高一函数重难点突破
高一下学期数学教学的重点和难点有哪些？
高一下学期数学教学的重点和难点有哪些？高一下学期数学教学的重点和难点有哪些？随着时代的发展和社会的进步，数学已经成为现代社会中不可或缺的一门学科。
在高中的数学学习中，数学知识的掌握和应用是非常重要的。
本文探讨高一下学期数学教学的重点和难点有哪些。
一、数列与函数数列和函数作为高中数学的基础知识，在高一下学期的数学学习中占据着很重要的地位。
学生需要掌握数列和函数的概念、性质和应用，正确运用数学语言描述数列、函数的变化规律。
对于这一部分的学习，学生要注重练习，多进行数列和函数的变化研究，提高分析问题、解决问题的能力。
二、三角函数三角函数在高中数学中也是一个重要的知识点。
三角函数的定义、公式、性质以及图像变化规律需要学生进行深入研究，并且需要学生熟练地掌握三角函数的应用。
在学习过程中，学生可以将三角函数和几何图形、物理现象、天文学等相结合，了解三角函数在生活和科技中的应用。
三、向量向量是高一下学期数学学习的重点之一。
在向量的学习过程中，学生需要了解向量的概念、加减、数量积、向量积等基本操作和性质，并且要掌握向量在解决几何问题、力学问题中的应用。
此外，学生还需要掌握坐标系下向量的表示方法和计算方法。
四、导数与微分高一下学期数学学习的难点之一就是导数与微分。
学生需要掌握导数的定义和性质，掌握导数的计算方法和应用问题的解决方法。
此外，学生还需要掌握微分的概念和微分公式，并且熟练地运用微分来求极值、判定函数的单调性等。
五、空间解析几何空间解析几何是高一下学期数学学习的难点之一，也是难度较大的一部分知识点。
空间解析几何需要学生掌握三维空间坐标系的画法和坐标表示方法，并且了解几何图形的性质和特点，熟练地使用向量、点、直线、平面等解决空间解析几何相关的问题。
六、数学应用题高一下学期数学教学中的重点之一就是数学应用题。
数学应用题是将数学知识应用到生活和实际问题中进行解决的过程。
学生需要掌握正确分析问题的方法，运用所学数学知识切实解决实际问题，提高自己的数学应用能力。
高一上学期数学的重点、难点有哪些
高一上学期数学的重点、难点有哪些到这里，本文就结束了。
主要给大家介绍了新教材高一数学衔接时，需要注意的内容。
包括集合与简易逻辑、不等式、二次函数、函数的概念与性质、以及今天要说的指数函数与对数函数。
至于三角函数，一般来说如果在初中阶段没有提前学习，那么在暑假学到这里不太现实，所以我们不再赘述。
第四章指数函数与对数函数。
4.1指数指数运算并不是一个新的知识，在初中就学习过整数指数幂，在高中是将指数从整数扩充到分数，再扩充到实数。
需要注意的是将根式转化为分数指数幂再进行计算的方法，这在高一是一个考点。
整体来说，这一节不算重点。
4.2指数函数毋庸置疑，指数函数是本章的第一个重点、也是难点。
指数函数是高中新学习的一种函数，其本身的图像与性质都是考察的重点，尤其是图像与单调性的应用。
首先指数函数的定义就是一个规定性的概念，不符合这个规定标准的都不能称之为指数函数。
对于指数函数以及对数函数，在记忆其图像的时候，要抓住它的关键点——定点，关键线——渐近线，关键性质——单调性。
尤其是渐近线，同学们往往容易忽略，却很重要。
对于指数函数的性质，其单调性是核心知识，其判断标准是在解题时首先要考虑的——a是否大于1。
最好是先记图像，后记性质。
指数函数的题目大部分是与单调性以及其图像有关。
比如值域问题就是与单调性有关，与复合函数有关，其中使用到换元法，正是我在之前所说，换元是一种思想方法，并不是仅仅用来求解析式。
指数函数因为其图像的特征，经常与图像变换结合在一起，比如平移变换，翻折变换，在变换过程中要考虑渐进线。
就像前面一元二次函数、方程、不等式的关系一样，指数函数、方程与不等式也是一个比较重要的知识点，其中的基础是指数方程。
解指数方程需要对指数运算及其性质比较熟悉，有时还可以使用换元法。
在指数方程的基础上，指数不等式还需要掌握指数函数的单调性。
指数函数单调性是比较重要的内容，所以围绕它会有很多题型，比如复合函数单调性。
2022年初升高暑期数学精品讲义专题10 函数的三要素重难点突破(原卷版)
专题10 函数的三要素一、考情分析二、经验分享【重难点1．函数的定义域】当函数是由解析式给出时，求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合，求函数定义域的一般方法有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③要求；y x =0x ≠④当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合；⑤已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求出的取值范围；()f x [()]f g x ()g x x ⑥已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求的取值范围；[()]f g x ()f x x ()g x ⑦由实际问题建立的函数，还要符合实际问题的要求．名师提醒：（1）定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．（2）已知函数的定义域，逆向求解函数中参数的取值或取值范围，需运用分类讨论以及转化与化归的方法，转化为方程或不等式的解集问题，根据方程或不等式的解集情况来确定参数的值或取值范围．这种思想方法即通过某种转化过程，将一个难以解决的问题转化为一个已经解决或者比较容易解决的问题，从而获解．【重难点2．求函数值或函数的值域】（1）函数求值即用数值或字母代替表达式中的x ，而计算出对应的函数值的过程．注意所代入的数值或字母应满足函数的定义域要求．求函数值应遵循的原则：①已知的表达式求时，只需用a 替换表达式中的x ．()f x ()f a ②求的值应遵循由里往外的原则．()f f a ⎡⎤⎣⎦③用来替换表达式中x 的数a 必须是函数定义域内的值．（2）求函数的值域，应根据各个式子的不同结构特点，选择不同的方法：①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；②配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即通过配方把函数转化为能直接看出其值域的方法．求值域时一定要注意定义域的影响．如函数的值域与函数223y x x =-+223,{|0y x x x x =-+∈≤的值域是不同的；3}x <③分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．分离常数的目的是为了减少“变量”，变换后x 仅出现在分母上，这样x 对函数的影响就比较清晰了；利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域．在利用换元法求解函数的值域时，一定要注意换元后新元的取值范围，否则会产生错解．求新元的范围，要根据已知函数的定义域．【重难点3．函数解析式的求法】（1）已知函数的模型求函数解析式，常采用待定系数法，由题设条件求待定系数．（2）已知f （g （x ））=h （x ），求f （x ），常用的有两种方法：①换元法，即令t =g （x ），解出x ，代入h （x ）中，得到一个含t 的解析式，即为所求解析式；②配凑法，即从f （g （x ））的解析式中配凑出“g （x ）”，即用g （x ）来表示h （x ），然后将解析式中的g （x ）用x 代替即可．利用这两种方法求解时一定要注意g （x ）的取值范围的限定．（3）已知f （x ）与f （g （x ））满足的关系式，要求f （x ）时，可用g （x ）代替两边所有的x ，得到关于f （x ）与f （g （x ））的方程组，消去f （g （x ））解出f （x ）即可．常见的有f （x ）与f （−x ），f （x ）与．1()f x （4）所给函数方程含有两个变量时，可对这两个变量交替使用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再利用已知条件，可求出未知的函数，至于取什么特殊值，根据题目特征而定．三、题型分析（一）．函数的定义域考点1.具体函数的定义域例1．（1）、（2022·四川·成都七中高二阶段练习（文））设集合，，则{A x y =={}1,0,1,2B =-（ ）A B = A ．B ．C ．D ．{}1,0-{}0,1,2{}1,2{}1,0,1-（2）、（2022·广西·平桂高中高二阶段练习（理））函数的定义域为___________.()f x =【变式训练1-1】、（2021·广西崇左市·崇左高中高一开学考试（文））函数的定义域()11f x x =+-为（ ）A ．[)2,-+∞B ．[)()2,11,-⋃+∞C ．R D ．(],2-∞-【变式训练1-2】、（2022·全国·高三专题练习）函数__________．()f x =考点2.抽象函数的定义域例2、（1）、（2022·江苏·高一）已知函数的定义域为，则函数的定义域为(21)y f x =+[]1,2-(1)=-y f x _________.（2）、（2022·黑龙江·双鸭山一中高二阶段练习）已知函数的定义域为，则函数()22f x -{}|1x x <的定义域为（ ）()211f x x --A ．B ．C ．D ．(,1)-∞(,1)-∞-()(),11,0-∞-- ()(),11,1-∞-- 【变式训练2-1】、（2021·上海市徐汇中学高一阶段练习）若函数的定义域为，则函数()f x []22-,的定义域是___________(21)f x -【变式训练2-2】、（2021·黑龙江大庆市·大庆中学高一开学考试）若函数的定义域为，则()y f x =[0,2]函数的定义域是__________．(2)()1f x g x x =-（二）．求函数值或函数的值域考点3.一次函数、二次函数的值域的问题例3、（2022·浙江·金华市曙光学校高二阶段练习）已知函数f (x )，，则函数的值域2263x x =-+[]12x ∈-，是（ ）A ．B ．C ．D ．3[112-3[ 112，）[]111-，3112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【变式训练3-1】、（2021·浙江湖州市·湖州中学高一开学考试）若函数的定义域和值213()22f x x x =-+域都是，则（ ）[1,]b b =A ．1B ．3C ．D ．1或33-例4、（2022·江西省定南中学高二阶段练习（文））函数的值域为2y x = （ ）A ．B ．C ．D ．15,8⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦15,8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭15,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭15,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【变式训练4-1】、（2020·舒城育才学校高一月考）函数的值域是（ ）()f x x =+A ．B ．C ．D ．9,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭9,4⎛⎤-∞⎥⎝⎦[)2,+∞(],2-∞考点4.类“反比例”函数的值域的问题例5.(1)、（2021·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高三阶段练习（理））函数值域是（ ）()211f x x =+A ．B ．C ．D ．(],1-∞[)1,+∞[)0,∞+(]0,1(2)、（2021·四川自贡·高一期中）函数的值域是（ ）2()1xf x x =+A ．B ．(),1-∞- ()1,+∞(),2-∞C ．D ．(),2-∞ ()2,+∞[)1,-+∞【变式训练5-1】、（2021·河南南阳·高一阶段练习）函数的值域为___________.21(),(2,1)(1,2)1x f x x x -=∈-- 【变式训练5-2】、（2021·浙江高二期末）已知函数，则函数的值域为（ ）2(),[2,6]1x f x x x +=∈-A ．B ．C ．D ．8,45⎡⎤⎢⎥⎣⎦8,[4,)5⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦8,[4,)5⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭8,45⎛⎫⎪⎝⎭考点5.“双勾”函数的值域问题例6、（2022·湖南娄底·高二学业考试）下列函数中，最小值为2的函数是（ ）A ．B ．()10y x x x=+<222y x x -=+C ．D ．()301y x x =+<<y =【变式训练6-1】．（2021·上海虹口区·高一期末）函数，的值域为__________．4()f x x x =+1,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（三）．函数解析式的求法考点6.用换元法求函数的解析式例7．（1）、（2022·河南·临颍县第一高级中学高二阶段练习（文））已知，则()22143f x x +=+（ ）．()f x =A ．B ．C ．D ．224x x -+22x x+221x x --223x x ++（2）、（2022·山西运城·高二阶段练习）已知函数满足，则（ ）()f x 2(1)71f x x x -=--(2)f =A ．1B ．9C ．D ．1-13-【变式训练7-1】．（2020·广西南宁市东盟中学高一期中）已知是一次函数，满足()f x ，则（ ）．()3164f x x +=+()f x =A ．B ．C ．D ．64x +24x +223x -263x -【变式训练7-2】、（2022·江苏·高一）已知，则（ ）()14f x x +=-()0f f ⎡⎤=⎣⎦A ．B ．C ．D ．9-10-11-12-考点7.求一次、二次函数的的解析式例8、（1）、（2021·山东威海·高一期中）已知函数是一次函数，满足，则()f x (())1630f f x x =-__________．()f x =（2）、（2021·广东·珠海市华中师范大学（珠海）附属中学高一阶段练习）已知是一次函数，且()f x ，则解析式为___________．(1)32f x x +=+()f x ()f x =【变式训练8-1】、（2020·黑龙江·哈尔滨市第一二二中学校高一期中）若二次函数满足()f x ，.()()12f x f x x +-=()01f =(1)求的解析式；()f x (2)求在上的值域；()f x []0,2(3)若在上恒成立，求m 的取值范围.()2f x x m>+[]1,1-考点8.用消去法求函数的解析式（方程思想）例9．（2021·湖北·黄冈中学新兴分校高一期中）已知函数满足，则()f x ()2()23f x f x x +-=+___________.()f x =【变式训练9-1】、（2021·全国·高一课时练习）若，则______．()1324f x f xx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()f x =（四）．函数的综合应用例10、（2020·四川·广安二中高一期中）已知函数满足：()f x )13f x =+(1)求的解析式；()f x (2)判断函数在区间上的单调性，并证明．()()2f x x g x x +=[)2,+∞【变式训练10-1】、（2022·江苏·高一）已知函数.()f x =(1)若函数定义域为，求的取值范围；R a (2)若函数值域为，求的取值范围.[0,)+∞a。
高一数学知识点重点难点
高一数学知识点重点难点一、函数与方程函数是数学中的重要概念，高一数学课程中需要掌握函数的定义、函数图像的变换以及函数的性质等知识点。
对于平方函数、绝对值函数、一次函数等常见函数，需要熟练掌握其图像特征和性质，并能够应用到实际问题中去解答。
方程作为数学中的基本工具之一，是高一数学的难点之一。
高一数学课程中的方程主要涉及到一元二次方程、一次方程组和二元二次方程等。
特别是对于一元二次方程，需要重点掌握求根公式和判别式的运用，并能够运用到实际问题中解决。
二、几何与三角在几何的学习中，需要掌握几何基本性质、常见的几何公式以及几何图形之间的关系。
对于圆的相关知识，需要熟练掌握圆的基本性质和常见的定理，如切线定理、弦切角定理等。
三角学是高中数学中的重点难点，主要包括正弦定理、余弦定理、正切定理以及三角函数的相关性质等。
在解决实际问题时，需要能够灵活运用这些定理和公式。
三、概率与统计概率与统计是高一数学的另一难点。
概率主要涉及到事件的概率计算、事件之间的关系以及样本空间的构建等。
统计则需要掌握统计调查的方法和数据处理的技巧，包括频率统计、图表分析、平均数和标准差的计算等。
四、数列与逻辑数列是高一数学中的一个重要内容，需要理解数列的概念、数列的通项公式和前n项和的计算。
同时，需要熟练掌握等差数列和等比数列的性质以及其应用。
逻辑推理是高一数学的一个考察点，需要能够运用命题逻辑的方法进行推理和证明。
包括条件命题、充分必要条件、充要条件等概念的理解，并能够应用到相关问题中去解答。
五、矩阵与变量矩阵是高一数学中的一个重要概念，需要理解矩阵的定义、矩阵的运算以及矩阵的性质。
同时，需要能够运用矩阵解决实际问题，如线性方程组的解法等。
变量是数学中的一个基本概念，需要理解变量的含义和变量的应用。
在高一数学中，需要熟练掌握解方程的方法以及应用变量解决相关问题。
六、解析几何解析几何是高中数学的重点内容，需要掌握平面直角坐标系、直线和曲线的方程以及相关的性质。
高一数学常见难点解析
高一数学常见难点解析在高一的数学学习过程中，很多同学常常会遇到一些难点和困惑。
针对这些常见难点，本文将进行解析，并给出相应的解决方法，帮助同学们更好地应对数学学习中的挑战。
难点一：函数与方程函数与方程是高一数学中的重点和难点。
其中，函数的概念、性质和应用，以及一元二次方程的解法都是学生们容易混淆和出错的地方。
在理解函数的概念时，同学们应该注意函数的定义域和值域，以及函数图像的特征。
在解题过程中，要善于利用函数的性质，如奇偶性、单调性、周期性等。
对于一元二次方程的解法，同学们应该熟练掌握求根公式的应用，并注意解的存在性和唯一性。
难点二：平面几何在平面几何中，三角形、四边形和圆的性质及相关定理是高一数学的又一个难点。
同学们容易混淆各种定理，难以理解其证明和应用。
对于三角形，同学们应该熟悉各种三角函数的定义和性质，掌握常用的三角恒等式，并能够灵活运用正弦定理、余弦定理和面积公式等解题。
在学习四边形时，同学们需要理解各种四边形的性质和判定条件，掌握解题的关键步骤和技巧。
对于圆的学习，同学们应掌握圆的性质和相关定理，如切线、弦长和圆心角的关系等。
难点三：数列与集合数列和集合是高一数学中的抽象概念，对于初学者来说往往难以理解和应用。
在学习数列时，同学们需要掌握数列的定义、通项公式和递推关系，能够准确计算数列的前n项和等问题。
此外，同学们还需理解数列的收敛性、极限和无穷等概念，并能够应用到实际问题中。
在集合的学习中，同学们应熟悉集合的定义、表示和运算法则，能够灵活应用集合的性质解题。
对于集合的化简、交集、并集和差集等操作，同学们需要严谨地进行推理和演算。
难点四：解析几何解析几何是高一数学中的一大难点，涉及直线、曲线和图形的分析与运算。
在学习直线和曲线时，同学们应该熟悉直线的方程和曲线的一般方程，能够根据已知条件确定直线和曲线的方程，并且灵活应用直线与曲线的性质解题。
对于图形的分析与运算，同学们需要掌握平移、旋转、对称等变换的概念和性质，能够准确描述和判断图形的位置关系、相似关系和全等关系。
高一数学知识点重点难点
高一数学知识点重点难点高一数学是学生在中学数学学习过程中的一个重要阶段。
在这个阶段，学生将接触到更复杂和抽象的数学概念和问题。
下面将介绍高一数学的重点知识点和难点，帮助学生更好地理解和掌握数学知识。
一、函数与方程函数和方程是高中数学的基础概念，也是数学学习的重要内容。
掌握函数和方程的性质、图像和应用是解决数学问题的基础。
其中，一次函数、二次函数和指数函数是高一数学中的重点。
1. 一次函数一次函数是一种线性函数，其图像为一条直线。
掌握一次函数的斜率和截距的计算方法，能够确定直线的方程。
同时，理解函数在坐标系中的表示和性质，并能够应用一次函数解决实际问题，如速度、距离和成本等相关问题。
2. 二次函数二次函数是一种具有抛物线形状的函数，其图像为开口向上或向下的抛物线。
掌握二次函数的顶点、轴、对称性等性质，能够确定二次函数的标准形式和一般形式的方程。
同时，理解二次函数的图像变化规律和应用，能够解决相关的最值、交点和面积等问题。
3. 指数函数指数函数是一种以底数为常数的指数幂形式表达的函数。
掌握指数函数的图像、性质和基本变形，了解指数函数与对数函数的关系，能够解决指数函数的增长、衰减和复利等实际问题。
二、三角函数三角函数是高一数学中的另一个重要内容，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
掌握三角函数的周期性、图像、性质和基本公式，能够解决三角函数的变化规律和相关的几何问题。
1. 正弦函数和余弦函数正弦函数和余弦函数是以角度为自变量的周期函数，其图像分别为正弦曲线和余弦曲线。
理解正弦函数和余弦函数的图像变化规律和性质，能够解决三角函数的图像平移、伸缩和翻转等问题。
2. 正切函数正切函数是以角度为自变量的周期函数，其图像为一组相交的直线。
了解正切函数的图像变化规律和性质，能够解决三角函数的图像平移、伸缩和翻转等问题，并能应用正切函数解决实际的测量和计算问题。
三、数列与数学归纳法数列和数学归纳法是高一数学中的重要概念和方法，也是数学学习中的难点。
专题2.2 函数的单调性与最值(重难点突破)(解析版)
专题2.2 函数的单调性与最值（重难点突破）（理科）一、考纲要求1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义．2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.3.培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象能力。
二、考情分析三、考点梳理【基础知识梳理】1、函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述1/ 112 / 11自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间． 2、函数的最值前提设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足 条件（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得()0f x M =（3）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≥；（4）存在0x I ∈，使得()0f x M =结论 M 为最大值 M 为最小值注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在；（2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值. 【知识拓展】1、函数单调性的常用结论（1）若()(),f x g x 均为区间A 上的增(减)函数，则()()f x g x +也是区间A 上的增(减)函数； （2）若0k >，则()kf x 与()f x 的单调性相同；若0k <，则()kf x 与()f x 的单调性相反； （3）函数()()()0y f x f x =>在公共定义域内与()y f x =-，1()y f x =的单调性相反； （4）函数()()()0y f x f x =≥在公共定义域内与()y f x =（5）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反； （6）一些重要函数的单调性： ①1y x x =+的单调性：在(],1-∞-和[)1,+∞上单调递增，在()1,0-和()0,1上单调递减； ②b y ax x=+（0a >，0b >）的单调性：在,b a ⎛-∞-⎝和,b a ⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，在,0b a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭和b a ⎛ ⎝3 / 11上单调递减．四、题型分析(一) 判断函数的单调性 1．判断函数单调性的方法：（1）定义法，步骤为：取值，作差，变形，定号，判断．利用此方法证明抽象函数的单调性时，应根据所给抽象关系式的特点，对1x 或2x 进行适当变形，进而比较出()1f x 与()2f x 的大小．（2）利用复合函数关系，若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”．（3）图象法：从左往右看，图象逐渐上升，则单调递增；图象逐渐下降，则单调递减． （4）导数法：利用导函数的正负判断函数的单调性．（5）利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，判断函数的单调性.2．在利用函数的单调性写出函数的单调区间时，首先应注意函数的单调区间应是函数定义域的子集或真子集，求函数的单调区间必须先确定函数的定义域；其次需掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．例1．（2020·安徽省池州一中模拟）下列四个函数中，在x ∈(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．f (x )＝3－xB ．f (x )＝x 2－3xC ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |【答案】C【解析】当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数， 当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．【变式训练1】．（2020届陕西省咸阳市高三第一次模拟）函数cos 4y x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递增区间是（ ）A ．132,244k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z B ．372,244k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z C ．312,244k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z D ．152,244k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z4 / 11【答案】C【解析】令()224k x k k Z πππππ-≤-≤∈，解得()312244k x k k Z -≤≤+∈， 因此，函数cos 4y x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递增区间是()312,244k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，故选C 。
高一数学重点及难点知识点
高一数学重点及难点知识点一、函数与方程函数是高中数学的基础，而方程则是函数的重要应用。
在高一数学中，学生将会学习如何掌握函数与方程的基本概念和性质。
下面是一些重点及难点知识点：1. 函数的概念与性质：- 定义函数的方法及表示方式；- 函数的定义域和值域；- 函数的奇偶性和周期性。
2. 一次函数：- 函数的表示与性质；- 函数图像与函数的关系；- 函数的平移和伸缩。
3. 二次函数：- 函数的表示与性质；- 函数图像与函数的关系；- 函数的最值及其求解。
4. 指数函数与对数函数：- 函数的表示与性质；- 函数图像与函数的关系；- 指数函数与对数函数的互逆性；- 对数函数的常用性质与计算方法。
二、三角函数三角函数是数学中的重要概念，对于几何问题和物理问题的解决起着重要的作用。
以下是高一数学中的三角函数的重点及难点：1. 基本概念：- 角的概念与表示方法；- 弧度制与角度制的转换；- 扇形面积与弧长的计算。
2. 正弦函数与余弦函数：- 函数的定义与性质；- 函数图像与函数的关系；- 函数的周期性与对称性。
3. 正切函数与余切函数：- 函数的定义与性质；- 函数图像与函数的关系；- 函数的周期性与对称性。
4. 三角恒等式：- 三角函数的和差化积；- 三角函数的倍角化简；- 三角函数的半角化简。
三、平面向量平面向量是高中数学中引入的新概念，它在几何与代数中都有广泛的应用。
以下是高一数学中平面向量的重点及难点：1. 平面向量的表示与运算：- 向量的表示方法；- 向量的加法与减法；- 向量的数量积与向量积。
2. 向量的共线与垂直：- 向量的共线与夹角的关系；- 向量的垂直与正交投影。
3. 向量的坐标表示与应用：- 向量与坐标的转换；- 平面向量在几何问题中的应用。
四、概率与统计概率与统计是高中数学的重要内容，它们可以帮助我们理解和处理随机事件与实际问题。
以下是高一数学中概率与统计的重点及难点：1. 随机事件与概率：- 随机事件的基本概念；- 概率的定义与性质；- 概率计算与应用。
函数的单调性重难点解决
函数的单调性重难点解决一、教材分析《函数的单调性》是人教A版《新课标》教材高中数学必修1第一章第三节第一课时的内容，在此之前，学生已学习了函数的概念及函数的表示法，这为过渡到本节课的学习起着铺垫的作用。
本节课的学习为今后学习不等式、导数的应用，函数的极限以及其他学科如物理学科的学习奠定了基础。
因此函数单调性的学习其重要性是不言而喻的。
按照课程标准的要求，根据上述教材分析，我制定了以下三维教学目标：二、教学目标1、知识与技能目标（1）理解函数的单调性并掌握增（减）函数及单调区间的概念；（2）使学生初步掌握会利用函数图象及定义去判断和证明函数的单调性。
2、方法与过程目标通过对函数单调性定义的分析与整理以及对单调性思想的感知与体验，使学生会模仿定义解决问题。
3、情感、态度与价值观目标在本节课的学习过程中，培养学生细心观察，认真分析，严谨论证的良好思维习惯，培养学生善于归纳总结，数形结合的思想。
根据上述教材分析及教学目标，我确定了本节课的重点与难点:三、教学重、难点函数的单调性、增（减）函数以及单调区间的概念的理解与掌握为本节课的重点。
考虑到学生已有的知识基础及认知能力，又函数单调性具有抽象、严谨性等特点。
因此把函数单调性概念的理解及判断和证明函数的单调性以及单调区间的判定作为本节课的教学难点。
由于中学生虽好奇，好动，但更有知道原理明白方法的理性愿望，为了调动学生的积极性，我确定了本节课的教法与学法：四、教法与学法本节课采用了学生广泛参与与启发式教学的教学模式，对函数的知识进行适当的复习回顾以作铺垫，对函数图像进行直观形象分析，以分散难点。
通过探究法结合发现法指导学生学习。
为了实现我的教学目标，我设计了如下的教学过程：五、教学过程1、创设情境，导入课题。
首先给出三个函数的图像，提出从左至右，函数图像有怎样的变化规律？作为问题让学生观察思考回答，以激发学生的学习兴趣为目的。
从而引出课题.2、进一步引导学生根据已有的经历与体验，分析y=x2的图像，讨论在y轴左侧及右侧的图像性质，进过分析，师生交流、讨论，明确解决函数的单调性在于弄清增（减）该函数的定义。
函数重点难点突破
函数中恒成立,存在性问题主干知识整合1．在代数综合问题中常遇到恒成立问题．恒成立问题涉及常见函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化,正确选用函数法、最小值法、数形结合法等解题方法求解．2．恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：1x∈D,fx>C；2x∈D,fx>gx；3x1,x2∈D,|fx1－fx2|≤C；4x1,x2∈D,|fx1－fx2|≤a|x1－x2|.3．不等式恒成立问题的处理方法1转换求函数的最值①若不等式A<fx在区间D上恒成立,则等价于在区间D上A<fx min fx的下界大于A.②若不等式B>fx在区间D上恒成立,则等价于在区间D上B>fx max fx的上界小于B.2分离参数法①将参数与变量分离,即化为gλ≥fx或gλ≤fx恒成立的形式；②求fx在x∈D上的最大或最小值；③解不等式gλ≥fx max或gλ≤fx min,得λ的取值范围．3转换成函数图象问题①若不等式fx>gx在区间D上恒成立,则等价于在区间D上函数y＝fx和图象在函数y＝gx图象上方；②若不等式fx<gx在区间D上恒成立,则等价于在区间D上函数y＝fx和图象在函数y＝gx图象下方．探究点一x∈D,fx>gx的研究对于形如x∈D,fx>gx的问题,需要先设函数y＝fx－gx,再转化为x ∈D,y min>0.例1 已知函数fx＝x|x－a|＋2x.1若函数fx在R上是增函数,求实数a的取值范围；2求所有的实数a,使得对任意x∈1,2时,函数fx的图象恒在函数gx ＝2x＋1图象的下方．点评在处理fx>c的恒成立问题时,如果函数fx含有参数,一般有两种处理方法：一是参数分离,将含参数函数转化为不含参数的函数,再求出最值即可；二是如果不能参数分离,可以用分类讨论处理函数fx的最值．变式训练：已知fx＝x3－6ax2＋9a2xa∈R,当a>0时,若对x∈0,3有fx≤4恒成立,求实数a的取值范围．探究点二x1,x2∈D,|fx1－fx2|≤C的研究对于形如x1,x2∈D,|fx1－fx2|≤C的问题,因为|fx1－fx2|≤fx max－fx min,所以原命题等价为fx max－fx min≤C.例2 已知函数fx＝ax3＋bx2－3xa,b∈R,在点1,f1处的切线方程为y＋2＝0.1求函数fx的解析式；2若对于区间－2,2上任意两个自变量的值x1,x2,都有|fx1－fx2|≤c,求实数c的最小值．点评在处理这类问题时,因为x1,x2是两个不相关的变量,所以可以等价为函数fx在区间D上的函数差的最大值小于c,如果x1,x2是两个相关变量,则需要代入x1,x2之间的关系式转化为一元问题．探究点三x1,x2∈D,|fx1－fx2|≤a|x1－x2|的研究形如x1,x2∈D,|fx1－fx2|≤a|x1－x2|这样的问题,首先需要根据函数fx的单调性去掉|fx1－fx2|≤a|x1－x2|中的绝对值符号,再构造函数gx＝fx－ax,从而将问题转化为新函数gx的单调性．例3 已知函数fx＝x－1－a ln xa∈R．1求证：fx≥0恒成立的充要条件是a＝1；2若a<0,且对任意x1,x2∈0,1,都有|fx1－fx2|≤4错误!,求实数a的取值范围．点评x1,x2∈D,|fx1－fx2|≤a|x1－x2|等价为k＝错误!≤a,再进一步等价为f′x≤a的做法由于缺乏理论支持,解题时不可以直接使用．况且本题的第2问不能把|fx1－fx2|≤4错误!转化为错误!≤4,所以这类问题还是需要按照本题第2问的处理手段来处理．规律技巧提炼在处理恒成立问题时,首先应该分辨所属问题的类型,如果是关于单一变量的恒成立问题,首先考虑参数分离,如果不能参数分离或者参数分离后所形成函数不能够处理,那么可以选择分类讨论来处理；如果是关于两个独立变量的恒成立问题处理,只需要按照上探究点中所讲类型的处理方法来处理即可．存在性问题1．在代数综合问题中常遇到存在性问题．与恒成立问题类似,存在性问题涉及常见函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法．2．存在性问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：1x∈D,fx>C；2x∈D,fx>gx；3x1∈D,x2∈D,fx1＝gx2；4x1∈D,x2∈D,fx1>gx2．3．存在性问题处理方法1转换求函数的最值；2分离参数法；3转换成函数图象问题；4转化为恒成立问题探究点一x∈D,fx>gx的研究对于x∈D,fx>gx的研究,先设hx＝fx－gx,再等价为x∈D,hx max>0,其中若gx＝c,则等价为x∈D,fx max>c.例1 已知函数fx＝x3－ax2＋10.1当a＝1时,求曲线y＝fx在点2,f2处的切线方程；2在区间1,2内至少存在一个实数x,使得fx<0成立,求实数a的取值范围点评解法一在处理时,需要用分类讨论的方法,讨论的关键是极值点与区间1,2的关系；解法二是用的参数分离,由于ax2>x3＋10中x2∈1,4,所以可以进行参数分离,而无需要分类讨论．变式训练：已知函数fx＝xx－a2,gx＝－x2＋a－1x＋a其中a为常数．1如果函数y＝fx和y＝gx有相同的极值点,求a的值；2设a>0,问是否存在x0∈错误!,使得fx0>gx0,若存在,请求出实数a的取值范围；若不存在,请说明理由探究点二x1∈D,x2∈D,fx1＝gx2的研究对于x1∈D,x2∈D,fx1＝gx2的研究,若函数fx的值域为C1,函数gx的值域为C2,则该问题等价为C1C2.例2 设函数fx＝－错误!x3－错误!x2＋错误!x－4.1求fx的单调区间；2设a≥1,函数gx＝x3－3a2x－2a.若对于任意x1∈0,1,总存在x0∈0,1,使得fx1＝gx0成立,求a的取值范围．点评对于x∈D,fx＝c要成立,c的取值集合就是函数fx的值域,对于x∈D,使得c＝gx,c应该属于gx的取值集合,所以函数fx的值域为gx的值域的子集．探究点三x1∈D,x2∈D,fx1>gx2的研究对于x1∈D,x2∈D,fx1>gx2的研究,第一步先转化为x2∈D,fx1min>gx2,再将该问题按照探究点一转化为fx1min>gx2min.例3 已知函数fx＝2|x－m|和函数gx＝x|x－m|＋2m－8.1若方程fx＝2|m|在－4,＋∞上恒有惟一解,求实数m的取值范围；2若对任意x1∈－∞,4,均存在x2∈4,＋∞,使得fx1>gx2成立,求实数m的取值范围．点评对于x∈D,fx>c,可以转化为fx min>c；x∈D,c>gx,可以转化为c>gx min,所以本问题类型可以分两步处理,转化为fx min>gx min.1．对于恒成立问题或存在性问题常见基本类型为x∈D,fx>c,可以转化为fx min>c；x∈D,c>gx,可以转化为c>gx min,x∈D,c＝gx,可以转化为c∈{y|y＝gx},对于由这些含有量词的命题组合而成的含有两个量词命题的问题,可以采取分步转化的方法来处理．2．对于含有参数的恒成立问题或存在性问题,常用的处理方法有分类讨论或参数分离,并借助于函数图象来解决问题．高考链接。
高一函数重难点突破(复习知识)
高一函数重难点突破一、 求复合函数的定义域的四种题型 1.已知f[x]的定义域,求f(g(x))的定义域例1设函数f(x)的定义域为(0,1),求函数f(lnx)的定义域2.已知f[g(x)]的定义域,求f(x)的定义域例2已知f(3-2x)的定义域为x ∈[-1,2], 求函数f(x)的定义域3.已知f[g(x)]的定义域,求f(h(x))的定义域例3若函数f(2x )的定义城为[-1,1], 求f(log 2x)的定义域4.已知()x f 的定义域，求四则运算型函数的定义域 例4 已知函数()x f 定义域为是],[b a ，且0>+b a 求函数()()()m x f m x f x h -++=()0>m 的定义域解 ⎩⎨⎧+≤≤+-≤≤-⇒⎩⎨⎧≤-≤≤+≤mb x m a mb x m a b m x a b m x a ，m a m a m +<-∴>,0 m b m b +<-，又m b m a +<-要使函数()x h 的定义域为非空集合，必须且只需m b m a -≤+，即20ab m -≤<， 此时函数()x h 的定义域为{x|a+m }*注* 定义域指的是自变量x 的取值范围；同一个对应关系f 作用下（）的范围一样；定义域写成集合的形式，区间也是集合的一种表示方法二、 求函数解析式的六种题型1.待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f2.配凑法或换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式。
[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。
但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。
例2 （1） 已知221)1(xx x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式（2） 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f3.构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。
函数单调性重难点突破
函数单调性重难点突破
函数的单调性重难点突破案例
1、给出函数值的变化趋势
突破建议：
画出下列函数的图象，根据图象思考当⾃变量x的值增⼤时,函数值是如何变化的？（利⽤好⼯具，做⼀个动图，让学⽣更直观的看出，函数值随⾃变量的变化趋势）
问题1
通过上⾯的观察，如何⽤图象上动点P（x，y）的横、纵坐标关系来说明上升或下降趋势？
师⽣活动：⼩组讨论，给出结果，培养学⽣的团队合作意识。
问题2
如何⽤数学符号描述这种上升或下降的趋势？
师⽣活动：教师点拨，学⽣尝试归纳，培养学⽣⽤数学语⾔概括问题的能⼒。
2、函数单调性的证明：例题讲解，学以致⽤
例1主要是对函数单调区间的巩固运⽤，通过观察函数定义在（—
5，5）的图像来找出函数的单调区间。
这⼀例题主要以学⽣个别回
答为主，学⽣回答之后通过互评来纠正答案，检查学⽣对函数单调
区间的掌握。
强调单调区间⼀般写成半开半闭的形式
例题讲解之后可让学⽣⾃⾏完成课后练习4，以学⽣集体回答的⽅
式检验学⽣的学习效果。
例2是将函数单调性运⽤到其他领域，通过函数单调性来证明物理
学的波意尔定理。
这是历年⾼考的热点跟难点问题，这⼀例题要采
⽤教师板演的⽅式，来对例题进⾏证明，以规范总结证明步骤。
⼀设⼆差三化简四⽐较，注意要把f(x1)-f(x2)化简成和差积商的形式，再⽐较与0的⼤⼩。
学⽣在熟悉证明步骤之后，做课后练习3，并以⼩组为单位找部分同学上台板演，其他同学在下⾯⾃⾏完成，并通过⾃评、互评检查证明步骤。
高一数学知识点难点和重点
高一数学知识点难点和重点高一是学习数学的关键时期，学生们开始接触更加抽象和深入的数学概念和知识点。
在这个阶段，学生需要在前一年所学的基础上加强巩固，并针对一些难点和重点进行重点复习。
本文将从几个方面介绍高一数学的知识点难点和重点。
一、代数与函数1. 平方差公式平方差公式是高一学习代数的重点内容之一。
它可以将两个数相乘后的结果转化为平方和或平方差的形式，提高运算的效率。
2. 一元二次方程一元二次方程是高一数学的难点，学生需要掌握求解一元二次方程的方法，包括配方法、公式法和因式分解法等。
3. 函数与方程学生需要理解函数与方程的关系，并能够应用函数的性质解决实际问题。
重点掌握一次函数、二次函数、指数函数和对数函数等的性质和变化规律。
二、几何与三角函数1. 平面几何高一学习平面几何，需要重点掌握平行线与垂直线的性质，直线与角的性质，以及三角形、四边形和圆的性质等内容。
2. 三角函数三角函数是高中数学的难点之一，学生需要熟练掌握正弦、余弦和正切等三角函数的定义和性质，并能够灵活运用三角函数解决相关的几何问题。
三、概率与统计1. 排列组合排列组合是高一学习概率与统计的重点内容之一。
学生需要掌握排列、组合和二项式定理等相关的概念和计算方法。
2. 概率学生需要理解概率的概念，掌握概率的计算方法，包括事件的排列组合、几何概型和条件概率等。
3. 统计统计是数学中的一门重要学科，学生需要了解统计的基本概念和统计方法，包括平均值、中位数、众数和标准差等。
四、解析几何解析几何是高中数学的难点之一，学生需要掌握直线、圆和抛物线等的方程和性质，能够将几何问题转化为代数问题进行求解。
总结起来，高一数学的难点和重点主要集中在代数与函数、几何与三角函数、概率与统计和解析几何等方面。
学生需要充分理解各个知识点的概念和性质，并能够熟练运用相关的计算方法解决问题。
通过不断的练习和巩固，掌握高一数学的难点和重点，将为高中数学的学习奠定坚实的基础。
高一数学必修一重难点讲解
高中必修一一些重点函数值域求法十一种 (2)复合函数 (9)一、复合函数的概念 (9)二、求复合函数的定义域： (9)复合函数单调性相关定理 (10)函数奇偶性的判定方法 (10)指数函数： (12)幂函数的图像与性质 (15)函数值域求法十一种1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1. 求函数x 1y =的值域。
解：∵0x ≠ ∴0x 1≠显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x 3y -=的值域。
解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。
解：将函数配方得：4)1x (y 2+-=∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max =故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域。
解：原函数化为关于x 的一元二次方程0x )1y (x )1y (2=-+-〔1〕当1y ≠时，R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆ 解得：23y 21≤≤ 〔2〕当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211 故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域。
解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-〔1〕 ∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程〔1〕有实根，由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。
高一数学难点与重点知识点
高一数学难点与重点知识点高一数学是整个高中数学学科中的一个重要阶段，也是学生对数学基础知识的扎实掌握的关键时期。
在高一数学学习中，有一些难点和重点知识点需要我们特别关注和理解，下面就让我们来详细探讨一下这些问题。
一、难点之一：函数概念的理解在高一数学中，函数是一个非常重要的概念，也是后续学习的基础。
然而，对于初学者来说，函数的概念往往抽象难懂，容易引起疑惑。
在理解函数的定义之前，首先要理解自变量和因变量之间的关系，明确函数的定义域和值域的概念。
而后，我们要掌握函数的多种表示方法，包括函数的解析式、图象和函数关系的直观联系等。
通过多个角度来理解函数的概念，可以帮助我们更好地掌握和应用函数。
二、难点之二：向量的运算与几何应用在高一数学课程中，向量是一个比较复杂的知识点。
首先，我们需要学习向量的基本性质和表示方法。
学习向量的运算，包括向量的加减、数量积和向量积等，是非常重要的一部分。
另外，向量的几何应用也是我们需要重点掌握的内容。
例如，利用向量可以解决平面上的平行、垂直和共线问题，也可以用来表示线段的长度、角的关系等。
通过大量的训练和实际应用，我们可以逐渐掌握向量的运算和应用。
三、难点之三：立体几何的推理能力高一数学中的立体几何是一个需要灵活运用推理能力的知识点。
在学习立体几何的时候，我们需要掌握立体图形的性质，比如平面与立体的交角问题、立体的表面积和体积计算等。
除此之外，我们还需要学习如何运用立体几何的推理方法来解决一些几何问题，比如证明两个立体图形是否相似、证明两个立体的位置关系等。
通过大量的练习和实际应用，我们可以提高我们的推理能力和解题能力。
四、难点之四：函数的导数和微分高一数学中的微积分是一个相对抽象和难懂的知识点。
其中，函数的导数和微分是微积分的核心内容。
在学习函数的导数时，我们需要理解导数的几何意义和物理意义，掌握导数的计算方法和性质。
另外，我们还需要了解导数在实际问题中的应用，比如速度、加速度等概念的引入。
高一数学重难点知识点大全
高一数学重难点知识点大全一、函数在高一数学中，函数是一个重要的基础概念。
函数是一种表达数学关系的方法，常用于解决实际问题。
函数包含定义域、值域和对应关系等要素。
其中，函数的定义域决定了函数的可用输入值，值域是函数的所有可能输出值。
1.1 函数的概念函数是一种从一个集合到另一个集合的关系，对于定义域中的每个元素，都有唯一的映射元素。
函数可以用数学表达式、图像或表格来表示，例如f(x) = 2x + 1。
1.2 基本初等函数常见的基本初等函数包括线性函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等。
了解这些函数的性质和图像可以帮助我们更好地理解和应用函数。
1.3 函数的性质函数的性质包括奇偶性、单调性、最值和周期等。
通过研究函数的性质，我们可以快速判断函数的变化趋势和特点，进而解决问题。
二、三角函数三角函数是高一数学中的重难点之一，它是研究角和角的函数关系的数学工具。
2.1 常用三角函数常用的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。
它们的定义分别是三角函数比值的倒数关系，可以用来描述角的性质和应用。
2.2 三角函数的图像和性质熟练掌握三角函数的图像和性质，对于解决三角函数的相关问题非常有帮助。
例如，正弦函数的图像是周期性的波形，具有奇性、1周期、最值和振幅等性质。
2.3 三角函数的应用三角函数在实际问题中具有广泛的应用，例如求解三角方程、测量等。
掌握三角函数的应用方法能够更好地解决实际问题。
三、数列与数列求和数列是高一数学中的重要内容，它是按照一定规律排列的一系列数的集合。
3.1 数列的概念数列是按照一定规律排列的一系列数的集合。
数列中的每个数称为数列的项，数列的下标表示项的位置。
例如，1，2，3，4，……就是一个递增的数列。
3.2 数列的通项和递推公式数列可以用通项公式和递推公式来表示。
通项公式可以直接给出数列的第n项，而递推公式可以通过已知的项来计算下一项。
3.3 数列的求和公式数列的求和公式是计算数列所有项的和的公式。
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高一函数重难点突破一、 求复合函数的定义域的四种题型 1. 已知f[x]的定义域,求f(g(x))的定义域例1设函数f(x)的定义域为(0,1),求函数f(lnx)的定义域2. 已知f[g(x)]的定义域,求f(x)的定义域例2已知f(3-2x)的定义域为x € [-1,2], 求函数f(x)的定义域3. 已知f[g(x)]的定义域,求f(h(x))的定义域例3若函数f(2 x )的定义城为[-1,1], 求f(log 2X )的定义域4. 已知f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域 例4已知函数f x 定义域为是[a,b]，且a b 0 求函数h x = fx ，m 「fx -m ]〔m - 0的定义域b - m ： b m ，又 a - m ： b m要使函数h x 的定义域为非空集合，必须且只需 a • m 空b - m ，即0 ：：： m 乞b 「a2 此时函数h x的定义域为{x|a+m]l ：二：…iT (}求函数解析式的六种题型 1•待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法 例1设f(x)是一次函数，且f[f (x)] =4x ・3，求f(x)a —m^x^b —m .a+m^x^b+mm 0, a - m ：： a m2. 配凑法或换元法：已知复合函数f[g(x)]的表达式，求f (x)的解析式。
f[g(x)]的表达式容易配成g(x)的运算形式时，常用配凑法。
但要注意所求函数f(x)的定义域不是原复合函数的定义域，而是g(x)的值域。
1 1例 2 ( 1)已知f(x + _)=x2+p (x>0)，求f (x)的解析式x x(2)已知f(x 1) =x 2 x，求 f (x 1)3•构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组, 通过解方程组求得函数解析式。
例3 设 f (x)满足 f (x) -2f (1Hx,求f(x)x1变式训练：设f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，又f(x) + g(x)= -------------------- ,试求f(x)和g(x)的解析式x — 14.赋值法：例4已知：f(0)=1,对于任意实数x,y,等式f(x-y)= f(x)-y(2x-y+1)恒成立，求f(x)5. 性质法：例5已知奇函数f (x )(x € R)，当x >0时，f (x ) = x (5 — x ) + 1,求f (x )在R 上的解析式6.代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。
(暂时不做要求)例5已知：函数y =x 2 • x 与y =g(x)的图象关于点(-2,3)对称，求g(x)的解析式 解：设M(x, y)为y =g(x)上任一点，且M (x ：y)为M (x, y)关于点(-2,3)的对称点•点 M (x ；y)在 y 二g(x)上2 . 卜x~~ »2，解得:"x " = -x - 4y' = 6-y 'y 二x x丄十x‘ = -x —4 八、、/口把丿代入得：y” = 6 _y26 _ y = ( _x _4) ( _x _ 4)整理得y = —x2—7x -62g (x)二_x ■ ■ 7x - 6*注*函数的定义域不要漏写三、复合函数的单调性的四种题型判断复合函数单调性步骤：(1) 求复合函数定义域；(2) 将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幕、指、对函数)；(3) 判断每个常见函数的单调性；(4) 将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；(5) 求出复合函数的单调性。
1. 外层函数与内层函数只有一种单调性的复合型：例1已知函数y=log a(2-ax)在［0,1］上是x的减函数，贝U a的取值范围是()(A).(0,1) (B).(1,2) (C).(0,2) (D). ［2, +-)2•外层函数只有一种单调性，而内层函数有两种单调性的复合型: 例2 (1)求函数y=log0.5(X2+4X+4)的增区间。
(2)讨论函数y=0.8 x2-4x+3的单调性。
3. 外层函数有两种单调性，而内层函数只有一种单调性的复合型:n例3在下列各区间中，函数y=sin(x+才)的单调递增区间是()n n n n(A).[ 2，n ] (B)JO , 4] (C)•[- n, 0] (D). [ 4, 2】n变式训练：求函数y=sin(-x+ 4)的增区间例4讨论函数y=(log 2X)2+log 2X的单调性。
4. 外层函数与内层函数都有两种单调性的复合型：(了解)例6( 89 •全国•理)已知函数f(x)=8+2x-x 2,如果g(x)=f(2-x 2)，那么g(x)() (A).在区间(-1 , 0)上是减函数；(B).在区间(0, 1)上是减函数；(C).在区间(-2 , 0)上是增函数；(D).在区间(0 , 2)上是增函数.变式训练：利用复合函数求参数取值范围求参数的取值范围是一类重要问题，解题关键是建立关于这个参数的不等式组，必须将已知的所有条件加以转化。
1.已知函数f(x)=…」(x 2-ax+3a)在区间[2 , )上是减函数，则实数a的取值范围是_______ 。
2.若f(x)=log a(3-ax)在[0 , 1]上是减函数，则a的取值范围是 _________________求f (x)在x I -3,3 1上的值域。
例2、f(x)对任意实数x 与y 都有f (x) - f (y) = f (x - y) - 2 ,当x>0 时,f(x)>2(1)求证:f(x)在R上是增函数； (2)若f(1)=5/2,解不等式f(2a-3) < 3【专练】：1、已知函数f(x)对任意x, y R有f(x) f(y)= 2 • f(x • y)，当x 0时，f(x) ■ 2， f (3) =5，求不等式f(a2 -2a -2) ：：：3的解集。
2、定义在R上的函数f(x)满足：对任意x, y € R都有f(x-y)二f(x) - f(y)，且当x : 0时，f(x) ：：0(1)求证f(x)为奇函数；(2)若f(k • 3x)+f(3 x-9 x-2) v 0对任意x € R恒成立，求实数k的取值范围.二类：对数函数型| 函数满足：|f (a[_b)= f (a) + f (b)| 或 f (a) = f (a) _ f (b)---------------------- ------------------------------------------------- | b例1、f(x)是定义在x>0 的函数，且f(xy) = f(x) + f(y); 当x>1 时有f(x)<0;f(3) = -1.(1)求f(1)和f(1/9)的值；(2)证明f(x)在x>0上是减函数；(3)解不等式f(x) + f(2-x) <2。
例2、定义在(0,=)上函数y = f(x)对任意的正数a,b均有：f(a)= f(a) - f (b)，且当x ：：： 1时,bf(x) 0, ( I )求f (1)的值；(II )判断f (x)的单调性,x【专练】：1、定义在(0,母)上的函数f(x)对任意的正实数x,y有f(—)= f(x)—f(y)且当0cx<1y1时，f (x) :: 0 . 求:(1) f(1)的值• (2)若f(6)=1,解不等式f(x 3)— f『)：：2 ；x2、函数f (x)的定义域是x = 0的一切实数，对定义域内的任意x「X2都有f(X1 X2)= f (xj f(X2)，且当x 1 时f(x) 0,又f (2) =1，( 1)求证：f (x)是偶函数；(2)2f (x)在(0, 7)上是增函数(3)解不等式f(2x -1)：：：23、设f(x)是定义在(0,：：)上的函数，对任意x,y (0,二)，满足f (xy) = f (x) f (y)且当x 1时, f (x) 0。
(〔)求证：f (?) = f (x)—f (y) ；( 2)若 f (5) =1，解不等式 f (x+1)一 f (2x) £2.例1、定义在R上的函数f(x)，满足当x时，f(x) .1,且对任意xy R,有f (x y)二f(x) f(y),又知f(1) = 2. ( 1)求f(0)的值；(2)求证：对任意R都有f(x) 0 ； ( 3)解不等式f (3x -x2) 4 ；【专练】：1、定义在R上的函数y = f (x)对任意的m,n都有f (m • n) = f(m£|f (n)，且当x 0时, 0 - f (x) =1， ( I )证明：R 都有f(x) 0 ； (II )求证：y=f(x)在R 上为减函数；(III) 解不等式f(x) • f(2x-x2)>1。
2、若非零函数f(x)对任意实数a,b均有f(a b^ f(a) f (b)，且当x ：：： 0时，f(x) 1 ；1(1)求证：f(x) 0 ； (2)求证：f(x)为减函数(3)当f(4)= 1时，解不等式162 1f (x 一3) f (5 —X2)乞;4四类：幕函数型|函数满足：|f @也)「= f (a)」f(b)]或f (-^丄®------------------ --------------------------------------------- J f(b)|例1、已知函数f(x)满足：①对任意x,r R,都有f(xy)二f(x)L|f(y)，② f(-1) =1,f (27) =9,且当0X1 时，f(x) [0,1。
(I)判断f(x)的奇偶性，(II )判断f(x)在〔0, •上的单调性，并证明。
(III )若a —0，且f (a T) —39，求a的取值范围。
五类：其他类数函数型例1、定义在1-1,11上的奇函数y=f(x)有f(1) = 1,且当m,n - 1-1,1时，总 有：f(m) f (n)(I )证明:f(x)在〔—1,1］上为增函数，(11)解不等式:f(x 1)：：：f( 1 ),(III) 若f (x) _t 2 -2at 1对所有. -1,11,-1,1恒成立，求实数t 的取值范围.例2、定义在(-1, 1)上的函数f(x)满足，对任意x ，r (-1, 1)都有f (x^ f (y^ f (x y )， 且当(-1, 0)时，有f(x) 0，( 1)试判断f(x)的奇偶性；(2)判断f (x)的单调性;五、函数恒成立和存在性问题知识点梳理1、恒成立问题的转化类型 1： 一次函数型 f(x)=ax+b(a M 0)在［m,n ］内恒有 f(x)>0,贝U f(m)>0 且 f(n)>0 类型 2:设 f(x) = ax 2 bx c(a = 0)，(1) f(x) 0在x ，R 上恒成立二 a •0且「：0; (2) f(x) ：：0 在x • R 上恒成立二 a ：0 且二-0。