知识讲解_随机事件的概率_提高
高二数学随机事件的概率详细知识点总结2022
高二数学随机事件的概率详细知识点总结2022二数学知识点总结2021有哪些?马上要数学考试了，同学们复习好了吗?特别是上了高二的同学，高二数学难度大了不少，是不是觉得压力很大?一起来看看高二数学知识点总结2021，欢迎查阅!高二数学随机事件的概率知识点总结一、事件1.在条件SS的必然事件.2.在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件.3.在条件SS的随机事件.二、概率和频率1.用概率度量随机事件发生的可能性大小能为我们决策提供关键性依据.2.在相同条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nAnA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)=为事件A 出现的频率.3.对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)P(A)，P(A).三、事件的关系与运算四、概率的几个基本性质1.概率的取值范围：2.必然事件的概率P(E)=3.不可能事件的概率P(F)=4.概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(AB)=P(A)+P(B).5.对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则AB为必然事件.P(AB)=1，P(A)=1-P(B).高二数学《导数》知识点总结导数：导数的意义-导数公式-导数应用(极值最值问题、曲线切线问题)1、导数的定义：在点处的导数记作 .2. 导数的几何物理意义：曲线在点处切线的斜率①k=f/(x0)表示过曲线y=f(x)上P(x0,f(x0))切线斜率。
V=s/(t) 表示即时速度。
a=v/(t) 表示加速度。
3.常见函数的导数公式: ① ;② ;③ ;⑤ ;⑥ ;⑦ ;⑧ 。
4.导数的四则运算法则：5.导数的应用：(1)利用导数判断函数的单调性：设函数在某个区间内可导,如果,那么为增函数;如果 ,那么为减函数;注意：如果已知为减函数求字母取值范围,那么不等式恒成立。
(2)求极值的步骤：①求导数 ;②求方程的根;③列表：检验在方程根的左右的符号，如果左正右负,那么函数在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么函数在这个根处取得极小值;(3)求可导函数最大值与最小值的步骤：ⅰ求的根; ⅱ把根与区间端点函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值。
高二数学随机事件的概率知识精讲
高二数学随机事件的概率【本讲主要内容】随机事件的概率事件的定义、随机事件的概率、概率的性质、基本事件、等可能性事件、等可能性事件的概率【知识掌握】【知识点精析】1. 事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；必然事件：在一定条件下必然发生的事件；不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。
随机现象的两个特征⑴结果的随机性：即在相同的条件下做重复的试验时，如果试验的结果不止一个，则在试验前无法预料哪一种结果将发生。
⑵频率的稳定性：即大量重复试验时，任意结果（事件）A出现的频率尽管是随机的，却“稳定”在某一个常数附近，试验的次数越多，频率与这一常数的偏差大的可能性越小。
这一常数就成为该事件的概率。
2. 随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率mn总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作()P A。
理解：需要区分“频率”和“概率”这两个概念：（1）频率具有随机性，它反映的是某一随机事件出现的频繁程度，它反映的随机事件出现的可能性。
（2）概率是一个客观常数，它反映了随机事件的属性。
大量重复试验时，任意结果（事件）A出现的频率尽管是随机的，却“稳定”在某一个常数附近，试验的次数越多，频率与这一常数的偏差大的可能性越小。
这一常数就成为该事件的概率。
3. 概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率。
4. 概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0()1P A≤≤，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形。
5. 基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件A）称为一个基本事件。
例如：投掷硬币出现2种结果叫2个基本事件，通常试验中的某一事件A由几个基本事件组成（例如：投掷一枚骰子出现正面是3的倍数这一事件由“正面是3”、“正面是6”这两个基本事件组成）。
6. 等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是1n，这种事件叫等可能性事件。
必修3第三章-概率-知识点总结和强化练习：
高中数学必修3 第三章 概率 知识点总结及强化训练一、 知识点总结3.1.1 —3.1.2随机事件的概率及概率的意义 1、基本概念：（1）必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件； （2）不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S 的不可能事件； （3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件；（4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件；（5）频数与频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A出现的次数nA 为事件A 出现的频数；称事件A 出现的比例fn(A)=n n A为事件A 出现的概率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P （A ），称为事件A 的概率。
（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA 与试验总次数n 的比值n n A，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。
我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。
频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率3.1.3 概率的基本性质 1、基本概念：（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件（2）若A ∩B 为不可能事件，即A ∩B=ф，那么称事件A 与事件B 互斥；（3）若A ∩B 为不可能事件，A ∪B 为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件；（4）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)2、概率的基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1； 2）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；3）若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A 与事件B 在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：（1）事件A 发生且事件B 不发生；（2）事件A 不发生且事件B 发生；（3）事件A 与事件B 同时不发生，而对立事件是指事件A 与事件B 有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）事件A 发生B 不发生；（2）事件B 发生事件A 不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。
随机事件与概率知识要点
第7章 随机事件与概率一、知识要点1. 事件的概念随机事件——可能发生、可能不发生的事件。
用字母A 、B ······表示。
必然事件——必然发生的事件。
常用Y 或Ω表示。
不可能事件——在某试验中一定不会发生的事件，常用φ表示。
2. 事件的关系：包含——A 发生时B 必发生，称B 包含A ，记作B A ⊂。
相等——若B A ⊂且A B ⊂，称A=B 。
事件的和——A 发生或Ｂ发生所成的事件，记A+B(或B A Y )。
事件的积——A 与B 都发生的事件，记AB (或B A I )。
独立事件——A 发生与否不影响B 发生。
称A 与B 相对独立。
这时，A 与B 、A 与B 、A 与B 也相互独立。
互不相容——A 与B 不能同时发生，即AB=φ，也称互斥。
对立（逆）——若A+B=Y 且AB=φ，则称A 与B 对立。
事件的差——A 发生而B 不发生的事件。
记A —B （或A B ）。
3. 事件的概率统计定义——在某试验中，事件A 发生的频率nn f A =的稳定值p(A)称为概率。
古典定义：基本事件总数含基本事件数A A p =)( 条件概率：p(B/A)称为A 发生的条件下B 发生的概率。
4. 概率性质：（1）0≤p(A) ≤1（2）p(u)=1（3）p(Ф)=0（4）A B ⊂时，有p(B) ≤p(A),且p(A-B)=p(A)-p(B)5. 概率计算公式：（1） 加法：p(A+B)=p(A)+p(B)-p(AB)特别，当AB=φ时，有p(A+B)=p(A)+P(B)（2） 乘法：p(AB)=p(A)p(B/A)=p(B)p(A/B)特别，当A与B独立时，有p(AB)=p(A)p(B)p(A/B)=p(A) （p(B)≠0）p(B/A)=p(B) (p(A)≠0) 当A与B互不相容时，p(AB)=0A ，有p(A)=1-p(A)当A与B互逆时，记B（3）事件差概率：p(A-B)=p(A)-p(AB)=p(A B)。
高一随机事件的概率知识点
高一随机事件的概率知识点概述：随机事件概率是高中数学中的重要内容，通过对随机事件的概率进行研究和计算，可以帮助我们理解事件发生的可能性，以及在实际问题中的应用。
本文将介绍高一阶段涉及的随机事件的概率知识点。
一、基本概念在进一步讨论高一随机事件的概率知识点之前，我们先来了解一些基本概念。
1.1 随机试验随机试验指的是满足以下三个条件的试验：试验进行前无法确定出现的结果，试验的结果有多种可能性，每次试验的结果不会受到上一次结果的影响。
1.2 样本空间与事件在随机试验中，样本空间是指所有可能结果的集合，一般用"S"表示。
而事件是样本空间的子集，是指我们感兴趣的某些结果组成的集合。
1.3 事件的概率事件的概率是指该事件在所有可能结果中出现的可能性大小，通常用"P(A)"表示。
概率的取值范围在0到1之间，其中0表示不可能事件，1表示必然事件。
二、概率计算方法在计算随机事件的概率时，可以采用以下几种方法：2.1 等可能性原则当每个事件在样本空间中的出现是等可能的情况下，可以使用等可能性原则来计算事件的概率。
也就是说，如果一个随机试验有n个等可能的结果，而事件A有m个结果，那么事件A发生的概率可以表示为P(A) = m/n。
2.2 排列组合法当样本空间中的结果不是等可能的情况下，可以使用排列组合法来计算事件的概率。
排列和组合是高中数学中的基本概念，通过这些方法可以计算不同情况下事件的出现次数，从而求解事件的概率。
2.3 频率计算法频率计算法是通过实验的方式计算事件发生的概率。
当试验次数足够大时，事件发生次数与总试验次数的比值趋近于事件的概率。
三、概率的性质和应用在了解了概率计算方法之后，我们来探讨一些概率的性质和应用。
3.1 加法定理加法定理是指对于两个不相容事件A和B，它们的概率之和等于它们各自的概率之和。
即P(A∪B) = P(A) + P(B)。
3.2 乘法定理乘法定理是指对于两个相互独立的事件A和B，它们的概率乘积等于它们各自的概率之积。
105随机事件的概率microsoftword文档
10・5随机事件的概率、明确复习目标1. 了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义；2. 了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率.•建构知识网络1. 事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件; 必然事件：在一定条件下必然发生的事件；不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件•2. 随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率m总n 是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A).3•概率的性质：(由定义知,0 < 1, 0 1) ••• 0_P(A)_1;n必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0.必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形4. 等可能性事件：如果一次试验中有n个可能的结果——称为基本事件，且每个基1本事件出现的可能性都相等，即每个基本事件的概率都是丄，这种事件叫等可能性事件.n5. 等可能性事件的概率：在等可能事件中，如果事件A包含m个结果，那么事件A的概率P(A) =m.n6. 求概率的方法：(1)等可能性事件的概率，步骤：①明确事件A的意义，确定是否等可能性事件.②求出一次实验可能出现的结果的总数n;求m,n时要注意是否与顺序、位置有关，是“有放回”还是“无放回”抽取，正确排列、组合公式或计数原理求出分母n和分子m;(分子、分母可以与顺序同时有关或无关，解题时可以灵活处理)。
③用等可能性事件概率公式P=m求出概率值.n(2)通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率三、双基题目练练手1. (2005广东)先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4. （2004辽宁）口袋内装有 1,若从袋中摸出5个球，那么摸出的5个球所标数字之和小于5. 在两个袋中各装有分别写着 0, 1, 2,张卡片，则取出的两张卡片上数字之和恰为76. 将1, 2，…，9这9个数平均分成三组，7. __________________________ 把4个不同的球任意投入 4个不同的盒子内（每盒装球数不限），则 恰有一个空盒的概率等于 .4、5、6）,骰子朝上的面的点数分别为 X 、Y ，则log 2x Y=1的概率为 （）15 11A .B .C .D .— 6 36 12 2 2. （2006安徽）在正方体上任选 3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰... 三角形的概率为1 2 3 A . B. C.- 7 7 7 3. （2006江西）将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组 3人，另两组各 a ，甲、乙分在同一组的概率为 5 a =105,P = 21 5 a =210,P - 21分组数为 B. C.D. P ，则a 、P 的值分别为 4 a =105, P =21 4 a =210,P -21（） 4 • 7 2人，不同的（） ♦练习简答:A;3. a=C 73C 42十 2=105, p = C 5C 4 2 C 5105=—，选 A214.数字和可是0、1、4、5,概率为严农吃吟1Cw13 _635. P= 1 4 1 = 16 3 36.分母为C 9 C 6 丁3!，求分子时先确定一组有：（123）， （ 135）， (147), (159),再1定另两组…，答：丄. 56 7.选一盒空C 41种，把4球分三组C 42种,再把三组放入三盒有 A 33种,故恰有一个空盒12 3 的结果数为讥緘3,所求概率P （A ） =CC 合诗 四、经典例题做一做【例1】一个口袋里共有 2个红球和8个黄球，从中随机地接连取 设｛恰有一个红球｝=A , ｛第三个球是红球｝=B.求在下列条件下事件 3个球，每次取一个.A 、B 的概率.10个相同的球，其中5个球标有数字0，5个球标有数字 2或大于3的概率是 ______3，4，5的6张卡片.今从每个袋中任取一 的概率为 __________ .则每组的三个数都成等差数列的概率为（1）不返回抽样；（2）返回抽样. 解：（1）不返回抽样，（2 ）返回抽样2 48 =125【例2】 某油漆公司发出10桶油漆，其中白漆 5桶，黑漆3桶，红漆2桶•在搬运 中所有标签脱落，交货人随意将这些标签重新贴上，问一个定货3桶白漆、2桶黑漆和1桶红漆的顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？解：随意贴上的标签等于没贴标签 从10桶油漆中随意取•答：顾客按所定的颜色得到定货的概率是 -. 7【例3】将甲、乙两颗骰子先后各抛一次 ，a 、b 分别表示抛掷甲、乙两颗骰子所出现的点数•（1 ）若a+b<4的事件记为A,求事件A 的概率；（2）若点P （ a,b ）落在直线x+y=m （ m 为常数）上，且使此事件的概率最大，求m 的 值•解：(1)基本事件总数为 6X 6=36. 当 a=1 时,b=1,2,3; 当 a=2 时,b=1,2; 当 a=3 时,b=1.共有(1,1) , (1,2) , (1,3) , (2,1) , (2,2) (3,1) 6个点适合题设， ••• P （A ）=色=丄36 6 （2）由表可知,m=7所含的基本事件最多【例4】（2004全国H ）已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这 8支球队分 为A 、B 两组，每组4支.求:P (A )C；C ；A 2 A ；。
随机事件的概率知识点高三
随机事件的概率知识点高三随机事件的概率是高中数学中重要的概念之一。
在高三数学学习中，我们需要掌握随机事件的基本概念、计算方法以及与排列组合之间的关系。
通过学习这些知识点，我们能够更好地理解随机事件的发生规律，为我们解决实际问题提供数学的思维工具。
一、基本概念随机事件是指在一次试验中可能出现的不同结果。
在概率论中，我们把每个试验的结果称为样本点，样本空间是指所有可能的样本点的集合。
随机事件是样本空间的子集。
例如，抛一枚硬币的样本空间为{正面，反面}，那么“出现正面”的事件可以表示为A={正面}。
二、概率的计算方法在概率理论中，我们用P(A)表示事件A的概率。
概率的计算方法有以下几种常见的形式：1.频率定义：当试验的次数非常多时，事件A发生的频率接近于A的概率，用频率定义计算概率的方法适用于大量试验的情况。
2.古典定义：对于一个有限样本空间的等可能试验，事件A的概率可以使用P(A)=|A|/|S|来计算，其中|A|表示事件A包含的样本点个数，|S|表示样本空间中的样本点个数。
3.几何概率定义：对于一些几何问题，我们可以利用几何概率的定义来计算概率。
例如，投掷一个点在单位正方形中的均匀分布的事件A，可以通过计算事件A所占的面积来求得概率。
4.条件概率定义：当事件A的发生与事件B的发生有关联时，我们可以通过条件概率来计算事件A在事件B发生的条件下的概率。
条件概率的计算公式为P(A|B)=P(AB)/P(B)，其中P(AB)表示事件A与事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B的概率。
三、排列与组合与概率的关系排列与组合是高中数学中的基础知识点，它们与概率有着密切的关系。
1.排列：排列是从n个不同元素中取出m个元素，按照一定的顺序排列的方式。
表示为A(n,m)。
当考虑概率时，排列可以用来计算有序事件的概率。
2.组合：组合是从n个不同元素中取出m个元素，不考虑排列顺序的方式。
表示为C(n,m)。
当考虑概率时，组合可以用来计算无序事件的概率。
随机事件的概率
随机事件的概率导言：随机事件是指在一定条件下，由于种种因素的不确定性而发生的事件。
生活中的许多事情都是随机事件，无法预测和控制。
我们对于随机事件的发生与否往往抱有一定的期望或预测，这就引出了随机事件的概率。
一、什么是概率？概率（probability）是现代数学中研究事件发生的一种数学方法。
概率既是一种数学工具，同时也是描述随机现象出现“规律”的一种观念。
概率的大小通常用数字来表示，范围在0到1之间，概率越大，表示事件发生的可能性越大。
二、概率的计算方法1. 古典概率：古典概率也叫“理论概率”，它是指当各种结果发生的机会是等可能的时候，可以根据有限的样本空间中可能结果的数目比来计算。
例如投掷均匀的骰子，每一个面都有相同的机会出现，那么每一个面出现的概率就是1/6。
2. 频率概率：频率概率也叫“实验概率”，它是指在实际的重复试验中，事件发生的次数与总的试验次数的比例。
例如，我们可以通过多次投掷骰子的实验来计算每个面出现的概率，通过实验的结果来估计概率。
3. 主观概率：主观概率也叫“人为概率”，它是指个人根据经验、直觉和一些可能的关联性来估计事件发生的概率。
这种概率是主观的，因为它依赖于个人的判断和看法。
三、随机事件的应用随机事件的概率在现实生活中有着广泛的应用，下面举几个例子进行阐述：1. 赌场中的赌博：在赌场中，很多赌博游戏都基于随机事件的概率来决定输赢。
例如，在轮盘赌中，赌徒根据小球停在哪一个数字上来下注，而小球停留在哪个数字上是完全由随机事件决定的。
赌徒可以根据每个数字出现的概率来决定下注的策略。
2. 保险业的风险评估：在保险业中，概率是一个非常重要的概念。
保险公司需要根据客户的信息以及历史数据来评估风险，并计算出合理的保险费用。
例如，在车险中，保险公司需要根据客户的驾驶记录和车辆信息来评估客户发生车祸的概率，并根据概率来决定保险费用的高低。
3. 股票市场：在股票市场中，投资者根据股票的历史数据和一些基本面分析来预测股票的未来涨跌。
概率,知识点,典型例题,详解
第三章概率3.1随机事件的概率3.1.1基本概念：（1）必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件；（2）不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件；（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件；（4）随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件；（5）频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数为事件A出现的频数；称事件A出现的比例为事件A出现的概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率稳定在某个常数上，把这个常数记作P（A），称为事件A的概率。
3.1.2 概率的基本性质3.1.2.1基本概念：（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件（2）若A∩B为不可能事件，即A∩B=，那么称事件A与事件B互斥；（3）若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件；（4）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)3.1.2.2概率的基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；2）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；3）若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；【典型例题】已知同种血型的人可以输血，O 型血可以输给任一种血型的人，任何人的血都可以输给AB 型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B 型血，若小明因病需要输血，问：（1）任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？（2）任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？[基础巩固]1．下列叙述错误的是（ ）A ． 频率是随机的，在试验前不能确定，随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率B ． 若随机事件A 发生的概率为()A p ，则()10≤≤A pC ． 互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件D ．5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到有奖奖券的可能性相同2．从装有５只红球、５只白球的袋中任意取出３只球，有事件：① “取出２只红球和１只白球”与“取出１只红球和２只白球”；② “取出２只红球和１只白球”与“取出３只红球”；③ “取出３只红球”与“取出３只球中至少有１只白球”；④ “取出３只红球”与“取出３只白球”．其中是对立事件的有（ ）A ．①、④B ．②、③C ．③、④D ．③3．下列说法中正确的是（ ）A ．事件A 、B 中至少有一个发生的概率一定比A 、B 中恰有一个发生的概率大B ．事件A 、B 同时发生的概率一定比事件A 、B 恰有一个发生的概率小C ．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件D ．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件[综合提高]4．某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ）A ．至多有一次中靶B ．两次都中靶C ．两次都不中靶D ．只有一次中靶5．在一对事件A 、B 中，若事件A 是必然事件，事件B 是不可能事件，那么事件A 和B （ ）A ．是互斥事件，但不是对立事件B ．是对立事件，但不是互斥事件C ．是互斥事件，也是对立事件D ．既不是是互斥事件，也不是对立事件6．从5名礼仪小姐、4名翻译中任意选5人参加一次经贸洽谈活动，其中礼仪小姐、翻译均不少于2人的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．7．若()1P A B +=，则事件A 与B 的关系是（ ）A ．A 、B 是互斥事件 B ．A 、B 是对立事件C ．A 、B 不是互斥事件D ．以上都不对8．某市派出甲、乙两支球队参加全省足球冠军赛.甲乙两队夺取冠军的概率分别是37和14. 试求该市足球队夺得全省足球冠军的概率为_____________ ．9．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品.在正常生产情况下出现乙级品和丙级品的概率分别为3%和1%.求抽验一只是正品(甲级)的概率_____________ ．10．一个口袋装有3个红球和n 个绿球，从中任意取出3个球中至少有1个是绿球的概率是，则n=______________ ．[能力提高]11．圆周上有2n 个等分点（n ＞１），以其中任三点为顶点作三角形，其中可构成直角三角形的概率为 ____________ ．12．某高校有5名学生报名参加义务献血活动，这5人中血型为A 型、O 型的学生各2名，血型为B 型的学生1 名，已知这5名学生中每人符合献血条件的概率均是23.(1)若从这5名学生中选出2名学生，求 所选2人的血型为O 型或A 型的概率；(2)求这5名学生中至少有2名学生符合献血条件的概率．(注：答案均用分数表示).13．在一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球.从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个.试求：(1)取得两个红球的概率； (2)取得两个绿球的概率； (3)取得两个同颜色的球的概率；(4)至少取得一个红球的概率.14．在放有5个红球、4个黑球、3个白球的袋中，任意取出3个球，分别求出3个全是同色球的概率及全是异色球的概率.15．从男女学生共有36名的班级中，任意选出2名委员，任何人都有同样的当选机会.如果 选得同性委员的概率等于，求男女生相差几名?3.2古典概率3.2.1 —3.2.2古典概型及随机数的产生（1）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。
随机事件及其概率(知识点总结)
随机事件及其概率一、随机事件1、必然事件在一定条件下，必然会发生的事件叫作必然事件.2、不可能事件在一定条件下，一定不会发生的事件叫作不可能事件.3、随机事件在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件叫作随机事件，一般用大写字母A，B，C来表示随机事件.4、确定事件必然事件和不可能事件统称为相对于随机事件的确定事件.5、试验为了探索随机现象发生的规律，就要对随机现象进行观察或模拟，这种观察或模拟的过程就叫作试验.【注】（1）在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先并不能判断将出现哪种结果，这种现象就叫作随机现象. 应当注意的是，随机现象绝不是杂乱无章的现象，这里的“随机”有两方面意思：①这种现象的结果不确定，发生之前不能预言；②这种现象的结果带有偶然性. 虽然随机现象的结果不确定，带有某种偶然性，但是这种现象的各种可能结果在数量上具有一定的稳定性和规律性，我们称这种规律性为统计规律性. 统计和概率就是从量的侧面去研究和揭示随机现象的这种规律性，从而实现随机性和确定性之间矛盾的统一.（2）必然事件与不可能事件反映的是在一定条件下的确定性现象，而随机事件反映的则是在一定条件下的随机现象.（3）随机试验满足的条件：可以在相同条件下重复进行；所有结果都是明确可知的，但不止一个；每一次试验的结果是可能结果中的一个，但不确定是哪一个. 随机事件也可以简称为事件，但有时为了叙述的简洁性，也可能包含不可能事件和必然事件.二、基本事件空间1、基本事件在试验中不能再分的最简单的随机事件，而其他事件都可以用它们进行描述，这样的事件称为基本事件.2、基本事件空间所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，常用大写字母Ω来表示，Ω中的每一个元素都是一个基本事件，并且Ω中包含了所有的基本事件.【注】基本事件是试验中所有可能发生的结果的最小单位，它不能再分，其他的事件都可以用这些基本事件来表示；在写一个试验的基本事件空间时，应注意每个基本事件是否与顺序有关系；基本事件空间包含了所有的基本事件，在写时应注意不重复、不遗漏.三、频率与概率1、频数与频率在相同条件S 下进行了n 次试验，观察某一事件A 是否出现，则称在n 次试验中事件A 出现的次数A n 为事件A 出现的频数；事件A 出现的比例()A n n f A n=为事件A 出现的频率.对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数n 的增加，事件A 发生的频率()n f A 稳定在某个常数上，则把这个常数称为事件A 的概率，简称为A 的概率，记作()P A .3、频率与概率的关系（1）频率虽然在一定程度上可以反映事件发生的可能性的大小，但频率并不是一个完全确定的数. 随着试验次数的不同，产生的频率也可能不同，所以频率无法从根本上刻画事件发生的可能性的大小，但人们从大量的重复试验中发现：随着试验次数的无限增加，事件发生的频率会稳定在某一固定的值上，即在无限次重复试验下，频率具有某种稳定性.（2）概率是一个常数，它是频率的科学抽象. 当试验次数无限多时，所得到的频率就会近似地等于概率. 另外，概率大，并不表示事件一定会发生，只能说明事件发生的可能性大，但在一次试验中却不一定会发生.四、事件的关系与运算1、包含关系一般地，对于事件A 与事件B ，如果事件A 发生时，事件B 一定发生，则我们称 事件B 包含事件A （或称事件A 包含于事件B ），记作B A ⊇（或A B ⊆）.2、相等关系一般地，对于事件A 与事件B ，如果事件A 发生时，事件B 一定发生，并且如果事件B 发生时，事件A 一定发生，即若B A ⊇且A B ⊇，则我们称事件A 与事件B 相等，记作A B =.3、并事件如果某事件发生当且仅当事件A 或事件B 发生，则我们称该事件为事件A 与事件 B 的并事件（或和事件），记作A B ⋃（或A B +）.如果某事件发生当且仅当事件A发生且事件B也发生，则我们称该事件为事件A 与事件B的交事件（或积事件），记作A B⋂（或A B⋅）.5、互斥事件如果事件A与事件B的交事件A B⋂=∅），则我们称事⋂为不可能事件（即A B件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中都不会同时发生.6、对立事件如果事件A与事件B的交事件A B⋂=∅），而事件A与⋂为不可能事件（即A B事件B的并事件A B⋃=Ω），则我们称事件A与事件B互⋃为必然事件（即A B为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生.【注】事件的关系与运算可以类比集合的关系与运算. 例如，事件A包含事件B 类比集合A包含集合B；事件A与事件B相等类比集合A与集合B相等；事件A 与事件B的并事件类比集合A与集合B的并集；事件A与事件B的交事件类比集合A与集合B的交集……五、互斥事件与对立事件互斥事件与对立事件是今后考察的重点，因此关于互斥事件与对立事件，我们很有必要再作进一步的说明.1、互斥事件与对立事件的关系互斥事件与对立事件都反映的是两个事件之间的关系. 互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除了要求这两个事件不同时发生以外，还要求这两个事件必须有一个发生. 因此，对立事件一定是互斥事件，而互斥事件不一定是对立事件. 例如，掷一枚骰子，事件：“出现的点数是1”与事件：“出现的点数是偶数”是互斥事件，但不是对立事件；而事件：“出现的点数是奇数”与事件：“出现的点数是偶数”既是互斥事件，也是对立事件.2、互斥事件的概率加法公式（1）两个互斥事件的概率之和如果事件A 与事件B 互斥，那么()()()P A B P A P B ⋃=+；（2）有限多个互斥事件的概率之和一般地，如果事件1A ，2A ，…，n A 两两互斥，那么事件“12n A A A ⋃⋃⋃发生”（指事件1A ，2A ，…，n A 中至少有一个发生）的概率等于这n 个事件分别发生的概率之和，即1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋃⋃⋃=+++.【注】上述这两个公式叫作互斥事件的概率加法公式. 在运用互斥事件的概率加法公式时，一定要首先确定各事件是否彼此互斥（如果这个条件不满足，则公式不适用），然后求出各事件分别发生的概率，再求和.3、对立事件的概率加法公式对于对立的两个事件A 与B 而言，由于在一次试验中，事件A 与事件B 不会同时发生，因此事件A 与事件B 互斥，并且A B ⋃=Ω，即事件A 或事件B 必有一个发生，所以对立事件A 与B 的并事件A B ⋃发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发生的概率之和，且和为1，即()()()()1P P A B P A P B Ω=⋃=+=，或()1()P A P B =-.【注】上述这个公式为我们求事件A 的概率()P A 提供了一种方法，当我们直接求()P A 有困难时，可以转化为先求其对立事件B 的概率()P B ，再运用公式()1()P A P B =-即可求出所要求的事件A 的概率()P A .4、求复杂事件的概率的方法求复杂事件的概率通常有两种方法：一种是将所求事件转化为彼此互斥的事件的和，然后再运用互斥事件的概率加法公式进行求解；另一种是先求其对立事件的概率，然后再运用对立事件的概率加法公式进行求解. 如果采用方法一，一定要准确地将所求事件拆分成若干个两两互斥的事件，不能有重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准所求事件的对立事件，并准确求出对立事件的概率.六、概率的基本性质1、任何事件的概率都在01之间，即对于任一事件A，都有0()1≤≤.P A2、必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.3、若事件A与事件B互斥，则()()()⋃=+.P A B P A P B4、两个对立事件的概率之和为1，即若事件A与事件B对立，则()()1+=.P A P B。
第一章 随机事件及概率讲解
（2）事件的相等：若 A B 且 B A ， 则称A与B相等，记为A=B。
包含关系的性质： (a) A ; (b)A A (c)若A B且B C,则A C (d )若A B且B A,则A B
(3) n个元素的全排列数为 Anr n(n 1) 3 21 n!
c. 组合
（1）从n个元素中取出r个元素而不考虑其顺序，称为组 合，其总数为
C
r n
n r
Anr r!
n(n 1) (n r 1) r!
n! r!(n r)!
（2）若r1 r2 rk n，把n个不同的元素分成k个部分，
事件的交(积) ：事件A与B都发生，称
为A与B的积（交）事件，记为 A B
。
推广：
事件 A1, A2,, An 同时发生：
n
A1 A2 An Ai i 1
事件 A1, A2, 同时发生：
A1 A2 Ai i 1
5、差事件：事件A发生但B不发生 称为A与B之差，记为A-B
例2.9：某城市共发行A,B,C三种报纸，调 查表明居民家庭中订购C报的占30%，同 时订购A,B两报的占10%,同时订购A,C及 B,C两报的各占8%，5%，三报都订的占 3%.今在该城中任找一户，问该户(1)只订 A、B两报；(2)只订C报的概率各为多少？
第一章 概率论的基本概 念
1 理解随机事件的概念，了解样本空间的 概念，掌握事件之间的关系和运算。
2 理解概率的定义，掌握概率的基本性质， 并能应用这些性质进行概率计算。
知识讲解随机事件的概率提高
随机事件的概率【学习目标】1.了解必然事件，不可能事件，随机事件的概念；2.正确理解事件A出现的频率的意义；3.正确理解概率的概念和意义，明确事件A发生的频率f n(A)与事件A发生的概率P(A)的区别与联系；4.通过实例了解互斥事件、对立事件的概念和实际意义，能根据二者概念辨别一些事件是否是互斥是否是对立，初步学会用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率。
【要点梳理】要点一：随机现象（1）必然现象在一定条件下必然发生某种结果的现象。
（2）在相同的条件下多次观察同一现象，每次观察到的结果不一定相同，事先很难预料哪一种结果会出现的现象。
（3）试验把观察到随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验，把观察的结果或实验的结果称为试验的结果。
要点二：随机事件的概念在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件.(1)必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件，简称必然事件；(2)不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简称不可能事件；确定事件：必然事件与不可能事件统称为相对于条件S的确定事件，简称确定事件.(3)随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件，简称随机事件.要点诠释：1.随机事件是指在一定条件下出现的某种结果，随着条件的改变其结果也会不同，因此强调同一事件必须在相同的条件下进行研究；2.随机事件可以重复地进行大量实验，每次的实验结果不一定相同，但随着实验的重复进行，其结果呈现规律性.要点三：基本事件与基本事件空间基本事件的概念类似于集合中元素的概念，试验可能发生的全部结果是一个集合，其元素是基本事件（或试验结果），基本事件不能分解，不能同时发生相当于集合中元素的互异的现象。
基本事件具有如下性质：（1）不能或不必分解为更小的随机事件；（2）不同的基本事件不可能同时发生。
要点诠释：①基本事件与试验结果是同一概念，随机事件是由若干个基本事件构成的，当然，基本事件也是随机事件。
随机事件与概率的计算知识点总结
随机事件与概率的计算知识点总结随机事件与概率是数学中的重要概念，在许多实际应用中得到广泛的运用。
下面将对随机事件与概率的计算知识点进行总结。
一、随机事件的基本概念随机事件指的是在一定条件下，结果具有不确定性的事件。
随机事件可以用集合论中的概念进行描述，即事件是样本空间中的一个子集。
二、事件的概率计算事件的概率是指某个事件发生的可能性大小。
概率的计算可以通过频率和几何概率方法进行。
1. 频率法频率指的是在重复实验中，某一事件发生的次数与总实验次数之比。
频率法计算概率的基本步骤是：进行大量实验，记录事件发生的次数，然后计算事件发生的频率。
2. 几何概率法几何概率是指事件发生的可能性与样本空间中所有可能事件的比值。
几何概率计算的基本原理是：事件发生的可能性与事件所占的样本空间的面积成正比。
三、常用概率计算公式在概率计算中，有一些常用的公式可以帮助我们计算事件的概率。
1. 事件的互斥与对立事件互斥事件指的是两个事件不能同时发生，对立事件则指的是两个事件中一个事件发生时，另一个事件一定不发生。
对于互斥事件，可以使用加法法则计算概率；对于对立事件，可以使用减法法则计算概率。
2. 事件的独立性与条件概率事件的独立性指的是两个事件的发生与否互不影响，可以独立计算概率。
条件概率指的是在另一个事件已经发生的条件下，某一事件发生的概率。
四、排列与组合的计算在随机事件与概率的计算中，常常需要用到排列与组合的计算方法。
1. 排列排列是指从若干个元素中取出一部分并按照一定的顺序排列的方式。
排列的计算可以使用阶乘的方法进行。
2. 组合组合是指从若干个元素中取出一部分并不考虑顺序的方式。
组合的计算可以使用组合数的方法进行。
五、事件的加法与乘法规则在复杂事件的计算中，我们需要使用事件的加法与乘法规则。
1. 加法规则加法规则指的是对于两个不互斥事件的概率，可以通过将两个事件的概率相加来计算它们的并集概率。
2. 乘法规则乘法规则指的是对于两个独立事件的概率，可以通过将两个事件的概率相乘来计算它们的交集概率。
22随机事件与概率--知识讲解及其练习 含答案
随机事件与概率--知识讲解【学习目标】1、感受生活中的随机现象，并体会不确定事件发生的可能性大小；2、通过试验感受不确定事件发生的频率的稳定性，理解概率的意义.【要点梳理】要点一、确定事件与不确定事件1.确定事件在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定发生，这些事情称为必然事件．有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件．必然事件与不可能事件统称为确定事件.2.不确定事件也有许多事情我们事先无法肯定它会不会发生，这些事情称为不确定事件，也称为随机事件.要点诠释：要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同.要点二、频率与概率1.频率与概率的定义频率：在n次重复试验中，不确定事件A发生了m次，则比值mn称为事件A发生的频率.无论是掷质地均匀的硬币还是掷图钉，在试验次数很大时正面朝上（钉尖朝上）的频率都会在一个常数附近摆动，这就是频率的稳定性.概率：我们把刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A发生的概率，记作P （A）.事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即.2.频率与概率的关系事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.要点诠释：①事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(随机事件) ＜1.②概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.【典型例题】类型一、确定事件与不确定事件1.指出下列事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是不确定事件？①若 a、b、c都是实数，则a(bc)=(ab)c；②没有空气，动物也能生存下去；③在标准大气压下，水在 90℃时沸腾；④直线 y=k(x+1)过定点(-1，0)；⑤某一天内电话收到的呼叫次数为 0；⑥一个袋内装有形状大小完全相同的一个白球和一个黑球，从中任意摸出 1个球则为白球.【答案与解析】①④是必然事件；②③是不可能事件；⑤⑥是不确定事件.【总结升华】准确掌握定义，依据定义进行判别.举一反三【变式1】（2016•凉山州模拟）下列事件中不是随机事件的是（）A．打开电视机正好在播放广告B．从有黑球和白球的盒子里任意拿出一个正好是白球C．从课本中任意拿一本书正好拿到数学书D．明天太阳会从西方升起【答案】D．解：A、打开电视机正好在播放广告是随机事件，选项错误；B、从有黑球和白球的盒子里任意拿出一个正好是白球，是随机事件，选项错误；C、从课本中任意拿一本书正好拿到数学书，是随机事件，选项错误；D、明天太阳会从西方升起是不可能事件，不是随机事件，选项正确．故选D．【变式2】下列说法中，正确的是( )．A．生活中，如果一个事件不是不可能事件，那么它就必然发生；B．生活中，如果一个事件可能发生，那么它就是必然事件；C．生活中，如果一个事件发生的可能性很大，那么它也可能不发生；D．生活中，如果一个事件不是必然事件，那么它就不可能发生.【答案】C.2. 在一个不透明的口袋中，装有10个除颜色外其它完全相同的球，其中5个红球，3个蓝球，2个白球，它们已经在口袋中搅匀了.下列事件中，哪些是必然发生的？哪些是不可能发生的？哪些是可能发生的？(1)从口袋中任取出一个球，它恰是红球；(2)从口袋中一次性任意取出2个球，它们恰好全是白球；(3)从口袋中一次性任意取出5个球，它们恰好是1个红球，1个蓝球，3个白球.【答案与解析】(1)可能发生，因为袋中有红球；(2)可能发生，因为袋中刚好有2个白球；(3)不可能发生，因为袋中只有2个白球，取不出3个白球.【总结升华】要掌握三种事件的区别与联系.举一反三【变式】甲、乙两人做掷六面体骰子的游戏，双方规定，若掷出的骰子的点数大于3，则甲胜，若掷出的点数小于3，则乙胜，游戏公平吗？若不公平，请你设计出一种对于双方都公平的游戏.【答案】不公平，小于3的点数有1、2，大于3的点数有4、5、6，因此，它们的可能性是不同的，所以不公平.可设计掷出的点数为偶数时甲胜，掷出的点数为奇数时乙胜.类型二、频率与概率3.（2015•阜新）为了估计暗箱里白球的数量（箱内只有白球），将5个红球放进去，随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个球记下颜色，多次重复或发现红球出现的频率约为0.2，那么可以估计暗箱里白球的数量大约为个．【思路点拨】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．【答案】20．【解析】解：设暗箱里白球的数量是n，则根据题意得：=0.2，解得：n=20，故答案为：20．【总结升华】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．4. 如图所示，转盘停止后，指针落在哪个颜色区域的可能性大？为什么？【答案与解析】落在黄色区域的可能性大.理由如下：由图可知：黄色占整个转盘面积的；红色占整个转盘面积的；蓝色占整个转盘面积的.由于黄色所占比例最大，所以，指针落在黄色区域的可能性较大.【总结升华】计算随机事件的可能性的大小，根据不同题目的不同条件确定解法，如面积法、数值法等.投篮次数n 8 10 12 9 16 10 进球次数m 6 8 9 7 12 7 进球频率nm(1)计算表中各场次比赛进球的频率；(2)这位运动员每次投篮，进球的概率约为多少?【思路点拨】计算出每次的频率值，看频率稳定在哪个值附近，这个值就约等于概率. 【答案与解析】 （1）投篮次数n 8 10 12 9 16 10 进球次数m 6897127进球频率nm0.75 0.8 0.75 0.78 0.75 0.7 (2)P(进球)≈0.75.【总结升华】频率和概率的关系：当大量重复试验时，频率会稳定在概率附近. 举一反三【变式】某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：射击次数(ｎ) 10 20 50 100 200 500 击中靶心次数(ｍ) 9 19 44 91 178 451 击中靶心频率()(1)计算表中击中靶心的各个频率(精确到0.01)；(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少(精确到0.1)？【答案】 (1)击中靶心的各个频率依次是：0.90，0.95，0.88，0.91，0.89，0.90. (2)这个射手击中靶心的概率约为0.9.【巩固练习】一、选择题1. 下列说法正确的是( )．A．一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了2000次．其中，抛掷出5点的次数最多，则第2001次一定抛掷出5点.B．某种彩票中奖的概率是1％，因此买100张该种彩票一定会中奖C．天气预报说：明天下雨的概率是50％，所以明天将有一半时间在下雨D．抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等2.（2015•徐州）一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（）A．至少有1个球是黑球B．至少有1个球是白球C．至少有2个球是黑球D．至少有2个球是白球3.下列说法正确的是( )A.可能性很小的事件在一次试验中一定不会发生B.可能性很小的事件在一次试验中一定发生C.可能性很小的事件在一次试验中有可能发生D.不可能事件在一次试验中也可能发生4. 在不透明的袋中装有除颜色外，其余均相同的红球和黑球各一个，从中摸出一个球恰为红球的概率与一枚均匀硬币抛起后落地时正面朝上的概率的大小关系是( )A．摸出红球的概率大于硬币正面朝上的概率B．摸出红球的概率小于硬币正面朝上的概率C．相等D．不能确定5.下列说法正确的是( )A.抛掷一枚硬币5次，5次都出现正面，所以投掷一枚硬币出现正面的概率为1B.“从我们班上查找一名未完成作业的学生的概率为0”表示我们班上所有的学生都完成了作业C.一个口袋里装有99个白球和一个红球，从中任取一个球，得到红球的概率为1%，所以从袋中取至少100次后必定可以取到红球(每次取后放回，并搅匀)D.抛一枚硬币，出现正面向上的概率为50%，所以投掷硬币两次，那么一次出现正面，一次出现反面.6. 下图的转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上1，2，3，4，5，6这六个数字，指针停在每个扇形的可能性相等.四位同学各自发表了下述见解：甲：如果指针前三次都停在了3号扇形，下次就一定不会停在3号扇形；乙：只要指针连续转六次，一定会有一次停在 6号扇形；丙：指针停在奇数号扇形的概率与停在偶数号扇形的概率相等；丁：运气好的时候，只要在转动前默默想好让指针停在 6号扇形，指针停在6号扇形的可能性就会加大.其中，你认为正确的见解有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二. 填空题7. 夏雪同学每次数学测试成绩都是优秀，则在这次中考中他的数学成绩 ____________（填“可能”，“不可能”，“必然”）是优秀．8. 判断下列事件的类型：(必然事件，随机事件，不可能事件)(1)掷骰子试验，出现的点数不大于6．_____________(2)抽签试验中，抽到的序号大于0．_____________(3)抽签试验中，抽到的序号是0．____________(4)掷骰子试验，出现的点数是7．_____________(5)任意抛掷一枚硬币，“正面向上”．_____________(6)在上午八点拨打查号台114，“线路能接通”．__________(7)度量五边形外角和，结果是720度．________________9. （2015•潍坊模拟）在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球可能有个．10．从某玉米种子中抽取6批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下：根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为（精确到0.1）．11. 掷一枚均匀的骰子，2点向上的概率是_______，7点向上的概率是_______．12. 下面4个说法中，正确的个数为_______．(1)“从袋中取出一只红球的概率是99%”，这句话的意思是肯定会取出一只红球，因为概率已经很大．(2)袋中有红、黄、白三种颜色的小球，这些小球除颜色外没有其他差别，因为小张对取出一只红没有把握，所以小张说：“从袋中取出一只红球的概率是50%”．(3)小李说“这次考试我得90分以上的概率是200%”．(4)“从盒中取出一只红球的概率是0”，这句话是说取出一只红球的可能性很小．三.综合题(1)由这张频数和频率表可知，机器人抛掷完5次时，得到一次正面，正面出现的频率是20%，那么，也就是说机器人抛掷完5次后，得到______次反面，反面出现的频率是______.(2)由这张频数和频率表可知，机器人抛掷完9999次时，得到_____次正面，正面出现的频率是_____；那么，也就是说机器人抛掷完9999次时，得到_____次反面，反面出现的频率是______(3)请你估计一下，抛这枚硬币，正面出现的概率是_______.14. （2015春•雅安期末）如图是小明和小颖共同设计的自由转动的十等分转盘，上面写有10个有理数．（1）求转得正数的概率．（2）求转得偶数的概率．（3）求转得绝对值小于6的数的概率．15. 一个不透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，它们除颜色外其余都相同．(1)求摸出1个球是白球的概率；(2)现在再将n个白球放入布袋，搅匀后，使摸出1个球是白球的概率为，求n的值．【答案与解析】一、选择题1．【答案】D.2.【答案】A.【解析】一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，至少有1个球是黑球是必然事件；至少有1个球是白球、至少有2个球是黑球和至少有2个球是白球都是随机事件．故选A．3．【答案】C.4．【答案】C.【解析】两种情况的概率均为50%.5．【答案】B.6．【答案】A.【解析】只有丙是正确的，指针停在奇数号扇形的概率与停在偶数号扇形的概率都是50%.二、填空题7. 【答案】可能.【解析】夏雪同学每次数学测试成绩都是优秀，则在这次中考中他的数学成绩不能确定，是随机事件．8．【答案】必然事件；必然事件；不可能事件；不可能事件；随机事件；随机事件；不可能事件.9.【答案】12.【解析】设白球个数为：x个，∵摸到红色球的频率稳定在25%左右，∴口袋中得到红色球的概率为25%，∴=，解得：x=12，故白球的个数为12个．故答案为：12．10.【答案】0.8；【解析】随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在概率附近.11.【答案】16；0.12.【答案】0.【解析】(1)中即使概率是99%，很大了，但是仍然有不是红球的可能，所以错误；(2) 因为有三个球，机会相等，所以概率应该是13；(3) 概率的取值范围是．(4) 应该是取出一只红球的可能性不存在．三、解答题13.【解析】① 4；80%；② 5006；50.1%；4993；49.9%；③12.14. 【解析】解：（1）P（转得正数）==；（2）P（转得偶数）==；（3）P（转得绝对值小于6的数）==．15.【解析】(1)；(2)由题意得，∴经检验，n＝4是方程的根，且符合题意．。
随机事件及其概率知识点整理
随机事件及其概率知识点整理1. 什么是随机事件？随机事件是指在某个试验或观察中，可能发生或不发生的事件。
例如，抛一枚硬币，正面朝上和反面朝上都是可能的结果。
2. 随机事件的分类随机事件可以分为互斥事件和非互斥事件。
- 互斥事件：两个事件不能同时发生。
例如，抛硬币时，正面和反面是互斥事件。
- 非互斥事件：两个事件可以同时发生。
例如，掷骰子时，得到奇数和得到小于等于3的数是非互斥事件。
3. 概率的定义概率是用来描述随机事件发生可能性的数值。
概率的范围在0到1之间，其中0表示不可能事件，1表示必然事件。
4. 概率的计算方法根据事件的性质和条件，可以使用以下概率计算方法：- 经典概率：对于等可能的事件，经典概率可以通过事件的数量比上总的可能性数量来计算。
- 相对频率概率：通过观察事实事件发生的频率来计算概率。
- 主观概率：基于主观估计和判断来计算概率。
5. 概率的性质概率具有一些重要的性质，包括：- 加法法则：对于互斥事件，概率可以通过事件的概率求和来计算。
- 乘法法则：对于独立事件，概率可以通过事件的概率相乘来计算。
6. 条件概率条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
条件概率可以通过将事件的交集概率除以条件事件的概率来计算。
7. 贝叶斯定理贝叶斯定理是用于计算逆条件概率的定理。
它通过已知条件发生的条件下，计算另一个事件发生的概率。
8. 期望值期望值是一个随机变量可能取值的加权平均值。
它可以通过将每个可能值乘以其概率，然后求和来计算。
以上是对随机事件及其概率知识点的简要整理，希望能对您有所帮助。
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高考数学复习讲义：随机事件的概率
所有学生中任抽一人，估计该生的身高在 155.5～170.5 cm
之间的概率约为
()
2
1
2
1
A.5
B.2
C.3
D.3
返回
解析：从已知数据可以看出，在随机抽取的这 20 位学生中， 身高在 155.5～170.5 cm 之间的学生有 8 人，频率为25，故可 估计在该校高二年级的所有学生中任抽一人，其身高在 155.5～170.5 cm 之间的概率约为25. 答案：A
件产品全是次品”，G 表示事件“3 件产品中至少有 1 件是次
品”，则下列结论正确的是
()
A．F 与 G 互斥
B．E 与 G 互斥但不对立
C．E，F，G 任意两个事件均互斥 D．E 与 G 对立
[解析] 由题意得事件 E 与事件 F 不可能同时发生，是互斥
事件；事件 E 与事件 G 不可能同时发生，是互斥事件；当事件
()
返回
二、填空题 1．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”
的互斥事件是____________． 答案：两次都不中靶 2．设事件 A，B，已知 P(A)＝15，P(B)＝13，P(A∪B)＝185， 则 A，B 之间的关系一定为________事件． 答案：互斥
研透高考·深化提能
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(1)从电影公司收集的电影中随机选取 1 部，求这部电影是 获得好评的第四类电影的概率；
(2)随机选取 1 部电影，估计这部电影没有获得好评的概率； (3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致 不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的 好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加 0.1，哪类电 影的好评率减少 0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电 影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)
随机事件的概率知识点总结
随机事件的概率知识点总结事件的分类 1、确定事件必然发生的事件：当A 是必然发生的事件时，P （A ）=1 不可能发生的事件：当A 是不可能发生的事件时，P （A ）=0 2、随机事件：当A 是可能发生的事件时，０＜P （A ）＜１ 概率的意义一般地，在大量重复试验中，如果事件A 发生的频率mn会稳定在某个常数p 附近，那么这个常数p 就叫做事件A 的概率。
概率的表示方法一般地，事件用英文大写字母A ，B ，C ，…，表示事件A 的概率p ，可记为P （A ）=P 概率的求解方法１．利用频率估算法：大量重复试验中，事件A 发生的频率mn会稳定在某个常数p 附近，那么这个常数p 就叫做事件A 的概率（有些时候用计算出Ａ发生的所有频率的平均值作为其概率）．２．狭义定义法：如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，考察事件A 包含其中的m 中结果，那么事件A 发生的概率为P （A ）=nm３．列表法：当一次试验要设计两个因素，可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法．其中一个因素作为行标，另一个因素作为列标．特别注意放回去与不放回去的列表法的不同．如：一只箱子中有三张卡片，上面分别是数字１、２、３，第一抽出一张后再放回去再抽第二次，两次抽到数字为数字１和２或者２和１的概率是多少？若不放回去，两次抽到数字为数字１和２或者２和１的概率是多少？放回去 P （１和２）=92 不放回去P （１和２）=62(3,3)(3,2)(3,1)3(2,3)(2,2)(2,1)2(1,3)(1,2)(1,1)1第一次结果321第二次(3,2)(3,1)3(2,3)(2,1)2(1,3)(1,2)1第一次结果321第二次４．树状图法：当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率．注意：求概率的一个重要技巧：求某一事件的概率较难时，可先求其余事件的概率或考虑其反面的概率再用１减——即正难则反易． 概率的实际意义对随机事件发生的可能性的大小即计算其概率．一方面要评判一些游戏规则对参与游戏者是否公平，就是要看各事件发生概率．另一方面通过对概率的学习让我们更加理智的对待一些买彩票抽奖活动．。
随机事件的概率
随机事件的概率概率理论是一门研究随机事件发生的可能性的数学学科。
通过计算和统计，我们可以了解随机事件发生的概率。
在这篇文章中，我们将探讨随机事件的概念、概率的定义和计算方法，以及一些实际问题中与概率相关的应用。
一、随机事件的概念随机事件是指在一次试验中可能出现的各种结果。
每个结果都有一定的概率发生。
例如，掷骰子时，1到6的点数出现的概率都是相等的，并且总和为1。
我们用事件的符号表示随机事件。
例如，事件A表示掷骰子出现点数为2的结果。
事件B表示掷骰子出现点数为偶数的结果。
事件的发生取决于试验的结果。
如果一个事件发生了，我们称之为该事件发生。
二、概率的定义概率是描述事件发生可能性大小的数值。
概率的取值范围是0到1之间，0表示不可能发生，1表示肯定会发生。
在数学中，我们用P(A)表示事件A的概率。
例如，P(A)表示掷骰子出现点数为2的概率。
概率的计算需要考虑事件发生的可能性和总体样本空间的大小。
三、概率的计算方法1. 经典概率经典概率是指在一次试验中，每个事件发生的可能性相等的情况下，计算事件发生概率的方法。
假设一个袋子里有红、蓝、绿三种颜色的球，每种球的数量相等。
从袋子中随机抽取一球，事件A表示抽到红球的结果。
由于每种颜色出现的概率相等，所以P(A) = 1/3。
2. 统计概率统计概率是通过实验和统计数据来计算事件发生概率的方法。
例如，我们抛硬币的实验中，事件A表示出现正面的结果。
通过大量的实验数据，我们可以统计出正面出现的次数与总实验次数的比值，从而得到事件A的概率。
3. 条件概率条件概率是指在已知一定条件下，某个事件发生的概率。
条件概率用P(A|B)表示，读作在事件B发生的条件下事件A发生的概率。
例如，事件A表示抛一次硬币出现正面的结果，事件B表示抛一次硬币出现的是铜币。
我们知道铜币的一面是正面，因此在已知抛出的是铜币的情况下，事件A发生的概率为1。
四、概率的应用1. 游戏与赌博概率理论在游戏和赌博中扮演着重要的角色。
高中数学完整讲义——概率_随机事件的概率2.随机事件的概率计算
高中数学讲义版块一：事件及样本空间1．必然现象与随机现象必然现象是在一定条件下必然发生某种结果的现象；随机现象是在相同条件下，很难预料哪一种结果会出现的现象．2．试验：我们把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验，把观察结果或实验的结果称为试验的结果．一次试验是指事件的条件实现一次．在同样的条件下重复进行试验时，始终不会发生的结果，称为不可能事件； 在每次试验中一定会发生的结果，称为必然事件；在试验中可能发生，也可能不发生的结果称为随机事件．通常用大写英文字母A B C ，，，来表示随机事件，简称为事件． 3．基本事件：在一次试验中，可以用来描绘其它事件的，不能再分的最简单的随机事件，称为基本事件．它包含所有可能发生的基本结果．所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，常用Ω表示．版块二：随机事件的概率计算1．如果事件A B ，同时发生，我们记作A B ，简记为AB ； 2．一般地，对于两个事件A B ，，如果有()()()P AB P A P B =，就称事件A 与B 相互独立，简称A 与B 独立．当事件A 与B 独立时，事件A 与B ，A 与B ，A 与B 都是相互独立的．3．概率的统计定义一般地，在n 次重复进行的试验中，事件A 发生的频率mn，当n 很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n 的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记为()P A ． 从概率的定义中，我们可以看出随机事件的概率()P A 满足：0()1P A ≤≤． 当A 是必然事件时，()1P A =，当A 是不可能事件时，()0P A =． 4．互斥事件与事件的并互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，或称互不相容事件．由事件A 和事件B 至少有一个发生（即A 发生，或B 发生，或A B ，都发生）所构成的事件C ，称为事件A 与B 的并（或和），记作C A B =．若C A B =，则若C 发生，则A 、B 中至少有一个发生，事件A B 是由事件A 或B 所包含的基本事件组成的集合．5．互斥事件的概率加法公式：若A 、B 是互斥事件，有()()()P A B P A P B =+若事件12n A A A ，，，两两互斥（彼此互斥），有1212()()()()n n P A A A P A P A P A =+++．事件“12n A A A ”发生是指事件12n A A A ，，，中至少有一个发生． 6．互为对立事件知识内容板块二.随机事件的概率计算高中数学讲义 不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件．事件A 的对立事件记作A ．有()1()P A P A =-． <教师备案>1．概率中的“事件”是指“随机试验的结果”，与通常所说的事件不同．基本事件空间是指一次试验中所有可能发生的基本结果．有时我们提到事件或随机事件，也包含不可能事件和必然事件，将其作为随机事件的特例，需要根据情况作出判断．2．概率可以通过频率来“测量”，或者说是频率的一个近似，此处概率的定义叫做概率的统计定义．在实践中，很多时候采用这种方法求事件的概率．随机事件的频率是指事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的稳定性，总是在某个常数附近摆，且随着试验次数的增加，摆动的幅度越来越小，这个常数叫做这个随机事件的概率．概率可以看成频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，频率在大量重复试验的前提下可近似地看作这个事件的概率．3．基本事件一定是两两互斥的，它是互斥事件的特殊情形．主要方法：解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”： 求概率的步骤是：第一步，确定事件性质⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩等可能事件 互斥事件独立事件 n 次独立重复试验，即所给的问题归结为四类事件中的某一种．第二步，判断事件的运算⎧⎨⎩和事件积事件，即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件．第三步，运用公式()()()()()()()()(1)k k n k n n m P A nP A B P A P B P A B P A P B n P k C p p -⎧=⎪⎪⎪+=+⎨⎪⋅=⋅⎪=-⎪⎩等可能事件: 互斥事件： 独立事件： 次独立重复试验:求解第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复．解决此类问题的关键是会正确求解以下六种事件的概率（尤其是其中的（4）、（5）两种概率）： ⑴ 随机事件的概率，等可能性事件的概率； ⑵ 互斥事件有一个发生的概率； ⑶ 相互独立事件同时发生的概率； ⑷ n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率； ⑸ n 次独立重复试验中在第k 次才首次发生的概率； ⑹ 对立事件的概率． 另外：要注意区分这样的语句：“至少有一个发生”，“至多有一个发生”，“恰好有一个发生”，“都发生”，“不都发生”，“都不发生”，“第k 次才发生”等．题型一 概率与频率【例1】下列说法：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小；典例分析高中数学讲义②做n次随机试验，事件A发生的频率mn就是事件的概率；③百分率是频率，但不是概率；④频率是不能脱离具体的n次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；⑤频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确的是（）A．①④⑤B．②④⑤C．①③④D．①③⑤【例2】对某工厂所生产的产品质量进行调查，数据如下：950件合格品，大约需要抽查多少件产品？【例3】某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下：（（2）这位运动员投篮一次，进球的概率为多少？【例4】下列说法：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小；②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的概率为mn；③频率是不能脱离n次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确命题的序号为．【例5】盒中装有4只相同的白球与6只相同的黄球．从中任取一只球．试指出下列事件分别属于什么事件？它们的概率是多少？⑴A=“取出的球是白球”；⑵B=“取出的球是蓝球”；⑶C=“取出的球是黄球”；⑷D=“取出的球是白球或黄球”．高中数学讲义题型二 独立与互斥【例6】（2010辽宁高考）两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为A ．12B ．512C ．14D ．16【例7】掷两枚均匀的骰子，记A =“点数不同”，B =“至少有一个是6点”，判断A 与B 是否为独立事件．【例8】设M 和N 是两个随机事件，表示事件M 和事件N 都不发生的是（ ）A ．M N +B ．M N ⋅C ． M N M N ⋅+⋅D ．M N ⋅【例9】判断下列各对事件是否是相互独立事件⑴ 甲组3名男生、2名女生；乙组2名男生、3名女生，今从甲、乙两组中各选1名同学参加 演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”． ⑵ 容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”．【例10】⑴某县城有两种报纸甲、乙供居民订阅，记事件A 为“只订甲报”，事件B 为“至少订一种报”，事件C 为“至多订一种报”，事件D 为“不订甲报”，事件E 为“一种报也不订”．判断下列每对事件是不是互斥事件，再判断它们是不是对立事件．①A 与C ；②B 与E ；③B 与D ；④B 与C ；⑤C 与E ．高中数学讲义【例11】抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的数是奇数”，事件B为“落地时向上的数是偶数”，事件C为“落地时向上的数是3的倍数”，事件D为“落地时向上的数是6或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（）A．A与B B．B与C C．A与D D．C与D【例12】每道选择题都有4个选择支，其中只有1个选择支是正确的．某次考试共有12道选择题，某人说：“每个选择支正确的概率是14，我每题都选择第一个选择支，则一定有3题选择结果正确”．对该人的话进行判断，其结论是（）A．正确的B．错误的C．模棱两可的D．有歧义的题型三随机事件的概率计算【例13】（2010丰台二模）一个正三角形的外接圆的半径为1，向该圆内随机投一点P，点P恰好落在正三角形外的概率是_________．【例14】（2010崇文一模）从52张扑克牌（没有大小王）中随机的抽一张牌，这张牌是J或Q或K的概率为_______．【例15】（2010朝阳一模）一只小蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行．若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器6个表面中至少有一个的距离不大于10，则就有可能撞到玻璃上而不安全；若始终保持与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃高中数学讲义 容器内飞行到每一位置可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率是（ ）A ．18B ．116C ．127D ．38【例16】（2010东城二模）在直角坐标系xOy 中，设集合{}(,)01,01x y x y Ω=≤≤≤≤，在区域Ω内任取一点(,)P x y ，则满足1x y +≤的概率等于 ．【例17】（2010朝阳一模）在区间[π,π]-内随机取两个数分别记为,a b ，则使得函数22()2πf x x ax b =+-+有零点的概率为（ ）A ．78B ．34C ．12D ．14【例18】（2010东城一模）某人向一个半径为6的圆形标靶射击，假设他每次射击必定会中靶，且射中靶内各点是随机的，则此人射击中靶点与靶心的距离小于2的概率为（ ）A ．113B ．19 C ．14 D ．12【例19】（2010西城一模）在边长为1的正方形ABCD 内任取一点P ，则点P 到点A 的距离小于1的概率为 ．【例20】（2010丰台二模）已知(){},|6,0,0x y x y x y Ω=+≤≥≥，{}(,)4,0,20A x y x y x y =-≤≥≥．若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率是_________．高中数学讲义【例21】（2010朝阳一模）袋子中装有编号为,a b的2个黑球和编号为,,c d e的3个红球，从中任意摸出2个球．⑴写出所有不同的结果；⑵求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率；⑶求至少摸出1个黑球的概率．【例22】（2010崇文二模）在平面直角坐标系xOy中，平面区域W中的点的坐标(,)x y满足225x y+≤，从区域W中随机取点(,)M x y．⑴若x∈Z，y∈Z，求点M位于第四象限的概率；⑵已知直线:(0)l y x b b=-+>与圆22:5O x y+=y x b-+≥的概率．【例23】（2010西城一模）一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1、2、3、4．现从盒子中随机抽取卡片．⑴若一次抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于7的概率；⑵若第一次抽1张卡片，放回后再抽取1张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字3的概率．高中数学讲义【例24】（2010海淀一模）某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费每满100元可以转动如图所示的圆盘一次，其中O为圆心，且标有20元、10元、0元的三部分区域面积相等．假定指针停在任一位置都是等可能的．当指针停在某区域时，返相应金额的优惠券．（例如：某顾客消费了218元，第一次转动获得了20元，第二次获得了10元，则其共获得了30元优惠券．）顾客甲和乙都到商场进行了消费，并按照规则参与了活动．⑴若顾客甲消费了128元，求他获得优惠券面额大于0元的概率？⑵若顾客乙消费了280元，求他总共获得优惠券金额不低于20元的概率？【例25】（2010石景山一模）为援助汶川灾后重建，对某项工程进行竞标，共有6家企业参与竞标．其中A企业来自辽宁省，B、C两家企业来自福建省，D、E、F三家企业来自河南省．此项工程需要两家企业联合施工，假设每家企业中标的概率相同．⑴企业E中标的概率是多少？高中数学讲义⑵在中标的企业中，至少有一家来自河南省的概率是多少？【例26】（2010湖北高考）投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰于向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是A．512B．12C．712D．34【例27】盒子中有大小相同的3只小球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是．【例28】（2010江西高考）一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测．方法一：在100箱中各任意检查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚．国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别为12,p p，则（）A．12p p=B．12p p<C．12p p>D．以上三种情况都有可能【例29】（2010陕西卷高考）铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的2CO的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：高中数学讲义2最少费用为______（百万元）．【例30】甲、乙两人进行击剑比赛，甲获胜的概率是0.41，两人战平的概率是0.27，那甲不输的概率为________甲不获胜的概率为_______．【例31】已知A B ，是相互独立事件，且()0.3P A =，()0.6P B =，则()P A B ⋅=______．【例32】某人射击5枪，命中3枪，3枪中恰有2枪连中的概率为（ ）A ．120B ．110C ．25D ．35【例33】袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率．⑴ 摸出2个或3个白球； ⑵ 至少摸出一个黑球．【例34】一批产品共100件，其中5件是废品，任抽10件进行检查，求下列事件的概率．⑴ 10件产品中至多有一件废品；⑵ 10件产品中至少有一件废品．【例35】（2009湖南卷文）为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类．这三类工程所含项目的个数分别占总数的12，13，16．现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．求：⑴他们选择的项目所属类别互不相同的概率；⑵至少有1人选择的项目属于民生工程的概率．【例36】甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：⑴2人都射中的概率？⑵2人中有1人射中的概率？【例37】（2009全国卷Ⅰ文）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．⑴求再赛2局结束这次比赛的概率；⑵求甲获得这次比赛胜利的概率．【例38】纺织厂某车间内有三台机器，这三台机器在一天内不需工人维护的概率：第一台为0.9，第二台为0.8，第三台为0.85，问一天内：⑴3台机器都要维护的概率是多少？⑵其中恰有一台要维护的概率是多少？⑶至少一台需要维护的概率是多少？【例39】从甲口袋摸出一个红球的概率是13，从乙口袋中摸出一个红球的概率是12，则23是（）A．2个球不都是红球的概率B．2个球都是红球的概率C．至少有一个红球的概率D．2个球中恰好有1个红球的概率【例40】甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为13和14，求：⑴两个人都译出密码的概率；⑵两个人都译不出密码的概率；⑶恰有1个人译出密码的概率；⑷至多1个人译出密码的概率；⑸至少1个人译出密码的概率．【例41】现时盛行的足球彩票，其规则如下：全部13场足球比赛，每场比赛有3种结果：胜、平、负，13场比赛全部猜中的为特等奖，仅猜中12场为一等奖，其它不设奖，则某人获得特等奖的概率为．【例42】从10位同学（其中6女，4男）中，随机选出3位参加测验，每位女同学能通过测验的概率均为45，每位男同学能通过测验的概率均为35，试求：⑴选出的3位同学中至少有一位男同学的概率；⑵10位同学中的女同学甲和乙及男同学丙同时被抽到，且三人中恰有二人通过测验的概率．【例43】（08天津）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p，且乙投球2次均未命中的概率为116．⑴求乙投球的命中率p；⑵求甲投球2次，至少命中1次的概率；⑶若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率．【例44】甲盒中有红、黑、白三种颜色的球各个，乙盒子中有黄、黑、白三种颜色的球各个，32从两个盒子中各取个球，求取出的两个球是不同颜色的概率．【例45】某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得．第1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为，，A B C ，求： ⑴()()()，，P A P B P C ； ⑵1张奖券的中奖概率；⑶1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．【例46】把10张卡片分别写上0129，，，，后，任意叠放在一起，从中任取一张，设“抽到大于3的奇数”为事件A ，“抽到小于7的奇数”为事件B ，求()P A ，()P B 和()P A B ．【例47】甲、乙两人下棋，乙不输的概率是0.7，下成和棋的概率为0.5，分别求出甲、乙获胜的概率．1【例48】黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示：AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若小明因病需要输血，问：⑴任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？⑵任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？【例49】在袋中装20个小球，其中彩球有n个红色、5个蓝色、10个黄色的，其余为白球．求：⑴如果从袋中取出3个都是相同颜色彩球（无白色）的概率是13114，且2≥n，那么，袋中的红球共有几个？⑵根据⑴的结论，计算从袋中任取3个小球至少有一个是红球的概率．【例50】某射手射击一次射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.120.320.270.11，，，，计算这名射手射击一次：⑴射中9环或8环的概率；⑵至少射中7环的概率；⑶至多射中8环的概率．【例51】射击运动员李强射击一次击中目标的概率是0.8，他射击3次，恰好2次击中目标的概率是多少？【例52】在12345，，路车的到来．假如汽车，，，，条线路汽车经过的车站上，有位乘客等候着134经过该站的次数平均来说2345，，，路车是相等的，而1路车是其他各路车次数的总和．试求首先到站的汽车是这位乘客所需要线路的汽车的概率．【例53】（2007年全国I卷文）某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元．⑴求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；⑵求3位位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率．【例54】（2007年全国II卷文）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A ．⑴求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；⑵若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B：“取出的2件产品中至少有一件二等P B．品”的概率()【例55】（2009全国卷Ⅰ文）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．⑴求再赛2局结束这次比赛的概率；⑵求甲获得这次比赛胜利的概率．【例56】为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，万元的前提下，请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大．【例57】某售货员负责在甲、乙、丙三个柜面上售货．如果在某一小时内各柜面不需要售货员照顾的概率分别为0.90.80.7，，．假定各个柜面是否需要照顾相互之间没有影响，求在这个小时内：⑴只有丙柜面需要售货员照顾的概率；⑵三个柜面恰好有一个需要售货员照顾的概率；⑶三个柜面至少有一个需要售货员照顾的概率．【例58】（2006年北京卷）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．，，，且三门课程考试是否及格相互假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是a b c之间没有影响．⑴分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；⑵试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小．（说明理由）【例59】假设飞机的每一台发动机在飞行中的故障率都是1P，且各发动机互不影响．如果至少50%的发动机能正常运行，飞机就可以顺利地飞行．问对于多大的P而言，四发动机飞机比二发动机飞机更安全？【例60】（2009陕西卷文）椐统计，某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为012，，的概率分别为0.4，0.5，0.1⑴求该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率；⑵假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．【例61】某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为45、35、25、15，且各轮问题能否正确回答互不影响．⑴求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；⑵求该选手至多进入第三轮考核的概率．题型四 条件概率【例62】设某批产品有4%是废品，而合格品中的75%是一等品，任取一件产品是一等品的概率是_____．【例63】某地区气象台统计，该地区下雨的概率是415，刮风的概率是215，既刮风又下雨的概率是110，设A =“刮风”，B =“下雨”，求()()P B A P A B ，．【例64】（09上海春）把一枚硬币抛掷两次，事件A =“第一次出现正面”，事件B =“第二次出现反面”，则()_____P B A =．【例65】（2010宣武二模）抛掷一枚质地均匀的骰子，所得点数的样本空间为{}1,2,3,4,5,6S =．令事件{}2,3,5A =，高中数学讲义21 思维的发掘 能力的飞跃 事件{}1,2,4,5,6B =，则()P A B 的值为（ ）A ． 35B ． 12C ． 25D ．15【例66】设某种动物活到20岁以上的概率为0.7，活到25岁以上的概率为0.4，求现龄为20岁的这种动物能活到25岁以上的概率．【例67】抛掷一颗骰子两次，在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下，则第二次掷得向上一面点数也是偶数的概率为 ．【例68】掷两枚均匀的骰子，记A =“点数不同”，B =“至少有一个是6点”，求(|)P A B 与(|)P B A ．。
随机事件的概率与计算
随机事件的概率与计算在日常生活中，我们会遇到许多随机事件，如抛硬币、掷骰子、抽奖等。
而了解这些随机事件发生的概率以及如何进行计算，对我们能够做出合理的决策和判断至关重要。
本文将介绍随机事件的概率概念，以及一些常见的概率计算方法。
一、概率的基本概念概率是描述随机事件发生可能性的数值，在0和1之间取值。
0表示事件绝对不会发生，而1表示事件一定会发生。
一般而言，概率越高，事件发生的可能性就越大。
二、随机事件的分类随机事件可以分为两类：离散型和连续型。
1. 离散型事件：指在有限个取值中取值的事件，例如抛硬币的结果只能是正面或反面。
2. 连续型事件：指在某个区间内取值的事件，例如一个人的身高可以是任意实数。
三、概率计算方法常见的概率计算方法有三种：古典概率、几何概率和统计概率。
1. 古典概率：也称为“理论概率”，适用于等可能性事件。
它的计算公式为：P(A) = n(A) / n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A的样本空间中的元素个数，n(S)表示样本空间中的总元素个数。
2. 几何概率：适用于随机事件的概率与其可能的取值范围的长度成正比的情况。
计算公式为：P(A) = 长度(A) / 长度(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率，长度(A)和长度(S)分别表示事件A和样本空间S的长度。
3. 统计概率：也称为“频率概率”，基于大量重复试验的统计结果。
计算公式为：P(A) = lim(n->∞) (n(A) / n)其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A发生的次数，n表示试验的总次数。
四、概率计算的实例以下是几个概率计算的实例，以帮助更好理解概率的计算过程。
1. 抛硬币的概率假设我们有一枚公平的硬币，它的正反面出现的概率应该相等。
因此，抛一次硬币正反面的概率都是1/2。
2. 掷骰子的概率假设我们有一个六面骰子，每个面的概率都是1/6。
因此，掷一次骰子每个面出现的概率都是1/6。
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随机事件的概率【学习目标】1.了解必然事件，不可能事件，随机事件的概念；2.正确理解事件A 出现的频率的意义；3.正确理解概率的概念和意义，明确事件A 发生的频率f n (A)与事件A 发生的概率P(A)的区别与联系. 【要点梳理】要点一、随机事件的概念在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件.(1)必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S 的必然事件，简称必然事件； (2)不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S 的不可能事件，简称不可能事件；确定事件：必然事件与不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件，简称确定事件.(3)随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S 的随机事件，简称随机事件.要点诠释：1.随机事件是指在一定条件下出现的某种结果，随着条件的改变其结果也会不同，因此强调同一事件必须在相同的条件下进行研究；2.随机事件可以重复地进行大量实验，每次的实验结果不一定相同，但随着实验的重复进行，其结果呈现规律性.要点二、随机事件的频率与概率 1．频率与频数在相同条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数A n 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例()An n f A n为事件A 出现的频率。
2．概率事件A 的概率：在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率nm总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作P(A).由定义可知0≤P(A)≤1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0. 要点诠释： （1）概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小. 求事件A 的概率的前提是：大量重复的试验，试验的次数越多，获得的数据越多，这时用An n来表示()P A 越精确。
（2）任一事件A 的概率范围为0()1P A ≤≤，可用来验证简单的概率运算错误，即若运算结果概率不在[01]，范围内，则运算结果一定是错误的. 3．概率与频率的关系（1）频率是概率的近似值。
随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率，在实际问题中，事件的概率未知时，常用频率作为它的估计值。
（2）频率是一个随机数频率在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到的频率可能相同也可能不同。
（3）概率是一个确定数概率是客观存在的，与每次试验无关。
（4）概率是频率的稳定值随着试验次数的增加，频率就会逐渐地稳定在区间[0，1]中的某个常数上，这个常数就是概率。
要点三、事件间的关系(1)互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件；(2)对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做对立事件；(3)包含：事件A 发生时事件B 一定发生，称事件A 包含于事件B(或事件B 包含事件A)； 要点诠释：从集合角度理解互斥事件为两事件交集为空，对立事件为两事件互补.若两事件A 与B 对立，则A 与B 必为互斥事件，而若事件A 与B 互斥，则不一定是对立事件. “对立”只能是两个事件之间的关系，不会出现多个事件之间相互“对立”. 要点四、事件间的运算 (1)并事件(和事件)若某事件的发生是事件A 发生或事件B 发生，则此事件称为事件A 与事件B 的并事件. 注：当A 和B 互斥时，事件A+B 的概率满足加法公式： P(A+B)=P(A)+P(B)(A 、B 互斥)；且有P(A+A )=P(A)+P(A )=1.(2)交事件(积事件)若某事件的发生是事件A 发生和事件B 同时发生，则此事件称为事件A 与事件B 的交事件. 要点诠释：(1)在应用互斥事件的概率加法公式时，需先判断相关事件是否互斥，特别是在两事件中有一个或两个是由多个事件组成的并事件时，需仔细分清并事件中的每一事件是否都与另一事件互斥.在不互斥的事件中应用互斥事件的概率加法公式是本部分易错点之一.（2）在求某些稍复杂的事情的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和，二是先求此事件的对立事件的概率. （3）“对立”更多的是一种解题思想，若某个事件的概率不易求解，而其对立事件的概率较易求，则应从其对立事件的概率入手求解，以提高解决问题的效率.“对立”思想推广开来即数学中的“正难则反”的思想，若从某个角度解决问题较复杂，不妨考虑其对立面，往往有较好的效果，如反证法的应用等.要点五、概率的性质(1)任一事件A 的概率()P A 有：0()1P A ≤≤；(2)必然事件B 的概率P(B)=1； (3)不可能事件C 的概率P(C)=0. 要点诠释：概率性质的掌握可以类比频率的性质与概率的关系. 【典型例题】类型一：概率的意义例1．掷一枚硬币，连续出现10次正面朝上，试就下面两种情况进行分析． （1）若硬币是均匀的，出现正面向上的概率是12，由于连续出现10次正面，则下次出现反面朝上的概率必大于12，这种理解正确吗？ （2）若就硬币是否均匀作出判断，你更倾向于哪一种结论？ 【答案】（1）不正确（2）硬币不均匀 【解析】 （1）对于均匀硬币，抛掷一次出现正面向上的概率是12，大多数次抛硬币时，大约有12出现正面朝上，而对于抛掷一次来说，其结果是随机的，多次重复抛硬币试验，其结果又呈现一定的规律性，实际上，连续抛掷10次均正面朝上的概率为1010.00097662≈．尽管比较小，但发生的可能性是有的．对于第11次来说，其出现正面的概率仍为12． （2）由（1）知，对于均匀硬币来说，连续10次出现正面朝上的概率很小，几乎是不可能发生的，但这个事件却发生了．根据极大似然法，如果就硬币是否均匀作出判断，我们更倾向于这一枚硬币是不均匀的，即反面可能重一些．【总结升华】 随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性：即随着试验次数的增加，随机事件发生的频率会越来越接近于该随机事件发生的概率．认识了这种随机}生中的规律性，就能使我们比较准确地预测随机事件发生的可能性概率是事件的本质属性，不随试验次数的变化而变化，频率是概率的近似值，同频率一样，概率也反映了事件发生可能性的大小。
但概率只提供了一种“可能性”，并不是精确值．举一反三：【变式1】某射手击中靶心的概率是0.9，是不是说明他射击10次就一定能击中9次？ 【答案】不一定【解析】从概率的统计定义出发，击中靶心的概率是0.9并不意味着射击10次就一定能击中9次，只有进行大量射击试验时，击中靶心的次数约为910n ，其中n 为射击次数，而且当n 越大时，击中的次数就越接近910n 。
类型二：频率与概率例2．某人做了三次向桌面投掷硬币的试验，这三次试验的结果如下：（2）设想：把这三个表格里面的试验次数不断地增加．预测1：每一个表格里面的试验次数增至原来的10倍时，这三次试验中，正面向上的频率是0.5；预测2：随着试验次数的不断增加，这三次试验中，反面向上的概率都是0.5．预测1、预测2正确吗？ 【解析】（1）第一次试验中，正面向上的频率14991000f =． 第二次试验中，正面向上的频率24971000f =． 第三次试验中，正面向上的频率3149749930001000f ==．12f f ≠，说明相同的试验次数下频率可以不同；13f f =，说明不同的试验次数下频率可以相同以≠以，说明不同的试验次数下频率可以不同．综上，就本例提供的信息而言，频率是一个随机数． （2）预测1不正确．以第一次试验为例，当试验次数增至原来的10倍时，试验次数为10000，这时正面向上的频率是0.5，也就是正面向上的次数刚好是5000，这种说法是不对的，因为它有可能是4999，4998，…，也有可能是5001，5002，…，当然不排除它确有可能是5000． 综上，预测1不正确． 预测2正确．当试验次数不断地增加时，反面向上的频痒就会逐渐地稳定在常数0.5上，即三次试验中，反面向上的概率都是0.5．【总结升华】 频率()n f A 依赖于试验次数n 、频率n A ，即()An n f A n=，它是一个随机数．概率P （A ）是指随着试验次数n 的增加，频率()n f A 稳定于区间[0，1]中的一个常数，概率是一个确定的数，它是客观存在的，与每次试验无关．例如，本例的第（2）小题的预测1说明了频率与试验次数、频数有关，它是一个随机数，预测2说明了概率与每次试验无关，它是客观存在的一个确定的数． 举一反三：【变式1】如图所示，A 地到火车站共有两条路径L 1和L 2，现随机抽取100位从A 地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：60 （1）试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；（2）分别求通过路径L 1和L 2所用时间落在上表中各时间段内的频率；（3）现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径． 【答案】（1）0.44（2）略（3）甲应选择L 1；乙应选择L 2 【解析】（1）由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44人， ∴用频率估计相应的概率为0.44．（3）A 1，A 2分别表示甲选择L 1和L 2时，在40分钟内赶到火车站；B 1，B 2分别表示乙选择L 1和L 2时，在50分钟内赶到火车站．由（2）知P （A 1）=0.1+0.2+0.3=0.6，P （A 2）=0.1+0.4=0.5，P （A 1）＞P （A 2）， ∴甲应选择L 1；P （B 1）=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8，P （B 2）=0.1+0.4+0.4=0.9，P （B 2）＞P （B 1）， ∴乙应选择L 2． 类型三：随即事件的关系例3. 某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A 为“只订甲报”，事件B 为“至少订一种报纸”，事件C 为“至多订一种报纸”，事件D 为“不订甲报”，事件E 为“一种报纸也不订”．判断下列事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件：（1）A与C；（2）B与E；（3）B与D；（4）B与C；（5）C与E．【答案】（1）不是互斥事件（2）对立事件（3）不是互斥事件（4）不是互斥事件（5）不是互斥事件【解析】（1）由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．（2）事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故事件B与E 是互斥事件；由于事件B发生会导致事件E一定不发生，且事件E发生会导致事件B一定不发生，故B 与E还是对立事件．（3）事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，也就是说事件B和事件D有可能同时发生，故B与D不是互斥事件．（4）事件B“至少订一种报纸”中包括“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事件C“至多订一种报纸”中包括“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”．由于这两个事件可能同时发生，故B 与C不是互斥事件．（5）由（4）的分析，事件E“一种报纸也不订”仅仅是事件C中的一种可能情况，事件C与事件E 可能同时发生，故C与E不是互斥事件．【总结升华】一定要区分开对立和互斥的定义，互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件；对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做对立事件.举一反三：【变式1】判断下列给出的条件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由.从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1-10各10张)中任取一张.(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.【答案】（1）是互斥事件，但不是对立事件（2）既是互斥事件，又是对立事件（3）既不是互斥事件，也不是对立事件【解析】(1)是互斥事件，但不是对立事件.理由：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”与“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件，同时不能保证其中必有一个发生，因为还可能抽出“方块”或“梅花”，因此二者不是对立事件.(2)既是互斥事件，又是对立事件.理由：“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生.(3)既不是互斥事件，也不是对立事件理由：有可能抽出的牌既是5的倍数，又是点数大于9，如抽得的点数为10的牌.【变式2】把标号为1，2，3，4的四个小球随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得一个.事件“甲分得1号球”与事件“乙分得1号球”是( )(A)互斥但非对立事件(B)对立事件(C)相互独立事件 (D)以上都不对【答案】A类型四：随机事件概率的应用例4．元旦就要到了，某校将举行庆祝活动，每班派1人主持节目．高一（2）班的小明、小华和小利实力相当，又都争着要去，班主任决定用抽签的方式决定，机灵的小强给小华出主意，要小华先抽，说先抽的机会大，你是怎样认为的？说说看．【答案】机会一样大【解析】其实机会是一样的．我们取三张卡片，上面标上1、2、3，抽到1就表示中签，设抽签的次序从上表可以看出：甲、乙、丙依次抽签，一共有六种情况，第一、二两种情况，甲中签；第三、五两种情况，乙中签；第四、六两种情况丙中签．甲、乙、丙中签的可能性都是相同的，即甲、乙、丙的机会是一样的，先抽后抽，机会是均等的，不必争先恐后．【总结升华】抽签中每一个个体被抽到的概率均是相同的，实际上在任何一个抽奖活动中，在前面一个人抽奖而后一个人未知结果的情况下，每个人抽到每张奖票中奖的概率也是相同的，但是由于中奖率太低，所以真正中奖的概率非常小，有兴趣的同学可以统计一下发生在你身边的彩票中奖情况．举一反三：【变式1】如图所示，有两个可以自由转动的均匀转盘A、B．转盘A被平均分成3等份，分别标上1，2，3三个数字；转盘B被平均分成4等份，分别标上3，4，5，6四个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏规则：自由转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字，将指针所指的两个数字相加，如果和是6，那么甲获胜，否则乙获胜．你认为这样的游戏规则公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，怎样修改规则才能使游戏对双方公平？【答案】不公平【解析】列表如下：由表可知，等可能的结果有12种，和为6的结果只有3种．因为P（和为6）=1124，所以甲、乙获胜的概率不相等所以这样的游戏规则不公平．如果将规则改为“和是6或7，则甲胜，否则乙胜”，那么游戏规则是公平的．类型五：互斥事件与对立事件的概率例5．（2015 四川内江模拟）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客点55%．（1）求x，y的值．（2）求顾客一次购物的结算时间超过2分种的概率．【思路点拨】（1）由已知得25+y+10=55，x+30=45，故可确定，y的值；（2）记A：一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟；1A：该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟；2A ：该顾客一次购物的结算时间为3分钟；频率视为概率求出相应的概率，利用互斥事件的概率公式即可得到结论．【解析】（1）由已知得25+y +10=55，x +30=45，所以x =15，y =20； （2）记A ：一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟；1A ：该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟； 2A ：该顾客一次购物的结算时间为3分钟；将频率视为概率可得122010()()()0.3100100P A P A P A =+=+= ∴一位顾客一次购物的结算时间超过2分种的概率为0.3．【总结升华】本题考查学生的阅读能力，考查概率的计算，考查互斥事件，将事件分拆成互斥事件的和是解题的关键． 举一反三：【高清课堂：事件与概率400482 例2】【变式1】一名射手在某次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.28，计算这个射手在这次射击中： （1）射中10环或7环的概率；（2）射中的环数低于7环的概率． 【答案】（1）0.49（2）0.03 【解析】（1）设“射中10环”为事件A ，“射中7环”为事件B ，则“射中10环或7环”的事件为A ∪B ．∴P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）=0.21+0.28=0.49． ∴射中10环或7环的概率为0.49．（2）设“低于7环”为事件E ，则事件E 为“射中7环或8环或9环或10环”．由于“射中7环”“射中8环”“射中9环”“射中10环”彼此互斥． 故()P E =0.21+0.23+0.25+0.28=0.97。