形即可；（2）利用三角形的外角的性质以及平行线的性质解决问题即可；（3）结论：①ENM=180°﹣2①ENG．利用三角形的外角的性质解决问题即可．【详解】解：（1）图形如图所示．（2）①DE①OB，①①MDN=①AOB，①①MNE=①OMN＋①MDN=β＋α．（3）结论：①ENM=180°﹣2①ENG．理由：如图，设①NGO=γ．①2①NGO＋①OMN=180°，①2γ+β=180°，即β=180°-2γ，①①ENM=α＋β=α＋180°﹣2γ=180°＋α﹣2γ，①①ENG=①DNT=①MTN﹣①ADF=①AOC＋①NGO﹣①ADF=12α＋γ﹣α =γ﹣12α，即2γ=2①ENG+α，①①ENM=180°＋α﹣(2①ENG+α)= 180°﹣2①ENG ．【点睛】本题考查了平移变换，平行线的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 4．综合与实践如图①，已知直线33y x =+与x 轴，y 轴分别交于B ，A 两点以B 为直角顶点在第二象限内部作等腰Rt ABC ，完成下列任务：（1）点C 的坐标为______________；（2）求直线AC 的关系式；（3）如图①，直线AC 交x 轴于M ，点()3,P a -是线段BC 上一点，在线段BM 上是否存在一点N ，使直线PN 平分BCM 的面积？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）(4,1)C -；（2）132=+AC y x ；（3）存在，19(,0)4-N 【分析】（1）如图1，作CQ①x 轴，垂足为Q ，利用等腰直角三角形的性质证明①ABO①①BCQ （AAS ），根据全等三角形的性质求OQ ，CQ 的长，确定C 点坐标；（2）由待定系数法，即可求出答案；（3）依题意确定P 点坐标，可知①BPN 中BN 边上的高，再由S ①PBN =12S ①BCM ，求BN ，进而得出ON ．【详解】解：（1）①33y x =+,令x=0，则y=3，令y=0，则x=1-， ①点A 为（0，3），点B 为（1-，0）， ①OA=3，OB=1；如图，作CQ①x 轴，垂足为Q ，①①OBA+①OAB=90°，①OBA+①QBC=90°， ①①OAB=①QBC ，又①AB=BC ，①AOB=①Q=90°， ①①ABO①①BCQ （AAS ），①BQ=AO=3，OQ=BQ+BO=4，CQ=OB=1， ①C （-4，1）；（2）设直线AC 的解析式为：AC y kx b =+，由A （0，3），C （4-，1）可知，341b k b =⎧⎨-+=⎩，解得123k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ①直线AC ：132=+AC y x ；（3）如图，①点B （1-，0），点C （-4，1），直线BC ：1133y x =--， ①()3,P a -是线段BC 上一点， ①23,3P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由132=+AC y x 知，点M 为（-6，0）， ①BM=5，则S ①BCM =52．设点N （n ，0），且点N 在线段BM 上，则BN=1n --，假设存在点N 使①BPN 面积等于①BCM 面积的一半，则12BN•y P =12×52， ①125(1)234n ⨯--⨯=，解得：194n =-，①点N 的坐标为（194-，0）；【点睛】本题考查了一次函数的综合运用．关键是根据等腰直角三角形的特殊性证明全等三角形，利用全等三角形的性质求解．5．小南根据学习函数的经验，对函数|2|y a x b =-+的图象与性质进行了探究．下表是小南探究过程中的部分信息：请按要求完成下列各小题：（1）该函数的解析式为，自变量 x 的取值范围为；（2）n 的值为；点11,22⎛⎫-⎪⎝⎭该函数图象上；（填“在”或“不在”）（3）在如图所示的平面直角坐标系中，描全上表中以各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；（4）结合函数的图象，解决问题： ①写出该函数的一条性质：； ①如图，在同一坐标系中是一次函数1133y x =-+的图象，根据象回答，当11|2|33a xb x -+<-+时，自变量 x 的取值范围为．【答案】（1）23y x =--；全体实数；（2）-3；不在；（3）见解析；（4）①函数有最小值为-3；①24x -<< 【分析】（1）把x=-4，y=3；x=-3，y=2代入2y a x b =-+得到二元一次方程组，解方程组求出a 、b 的值，即可求出解析式；自变量 x 没有限制，为全体实数；（2）把x=2代入（1）中的解析式，可求出n 的值；把x=12代入（1）中的解析式，可求出y 的值，即可判断点11,22⎛⎫-⎪⎝⎭在不在该函数图象上；（3）描点，顺次连接即可画出该函数的图象；（4）①观察图象即可得到函数的最小值；①根据图象即可求出11|2|33a xb x -+<-+时x 的取值范围．解：（1）把x=-4，y=3；x=-3，y=2代入2y a x b =-+，得423322a b a b ⎧--+=⎪⎨--+=⎪⎩，解得，13a b =⎧⎨=-⎩， ①该函数的解析式为23y x =--；自变量 x 的取值范围为全体实数；故答案是：23y x =--；全体实数；（2）在23y x =--中，当x=2时，3y =-，①n=-3．当x=12时，32y =-， ①点11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭不在函数23y x =--的图象上；故答案为：-3；不在；（3）该函数的图象如图：（4）①从图象可以看出，该函数有最小值为-3；故答案为：函数有最小值为-3；①从图象可以看出，当24x -<<时23y x =--的图象位于1133y x =-+的图象的下方， ①当11|2|33a xb x -+<-+时，自变量 x 的取值范围为24x -<<．故答案为：24x -<<．本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，利用图象求不等式的解集，正确画出函数的图象是解题的关键．6．如图1，已知①ABC中，①ACB＝90°，AC＝BC＝6，点D在AB边的延长线上，且CD ＝AB．（1）求BD的长度；（2）如图2，将①ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到①A'CD'．①若α＝30°，A'D'与CD相交于点E，求DE的长度；①连接A'D、BD'，若旋转过程中A'D＝BD'时，求满足条件的α的度数．（3）如图3，将①ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到①A'CD'，若点M为AC 的中点，点N为线段A'D'上任意一点，直接写出旋转过程中线段MN长度的取值范围．【答案】（1）﹣；（2）﹣；①45°或225°；（3）＋3【分析】（1）过点C作CH①AB于H，由等腰直角三角形的性质可得CH＝BH＝12AB，由勾股定理求出DH，则可求出答案；（2）①由旋转的性质可得CD＝CD'＝①DCD'＝30°＝①CDA＝①CD'A'，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得CF＝D'F＝，EF，CE＝2EF＝，即可求解；①分两种情况讨论，由“SSS”可证①A'CD①①BCD'，可得①A'CD＝①BCD'，即可求解；（3）当A'D'①AC时，N是AC与A'D'的交点时，MN的长度最小，当A'D'①AC时，N是AC与A'D'的交点时，MN的长度最小，即可求解．解：（1）如图1，过点C 作CH①AB 于H ，①①ACB ＝90°，AC ＝BC ＝6，CH①AB ，①AB ＝CD ＝，CH ＝BH ＝12AB ＝，①CAB ＝①CBA ＝45°，①DH ==①BD ＝DH ﹣BH ＝﹣；（2）①如图2，过点E 作EF①CD'于F ，①将①ACD 绕点C 逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到①A′CD′，①CD ＝CD'＝，①图1中CD=2CH ，①①DCD'＝30°＝①CDA ＝①CD'A'，①CE ＝D'E ，又①EF①CD'，①CF ＝D'F ＝EF=CE ＝2EF ＝，①DE ＝DC ﹣CE ＝﹣；①如图2﹣1，①①ABC＝45°，①ADC＝30°，①①BCD＝15°，①①ACD＝105°，①将①ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到①A′CD′，①AC＝A'C，CD＝CD'，①ACA'＝①DCD'＝α，①CB＝CA'，又①A′D＝BD′，①①A'CD①①BCD'（SSS），①①A'CD＝①BCD'，①105°﹣α＝15°＋α，①α＝45°；如图2﹣2，同理可证：①A'CD①①BCD'，①①A'CD＝①BCD'，①α﹣105°＝360°﹣α﹣15°，①α＝225°，综上所述：满足条件的α的度数为45°或225°；（3）如图3，当A'D'①AC时，N是AC与A'D'的交点时，MN的长度最小，①①A'＝45°，A'D'①AC ，①①A'＝①NCA'＝45°，①CN ＝A'N ＝，①点M 为AC 的中点，①CM ＝12AC ＝3，①MN 的最小值＝NC ﹣CM ＝﹣3；如图4，当点A ，点C ，点D'共线，且点N 与点D'重合时，MN 有最大值，此时MN ＝CM ＋CN ＝＋3，①线段MN 的取值范围是﹣＋3．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、旋转的性质及二次根式的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、旋转的性质及二次根式的性质是解题的关键．7．如图，ABC 中，CD AB ⊥于点 D ，CD BD =，点 E 在CD 上，DE DA =，连接BE ．（1）求证：BE CA =；（2）延长BE 交AC 于点F ，连接DF ，求CFD ∠的度数；（3）过点C 作CM CA ⊥，CM CA =，连接BM 交CD 于点N ，若12BD =，5AD =，直接写出NBC 的面积．【答案】（1）见解析；（2）①CFD =135°；（3）①NBC 的面积为21．【分析】（1）由“SAS ”可证①BDE ①①CDA ，可得BE =CA ；（2）过点D 作DG ①AC 于G ，DH ①BF 于H ，由全等三角形的性质可得①DBE =①ACD ，S ①BDE =S ①ADC ，由面积关系可求DH =DG ，由角平分线的性质可得①DFG =①DFH =45°，即可求解；（3）在CD 上截取DE =AD =5，连接BE ，延长BE 交AC 于F ，由①BEN ①①MCN ，可得EN =CN ，由三角形的面积公式可求解．【详解】证明（1）在①BDE 和①CDA 中，90BD CD BDE CDA DE AD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，①①BDE ①①CDA （SAS ），①BE =CA ；（2）如图2，过点D 作DG ①AC 于G ，DH ①BF 于H ，①①BDE ①①CDA ，①①DBE =①DCA ，S ①BDE =S ①ADC ，①①DBE +①A =①ACD +①A =90°，①①AFB =①CFB =90°，①S ①BDE =S ①ADC ， ①1122BE DH AC DG ⨯=⨯⨯， ①DH =DG ，又①DG ①AC ，DH ①BF ，①①DFG =①DFH =45°，①①CFD =135°；（3）如图3，在CD 上截取DE =AD =5，连接BE ，延长BE 交AC 于F ，由（1）、（2）可得BE =AC ，BF ①AC ，BD =CD =12，①CM ①CA ，①BF ①CM ，①①M =①FBN ，①CM =CA ，①CM =BE ，在①BEN 和①MCN 中，FBN M BNE MNC BE CM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①BEN ①①MCN （AAS ），①EN =CN ，①EC =CD -DE =12-5=7， ①72CN =，①①NBC的面积1171221 222NC BD=⨯⨯=⨯⨯=，故①NBC的面积为21．【点睛】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质，三角形的面积公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．8．某农产品生产基地收获红薯192吨，准备运给甲、乙两地的承包商进行包销．该基地用大、小两种货车共18辆恰好能一次性运完这批红薯，已知这两种货车的载重量分别为14吨/吨和8吨/辆，运往甲、乙两地的运费如下表：（1）求这两种货车各用多少辆；（2）如果安排10辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，其中前往甲地的大货车为a辆，总运费为w元，求w关于a的函数关系式；（3）在（2）的条件下，若甲地的承包商包销的红薯不少于96吨，请你设计出使总运费最低的货车调配方案，并求出最低总运费．【答案】（1）大货车用8辆，小货车用10辆；（2）w=70a+11400（0≤a≤8且为整数）；（3）使总运费最少的调配方案是：3辆大货车、7辆小货车前往甲地；5辆大货车、3辆小货车前往乙地．最少运费为11610元．【分析】（1）根据大、小两种货车共18辆，以及两种车所运的货物的和是192吨，据此即可列方程或方程组即可求解；（2）首先表示出每种车中，每条路线中的费用，总运费为w元就是各个费用的和，据此即可写出函数关系式；（3）根据运往甲地的物资不少于96吨，即可列出不等式求得a的范围，再根据a是整数，即可确定a的值，根据（2）中的函数关系，即可确定w的最小值，确定运输方案．【详解】（1）设大货车用x 辆，则小货车用（18﹣x ）辆，根据题意得：14x +8（18﹣x ）=192，解得：x =8，18﹣x =18﹣8=10．答：大货车用8辆，小货车用10辆．（2）设运往甲地的大货车是a ，那么运往乙地的大货车就应该是（8﹣a ），运往甲地的小货车是（10﹣a ），运往乙地的小货车是10﹣（10﹣a ），w =720a +800（8﹣a ）+500（10﹣a ）+650[10﹣（10﹣a ）]=70a +11400（0≤a ≤8且为整数）；（3）14a +8（10﹣a ）≥96，解得：a ≥83．又①0≤a ≤8，①3≤a ≤8 且为整数．①w =70a +11400，k =70＞0，w 随a 的增大而增大，①当a =3时，W 最小，最小值为：W =70×3+11400=11610（元）．答：使总运费最少的调配方案是：3辆大货车、7辆小货车前往甲地；5辆大货车、3辆小货车前往乙地．最少运费为11610元．【点睛】本题主要考查了一次函数和一元一次不等式的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．9．（1）如图①，在直角ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 为BC 边上一动点（与点B 不重合），连接AD ，将ABD △绕点A 逆时针旋转90︒，得到ACE △，那么,CE BD 之间的位置关系为__________，数量关系为__________；（2）如图①，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，D ，E （点D ，E 不与点B ，C 重合）为BC 上两动点，且45DAE ∠=︒．求证：222BD CE DE +=．（3）如图①，在ABC 中，120CAB ∠=︒，AB AC =，60DAE ∠=︒，3BC =+D ，E （点D ，E 不与点B ，C 重合）为BC 上两动点，若以,,BD DE EC 为边长的三角形是以BD 为斜边的直角三角形时，求BE 的长．【答案】（1）CE①BD ；CE=BD ；（2）见解析；（3）BE 2=+【分析】（1）根据D CAE BA ∠=∠，AD=AE ，运用SAS 证明ABD ACE ≅，根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到线段CE 、BD 之间的关系；（2）把ACE 绕点A 顺时针旋转90︒，得到 ABG ，连接DG ，由SAS 得到ADG ADE ≅，可得DE=DG ，即可把EF 、BE 、FC 放到一个直角三角形中，从而根据勾股定理即可证明；（3）把AEC 绕点A 顺时针旋转120︒，得到AFB ，可得AF=AE ，ABF ACB ∠=∠，EC=BF ，EAF 120∠=︒，由SAS 可证ADE ADF ≅，可得DF=DE ，由以BD 、DE 、EC 为边的三角形是直角三角形，分两种情况讨论，由直角三角形的性质可求解．【详解】解：（1）CE 与BD 位置关系是CE①BD ，数量关系是CE=BD①ABD △绕点A 逆时针旋转90︒，得到ACE △①DAE 90BAC ∠=∠=︒①D 90DAC BA ∠=︒-∠，CAE 90DAC ∠=︒-∠①D CAE BA ∠=∠①BA=CA ，AD=AE①ABD ACE ≅①ACE 45B ∠=∠=︒且CE=BD①ACB 45B ∠=∠=︒①ECB=4545=90∠︒+︒︒，即CE①BD故答案为：CE①BD ；CE=BD ；（2）如图①，把ACE 绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABG ，连接DG ，则ACE ABG ≅①AG=AE ，BG=CE ，ABG ACF 45∠=∠=︒①BAC 90∠=︒，GAE 90∠=︒①GAD DAE 45∠=∠=︒在ADG 和ADE 中，AG AE GAD DAE AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①ADG ADE ≅①ED=GD①GBD 90∠=︒①222BD BG DG +=即222BD EC DE +=（3）如图①，把AEC 绕点A 顺时针旋转120︒，得到AFB ，①AEC AFB ≅①AF=AE ，ABF ACB ∠=∠，EC=BF ，EAF 120∠=︒①CAB 120∠=︒，AB=AC①ABC ACB ABF 30∠=∠=∠=︒①FBD 60∠=︒①EAF 120∠=︒，EAD 60∠=︒①DAE DAF 60∠=∠=︒，且AF=AE ，AD=AD①ADE ADF ≅①DF=DE①以BD 、DE 、EC 为边的三角形是直角三角形①以BD 、DF 、BF 为边的三角形是直角三角形①BDF 是直角三角形若BDF 90∠=︒，且FBD 60∠=︒①BF=2BD=EC ，DF DE ==①(BC BD DE EC BD 2BD 33BD =++=+==①BD 1=①DE =①BE BD DE 1=+=+若BFD 90∠=︒，且FBD 60∠=︒①BD=2BF=2EC ，DF DE ==①(BC BD DE EC 2BF BF 33BF =++=+==①BF 1=①BD=2，DE =①BE 2=+【点睛】此题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质、勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．。

专题04 全等三角形解答题压轴训练(原卷版)-2020-2021学年八年级数学期末复习压轴题训练

专题04 全等三角形解答题压轴训练（原卷版）解答题（共15小题）1．如图1，将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB＝∠E＝90°，BC＝DE＝6，AC ＝FE＝8，顶点D与边AB的中点重合．（1）若DE经过点C，DF交AC于点G，求重叠部分（△DCG）的面积；（2）合作交流：“希望”小组受问题（1）的启发，将△DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于点H，DF交AC 于点G，如图2，求重叠部分（△DGH）的面积．2．如图1，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，CE与BD相交于O，（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）求∠BOC的度数；（3）如图2，若将条件∠BAC＝∠DAE＝90°换成∠BAC＝∠DAE＝60°，其他条件不变，求∠BOC的度数（4）若将∠BAC＝∠DAE＝60°换成∠BAC＝∠DAE＝x°，其他条件仍不变，猜想∠BOC＝．（直接写出答案）3．有一张矩形纸片ABCD，E、F、分别是BC、AD上的点（但不与顶点重合），若EF将矩形ABCD分成面积相等的两部分，设AB＝a，AD＝b，BE＝x．（1）求证：AF＝EC；（2）用剪刀将该纸片沿直线EF剪开后，再将梯形纸片ABEF沿AB对称翻折，平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底边重合，一腰落在DC的延长线上，拼接后，下方梯形记作EE'B'C．①当x：b为何值时，直线E'E经过原矩形的一个顶点？②在直线E'E经过原矩形的一个顶点的情形下，连接BE'，直线BE'与EF是否平行？你若认为平行，请给予证明；你若认为不平行，试探究当a与b有何种数量关系时，它们就垂直？4．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）求∠F AE的度数；（3）求证：CD＝2BF+DE．5．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为△ABC内一点，且BD＝AD．（1）求证：CD⊥AB；（2）∠CAD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．①求证：DE平分∠BDC；②若点M在DE上，且DC＝DM，请判断ME、BD的数量关系，并给出证明；③若N为直线AE上一点，且△CEN为等腰三角形，直接写出∠CNE的度数．6．如图，已知△ABC中，AB＝6cm，∠B＝∠C，BC＝4cm，点D为AB的中点．若点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？7．已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG．若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC．8．在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，延长DE交BC于点F，连接DC，BE．（1）如图1，当点B，A，E同一直线上时，且∠ABD＝30°，AE＝2，求BC的长．（2）如图2，当F是中点时，求证：AE⊥CE．9．已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，点C重合）．以AD为边作等边三角形ADE，连接CE．（1）如图1，当点D在边BC上时．①求证：△ABD≌△ACE；②直接判断结论BC＝DC+CE是否成立（不需证明）；（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，请写出BC，DC，CE之间存在的数量关系，并写出证明过程．10．把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N．（1）若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，当∠MDN绕点D旋转时，AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；（2）当∠ACD+∠MDN＝90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；（3）如图③，在（2）的结论下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图3，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）11．如图：AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC，（1）图中EC、BF有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论．（2）连接AM，求证：MA平分∠EMF．12．已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G．（1）如图1，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC＝45°．求证：①△BDF≌△ADC；②FG+DC＝AD；（2）如图2，若∠ABC＝135°，直接写出FG、DC、AD之间满足的数量关系．13．探究问题1已知：如图1，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE，BF 交于点M，连接DE，DF．若DE＝kDF，则k的值为．拓展问题2已知：如图2，三角形ABC中，CB＝CA，点D是AB边的中点，点M在三角形ABC的内部，且∠MAC ＝∠MBC，过点M分别作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接DE，DF．求证：DE＝DF．推广问题3如图3，若将上面问题2中的条件“CB＝CA”变为“CB≠CA”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论．14．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A．SSS B．SAS C．AAS D．HL（2）求得AD的取值范围是．A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．15．如图，已知B（﹣1，0），C（1，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F，且∠BDC＝∠BAC．（1）求证：∠ABD＝∠ACD；（2）求证：AD平分∠CDE；（3）若在D点运动的过程中，始终有DC＝DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数？。

专题04 一元一次不等式与一元一次不等式组【2022春北师大版八下数学压轴题突破专练】(原卷版)

【2022春北师大版八下数学压轴题突破专练】专题04 一元一次不等式与一元一次不等式组一、选择题1．（2021八上·鄞州期末）已知a ＜b ，下列式子正确的是（）A ．a+3＞b+3B ．a ﹣3＜b ﹣3C ．﹣3a ＜﹣3bD ．33a b > 2．（2021八上·鄞州期末）若a ＞b ，则下列各式正确的是（） A ．a ﹣b ＜0 B ．3﹣a ＜3﹣b C ．|a|＞|b| D ．33a b < 3．（2021八上·瓯海月考）某校在一次外出郊游中，把学生编为9个组，若每组比预定的人数多1人，则学生总数超过200人；若每组比预定的人数少1人，则学生总数不到190人，那么每组预定的学生人数为（）A ．24人B ．23人C ．22人D ．不能确定4．（2021八上·秀洲月考）不等式组3x x a >⎧⎨>⎩的解是x ＞a ，则a 的取值范围是（） A ．a ＜3 B ．a=3 C ．a ＞3 D ．a≥35．（2021八上·余杭月考）已知关于x 的不等式(4)4a x a -<-的解集为1x <-，则a 的取值范围是( )A ．4a >B ．4a ≠C ．4a <D ．4a6．（2021八上·金东期中）不等式 054ax ≤+≤ 的整数解是1，2，3，4.则实数a 的取值范围是（）A ．514a -≤<- B ．1a ≤- C ．54a ≤- D ．54a ≥- 7．（2021八下·郑州期中）如果关于x 的分式方程 2x a x -- ＝1+ 522x x x -- 有正整数解，且关于y 的一元一次不等式组 33240y y y a -⎧>-⎪⎨⎪-≤⎩ 的解集为y≤a，则所有满足条件的整数a的和为（）A ．8B ．7C ．3D ．28．（2020八下·南岸期末）如图，已知直线 3y ax =+ 与 3y bx =- 交点为P ，根据图象有以下3个结论：①0a > ；②0b >③2x > 是不等式 33ax bx +>- 的解集.其中正确的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．39．（2020八上·余杭期末）如图，直线 y ax b =+ 与 x 轴交于点 ()4,0A ，与直线 y mx = 交于点 ()2,B n ，则关于 x 的不等式组 0ax b mx <-< 的解为（）A ．42x -<<-B ．2x <-C ．4x >D ．24x << 二、填空题 10．（2022八下·长兴开学考）如图，直线y=x+2与直线y=ax+c 相交于点P （m ，3）．则关于x 的不等式x+2≥ax+c 的不等式的解为。

压轴题05：分式与分式方程综合专练20题(解析版)八年级数学下学期期末精选题汇编(北师大版)

压轴题05：分式与分式方程综合专练20题（解析版）一、单选题1．若关于x的方程3133x axx x++=--有正整数解，且关于y的不等式组252510ya y-⎧<⎪⎨⎪--≤⎩至少有两个奇数解，则满足条件的整数a有（）个A．0B．1C．2D．3【答案】D【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出正整数方程的解，代入检验确定出a的值，再表示出不等式组的解集，由解集至少有两个奇数解确定出整数a的值，求出之和即可．【详解】解：31 33x axx x++= --解得：6 xa =∴方程有正整数解且63a≠即2a≠∴136 a=、、解不等式组252510ya y-⎧<⎪⎨⎪--≤⎩解得1521yy a⎧<⎪⎨⎪≥-⎩关于y的不等式组至少有两个奇数解∴15a-≤∴6a≤∴满足条件得整数a有3个，故选：D．【点睛】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．若关于x的分式方程61xx-＝3＋1axx-的解为整数，且一次函数y＝（10﹣a）x＋a的图象不经过第四象限，则符合题意的整数a的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【分析】根据题意求得满足条件的a 的值，从而可以得到满足条件的所有整数a 的个数．【详解】解：∴一次函数y ＝（10﹣a ）x ＋a 的图象不经过第四象限，∴1000a a ->⎧⎨≥⎩，解得010a ≤<，由分式方程61x x -＝3＋1ax x -得，x ＝33a -， ∴分式方程61x x -＝3＋1ax x -的解为整数，且x≠1， ∴a ＝0，2，4，∴符合题意的整数a 的个数3个，故选：C ．【点睛】本题主要考查分式方程的解和一次函数的图象及性质，掌握一次函数的图象及性质以及正确的解分式方程是解题的关键．3．若整数a 使得关于x 的不等式组341242()x x x a x +⎧+>⎪⎨⎪-≤-⎩的解集为2x <-，且关于y 的分式方程2311a y y y -=+++的解为负数，则所有符合条件的整数a 的和为（）A ．0B ．－3C ．－5D ．－8【答案】D【分析】先解不等式组中的两个不等式，由不等式组的解集可得5,a ≥- 再解分式方程，由分式方程的解为负数可得：a ＜5, 且3,a ≠ 结合a 为整数，从而可得答案．【详解】解：341242()x x x a x +⎧+>⎪⎨⎪-≤-⎩①②由∴得：22x +＞34+x ， x ＜2,-由∴得：324,x a ≤+24,3a x +∴≤ 又由不等式组的解集为2x <-，242,3a +∴≥- 246,a ∴+≥-5,a ∴≥-2311a y y y -=+++ 233,a y y ∴=-++5,2a y -∴= 方程2311a y y y -=+++的解为负数， 52a -∴＜0, a ∴＜5,由10,y +≠1,y ∴≠-51,2a -∴≠- 3,a ∴≠综上：5a -≤＜5且3,a ≠由a 为整数，5a ∴=-或4a =±或3a =-或2a =±或1a =±或0a =，则所有符合条件的整数a 的和为：8.-故选：.D【点睛】本题考查的是由一元一次不等式组的解集求解参数的取值范围，分式方程的负数解问题，掌握以上知识是解题的关键．4．若整数a 使得关于x 的分式方程2x x -＋12a x+-＝2的解为非负数，且一次函数y ＝﹣（a ＋3）x ＋a ＋2的图象经过一、二、四象限，则所有符合条件的a 的和为（）A ．﹣3B ．2C ．1D ．4【答案】D【分析】先求出方程的解x ＝3﹣a ≥0，求出a ≤3，根据分式方程的分母x ﹣2≠0求出a ≠1，根据一次函数y ＝﹣（a ＋3）x ＋a ＋2的图象经过一、二、四象限求出﹣（a ＋3）＜0且a ＋2＞0，求出a ＞﹣2，再求出答案即可．【详解】解：2x x -＋12a x+-＝2，方程两边乘以x ﹣2得：x ﹣a ﹣1＝2x ﹣4，解得：x ＝3﹣a ，∴关于x 的分式方程2x x -＋12a x +-＝2的解为非负数， ∴3﹣a ≥0，解得：a ≤3，∴一次函数y ＝﹣（a ＋3）x ＋a ＋2的图象经过一、二、四象限，∴﹣（a ＋3）＜0且a ＋2＞0，解得：a ＞﹣2，∴﹣2＜a ≤3，∴分式方程的分母x ﹣2≠0，∴x ＝3﹣a ≠2，即a ≠1，∴a 为整数，∴a 为﹣1，0，2，3，和为﹣1＋0＋2＋3＝4，故选：D ．【点睛】本题考查了解分式方程，一次函数的图象和性质，解一元一次不等式等知识点，能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键．5．在ABC 中，AE 、BF 、CP 分别在边BC 、CA 、AB 上的高线，已知AE 、BF 、CP 相交于一点D ，且2019AD BD CD DE DF DP ++=，则AD BD CD DE DF DP⋅⋅的值等于（）A ．2019B ．2020C ．2021D ．2022 【答案】C【分析】设BDC S a ，ADC S b ，ABD S c ，则AD b c DE a +=，BD a c DF b +=，cD DP C a b +=，然后对所求式子变形整理，整体代入计算即可．【详解】解：设BDC S a ，ADC S b ，ABD S c ，则ADC ABD ADC ABD BDE DEC BDE DEC S S S S S S S S AD b c DE a+====++，同理可得：BD a c DF b +=，c D DP C a b +=， ∴2019a c a b b c b c a +++++=， ∴AD BD CD DE DF DP ⋅⋅ b c a c a b a b c+++=⋅⋅ ()()()b c a c a b abc+++= 222222a b a c abc ac ab abc b c bc abc+++++++= ()()()()ac a c ab a c ab b c bc b c abc abc++++++=+ a c a c b c b c b c c a++++=+++ 2a c a b b c b c a+++=+++ 20192=+2021=，故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的面积计算，分式的混合运算，正确化简所求式子是解题的关键．6．若数a 使关于x 的不等式组36222()4x x x a x +⎧<+⎪⎨⎪-+⎩的解集为x ＜﹣2，且使关于y 的分式方1311--=-++y a y y 的解为负数，则符合条件的所有整数a 的个数为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C【分析】表示出不等式组的解集，由不等式组的解集为x ＜﹣2确定出a 的范围，再由分式方程的解为负数以及分式有意义的条件求出满足题意整数a 的值，进而求出符合条件的a 的个数．【详解】解：解不等式组36222()4x x x a x +⎧<+⎪⎨⎪-+⎩，得：224x x a <-⎧⎨+⎩，由不等式组的解集为x ＜﹣2，得到2a +4≥﹣2，解得：a ≥﹣3；分式方程1311--=-++y a y y 去分母得：1﹣y ﹣a ＝﹣3（y +1），解得：y ＝42a -，由分式方程的解为负数以及分式有意义的条件，得412402a a -⎧≠-⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩，解得：a ＜4且a ≠2；∴﹣3≤a ＜4且a ≠2，∴a ＝﹣3，﹣2，﹣1，0，1，3，∴符合条件的所有整数a 的个数为6个；故选：C ．【点睛】此题主要考查分式方程与不等式组的求解运用，解题的关键是熟知分式方程与不等式组的解法．7．若关于x 的不等式组()3222x x a x x ⎧-->-⎪⎨+<⎪⎩有解，关于y 的分式方程13244ay y y -+=---有整数解，则符合条件的所有整数a 的和为（）A ．0B ．1C ．2D ．5【答案】B【分析】先解不等式组，由不等式组有解，可得a ＜4，再解分式方程，当2a ≠且1a ≠时，分式方程的解为：4,2y a =--再由,y a 为整数，分类讨论可得答案．【详解】解：()3222x x a x x ⎧-->-⎪⎨+<⎪⎩①② 由∴得：36x x -+＞2,-2x ∴-＞8,- x ＜4,由∴得：a x +＜2,x x ＞,a关于x 的不等式组()3222x x a x x ⎧-->-⎪⎨+<⎪⎩有解， a ∴＜4， 13244ay y y -+=---， ()1324,ay y ∴--=--24,ay y ∴-=-()24,a y ∴-=-当2a =时，方程无解，则2,a ≠44,22y a a -∴==--- 检验：40,y -≠440,2a ∴--≠- 44,2a ∴≠-- 21,a ∴-≠-1,a ∴≠,y a 为整数，21a ∴-=± 或22a -=±或24,a -=±3a ∴=或1a =或4a =或0a =或6a =或2,a =-a ∴＜4， 2,a ≠1,a ≠∴ 3a =或0a =或 2.a =-经检验：3a =或0a =或2a =-符合题意，()302 1.∴++-=故选：.B本题考查的是一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，分类讨论数学思想，掌握以上知识是解题的关键．8．若关于x 的不等式组52(+)11231x x a ⎧>⎪⎨⎪-<⎩无解，且关于y 的分式方程34122y a y y ++=--有非负整数解，则满足条件的所有整数a 的和为（）A ．8B ．10C ．16D ．18 【答案】C【分析】先由不等式组无解，求解8a ≤，再求解分式方程的解22a y +=，由方程的解为非负整数，求解2a ≥-且2a ≠，再逐一确定a 的值，从而可得答案．【详解】解：52+11{231x x a ⎛⎫> ⎪⎝⎭-<①②由∴得：2511x +>，∴3x >，由∴得：31x a <+， ∴13x a <+， ∴关于x 的不等式组52+11{231x x a ⎛⎫> ⎪⎝⎭-<无解， ∴1+33a ≤， ∴19a +≤，∴8a ≤， ∴34122y a y y++=--， ∴()342y a y -+=-， ∴22a y +=， ∴20y -≠， ∴222a +≠，∴关于y 的分式方程34122y a y y++=--有非负整数解， ∴202a +≥， ∴2a ≥-， ∴22a +为整数， ∴2a =-或0a =或4a =或6a =或8a =．∴2046816-++++=．故选：C ．【点睛】本题考查的由不等式组无解求解字母系数的范围，分式方程的非负整数解，熟练掌握解不等式组的方法和解分式方程是解题关键，解题时要注意分式方程的解得到y ≠2这一隐含条件．二、填空题9．若223411a a a ++-为不超过3的整数，则整数=a ______．【答案】0或-1或-3【分析】先将223411a a a ++-整理得到4331a +≤-，根据题意即可确定a 的值．【详解】解：22341(3+1)(1)313(1)4431(1)(1)111a a a a a a a a a a a a ++++-+====+-+----，因为223411a a a ++-为不超过3的整数， ∴4331a +≤-，且431a +-为整数， ∴ 401a ≤-，因为a 为整数，所以符合条件的a=0或-1或-3，故答案为：0或-1或-3．【点睛】本题主要考查了分式的化简，解题的关键是将将223411a a a ++-整理得到431a +-．10．若数a 使关于x 的不等式组2122274x x x a-⎧≤-+⎪⎨⎪+>-⎩，有且仅有四个整数解，且使关于y 的分式方程2222a y y+=--有非负数解，则所有满足条件的整数a 的值之和是________________．【答案】1【分析】先解不等式组，根据不等式组有且仅有四个整数解，得出−4＜a≤3，再解分式方程2222a y y+=--，根据分式方程有非负数解，得到a≥−2且a≠2，进而得到满足条件的整数a 的值之和．【详解】解不等式组2122274x x x a -⎧≤-+⎪⎨⎪+>-⎩①②，由∴得，x≤3；由∴得，x ＞47a +-； ∴不等式组有且仅有四个整数解， ∴−1≤47a +-＜0， ∴−4＜a≤3，解分式方程2222a y y+=--，可得y ＝12（a ＋2），又∴分式方程有非负数解，∴y≥0，且y≠2，即12（a ＋2）≥0，12（a ＋2）≠2，解得a≥−2且a≠2，∴−2≤a≤3，且a≠2，∴满足条件的整数a 的值为−2，−1，0，1，3，∴满足条件的整数a 的值之和是1．故答案为：1．【点睛】本题主要考查了分式方程的解，解题时注意：使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．11．2022年北京冬奥会正在火热举办中，冰雪项目中高质量的“人造雪”受到人们的广泛关注，它的生产实际上是一个科学技术难题：要首先通过过滤装置将自然水过滤成纯净的水，接着用制冰装置将纯净的水制成片状的纯冰，再通过碎冰装置把已经造好的纯冰粉碎成粉末，最后，通过把粉末状的冰晶和空气等原料混合加工成“人造雪”．现有若干千克自然水和100千克纯冰，准备将它们加工成人造雪，共8名技术人员，分为甲、乙两组同时工作，甲组负责自然水提纯后加工成纯冰，乙组负责将纯冰加工成人造雪．已知甲组人员每人每小时可将10千克自然水加工成5千克纯冰，乙组人员每人每小时可将10千克纯冰加工成20千克人造雪（不考虑冰雪融化及其他损耗）；若加工t 小时后，纯冰质量与人造雪的质量之比为1：8；又加工了几个小时后，自然水全部使用完；接着继续将所有纯冰都加工成人造雪，一共加工产生了700千克人造雪；当自然水正好全部使用完，此时纯冰质量与人造雪质量之比为______．【答案】1:12##112【分析】设有x 人在甲组，则有(8-x )在乙组，根据纯冰质量与人造雪的质量之比为1：8，列出方程()():20158010018:8t tx t x ⎡⎤+=⎣⎦--，从而()4017t x t-=，根据,x t 都为正整数（＜8x ），且40不能被7整除，从而得出x =5，于是得出共加工了8小时，乙组为3人，然后根据将所有纯冰都加工成人造雪，一共加工产生了700千克人造雪，得出自然水正好全部使用完时，纯冰质量和人造雪质量，即可求出答案．【详解】解：设有x 人在甲组，则有(8-x )在乙组， t 小时后，有纯冰的质量为：()5100108tx t x +--51008010tx t tx =+-+ 1580100tx t =-+（千克）有人造雪的质量为()208t x -千克根据题意可得：()():20158010018:8t tx t x ⎡⎤+=⎣⎦-- ()()815801002108t x tx t ⎡⎤⨯=--+⨯⎣⎦12064080016020tx t t tx -+=- 140800800tx t =-()4017t x t-=,x t 都为正整数（＜8x ），且40不能被7整除，∴40能被t整除，t-1能被7整除；∴t=8，x=5．∴ 8-x =3，因此甲组有5人，乙组有3人．生产700千克人造雪需要纯冰的质量为：7002010350÷⨯= （千克），原有纯冰100千克， ∴自然水加工而成的纯冰的质量为：350100250-= （千克），∴甲组生产纯冰的总时间为：2505510÷÷=（小时），自然水用完时，乙组共生产的人造雪的质量为10320600⨯⨯=（千克），此时还剩下的纯冰的质量为：100250600201050+-÷⨯=（千克）， ∴此时纯冰与人造雪的质量比为：150:6001:1212==故答案为：1:12或112【点睛】本题主要考查了列方程解应用题，根据题意找出题目中的等量关系列出方程是解题的关键．12．某知名服装品牌在北碚共有A 、B 、C 三个实体店．由于疫情的影响，第一季度A 、B 、C 三店的营业额之比为3:4:5，随着疫情得到有效的控制和缓解，预计第二季度这三个店的总营业额会增加，其中B店增加的营业额占总增加的营业额的27，第二季度B 店的营业额占总营业额的413，为了使A 店与C 店在第二季度的营业额之比为5∴4，则第二季度A 店增加的营业额与第二季度总营业额的比值为______________．【答案】726【分析】设第一季度A 、B 、C 三店的营业额分别为34,5x x x ，，第二季度A 店、C 店的营业额为5y 、4y ，根据题意求得y 与x 的关系2y x =，第二季度B 店的营业额4y ，第二季度总营业额为13y ，则第二季度A 店增加的营业额与第二季度总营业额的比值为5313y xy-，即可求解．【详解】解：∴第一季度A 、B 、C 三店的营业额之比为3:4:5∴设第一季度A 、B 、C 三店的营业额分别为34,5x x x ，∴第二季度A 店与C 店在第二季度的营业额之比为5∴4∴设第二季度A 店、C 店的营业额为5y 、4y ，B 店的营业额为z ∴第二季度B 店的营业额占总营业额的413， ∴45413z y y z =++，解得4z y =∴第二季度总营业额为13y∴B店增加的营业额占总增加的营业额的2 7∴44213127y xy x-=-，解得2y x=第二季度A店增加的营业额与第二季度总营业额的比值为537 1326 y xy-=【点睛】此题考查了分式方程的应用，理解题意设合适的未知数，弄清楚题中的等量关系是解题的关键．13．随着我国疫情的有效控制，各地打造了众多春游景点供市民休闲娱乐．某区特别打造了多彩植物园、亲子游乐园、劳动体验园吸引游客．3月份多彩植物园、亲子游乐园、劳动体验园接待游客数量之比为3:3:4．为增加游客数量，该地区通过发抖音、转发朋友圈等多种方式加大宣传力度，预计4月份三个园区接待的游客总人数在3月份的基础上会增加．但因为多彩植物园中部分花期已过，多彩植物园的游客人数在3月份的基础上将减少13．这样4月份，多彩植物园接待的游客总人数占三个园区接待游客总人数的17，而亲子游乐园、劳动体验园4月份接待游客人数之比将达到3:2，则亲子游乐园新增的人数与4月份这三个园区的总人数之比是___________【答案】3 10【分析】设3月多彩植物园、亲子游乐园、劳动体验园接待游客数量分别为3a，3a，4a，求出4月多彩植物园的人数，得到4月接待总人数，设4月亲子游乐园人数为m，根据4月亲子游乐园、劳动体验园4月份接待游客人数之比将达到3：2，得到365m a=，再根据题意求出比值．【详解】解：设3月多彩植物园、亲子游乐园、劳动体验园接待游客数量分别为3a，3a，4a，则4月多彩植物园的游客人数为3a（1-13）=2a，∴4月接待总人数为2a÷17=14a，∴4月亲子游乐园、劳动体验园接待游客数量为12a，设4月亲子游乐园人数为m，则劳动体验园人数为12a-m，由题意可得：3 122ma m=-，解得：365m a =，∴4月亲子游乐园新增的人数与4月份这三个园区的总人数之比为：363514a a a-=310，故答案为：310．【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，题干较长，解题时要细心认真读题，理清题中的条件，用字母表示出相关量，再进行运算．14．今年是脱贫攻坚关键年，大学生小赵利用电商平台帮助家乡售卖当地土特产。

压轴题训练(三)(解析版)-2020-2021学年八年级数学下学期期中考试压轴题专练(北师大版)

2021年八下期中考试金牌压轴题训练（三）（时间：60分钟总分：100）班级姓名得分一、单选题1．将图1中周长为32的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为48的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为（）A．16B．24C．30D．40【答案】D【分析】设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为x+y，4号正方形的边长为2x+y，5号长方形的长为3x+y，宽为y-x，根据图1中长方形的周长为32，求得x+y=4，根据图2中长方形的周长为48，求得AB=24-3x-4y，根据平移得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形ABCD的周长=2（AB+AD），计算即可得到答案．【详解】设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为x+y，4号正方形的边长为2x+y，5号长方形的长为3x+y，宽为y-x，由图1中长方形的周长为32，可得，y+2（x+y）+（2x+y）=16，解得：x+y=4，如图，∵图2中长方形的周长为48，∵AB+2（x+y）+2x+y+y-x=24，∵AB=24-3x-4y，根据平移得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形ABCD的周长，∵2（AB+AD）=2(24-3x-4y+x+y+2x+y+y-x)=2（24-x-y）=48-2（x+y）=48-8=40，故选：D．．【点睛】此题考查整式加减的应用，平移的性质，利用平移的性质将不规则图形变化为规则图形进而求解，解题的关键是设出未知数，列代数式表示各线段进而解决问题．2．如图，已知∠MON=30°，点123......A A A 、、在射线ON 上，点123......B B B 、、在射线OM 上，111OA A B =，12B A OM ⊥，222OA A B =，23B A OM ⊥，以此类推，若11OA =，则66A B 的长为（）A ．6B ．152C ．32D ．72964【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质，=30MON ∠︒，111OA A B =，得到1=30∠︒，由12B A OM ⊥，得到1OA 的长度，进而得到22122A B B A =，根据已知得出33124A B B A =，44128A B B A =，551216A B B A =，进而得出答案．【详解】∵=30MON ∠︒，111OA A B =，12B A OM ⊥∵1=30∠︒，∵===60︒∠3∠4∠12，∵11OA =，∵111A B =，∵21121A B A A ==，∵22OA =，∵222OA A B =，∵22122A B B A =∵23B A OM ⊥，∵122334////B A B A B A∵1===30︒∠∠6∠7，==90︒∠5∠8∵3323324A B B A OA ===，∵331244A B B A ==，441288A B B A ==，55121616A B B A ==，以此类推：66123232A B B A ==．故选：C ．【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出33124A B B A =，44128A B B A =，551216A B B A =，进而发现规律是解题关键．3．若不等式组213x x a->⎧⎨≤⎩的整数解共有三个，则a 的取值范围是（） A ．56a ≤<B ．56a <≤C ．56a <<D ．56a ≤≤【答案】A首先确定不等式组的解集，利用含a 的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a 的不等式，从而求出a 的范围．【详解】解不等式2x -1＞3，得：x ＞2，∵不等式组整数解共有三个，∵不等式组的整数解为3、4、5，则56a ≤<，故选A ．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，正确解出不等式组的解集，确定a 的范围，是解答本题的关键．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．二、填空题4．如图，在正方形ABCD 中，3AB =，P 为平面内任意一点，1CP =，连接PD ，将线段PD 绕着点D 顺时针旋转90︒，得到线段DQ ，连接CQ ，则3DQ CQ +的最小值为_________．【分析】根据正方形的性质证明()△△QDA PDCSAS ≅，得出点Q 在以点A 为圆心，1为半径的圆上运动，根据题意判断计算即可；由题意可知DQ DP =，90QDP ∠=︒，∵四边形ABCD 是正方形，∵DA DC =，90ADC ∠=︒，∵ADC ADP QDP ADP ∠-∠=∠-∠，即QDA PDC ∠=∠，∵()△△QDA PDCSAS ≅， ∵1QA PC ==，∵点Q 在以点A 为圆心，1为半径的圆上运动，如图所示，在AD 上取一点E ，使13AE =，则13AE AQ AQ AD ==， ∵△QAE△DAQ ， ∵13QE QD =，13DQ CQ CQ QE +=+＞CE ，当Q 位于Q '的位置时，13DQ CQ +取得最小值CE ，13CE ===∵1333DQ CQ DQ CQ ⎛⎫+=+⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了四边形综合，准确利用相似三角形和全等三角形性质求解是解题的关键． 5．如图，在等边ABC 中，6AC =，点O 在AC 上，且2AO =，点P 是AB 上一动点，连结OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60°得到线段OD ．要使点D 恰好落在BC 上，则AP 的长是___．【答案】4【分析】根据题意得OP =OD ，∵POD =60°，又∵ABC 是等边三角形，所以∵A =∵B =∵C =60°，∵AOP +∵APO =120°，∵AOP +∵COD =120°，所以∵APO =∵COD 从而∵APO ∵∵COD ，则AP =CO ；又AO =2，AC =6，则AP =4．【详解】解：根据题意得，OP =OD ，∵POD =60°，∵∵ABC 是等边三角形，∵∵A =∵B =∵C =60°，又∵∵AOP +∵APO =120°，∵AOP +∵COD =120°，∵∵APO =∵COD ，∵在∵APO 和∵COD 中，==A C APO COD OP OD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩，∵∵APO ∵∵COD （AAS ），∵AP =CO ，又∵AO =2，AC =6，即CO =4，∵AP =4；故答案为：4．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质及旋转的性质，掌握其判定及性质，得出∵APO ∵∵COD 是正确解答本题的基础．6．如图，在ABC 中，30B ，90BAC ︒∠=，点P 是BC 的动点（不与点B ，C 重合），AI 、CI 分别是PAC ∠和PCA ∠的角平分线，AIC ∠的取值范围为m AIC n <∠<，则m =_______，n =________．【答案】105° 150°【分析】根据三角形内角和等于180°及角平分线定义即可表示出∵AIC ，从而得到m ，n 的值即可．【详解】解：设∵BAP=α，则∵APC=α+30°，∵∵BAC=90°，∵∵PCA=60°，∵PAC=90°-α，∵AI 、CI 分别平分∵PAC ，∵PCA ， ∵∵IAC=12∵PAC ，∵ICA=12∵PCA ， ∵∵AIC=180°-（∵IAC+∵ICA ）=180°-12（∵PAC+∵PCA ） =180°-12（90°-α+60°） =12α+105°， ∵0＜α＜90°，∵105°＜12α+105°＜150°，即105°＜∵AIC ＜150°， ∵m=105°，n=150°．故答案为：105°，150°．【点睛】本题考查了角平分线的定义，不等式的性质，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．三、解答题7．在平面直角坐标系中，已知A （a ，0），B （0，b ）．已知a ，b ()240b -=．（1）∠求出A ，B 两点的坐标；∠如图1，点P 为∠AOB 三个内角角平分线的交点，且AB=5，求点P 的坐标；（2）如图2．若点C 为点A 关于y 轴对称的点，∠DBE 是将∠ABC 绕点B 顺时针旋转后所得图形，连接AD 、CE 交于点F ．求证：BF 平分∠CFD ．（3）在（2）的基础上继续绕点B 旋转使得D 、B 、C 三点共线，若ABO α∠=，求∠CFD 的度数（用含α的式子表示）．【答案】（1）∵A(-3，0)，B(0，4)；∵(-1，1)；（2）∵证明见解析；∵90-α︒【分析】（1）∵根据非负性可求出a 和b ，即可得到A 、B 的坐标；∵从P 点分别向AB 、BO 、AO 作垂线，分别交D 、E 、F ，先证明∵BDP ∵∵BEP ，同理可证∵PFO ∵∵PEO ，∵PDA ∵∵PF A ，设PF =x ，则DP =PE =x ，可得到PAB POB PAO ABO S S S S ++=△△△△，即可求得PF ，进而得到P 点坐标；（2）∵根据∵DBE 是将∵ABC 绕点B 顺时针旋转后所得图形，点C 为点A 关于y 轴对称的点，可证得∵DBE ∵∵ABC ，进而可证得∵BDA ∵∵BCE ，得到∵BAF =∵BEC ，进而得到∵EFB ∵∵AFB ，即可证得BF 平分∵CFD ；∵连接BF ，可得∵BFC =∵ECA ，根据∵BFC =180°-∵FBC -∵BCF 即可求解．【详解】解：（1）()240b -=，∵a +3=0，b -4=0，∵a =-3，b =4，∵A (-3，0)，B (0，4)；∵∵点P 为∵AOB 三个内角角平分线的交点，且AB =5，∵∵DBP =∵EBP ，∵FOP =∵EOP ，∵DAP =∵F AP ，从P 点分别向AB 、BO 、AO 作垂线，分别交D 、E 、F ，如下图所示，∵DP =PE =PF ，在∵BDP 和∵BEP 中，BP BP DP DE BDP BEP =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∵∵BDP ∵∵BEP ，同理可得∵PFO ∵∵PEO ，∵PDA ∵∵PF A ，设PF =x ，则DP =PE =x ，∵PAB POB PAO ABO S S S S ++=△△△△，即()115433422x x x ++=⨯⨯，解得：x =1，又∵点P 在第二象限，∵P点坐标为：(-1，1)；（2）∵∵点C为点A关于y轴对称的点，∵AB=BC，在∵BDA和∵BCE中，∵∵DBE是将∵ABC绕点B顺时针旋转后所得图形，∵∵DBE∵∵ABC，∵BD=AB=BE=BC，∵DBE=∵ABC，∵∵DBE+∵EBA=∵ABC+∵EBA，即∵DBA=∵EBC，∵∵BDA∵∵BCE，∵∵BAF=∵BEC，在∵EFB和∵AFB中，AB=EB，BF=BF，∵BAF=∵BEC，∵∵EFB∵∵AFB，∵BF平分∵CFD；∵如图，连接BF，由题可知，∵BFC=∵ECA，∵∵BFC=180°-∵FBC-∵BCF=180°-（∵ABC+∵FBA）-∵BCF=180°-∵ABC-（∵BCF+∵FBA）=180°-∵ABC-（∵BCF+∵FCA）=180°-2α-（90°-α）=90-α︒，∵∵CFD=90-α︒．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、几何变换-旋转，解题的关键是综合运用相关知识．8．如图1，在平面直角坐标系中，AO＝AB，∠BAO＝90°，BO＝8cm，动点D从原点O出发沿x轴正方向以a cm/s的速度运动，动点E也同时从原点O出发在y轴上以b cm/s的速度运动，且a，b满足关系式a2+b2﹣4a﹣2b+5＝0，连接OD，OE，设运动的时间为t秒．（1）求a，b的值；（2）当t为何值时，∠BAD∠∠OAE；（3）如图2，在第一象限存在点P，使∠AOP＝30°，∠APO＝15°，求∠ABP．【答案】（1）a＝2，b＝1；（2）t＝83或t＝8；（3）∵ABP＝105°．【分析】（1）将a2+b2﹣4a﹣2b+5＝0用配方法得出（a﹣2）2+（b﹣1）2＝0，利用非负数的性质，即可得出结论；（2）先由运动得出BD＝|8﹣2t|，再由全等三角形的性质的出货BD＝OE，建立方程求解即可得出结论．（3）先判断出∵OAP∵∵BAQ（SAS），得出OP＝BQ，∵ABQ＝∵AOP＝30°，∵AQB＝∵APO ＝15°，再求出∵OAP＝135°，进而判断出∵OAQ∵∵BAQ（SAS），得出∵OQA＝∵BQA＝15°，OQ＝BQ，再判断出∵OPQ是等边三角形，得出∵OQP＝60°，进而求出∵BQP＝30°，再求出∵PBQ＝75°，即可得出结论．【详解】解：（1）∵a2+b2﹣4a﹣2b+5＝0，∵（a﹣2）2+（b﹣1）2＝0，∵a﹣2＝0，b﹣1＝0，∵a＝2，b＝1；（2）由（1）知，a＝2，b＝1，由运动知，OD＝2t，OE＝t，∵OB＝8，∵DB＝|8﹣2t|∵∵BAD∵∵OAE，∵DB＝OE，∵|8﹣2t|＝t，解得，t＝83（如图1）或t＝8（如图2）；（3）如图3，过点A作AQ∵AP，使AQ＝AP，连接OQ，BQ，PQ，则∵APQ＝45°，∵P AQ＝90°，∵∵OAB＝90°，∵∵P AQ＝∵OAB，∵∵OAB+∵BAP＝∵P AQ+∵BAP，即：∵OAP＝∵BAQ，∵OA＝AB，AD＝AD，∵∵OAP∵∵BAQ（SAS），∵OP＝BQ，∵ABQ＝∵AOP＝30°，∵AQB＝∵APO＝15°，在∵AOP中，∵AOP＝30°，∵APO＝15°，∵∵OAP＝180°﹣∵AOP﹣∵APO＝135°，∵∵OAQ＝360°﹣∵OAP﹣∵P AQ＝135°﹣90°＝135°＝∵OAP，∵OA＝AB，AD＝AD，∵∵OAQ∵∵BAQ（SAS），∵∵OQA＝∵BQA＝15°，OQ＝BQ，∵OP＝BQ，∵OQ ＝OP ，∵∵APQ ＝45°，∵APO ＝15°，∵∵OPQ ＝∵APO +∵APQ ＝60°，∵∵OPQ 是等边三角形，∵∵OQP ＝60°，∵∵BQP ＝∵OQP ﹣∵OQA ﹣∵BQA ＝60°﹣15°﹣15°＝30°，∵BQ ＝PQ ，∵∵PBQ ＝12（180°﹣∵BQP ）＝75°， ∵∵ABP ＝∵ABQ +∵PBQ ＝30°+75°＝105°．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了配方法、非负数的性质、三角形内角和定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定及性质，构造出全等三角形是解题的关键．9．在平面直角坐标系xOy 中，点P 和图形W 的中间点的定义如下：Q 是图形W 上一点，若M 为线段PQ 的中点，则称M 为点P 和图形W 的中间点．(2,3)C -，(1,3)D ，(1,0)E ，(2,0)F -．（1）点(2,0)A ，∠点A 和原点的中间点的坐标为________；∠求点A 和线段CD 的中间点的横坐标m 的取值范围；（2）点B 为直线2y x =上一点，在四边形CDEF 的边上存在点B 和四边形CDEF 的中间点，直接写出点B 的横坐标n 的取值范围．【答案】（1）∵（1，0）；∵0≤m≤32；（2）32-≤n≤0或1≤n≤3．【分析】（1）∵由题意根据点A ，O 的坐标，利用中点坐标公式即可求出结论；∵根据题意先依据题意画出图形，观察图形可知点A 和线段CD 的中间点所组成的图形是线段C′D′，根据点A ，C ，D 的坐标，利用中点坐标公式可求出点C′，D′的坐标，进而可得出m 的取值范围；（2）根据题意利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点B 的坐标为（n ，2n ），进而依据题意画出图形，观察图形可知：点B 和四边形CDEF 的中间点只能在边EF 和DE 上，当点B 和四边形CDEF 的中间点在边EF 上时，利用四边形CDEF 的纵坐标的范围，可得出关于n 的一元一次不等式组，解之即可得出n 的取值范围；当点B 和四边形CDEF 的中间点在边DE 上时，由四边形CDEF 的横、纵坐标的范围，可得出关于n 的一元一次不等式组，解之即可得出n 的取值范围．【详解】解：（1）∵∵点A 的坐标为（2，0），∵点A 和原点的中间点的坐标为()002202++，，即（1，0）．故答案为：（1，0）； ∵如图1，点A 和线段CD 的中间点所组成的图形是线段C′D′．由题意可知：点C′为线段AC 的中点，点D′为线段AD 的中点．∵点A 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（-2，3），点D 的坐标为（1，3），∵点C′的坐标为（0，32），点D′的坐标为（32，32）， ∵点A 和线段CD 的中间点的横坐标m 的取值范围为0≤m≤32．（2）∵点B 的横坐标为n ，∵点B 的坐标为（n ，2n ），当点B 和四边形CDEF 的中间点在边EF 上时，有023020n n ⎧⎨⎩-≤-≥，解得：32-≤n≤0；当点B和四边形CDEF的中间点在边DE上时，有121 3220nn⎧⎨⎩⨯-≤⨯-≥，解得：1≤n≤3．综上所述，点B的横坐标n的取值范围为32-≤n≤0或1≤n≤3．【点睛】本题考查中点坐标公式和一次函数图象上点的坐标特征以及解一元一次不等式组，解题的关键是（1）∵利用中点坐标公式求出结论；∵通过画图找出点A和线段CD的中间点所组成的图形是线段C′D′；（2）分点B和四边形CDEF的中间点在边EF上及点B和四边形CDEF 的中间点在边DE上两种情况，找出关于n的一元一次不等式组．。

北师大版八年级下册数学期末几何压轴题专练(含答案)

八下数学期末复习专题几何压轴题专练1．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与点BC重合），以AD 为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，△DAE＝△BAC，连接CE.设△BAC＝α，△DCE＝β.（1）求证：△DAB△△EAC.（2）当点D在线段BC上运动时，①α＝50°，则β＝°.②猜想α与β之间的数量关系，并对你的结论进行证明.（3）如图2，当点D在线段BC的反向延长线上运动时，猜想α与β之间的数量关系，并对你的结论给出证明.2．如图，在矩形ABCD中，E是BC上一动点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G，AB＝3，AD＝4.（1）如图1，当△DAG＝30°时，求BE的长；（2）如图2，当点E是BC的中点时，求线段GC的长；（3）如图3，点E在运动过程中，当△CFE的周长最小时，直接写出BE的长. 3．如图（1）如图1，在□ABCD中，AE平分△BAD交CD边于点E，已知AB=5cm，AD=3cm，则EC等于cm。

（2）如图2，在□ABCD中，若AE，BE分别是△DAB，△CBA的平分线，点E在DC边上，且AB=4，则▱ABCD的周长为。

（3）如图3，已知四边形ABCD是平行四边形，AD=BC，若AF，BE分别是△DAB，△CBA的平分线。

求证：DF=EC（4）在（3）的条件下，如果AD=3，AB=5，则EF的长为。

4．已知,在▱ABCD中, AB⊥BD, AB＝BD, E为射线BC上一点,连接AE交BD 于点F．（1）如图1,若点E与点C重合,且AF=√5,求AB的长;（2）如图2,当点E在BC边上时,过点D作DG⊥AE于G,延长DG交BC于H,连接FH．求证: AF=DH+FH;（3）如图3,当点E在射线BC上运动时,过点D作DG⊥AE于G, M为AG 的中点,点N在BC边上且BN=1,已知AB=5√2,请直接写出MN的最小值．5．如图，在△ABC中，△ACB＝90°，AC＝a，BC＝b，a＞b，点P是边AB上一点，连接CP，将△ACP沿CP翻折得到△QCP．（1）若PQ△AB，由折叠性质可得△BPC＝°；（2）若a＝8，b＝6，且PQ△AB，求C到AB的距离及BP的长；（3）连接BQ，若四边形BCPQ是平行四边形，直接写出a与b之间的关系式．6．如图，在平行四边形ABCD中，AB△AC，对角线AC，BD相交于点O，将直线AC 绕点O顺时针旋转一个角度α(0°<α≤90°)，分别交线段BC，AD于点E，F，连接BF.（1）如图1，在旋转的过程中，写出线段AF与EC的数量关系，并证明；（2）如图2，当旋转至90°时，判断四边形ABEF的形状，并说明理由；（3）若AB＝1，BC＝√5，求当α等于多少度时，BF＝DF？7．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC=4，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A1B1C，其中点A，B的对应点分别为点A1，B1.连接AA1，BB1交于点D.（1）如图1，当点A1落在BC的延长线上时，求线段AB1的长；（2）如图2，当△ABC旋转到任意位置时，求证：点D为线段AA1中点；（3）若△A1B1C从图1的位置绕点C继续顺时针旋转α（0°<α≤90°），当直线AB与直线A1B1相交构成的4个角中最小角为30°时，求α的值.8．如图①，在平行四边形ABCD中，AD＝BD＝2，BD△AD，点E为对角线AC上一动点，连接DE，将DE绕点D逆时针旋转90°得到DF，连接BF．（1）求证BF＝AE；（2）如图②，若F点恰好落在AC，求OF的长；（3）如图③，当点F落在△OBC的外部，构成四边形DEMF时，求四边形DEMF 的面积.9．如图（1）如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点(不与点B，C重合)，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，证明线段BC，DC，EC之间满足的等量关系;（2）如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明结论;（3）如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°若BD＝12，CD＝4，求AD的长.10．把△ABC绕着点A逆时针旋转α，得到△ADE.（1）如图1，当点B恰好在ED的延长线上时，若α=60°，求△ABC的度数；（2）如图2，当点C恰好在ED的延长线上时，求证：CA平分△BCE；（3）如图3，连接CD，如果DE=DC，连接EC与AB的延长线交于点F，直接写出△F的度数（用含α的式子表示）.11．如图1，在平面直角坐标系中.直线y=−12x+3与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90∘得到CD，此时点D 恰好落在直线AB上时，过点D作DE⊥x轴于点E．（1）求证：△BOC△ △CED；（2）如图2，将△BCD沿x轴正方向平移得△B′C′D′，当直线B′C′经过点D时，求点D的坐标及△BCD平移的距离；（3）若点P在y轴上，点Q在直线AB上.是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐；若不存在，请说明理由．12．在等边三角形ABC中，AD⊥BC于D，AB=2．（1）如图①，点E为AD的中点，则点E到AB的距离为；（2）如图②，点M为AD上一动点，求12AM+MC的最小值．（3）（问题解决）如图③，A，B两地相距600km，AC是笔直地沿东西方向向两边延伸的一条铁路，点B到AC的距离为360km．今计划在铁路线AC上修一个中转站M，再在BM间修一条笔直的公路．如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍，那么为使通过铁路由A到M再通过公路由M到B的总运费达到最小值，中转站M应修在使AM=（千米）处．13．已知Rt△ABC中，△BAC=90°，AB=AC，点E为△ABC内一点，连接AE，CE，CE△AE，过点B作BD△AE，交AE的延长线于D．（1）如图1，求证BD=AE；（2）如图2，点H为BC中点，分别连接EH，DH，求△EDH的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，点M为CH上的一点，连接EM，点F为EM的中点，连接FH，过点D作DG△FH，交FH的延长线于点G，若GH：FH=6：5，△FHM 的面积为30，△EHB=△BHG，求线段EH的长．14．阅读下面材料，并解决问题：（1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求△APB的度数．为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′△△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出△APB ＝；（2）基本运用请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：已知如图②，△ABC中，△CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且△EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2；（3）能力提升如图③，在Rt△ABC中，△C＝90°，AC＝1，△ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且△AOC＝△COB＝△BOA＝120°，求OA+OB+OC的值．15．在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，且AB=AC，AD=AE.（1）如图1，如果点D在BC上，且BD=4，CD=3，求DE的长；（2）如图2，AD与BC相交于点N，点D在BC下方，连接BD，且AD⊥BD，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，点M是CA延长线上一点，且CM=AF，求证：CF=AN+MN；（3）如图3，若AD=AB，△ADE绕着点A旋转，取DE中点M，连接BM，取BM中点N，连接AN，点F为BC中点，连接DN，若DN恰好经过点F，请直接写出DF:DN:AN的值.16．如图1，△ABC是直角三角形，△ACB＝90°，点D在AC上，DE△AB于E，连接BD，点F是BD的中点，连接EF，CF.（1）EF和CF的数量关系为；（2）如图2，若△ADE绕着点A旋转，当点D落在AB上时，小明通过作△ABC和△ADE斜边上的中线CM和EN，再利用全等三角形的判定，得到了EF和CF的数量关系，请写出此时EF和CF的数量关系；（3）若△AED继续绕着点A旋转到图3的位置时，EF和CF的数量关系是什么？写出你的猜想，并给予证明.17．我们定义：如图1、图2、图3，在ΔABC中，把AB绕点A顺时针旋转α(0∘<α<180∘)得到AB′，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′，当α+β=180∘时，我们称ΔAB′C′是ΔABC的“旋补三角形”，ΔAB′C′边B′C′上的中线AD叫做ΔABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”.图1、图2、图3中的ΔAB′C′均是ΔABC的“旋补三角形”.（1）①如图2，当ΔABC为等边三角形时，“旋补中线” AD与BC的数量关系为：AD=BC；②如图3，当∠BAC=90∘，BC=8时，则“旋补中线” AD长为.（2）在图1中，当ΔABC为任意三角形时，猜想“旋补中线” AD与BC的数量关系，并给予证明.18．在平行四边形ABCD中，∠BAD的角平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．（1）在（图25-1）中证明CE=CF；（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图25-2），求∠BDG的度数；（3）若∠ABC=120°，FG//CE，FG=CE，分别连接BD、DG（如图25--3），直接写出∠BDG的度数．19．在△ABCD中，对角线AC、BD交于点O，将过点A的直线l绕点A旋转，交射线CD于点E，BF△l于点F，DG△l于点G，连接OF，OG．（1）如图①当点E与点C重合时，请直接写出线段OF，OG的数量关系；（2）如图②，当点E在线段CD上时，OF与OG有什么数量关系？请证明你的结论；（3）如图③，当点E在线段CD的延长线上时，上述的结论是否仍成立？请说明理由．20．如图，在平行四边形ABCD中，AB△AC，对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转一个角度α（0°＜α≤90°），分别交线段BC，AD于点E，F，连接BF.（1）如图1，在旋转的过程中，求证：OE＝OF；（2）如图2，当旋转至90°时，判断四边形ABEF的形状，并证明你的结论；（3）若AB＝1，BC＝√5，且BF＝DF，求旋转角度α的大小.21．如图1，在Rt△ABC中，△A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD ＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点.（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值.22．如图，已知函数y=﹣12x+b的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与函数y=x的图象交于点M，点M的横坐标为2．（1）求点A的坐标；（2）在x轴上有一动点P（a，0）（其中a＞2），过点P作x轴的垂线，分别交函数y=﹣12x+b和y=x的图象于点C、D．①若OB=2CD，求a的值；②是否存在这样的点P，使以B、O、C、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．答案与解析1．【答案】（1）证明：∵△DAE＝△BAC，∴△CAD﹣△DAE＝△CAD﹣△BAC，∴△CAE＝△BAD，在△DAB和△EAC中，{AB=AC∠BAD=∠CAF AD=AE∴△DAB△△EAC（SAS）（2）解：①130；②α+β＝180°，理由：由（1）知，△DAB△△EAC，∴△ABC＝△ACE，在△ABC中，AB＝AC，△BAC＝α，∴△ABC＝△ACB＝12（180°﹣△BAC）＝12（180°﹣α）＝90°﹣12α，∴β＝△ACB+△ACE＝△ACB+△ABC＝90°﹣12α+90°﹣12α＝180°﹣α，∴α+β＝180°（3）解：β＝α；理由：∵△DAE＝△BAC，∴△DAE﹣△BAE＝△BAC﹣△BAE，∴△CAE＝△BAD，在△DAB和△EAC中，{AB=AC∠BAD=∠CAB AD=AE∴△DAB△△EAC（SAS），∴△ABD＝△ACE，在△ABC中，AB＝AC，△BAC＝α，∴△ABC＝△ACB＝12（180°﹣△BAC）＝12（180°﹣α）＝90°﹣12α，∴△ACE＝△ABD＝180°﹣△ABC＝180°﹣（90°﹣12α）＝90°+12α，∴β＝△ACE﹣△ACB＝90°+ 12α﹣（90°﹣12α）＝α.2．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴△BAD＝90°，∵△DAG ＝30°，∴△BAG ＝60°由折叠知，△BAE ＝12△BAG ＝30°，在Rt△BAE 中，△BAE ＝30°，AB ＝3，∴BE ＝√3（2）解：如图4，连接GE ，∵E 是BC 的中点，∴BE ＝EC ，∵△ABE 沿AE 折叠后得到△AFE ，∴BE ＝EF ，∴EF ＝EC ，∵在矩形ABCD 中，∴△C ＝90°，∴△EFG ＝90°，∵在Rt△GFE 和Rt△GCE 中，{EG =EG EF =EC∴Rt△GFE△Rt△GCE （HL ），∴GF ＝GC ；设GC ＝x ，则AG ＝3+x ，DG ＝3﹣x ，在Rt△ADG 中，42+（3﹣x ）2＝（3+x ）2，解得x ＝43. （3）解：BE ＝323．【答案】（1）2（2）12（3）证明：∵在▱ABCD 中，CD△AB ，∴△DFA=△FAB.又∵AF是△DAB的平分线∴△DAF=△FAB，∴△DAF=△DFA，∴AD=DF，同理可得EC=BC.∵AD=BC，∴DF=EC（4）14．【答案】（1）解：如图1中，∵AB⊥BD,∴∠ABD=90°,∵AB=BD,∠BAD=45°,∴∠BDA=∠BAD=45°,∵四边形ABCD是平行四边形,∴E、C重合时BF=12BD=12AB,在RtΔABF中,∵AF2=AB2+BF2,∴(√5)2=(2BF)2+BF2,∴BF=1, AB=2,∴AB=2;（2）证明：如图2中，在AF上截取AK=HD,连接BK,∵AB⊥BD, DG⊥AE,∴∠ABF=∠FGD=90°,∵∠AFD=∠ABF+∠2=∠FGD+∠3, ∠ABF=∠FGD=90°,∴∠2=∠3,在ABK和ΔDBH中, {AB=BD ∠2=∠3 AK=HD,∴ΔABK≅ΔDBH,∴BK=BH, ∠6=∠1,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD//BC,∴∠4=∠1,由（1）知∠4=45°,∴∠l=∠6=45°,∴∠5=∠ABD−∠6=45°,∠5=∠1,在ΔFBK和ΔFBH中, {BF=BF ∠5=∠1 BK=BH,∴ΔFBK≅ΔFBH,∴KF=FH,∵AF=AK+KF，∴AF=DH+FH；（3）解：MN的最小值为√149−52．5．【答案】（1）45（2）解：如图，作CH△AB于H由翻折的性质可知：△APC=△QPC∵CH△AB，△BPC=45°∴CH=PH在Rt△ABC中，AB=√AC2+BC2=√82+62=10∵12⋅AB ⋅CH =12⋅AC ⋅BC ，即 5CH =24 ∴CH= 245；（3）解：如图:连接BQ由翻折的性质可得：PA=PQ ，△QPC=△APC∵四边形BCPQ 是平行四边形∴PQ=BC=PA=b ，PQ//BC ，∴△QPC+△PCB=180°∵△BPC+△APC=180°∴△PCB=△BPC∴PB=BC=b∴AP=PB=b ，AB=2b ，在Rt△ABC 中，则有（2b ）2=a 2+b 2∴a 2=3b 2∵a>0.b>0，∴a= √3b ．6．【答案】（1）解：AF=CE.理由如下：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD // CB ，OA=OC.∴△FAO=△ECO.在 △AOF 和 △COE 中，∵{∠AOF =∠COE,OA =OC,∠FAO =∠ECO,∴△AOF ≌△COE(ASA) .∴AF=CE.（2）解：当旋转至90°时，四边形ABEF为平行四边形.理由如下：∵△AOF= 90°，△BAC= 90°，∴AB //EF.又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，即AF//BE.∴四边形ABEF为平行四边形（3）解：当α等于45度时，BF＝DF.理由如下：∵AB=1，BC= √5，AB△AC，∴AC= √BC2−AB2=√(√5)2−12=2.∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=12AC=12×2=1，BO=DO.∴OA=AB=1.点O在线段BD的垂直平分线上.∴△ABO为等腰直角三角形.∴△AOB= 45°.当F在线段BD的垂直平分线上时，BF=DF，∴FO垂直平分BD.∴△BOF=90°.∴∠AOF=∠BOF−∠AOB=90°−45°=45°，即α=45°.∴当α等于45度时，BF＝DF.7．【答案】（1）解：∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC=4，∴∠ACB=45°，AC=√AB2+BC2=√42+42=4√2.∵△ABC绕点C顺时针旋转得到△A1B1C，∴∠A1CB1=45°，B1C=BC=4.∴∠ACB1=180°−∠ACB−∠A1CB1=90°.∴AB1=√AC2+B1C2=√(4√2)2+42=4√3（2）证明：过点A1作A1E//AB交BB1的延长线于点E，∴∠ABD=∠DEA1.∵B1C=BC，∴∠CBB1=∠CB1B.∵∠ABC=∠A1B1C=90°，∴∠ABD+∠CBB1=∠CB1B+∠A1B1E=90°.∴∠A1B1E=∠ABD=∠DEA1.∴A1B1=A1E.∵AB=A1B1，∴AB=A1E.∵∠ADB=∠A1DE，∴△ADB≅△A1DE.∴AD=∠A1D.∴点D为线段AA1中点（3）解：如图3，当直线AB与直线A1B1相交于点A上方，延长BC交A1B1于点E，∵∠ABC=90°，∠P=30°，∴∠PEB=60°.∵∠CA1B1=45°，∴∠A1CE=∠PEB−∠CA1E=15°.如图4，当直线AB与直线A1B1相交于点A下方，延长BC交A1B1的延长线于点E，∵∠ABC=90°，∠P=30°，∴∠PEB=60°.∵∠A1B1C=90°，∴∠B1CE=∠A1B1C−∠PEB=30°.∴∠A1CE=∠B1CE+∠A1CB=75°.∴当直线AB与直线A1B1相交构成的4个角中最小角为30°时，α的值为15°或75°.8．【答案】（1）证明：根据旋转的性质可得，DE=DF，△EDF=90°∵BD△AD∴△ADB=90°∴△ADE=△BDF∵AD=BD∴△ADE△△BDF∴BF=AE（2）过点D 作DG△AC 于点G ，∵DE=DF ，△EDF=90°∴△DEF=△DFE=45°，△DEA=135°根据（1）可得，△ADE△△BDF∴△BFD=△DEA=135°，AE=BF∴△BFO=90°∵四边形ABCD 为平行四边形∴OB=OD∴△DGO△△BFO∴DG=BF ，OF=OG∴DG=EG=AE=BF设DG=a （a ＞0），则AG=2a在直角三角形ADG 中，∵AG 2+DG 2=AD 2∴（2a ）2+a 2=22解得a=2√55 ∴OF=OG=12×2√55=√55（3）过点D 作DN△AC 于点N ，将△DEN 绕点D 逆时针旋转90°得到△DFH ，∴DH=DN ，△DNE=△DH=90°，△DEN=△DFG∵△DEF=△FME=90°∴△DEM+△DFM=180°∴△DFH+△DFM=180°∴点H ，点F ，点M 三点共线∵△DHF=△DNM=△FMN=90°∴四边形DNMG 为矩形∵DN=DH∴四边形DNMH 为正方形∴S 四边形DEMF=S 四边形DNMH=（2√55）2=459．【答案】（1）解：∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE∵Rt△ABC中AB=AC∴∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACE(SAS)∴DB=EC∴BC=DC+DB=DC+EC（2）解：连结CE∵Rt△ABC与Rt△ADE中AB＝AC，AD＝AE∴∠B=∠ACE=45°，DE2=AD2+AE2=2AD2，∵由（1）同理可得△ABD≌△ACE∴DB=EC,∠ABD=∠ACE=45°∴∠ECD=90°∴Rt△ECD中，DE2=EC2+CD2=BD2+CD2∴2AD2=BD2+CD2（3）解：过点A作AE⊥AD，且AE=AD，连结DE,CE∵∠ABC=∠ACB=45°∴AB⊥AC,AB=AC∵AE⊥AD,AE=AD∴由（1）同理可得△ABD≌△ACE∴DB=EC=12∵∠ADC=45°∴∠EDC=∠ADC+∠ADE=90°∴DE=√CE2−CD2=√122−42=8√2∴等腰直角△ADE中AD=810．【答案】（1）解：∵α=60°，△ABC△△ADE，∴ AD=AB，△ABC=△ADE.∴ △ABD=△DAB=60°.∴ △ABC=△ADE=△DAB+△ABD=120°.（2）解：∵ AC=AE,△EAC= α，∴ △E=△ACE.∵ △ABC△△ADE，∴ △ACB=△E.∴ △ACB=△ACE.∴ CA平分△BCE.（3）解：△F= 90°−α.如下图：延长AD交EF于点G，则根据图形旋转的性质得，△GAF=α，∵△ABC△△ADE∴AC=AE，∴△AEC为等腰三角形，在△AED和△ACD中，{AE=AC DE=CD AD=AD，∴ △AED △ △ACD（SSS），∴ △DAE=△DAC，∴ AD平分△EAC，∵△AEC为等腰三角形，∴AG△EF，即△AGF=90°，∴∠EAF=3∠CAF=32α，∴∠F=180°−∠GAF−∠AGF=90°−α.11．【答案】（1）证明：∵∠BOC=∠BCD=∠CED=90∘，∴∠OCB+∠DCE=90∘，∠DCE+∠CDE=90∘，∴∠BCO=∠CDE，∵BC=CD，∴△BOC△ △CED．（2）解：∵△BOC△ △CED，∴OC=DE=m，BO=CE=3，∴D(m+3,m)，把D(m+3,m)代入y=−12x+3得到，m=−12(m+3)+3，∴2m=−m−3+6，∴m=1，∴D(4,1)，∵B(0,3)，C(1,0)，∴直线BC的解析式为y=−3x+3，设直线B′C′的解析式为y=−3x+b，把D(4,1)代入得到b=13，∴直线B′C′的解析式为y=−3x+13，∴C′(133,0)，∴CC′=103，∴△BCD平移的距离是103个单位．（3）点Q的坐标为(3,32)或(5,12)或(−3,92).12．【答案】（1）√34（2）解：如图，作CN⊥AB，垂足为N，此时12AM+MC最小，最小值等于CN，∵在正三角形ABC中，AB=BC=AC=2，∠ANC=90°，∴AN=1，由勾股定理得，CN=√3由（1）知，MN=12AM∴MN+CM=12AM+MC=CN=√3，即12AM+MC的最小值为√3（3）( 480−120√3 )13．【答案】（1）证明：∵CE△AE，BD△AE，∴△AEC＝△ADB＝90°，∵△BAC＝90°，∴△ACE+CAE＝△CAE+△BAD＝90°，∴△ACE＝△BAD，在△CAE与△ABD中{∠ACE=∠BAD ∠AEC=∠ADB AC=AB∴△CAE△△ABD（AAS），∴AE＝BD；（2）解：连接AH∵AB＝AC，BH＝CH，∴△BAH＝12∠BAC=12×90°=45°，△AHB＝90°，∴△ABH＝△BAH＝45°，∴AH＝BH，∵△EAH＝△BAH﹣△BAD＝45°﹣△BAD，△DBH＝180°﹣△ADB﹣△BAD﹣△ABH＝45°﹣△BAD，∴△EAH＝△DBH，在△AEH与△BDH中{AE=BD∠EAH=∠DBH AH=BH∴△AEH△△BDH（SAS），∴EH＝DH，△AHE＝△BHD，∴△AHE+△EHB＝△BHD+△EHB＝90°即△EHD＝90°，∴△EDH ＝△DEH ＝ 180°−90°2=45° ；（3）解：过点M 作MS△FH 于点S ，过点E 作ER△FH ，交HF 的延长线于点R ，过点E 作ET△BC ，交HR 的延长线于点T ．∵DG△FH ，ER△FH ，∴△DGH ＝△ERH ＝90°，∴△HDG+△DHG ＝90°∵△DHE ＝90°，∴△EHR+△DHG ＝90°，∴△HDG ＝△HER在△DHG 与△HER 中{∠HDG =∠HER ∠DGH =∠ERH DH =EH∴△DHG△△HER （AAS ），∴HG ＝ER ，∵ET△BC ，∴△ETF ＝△BHG ，△EHB ＝△HET ，△ETF ＝△FHM ，∵△EHB ＝△BHG ，∴△HET ＝△ETF ，∴HE ＝HT ，在△EFT 与△MFH 中{∠ETF =∠FHM ∠EFT =∠MFH EF =FM，∴△EFT△△MFH （AAS ），∴HF ＝FT ，∴HF·MS 2=FT·ER 2， ∴ER ＝MS ，∴HG＝ER＝MS，设GH＝6k，FH＝5k，则HG＝ER＝MS＝6k，HF·MS 2=5k·6k2=30，k＝√2，∴FH＝5 √2，∴HE＝HT＝2HF＝10 √2．14．【答案】（1）150°（2）解：如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，由旋转的性质得，AE′＝AE，CE′＝BE，△CAE′＝△BAE，△ACE′＝△B，△EAE′＝90°，∵△EAF＝45°，∴△E′AF＝△EAE′-△EAF=45°，∴△EAF＝△E′AF，在△EAF和△E′AF中，{AE=AE′∠EAF=∠E′AFAF=AF∴△EAF△△E′AF（SAS），∴E′F＝EF，∵△CAB＝90°，AB＝AC，∴△B＝△ACB＝45°，∴△E′CF＝45°+45°＝90°，由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2，即EF2＝BE2+FC2．（3）解：如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，∵在Rt△ABC中，△ACB＝90°，AC＝1，△ABC＝30°，∴AB＝2，∴BC＝√AB2−AC2=√3，∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，△ABC=30°，∴△A′BC＝△ABC+60°＝30°+60°＝90°，∵△C＝90°，AC＝1，△ABC＝30°，∴AB＝2AC＝2，∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO，∴△BOO′是等边三角形，∴BO＝OO′，△BOO′＝△BO′O＝60°，∵△AOC＝△COB＝△BOA＝120°，∴△COB+△BOO′＝△BO′A′+△BO′O＝120°+60°＝180°，∴C、O、A′、O′四点共线，在Rt△A′BC中，A′C＝√BC2+A′B2=√(√3)2+22=√7，∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C＝√7．15．【答案】（1）解：连接EC，又AB=AC，AD=AE，∴BD=CE=4，∠ACE=∠ABC，∵∠ABC+∠ACB=90°∴∠ACE+∠ACB=90°∴△ACE是直角三角形，∴DE=√CD2+CE2=√32+42=5；（2）解：∵∠BAD+∠DAC=90°,∠EAC+∠DAC=90°∴∠BAD=∠EAC∵{AB=AC∠BAD=∠EACAD=AE∴△BAD≅△CAE(SAS)∴∠ABD=∠ACE∵AD⊥BD∴∠BAD=90°−∠ABD∵∠BAC=90°∴∠DAC=90°−∠BAD∴∠DAC=∠ABD∴∠ACF=∠DAC∴AD//CF过点A作AP//BC交FC于点P，∴四边形ANCP是平行四边形∴AN=CP，NC=AP∵AP//BC∴∠FAP=∠ABC=45°{PA=NC∠PAF=∠NCM AF=CN∴△PAF≅△NCM(SAS)∴MN=PF∴AN+MN=CP+FP=CF；（3）DF:DN:AN=1:2:216．【答案】（1）EF＝CF（2）EF＝CF（3）解：猜想，EF＝CF，理由：如图3中，取AB的中点M，AD的中点N，连接MC，MF，EN，FN.∵BM＝MA，BF＝FD，∴MF△AD，MF＝12AD，∵AN＝ND，∴MF＝AN，MF△AN，∴四边形MFNA是平行四边形，∴NF＝AM，△FMA＝△ANF，在Rt△ADE中，∵AN＝ND，△AED＝90°，∴EN＝12AD＝AN＝ND，同理CM＝12AB＝AM＝MB，在△AEN和△ACM中，△AEN＝△EAN，△MCA＝△MAC，∵△MAC＝△EAN，∴△AMC＝△ANE，又∵△FMA＝△ANF，∴△ENF＝△FMC，∵AM＝FN，AM＝CM，∴CM＝NF，在△MFC和△NEF中，{MF=EN∠FMC=∠ENFMC=NF，∴△MFC△△NEF（SAS），∴FE＝FC.17．【答案】（1）12；4（2）解：结论：AD=12BC.理由：如图1中，延长AD到M，使得AD=DM，连接B′M，C′M，∵B′D=DC′，AD=DM，∴四边形AC′MB′是平行四边形，∴AC′=B′M=AC，∵∠BAC+∠B′AC′=180∘，∠B′AC′+∠AB′M=180∘，∴∠BAC=∠MB′A，∵AB=AB′，∴ΔBAC≅ΔAB′M，∴BC=AM，∴AD=12BC.18．【答案】（1）证明：在平行四边形ABCD中，AB△CD，AD△BC∴△BAF=△F，△DAF=△CEF又∵AE平分△BAD∴△BAF=△DAF∴△F=△CEF∴CE=CF（2）如图，连接CG、BG.∵ABCD是平行四边形，△ABC＝90°∴平行四边形ABCD是矩形∴AB=DC，AB△DC，AD△BC，△BAD＝△ADC=△BCD＝△ECF＝90° ∴△F=△BAE，△DBC=△ADB∵△BAD＝90° ，△BAE＝12△BAD=45°∴AB=BE，△F=△BAE=45°∴CE=CF∴BC=BE+EC=AB+CF=CD+CF=DF又∵G 是EF 的中点，△ECF ＝90° ,CE=CF∴CG=FG=12EF,△ECG=12△ECF=45° ∴△ECG=△F∴△DFG△△BCG∴△FDG ＝△CBG ，DG=BG∴△DBG=△BDG∵△DBC=△ADB,△FDG ＝△CBG∴△DBC+△CBG=△ADB+△FDG即△DBG=△ADB+△FDG∴△BDG=△ADB+△FDG又∵△BDG+（△ADB+△FDG ）=90°∴△BDG=12△ADC=45° （3）如图，连接GB 、GE 、GC 。

第二章实数压轴题考点训练(解析版)(北师大版)

第二章实数压轴题考点训练|﹣（﹣）﹣）﹣2×2+﹣﹣=【答案】(1)5342是“和好数”，理由见详解；3(2)4567【分析】（1）依据“和好数”的定义和G (p )的定义即可判断求解；（2）首先确定s 、t 的千位数、被位数、十位数和个位数，再依据“和好数”的定义找到1m n -=和2x y =，再根据相应的取值范围，确定符合条件的数组(m ,n )和(x ,y )，依据G (p )的定义得到()()3(2124)G s G t m x =+-+，再确定其取值范围，最后根据()()3(2124)G s G t m x =+-+是完全平方数即可求出符合条件的数组(m ,x )，即可求出满足条件的s ．【详解】（1）∵3+4≠6+2，∴3264不是“和好数”，∵5+2=3+4，∴5342是“和好数”，∴G (5342)=3(4-3)=3；（2）∵100010517s n m =++，且28m ≤≤，19n ≤≤，∴s 的千位数是n ，百位数是5，十位数是m +1，个位数是7，又∵s 是“和好数”，∴751n m +=++，即1m n -=，根据整数m 、n 的取值范围可知满足条件的数组(m ,n )有：(2,1)、(3,2)、(4,3)、(5,4)、(6,5)、(7,6)、(8,7)，则m 可以取的数为：2、3、4、5、6、7、8，∴()()315312G s m m =+-=-，∵1023390t x y =++，且19x ≤≤，14y ≤≤，∴t 的千位数是3，个位数是2y ，∵40039010480x ≤+≤，∴t 的百位数是4，十位数是x -1，又∵t 是“和好数”，∴3241y x +=+-，即2x y =，根据整数x 、y 的取值范围可知满足条件的数组(x ,y )有：(2,1)、(4,2)、(6,3)、(8,4)，则x 可以取的数为：2、4、6、8，∴()()314315G t x x =--=-∵231()()3122()36423(214)5m m x G s G t x m x =-+=+-=+-+-，由m 、x 的取值，可知3(214)m x +-最大可以为30，∵2()()G s G t +是一个完全平方数，则3(214)m x +-可以为30以内能被3整除的完全平方数，即有：3(214)m x +-为只能为9，即：3(214)9m x +-=，得：m +2x =17，∴根据整数m 、x 的取值范围可知满足条件的数组(m ,x )只有：(5,6)，∴m =5，x =6，∴n =4，y =3，∴100010517100041055174567s n m =++=⨯+⨯+=．【点睛】本题主要是考查了二元方程的正整数解，理解“和好数”的定义和G (p )的定义是解题的基础，利用题中正整数、完全平方数的限制条件最终确定m 、n 、x 、y 的值是解题的关键．。

北师大版八年级数学下册单元测试《第1章三角形的证明》(解析版)

《第1章三角形的证明》一、选择题1．如果三角形的三个内角度数比为1：1：2，则这个三角形为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．非等腰直角三角形D．等腰直角三角形2．下面命题不正确的是（）A．两个内角分别是50°和65°的三角形是等腰三角形B．两个外角相等的三角形是等腰三角形C．一个外角的平分线平行于一边的三角形是等腰三角形D．两个内角不相等的三角形不是等腰三角形3．下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是（）A．a=﹣2 B．a=﹣1 C．a=1 D．a=24．反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°”先应假设这个三角形中（）A．有一个内角小于60° B．每个内角都小于60°C．有一个内角大于60°D．每个内角都大于60°5．如图，在△ABC中，AB=AC，E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，连接ED并延长到点F，使DF=DE，连接FC，若∠B=70°，则∠F 的度数是（）A．40 B．70 C．50 D．456．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（）A．6 B．7 C．8 D．97．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为（）A．40海里B．60海里C．70海里D．80海里二、填空题8．如图所示，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC边上，∠ABD=∠DAE=∠EAC=36°，则图中共有等腰三角形的个数是．9．如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．若AB=5，AC=4，则△ADE的周长是．10．如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC 是等腰三角形的是．①∠BAD=∠ACD；②∠BAD=∠CAD；③AB+BD=AC+CD；④AB﹣BD=AC﹣CD．三、解答题11．证明题：如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC，求证：PB≠PC．12．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．（1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状．（只写结果）13．已知∠AOB及其内部一点P，试讨论以下问题的解答：（1）如图①，若点P在∠AOB的平分线上，我们可以过P点作直线垂直于角平分线，分别交OA、OB于点C、D，则可以得到△OCD是以CD为底边的等腰三角形；若点P不在∠AOB的平分线上（如图②），你能过P点作直线，分别交OA、OB于点C、D，得到△OCD是等腰三角形，且CD是底边吗？请你在图②中画出图形，并简要说明画法．（2）若点P不在∠AOB的平分线上（如图③），我们可以过P点作PQ∥OA，并作∠QPR=∠AOB，直线PR分别交OA、OB于点C、D，则可以得到△OCD是以OC为底的等腰三角形．请你说明这样作的理由．（3）若点P不在∠AOB的平分线上，请你利用在（2）中学到的方法，在图④中过P点作直线分别交OA、OB于点C、D，使得△OCD是等腰三角形，且OD是底边．保留画图的痕迹，不用写出画法．《第1章三角形的证明》参考答案与试题解析一、选择题1．如果三角形的三个内角度数比为1：1：2，则这个三角形为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．非等腰直角三角形D．等腰直角三角形【考点】三角形内角和定理．【分析】由三角形的三个内角度数比为1：1：2，可设三角形的三个内角分别为：x，x，2x，然后由三角形的内角和等于180°，即可得方程：x+x+2x=180°，解此方程即可求得答案．【解答】解：∵三角形的三个内角度数比为1：1：2，∴设三角形的三个内角分别为：x，x，2x，∴x+x+2x=180°，解得：x=45°，∴三角形的三个内角度数分别为：45°，45°，90°．∴这个三角形为等腰直角三角形．故选：D．【点评】此题考查了三角形的内角和定理．此题比较简单，解题的关键是根据三角形的三个内角度数比为1：1：2，设三角形的三个内角分别为：x，x，2x，利用方程思想求解．2．下面命题不正确的是（）A．两个内角分别是50°和65°的三角形是等腰三角形B．两个外角相等的三角形是等腰三角形C．一个外角的平分线平行于一边的三角形是等腰三角形D．两个内角不相等的三角形不是等腰三角形【考点】等腰三角形的判定．【分析】认真阅读各选项，结合各选项提供的已知条件及等腰三角形的定义可得．【解答】解：A、第三个角180°﹣50°﹣65°=65°，有两等角的三角形是等腰三角形，正确；B、外角相等，则对应的内角也相等，有两等角的三角形是等腰三角形，正确；C、利用两直线平行，内错角相等，同位相等，可知，另外的两内角也相等，有两等角的三角形是等腰三角形，正确；D、两个内角不相等的三角形可能是等腰三角形，错误．故选D．【点评】本题考查了等腰三角形的判定；找出各选项的正误是正确解答本题的关键．3．下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是（）A．a=﹣2 B．a=﹣1 C．a=1 D．a=2【考点】反证法．【分析】根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．【解答】解：用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例可以是：a=﹣2，∵（﹣2）2＞1，但是a=﹣2＜1，∴A正确；故选：A．【点评】此题主要考查了利用举例法证明一个命题错误，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可这是数学中常用的一种方法．4．反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°”先应假设这个三角形中（）A．有一个内角小于60° B．每个内角都小于60°C．有一个内角大于60°D．每个内角都大于60°【考点】反证法．【专题】证明题．【分析】此题要运用反证法，由题意先假设三角形的三个角都小于60°成立．然后推出不成立．得出选项．【解答】解：设三角形的三个角分别为：a，b，c．假设，a＜60°，b＜60°，c＜60°，则a+b+c＜60°+60°+60°，即，a+b+c＜180°与三角形内角和定理a+b+c=180°矛盾．所以假设不成立，即三角形中至少有一个角不小于60°．故选B．【点评】此题考查的知识点是反证法，解答此题的关键是由已知三角形中至少有一个角不小于60°假设都小于60°进行论证．5．如图，在△ABC中，AB=AC，E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，连接ED并延长到点F，使DF=DE，连接FC，若∠B=70°，则∠F 的度数是（）A．40 B．70 C．50 D．45【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．【分析】由题意可得EB=ED，根据等边对等角的性质，易得∠B=∠EDB=∠ACB，即可得EF∥AC，又由AE=BE，根据平行线等分线段成比例定理，可得BD=CD，然后利用SAS即可证得△EBD≌△CFD，即可得∠F=∠BED．【解答】解：∵以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，∴EB=ED，∴∠EDB=∠B=70°，∴∠BED=180°﹣∠B=∠BDE=40°，∵AB=AC，∴∠ACB=∠B，∴∠EDB=∠ACB，∴EF∥AC，∵E是AB的中点，即BE=AE，∴BD=CD，在△EBD和△FCD中，，∴△EBD≌△FCD（SAS），∴∠F=∠BED=40°．故选A．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及平行线的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，注意理解题意．6．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】等腰三角形的判定．【专题】分类讨论．【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰△ABC底边；②AB为等腰△ABC其中的一条腰．【解答】解：如上图：分情况讨论．①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．7．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为（）A．40海里B．60海里C．70海里D．80海里【考点】等腰三角形的判定与性质；方向角；平行线的性质．【专题】应用题．【分析】根据方向角的定义即可求得∠M=70°，∠N=40°，则在△MNP中利用内角和定理求得∠NPM的度数，证明三角形MNP是等腰三角形，即可求解．【解答】解：MN=2×40=80（海里），∵∠M=70°，∠N=40°，∴∠NPM=180°﹣∠M﹣∠N=180°﹣70°﹣40°=70°，∴∠NPM=∠M，∴NP=MN=80（海里）．故选：D．【点评】本题考查了方向角的定义，以及三角形内角和定理，等腰三角形的判定定理，理解方向角的定义是关键．二、填空题8．如图所示，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC边上，∠ABD=∠DAE=∠EAC=36°，则图中共有等腰三角形的个数是6．【考点】等腰三角形的判定与性质．【分析】由在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC边上，∠ABD=∠DAE=∠EAC=36°，根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理，易求得各角的度数，继而求得答案．【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠ABD=36°，即△ABC是等腰三角形，∴∠C=∠B=36°，∴∠BAC=108°，∵∠DAE=∠EAC=36°，∴∠BAD=36°，∴∠BAD=∠B=36°，∠EAC=∠C=36°，∴△ABD，△ACE是等腰三角形，∴∠ADE=∠AED=∠DAC=∠BAE=72°，∴△ADE，△ABE，△ACD是等腰三角形．故答案为：6．【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．9．如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．若AB=5，AC=4，则△ADE的周长是9．【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．【专题】压轴题．【分析】由在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，易证得△DOB与△EOC是等腰三角形，即DO=DB，EO=EC，继而可得△ADE的周长等于AB+AC，即可求得答案．【解答】解：∵在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，∴∠DBO=∠CBO，∠ECO=∠BCO，∵DE∥BC，∴∠DOB=∠CBO，∠EOC=∠BCO，∴∠DBO=∠DOB，∠ECO=∠EOC，∴OD=BD，OE=CE，∵AB=5，AC=4，∴△ADE的周长为：AD+DE+AE=AD+DO+EO+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC=5+4=9．故答案为：9．【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义以及平行线的性质．此题难度适中，注意证得△DOB与△EOC是等腰三角形是解此题的关键，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．10．如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC 是等腰三角形的是②③④．①∠BAD=∠ACD；②∠BAD=∠CAD；③AB+BD=AC+CD；④AB﹣BD=AC﹣CD．【考点】等腰三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】可根据等腰三角形三线合一的性质来判断①②是否正确；③④要通过作等腰三角形来判断其结论是否成立．【解答】解：应添加的条件是②③④；证明：②当∠BAD=∠CAD时，∵AD是∠BAC的平分线，且AD是BC边上的高；则△ABD≌△ACD，∴△BAC是等腰三角形；③延长DB至E，使BE=AB；延长DC至F，使CF=AC；连接AE、AF；∵AB+BD=CD+AC，∴DE=DF，又AD⊥BC；∴△AEF是等腰三角形；∴∠E=∠F；∵AB=BE，∴∠ABC=2∠E；同理，得∠ACB=2∠F；∴∠ABC=∠ACB，即AB=AC，△ABC是等腰三角形；④△ABC中，AD⊥BC，根据勾股定理，得：AB2﹣BD2=AC2﹣CD2，即（AB+BD）（AB﹣BD）=（AC+CD）（AC﹣CD）；∵AB﹣BD=AC﹣CD①，∴AB+BD=AC+CD②；∴①+②得：，2AB=2AC；∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形故答案为：②③④．【点评】此题主要考查的是等腰三角形的判定和性质；本题的难点是结论③的证明，能够正确的构建出等腰三角形是解答③题的关键．三、解答题11．证明题：如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC，求证：PB≠PC．【考点】反证法．【专题】证明题．【分析】运用反证法进行求解：（1）假设结论PB≠PC不成立，PB=PC成立．（2）从假设出发推出与已知相矛盾．（3）得到假设不成立，则结论成立．【解答】证明：假设PB≠PC不成立，则PB=PC；∵在△ABP和△ACP中，，∴△ABP≌△ACP，∴∠APB=∠APC；与∠APB≠∠APC相矛盾．因而PB=PC不成立，则PB≠PC．【点评】解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．12．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．（1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状．（只写结果）【考点】等腰三角形的判定与性质；作图—基本作图．【专题】作图题．【分析】（1）以D为圆心，以任意长为半径画弧，交AD于G，交DC于H，分别以G、H为圆心，以大于GH为半径画弧，两弧交于N，作射线DN，交AM 于F．（2）求出∠BAD=∠CAD，求出∠FAD=×180°=90°，求出∠CDF=∠AFD=∠ADF，推出AD=AF，即可得出答案．【解答】解：（1）如图所示：（2）△ADF的形状是等腰直角三角形，理由是：∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD，∵AF平分∠EAC，∴∠EAF=∠FAC，∵∠FAD=∠FAC+∠DAC=∠EAC+∠BAC=×180°=90°，即△ADF是直角三角形，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵∠EAC=2∠EAF=∠B+∠ACB，∴∠EAF=∠B，∴AF∥BC，∴∠AFD=∠FDC，∵DF平分∠ADC，∴∠ADF=∠FDC=∠AFD，∴AD=AF，即直角三角形ADF是等腰直角三角形．【点评】本题考查了作图﹣基本作图，等腰三角形的性质和判定的应用，主要培养学生的动手操作能力和推理能力，题目比较典型，难度也适中．13．已知∠AOB及其内部一点P，试讨论以下问题的解答：（1）如图①，若点P在∠AOB的平分线上，我们可以过P点作直线垂直于角平分线，分别交OA、OB于点C、D，则可以得到△OCD是以CD为底边的等腰三角形；若点P不在∠AOB的平分线上（如图②），你能过P点作直线，分别交OA、OB于点C、D，得到△OCD是等腰三角形，且CD是底边吗？请你在图②中画出图形，并简要说明画法．（2）若点P不在∠AOB的平分线上（如图③），我们可以过P点作PQ∥OA，并作∠QPR=∠AOB，直线PR分别交OA、OB于点C、D，则可以得到△OCD是以OC为底的等腰三角形．请你说明这样作的理由．（3）若点P不在∠AOB的平分线上，请你利用在（2）中学到的方法，在图④中过P点作直线分别交OA、OB于点C、D，使得△OCD是等腰三角形，且OD是底边．保留画图的痕迹，不用写出画法．【考点】作图—应用与设计作图；角平分线的性质；等腰三角形的判定．【分析】（1）作∠AOB的平分线，过P点作角平分线的垂线，分别交角的两边OA、OB于点C、D，则△OCD是以CD为底边的等腰三角形；（2）根据PQ∥OA，得出∠QPR=∠OCD，进而得出OD=CD，即可得出答案；（3）作QP∥DO，再作∠ODR=∠O，即可得出答案．【解答】解：（1）能．画法：作∠AOB的平分线，过P点作角平分线的垂线，分别交角的两边OA、OB 于点C、D，则△OCD是以CD为底边的等腰三角形，如图①．（2）∵PQ∥OA，∴∠QPR=∠OCD，又∵∠QPR=∠AOB，∴∠OCD=∠AOB．∴OD=CD．即△OCD是以OC为底的等腰三角形．（3）如图②．【点评】此题主要考查了基本作图角平分线的性质等知识；作角平分线是正确解答本题的关键．。

北师大初中中考数学压轴题及答案

中考数学专题复习 (压轴题 ) 1. 已知 : 如图 , 抛物线 y=-x 2+bx+c 与 x 轴、 y 轴分别订交于点A（ -1 ， 0）、 B（0， 3）两点，其极点为 D.（ 1）求该抛物线的分析式；（ 2）若该抛物线与 x 轴的另一个交点为 E. 求四边形 ABDE的面积；（ 3）△AOB与△ BDE能否相像？假如相像，请予以证明；假如不相像，请说明原因.2（注：抛物线y=ax +bx+c(a ≠ 0) 的极点坐标为2b , 4ac b）2a4a2.如图，在Rt△ABC中，A 90o，AB 6 ， AC 8 ， D，E 分别是边 AB，AC 的中点，点 P 从点 D 出发沿 DE 方向运动，过点P 作PQ BC 于 Q ，过点 Q 作QR∥ BA交AC于R ，当点Q与点 C 重合时，点 P 停止运动．设BQ x ， QR y ．（1）求点D到BC的距离DH的长；（2）求y对于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（ 3）能否存在点P ，使△PQR为等腰三角形？若存在，恳求出全部知足要求的x 的值；若不存在，请说明原因．ARD P EB CH Q3 在△ABC中，∠A＝90°，AB＝ 4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B 重合），过M点作MN∥BC交 AC于点 N．以 MN为直径作⊙ O，并在⊙ O内作内接矩形AMPN．令 AM＝x．（1）用含x的代数式表示△ＭNP的面积S；（2）当x为什么值时，⊙O与直线BC相切？（ 3）在动点的运动过程中，记△与梯形重合的面积为y ，试求y对于x的函数表达式，并求x为什么值时，y的值最大，最大值是多少？MＭNP BCNMAA AM O N M N M O NOPB CC B CB DP图 1图 3图 24. 如图 1 ，在平面直角坐标系中，己知AOB是等边三角形，点A的坐标是(0 ， 4) ，点 B在第一象限，点P是 x 轴上的一个动点，连结AP，并把AOP绕着点 A 按逆时针方向旋转. 使边 AO与 AB重合 . 获得ABD. （ 1 ）求直线AB的分析式；（2）当点 P运动到点（ 3 ，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；（3）能否存在点 P，使OPD的面积等于3，若存在，恳求出切合条件的点P的坐标；若不存在，请说明原因.45 如图，菱形ABCD的边长为 2， BD=2，E、 F 分别是边 AD， CD上的两个动点，且知足AE+CF=2.（1）求证：△ BDE≌△ BCF；（2）判断△ BEF的形状，并说明原因；（3）设△ BEF的面积为 S，求 S的取值范围 .6 如图，抛物线2L : y x 2x 3 交 x 轴于、两点，交y 轴于点抛物线L1向右平移2个单位后获得抛物线L2，L2交 x 轴于、两点.1 A B M . C D （ 1）求抛物线L2对应的函数表达式；（ 2）抛物线L1或L2在 x 轴上方的部分能否存在点，使以，，，为极点的四边形是平行四边形.若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明原因；N ACMN（ 3）若点 P 是抛物线L1上的一个动点（P 不与点 A、 B 重合），那么点P 对于原点的对称点Q能否在抛物线L2上，请说明原因.7. 如图，在梯形ABCD中， AB∥ CD， AB＝7， CD＝1， AD＝BC＝5．点 M， N分别在边 AD， BC上运动，并保持MN∥ AB， ME⊥ AB，NF⊥AB，垂足分别为E，F．（1）求梯形ABCD的面积；（2）求四边形MEFN面积的最大值．（3）试判断四边形MEFN可否为正方形，若能，求出正方形 MEFN的面积；若不可以，请说明原因．D CM NA E F B8.如图，点 A（ m， m＋1）， B（ m＋3， m－1）都在反比率函数（1）求m，k的值；（2）假如M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点 A， B， M， N为极点的四边形是平行四边形，试求直线 MN的函数表达式．友谊提示：本大题第（ 1）小题 4 分，第（2）小题 7 分．对达成第（ 2）小题有困难的同学能够做下边的（3）选做题．选做题 2 分，所得分数计入总分．但第（2）、（ 3）yk 的图象上．xyAB O x小题都做的，第（3）小题的得分不重复计入总分．（ 3）选做题：在平面直角坐标系中，点P 的坐标y Q1Q2为（ 5， 0），点Q的坐标为（ 0， 3），把线段PQ向右平移 4 个单位，而后再向上平移则点 P1的坐标为，点2 个单位，获得线段Q1的坐标为P1Q1，．9. 如图 16，在平面直角坐标系中，直线y3x 3 与 x 轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线223经过，，三点．y ax x c(a 0) A B C3（ 1）求过A，B，C三点抛物线的分析式并求出极点 F 的坐标；（ 2）在抛物线上能否存在点P ，使△ ABP 为直角三角形，若存在，直接写出P 点坐标；若不存在，请说明原因；（ 3）尝试究在直线AC上能否存在一点M ，使得△MBF 的周长最小，若存在，求出M 点的坐标；若不存在，请说明原因．yxA O BCF图 1610. 以下图，在平面直角坐标系中，矩形 ABOC的边BO在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且AB1，OB 3 ，矩形ABOC绕点O按顺时针方向旋转 60o后获得矩形EFOD．点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C的对应点为点D，抛物线2过点，，．y ax bx c A E D（1）判断点E能否在y轴上，并说明原因；（2）求抛物线的函数表达式；（ 3）在x轴的上方能否存在点P ，点Q，使以点O，B，P，Q为极点的平行四边形的面积是矩形ABOC 面积的2倍，且点 P 在抛物线上，若存在，恳求出点 P ，点Q 的坐标；若不存在，请说明原因．yEA FC DB Ox压轴题答案c3解得1. 解：（ 1 ）由已知得：b1 c 0c=3,b=2∴抛物线的线的分析式为 yx22x3(2)由极点坐标公式得极点坐标为（1，4）因此对称轴为 x=1,A,E 对于 x=1 对称，因此 E(3,0)设对称轴与x 轴的交点为F因此四边形 ABDE 的面积 = S ABO S 梯形 BOFD S DFE= 1AO BO 1 (BO DF) OF 1 E F DF2 22=1131(3 4) 1 1 2 4222 =9（ 3）相像如图， BD= BG 2 DG 212 12 2BE= BO 2 OE 2 32 323 2DE=DF 2 EF 222 422 5因此 BD 2 BE 220 , DE 2 20 即： BD 2 BE 2 DE 2 , 因此 BDE 是直角三角形因此AOBDBE90 ,且AOBO 2 ,BDBE2因此AOB :DBE .2 解：（ 1）QA Rt ， AB6，AC 8 ， BC 10 ．Q 点D 为 AB 中点，BD1AB 3 ．2QDHBA 90o ， BB ．△ BHD ∽△ BAC ， DH BD， DHBDgAC3 8 12 ． ACBCBC10 5（2）Q QR ∥ AB ， QRCA 90o ．Q C C ， △RQC ∽△ ABC ，RQQCy10 x，AB，610BC3 即 y 对于 x 的函数关系式为：yx 6 ．5（ 3）存在，分三种状况：①当 PQPR 时，过点 P 作 PMQR 于 M ，则 QM RMQ 12 90o ，C2 90o ，1C ．cos 1 cosC8 4 QM 4，QP，10 5513x 6418 25， x125．55②当 PQRQ 时，3 x 6 12 ，5 5x 6．③当 PRQR 时，则 R 为 PQ 中垂线上的点，于是点 R 为 EC 的中点，CR1 CE 1AC 2 ．2 4 Q tanC QR BA ，CRCA3x 6 6 155 x，．28 2综上所述，当 x 为18或 6 或15时， △ PQR 为等腰三角形．52．ARD PE1 M2BCH QADPERBCHQADEPRBCH QAMNOPB C3 1 MNBCAMN = B ANM CAMNABCAMANxAN ABAC 43AN 3x 2 4S =1 332S MNP S AMNx xxx342 4822BCODAO OD AO =OD = 1MN2Rt ABCBC AB2AC2=5A1AMNABCMNOAM MNx MNABBC45BQ DCMN5图 2x4 OD55x85xMMQBC Q MQ OD8Rt BMQ Rt BCAB BMQ BCABM QMBC AC5 5x2525 BM8x AB BM MA 324x x 424x9649x96 OB C 7493POMBCAPAPMN BCAMN = BAOM APCAMONAMO ABPAM AO 1AMMB 2 ABAP20 x ≤ 2yS PMN3x 28x 2y 最大3 22 3.8A822 x 4PM PNBC E FOAMPNMNPN AM PN AM xMN BCBEFCMBFNPFN BM 4 x图 4PFx 4 x2x 4PEFACB2PF SPEFABS ABCSPEF3 29x 22ySMNPSPEF3 x 23 x 29 x 26x 62108289 x 29 x 822 x 4y6x 62883x82 x 4 y 最大21138x2 12y34 解：（1）作BE⊥OA，∴AOB是等边三角形∴ BE=OB·sin60 o= 2 3，∴ B( 2 3 ,2)∵ A(0,4), 设 AB的分析式为y kx 4 ,因此 2 3k 4 2 ,解得 k3, 3以直线 AB的分析式为y34x3o（ 2）由旋转知，AP=AD, ∠ PAD=60,∴APD是等边三角形，PD=PA=AO2OP219如图，作 BE⊥ AO,DH⊥ OA,GB⊥ DH,明显GBD中∠ GBD=30°∴ GD=1BD=3,DH=GH+GD=3+ 23=5 3, 2222∴ GB=3BD=3,OH=OE+HE=OE+BG=3722222∴D(5 3,7)22(3) 设 OP=x,则由（ 2）可得 D( 23x,23x )若OPD的面积为：1xg(23x)3 2224解得： x2321因此 P(2321,0)33 5671 D C DGAB G CHAB H1AB CDDG CH DG CHDGHCGH CD 1DG CH AD BCAGD BHC 90° AGD BHCHLAG BH AB GH7 13222D CM NRt AGD AG 3AD 5DG 4174AEGHF S梯形ABCD2162MNABMEABNFABDC ME NF ME NFM N MEFNAB CD AD BCABME NFMEA NFB 90° AEGHFMEA NFB AASAE BF47 25AE x EF xA A MEA DGA 90°MEA DGAAE MEAG DG B 3 B4x 6ME32S 矩形 MEFN MEEF4 x(7 2x)8 x 7 49 833 46x7744994ME 3MEFN63102AE xEF 7 2x ME 4x3MEFNME EF4x7 2xx211131072x7221 144EF10 52MEFNS 正方形 MEFN14 1965 2581m m 1m 3 m133mA 34B 62yk 4× 3=124A 2NMxNy1B1x 1010 y 1MNOAN 1M 1B2M 1xMNMAB321 1N2231A3 4B6 210421025NNM630M 30611MNy k 1x 2x3 y 0k 121 132 MNy8x 21 13②当 M 点在 x 轴的负半轴上， N 点在 y 轴的负半轴上时，设 M 2 点坐标为（ x 2， 0）， N 2 点坐标为（ 0， y 2）．∵ AB ∥ N 1M 1， AB ∥ M 2N 2， AB ＝ N 1M 1， AB ＝ M 2N 2， ∴ N 1M 1∥ M 2N 2， N 1M 1＝ M 2N 2．∴ 线段 M 2N 2 与线段 N 1M 1 对于原点 O 成中心对称．∴2 点坐标为（-3 ， 0），2点坐标为（ 0， -2 ）．9 分MN设直线2 2 的函数表达式为yk 2 x 22 ， MN，把 x ＝ -3 ， y ＝ 0 代入，解得 k 223∴ 直线 MN 的函数表达式为y2 ．2232 因此，直线 MN 的函数表达式为 2x 2 或 y分y x 2 ．113 3（ 3）选做题：（ 9， 2），（ 4， 5）．2 分9 解：（ 1） Q 直线 y 3x3 与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 C ．A( 1，0) ， C (0，3) ··························1 分Q 点 A ，C 都在抛物线上，0 a23 a 3c333 cc3抛物线的分析式为y3 x 2 2 3x3 ·················3 分33极点 F 1，4 3····························4 分3（ 2）存在 ································· 5 分P 1 (0， 3) ································ 7 分P 2 (2， 3) ································9 分（ 3）存在 ································ 10 分原因：解法一：延伸 BC到点 B ，使 BC BC ，连结 B F 交直线 AC 于点 M ，则点 M 就是所求的点．·························11 分过点B作BH AB于点 H．yQ B 点在抛物线y 3 x22 3 x 3 上，B(3，0)333HO B x在 Rt△BOC 中，tan OBCA ，3C30o， BC23 ，B MFOBC图 91BB 2 3，在 Rt△BB H 中， B H2BH3B H 6 ，OH3，B(3， 23)··············12 分设直线 B F 的分析式为y kx b233k b k3 643解得k b 3 33b2y 3 x33····························13 分62y3x3x 373，10 33 x33解得3Myy 10，77627在直线 AC 上存在点 M ，使得△ MBF 的周长最小，此时M3，10 3．· 14分77解法二：过点 F 作 AC 的垂线交 y 轴于点 H ，则点 H 为点 F 对于直线 AC 的对称点．连结BH 交 AC 于点 M ，则点 M 即为所求．11 分过点F作FG y 轴于点G，则OB∥FG，BC∥FH．yBOC FGH90o，BCO FHGHFG CBO A O B x同方法一可求得B(3，0) ．C M GH F 图 10在 Rt△BOC 中，tan OBC3，OBC 30o，可求得 GH GC3，33 GF 为线段 CH 的垂直均分线，可证得△CFH为等边三角形，AC 垂直均分 FH ．即点 H 为点 F 对于 AC 的对称点．H0，53·············12 分3设直线 BH 的分析式为y kx b ，由题意得03k b k535解得9b35b3 33y5353 ····························13 分93y 55x33x37M3，10 3 93解得3y3x3y 1077 7在直线 AC 上存在点 M ，使得△ MBF 的周长最小，此时M3，10 3 ．17710 解：（ 1）点E在y轴上························· 1 分原因以下：连结 AO ，以下图，在 Rt△ ABO 中， Q AB1，BO 3 ，AO2sin AOB1，AOB30o2由题意可知：AOE60oBOE AOB AOE30o60o90oQ 点B在 x 轴上，点 E 在 y 轴上．····················· 3 分（2）过点D作DM x 轴于点 MQ OD1，DOM30o1， OM 3在 Rt△ DOM 中，DM22Q 点D在第一象限，点 D 的坐标为315 分2，. (2)由（ 1）知EO AO 2 ，点 E 在 y 轴的正半轴上点 E 的坐标为(0，2)点 A的坐标为(31)，·························· 6 分Q 抛物线 y ax 2bx c 经过点E，c2由题意，将 A(31代入y ax2bx 2中得31)，， D，223a3b 2 1a 8 93 a 3 b1解得2 5 3b4229所求抛物线表达式为：y8x2 5 3x 2 ················9 分99（ 3）存在切合条件的点P，点Q．····················10 分原因以下： Q 矩形ABOC的面积AB gBO3以 O， B， P， Q 为极点的平行四边形面积为2 3 ．由题意可知 OB 为此平行四边形一边，又Q OB3OB 边上的高为2····························11 分依题意设点 P 的坐标为(m，2)Q 点P在抛物线 y8x2 5 3x 2 上998 m253m 2 299解得， m1053， m28P1 (0，2)5 3 ，， P228Q以 O， B， P， Q 为极点的四边形是平行四边形，PQ∥OB， PQ OB 3 ，当点 P1的坐标为 (0，2) 时，点 Q 的坐标分别为Q1(3，2) ， Q2 (3，2) ；当点P2的坐标为53，时，82点 Q 的坐标分别为Q3133，，3 3 ，2Q4288（以上答案仅供参照，若有其余做法，可参照给分）yEFAC DxB O M ．·············14 分。

压轴题：一元一次不等式及不等式组综合专练20题(解析版)八年级数学下学期期末精选题汇编(北师大版)

压轴题02：一元一次不等式及不等式组综合专练20题（解析版）一、单选题1．已知关于x 的不等式组100x x a ->⎧⎨-≤⎩，有以下说法： ①如果它的解集是1＜x ≤4，那么a ＝4；①当a ＝1时，它无解；①如果它的整数解只有2，3，4，那么4≤a ＜5；①如果它有解，那么a ≥2．其中说法正确的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】分别求出每个不等式的解集，再根据各结论中a 的取值情况逐一判断即可．【详解】解：由x ﹣1＞0得x ＞1，由x ﹣a ≤0得x ≤a ，①如果它的解集是1＜x ≤4，那么a ＝4，此结论正确；①当a ＝1时，它无解，此结论正确；①如果它的整数解只有2，3，4，那么4≤a ＜5，此结论正确；①如果它有解，那么a ＞1，此结论错误；故选：C ．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．2．正整数n 小于100，并且满足等式236n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，例如：[][]1.5122==，，则满足等式的正整数的个数为（） A ．2B ．3C ．12D ．16【答案】D【分析】利用不等式[x ]≤x 即可求出满足条件的n 的值．【详解】解：若2n ，3n ，6n 有一个不是整数，则22n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＜或者33n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＜或者66n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＜， ∴][][236236n n n n n n n ⎡⎤++++=⎢⎥⎣⎦＜， ∴2n ，3n ，6n 都是整数，即n 是2，3，6的公倍数，且n ＜100， ∴n 的值为6，12，18，24，......96，共有16个，故选：D ．【点睛】本题主要考查不等式以及取整，关键是要正确理解取整的定义，以及[x ]≤x ＜[x ]+1式子的应用，这个式子在取整中经常用到．3．定义，图象与x 轴有两个交点的函数y ＝24()24()x x m x x m -+≥⎧⎨+<⎩叫做关于直线x ＝m 的对称函数，它与x 轴负半轴交点记为A ，与x 轴正半轴交点记为B 例如：如图：直线l ：x ＝1，关于直线l 的对称函数y ＝24(1)24(1)x x x x -+≥⎧⎨+<⎩与该直线l 交于点C ，当直线y ＝x 与关于直线x ＝m 的对称函数有两个交点时，则m 的取值范围是（）A ．0≤m ≤43B ．－2＜m ≤43C ．－2＜m ≤2D ．－4＜m ＜0【答案】B【分析】根据定义x 轴上存在,A B 即可求得22m -<<，根据题意联立,24,y x y x =⎧⎨=+⎩,24,y x y x =⎧⎨=-+⎩即可求得m 的范围，结合定义所求范围即可求解【详解】①一次函数图象与x 轴最多只有一个交点，且关于m 的对称函数()24,24()x x m y x x m ⎧-+≥=⎨+<⎩，与x 轴有两个交点， ①组成该对称函数的两个一次函数图象的部分图象都与x 轴有交点．①240x ±+=解得2x =或2-①22m -<<．①直线y ＝x 与关于直线x ＝m 的对称函数有两个交点，①直线y =x 分别与直线24()y x x m =-+≥和24()y x x m =+<各有一个交点．对于直线y =x 与直线24()y x x m =+<，联立可得,24,y x y x =⎧⎨=+⎩解得4,4x y =-⎧⎨=-⎩， ①直线y =x 与直线24()y x x m =+<必有一交点(4,4)--．对于直线y =x 与直线24()y x x m =-+≥，联立可得,24,y x y x =⎧⎨=-+⎩解得4,343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ①22m -<<， ①43x =必须在x m ≥的范围之内才能保证直线y =x 与直线24()y x x m =-+≥有交点． ①43m ≤． ①423m -<≤． ①m 的取值范围是423m -<≤．故选B【点睛】本题考查了新定义，两直线交点问题，一次函数的性质，掌握一次函数的性质，数形结合是解题的关键．4．如图，长方形ABKL ，延CD 第一次翻折，第二次延ED 翻折，第三次延CD 翻折，这样继续下去，当第五次翻折时，点A 和点B 都落在①CDE ＝α内部（不包含边界），则α的取值值范围是（）A ．3645α︒<≤B ．3036α︒<≤C ．3645α︒≤<D ．3036α︒<<【答案】D【分析】利用翻折前后角度总和不变，由折叠的性质列代数式求解即可；【详解】解：第一次翻折后2a +①BDE =180°，第二次翻折后3a +①BDC =180°，第三次翻折后4a +①BDE =180°，第四次翻折后5a +①BDC =180°，若能进行第五次翻折，则①BDC ≥0，即180°-5a ≥0，a ≤36°，若不能进行第六次翻折，则①BDC ≤a ，即180°-5a ≤a ，a ≥30°，当a =36°时，点B 落在CD 上，当a =30°时，点B 落在ED 上，①30°＜a ＜36°，故选：D ；【点睛】本题考查了图形的规律，折叠的性质，一元一次不等式的应用；掌握折叠前后角度的变化规律是解题关键．5．关于x 的不等式组255332x x x x a +⎧>-⎪⎪⎨+⎪<+⎪⎩ 只有5个整数解，则a 的取值范围是（） A ．1162a -<<-B ．1162a -≤<-C ．1162a -<≤-D ．1162a -≤≤- 【答案】C【分析】先解x 的不等式组255332x x x x a +⎧>-⎪⎪⎨+⎪<+⎪⎩，然后根据整数解的个数确定a 的不等式组，解出取值范围即可．【详解】解：不等式组255332x x x x a +⎧>-⎪⎪⎨+⎪<+⎪⎩，解得：2032x x a <⎧⎨>-⎩，不等式组只有5个整数解，即解只能是15x =，16，17，18，19，a ∴的取值范围是：32143215a a -≥⎧⎨-<⎩，解得：1162a -<≤-．故选：C ．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，难度适中，关键是根据整数解的个数确定关于a 的不等式组．6．若实数a 使得关于x 的不等式组52232x a x x x +≤-⎧⎪⎨--<⎪⎩有且只有2个整数解，且使得关于x 的一次函数()15y a x a =+-+不过第四象限，则符合条件的所有整数a 的和为（）A ．7B ．9C ．12D ．14【答案】C【分析】先解不等式组，根据不等式组的解只有2个整数解，列出关于a 的不等式，求出此时a 的取值范围；再根据一次函数的图像不过第四象限，列出关于a 的不等式组，再次求出a 的取值范围，两项综合求出a 最终的取值范围，则问题得解．【详解】 52232x a x x x +≤-⎧⎪⎨--<⎪⎩①② 解不等式①得：24a x +≥，解不等式①得：4＜x ，不等式有解，则解为：244a x +≤＜， ①不等式组有两个整数解，则这两个整数解为3，2， ①2124a +≤＜，解得26a ≤＜； ①一次函数()15y a x a =+-+不过第四象限，①则有1050a a +⎧⎨-+≥⎩＞，解得15a -≤＜；综上：25a ≤＜①a 的整数值有：3，4，5，则其和为：3+4+5=12，故选：C ．【点睛】本题考查了解不等式组和一次函数的图像的性质，根据不等式组只有两个整数解和函数不过第四象限等条件求出a 的取值范围是解答本题的关键．7．对于实数,a b ，定义符号{},min a b 其意义为：当a b ≥时，{},min a b b =；当a b <时，{},min a b a =．例如：21{},1min -=-，若关于x 的函数2{}1,3y min x x =--+，则该函数的最大值是（）A ．1B ．43C ．53D ．2【答案】C【分析】根据定义先列不等式：213x x --+和213x x --+，确定其{21y min x =-，3}x -+对应的函数，画图象可知其最大值．【详解】解：由题意得：213y x y x =-⎧⎨=-+⎩，解得：4353x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，当213x x --+时，43x， ∴当43x 时，{21y min x =-，3}3x x -+=-+，由图象可知：此时该函数的最大值为53；当213x x --+时，43x， ∴当43x 时，{21y min x =-，3}21x x -+=-，由图象可知：此时该函数的最大值为53；综上所述，{21y min x =-，3}x -+的最大值是当43x =所对应的y 的值，如图所示，当43x =时，53y =，故选：C【点睛】本题考查了新定义、一元一次不等式及一次函数的交点问题，认真阅读理解其意义，并利用数形结合的思想解决函数的最值问题．8．已知正整数a ，b ，c ，d 满足：a <b <c <d ，a +b +c +d =2022，22222022d c b a -+-=，则这样的4元数组(a ，b ，c ，d )共有（）A ．251组B ．252组C ．502组D ．504组【答案】D【分析】根据题意得出321a b c d +≤+≤+≤，继而得出()()()()()()222220222022d c b a d c d c b a b a d c b a =-+-=-++-+≥+++=，再由已知条件构造()10102a c a a =+≥++，即可解答．【详解】因为a ，b ，c ，d 为正整数，且a b c d <<<，所以321a b c d +≤+≤+≤．所以()()()()()()222220222022d c b a d c d c b a b a d c b a =-+-=-++-+≥+++=．因此1d c -=，1b a -=，即1d c =+，1b a =+．所以()()112022a b c d a a c c +++=+++++=，因此1010a c +=．又2a c +≤，所以()10102a c a a =+≥++，因此1504a ≤≤．所以符合条件的4元数组(),,,a b c d 为(),1,1010,1011a a a a +--，其中1504a ≤≤．所以符合条件的4元数组有504组．故选：D ．【点睛】本题考查了整式的应用，解题的关键是根据题目已知等式构造不等式，属于竞赛题．二、填空题9．重庆云阳巴阳镇精准化发展枇杷产业切实带动低收入农户增收，成为一大“亮点”——“万亩枇杷，醉美巴阳”成为了重庆云阳的一大名片.今年5月又是一个丰收季，全镇枇杷种植面积达1万余亩，种植了“普通”、“白肉”、“大五星”三个品种的枇杷，其中6000亩用于村民集体采摘，其余部分用于游客自助采摘．这6000亩中种植“白肉”枇杷的面积是“普通”枇杷面积的2倍，“大五星”枇杷面积不超过“白肉”枇杷面积的1.2倍，种植“白肉”的面积不超过2300亩，现在正值采摘季节，若干村民进行采摘，每人每天可以采摘“普通”枇杷1.8亩，或“白肉”枇杷1.2亩，或“大五星”枇杷2亩，这6000亩枇杷预计20天采摘完，则需要村民_______人参与采摘．【答案】191人【分析】设“普通”枇杷面积x 亩，则“白肉”枇杷面积为2x 亩，“大五星”枇杷面积为()60003x -亩，有m 人采摘，采摘“普通”枇杷a 天， “白肉”枇杷为b 天，“大五星”枇杷为()20a b --天，先求解x 的范围，再用含m 的代数式表示x ，再解不等式组即可得到答案．【详解】解：设“普通”枇杷面积x 亩，则“白肉”枇杷面积为2x 亩，“大五星”枇杷面积为()60003x -亩，有m 人采摘，采摘“普通”枇杷a 天， “白肉”枇杷为b 天，“大五星”枇杷为()20a b --天，根据题意得：600032 1.222300x x x -≤⨯⎧⎨≤⎩ 解得：100001150,9x ≤≤同时可得：()1.81.2222060003am x bm xm a b x ⎧=⎪=⎨⎪--=-⎩55,,93am x bm x ∴== 101040224060003,93m ma mb m x x x ∴--=--=- 整理得：36054000,13m x -=∴ 10000360540001150,913m -≤≤ 1300003605400014950,9m ∴≤-≤ 616000360689509m ∴≤≤， 1019190191,8136m ∴≤≤ m 为正整数，∴ 191.m =故答案为：191.【点睛】本题考查不等式组的实际应用，解题的关键是仔细阅读找出题中的等量关系与不等关系列方程与不等式组．10．某商家需要更换店面的瓷砖，商家打算用1500元购买彩色和单色两种地砖进行搭配，并且把1500元全部花完．已知每块彩色地砖25元，每块单色地砖15元，根据需要，购买的单色地砖数要超过彩色地砖数的2倍，并且单色地砖数要少于彩色地砖数的3倍，那么符合要求的一种购买方案是________．【答案】购买24块彩色地砖，60块单色地砖或购买27块彩色地砖，55块单色地砖【分析】设购买x 块彩色地砖，购买单色地砖y 块，进而由题意得到2x ＜y ＜3x ，再根据总费用为1500元，且x 、y 均为正整数，将y 用x 的代数式表示，然后解一元一次不等式组即可求解．【详解】解：设购买x 块彩色地砖，购买单色地砖y 块，则2x ＜y ＜3x ，25x +15y =1500， ①1500255100(1)153x y x ，又已知有：23xy x ，①510033510023x x x x ⎧-<⎪⎪⎨⎪->⎪⎩，解得3003001411x ，又x 为正整数，且30021.414，30027.311，①x =22，23，24，25，26，27；由(1)式中，x y ，均为正整数，①x 必须是3的倍数，①24x =或27x =，当24x =时，单色砖的块数为15002425=6015；当27x =时，单色砖的块数为15002725=5515；故符合要求的购买方案为：购买24块彩色地砖，60块单色地砖或购买27块彩色地砖，55块单色地砖．【点睛】本题考查了一元一次不等式的实际应用，本题的关键点是将单色砖的块数用彩色砖的块数的代数式表示，进而解不等式组，注意实际问题考虑解为正整数的情况．11．春暖花开，又到了踏青赏花的好季节，某植物园决定在今年4月份购进一批花苗：绣球花苗、蔷薇花苗、铁线莲花苗和月季花苗．已知每株绣球花苗的价格是每株蔷薇花苗价格的12，每株月季花苗的价格是每株铁线莲花苗价格的3倍．另外，购进的绣球花苗数量是铁线莲花苗数量的2倍，蔷薇花苗的数量是月季花苗数量的3倍，且铁线莲花苗和蔷薇花苗的总数量不超过600株．已知一株绣球花苗和一株铁线莲花苗的价格之和为30元，最后，购进绣球花苗和蔷薇花苗的总费用比铁线莲花苗和月季花苗的总费用多14400元，则今年4月用于购进铁线莲花苗和月季花苗的总费用的最大值为______元．【答案】7200．【分析】根据题意可设蔷薇花苗价格为x 元，每株铁线莲花苗价格为y 元，则绣球花苗价格为12x 元，月季花苗为3y 元，根据已知关系列出不等关系3600a b +，表示购进铁线莲花苗和月季花苗的总费用，利用不等关系求解．【详解】解：设每株蔷薇花苗价格为x 元，每株铁线莲花苗价格为y 元，则绣球花苗价格为12x 元，月季花苗为3y 元，由题意得，1302x y +=①，设购进铁线莲花苗数量为a ，月季花苗数量为b ，则绣球花苗为2a ，蔷薇花苗为3b ，由题意可知，3600a b +，1231440032x a x b a y b y ⨯+⨯-=⋅+⨯，整理得(3)()14400a b x y +-=，3600a b +， 24x y ∴-①，由①得602x y =-代入①得，60224y y --，解得12y ，用于购进铁线莲花苗和月季花苗的总费用为，3(3)ay by a b y +=+，3600a b +，12y ，∴用于购进铁线莲花苗和月季花苗的总费用的最大值为600127200⨯=（元)，故答案为：7200．【点睛】本题以购买的最大费用为背景考查了一元一次不等式的应用，关键根据数量关系表示未知量，然后根据不等关系求解．12．小李和小张大学毕业后准备合伙开一家工作室创业．他们在某写字楼租了一间空高为3米的房间作办公地点（如图），准备装修后开始办公．小李和小张分别提出两套装修方案（如表格）．其中，每平方米木地板的装修费用与每平方米木质吊顶的装修费用之和等于每平方米复合材料墙面的装修费用；每平方米地砖的装修费用与每平方米乳胶漆的装修费用之和等于每平方米木质墙面的装修费用，以上各项装修单价均为整数．每平方米木地板、木质墙面、木质吊顶的装修费用之和不少于600元；每平方米复合材料墙面比木质墙面的装修费用多，且差价不大于90元，不少于80元．经测算，小李方案的总装修费用比小张方案的总装修费用多1260元．若x ，y 均为整数，且满足y<x<2y ，则小张的方案装修总费用最少为________元．【答案】234041401260y y +- 【分析】设每平方米木地板a 元，木制吊顶b 元，地砖m 元，乳胶漆n 元，则复合材料墙面()a b +元，木质墙面m n 元，根据题意列出不等式组，得到340345a b m n +≥⎧⎨+≥⎩，根据“小李方案的总装修费用比小张方案的总装修费用多1260元”列式即可求解．【详解】解：设每平方米木地板a 元，木制吊顶b 元，地砖m 元，乳胶漆n 元，则复合材料墙面()a b +元，木质墙面m n 元，根据题意可得6008090a b m n a b m n +++≥⎧⎨≤+--≤⎩，解得340345a b m n +≥⎧⎨+≥⎩，小李的总花费()()()()()2336xya xyb m n y x xy a b m n x y ++++=++++，小张的总花费()()()()()2336xym xyn a b y x xy m n a b x y ++++=++++， ①()()()()()()661260xy a b m n x y xy m n a b x y ++++-+-++=， ①2y x y <<，①()()()61260xy a b m n x y ++++-()23406345126034041401260y y y y y y ≥⋅⨯+⨯+-=+-，故答案为：234041401260y y +-．【点睛】本题考查不等式组的实际应用，根据题意列出不等式是解题的关键．13．如图，设BAC θ∠=（090θ︒<<︒）．现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB，AC上．从点1A开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中12A A为第一根小棒，且11223341AA A A A A A A====⋅⋅⋅=，若只能摆放4根小棒，则θ的范围为________．【答案】18°≤θ＜22.5°．【分析】根据等边对等角可得①BAC=①AA2A1，①A2A1A3=①A2A3A1，①A3A2A4=①A3A4A2，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得θ1=2θ，θ2=3θ，θ3=4θ，求出第三根小木棒构成的三角形，然后根据三角形的内角和定理和外角性质列出不等式组求解即可．【详解】解：如图，①小木棒长度都相等，①①BAC=①AA2A1，①A2A1A3=①A2A3A1，①A3A2A4=①A3A4A2，由三角形外角性质得，θ1=2θ，θ2=3θ，θ3=4θ；①只能摆放4根小木棒，①490 590θθ︒︒⎧<⎨≥⎩，解得18°≤θ＜22.5°．故答案为：18°≤θ＜22.5°．【点睛】本题考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，也考查了一元一次不等式组的应用，列出不等式组是解题的关键．14．若不等式231x x x a-+++-≥对一切数x都成立，则a的取值范围是________．【答案】5a ≤ 【分析】要使不等式231x x x a -+++-≥对一切数x 都成立，则a 需小于等于231x x x -+++-的最小值，再分3x <-、31x -≤<、12x ≤<和2x ≥四种情况，分别化简绝对值求出最小值即可得．【详解】要使不等式231x x x a -+++-≥对一切数x 都成立，则a 需小于等于231x x x -+++-的最小值，由题意，分以下四种情况：（1）当3x <-时，2312313x x x x x x x -+++-=---+-=-，此时39x ->；（2）当31x -≤<时，2312316x x x x x x x -+++-=-+++-=-，此时569x <-≤；（3）当12x ≤<时，2312314x x x x x x x -+++-=-+++-=+，此时546x ≤+<；（4）当2x ≥时，2312313x x x x x x x -+++-=-+++-=，此时36x ≥；综上，231x x x -+++-的最小值为5，则5a ≤，故答案为：5a ≤．【点睛】本题考查了化简绝对值、一元一次不等式组等知识点，将问题转化为求231x x x -+++-的最小值是解题关键．15．已知非负实数x y 、、z 满足123234x y z ---==，记23M x y z =++．则M 的最大值减去最小值的差为________．【答案】283．【分析】设123234x y z k ---===，将x y 、、z 用k 表示出来，由x y 、、z 均为非负实数得关于k 的不等式组，求出k 取值范围，再将23M x y z =++转化为k 的代数式，由k 的范围即可确定M 的最大值和最小值，从而即可求差．【详解】设123234x y z k ---===， ①21x k =+，23y k =-，43z k =+， ①0x ≥，0y ≥，0z ≥，①210230430k k k +≥⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩，解不等式组得1223k -≤≤，①23M x y z =++，①()()()21238142343M k k k k =+++=+-+， ①58108143k ≤+≤,即58103M ≤≤， M 的最大值为583，最小值为10， M 的最大值减去最小值的差58281033=-=，故答案为：283．【点睛】本题主要考查了不等式的性质的应用，解题关键是设比例式值为k ，通过已知确定k 的取值范围．三、解答题16．商店销售10台A 型和20台B 型电脑的利润为40000元，销售20台A 型和10台B 型电脑的利润为3500元．（1）求每台A 型电脑和B 型电脑的销售利润；（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B 型电脑的进货量不超过A 型电脑的2倍，设购进A 型电脑x 台，这100台电脑的销售总利润为y 元． ①求y 关于x 的函数关系式：①该商店购进A 型、B 型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？（3）实际进货时，厂家对A 型电脑出厂价下调()0100m m <<元，且限定商店最多购进A 型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．【答案】（1）A 100元，B 150元；（2）①5015000y x =-+；①A 34台，B 66台；（3）当050m <<时，A 34台B 66台；当50m =时，A 34~70内均可；当50100m <<时，A 70台B 30台【分析】（1）设每台A 型加湿器和B 型加湿器的销售利润分别为a 元，b 元，然后根据题意列出二元一次方程组解答即可；（2）①据题意得即可确定y 关于x 的函数关系式，利用A 型利润与B 型利润即可求出总利润y 与x 的关系，并确定x 的范围即可；①根据一次函数的增减性，解答即可；（3）根据题意列出函数数关系式，分以下三种情况①0<m<50，①m=50，① 50 <m < 100时，m-50 >0结合函数的性质，进行求解即可．【详解】（1）设每台A 型电脑的销售利润为a 元，每台B 型电脑的销售利润为b 元，根据题意得：1020400020103500a b a b +=⎧⎨+=⎩ 解得=100150a b ⎧⎨=⎩ 答：每台A 型电脑的销售利润为100元，每台B 型电脑的销售利润为150元；（2）①设购进A 型电脑x 台，每台A 型电脑的销售利润为100元，A 型电脑销售利润为100x 元, 每台B 型电脑的销售利润为150元，B 型电脑销售利润为()150100x -元()100150100y x x =+-，即这100台电脑的销售总利润为:5015000y x =-+；1002x x -≤，解得1333x ≥．且x 为正整数，150********y x x ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭，其中x 为正整数，①5015000y x =-+中，k=500-<，y ∴随x 的增大而减小．x 为正整数，1333x ≥ ①当34x =时，y 取得最大值，此时10066x -=．答：商店购进A 型电脑34台，B 型电脑66台，才能使销售总利润最大；（3）根据题意得()()100150100y m x x =++-，即()5015000y m x =-+，其中133703x ≤≤，且x 为正整数．①当050m <<时，k=500m -<，y ∴随x 的增大而减小，①当34x =时，y 取得最大值，即商店购进34台A 型电脑和66台B 型电脑才能获得最大利润； ①当50m =时，k=500m -=，15000y ∴=，即商店购进A 型电脑数量满足133703x ≤≤的整数时，均获得最大利润；①当50 <m < 100时，k=500m ->，y ∴随x 的增大而增大．①当70x =时，y 取得最大值．即商店购进70台A 型电脑和30台B 型电脑才能获得最大利润．【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组及一元一次不等式的应用，掌握一次函数的增减性是解答本题的关键．17．某市A ，B 两个蔬菜基地得知黄岗C ，D 两个灾民安置点分别急需蔬菜240t 和260t 的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知A 蔬菜基地有蔬菜200t ，B 蔬菜基地有蔬菜300t ，现将这些蔬菜全部调运C ，D 两个灾区安置点，从A 地运往C ，D 两处的费用分别为每吨20元和25元，从B 地运往C ，D 两处的费用分别为每吨15元和18元．设从B 地运往C 处的蔬菜为x 吨．（1）请填写下表，用含x 的代数式填空，结果要化简：（2）设A ，B 两个蔬菜基地的总运费为w 元，求出w 与x 之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案；（3）经过抢修，从B 地到C 处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m 元()0m >，其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案．【答案】（1）()240x -，()40x -，()300x -；（2）29200w x =+；A →C ：200吨，A →D ： 0吨，B →C ：40吨，B →D ：260吨；（3）2m =时，在40240x ≤≤的前提下调运方案的总费用不变；215m <<时，240x =总费用最小，其调运方案为：A →C ：0吨，A →D ： 200吨，B →C ：240吨，B →D ：60吨；【分析】（1）根据题意，从A 处调运到C 处的数量为（240-x ）t ；从A 处调往D 处的数量为[200-（240-x ）]t ；则从B 调运到D 处的数量为（300-x ）t ；（2）根据调运总费用等于四种调运单价乘以对应的吨数的积的和，易得w 与x 的函数关系，根据调运的数量非负即可不等式组，求得x 的范围，从而可求得总费用的最小的调运方案；（3）由题意可得w 与x 的关系式，根据x 的取值范围不同而有不同的解，分情况讨论：当0<m <2时；当m =2时；当2<m <15时，根据一次函数的性质即可解决．【详解】（1）填表如下：故答案为：()240x -，()40x -，()300x -；（2）w 与x 之间的函数关系为：()()()202402540151830029200w x x x x x =-+-++-=+ 由题意得：240040003000x x x x -≥⎧⎪-≥⎪⎨≥⎪⎪-≥⎩ ①40240x ≤≤①在29200w x =+中，20> ①w 随x 的增大而增大 ①当40x =时，总运费最小此时调运方案为：（3）由题意得()()()()2024025401518300w x x m x x =-+-+-+- 即()29200w m x =-+，其中40240x ≤≤ ①02m <<，（2）中调运方案总费用最小；2m =时，在40240x ≤≤的前提下调运方案的总费用不变；215m <<时，240x =总费用最小，其调运方案如下：【点睛】本题是一次函数在实际问题中的应用，具有较强的综合性与较大的难度．它考查了一次函数的性质，求一次函数的解析式，解一元一次方程组等知识，用到分类讨论思想．18．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2．P 是BC 的中点，点Q 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿A →D →C →B →A 的方向终点A 运动，设点Q 运动的时间为x 秒．（1）点Q 在运动的路线上和点C 之间的距离为1时，x ＝秒．（2）若①DPQ 的面积为S ，用含x 的代数式表示S （0≤x ＜7）．（3）若点Q 从A 出发3秒后，点M 以每秒3个单位长度的速度沿A →B →C →D 的方向运动，M 点运动到达D 点后立即沿着原路原速返回到A 点．当M 与Q 在运动的路线上相距不超过2时，请直接写出相应x 的取值范围．【答案】（1）5或7；（2）42(02)11(26)2212(67)x x S x x x x -≤<⎧⎪⎪=-<≤⎨⎪-<<⎪⎩，（3）45x ≤≤或79x ≤≤或1012x ≤≤．【分析】（1）根据题意，点Q 与点C 的距离为1，设Q 运动的路程为a ，则61a -=，根据速度为1，进而求得时间x ；（2）分三种情况讨论，①点Q 在AD 边上运动；①点Q 在CD 边上运动；①点Q 在BC 边上运动；根据情形写出①DPQ 的面积即可；（3）分三种情形讨论，①M 点未到达D 点时，①M 点原路原速返回时，根据情形分相遇和追及问题写出路程差不超过2时，①当M 点回到点A ，当M 与Q 在运动的路线上相距不超过2时，列出不等式组求解即可，注意两点运动的总时间会影响取值范围，即M 点先停止运动．【详解】（1）4,2AB AD ==，∴246AD DC +=+=，设Q 运动的路程为a ，依题意则，61a -=，解得5a =或7a =，速度为每秒1个单位长度，515x ∴=÷=或者717x =÷=，故答案为：5或7；（2）速度为每秒1个单位长度，Q 运动的时间为x 秒． ∴点Q 的路程为1x x ，①点Q 在AD 边上运动；2,4AD CD BC ===，∴2DQ DA AQ x =-=-,11(2)422S DQ DC x ∴=⨯=⨯-⨯42x =-（02x ≤<），①点Q 在CD 边上运动；P 是BC 的中点，112PC BC ∴==，2DQ x AD x =-=-，111(2)11222S DQ CP x x =⨯=-⨯=-（26x <≤）， ①点Q 在CP 边上运动，6PQ t AD DC t =--=-，11(6)421222S PQ CD x x ∴=⨯=-⨯=-（67x <<），综合①①①得：42(02)11(26)2212(67)x x S x x x x -≤<⎧⎪⎪=-<≤⎨⎪-<<⎪⎩，（3）速度为每秒1个单位长度，Q 运动的时间为x秒．∴点Q 的路程为1x x ，设M 的运动时间为t ，根据题意，Q 从A 出发3秒后，M 才出发，则3t x =-，即3x t =+，M 的路程为3t ，Q 点的路程为3t +，42410DC BC AB ++=++=,∴M 点全路程所用时间为2010233⨯÷=秒，则Q 点的全路程所用时间为12112÷=秒，分三种情形讨论，①M 点未到达D 点时，Q 点出发3秒后，,M Q 共同完成的路程为39AD DC BC AB +++-=根据题意，当M 与Q 在运动的路线上相距不超过2时，则，9(33)2t t -++≤，即9(33)2(33)92t t t t -++≤⎧⎨++-≤⎩，解得12t ≤≤，45x ∴≤≤，①M 点原路原速返回时，根据题意，当M 与Q 在运动的路线上相距不超过2时，则，(310)2t t --≤，即(310)2(310)2t t t t --≤⎧⎨--≤⎩，解得46t ≤≤，79x ∴≤≤．①当M 点回到点A ，根据题意，当M 与Q 在运动的路线上相距不超过2时，则1012x ≤≤；综合①①①可得x 的取值范围为45x ≤≤或79x ≤≤或1012x ≤≤．【点睛】本题考查了动点问题，路程问题，一元一次不等式的应用，弄清动点运动的方向和路程是解题的关键． 19．在平面直角坐标系xOy 中，对于M 、N 两点给出如下定义：若点M 到x 、y 轴的距离中的最大值等于点N 到x 、y 轴的距离中的最大值，则称M 、N 两点互为“等距点”，例如：点P （2，2）与Q （-2，-1）到x 轴、y 轴的距离中的最大值都等于2，它们互为“等距点”．已知点A 的坐标为（1，3）．（1）在点B （5，3）、C （﹣3，1）、D （﹣2，﹣2）中，点与点A 互为“等距点”（2）已知直线l ：4y kx k =--① 若k =1，点E 在直线l 上，且点E 与点A 互为“等距点”，求点E 的坐标；①若直线l 上存在点F ，使得点F 与点A 互为“等距点”，求k 的取值范围（直接写出结果）．【答案】（1）C ；（2）①(2,3)E -或(3,2)-；① 12k ≥或14k ≤-．【分析】（1）根据新定义“等距点”的定义即可求解；（2）①k=1可得5y x =- 设,5E m m -（），讨论353m m =-=或即可，①设(),4F f kf k --，根据点F与点A 互为“等距点”，分两种情况讨论即可：343f kf k ⎧=⎪⎨--≤⎪⎩和343f kf k ⎧≤⎪⎨--=⎪⎩．【详解】解：（1）①点A （1，3）到x 、y 轴的距离中最大值为3，点C （﹣3，1）到x 、y 轴的距离中最大值为3，①与A 点是“等距点”的点是C ．（2）①①直线l ：4y kx k =--当k=1时，5y x =- ，①点A （1，3）到x 、y 轴的距离中最大值为3，点E 到点A 互为“等距点”，点E 到坐标轴的最大距离为3，设,5Em m -（）， ①EM m =,5EN m =- ①353m m ⎧=⎪⎨-≤⎪⎩或35=3m m ⎧≤⎪⎨-⎪⎩解得：3m =或=2m当3m =时，52m -=-，点E （3，﹣ 2），当=2m 时，53m -=-，点E （2，﹣3），故点E （3，﹣ 2）或E （2，﹣3），① 点F 在直线l ：4y kx k =--上，设(),4F f kf k --， ①343f kf k ⎧=⎪⎨--≤⎪⎩①②或343f kf k ⎧≤⎪⎨--=⎪⎩③④ 由①得到：3f =±，当3f =时，243k -≤，解得1722k ≤≤，当3f =-时，443k --≤，解得7144k -≤≤-，由①得到：43kf k --=±，当43kf k --=，即7k f k+=时，则73k k +≤，解得72k ≥或74k ≤-，当43kf k --=-，即1k f k+=时，则13k k +≤，解得12k ≥或14k ≤-，综上所述：12k ≥或14k ≤-．【点睛】本题考查新定义的应用和点坐标到坐标轴之间的距离，涉及到一元一次不等式，解题的关键是正确理解题意，学会利用分类讨论的思想．20．在平面直角坐标系中，若P 、Q 两点的坐标分别为()11,P x y 和()22,Q x y ，则定12x x -和12y y -中较小的一个（若它们相等，则任取其中一个）为P 、Q 两点的“直角距离小分量”，记为min (,)d P Q ．例如：(2,3),(0,2)P Q -，因为12122,0,|20|2x x x x =-=-=--=；12123,2,|32|1y y y y ==-=-=，而|32||20|-<--，所以min (,)|32|1d P Q =-=．（1）请直接写出()3,2A -和()1,1B -的直角距离小分量()min ,d A B =_________；（2）点D 是坐标轴上的一点，它与点()3,1C -的直角距离小分量()min ,2d C D =，求出点D 的坐标；（3）若点(1,22)M m m +-满足以下条件：a ）点M 在第一象限；b ）点M 与点()5,0N 的直角距离小分量()min ,2d M N <c ）45MON ∠>︒，O 为坐标原点．请写出满足条件的整点（横纵坐标都为整数的点）M 的坐标_______．【答案】（1）3；（2）(0,1)D 或(0,3)D -；（3）(5,6)M 或(6,8)【分析】（1）根据新概念求得即可；（2）分两种情况，根据“直角距离小分量”的定义得出即可；（3）根据题意得出10220m m +>⎧⎨->⎩，解出m 的取值范围，再由45MON ∠>︒可推导出2211OM m K m -=>+，解出m 的取值范围，根据横纵坐标都为整数的点取m 的值即可．【详解】解：（1）(3,2)A -，(1,1)B -，|31|4∴+=>|21|3--=，()min ,3d A B ∴=；故答案为3；（2）点D 是坐标轴上的一点，若D 在x 轴上，设(a,0)D ，由于|01|12+=<与题意矛盾，故点D 是在y 轴上的一点，|1|2b ∴+=，解得：1b =或3-，(0,1)D ∴或(0,3)D -；（3）由题意得：10220m m +>⎧⎨->⎩，解得1m ， |15||4|,|220|2|1|m m m m +-=---=-，∴[]222(4)2(1)312m m m ---=-+，当12m <<时，()min ,2|1|2d M N m =-<，解得：02m <<，当2m ≥时，()min ,|4|2d M N m =-<，解得：26m <<，m ∴的取值范围是：02m <<或26m <<，45MON ∠>︒恰好为OM l 的倾斜角，1OM K ∴>，2211OM m K m -=>+，解得：1m <-或3m >综上：m 的取值范围是：36m <<，横纵坐标都为整数，4m ∴=和5，(5,6)M ∴或(6,8)，故答案为：(5,6)M 或(6,8)．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，解一元一次不等式组，解题的关键是根据新概念列出不等式组．。

专题01 三角形的证明易错题之选择题(40题)八年级数学下册同步易错题精讲精练(北师大版)解析版

专题01 三角形的证明易错题之选择题（40题）Part1 与等腰三角形有关的易错题1．（2020·河南洛阳市·八年级期末）如图，已知在△ABC，AB＝AC．若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（）A．AE＝EC B．AE＝BE C．△EBC＝△BAC D．△EBC＝△ABE【答案】C【详解】解：△AB=AC，△△ABC=△ACB．△以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，△BE=BC，△△ACB=△BEC，△△BEC=△ABC=△ACB，△△BAC=△EBC．故选C．点睛：本题考查了等腰三角形的性质，当等腰三角形的底角对应相等时其顶角也相等，难度不大．2．（2020·广西河池市·八年级期末）等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角的度数是（）A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°【答案】B【详解】试题分析：分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解．①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°，②80°角是底角时，顶角为180°﹣80°×2=20°，综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°．考点：等腰三角形的性质．3．（2020·山东德州市·八年级期末）如图所示，△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA△PD，有下列四个结论：①△PBC＝15°，②AD△BC，③PC△AB，④四边形ABCD是轴对称图形，其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【分析】根据周角的定义先求出△BPC的度数，再根据对称性得到△BPC为等腰三角形，△PBC即可求出；根据题意：有△APD是等腰直角三角形；△PBC 是等腰三角形；结合轴对称图形的定义与判定，可得四边形ABCD 是轴对称图形，进而可得②③④正确．【详解】根据题意，BPC 36060290150∠=-⨯-= ，BP PC =，()PBC 180150215∠∴=-÷=，①正确；根据题意可得四边形ABCD 是轴对称图形，④正确；△△DAB+△ABC=45°+60°+60°+15°=180°，△AD//BC ，②正确；△△ABC+△BCP=60°+15°+15°=90°，△PC△AB ，③正确，所以四个命题都正确，故选D ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、轴对称图形的定义与判定等，熟练掌握各相关性质与定理是解题的关键.4．（2020·杭州市八年级期末）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA ，OB 组成，两根棒在O 点相连并可绕O 转动，C 点固定，OC CD DE ==，点D ，E 可在槽中滑动，若75BDE ∠=︒，则CDE ∠的度数是（）A ．60°B ．65°C ．75°D ．80°【答案】D【分析】根据OC=CD=DE ，可得△O=△ODC ，△DCE=△DEC ，根据三角形的外角性质可知△DCE=△O+△ODC=2△ODC 据三角形的外角性质即可求出△ODC 数，进而求出△CDE 的度数．【详解】△OC CD DE ==，△O ODC ∠=∠，DCE DEC ∠=∠，设O ODC x ∠=∠=，△2DCE DEC x ∠=∠=，△180CDE DCE DEC ∠=︒-∠-∠1804x =︒-，△75BDE ∠=︒，△180ODC CDE BDE ∠+∠+∠=︒，即180475180x x +-+=︒︒︒，解得：25x =︒，180480CDE x ︒∠=-=︒.故答案为D.【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．5．（2020·黑龙江绥化市·八年级期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 上一点，且DA ＝DC ，BD ＝BA ，则△B 的大小为( )A ．40°B ．36°C ．30°D ．25°【答案】B【分析】根据AB ＝AC 可得△B ＝△C ，CD ＝DA 可得△ADB ＝2△C ＝2△B ，BA ＝BD ，可得△BDA ＝△BAD ＝2△B ，在△ABD 中利用三角形内角和定理可求出△B ．【详解】解：△AB ＝AC ，△△B ＝△C ，△CD ＝DA ，△△C ＝△DAC ，△BA ＝BD ，△△BDA ＝△BAD ＝2△C ＝2△B ，设△B ＝α，则△BDA ＝△BAD ＝2α，又△△B ＋△BAD ＋△BDA ＝180°，△α＋2α＋2α＝180°，△α＝36°，即△B ＝36°，【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理和方程思想的应用．6．（2020·江苏盐城市·八年级期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是△BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为（）A．5B．6C．8D．10【答案】C【分析】根据等腰三角形的三线合一得出△ADB=90°，再根据勾股定理得出BD的长，即可得出BC的长.【详解】在△ABC中，AB＝AC，AD是△BAC的平分线，∴AD⊥BC，BC=2BD.∴△ADB=90°在Rt△ABD中，根据勾股定理得：=4∴BC=2BD=2×4=8.故选C.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键.7．（2020·安徽合肥市·八年级期末）如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分△ABC，△A=36°，则△1的度数为（）A．36°B．60°C．72°D．108°【答案】C【分析】根据△A=36°，AB=AC求出△ABC的度数，根据角平分线的定义求出△ABD的度数，根据三角形的外角的性质计算得到答案．解：△△A=36°，AB=AC，△△ABC=△C=72°，△BD平分△ABC，△△ABD=36°，△△1=△A+△ABD=72°，故选C．8．（2020·湖北黄石市·八年级期末）如图，等边三角形ABC中，AD△BC，垂足为D，点E在线段AD上，△EBC=45°，则△ACE等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°【答案】A【分析】先判断出AD是BC的垂直平分线，进而求出△ECB=45°，即可得出结论．【详解】△等边三角形ABC中，AD△BC，△BD=CD，即：AD是BC的垂直平分线，△点E在AD上，△BE=CE，△△EBC=△ECB，△△EBC=45°，△△ECB=45°，△△ABC是等边三角形，△△ACB=60°，△△ACE=△ACB-△ECB=15°，故选A．【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，求出△ECB是解本题的关键．9．（2020·贵州省施秉县八年级期末）如图，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是( )秒A．2.5B．3C．3.5D．4【答案】D【详解】解：设运动的时间为x，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，当△APQ是等腰三角形时，AP=AQ，AP=20﹣3x，AQ=2x，即20﹣3x=2x，解得x=4．故选D．【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，此题涉及到动点，有一定的拔高难度，属于中档题．10．（2020·浙江金华市·八年级期末）如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC内部，△DAE=△BAC=90°，AD=AE，AB=AC．给出下列结论：①BD=CE；②△ABD+△ECB=45°；③BD△CE；④BE2=2（AD2+AB2）﹣CD2．其中正确的是（）A．①②③④B．②④C．①②③D．①③④【答案】A【解析】分析：只要证明△DAB△△EAC，利用全等三角形的性质即可一一判断；详解：△△DAE=△BAC=90°，△△DAB=△EAC△AD=AE ，AB=AC ，△△DAB△△EAC ，△BD=CE ，△ABD=△ECA ，故①正确，△△ABD+△ECB=△ECA+△ECB=△ACB=45°，故②正确，△△ECB+△EBC=△ABD+△ECB+△ABC=45°+45°=90°，△△CEB=90°，即CE△BD ，故③正确，△BE 2=BC 2-EC 2=2AB 2-（CD 2-DE 2）=2AB 2-CD 2+2AD 2=2（AD 2+AB 2）-CD 2．故④正确，故选A ．点睛：本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．Part2 与直角三角形有关的易错题11．（2020·吉林长春市·八年级期末）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是( )A B ． C ．6,7,8D ．2,3,4 【答案】B【详解】试题解析：A ．2+2≠2，故该选项错误；B ．12+2=2,故该选项正确；C ．62+72≠82，故该选项错误；D ．22+32≠42，故该选项错误.故选B.考点：勾股定理.12．（2020·浙江八年级期末）下列条件中，能判断ABC 是直角三角形的有（）①A B C ∠+∠=∠；②A B C ∠-∠=∠；③::2:5:3A B C ∠∠∠=；④23A B C ∠=∠=∠；⑤1123A B C ∠=∠=∠；⑥::3:4:5AB AC BC =． A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【答案】A【分析】利用勾股定理的逆定理和三角形内角和定理判断即可得到结果．【详解】解：①A B C ∠+∠=∠，△2180A B C C ∠+∠+∠=∠=︒，△△C =90°，即△ABC 为直角三角形；②A B C ∠-∠=∠，△A B C =+∠∠∠，△2180A B C A ∠+∠+∠=∠=︒，△△A =90°，即△ABC 为直角三角形；③::2:5:3A B C ∠∠∠=， △5180253B ∠=︒⨯++=90︒，即△ABC 为直角三角形； ④23A B C ∠=∠=∠，△可以假设△A =6k ，△B =3k ，△C =2k ，△6k +3k +2k =180°，△k =18011⎛⎫︒ ⎪⎝⎭， △△A =108011⎛⎫︒⎪⎝⎭＞90°，即△ABC 是钝角三角形； ⑤1123A B C ∠=∠=∠，设△A =x ，△B =2x ，△C =3x ，则x +2x +3x =180°，解得x =30°，故△C =3x =90°，即△ABC 是直角三角形；⑥::3:4:5AB AC BC =，设AB =3x ，AC =4x ，BC =5x ，则（3x ）2+（4x ）2=（5x ）2，即△ABC 是直角三角形，故选：A ．【点睛】此题主要考查了直角三角形的判定方法，只有三角形的三边长符合勾股定理或三内角中有一个是直角的情况下，才能判定三角形是直角三角形．13．（2020·辽宁锦州市·八年级期末）下列命题中，其逆命题成立的是有（）．①同旁内角互补，两直线平行； ②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形．A．①③④B．①②③C．②④D．① ④【答案】D【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再把逆命题进行判断即可．【详解】解：①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，成立；②如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是直角，不成立；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等的逆命题是如果两个数的平方相等，那么这两个数相等，不成立；④如果一个三角形是直角三角形，c为斜边，则a2+b2=c2，正确．逆命题成立的有①④个；故选：D．【点睛】此题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，解体的关键是熟练掌握课本上的定理．14．（2020·河北保定市·八年级期末）如图，将△ABC放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么△ABC中BC边上的高是（）A B C D【答案】A【解析】先用勾股定理耱出三角形的三边，再根据勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形，最后设BC边上的高为h，利用三角形面积公式建立方程即可得出答案.解：由勾股定理得：BC，1310AC AB=22222(5)+=，即222AB AC BC+=△△ABC是直角三角形，设BC边上的高为h，则1122ABCS AB AC h BC=⋅=⋅，△AB AChBC⋅===.故选A.点睛：本题主要考查勾股理及其逆定理.借助网格利用勾股定理求边长，并用勾股定理的逆定理来判断三角形是否是直角三角形是解题的关键.15．（2020·山东枣庄市·八年级期末）下列结论中，错误的有()①在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5；②△ABC的三边长分别为AB，BC，AC，若BC2+AC2＝AB2，则△A＝90°；③在△ABC中，若△A：△B：△C＝1：5：6，则△ABC是直角三角形；④若三角形的三边长之比为3：4：5，则该三角形是直角三角形；A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C【分析】根据勾股定理可得①中第三条边长为5根据勾股定理逆定理可得②中应该是△C=90°，根据三角形内角和定理计算出△C=90°，可得③正确，再根据勾股定理逆定理可得④正确．【详解】①Rt△ABC中，已知两边分别为3和4，则第三条边长为5，说法错误，第三条边长为5②△ABC的三边长分别为AB，BC，AC，若2BC+2AC=2AB，则△A=90°，说法错误，应该是△C=90°．③△ABC中，若△A：△B：△C=1：5：6，此时△C=90°，则这个三角形是一个直角三角形，说法正确．④若三角形的三边比为3：4：5，则该三角形是直角三角形，说法正确．故选C．【点睛】本题考查了直角三角形的判定，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．16．（2020·湖北十堰市·八年级期末）如图1，园丁住宅小区有一块草坪如图所示．已知AB=3米，BC=4米，CD=12米，DA=13米，且AB△BC，这块草坪的面积是（）A．24米2B．36米2C．48米2D．72米2【答案】B【分析】连接AC，先根据勾股定理求出AC的长，然后利用勾股定理的逆定理证明△ACD为直角三角形．从而用求和的方法求面积．【详解】连接AC，则由勾股定理得AC=5米，因为AC2+DC2=AD2，所以△ACD=90°．这块草坪的面积=S Rt△ABC+S Rt△ACD=12AB•BC+12AC•DC=12（3×4+5×12）=36米2．故选B．【点睛】此题主要考查了勾股定理的运用及直角三角形的判定等知识点．17．（2020·广东深圳市八年级期末）已知三角形的三边长为6,8,10，则这个三角形最长边上的高为（）A．2.4B．4.8C．9.6D．10【答案】B【分析】先根据勾股定理的逆定理判定它是直角三角形，再利用直角三角形的面积作为相等关系求斜边上的高．【详解】解：△62+82=102，△这个三角形是直角三角形，△边长为10的边上的高为6×8÷10=4.8．故选：B．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．18．（2020·贵州省施秉县八年级期末）如图，AE，AD分别是△ABC的高和角平分线，且△B=36°，△C=76°，则△DAE的度数为()A．40°B．20°C．18°D．38°【答案】B【解析】△△ABC中已知△B=36°，△C=76，△△BAC=68°．△△BAD=△DAC=34，△△ADC=△B+△BAD=70°，△△DAE=20°．故选B．【点睛】本题主要考查了三角形的外角性质和三角形内角和定理，属于基础题，根据已知条件善于找出题目中的能求出角的条件是解题的关键，在平时解题中要善于对题目进行分析.19．（2020·上海市奉贤区八年级期末）如图，在Rt△ABC中，△ACB=90°，CD与CE分别是斜边AB上的高与中线，以下判断中正确的个数有（）①△DCB=△A；②△DCB=△ACE；③△ACD=△BCE；④△BCE=△BEC．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】根据垂直的定义得到△CDB=90°，根据余角的性质得到△DCB=△A，故①正确；根据直角三角形的性质得到AE=CE=BE，根据等腰三角形的性质得到△A=△ACE，于是得到△DCB=△ACE，故②正确；同理得到△ACD=△BCE，故③正确；由于BC 不一定等于BE，于是得到△BCE不一定等于△BEC，故④错误．【详解】△CD△AB，△△BDC=90°，△△DCB+B=90°，△△A+△B=90，△△DCB=△A，△①正确；△CE是RtABC斜边AB上的中线，△EA=EC=EB，△△ACE=△A，△△DCB=△A，△△DCB=△ACE，△②正确；△EC=EB，△△B=△BCE，△△A+△B=90，△A+△ACD=90，△△B= △ACD，△△ACD= △BCE，△③正确；△BC与BE不一定相等，△△BCE 与△BEC 不一定相等，△④不正确；△正确的个数为3个，故答案为C.【点睛】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．20．（2020·北京昌平区·八年级期末）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则△1的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°【答案】D【分析】根据三角形的外角的性质及直角三角形的两个锐角互余可求解．【详解】解：由题意得：5=30===∠︒∠∠∠︒，43245，1=4+5=+30=75∴∠∠∠︒︒︒45；故选D ．【点睛】本题主要考查三角形的外角及直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握知识点是解题的关键．Part3 与线段的垂直平分线有关的易错题21．（2020·湖南娄底市·八年级期末）如图，已知BD 是ABC 的角平分线，ED 是BC 的垂直平分线，90BAC ∠=︒，3AD =，则CE 的长为（）A ．6B ．5C ．4D ．【答案】D【分析】根据ED 是BC 的垂直平分线、BD 是角平分线以及△A=90°可求得△C=△DBC=△ABD=30°，从而可得CD=BD=2AD=6，然后利用三角函数的知识进行解答即可得.【详解】△ED 是BC 的垂直平分线，△DB=DC ，△△C=△DBC ，△BD 是△ABC 的角平分线，△△ABD=△DBC ，△△A=90°，△△C+△ABD+△DBC=90°，△△C=△DBC=△ABD=30°，△BD=2AD=6，△CD=6，故选D ．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，余弦等，结合图形熟练应用相关的性质及定理是解题的关键.22．（2020·湖北荆州市·八年级期末）如图，已知,5,3AB AC AB BC ===，以AB 两点为圆心，大于12AB 的长为半径画圆，两弧相交于点,M N ，连接MN 与AC 相较于点D ，则BDC ∆的周长为（）A ．8B ．10C ．11D ．13【答案】A【分析】利用基本作图得到MN 垂直平分AB ，利用线段垂直平分线的定义得到DA=DB ，然后利用等线段代换得到△BDC 的周长=AC+BC ．【详解】由作法得MN 垂直平分AB ，△DA=DB ，△△BDC 的周长=DB+DC+BC=DA+DC+BC=AC+BC=5+3=8．故选A ．【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质．23．（2020·四川达州市·八年级期末）如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC ＝BC，则下列选项正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【详解】由PB+PC=BC和PA+PC=BC易得PA=PB，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得点P在AB的垂直平分线上，于是可判断D选项正确．故选B．考点：作图—复杂作图24．（2020·甘肃定西市·八年级期末）如图，在△ABC中，AB=AC，△BAC=100°，AB的垂直平分线DE分别交AB、BC 于点D、E，则△BAE=（）A．80°B．60°C．50°D．40°【答案】D【分析】首先利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质△B，利用线段垂直平分线的性质易得AE=BE，△BAE=△B．【详解】解：△AB=AC，△BAC=100°，△△B=△C=（180°﹣100°）÷2=40°，△DE是AB的垂直平分线，△AE=BE，△△BAE=△B=40°，故选D．25．（2020·贵州安顺市·八年级期末）如图，AC=AD，BC=BD，则下列结果正确的是（）A．AB△CD B．OA=OB C．△ACD=△BDC D．△ABC=△CAB【答案】A【分析】根据线段垂直平分线的性质定理即可得到结论．【详解】△AC=AD，△点A在线段CD的垂直平分线上，△BC=BD，△点B在线段CD的垂直平分线上，△AB垂直平分CD，△AB△CD，故选A．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握其性质定理是解题的关键．26．（2020·辽宁沈阳市期末）如图，△ABC中，BD平分△ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若△A=60°，△ABD=24°，则△ACF的度数为（）A．48°B．36°C．30°D．24°【答案】A【解析】试题分析：△BD平分△ABC，△△DBC=△ABD=24°，△△A=60°，△△ACB=180°﹣60°﹣24°×2=72°，△BC的中垂线交BC于点E，△BF=CF，△△FCB=24°，△△ACF=72°﹣24°=48°，故选A．考点：线段垂直平分线的性质．27．（2020·山东聊城市·八年级期末）到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（）A．三条高的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三条边的垂直平分线的交点【答案】D【分析】根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答即可．【详解】解：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，故选择：D ．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 28．（2020·山东济南市·八年级期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，△A ＝120°，BC ＝6cm ，AB 的垂直平分线交BC 于点M ，交AB 于点E ，AC 的垂直平分线交BC 于点N ，交AC 于点F ，则MN 的长为（）A ．4cmB ．3cmC ．2cmD ．1cm【答案】C【分析】连接AM 、AN 过A 作AD BC ⊥于D ，先求出AB 、AC 值，再求出BE 、CF 值，求出BM 、CN 值，代入--＝MN BC BM CN 求出即可．【详解】连接AM 、AN ，过A 作AD BC ⊥于D△在ABC ∆中，AB AC ＝，120∠︒＝A ，6cm BC ＝△30∠∠︒＝＝B C ，3cm ＝＝BD CD△在Rt ABD ∆中，2AB AD =△在Rt ABD ∆中，AB△AD =，AB AC =△AB 的垂直平分线EM△12==BE AB同理CF△30∠∠︒＝＝B C△2BM ME =△在BME ∆中，BM =△2cm BM =同理2cm ＝CN△2cm --=＝MN BC BM CN故选：C ．【点睛】本题考查垂直平分线的性质、含30直角三角形的性质，利用特殊角、垂直平分线的性质添加辅助线是解题关键，通过添加的辅助线将复杂问题简单化，更容易转化边．29．（2020·福建泉州市八年级期末）如图，在ABC ∆中，ACB ∠为钝角．用直尺和圆规在边AB 上确定一点D ．使ADC 2B ∠=∠，则符合要求的作图痕迹是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】由ADC 2B ∠=∠且ADC B BCD ∠=∠+∠知B BCD ∠=∠，据此得DB DC =，由线段的中垂线的性质可得答案．【详解】解：△ADC 2B ∠=∠且ADC B BCD ∠=∠+∠，△B BCD ∠=∠，△DB DC =，△点D 是线段BC 中垂线与AB 的交点，故选B【点睛】考核知识点：线段垂直平分线.理解线段垂直平分线性质是关键.30．（2020·江西赣州市·八年级期末）在联欢会上，有A 、B 、C 三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在ABC 的（）A ．三边中线的交点B ．三条角平分线的交点C ．三边中垂线的交点D ．三边上高所在直线的交点【答案】C【分析】根据垂直平分线的性质即可得出结论．【详解】解：为使游戏公平，凳子应到点A 、B 、C 的距离相等根据线段垂直平分线的性质，则凳子应放的最适当的位置是在ABC 的三边中垂线的交点故选C ．【点睛】此题考查的是线段垂直平分线性质的应用，掌握垂直平分线的性质是解题关键． Part4 与角平分线有关的易错题31．（2020·石家庄市八年级期末）如图，已知在四边形ABCD 中，90BCD ∠=︒，BD 平分ABC ∠，6AB =，9BC =，4CD =，则四边形ABCD 的面积是（）A ．24B ．30C ．36D ．42【答案】B【分析】过D 作DE△AB 交BA 的延长线于E ，根据角平分线的性质得到DE=CD=4，根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】如图，过D 作DE△AB 交BA 的延长线于E ，△BD 平分△ABC ，△BCD=90°，△DE=CD=4，△四边形ABCD 的面积1122ABD BCD SS AB DE BC CD ∆=+=⋅+⋅1164943022=⨯⨯+⨯⨯= 故选B.【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．32．（2020·河南南阳市·八年级期末）尺规作图作AOB ∠的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得OCP ODP ≌的根据是（）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS【答案】D【解析】解：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA ，OB 于C ，D ，即OC=OD ；以点C ，D 为圆心，以大于CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，即CP=DP ；再有公共边OP ，根据“SSS”即得△OCP△△ODP ．故选D ．33．（2020·河南信阳市·八年级期末）如图，已知在△ABC 中，CD 是AB 边上的高线，BE 平分△ABC ，交CD 于点E ，BC=5，DE=2，则△BCE 的面积等于（）A ．10B ．7C ．5D ．4【答案】C【详解】试题分析：如图，过点E 作EF△BC 交BC 于点F,根据角平分线的性质可得DE=EF=2,所以△BCE 的面积等于1152522BC EF ⨯⨯=⨯⨯=,故答案选C ．考点：角平分线的性质；三角形的面积公式．34．（2020·石家庄市八年级期末）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是△BOA的角平分线．”他这样做的依据是()A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D．以上均不正确【答案】A【分析】过两把直尺的交点C作CF△BO与点F，由题意得CE△AO，因为是两把完全相同的长方形直尺，可得CE=CF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分△AOB【详解】如图所示：过两把直尺的交点C作CF△BO与点F，由题意得CE△AO，△两把完全相同的长方形直尺，△CE=CF，△OP平分△AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），故选A ．【点睛】本题主要考查了基本作图，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上这一判定定理． 35．（2020·湖南株洲市·八年级期末）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（）A ．△ABC 的三条中线的交点B ．△ABC 三边的中垂线的交点 C ．△ABC 三条角平分线的交点D ．△ABC 三条高所在直线的交点.【答案】C【分析】由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是△ABC 三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．【详解】解：△凉亭到草坪三条边的距离相等，△凉亭选择△ABC 三条角平分线的交点．故选：C ．【点睛】本题主要考查的是角平分线的性质在实际生活中的应用．主要利用了利用了角平分线上的点到角两边的距离相等．36．（2020·河南洛阳市·八年级期末）如图，在ABC ∆中，,40AC BC A =∠=︒，观察图中尺规作图的痕迹，可知BCG ∠的度数为（）A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．60︒【答案】C【分析】利用等腰三角形的性质和基本作图得到CG AB ⊥，则CG 平分ACB ∠，利用A B ∠=∠和三角形内角和计算出ACB ∠，从而得到BCG ∠的度数.【详解】由作法得CG AB ⊥，△AB AC =，△CG 平分ACB ∠，A B ∠=∠，△1804040100ACB ∠=︒-︒-︒=︒， △1502BCG ACB ∠=∠=︒．故选C ．【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）.也考查了等腰三角形的性质.37．（2020·广西北海市·八年级期末）如图所示，在△ABC 中，△ACB=90°，BE 平分△ABC ，DE△AB 于点D ，如果AC=3cm ，那么AE+DE 等于（）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm【答案】B【分析】直接利用角平分线的性质得出DE=EC ，进而得出答案．【详解】解：△△ABC 中，△ACB=90°，BE 平分△ABC ，DE△AB 于点D ，△EC=DE ，△AE+DE=AE+EC=3cm ．故选：B ．【点睛】此题主要考查了角平分线的性质，得出EC=DE 是解题关键．38．（2020·广东佛山市·八年级期末）如图，OP 平分△MON ，PA△ON 于点A ，点Q 是射线OM 上的一个动点，若PA=2，则PQ 的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【详解】分析：根据题意点Q是射线OM上的一个动点，要求PQ的最小值，需要找出满足题意的点Q，根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，所以我们过点P作PQ垂直OM，此时的PQ最短，然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PA=PQ，利用已知的PA的值即可求出PQ的最小值．解答：解：过点P作PQ△OM，垂足为Q，则PQ为最短距离，△OP平分△MON，PA△ON，PQ△OM，△PA=PQ=2，故选B．39．（2020·黑龙江齐齐哈尔市·八年级期末）如图,OC是△AOB的平分线,P是OC上一点,PD△OA于点D,PD=6,则点P到边OB的距离为()A．6B．5C．4D．3【答案】A【详解】试题分析：如图，过点P作PE△OB于点E，△OC是△AOB的平分线，PD△OA于D，△PE=PD，△PD=6，△PE=6，即点P 到OB的距离是6．故选A．考点：角平分线的性质40．（2020·江西赣州市·八年级期末）在Rt △ABC 中，90B ︒∠=，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，DE AC ⊥，垂足为点E ，若3BD =，则DE 的长为（）A ．3B ．32 C ．2 D ．6【答案】A【分析】证明△ABD△△AED 即可得出DE 的长．【详解】△DE△AC ，△△AED=△B=90°，△AD 平分△BAC ，△△BAD=△EAD ，又△AD=AD ，△△ABD△△AED ，△DE=BE=3，故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的判断和性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．。

因式分解60道压轴题型(6大题型)——2023-2024学年八年级数学下册重难点(北师大版)(解析)

因式分解60道压轴题型专训（6大题型）【题型目录】题型一已知因式分解的结果求参数题型二运用公式法分解因式题型三因式分解在有理数简算中的应用题型四十字相乘法题型五分组分解法题型六因式分解的应用【压轴题型一已知因式分解的结果求参数】1．已知多项式481x b +可以分解为()()()22492332a b a b b a ++−，则x 的值是（）A ．416aB ．416a −C ．24aD ．24a −【答案】B【分析】本题可根据题中条件，多项式分解为单项式，用分解出来的单项式进行相乘后，即可求出x 的值．【详解】解：根据题意可得：()()()224492332=81ab a b b a x b++−+，∵()()()22492332a b a b b a ++− ()()()22=492323a b a b a b −++− ()()2222=4949a b ab −+−()44=1681a b −−44=1681a b −+，∴4=16x a −，故选：B ．【点睛】本题考查因式分解的基本知识，学生需掌握因式分解的基本知识，做此题就不难．2．如果把二次三项式22x x c ++分解因式得()()2213x x c x x ++=−+，那么常数c 的值是（）A ．3B ．-3C ．2D ．-2【答案】B【分析】将因式分解的结果用多项式乘法的展开，其结果与二次三项式比较即可求解．【详解】解：∵()()2213x x c x x ++=−+∴22223x x c x x ++=+−故3c =− 故选B【点睛】本题考查了因式分解，多项式的乘法运算，掌握多项式乘法与因式分解的关系是解题的关键． 3．若22266−+++x y xy kx 能分解成两个一次因式的积，则整数k= . 【答案】7±【分析】根据题意设多项式可以分解为：（x+ay+c ）（2x+by+d ），则2c+d=k ，根据cd=6，求出所有符合条件的c 、d 的值，然后再代入ad+bc=0求出a 、b 的值，与2a+b=1联立求出a 、b 的值，a 、b 是整数则符合，否则不符合，最后把符合条件的值代入k 进行计算即可．【详解】解：设22266−+++x y xy kx 能分解成：(x ＋ay ＋c)（2x ＋by ＋d)，即2x2+aby2＋（2a ＋b ）xy ＋（2c ＋d)x ＋（ad ＋bc)y ＋cd ， ∴cd=6，∵6=1×6=2×3=（-2）×（-3）=(-1)×(-6)，∴①c=1，d=6时，ad ＋bc=6a ＋b=0，与2a ＋b=1联立求解得1432a b ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或c=6，d=1时，ad ＋bc=a ＋6b=0,与2a ＋b=1联立求解得611111a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩， ②c=2，d=3时，ad ＋bc=3a ＋2b=0，与2a ＋b=1联立求解得23a b =⎧⎨=−⎩，或c=3，d=2时，ad ＋bc=2a ＋3b=0，与2a ＋b=1联立求解得3412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩, ③c=-2，d=-3时，ad ＋bc=-3a -2b=0，与2a ＋b=1联立求解得23a b =⎧⎨=−⎩，或c=-3，d=-2，ad ＋bc=-2a -3b=0，与2a ＋b=1联立求解得3412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩， ④c=-1，d=-6时，ad ＋bc=-6a -b=0，与2a ＋b=1联立求解得1432a b ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或c=-6，d=-1时，ad ＋bc=-a -6b=0，与2a ＋b=1联立求解得611111a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩， ∴c=2，d=3时，c=-2，d=-3时，符合，∴k=2c ＋d=2×2＋3=7，k=2c ＋d=2×（-2）＋（-3)=-7， ∴整数k 的值是7，-7．故答案为：7±．【点睛】本题考查因式分解的意义，设成两个多项式的积的形式是解题的关键，要注意6的所有分解结果，还需要用a 、b 进行验证，注意不要漏解．4．已知多项式4x mx n ++能分解为()()2223x px q x x +++−，则p = ，q = ．【答案】 2−； 7．【分析】把()()2223xpx q x x +++−展开，找到所有3x 和2x 的项的系数，令它们的系数分别为0，列式求解即可．【详解】解：∵()()2223xpx q x x +++−432322222333x px qx x px qx x px q =+++++−−−()()()432223233x p x q p x q p x q=++++−+−−4x mx n =++．∴展开式乘积中不含3x 、2x 项，∴20230p q p +=⎧⎨+−=⎩，解得：27p q =−⎧⎨=⎩．故答案为：2−，7．【点睛】本题考查了整式乘法的运算、整式乘法和因式分解的关系，将结果式子运用整式乘法展开后，抓住“若某项不存在，即其前面的系数为0”列出式子求解即可． 5．【例题讲解】因式分解：31x −．31x −为三次二项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次二项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想31x −可以分解成()()21x x ax b −++，展开等式右边得：()32(1)x a x b a x b +−+−−，()()33211x x a x b a x b ∴−=+−+−−恒成立．∴等式两边多项式的同类项的对应系数相等，即1001a b a b −=⎧⎪−=⎨⎪−=−⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩，()()32111x x x x ∴−=−++．【方法归纳】设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法．【学以致用】(1)若()()21234x mx x x −−=+−，则m =________；(2)若3233x x x k +−+有一个因式是1x +，求k 的值及另一个因式．【答案】(1)1(2)5k =−，225x x +−【分析】（1）将()()34x x +−展开，再根据题干的方法即可求解；（2）设多项式3233x x x k +−+另一个因式为()2xax b ++，利用题干给出的待定系数法求解即可．【详解】（1）∵()()21234x mx x x −−=+−，∴221212x mx x x −−=−−，∴1m =，故答案为：1；（2）设多项式3233x x x k +−+另一个因式为()2x ax b ++，则()()()()322323311x x x k x x ax b x a x a b x b+−+=+++=+++++13a ∴+=，3a b +=−，b k =，2a ∴=，=5b −，5k ∴=−，即另一个式子为：225x x +−．【点睛】本题主要考查了多项式的乘法，因式分解等知识，掌握题干给出的待定系数法，是解答本题的关键．6．仔细阅读下面例题，解答问题例题：已知二次三项式24x x m −+有一个因式是()3x +，求另一个因式以及m 的值．解：设另一个因式为()x n +，得()()243x x m x x n −+=++则()22433x x m x n x n −+=+++343n m n +=−⎧∴⎨=⎩解得7n =−，21m =−∴另一个因式为()7x −，m 的值为21−．问题：(1)已知二次三项式26x x a ++有一个因式是()5+x ，求另一个因式以及a 的值： (2)已知二次三项式22x x p −−有一个因式是()23x +，求另一个因式以及p 的值．【答案】(1)另一个因式为1x +，a 的值为5 (2)另一个因式为()2x −，p 的值为6【分析】（1）设另一个因式为()x n +，根据例题的方法，列出等式并将等式右侧展开，然后利用对应系数法即可求出结论；（2）设另一个因式为()x q +，根据例题的方法，列出等式并将等式右侧展开，然后利用对应系数法即可求出结论．【详解】（1）解：设另一个因式为()x n +，得()()265x x a x x n ++=++，则()22655x x a x n x n++=+++，565n n a +=⎧∴⎨=⎩，解得：15n a =⎧⎨=⎩，∴另一个因式为1x +，a 的值为5；（2）解：设另一个因式为()x q +，得()()2223x x p x q x −−=++，则()2222233x x p x q x q−−=+++，2313q q p +=−⎧∴⎨=−⎩，解得：26q p =−⎧⎨=⎩， ∴另一个因式为()2x −，p 的值为6．【点睛】本题考查了因式分解的意义，正确理解因式分解与整式的乘法互为逆运算是解题的关键． 7．1637年笛卡尔（R ．Descartes ，1596－1650）在其《几何学》中，首次应用待定系数法最早给出因式分解定理．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下：分解因式：3235x x x ++−．解：观察可知，当1x =时，原式0=． ∴原式可分解为()1x −与另一个整式的积．设另一个整式为2x bx c ++．则()()322351x x x x x bx c ++−=−++， ∵()()()()23211x x bx c x b x c b x c −++=+−+−−，∴()()3232351x x x x b x c b x c ++−=+−+−−∵等式两边x 同次幂的系数相等，则有：1135b c b c −=⎧⎪−=⎨⎪−=−⎩，解得25b c =⎧⎨=⎩．∴()()32235125x x x x x x ++−=−++．根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：(1)根据以上材料的方法，分解因式3223x x +−的过程中，观察可知，当x =______时，原式0=，所以原式可分解为______与另一个整式的积．若设另一个整式为2x bx c ++．则b =______，c =______． (2)已知多项式31x ax ++（a 为常数）有一个因式是1x +，求另一个因式以及a 的值．下面是小明同学根据以上材料方法，解此题的部分过程，请帮小明完成他的解答过程．解：设另一个因式为2x bx c ++，则()()3211x ax x x bx c ++=+++．……(3)已知二次三项式223x x k +−（k 为常数）有一个因式是4x +，则另一个因式为______，k 的值为______．【答案】(1)1；(1)x −；3；3(2)解题过程见详解，321(1)(1)x x x x +=+−+(3)(25)x −；20【分析】（1）根据材料提示，当1x =时，3223x x +−的值为0，由此即可求解；（2）多项式31x ax ++（a 为常数）有一个因式是1x +，设另一个因式为2x bx c ++，根据材料提示，即可求解；（3）多项式223x x k +−（k 为常数）有一个因式是4x +，则另一个因式为mx n +，根据材料提示，即可求解．【详解】（1）解：当1x =时，3223x x +−的值为0，∴原式可分解为(1)x −与另一个整式的积，设另一个整式为2x bx c ++，∴32223(1)()x x x x bx c +−=−++，∵232(1)()()()x x bx c x b c x c b x c −++=+−+−−， ∴323223(1)()x x x b x c b x c +−=+−+−−，∴1203b c b c −=⎧⎪−=⎨⎪−=−⎩，解得，33b c =⎧⎨=⎩，∴32223(1)(33)x x x x x +−=−++，故答案为：1；(1)x −；3；3．（2）解：多项式31x ax ++（a 为常数）有一个因式是1x +，设另一个因式为2x bx c ++，则()()3211x ax x x bx c ++=+++，∵()()2321(1)()x x bx c x b x c b x c +++=+++++，∴3321(1)()x ax x b x c b x c ++=+++++， ∴101b c b a c +=⎧⎪+=⎨⎪=⎩，解方程得，011a b c =⎧⎪=−⎨⎪=⎩，∴多项式31x ax ++（a 为常数）为31x +，∴31x +因式分解为321(1)(1)x x x x +=+−+．（3）解：多项式223x x k +−（k 为常数）有一个因式是4x +，设另一个因式为mx n +，∴223(4)()x x k x mx n +−=++， ∵2(4)()(4)4x mx n mx n m x n ++=+++， ∴2223(4)4x x k mx n m x n +−=+++，∴2434m n m n k =⎧⎪+=⎨⎪=−⎩，解方程组得，2520m n k =⎧⎪=−⎨⎪=⎩，∴多项式223x x k +−（k 为常数）为22320x x +−，∴22320x x +−因数分解为22320(4)(25)x x x x +−=+−，故答案为：(25)x −，20．【点睛】本题主要考查因数分解，掌握整式的混合运算是解题的关键． 8．仔细阅读下面例题：例题：已知二次三项式25x x m ++有一个因式是x ＋2，求另一个因式以及m 的值．解：设另一个因式px ＋n ，得25x x m ++＝（x ＋2）（px ＋n ），对比等式左右两边x 的二次项系数，可知p ＝1，于是25x x m ++＝（x ＋2）（x ＋n ）．则25x x m ++＝2x ＋（n ＋2）x ＋2n ，∴n ＋2＝5，m ＝2n ，解得n ＝3，m ＝6，∴另一个因式为x ＋3，m 的值为6 依照以上方法解答下面问题：（1）若二次三项式2x ﹣7x ＋12可分解为（x ﹣3）（x ＋a ），则a ＝；（2）若二次三项式22x ＋bx ﹣6可分解为（2x ＋3）（x ﹣2），则b ＝；（3）已知代数式23x ＋2x ＋kx ﹣3有一个因式是2x ﹣1，求另一个因式以及k 的值．【答案】（1）-4；（2）-1；（3）另一个因式为2x ＋x ＋3，k 的值为5．【分析】（1）仿照题干中给出的方法计算即可；（2）仿照题干中给出的方法计算即可；（3）设出另一个因式为（2ax bx c ++），对比两边三次项系数可得a ＝1，再参照题干给出的方法计算即可．【详解】解：（1）∵2(3)()33x x a x x ax a −+=−+−＝2(3)3x a x a +−−＝2712x x −+．∴a ﹣3＝﹣7，﹣3a ＝12，解得：a ＝﹣4.（2）∵2(23)(2)2346x x x x x +−=+−−＝226x x −−．＝226x bx +−．∴b ＝﹣1．（3）设另一个因式为（2ax bx c ++），得32223(21)()x x kx x ax bx c ++−=−++．对比左右两边三次项系数可得：a ＝1．于是32223(21)()x x kx x x bx c ++−=−++．则3232232232222(21)(2)x x kx x x bx bx cx c x b x c b x c ++−=−+−+−=+−+−−．∴﹣c ＝﹣3，2b ﹣1＝1，2c ﹣b ＝k ．解得：c ＝3，b ＝1，k ＝5．故另一个因式为23x x ++，k 的值为5．【点睛】本题以阅读材料给出的方法为背景考查了因式分解、整式乘法、合并同类项等知识，熟练掌握以上知识是解题关键．9．仔细阅读下面的例题：例题：已知二次三项式25x x m ++有一个因式是2x +，求另一个因式及m 的值．解：设另一个因式为x n +，得25(2)()x x m x x n ++=++，则225(2)2x x m x n x n ++=+++， 25n ∴+=，2m n =，解得3n =，6m =，∴另一个因式为3x +，m 的值为6．依照以上方法解答下列问题：（1）若二次三项式254x x −+可分解为(1)()x x a −+，则=a ________；（2）若二次三项式226x bx +−可分解为(23)(2)x x +−，则b =________；（3）已知二次三项式229x x k +−有一个因式是21x −，求另一个因式以及k 的值．【答案】（1）4−；（2）1−；（3）另一个因式为5x +，k 的值为5．【分析】（1）将(1)()x x a −+展开，根据所给出的二次三项式即可求出a 的值；（2）（2x+3）（x ﹣2）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b 的值；（3）设另一个因式为（x+n ），得2x2+9x ﹣k ＝（2x ﹣1）（x+n ），可知2n ﹣1＝9，﹣k ＝﹣n ，继而求出n 和k 的值及另一个因式．【详解】解：（1）∵(1)()x x a −+＝x2+（a ﹣1）x ﹣a ＝254x x −+，∴a ﹣1＝﹣5，解得：a ＝﹣4；故答案是：﹣4（2）∵（2x+3）（x ﹣2）＝2x2﹣x ﹣6＝2x2+bx ﹣6， ∴b ＝﹣1．故答案是：﹣1．（3）设另一个因式为（x+n ），得2x2+9x ﹣k ＝（2x ﹣1）（x+n ），则2x2+9x ﹣k ＝2x2+（2n ﹣1）x ﹣n ， ∴2n ﹣1＝9，﹣k ＝﹣n ，解得n ＝5，k ＝5，∴另一个因式为x+5，k 的值为5．【点睛】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．10．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式24x x m −+有一个因式是()3x +，求另一个因数及m 的值．解：设另一个因式为()x n +，由题意，得()()243x x m x x n −+=++，化简、整理，得()22433x x m x n x n −+=+++，于是有343n m n +=−⎧⎨=⎩解得217m n =−⎧⎨=−⎩， ∴另一个因式为()7x −，m 的值为21−．问题：仿照上述方法解答下面的问题：已知二次三项式223x x k +−有一个因式是()4x +，求另一个因式及k 的值．【答案】另一个因式为()25x −，k 的值为20．【分析】根据所求的式子223x x k +−的二次项系数是2，因式是（x+4）的一次项系数是1，可知另一个因式的一次项系数一定是2，设另一个因式为()2x a +，仿照例题计算即可．【详解】解：设另一个因式为()2x a +， ∴()()22342x x k x x a +−=++， ∴()2223284x x k x a x a+−=+++， ∴834a a k +=⎧⎨=−⎩ ，解得：5a =−，20k =，故另一个因式为()25x −，k 的值为20．【点睛】考查了因式分解的应用，正确读懂例题，理解题意是解题的关键．【压轴题型二运用公式法分解因式】1．若20192020,20192021,20192022a x b x c x =+=+=+，则代数式222a b c ab ac bc ++−−−的值是（） A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【分析】此题考查了因式分解的应用，由a ，b ，c 的代数式，求出a b −，a c −，b c −的值，原式利用完全平方公式变形后代入计算即可求出值．【详解】解：20192020a x =+，20192021b x =+，20192022c x =+，1a b ∴−=−，2a c −=−，1b c −=−，则222a b c ab ac bc ++−−− 2221(222222)2a b c ab ac bc =++−−−2222221[(2)(2)(2)]2a ab b a ac c b bc c =−++−++−+2221[()()()]2a b a c b c =−+−+−，当1a b −=−，2a c −=−，1b c −=−时，原式1(141)32=⨯++=．故选：D ． 2．已知x y z 、、满足12x z −=，236xz y +=−，则2x y z ++的值为（）A ．4B ．1C ．0D ．-8【答案】C 【分析】根据题目条件可用x 来表示z ，并代入代数式中，运用公式法因式分解可得()226x y −=−，再根据平方数的非负性可分别求出x ，z 的值，最后运算即可．【详解】解：12x z −=，∴12z x =−，又236xz y +=−，∴()21236x x y −+=−，∴2212+36=-y x x −，()226x y −=−， ()22600x y −≥−≤，，600x y ∴−==，，606x y z ∴===−，，，代入2x y z ++得，2x y z ++=0．故选：C ．【点睛】本题考查了运用公式法进行因式分解，平方数的非负性，熟练掌握运用公式法因式分解是解决本题的关键．3．已知a ，b 为自然数，且a b >，若4364()()a a b a ab b b+++−+=，则=a ，b = ．【答案】 8 2【分析】化简原式可得：2264()a b b +=，设a kb =，则2264()kb b b +=，再根据22226416244()k b ∴+==⨯=⨯可求a ，b ．【详解】4364()()a a b a ab b b +++−+=， 4364a a b a ab b b ∴+++−+=， 24464ab ab a b ∴++=，2264()a b b ∴+=．设a kb =，则2264()kb b b +=， a ，b 为自然数，0a ∴≠，0b ≠，22226416244()k b ∴+==⨯=⨯16k ∴=，22b +=或4k = ，24+=b ，160,k b ∴==(不合题意，舍去)或4k =，2b =，428a ∴=⨯=．故答案为：8，2．【点睛】本题主要考查了分式的加减，因式分解的应用，熟记完全平方公式是解决本题的关键．4．如果22344421x y xy y x −−++−因式分解的结果为．【答案】()()32121x y x y +−−+【分析】把21y −当成一个整体，再因式分解即可．【详解】原式22342441x xy x y y =−+−+− ()()22322121x x y y =−−−−()()32121x y x y =+−−−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()32121x y x y =+−−+ 故答案为：()()32121x y x y +−−+．【点睛】题目主要考查利用整体法及公式法进行因式分解，理解题中的整体思想是解题关键．5．阅读材料，解决问题【材料1】教材中这样写道：“我们把多项式222a ab b ++及222a ab b −+叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如：分解因式223x x +−．原式()()()()()22223211314121231x x x x x x x x x =+−=++−−=+−=+++−=+−．【材料2】因式分解：()()221x y x y ++++解：把x y +看成一个整体，令x y A +=，则原式()22211A A A =++=+，再将A x y =+重新代入，得：原式()21x y =++上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题：(1)根据材料1，利用配方法进行因式分解：268x x −+；(2)根据材料2，利用“整体思想”进行因式分解：()()244x y x y −−−+；(3)当a ，b ，c 分别为ABC 的三边时，且满足222464170a b c a b c ++−−−+=时，判断ABC 的形状并说明理由．【答案】(1)()()24x x −−；(2)()22x y −−；(3)ABC 是等腰三角形，理由见解析．【分析】（1）凑完全平方公式，再用平方差公式进行因式分解；（2）利用完全平方进行因式分解；（3）先因式分解，判断字母a 、b 、c 三边的关系，再判定三角形的形状．【详解】（1）解：268x x −+26998x x =−+−+()231x =−−()()3131x x =-+-- ()()24x x =−−；（2）解：设A x y =−，()()244x y x y −−−+244A A =−+()22A =−∴()()244x y x y −−−+()22x y =−−；（3）解：ABC 是等腰三角形．理由如下：222464170a b c a b c ++−−−+=，∴2224469440a a b b c c −++−++−+=，∴()()()2222320a b c −+−+−=，∴20a −=，30b −=，20c −=，得，2a =，3b =，2c =．∴a b =，∴ABC 是等腰三角形．【点睛】此题考查了因式分解的应用，乘法公式，配方法的应用以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．6．19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式44x +的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和()2222x +的形式，要使用公式就必须添一项24x ，随即将此项24x 减去，即可得()()()()()222442222222444424222222x x x x x x x x x x x x +=++−=+−=+−=++−+，人们为了纪念苏菲·热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”．根据以上方法，把下列各式因式分解：(1)444x y +；(2)2244a am n mn −−+．【答案】(1)()()22222222x y xy x y xy +++−； (2)()()4a n a m n −−+．【分析】（1）根据苏菲·热门的做法，将原式配上224x y 后，根据完全平方公式和平方差公式即可进行因式分解；（2）先分组，再利用提公因式法因式分解．【详解】（1）原式442222444x y x y x y =++−()2222224x y x y =+−()()22222222x y xy x y xy =+++−；（2）原式22224444a am m m n mn =−+−−+()()22224444a am m m n mn =−+−+−()()2222a m m n =−−−()()2222a m m n a m m n =−+−−−+ ()()4a n a m n =−−+.【点睛】本题考查因式分解，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是正确应用的前提，理解苏菲·热门的做法是正确进行因式分解的关键．7．定义一种新运算“a b ⊗”：当a b ≥时，2a b a b ⊗=+；当a b <时，2a b a b ⊗=−．例如：3(4)3(8)(5)⊗−=+−=−，(6)1262430−⊗=−−=−(1)填空：(3)(2)−⊗−=______．(2)若(34)(5)(34)2(5)x x x x −−+⊗+=+，则x 的取值范围为______．(3)利用以上新运算化简：2(23)m m ⊗−(4)已知(57)(2)1x x ⊗−−>，求x 的取值范围．【答案】(1)1 (2)92x ≥(3)246m m +−(4)x 的取值范围为：8x >或819x <<.【分析】（1）由32−<−，利用2a b a b ⊗=−进行计算即可；（2）结合新定义与(34)(5)(34)2(5)x x x x −−+⊗+=+，可得345x x −≥+，再解不等式即可；（3）由()2223120m m m −+=−+>，可得223m m >−，再利用新定义运算即可；（4）分两种情况讨论：当572x x −≥−时，即1x ≥；可得()(57)(2)57221x x x x −−=−+⨯−>⊗，当572x x −<−时，即1x <；可得()(57)(2)57221x x x x −−=−−⨯−>⊗，再解不等式即可.【详解】（1）解：由题意可得：()(3)(2)322341−⊗−=−−⨯−=−+=；（2）解：∵(34)(5)(34)2(5)x x x x −−+⊗+=+，∴345x x −≥+，∴29x ≥，解得：92x ≥；（3）解：∵()2223120m m m −+=−+>，∴223m m >−，∴()222(23)22346m m m m m m ⊗−=+−=+−；（4）解：当572x x −≥−时，∴77x ≥，即1x ≥；∴()(57)(2)57221x x x x −−=−+⨯−>⊗，∴8x >，综上，此时8x >；当572x x −<−时，∴77x <，即1x <；∴()(57)(2)57221x x x x −−=−−⨯−>⊗，∴98x >，解得：89x >，综上：此时819x <<；综上：x 的取值范围为：8x >或819x <<.【点睛】本题考查的是新定义运算，整式的加减运算，利用完全平方公式分解因式，一元一次不等式的应用，理解新定义的运算法则是解本题的关键.8．【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．例1 用配方法因式分解：a 2＋6a ＋8．原式＝ a 2＋6a ＋9－1＝（a ＋3）2－1＝（a ＋3－1）（a ＋3＋1）＝（a ＋2）（a ＋4）．例2若M ＝a 2－2ab ＋2b 2－2b ＋2，利用配方法求M 的最小值；a 2－2ab ＋2b 2－2b ＋2＝a 2－2ab ＋b 2＋b 2－2b ＋1＋1＝（a －b ）2＋（b －1）2＋1；∵（a －b ）2≥0，（b －1）2≥0， ∴当a ＝b ＝1时，M 有最小值1．请根据上述自主学习材料解决下列问题：(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a 2＋10a ＋________；(2)用配方法因式分解：a 2－12a ＋35．(3)若M ＝a 2－3a +1，则M 的最小值为________；(4)已知a 2＋2b 2＋c 2－2ab ＋4b －6c ＋13＝0，则a ＋b ＋c 的值为________；【答案】(1)25；(2)(5)(7)a a −−； (3)54−； (4)1−．【分析】（1）利用完全平方公式的结构特征判断即可；（2）原式常数项35分为361−，利用完全平方公式化简，再利用平方差公式分求解即可；（3）M 配方后，利用非负数的性质确定出最小值即可；（4）将已知等式利用完全平方公式配方后，再根据非负数的性质求出a ，b ，c 的值，代入原式计算即可．【详解】（1）解：221025(5)a a a ++=+；故答案为：25；（2）解：21235a a −+212361a a =−+−2(6)1a =−−(61)(61)a a =−+−−(5)(7)a a =−−；（3）解：295(3)44M a a =−+−235()24a =−−，当302a −=，即32a =时，M 取最小值，最小值为54−；故答案为：54−；（4）解：2222246130a b c ab b c ++−+−+=，2222(2)(44)(69)0a ab b b b c c ∴−+++++−+=，即222()(2)(3)0a b b c −+++−=，2()0a b −…，2(2)0b +…，2(3)0c −…，0a b ∴−=，20b +=，30c −=，解得：2a b ==−，3c =，则2231a b c ++=−−+=−．故答案为：1−．【点睛】本题考查了整式的混合运算，非负数的性质：偶次方，完全平方式，以及因式分解−分组分解法，解题的关键是熟练掌握各自的运算法则及公式．9．阅读材料：若2222440m mn n n −+−+=，求m ，n 的值．解：∵2222440m mn n n −+−+=，∴()()2222440m mn n n n −++−+=，∴22()(2)0m n n −+−=，∴2()0m n −=，2(2)0n −=，∴2n =，2m =．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知22228160x y xy y +−++=，则x =________，y =________；（2）已知ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足22248180a b a b +−−+=，求ABC 的周长．【答案】（1）-4，-4；（2）ABC 的周长为9．【分析】（1）利用完全平方公式配方，再根据非负数的性质即可得出x 和y 的值；（2）利用完全平方公式配方，再根据非负数的性质即可得出a 和b 的值，从而得出c 的取值范围，根据c 为整数即可得出c 的值，从而求得三角形的周长．【详解】解：（1）由22228160x y xy y +−++=得 222)((2816)0x xy y y y −+++=+，22()(4)0x y y −++=，∴0x y −=，40y +=，∴4x y ==−，故答案为：-4，-4；（2）由22248180a b a b +−−+=得：222428160a a b b −++−+=，222(1)(4)0a b −+−=，∴a -1=0，b -4=0，∴a=1，b=4，∴3＜c ＜5，∵△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，∴c=4，∴ABC 的周长为9．【点睛】本题主要考查了配方法的应用及偶次方的非负性，同时考查了三角形的三边关系，本题难度中等． 10．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：a 2+6a +8，解：原式=a 2+6a +8+1-1=a 2+6a +9-1=(a +3)2－12=[(3)1][(3)1](4)(2)a a a a +++−=++②M =a 2-2a －1，利用配方法求M 的最小值．解：22221212(1)2a a a a a −−=−+−=−−∵(a -b )2≥0，∴当a =1时，M 有最小值－2．请根据上述材料解决下列问题：（1）用配方法．．．因式分解：223x x +−．（2）若228M x x =−，求M 的最小值．（3）已知x 2+2y 2+z 2-2xy -2y -4z +5=0，求x +y +z 的值．【答案】（1）(3)(1)x x +−；（2）8−；（3）4．【分析】（1）根据配方法，配凑出一个完全平方公式，再利用公式法进行因式分解即可；（2）先利用配方法，配凑出一个完全平方公式，再根据偶次方的非负性求解即可；（3）先利用配方法进行因式分解，再利用偶次方的非负性求出x 、y 、z 的值，然后代入求解即可．【详解】（1）原式22344x x =+−+−2214x x =++−22(1)2x =+−[][](1)2(1)2x x =+++−(3)(1)x x =+−；（2）22282(4)x x x x −=−22(444)x x =−+−22(2)4x ⎡⎤=−−⎣⎦22(2)8x =−−2(2)0x −≥∴当2x =时，M 有最小值8−；（3）22222245x y z xy y z ++−−−+ 2222(2(21)()44)x xy y y y z z =−++−++−+222()(1)(2)x y y z =−+−+−222()(1)(20)x y y z −+−+−=01020x y y z −=⎧⎪∴−=⎨⎪−=⎩，解得112x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩则1124x y z ++=++=．【点睛】本题考查了利用配方法进行因式分解、偶次方的非负性等知识点，读懂题意，掌握配方法是解题关键．【压轴题型三因式分解在有理数简算中的应用】1．计算22222111111111123456⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−⨯−⨯−⨯−⨯− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（）． A ．512 B ．12 C ．712D ．1130 【答案】C【分析】原式各括号利用平方差公式变形，约分即可得到结果．【详解】原式111111111111111111112233445566⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−⨯+⨯−⨯+⨯−⨯+⨯−⨯+⨯−⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，13243546572233445566=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯，1726=⨯， 712=，故选：C ．【点睛】本题考查的是平方差公式，掌握运算法则和平方差公式是解题关键．2．已知()()22113(21)a b ab ++=−，则1b a a ⎛⎫− ⎪⎝⎭的值是（） A ．0B ．1C ．-2D ．-1【答案】D 【分析】先对()()22113(21)a b ab ++=−进行变形，可以解出a ，b 的关系，然后在对1b a a ⎛⎫− ⎪⎝⎭进行因式分解即可．【详解】∵()()22113(21)a b ab ++=−，∴2222163a b a b ab +++=−，22222440a b ab a b ab +−+−+=，()()2220a b ab −+−=，∴a b =，2ab =， ∴1121b b a ab a a ⎛⎫−=−=−=− ⎪⎝⎭故选：D ．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，在解题时要注意符号变换，同时掌握正确的运算是解答本题的关键．3．若2023a =，2022b =，则计算221122a b −的结果为．【答案】2022.5【分析】先提公因式，再用平方差公式进行计算即可．【详解】221122a b − 22112023202222=⨯−⨯()222023212022=−⨯1=(20232022)(20232022)2⨯+− 140452=⨯2022.5=．故答案为：2022.5．【点睛】本题主要考查了利用平方差公式因式分解进行简便运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 4．某同学自己设计了一个运算程序，任意输入一个三位数，如567，重复该数，得到567567，将该数除以7，然后除以质数a ，再除以质数b ，结果又得到了567，则a b += ．【答案】24【分析】根据题意可知567567÷7÷567=ab ，然后即可得到ab 的值，再将ab 的积分解为两个质数的积，即可得到a 、b 的值，然后作和即可．【详解】解：由题意可得，567567÷7÷567=ab ，解得ab=143，∵143=11×13，∴a=11，b=13或a=13，b=11，∴a+b=24，故答案为：24．【点睛】本题考查有理数的混合运算、质数与合数，解答本题的关键是明确题意，求出a 、b 的值． 5．整体思想是数学解题中常见的一种思想方法．下面是对多项式222(21)2)(a a a a ++++进行因式分解的解题思路：将“22a a +”看成一个整体，令22a a x +=，则原式22(2)121(1)x x x x x =++=++=+．再将“x ”还原为“22a a +”即可．解题过程如下：解：设22a a x +=，则原式()21x x =++（第一步）221x x =++（第二步）2(1)x =+（第三步）()2221a a +=+（第四步）．问题：(1)①该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果；②请你模仿以上方法尝试对多项式()()2244816a a a a −−++进行因式分解；(2)请你模仿以上方法尝试计算：(1232023)(232024)(1232024)(232023)−−−−⨯+++−−−−−⨯+++．【答案】(1)①该同学没有完成因式分解；最后的结果为4(1)a +；②4(2)a −(2)2024【分析】本题考查公式法分解因式，理解整体思想是解决问题的前提，掌握完全平方公式的结构特征和必要的恒等变形是正确解答的关键．（1）①根据因式分解的意义进行判断，再利用完全平方公式分解因式即可；②利用换元法进行因式分解即可；（2）设1232023a =−−−−，232024x =+++，则原式(2024)(2024)ax a x =−−−，整体代入计算即可．【详解】（1）①该同学没有完成因式分解；设22a a x +=，则原式()21x x =++（第一步）221x x =++（第二步）2(1)x =+（第三步）()2221a a +=+（第四步）22(1)a =+⎡⎤⎣⎦4(1)a =+．∴最后的结果为4(1)a +．②设24a a x −=，原式(8)16x x =++2816x x =++．2()4x =+()2244a a =−+4()2a =−；（2）设1232023a =−−−−，232024x =+++，则123202320242024,2320232024a x −−−−−=−+++=−， 120242025a x +=+=，原式(2024)(2024)ax a x =−−−22024()2024ax ax a x =−++−2202420252024=⨯−22024(20241)2024=⨯+−22202420242024=+−2024=．6．（1）若100799611A =⨯⨯，119951008B =⨯⨯，求A B −；（2）证明5799449999⨯+⨯−能被100整除．【答案】（1）132；（2）证明见解析【分析】（1）先提取公因数11，再把1007996⨯化成()()1001.5 5.51001.5 5.5+⨯−，把9951008⨯化成()()1001.5 6.51001.5 6.5+⨯−，进而利用平方差公式进行求解即可；（2）把原式提取公因式99，进而得579944999999100⨯+⨯−=⨯，由此即可证明结论．【详解】解：（1）∵100799611A =⨯⨯，119951008B =⨯⨯，∴A B −100799611119951008=⨯⨯−⨯⨯()()()()111001.5 5.51001.5 5.51001.5 6.51001.5 6.5=⨯+⨯−−+⨯−⎡⎤⎣⎦()()2222111001.5 5.51001.5 6.5⎡⎤=⨯−−+⎣⎦()()11 6.5 5.5 6.5 5.5=⨯+⨯−11121=⨯⨯132=；（2）5799449999⨯+⨯−()9957441=⨯+−99100=⨯，∵99100⨯能被100整除，∴5799449999⨯+⨯−能被100整除．【点睛】本题主要考查了因式分解在有理数简便计算中的应用，熟知因式分解的方法是解题的关键．7．阅读下列材料，解决问题：我们把一个能被17整除的自然数称为“节俭数”．“节俭数”的特征是：若把一个自然数的个位数字截去，再把剩下的数减去截去的那个个位数字的5倍，如果差是17的整数倍（包括0），则原数能被17整除，如果差太大或心算不易看出是否是17的倍数，就继续上述的“截尾，倍尾，差尾，验差”的过程，直到能方便判断为止．例如：判断1675282是不是“节俭数”，判断过程：16752825167518−⨯=，167518516711−⨯=，1671151666−⨯=，16665136−⨯=，到这里如果你仍然观察不出来，就继续136517−⨯=−，17−是17的整数倍，所以1675282能被17整除，所以1675282是“节俭数”．(1)请用上述方法判断7259和2098752是否是“节俭数”，并说明理由．(2)一个五位节俭数213ab ，其中千位上的数字为b ，万位上的数字为a ，且1b a =−，请利用上面方法求出这个数．【答案】(1)7259是“节俭数”； 2098752是“节俭数”(2)54213【分析】（1）模仿例题解决问题即可；（2）模仿例题采用 “截尾，倍尾，差尾，验差”的过程，解决问题即可；【详解】（1）72595680−⨯=，680568−⨯=，68174÷=，所以7259能被17整除，是“节俭数”；20987525209865−⨯=，209865520961−⨯=，2096152091−⨯=，20915204−⨯=，2041712÷=，所以2098752能被17整除，是“节俭数”；（2）解：∴213506ab ab ⨯=−，300ab −能被17整除∴1b a =−，∴()1001013011040a a a +−−=−能被17整除∴19a ≤≤∴当1a =时，1104070−=，不能被17整除，当2a =时，22040180−=，不能被17整除，当3a =时，33040290−=，不能被17整除，当4a =时，44040400−=，不能被17整除，当5a =时，55040510−=，能被17整除，当6a =时，66040620−=，不能被17整除，当7a =时，77040730−=，不能被17整除，当8a =时，88040840−=，不能被17整除，当9a =时，99040950−=，不能被17整除，∴5a =，4b =∴这个数为54213．【点睛】本题考查了因式分解的应用，数的整除，理解题意，仿照例题的方法是解题的关键．8．观察下列等式，并回答有关问题：22123415(141)⨯⨯⨯+==⨯+222345111(251)⨯⨯⨯+==⨯+223456119(361.......)⨯⨯⨯+==⨯+(1)填空：56781⨯⨯⨯+=（________）2(2)若n 为正整数，猜想(1)(2)(3)1n n n n ++++因式分解的结果并说明理由；(3)利用（2）的结果比较991001011021⨯⨯⨯+与210100的大小．【答案】(1)41(2)22(1)(2)(3)1(31)n n n n n n ++++=++，理由见解析(3)991001011021⨯⨯⨯+210100<【分析】（1）根据式子的规律即可得出答案；（2）根据规律猜想出结果，用因式分解的方法证明即可；（3）应用（2）的结果化简即可得出答案．【详解】（1）根据规律得：256781(581)⨯⨯⨯+=⨯+，故答案为：581⨯+；（2）222(1)(2)(3)1[(3)1](31)n n n n n n n n ++++=++=++，理由：(1)(2)(3)1n n n n ++++[(3)][(1)(2)]1n n n n =++++22(3)(32)1n n n n =++++222(3)2(3)1n n n n =++++22(31)n n =++；（3）991001011021⨯⨯⨯+22(993991)=+⨯+2(98012971)=++221009910100<=．【点睛】本题考查了规律型−数字的变化类，体现了整体思想，把23n n +看作整体是解题的关键．9．（1）因式分解：①2249a b −②221218x x −+（2）利用因式分解进行简便计算：221.2351 1.2349⨯−⨯【答案】（1）①()()2323a b a b +−；②()223x −；（2）246【分析】（1）①利用平方差公式进行因式分解；②先提取公因式2，再用完全平方公式进行因式分解；（2）先提取公因式1.23，再用平方差公式进行因式分解即可求值．【详解】解：（1）①()()22223934a a b b b a −=+−； ②()()2222121826923x x x x x −+=−+=−；（2）221.2351 1.2349⨯−⨯()2251.14923=⨯−()()1.2351495149=⨯+⨯− 1.231002=⨯⨯246=．【点睛】本题考查了因式分解及因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解决本题的关键．10．（1）按下表已填的完成表中的空白处代数式的值： 2()a b −222a ab b −+ 2a =，1b = 11a =−，3b = 462a =−，=5b −（2）比较两代数式计算结果，请写出你发现的2()a b −与222a ab b −+有什么关系？（3）利用你发现的结论，求：222021404220202020−⨯+的值．【答案】（1）见解析；（2）()2222a b a ab b −=−+；（3）1 【分析】（1）把每组,a b 的值分别代入2()a b −与222a ab b −+进行计算，再填表即可；（2）观察计算结果，再归纳出结论即可；（3）利用结论()2222a b a ab b −=−+可得2021,2020,a b == 再代入进行简便运算即可.【详解】解：（1）填表如下： 2()a b −222a ab b −+ 2a =，1b =1 1 1a =−，3b = 16 162a =−，=5b − 9 9（2）观察上表的计算结果归纳可得：()2222a b a ab b −=−+（3）222021404220202020−⨯+ =2220212202120202020−⨯⨯+=()220212020−=1【点睛】本题考查的是代数式的求值，运算规律的探究，完全平方公式的应用，熟练的利用完全平方公式进行简便运算是解本题的关键.【压轴题型四十字相乘法】1．已知甲、乙、丙均为x 的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为29x −，乙与丙相乘的积为26x x +−，则甲与丙相减的结果是( ) A ．5− B ．5 C ．1 D ．1−【答案】D【分析】此题考查了十字相乘法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．把题中的积分解因式后，确定出各自的整式，相减即可．【详解】解：∵甲与乙相乘的积为29(3)(3)x x x −=+−，乙与丙相乘的积为()262(3)x x x x +−=−+，甲、乙、丙均为x 的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数， ∴甲为3x −，乙为3x +，丙为2x -，则甲与丙相减的差为：()(3)21x x −−−=−；故选：D2．如果多项式432237x x ax x b −+++能被22x x +−整除，那么:a b 的值是（） A ． 2− B ． 3−C ．3D ．6【答案】A 【分析】由于()()2221+−=+−x x x x ，而多项式432237x x ax x b −+++能被22x x +−整除，则432237x x ax x b −+++能被()()21x x +−整除．运用待定系数法，可设商是A ，则()()43223721x x ax x b A x x −+++=+−，则2x =−和1x =时，4322370x x ax x b −+++=，分别代入，得到关于a 、b 的二元一次方程组，解此方程组，求出a 、b 的值，进而得到:a b 的值. 【详解】解：∵()()2221+−=+−x x x x ，∴432237x x ax x b −+++能被()()21x x +−整除，设商是A ．则()()43223721x x ax x b A x x −+++=+−，则2x =−和1x =时，右边都等于0，所以左边也等于0．当2x =−时，43223732244144420x x ax x b a b a b −+++=++−+=++= ①当1x =时，43223723760x x ax x b a b a b −+++=−+++=++= ②−①②，得3360a +=，∴12a =−， ∴66b a =−−=． ∴:12:62a b =−=−，故选：A ．【点睛】本题主要考查了待定系数法在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程（或方程组），解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．本题关键是能够通过分析得出2x =−和1x =时，原多项式的值均为0，从而求出a 、b 的值．本题属于竞赛题型，有一定难度．3．已知()()20192016100x x −−+=，则40352x −的值为．【答案】7±【分析】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是熟练掌握用十字相乘法进行因式分解，将()()20192016100x x −−+=变形后再因式分解为()()20165201620x x −−−+=，求出x 的值，再代入求值即可．【详解】解：()()20192016100x x −−+=，()()2019201610x x −−=−， ()()2019201610x x −−=， ()()20163201610x x −−−=，()()2201632016100x x −−−−=，()()20165201620x x −−−+=， ()()202120140x x −−=，解得：2021x =或2014x =，当2021x =时，原式4035220217=−⨯=−，当2014x =时，原式4035220147=−⨯=，故答案为：7±4．有甲、乙、丙三种纸片若干张（数据如图，a b >）．（1）若用这三种纸片紧密拼接成一个边长为()2a b +大正方形，则需要取乙纸片张，丙纸片张．（2）若取甲纸片1张，乙纸片3张，丙纸片2张紧密拼成一个长方形，则这个长方形的长为，宽为．【答案】 4 1()2a b +/()2b a + ()a b +/()b a + 【分析】（1）根据正方形的面积得出()222244a b a ab b +=++，即可求解；（2）根据题意长方形的面积为()()22322a ab b a b a b ++=++，结合题意，即可求解．【详解】解：（1）∵()222244a b a ab b +=++∴需要取乙纸片4张，丙纸片1张故答案为：4，1．（2）依题意，()()22322a ab b a b a b ++=++，∴这个长方形的长为()2a b +，宽为()a b +，故答案为：()2a b +，()a b +．【点睛】本题考查了完全平方公式与图形面积，因式分解的应用，数形结合是解题的关键． 5．根据以下素材，完成下列任务：素材1在因式分解习题课上，赵老师“随便”写了几个整系数二次三项式，让同学们因式分解，结果小王发现同学们都能在有理数范围内分解，小王也想试一试，就随便写了两个二次三项式∶243x x ++，2414x x −−让同学们因式分解，结果发现有一个不能因式分解，这到底为什么呢？。

北师大版八年级下册数学压轴题专题

1小敏思考解决如下问题：原题：如图1，点P，Q分别在菱形ABCD的边BC，CD上，∠PAQ=∠B，求证：AP=AQ．（1）小敏进行探索，若将点P，Q的位置特殊化；把∠PAQ绕点A旋转得到∠EAF，使AE⊥BC，点E，F分别在边BC，CD上，如图2．此时她证明了AE=AF，请你证明．（2）受以上（1）的启发，在原题中，添加辅助线：如图3，作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F．请你继续完成原题的证明．（3）如果在原题中添加条件：AB=4，∠B=60°，如图1，请你编制一个计算题（不标注新的字母），并直接给出答案（根据编出的问题层次，给不同的得分）．方法：（1）________________________________________________________（2）________________________________________________________（3）________________________________________________________1（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠B+∠C=180°，∠B=∠D，AB=AD，∵∠EAF=∠B，∴∠EAF+∠C=180°，∴∠AEC+∠AFC=180°，∵AE⊥BC，∴AF⊥CD，在△AEB和△AFD中，，∴△AEB≌△AFD，∴AE=AF；（2）证明：由（1）得，∠PAQ=∠EAF=∠B，AE=AF，∴∠EAP=∠FAQ，在△AEP和△AFQ中，，∴△AEP≌△AFQ，∴AP=AQ；（3）解：已知：AB=4，∠B=60°，求四边形APCQ的面积，解：连接AC、BD交于O，∵∠ABC=60°，BA=BC，∴△ABC为等边三角形，∵AE⊥BC，∴BE=EC，同理，CF=FD，∴四边形AECF的面积=×四边形ABCD的面积，由（2）得，四边形APCQ的面积=四边形AECF的面积，OA=AB=2，OB=AB=2，∴四边形ABCD的面积=×2×2×4=8，∴四边形APCQ的面积=4．2问题：如图①，在Rt△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为；探索：如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB=AC，AD=AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；应用：如图③，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°．若BD=9，CD=3，求AD的长．方法：（1）________________________________________________________（2）________________________________________________________（3）________________________________________________________2解：（1）BC=DC+EC，理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE，∴BD=CE，∴BC=BD+CD=EC+CD，（2）BD2+CD2=2AD2，理由如下：连接CE，由（1）得，△BAD≌△CAE，∴BD=CE，∠ACE=∠B，∴∠DCE=90°，∴CE2+CD2=ED2，在Rt△ADE中，AD2+AE2=ED2，又AD=AE，∴BD2+CD2=2AD2；（3）作AE⊥AD，使AE=AD，连接CE，DE，∵∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAD′，在△BAD与△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=CE=9，∵∠ADC=45°，∠EDA=45°，∴∠EDC=90°，∴DE==6，∵∠DAE=90°，∴AD=AE=DE=6．3如图1，点E是正方形ABCD边CD上任意一点，以DE为边作正方形DEFG，连接BF，点M是线段BF中点，射线EM与BC交于点H，连接CM．（1）请直接写出CM和EM的数量关系和位置关系；（2）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转45°，此时点F恰好落在线段CD上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由；（3）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转90°，此时点E、G恰好分别落在线段AD、CD上，如图3，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．方法：（1）________________________________________________________（2）________________________________________________________（3）________________________________________________________ _________________________________________________3解：（1）如图1，结论：CM=EM，CM⊥EM．理由：∵AD∥EF，AD∥BC，∴BC∥EF，∴∠EFM=∠HBM，在△FME和△BMH中，，∴△FME≌△BMH，∴HM=EM，EF=BH，∵CD=BC，∴CE=CH，∵∠HCE=90°，HM=EM，∴CM=ME，CM⊥EM．（2）如图2，连接BE，∵四边形ABCD和四边形EDGF是正方形，∴∠FDE=45°，∠CBD=45°，∴点B、E、D在同一条直线上，∵∠BCF=90°，∠BEF=90°，M为AF的中点，∴CM=AF，EM=AF，∴CM=ME，∵∠EFD=45°，∴∠EFC=135°，∵CM=FM=ME，∴∠MCF=∠MFC，∠MFE=∠MEF，∴∠MCF+∠MEF=135°∴∠CME=360°﹣135°﹣135°=90°，∴CM⊥ME．（3）如图3，连接DF，MG，作MN⊥CD于N，在△EDM和△GDM中，，∴△EDM≌△GDM，∴ME=MG，∠MED=∠MGD，∵M为BF的中点，FG∥MN∥BC，∴GN=NC，又MN⊥CD，∴MC=MG，∴MD=ME，∠MCG=∠MGC，∵∠MGC+∠MGD=180°，∴∠MCG+∠MED=180°，∴∠CME+∠CDE=180°，∵∠CDE=90°，∴∠CME=90°，∴（1）中的结论成立．4（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，在△ABC 的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN．小明发现了：线段GM与GN的数量关系是MG=NG；位置关系是MG⊥NG．（2）类比思考：如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中AB＞AC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由．（3）深入研究：如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其它条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明．4解：（1）连接BE，CD相交于H，∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°∴∠CAD=∠BAE，∴△ACD≌△AEB（SAS），∴CD=BE，∠ADC=∠ABE，∴∠BDC+∠DBH=∠BDC+∠ABD+∠ABE=∠BDC+∠ABD+∠ADC=∠ADB+∠ABD=90°，∴∠BHD=90°，∴CD⊥BE，∵点M，G分别是BD，BC的中点，∴MG CD，同理：NG BE，∴MG=NG，MG⊥NG，故答案为：MG=NG，MG⊥NG；（2）连接CD，BE相交于点H，同（1）的方法得，MG=NG，MG⊥NG；（3）连接EB，DC，延长线相交于H，同（1）的方法得，MG=NG，同（1）的方法得，△ABE≌△ADC，∴∠AEB=∠ACD，∴∠CEH+∠ECH=∠AEH﹣∠AEC+180°﹣∠ACD﹣∠ACE=∠ACD﹣45°+180°﹣∠ACD﹣45°=90°，∴∠DHE=90°，同（1）的方法得，MG⊥NG．5将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），得到矩形AEFG．（1）如图，当点E在BD上时．求证：FD=CD；（2）当α为何值时，GC=GB？画出图形，并说明理由．【分析】（1）先运用SAS判定△AEG≌Rt△FDG，可得DF=AE，再根据AE=AB=CD，即可得出CD=DF；（2）当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论，依据∠DAG=60°，即可得到旋转角α的度数．【解答】解：（1）由旋转可得，AE=AB，∠AEF=∠ABC=∠DAB=90°，EF=BC=AD，∴∠AEB=∠ABE，又∵∠ABE+∠GDE=90°=∠AEB+∠DEG，∴∠EDG=∠DEG，∴DG=EG，∴FG=AG，又∵∠DGF=∠EGA，∴△AEG≌Rt△FDG（SAS），∴DF=AE，又∵AE=AB=CD，∴CD=DF；（2）如图，当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论：①当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M，∵GC=GB，∴GH⊥BC，∴四边形ABHM是矩形，∴AM=BH=AD=AG，∴GM垂直平分AD，∴GD=GA=DA，∴△ADG是等边三角形，∴∠DAG=60°，∴旋转角α=60°；②当点G在AD左侧时，同理可得△ADG是等边三角形，∴∠DAG=60°，∴旋转角α=360°﹣60°=300°．6如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F．（1）求证：四边形BCFD为平行四边形；（2）若AB=6，求平行四边形BCFD的面积．【分析】（1）在Rt△ABC中，E为AB的中点，则CE=AB，BE=AB，得到∠BCE=∠EBC=60°．由△AEF≌△BEC，得∠AFE=∠BCE=60°．又∠D=60°，得∠AFE=∠D=60度．所以FC∥BD，又因为∠BAD=∠ABC=60°，所以AD∥BC，即FD∥BC，则四边形BCFD是平行四边形．（2）在Rt△ABC中，求出BC，AC即可解决问题；【解答】（1）证明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴∠ABC=60°．在等边△ABD中，∠BAD=60°，∴∠BAD=∠ABC=60°．∵E为AB的中点，∴AE=BE．又∵∠AEF=∠BEC，∴△AEF≌△BEC．在△ABC中，∠ACB=90°，E为AB的中点，∴CE=AB，BE=AB∴CE=AE，∴∠EAC=∠ECA=30°，∴∠BCE=∠EBC=60°．又∵△AEF≌△BEC，∴∠AFE=∠BCE=60°．又∵∠D=60°，∴∠AFE=∠D=60°．∴FC∥BD．又∵∠BAD=∠ABC=60°，∴AD∥BC，即FD∥BC．∴四边形BCFD是平行四边形．（2）解：在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，AB=6，∴BC=AB=3，AC=BC=3，=3×=9．∴S平行四边形BCFD。

北师大版八年级下册数学期末压轴题精选(真题)

北师大版八年级下册数学期末压轴题精选(真题)1.在平面直角坐标系中，点B的坐标为(-2,0)，点A在y 轴正方向上，且∠BAO=30∘。

现将△BAO顺时针绕点O旋转90∘至△DCO，直线l是线段BC的垂直平分线，点P是l上的一个动点，则PA+PB的最小值为( )答案：C.2√3+12.将矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的点B'处，若矩形的面积为16√3，AE=B'D，∠EFB=60∘，则线段DE的长度是( )答案：无法确定，缺少信息。

3.如图的螺旋形由一系列含30∘的直角三角形组成，其序号依次为①、②、③、④、⑤⋯，则第6个直角三角形的斜边长为．答案：无法确定，缺少信息。

4.过边长为2的等边△XXX的边AB上点P作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长度为．答案：√3-15.在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△ABC1的位置，点B，O分别落在点B1，C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△AA1B2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去⋯，若点A(3,0)，B(0,4)，则点B100的坐标为．答案：(-100,196)6.在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，AB=BC=2√2，将△ABC绕点A逆时针旋转60∘，得到△ADE，连接BE，则BE的长度是()．答案：2√37.在长方形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm．E、F分别是AB、BC的中点．则E到DF的距离是cm．答案：28.由边长为1cm正方形组成的6×5的方格阵，点O、A、B、P都在格点上〔即行和列的交点处），M、N分别是0A、OB上的动点，则△PMN周长的最小值是（）答案：29.在△ABC中，AB=5，AC=13，BC边上的中线AD=6，则BC的长度为（）答案：1210.AC是平行四边形ABCD的对角线，将平行四边形ABCD折叠，使得点A与点C重合，再将其打开展平，得折痕MN，若MN=3，则AC的长度为（）答案：611.如图，正方形ABCD中，点E、F分别在AB、BC边上，且AE=CF，连接AF、CE，交于点G，若AG的长度为2，则正方形ABCD的面积为（）答案：81.在图中，EF与AC交于点O，G为CF的中点，连接OG、XXX。

专题12 多边形的内角与外角和【2022春北师大版八下数学压轴题突破专练】(解析版)

【2022春北师大版八下数学压轴题突破专练】专题12 多边形的内角与外角和一．选择题1．（2021秋•黄石期末）将一长方形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是（）A．360°B．540°C．720°D．730°【思路引导】根据多边形的内角和公式解决此题．【完整解答】解：设将一长方形纸片沿一条直线剪成两个多边形的边数分别为x、y．∴这两个多边形的内角和之和为180°（x﹣2）+180°（y﹣2）＝180°（x+y﹣4）．∴180°整除这两个多边形的内角和之和．∵360°＝180°×2，540°＝180×3，720°＝180°×4，180°不整除730°，∴这两个多边形的内角和之和不可能是730°．故选：D．2．（2021•连州市模拟）六角螺母的横截面是正六边形，这个正六边形的内角为（）A．100°B．120°C．60°D．90°【思路引导】根据多边形的外角和等于360°解答即可．【完整解答】解：∵这个正六边形的外角和等于360°，∴每个外角＝360°÷6＝60°．∴故这个正六边形的每一个内角的度数为＝180°﹣60°＝120°．故选：B．3．（2021秋•赞皇县期中）一个多边形每个外角都等于36°，则从这个多边形的某个顶点画对角线，最多可以画出几条（）A．7条B．8条C．9条D．10条【思路引导】若要确定从这个多边形的某个顶点画对角线的条数，需确定该多边形的边数．由一个多边形每个外角都等于36°，得这个多边形的边数为10，从而解决此题．【完整解答】解：∵此多边形每个外角都等于36°，∴该多边形的边数为＝10．∴从这个多边形的某个顶点能画的对角线的条数为10﹣3＝7（条）．故选：A．4．（2021•株洲）如图所示，在正六边形ABCDEF内，以AB为边作正五边形ABGHI，则∠FAI ＝（）A．10°B．12°C．14°D．15°【思路引导】分别求出正六边形，正五边形的内角可得结论．【完整解答】解：在正六边形ABCDEF内，正五边形ABGHI中，∠FAB＝120°，∠IAB＝108°，∴∠FAI＝∠FAB﹣∠IAB＝120°﹣108°＝12°，故选：B．5．（2021•黄埔区二模）如图，小明从A点出发，沿直线前进6米后向左转45°，再沿直线前进6米，又向左转45°…照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（）米．A．60 B．72 C．48 D．36【思路引导】根据多边形的外角和即可求出答案．【完整解答】解：根据题意可知，他需要转360÷45＝8次才会回到原点，所以一共走了8×6＝48（米）．故选：C．6．（2019秋•猇亭区校级期中）如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C＝210°，则∠P＝（）A．10°B．15°C．30°D．40°【思路引导】利用四边形内角和是360°可以求得∠DAB+∠ABC＝150°．然后由角平分线的性质，邻补角的定义求得∠PAB+∠ABP的度数，所以根据△ABP的内角和定理求得∠P 的度数即可．【完整解答】解：如图，∵∠D+∠C＝210°，∠DAB+∠ABC+∠C+∠D＝360°，∴∠DAB+∠ABC＝150°．又∵∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，∴∠PAB+∠ABP＝∠DAB+∠ABC+（180°﹣∠ABC）＝90°+（∠DAB+∠ABC）＝165°，∴∠P＝180°﹣（∠PAB+∠ABP）＝15°．故选：B．7．（2021•昆明模拟）如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC等于（）A．30°B．35°C．45°D．60°【思路引导】利用全等三角形的性质和正六边形的定义可判断六边形花环为正六边形，根据多边形的内角和定理可计算出∠ABD＝120°，然后把∠ABD减去90°得到∠ABC的度数．【完整解答】解：如图，∵六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，∴六边形花环为正六边形，∴∠ABD＝＝120°，而∠CBD＝∠BAC＝90°，∴∠ABC＝120°﹣90°＝30°．故选：A．二．填空题8．（2021秋•德城区期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠ABD＝68°，则∠CAD的度数是22°．【思路引导】通过证明点A，点B，点C，点D四点共圆，可得∠ABD＝∠ACD＝72°，由直角三角形的性质可求解．【完整解答】解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴点A，点B，点C，点D四点共圆，∴∠ABD＝∠ACD＝68°，∴∠CAD＝90°﹣∠ACD＝22°，故答案为：22°．9．（2021秋•大洼区期末）如图，小亮从A点出发，沿直线前进10m向左转30°再沿直线前进10m，又向左转30°，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了120 m．【思路引导】根据题意，小亮走过的路程是正多边形，先用360°除以30°求出边数，然后再乘以10m即可．【完整解答】解：∵小亮每次都是沿直线前进10m后向左转30度，∴他走过的图形是正多边形，∴边数n＝360°÷30°＝12，∴他第一次回到出发点A时，一共走了12×10＝120m．故答案为：120．10．（2021•城固县二模）如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、BD交于点O，则∠AOD的度数为108°．【思路引导】由∠BOC与∠AOD是对顶角，欲求∠AOD，可求∠BOC．由五边形ABCDE是正五边形，得AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝108°，那么∠CBD＝∠CDB，∠CBD+∠CDB＝72°，故∠CBD＝∠CDB＝36°．同理可得∠BCA＝∠BAC＝36°，根据三角形内角和定理求得∠BOC＝180°﹣∠DBC﹣∠BCA＝108°．【完整解答】解法1：∵五边形ABCDE是正五边形，∴AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝180°﹣＝108°．∴∠CBD＝∠CDB，∠CBD+∠CDB＝180°﹣108°＝72°．∴∠CBD＝∠CDB＝36°．同理可得：∠BCA＝∠BAC＝36°．∴∠BOC＝180°﹣∠DBC﹣∠BCA＝180°﹣36°﹣36°＝108°．∵∠BOC与∠AOD是对顶角，∴∠BOC＝∠AOD＝108°．故答案为：108°．解法2：∵五边形ABCDE是正五边形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠E＝108°．∴∠BCA＝∠BAC＝＝36°．∴∠ACD＝∠BCD﹣∠BCA＝72°．∴∠ACD+∠CDE＝180°．∴AC∥DE．同理可得：BD∥AE．∴四边形AODE是平行四边形．∴∠AOD＝∠E＝108°．故答案为：108°．11．（2021•济南）如图，正方形AMNP的边AM在正五边形ABCDE的边AB上，则∠PAE＝18°．【思路引导】根据多边形内角和公式，计算出正五边形ABCDE中，∠EAB＝＝108°，正方形AMNP中，∠PAM＝90°，∠PAE＝∠EAB﹣∠PAM即可．【完整解答】解：∵五边形ABCDE为正五边形，∴∠EAB＝＝108°，∵四边形AMNP为正方形，∴∠PAM＝90°，∴∠PAE＝∠EAB﹣∠PAM＝108°﹣90°＝18°．故答案为：18°．12．（2021春•安徽期末）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1260°，则原多边形的边数是为8或9或10．．【思路引导】根据多边形内角和公式求出截去一角后的多边形边数，再根据截去一角后多边形的边数变化情况求解．【完整解答】解：设截去一个角后，多边形的边数为n，由题意得（n﹣2）×180°＝1260°，解得n＝9．因为多边形截去一角后边数可能不变，可能增加1，可能减小1，∴原多边形可能为8或9或10．故答案为：8或9或10．13．外角和等于内角和的多边形一定是四边形．对．（判断对错）【思路引导】任意多边形的外角和为360°，然后依据多边形的内角和公式求得多边形的边数，从而可作出判断．【完整解答】解：设多边形的边数为n．根据题意得：（n﹣2）×180°＝360°．解得：n＝4．所以该多边形为四边形．故答案为：对．14．如果一个多边形的内角和等于1800°，则这个多边形是十二边形；如果一个n边形每一个内角都是135°，则n＝8 ；如果一个n边形每一个外角都是36°，则n＝10 ．【思路引导】n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．【完整解答】解：这个正多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°＝1800°，解得：n＝12，则这个正多边形是12．如果一个n边形每一个内角都是135°，∴每一个外角＝45°，则n＝＝8，如果一个n边形每一个外角都是36°，则n＝＝10，故答案为：十二，8，10．15．（2021•温州开学）如图，∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE的3个外角，若∠A+∠B＝240°，则∠1+∠2+∠3＝240°．【思路引导】延长EA、AB构造外角∠4、∠5，根据一个顶点上的外角和内角的关系与多边形的外角和，计算得结论．【完整解答】解：如图，延长EA、AB．∵∠EAB+∠4+∠ABC+∠5＝360°，又∵∠EAB+∠ABC＝240°，∴∠4+∠5＝120°．∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°，∴∠1+∠2+∠3＝240°．故答案为：240°．三．解答题16．（2021秋•通榆县期末）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍还多180°，那么这个多边形的边数是多少？【思路引导】多边形的内角和比外角和的3倍多180°，而多边形的外角和是360°，则内角和是1260度．n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．【完整解答】解：设这个多边形的边数为n，根据题意，得（n﹣2）•180＝360×3+180，解得：n＝9．则这个多边形的边数是9．17．（2021春•淅川县期末）将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在点A'处【感知】如图①，点A落在四边形BCDE的边BE上，则∠A与∠1之间的数量关系是∠1＝2∠A；【探究】如图②，若点A落在四边形BCDE的内部，则∠A与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由．【拓展】如图③，点A落在四边形BCDE的外部，若∠1＝80°，∠2＝24°，则∠A的大小为28°．【思路引导】（1）运用折叠原理及三角形的外角性质即可解决问题．（2）运用折叠原理及四边形的内角和定理即可解决问题（3）运用三角形的外角性质即可解决问题．【完整解答】解：（1）如图①，∠1＝2∠A．理由如下：由折叠知识可得：∠EA′D＝∠A；∵∠1＝∠A+∠EA′D，∴∠1＝2∠A．（2）如图②，2∠A＝∠1+∠2．理由如下：∵∠1+∠A′DA+∠2+∠A′EA＝360°，∠A+∠A′+∠A′DA+∠A′EA＝360°，∴∠A′+∠A＝∠1+∠2，由折叠知识可得：∠A＝∠A′，∴2∠A＝∠1+∠2．（3）如图③，∵∠1＝∠DFA+∠A，∠DFA＝∠A′+∠2，∴∠1＝∠A+∠A′+∠2＝2∠A+∠2，∴2∠A＝∠1﹣∠2＝56°，解得∠A＝28°．故答案为：∠1＝2∠A；28°．18．（2021秋•新罗区校级月考）一个多边形中，每个内角都相等，并且每个外角都等于它的相邻内角的，求这个多边形的边数及内角和？【思路引导】根据题意得出内角的度数，进而得出边长，即可得出答案．【完整解答】解：设这个多边形的一个外角的度数为x，由x＝（180°﹣x）解得：x＝36°，360÷36＝10，（10﹣2）×180°＝1440°，此多边形为十边形，内角和为1440°．19．（2021春•太康县期末）在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的3倍还大20°，（1）求这个多边形的边数；（2）若将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是多少？【思路引导】（1）设多边形的一个外角为α，则与其相邻的内角等于3α+20°，根据内角与其相邻的外角的和是180度列出方程，求出α的值，再由多边形的外角和为360°，求出此多边形的边数为360°÷α；（2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变．根据多边形的内角和定理可以知道，边数增加1，相应内角和就增加180度，由此即可求出答案．【完整解答】解：（1）设多边形的一个外角为α，则与其相邻的内角等于3α+20°，由题意，得（3α+20）+α＝180°，解得α＝40°．即多边形的每个外角为40°．又∵多边形的外角和为360°，∴多边形的外角个数＝＝9．∴多边形的边数＝9，答：这个多边形的边数是9；（2）因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，当截线为经过对角2个顶点的直线时，多边形的边数减少了1条边，内角和＝（9﹣2﹣1）×180°＝1080°；当截线为经过多边形一组对边的直线时，多边形的边数不变，内角和＝（9﹣2）×180°＝1260°；当截线为只经过多边形一组邻边的一条直线时，多边形的边数增加一条边，内角和＝（9﹣2+1）×180°＝1440°．答：将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是1080°或1260°或1440°．20．（2021秋•连城县期中）一个多边形的内角和是外角和的3倍，它是几边形？（要求：列方程解，要有解题过程）【思路引导】根据多边形的内角和公式与外角和定理列出方程，然后求解即可．【完整解答】解：设这个多边形是n边形，则根据题意，得：（n﹣2）•180°＝3×360°，解得n＝8，答：这个多边形是八边形；21．（2021秋•上杭县期中）如图，四边形ABCD的内角∠BAD、∠CDA的角平分线交于点E，∠ABC、∠BCD的角平分线交于点F．（1）若∠F＝70°，则∠ABC+∠BCD＝220 °；∠E＝110 °；（2）探索∠E与∠F有怎样的数量关系，并说明理由；（3）给四边形ABCD添加一个条件，使得∠E＝∠F，所添加的条件为AB∥CD．【思路引导】（1）先根据三角形内角和定理求出∠FBC+∠BCF＝180°﹣∠F＝110°，再由角平分线定义得出∠ABC＝2∠FBC，∠BCD＝2∠BCF，那么∠ABC+∠BCD＝2∠FBC+2∠BCF ＝2（∠FBC+∠BCF）＝220°；由四边形ABCD的内角和为360°，得出∠BAD+∠CDA＝360°﹣（∠ABC+∠BCD）＝140°．由角平分线定义得出∠DAE＝∠BAD，∠ADE＝∠CDA，那么∠DAE+∠ADE＝∠BAD+∠CDA＝（∠BAD+∠CDA）＝70°，然后根据三角形内角和定理求出∠E＝180°﹣（∠DAE+∠ADE）＝110°；（2）由四边形ABCD的内角和为360°得到∠BAD+∠CDA+∠ABC+∠BCD＝360°，由角平分线定义得出∠DAE+∠ADE+∠FBC+∠BCF＝180°，又根据三角形内角和定理有∠DAE+∠ADE+∠E＝180°，∠FBC+∠BCF+∠F＝180°，那么∠DAE+∠ADE+∠E+∠FBC+∠BCF+∠F＝360°，于是∠E+∠F＝360°﹣（∠DAE+∠ADE+∠FBC+∠BCF）＝180°；（3）由（2）可知∠E+∠F＝180°，如果∠E＝∠F，那么可以求出∠E＝∠F＝90°，根据三角形内角和定理求出∠DAE+∠ADE＝90°，再利用角平分线定义得到∠BAD+∠CDA＝180°，于是AB∥CD．【完整解答】解：（1）∵∠F＝70，∴∠FBC+∠BCF＝180°﹣∠F＝110°．∵∠ABC、∠BCD的角平分线交于点F，∴∠ABC＝2∠FBC，∠BCD＝2∠BCF，∴∠ABC+∠BCD＝2∠FBC+2∠BCF＝2（∠FBC+∠BCF）＝220°；∵四边形ABCD的内角和为360°，∴∠BAD+∠CDA＝360°﹣（∠ABC+∠BCD）＝140°．∵四边形ABCD的内角∠BAD、∠CDA的角平分线交于点E，∴∠DAE＝∠BAD，∠ADE＝∠CDA，∴∠DAE+∠ADE＝∠BAD+∠CDA＝（∠BAD+∠CDA）＝70°，∴∠E＝180°﹣（∠DAE+∠ADE）＝110°；（2）∠E+∠F＝180°．理由如下：∵∠BAD+∠CDA+∠ABC+∠BCD＝360°，∵四边形ABCD的内角∠BAD、∠CDA的角平分线交于点E，∠ABC、∠BCD的角平分线交于点F，∴∠DAE+∠ADE+∠FBC+∠BCF＝180°，∵∠DAE+∠ADE+∠E＝180°，∠FBC+∠BCF+∠F＝180°，∴∠DAE+∠ADE+∠E+∠FBC+∠BCF+∠F＝360°，∴∠E+∠F＝360°﹣（∠DAE+∠ADE+∠FBC+∠BCF）＝180°；（3）AB∥CD．故答案为220°；110°；AB∥CD．22．（2021秋•太和县校级月考）（1）如图①②，试研究其中∠1、∠2与∠3、∠4之间的数量关系；（2）如果我们把∠1、∠2称为四边形的外角，那么请你用文字描述上述的关系式；（3）用你发现的结论解决下列问题：如图③，AE、DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD、∠MDA的平分线，∠B+∠C＝240°，求∠E的度数．【思路引导】（1）根据四边形的内角和等于360°用∠5+∠6表示出∠3+∠4，再根据平角的定义用∠5+∠6表示出∠1+∠2，即可得解；（2）从外角的定义考虑解答；（3）根据（1）的结论求出∠MDA+∠NAD，再根据角平分线的定义求出∠ADE+∠DAE，然后利用三角形的内角和定理列式进行计算即可得解．【完整解答】（1）解：∵∠3、∠4、∠5、∠6是四边形的四个内角，∴∠3+∠4+∠5+∠6＝360°，∴∠3+∠4＝360°﹣（∠5+∠6），∵∠1+∠5＝180°，∠2+∠6＝180°，∴∠1+∠2＝360°﹣（∠5+∠6），∴∠1+∠2＝∠3+∠4；（2）答：四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和；（3）解：∵∠B+∠C＝240°，∴∠MDA+∠NAD＝240°，∵AE、DE分别是∠NAD、∠MDA的平分线，∴∠ADE＝∠MDA，∠DAE＝∠NAD，∴∠ADE+∠DAE＝（∠MDA+∠NAD）＝×240°＝120°，∴∠E＝180°﹣（∠ADE+∠DAE）＝180°﹣120°＝60°．23．（2020秋•上杭县校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，且∠D+∠C＝220°，求∠AOB的度数．【思路引导】首先根据四边形内角和为360度计算出∠DAB+∠ABC＝360°﹣220°＝140°，再根据∠1＝∠2，∠3＝∠4计算出∠2+∠3＝70°，然后利用三角形内角和为180度计算出∠AOB的度数．【完整解答】解：∵∠D+∠C+∠DAB+∠ABC＝360°，∠D+∠C＝220°，∴∠DAB+∠ABC＝360°﹣220°＝140°，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠2+∠3＝70°，∴∠AOB＝180°﹣70°＝110°．24．（2020秋•朝阳期中）已知n边形的内角和θ＝（n﹣2）×180°．（1）甲同学说，θ能取720°；而乙同学说，θ也能取820°，甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n，若不对，说明理由；（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x．【思路引导】（1）根据多边形内角和公式，列出方程求得θ的值，判断是否为整数即可；（2）根据题意，列出方程（n﹣2）×180°+360°＝（n+x﹣2）×180°，求得x的值即可．【完整解答】解：（1）甲对，乙不对．理由：∵当θ取720°时，720°＝（n﹣2）×180°，解得θ＝6；当θ取820°时，820°＝（n﹣2）×180°，解得θ＝；∵n为整数，∴θ不能取820°；（2）依题意得，（n﹣2）×180°+360°＝（n+x﹣2）×180°，解得x＝2．25．（2020秋•恩施市期中）从一个五边形中切去一个三角形，得到一个三角形和一个新的多边形，那么这个新的多边形的内角和等于多少度？请画图说明．【思路引导】从一个五边形中切去一个三角形，得到的可能是四边形、可能是五边形、可能是六边形．再根据多边形的内角和的公式求解．【完整解答】解：分三种情况：①若新多边形为四边形，则内角和为360°；②若新多边形为五边形，则内角和为（5﹣2）×180°＝540°；③若新多边形为六边形，则内角和为（6﹣2）×180＝720°．26．（2019春•永年区期末）如图是一个多边形，你能否用一直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足下列条件：（画出图形，把截去的部分打上阴影）①新多边形内角和比原多边形的内角和增加了180°．②新多边形的内角和与原多边形的内角和相等．③新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了180°．（2）将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为2520°，求原多边形的边数．【思路引导】（1）①过相邻两边上的点作出直线即可求解；②过一个顶点和相邻边上的点作出直线即可求解；③过相邻两边非公共顶点作出直线即可求解；（2）根据多边形的内角和公式先求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论．【完整解答】解：（1）如图所示：（2）设新多边形的边数为n，则（n﹣2）•180°＝2520°，解得n＝16，①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为15，②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为16，③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为17，故原多边形的边数可以为15，16或17。

专题03 角平分线【2022春北师大版八下数学压轴题突破专练】(解析版)

【2022春北师大版八下数学压轴题突破专练】专题03 角平分线一、选择题1．（2021八上·海曙期末）如图，CD是等腰三角形△ABC底边上的中线，BE平分∠ABC，交CD于点E，AC＝8，DE＝2，则△ BCE的面积是（）A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C【完整解答】解：过点E作EF⊥BC于F，∵AC＝BC＝8，CD是等腰三角形△ABC底边上的中线，∴CD⊥AB，∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，∴EF＝DE＝2，∴△BCE的面积＝12×BC×EF＝12×8×2=8.故答案为：C.【思路引导】过点E作EF⊥BC于F，利用等腰三角形的性质可证得CD⊥AB，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可求出EF的长；再利用三角形的面积公式可求出△BCE的面积.2．（2021八上·思南月考）ABC的两内角平分线OB、OC相交于点O，若110A∠=︒，则BOC∠=（）A ．135︒B ．140︒C ．145︒D ．150︒【答案】C 【完整解答】解：∵110A ∠=︒∴∠ABC+∠ACB=180°-70A ∠=︒∵OB 平分∠ABC，OC 平分∠ACB ∴∠OBC+∠OCB=12∠ABC+12∠ACB=12（∠ABC+∠ACB）=35° ∴BOC ∠=180°-（∠OBC+∠OCB）=145°故答案为：C.【思路引导】根据三角形内角和求出∠ABC+∠ACB 的度数，由角平分线的定义可得∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，从而得出∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB），最后根据三角形内角和可求解.3．（2022八下·三角）如图所示，在△ABC 中，D ，E 分别是BC ，AC 的中点，BF 平分∠ABC，交DE 于点F ，若BC=6，则DF 的长是（）A ．2B ．3C ．5D ．4【答案】B 【完整解答】解：∵D，E 分别是BC ，AC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，DB=12BC=3； ∴DE∥AB，∴∠ABF=∠BFD，∵ BF 平分∠ABC，∴∠ABF=∠DBF，∴∠DBF=∠BFD，∴BD=DF=3.故答案为：B.【思路引导】利用中点的定义可证得DE 是△ABC 的中位线，同时可求出DB 的长；再利用三角形的中位线定理可证得DE∥AB，利用平行线的性质和角平分线的定义去证明∠DBF=∠BFD；然后利用等角对等边，可求出DF 的长.4．（2020八上·荣县月考）如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE AB ⊥于E ，点F G 、分别是AB AC 、上的点，DF DG = ， △ADG 与△DEF 的面积分别是a 和b ()a b >，则△ADF 的面积是（）A ．a-bB ．2a b -C ．3a b -D ．2a b -【答案】D 【完整解答】解：过点D 作DH⊥AC，交于点HAD 是△的角平分线，DE AB ⊥于E ，则.DE DH =由HL 可以证明Rt ADE ≌Rt ,ADHRt DEF ≌Rt ,DHG.ADE ADH ADG DHG ADG DEF SS S S S S a b ==-=-=- 2.ADF ADE DEF S S S a b =-=-.故答案为：D.【思路引导】过点D 作DH⊥AC，交于点H ，由角平分线的性质可得DE=DH ，由HL 证Rt△ADE≌Rt△ADH，Rt△DEF≌Rt△DHG，得ADE ADG DEF S S S =-，再由ADF ADE DEF S S S =-即可求出答案.5．（2021八上·道里期末）如图，AD 是ABC 的角平分线，作AD 的垂直平分线EF 交BC的延长线于点F ，连接AF ．下列结论：①AF DF =；②::ABD ACD S S AB AC =；③BAF ACF ∠=∠；④BF AC ⊥．其中命题一定成立的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【完整解答】解：∵EF 是线段AD 的垂直平分线，∴AF=DF，故①符合题意；∴∠ADF=∠DAF，过点D 分别作DH⊥AB 于H ，DG⊥AC 于G ，∵AD 平分∠BAC，∴DH=DG，∠BAD=∠CAD ∵1=2ABD S AB DH ⋅，1=2ACD S AC DG ⋅， ∴12=12ABDACD AB DHS ABS ACAC DG ⋅=⋅，故②符合题意； ∵∠BAF=∠BAD+∠DAF，∠ACF=∠DAC+∠ADF，∴∠BAF=∠ACF，故③符合题意；∵∠BAF不一定为90°，∴∠ACF 不一定为90°，∴AF 与BC 不一定垂直，故④不符合题意，故答案为：C ．【思路引导】根据角平分线的性质、三角形的知识点即可得出答案。

北师大版八年级下数学期末复习压轴题()

2020年八年级数学下册期末复习压轴题练习(含答案)

解答题压轴题训练(一)(解析版)-2020-2021学年八年级数学下学期期中考试压轴题专练(北师大版

专题04 全等三角形解答题压轴训练(原卷版)-2020-2021学年八年级数学期末复习压轴题训练

专题04 一元一次不等式与一元一次不等式组【2022春北师大版八下数学压轴题突破专练】(原卷版)

压轴题05：分式与分式方程综合专练20题(解析版)八年级数学下学期期末精选题汇编(北师大版)

最新北师大版八年级下册数学期末复习压轴题练习试题以及答案

压轴题训练(三)(解析版)-2020-2021学年八年级数学下学期期中考试压轴题专练(北师大版)

北师大版八年级下册数学期末几何压轴题专练(含答案)

第二章实数压轴题考点训练(解析版)(北师大版)

北师大版八年级数学下册单元测试《第1章三角形的证明》(解析版)

北师大初中中考数学压轴题及答案

压轴题：一元一次不等式及不等式组综合专练20题(解析版)八年级数学下学期期末精选题汇编(北师大版)

专题01 三角形的证明易错题之选择题(40题)八年级数学下册同步易错题精讲精练(北师大版)解析版

因式分解60道压轴题型(6大题型)——2023-2024学年八年级数学下册重难点(北师大版)(解析)

北师大版八年级下册数学压轴题专题

北师大版八年级下册数学期末压轴题精选(真题)

最新北师大版八年级下册数学期末复习压轴题练习试题以及答案

专题12 多边形的内角与外角和【2022春北师大版八下数学压轴题突破专练】(解析版)

专题03 角平分线【2022春北师大版八下数学压轴题突破专练】(解析版)

北师大版八年级下数学期末复习压轴题()

2020年八年级数学下册 期末复习 压轴题练习(含答案)

解答题压轴题训练(一)(解析版)-2020-2021学年八年级数学下学期期中考试压轴题专练(北师大版

专题04 全等三角形解答题压轴训练(原卷版)-2020-2021学年八年级数学期末复习压轴题训练

专题04 一元一次不等式与一元一次不等式组【2022春北师大版八下数学压轴题突破专练】(原卷版)

压轴题05：分式与分式方程综合专练20题(解析版)八年级数学下学期期末精选题汇编(北师大版)

最新北师大版八年级下册数学期末复习压轴题练习试题以及答案

压轴题训练(三)(解析版)-2020-2021学年八年级数学下学期期中考试压轴题专练(北师大版)

北师大版八年级下册数学期末几何压轴题专练(含答案)

第二章 实数压轴题考点训练(解析版)(北师大版)

北师大版八年级数学下册单元测试《第1章 三角形的证明》(解析版)

北师大初中中考数学压轴题及答案

压轴题：一元一次不等式及不等式组综合专练20题(解析版)八年级数学下学期期末精选题汇编(北师大版)

专题01 三角形的证明 易错题之选择题(40题)八年级数学下册同步易错题精讲精练(北师大版)解析版

因式分解60道压轴题型(6大题型)——2023-2024学年八年级数学下册重难点(北师大版)(解析)

北师大版八年级下册数学压轴题专题

北师大版八年级下册数学期末压轴题精选(真题)

最新北师大版八年级下册数学期末复习压轴题练习试题以及答案

专题12 多边形的内角与外角和【2022春北师大版八下数学压轴题突破专练】(解析版)

专题03 角平分线【2022春北师大版八下数学压轴题突破专练】(解析版)

2020年八年级数学下册期末复习压轴题练习(含答案)

第二章实数压轴题考点训练(解析版)(北师大版)

北师大版八年级数学下册单元测试《第1章三角形的证明》(解析版)

专题01 三角形的证明易错题之选择题(40题)八年级数学下册同步易错题精讲精练(北师大版)解析版