知识讲解_定积分的简单应用(基础)
1.7定积分的简单应用(3课时)
W =
ò
b
a
F (x )dx
思考3：如图，在弹性限度内，将一弹簧 从平衡位置拉到离平衡位置xm处，那么 拉伸弹簧所需的力F(x)与x的函数关系是 什么？ F(x)＝kx，
其中k为弹力系数.
x
思考4：如果将弹簧从平衡位置拉到离平 衡位置l m处，那么克服弹力所作的功为 多少？
l
1 2 l 1 2 W = ò kxdx = kx |0 = kl (J ) 0 2 2
思考3：该图形的面积用定积分怎样表示？
y y ＝x 2 1 O C B D A 1 x y 2＝x
S =
蝌
0
1
xdx -
1 0
x dx
2
思考4：利用微积分基本定理计算，该图 形的面积等于多少？
y y ＝x 2 y 2＝x
1 O
3 2 1 0
C
B
D A 1
x
2 1 3 1 1 S = x | - x |0 = 3 3 3
1.7
1.7.1
定积分的简单应用
定积分在几何中的应用
问题提出
b
1 5730 p 2
t
1.定积分ò f (x )dx 的含义及其几何意 a 义分别是什么 n b b- a f ( xi ) òa f (x )dx = nlim å n i= 1
y
y＝f(x)
ò
O
b
a
f (x )dx
O
10
40
C 60 t(s)
思考2：汽车在[0，10]，[10，40]，[40， 60]（单位：s）三个时段内行驶的路程， 用定积分分别如何表示？
v(m/s) 30
A
定积分及其应用
①.若a=b, 则
b
f (x)dx 0.
a
②.若a>b, 则
b
a
f(x)dx f(x)dx.
a
b
从而可消除对定积分上下限的大小限制.
四.定积分的几何意义
由定义1知, 当连续函数
f (x) 0 且a<b时, 定积分
b f ( x ) d x 表示一个在 x 轴上方的曲边梯形的面积; a
当 f (x) 0, 且 a < b时,
[a, b]的一个局部(小区间)来看, 它也是一个变量;
但因ƒ(x)连续, 从而当Δ x →0时, Δy→0,
故可将此区间的高近似看为一个常量,
从而此区间对应的小窄曲边梯形CEFH
y
y=ƒ(x)
A
C
B
Δy {
DH
的面积近似等于小窄矩形DEFH的面积.
oa
EF
x x+Δx b x
因而, 如果把区间[a, b]任意地划分为n个小区间, 并在每一
就有定积分的定义:
定义1.设ƒ(x)在[a, b]上有定义, 点 a x 0 x 1 x 2 x n 1 x n b
将区间[a, b]任意地划分为n个小区间; 每个小区间
[ xi1 , xi ]
的长度为 xi xi xi1(i1,2, ,n),在每个小区间 [ xi1 , xi ]
n
个区间上任取一点, 再以该点的高来近似代替该小区间上窄曲边 梯形的高, 从而每个窄曲边梯形就可近似地
视为一个小窄矩形, 而且全部窄矩形的面积之和也可作为曲边 梯形面积的近似值.
要想得精确值, 只需区间[a, b]的分法无限细密(即每个小区 间的长度Δ x →0)时, 全部窄矩形的面积之和的极限一定是曲边
定积分知识点和例题
定积分知识点和例题
定积分是积分的一种，是函数在某个区间上的积分和的极限。
定积分的概念起源于求图形面积和其他实际应用的问题。
下面我将列举一些定积分的知识点和例题：
知识点：
1. 定积分的定义：定积分是积分和的极限，即对一个给定区间[a,b]上的函数f(x)和任意分割法，求各小区间上函数值的点乘积和的极限。
如果存在一个常数I，对于任意给定的正数ε，总存在一个δ>0，使得当|ΔSi|<δ时，对区间[a,b]的任意分割法，和Si与I的差的绝对值都小于ε，则称I为f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作∫abf(x)dx，其中a、b和I分别为定积分的下限、上限和值。
2. 定积分的几何意义：定积分的值等于由曲线y=f(x)与直线x=a、x=b 以及x轴所围成的曲边梯形的面积。
3. 定积分的性质：定积分的性质包括线性性质、积分中值定理、积分上限函数与被积函数的联系等。
4. 定积分的计算方法：主要包括基本初等函数的积分公式和不定积分的性质及计算方法，如换元法、分部积分法等。
例题：
1. 计算定积分∫10(x^2+1)dx的值。
2. 计算定积分∫π20(sinx+cosx)dx的值。
3. 计算定积分∫10|x-1|dx的值。
4. 计算定积分∫10x^2dx的值。
5. 计算定积分∫21(1/x)dx的值。
定积分应用方法总结(经典题型归纳)
定积分复习重点定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物理问题等． 1.定积分的运算性质1212(1)()()().(2)[()()]()().(3)()()()().bbaab bb aaab c baackf x dx k f x dx k f x f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx =±=±=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰为常数其中a<c<b2．微积分基本定理如果()f x 是区间[a ，b]上的连续函数，并且'()()F x f x =，那么()()()baf x dx F b F a =-⎰，这个结论叫微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼兹公式。
3.求定积分的方法（1）利用微积分基本定理就定积分 ①对被积分函数,先简化,再求定积分.例如：230(1-2sin)2d πθθ⎰注：322()3x x '=，(-cos )sin x x '=②分段函数,分段求定积分,再求和.（被积函数中带有绝对值符号时，计算的基本思路就是用分段函数表示被积函数，以去掉绝对值符号，然后应用定积分对积分区间的可加性，分段进行计算）1．计算积分⎰---322|32|dx x x解1. 由于在积分区间]3,2[-上，被积函数可表示为⎩⎨⎧≤<-----≤≤---=--.31,)32(,12,32|32|222x x x x x x x x 所以⎰---322|32|dx x x 13)32()32(312122=-----=⎰⎰---dx x x dx x x .（2）利用定积分的几何意义求定积分如定积分12014x dx π-=⎰，其几何意义就是单位圆面积的14。
（课本P60 B 组第一题） (3)利用被积函数的奇偶性a. 若()f x 为奇函数，则()0aa f x dx -=⎰；b. 若()f x 为偶函数，则0()()a aa f x dx f x dx-=⎰⎰2；其中0a >。
定积分及其应用
下面我们将应用这一方法来讨论一些问题.
、平面图形的面积
根据围成平面图形的曲线的不同情况，我们分为以下两种情形
(1)由一条曲线 和直线x=a,x=b(a<b)及x轴围成的平面图形
O
(8,4)
-2
y
y+dy
4
A1
A2
(2,-2)
y2=2x
y=x-4
x
y
图6-11
O
x
a
b
xy=f(x)ຫໍສະໝຸດ 图 6-13( b) y x+dx
x
1
x
O
图6-14
x
图6-15
(a)
y
y+dy
2
1
y
O
(b)
O
a
A(x)
b
x
图 6-16
O B x a P Q
01
02
A
a
x
R
03
图6-17
y
当 在区间[a,b]上的值有正有负时,则由曲线 和直线x=a,x=b(a<b)及 x轴围成的曲边梯形的面积A是在x轴上方和下方的曲边梯形面积之差.
O
x
b
a
y=f ( x)
y=g( x)
图
图 6-9
x
y
O
x
x+dx
y
O
图6-10
y
a
b
x+dx
x
-a
本章的基本要求 理解定积分的概念，了解定积分的性质，知道函数连续是可积的充分条件，函数有界是可积的必要条件；理解变上限积分作为其上限的函数及其求导定理，熟练掌握牛顿―莱布尼茨公式；熟练掌握定积分的换元法与分部积分法；掌握用定积分表达一些几何量（如面积和体积）的方法；了解反常积分及其收敛、发散的概念等. 重点 定积分的概念和性质， 牛顿―莱布尼茨公式， 定积分换元法和分部积分法， 利用定积分计算平面图形的面积.
定积分的基本性质及应用
定积分的基本性质及应用定积分是微积分的重要概念之一，它在数学和各个学科中都有广泛的应用。
本文将重点介绍定积分的基本性质和在实际问题中的应用，并且通过具体的例子来加深理解。
定义：定积分是对一个函数在闭区间上的加权平均值进行求和的过程。
在数学中，一个函数f(x)在[a, b]上的定积分表示为：∫(a to b) f(x) dx其中，∫代表求和的过程，a和b是积分的上下限，f(x)是被积函数。
基本性质：1. 线性性质：定积分具有线性性质，即对于任意两个函数f(x)和g(x)，以及任意的实数k，有以下等式成立：∫(a to b) (f(x) + g(x)) dx = ∫(a to b) f(x) dx + ∫(a to b) g(x) dx∫(a to b) k*f(x) dx = k * ∫(a to b) f(x) dx2. 区间可加性：如果一个函数在闭区间[a, b]上有定义，且在其中一个点c上可导，则该函数在[a, b]上的定积分等于该函数在子区间[a, c]和[c, b]上的定积分之和：∫(a to b) f(x) dx = ∫(a to c) f(x) dx + ∫(c to b) f(x) dx3. 积分中值定理：如果一个函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，且在该区间内不恒为0，那么至少存在一个点c，使得：∫(a to b) f(x) dx = f(c) * (b - a)4. 边界性质：对于定积分∫(a to b) f(x) dx，当a等于b时，定积分的值为0。
若a小于b，则定积分的值为正数或负数，具体取决于函数f(x)在[a, b]上的正负性。
5. 非负性质：如果一个函数f(x)在闭区间[a, b]上连续且非负，那么定积分的值也是非负的。
应用：定积分在实际问题中有着广泛的应用，下面将介绍两个具体的应用。
1. 几何应用：定积分可以用于计算曲线与坐标轴之间的面积。
如果一个函数在闭区间[a, b]上非负，那么该函数与x轴围成的曲边梯形的面积可以通过定积分来计算：面积= ∫(a to b) f(x) dx同样的，若函数f(x)在闭区间[a, b]上非正，那么面积可以表示为定积分的绝对值。
定积分的应用公式总结
定积分的应用公式总结定积分是微积分中的重要概念，它在许多领域都有着广泛的应用。
在本文中，我们将对定积分的应用公式进行总结，并举例说明其在实际问题中的应用。
1. 面积与定积分。
定积分最基本的应用之一就是计算曲线与坐标轴之间的面积。
设函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(x) ≥ 0，则曲线y = f(x)与x轴所围成的图形的面积为。
A = ∫[a, b] f(x) dx。
这就是定积分的几何意义，它表示曲线与x轴之间的面积。
2. 物理学中的应用。
在物理学中，定积分常常用来计算曲线下方的面积，从而得到某一变量的总量。
例如，如果我们知道一个物体在 t 时刻的速度 v(t)（单位时间内的位移），则该物体在时间区间 [a, b] 内的位移为。
S = ∫[a, b] v(t) dt。
这里的 S 就表示了物体在时间区间 [a, b] 内的总位移。
3. 概率统计中的应用。
在概率统计中，定积分也有着重要的应用。
例如，如果我们知道某一随机变量X 的概率密度函数为 f(x)，则 X 落在区间 [a, b] 内的概率为。
P(a ≤ X ≤ b) = ∫[a, b] f(x) dx。
这里的 P(a ≤ X ≤ b) 表示了随机变量 X 落在区间 [a, b] 内的概率。
4. 工程中的应用。
在工程领域，定积分也有着广泛的应用。
例如，在计算流体的体积、质量、密度、压力等问题时，定积分常常是不可或缺的工具。
另外，在电路分析、信号处理、控制系统等领域，定积分也有着重要的作用。
5. 经济学中的应用。
在经济学中，定积分常常用来描述某一商品的总收益、总成本、总利润等。
例如，如果知道某一商品的需求函数为 D(p)，则该商品在价格区间 [a, b] 内的总收益为。
R = ∫[a, b] p D(p) dp。
这里的 R 表示了商品在价格区间 [a, b] 内的总收益。
总结。
定积分的应用远不止以上几个领域，它在数学、物理、工程、经济等众多领域都有着重要的作用。
定积分的计算及应用
定积分的计算及应用定积分是微积分中的重要内容，主要用于计算曲线下的面积、求函数的平均值和求解各种几何问题。
本文将介绍定积分的计算方法和应用。
一、定积分的计算方法1.函数的不定积分和定积分在介绍定积分之前，先来了解一下不定积分。
不定积分是求函数的原函数，即给定一个函数f(x)，求出它的一个原函数F(x)，满足F'(x)=f(x)。
然后，定积分是不定积分的一个推广。
对于一个函数f(x)，我们可以将其在[a,b]区间内的曲线下的面积分成无穷多个矩形小面积，然后将这些小面积相加，得到的极限值就是函数f(x)在[a,b]区间上的定积分。
2.基本积分法则计算定积分常用的方法是基本积分法则，它是通过一些基本的积分公式来计算积分。
下面是一些常见的基本积分公式：- 常数函数积分：∫k dx = kx + C，其中k为常数，C为常数；- 幂函数积分：∫x^n dx = (x^(n+1))/ (n+1) + C，其中n≠-1，C 为常数；- 指数函数积分：∫e^x dx = e^x + C，C为常数；- 三角函数积分：∫sin(x) dx = -cos(x) + C, ∫cos(x) dx = sin(x) + C，C为常数。
3.定积分的计算方法对于函数f(x)在[a,b]区间上的定积分，有以下计算方法：-用基本积分法则计算不定积分F(x)；-确定积分上下限，将F(x)在a和b处的值代入，得到F(b)-F(a)；-F(b)-F(a)即为函数f(x)在[a,b]区间上的定积分。
二、定积分的应用1.曲线下的面积定积分最常用的应用是计算曲线下的面积。
给定一个函数f(x)，要计算它在[a,b]区间上曲线下的面积，可以通过定积分来实现。
具体步骤如下：-将[a,b]区间划分成n个小区间，每个小区间的宽度为Δx=(b-a)/n；- 在每个小区间上确定一个点xi，其中i=1,2,3,...,n；- 计算每个小区间上的矩形面积，即ΔS= f(xi) * Δx；-将n个小矩形的面积相加，即S≈Σ(ΔS)；- 当n趋向于无穷大时，即Δx趋向于0，Σ(ΔS)趋向于定积分∫f(x)dx。
初中数学知识归纳定积分的计算和应用
初中数学知识归纳定积分的计算和应用初中数学知识归纳——定积分的计算和应用定积分是数学中重要的概念之一，具体来说，它是用来计算曲线与x轴之间的面积的。
在初中数学中，我们通常不会涉及具体的计算过程，但是了解其基本原理和应用是十分重要的。
下面将介绍定积分的计算方法和应用。
一、定积分的计算方法1. 几何意义定积分的计算可以理解为曲线与x轴之间的面积计算。
对于一个函数f(x)，我们可以通过定积分来计算函数在区间[a, b]上的点与x轴之间的面积。
具体而言，这个面积可以被分成许多矩形的和，每一个矩形的高度为f(x)，宽度为dx。
当我们将这些矩形的面积相加，并让dx无限接近于0时，我们就可以得到一个近似的结果。
通过极限的推导，我们可以得到定积分的计算公式：∫[a, b] f(x)dx。
2. 基本计算方法在初中数学中，我们主要了解一些基础的函数的定积分计算方法，例如多项式函数、幂函数和三角函数等。
对于多项式函数，我们可以使用基本的求导公式来计算其定积分。
例如，对于函数f(x) = ax^n，其中a和n为常数，我们可以使用公式∫x^n dx = (1/n+1)x^(n+1) + C，其中C为常数，来计算其定积分。
对于幂函数和三角函数，我们可以使用换元法和分部积分法来计算其定积分。
通过合适的变量替换和部分积分，我们可以将原函数转化为更简单的形式，从而进行计算。
3. 数值计算方法在实际问题中，我们常常无法找到函数的原函数，无法直接计算定积分。
这时，我们可以使用数值计算方法来近似计算定积分的值。
常用的数值计算方法有矩形法和梯形法。
矩形法将区间分成若干个小矩形，然后计算这些小矩形的面积之和作为定积分的近似值。
梯形法则是将区间分成若干个梯形，计算这些梯形的面积之和作为定积分的近似值。
随着小矩形或梯形越来越多，近似值也会越来越接近真实值。
二、定积分的应用1. 几何应用定积分的最主要的应用之一就是计算曲线与x轴之间的面积。
例如，我们可以通过定积分来计算椭圆、抛物线和心形线等曲线的面积。
定积分知识点总结
定积分知识点总结一、定积分的概念定积分是微积分中的一个重要概念，它是求解曲线下面积的一种方法。
当我们要计算一个曲线在两个点之间的面积时，可以使用定积分来求解。
定积分通常由一个区间上的函数来定义，它表示这个函数在这个区间上的面积。
二、定积分的符号表示定积分通常用符号∫关于x代表积分，下限和上限之间的函数表示要积分的函数，dx表示积分变量。
即∫ab f(x)dx表示在区间[a, b]上的函数f(x)的定积分。
三、定积分的性质1. 线性性质：若f(x)和g(x)是[a, b]上的可积函数，k1和k2是常数，则有∫ab(k1f(x)+k2g(x))dx=k1∫abf(x)dx+k2∫abg(x)dx。
2. 区间可加性：若f(x)在[a, b]和[b, c]上都可积，则有∫ac f(x)dx=∫ab f(x)dx+∫bc f(x)dx。
3. 积分的保号性：若在[a, b]上有f(x)≥0，则∫ab f(x)dx≥0。
4. 积分的单调性：若在[a, b]上有f(x)≥g(x)，则∫ab f(x)dx≥∫ab g(x)dx。
五、定积分的计算方法1. 几何法：通过几何图形的面积来计算定积分，通常使用在能够用几何图形表示的函数上，例如多项式函数。
2. 积分表法：通过积分表中的已知积分公式，来计算定积分，通常用于一些常见函数。
3. 定积分的换元积分法：通过变量替换的方法来进行定积分的计算，通常适用于需要进行一定变量替换后才能计算的函数。
4. 定积分的分部积分法：通过分部积分的方法来进行定积分的计算，通常适用于需要进行一定的分部积分后才能计算的函数。
六、定积分的应用定积分在数学和物理学中有着极其重要的应用，例如计算曲线下面积、求解函数的平均值、求解体积、求解质量、质心和弧长等。
在数学中，定积分是微积分的基础，它还被广泛应用于概率统计、微分方程、傅立叶变换等领域。
在物理学中，定积分被用来求解各种场和力的功、能量、质心等问题。
《定积分的简单应用》课件讲解学习
0
[解析] v＝ddxt＝(bt3)′＝3bt2， 媒质阻力F阻＝kv2＝k(3bt2)2＝9kb2t4，其中k为比例常
数，k>0.
当x＝0时，t＝0，当x＝a时，t＝ab13，
ds＝vdt，故阻力做的功为W阻＝
t
kv2·vdt＝k
t
v3dt＝k
t
0
0
0
(3bt2)3dt＝277k3 a7b2.
• [点评] 本题常见的错误是在计算所做的功 时，误将W阻＝∫t10F阻ds写为∫t10F阻dt.
(1)P从原点出发，当t＝6时，求点P离开原点 的路程和位移；
(2)P从原点出发，经过时间t后又返回原点时 的t值．
• [解析] (1)由v(t)＝8t－t2≥0得0≤t≤4， • 即当0≤t≤4时，P点向x轴正方向运动， • 当t>4时，P点向x轴负方向运动． • 故t＝6时，点P离开原点的路程
对于已知运动规律求做功的问题，首先确定其运动速 度，进而由 ds＝vdt 来确定做功的积分式 W＝t Fvdt.
0
6．已知自由落体的速率v＝gt，则落体从t＝ 0到tA＝.13gt0t20所走的路程为B（．gt20 )
C.12gt20
D.16gt20
[答案] C
[解析] 如果变速直线运动的速度为v＝v(t)(v(t)≥0)，
那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程是bv(t)dt， a
∴
＝12gt2t00 ＝12g(t20－0)＝12gt02.故应选C.
7．如果1N能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉 长6cm，所耗费的功为
()
A．0.18J
B．0.26J
C．0.12J
D．0.28J
[答案] A
定积分的性质与计算方法
定积分的性质与计算方法定积分是微积分中的一个重要概念，它可以用来计算曲线所夹面积、计算物体的体积、求解解析几何中的定性表达式等问题。
在本文中，我们将介绍定积分的性质和计算方法。
一、定积分的性质：1.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则定积分存在。
也就是说，连续函数一定可积。
2.定积分具有线性性质，即对于任意实数a和b，以及两个连续函数f(x)和g(x)，有：∫[a,b](af(x)+bg(x))dx = a∫[a,b]f(x)dx + b∫[a,b]g(x)dx3.若函数f(x)在区间[a,b]上非负且可积，则定积分表示的是曲线f(x)与x轴之间的面积。
4. 定积分的取值与区间的选取无关。
即∫[a,b]f(x)dx =∫[c,d]f(x)dx，只要[a,b]和[c,d]的函数f(x)在二者都是可积函数。
5.若函数f(x)在[a,b]上连续，且在[a,b]内的每个子区间上f(x)的值都大于等于0，则在[a,b]上的定积分不小于0。
也就是说，不会出现整个区间上的定积分为负数的情况。
二、定积分的计算方法：1. 基本积分法：对于一些简单的函数，我们可以直接利用已知的基本积分公式进行计算。
比如∫x^n dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C。
2. 反向运用微积分定理：利用微积分基本定理，我们可以求取函数的原函数（也称为不定积分），然后通过减去两个边界条件的原函数，即可求得定积分的结果。
比如∫[a,b]f(x)dx = F(b) - F(a)，其中F(x)是f(x)的原函数。
3.凑微分法：当函数难以直接积分时，我们可以通过凑微分来简化积分。
具体方法是，选取合适的函数和常数，使得被积函数可以表示为一个已知函数与该函数对应的导数的乘积。
然后利用换元法将积分转化为一个更容易求解的形式。
4. 分部积分法：分部积分法实质上是对乘积求导公式的反向运用。
对于乘积积分，我们可以利用分部积分法将其转化为两个函数分别求导和积分的问题。
定积分的计算方法与应用
定积分的计算方法与应用定积分是微积分中的一个重要概念，具有广泛的应用领域。
本文将介绍定积分的计算方法以及它在实际问题中的应用。
一、定积分的计算方法定积分是求解曲线下面的面积或者曲线上某一区间的长度的数学工具。
在计算定积分时，我们可以使用以下方法：1. 几何解法：当曲线形状较简单且易于几何分析时，可以采用几何解法。
例如，计算一个常数函数在给定区间上的定积分，可以直接计算该区间内的矩形面积。
2. 分割求和法：定积分可以通过将曲线分割为若干个小区间，在每个小区间内取样点，并计算每个小区间的面积或长度，再将这些结果求和得到近似解。
随着小区间的数量增加，这种方法的近似解将逐渐接近准确值。
3. 定积分的定义：根据数学定义，定积分可以通过极限求和的方式得到准确解。
该方法需要将曲线分割为无穷多个微小的小区间，并进行求和。
具体的计算步骤可以参照定积分的定义公式。
二、定积分在实际问题中的应用定积分作为一种数学工具，在许多实际问题的求解中起到了重要作用。
以下是一些常见的应用场景：1. 几何应用：定积分可以用于计算曲线下的面积，例如求解两条曲线之间的面积或计算曲线所围成的区域的面积。
这在建筑设计、地理测量等领域中有广泛应用。
2. 物理学应用：定积分可以用于计算物体的质量、质心、转动惯量等物理量。
例如，在力学中，通过计算质点沿某一曲线的运动轨迹所做的功，可以使用定积分求得。
3. 统计学应用：定积分可以应用于计算概率密度函数下的概率。
在统计学中，通过计算概率密度曲线下的面积，可以得到某一区间内事件发生的概率。
4. 经济学应用：定积分可以用于计算经济学中的消费总额、产出总额等指标。
例如，计算某一产品的总销售额可以通过对销售函数进行定积分得到。
5. 工程学应用：定积分可以应用于计算工程中的功耗、能量损失等问题。
例如，计算电路中的功耗可以通过对电流和电压的乘积进行定积分来求解。
在实际问题中，我们可以根据具体情况将问题转化为曲线的面积或长度的计算，然后应用定积分的方法进行求解。
定积分的简单应用李用
b
a
f
x
g
xd. x
注：
两曲线围成的平面图形的面积的计算 例 1. 计算由两条抛物线 y2 x和 y x2围成图形的面积.
解:作出y2=x,y=x2的图象如图所示:
解方程组
y y
x x2
x
y
00或xy
1 1
y
y y2 xx B
即两曲线的交点为(0,0),(1,1)
S = S曲边梯形OABC - S曲边梯形OABD
返回
(2)∵v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)，
∴在区间[0,1]及[3,4]上的v(t)≥0，
在区间[1,3]上，v(t)≤0.
∴在t＝4 s时的路程为
1
3
4
s＝0(t2－4t＋3)dt－1(t2－4t＋3)dt＋3(t2－4t＋3)dt
＝(13t3－2t2＋3t)|10－(13t3－2t2＋3t)|31＋(13t3－2t2＋3t)|43＝4(m)．
图1.7 3
s 30 60 30 1350
2
二、变力沿直线所作的功
1、恒力作功
由物理学知道，如果物体在作直线运动的过
程中有一个不变的力F 作用在这物体上，且这力
的方向与物体的运动方向一致，那么，在物体移
动了距离 s时，力 F 对物体所作的功为W F s .
2、变力所做的功
问题：物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并
例 2 计算由曲线 y 2x ，直线 y x 4以及 x 轴所
围成的图形的面积.
y 2x
解: 两曲线的交点
y
2x
(0, 0), (8, 4).
y x 4
直线与x轴交点为(4,0)
1.7 定积分的简单应用(1)
W F ( x)dx
0
L
L
0
1 2 L 1 2 kxdx kx |0 kL 2 2
练习
1.一物体沿直线以v=2t+3(t的单位为s,v的 单位为m/s)的速度运动,求该物体在3~5s 间行进的路程.
S (2t 3)dt 22m
3 5
2.一物体在力F(x)=3x+4(单位:N)的作用下, 沿着与力F相同的方向,从x=0处运动到 x=4处(单位:m),求F(x)所作的功. 40
3 2
(2)S (e e x )dx 1
0
1
定积分在物理中的应用
一辆汽车的速度一时间曲线如图所示，求 汽车在这 1 min 行驶的路程。
3t vt 30 - 1.5t 90 (0 t 10) (10 t 40) (40 t 60)
的图形的面积.
解 两曲线的交点
y x 6x (0,0), ( 2,4), ( 3,9). 2 y x
3
y x2
A1
0
2
(x 6 x x )dx
3 2
y x3 6x
A2 ( x x 6 x)dx
2 3 0
3
于是所求面积
0 3
A A1 A2
2
4 2 3 2 2 2 3 1 2 16 64 26 8 2 2 x |0 ( x x 4 x) |2 18 3 3 2 3 3 3
练习
求下列曲线所围成的图形的面积:
(1)y=x2,y=2x+3;
(2)y=ex,y=e,x=0.
32 (1) S ((2 x 3) x )dx 1 3
定积分的概念及简单应用
x 2 , x [0,1], e (2)设 f(x)= 1 (其中 e 为自然对数的底数),则 f(x)dx 等于( 0 , x 1,e x 4 5 6 7 (A) (B) (C) (D) 3 4 5 6
解析:(1)
2
2
(2+sin x)dx=(-cos x+2x)
(3) (A)
π 2 π 6
cos2
x dx 等于( 2
)
3 π 3 2
3π - 3 4
3 π 6 8
2x x
(B)
π 1 + 6 4
(C)
(D) .
(4)f(x)=
(t-1)dt,则 f′(x)等于
π 2 π 6
π 2 π 6
2
解析:(3)
1 = sin x 2
π π π x 1 cos x 1 1 cos dx= π2 dx= π2 cos xdx+ π2 dx 2 2 2 6 6 6 2
1
1
1 x dx+
2
2
1
(x2-1)dx,令 y= 1 x 2 ,
得 x2+y2=1(y≥0),知:曲线 y= 1 x 2 是以坐标原点为圆心,1 为半径的圆 在 x 轴上方部分的半圆,由定积分的几何意义知
1 1 π×12= π, 2 2
2 1
1
1
1 x2 dx=
2
又
1
1 (x2-1)dx=( x3-x) 3
.
解析:画出草图如图所示.根据对称性,只计算出 y 轴右侧的阴影部分的面积,
x2 y x , y , 再乘以 2 即可.解方程组 和 4 y 1 y 1
定积分的计算方法和应用
定积分的计算方法和应用定积分是微积分中的重要概念，用于计算函数图像下的面积以及多种物理量的平均值和总值。
在这篇文章中，我们将讨论定积分的计算方法和应用以及如何将其应用于实际问题中。
一、前提知识在讨论定积分之前，我们需要了解几个微积分的基本概念：1.导数：表示函数在某一点的瞬时变化率，通常表示为f'(x)。
2.不定积分：表示函数f(x)的一个原函数，即求导为f(x)的函数。
3.定积分：表示函数f(x)在区间[a,b]上的积分，通常表示为∫(a,b)f(x)dx。
二、定积分的计算方法让我们看一个例子，计算函数y=x^2在区间[0,1]上的定积分。
我们可以通过以下步骤计算：1.将区间[0,1]分成n个小区间，即将区间[0,1]分成n份，每份的长度为Δx=(b-a)/n，其中a=0，b=1。
2.在每个小区间上选取一个点xi，计算出xi处函数值f(xi)=xi^2。
3.将每个小区间的面积加起来，即计算出所有小长方形的面积之和。
4.当Δx趋近于0时，可以得到定积分的值，即∫(0,1)x^2dx=1/3。
通过以上步骤，我们可以计算出定积分的值。
这种方法称为矩形法，其中每个小长方形的高度为函数在该点的函数值，宽度为每个小区间的长度。
除了矩形法之外，还有其他一些更准确的定积分计算方法，如梯形法、辛普森法等。
这些方法都是通过将区间分成小区间，计算每个小区间上的函数值并将其相加来计算定积分值。
三、定积分的应用定积分有很多实际应用场景，下面我们将介绍一些常见的应用场景。
1.几何应用定积分可以用来计算曲线下的面积，即将曲线所围成的区域看作矩形或梯形的叠加。
这种方法可以用于计算三角形、圆形、椭圆形等几何图形的面积。
另外，定积分也可以用来计算旋转体的体积。
将一个曲线沿着某个轴旋转，那么旋转出来的图形就是一个旋转体。
通过计算曲线下的面积并将其绕轴旋转可以得到旋转体的体积。
2.物理应用定积分还可以用于计算多种物理量的平均值和总值。
定积分的计算及应用
定积分的计算及应用定积分，作为微积分中的重要概念之一，是对曲线下面积的求解方法。
在现实生活中，定积分有着广泛的应用，既可以用于求解几何图形的面积，也可以应用于物理学、经济学等领域。
本文将重点介绍定积分的计算方法及其应用。
一、定积分的定义定积分的定义是通过极限的概念来描述的。
对于函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，可以用极限进而表示为：∫(a到b) f(x) dx = lim(Δx→0) ∑[i=1到n] f(xi)Δx其中，Δx = (b-a)/n，xi是区间[a, b]上的任意一点。
二、定积分的计算方法1. 几何法利用几何图形的面积求解定积分是较为直观的方法。
例如，要计算y=f(x)在区间[a, b]上的定积分，可以先将函数图像和x轴围成的区域分为若干个小矩形，然后计算每个小矩形的面积，最后将所有小矩形的面积相加即可得到定积分的近似值。
2. 积分基本公式对于一些常见的函数，可以利用积分基本公式来求解定积分。
如常数函数的积分、幂函数的积分、三角函数的积分等。
这些基本公式能够简化定积分的计算过程，提高计算效率。
3. 换元法换元法也是定积分计算中常用的方法之一。
通过引入新的变量进行替换，将原函数转化为一个更易处理的形式，从而简化定积分的计算。
常见的换元法包括代换法和三角换元法。
4. 分部积分法对于乘积形式的函数，可以通过分部积分法将其转化为定积分的形式，从而进行求解。
分部积分法是一种利用导数和积分之间的关系来求解定积分的方法，通过反复应用可以将复杂的积分化简为简单的形式。
三、定积分的应用1. 几何应用定积分广泛应用于几何学中的面积计算。
通过对函数曲线与x轴之间的面积进行定积分，可以计算出曲线所围成的图形的面积，如矩形、三角形、梯形等。
同时，定积分也可以应用于求解平面图形的重心、离心率等相关问题。
2. 物理应用在物理学中，定积分被应用于求解物体的质量、速度、加速度等相关问题。
例如，根据质点的速度函数，可以通过定积分计算出质点在某段时间内的位移、位移函数的增量、加速度函数的平均值等。
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定积分的简单应用【学习目标】1.会用定积分求平面图形的面积。
2.会用定积分求变速直线运动的路程3.会用定积分求变力作功问题。
【要点梳理】要点一、应用定积分求曲边梯形的面积1. 如图，由三条直线x a =，x b =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线()y f x =(()0f x ≥)围成的曲边梯形的面积：()[()()]b baaS f x dx f x g x dx ==-⎰⎰2.如图，由三条直线x a =，x b =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线()y f x =(0)(≤x f )围成的曲边梯形的面积：()()[()()]bb baaaS f x dx f x dx g x f x dx ==-=-⎰⎰⎰3．由三条直线,(),x a x b a c b x ==<<轴及一条曲线()y f x =（不妨设在区间[,]a c 上()0f x ≤，在区间[,]c b 上()0f x ≥）围成的图形的面积：()caS f x dx =+⎰()bcf x dx ⎰＝()c af x dx -⎰＋()bcf x dx ⎰.4. 如图，由曲线11()y f x =22()y f x =12()()f x f x ≥及直线x a =，x b =()a b <围成图形的面积：1212[()()]()()b b baaaS f x f x dx f x dx f x dx =-=-⎰⎰⎰要点诠释：研究定积分在平面几何中的应用，其实质就是全面理解定积分的几何意义： ① 当平面图形的曲边在x 轴上方时，容易转化为定积分求其面积；② 当平面图形的一部分在x 轴下方时，其在x 轴下的部分对应的定积分为负值，应取其相反数（或绝对值）；要点二、求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤（1）画出图形；（2）确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限； （3）确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置； （4）写出平面图形面积的定积分表达式；（5）运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积。
要点三、定积分在物理中的应用① 速直线运动的路程作变速直线运动的物体所经过的路程S ，等于其速度函数()(()0)v v t v t =≥在时间区间[,]a b 上的定积分，即()baS v t dt =⎰.②变力作功物体在变力()F x 的作用下做直线运动，并且物体沿着与()F x 相同的方向从x a =移动到x b =()a b <，那么变力()F x 所作的功W =()baF x dx ⎰.要点诠释：1. 利用定积分解决运动路程问题，分清运动过程中的变化情况是解决问题的关键。
应注意的是加速度的定积分是速度，速度的定积分是路程。
2. 求变力作功问题，要注意找准积分变量与积分区间。
【典型例题】类型一、求平面图形的面积【高清课堂：定积分的简单应用 385155 例1】例1．计算由两条抛物线2y x =和2y x =所围成的图形的面积.【思路点拨】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。
【解析】201y x x y x⎧=⎪⇒==⎨=⎪⎩及，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1）， 面积S=120x dx =-⎰⎰，所以1312320021211d 33333S x x x x x ⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭⎰⎰【总结升华】1. 两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。
2. 在直角坐标系下求平面图形的面积的四个步骤： ⑴．作图象；⑵．求交点，定积分上、下限； ⑶．用定积分表示所求的面积； ⑷．微积分基本定理求定积分。
举一反三：【变式】求曲线x y 2log =与曲线)(log x y -=42以及x 轴所围成的图形面积。
【答案】所求图形的面积为dy dy y f y g S y ⎰⎰⨯-=-11224)()()(【＝e e y y 210224224log |)log -=⨯-=（例2． 计算由直线y=x ―3和抛物线y 2=4x 所围成的平面图形的面积。
【思路点拨】画出简图，结合图形确定积分区间。
【解析】 画出直线y=x ―3和曲线y 2=4x 。
则所求平面图形的面积为如图1-5-3-7所示的阴影部分面积，解方程组234y x y x=-⎧⎨=⎩得交点A （1，―2），B （9，6）。
又直线y=x ―3与x 轴交于点D （3，0），过A 、D 作x 轴的垂线把阴影分割成 S 1、S 2、S 3、S 4四部分，则根据定积分的几何意义有1234S S S S S =+++3913301(3)]d (3)d x x x x x x =+-+-+-⎰⎰⎰⎰9313333222221003441413333232x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭324481494913272799333232322⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅-+-⋅++--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦41(1822133=-++=。
【总结升华】 从图形可以看出，所求图形的面积可以转化为一个梯形与两个曲线三角形面积的差，进而可以用定积分求出面积。
为了确定出被积函数和积分的上、下限，我们需要求出直线与曲线的交点的横坐标。
举一反三：【变式1】如右图，求直线y=2x+3与抛物线y=x 2所围成的图形面积。
【答案】由方程组223y x y x=+⎧⎨=⎩可得x 1=―1，x 2=3。
令311(23)d S x x -=+⎰，3221d S x x -=⎰，取2()3F x x x =+，则'()23F x x =+，从而311(23)d (3)(1)20S x x F F -=+=--=⎰。
取31()3G x x =，则2'()G x x =， 则321282d (3)(1)3S x x G G -==--=⎰。
∴12323S S S =-=。
【高清课堂：定积分的简单应用 385155 例2】 【变式2】计算由直线4y x =-，曲线y =x 轴所围图形的面积S.【答案】作出直线4y x =-，曲线y =解方程组4y y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得直线4y x =-与曲线y =8,4) .直线4y x =-与x 轴的交点为（4,0). 因此，所求图形的面积为S=S 1+S2844[(4)]x dx =+--⎰⎰⎰33482822044140||(4)|23x x x =-=. 类型二、求变速直线运动的路程例3．物体A 以速度231v t =+在一直线上运动，在此直线上与物体A 出发的同时，物体B 在物体A 的正前方5m 处以10v t =的速度与A 同向运动，问当两物体何时相遇？相遇时物体A 的走过的路程是多少？（时间单位为：s ，速度单位为：m/s ） 【思路点拨】对速度函数积分即可得物体A 所走过的路程，从而根据题意建立方程进行求解。
【解析】设A 追上B 时,所用的时间为0t 依题意有B 5A S S =+即20(31)105t t t dx tdx +=+⎰⎰，3200055t t t +=+，22000(1)5(1)t t t +=+，0t =5 (s)所以 A S =2055t +=130 (m)因此5秒后两物体相遇，此时物体A 走过了130米。
【总结升华】利用定积分解决物理问题，分清运动过程中的变化情况是解决问题的关键。
应注意的是加速度的定积分是速度，速度的定积分是路程。
举一反三：【变式】一辆汽车的速度-时间曲线如图1-5-3-9，求该汽车在这1 min 内行驶的路程。
【答案】由图象可得3 [0,10)()30 [10,40)1.590 [40,60]t t v t t t t ∈⎧⎪=∈⎨⎪-+∈⎩，由变速直线运动的路程公式可得10406010403d 30d ( 1.590)d S t t t t t =++-+⎰⎰⎰6010402210040333090135024t t t t ⎛⎫=++-+= ⎪⎝⎭。
故该汽车在1 min 内行驶的路程是1350 m 。
类型三、求变力做功例4. 一物体在变力236()(N)F x x =作用下沿坐标平面内x 辆正方向由x=8处运动到x=18处，求力()F x 做的功。
【思路点拨】对变力F 进行定积分即可得变力所作的功。
【解析】 如右图，阴影部分的面积即()F x 所做的功。
1818128836d 36S x x x -==-⎰1195(3618)(368)(2)22--⎛⎫=-⋅--⋅=---= ⎪⎝⎭， ∴()F x 做的功5J 2W =。
【总结升华】求变力作功问题，一般利用定积分加以解决，但要注意寻找积分变量与积分区间。
举一反三：【高清课堂：定积分的简单应用 385155 例5】 【变式】求证： 把质量为m （单位kg ）的物体从地球的表面升高h （单位：m ）处所做的功W = G ·()Mmhk k h +，其中G 是地球引力常数，M 是地球的质量，k 是地球的半径．【答案】 根据万有引力定律，知道对于两个距离为r ，质量分别为m 1、m 2的质点，它们之间的引力f 为f = G ·122m m r ，其中G 为引力常数． 则当质量为m 物体距离地面高度为x （0≤x ≤h ）时，地心对它有引力f (x ) = G ·2()Mm k x +故该物体从地面升到h 处所做的功为 0()hW f x =⎰d x =2()hMm G k x ⋅+⎰·d x = GMm 201()h k x +⎰dx = GMm 01()|hk x -+ =11()()MnhGMm G k h k k k h -+=⋅++． 类型四、定积分的综合应用例5. 在曲线y=x 2（x ≥0）上某一点A 处作一切线，使之与曲线以及x轴所围成图形的面积为112，求： （1）切点A 的坐标。
（2）过切点A 的切线方程。
【思路点拨】切线的斜率即是函数在切点处的导数值,再由积分式算出围成图形的面积。
【解析】 如图，设切点A （x 0，y 0），由y ＇=2x 知过A 点的切线方程为y ―y 0=2x 0(x ―x 0)，即2002y x x x =-。
令y=0，得02x x =，即0,02x C ⎛⎫⎪⎝⎭。
设由曲线与过A 点的切线及x 轴所围成图形的面积为S ，ABC AOB S S S ∆∆=-曲边0023300011d 33xx AOB S x x x x ∆===⎰曲边，2300001112224ABC x S BC AB x x x ∆⎛⎫=⋅=-⋅= ⎪⎝⎭。