§1.7定积分的简单应用

定积分的简单应用

一：教学目标 知识与技能目标

1、 进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法；

2、 让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；

3、 初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法；

4、 体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。

过程与方法 情感态度与价值观 二：教学重难点 重点 曲边梯形面积的求法

难点 定积分求体积以及在物理中应用

三：教学过程：

1、复习

1、求曲边梯形的思想方法是什么？

2、定积分的几何意义是什么？

3、微积分基本定理是什么？ 2、定积分的应用

（一）利用定积分求平面图形的面积

例1．计算由两条抛物线2

y x =和2

y x =所围成的图形的面积.

【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。

解：2

01y x x x y x

⎧=⎪⇒==⎨

=⎪⎩及，所以两曲线的交点为

（0，0）、（1，1），面积S=1

1

20

xdx x dx =

-⎰

⎰，所以

⎰1

2

0S =(x -x )dx 321

3

023

3x

x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=13

【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤： 1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。

2

x y =y x

A B

C D O

巩固练习 计算由曲线36y x x =-和2

y x =所围成的图形的面积. 例2．计算由直线4y x =-，曲线2y x =

以及x 轴所围图形的面积S.

分析：首先画出草图（图1.7 一2 ) ，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯

形的面积问题．与例 1 不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S 1和S 2．为了确定出被积函数和积分的上、下限，需要求出直线4y x =-与曲线2y x =的交点的横坐标，

直线4y x =-与 x 轴的交点．

解：作出直线4y x =-，曲线2y x =的草图，所求面积为图1. 7一2 阴影部分的

面积．

解方程组2,

4

y x y x ⎧=⎪⎨

=-⎪⎩

得直线4y x =-与曲线2y x =

的交点的坐标为（8,4) .

直线4y x =-与x 轴的交点为（4,0). 因此，所求图形的面积为S=S 1+S 2

4

8

8

4

4

2[2(4)]xdx xdx x dx =+--⎰

⎰

⎰

334

82822044

2222140||(4)|23

x x x =+-=. 由上面的例题可以发现，在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，

再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限．

例3.求曲线],

[sin 320π∈=x x y 与直线,,3

20π==x x x 轴所围成的图形面积。

答案： 2

33

2320

=

-=⎰

ππo x

xdx S |cos sin ＝ 练习

1、求直线32+=x y 与抛物线2x y =所围成的图形面积。

答案：3

32

33323132

23

1=

-+=--⎰

|))x x x dx x x S （－＋（＝

2、求由抛物线342-+-=x x y 及其在点M （0，－3） 和N （3，0）处的两条切线所围成的图形的面积。 略解：42+-=x y / ，切线方程分别为34-=x y 、

62+-=x y ，则所求图形的面积为

4346234342

23

3

2

3

2＝＝

dx x x x dx x x x S )]()[()]()[(-+--+-+

-+---⎰

⎰

3、求曲线x y 2log =与曲线)(log x y -=42以及x 轴所围成的图形面积。 略解：所求图形的面积为

dy dy y f y g S y ⎰

⎰

⨯-=

-1

1

224)()()(【＝

e e y y 210224224log |)log -=⨯-=（

4、在曲线)0(2

≥=x x y 上的某点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成的面积为

12

1

.试求：切点A 的坐标以及切线方程. 略解：如图由题可设切点坐标为

),2

00x x （，则切线方程 为2

002x x x y -=，切线与x 轴的交点坐标为

),(02

0x

，则由题可知有1212202

2

002

20

2

00=

=+-+=⎰

⎰

dx x x x x dx x S x x x )( x

x

O y=x 2

A

B C

x

y

o

y=－x 2+4x-3