定积分的简单应用求体积

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定积分在几何和物理中的应用

定积分在几何和物理中的应用定积分是高等数学中非常重要的一个概念，它可以用于计算曲线、曲面的面积或体积，还可以应用到物理学、工程学中。

在本文中，我们将着重探讨定积分在几何和物理中的应用。

一、计算面积我们首先来看一个简单的例子，如果我们想要计算一个曲线所围成的面积，我们需要怎么做呢？假设曲线为y=f(x)，我们可以将这条曲线分成若干个无限小的小矩形，每个小矩形的宽度为Δx，高度为函数值f(x)，则该小矩形的面积为f(x)Δx。

我们将所有小矩形的面积相加，得到所求的曲线面积S：S=∫a^b f(x) dx其中a和b分别是曲线的起点和终点。

这里的∫符号代表积分符号，具体的计算方法不在本文中详细说明。

二、计算体积在物理学中，我们经常需要计算物体的体积，定积分也可以帮助我们实现这一目的。

比如我们需要计算一个旋转曲线所围成的立体体积，我们可以依然使用之前的方法将其分解成无限小的小圆柱体积，每个小圆柱的体积可以表示为：V=π[f(x)]^2dx我们将所有小圆柱的体积相加，得到所求的立体体积V：V=∫a^b π[f(x)]^2dx三、计算重心和质心在物理学中，重心和质心是非常重要的概念。

对于一个平面图形或者一个立体体形，它的重心和质心分别表示为：重心：(∫xdS)/(∫dS)质心：(∫xdm)/(∫dm)这里的dS和dm分别表示面元和质量元，x则表示距离中心的距离。

我们可以通过对图形进行分割并使用定积分来计算重心和质心。

四、积分在物理学中的应用定积分在物理学中的应用非常广泛，比如我们可以使用它来计算弹性势能、动能、功、功率等物理量。

举一个简单的例子，假设质量为m的物体从高度为h处自由落下，当它下落到高度为y 时，它的速度为v，我们可以使用动能和势能的转化关系求出v，设重力加速度为g，则它下落过程中失去的重力势能为mgh-mgy，同时增加的动能为(1/2)mv^2，因此：mgh-mgy=(1/2)mv^2v=sqrt(2g(h-y))我们可以使用定积分来求解物体在过程中的运动状态，以及计算其他物理量的值。

空间立体体积的计算方法(1)

数学积分求体积方法概述摘要：定积分在大学数学学习及应用中起着非常重要的作用，一直以来定积分问题就是大学数学学习的重点，也是本科及研究生入学考试重点考察的内容之一，在我们的生活中起着很重要的作用！空间立体体积的计算在日常生活和学习中是十分重要的,对于规则的立体,中学里已有一些求解公式,对于不规则的立体,则需要用高等数学积分法加以解决。

本文总结了几种常见的利用积分求立体体积的方法及案例,通过所学积分学知识建立了更为普遍的立体体积的求解方法和计算公式,同时也介绍了相关的物理方法,并从具体的例题入手充分挖掘了空间立体体积计算的一些思想和方法。

关键词：积分; 空间立体体积; 积分区域; 被积函数引言空间立体体积的计算是生活中常见的问题,对于规则的空间立体体积的计算在中学时就有具体的计算公式,但对于不规则的空间立体体积则难以计算。

本文就主要针对各种形状的空间立体研究计算其体积的简便方法。

其实很多文献对空间立体体积的计算问题都进行了讨论,文献[1]就基本上包括了此问题的所有积分计算方法,并给出了相应的计算公式。

文献[2]-[9]分别从不同方面对各种方法进行了细致说明,并对个别特例进行了深入分析,给出了特殊的积分计算方法。

文献[10]则主要是对部分方法做出了总结,并列出了大量相关例题辅助理解。

以上文献充分体现出积分思想在解题中应用广泛,特别是在计算空间立体体积领域。

如果我们能够在积分学的基础上掌握空间立体体积的计算方法,则能使一些复杂的问题简单化,还易让人接受。

所以我们要分析掌握积分法,以便于解决与此相关的各种复杂问题,特别是各种空间立体体积的计算问题。

空间立体体积的计算是高等数学积分法在几何上的主要应用,其主要思想是将体积表示成定积分或重积分,研究空间立体,确定积分区域及被积函数,然后综合考虑立体特征、积分区域及被积函数特点,选择恰当的积分方法,使空间立体体积的计算简单明了。

本文在上述文献的基础上,总结了中学常见的空间立体体积的计算方法。

高中数学同步教学第4章 §3 定积分的简单应用

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＝π(12x2－15x5)|01＝π(12－15)＝π×130＝130π.
• 4．由曲线y＝x2,直线x＝1,x＝2与x轴所围成的平面图形绕x
31π 5
轴[解旋析转] 一设周所得所旋得转旋体的转体体积的为体V，积为________.
则 V＝2π(x2)2dx＝2πx4dx＝5πx5|12＝315π.
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互动探究学案
命题方向1 ⇨不分割型平面图形面积的求解
• 典例 1 曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形16 的面积为____.
• [思路分析] 从图形上可以看出,所求图形的面积可以转化为一个三角形与一个曲边三角形面积的差,进而可以用定积分求出面积．为了确定出积分的上、下限,我们需要求出直线[解和析抛] 物解线方程的组交yy点＝＝xx的，2，横坐标．
第四章定积分
• 本章知识概述：本章的主要内容是定积分的概念,计算和简单应用．
• 教科书通过曲边梯形面积问题,变速直线运动物体的路程问题,变力做功等问题,充分演示了定积分概念产生的背景以及定积分概念形成过程中的思路．微积分基本定理为我们处理积分的计算问题提供了有力工具,教科书主要介绍了求简单图形的面积和求简单旋转体的体积．
1．平面图形的面积如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上连续且恒有 f(x)≥0，那么定积分b f(x)dx 表
a
示由__直__线__x_＝__a_,x_＝__b_(_a_≠_b_)_,y_＝__0_和__曲__线__y_＝__f_(_x)_______所围成的曲边梯形的面积． 2．简单几何体的体积
得 x1＝0，x2＝1. 故所求图形的面积为
S＝1xdx－1x2dx
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§定积分应用之简单旋转体的体积

§定积分应⽤之简单旋转体的体积§3.2定积分应⽤之简单旋转体的体积【学习⽬标】1、利⽤定积分的意义和积分公式，求⼀些简单旋转⼏何体体积。

2、数学模型的建⽴及被积函数的确定。

【问题导学】1、复习求曲边梯形⾯积公式？定积分的⼏何意义？微积分基本定理？2、什么是旋转体？学过哪些旋转体？⼀个平⾯图形绕平⾯内的⼀条定直线旋转⼀周，所成的⽴体图形叫旋转体，这条定直线叫做旋转轴。

如：圆柱、圆锥、圆台、球体、球冠。

3、旋转体的体积（1）计算由区间[a 、b ]上的连续曲线y=f(x)、两直线x=a 与x=b及x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转⼀周所成的旋转体的体积：v=π()b2a f x dx （2）类似地可得，由区间[c,d]上的连续曲线 y=f(x),两直线y=c 与y=d 及y 轴所围成的曲边梯形绕y 轴旋转⼀周所成的旋转体的体积：()d2c v y dy π?=?[]【⾃学检测】1、给定直⾓边为1的等腰直⾓三⾓形，绕⼀条直⾓边旋转⼀周，得到⼀个圆锥体. 利⽤定积分的⽅法求它的体积2、⼀个半径为1的球可以看成由曲线y=1-x 2（半圆）与x 轴所围成的区域绕x 轴旋转⼀周得到的，利⽤定积分的⽅法求球的体积3、求曲线y=e x 、x=0、x=12与x 轴围成的平⾯图形绕x 轴旋转⼀周所得旋转体体积【当堂训练】4、求 y = x 2 与 y 2 = x 所围图形绕 x 轴旋转所成的旋转体体积5、将第⼀象限内由x 轴和曲线y 2=6x 与直线x=6所围成的平⾯图形绕x 轴旋转⼀周所得旋转体的体积等于6、求曲线x 轴、y 轴及直线x=1围成的平⾯图形绕x 轴旋转⼀周所得旋转体体积7、求曲线y=1x、x=1、x=2 与x 轴围成的平⾯图形绕x 轴旋转⼀周所得旋转体体积8、求曲线x=1与坐标轴围成的平⾯图形绕x 轴旋转⼀周所得旋转体体积§3.2定积分应⽤之简单旋转体的体积1、3π2、43π3、(1)2e π-4、310π5、108π6、32π7、2π8、2π。

试论定积分在物理及其他领域的应用

试论定积分在物理及其他领域的应用1. 引言1.1 定积分的基本概念定积分是微积分的一个重要概念，它在数学中有着广泛的应用。

定积分的基本概念可以简单地理解为一个函数在一定区间内的累积效果。

在几何学中，定积分可以用来计算曲线下面积，图形的面积和体积等问题。

在数学上，定积分可以看作是不定积分的反运算，通过定积分我们可以求解函数的定积分值。

在实际应用中，定积分被广泛运用于物理、工程、经济等领域。

它的应用使得复杂问题的计算变得简单清晰。

通过定积分，我们可以计算出物体的质量、力的大小、功的大小等物理量。

在力学中，定积分可以用来描述物体的运动规律，计算出物体的位置、速度和加速度等。

在电磁学中，定积分常常用来计算电场强度、磁场强度等问题。

在热力学中，定积分可以用来计算热量、熵等热力学量。

在工程学中，定积分可以帮助工程师计算出工程设计中的各种参数。

在经济学中，定积分在求解供求关系、成本、收益等问题上起着重要作用。

定积分在各个领域中都有着重要的应用价值。

它的基本概念对于理解定积分的应用具有重要意义。

通过深入研究定积分的基本概念，可以更好地理解其在不同领域中的具体应用。

1.2 定积分在物理领域的重要性定积分在物理领域的重要性体现在多个方面，首先在力学中，定积分可以用来描述物体的质量、速度、加速度、力和能量等物理量随时间的变化，从而帮助解决力学中的各种问题。

在电磁学中，定积分可以用来描述电流、电荷、电场、磁场等物理量在空间中的分布和变化规律，从而帮助解决电磁学中的各种问题。

在热力学中，定积分可以用来描述热量、温度、熵等热力学量在空间中的分布和变化规律，从而帮助解决热力学中的各种问题。

在工程学和经济学中，定积分也有着重要的应用，可以用来描述工程和经济系统中的各种物理量的变化规律，从而帮助解决工程和经济学中的各种问题。

定积分在物理领域中的重要性不可忽视，它为我们理解和应用物理定律提供了重要的数学工具和方法。

2. 正文2.1 定积分在力学中的应用在力学中，定积分是一个非常重要的数学工具，它可以用来描述物体在运动过程中的各种性质和运动规律。

北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的简单应用(三)利用定积分求简单几何体的体积课件

五、教后反思：
2013-4-2
2013-4-2
∴所求“冰激凌”的体积为：
12 1 4 224 2 2 (2 x ) dx ( x 6) dx (cm) 3 4 2 3 0
2013-4-2
变式引申:某电厂冷却塔外形如图所示,双曲线的一部分绕其中轴(双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A,A’是双曲线的顶点，C,C’是冷却塔上口直径的两个端点，B,B’ 是下底直径的两个端点，已知 AA’=14m,CC’=18m,BB’=22m,塔高20m.
x
2013-4-2
分析：解此题的关键是如何建立数学模型。将其轴载面按下图位置放置，并建立坐标系。则 A，B坐标可得，再求出直线AB和抛物线方程， “冰激凌”可看成是由抛物线弧OB和线段AB 绕X轴旋转一周形成的。
解：将其轴载面按下图位置放
置，并建立如图的坐标系。则 A(12,0)， (4,4) B
(1)建立坐标系，并写出该曲线方程． (2)求冷却塔的容积（精确到10m3塔壁厚度不计，取3.14） 2 2 x y (1) 1 49 98
8 2 8
Ｃ’ Ａ’ Ａ
Ｃ
1 2 ( 2)V x dy ( y 49)dy 12 12 2 Ｂ’ 2013-4-2
Ｂ
S侧 2 f ( x) 1 [ f ' ( x)]2 dx
V f
a
b
2
x dx，即可求旋转体体积的值。
（三）、课堂小结：求体积的过程就是对定积分概念的进一步理解过程，总结求旋转体体积公式步骤如下：1．先求出 y f x b 的表达式；2．代入公式 V f 2 x dx a ，即可求旋转体体积的值。（四）、作业布置：课本P90页练习题中2；习题 4-3中6、7

数学选修2-2定积分的简单应用练习题含答案

数学选修2-2定积分的简单应用练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 曲线y=sin x与x轴在区间[0, 2π]上所围成阴影部分的面积为（）A.−4B.−2C.2D.42. 由直线x=0，x=2，y=0和抛物线x=√1−y所围成的平面图形绕x轴旋转所得几何体的体积为（）A.46 15πB.43π C.1615π D.83π3. 由直线x=1，x=2，y=0与抛物线y=x2所围成的曲边梯形的面积为（）A.1 3B.53C.73D.1134. 由曲线y=x2+2与y=3x，x=0，x=1所围成的平面图形的面积为（）A.5 6B.1C.53D.25. 曲线y=x2和y2=x所围成的平面图形绕x轴旋转一周后，所形成的旋转体的体积为（）A.3π10B.π2C.π5D.7π106. 函数y=sin x，y=cos x在区间(π4，5π4)内围成图形的面积为（）A.√2B.2√2C.3√2D.4√27. 一物体在力F(x)=3+e2x(x的单位：m，F的单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x=0处运动到x=1处，力F(x)所做的功为（）A.(3+e2)JB.(3+12e2)J C.(52+12e2)J D.(2+e2)J8. 由曲线y=√x，y=x−2及x轴所围成的封闭图形的面积是()A.4B.103C.163D.1549. 下列表示图中f(x)在区间[a, b]上的图象与x 轴围成的面积总和的式子中，正确的是（）A.∫f ba (x)dx B.|∫f ba (x)dx|C.∫f c 1a (x)dx +∫f c 2c 1(x)dx +∫f cc 2(x)dxD.∫f c 1a (x)dx −∫f c 2c 1(x)dx +∫f cc2(x)dx10. 直线y =x 与曲线y =√x 3围成的平面图形的面积是．（） A.14 B.2 C.1D.1211. 设函数f(x)=ax 2+c(a ≠0)，若∫f 10(x)dx =f(x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．12. y =cos x 与直线x =0，x =π及x 轴围成平面区域面积为________．13. 由曲线y =|x|，y =−|x|，x =2，x =−2合成的封闭图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为V ，则V =________．14. 两曲线x −y =0，y =x 2−2x 所围成的图形的面积是________．15. 由曲线y =x 2和直线x =0，x =1，以及y =0所围成的图形面积是________． 16.若在平面直角坐标系xOy 中将直线y =x 2与直线x =1及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥的体积V 圆锥=∫π10(x 2)2dx =π12x 3|10=π12据此类比：将曲线y =x 2与直线y =9所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的体积V =________．17. 在直角坐标平面内，由直线x=1，x=2，y=0和曲线y=1所围成的平面区域的x面积是________．18. 在xOy平面上，将抛物线弧y=1−x2(0≤x≤1)、x轴、y轴围成的封闭图形记为D，如图中曲边三角形OAB及内部．记D绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω，过点(0, y)(0≤y≤1)作Ω的水平截面，所得截面面积为(1−y)π，试构造一个平放的直三棱柱，利用祖暅原理得出Ω的体积值为________．19. 函数f(x)=x3−x2+x+1在点(1, 2)处的切线与函数g(x)=x2−x围成的图形的面积等于________．2ax2−a2x)dx，则f(a)的最大值为________．20. 已知f(a)=∫(1x2在第一象限内的交点为P.21. 已知曲线C1：y2=2x与C2：y=12(1)求曲线C2在点P处的切线方程；(2)求两条曲线所围成图形的面积S.22. 求由曲线y=x2+2与y=3x，x=0，x=2所围成的平面图形的面积．23. 已知曲线C:y=x2(x≥0)，直线l为曲线C在点A(1, 1)处的切线．（1）求直线l的方程；（2）求直线l与曲线C以及x轴所围成的图形的面积．24. 如图一是火力发电厂烟囱示意图．它是双曲线绕其一条对称轴旋转一周形成的几何体，烟囱最细处的直径为10m，最下端的直径为12m，最细处离地面6m，烟囱高14m，试求该烟囱占有空间的大小．（精确到0.1m3）25.(1)已知复数z的共轭复数是z¯，且z⋅z¯−3iz=10，求z；1−3ix所围成的平面图形的面积．(2)求曲线y=√x与直线x+y=2，y=−1326.（1）已知(√x +2√x4)n 展开式的前三项系数成等差数列．求n ．（2）如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC 内，曲线y =x 2和曲线y =√x 围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC 内随机投一点（该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的），求所投的点落在叶形图内部的概率．27. 求由下列给出的边界所围成的区域的面积：（1）y ＝sin x(π4≤x ≤π)，x =π4，y ＝0；（2）y ＝x 2，y ＝2x 2，x ＝1；（3）y ＝x 2，y =√x ．28. 求由y =4−x 2与直线y =2x −4所围成图形的面积．29. 已知曲线y =sin x 和直线x =0，x =π，及y =0所围成图形的面积为S 0．（1）求S 0．（2）求所围成图形绕ox 轴旋转所成旋转体的体积．30. 已知函数y =f(x)的图形如图所示，给出y =f(x)与x =10和x 轴所围成图形的面积估计值；要想得到误差不超过1的面积估计值，可以怎么做？31. 已知曲线C:y =√x 和直线：x −2y =0由C 与围成封闭图形记为M ．（1）求M 的面积；（2）若M 绕x 轴旋转一周，求由M 围成的体积．32. 已知f(x)为一次函数，且f(x)=x ∫f 20(t)dt +1，（1）求函数f(x)的解析式；（2）若g(x)=x ⋅f(x)，求曲线y =g(x)与x 轴所围成的区域绕x 轴旋转一周所得到的旋转体的体积．33. 已知圆锥的高为ℎ，底半径为r ，用我们计算抛物线下曲边梯形面积的思路，推导圆锥体积的计算公式． [提示：（1）用若干张平行于圆锥底面的平面把它切成n 块厚度相等的薄片；（2）用一系列圆柱的体积近似地代替对应的薄片，圆柱的高为ℎn ，底半径顺次为：rn ，2r n，3r n…，(n−1)r n，r ；（3）问题归结为计算和式V(n)=ℎn ×(12+22+...+n 2)×πr 2n 2，当n 越来越大时所趋向的值．]．34. 求曲线y =√x(0≤x ≤4)上的一条切线，使此切线与直线x =0，x =4以及曲线y =√x 所围成的平面图形的面积最小．35. 过点(0, 1)作曲线L:y =ln x 的切线，切点为A ．又L 与x 轴交于B 点，区城D 由L 、x 轴与直线AB 围成，求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积．36. 求曲线y =2x −x 2，y =2x 2−4x 所围成图形的面积．37. 已知∫(103ax +1)(x +b)dx =0，a ，b ∈R ，试求ab 的取值范围．38. 求下列曲线所围成图形的面积：曲线y=cos x，x=π2，x=3π2，y=0．39. 求曲线y=sin x与直线x=−π2，x=5π4，y=0所围成的平面图形的面积．40. 如图，直线y＝kx分抛物线y＝x−x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．参考答案与试题解析数学选修2-2定积分的简单应用练习题含答案一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分） 1.【答案】 D【考点】定积分在求面积中的应用【解析】由积分的几何意义可得，S =2∫sin π0xdx ，即可得出结论．【解答】解：由积分的几何意义可得，S =2∫sin π0xdx =(−cos x)|0π=4．故选：D ． 2.【答案】 A【考点】用定积分求简单几何体的体积【解析】由题意此几何体的体积可以看作是∫π20(1−x 2)2dx ，求出积分即得所求体积．【解答】解：由题意几何体的体积； ∫π20(1−x 2)2dx=π(x −23x 3+15x 5)|02=π(2−23×23+15×25) =4615π 故选A ． 3. 【答案】 C【考点】定积分在求面积中的应用【解析】先根据题意画出区域，然后依据图形利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．【解答】解：直线x =1，x =2，y =0与抛物线y =x 2所围成的曲边梯形的面积为S =∫x 221dx =13x 3|12=83−13=73，故选：C ．4.【答案】 A【考点】定积分的简单应用【解析】因为所求区域均为曲边梯形，所以使用定积分方可求解，然后求出曲线y =x 2+2与y =3x 的交点坐标，然后利用定积分表示所围成的平面图形的面积，根据定积分的定义解之即可．【解答】解：联立{y =x 2+2y =3x，解得x 1=1，x 2=2∴ S =∫(10x 2+2−3x)d x =[13X 3+2X −32X 2]01=56 故选：A 5.【答案】 A【考点】用定积分求简单几何体的体积【解析】欲求曲线y =x 2和y 2=x 所围成的平面图形绕x 轴旋转一周后所形成的旋转体的体积，可利用定积分计算，即求出被积函数y =π(x −x 4)在0→1上的积分即可．【解答】解：设旋转体的体积为V ，则v =∫π10(x −x 4)dx =π(12x 2−15x 5)|01=3π10．故旋转体的体积为：3π10．故选A ． 6. 【答案】 B【考点】定积分在求面积中的应用【解析】根据定积分的几何意义，所求面积为S =∫(5π4π4sin x −cos x)dx ，然后利用公式求出sin x −cos x 的原函数F(x)，算出F(5π4)−F(π4)的值，即为所求图形的面积．【解答】解：根据题意，所求面积为S =∫(5π4π4sin x −cos x)dx =(−cos x −sin x +C)|π45π4 （其中C 为常数） ∴ S =(−cos 5π4−sin5π4+C)−(−cos π4−sin π4+C)=(√22+√22+C)−(−√22−√22+C)=2√2 故选B 7.【答案】 C【考点】定积分的简单应用【解析】先根据题意建立关系式∫(103+e 2x )dx ，然后根据定积分的计算法则求出定积分的值即可．【解答】解：根据题意可知F(x)所做的功为∫(103+e 2x )dx =(3x +12e 2x )|01=3+12e 2−12=52+12e 2故选C ．8.【答案】 B【考点】定积分在求面积中的应用【解析】根据定积分的几何意义，先求出积分的上下限，即可求出所围成的图形的面积【解答】解：联立直线y =x −2，曲线y =√x 构成方程组，解得{x =4,y =2,联立直线y =x −2，y =0构成方程组，解得{x =2,y =0,如图所示：∴曲线y=√x，y=x−2及x轴所围成的封闭图形的面积S=∫√x40dx−∫(42x−2)dx=2x32|04 −(1x2−2x)|24=163−2=103．故选B．9.【答案】D【考点】定积分在求面积中的应用定积分定积分的简单应用【解析】先根据定积分的几何意义可知将区间[a, b]分成三段，然后利用上方曲线方程减下方的曲线方程，求积分即为面积，从而求出所求．【解答】解：根据定积分的几何意义可知将区间[a, b]分成三段利用上方曲线方程减下方的曲线方程，求积分即为面积S=∫fc1a (x)dx−∫fc2c1(x)dx+∫fcc2(x)dx故选：D10.【答案】D【考点】定积分在求面积中的应用【解析】先画出画出直线y=x与曲线y=√x3围成的平面图形，然后求出交点横坐标得到积分上下限，然后利用定积分表示出图形的面积，根据定积分的运算法则进行求解即可．【解答】解：画出直线y=x与曲线y=√x3围成的平面图形图形关于原点对称，交点的横坐标为−1，1∴直线y=x与曲线y=√x3围成的平面图形的面积是∫(1−1√x3−x)dx=2∫(1√x3−x)dx=2(34x43−12x2)|01=2(34−12−0)=12故选D ．二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分） 11.【答案】 √33【考点】定积分的简单应用【解析】求出定积分∫f 10(x)dx ，根据方程ax 02+c =∫f 10(x)dx 即可求解．【解答】解：∵ f(x)=ax 2+c(a ≠0)，∴ f(x 0)=∫f 10(x)dx =[ax 33+cx]01=a3+c ．又∵f(x 0)=ax 02+c ．∴ x 02=13，∵ x 0∈[0, 1]∴ x 0=√33． 12.【答案】2【考点】定积分在求面积中的应用【解析】本题利用直接法求解，根据三角函数的对称性知，曲线y =cos x 与直线x =0，x =π所围成的平面区域的面积S 为：曲线y =cos x 与直线x =0，x =π2所围成的平面区域的面积的两倍，最后结合定积分计算面积即可．【解答】解：根据对称性，得：曲线y =cos x 与直线x =0，x =π所围成的平面区域的面积S 为：曲线y =cos x 与直线x =0，x =π2所围成的平面区域的面积的两倍， ∴ S =2∫cos π20xdx =2 故答案为2．13.【答案】323π【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）用定积分求简单几何体的体积【解析】作出曲线围成的封闭图象，根据旋转得到旋转体的结构即可得到结论．【解答】解：曲线y=|x|，y=−|x|，x=2，x=−2合成的封闭图形绕y轴旋转一周所得的旋转体为底面半径为2，高为4的圆柱，去掉2个底面半径为2，高为2的圆锥，则对应的体积为π×42−2×13π×22×2=16π−16π3=323π，故答案为：323π14.【答案】92【考点】定积分在求面积中的应用【解析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分上限为3，积分下限为0，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为3，积分下限为0；两曲线x−y=0，y=x2−2x所围成的图形的面积是∫(33x−x2)dx而∫(303x−x2)dx=(32x2−13x3)|03=272−9=92∴曲边梯形的面积是92故答案为92．15. 【答案】13【考点】定积分在求面积中的应用【解析】作出两个曲线的图象，求出它们的交点，由此可得所求面积为函数y =x 2在区间[0, 1]上的定积分的值，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案．【解答】解：∵ 曲线y =x 2和直线L:x =1的交点为A(1, 1)，∴ 曲线C:y =x 2、直线L:x =1与x 轴所围成的图形面积为 S =∫x 210dx =13x 3|01=13．故答案为：13．16. 【答案】81π2【考点】用定积分求简单几何体的体积【解析】根据类比推理，结合定积分的应用，即可求出旋转体的体积．【解答】解：根据类比推理得体积V =∫π90(√y)2dy =∫π90ydy =12πy 2|09=81π2，故答案为：81π2.17.【答案】 ln 2【考点】定积分在求面积中的应用【解析】先根据所围成图形的面积利用定积分表示出来，然后根据定积分的定义求出面积即可．【解答】解：由题意，S =∫1x 21dx =ln x|12=ln 2．故答案为：ln 2． 18. 【答案】√34π 【考点】用定积分求简单几何体的体积【解析】(1−y)π看作是把一个底面边长为1，高为π的直三棱柱平放得到的，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面积相等，故它们的体积相等，即可得出结论．【解答】解：(1−y)π看作是把一个底面边长为1，高为π的直三棱柱平放得到的，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面积相等，故它们的体积相等，即Ω的体积为π⋅√34=√34π．故答案为√34π． 19. 【答案】92【考点】定积分在求面积中的应用【解析】求出函数的切线方程，利用积分的几何意义即可求出区域的面积．【解答】解：函数的导数为f′(x)=3x 2−2x +1，则在(1, 2)处的切线斜率k =f′(1)=3−2+1=2，则对应的切线方程为y −2=2(x −1)，即y =2x ，由{y =x 2−x y =2x，解得x =3或x =0，则由积分的几何意义可得阴影部分的面积S =∫(302x −x 2+x)dx =(32x 2−13x 3)| 30 =92，故答案为：92．20. 【答案】29【考点】定积分的简单应用【解析】先根据定积分的运算公式求出f(a)的解析式，然后利用二次函数的图象和性质即可求出f(a)的最大值．【解答】解：f(a)=∫(102ax 2−a 2x)dx =(23ax 3−12a 2x 2)|01=23a −12a 2∴ 当a =23时，f(a)取最大值，最大值为29 故答案为：29三、解答题（本题共计 20 小题，每题 10 分，共计200分） 21.【答案】解：(1)∵ 交点为P(2,2),∴ 曲线C 2的导函数为：y ′=x ∴ 切点坐标为(2,2)，故该点的切线方程为：2x −y −2=0. (2)两曲线交点坐标(0,0),(2,2), S ∈∫(√2x −12x 2)20dx =43.【考点】定积分在求面积中的应用利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)∵ 交点为P(2,2),∴ 曲线C 2的导函数为：y ′=x ∴ 切点坐标为(2,2)，故该点的切线方程为：2x −y −2=0. (2)两曲线交点坐标(0,0),(2,2), S ∈∫(√2x −12x 2)20dx =43. 22. 【答案】解：联立{y =x 2+2y =3x，解得x 1=1，x 2=2∴ S =∫(10x 2+2−3x)d x +∫(213x −x 2−2)d x =[13X 3+2X −32X 2]01+[32X 2−13X 3−2X]12=1【考点】定积分的简单应用【解析】因为所求区域均为曲边梯形，所以使用定积分方可求解．【解答】解：联立{y =x 2+2y =3x，解得x 1=1，x 2=2∴ S =∫(10x 2+2−3x)d x +∫(213x −x 2−2)d x =[13X 3+2X −32X 2]01+[32X 2−13X 3−2X]12=1 23. 【答案】解：（1）由y′=2x ，则切线l 的斜率k =y′|x=1=2×1=2，切线l 的方程为y −1=2(x −1)即2x −y −1=0；（2）如图，所求的图形的面积s =∫x 2120dx +∫[112x 2−(2x −1)]dx =112．【考点】定积分在求面积中的应用利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】（1）根据导数的几何意义即可求出切线方程；（2）根据定积分的几何意义即可求出所围成的图形的面积．【解答】解：（1）由y′=2x ，则切线l 的斜率k =y′|x=1=2×1=2，切线l 的方程为y −1=2(x −1)即2x −y −1=0；（2）如图，所求的图形的面积s =∫x 2120dx +∫[112x 2−(2x −1)]dx =112．24.【答案】解：由题意，将烟囱横截面按照如图放置，建立坐标系如图，双曲线的短轴长为2A =10，并且过(−6, 6)，所以双曲线方程为y 225−11x 225×36=1，所以V =π∫(8−611x 236+25)dx =1659.2m 3【考点】用定积分求简单几何体的体积双曲线的特性【解析】由题意建立坐标系，得到如图的双曲线，烟囱最细处的直径为10m 即2a =10，最下端的直径为12m ，最细处离地面6m ，即双曲线经过(−6, 6)，烟囱高14m ，即自变量范围为−6到8，由此利用定积分的值得到体积．【解答】解：由题意，将烟囱横截面按照如图放置，建立坐标系如图，双曲线的短轴长为2A =10，并且过(−6, 6)，所以双曲线方程为y 225−11x 225×36=1，所以V =π∫(8−611x 236+25)dx =1659.2m 325.【答案】解：(1)设z =a +bi (a,b ∈R )，则z ¯=a −bi ，∴ z ⋅z ¯−3iz =a 2+b 2+3b −3ai . 又∵ z ⋅z ¯−3iz =101−3i =1+3i ， ∴ {a 2+b 2+3b =1，−3a =3，解得 {a =−1，b =0，或{a =−1，b =−3，∴ z =−1或z =−1−3i . (2)由{y =√x ，x +y =2，解得{x =1，y =1，即曲线y =√x 与直线x +y =2的交点坐标为(1,1)，同理可得，曲线y =√x 与直线y =−13x 的交点坐标为(0,0)，直线x +y =2与直线y =−13x 的交点坐标为(3,−1)，所以围成的平面图形的面积为： S =∫(√x +13x)10dx +∫(2−x +13x)31dx=(23x 32+16x 2)|01+(2x −13x 2)|13=136．【考点】复数的运算共轭复数复数代数形式的混合运算定积分在求面积中的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)设z =a +bi (a,b ∈R )，则z ¯=a −bi ，∴ z ⋅z ¯−3iz =a 2+b 2+3b −3ai . 又∵ z ⋅z ¯−3iz =101−3i =1+3i ， ∴ {a 2+b 2+3b =1，−3a =3，解得 {a =−1，b =0，或{a =−1，b =−3，∴ z =−1或z =−1−3i . (2)由{y =√x ，x +y =2，解得{x =1，y =1，即曲线y =√x 与直线x +y =2的交点坐标为(1,1)，同理可得，曲线y =√x 与直线y =−13x 的交点坐标为(0,0)，直线x +y =2与直线y =−13x 的交点坐标为(3,−1)，所以围成的平面图形的面积为： S =∫(√x +13x)10dx +∫(2−x +13x)31dx=(23x 32+16x 2)|01+(2x −13x 2)|13=136．26. 【答案】解：（1）∵ (√x 2x4)n 展开式的前三项系数成等差数列，∴ C n 0+C n 2(12)2=2C n 1⋅12…∴ 1+n(n−1)2×14=n ，整理得n 2−9n +8=0，n 1=1（舍） n 2=8…（2）所投的点落在叶形图内记为事件A ，由几何概型的概率公式得： P(A)=叶形图面积AOBC 的面积=∫(10√x−x 2)dx1=(23x 32−13x 3)|01=13…【考点】二项式定理的应用定积分在求面积中的应用等差数列的性质几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】（1）由题意可得，C n 0+C n 2(12)2=2C n 1⋅12，解关于n 的方程即可；（2）由几何概型的概率公式可知，需求叶形图的面积，利用定积分∫(10√x −x 2)dx 可求叶形图的面积，从而使问题解决．【解答】解：（1）∵ (√x 2√x4)n 展开式的前三项系数成等差数列，∴ C n 0+C n 2(12)2=2C n 1⋅12…∴1+n(n−1)2×14=n，整理得n2−9n+8=0，n1=1（舍）n2=8…（2）所投的点落在叶形图内记为事件A，由几何概型的概率公式得：P(A)=叶形图面积AOBC的面积=∫(1√x−x2)dx1=(23x32−13x3)|01=13…27.【答案】利用S=∫ππ4sin xdx=(−cos x)|π4π=1+√22．利用S=∫10(2x2−x2)dx=23x3|01−13x3|01=13．由于{y=x2y=√x，解得{x=0y=0或{x=1y=1，所以S=∫10(√x−x2)dx=23x32|01−13x3|01=23−13=13．【考点】定积分的简单应用【解析】首先求出被积函数的原函数，进一步利用定积分知识求出结果．【解答】利用S=∫ππ4sin xdx=(−cos x)|π4π=1+√22．利用S=∫10(2x2−x2)dx=23x3|01−13x3|01=13．由于{y=x2y=√x，解得{x=0y=0或{x=1y=1，所以S=∫10(√x−x2)dx=23x32|01−13x3|01=23−13=13．28.【答案】解：由y=4−x2与直线y=2x−4联立，可得交点(−4, −12)，(2, 0)，∴y=4−x2与直线y=2x−4所围成图形的面积S=∫(2−44−x2−2x+4)dx=(−13x3−x2+8x)|−42=36．【考点】定积分在求面积中的应用【解析】先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出y=4−x2与直线y=2x−4所围成图形的面积，即可求得结论．【解答】解：由y=4−x2与直线y=2x−4联立，可得交点(−4, −12)，(2, 0)，∴y=4−x2与直线y=2x−4所围成图形的面积S=∫(2−44−x2−2x+4)dx=(−13x 3−x 2+8x)|−42=36．29. 【答案】解：（1）S 0=∫sin π0xdx =[−cos x]0π=(−cos π)−(−cos 0)=1+1=2 （2）V =π∫sin 2π0xdx =π[x2−14sin 2x]0π=π(π2−14×0)=π22【考点】用定积分求简单几何体的体积定积分在求面积中的应用【解析】（1）根据题意可知曲线y =sin x 和直线x =0，x =π，及y =0所围成图形的面积为S 0=∫sin π0xdx ，解之即可；（2）所围成图形绕ox 轴旋转所成旋转体的体积为V =π∫sin 2π0xdx ，根据定积分的定义解之即可．【解答】解：（1）S 0=∫sin π0xdx =[−cos x]0π=(−cos π)−(−cos 0)=1+1=2 （2）V =π∫sin 2π0xdx=π[x 2−14sin 2x]0π=π(π2−14×0)=π2230.【答案】解：设f(x)=ax 3+bx 2+cx +d ，则f′(x)=3ax 2+2bx +c ，由图象可知{ f(0)=0f(1)=1f′(4)=0f′(7)=0，即{ d =0a +b +c =0c 3a =28−2b 3a =11，解得{ a =2137b =−33137c =168137d =0， ∴ f(x)=2137x 3−33137x 2+168137x ． ∴ S =∫f 100(x)dx =(2137×x 44−33137×x 33+168137×x 22)|10≈17.5．若要想得到误差不超过1的面积估计值，可使用分段函数求出f(x)的解析式，然后使用定积分求出面积．【考点】定积分在求面积中的应用【解析】设f(x)=ax 3+bx 2+cx +d ，利用待定系数法确定函数关系式，利用定积分求出面积估计值；若要误差小可分段求出f(x)的解析式，然后使用定积分求出面积．【解答】解：设f(x)=ax 3+bx 2+cx +d ，则f′(x)=3ax 2+2bx +c ，由图象可知{ f(0)=0f(1)=1f′(4)=0f′(7)=0，即{ d =0a +b +c =0c 3a =28−2b 3a =11，解得{ a =2137b =−33137c =168137d =0， ∴ f(x)=2137x 3−33137x 2+168137x ． ∴ S =∫f 100(x)dx=(2137×x 44−33137×x 33+168137×x 22)|10≈17.5．若要想得到误差不超过1的面积估计值，可使用分段函数求出f(x)的解析式，然后使用定积分求出面积． 31. 【答案】解：（1）曲线C:y =√x 和直线：x −2y =0联立，可得交点坐标为(4, 2)，则 S =∫(40√x −12x)dx =(23x 32−x 24)|04=43；（2）V =∫[40π(√x)2−π(x2)2]dx =π(x 22−x 312)|04=8π3．【考点】用定积分求简单几何体的体积旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【解析】（1）求得交点坐标，可得积分区间，即可求M 的面积；（2）旋转一周所得旋转体的体积应该用定积分来求．【解答】解：（1）曲线C:y =√x 和直线：x −2y =0联立，可得交点坐标为(4, 2)，则 S =∫(40√x −12x)dx =(23x 32−x 24)|04=43；（2）V =∫[40π(√x)2−π(x2)2]dx=π(x 22−x 312)|04=8π3．32.【答案】解：（1）设f(x)=kx +b ， ∵ f(x)=x ∫f 20(t)dt +1， ∴ kx +b =x •(kt 22+bt)|02+1，∴ kx +b =(2k +2b)x +1，∴ k =−2，b =1， ∴ f(x)=−2x +1，；2)g(x)=xf(x)=−2x 2+x ， ∴ V =π∫[120xf(x)]2dx =π240．【考点】用定积分求简单几何体的体积定积分【解析】（1）利用待定系数法，结合定积分的定义求函数f(x)的解析式；（2）求出g(x)，应用定积分来求旋转体的体积．【解答】解：（1）设f(x)=kx+b，∵f(x)=x∫f2(t)dt+1，∴kx+b=x•(kt22+bt)|02+1，∴kx+b=(2k+2b)x+1，∴k=−2，b=1，∴f(x)=−2x+1，；2)g(x)=xf(x)=−2x2+x，∴V=π∫[120xf(x)]2dx=π240．33.【答案】解：（1）若干张平行于圆锥底面的平面把它切成n块厚度相等的薄片；（2）用一系列圆柱的体积近似地代替对应的薄片，圆柱的高为ℎn ，底半径顺次为：rn，2r n ，3rn…，(n−1)rn，r；（3）问题归结为计算和式V(n)=ℎn ×(12+22+...+n2)×πr2n2，当n越来越大时所趋向的值．（对V求极限V=limn→∞ℎn×(12+22+...+n2)×πr2n2=lim n→∞ℎn⋅16n(n+1)(2n+1)⋅πr2n2=ℎπr26limn→∞2n2+3n+1n2=πr2ℎ3=13S底ℎ故圆锥的体积等于13的圆柱体的体积【考点】用定积分求简单几何体的体积【解析】利用极限的定义进行分割、近似代换和求极限的方法，进行推到【解答】解：（1）若干张平行于圆锥底面的平面把它切成n块厚度相等的薄片；（2）用一系列圆柱的体积近似地代替对应的薄片，圆柱的高为ℎn ，底半径顺次为：rn，2r n ，3rn…，(n−1)rn，r；（3）问题归结为计算和式V(n)=ℎn ×(12+22+...+n2)×πr2n2，当n越来越大时所趋向的值．（对V求极限V=limn→∞ℎn×(12+22+...+n2)×πr2n2=lim n→∞ℎ⋅1n(n+1)(2n+1)⋅πr22=ℎπr26limn→∞2n2+3n+1n2=πr2ℎ3=13S底ℎ故圆锥的体积等于13的圆柱体的体积34.【答案】解：设(x0, y0)为曲线y=√x(0≤x≤4)上任一点，得曲线于该点处的切线方程为：y−y0=2√x −x0)即y=y02+2√x．得其与x=0，x=4的交点分别为(0,y02)，(4,y02+2y0)于是由此切线与直线x=0，x=4以及曲线y=√x所围的平面图形面积为：S=∫(4 0y022x√x)dx=2y0+x−163=2√x0x−163应用均值不等式求得x0=2时，S取得最小值．即所求切线即为：y=22+√22．【考点】定积分在求面积中的应用【解析】先根据导数的几何意义求出曲线y=√x(0≤x≤4)上任一点处的切线方程，再求出积分的上下限，然后利用定积分表示出图形面积，最后利用定积分的定义进行求解即可．【解答】解：设(x0, y0)为曲线y=√x(0≤x≤4)上任一点，得曲线于该点处的切线方程为：y−y0=2x −x0)即y=y02+2x．得其与x=0，x=4的交点分别为(0,y02)，(4,y02+2y0)于是由此切线与直线x=0，x=4以及曲线y=√x所围的平面图形面积为：S=∫(4 0y022√x√x)dx=2y0+√x−163=2√x0√x−163应用均值不等式求得x0=2时，S取得最小值．即所求切线即为：y=2√2+√22．35.【答案】解：设切线方程为y =kx +1，切点坐标为(a, b)，则{k =1aka +1=b ln a =b ，解得a =e 2，b =2，∴ 切线方程为y =1e 2x +1．将y =0代入y =1e 2x +1得x =−e 2，∴ B(−e 2, 0)． ∴区域D 的面积为∫(e 2−e 21e 2x+1)dx −∫ln e 21xdx=x 22e 2+x|e 2−e 2−x(ln x −1)|e 21=2e 2+e 2=3e 2．区域D 绕x 轴旋转一周所得几何体体积为13⋅π⋅22⋅2e 2−π⋅∫(e 21ln x)2dx =8πe 23−π⋅x[(ln x)2−2ln x +2]|e 21=8πe 23−(2e 2−2)⋅π=2πe 23+2π．【考点】用定积分求简单几何体的体积【解析】求出A 的坐标和切线方程，则所求面积和体积均可用两个定积分的差来表示．【解答】解：设切线方程为y =kx +1，切点坐标为(a, b)，则{k =1aka +1=b ln a =b，解得a =e 2，b =2，∴ 切线方程为y =1e 2x +1．将y =0代入y =1e 2x +1得x =−e 2，∴ B(−e 2, 0)． ∴区域D 的面积为∫(e 2−e 21e 2x+1)dx −∫ln e 21xdx=x 22e 2+x|e 2−e 2−x(ln x −1)|e 21=2e 2+e 2=3e 2．区域D 绕x 轴旋转一周所得几何体体积为13⋅π⋅22⋅2e 2−π⋅∫(e 21ln x)2dx=8πe 23−π⋅x[(ln x)2−2ln x +2]|e 21=8πe 23−(2e 2−2)⋅π=2πe 23+2π．36. 【答案】解：由{y =2x −x 2y =2x 2−4x ，得{x =0y =0或{x =2y =0， ∴ 所求图象的面积为：∫[20(2x −x 2)−(2x 2−4x)]dx =∫(206x −3x 2)dx =(3x 2−x 3)|02=3×22−23=12−8=4．【考点】定积分在求面积中的应用【解析】先求出两曲线的交点坐标，利用定积分的应用即可求出对应图形的面积．【解答】解：由{y =2x −x 2y =2x 2−4x ，得{x =0y =0或{x =2y =0， ∴ 所求图象的面积为：∫[20(2x −x 2)−(2x 2−4x)]dx =∫(206x −3x 2)dx =(3x 2−x 3)|02=3×22−23=12−8=4． 37. 【答案】解：∫(103ax +1)(x +b)dx =∫[103ax 2+(3ab +1)x +b]dx=[ax 3+12(3ab +1)x 2+bx]|01 =a +12(3ab +1)+b =0即3ab +2(a +b)+1=0 设ab =t ∴ a +b =−3t+12则a ，b 为方程x 2+3t+12x +t =0两根△=(3t+1)24−4t ≥0∴ t ≤19或t ≥1∴ a ⋅b ∈(−∞, 19]∪[1, +∞) 【考点】定积分的简单应用【解析】先根据定积分的运算法则建立a 与b 的等量关系，然后设ab =t 则a +b =−3t+12，再利用构造法构造a ，b 为方程x 2+3t+12x +t =0两根，然后利用判别式可求出a ．b 的取值范围．【解答】解：∫(103ax +1)(x +b)dx =∫[103ax 2+(3ab +1)x +b]dx=[ax 3+12(3ab +1)x 2+bx]|01 =a +12(3ab +1)+b =0即3ab +2(a +b)+1=0 设ab =t ∴ a +b =−3t+12则a ，b 为方程x 2+3t+12x +t =0两根△=(3t+1)24−4t ≥0∴ t ≤19或t ≥1∴ a ⋅b ∈(−∞, 19]∪[1, +∞) 38.【答案】解：根据对称性，得：曲线y =cos x 与直线x =π2、x =3π2、y =0所围成的平面区域的面积S 为：曲线y =cos x与直线x =π2，x =π所围成的平面区域的面积的二倍， ∴ S =−2∫cos ππ2xdx =−2sin x =2．故曲线y =cos x 与直线x =π2、x =3π2、y =0所围成的面积为2．【考点】定积分在求面积中的应用【解析】本题利用直接法求解，根据三角函数的对称性知，曲线y =cos x 与直线x =π2、x =3π2、y =0所围成的平面区域的面积S 为：曲线y =cos x 与直线x =π2，x =π所围成的平面区域的面积的二倍，最后结合定积分计算面积即可．【解答】解：根据对称性，得：曲线y =cos x 与直线x =π2、x =3π2、y =0所围成的平面区域的面积S 为：曲线y =cos x与直线x =π2，x =π所围成的平面区域的面积的二倍， ∴ S =−2∫cos ππ2xdx =−2sin x =2．故曲线y =cos x 与直线x =π2、x =3π2、y =0所围成的面积为2．39. 【答案】解：s =∫|5π4−π2sin x|dx =−∫sin 0−π2xdx+∫sin π0xdx−∫sin 5π4πxdx=cos x|−π20−cos x|0π+cos x|π5π4=1+2+(−√22+1)=4−√22．【考点】定积分在求面积中的应用【解析】求曲线y =sin x 与直线x =−π2，x =5π4，y =0所围成的平面图形的面积【解答】解：s =∫|5π4−π2sin x|dx =−∫sin 0−π2xdx+∫sin π0xdx−∫sin 5π4πxdx=cos x|−π20−cos x|0π+cos x|π5π4=1+2+(−√22+1)=4−√22． 40.【答案】由 {y =kx y =x −x2 得 {x =1−k y =k −k 2 (0<k <1)．由题设得∫10−k[(x −x 2)−kx]dx =12∫(10x −x 2)dx 即∫10−k[(x −x 2)−kx]dx =12( 12x 2−13x 3)|01=112 ∴ (1−k)3=12 ∴ k ＝1−√432∴ 直线方程为y ＝(1−√432)x ．故k 的值为：k =1−√432．【考点】定积分的简单应用【解析】先由 {y =kx y =x −x 2 得 {x =1−k y =k −k 2 ，根据直线y ＝kx 分抛物线y ＝x −x 2与x 轴所围成图形为面积相等的两个部分得∫10−k[(x −x 2)−kx]dx =12∫(10x −x 2)dx 下面利用定积分的计算公式即可求得k 值．【解答】由 {y =kx y =x −x 2得 {x =1−k y =k −k 2 (0<k <1)．由题设得∫10−k[(x −x 2)−kx]dx =12∫(10x −x 2)dx 即∫10−k[(x −x 2)−kx]dx =12( 12x 2−13x 3)|01=112试卷第31页，总31页 ∴ (1−k)3=12 ∴k ＝1−√432∴ 直线方程为y ＝(1−√432)x ．故k 的值为：k =1−√432．。

高中数学选修2-2-定积分的概念及其简单应用

定积分的概念及其简单应用知识集结知识元定积分的应用知识讲解1．定积分的应用【应用概述】正如前面定积分的概念哪里所说，定积分表示的是一个面积，是一个大于零的数．那么它在实际当中的应用也就和求面积相关．例1：定积分|sin x|dx的值是．解：|sin x|dx＝＝﹣cos x+cos x＝1+1+0﹣（﹣1）＝3．这个题如果这样子出，|sin x|在区间（0，）上与x轴所围成的面积，那么就成了一个应用题．如何解这类应用题呢？其实就是构建一个定积分，找到区间和要积分的函数即可．【定积分在求面积中的应用】1、直角坐标系下平面图形的面积2、极坐标系下平面图形的面积由连续曲线r＝r（θ）及射线θ＝α，θ＝β所围成的平面图形的面积（图6）为3、用定积分求平面图形的面积的步骤a）根据已知条件，作出平面图形的草图；根据图形特点，恰当选取计算公式；b）解方程组求出每两条曲线的交点，以确定积分的上、下限；c）具体计算定积分，求出图形的面积．例题精讲定积分的应用例1.直线x=1，x=e与曲线y=围成的面积是（）A．B．C．D．例2.由曲线，直线y=x所围成的封闭图形的面积是（）A．B．C．D．1例3.抛物线y=x2-1与直线y=x+1所围成的平面图形的面积是（）A．B．C．5D．用定积分研究简单几何体的体积知识讲解1．用定积分求简单几何体的体积【知识点的知识】1、已知平行截面面积的立体的体积2、旋转体的体积例题精讲用定积分研究简单几何体的体积例1.祖暅原理也称祖氏原理，是我国数学家祖暅提出的一个设计集合求积的著名命题：“幂势既同，则积不容异”，“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的立体，如在等高处截面积相等，则体积相等．由曲线x2=4y，x2=-4y，x=4，x=-4围成图形绕y轴旋转一周所得为旋转体的体积为V1：满足x2+y2≤16，x2+（y-2）2≥4，x2+（y+2）2≥4的点（x，y）组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V2，则（）A．V1=V2B．V1=V2C．V1=V2D．V1=2V2例2.曲线y=e x，直线x=0，x=与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周得到旋转体的体积是（）A．B．C．D．例3.曲线y=x2和y2=x所围成的平面图形绕x轴旋转一周后，所形成的旋转体的体积为（）A．B．C．D．。

定积分简单例题

定积分简单例题定积分简单例题定积分是高等数学中的一个重要概念，它可以用来求解曲线下面的面积、体积、质量等问题。

在本文中，我们将介绍一些关于定积分的简单例题，以帮助读者更好地理解该概念。

一、基本概念在介绍例题之前，我们需要先了解一些基本概念。

定积分是对函数在一定区间内的面积的求和，可以表示为：∫abf(x)dx其中，a和b是区间的两个端点，f(x)是被积函数。

这个式子可以理解为将区间[a,b]划分成无数个小矩形，并将这些小矩形的面积相加得到总面积。

二、例题1：求曲线y=x^2在区间[0,1]内与x轴所围成图形的面积这道题目中，被积函数f(x)=x^2，区间为[0,1]。

根据定积分公式可得：∫01x^2dx= [x^3/3]10= 1/3因此，曲线y=x^2在区间[0,1]内与x轴所围成图形的面积为1/3。

三、例题2：求立方体顶点坐标为(1,1,1)、(1,2,1)、(2,2,1)、(2,1,1)、(1,1,0)、(1,2,0)、(2,2,0)和(2,1,0)的部分的体积这道题目中，我们需要求解的是一个立方体顶点坐标为(1,1,1)、(1,2,1)、(2,2,1)、(2,1,1)、(1,1,0)、(1,2,0)、(2，２，０）和（２，１，０）的部分的体积。

我们可以将这个立方体划分成六个小立方体，并计算其中一个小立方体的体积，然后将六个小立方体的体积相加得到总体积。

假设我们要计算顶点坐标为（１，１，１）、（１，２，１）、（２，２，１）和（２，１，１）所围成的小立方体的体积。

根据定积分公式可得：∫12∫12∫11dxdydz= (x|12|11)(y|22|21)(z|11|01)= 4因此，该小立方体的体积为4。

同理可得其他五个小立方体的体积分别为4。

因此总体积为24。

四、例题3：求曲线y=1/x在区间[1,2]内与x轴所围成图形的面积这道题目中，被积函数f(x)=1/x，区间为[1,2]。

根据定积分公式可得：∫21(1/x)dx= [ln|x|]21= ln2因此，曲线y=1/x在区间[1,2]内与x轴所围成图形的面积为ln2。

(完整版)定积分的简单应用——求体积

4.2定积分的简单应用(二)复习：（1）求曲边梯形面积的方法是什么？（2）定积分的几何意义是什么？（3）微积分基本定理是什么？引入：我们前面学习了定积分的简单应用——求面积。

求体积问题也是定积分的一个重要应用。

下面我们介绍一些简单旋转几何体体积的求法。

1. 简单几何体的体积计算问题：设由连续曲线()y f x =和直线x a =，x b =及x 轴围成的平面图形（如图甲）绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为V ，如何求V ？分析：在区间[,]a b 内插入1n -个分点，使0121n n a x x x x x b -=<<<<<=L ，把曲线()y f x =（a x b ≤≤）分割成n 个垂直于x 轴的“小长条”，如图甲所示。

设第i 个“小长条”的宽是1i i i x x x -∆=-，1,2,,i n =L 。

这个“小长条”绕x 轴旋转一周就得到一个厚度是i x ∆的小圆片，如图乙所示。

当i x ∆很小时，第i 个小圆片近似于底面半径为()i i y f x =的小圆柱。

因此，第i 个小圆台的体积i V 近似为2()i i i V f x x π=∆该几何体的体积V 等于所有小圆柱的体积和：2221122[()()()]n n V f x x f x x f x x π≈∆+∆++∆L这个问题就是积分问题，则有：22()()b b a a V f x dx f x dx ππ==⎰⎰归纳：设旋转体是由连续曲线()y f x =和直线x a =，x b =及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转而成，则所得到的几何体的体积为2()b a V f x dx π=⎰ 2. 利用定积分求旋转体的体积（1）找准被旋转的平面图形，它的边界曲线直接决定被积函数（2）分清端点（3）确定几何体的构造（4）利用定积分进行体积计算3. 一个以y 轴为中心轴的旋转体的体积若求绕y 轴旋转得到的旋转体的体积，则积分变量变为y ，其公式为2()b a V g y dy π=⎰类型一：求简单几何体的体积例1：给定一个边长为a 的正方形，绕其一边旋转一周，得到一个几何体，求它的体积思路：由旋转体体积的求法知，先建立平面直角坐标系，写出正方形旋转轴对边的方程，确定积分上、下限，确定被积函数即可求出体积。

定积分的性质与计算方法

定积分的性质与计算方法定积分是微积分中的一个重要概念，它可以用来计算曲线所夹面积、计算物体的体积、求解解析几何中的定性表达式等问题。

在本文中，我们将介绍定积分的性质和计算方法。

一、定积分的性质：1.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则定积分存在。

也就是说，连续函数一定可积。

2.定积分具有线性性质，即对于任意实数a和b，以及两个连续函数f(x)和g(x)，有：∫[a,b](af(x)+bg(x))dx = a∫[a,b]f(x)dx + b∫[a,b]g(x)dx3.若函数f(x)在区间[a,b]上非负且可积，则定积分表示的是曲线f(x)与x轴之间的面积。

4. 定积分的取值与区间的选取无关。

即∫[a,b]f(x)dx =∫[c,d]f(x)dx，只要[a,b]和[c,d]的函数f(x)在二者都是可积函数。

5.若函数f(x)在[a,b]上连续，且在[a,b]内的每个子区间上f(x)的值都大于等于0，则在[a,b]上的定积分不小于0。

也就是说，不会出现整个区间上的定积分为负数的情况。

二、定积分的计算方法：1. 基本积分法：对于一些简单的函数，我们可以直接利用已知的基本积分公式进行计算。

比如∫x^n dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C。

2. 反向运用微积分定理：利用微积分基本定理，我们可以求取函数的原函数（也称为不定积分），然后通过减去两个边界条件的原函数，即可求得定积分的结果。

比如∫[a,b]f(x)dx = F(b) - F(a)，其中F(x)是f(x)的原函数。

3.凑微分法：当函数难以直接积分时，我们可以通过凑微分来简化积分。

具体方法是，选取合适的函数和常数，使得被积函数可以表示为一个已知函数与该函数对应的导数的乘积。

然后利用换元法将积分转化为一个更容易求解的形式。

4. 分部积分法：分部积分法实质上是对乘积求导公式的反向运用。

对于乘积积分，我们可以利用分部积分法将其转化为两个函数分别求导和积分的问题。

积分在计算物体体积和质量等问题中的应用

本科学年论文论文题目：积分在计算物体体积和质量等问题中的应用学生XX：学号：专业：班级：指导教师：完成日期：2011年12 月20 日目录内容摘要1关键词1序言2一、定积分的微小元素法31、内容要点32、曲边梯形的面积计算方法，定积分的定义43、计算面积的元素法步骤：4二、空间立体的体积41、平行截面面积为已知的立体体积42、旋转体的体积7三、重积分在几何中的应用10四、重积分在物理学中的应用111、三重积分的概念122．三重积分的定义133、三重积分的物理意义：134、三重积分的性质14五、质量14参考文献16积分在计算物体体积和质量等问题中的应用内容摘要掌握定积分计算基本技巧；并用所学的定积分的微元法（元素法）去解决各种领域中的一些实际问题；掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（旋转体的体积平行截面面积为已知的立体体积等）。

对于重积分的计算其基本思想是将重积分化为累次积分进行计算.本文首先给出如何应用定积分的微元法（元素法）再到运用定积分解决实际问题，最后引出二重积分，三重积分。

再通过例子研究积分性质在计算实际问题中的应用.关键词：积分体积质量定积分序言用找出未知量的元素（微元）的方法建立这些几何、物理的公式解决实际问题。

运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法是解决积分问题的重要思想。

而重积分是一元函数定积分的推广，是多元函数积分学的重要组成部分，在几何学与物理学中都得到了广泛的应用.在几何上，重积分可用来求空间曲面的面积、求空间区域的体积.在物理上，重积分可用来求物体的质量等.但与定积分相比较，重积分的计算除了与被积函数的结构有关外，更大程度上与积分区域的特点有关.下面就针对积分对于计算物体体积和质量的问题进行分析.一、定积分的微小元素法1、内容要点定积分概念的引入，体现了一种思想，它就是：在微观意义下，没有什么“曲、直”之分，曲顶的图形可以看成是平顶的，“不均匀”的可以看成是“均匀”的。

高中数学同步学案平面图形的面积简单几何体的体积

§3 定积分的简单应用3.1 平面图形的面积 3.2 简单几何体的体积学习目标核心素养1．会用定积分求平面图形的面积．(重点) 2．会用定积分求简单几何体的体积．(难点) 3.理解建立实际问题的积分模型的基本过程和方法．(重点、难点)1．借助定积分求平面图形的面积和几何体的体积,提升学生的直观想象和数学运算的核心素养. 2．通过建立实际问题的模型,培养了学生的数学建模的核心素养.1．当x∈[a ,b]时,若f(x)>0,由直线x ＝a,x ＝b(a≠b),y ＝0和曲线y ＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S ＝⎠⎛a bf(x)dx.2．当x∈[a ,b]时,若f(x)<0,由直线x ＝a,x ＝b(a≠b),y ＝0和曲线y ＝f(x)围成的曲边梯形的面积S ＝－⎠⎛a bf(x)dx.3．当x∈[a ,b]时,若f(x)>g(x)>0,由直线x ＝a,x ＝b(a≠b)和曲线y ＝f(x),y ＝g(x)围成的平面图形的面积S ＝⎠⎛a b[f(x)－g(x)]dx.(如图)4．旋转体可看作由连续曲线y ＝f(x),直线x ＝a,x ＝b 及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而成的几何体,该几何体的体积为V ＝⎠⎛abπ[f(x)]2dx.1．由y ＝x 2,x ＝1和y ＝0所围成的平面图形绕x 轴旋转所得的旋转体的体积为( ) A.π6 B.π4 C.π5D.4π5 C [V ＝π⎠⎛01y 2dx ＝π⎠⎛01(x 2)2dx ＝π5x 5⎪⎪⎪1＝π5.] 2．直线y ＝x,x ＝1及x 轴围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积是( ) A ．πB ．π3C ．13D ．1B [V ＝⎠⎛01πx 2dx ＝π3x 3|10＝π3.]3．由y ＝x 2,y ＝14x 2及x ＝1围成的图形的面积S ＝________.14[图形如图所示,S ＝⎠⎛01x 2dx －⎠⎛0114x 2dx＝⎠⎛0134x 2dx＝14x 3⎪⎪⎪1＝14.]利用定积分求平面图形的面积【例1】 (1)求由直线y ＝x ＋3,曲线y ＝x 2－6x ＋13所围图形的面积S ； (2)求由曲线y ＝x 2,直线y ＝2x 和y ＝x 围成的图形的面积．思路探究：(1)作出两函数的图像,并求其交点坐标．确定积分区间,利用定积分求面积S.(2)求出三条曲线的不同的交点横坐标,将积分区间细化,分别求出相应区间曲边梯形的面积再求和,注意在每个区间上被积函数均是由上减下．[解] (1)作出直线y ＝x ＋3,曲线y ＝x 2－6x ＋13的草图,所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－6x ＋13，y ＝x ＋3，得交点坐标为(2,5)和(5,8)．因此,所求图形的面积S ＝⎠⎛25(x ＋3)dx －⎠⎛25(x 2－6x ＋13)dx ＝⎠⎛25(－x 2＋7x －10)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋72x 2－10x ⎪⎪⎪52＝92. (2)法一：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x 和⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x 解出O,A,B 三点的横坐标分别是0,1,2．故所求的面积S ＝⎠⎛01(2x －x)dx ＋⎠⎛12(2x －x 2)dx＝x 22⎪⎪⎪1＋⎝⎛⎭⎪⎫x 2－x 33⎪⎪⎪21＝12－0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－83－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝76. 法二：由于点D 的横坐标也是2, 故S ＝⎠⎛02(2x －x)dx －⎠⎛12(x 2－x)dx＝x 22⎪⎪⎪2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－x 22⎪⎪⎪21＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫83－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12＝76.法三：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 2′＝y 2,⎝ ⎛⎭⎪⎫23y 32－y 24′＝y －y2.故所求的面积为S ＝⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y 2dy ＋⎠⎛14⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y 2dy＝14y 2⎪⎪⎪1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23y 32－y 24⎪⎪⎪41＝14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23×8－14×16－⎝ ⎛⎭⎪⎫23－14＝76.求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤1．画出图形；2．确定图形范围,通过解方程组求出交点的坐标,定出积分上、下限； 3．确定被积函数,特别要注意分清被积函数图像上、下位置； 4．写出平面图形面积的定积分表达式；5．运用微积分基本公式计算定积分,求出平面图形的面积．1．由抛物线y ＝x 2－x,直线x ＝－1及x 轴围成的图形的面积为( ) A ．53 B ．1 C ．52D ．23⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－x 22B [由图可知,所求面积S ＝⎠⎛-10(x 2－x)dx ＋⎠⎛01(x －x 2)dx ＝⎪⎪⎪－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x 33⎪⎪⎪1＝56＋16＝1．]求简单几何体的体积【例2】求由曲线y ＝12x 2与y ＝2x 所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积．思路探究：所求旋转体的体积可由两个不同的旋转体的体积作差得到,再利用定积分求解即可． [解] 曲线y ＝12x 2与y ＝2x 所围成的平面图形如图阴影部分所示．设所求旋转体的体积为V,根据图像可以看出V 等于曲线y ＝2x,直线x ＝2与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积(设为V 1)减去曲线y ＝12x 2,直线x ＝2与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积(设为V 2)．V 1＝⎠⎛02π(2x)2dx ＝2π⎠⎛02xdx ＝2π·12x 2|20＝4π,V 2＝⎠⎛02π⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 22dx ＝π4⎠⎛02x 4dx ＝π4×15x 5|20＝8π5,所以V ＝V 1－V 2＝4π－8π5＝12π5.定积分求几何体体积的方法1．两个曲线围成的图形的面积旋转而成的图形的体积是两个体积的差,即V ＝π⎠⎛abf 2(x)dx －π⎠⎛a b g 2(x )dx,而不能写成V ＝π⎠⎛ab[f(x)－g(x)]2dx.2．求简单旋转体的体积时,首先要画出平面图形,分析旋转体的形状,再利用体积的定积分表达式V ＝π⎠⎛ab f 2(x )dx 求解．2．设平面图形由⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的曲线y ＝sin x 及直线y ＝12,x＝π2围成,求此图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积．[解] 先画草图．设f(x)＝sin x,x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2,g(x)＝12. 则f(x)与g(x)的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12. V ＝⎠⎜⎜⎛π6π2π⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫122dx＝⎠⎜⎜⎛π6π2π⎝⎛⎭⎪⎫1－cos 2x 2－14dx ＝⎠⎜⎜⎛π6π2π⎝ ⎛⎭⎪⎫14－12cos 2x dx ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －14sin 2x ⎪⎪⎪⎪π2π6＝π212＋38π.定积分的综合应用[探究问题]1．设a ＞0,若曲线y ＝x 与直线x ＝a,y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2,试求a 的值． [提示] 由已知得S ＝⎠⎛axdx ＝23x 32| a 0＝23a 32＝a 2,所以a 12＝23,所以a ＝49.2．若两曲线y ＝x 2与y ＝cx 3(c>0)围成图形的面积是23,试求c 的值．[提示] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝cx 3，得x ＝0或x ＝1c.∵0<x<1c时,x 2>cx 3,∴S＝⎠⎜⎛01c (x 2－cx 3)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－14cx 4⎪⎪⎪⎪1c＝13c 3－14c 3＝112c 3＝23. ∴c 3＝18,∴c＝12.【例3】在曲线y ＝x 2(x≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成图形的面积为112,试求切点A 的坐标及过切点A 的切线方程．思路探究：设出切点坐标,写出切线方程,利用定积分可列方程,解方程求得切点坐标,进一步求出切线方程．[解] 设切点A(x 0,x 20),切线斜率为k ＝2x 0, ∴切线方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)．令y ＝0,得x ＝x 02,如图,.∴112x 30＝112,x 0＝1．∴切点A 的坐标为(1,1),切线方程为y ＝2x －1．定积分求面积的易错点1．本例中求面积S 时,易错误地写成S ＝⎠⎛0x0[x 2－(2x 0x －x 20)]dx.错误原因是没能分割好图形．2．关于导数与积分的综合题,要充分利用导数的几何意义,求切线的斜率或方程,利用定积分的几何意义求面积,进而解决问题．3．如图,设点P 在曲线y ＝x 2上,从原点向A(2,4)移动,如果直线OP,曲线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记为S 1,S 2．(1)当S 1＝S 2时,求点P 的坐标；(2)当S 1＋S 2有最小值时,求点P 的坐标和最小值．[解] (1)设点P 的横坐标为t(0<t<2),则P 点的坐标为(t,t 2), 直线OP 的方程为y ＝tx.S 1＝⎠⎛0t (tx －x 2)dx ＝16t 3,S 2＝⎠⎛t 2(x 2－tx)dx ＝83－2t ＋16t 3.因为S 1＝S 2,所以t ＝43,点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169.(2)S ＝S 1＋S 2＝16t 3＋83－2t ＋16t 3＝13t 3－2t ＋83,S′＝t 2－2, 令S′＝0得t 2－2＝0.因为0<t<2,所以t ＝2,当0<t<2时,S′<0；2<t<2时,S′>0. 所以,当t ＝2时,S 1＋S 2有最小值83－423,此时点P 的坐标为(2,2)．1．求定积分和利用定积分计算平面图形的面积是两个不同的概念,定积分是一个和式的极限,它可正、可负、可为零,而平面图形的面积在一定意义下总为正,特别是当曲线有一部分在x 轴下方时,计算平面图形的面积易出错．2．求解简单平面图形的面积,可直接运用定积分的几何意义．先确定积分上、下限,一般为两交点的横坐标(或纵坐标),再确定被积函数,一般是上方曲线与下方曲线对应函数的差．这样求平面图形的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．1．判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)曲线y ＝sin x,x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2与x 轴围成的图形的面积为⎠⎜⎜⎛π23π2sin xdx.( )(2)曲线y ＝x 3与直线x ＋y ＝2,y ＝0围成的图形的面积为⎠⎛01x 3dx ＋⎠⎛12(2－x)dx.(3)曲线y ＝3－x 2与直线y ＝－1围成的图形的面积为⎠⎛-22(4－x 2)dx.( )[答案] (1)× (2)√ (3)√2．用S 表示图中阴影部分的面积,则S 的值是( )A.⎠⎛acf(x)dxB.⎪⎪⎪⎪⎠⎛a cf (x )dx C.⎠⎛a bf(x)dx ＋⎠⎛bcf(x)dxD.⎠⎛bcf(x)dx －⎠⎛abf(x)dxD [∵x∈[a ,b]时,f(x)<0,x∈[b ,c]时,f(x)>0, ∴阴影部分的面积 S ＝⎠⎛b cf(x)dx －⎠⎛abf(x)dx.]3．由y ＝x 2,y ＝x 所围成的图形绕y 轴旋转所得到的旋转体的体积V ＝________.π6 [V ＝π⎠⎛01(y －y 2)dy ＝π6.] 4．计算由曲线y 2＝x,y ＝x 2所围图形的面积S.[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝x2得交点的横坐标为x ＝0及x ＝1．因此,所求图形的面积为 S ＝S 曲边梯形OABC －S 曲边梯形OABD ＝⎠⎛1xdx －⎠⎛01x 2dx ＝23x 32⎪⎪⎪1－13x 3⎪⎪⎪1＝23－13＝13.。

空心球求体积计算公式

空心球求体积计算公式空心球是一种具有空心结构的球体，它的体积可以通过一个简单的公式来计算。

在本文中，我们将探讨空心球的体积计算公式，并且介绍一些实际问题中如何应用这个公式来解决问题。

首先，让我们来看一下空心球的定义。

空心球是由两个同心球面所夹部分构成的几何体，它的外部是一个大球面，内部是一个小球面。

这种结构使得空心球具有一定的空间结构和体积。

在实际生活中，我们经常会遇到一些空心球体，比如气球、篮球、足球等等。

现在，让我们来推导空心球的体积计算公式。

假设空心球的外半径为R，内半径为r，我们可以通过积分的方法来计算空心球的体积。

首先，我们可以将空心球分成无数个薄片，每个薄片的体积可以近似为一个圆柱体的体积。

然后，我们对所有的薄片的体积进行累加，就可以得到整个空心球的体积。

具体来说，我们可以将空心球的体积表示为一个定积分：V = ∫[0, 2π] ∫[0, π] ∫[r, R] ρ^2 sinφ dρ dφ dθ。

其中，V表示空心球的体积，ρ表示薄片到球心的距离，φ表示薄片的纬度，θ表示薄片的经度。

通过对这个定积分进行计算，我们就可以得到空心球的体积。

在实际问题中，我们经常需要使用空心球的体积计算公式来解决一些问题。

例如，我们可以通过这个公式来计算气球的体积，从而确定需要多少气体才能将气球充满。

又如，在建筑工程中，我们可以通过这个公式来计算建筑物中一些空心球形部件的体积，从而确定需要多少材料来进行施工。

因此，空心球的体积计算公式具有广泛的应用价值。

除了空心球的体积计算公式之外，我们还可以通过一些简单的方法来估算空心球的体积。

例如，我们可以将空心球看成是由两个球体组成的，一个是外部球体，一个是内部球体。

然后，我们可以通过这两个球体的体积来估算空心球的体积。

虽然这种方法只是一个近似值，但在一些实际问题中已经足够使用了。

总之，空心球的体积计算公式是一个非常重要的数学工具，在实际问题中具有广泛的应用价值。

通过这个公式，我们可以准确地计算空心球的体积，并且解决一些实际问题。

大学高数定积分应用1(6-1--6-5)课后参考答案及知识总结

第六章定积分的应用内容概要课后习题全解习题6-2★ 1．求由曲线xy =与直线x y =所围图形的面积。

知识点：平面图形的面积思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可解：见图6-2-1∵所围区域D 表达为X-型：⎩⎨⎧<<<<x y x x 10，（或D 表达为Y-型：⎩⎨⎧<<<<y x y y 210）∴⎰-=10)(dx x x S D61)2132(1223=-=x x （⎰=-=1261)(dy y y S D） ★ 2．求在区间[0，π/2]上，曲线x y sin =与直线0=x 、1=y 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可解：见图6-2-2∵所围区域D 表达为X-型：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<1sin 20y x x π，（或D 表达为Y-型：⎩⎨⎧<<<<y x y arcsin 010） ∴12)cos ()sin 1(202-=+=-=⎰πππx x dx x S D（ 12arcsin 1-==⎰πydy S D）★★3．求由曲线x y =2与42+-=x y 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为Y-型时解法较简单，所以用Y-型做解：见图6-2-3∵两条曲线的交点：⎩⎨⎧±==⇒⎩⎨⎧+-==22422y x x y x y ， ∴所围区域D 表达为Y-型：⎩⎨⎧-<<<<-22422yx y y ，∴2316)324()4(2232222=-=--=--⎰y y dy y y S D（由于图形关于X 轴对称，所以也可以解为：2316)324(2)4(223222=-=--=⎰y y dy y y S D ）★★4．求由曲线2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：所围图形关于Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单解：见图6-2-4∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型：⎩⎨⎧<<<<y x y y 210，∴34322)2(22102311=⨯=-==⎰y dy y y S S D D（若用X-型做，则第一象限内所围区域=1D b a D D Y ，其中a D ：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<22410x y x x ，b D ：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<14212y x x ；∴12212201422[()(1)]443D D x x S S x dx dx ==-+-=⎰⎰） ★★5．求由曲线xy 1=与直线x y =及2=x 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为X-型,解法较简单，所以用X-型做解：见图6-2-5∵两条曲线xy =和x y =的交点为（1，1）、（-1，-1），又这两条线和2=x 分别交于 21,2(、2) ,2( ∴所围区域D 表达为X-型：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<x y xx 121，∴22211113((ln )ln 222DS x dx x x x =-=-=-⎰★★★6．抛物线x y 22=分圆822=+y x 的面积为两部分，求这两部分的面积知识点：平面图形面积思路：所围图形关于X 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单解：见图6-2-6，设阴影部分的面积为1D S ，剩余面积为2D S∵两条曲线x y 22=、822=+y x 的交于(2,2)±（舍去4-=x 的解），∴所围区域1D 表达为Y-型：⎪⎩⎪⎨⎧-<<<<-228222y x y y ；又图形关于x 轴对称，∴342)342(2)68(2)28(220320220221+=-+=--=--=⎰⎰ππy y dy y y S D（其中222cos 18cos 22cos 22844sin 2222+=+=⨯=-⎰⎰⎰=πππdt ttdt t dyy ty ） ∴34634282-=--=πππDS ★★★7．求由曲线x e y =、x e y -=与直线1=x 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为X-型时，解法较简单，所以用X-型做解：见图6-2-7∵两条曲线x e y =和x e y -=的交点为（0，1），又这两条线和1=x 分别交于) ,1(e 和) ,1(1-e∴所围区域D 表达为X-型：⎩⎨⎧<<<<-x x e y e x 10，∴2)()(1101-+=+=-=---⎰e e e e dx e e S x x x x D★★★8．求由曲线x y ln =与直线a y ln =及b y ln =所围图形的面积)0(>>a b知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为Y-型时，解法较简单，所以用Y-型做解：见图6-2-8∵在x ln 的定义域范围内所围区域D ：⎩⎨⎧<<<<ye x by a 0ln ln ， ∴a b edy e S b ay bayD-===⎰ln ln ln ln★★★★9．求通过（0，0），（1，2）的抛物线，要求它具有以下性质：（1）它的对称轴平行于y 轴，且向下弯；（2）它与x 轴所围图形面积最小知识点：平面图形面积和求最值思路：首先根据给出的条件建立含参变量的抛物线方程，再求最值时的参变量解：由于抛物线的对称轴平行于y 轴，又过（0，0），所以可设抛物线方程为bx ax y +=2，（由于下弯，所以0<a），将（1，2）代入bx ax y +=2，得到2=+b a ，因此x a ax y )2(2-+=该抛物线和X 轴的交点为0=x 和aa x 2-=， ∴所围区域D ：2200(2)a x ay ax a x-⎧<<⎪⎨⎪<<+-⎩ ∴23223226)2()223(])2([a a x a x a dx x a ax S aa a a D-=-+=-+=--⎰)4()2(61)]2()2()2(3[61)(233322+-=-⨯-+-⨯='---a a a a a a a a S D得到唯一极值点：4-=a ，∴所求抛物线为：x x y 642+-=★★★★10．求位于曲线x e y =下方，该曲线过原点的切线的左方以及x 轴上方之间的图形的面积知识点：切线方程和平面图形面积思路：先求切线方程，再作出所求区域图形，然后根据图形特点，选择积分区域表达类型解：x e y =⇒xe y ='，∴在任一点0x x =处的切线方程为)(000x x e ey x x -=-而过（0，0）的切线方程就为：)1(-=-x e e y ，即ex y =所求图形区域为21D D D Y =,见图6-2-10X-型下的1D ：⎩⎨⎧<<<<∞-x e y x 00，2D ：⎩⎨⎧<<<<xey ex x 1∴222)(12110e e e x eedx ex e dx e S x x x D=-=-=-+=∞-∞-⎰⎰ ★★★11．求由曲线θcos 2a r =所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：作图可知该曲线是半径为a 、圆心（0 ,a ）的圆在极坐标系下的表达式，可直接求得面积为2a π，也可选择极坐标求面积的方法做。

定积分的应用--简单几何体的体积

11
结论 2
旋转体由曲线x=(y), ya, yb
和y轴围成的平面图形绕y轴旋转一
周后体积V b((y))2dy bx2dy
a
a
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12
探究3 设两抛物线yx22x,yx2 所围成的图形为M，将M绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V？
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13
2. 5
2
y x2
1. 5
1
0. 5
fx = -x2+2x
a
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6
旋转轴是 x 轴的旋转体的体积公式是 V＝πb[f(x)]2dx(a＜b)．
a
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7
结论 1
由y f (x)，xa,xb和x轴围
成的平面图形绕x轴旋转一周，则
V=
b
2
(f (x)) dx
b y2dx
a
a
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8
练习：一个半径为 1 的球可看作由曲线y 1x2
与 x 轴所围成的区域（半圆）绕 x 轴旋转一周得到的，求球的体积。
本节课用定积分解决了简单旋转体的体积，注意：
1、注意
2、被积函数的平方 3、求体积的一般步骤
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16
gx = x2
-2
-1
1
2
3
4
-0. 5
yx2 2x
-1
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14
-1. 5
结论 3
探由y f (x)2和y g(x)2所
围成的图形为M，将M绕
x轴旋转一周所得旋转体
的体积 V
b
[
f
(
x)2
g
(x)2
]d x