函数的概念教学PPT
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恩格尔 系数 （%）
1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 46.4 44.5 41.9 39.2 37.9
恩格尔系数
食物支出 总支出
思考1：用t表示时间，r表示恩格尔系数，那 么t和r的变化范围分别是什么？
2. 函数的三要素:
定义域A； 值域{f(x)|x∈A}； 对应法则f.
(1)函数符号y＝f (x) 表示y是x的函数， f (x)不是表示 f 与x的乘积；
(2) f 表示对应法则，不同函数中f 的具 体含义不一样；
3.已学函数的定义域和值域
函数
对应法则
定义 域
值域
正比例 函数
反比例 函数
区间的概念
设a,b是两个实数，而且a<b, 我们规定： (1)、满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间， 表示为 [a,b] (2)、满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间， 表示为 (a,b) (1)、满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫 做半开半闭区间，表示为 [a,b)或(a,b]
这里的实数a与b都叫做相应区间的端点。
实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作 “无穷大”。满足x≥ a,x>a ,x ≤b, x<b的实数的集 合分别表示为[a, +∞)、(a, +∞)、(-∞,b]、(-∞,b).
注意：①区间是一种表示连续性的数集
②定义域、值域经常用区间表示
③实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不 包括在区间内的端点。
例5 已知函数 f (x) 3x 6,求 f (2), f (a), f (m n), f ( f (x)).
解：f (2) 3 2 6 12 f (a) 3 a 6 3a 6 f (m n) 3 (m n) 6 3(m n) 6 f ( f (x)) 3 f (x) 6 3(3x 6) 6 9x 24
③因f(x)=5(x∈R),这个函数值不随x的变化范围而 变化，所以f(0)=5也成立
④定义域和对应关系确定后，函数值也就确定了 正确有(C )
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
下列例4、例5、例6是否满足函数定义
例4 若物体以速度v作匀速直线运动，则 物体通过的距离S与经过的时间t的关系 是S＝vt.
（2）y 3 x3 x (x R) ,这个函数与函数 y x (x R)
不仅对应关系相同，而且定义域也相同，所以这个函数
与函数 y x (x R) 相等。
例4 下列各组中的两个函数是否为相同的 函数？
(1) y (x 3)( x 5) 与 y x 5 x3
(2) y x 1 x 1 与 y (x 1)( x 1)
f ( 2)，f (a 1).
f ( 2) 3( 2)2 5( 2) 2 8 5 2 f (a 1) 3 (a 1)2 5(a 1) 2 3a2 a
已知函数f (x) 3x2 2x 3 (1)、求f (2), f (2), f (2) f (2) (2)、求f (a), f (a), f (a) f (a)
①y是x的函数 ②对于不同的x,y的值也不同 ③ f(a)表示当x=a时函数f(x)的值，是一个常量 ④ f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
例3、给出四个命题：
①定义域相同，值域相同的两个函数相等。
②若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只 有一个元素
1.2.1 函数的概念
问题提出
• 1.在初中我们学习了哪几种基本函数？其 函数解析式分别是什么？
一次函数：y kx b (k 0) ； 二次函数：y ax2 bx c (a 0) ；
反比例函数：y
k x
(k
0)
2.初中对函数概念是怎样定义的？
在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且 对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与 其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
定义域、对应关系、值域；
函数的值域由函数的定义域和对应关系所确定；
定义域相同，对应关系完全一致,则两个函数 相等.
下列可作为函数y= f (x)的图象的是
y
y
y
a
a b
a b
O x0 x b
O
x0 x
O x0 x
Ａ
Ｂ
Ｃ
y
O
x
Ｄ√
练习: 判断下列关系式是否是函数？并说明理由。
(1) y 1, x R
试用区间表示下列实数集
（1）{x|5 ≤ x<6} （2） {x|x ≥9} （3） {x|x ≤ -1} ∩{x| -5 ≤ x<2} （4） {x|x < -9}∪{x| 9 < x<20}
[5,6) [9,) (,1] [5,2) (,9) (9,20)
• 例6.已知函数 f (x) 5 x 1 x2
求下列函数的定义域
（1）
f (x) 1 x | x |
（2） （4）
f
(
x)
1
1
1
x
4 x2 f (x)
x 1
（5） f (x) 1 x x 3 1
例2 已知函数f (x) 3x2 5x 2,
求f (3), f ( 2), f (a 1).
解：f (3) 332 53 2 14
•思考：如何理解“ y f (x) ”？
•符号y=f(x)表示“ y是变量x的函数”， 它仅仅是函数符号，并不表示y等于f与 x的乘积。
• 思考：f (x)与f (a) (a为常数)的区别和联系。
• 当a为常数时，f(a)表示的是自变量 x=a时对应的函数值，是一个常数。
自变量的取值范围A叫做函数的定义域； 函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函 数，记作 y=f(x)，x∈A.
其中，x叫做自变量，与x值相对应的y值叫做
函数值.
解释定义
• ①A,B是非空的数集。 • ②对应关系
• 思考：“按照某种确定的对应关系f ”
是什么意思？ • f 可以看作是对“x”施加的某种运算 或法则。例如：f (x) x2，f 就是对自变量 x求平方。
y kx(k 0) R
k
y
wenku.baidu.com
(k x
0) {x | x 0}
R
{ y | y 0}
y kx b
一次函数 (k 0)
R
R
y ax2 bx c 二次函数 (a 0)
R
a 0时{ y | y 4ac b2 } 4a
a 0时{ y | y 4ac b2 }
4a
3.已学函数的定义域和值域
知识探究（一）
• 一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中
目标.炮弹的射高为845m，且炮弹距离地面 的高度h（单位：m）随时间t（单位：s） 变化的规律是：h＝130t-5t2.
思考1：这里的变量t的变化范围是什么？变量h的变化范 围是什么？试用集合表示？
A＝{t|0≤t≤26}，B＝{h|0≤h≤845}
(3) f (x) ( 2x 5)2 与 f (x) 2x 5
• （1）定义域不同。 • （2）定义域不同。 • （3）定义域和值域都不同。
练习：判断下列函数f(x)与g(x)是否表示相 等的函数，并说明理由？
(1) f (x) (x 1)0, g(x) 1 (2) f (x) x; g(x) x2 (3) f (x) x2; g(x) (x 1)2 (4) f (x) x ; g(x) x2
S（106km2）
30 26 25 20 15 10 5 0
1979 1981 1983 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999 2001 t（年
• 思考1：根据曲线分析，时间t的变化范围是什 么？臭氧层空洞面积S的变化范围是什么？试 用集合表示？
A＝{t|1979≤t≤2001}；B＝{s|0≤s≤26}
(5)如果是实际问题，是 使实际问题有意义的实数的集合
例题讲解
例1 求下列函数的定义域：
⑴(1) f (x) 1 x2
⑵(2) f (x) 3x 2
(3)
⑶f
(
f
x)
(x)
x
x
1
1
1
1 2.
x
2 x
解:(1)要使函数有意义，只需 x 2 0
即
x
2，所以函数
f
(x)
x
1
2
的定义域为
{x | x 2}。
反比例函数 一次函数
y
k x
y axb (a 0)
(k 0)
二次函数
y ax2 bxc (a 0)
a> 0
a< 0
图像
定义域 {x| x 0} 值域 {y| y 0}
b 2a
4ac b2 4a
4ac b2 4a
b 2a
R
R
R
R
{y
|
y
4ac4a b2}{ y
|
y
4ac 4a
b2}
例3 下列哪个函数与 y x是同一个函数？
（1）y ( x )2 (2) y 3 x3
(3) y x2
(4) y x2 x
解：（1）y ( x )2 x (x 0) , 这个函数与函数
y x (x R) 虽然对应关系相同，但是定义域不相同。
所以这个函数与函数 y x (x R) 不相等。
思考2：高度变量h与时间变量t之间的对应关系是否为函 数？若是，其自变量是什么？
思考3：炮弹在空中的运行轨迹是什么？射高845m是怎 样得到的？
知识探究（二）
• 近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而 出现了臭氧层空洞问题. 下图中的曲线显示了 南极上空臭氧层空洞的面积从1979～2001年 的变化情况.
（1）求f(x)的定义域； （2）求f(x+3)的表达式，以及f(x+3)的定义域。 （3）求f(2x+1)的表达式，以及f(2x+1)的定义域。
例5 某水库的存水量Q与水深h (指最深处 的水深)如下表：
水深 h(米) 0 5 10 15 20 25
存水量 Q(立方) 0 20 40 90 160 275
例6 设时间为t，气温为T(℃)，自动测温 仪测得某地某日从凌晨0点到半夜24点 的温度曲线如下图.
T(℃)
20
15
10
5
0
t
6 12 18 24
(2) y 1 x x 2 (3) y 1 x2
判断下列对应能否表示y是x的函数
（1） y=|x|
（2）|y|=x
（3） y=x 2
（4）y2 =x
（5） y2+x2=1 （6）y2-x2=1
(1)能 (2)不能 (4)不能 (5)不能
(3)能 (6)不能
例2、对于函数y=f (x)，以下说法正确的有( B )
思考3：在从集合A到集合B的一个函数f：
A→B中，集合A是函数的定义域，集合B是 函数的值域吗？怎样理解f(x)=1，x∈R？
例如： A {0,1,2} , B {0,2,4,5} , f : A B
f (x) 2x
定义域为{0,1,2}，值域为{0,2,4}
思考4：一个函数由哪几个部分组成？如果给 定函数的定义域和对应关系，那么函数的值 域确定吗？两个函数相等的条件是什么？
A={1991，1992，…，2001}，B={53.8， 52.9,50.1，49.9，48.6，46.4，44.5，41.9， 39.2，37.9}
思考2：时间变量t与恩格尔系数r之间的对应 关系是否为函数？
知识探究（四）
思考1：从集合与对应的观点分析，上述三个 实例中变量之间的关系都可以怎样描述？
思考2：时间变量t与臭氧层空洞面积S之间的对 应关系是否为函数？若是，其自变量是什么？
思考3：这里表示函数关系的方式与上例有什 么不同？
知识探究（三）
国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质 量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.下表 是“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变 化情况.
时间 （年）
对于数集A中的每一个x，按照某种对 应关系f，在数集B中都有唯一确定的y 和它对应，记作 f：A→B.
思考2：上述三个实例中变量之间的关系都是函数， 那么从集合与对应的观点分析，函数还可以怎样定 义？
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对 应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在 集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，
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4.求函数定义域应注意的问题：
(1)如果y=f (x)是整式，则定义域是 实数集R (2)如果y=f (x)是分式，则定义域是
使分母不等于0的实数的集合 (3)如果y=f (x)是二次根式，则定义域是
使根号内的式子大于或等于0的实数的集合
(4)如果y=f (x)是由几个部分的式子构成的，则定义域是 使各部分式子都有意义的实数的集合(即各集合的交集)
1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 46.4 44.5 41.9 39.2 37.9
恩格尔系数
食物支出 总支出
思考1：用t表示时间，r表示恩格尔系数，那 么t和r的变化范围分别是什么？
2. 函数的三要素:
定义域A； 值域{f(x)|x∈A}； 对应法则f.
(1)函数符号y＝f (x) 表示y是x的函数， f (x)不是表示 f 与x的乘积；
(2) f 表示对应法则，不同函数中f 的具 体含义不一样；
3.已学函数的定义域和值域
函数
对应法则
定义 域
值域
正比例 函数
反比例 函数
区间的概念
设a,b是两个实数，而且a<b, 我们规定： (1)、满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间， 表示为 [a,b] (2)、满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间， 表示为 (a,b) (1)、满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫 做半开半闭区间，表示为 [a,b)或(a,b]
这里的实数a与b都叫做相应区间的端点。
实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作 “无穷大”。满足x≥ a,x>a ,x ≤b, x<b的实数的集 合分别表示为[a, +∞)、(a, +∞)、(-∞,b]、(-∞,b).
注意：①区间是一种表示连续性的数集
②定义域、值域经常用区间表示
③实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不 包括在区间内的端点。
例5 已知函数 f (x) 3x 6,求 f (2), f (a), f (m n), f ( f (x)).
解：f (2) 3 2 6 12 f (a) 3 a 6 3a 6 f (m n) 3 (m n) 6 3(m n) 6 f ( f (x)) 3 f (x) 6 3(3x 6) 6 9x 24
③因f(x)=5(x∈R),这个函数值不随x的变化范围而 变化，所以f(0)=5也成立
④定义域和对应关系确定后，函数值也就确定了 正确有(C )
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
下列例4、例5、例6是否满足函数定义
例4 若物体以速度v作匀速直线运动，则 物体通过的距离S与经过的时间t的关系 是S＝vt.
（2）y 3 x3 x (x R) ,这个函数与函数 y x (x R)
不仅对应关系相同，而且定义域也相同，所以这个函数
与函数 y x (x R) 相等。
例4 下列各组中的两个函数是否为相同的 函数？
(1) y (x 3)( x 5) 与 y x 5 x3
(2) y x 1 x 1 与 y (x 1)( x 1)
f ( 2)，f (a 1).
f ( 2) 3( 2)2 5( 2) 2 8 5 2 f (a 1) 3 (a 1)2 5(a 1) 2 3a2 a
已知函数f (x) 3x2 2x 3 (1)、求f (2), f (2), f (2) f (2) (2)、求f (a), f (a), f (a) f (a)
①y是x的函数 ②对于不同的x,y的值也不同 ③ f(a)表示当x=a时函数f(x)的值，是一个常量 ④ f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
例3、给出四个命题：
①定义域相同，值域相同的两个函数相等。
②若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只 有一个元素
1.2.1 函数的概念
问题提出
• 1.在初中我们学习了哪几种基本函数？其 函数解析式分别是什么？
一次函数：y kx b (k 0) ； 二次函数：y ax2 bx c (a 0) ；
反比例函数：y
k x
(k
0)
2.初中对函数概念是怎样定义的？
在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且 对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与 其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
定义域、对应关系、值域；
函数的值域由函数的定义域和对应关系所确定；
定义域相同，对应关系完全一致,则两个函数 相等.
下列可作为函数y= f (x)的图象的是
y
y
y
a
a b
a b
O x0 x b
O
x0 x
O x0 x
Ａ
Ｂ
Ｃ
y
O
x
Ｄ√
练习: 判断下列关系式是否是函数？并说明理由。
(1) y 1, x R
试用区间表示下列实数集
（1）{x|5 ≤ x<6} （2） {x|x ≥9} （3） {x|x ≤ -1} ∩{x| -5 ≤ x<2} （4） {x|x < -9}∪{x| 9 < x<20}
[5,6) [9,) (,1] [5,2) (,9) (9,20)
• 例6.已知函数 f (x) 5 x 1 x2
求下列函数的定义域
（1）
f (x) 1 x | x |
（2） （4）
f
(
x)
1
1
1
x
4 x2 f (x)
x 1
（5） f (x) 1 x x 3 1
例2 已知函数f (x) 3x2 5x 2,
求f (3), f ( 2), f (a 1).
解：f (3) 332 53 2 14
•思考：如何理解“ y f (x) ”？
•符号y=f(x)表示“ y是变量x的函数”， 它仅仅是函数符号，并不表示y等于f与 x的乘积。
• 思考：f (x)与f (a) (a为常数)的区别和联系。
• 当a为常数时，f(a)表示的是自变量 x=a时对应的函数值，是一个常数。
自变量的取值范围A叫做函数的定义域； 函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函 数，记作 y=f(x)，x∈A.
其中，x叫做自变量，与x值相对应的y值叫做
函数值.
解释定义
• ①A,B是非空的数集。 • ②对应关系
• 思考：“按照某种确定的对应关系f ”
是什么意思？ • f 可以看作是对“x”施加的某种运算 或法则。例如：f (x) x2，f 就是对自变量 x求平方。
y kx(k 0) R
k
y
wenku.baidu.com
(k x
0) {x | x 0}
R
{ y | y 0}
y kx b
一次函数 (k 0)
R
R
y ax2 bx c 二次函数 (a 0)
R
a 0时{ y | y 4ac b2 } 4a
a 0时{ y | y 4ac b2 }
4a
3.已学函数的定义域和值域
知识探究（一）
• 一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中
目标.炮弹的射高为845m，且炮弹距离地面 的高度h（单位：m）随时间t（单位：s） 变化的规律是：h＝130t-5t2.
思考1：这里的变量t的变化范围是什么？变量h的变化范 围是什么？试用集合表示？
A＝{t|0≤t≤26}，B＝{h|0≤h≤845}
(3) f (x) ( 2x 5)2 与 f (x) 2x 5
• （1）定义域不同。 • （2）定义域不同。 • （3）定义域和值域都不同。
练习：判断下列函数f(x)与g(x)是否表示相 等的函数，并说明理由？
(1) f (x) (x 1)0, g(x) 1 (2) f (x) x; g(x) x2 (3) f (x) x2; g(x) (x 1)2 (4) f (x) x ; g(x) x2
S（106km2）
30 26 25 20 15 10 5 0
1979 1981 1983 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999 2001 t（年
• 思考1：根据曲线分析，时间t的变化范围是什 么？臭氧层空洞面积S的变化范围是什么？试 用集合表示？
A＝{t|1979≤t≤2001}；B＝{s|0≤s≤26}
(5)如果是实际问题，是 使实际问题有意义的实数的集合
例题讲解
例1 求下列函数的定义域：
⑴(1) f (x) 1 x2
⑵(2) f (x) 3x 2
(3)
⑶f
(
f
x)
(x)
x
x
1
1
1
1 2.
x
2 x
解:(1)要使函数有意义，只需 x 2 0
即
x
2，所以函数
f
(x)
x
1
2
的定义域为
{x | x 2}。
反比例函数 一次函数
y
k x
y axb (a 0)
(k 0)
二次函数
y ax2 bxc (a 0)
a> 0
a< 0
图像
定义域 {x| x 0} 值域 {y| y 0}
b 2a
4ac b2 4a
4ac b2 4a
b 2a
R
R
R
R
{y
|
y
4ac4a b2}{ y
|
y
4ac 4a
b2}
例3 下列哪个函数与 y x是同一个函数？
（1）y ( x )2 (2) y 3 x3
(3) y x2
(4) y x2 x
解：（1）y ( x )2 x (x 0) , 这个函数与函数
y x (x R) 虽然对应关系相同，但是定义域不相同。
所以这个函数与函数 y x (x R) 不相等。
思考2：高度变量h与时间变量t之间的对应关系是否为函 数？若是，其自变量是什么？
思考3：炮弹在空中的运行轨迹是什么？射高845m是怎 样得到的？
知识探究（二）
• 近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而 出现了臭氧层空洞问题. 下图中的曲线显示了 南极上空臭氧层空洞的面积从1979～2001年 的变化情况.
（1）求f(x)的定义域； （2）求f(x+3)的表达式，以及f(x+3)的定义域。 （3）求f(2x+1)的表达式，以及f(2x+1)的定义域。
例5 某水库的存水量Q与水深h (指最深处 的水深)如下表：
水深 h(米) 0 5 10 15 20 25
存水量 Q(立方) 0 20 40 90 160 275
例6 设时间为t，气温为T(℃)，自动测温 仪测得某地某日从凌晨0点到半夜24点 的温度曲线如下图.
T(℃)
20
15
10
5
0
t
6 12 18 24
(2) y 1 x x 2 (3) y 1 x2
判断下列对应能否表示y是x的函数
（1） y=|x|
（2）|y|=x
（3） y=x 2
（4）y2 =x
（5） y2+x2=1 （6）y2-x2=1
(1)能 (2)不能 (4)不能 (5)不能
(3)能 (6)不能
例2、对于函数y=f (x)，以下说法正确的有( B )
思考3：在从集合A到集合B的一个函数f：
A→B中，集合A是函数的定义域，集合B是 函数的值域吗？怎样理解f(x)=1，x∈R？
例如： A {0,1,2} , B {0,2,4,5} , f : A B
f (x) 2x
定义域为{0,1,2}，值域为{0,2,4}
思考4：一个函数由哪几个部分组成？如果给 定函数的定义域和对应关系，那么函数的值 域确定吗？两个函数相等的条件是什么？
A={1991，1992，…，2001}，B={53.8， 52.9,50.1，49.9，48.6，46.4，44.5，41.9， 39.2，37.9}
思考2：时间变量t与恩格尔系数r之间的对应 关系是否为函数？
知识探究（四）
思考1：从集合与对应的观点分析，上述三个 实例中变量之间的关系都可以怎样描述？
思考2：时间变量t与臭氧层空洞面积S之间的对 应关系是否为函数？若是，其自变量是什么？
思考3：这里表示函数关系的方式与上例有什 么不同？
知识探究（三）
国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质 量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.下表 是“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变 化情况.
时间 （年）
对于数集A中的每一个x，按照某种对 应关系f，在数集B中都有唯一确定的y 和它对应，记作 f：A→B.
思考2：上述三个实例中变量之间的关系都是函数， 那么从集合与对应的观点分析，函数还可以怎样定 义？
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对 应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在 集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，
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4.求函数定义域应注意的问题：
(1)如果y=f (x)是整式，则定义域是 实数集R (2)如果y=f (x)是分式，则定义域是
使分母不等于0的实数的集合 (3)如果y=f (x)是二次根式，则定义域是
使根号内的式子大于或等于0的实数的集合
(4)如果y=f (x)是由几个部分的式子构成的，则定义域是 使各部分式子都有意义的实数的集合(即各集合的交集)