定积分的应用
定积分的几个简单应用
定积分的几个简单应用一、定积分在经济生活中的应用在经济管理中，由边际函数求总函数，一般采用不定积分来解决，或者求一个变上限的定积分；如果求总函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决．例1 某商场某品牌衬衫的需求函数是q p 15.065-=，如果价格定在每件50元，试计算消费者剩余．解 由p 50=，q p 15.065-=，得10000=q ，于是dq q )5015.065(100000--⎰10000023)1.015(q q -=50000=，所求消费者剩余为50000元．例2 已知某产品总产量的变化率为t t Q 1240)(+='（件／天），求从第5天到第10天产品的总产量．解 所求的总产量为⎰⎰+='=105105)1240()(dt t dt t Q Q 1052)640(t t +=650=（件）． 二、用定积分求极限例1 求极限 ∑=∞→n k n n k 123lim ．解 nn n n n n n n k n k 12111123+++=∑= )21(1nn n n n +++= ． 上式是函数[]1,0)(在x x f =的特殊积分和．它是把[]1,0分成n 等分，i ξ取⎥⎦⎤⎢⎣⎡-n i n i ,1的右端点构成的积分和．因为函数[]1,0)(在x x f =可积，由定积分定义，有∑=∞→n k n n k 123lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=∞→)21(1lim n n n n n n 3210==⎰dx x ． 例2 求极限 2213lim k n n k n k n -∑=∞→． 解 212213)(11n k nk n k n n k n k n k -⋅=-∑∑==． 上式是函数[]1,01)(2在x x x f -=的特殊积分和．它是把区间[]1,0分成n 等分，i ξ取⎥⎦⎤⎢⎣⎡-n i n i ,1的右端点构成的积分和．因为函数21)(x x x f -=在[]1,0可积，由定积分定义，有2213lim k n n k n k n -∑=∞→31)1(31110232102=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-=⎰x dx x x ． 三、用定积分证明不等式 定积分在不等式的证明中有着重要的应用．在不等式的证明中，可根据函数的特点，利用定积分的性质来证明．例1 设)(x f 是闭区间[]b a ,上的连续函数，且单调增加，求证：⎰⎰+≥b ab a dx x f b a dx x xf )(2)(． 证明 作辅助函数 dt t f x a dt t tf x xa x a ⎰⎰+-=)(2)()(ϕ， 显然0)(=a ϕ，且)(2)(21)()(x f x a dt t f x xf x x a ⎰+--='ϕ )(2))((21)(2x f a a x f x f x ---=ξ [])()(2ξf x f a x --=， 其中[]x a ,∈ξ．因为)(x f 在[]b a ,上单调增加，所以0)(≥'x ϕ，从而)(x ϕ在闭区间[]b a ,上单调增加，所以0)()(=≥a x ϕϕ，取b x =得⎰⎰+≥b a ba dx x fb a dx x xf )(2)(． 定积分在许多领域中有着重要应用，它是解决一些几何学问题、物理学问题和经济学问题的重要工具．这一章主要介绍了定积分在不同学科中的应用问题．。
例谈定积分的应用
例谈定积分的应用
定积分是利用积分技术来搭建企业系统的一种服务方式，通过定积分，企业可以解决营销，客户追踪，价格管理，订单跟踪等问题，让企业
既有资源利用效率，又能惠及消费者。
一、定积分的应用
1、促销活动：利用定积分可以创建各种丰富多彩的促销活动，满减、
团购、买赠、金币锁定等，激励消费者购买和积累积分。
2、客户管理：定积分能够建立细致复杂的客户档案，包括客户经理内容，购买次数，消费金额，积分余额等，更好地进行客户管理。
3、价格管理：通过定积分，可以根据不同客户的特征，设置特定的价格，比如会员价，大客户价等，更好地提高定价精确度和竞争力。
4、订单追踪：定积分的订单追踪系统可以记录客户的订单信息，有利
于企业更好地追溯客户信息以及及时为客户提供优质服务。
二、定积分的优势
1、可靠性：定积分系统可以提供可靠性能，降低前端和后端系统出现
的异常和故障，防止客户和企业受到损害。
2、安全性：定积分的安全性也得到有效保障，内部数据交换完全采用
加密技术，保证信息不受外部干涉。
3、兼容性：定积分具有可行性和兼容性，它可以按照各种不同环境定
制与企业系统相协调的服务，能够提供企业最适合的解决方案。
4、易用性：定积分使用界面简洁明了，业务流程简单可靠，容易上手，操作简单易懂，为客户提供更贴心的服务。
三、总结
定积分的引入为企业的经营活动带来了更多的便利，有效提高了企业
的经营效率，也让消费者能够从消费上受到更多的好处。
由此可见，
定积分不仅是企业的一种低成本的服务方式，也是一个更加有效的、
更加充分的消费积分服务体系，为企业和消费者都更好地搭建企业系统。
定积分的应用
定积分的应用定积分是微积分的重要概念之一，它在许多实际问题的求解中起着重要作用。
本文将介绍一些定积分的应用，并探讨它们在不同领域中的具体应用情况。
1. 几何学中的应用在几何学中，我们经常需要计算曲线与坐标轴之间的面积。
通过使用定积分，可以轻松解决这个问题。
以求解曲线 y = f(x) 与 x 轴之间的面积为例，我们可以将其划分为无穷多个宽度非常小的矩形，然后将这些矩形的面积相加，最终得到曲线与 x 轴之间的面积。
这个过程可以通过定积分来表示，即∫[a,b] f(x) dx，其中 a 和 b 分别是曲线的起始点和终止点。
2. 物理学中的应用在物理学中，定积分广泛应用于求解各种与物理量有关的问题。
例如，在动力学中，我们可以通过计算物体的位移和速度的定积分来求解物体的加速度。
同样地，在力学中，定积分可以用于计算物体所受的力的功。
这些应用都需要将物理量表示成关于时间的函数，并使用定积分来求解相关问题。
3. 经济学中的应用经济学也是定积分的应用领域之一。
在经济学中，我们经常需要计算一段时间内的总收益或总成本。
通过将这段时间划分为无数个非常小的时间段，然后计算每个时间段内的收益或成本，最后再将这些值相加，我们可以用定积分来表示这段时间内的总收益或总成本。
这种方法在经济学中有着广泛的应用，例如计算企业的总利润等。
4. 概率统计学中的应用在概率统计学中，定积分可以用于求解概率密度函数下的某个区间的概率。
在概率密度函数中，曲线下的面积表示了该事件发生的概率。
通过将概率密度函数在某个区间上的定积分，我们可以得到该区间内事件发生的概率。
这种方法在概率论和数理统计中具有重要的应用，例如计算正态分布下的概率，或者计算随机变量的期望值等。
综上所述，定积分在几何学、物理学、经济学和概率统计学等各个领域都有着重要的应用。
无论是计算面积、求解物理量、计算总收益还是计算概率，定积分都提供了一种有效的数学工具。
通过理解和掌握定积分的应用，我们可以更好地解决实际问题，并深入研究各个领域中的相关理论。
考研数学定积分的应用
考研数学定积分的应用一、引言数学定积分是高等数学中的重要概念之一，它在实际生活中有着广泛的应用。
本文将从几个具体的应用案例入手，探讨考研数学定积分的应用。
二、面积计算数学定积分最基本的应用之一就是计算曲线与坐标轴所围成的面积。
例如，在工程测量中，我们经常需要计算某个区域的面积，如果该区域的边界曲线可以用函数表示，那么可以通过定积分来求解。
通过将曲线分割成无穷多个微小的矩形，计算每个矩形的面积并进行累加，最终得到所需的面积。
三、物体体积计算除了计算面积，数学定积分还可以用于计算物体的体积。
在工程设计中，经常需要计算复杂形状物体的体积，例如水库的容量、建筑物的体积等。
如果物体的截面可以用函数表示，那么可以通过定积分来求解。
同样地，将截面分割成无穷多个微小的面元，计算每个面元的体积并进行累加，最终得到所需的体积。
四、质心计算质心是物体在空间中的重心，对于复杂形状的物体，质心的计算可以通过数学定积分来实现。
首先，将物体分割成无穷多个微小的体积元，计算每个体积元的质量并与其质心坐标乘积，然后进行累加，最后将总质量除以总体积，即可得到质心的坐标。
五、弯曲杆件的弯矩计算在工程力学中，常常需要计算弯曲杆件的弯矩分布，以确定结构的稳定性和安全性。
通过数学定积分，可以将杆件分割成无穷多个微小的弯曲段，计算每个弯曲段的弯矩，并进行累加，最终得到整个杆件的弯矩分布。
六、概率密度函数计算概率密度函数是概率论与数理统计中的重要概念，用于描述随机变量的概率分布。
数学定积分可以用于计算概率密度函数的各种性质，例如求解期望值、方差以及其他统计指标。
通过对概率密度函数进行定积分，可以得到具体的数值，从而进行概率分析和决策。
七、总结本文简要介绍了考研数学定积分的几个应用，包括面积计算、物体体积计算、质心计算、弯曲杆件的弯矩计算以及概率密度函数的计算。
这些应用充分展示了数学定积分在实际生活和工程领域中的重要性和广泛应用。
通过学习和掌握数学定积分的应用技巧，可以更好地理解和应用数学知识，提高问题解决能力。
定积分求平面图形面积在实际生活中的应用
定积分求平面图形面积在实际生活中的应用把复杂的积分问题求解出来就可以计算出平面图形的面积，在实际生活中也可以看到它的很多应用。
其中有一类是涉及设计的，比如建筑设计中的空间分配、土地开发等；另一类是分析的，比如海洋表面的波浪分析等。
1、建筑设计建筑设计中，定积分可以用来求解空间分配问题。
比如，在房屋设计中，它可以用来确定楼层、楼梯、墙壁、门窗等占用了多少面积。
此外，它还可以用来求解不规则房间布局时，室外墙体和室内墙体的面积分配。
同样，在土地开发中也可以看到定积分的应用，如计算出道路两端的封闭区域面积，以及计算建筑的总面积。
定积分也可以帮助规划者精确计算出规划区域的面积，从而更好地管理规划区域的开发。
2、海洋表面的波浪分析定积分也可以用来求解海洋表面的波浪。
水波的主要性质是在洋流中运动，它的变化符合泊松方程，这是一个带积分的方程，可以用定积分来求解。
这种波浪分析可以更好地解释海洋表面的复杂性，进而指导航管理者和建筑者采取更安全有效的导航措施。
此外，在海岸线上，可以使用定积分来计算海岸线内各子区域的面积，以及海岸线及其各个部分的面积，为海洋管理者提供有形的参考数据。
3、农业此外，定积分在农业中也有非常广泛的应用。
比如，在种植作物时，可以使用定积分来计算出作物地的面积，以及需要灌溉地区的面积；在研究农田开发时，可以利用定积分来计算出耕作面积。
通过计算出具体的面积数据，可以更好地规划农田的分布和种植规模，从而节约农业资源，提高农作物的产量。
总结定积分是一种有用的数学技术，可以把复杂的数学问题转化成计算机可计算的简单形式，在计算平面图形面积上表现出很强的优势。
它在实际生活中有很多应用，比如建筑设计、土地开发、海洋洋面波浪分析，以及农业规划等。
高等数学第六章《定积分的应用》
第六章 定积分的应用一、内容提要（一）主要定义【定义】 定积分的元素法 如果（1）所求量U 是与一个变量x 的变化区间[]b a ,有关的一个整体量； （2）U 对区间[]b a ,具有可加性； （3）部分量i U ∆可表示为()i i i U f x ξ∆≈∆.则可按以下步骤计算定积分（1）选取一个变量x 或y ，并确定它的变化区间[]b a ,;（2）把区间[]b a ,分成n 个小区间, 求任一小区间[],x x dx +的部分量U ∆的近似dU .()U dU f x dx ∆≈=; （3）计算()U=baf x dx ⎰.（二）主要定理与公式根据定积分的元素法可建立一些几何和物理方面的定积分表达式. 1．平面图形面积 （1）直角坐标情形①由()(),(0),,y f x f x x a x b =≥==所围图形的面积()bas f x dx =⎰.②由()()12,,,y f x y f x x a x b ====所围图形的面积()()12 bas f x f x dx =-⎰.③由()()12,,,x y x y y c y d ϕϕ====所围图形的面积()()12dcs y y dy ϕϕ=-⎰（2）参数方程情形 由曲线l ：()()x t y t ϕψ=⎧⎪⎨=⎪⎩，12t t t ≤≤，x 轴及,x a x b ==所围图形的面积 ()()21t t s t t dt ψϕ'=⎰（3）极坐标情形① 由(),,ρϕθθαθβ===所围图形的面积()212s d βαϕθθ=⎰ ② 由()()12,,,ρϕθρϕθθαθβ====所围图形的面积()()222112s d βαϕθϕθθ⎡⎤=-⎣⎦⎰ 2.体积（1）旋转体的体积① 由()0,,,y y f x x a x b ====所围图形绕x 轴旋转所得旋转体体积：()2b a V f x dx π=⎡⎤⎣⎦⎰. 当0a b ≤<时，上述曲边梯形绕y 轴旋转所得旋转体的体积： ()22bbaaV x y dx x f x dx ππ==⎰⎰.② 由(),0,,x y x y c y d ϕ====所围图形绕y 轴旋转一周形成的立体体积：()2d c V y dy πϕ=⎡⎤⎣⎦⎰ （2）平行截面面积为已知的立体的体积设以()[],A x C a b ∈表示立体Ω的过点x 且垂直于x 轴的截面面积，且立体Ω夹在平面x a x b ==与之间，则立体Ω的体积：()baV A x dx =⎰.3.平面曲线的弧长（1）光滑曲线():,l y f x a x b =≤≤的弧长为as =⎰.（2）光滑曲线()(),: ,x x t l t y y t αβ=⎧⎪≤≤⎨=⎪⎩的弧长为s βα=⎰.（3）光滑曲线():, l ρϕθαθβ=≤≤的弧长为s βαθ=⎰4.变力沿直线做功、水压力 （1）变力沿直线做功设物体在变力()F x 的作用下，沿变力的方向由x a =移到x b =,在物体的位移区间[],a b 内任一子区间[],x x dx +上功的元素为 ()dW F x dx =,全部功()baW F x dx =⎰.（2）水压力设平板铅直地放入液体中，液体的密度为ρ，平板位于液面下的深度在区间[]0,b 内任一子区间[],x x dx +上,液体深x 处的压强为p gx ρ=,压力元素()dp gx f x dx ρ=⋅. 全部压力为 ()0bp gx f x dx ρ=⋅⎰.二、典型题解析（一）填空题【例6.1】 由曲线,xxy e y e -==及直线1x =所围成图形的面积是 . 解 所求面积 ()()1112xx x x S ee dx e e e e ---=-=+=+-⎰.故应填12e e -+-. 【例6.2】 由222,82x y x y =+=所围成图形（见图6.1）面积A （上半平面部分），则A = .解 两曲线22228x y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩的交点为()()2,2,2,2-.所求的面积为222)2x A dx -=⎰328226x ⎫=-⎪⎭423π=+. 故应填423π+. 【例6.3】 曲线sin 02y x x π⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭与直线,02x y π==围成一个平面图形，此平面图形绕x 轴旋转产生的旋转体的体积 .解 2220s i n 4V x d x πππ==⎰. 故应填24π.【例6.4】 阿基米德螺线()0aeλθρλ=>从0θ=到θα=一段弧长s = .解 0s αθ=⎰ ()01eλαθλ==-⎰.)1eλα-.【例6.5】 曲线322y x x x =-++与x 轴所围成的图形的面积A = . 解 函数322(2)(1)y x x x x x x =-++=--+与x 轴的交点为()()()1,0,0,02,0-.()()023232122A x x x dx x x x dx -=--+++-++⎰⎰3712=. （二）选择题图6.122x y =228x y +=【例6.6】 曲线x y e =与其过原点的切线及y 轴所围成的图形（见图6.2）面积为[ ]（A ） ()1x e ex dx -⎰; （B ）()1ln ln ey y y dy -⎰;（C ）()1e x x e xe dx -⎰; （D ）()1ln ln y y y dy -⎰.解 曲线x y e =在任意点(),x y 的切线方程为()x x Y e e X x -=-,由于切线过原点,可以求出1x =,于是过原点的切线方程为Y eX =.所求平面图形的面积等于()1xeex dx -⎰. 故选择A.【例6.7】 由曲线()()12y x x x =--与x 轴围成的平面图形的面积为 [ ]. （A ）()()()()12011212x x x dx x x x dx -----⎰⎰;（B ）()()212x x x dx ---⎰;（C ）()()()()12011212x x x dx x x x dx ---+--⎰⎰;（D ）()()212x x x dx --⎰.解 在区间[]0,1,0y <,在区间[]1,2,0y >, 所以 ()()112S x x x dx =---⎰()()2112x x x dx +--⎰.故选择C.【例 6.8】 曲线cos 22y x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体体积为 [ ]（A ）2π （B ）π （C ）212π （D ）2π. 解 2222cos2V xdx ππππ-==⎰.故选择C.图6.2【例6.9】 双纽线()22222x yx y +=-围成的平面图形的面积为 [ ]（A ）402cos 2d πθθ⎰; （B ）404cos 2d πθθ⎰;（C）2θ; （D ）()2401cos 22d πθθ⎰.解 双纽线的极坐标方程为2cos 2 r θ=,(,44ππθ-≤≤35)44ππθ≤≤由对称性 2244001422S r d r d ππθθ=⨯=⎰⎰402cos 2d πθθ=⎰. 故选择A.【例6.10】 曲线()2ln 1y x =-上102x ≤≤的一段弧长l = [ ].（A）; （B ）1222011x dx x +-⎰; （C）; （D ）. 解 曲线是直角坐标表示的曲线,采用公式al =⎰.由曲线方程()2ln 1y x =-可得210x ->,221x y x -'=-,则1222011x l dx x +==-⎰. 故选择B .（三）非客观题 1. 平面图形的面积解题方法 （1）先画出草图；（2）求出交点；（3）选取积分变量、区间，找出面积元素，然后积分. （1）直角坐标情形【例6.11】求曲线22,ax y ay x ==所围(见图6.3)的面积. 解 如图所示，交点为()(),00,0A a O 及.图6.32ax y =2y ax =所围的面积()23232002)333aax x aS dx ax a aa ⎡⎤==-=⎢⎥⎣⎦⎰. 【例6.12】 求介于由曲线2121,2+==x y x y 和x 轴围成的平面图形(见图6.4)的面积．解 （法一）设此面积为S ,有12101111()d ()d 2222S x x x x x -=+++-⎰⎰0122310()()42423x x x x x -=+++-23=（法二）13122002(21)]d ()3S y y y y y =-=-+⎰23=.【例6.12】 求0,2x x π==之间由曲线sin y x =和cos y x =所围成的图形(见图6.5)的面积. 解 20sin cos A x x dx π=-⎰()40cos sin x x dx π=-⎰()544sin cos x x dx ππ+-⎰()254cos sin x x dx ππ+-⎰=【例6.13】 求抛物线243y x x =-+-及其在点()0,3-和()3,0处的切线所围成的图形(见图6.6)的面积.解 由24y x '=-+得过点()0,3-和()3,0的切线方程为1:43l y x =-和2:26l y x =-+,图 6.4图 6.24π54π2π图 6.5图 6.6且可得12,l l 交点坐标为3,32⎛⎫⎪⎝⎭,则所围图形的面积为()32204343A x x x dx ⎡⎤=---+-⎣⎦⎰()32322643x x x dx ⎡⎤+-+--+-⎣⎦⎰94=. 【例6.14】求由曲线322,0a y y a x==+所围的面积. 解 所求面积为33222202lim b b a dx S dx a dx a x a x+∞-∞→+∞==++⎰⎰ 3212limarctan b a b a aπ→+∞==. 【例6.15】确定常数k ,使曲线2y x =与直线,2,0x k x k y ==+=所围成图形的面积最小. 解 选x 为积分变量,变化区间为[],2k k +,面积元素2dA x dx =,所求面积为()()22 k kA k x dx k +=-∞<<+∞⎰,要求k 使()A k 取最小值,()A k 是积分上(下)限函数,故()()22241dA k k k dk=+-=+, 令0dA dk =,解得驻点1k =-,因为2240d Adk=>,则1k =-为()A k 在(),-∞+∞内唯一极小值点,即当1k =-时,所围成图形的面积最小. （2）参数方程情形【例6.16】求摆线()()sin ,1cos x a t t y a t =-=-()020t y π≤≤=及所围的面积. 解 所求面积为20(1cos )(1cos )S a t a t dt π=-⋅-⎰图 6.72220(12cos cos )a t t dt π=-+⎰221cos 2(12cos )2tat dt π+=-+⎰20312sin sin 224t t t π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦23a π=【例6.17】求椭圆渐趋线()2233222cos ,sin c c x t y t c a b a b===-所围面积. 解 所求面积为223324sin cos c c S t t dt b a π'⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰22322034sin cos sin c c t t tdt b aπ=⎰4422012sin (1sin )c t t dt abπ=--⎰438c abπ=.（3）极坐标情形【例6.18】求曲线2(2cos )r a θ=+所围成图形(见图6.7)的面积. 解 所求面积为()201222cos 2S a d πθθ=⋅+⎡⎤⎣⎦⎰ ()220444cos cos a d πθθθ=++⎰201cos 2444cos 2a d πθθθ+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎰209sin 244sin 24a πθθθ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦ 218a π=【例6.19】 求心脏线1cos r θ=+与圆3cos r θ=公共部分(见图6.8)的面积. 解 由3cos 1cos θθ=+得交点坐标为3,23π⎛⎫± ⎪⎝⎭,()2232031121cos (3cos )22S d d πππθθθθ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎰⎰54π=. 【例6.20】 求由双纽线()()222222x ya x y +=-所围成且在圆周22212x y a +=内部的图形(见图6.9)的面积.解将r =代入方程22cos2r a θ=中得6πθ=.令0r =代入22cos 2r a θ=中得4πθ=,故 226410611cos 222A d a d πππθθθ=+⎰⎰ 224611sin 22264a a πππθ=⋅⋅+2(633)24a π=+-, 214(66a A A π∴==+-.【例6.21】求由曲线2cos2r r θθ==及所围成的图形的公共部分（见图6.10）的面积.解 解方程组2cos 2r r θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得两曲线的交点坐标为26π⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 所求的面积为1r =+图 6.9)2646112cos222S d dπππθθθθ=+⎰⎰[]64061112sin2sin2242πππθθθ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦1626ππ=+=.2.体积的计算（1）旋转体的体积【例6.22】将抛物线24y ax=及直线x x=()x>所围成的图形绕x轴旋转，计算所得的旋转抛物体的体积.解()2,dV f x dxπ=其中()f x=所求体积()00222002x xV f x dx dx axπππ===⎰⎰.【例6.23】求曲线22,0y x x y=-=所围图形分别绕ox轴，oy轴旋转所成旋转体的体积.解所求体积为()22216215xV x x dxππ=-=⎰；()228223yV x x x dxππ=-=⎰。
高等数学(第三版)课件：定积分的应用
线 y f ( x，) 直线 x a, x b (a b) 与
• x 轴围成的面积是在x 轴上方和下方曲边梯形
面积的差.
• • 同样可由微元法分析
•⒉ 一般地，根据微元法由曲线 y f ( x), y g( x),
• ( f ( x) g( x)) 及直线x a, x b 所围的图形
• 面积.（右图所示）
• 解: 取 为积分变量,
•
面积微元为
d
A
1 2
(a )2
d
• 于是
A 2 1 (a )2d a 2 2
02
23
2 4 a 2 3
03
• 例5 计算双纽线 r 2 a2 cos2 (a 0)
•
所围成的平面图形的面积（下图所示）
• 解 因 r 2 0,故 的变化范围是 [ 3 , 5 ,]
• ⑴分割区间[a,b],将所求量(曲边梯形面积 A )
分为部分量(小曲边梯形面积 Ai）之和;
• ⑵确定各部分量的近似值(小矩形面积);
Ai f (i )xi
• ⑶求和得所求量的近似值（各小矩形面积之和);
n
A f (i )xi
i 1
• ⑷对和式取极限得所求量的精确值（曲边梯形面积）.
n
A lim 0
• 它表示高为f ( x) 、底为 dx 的一个矩形面积.
• ⑵由定积分几何意义可知,当 f (x) 0 时,由曲
线 y f (x)，直线 x a, x b (a b) 与 x 轴所围成
的曲边梯形的面积A为
A
b
f (x)dx
.
a
• ⑶当 f ( x)在区间 [a, b]上的值有正有负时，则曲
•
定积分的应用(10
定积分的应用(10定积分是微积分中的一个重要概念。
它表示在一定区间内，函数曲线与 x 轴之间的面积，也可以理解为变化率的累加。
定积分的应用非常广泛，下文将介绍其中的十个应用。
一、求物体在一定时间内的位移我们知道，物体在做匀加速运动时，其位移可以用位移公式S=vt+1/2at² 来计算。
如果物体的运动速度是变化的，我们可以将其速度函数 v(t) 求出，然后将其积分得到位移函数 S(t)，再在一定时间段内求出 S(t) 的定积分即可得到物体在该时间段内的位移。
二、计算概率密度函数下的概率概率密度函数也是一个函数，其定义为：在一个无限小区间内，事件发生的概率与该区间长度的比值。
在一定范围内，概率密度函数曲线下的面积等于该范围内事件发生的概率。
因此，我们可以通过计算概率密度函数的定积分来获得某个事件发生的概率。
三、计算质心位置质心是物体的一个重要物理概念，其位置定义为将物体划分成若干小的无限小质量体积元，在这些质量体积元上求平均位置所得的点。
计算出物体每个质量体积元的质心位置，然后按质量将它们加权平均，就可以得到整个物体的质心位置。
计算质心位置的过程实质上就是对质量体积元的轴心距进行加权平均，这就是定积分的应用。
四、计算曲线长度我们可以用定积分来计算一个曲线的长度。
将曲线划分成许多小段，每个小段都近似为一条直线段，利用勾股定理计算它们的长度之和，然后取极限即可得到曲线的长度。
五、计算旋转体积旋转体积的计算方法就是将一个平面图形绕某个轴线旋转所形成的体积。
可以用定积分来计算旋转体积，其基本思想就是把旋转体积看作是由许多小的圆柱体构成的，计算出每个小圆柱的体积之和即可得到整个旋转体积。
六、计算弧度在物理学和天文学中，我们往往需要计算弧度。
弧度是一个角度的度量方式，它表示弧长与半径之比。
对于一个圆，一周的弧长就是圆的周长，因此圆的一周弧度为2π 弧度。
如果我们知道了一个圆弧所对应的角度度数，就可以通过简单的定积分计算出它的弧度。
定积分的应用
定积分的应用在我们的生活中，有很多场景都需要用到定积分。
而在数学上，定积分也起到了重要的作用。
定积分可以计算曲线下的面积，如求函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的面积。
接下来，我们将介绍一些常见的定积分的应用。
一、曲线下的面积假设我们有一个区间 $[a,b]$，以及一个函数 $f(x)$。
我们可以使用定积分来计算这个函数在该区间上的曲线下的面积。
这个面积可以用下面的式子来计算：$$ S=\int_{a}^{b}f(x)dx $$ 其中，$\int$ 表示定积分。
如果我们以 $f(x)\geq 0$ 的形式进行了定义，那么定积分就可以计算出曲线下的正面积。
例如，如果我们要计算函数 $f(x)=x^2$ 在区间 $[0,1]$ 上的曲线下的面积，我们可以通过下面的定积分来计算：$$ S=\int_{0}^{1}x^2dx $$利用积分的定义，可以将该式子化简为：$$ S=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Deltax=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^{n}x_i^2\Delta x $$ 其中，$\Delta x=\frac{1}{n}$ 且 $x_i=i\Delta x$。
如果我们取 $n=100$，你会发现：$$ S=0.010050167\cdots $$ 这时，我们就可以知道函数 $f(x)=x^2$ 在区间 $[0,1]$ 上的曲线下的面积为约为 $0.010050167$。
二、体积类似于计算曲线下的面积，定积分也可以用于计算体积。
我们可以使用定积分来计算旋转曲面的体积，例如旋转曲面、扫描曲面等。
例如，假设我们需要计算曲线 $y=x^2$ 从 $x=0$ 到 $x=1$ 周围在 $y$ 轴旋转一周所形成的立体的体积，我们可以使用下面的公式计算出体积：$$ V=\int_{0}^{1}\pi y^2dx $$替换掉 $y=x^2$ 的值，我们得到：$$ V=\int_{0}^{1}\pi x^4dx $$ 计算该定积分的结果为：$$ V=\frac{\pi}{5} $$ 所以，曲线$y=x^2$ 从 $x=0$ 到 $x=1$ 周围所形成的立体的体积为$\frac{\pi}{5}$。
定积分在数学中的应用
定积分在数学中有广泛的应用，涵盖了多个领域，包括几何、物理、经济学和工程学等。
以下是一些常见的应用领域：
1. 几何学：定积分可用于计算曲线的弧长、曲线与坐标轴所围成的面积、空间曲面的面积和体积等。
通过将几何问题转化为定积分的计算，可以准确求解各种形状的几何量。
2. 物理学：定积分在物理学中的应用非常广泛。
例如，可以用定积分计算物体的质心、转动惯量、流体的压力和力矩等。
还可以通过定积分计算曲线下的面积来求解物体的位移、速度和加速度等运动学问题。
3. 经济学：定积分在经济学中的应用主要用于计算累积量。
例如，可以使用定积分计算总收益、总成本、总利润等经济指标。
还可以通过定积分计算边际收益和边际成本，从而进行经济决策和优化问题的分析。
4. 工程学：定积分在工程学中也具有重要的应用价值。
例如，可以使用定积分计算电路中的电流、电压和功率等物理量。
在结构工程中，可以通过定积分计算材料的体积、质量和重心位置等。
此外，定积分还在概率论、信号处理、图像处理等领域有各种应用。
总之，定积分作为微积分的重要工具，广泛应用于数学及其他学科的建模、计算和问题求解中，提供了丰富的数学工具和方法，有助于深入理解各个学科中的现象和问题。
定积分的应用公式总结
定积分的应用公式总结定积分是微积分中的重要概念，它在许多领域都有着广泛的应用。
在本文中，我们将对定积分的应用公式进行总结，并举例说明其在实际问题中的应用。
1. 面积与定积分。
定积分最基本的应用之一就是计算曲线与坐标轴之间的面积。
设函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(x) ≥ 0，则曲线y = f(x)与x轴所围成的图形的面积为。
A = ∫[a, b] f(x) dx。
这就是定积分的几何意义，它表示曲线与x轴之间的面积。
2. 物理学中的应用。
在物理学中，定积分常常用来计算曲线下方的面积，从而得到某一变量的总量。
例如，如果我们知道一个物体在 t 时刻的速度 v(t)（单位时间内的位移），则该物体在时间区间 [a, b] 内的位移为。
S = ∫[a, b] v(t) dt。
这里的 S 就表示了物体在时间区间 [a, b] 内的总位移。
3. 概率统计中的应用。
在概率统计中，定积分也有着重要的应用。
例如，如果我们知道某一随机变量X 的概率密度函数为 f(x)，则 X 落在区间 [a, b] 内的概率为。
P(a ≤ X ≤ b) = ∫[a, b] f(x) dx。
这里的 P(a ≤ X ≤ b) 表示了随机变量 X 落在区间 [a, b] 内的概率。
4. 工程中的应用。
在工程领域，定积分也有着广泛的应用。
例如，在计算流体的体积、质量、密度、压力等问题时，定积分常常是不可或缺的工具。
另外，在电路分析、信号处理、控制系统等领域，定积分也有着重要的作用。
5. 经济学中的应用。
在经济学中，定积分常常用来描述某一商品的总收益、总成本、总利润等。
例如，如果知道某一商品的需求函数为 D(p)，则该商品在价格区间 [a, b] 内的总收益为。
R = ∫[a, b] p D(p) dp。
这里的 R 表示了商品在价格区间 [a, b] 内的总收益。
总结。
定积分的应用远不止以上几个领域，它在数学、物理、工程、经济等众多领域都有着重要的作用。
定积分的应用优秀案例名称
定积分的应用优秀案例名称定积分是微积分学中的一个重要概念，其应用范围广泛，涉及到数学、物理、工程学等多个学科领域。
下面将围绕定积分的应用优秀案例，通过分步骤阐述，从实际问题入手，深入探讨定积分的应用。
一、汽车行驶里程问题汽车行驶里程问题是定积分的一个典型应用案例。
假设一个汽车匀速行驶，行驶速度为v，行驶时间为t，我们想知道汽车行驶的总里程。
首先，我们需要通过公式来表示汽车的行驶里程。
行驶里程=速度*时间，即s=v*t。
由此得到定积分公式为：∫sdt=∫vtdt因为汽车是匀速行驶，速度v为常数，因此可将上公式化简为：∫sdt=vt+C其中C是常数项，表示汽车的起始点。
因此，我们只需知道汽车的起始点和行驶时间，就可根据上述公式计算出汽车的行驶里程。
二、物理问题定积分在物理学中也有重要的应用。
例如，假设一个物体受到力F，进行相应的位移d，则所做的功为:W=∫Fds其中，F为力的大小，ds为位移的微小距离元素。
通过定积分，可以计算出物体所做的总功。
例如，假设一个物体受到的力F=2x+10 N，在位移为x的时候对它进行功的计算，其功为：W=∫Fdx=∫(2x+10)dx解上式的不定积分：W=∫(2x+10)dx=x^2+10x+C其中，C为常数项，表示物体的起始点。
通过此公式，我们可以计算出物体受到力F在位移为x时所做的功。
三、金融问题除了数学和物理领域外，定积分在金融领域也有涉及。
例如，假设一家公司每年的营业额为f(x)，其中x为年份。
我们想要计算该公司在某一时期内的总营业额。
由于营业额是一种累积变量，我们可以使用定积分来计算总营业额。
假设该公司在t1到t2年间营业额为f(x)，则总营业额为：∫t1到t2 f(x)dx通过定积分公式，我们可以计算出该公司在t1到t2年间的总营业额。
综上所述，定积分的应用范围十分广泛，涉及到多个领域，例如，数学、物理、金融等等。
通过具体的实例，我们可以更好地理解定积分的应用，并进一步掌握定积分的求解方法。
定积分的应用公式总结
定积分的应用公式总结定积分是微积分中的重要概念，具有广泛的应用范围。
在实际问题中，定积分可以用于求解曲线下的面积、求解容积、质量、中心矩等问题。
接下来，我们将总结定积分的应用公式，包括面积、体积、质量、中心矩等几个重要应用。
1. 曲线下的面积定积分最常见的应用是求解曲线下的面积。
对于一个函数f(x)，在区间[a, b]上，曲线y=f(x)与x轴所围成的面积可以通过定积分来计算。
公式为：S = ∫(a到b)f(x)dx其中S表示曲线下的面积，∫表示定积分，f(x)是函数曲线在x轴上的对应值。
2. 旋转体的体积定积分还可以用于计算旋转体的体积。
考虑一个曲线y=f(x)，在[a, b]区间上绕x轴旋转一周，所形成的旋转体体积可以通过定积分来计算。
公式为：V = π∫(a到b)f(x)^2dx其中V表示旋转体的体积，π表示圆周率。
3. 弧长定积分可以用于计算曲线的弧长。
设有曲线y=f(x)，在区间[a,b]上的弧长可以通过定积分来计算。
公式为：L = ∫(a到b)√(1+(f'(x))^2)dx其中L表示曲线的弧长，f'(x)表示f(x)的导数。
4. 质量和质心对于一条位于直角坐标系中的线密度分布曲线，其质量可以通过定积分来计算。
设密度函数为ρ(x)，曲线上的质量可以表示为：m = ∫(a到b)ρ(x)dx其中m表示曲线上的质量，ρ(x)表示密度函数。
同时，还可以通过定积分来计算曲线的质心。
曲线的质心可以通过以下公式来计算：x_c = (1/m)∫(a到b)xρ(x)dxy_c = (1/m)∫(a到b)yρ(x)dx其中x_c和y_c表示曲线的质心的坐标。
以上的公式总结了定积分的一些重要应用，包括面积、体积、弧长、质量和质心等。
在实际问题中，我们可以根据具体的问题情况，选择适当的公式来计算所需的结果。
这些公式可以帮助我们更好地理解和应用定积分的概念，解决实际问题。
定积分的简单应用李用
b
a
f
x
g
xd. x
注：
两曲线围成的平面图形的面积的计算 例 1. 计算由两条抛物线 y2 x和 y x2围成图形的面积.
解:作出y2=x,y=x2的图象如图所示:
解方程组
y y
x x2
x
y
00或xy
1 1
y
y y2 xx B
即两曲线的交点为(0,0),(1,1)
S = S曲边梯形OABC - S曲边梯形OABD
返回
(2)∵v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)，
∴在区间[0,1]及[3,4]上的v(t)≥0，
在区间[1,3]上，v(t)≤0.
∴在t＝4 s时的路程为
1
3
4
s＝0(t2－4t＋3)dt－1(t2－4t＋3)dt＋3(t2－4t＋3)dt
＝(13t3－2t2＋3t)|10－(13t3－2t2＋3t)|31＋(13t3－2t2＋3t)|43＝4(m)．
图1.7 3
s 30 60 30 1350
2
二、变力沿直线所作的功
1、恒力作功
由物理学知道，如果物体在作直线运动的过
程中有一个不变的力F 作用在这物体上，且这力
的方向与物体的运动方向一致，那么，在物体移
动了距离 s时，力 F 对物体所作的功为W F s .
2、变力所做的功
问题：物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并
例 2 计算由曲线 y 2x ，直线 y x 4以及 x 轴所
围成的图形的面积.
y 2x
解: 两曲线的交点
y
2x
(0, 0), (8, 4).
y x 4
直线与x轴交点为(4,0)
定积分经济学应用
定积分经济学应用
定积分是微积分的一个重要分支，它在经济学中有广泛的应用。
下面将从不同的角度来阐述定积分在经济学中的应用。
一、利润和成本的计算
在商业经济学中，利润和成本是企业最为关注的指标。
通过定积分，可以精确地计算企业的利润和成本。
例如，利润可以用销售额减去成本来计算，而成本中的各项费用可以通过定积分来计算。
这样，企业就可以更加准确地了解自己的利润和成本情况，从而做出更好的经营决策。
二、消费者剩余的测算
在市场经济中，商品的价格由供需关系决定。
为了衡量市场价格的合理性，经济学家引入了消费者剩余这一概念。
消费者剩余是指消费者愿意为某种商品支付的最高价格与实际支付的价格之差。
通过定积分的计算，可以精确地测算消费者剩余的大小，进而了解市场经济的运行情况，为政策制定和市场规划提供参考。
三、市场需求的计算
市场需求是指所有购买该商品的消费者的数量总和。
定积分常常用于计算市场需求，这能够帮助企业预测未来市场的走势以及生产规模。
除此之外，市场需求的计算还可以帮助政府了解市场需求量的大小，从而决定政策的制定方向。
四、投资决策的分析
在投资决策中，经济学家需要对不同投资方案的收益率进行计算。
通过定积分，可以计算出不同时期内各种投资方案的收益率，并选择其中最优的投资方案。
这样，企业就可以获得更大的收益。
总而言之，定积分在经济学中有着广泛的应用。
其中，利润和成本的计算、消费者剩余的测算、市场需求的计算以及投资决策的分析都是常见的应用。
这些应用帮助企业和政府更好地了解市场经济的运行情况，从而做出更加合理的决策。
试论定积分在物理及其他领域的应用
试论定积分在物理及其他领域的应用定积分是微积分中的一个重要概念，它在物理及其他领域中有着广泛的应用。
在物理学中，定积分的应用可以帮助我们解决各种复杂的实际问题，比如计算物体的质心、计算密度分布的质量、计算电场与磁场的功率等。
在其他领域，定积分也被广泛应用于各种领域，比如经济学、生物学和工程学等。
本文将就定积分在物理及其他领域的应用进行更详细的探讨。
一、定积分在物理学中的应用1. 计算物体的质心物理学中，质心是一个非常重要的概念，它表示一个物体整体的平均位置。
利用定积分的方法，我们可以求得任意形状的物体的质心。
一个均匀细杆，利用定积分可以轻松求得其质心位置。
这对于工程设计或者物体平衡问题都具有重要的意义。
2. 计算密度分布的质量在物理学中，经常需要根据密度分布来计算物体的质量。
利用定积分，我们可以求得密度分布在空间中的质量总量。
这在研究天体物理学或者地球物理学等方面有着非常重要的应用。
3. 计算电场与磁场的功率在电磁学中，电场与磁场的功率计算经常需要用到定积分。
当分布的电荷或者电流密度不均匀时，可以利用定积分来计算电场与磁场的功率。
这对于电路设计或者电动机性能分析等方面都具有着非常重要的应用。
二、定积分在其他领域的应用1. 宏观经济学在宏观经济学中，定积分可以用来描述生产总值、就业率、通货膨胀率等经济指标的变化趋势。
通过对这些指标的定积分分析，可以更好地理解宏观经济运行的规律性，并为制定经济政策提供依据。
2. 生物学在生物学领域，定积分可以被应用于描述生物体内各种物质的浓度变化趋势，比如代谢产物在细胞内的扩散过程等。
定积分也可以用来描述生物体的生长规律以及种群数量的动态变化过程。
3. 工程学在工程学中，定积分是一个非常重要的工具，可以用来计算工程设计中各种复杂形状的物体的体积、质量、重心位置等物理量。
在建筑工程中，可以利用定积分来计算建筑结构的重心位置，以便施工和设计过程中的平衡和稳定性分析。
以上只是定积分在物理及其他领域中部分应用的介绍。
定积分计算及其应用
定积分计算及其应用
一、定积分计算
1、图像法：通过图像来计算定积分，一般会将被定积函数的图像在
其中一区间内分割成许多小矩形，每一小矩形的面积就是定积分的值，然
后通过将多个小矩形的面积加和=求出定积分。
2、定积分计算公式：定积分是由定积分计算公式来计算的，定积分
公式结构为：∫a b f(x) dx，它代表的是从a到b的定积分，f(x)是定
积函数，dx是微元。
二、定积分应用
定积分的应用范围广泛，主要有三个方面：
1、地理学：定积分在地理学中有着广泛的应用，可以用定积分计算
地理曲线下面积、地球表面圆锥曲线的一定高度投影的面积等等。
2、力学、物理学：定积分在力学、物理学等学科中有着重要的应用，可以用定积分来计算绳、杆、轴旋转运动的角动量，以及各种复杂力场的
重力矩等等。
3、经济学：在经济学中，定积分可以用来求解复杂的经济关系，如
决定消费者及生产者福利的函数关系。
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定积分的应用————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：浅谈定积分的应用**** ****（天津商业大学经济学院，中国天津 300134)摘要：定积分在我们日常生活和学习中有很多的用处，本文阐述了定积分的定义和几何意义，并通过举例分析了定积分在高等数学、物理学、经济学等领域的应用条件及其应用场合，通过分析可以看出利用定积分求解一些实际问题是非常方便及其准确的。
关键词 定积分 定积分的应用 求旋转体体积 变力做功The Application of Definite Integral**** ****(Tianjin University of Commerce ，Tianjin ，300134，China)Abstract:Definite integral in our daily life and learning have a lot of use, this paper expounds the definition of defi nite integral and geometric meaning, and through the example analysis of the definite integral in the higher mathe matics, physics, economics, and other fields of application condition and its applications, through the analysis can be seen that the use of definite integral to solve some practical problems is very convenient and accurate. Keywords: definite integral, the application of definite integral, strives for the body of revolution, volume change forces work0、前言众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。
一元函数情况下，求微分实际上是求一个已知函数的导数，而积分是已知一个函数的导数，求原函数，所以，微分与积分互为逆运算。
在我们日常生活当中，定积分的应用是十分广泛的。
定积分作为人类智慧最伟大的成就之一，既可以作为基础学科来研究，也可以作为一个解决问题的方法来使用。
微积分是与应用联系着并发展起来的。
定积分渗透到我们生活中的方方面面，推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。
并在这些学科中有越来越广泛的应用，微积分是一门历史悠久而又不断发展进步的学科，历史上许多著名的数学家把毕生的心血投入到微积分的研究中，从生产实际的角度上看，应用又是重中之重，随着数学的不断前进，微积分的应用也呈现前所未有的发展[1-5]。
本文将举例介绍定积分在的我们日常学习和生活当中的应用。
1定积分的基本定理和几何意义1.1、定积分的定义定积分就是求函数)(x f 在区间[]b a ,中图线下包围的面积。
即由0=y ，a x =，b x =,()x f y =所围成图形的面积。
定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。
把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。
这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式，它的内容是：如果)(x f 是[]b a ,上的连续函数，并且有())('x f X F =，那么()()()1)( a F b F dx x f ba-=⎰用文字表述为：一个定积分式的值，就是原函数在上限的值与原函数在下限的值的差。
正因为这个理论，揭示了积分与黎曼积分本质的联系，可见其在微积分学以至更高等的数学上的重要地位，因此，牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理。
1.2、定积分的几何意义()⎰b adx x f 2)(当0)(>x f 时，⎰badx x f )(是曲边梯形的面积如图1a 所示；当()b x a x f ≤≤≤0)(时，⎰b adx x f )(是曲边梯形的面积的负值1b 所示；（a ）0)(>x f (b) ()b x a x f ≤≤≤0)(图1定积分的几何意义图示2定积分的应用1，解决求曲边图形的面积问题例：求由抛物线x y 42=与直线42-=x y 围成的平面图形D 的面积S 。
2，求变速直线运动的路程做变速直线运动的物体经过的路程s ，等于其速度函数()t v v =，()()0v ≥t 在时间区间[]b a ,上的定积分。
3，变力做功某物体在变力()x F F =的作用下，在位移区间[]b a ,上做的功等于()x F F =在[]b a ,上的定积分。
3定积分的应用举例3.1、平面图形的面积3.1.1、直角坐标系下平面图形的面积(1)X －型与Y －型平面图形的面积把由直线a x =，b x =，b a <及两条连续曲线()x f y 1=，()x f y 2=，()()x f x f 21<所围成的平面图形称为X －型图形如图2a ；把由直线c y =，d y =d c <及两条连续曲线x=g1(y)，x=g2(y)(g1(y)≤g2(y))所围成的平面图形称为Y －型图形。
如图2b（a ）X －型图形 (b) Y －型图形图2平面图形的面积注意：构成图形的两条直线，有时也可能蜕化为点。
把X －型图形称为X －型双曲边梯形，把Y －型图形称为Y －型双曲边梯形。
１）用微元法分析X －型平面图形的面积取横坐标x 为积分变量，[]b a x ,∈。
在区间[]b a ,上任取一微段[]dx x x +,，该微段上的图形的面积dA 可以用高为()()x f x f 12-、底为dx 的矩形的面积近似代替。
因此()()[]()3dx f -x f dA 12 x =从而()4.)]()([A 12 ⎰-=ba dx x f x f２）微元法分析Y －型图形的面积 ()5.)]()([A 12 ⎰-=dc dy y g y g对于非X －型、非Y －型平面图形，我们可以进行适当的分割，划分成若干个X －型图形和Y －型图形，然后利用前面介绍的方法去求面积。
例1求由两条抛物线x y =2，2x y =所围成图形的面积A 。
如图4所示。
图4解解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==,,22x y x y 得交点(0，0)，(1，1)。
将该平面图形视为X －型图形，确定积分变量为x ，积分区间为[0，1]。
由公式(5)，所求图形的面积为 1 0 31 0 23132)(A 23x x dx x x -=-=⎰=31。
例2 求由曲线x y 22=与直线22+-=x y 所围成图形的面积A 。
如图5所示图5解解方程组⎩⎨⎧+-==,22 ,22x y x y 得交点(21，1)，(2，－2)。
积分变量选择y ，积分区间为[－2，1]。
所求图形的面积为12- 31 2- 22]6141[]21)211[(A y y y dy y y ⎰--=--==49。
3.1.2、极坐标系中曲边扇形的面积在极坐标系中，称由连续曲线()θr r =及两条射线αθ=，βθ=，βα<所围成的平面图形为曲边扇形。
在[]βα,上任取一微段[]θθθd =,，面积微元dA 表示这个角内的小曲边扇形面积，()[]()6 2d r 21=dA θθ所以()⎰=βαθθ 27)]([21 d r A 。
例3求心形线()θcos 1+=a r ，0>a 所围成图形的积A 。
如图6所示。
图6解因为心形线对称于极轴，所以所求图形的面积A 是极轴上方图形A1的两倍。
极轴上方部分所对应的极角变化范围为[]πθ,0∈，由公式(7)，所求图形的面积为⎰⨯=βαθθ 2)]([212A d r =⎰⎰++=+ππθθθθθ 022 02)cos cos 21()]cos 1([d a d a=)2223|2sin 41sin 223a a πθθθπ=++ ⎝⎛。
3.2、空间立体的体积3.2.1一般情形设有一立体，它夹在垂直于x 轴的两个平面a x =，b x =之间(包括只与平面交于一点的情况)，其中b a <，如图所示。
如果用任意垂直于x 轴的平面去截它，所得的截交面面积A 可得为()x A A =，则用微元法可以得到立体的体积V 的计算公式。
过微段[]dx x x +,两端作垂直于x 轴的平面，截得立体一微片，对应体积微元()dx x A dV =。
因此立体体积，如图7所示。
图7空间立体的体积().8)( V ⎰=badx x A例4经过一如图8所示的椭圆柱体的底面的短轴、与底面交成角α的一平面，可截得圆柱体一块楔形块，求此楔形块的体积V 。
如图8所示。
图8解：据图8，椭圆方程为164422=+y x 。
过任意[]2,2-∈x 处作垂直于x 轴的平面，与楔形块截交面为图示直角三角形，其面积为()αααtan 4132tan .21tan .2122⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-===x y y y x A ()αtan x -482=应用公式(8)V=⎰--222)4(tan 8dx x α=16tan α⎰-22)4(dx x =3256tan α。
3.2.2、旋转体的体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内的一条直线l 旋转一周而成的空间立体，其中直线l 称为该旋转体的旋转轴。
把X －型图形的单曲边梯形绕x 旋转得到旋转体，则公式(4)中的截面面积()x A 是很容易得到的。
如:9、10，设曲边方程为()x f y =，[]b a x ,∈()b a <，旋转体体积记作()x V 。
图9旋转体绕Y 轴旋转的的体积图10旋转体绕X 轴旋转的的体积过任意[]b a x ,∈处作垂直于x 轴的截面，所得截面是半径为()x f 的圆，因此截面面积()()2x f x A π=。
应用公式(8)，即得()()⎰=badx x f x V 29)]([ π类似可得Y －型图形的单曲边梯形绕y 轴旋转得到的旋转体的体积()y V 计算公式()()10)]([ 2 ⎰=dcdy y g y V π其中的()y g x =是曲边方程，c ，d(c<d)为曲边梯形的上下界。
例5求曲线y=sinx(0≤x ≤π)绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积Vx 。