单元质检卷四(B)

单元质检卷四三角函数、解三角形(B)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.若将函数y=sin 2x的图象向左平移π6个单位长度,则平移后的图象()A.关于点(-π12,0)对称B.关于直线x=-π12对称C.关于点(π12,0)对称D.关于直线x=π12对称2.设△ABC的内角A,B,C所对边分别为a,b,c,若a=3,b=√3,A=π3,则B=()A.π6B.5π6C.π6或5π6D.2π33.(2017东北三校联考)若两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东20°方向上,灯塔B在观察站C的南偏东40°方向上,则灯塔A与灯塔B的距离为()A.a kmB.√2a kmC.2a kmD.√3a km4.(2017山东烟台一模,理8)已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π),其导函数的图象f'(x)如图所示,则f(π2)的值为()A.2√3B.2C.2√2D.4〚导学号〛5.(2017江西新余一中模拟七,理10)已知函数f(x)=A cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,其中N,P的坐标分别为(5π8,-A),(11π8,0),则函数f(x)的单调递减区间不可能为()A.[π8,5π8] B.[-7π8,-3π8]C.[9π4,21π8] D.[9π8,33π8]〚导学号〛6.(2017福建厦门二模,理7)已知函数f(x)=√3sin(2x+φ)+cos(2x+φ)为偶函数,且在[0,π4]上是增函数,则φ的一个可能值为()A.π3B.2π3C.4π3D.5π3二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.(2017河北邯郸二模,理15)在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,△ABC 的面积为S ,(a 2+b 2)tanC=8S ,则sin 2A+sin 2Bsin 2C =. 8.化简2sin (π-α)+sin2α2cos 2α2= .三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)(2017福建厦门二模,理17)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且b cos C=(2a-c )cos B. (1)求角B 的大小;(2)已知b=√3,BD 为AC 边上的高,求BD 的取值范围.10.(15分)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,b ≠c ,且sin 2C-sin 2B=√3sin B cos B-√3sin C cos C.(1)求角A 的大小;(2)若a=√3,sin C=34,求△ABC 的面积.〚导学号〛11.(15分)(2017黑龙江大庆三模,理17)已知在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且cosBb +cosCc =2√3sinA3sinC. (1)求b 的值;(2)若cos B+√3sin B=2,求a+c 的取值范围.〚导学号〛参考答案单元质检卷四 三角函数、解三角形(B )1.D 平移后得y=sin (2x +π3)的图象,令2x+π3=k π,k ∈Z ,可得x=kπ2−π6,k ∈Z ,图象的对称中心为(kπ2−π6,0),k ∈Z ,故排除A,C;令2x+π3=k π+π2,k ∈Z ,可得对称轴方程为x=kπ2+π12,k ∈Z ,故排除B,故选D .2.A ∵a=3,b=√3,A=π3,∴由正弦定理,得sin B=bsinA a=√3×√323=12.∵a>b ,A 为锐角, ∴B=π6.故选A .3.D 依题意知∠ACB=180°-20°-40°=120°,在△ABC 中,由余弦定理知AB=√a 2+a 2-2×a ×a ×(-12)=√3a (km),即灯塔A 与灯塔B 的距离为√3a km .4.D 函数的导函数f'(x )=ωA cos(ωx+φ),由图象可知f'(x )的周期为4π.所以ω=12.又因为A ω=2,所以A=4.函数f'(x )经过(3π2,-2), 所以-2=2cos (12×3π2+φ),所以12×3π2+φ=2k π+π,k ∈Z ,又0<φ<π,所以φ=π4. 所以f (x )=4sin (12x +π4). 所以f (π2)=4sin (12×π2+π4)=4.5.D 根据题意,设函数f (x )=A cos(ωx+φ)的周期为T ,则34T=11π8−5π8=3π4,解得T=π.又选项D 中,区间长度为33π8−9π8=3π,∴f (x )在区间[9π8,33π8]上不是单调减函数.故选D .6.C 根据题意,f (x )=√3sin(2x+φ)+cos(2x+φ)=2[√32sin (2x +φ)+12cos (2x +φ)]=2sin (2x +φ+π6),若f (x )为偶函数,则有φ+π6=k π+π2,k ∈Z ,即φ=k π+π3,k ∈Z , 分析选项,可以排除B,D,对于A,当φ=π3时,f (x )=2sin (2x +π2)=2cos 2x ,在[0,π4]上是减函数,不符合题意, 对于C,当φ=4π3时,f (x )=2sin (2x +3π2)=-2cos 2x ,在[0,π4]上是增函数,符合题意,故选C . 7.2 ∵(a 2+b 2)tan C=8S ,∴(a 2+b 2)sin C=8×12ab sin C×cos C ,即a 2+b 2=4ab cos C=4ab·a 2+b 2-c 22ab,可得a 2+b 2=2c 2,由正弦定理得sin 2A+sin 2Bsin 2C=a 2+b 2c 2=2.8.2sin α 由2sin (π-α)+sin2α2cos 2α2=2sinα+2sinαcosα1+cosα=2sinα(1+cosα)1+cosα=2sin α.9.解 (1)由b cos C=(2a-c )cos B 得b·a 2+b 2-c 22ab=(2a-c )a 2+c 2-b 22ac,化简得a 2+c 2-b 2=ac ,∴cos B=a 2+c 2-b 22ac=12.∵B ∈(0,π),∴B=π3.(2)设BD 为AC 边上的高,为h ,∵S=12ac sin B=12bh , ∴h=√3ac 2b=12ac ,由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2ac cos B ⇒a 2+c 2-ac=3⇒3≥2ac-ac ,当且仅当a=c 时,等号成立.∴ac ≤3,∴h=12ac ≤32.故BD 的取值范围为(0,32]. 10.解 (1)由题意,得1-cos2C2−1-cos2B2=√32sin 2B-√32sin 2C , 整理,得√32sin 2B-12cos 2B=√32sin 2C-12cos 2C , 即sin (2B -π6)=sin (2C -π6).由b ≠c ,得B ≠C.因为B+C ∈(0,π),所以2B-π6+2C-π6=π, 所以B+C=2π3,所以A=π3.(2)因为在△ABC 中,a=√3,A=π3,sin C=34,由正弦定理,得√3sinπ3=c34,解得c=32.由c<a ,得C<A.所以cos C=√74.又因为sin B=sin(A+C )=sin A cos C+cos A sin C=√32×√74+12×34=3+√218,所以S △ABC =12ac sin B=12×√3×32×3+√218=932(√3+√7).11.解 (1)在△ABC 中,cosB b+cosC c=2√3sinA 3sinC,∴a 2+c 2-b 22abc+b 2+a 2-c 22abc =2√3a 3c ,∴2a 22abc=2√3a3c,解得b=√32.(2)∵cos B+√3sin B=2,∴cos B=2-√3sin B ,∴sin 2B+cos 2B=sin 2B+(2-√3sin B )2=4sin 2B-4√3sin B+4=1, ∴4sin 2B-4√3sin B+3=0,解得sin B=√32;从而求得cos B=12,∴B=π3.由正弦定理得a sinA =c sinC =bsinB =√32sin π3=1,∴a=sin A ,c=sin C.由A+B+C=π得A+C=2π3,∴C=2π3-A ,且0<A<2π3,∴a+c=sin A+sin C=sin A+sin (2π3-A)=sin A+sin 2π3cos A-cos 2π3sin A=32sin A+√32cosA=√3sin (A +π6).∵0<A<2π3,∴π6<A+π6<5π6,∴12<sin (A +π6)≤1, ∴√32<√3sin (A +π6)≤√3, ∴a+c 的取值范围是(√32,√3].。