立体几何证明定理及性质总结
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一．直线和平面的三种位置关系：
1.
线面平行 2. 线面相交
l
符号表示：
符号表示：
3. 线在面内
符号表示：
二．平行关系：
1.线线平行：
方法一：用线面平行实现。方法二：用面面平行
实现。
m
l
m
l
l
//
//
⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=
⋂
⊂
β
α
β
α
m
l
m
l//
//
⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=
⋂
=
⋂
β
γ
α
γ
β
α
方法三：用线面垂直实现。若α
α⊥
⊥m
l,，则m
l//。
2.线面平行：
方法一：用线线平行实现。
α
α
α//
//
l
l
m
m
l
⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⊄
⊂
方法二：用面面平行实现。
α
β
β
α
//
//
l
l
⇒
⎭
⎬
⎫
⊂
3.面面平行：
方法一：用线线平行实现。方法二：用线面
平行实现
l
βααβ//',','
//'//⇒⎪⎪
⎭⎪
⎪
⎬
⎫
⊂⊂且相交且相交m l m l m m l l 。βαβαα//,////⇒⎪⎭
⎪⎬⎫⊂且相交m l m l
三．垂直关系： 1. 线面垂直：
方法一：用线线垂直实现。 方法二：用面面垂直实现。
α
α⊥⇒⎪⎪
⎭⎪⎪⎬⎫
⊂=⋂⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC
l ,
αββαβα⊥⇒⎪⎭⎪
⎬⎫⊂⊥=⋂⊥l l m l m , 2. 面面垂直：
方法一：用线面垂直实现。 方法二：计算所成二面角为直角。
βαβα⊥⇒⎭
⎬⎫
⊂⊥l l
3.
线线垂直：
方法一：用线面垂直实现。
m l m l ⊥⇒⎭
⎬⎫
⊂⊥αα
方法二：三垂线定理及其逆定理。
PO l OA l PA l αα⊥⎫
⎪
⊥⇒⊥⎬⎪⊂⎭