定积分的简单应用(6)
例谈定积分的应用
例谈定积分的应用
定积分是利用积分技术来搭建企业系统的一种服务方式，通过定积分，企业可以解决营销，客户追踪，价格管理，订单跟踪等问题，让企业
既有资源利用效率，又能惠及消费者。
一、定积分的应用
1、促销活动：利用定积分可以创建各种丰富多彩的促销活动，满减、
团购、买赠、金币锁定等，激励消费者购买和积累积分。
2、客户管理：定积分能够建立细致复杂的客户档案，包括客户经理内容，购买次数，消费金额，积分余额等，更好地进行客户管理。
3、价格管理：通过定积分，可以根据不同客户的特征，设置特定的价格，比如会员价，大客户价等，更好地提高定价精确度和竞争力。
4、订单追踪：定积分的订单追踪系统可以记录客户的订单信息，有利
于企业更好地追溯客户信息以及及时为客户提供优质服务。
二、定积分的优势
1、可靠性：定积分系统可以提供可靠性能，降低前端和后端系统出现
的异常和故障，防止客户和企业受到损害。
2、安全性：定积分的安全性也得到有效保障，内部数据交换完全采用
加密技术，保证信息不受外部干涉。
3、兼容性：定积分具有可行性和兼容性，它可以按照各种不同环境定
制与企业系统相协调的服务，能够提供企业最适合的解决方案。
4、易用性：定积分使用界面简洁明了，业务流程简单可靠，容易上手，操作简单易懂，为客户提供更贴心的服务。
三、总结
定积分的引入为企业的经营活动带来了更多的便利，有效提高了企业
的经营效率，也让消费者能够从消费上受到更多的好处。
由此可见，
定积分不仅是企业的一种低成本的服务方式，也是一个更加有效的、
更加充分的消费积分服务体系，为企业和消费者都更好地搭建企业系统。
定积分求平面图形面积在实际生活中的应用
定积分求平面图形面积在实际生活中的应用把复杂的积分问题求解出来就可以计算出平面图形的面积，在实际生活中也可以看到它的很多应用。
其中有一类是涉及设计的，比如建筑设计中的空间分配、土地开发等；另一类是分析的，比如海洋表面的波浪分析等。
1、建筑设计建筑设计中，定积分可以用来求解空间分配问题。
比如，在房屋设计中，它可以用来确定楼层、楼梯、墙壁、门窗等占用了多少面积。
此外，它还可以用来求解不规则房间布局时，室外墙体和室内墙体的面积分配。
同样，在土地开发中也可以看到定积分的应用，如计算出道路两端的封闭区域面积，以及计算建筑的总面积。
定积分也可以帮助规划者精确计算出规划区域的面积，从而更好地管理规划区域的开发。
2、海洋表面的波浪分析定积分也可以用来求解海洋表面的波浪。
水波的主要性质是在洋流中运动，它的变化符合泊松方程，这是一个带积分的方程，可以用定积分来求解。
这种波浪分析可以更好地解释海洋表面的复杂性，进而指导航管理者和建筑者采取更安全有效的导航措施。
此外，在海岸线上，可以使用定积分来计算海岸线内各子区域的面积，以及海岸线及其各个部分的面积，为海洋管理者提供有形的参考数据。
3、农业此外，定积分在农业中也有非常广泛的应用。
比如，在种植作物时，可以使用定积分来计算出作物地的面积，以及需要灌溉地区的面积；在研究农田开发时，可以利用定积分来计算出耕作面积。
通过计算出具体的面积数据，可以更好地规划农田的分布和种植规模，从而节约农业资源，提高农作物的产量。
总结定积分是一种有用的数学技术，可以把复杂的数学问题转化成计算机可计算的简单形式，在计算平面图形面积上表现出很强的优势。
它在实际生活中有很多应用，比如建筑设计、土地开发、海洋洋面波浪分析，以及农业规划等。
定积分∫abxf(x)dx计算的简化及应用
定积分∫abxf(x)dx计算的简化及应用
积分∫abxf(x)dx，即指求定积分，定义为把一个函数在一个间隔上积分，及从某一点零点到另一点b点的函数f(x)的积分，称为”定积分”标志符
号为∫abxf(x)dx，下面就定积分∫abxf(x)dx计算的简化及应用来进行分析：
一、简化原理
1. 将复杂的积分计算简化为较简单的积分：若函数f(x)可以分解成多项式，则可以用定积分的拉格朗日变量和和差分分解公式以及多项式的
积分公式进行任意阶次的整式的简单的积分计算。
2. 将被积函数拆分为若干小的字函数：可以将被积函数拆分成若干小
的字函数，从而将定积分的计算过程简化，从而进行计算。
3. 应用变形法：可以使用变形法将被积函数转化到一种熟悉的形式，
从而简化定积分的计算过程。
二、应用领域
1. 经济学领域：定积分在经济学领域有着广泛的应用，如影响经济增
长的投资规模的计算等。
2. 数理统计学领域：定积分在数理统计学领域也有着广泛的应用，如
利用极限求解一定条件下的样本空间的充分必要性条件等。
3. 物理学领域：定积分在物理学领域有着广泛的应用，如用于估算电力，流体力学等方面。
4. 工程学领域：定积分主要用于解决土木工程、机械工程、材料工程、电子信息工程、给水排水工程、交通运输工程、自动控制工程、机电
一体化工程和节能工程等方面的问题。
总之，定积分的计算有一系列的简化原理及使用领域，可以极大地简
化计算过程，在经济学、数理统计学、物理学、工程学等领域都有着
重要的应用，因此，熟悉定积分∫abxf(x)dx计算的简化及其应用非常重要。
定积分在物理上的简单应用
v /m/s
30
A
B
20
10
C t/s
oห้องสมุดไป่ตู้
10
20 30
40 50
60
图1.7 3
S 3tdt 30dt 1.5t 90dt
3 2 40 3 2 t 30t 10 t 90t 1350m. 2 0 4 40
10 60
答 汽车在这1min 行驶的路程是 1350m.
• 法二：由定积分的几何意义，直观的可以得出路程 即为如图所示的梯形的面积，即
30 60 s 30 1350 2
练习: 1. 物体以速度 v(t ) 3t 2 2t 3 (m/s) 作直线运动 , 它 在时刻 t 0 (s)到 t 3 (s)这段时间内的位移是( )m (A)9 (B)18 (C)27 (D)36
1.7.2 定积分在物理中的应用
1、变速直线运动的路程
设做变速直线运动的物体运动的速度v=v(t)≥0， 则此物体在时间区间[a, b]内运动的距离s为
s v(t )dt
a
b
v
v v(t )
O
a
b
t
v /m/s
例: 一辆汽车的 速 度 时间曲 线 如图 1.7 3所示.求汽车在 这1min 行驶的路程 .
30
A
B
20
10
C t/s
o
10
20 30
40 50
60
图1.7 3
解 由速度 时间曲线可知 : 3t , 0 t 10 ; 10 t 40; vt 30 , 1.5t 90, 40 t 60. 因此汽车在这 1min 行驶的路 程是 :
定积分在几何,物理学中的简单应用
定积分在几何,物理学中的简单应用
定积分是一种常见的数学工具，用来解决许多几何和物理问题。
它可以在几何学、物理学中解决积分、面积和容积计算题中应用。
首先，定积分在几何学中的简单应用。
比如，如果我们要计算一个几何图形的面积，则可以通过定积分来计算。
它可以计算任意形状的几何图形的面积，比如三角形、椭圆、圆形等。
它的应用范围非常广泛，比如可以用它来计算面积、周长、体积等。
其次，定积分也可以用在物理学中。
比如，如果我们要计算一个物体在多次不同力作用之下移动的路程，可以用定积分来计算。
它可以帮助我们精确地计算物体受力作用前后的距离，也可以帮助我们精确计算弹性作用力等。
最后，定积分也可以应用于物理学的温度问题中。
比如，我们可以通过定积分求出一个物体在单位温差下的热量传递，也可以求出一个物体的总热量。
还可以用它求解温度场、热传导率、热导率等问题。
以上是定积分在几何、物理学中的简单应用。
定积分是一种通用而有效的数学工具，在几何、物理学中都有着广泛的应用，不仅可以用来解决相关的面积、容积计算题，而且还可以用来解决物理热力学、温度等问题。
只要我们掌握它的基本使用方法以及它的一些特性和用途，就可以在几何、物理学中更好地应用它来解决其它问题。
- 1 -。
定积分的计算与应用
定积分的计算与应用定积分是微积分的重要概念之一，用于计算曲线下的面积、质量、体积等问题。
本文将介绍定积分的计算方法和应用场景。
一、定积分的计算方法定积分的计算基于微积分中的积分运算，可以通过以下方法进行计算：1. 几何解释法：定积分可以视为曲线下的面积，因此可以利用几何图形的面积公式进行计算。
将曲线下的区域分割成无数个小矩形，并求取它们的面积之和，即可得到定积分的近似值。
通过增加小矩形的个数，可以不断提高计算精度。
2. 集合解释法：定积分可以被视为一组数的和，其中这组数是将函数值与对应的间隔长度相乘而得到的。
通过将曲线下的区域分割成若干个小区间，并计算每个小区间内的函数值与对应的间隔长度的乘积，再将这些乘积进行加和，即可得到定积分的近似值。
3. 牛顿-莱布尼茨公式：对于可微函数，可以使用牛顿-莱布尼茨公式进行定积分的计算。
该公式表达了函数的原函数（即不定积分）与定积分之间的关系。
通过求取函数的原函数，并在积分的上下限处进行代入计算，即可得到定积分的准确值。
二、定积分的应用场景定积分在物理学、经济学、工程学等领域都有广泛的应用。
以下将介绍一些常见的应用场景：1. 面积计算：最简单的应用是计算平面图形的面积。
通过确定曲线的方程以及积分的上下限，可以计算出曲线所围成区域的面积。
2. 质量计算：如果将曲线下的区域视为物体的密度分布，则可以利用定积分计算物体的质量。
通过将物体分割成无数个小区域，并计算每个小区域内的密度值与对应的区域面积的乘积，再将这些乘积进行加和，即可得到物体的总质量。
3. 体积计算：类似质量计算，定积分可以被用于计算三维物体的体积。
通过将物体分割成无数个小体积，并计算每个小体积的大小，再将这些体积进行加和，即可得到物体的总体积。
4. 概率计算：在概率论中，定积分可以用于计算随机变量的概率密度函数下的概率。
通过计算概率密度函数在某个区间上的定积分，可以得到该区间内事件发生的概率。
5. 积累量计算：定积分还可以用于计算积累量，例如距离、速度、加速度等。
定积分的简单应用
§1.7定积分的简单应用 校对人：聂格娇 审核人：刘励钧1．理解定积分概念和性质的基础上熟练掌握定积分的计算方法；2．掌握在平面直角坐标系下用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积，会解决简单的物理问题.5659复习1：利用定积分求平面图形面积时，可分成几个步骤？复习2：计算抛物线22y x =与直线4y x =-所围成的图形面积.二、新课导学※ 学习探究探究任务一：定积分在几何中的应用问题： 如何求曲边图形的面积?新知：1.当()f x 在[,]a b 上有正有负时，则|()|ba A f x dx =⎰ 2.平面图形是由两条曲线1()y f x =，2()y g x =，[,]x ab ∈及直线,x a x b ==所围成且()()f x g x >.其面积都可以用公式[()()]ba A f x g x dx =-⎰求之. 3.当介于两条曲线1()y f x =，2()y g x =，[,]x ab ∈和两条直线,y a y b ==之间的平面图形的面积公式为：[()()]ba A f x g x dx =-⎰试试：求正弦曲线3sin ,[0,]2y x x π=∈和直线32x π=及x 轴所围成的平面图形的面积.反思：求定积分就是求曲边梯形的面积.※典型例题例1 计算由曲线2y x=，2y x=所围图形的面积S.变式：计算由直线4y x=-，曲线y x轴所围图形的面积S.小结：在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限.例2 一辆汽车的速度—时间函数关系为：3,(010)()30,(1040)1.590,(4060)t tv t tt t≤≤⎧⎪=≤≤⎨⎪-+≤≤⎩求汽车在这60秒行驶的路程.变式：在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置l m处，求克服弹力所作的功.※ 动手试试练1. 计算由x y e =，y e =，0x =所围图形的面积.练2. 一物体沿直线以23v t =+（t 的单位：s ，v 的单位：/m s )的速度运动，求该物体在35s 间行进的路程.三、总结提升※ 学习小结1. 会应用定积分求比较复杂的平面图形的面积、求变速直线运动物体的路程以及求变力所作的功等.2. 在解决问题的过程中，能过数形结合的思想方法，加深对定积分几何意义的理解.※ 知识拓展 F 与缩短的距离l 按胡克定律F kl =计算.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 若()y f x =与()y g x =是[,]a b 上的两条光滑曲线的方程则由这两条曲线及直线,x a x b ==所围成的平面区域的面积为（ ）A ．[()()]b a f x g x dx -⎰B ．[()()]ba g x f x dx -⎰ C ．|()()|b a f x g x dx -⎰ D ．|()()|b af xg x dx -⎰2. 已知自由下落物体的速度为v gt =，则物体从0t =到0t t =所走过的路程为（ ）A ．2013gtB ．20gtC ．2012gtD ．2014gt 3. 曲线3cos (0)2y x x π=≤≤与坐标轴所围图形的面积是（ ） A ．2 B ．3 C ．52D ．4 4.一物体在力()34F x x =+（单位：N ）的作用下，沿着与力相同的方向从0x =处运动到4x =处（单位：）则力()F x 所作的功为5. 弹簧所受的压缩力F 与缩短的距离l 按胡克定律F kl =计算. 如果10N 的力能使弹簧压缩1 cm ，那么把弹簧从平衡位置压缩10 cm （在弹性限度内）做功为1. 求下列曲线所围成图形的面积：（1）3cos ,,,022y x x x y ππ====; （2）29,7y x y x =-=+.2. 一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度55()51v t t t=--+（单位：/m s ）紧急刹车至停止.求（1）从开始紧急刹车至火车完全停止所经过的时间；（2）紧急刹车后火车运行的速度.。
定积分的计算及应用
定积分的计算及应用一、定积分的概念设函数f（x）在[a，b]上有界，在[a，b]中任意插入若干个分点，把区间[a，b]分成n个小区间，当区间的长度趋于零时，和S总趋于确定的极限I，这时我们称这个极限I为函数在区间[a，b]上的定积分，记作∫baf（x）dx，即∫baf（x）dx=I=limλ→0∑ni=1f（ξi）·Δxi.二、定积分的意义（一）几何意义设y=f（x）≥0且在[a，b]上连续，若f（x）为曲线，则∫baf（x）dx表示[a，b]上曲边梯形的面积.（二）物理意义设y=f（x）≥0且在[a，b]上连续，若f（x）为速度，则∫baf（x）dx表示[a，b]上变速运动的路程.三、定积分概念的应用及推广1.可以把积分区间[a，b]推广到无限区间上，如[a，+∞）等，或者，函数推广到无界函数，也就是广义积分.2.可以把积分区间[a，b]推广到一个平面区域，被积函数为二元函数，那么积分就是二重积分;同样当被积函数成为三元函数、积分区域变成空间区域时就是三重积分.（一）积分的计算方法定义法：定积分的定义法计算是运用极限的思想，简单地说就是分割求和取极限.任意分割任意取值所计算出的i值如果全部相同的话，则定积分存在.第一步：分割.将区间[a，b]分成n个小区间，一般情况下采取等分的形式.h=b-an，那么分割点的坐标为（a，0），（a+h，0），（a+2h，0），…，（a+（n-1）h，0），（b，0），ξk在[xk-1，xk]任意選取，但是我们在做题过程中会选取特殊的ξk，即左端点，右端点或者中点.经过分割将曲边梯形分成n个小曲边梯形.我们近似的看作是n个小长方形.第二步：求和.计算n个小长方形的面积之和，也就是∑nk=1f（ξk）h.第三步：取极限I=limh→0∑nk=1f（ξk）h=hlimh→0∑nk=1f（ξk），h→0即n→∞，也就是说分的越细，那么小曲边梯形就越接近小长方形，当n趋于无穷之时，小曲边梯形也就是小长方形，那么小长方形的面积和即为曲边梯形的面积，也就是定积分的积分值.（二）牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式很好地把定积分与不定积分联系在一起.利用此公式，可以根据不定积分的计算计算出定积分.这个公式要求函数在区间内必须连续.求连续函数的定积分只需求出的一个原函数，再按照公式计算即可.定理若函数f（x）在区间[a，b]连续，且F（x）是f（x）的原函数，则∫baf（x）dx=F（b）-F（a）.例1 用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分∫10xdx.解原式=12x210=12.总结：我们知道，不定积分与定积分是互不相关的，独立的.但是在连续的条件下，微积分基本定理把这两个互不相关的概念联系起来，这是数学分析的卓越成果，有着重大的意义.同样的一道题目，用牛顿-莱布尼茨公式明显比定义法简单.四、定积分的换元积分法应用牛顿-莱布尼茨公式求定积分，首先求被积函数的原函数，其次再按公式计算.一般情况下，把这两步截然分开是比较麻烦的，换元积分法解决了这一问题.例2 求定积分∫21lnxdx.解∫21lnxdx=xlnx“21-∫21xdlnx=2ln2-0-x|21=2ln2-1.：因为u（x），v（x）在[a，b]有连续导函数，并且u（x）易求微分，v（x）容易被计算出来时用分部积分法比较简单.五、定积分在数学中的应用（一）概率问题例3 在区间[-1，1]上任取两数a，b，求方程有两个正根的概率.解由题意，样本空间Ω={（a，b）|-1≤a≤1，-1≤b≤1}表示边长为2的正方形区域，面积SΩ=4.要使方程两根均正，需Δ=4a2-4b≥0，x1+x2=2a0，x1x2=b0，即a2≥b，a0，b0.记方程有两正根为事件A，它对应的区域是由抛物线b=a2，直线a=1和a=0围成的，于是SA=∫10a2da=13.所以P（A）=SASΩ=112.：用定积分求概率问题更多是把问题分为样本空间区域求其覆盖面积，并且找到所求事件的空间区域求其面积，从而求出题目所要求的概率问题，运用了最基本的方法来运用到较复杂问题上.。
初中数学知识归纳定积分的计算和应用
初中数学知识归纳定积分的计算和应用初中数学知识归纳——定积分的计算和应用定积分是数学中重要的概念之一，具体来说，它是用来计算曲线与x轴之间的面积的。
在初中数学中，我们通常不会涉及具体的计算过程，但是了解其基本原理和应用是十分重要的。
下面将介绍定积分的计算方法和应用。
一、定积分的计算方法1. 几何意义定积分的计算可以理解为曲线与x轴之间的面积计算。
对于一个函数f(x)，我们可以通过定积分来计算函数在区间[a, b]上的点与x轴之间的面积。
具体而言，这个面积可以被分成许多矩形的和，每一个矩形的高度为f(x)，宽度为dx。
当我们将这些矩形的面积相加，并让dx无限接近于0时，我们就可以得到一个近似的结果。
通过极限的推导，我们可以得到定积分的计算公式：∫[a, b] f(x)dx。
2. 基本计算方法在初中数学中，我们主要了解一些基础的函数的定积分计算方法，例如多项式函数、幂函数和三角函数等。
对于多项式函数，我们可以使用基本的求导公式来计算其定积分。
例如，对于函数f(x) = ax^n，其中a和n为常数，我们可以使用公式∫x^n dx = (1/n+1)x^(n+1) + C，其中C为常数，来计算其定积分。
对于幂函数和三角函数，我们可以使用换元法和分部积分法来计算其定积分。
通过合适的变量替换和部分积分，我们可以将原函数转化为更简单的形式，从而进行计算。
3. 数值计算方法在实际问题中，我们常常无法找到函数的原函数，无法直接计算定积分。
这时，我们可以使用数值计算方法来近似计算定积分的值。
常用的数值计算方法有矩形法和梯形法。
矩形法将区间分成若干个小矩形，然后计算这些小矩形的面积之和作为定积分的近似值。
梯形法则是将区间分成若干个梯形，计算这些梯形的面积之和作为定积分的近似值。
随着小矩形或梯形越来越多，近似值也会越来越接近真实值。
二、定积分的应用1. 几何应用定积分的最主要的应用之一就是计算曲线与x轴之间的面积。
例如，我们可以通过定积分来计算椭圆、抛物线和心形线等曲线的面积。
定积分的简单应用
第五讲 定积分的简单应用[知识梳理]［知识盘点］1．定积分在几何中的应用（1）当[,]x a b ∈有()0f x >时，由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =围成的曲边梯形的面积_______________.S =（2）当[,]x a b ∈有()0f x <时，由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =围成的曲边梯形的面积_______________.S =（3）当[,]x a b ∈有()()0f x g x >>时，由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线(),()y f x y g x ==围成的曲边梯形的面积_______________.S =（4）若()f x 是偶函数，则()________aaf x dx -=⎰；若()f x 是奇函数，则()________.aaf x dx -=⎰2．定积分在物理中的应用（1）作变功直线运动的物体在时间区间[,]a b 上所经过的路程__________S =（2）在恒力F 的作用下，物体沿力F 的方向作直线运动，并且由x a =运动到()x b a b =<，则力F 对物体所做的功__________.W =（3）在恒力F 的作用下，物体沿与力F 的方向成α角的方向作直线运动，并且由x a =运动到()x b a b =<，则力F 对物体所做的功__________.W =（4）在变力()F F x =的作用下，物体沿力F 的方向作直线运动，并且由x a =运动到()x b a b =<，则力F 对物体所做的功__________.W =（5）在变力()F F x =的作用下，物体沿与力F 的方向成α角的方向作直线运动，并且由x a =运动到()x b a b =<，则力F 对物体所做的功__________.W =［特别提醒］1．研究定积分在平面几何中的应用，其实质就是全面理解定积分的几何意义，当平面图形的曲边在x 轴上方时，容易转化为定积分求其面积；当平面图形的一部分在x 轴下方时，其在x 轴下的部分对应的定积分为负值，应取其相反数（或绝对值）；2．求含有曲边的平面图形的面积问题时，在平面几何中是很难解决的问题，而定积分为这类问题的求解提供了很好的解决方法，这充分显示了定积分的巨大作用；3．利用定积分解决简单的物理问题，关键是要结合物理学中的相关内容，将物理意义转化为用定积分解决.[基础闯关]1.已知曲线()y f x =在x 轴的下方，则由(),y f x =0,1y x ==-和3x =所围成的曲边梯形的面积S 可表示为( ) A ．31()f x dx -⎰B ．13()f x dx -⎰ C ．13()f x dx -⎰ D ．31()f x dx -⎰2．曲线3cos (0)2y x x π=≤≤与坐标轴围成的面积是 （ ） A.4 B.52C.3D.2 3．若)(x f 与)(x g 是],[b a 上的两条光滑曲线，则由这两条曲线及直线b x a x ==,所围图形的面积( )． A ．⎰-badx x g x f )()( B ．⎰-badx x g x f ))()((C ．⎰-badx x f x g ))()(( D ．⎰-badxx g x f ))()((4．由2y x =与曲线23y x =-所围成的图形的面积为（ ） A． B．9- C ．325 D ．3535．一物体以初速度9.8 6.5/v t m s =+的速度自由下落，则下落后的第二个4s 内所经过的路程为 。
《定积分的简单应用》课件讲解学习
0
[解析] v＝ddxt＝(bt3)′＝3bt2， 媒质阻力F阻＝kv2＝k(3bt2)2＝9kb2t4，其中k为比例常
数，k>0.
当x＝0时，t＝0，当x＝a时，t＝ab13，
ds＝vdt，故阻力做的功为W阻＝
t
kv2·vdt＝k
t
v3dt＝k
t
0
0
0
(3bt2)3dt＝277k3 a7b2.
• [点评] 本题常见的错误是在计算所做的功 时，误将W阻＝∫t10F阻ds写为∫t10F阻dt.
(1)P从原点出发，当t＝6时，求点P离开原点 的路程和位移；
(2)P从原点出发，经过时间t后又返回原点时 的t值．
• [解析] (1)由v(t)＝8t－t2≥0得0≤t≤4， • 即当0≤t≤4时，P点向x轴正方向运动， • 当t>4时，P点向x轴负方向运动． • 故t＝6时，点P离开原点的路程
对于已知运动规律求做功的问题，首先确定其运动速 度，进而由 ds＝vdt 来确定做功的积分式 W＝t Fvdt.
0
6．已知自由落体的速率v＝gt，则落体从t＝ 0到tA＝.13gt0t20所走的路程为B（．gt20 )
C.12gt20
D.16gt20
[答案] C
[解析] 如果变速直线运动的速度为v＝v(t)(v(t)≥0)，
那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程是bv(t)dt， a
∴
＝12gt2t00 ＝12g(t20－0)＝12gt02.故应选C.
7．如果1N能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉 长6cm，所耗费的功为
()
A．0.18J
B．0.26J
C．0.12J
D．0.28J
[答案] A
6.定积分的几何应用
x + dx b
x
小切线段的长 (dx )2 + (dy )2 = 1 + y′ 2 dx
′ 2 dx 弧长 s = 弧长元素 ds = 1 + y 1 + y′ 2 dx . ∫
b a
2 3 例 7 计算曲线 y = x 2 上相应于 x 从 a 到 b 3
的一段弧的长度. 的一段弧的长度
解
∵ y′ = x ,
2 2
的面积.
解 由对称性知总面 积=4倍第一象限 倍第一象限 部分面积
A = 4A1
y= x
ρ 2 = a 2 cos 2θ
1 2 A = 4∫0 a cos2θdθ = a2 . 2
4
π
例 6 求心形线r = a (1 + cos θ )所围平面图形的 面积 (a > 0).
解
dθ
1 2 2 dA= a (1+ cos ) dθ θ 2
2π
的周长. ( 0 ≤ t ≤ 2π) 的周长
s1 = ∫ =∫
0
0
′ 2 dx 1+ y 1 + a 2 cos 2 xdx 1 + a cos xdx ,
2 2
2π
= 2∫
π
0
设椭圆的周长为 s2
s2 =
∫0
π
π
2π
(x ′ )
2
2
+ ( y ′ ) dt ,
2
根据椭圆的对称性知
s2 = 2∫
x = r (θ ) cosθ ∵ y = r (θ ) sinθ
2 2
(α ≤ θ ≤ β )
= r 2 (θ ) + r ′ 2 (θ )dθ , ∴ ds = (dx ) + (dy )
定积分的概念定积分应用
THANKS
谢谢
总结词
定积分在弹性力学中用于计算物体在受力作用下的应力和应变。
详细描述
在弹性力学中，物体在受力作用下的应力和应变可以通过将弹性力学方程与定积分相结合来计算。通过确定物体 的受力分布和边界条件，可以计算出物体的应力和应变。
热传导中的温度分布
总结词
定积分在热传导中用于计算物体内部的温度分布。
详细描述
在热传导问题中，物体内部的温度分布可以通过将热传导方程与定积分相结合来计算。通过确定物体 的热源、边界条件和初始温度分布，可以计算出物体在不同时刻的温度分布。
积分区间
由积分下限和积分上限 确定的闭区间，表示为 $[a, b]$。
定积分的几何意义
定积分表示曲线与直线$y = x$ 及$x$轴所夹的面积，即曲线下
方间的距离。
当定积分的积分区间为$[a, b]$ 时，定积分的值等于曲线与直线 $y = x$及$x$轴所夹的面积在 $x=a$和$x=b$处的面积差。
恒力做功的计算
在物理学中，恒力做功可以直接用力 和位移的乘积来计算。然而，当作用 力是变力时，不能简单地用力和位移 的乘积来计算。
定积分的引入
为了计算变力做功，我们需要引入定 积分的概念。通过将变力函数在位移 区间上进行积分，可以得到变力做功 的值。
04
CHAPTER
定积分在经济学中的应用
边际和弹性
消费者剩余和生产者剩余
消费者剩余
生产者剩余
定积分可用于计算消费者剩余，即消费者愿 意支付的价格与实际支付的价格之间的差额。 通过积分可以求出整个需求曲线下方的面积， 即总消费者剩余。
定积分也可用于计算生产者剩余，即生产者 愿意接受的价格与实际接受的价格之间的差 额。通过积分可以求出整个供给曲线上方的 面积，即总生产者剩余。
用定积分定义求定积分
用定积分定义求定积分定积分是微积分中的重要概念之一，它可以用来计算曲线下的面积、求解物理问题中的总量以及描述变化率等。
本文将通过用定积分定义来解释定积分的概念和应用。
定积分是微积分中的一个概念，它可以被看作是无穷小量的累加。
在数学中，定积分可以通过求和的方式来计算。
具体而言，定积分可以被定义为一个函数在一个区间上的无穷小划分之和的极限。
这个极限就是定积分的值。
为了更好地理解定积分的概念，让我们来考虑一个简单的例子。
假设我们有一个函数f(x)，它在区间[a, b]上连续。
我们想要计算f(x)在该区间上的定积分。
首先，我们将区间[a, b]划分成n个小区间，每个小区间的宽度为Δx。
然后，我们在每个小区间上选择一个点xi，并计算出f(xi)乘以Δx的值。
最后，将所有这些乘积相加，即可得到定积分的近似值。
然而，这个近似值并不是准确的定积分值，因为我们仅仅考虑了有限个小区间。
为了得到准确的定积分值，我们需要让这个小区间的数量趋近于无穷大。
这就是求极限的过程，也是定积分的定义。
用定积分定义求定积分的过程可以用以下公式表示：∫(a→b) f(x)dx = lim(n→∞) Σ[f(xi)Δx]其中，∫表示定积分的符号，a和b表示积分的上下限，f(x)表示被积函数，dx表示自变量的微小变化量，lim表示极限运算，Σ表示求和符号，xi表示每个小区间的中点，Δx表示小区间的宽度，n表示小区间的数量。
通过用定积分定义来求解定积分，我们可以计算曲线下的面积、求解物理问题中的总量以及描述变化率等。
定积分在物理学、经济学、工程学等领域中都有广泛的应用。
例如，在物理学中，我们可以使用定积分来计算物体的质量、速度、加速度以及动能等。
在经济学中，我们可以使用定积分来计算市场的总需求、总供给以及总收益等。
在工程学中，我们可以使用定积分来计算电路的电流、功率以及能量等。
定积分是微积分中的重要概念，它可以通过用定积分定义来计算。
定积分可以用来计算曲线下的面积、求解物理问题中的总量以及描述变化率等。
定积分的计算方法与应用
定积分的计算方法与应用定积分是微积分中的一个重要概念，具有广泛的应用领域。
本文将介绍定积分的计算方法以及它在实际问题中的应用。
一、定积分的计算方法定积分是求解曲线下面的面积或者曲线上某一区间的长度的数学工具。
在计算定积分时，我们可以使用以下方法：1. 几何解法：当曲线形状较简单且易于几何分析时，可以采用几何解法。
例如，计算一个常数函数在给定区间上的定积分，可以直接计算该区间内的矩形面积。
2. 分割求和法：定积分可以通过将曲线分割为若干个小区间，在每个小区间内取样点，并计算每个小区间的面积或长度，再将这些结果求和得到近似解。
随着小区间的数量增加，这种方法的近似解将逐渐接近准确值。
3. 定积分的定义：根据数学定义，定积分可以通过极限求和的方式得到准确解。
该方法需要将曲线分割为无穷多个微小的小区间，并进行求和。
具体的计算步骤可以参照定积分的定义公式。
二、定积分在实际问题中的应用定积分作为一种数学工具，在许多实际问题的求解中起到了重要作用。
以下是一些常见的应用场景：1. 几何应用：定积分可以用于计算曲线下的面积，例如求解两条曲线之间的面积或计算曲线所围成的区域的面积。
这在建筑设计、地理测量等领域中有广泛应用。
2. 物理学应用：定积分可以用于计算物体的质量、质心、转动惯量等物理量。
例如，在力学中，通过计算质点沿某一曲线的运动轨迹所做的功，可以使用定积分求得。
3. 统计学应用：定积分可以应用于计算概率密度函数下的概率。
在统计学中，通过计算概率密度曲线下的面积，可以得到某一区间内事件发生的概率。
4. 经济学应用：定积分可以用于计算经济学中的消费总额、产出总额等指标。
例如，计算某一产品的总销售额可以通过对销售函数进行定积分得到。
5. 工程学应用：定积分可以应用于计算工程中的功耗、能量损失等问题。
例如，计算电路中的功耗可以通过对电流和电压的乘积进行定积分来求解。
在实际问题中，我们可以根据具体情况将问题转化为曲线的面积或长度的计算，然后应用定积分的方法进行求解。
高中数学第四章定积分3定积分的简单应用教材习题点拨北师大版选修2-2
高中数学 第四章 定积分 3 定积分的简单应用教材习题点拨 北师大版选修2-2练习(P 85) 1.解:(1)定积分⎰01e xdx 中,被积函数为y=e x.被积函数的一个原函数为y=e x, 由牛顿—莱布尼茨公式可得⎰01e x dx=ex|1=e 1-e 0=e-1.(2)定积分⎰ππ2cosxdx 中,被积函数为y=cosx.被积函数的一个原函数为y=sinx, 由牛顿—莱布尼茨公式可得⎰ππ2cosxdx=sinx|2ππ=sinπ-sin2π=-1. (3)定积分⎰01x 3dx 中,被积函数为y=x 3.被积函数的一个原函数为y=41x 4, 由牛顿—莱布尼茨公式可得⎰01x 3dx=41x 4|10=41×14-41×04=41.2.解:(1)导函数为y′=(x 2)′=2x,⎰012xdx=x2|1=12-02=1;(2)导函数为y′=(x 2+5)′=2x,⎰012xdx=(x 2+5)|1=(12+5)-(02+5)=1;(3)导函数为y′=(x 2-π)′=2x,⎰012xdx=(x 2-π)|1=(12-π)-(02-π)=1;(4)导函数为y′=(x 2-a)′=2x,⎰012xdx=(x 2-a)|1=(12-a)-(02-a)=1.3.解:(1)定积分⎰01(x 3-1)dx 中,被积函数为y=x 3-1.被积函数的一个原函数为y=41x 4-x,由牛顿—莱布尼茨公式可得⎰01(x 3-1)dx=(41x 4-x)|10=(41×14-1)-(41×04-0)= 43-.(2)定积分⎰24x 1dx 中,被积函数为y=x1. 被积函数的一个原函数为y=ln|x|, 由牛顿—莱布尼兹公式可得⎰24x1dx=ln|x||42=ln4-ln2=ln2. (3)定积分⎰40πx 2cos 1dx 中,被积函数为y=x2cos 1. 被积函数的一个原函数为y=tanx,由牛顿—莱布尼茨公式可得⎰4π0x2cos 1dx=tanx |40π=tan 4π-tan0=1. 习题42(P 85) 1.解:⎰01x e 21dx=21x e 21|10=2121e -21e 0=2121e -21.2.解:⎰01f(x)dx=11+x |10=111+101+-=-21. 3.解:⎰0πf(x)dx=sinxcosx |0π=sinπcosπ-sin0cos0=0.4.解:(1)(sinx)′=cosx,(sinx+2)′=cosx,(sinx+c)′=cosx.(2)⎰2πcosxdx=sinx|20π=sin2π-sin0=1. 5.解:(1)f(x)=1+2x 的一个原函数是F(x)=x+x 2,所以f(x)=1+2x 在区间[0,1]上的定积分为⎰01f(x)dx=⎰01(1+2x)dx=(x+x 2) |1=(1+12)-(0+02)=2.(2)f(x)=3sinx+cosx 的一个原函数是F(x)=-3cosx+sinx,所以f(x)=3sinx+cosx 在区间[0,1]上的定积分为⎰01f(x)dx=⎰01(3sinx+cosx)dx=(-3cosx+sinx)|1=(-3cos1+sin1)-(-3cos0+sin0)=-3cos1+sin1+3.6.解:(1)函数y=2x-7的一个原函数为F(x)=x 2-7x, 所以⎰01(2x-7)dx=(x 2-7x)|1=(12-7×1)-(02-7×0)=-6.(2)函数y=23x +x2的一个原函数为F(x)=x 3-+2ln|x|, 所以⎰12(23x +x2)dx=(x 3-+2ln|x|)|21=(-23+2ln2)-(13-+2ln1)=23+2ln2. (3)函数y=3x的一个原函数为F(x)=3ln 13x,所以,⎰133x dx=(3ln 13x )|31=(3ln 133)-(3ln 131)=3ln 24. (4)函数y=sinx 的一个原函数为F(x)=-cosx, 所以,⎰-ππsinxdx=-cosx |ππ-=(-cosπ)-［-cos(-π)］=0.(5)函数y=lnx 的一个原函数为F(x)=x(lnx-1), 所以,⎰1elnxdx=x(lnx-1)|1e =e(lne-1)-1×(ln1-1)=1. (6)函数y=112+x 的一个原函数为ln(x+12+x ),所以,⎰01112+x dx=ln(x+12+x )|1=ln(1+2)-ln(0+1)=ln(1+2).(7)函数y=x 2-2x+3的一个原函数为F(x)=31x 3-x 2+3x, 所以,⎰01（x 2-2x+3）dx=(31x 3-x 2+3x)|10=(31×13-12+3×1)-(31×03-02+3×0)=231.(8)函数y=（x-1）2=x 2-2x+1的一个原函数为F （x ）=31x 3-x 2+x, 所以,⎰13(x-1)2dx=(31x 3-x 2+x)|31=(31×33-32+3)-(31×13-12+1)=232.(9)函数y=2x+x 2的一个原函数为F(x)=33122ln 1x x +, 所以⎰-11(x 2+2x )dx=(2ln 12x +31x 3)|11-=(2ln 121+31×13)-(2ln 12-1+31×(-1)3)=32ln 23+x . (10)函数y=x 21+x x 的一个原函数为F(x)=21ln|x|+52x 2x, 所以,⎰12(x 21+x x )dx=(21ln|x|+52x 2x )|21=(21ln2+52×222)-(21ln1+52×121)=21ln2+258-52. 7.解:设汽车在5~10 s 这段时间走过的路程为s,则s=⎰510(2t+t+2)dt=［3423t +22t +2t ］|105=10340-3205+295(m). 答:汽车在5~10 s 这段时间走过的路程为10340-3205+295m. 8.解:设弹簧弹力在这一过程中所做的功为W,则W=⎰8.06.0(-0.5x)dx=0.07(焦耳).答:这一过程中弹簧弹力所做的功为0.07焦耳.B 组1.解:⎰-22ππf(x)dx=⎰20πf(x)dx+⎰-2πf(x)dx=⎰20π-sinxdx+⎰-2πxdx=cosx |2π+21x 2|02π=cos 2π-cos0+21×02-21×(-2π)2=-82π-1.思路分析:将区间[-2π,2π]拆分成[0,2π]和[-2π,0],函数f(x)在区间[-2π,2π]的积分等于函数在区间[0,2π]和[-2π,0]的积分之和.2.解:(1)定积分⎰01x 2dx 中,被积函数为y=x 2.被积函数的一个原函数为y=31x 3, 由牛顿—莱布尼茨公式可得⎰01x 2dx=31x 3|10=31×13-31×03=31.用图像表示为: (2)定积分⎰12(x-1)2dx 中,被积函数为y=(x-1)2=x 2-2x+1.被积函数的一个原函数为y=31x 3-x 2+x, 由牛顿—莱布尼茨公式可得⎰12(x 2-2x+1)dx=(31x 3-x 2+x)|21=(31×23-22+2)-(31×13-12+1)=31. 用图像表示为: (3)定积分⎰-10(x+1)2dx 中,被积函数为y=(x+1)2=x 2+2x+1. 被积函数的一个原函数为y=31x 3+x 2+x, 由牛顿—莱布尼茨公式可得⎰-10(x 2+2x+1)dx=(31x 3+x 2+x)|01-=(31×03-02+0)-［31×(-1)3+(-1)2-1］=31. 通过计算可以看出:以上积分的结果相同.从图像中不难看出:三种情况下曲边梯形的面积相等,故积分值相等. 练习(P 88) 1.解:曲线y=x1，直线x=1,x=2以及x 轴围成的平面图形的面积为⎰12x 1dx=ln|x||21=ln2-ln1=ln2.2.解:曲线y=e x 与y 轴的交点为(0,1),曲线y=e x,直线x=1以及x 轴、y 轴围成的平面图形的面积为⎰01e x dx=ex|1=e 1-e 0=e-1.练习(P 90)1.解:直线x=y,直线x=1,x=2围成的平面图形绕x 轴旋转一周得到的圆台体积为⎰12πx 2dx=31πx 3|21=31π×23-31π×13=37π. 2.解:曲线y=1+x x+1,x 轴,y 轴和直线x=1围成的区域绕x 轴旋转一周得到的旋转体的体积为:⎰01π(x+1)dx=(21πx 2+πx)|10|10=(21π×12+π×1)-(21π×02+π×0)=23π.习题43(P 90)1.解:⎩⎨⎧+==,2,2x y x y 解方程组得⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧==1,14,2y x y x 或. 所求平面图形的面积为⎰-12(x+2-x 2)dx=(22x +2x-33x )|21-=8-621.2.解:如图所示:所求的阴影部分的面积分为两部分:一部分是x 轴上方的面积,一部分是x 轴下方的面积.x 轴上方的面积S 1=⎰-22ππcosxdx=sinx|22ππ-=sin2π-sin(-2π)=2, x 轴下方的面积S 1=S 2=2,所求的阴影部分的面积为S=S 1+S 2=2+2=4. 3.解:所求的面积为S=⎰20πsinxdx=-cosx|20π=-cos2π-(-cos0)=1. 4.解:所求的面积为S=⎰12(x+x 1)dx=(21x 2+ln|x|)|21=(21×22+ln2)-( 21×12+ln1)=23+ln2.5.解:所求旋转体的体积为 V=⎰12π(x 1)2dx=-π·x1|21=(-π×21)-(-π×11)=2π. 6.解:所求旋转体的体积为 V=⎰01π(x )2dx=π·21x 2|10=(π×21×12)-(π×21×02)=2π. 7.解:由题意知⎪⎩⎪⎨⎧==xy x y ,2解此方程组得⎩⎨⎧==0,0y x 或⎩⎨⎧==1,1y x .所求平面图形的面积为:⎰01x dx-⎰01x 2dx=32x x|10-31x 3|10=32×1×1-32×0×0-(31×13-31×03)=31.该平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为:⎰01π(x )2dx-⎰01π(x 2)2dx=21πx 2|10-51πx 5|10=21π×12-21π×02-(51π×15-51π×05)=103π. STS浅淡微积分(二)微积分是数学中的基础分支.内容主要包括函数、极限、微分学、积分学及其应用.函数是微积分研究的基本对象,极限是微积分的基本概念,微分和积分是特定过程特定形式的极限.17世纪后半叶,英国数学家I.牛顿和德国数学家G.W.莱布尼茨,总结和发展了几百年间前人的工作,建立了微积分,但他们的出发点是直观的无穷小量,因此尚缺乏严密的理论基础.19世纪,柯西和K.魏尔斯特拉斯把微积分建立在极限理论的基础上;加之19世纪后半叶实数理论的建立,又使极限理论有了严格的理论基础,从而使微积分的基础和思想方法日臻完善.微分学的基本概念是导数.导数是从速度问题和切线问题抽象出来的数学概念.牛顿从苹果下落时越落越快的现象受到启发,希望用数学工具来刻画这一事实.导数作为一个数学工具无论在理论上还是在实际应用中,都起着基础而重要的作用.例如在求极大、极小值问题中的应用.积分学的基本概念是一元函数的不定积分和定积分.主要内容包括积分的性质、计算,以及在理论和实际中的应用.不定积分概念是为解决求导和微分的逆运算而提出来的.。
定积分的简单应用李用
b
a
f
x
g
xd. x
注：
两曲线围成的平面图形的面积的计算 例 1. 计算由两条抛物线 y2 x和 y x2围成图形的面积.
解:作出y2=x,y=x2的图象如图所示:
解方程组
y y
x x2
x
y
00或xy
1 1
y
y y2 xx B
即两曲线的交点为(0,0),(1,1)
S = S曲边梯形OABC - S曲边梯形OABD
返回
(2)∵v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)，
∴在区间[0,1]及[3,4]上的v(t)≥0，
在区间[1,3]上，v(t)≤0.
∴在t＝4 s时的路程为
1
3
4
s＝0(t2－4t＋3)dt－1(t2－4t＋3)dt＋3(t2－4t＋3)dt
＝(13t3－2t2＋3t)|10－(13t3－2t2＋3t)|31＋(13t3－2t2＋3t)|43＝4(m)．
图1.7 3
s 30 60 30 1350
2
二、变力沿直线所作的功
1、恒力作功
由物理学知道，如果物体在作直线运动的过
程中有一个不变的力F 作用在这物体上，且这力
的方向与物体的运动方向一致，那么，在物体移
动了距离 s时，力 F 对物体所作的功为W F s .
2、变力所做的功
问题：物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并
例 2 计算由曲线 y 2x ，直线 y x 4以及 x 轴所
围成的图形的面积.
y 2x
解: 两曲线的交点
y
2x
(0, 0), (8, 4).
y x 4
直线与x轴交点为(4,0)
【高考数学】定积分的概念、基本定理及其简单应用6
2
x, g x x , f x g x dx
3
x dx
0 ，则是正交函数，
1
1
综上，正交函数的组数为 2 ，故选 C.
【方法点睛】本题考查定积分的运算及新定义问题，属于难题
.新定义题型的特点是：
通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，
要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信
2
9．设 f ( x)
，则 f ( x)dx 等于 (
)
2 x, x (1,2]
0
3
A．
4
4
B．
5
5
C．
6
D． 0
【答案】 A
【解析】
【分析】
原积分化为
2
f（ x）dx=
1
1
1
2
x2 dx+ （2﹣ x）dx，根据定积分的计算法则计算即可
0
0
1
试卷第 5 页，总 67 页
【详解】
2
f （x）dx=
cos xdx sin t 1 ，其中
t。
2
2
2
函数 S g(t ) sin t 1的图象是将正弦函数的图象向上平移一个单位。
故选 B。 【点睛】 本题考查定积分、正弦函数的图象及函数图象的平移等知识。考查学生的运算能力、转 化能力。不规则图形面积的求解，应用定积分来求解。
1 1 x2 , x [0,1]
ABCD A1B1C1D1 的棱长为 1，如图所示，根
）
试卷第 2 页，总 67 页
8 A．
3 【答案】 B
16
B．
定积分的求解方法及其应用
定积分的求解方法及其应用摘要：在数学分析这门课程里,定积分是最普遍而又重要的内容之一,同时也是数学研究中的重要工具,随着数学在生活中的广泛应用,定积分的相关解法和应用所蕴藏的巨大潜力越来越引起人们的关注.本论文从定积分的基本理论出发,系统阐述了牛顿莱布尼茨公式、换元法、分部积分法、凑微分法等几种常见的求解方法,并列举了相关的例子,更直观的了解求解定积分的方法的精髓.另外本文又介绍了定积分在数学、物理学和经济学当中的应用,实现了定积分在实际生活中的应用.通过这一系列的总结,可以进一步提升对定积分的认识,为以后的学习奠定了基础.关键词：定积分；求解方法；应用一、定积分的求解方法1.1 定积分概念定义1 不妨设在闭区间[m ,n ]中，不包含两个端点，共有1-k 个点,按照大小分别为m =0x <1x <2x <…<1-k x <k x =n ,这些点将闭区间[m ,n ]分割为大小不一的子区间，共有k 个，用i ∆表示这些子区间，即i ∆=[1-i x ,i x ],i =1,2, …,k 。
可以将k x x x ......,10点或[]n i xi x i i ......12,,1==∆-子区间视为分割了闭区间[m ,n ]，令集合=A {0x ,1x ,…,k x }或{1∆,2∆,…,k ∆}.定义2 假设函数g 的定义域为 [m ,n ]。
将区间[m ,n ]分割为k 个，得分割区间的集合=A {1∆,2∆,…,k ∆}，在区间i ∆上随意取点i ψ，即i ψ∈i ∆,i =1,2, …,k ，将该点函数值与自变量之差做乘积，累次相加得()iki ix g ∆∑=1ψ，该式是函数g 在定义域[m ,n ]上的积分和.定义3 假设函数g 的定义域为 [m ,n ]，S 是给定的实数。
假如总能找到某个的正数θ，以及任何正数σ，在定义域 [m ,n ]进行任意大小的分割A ，并且在分割出来的区间中随意选择一个点组成集合{i φ}，当A <θ时，存在σφ<-∆∑=S xg ni ii1)(，则函数g在定义域[m ,n ]上可积，即⎰=nmdx x g S )(。
定积分的应用
图1-1图1-2定积分的应用微积分学是微分学和积分学的统称;它的创立;被誉为“人类精神的最高胜利”..在数学史上;它的发展为现代数学做出了不朽的功绩..恩格斯曾经指出：微积分是变量数学最重要的部分;是数学的一个重要的分支;它实现带科学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具..凡是复杂图形的研究;化学反映过程的分析;物理方面的应用;以及弹道﹑气象的计算;人造卫星轨迹的计算;运动状态的分析等等;都要用得到微积分..正是由于微积分的广泛的应用;才使得我们人类在数学﹑科学技术﹑经济等方面得到了长足的发展;解决了许多的困难..以下将讲述一下定积分在数学﹑经济﹑工程﹑医学﹑物理方面的中的一些应用..1 定积分的概念的提出1.1问题的提出曲边梯形的面积如图1所谓曲边梯形;是指由直线a x =、b x =b a <;x 轴及连续曲线)(x f y =0)(≥x f 所围成的图形..其中x 轴上区间],[b a 称为底边;曲线)(x f y =称为曲边..不妨假定0)(≥x f ;下面来求曲边梯形的面积..由于c x f ≠)(],[b a x ∈无法用矩形面积公式来计算;但根据连续性;任两点],[,21b a x x ∈ ;12x x -很小时;)(1x f ;)(2x f 间的图形变化不大;即点1x 、点2x 处高度差别不大..于是可用如下方法求曲边梯形的面积..（1） 分割用直线1x x =;2x x =;1-=n x x bx x x a n <<<<<-121 将整个曲边梯形任意分割成n 个小曲边梯形;区间上分点为：b x x x x x a n n =<<<<<=-1210这里取0x a =;n x b =..区间],[b a 被分割成n 个小区间],[1i i x x -;用i x ∆表示小区间],[1i i x x -的长度;i S ∆表示第i 块曲边梯形的面积;),,2,1(n i =;整个曲边梯形的面积S等于n 个小曲边梯形的面积之和;即∑=∆=ni i S S 12近似代替: 对每个小曲边梯形;它的高仍是变化的;但区间长度i x ∆很小时;每个小曲边梯形各点处的高度变化不大;所以用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积;就是;在第i 个小区间],[1i i x x -上任取一点i ξ;用以],[1i i x x -为底;)(i f ξ为高的小矩形面积i i x f ∆)(ξ;近似代替这个小曲边梯形的面积图1-1; 即i i i x f S ∆≈∆)(ξ.3求和 整个曲边梯形面积的近似值为 n 个小矩形面积之和;即n S S S S ∆++∆+∆= 21=∆++∆+∆≈n n x f x f x f )()()(2211ξξξ ini ix f ∆∑=)(1ξ上式由于分割不同;i ξ选取不同是不一样的;即近似值与分割及i ξ选取有关图1－2..4取极限 将分割不断加细;每个小曲边梯形底边长趋于零;它的高度改变量趋于零;曲边梯形的面积与取代它的矩形面积无限接近;从而和式∑=∆ni i i x f 1)(ξ的极限就定义为曲边梯形面积的精确值..令 },,,m ax {21n x x x ∆∆∆= λ;当0→λ时;有∑=→∆=ni i i x f S 1)(lim ξλ上面的例子;最终归结为一个特定的形式和式逼近..在科学技术中还有许多同样的数学问题;解决这类数学问题的思想方法概括说来就是“分割;近似求和;取极限”这是定积分概念的背景..1.2定积分的定义设函数)(x f y =在区间],[b a 上有界;在],[b a 中任意插入若干个分点b x x x x x a n n =<<<<<=-1210把],[b a 分成n 个小区间：],,[10x x ],[,],,[,],,[],,[113221n n i i x x x x x x x x --各个小区间的长度依次为：011x x x -=∆;122x x x -=∆;…; 1--=∆n n n x x x在每个小区间],[1i i x x -上任取一点i ξ)(1i i i x x ≤≤-ξ;作函数值与小区间长度i x ∆的乘积i i x f ∆)(ξ..并作和=S ∑=∆ni i i x f 1)(ξ记},,,m ax {21n x x x ∆∆∆= λ;如果不论对],[b a 怎样分割;也不管在小区间],[1i i x x -上点i ξn i ,,2,1 =怎样取法;只要当0→λ时;和S 总是趋于确定的极限I ;我们称这个极限值为函数)(x f 在区间],[b a 上的定积分简称为积分;记作⎰ba dx x f )(;即⎰badx x f )(==I ∑=→∆ni i i x f 1)(lim ξλ 1其中)(x f 称为被积函数;dx x f )(称为被积表达式;a 称为积分下限;b 称为积分上限;x 称为积分变量;∑=∆ni iixf 1)(ξ称为积分和..（1） 曲边梯形的面积是曲边方程)(x f y =在区间],[b a 上的定积分..即=S ⎰badx x f )()0)((≥x f2定积分在几何学上的应用2.1定积分在平面几何中的应用在初高中我们学习过求圆;三角形;平四边形;梯形等比较规则的图形面积;然而对于不规则的图形就无能为力了;所以再学定积分以前我们只能求一些简单图形的面积;部分稍复杂的图形;可能用有限个简单图形的分割也能求出来;但有很大的局限性;定积分的出现为这些问题;提出了很好的解决条件..一般地;由上、下两条连续曲线y=2f x 与y=1f x 以及两条直线x=a 与x=ba<b 所围成的平面图形;它的面积计算公式为21[()()]baA f x f x dx =-⎰ 1例 求由抛物线2y x =与x-2y-3=0所围成平面图形的面积A 解 该平面图形如图3所示;先求出 直线与抛物线交点P1;-1与Q9;3.用X=1把图形分成左;右两部分;应用公式 （1） 分别求得它们的面积为1110[(-)]24/3,A x x dx xdx =-==⎰⎰921328()23A x x dx -=-=⎰. A=1A +2A =32/3..2.2定积分在立体几何中的应用 2.2.1由截面面积函数求立方体体积设Ω为三维空间中的一立体;它夹在垂直于x 轴的两平面x=a 与 x=b 之间a<b.为了方便起见称Ω为位于a;b 上的立方体..若在任意一点x ∈a;b 处作垂直于x 轴的平面;它截得Ω的截面面积显然是x 的函数;记得Ax;x ∈a;b;并称之为Ω的截面面积函数..则通过定积分的定义;得到由截面面积函数求立方体体积的一般计算公式和旋转体的体积公式V=()ba A x dx ⎰..例 求由椭球面2222221x y z a b c++=所围立体椭球的体积..解 以平面00()x x x a =≤截椭球面;得椭圆它在yoz 平面上的正投影：22222200221(1)(1)y z x x b c aa+=--..所以截面面积函数为Ax=22(1)x bc aπ-;x ∈-a;a.于是求得椭球体积V=224(1)3ba x bc dx abc a ππ-=⎰..显然;当a=b=c=r 时;这就等于球的体积43π3r ..pQ图2-12.2.2旋转曲面的面积设平面光滑曲线C 的方程为y=()f x ;x ∈a;b 不妨设fx>=0.这段曲线绕x 轴旋转一周得到旋转曲面;则面积公式s=2π(baf x ⎰..如果光滑曲线C 由参数方程x=xt;y=yt;t ∈α;β给出;且yt ≥0;那么由弧微分知识推知曲线C 绕x 轴旋转所得旋转曲面的面积为S=2π(y t βα⎰.例 计算圆2x +2y =2R 在1x ;2x ⊂-R;R 上的弧段绕x 轴旋转所得球带的面积.. 解 对曲线在区间1x ;2x 上应用公式3;得到 S=2π21x x ⎰=2πR 21x x -..特别当1x =-R; 2x =R 时;则得球的表面积S 球=4π2R .3定积分在经济学中的应用3.1求经济函数在区间上的增量根据边际成本;边际收入;边际利润以及产量x 的变动区间[,]a b 上的改变量增量就等于它们各自边际在区间[,]a b 上的定积分：()()()ba Rb R a R x dx '-=⎰ 1()()()baC b C a C x dx '-=⎰ 2()()()baL b L a L x dx '-=⎰ 3例 已知某商品边际收入为0.0825x -+万元/t;边际成本为5万元/t;求产量x 从250t 增加到300t 时销售收入()R x ;总成本C ()x ;利润()I x 的改变量增量..解 首先求边际利润()()()0.082550.0820L x R x C x x x '''=-=-+-=-+所以根据式1、式2、式3;依次求出：300250(300)(250)()R R R x dx '-=⎰300250(0.0825)x dx =-+⎰=15300300250250(300)(250)()C C C x dx dx '-==⎰⎰=250万元300300250250(300)(250)()(0.0820)L L L x dx x dx '-==-+⎰⎰=-100万元例 某厂生产某种产品;每日生产的产品的总成本C 的变化率即边际成本是日产量x 的函数xx C 257)(+=';已知固定成本为1000元;求总成本函数y .解 因总成本是边际成本的一个原函数;所以)(x C ⎰+=dx x)257(c x x ++=507已知当0=x 时;1000)0(=C ;代入上式得1000=c ;于是总成本函数为)(x C 1000507++=x x例 某产品销售总收入是销售量x 的函数)(x R ..已知销售总收入对销售量的变化率即边际收入x x R 52300)(-=';求销售量由100增加到400时所得的销售收入. 解 因销售收入是边际收入的一个原函数;按题意;有)300()400(R R -⎰'=400300)(dx x R⎰-=400300)52300(dx x 4003002)51300(x x -=16000=元3.2求经济函数在区间上的平均变化率设某经济函数的变化率为()f t ;则称2121()t t f t dtt t -⎰为该经济函数在时间间隔21[,]t t 内的平均变化率..例 某银行的利息连续计算;利息率是时间t 单位：年的函数：()0.08r t =+求它在开始2年;即时间间隔0;2内的平均利息率..解 由于22()(0.08r t dt dt =+⎰⎰0.160.010.16=+=+所以开始2年的平均利息率为2()0.0820r t dtr ==+-⎰ 0.094≈例 某公司运行t 年所获利润为()L t 元利润的年变化率为()310L t '=⨯/年求利润从第4年初到第8年末;即时间间隔3;8内年平均变化率解 由于3885852333()310210(1)3810L t dt t '=⨯=⨯⋅+=⨯⎰⎰所以从第4年初到第8年末;利润的年平均变化率为853()7.61083L t dt '=⨯-⎰元/年即在这5年内公司平均每年平均获利57.610⨯元..3.3由贴现率求总贴现值在时间区间上的增量设某个项目在t 年时的收入为()f t 万元;年利率为r ;即贴现率是()rt f t e -;则应用定积分计算;该项目在时间区间[,]a b 上总贴现值的增量为()brt af t e ndt -⎰..设某工程总投资在竣工时的贴现值为A 万元;竣工后的年收入预计为a 万元年利率为r ;银行利息连续计算..在进行动态经济分析时;把竣工后收入的总贴现值达到A;即使关系式Trt ae dt A -=⎰成立的时间T 年称为该项工程的投资回收期..例 某工程总投资在竣工时的贴现值为1000万元;竣工后的年收入预计为200万元;年利息率为0.08;求该工程的投资回收期..解 这里1000A =;200a =;0.08r =;则该工程竣工后T 年内收入的总贴现值为0.080.080.0802002002500(1)0.08Tt tT T e dt e e ---==--⎰令 0.082500(1)T e --=1000;即得该工程回收期为110001ln(1)ln 0.60.0825000.08T =--=- =6.39年3.4 利润、产量与开工时数的最佳值的确定例1 某厂生产一种产品;年产量为x 吨时;总费用的变化率即边际费用为)(x f 825.0+=x 单位：百元/吨;这种产品每吨的销售价为3000元;问一年生产多少产品工厂利润最大;并求出年利润的最大值.解 总费用是边际费用的原函数;故=)(x C ⎰+xdx x 0)825.0(x x 8125.02+=而收入函数)(x R x 30=百元;又由)(x L ＝)(x R =-)(x C 2125.022x x -则 )(x L 'x 25.022-=令 )(x L '0=;得88=x 吨..驻点唯一..此时025.0)88(<-=''L ;由实际问题可知;当88=x 时;)(x L 取得最大值96888125.08822)88(2=⨯-⨯=L 百元.因此;年产量为88吨时工厂获得最大利润96800元..例 2 某工厂生产一种产品;每日总收入的变化率即边际收入是日产量x 的函数x x R 2.030)(-='单位：元/件..该厂生产此种产品的能力为每小时30件;问怎样安排生产才能使这种产品每日的总收入最大 并求出此最大总收入值.解 由题意)(x R ⎰-=xdx x 0)2.030(21.030x x -=;令 02.030)(=-='x x R ;得150=x ;又02.0)(<-=''x R ;因为)(x R 只有唯一的驻点150=x ;由实际问题知;当150=x 时;)(x R 取得最大值22501501.015030)150(2=⨯-⨯=R .因此;每日取得最大总收入的产量为150件;此时2250)150(=R 元.完成150件产品需要的工时为530150=小时;所以;每天生产这种产品5小时;就使每日收入最大;最大值为2250元..3.5 资本存量问题例1 资本存量)(t s s =是时间t 的函数..它的导数等于净投资)(t I ..现知道净投资t t I 3)(=单位：10万元/年..求第一年底到第四年底的资本存量.解 因资本存量s 是净投资的一个原函数;故=-)1()4(s s dt t ⎰41341232t=＝1410万元所以;第一年底到第四年底的总资本存量为1400000元..例 2 某银行根据前四年存款情况;知该行现金净存量的变化率是时间t 的函数455.14)(t x f =单位：万元/年;计划从第五年起积存现金1000万元..按此变化率需几年时间解 依题意1000⎰+=xdt t 44455.14即 1000]4)4[(9584949-+=x由此;得 49494589000)4(+=+x 解此方程;得9993.94≈+x6≈x .所以;从第五年积存1000万元现金约需6 年.3.6消费者剩余和生产者剩余在自由市场中;生产并销售某一商品的数量可由这一商品的供给与需求曲线描述;它的状态可在如图上直观表现如下：0p 的经济意义是供应者会生产此商品的最低价..1p 是消费者会购买此种商品的最高价..1q 是免费供给此种商品的需求量如卫生纸经市场功能调节后;市场将趋于平衡价*P 和平衡数量*q ;两条曲线在),(**p q 相交..消费者以平衡价格购买了某种商品;他们本来打算出较高的价格购买这种商品;消费者剩余是指消费者因此而省下来的钱的总数..用积分式来表达就是：消费者剩余⎰=*0)(q d dq q Q **q p -＝曲边三角形*1p Mp 面积.生产者以平衡价格出售了某种商品;他们本来打算以较低一些的售价售出这些商品;生产者剩余是指生产者因此而获得的额外收入..用积分式表达就是生产者剩余⎰-=***)(q s dq q Q q p ＝曲边三角形*0p Mp 面积.4定积分在工程中的应用4.1定积分中值定理定积分中值定理作为定积分的一个重要性质;计算河床的平均深度时;应用定积分中值定理知识..此问题主要出现在水利工程专业的《工程水文学》课程中;主要应用于计算河流、湖泊等河床横断面水的平均深度;以此用作河流测流、工程设计或施工的一个依据..只要测量出河面在某处的宽度B;河床的横断面形状和河床的最大深度h ;则可运用定积分中值定理知识计算该处河床的平均深度h ;即⎰-=ba dx x f ab h )(1m. 例 设一河流的河面在某处的宽度为2 b;河流的横断面为一抛物线弓形;河床的最深处在河流的中央;深度为h ;求河床的平均深度-h .分析：首先;选取坐标系使x 轴在水平面上;y 轴正向朝下;且y 轴为抛物线的对称轴..于是;抛物线方程为y=h-22x b h⋅.然后;运用定积分中值定理便可求得河床的平均深度-h . 解：河床的平均深度⎰-=b a dx x f a b h )(1=h 32.4.2定积分的近似计算知识的应用近似求物体的截面积;应用梯形法或抛物线法等定积分的近似计算知识..此问题主要出现在水利工程专业的《灌溉排水技术》课程中;主要应用于近似计算河床、渠道的过水断面面积;进而计算截面流量即渠系测流..由水利学知识可知;单位时间内流过某一截面的流体的体积就叫做通过这个截面的流量;即Q ＝V/tm 3/s.在水利工程中;流量的计算通常运用公式Q=svm 3/s;即过水断面面积s 与流速v 的乘积..例1有一条宽为24米的大型干渠;正在输水浇灌农田;试利用流速仪并结合梯形法或抛物线法近似求横截面积等高等数学知识进行测流..分析：根据灌溉管理学知识;首先选择测流断面;确定测线..测流断面选择在渠段正直;水流均匀;无漩涡和回流的地方;断面与水流方向垂直；测流断面的测线确定为12条..其次;测定断面..先在渠道两岸拉一条带有尺度的绳索;测出测深线的起点距与断面起点桩的水平距离；测线深度;用木制或竹制的测深杆施测;从渠道一岸到对岸每隔2米测量一次水深;测得数据如下表..根据施测结果绘出测流断面图;如图所示..第三;利用流速仪施测断面流速..例如;利用旋环式流速仪测出该渠道断面平均流速为v=0.60m/s.第四;近似计算渠道过水断面面积和流量... 测线深度施测数据表 单位：m解答：（1） 抛物线法辛卜生公式：A ≈30.67m 2 ； Q=18.40m 3/s. （2） 梯形法：A ≈30.40m 2 ； Q=18.24m 3/s.例 2有一条河流;宽为200米;从河一岸到正对岸每隔20米测量一次水深;测的数据如下表..试分别用梯形法和抛物线法求此河床横截面积的近似值.. 单位：m4.3微元法知识的应用微元法在专业基础课和专业课中应用非常广泛;求解物体所受液体的侧压力;应用微元法知识..此问题主要出现在水利工程专业的《水力学》、《水工建筑物》等课程中;主要应用于计算水闸及输水建筑物如坝下涵管、隧洞、渠道、管道等上的闸门所受水压力的大小;作为设计或校核闸门结构的一个重要依据..水闸是一种低水头水工建筑物;既能挡水;又能泄水;用以调节水位;控制泄流量；多修建于河道、渠系及水库、湖泊岸边;在水利工程中的应用十分广泛..闸门是水闸不可缺少的组成部分;用来调节流量和上、下游水位;宣泄洪水和排放泥沙等..闸门的形式很多;按其结构形式通常分为平面闸门、弧形闸门及自动翻倒闸门等；按其工作条件可分为工作闸门和修理闸门；按其所处的位置不同可分为露顶闸门和潜孔闸门；按其所用的材料可分为钢闸门、钢筋混凝土闸门、钢丝网水泥闸门和木闸门等；按其形状不同又可分为矩形闸门、梯形闸门、圆形闸门和椭圆形闸门等..闸门的主要作用是挡水;承受水压力是其作用荷载之一..运用微元法计算闸门所受水压力时;设受水压力作用的区域与水平面垂直且由曲线y=fx ＞0;0≤a ≤x ≤bx=a;x=b 及x 轴所组成..x 轴正向朝下;y 轴在水平面上;水的密度为ρ=1000㎏/m 3;则闸门所受的水压力大小为P= ⎰b adx x gxf )(ρN.例 有一个水平放置的无压输水管道;其横断面是直径为6m 的圆;水流正好半满;求此时输水管道一端的竖直闸门上所受的水压力..分析：首先建立合适的直角坐标系;如图所示;则圆的方程为222r y x =+=9. 然后;运用微元法求解即可.. 解答：P=1.76×105N.5定积分在医学的应用如图显示了人的心血管系统..血液流经全身通过静脉进入右心房;然后通过肺动脉泵入肺部补充氧气..之后通过肺静脉流回左心房;再通过主动脉流往全身其它部位;进行血液循环..心输出量就是单位时间一分钟内;心脏泵出的血液量;即血液通过动脉的速率..安静状态下;成年男性每搏输出量为60～80毫升;心率75次/分钟;故心输出量约4.5～6升；女性的心输出量比同体重男性的约低10％..人体的血液一直在周身循环;我图4-2们只能人为定义血液流动的起点和终点;即便这样也很难测定心脏单位时间内泵出的血液总量;所以人们就探索利用辅助材料来测定心输出量..最简单的辅助材料就是染料;即指示剂..具体做法是把指示剂加入到右心房;那么指示剂会和血液一起流经心脏泵入动脉..通过一个插入动脉的探头在一段时间内等间隔测量测出流出心脏的指示剂的浓度;直到指示剂基本消失;即指示剂全部流出心脏..那么剩余的问题就是如何利用测得图5-1 图5-2的浓度计算心输出量呢严格意义;只能测定某一时刻指示剂的浓度;是一系列的离散值;我们假定这些离散值在某一微小的时间段内是不变的;所以当时间段分的越细我们测定的值越接近连续值;这种思想使我们很容易想到积分的概念;所以可建立数学模型解决这个问题..解 令ct 是t 时刻指示剂的浓度..如果把时间段0;t 划分成n 个等长的小时间段t ∆;指示剂流量=ctF t ∆;其中F 为我们测定的心输出量;这样总量即为()()n nc t F t F c t t ∆=∆∑∑;令n →∞时;指示剂总0()TA F c t dt =⎰..那么心输出量F=()TAc t dt⎰.这里的A 为已知量;即投入右心房的指示剂总量;ct 通过测量探头读取..6定积分在物理学的应用6.1变力做功在功的问题中;恒力做功是最简单的;公式为W F S =⋅． “以常代变”;功的微元应该通过恒力做功公式得到的．例 1 一压簧;原长1m ;把它每压缩1cm 时所用的力为0.05N ．问在弹性范围内把它由1m 如图6-1压缩到60cm 如图6-2所做的功．图6-1图6-2解令起点为原点;压缩的方向为x 轴的正方向当把弹簧自原点压缩至[]0,0.4之间的任意点x 处时如图6-3图6-3由胡克定律知所承受的弹簧的压力为()0.0550.01F x x x ==在此力的作用下;再继续压缩一点点dx ;即压缩至x dx +处由于dx 很小;这个压缩过程可认为力()F x 不变;即恒力做功 则由恒力做功公式得功的微元dW ()F x dx = 积分得W ()0.40F x dx =⎰0.45xdx =⎰20.4502x =0.4=()J ．例2 在原点处有一带电量为q +的点电荷;在它的周围形成了一个电场．现在x a =处有一单位正电荷沿x 轴正方向移至x b =处;求电场力所做的功．又问若把该电荷继续移动;移动至无穷远处;电场力要做多少功． 解点电荷在任意点x 处时所受的电场力为()2qF x kx=k 为常数 电场力做功的微元dW 为点电荷由任意点x 处移动至x dx +处时电场力()F x 所做的功 即()2qdW F x dx kdx x == 则移至x b =处电场力做的功2b a qW k dx x=⎰1bkqax =- 11kq a b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；移至无穷远处电场力做的功2a qW k dx x +∞=⎰kqa=物理学中称此值为电场在x a =处的电位． 例 3 一圆台形水池;深15m ;上下口半径分别为20m 和10m ;如果把其中盛满的水全部抽干;需要做多少功 解水是被“一层层”地抽出去的;在这个过程中;不但每层水的重力在变;提升的高度也在连续地变化图6-4其中抽出任意一层水x 处厚为dx 的扁圆柱体;如图6-4阴影部分所做的功为抽水做功的微元dW即dW dm g x dV g x γ=⋅⋅=⋅⋅⋅22203gx x dx γπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭则2152203W gx x dx γπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰2152203g x x dx γπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰23415801200099g x x x γπ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭20625g γπ=202125000π=()J ．6.2求物体质量对于密度均匀的物体的质量l m l γ=⋅或A m A γ=⋅、m V γ=⋅;这时密度是常量；但对于密度不均匀密度是变量的物体的质量就不能直接用上述公式了;而应该用微元法． 例 一半圆形金属丝;其上任意点处的线密度与该点到连接金属丝端点的直径的距离成正比;求金属丝的质量． 解 建立如图6-5坐标系图6-5则()22l x ky R x γ==-()0k >22y R x'=-()()22ds dx dy =+21y dx '=+22R x=-()l dm x ds γ=⋅2222R k R x dx R x=-⋅-kRdx =RR m kRdx -=⎰22kR =．例 1 设有一心脏线1cos r θ=+形的物质薄片;其面密度()2cos A γθθ=+;试求此物质薄片的质量． 解()22111cos 22dA r d d θθθ==+ ()A dm dA γθ=()()212cos 1cos 2d θθθ=++ ()3145cos 2cos 2cos 2d θθθθ=+++ ()230145cos 2cos 2cos 2m d πθθθθ=+++⎰321145sin sin 2sin sin 023πθθθθθ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭ 4π=．例 2 设一立体为曲线211y x=+关于x 轴的旋转体;其上任一点x 的体密度等于其横坐标的绝对值即()x x γ=;试求该立体的质量． 解图6-62211x dV dx x π⎛⎫= ⎪+⎝⎭图6-6中小圆柱体体积 ()x dm x dV γ= 2211x dx x π⎛⎫= ⎪+⎝⎭()221xdx x π=+()221xm dx x π+∞-∞=+⎰()2221xdx x π+∞=+⎰()()22211x d x π+∞-=++⎰2101x π+∞=-+ π=．6.3 液体压力液面下h 深处水平放置的面积为A 的薄板承受的液体压力P 可以由压强乘以面积得到;即P gh A γ=⋅;其中γ为液体密度;压强gh γ是个常量匀压强．现在如若把薄板垂直放置呢 薄板上的压强还是常量吗 还能用上边那个简单的公式吗 例 1 三峡大坝有一上底、下底、高分别为40、20、15米的等腰梯形闸门;闸门垂直放置且上边与水面齐如图6-4;试计算闸门一侧所承受的水压力． 解回顾例3;我们知道抽水做功微元dW 为把x 处一层水抽出所做的功；类似地;侧压力微元dP 为x 处一层水对应的闸门的一个小窄条如图阴影部分所承受的水压力;即dP gxdA γ=2gx ydx γ= 22203gx x dx γ⎛⎫=- ⎪⎝⎭则15022203P gx x dx γ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰15204403g x x dx γ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰2315498002009x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭29400000=()N ．参考文献1 华东师大数学系.数学分析M.北京：高等教育出版社;2001：130-150．2 朱峰．大学物理M.北京：清华大学出版社;2004：15-80．3曹定华．微积分M．上海：复旦大学出版;2006：13-14．4马敏﹑冯梅．经济应用数学M．苏州：苏州大学出版社;2007：13-20．。
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§1.7 定积分的简单应用（一）一：教学目标1、 进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法；2、 让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；3、 初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法；4、 体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。
二：教学重难点重点 曲边梯形面积的求法难点 定积分求体积以及在物理中应用三：教学过程：定积分的应用（一）利用定积分求平面图形的面积例1．计算由两条抛物线2y x =和2y x =所围成的图形的面积. 解：201y x x x y x⎧=⎪⇒==⎨=⎪⎩及，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积S=1120xdx x dx =-⎰⎰，所以⎰120S =(x -x )dx 32130233x x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=13例2．计算由直线4y x =-，曲线2y x =以及x 轴所围图形的面积S.解：作出直线4y x =-，曲线2y x =的草图，所求面积为图阴影部分的面积．解方程组2,4y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得直线4y x =-与曲线2y x =的交点的坐标为（8,4) .直线4y x =-与x 轴的交点为（4,0).因此，所求图形的面积为S=S 1+S 2488442[2(4)]xdx xdx x dx =+--⎰⎰⎰334828220442222140||(4)|3323x x x =+-=. 例3.求曲线],[sin 320π∈=x x y 与直线,,320π==x x x 轴所围成的图形面积。
答案： 2332320=-=⎰ππo xxdx S |cos sin ＝ 练习1、求直线32+=x y 与抛物线2x y =所围成的图形面积。
答案：33233323132231=-+=--⎰|))x x x dx x x S （－＋（＝ 2、求由抛物线342-+-=x x y 及其在点M （0，－3）2x y =y x=AB C D O和N（3，0）处的两条切线所围成的图形的面积。
略解：42+-=x y / ，切线方程分别为34-=x y 、 62+-=x y ，则所求图形的面积为49346234342233232＝＝dx x x x dx x x x S )]()[()]()[(-+--+-+-+---⎰⎰3、求曲线x y 2log =与曲线)(log x y -=42以及x 轴所围成的图形面积。
略解：所求图形的面积为dy dy y f y g S y ⎰⎰⨯-=-11224)()()(【＝e e y y 210224224log |)log -=⨯-=（4、在曲线)0(2≥=x x y 上的某点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成的面积为1.试求：切点A 的坐标以及切线方程.略解：如图由题可设切点坐标为),200x x （，则切线方程 为2002x x x y -=，切线与x 轴的交点坐标为),(020x，则由题可知有22200220200=+-+=⎰⎰dx x x x x dx x S x x x )(10=∴x ，所以切点坐标与切线方程分别为12),1,1(A -=x y总结：1、定积分的几何意义是：a x x f y b a ==与直线上的曲线在区间)(],[、x b x 以及=轴所围成的图形的面积的代数和，即轴下方轴上方－x x baS Sdx x f =⎰)(.2、求曲边梯形面积的方法与步骤：（1） 画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；（2） 对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限； （3） 确定被积函数；（4） 求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和。
3、几种常见的曲边梯形面积的计算方法： （1）x 型区域：①由一条曲线）其中0≥=)()((x f x f y 与直线)(,b a b x a x <==以及x 轴所围成的曲边梯形的面积：⎰badx x f S )(＝（如图（1））；②由一条曲线）其中0≤=)()((x f x f y 与直线)(,b a b x a x <==以及x 轴所围成的曲边梯形的面积：⎰⎰babadx x f dx x f S )()(＝－＝（如图（2））；③由两条曲线）其中，)()()(()(x g x f x g y x f y ≥==与直线)(,b a b x a x <==所围成的曲边梯形的面积：bdx x g x f S |)()(|－＝（如图（3））；图（1） 图（2） 图（3）（2）y 型区域：①由一条曲线）其中0≥=x x f y )((与直线)(,b a b y a y <==以及y 轴所围成的曲边梯形的面积,可由)(x f y =得)(y h x =，然后利用⎰bady y h S )(＝求出（如图（4））；②由一条曲线）其中0≤=x x f y )((与直线)(,b a b y a y <==以及y 轴所围成的曲边梯形的面积，可由)(x f y =先求出)(y h x =，然后利用⎰⎰babady y h dy y h S )()(＝－＝求出（如图（5））；③由两条曲线)()(x g y x f y ==，与直线)(,b a b y a y <==所围成的曲边梯形的面积，可由)()(x g y x f y ==，先分别求出)(y h x 1=，)(y h x 2=，然后利用⎰bady y h y h S |)()(|21－＝求出（如图（6））；图（4） 图（5）图（6） 2．求平面曲线的弧长 设曲线AB 方程为()()y f x a x b =≤≤，函数()f x 在区间[,]a b 上可导，且'()f x 连续，则曲线AB 的弧长为 '21[()]bal f x dx =+⎰.3．求旋转体的体积和侧面积由曲线()y f x =，直线,x a x b ==及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转而成的旋转体体积为2[()]baV f x dx π=⎰.其侧面积为 '22()1[()]baS f x f x dx π=+⎰侧.四：课堂小结本节课主要学习了利用定积分求一些曲边图形的面积与体积，即定积分在几何中应用，要掌握几种常见图形面积的求法，并且要注意定积分的几何意义，不能等同于图形的面积，要注意微积分的基本思想的应用与理解。
五：教后反思y )(x f y =)(x g y=ab xy )(x f y = a b xy )(x f y =ab x§1.7 定积分的简单应用（二）一：教学目标1、 进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法；2、 让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；3、 初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法；4、 体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。
二：教学重难点重点 曲边梯形面积的求法难点 定积分求体积以及在物理中应用三：教学过程：定积分在物理中应用(1)求变速直线运动的路程我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v=v (t) ( v(t) ≥0) 在时间区间[a,b]上的定积分，即()bas v t dt =⎰例 4。
一辆汽车的速度一时间曲线如图1.7 一3 所示．求汽车在这 1 min 行驶的路程． 解：由速度一时间曲线可知：3,010,()30,10401.590,4060.t t v t t t t ≤≤⎧⎪=≤≤⎨⎪-+≤≤⎩因此汽车在这 1 min 行驶的路程是：10406010403[30( 1.590)s tdt dt t dt =++-+⎰⎰⎰210402*********|30|(90)|1350()24t t t t m =++-+= 答：汽车在这 1 min 行驶的路程是 1350m . （2）．变力作功一物体在恒力F （单位：N ）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移（单位：m)，则力F 所作的功为W=Fs .探究如果物体在变力 F(x ）的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F (x) 相同的方向从x =a 移动到x=b (a<b) ，那么如何计算变力F(x ）所作的功W 呢？与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力作功问题．可以得到()baW F x dx =⎰例5．如图1·7一4 ，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm 处，求克服弹力所作的功．解：在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力 F ( x ）与弹簧拉伸（或压缩）的长度 x 成正比，即 F ( x ）= kx ,其中常数 k 是比例系数． 由变力作功公式，得到220011|()22ll W kxdx x kl J ===⎰答：克服弹力所作的功为212kl J .例6．A 、B 两站相距7.2km ，一辆电车从A 站B 开往站，电车开出ts 后到达途中C 点，这一段的速度为1.2t(m/s)，到C 点的速度为24m/s ，从C 点到B 点前的D 点以等速行驶，从D 点开始刹车，经ts 后，速度为（24-1.2t ）m/s ，在B 点恰好停车，试求（1）A 、C 间的距离；（2）B 、D 间的距离；（3）电车从A 站到B 站所需的时间。
分析：作变速直线运动的物体所经过的路程s,等于其速度函数v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分,即⎰badt t v S )(＝略解：（1）设A 到C 的时间为t 1则1.2t=24, t 1=20(s),则AC ＝⎰==2020022406021)(|..m t tdt（2）设D 到B 的时间为t 21则24-1.2t 2=0, t 21=20(s), 则DB ＝⎰==2020022********)(|..m tdt t ）－（（3）CD=7200-2⨯240=6720(m),则从C 到D 的时间为280(s),则所求时间为20+280+20=320（s ）。
练习：1：如果1N 能拉长弹簧1cm ，为了将弹簧拉长6cm ，需做功（ A ） A 0.18J B 0.26J C 0.12J D 0.28J略解：设kx F =，则由题可得010.=k ，所以做功就是求定积分1800106..=⎰xdx四：课堂小结本节课主要学习了定积分在物理学中的应用，要掌握几种常见图形面积的求法，并且要注意定积分的几何意义，不能等同于图形的面积，要注意微积分的基本思想的应用与理解。
五：教后反思根据定积分的定义，定积分既有几何背景，又有物理背景，进而定积分与这些知识有着天然的联系。