定积分的简单应用——求体积
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旋转一周所得旋转体的体积为V，如何求V
在区间[a,b]内插入n1个分点，使a xo捲X2Lxn!xnb，把曲线
y f(x)(a x b)分割成n个垂直于x轴的“小长条”，如图甲所示。设第i个“小长条”
的宽是x Xixi，i 1,2,L ,n。这个“小长条”绕x轴旋转一周就得到一个厚度是Xi的
小圆片，如图乙所示。当 人很小时，第i个小圆片近似于底面半径为y f (x)的小圆柱。 因此，第i个小圆台的体积Vi近似为Vif2(x)X
a
2.利用定积分求旋转体的体积
(1)找准被旋转的平面图形，它的边界曲线直接决定被积函数
(2)分清端点
(3)确定几何体的构造
ห้องสมุดไป่ตู้(4)利用定积分进行体积计算
3.一个以y轴为中心轴的旋转体的体积
一一b o
若求绕y轴旋转得到的旋转体的体积，则积分变量变为y，其公式为vg2(y)dy
a
类型一：求简单几何体的体积
该几何体的体积V等于所有小圆柱的体积和：
2 2 2
V[ f (xi) xif (X2)X2L f (xn) Xn]
这个问题就是积分问题，则有：
b2b2
Vf (x)dx f (x)dx
aa
归纳:
设旋转体是由连续曲线y f(x)和直线x a,x b及x轴围成的曲边梯形绕x轴旋转
bo
而成，贝U所得到的几何体的体积为Vf2(x)dx
定积分的简单应用
复习：
(1)求曲边梯形面积的方法是什么
(2)定积分的几何意义是什么
(3)微积分基本定理是什么
引入：
我们前面学习了定积分的简单应用一一求面积。求体积问题也是定积分的一个重要应用。
下面我们介绍一些简单旋转几何体体积的求法。
1.简单几何体的体积计算
问题：设由连续曲线y f(x)和直线x a，x b及x轴围成的平面图形(如图甲)绕x轴
例1：给定一个边长为a的正方形，绕其一边旋转一周，得到一个几何体，求它的体积
思路：
由旋转体体积的求法知，先建立平面直角坐标系，写出正方形旋转轴对边的方程，确定
积分上、下限，确定被积函数即可求出体积。
解：以正方形的一个顶点为原点，两边所在的直线为x, y轴建立如图所示的平面直角坐标系,
在区间[a,b]内插入n1个分点，使a xo捲X2Lxn!xnb，把曲线
y f(x)(a x b)分割成n个垂直于x轴的“小长条”，如图甲所示。设第i个“小长条”
的宽是x Xixi，i 1,2,L ,n。这个“小长条”绕x轴旋转一周就得到一个厚度是Xi的
小圆片，如图乙所示。当 人很小时，第i个小圆片近似于底面半径为y f (x)的小圆柱。 因此，第i个小圆台的体积Vi近似为Vif2(x)X
a
2.利用定积分求旋转体的体积
(1)找准被旋转的平面图形，它的边界曲线直接决定被积函数
(2)分清端点
(3)确定几何体的构造
ห้องสมุดไป่ตู้(4)利用定积分进行体积计算
3.一个以y轴为中心轴的旋转体的体积
一一b o
若求绕y轴旋转得到的旋转体的体积，则积分变量变为y，其公式为vg2(y)dy
a
类型一：求简单几何体的体积
该几何体的体积V等于所有小圆柱的体积和：
2 2 2
V[ f (xi) xif (X2)X2L f (xn) Xn]
这个问题就是积分问题，则有：
b2b2
Vf (x)dx f (x)dx
aa
归纳:
设旋转体是由连续曲线y f(x)和直线x a,x b及x轴围成的曲边梯形绕x轴旋转
bo
而成，贝U所得到的几何体的体积为Vf2(x)dx
定积分的简单应用
复习：
(1)求曲边梯形面积的方法是什么
(2)定积分的几何意义是什么
(3)微积分基本定理是什么
引入：
我们前面学习了定积分的简单应用一一求面积。求体积问题也是定积分的一个重要应用。
下面我们介绍一些简单旋转几何体体积的求法。
1.简单几何体的体积计算
问题：设由连续曲线y f(x)和直线x a，x b及x轴围成的平面图形(如图甲)绕x轴
例1：给定一个边长为a的正方形，绕其一边旋转一周，得到一个几何体，求它的体积
思路：
由旋转体体积的求法知，先建立平面直角坐标系，写出正方形旋转轴对边的方程，确定
积分上、下限，确定被积函数即可求出体积。
解：以正方形的一个顶点为原点，两边所在的直线为x, y轴建立如图所示的平面直角坐标系,