函数的概念教学PPT
合集下载
3.1.1 函数的概念 课件(1)-人教A版高中数学必修第一册(共35张PPT)
思考：根据对应关系S=350t，这趟列车加速到350km/h后，运行1h就前进 了350km，这个说法正确吗？
不正确。
对应关系应为S=350t，其中，t A1 {t | 0 t 0.5}, s B1 {s | 0 s 175}
问题2 某电气维修告诉要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天。如果 公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为 该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w（单位：元）是他工作 天数d的函数吗？
ab ab
实数集R可以表示为（-∞，+ ∞）
x≥a
x >a
x≤b
x<b
[a，+∞） （a，+∞） （ -∞ ，b] （-∞，b）
注意： 1.区间（a,b）,必须有b>a 2.区间只能表示数集 3.区间不能表示单元素集 4.区间不能表示不连续的数集 5.区间的左端点必须小于右端点； 6.区间都可以用数轴表示； 7.以“－∞”或“＋∞”为区间的一端时，这一端必须是小括号.
第三章
人教2019A版必修 第一册
函数概念与性质
3.1.1 函数的概念
1.初中学习的函数的定义是什么？
设在一个变化过程中有两个变量x和y， 如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与 它对应，那么就说y是x的函数.其中x叫自 变量，y叫因变量.
2.回顾初中学过哪些函数？
（1）一次函数 y ax b,(a 0)
（2）正比例函数
y k , (k 0) x
（3）反比例函数 y kx, (k 0)
（4）二次函数 y ax2 bx c,(a 0)
问题1. 某“复兴号”高速列车到350km/h后保持匀速运行半小时。这段时间内， 列车行进的路程S（单位：km）与运行时间t（单位：h）的关系可以表示 为 S=350t。
不正确。
对应关系应为S=350t，其中，t A1 {t | 0 t 0.5}, s B1 {s | 0 s 175}
问题2 某电气维修告诉要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天。如果 公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为 该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w（单位：元）是他工作 天数d的函数吗？
ab ab
实数集R可以表示为（-∞，+ ∞）
x≥a
x >a
x≤b
x<b
[a，+∞） （a，+∞） （ -∞ ，b] （-∞，b）
注意： 1.区间（a,b）,必须有b>a 2.区间只能表示数集 3.区间不能表示单元素集 4.区间不能表示不连续的数集 5.区间的左端点必须小于右端点； 6.区间都可以用数轴表示； 7.以“－∞”或“＋∞”为区间的一端时，这一端必须是小括号.
第三章
人教2019A版必修 第一册
函数概念与性质
3.1.1 函数的概念
1.初中学习的函数的定义是什么？
设在一个变化过程中有两个变量x和y， 如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与 它对应，那么就说y是x的函数.其中x叫自 变量，y叫因变量.
2.回顾初中学过哪些函数？
（1）一次函数 y ax b,(a 0)
（2）正比例函数
y k , (k 0) x
（3）反比例函数 y kx, (k 0)
（4）二次函数 y ax2 bx c,(a 0)
问题1. 某“复兴号”高速列车到350km/h后保持匀速运行半小时。这段时间内， 列车行进的路程S（单位：km）与运行时间t（单位：h）的关系可以表示 为 S=350t。
函数的概念ppt课件
基础 梳理
解析：A.定义域不同；B.定义域不同；C.虽然自变量所用 字母不同，但两个函数的定义域和对应法则都分别相同，因此 是同一个函数；D.对应法则不同． 答案：C
思考 应用 1．怎样检验两个变量之间是否具有函数关系？
解析： 由函数近代定义知， 我们要检验两个变量之间是否具有函 数关系， 只要检验： ①定义域和对应关系是否给出且定义域为非空数 栏 目 集；②根据给出的对应关系，自变量在其定义域内任一个值，是否都 链 接 能确定唯一的函数值．
2．形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫二次函数，它的图 象为抛物线．
例如：已知f(x)＝x2＋2x＋3，函数值为6时，相对应的自变 x＝1或x＝－3 量的值为____________ ．
栏 目 链 接
基础 梳理 3 ．一般地，设 A、 B是非空的数集，如果按照某个确定的 对应关系 f ，使对于集合 A 中的任意一个数 x ，在集合 B中都有 唯一确定的数f(x)和它对应，那么f：A→B就称为从集合A到集 合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量， x 的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应y的值叫做函 数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 例如：正方形边长为 x，与 x的值相对应的面积为 y，把 y表 y＝x2 {x|x＞0} ； 示为 x 的函数： ____________ ；该函数的定义域为 ________ 16 {y|y＞0} ；当边长为 4 的时候，面积为 ________ 值域为 ________ ；当面 2 积为4的时候，相应的边长为________ ．
链 时，{x|a≤x≤b} 接
自测 自评 1 ． 下列各图中，可表示函数 y ＝ f(x) 的图象的只可能是 ( D )
《函数的基本性质》函数的概念与性质PPT(第1课时函数的单调性)
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
由函数单调性求参数范围的类型及处理方法 (1)由函数解析式求参数
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
(2)利用抽象函数单调性求范围 ①依据：定义在[m，n]上的单调递增(减)函数中函数值与自变 量的关系 f(a)<f(b)⇔am<≤b（a≤a>nb，），
m≤b≤n. ②方法：依据函数单调性去掉符号“f”，转化为不等式问题求解． [提醒] 单调区间是 D≠在区间 D 上单调． (1)单调区间是 D：指单调区间的最大范围是 D. (2)在区间 D 上单调：指区间 D 是单调区间的子集．
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
＝（x1－x2）x1（x2x1x2－4）. 因为 0＜x1＜x2＜2， 所以 x1－x2＜0，0＜x1x2＜4，x1x2－4＜0， 所以 f(x1)－f(x2)＞0，即 f(x1)＞f(x2)． 所以函数 f(x)＝x＋4x在(0，2)上单调递减．
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
(2)如果∀x1，x2∈D，当 x1＜x2 时，都有__f_(x_1_)_＞__f(_x_2_) ___，那么 就称函数 f(x)在区间 D 上单调递减(如图②) 特别地，当函数 f(x)在它的定义域上_单__调__递__减__时，我们就称它 是减函数．
栏目 导引
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
2．已知函数 f(x)＝2x－＋x1，证明：函数 f(x)在(－1，＋∞)上为减 函数． 证明：∀x1，x2∈(－1，＋∞)， 且 x1＜x2， 则 f(x1)－f(x2)＝x21－＋x11－x22－＋x12
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
第三章 函数的概念与性质
由函数单调性求参数范围的类型及处理方法 (1)由函数解析式求参数
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
(2)利用抽象函数单调性求范围 ①依据：定义在[m，n]上的单调递增(减)函数中函数值与自变 量的关系 f(a)<f(b)⇔am<≤b（a≤a>nb，），
m≤b≤n. ②方法：依据函数单调性去掉符号“f”，转化为不等式问题求解． [提醒] 单调区间是 D≠在区间 D 上单调． (1)单调区间是 D：指单调区间的最大范围是 D. (2)在区间 D 上单调：指区间 D 是单调区间的子集．
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
＝（x1－x2）x1（x2x1x2－4）. 因为 0＜x1＜x2＜2， 所以 x1－x2＜0，0＜x1x2＜4，x1x2－4＜0， 所以 f(x1)－f(x2)＞0，即 f(x1)＞f(x2)． 所以函数 f(x)＝x＋4x在(0，2)上单调递减．
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
(2)如果∀x1，x2∈D，当 x1＜x2 时，都有__f_(x_1_)_＞__f(_x_2_) ___，那么 就称函数 f(x)在区间 D 上单调递减(如图②) 特别地，当函数 f(x)在它的定义域上_单__调__递__减__时，我们就称它 是减函数．
栏目 导引
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
2．已知函数 f(x)＝2x－＋x1，证明：函数 f(x)在(－1，＋∞)上为减 函数． 证明：∀x1，x2∈(－1，＋∞)， 且 x1＜x2， 则 f(x1)－f(x2)＝x21－＋x11－x22－＋x12
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
函数的概念与表示法课件(共19张PPT)
( x 1) 1 x 的定义域为_____ (2)函数 y ( x 1)
解题回顾：求函数f(x)的定义域，只需使解析式有 意义，列不等式组求解.
抽象函数定义域问题：
抽象函数 ：没有给出具体解析式的函数 2. (1)已知函数 y
1 y f ( x 1) 的定义域为______ 2
探究提高: 分段函数是一类重要的函数模型.解决分段函数问题，
关键要抓住在不同的段内研究问题.
如本例，需分x>0时，f(x)=x的解的个数
和x≤0时，f(x)=x的解的个数.
“分段函数分段考察”
五 抽象函数
定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),
f(1)=2,则f(-3)等于( C ) A.2 B.3 C.6
推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数 的两个集合A、B必须是非空数集.
典型例题：
一：函数的基本概念：
1.设集合M={x|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，那么下面 的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有 ( )
A.①②③④
B.①②③
C.②③
D.②
解析：由函数的定义，要求函数在定义域上都有图 象，并且一个x对应着一个y，据此排除①④，选C.
A
B
x
f ( x)
（2）函数的定义域、值域： 在函数 y f ( x ), x A 中，x叫做自变量,x的取 值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值 叫做函数值，函数值的集合f ( x) x A 叫做函数的 值域。 （3）函数的三要素：定义域、值域和对应法则 . （4）相等函数：如果两个函数的定义域和对应法则完 全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的 依据.
函数的概念ppt课件
→s=x 十y;
⑥A={x|—1≤x≤1,x∈R},B={0}, 对应关系f:x→
y=0.
A.①⑤⑥
B.②④⑤⑥
C.②③④
D.①②③⑤
【思维·引】
1.在x 轴上区间[0,2]内作与x 轴垂直的直线，此直线 与函数的图象恰有一个公共点.
2.先看集合A,B 是否为非空数集，再判断非空数集A 中任取一个数，在非空数集 B 中是否有唯一的数与之 对应.
②求f(g(a)): 已 知f(x) 与 g(x), 求 f(g(a)) 的值应遵 循由里往外的原则.
(2)关注点：用来替换解析式中x 的 数a 必须是函数定 义域内的值，否则函数无意义.
习练 ·破
1.若f(x)=ax²—√2,a 为正实数，且f(f(√2))=—√2, 则 a=
2.设f(x)=2x²+2,
函数的定义，所以A 不是函数.B.由 |x—1|+√y²-1=
0得， |x—1|=0,√y²-1=0, 所以x=1,y=±1, 所以
●
( 1 ) 求 f(2),f(a+3),g
—2),g(f(2)). (2)求g(f(x)).
(a)+g(0)(a≠
≠—2),
【加练·固】
若
(x≠—1), 求 f(0),f(1),
f(1—a)(a≠2),f(f(2)) 的值.
课堂达标检测
1.下列图形中，不能确定y 是x 的函数的是
y
3
(
)
3
x
⑥对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域还要受 实际问题的制约.
★习练·破
求下列函数的定义域：
(1
;(2)y=√x- 1·√1—x;
③
函数的概念及其表示法ppt课件
∴2aa＋＝b1＝，－1，
即ab＝ ＝12－，32.
∴f(x)＝12x2－32x＋2.
(3)在 f(x)＝2f1x· x－1 中， 将 x 换成1x，则1x换成 x，
得 f1x＝2f(x)· 1x－1，
由fx＝2f1x· x－1， f1x＝2fx· 1x－1，
解得 f(x)＝23 x＋13.
答案
2 (1)lgx－1(x>1)
解析 (1)f56＝3×56－b＝52－b， 若52－b<1，即 b>32时， 则 ff56＝f52－b＝352－b－b＝4， 解之得 b＝78，不合题意舍去． 若52－b≥1，即 b≤32，则 ＝4，解得 b＝12.
(2)当 x<1 时，ex－1≤2，解得 x≤1＋ln 2， 所以 x<1.
当 x≥1 时， ≤2，解得 x≤8，所以 1≤x≤8.
解析 (1)令 t＝2x＋1(t>1)，则 x＝t－2 1， ∴f(t)＝lgt－2 1，即 f(x)＝lgx－2 1(x>1)． (2)设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由 f(0)＝2，得 c＝2， f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝x－1， 则 2ax＋a＋b＝x－1，
2．下列给出的四个对应中： ①A＝B＝N*，对任意的 x∈A，f：x→|x－2|； ②A＝R，B＝{y|y>0}，对任意的 x∈A，f：x→x12； ③A＝B＝R，对任意的 x∈A，f：x→3x＋2； ④A＝{(x，y)|x，y∈R}，B＝R，对任意的(x，y)∈A，f：(x，y)→x ＋y. 其中对应为函数的有________(填序号)．
第1讲 函数的概念及其表示法
考试要求 1.函数的概念，求简单函数的定义域和值域，B 级要求；2.选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表 示函数，B级要求；3.简单的分段函数及应用，A级要求．
人教版数学必修一1.2.1函数的概念精品课件(共21张PPT)
A={t|0≤t≤26} B={h|0≤h≤845}
§1.2.1函数的概念
(2) 近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少， 因而出现了臭氧层空洞问题.下图中的曲线显 示了南极上空臭氧空洞的面积从1979~2001年 的变化情况：
§1.2.1函数的概念
根据上图中的曲线可知,时间t的变化范围是 数集A={t|1979≤t≤2001},臭氧层空洞面积S的变化 范围是数集B ={S|0≤S≤26}.
1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
恩格尔系数（ % ） 53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 46.4 44.5 41.9 39.2 37.9
A={1991，1992，1993,1994, 1995, 1996, 1997，1998,1999,2000,2001} B={53.8，52.9, 50.1，49.9, 48.6, 46.4, 44.5, 41.9, 39.2, 37.9}
实例2（2）近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞 问题．图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从年的变化情况．
A={t|1979≤t≤2001}
B ={S|0≤S≤26}
实例3 （3）国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔 系数越低，生活质量越高．表中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表 明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化．
记作: y=f(x),xA
其中, x叫做自变量, x的取值范围A叫做函数的定义域 (domain);与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合 {f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range).
§1.2.1函数的概念
(2) 近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少， 因而出现了臭氧层空洞问题.下图中的曲线显 示了南极上空臭氧空洞的面积从1979~2001年 的变化情况：
§1.2.1函数的概念
根据上图中的曲线可知,时间t的变化范围是 数集A={t|1979≤t≤2001},臭氧层空洞面积S的变化 范围是数集B ={S|0≤S≤26}.
1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
恩格尔系数（ % ） 53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 46.4 44.5 41.9 39.2 37.9
A={1991，1992，1993,1994, 1995, 1996, 1997，1998,1999,2000,2001} B={53.8，52.9, 50.1，49.9, 48.6, 46.4, 44.5, 41.9, 39.2, 37.9}
实例2（2）近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞 问题．图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从年的变化情况．
A={t|1979≤t≤2001}
B ={S|0≤S≤26}
实例3 （3）国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔 系数越低，生活质量越高．表中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表 明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化．
记作: y=f(x),xA
其中, x叫做自变量, x的取值范围A叫做函数的定义域 (domain);与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合 {f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range).
函数的概念与表示ppt
注意：①区间是一种表示连续性的数集②定义域、值 域经常用区间表示用③实心点表示包括在区间内的端 点，用空心点表示不包括在区间内的端点。
试用区间表示下列实数集
（1）{x|5 ≤ x<6}
[5,6)
（2） {x|x ≥9}
[9,)
（3） {x|x < -9,或 9 < x<20}
(, 9 ) ( 9 ,2)0
【例1】 判断下列每组的两个函数是否为同一函数?
（1）y=∣x ∣与y=√x2 (2)y=2x+1 与y=2s+1 (3)y=1 与y=x0 (4)y=x2+2x 与y=2x3
四. 区间的概念
请阅读课本P27关于区间的内容
设a,b是两个实数，而且a<b, 我们规定：
(1)、满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区 间，表示为 [a,b]
【例2】已知函数
f(x)
x3 1 x2
求函数的定义域
解：要使函数有意义，
只 x x 2 3 0 0 要 x x 3 2 x 3 且 x 2
所f(以 x)的 定{x义 |x 3 域 ，x为 且 2 }
注意 ①研究一个函数一定在其定义域内研究，所以求 定义域是研究任何函数的前提 ②函数的定义域 常常由其实际背景决定，若只给出解析式时,定 义域就是使这个式子有意义的实数x的集合.
【例3】
某山海拔7500m，海平面温度为25℃，气 温是海拔高度的函数，而且高度每升高 100m,气温下降0.6℃，请用解析表达式表 示气温T随海拔高度x变化的函数关系，并 指出函数的定义域和值域。
五.小结
1.函数的概念：设A、B是非空数集，如果按照某个确定的对
应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟
《函数的概念》函数的概念与性质PPT
可以用任意的字母表示,如f(x)=2x,f(t)=2t,g(a)=2a等,那么,不同的字
母表示对两个函数是否为同一个函数有影响吗?
提示:自变量、因变量和对应关系用什么字母表示与函数无关,
不影响两个函数的关系.
如f(x)=2x,f(t)=2t,g(a)=2a,只要自变量取值范围相同,它们就是同
一个函数.
即
||- ≠ 0,
≠ -2,
解得 x<0,且 x≠-2.
|| ≠ ,
故原函数的定义域为(-∞,-2)∪(-2,0).
4- ≥ 0,
≤ 4,
(2)要使函数有意义,自变量 x 的取值必须满足
即
≠ 1.
-1 ≠ 0,
故原函数的定义域为(-∞,1)∪(1,4].
课堂篇
探究学习
探究一
4
3
2
3
x→y= ,x∈[0,4]⇒y∈ 0, ,包含于{y|0≤y≤2},故成立;
8
x→y= ,x∈[0,4]⇒y∈ 0, ,包含{y|0≤y≤2},故不成立;
3
3
x→y= ,x∈[0,4]⇒y∈[0,2],故成立.故选 C.
答案:C
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
随堂演练
区间
分析:判断两个函数f(x)和g(x)是否是同一个函数的方法是:先求
函数f(x)和g(x)的定义域,如果定义域不同,那么它们不是同一个函
数;如果定义域相同,再化简函数的表达式,如果化简后的函数表达
式相同,那么它们是同一个函数,否则它们不是.
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
母表示对两个函数是否为同一个函数有影响吗?
提示:自变量、因变量和对应关系用什么字母表示与函数无关,
不影响两个函数的关系.
如f(x)=2x,f(t)=2t,g(a)=2a,只要自变量取值范围相同,它们就是同
一个函数.
即
||- ≠ 0,
≠ -2,
解得 x<0,且 x≠-2.
|| ≠ ,
故原函数的定义域为(-∞,-2)∪(-2,0).
4- ≥ 0,
≤ 4,
(2)要使函数有意义,自变量 x 的取值必须满足
即
≠ 1.
-1 ≠ 0,
故原函数的定义域为(-∞,1)∪(1,4].
课堂篇
探究学习
探究一
4
3
2
3
x→y= ,x∈[0,4]⇒y∈ 0, ,包含于{y|0≤y≤2},故成立;
8
x→y= ,x∈[0,4]⇒y∈ 0, ,包含{y|0≤y≤2},故不成立;
3
3
x→y= ,x∈[0,4]⇒y∈[0,2],故成立.故选 C.
答案:C
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
随堂演练
区间
分析:判断两个函数f(x)和g(x)是否是同一个函数的方法是:先求
函数f(x)和g(x)的定义域,如果定义域不同,那么它们不是同一个函
数;如果定义域相同,再化简函数的表达式,如果化简后的函数表达
式相同,那么它们是同一个函数,否则它们不是.
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
《函数及其表示方法》函数的概念与性质PPT(第1课时函数的概念)
栏目 导引
求函数值和值域
第三章 函 数
已知 f(x)＝2－1 x(x∈R，x≠2)，g(x)＝x＋4(x∈R)． (1)求 f(1)，g(1)的值； (2)求 f(g(x))． 【解】 (1)f(1)＝2－1 1＝1，g(1)＝1＋4＝5. (2)f(g(x))＝f(x＋4)＝2－(1x＋4)＝－21－x＝－x＋1 2(x∈R，且 x≠ －2)．
栏目 导引
第三章 函 数
下列各组函数表示同一个函数的是( ) A．f(x)＝x－，xx，≥x0<，0 与 g(x)＝|x| B．f(x)＝1 与 g(x)＝(x＋1)0 C．f(x)＝ x2与 g(x)＝( x)2 D．f(x)＝x＋1 与 g(x)＝xx2－－11
栏目 导引
第三章 函 数
解析：选 A.A 项中两函数的定义域和对应关系相同，为同一个 函数；B 项中，f(x)的定义域为 R，g(x)的定义域为(－∞，－1)∪ (－1，＋∞)；C 项中 f(x)的定义域为 R，g(x)的定义域为[0， ＋∞)；D 项中，f(x)的定义域为 R，g(x)的定义域为(－∞，1)∪(1， ＋∞)．B，C，D 三项中两个函数的定义域都不相同，所以不 是同一个函数．故选 A.
栏目 导引
第三章 函 数
■名师点拨 对函数概念的 5 点说明
(1)当 A，B 为非空数集时，符号“f：A→B”表示 A 到 B 的一 个函数． (2)集合 A 中的数具有任意性，集合 B 中的数具有唯一性． (3)符号“f”表示对应关系，在不同的函数中 f 的具体含义不一 样． (4)函数的定义强调的是“对应关系”，对应关系也可用小写英 文字母如 g，h 表示． (5)在函数的表示中，自变量与因变量与用什么字母表示无关紧 要，如 f(x)＝2x＋1，x∈R 与 y＝2s＋1，s∈R 是同一个函数．
求函数值和值域
第三章 函 数
已知 f(x)＝2－1 x(x∈R，x≠2)，g(x)＝x＋4(x∈R)． (1)求 f(1)，g(1)的值； (2)求 f(g(x))． 【解】 (1)f(1)＝2－1 1＝1，g(1)＝1＋4＝5. (2)f(g(x))＝f(x＋4)＝2－(1x＋4)＝－21－x＝－x＋1 2(x∈R，且 x≠ －2)．
栏目 导引
第三章 函 数
下列各组函数表示同一个函数的是( ) A．f(x)＝x－，xx，≥x0<，0 与 g(x)＝|x| B．f(x)＝1 与 g(x)＝(x＋1)0 C．f(x)＝ x2与 g(x)＝( x)2 D．f(x)＝x＋1 与 g(x)＝xx2－－11
栏目 导引
第三章 函 数
解析：选 A.A 项中两函数的定义域和对应关系相同，为同一个 函数；B 项中，f(x)的定义域为 R，g(x)的定义域为(－∞，－1)∪ (－1，＋∞)；C 项中 f(x)的定义域为 R，g(x)的定义域为[0， ＋∞)；D 项中，f(x)的定义域为 R，g(x)的定义域为(－∞，1)∪(1， ＋∞)．B，C，D 三项中两个函数的定义域都不相同，所以不 是同一个函数．故选 A.
栏目 导引
第三章 函 数
■名师点拨 对函数概念的 5 点说明
(1)当 A，B 为非空数集时，符号“f：A→B”表示 A 到 B 的一 个函数． (2)集合 A 中的数具有任意性，集合 B 中的数具有唯一性． (3)符号“f”表示对应关系，在不同的函数中 f 的具体含义不一 样． (4)函数的定义强调的是“对应关系”，对应关系也可用小写英 文字母如 g，h 表示． (5)在函数的表示中，自变量与因变量与用什么字母表示无关紧 要，如 f(x)＝2x＋1，x∈R 与 y＝2s＋1，s∈R 是同一个函数．
人教版A版必修一《函数的概念及其表示》课件ppt
自主诊断 2.(多选)(2023·南宁质检)下列图象中，是函数图象的是
√
√
√
在函数的对应关系中，一个自变量只对应一个因变量，在图象中， 图象与平行于y轴的直线最多有一个交点，故选项B中的图象不是函 数图象.
自主诊断
3.(多选)下列选项中，表示的不是同一个函数的是
A.y＝ x3＋－3x与 y＝
x＋3 3－x
(4)若对任意实数x，均有f(x)－2f(－x)＝9x＋2，求f(x)的解析式.
0
(解方程组法)∵f(x)－2f(－x)＝9x＋2，
①
∴f(－x)－2f(x)＝9(－x)＋2，
②
由①＋2×②得－3f(x)＝－9x＋6，
∴f(x)＝3x－2(x∈R).
思维升华
函数解析式的求法 (1)配凑法.(2)待定系数法.(3)换元法.(4)解方程组法.
√B.y＝x2 与 y＝(x－1)2 √C.y＝ x2与 y＝x
√D.y＝1 与 y＝x0
自主诊断
对于 A 选项，y＝ x3＋－3x的定义域是[－3,3)， y＝ x3＋－3x的定义域是[－3,3)， 并且 x3＋－3x＝ x3＋－3x，所以两个函数的定义域相同，对应关系相同， 所以是同一个函数；
√C.f(x)＝x－，xx，≥x0<，0， g(t)＝|t|
D.f(x)＝x＋1，g(x)＝xx2－－11
对于 A，f(x)＝ x2的定义域为 R，g(x)＝( x)2 的定义域为[0，＋∞)， 不是同一个函数； 对于B，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为{x|x≠1}，不是同一 个函数； 对于C，两个函数的定义域、对应关系均相同，是同一个函数； 对于 D，f(x)＝x＋1 的定义域为 R，g(x)＝xx2－－11的定义域为{x|x≠1}， 不是同一个函数.
3.1.1 函数的概念 课件(共30张ppt)
3.1.1 函数的概念
函数符号y＝f(x) 是由德国数学 家莱布尼兹在18世纪引入的． 显然,值域是集合B的子集.在问题1与问题2 中,值域就是B1和B2;在问题3中,值域是数集B3的 真子集;在问题4中,值域 B4={0.3669,0.3681,0.3817, 0.3569,0.3515, 0.3353,0.3387,0.2989,0.2935,0.2857},是数集 B4={r｜0＜r≤1}的真子集．
3.1.1 函数的概念
一般地,设A、B是非空的实数集,如果对于 集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应 关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应, 那么就称ƒ:A→B为从集合A到集合B的一个函 数 (function).记作: y=f(x),xA.
其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数 的定义域(domain);与x的值相对应的y值叫做函 数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域 (range).
3.1.1 函数的概念
我们所熟悉的一次函数y＝ax+b(a≠0)的定义 域是R,值域也是R,对应关系f把 R中的任意一个数 x,对应到R中唯一确定的数ax+b(a≠0)．
二次函数y=ax2+bx当a＞0时,B { y| 4ac b2 } ;当a<0时, 4a
3.1.1 函数的概念
解:把y=x(10-x)看成二次函数,那么它的定义域是 R,值域是B={y | y≤25}.对应关系f把R中的任意一个 数x,对应到B中唯一确定的数x(10-x). 如果对x的取值范围作出限制,例如x∈{x | 0<x<10}, 那么可以构建如下情境: 长方形的周长为20,设一边长为x,面积为y,那么y＝ x(10-x).其中,x的取值范围是A={x｜0<x<10},y的 取值范围是B={y|0＜y≤25}.对应关系f把每一个长 方形的边长x,对应到唯一确定的面积x(10-x).
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
恩格尔 系数 （%）
1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 46.4 44.5 41.9 39.2 37.9
恩格尔系数
食物支出 总支出
思考1：用t表示时间，r表示恩格尔系数，那 么t和r的变化范围分别是什么？
试用区间表示下列实数集
（1）{x|5 ≤ x<6} （2） {x|x ≥9} （3） {x|x ≤ -1} ∩{x| -5 ≤ x<2} （4） {x|x < -9}∪{x| 9 < x<20}
[5,6) [9,) (,1] [5,2) (,9) (9,20)
• 例6.已知函数 f (x) 5 x 1 x2
(3) f (x) ( 2x 5)2 与 f (x) 2x 5
• （1）定义域不同。 • （2）定义域不同。 • （3）定义域和值域都不同。
练习：判断下列函数f(x)与g(x)是否表示相 等的函数，并说明理由？
(1) f (x) (x 1)0, g(x) 1 (2) f (x) x; g(x) x2 (3) f (x) x2; g(x) (x 1)2 (4) f (x) x ; g(x) x2
例5 某水库的存水量Q与水深h (指最深处 的水深)如下表：
水深 h(米) 0 5 10 15 20 25
存水量 Q(立方) 0 20 40 90 160 275
例6 设时间为t，气温为T(℃)，自动测温 仪测得某地某日从凌晨0点到半夜24点 的温度曲线如下图.
T(℃)
20
15
10
5
0
t
6 12 18 24
①y是x的函数 ②对于不同的x,y的值也不同 ③ f(a)表示当x=a时函数f(x)的值，是一个常量 ④ f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
例3、给出四个命题：
①定义域相同，值域相同的两个函数相等。
②若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只 有一个元素
定义域、对应关系、值域；
函数的值域由函数的定义域和对应关系所确定；
定义域相同，对应关系完全一致,则两个函数 相等.
下列可作为函数y= f (x)的图象的是
y
y
y
a
a b
a b
O x0 x b
O
x0 x
O x0 x
Ａ
Ｂ
Ｃ
y
O
x
Ｄ√
练习: 判断下列关系式是否是函数？并说明理由。
(1) y 1, x R
(5)如果是实际问题，是 使实际问题有意义的实数的集合
例题讲解
例1 求下列函数的定义域：
⑴(1) f (x) 1 x2
⑵(2) f (x) 3x 2
(3)
⑶f
(
f
x)
(x)
x
x
1
1
1
1 2.
x
2 x
解:(1)要使函数有意义，只需 x 2 0
即
x
2，所以函数
f
(x)
x
1
2
的定义域为
{x | x 2}。
1.2.1 函数的概念
问题提出
• 1.在初中我们学习了哪几种基本函数？其 函数解析式分别是什么？
一次函数：y kx b (k 0) ； 二次函数：y ax2 bx c (a 0) ；
反比例函数：y
k x
(k
0)
2.初中对函数概念是怎样定义的？
在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且 对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与 其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
A={1991，1992，…，2001}，B={53.8， 52.9,50.1，49.9，48.6，46.4，44.5，41.9， 39.2，37.9}
思考2：时间变量t与恩格尔系数r之间的对应 关系是否为函数？
知识探究（四）
思考1：从集合与对应的观点分析，上述三个 实例中变量之间的关系都可以怎样描述？
Back
4.求函数定义域应注意的问题：
(1)如果y=f (x)是整式，则定义域是 实数集R (2)如果y=f (x)是分式，则定义域是
使分母不等于0的实数的集合 (3)如果y=f (x)是二次根式，则定义域是
使根号内的式子大于或等于0的实数的集合
(4)如果y=f (x)是由几个部分的式子构成的，则定义域是 使各部分式子都有意义的实数的集合(即各集合的交集)
对于数集A中的每一个x，按照某种对 应关系f，在数集B中都有唯一确定的y 和它对应，记作 f：A→B.
思考2：上述三个实例中变量之间的关系都是函数， 那么从集合与对应的观点分析，函数还可以怎样定 义？
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对 应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在 集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，
求下列函数的定义域
（1）
f (x) 1 x | x |
（2） （4）
f
(
x)
1
1
1
x
4 x2 f (x)
x 1
（5） f (x) 1 x x 3 1
例2 已知函数f (x) 3x2 5x 2,
求f (3), f ( 2), f (a 1).
解：f (3) 332 53 2 14
知识探究（一）
• 一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中
目标.炮弹的射高为845m，且炮弹距离地面 的高度h（单位：m）随时间t（单位：s） 变化的规律是：h＝130t-5t2.
思考1：这里的变量t的变化范围是什么？变量h的变化范 围是什么？试用集合表示？
A＝{t|0≤t≤26}，B＝{h|0≤h≤845}
思考2：高度变量h与时间变量t之间的对应关系是否为函 数？若是，其自变量是什么？
思考3：炮弹在空中的运行轨迹是什么？射高845m是怎 样得到的？
知识探究（二）
• 近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而 出现了臭氧层空洞问题. 下图中的曲线显示了 南极上空臭氧层空洞的面积从1979～2001年 的变化情况.
这里的实数a与b都叫做相应区间的端点。
实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作 “无穷大”。满足x≥ a,x>a ,x ≤b, x<b的实数的集 合分别表示为[a, +∞)、(a, +∞)、(-∞,b]、(-∞,b).
注意：①区间是一种表示连续性的数集
②定义域、值域经常用区间表示
③实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不 包括在区间内的端点。
那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函 数，记作 y=f(x)，x∈A.
其中，x叫做自变量，与x值相对应的y值叫做
函数值.
解释定义
• ①A,B是非空的数集。 • ②对应关系
• 思考：“按照某种确定的对应关系f ”
是什么意思？ • f 可以看作是对“x”施加的某种运算 或法则。例如：f (x) x2，f 就是对自变量 x求平方。
思考2：时间变量t与臭氧层空洞面积S之间的对 应关系是否为函数？若是，其自变量是什么？
思考3：这里表示函数关系的方式与上例有什 么不同？
知识探究（三）
国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质 量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.下表 是“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变 化情况.
时间 （年）
例3 下列哪个函数与 y x是同一个函数？
（1）y ( x )2 (2) y 3 x3
(3) y x2
(4) y x2 x
解：（1）y ( x )2 x (x 0) , 这个函数与函数
y x (x R) 虽然对应关系相同，但是定义域不相同。
所以这个函数与函数 y x (x R) 不相等。
思考3：在从集合A到集合B的一个函数f：
A→B中，集合A是函数的定义域，集合B是 函数的值域吗？怎样理解f(x)=1，x∈R？
例如： A {0,1,2} , B {0,2,4,5} , f : A B
f (x) 2x
定义域为{0,1,2}，值域为{0,2,4}
思考4：一个函数由哪几个部分组成？如果给 定函数的定义域和对应关系，那么函数的值 域确定吗？两个函数相等的条件是什么？
•思考：如何理解“ y f (x) ”？
•符号y=f(x)表示“ y是变量x的函数”， 它仅仅是函数符号，并不表示y等于f与 x的乘积。
• 思考：f (x)与f (a) (a为常数)的区别和联系。
• 当a为常数时，f(a)表示的是自变量 x=a时对应的函数值，是一个常数。
自变量的取值范围A叫做函数的定义域； 函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
y kx(k 0) R
k
y
(k x
0) {x | x 0}
R
{ y | y 0}
y kx b
一次函数 (k 0)
R
R
y ax2 bx c 二次函数 (a 0)
R
a 0时{ y | y 4ac b2 } 4a
a 0时{ y | y 4ac b2 }
4a
3.已学函数的定义域和值域
S（106km2）
30 26 25 20 15 10 5 0
1979 1981 1983 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999 2001 t（年
• 思考1：根据曲线分析，时间t的变化范围是什 么？臭氧层空洞面积S的变化范围是什么？试 用集合表示？
A＝{t|1979≤t≤2001}；B＝{s|0≤s≤26}
（1）求f(x)的定义域； （2）求f(x+3)的表达式，以及f(x+3)的定义域。 （3）求f(2x+1)的表达式，以及f(2x+1)的定义域。
1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 46.4 44.5 41.9 39.2 37.9
恩格尔系数
食物支出 总支出
思考1：用t表示时间，r表示恩格尔系数，那 么t和r的变化范围分别是什么？
试用区间表示下列实数集
（1）{x|5 ≤ x<6} （2） {x|x ≥9} （3） {x|x ≤ -1} ∩{x| -5 ≤ x<2} （4） {x|x < -9}∪{x| 9 < x<20}
[5,6) [9,) (,1] [5,2) (,9) (9,20)
• 例6.已知函数 f (x) 5 x 1 x2
(3) f (x) ( 2x 5)2 与 f (x) 2x 5
• （1）定义域不同。 • （2）定义域不同。 • （3）定义域和值域都不同。
练习：判断下列函数f(x)与g(x)是否表示相 等的函数，并说明理由？
(1) f (x) (x 1)0, g(x) 1 (2) f (x) x; g(x) x2 (3) f (x) x2; g(x) (x 1)2 (4) f (x) x ; g(x) x2
例5 某水库的存水量Q与水深h (指最深处 的水深)如下表：
水深 h(米) 0 5 10 15 20 25
存水量 Q(立方) 0 20 40 90 160 275
例6 设时间为t，气温为T(℃)，自动测温 仪测得某地某日从凌晨0点到半夜24点 的温度曲线如下图.
T(℃)
20
15
10
5
0
t
6 12 18 24
①y是x的函数 ②对于不同的x,y的值也不同 ③ f(a)表示当x=a时函数f(x)的值，是一个常量 ④ f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
例3、给出四个命题：
①定义域相同，值域相同的两个函数相等。
②若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只 有一个元素
定义域、对应关系、值域；
函数的值域由函数的定义域和对应关系所确定；
定义域相同，对应关系完全一致,则两个函数 相等.
下列可作为函数y= f (x)的图象的是
y
y
y
a
a b
a b
O x0 x b
O
x0 x
O x0 x
Ａ
Ｂ
Ｃ
y
O
x
Ｄ√
练习: 判断下列关系式是否是函数？并说明理由。
(1) y 1, x R
(5)如果是实际问题，是 使实际问题有意义的实数的集合
例题讲解
例1 求下列函数的定义域：
⑴(1) f (x) 1 x2
⑵(2) f (x) 3x 2
(3)
⑶f
(
f
x)
(x)
x
x
1
1
1
1 2.
x
2 x
解:(1)要使函数有意义，只需 x 2 0
即
x
2，所以函数
f
(x)
x
1
2
的定义域为
{x | x 2}。
1.2.1 函数的概念
问题提出
• 1.在初中我们学习了哪几种基本函数？其 函数解析式分别是什么？
一次函数：y kx b (k 0) ； 二次函数：y ax2 bx c (a 0) ；
反比例函数：y
k x
(k
0)
2.初中对函数概念是怎样定义的？
在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且 对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与 其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
A={1991，1992，…，2001}，B={53.8， 52.9,50.1，49.9，48.6，46.4，44.5，41.9， 39.2，37.9}
思考2：时间变量t与恩格尔系数r之间的对应 关系是否为函数？
知识探究（四）
思考1：从集合与对应的观点分析，上述三个 实例中变量之间的关系都可以怎样描述？
Back
4.求函数定义域应注意的问题：
(1)如果y=f (x)是整式，则定义域是 实数集R (2)如果y=f (x)是分式，则定义域是
使分母不等于0的实数的集合 (3)如果y=f (x)是二次根式，则定义域是
使根号内的式子大于或等于0的实数的集合
(4)如果y=f (x)是由几个部分的式子构成的，则定义域是 使各部分式子都有意义的实数的集合(即各集合的交集)
对于数集A中的每一个x，按照某种对 应关系f，在数集B中都有唯一确定的y 和它对应，记作 f：A→B.
思考2：上述三个实例中变量之间的关系都是函数， 那么从集合与对应的观点分析，函数还可以怎样定 义？
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对 应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在 集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，
求下列函数的定义域
（1）
f (x) 1 x | x |
（2） （4）
f
(
x)
1
1
1
x
4 x2 f (x)
x 1
（5） f (x) 1 x x 3 1
例2 已知函数f (x) 3x2 5x 2,
求f (3), f ( 2), f (a 1).
解：f (3) 332 53 2 14
知识探究（一）
• 一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中
目标.炮弹的射高为845m，且炮弹距离地面 的高度h（单位：m）随时间t（单位：s） 变化的规律是：h＝130t-5t2.
思考1：这里的变量t的变化范围是什么？变量h的变化范 围是什么？试用集合表示？
A＝{t|0≤t≤26}，B＝{h|0≤h≤845}
思考2：高度变量h与时间变量t之间的对应关系是否为函 数？若是，其自变量是什么？
思考3：炮弹在空中的运行轨迹是什么？射高845m是怎 样得到的？
知识探究（二）
• 近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而 出现了臭氧层空洞问题. 下图中的曲线显示了 南极上空臭氧层空洞的面积从1979～2001年 的变化情况.
这里的实数a与b都叫做相应区间的端点。
实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作 “无穷大”。满足x≥ a,x>a ,x ≤b, x<b的实数的集 合分别表示为[a, +∞)、(a, +∞)、(-∞,b]、(-∞,b).
注意：①区间是一种表示连续性的数集
②定义域、值域经常用区间表示
③实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不 包括在区间内的端点。
那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函 数，记作 y=f(x)，x∈A.
其中，x叫做自变量，与x值相对应的y值叫做
函数值.
解释定义
• ①A,B是非空的数集。 • ②对应关系
• 思考：“按照某种确定的对应关系f ”
是什么意思？ • f 可以看作是对“x”施加的某种运算 或法则。例如：f (x) x2，f 就是对自变量 x求平方。
思考2：时间变量t与臭氧层空洞面积S之间的对 应关系是否为函数？若是，其自变量是什么？
思考3：这里表示函数关系的方式与上例有什 么不同？
知识探究（三）
国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质 量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.下表 是“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变 化情况.
时间 （年）
例3 下列哪个函数与 y x是同一个函数？
（1）y ( x )2 (2) y 3 x3
(3) y x2
(4) y x2 x
解：（1）y ( x )2 x (x 0) , 这个函数与函数
y x (x R) 虽然对应关系相同，但是定义域不相同。
所以这个函数与函数 y x (x R) 不相等。
思考3：在从集合A到集合B的一个函数f：
A→B中，集合A是函数的定义域，集合B是 函数的值域吗？怎样理解f(x)=1，x∈R？
例如： A {0,1,2} , B {0,2,4,5} , f : A B
f (x) 2x
定义域为{0,1,2}，值域为{0,2,4}
思考4：一个函数由哪几个部分组成？如果给 定函数的定义域和对应关系，那么函数的值 域确定吗？两个函数相等的条件是什么？
•思考：如何理解“ y f (x) ”？
•符号y=f(x)表示“ y是变量x的函数”， 它仅仅是函数符号，并不表示y等于f与 x的乘积。
• 思考：f (x)与f (a) (a为常数)的区别和联系。
• 当a为常数时，f(a)表示的是自变量 x=a时对应的函数值，是一个常数。
自变量的取值范围A叫做函数的定义域； 函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
y kx(k 0) R
k
y
(k x
0) {x | x 0}
R
{ y | y 0}
y kx b
一次函数 (k 0)
R
R
y ax2 bx c 二次函数 (a 0)
R
a 0时{ y | y 4ac b2 } 4a
a 0时{ y | y 4ac b2 }
4a
3.已学函数的定义域和值域
S（106km2）
30 26 25 20 15 10 5 0
1979 1981 1983 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999 2001 t（年
• 思考1：根据曲线分析，时间t的变化范围是什 么？臭氧层空洞面积S的变化范围是什么？试 用集合表示？
A＝{t|1979≤t≤2001}；B＝{s|0≤s≤26}
（1）求f(x)的定义域； （2）求f(x+3)的表达式，以及f(x+3)的定义域。 （3）求f(2x+1)的表达式，以及f(2x+1)的定义域。