定积分在几何上的应用体积、弧长

o
A M0
x
并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目 无限增加且每个小弧段都缩向一点时，
此折线的长 | M i 1 M i |的极限存在，则称此极限为 曲线弧 AB 的弧长，并称此曲线弧是可求长的.
⌒
i 1 n
定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.
2. 平面曲线的弧长计算公式
(1) 曲线方程为直角坐标表示
截面面积
1 1 2 A( x ) y y tan ( R x 2 )tan ， 2 2
体积
ox

y
R
x
2 3 1 R 2 2 V A( x )dx R (R x ) tan dx R tan . R 3 2

R
思考: 可否选择 y 作积分变量 ?
h 2
r2
h 0
1 2 r h. 3
例4. 计算由椭圆 转而成的椭球体的体积.
所围图形绕 x 轴旋转而
y
解: 方法1 利用直角坐标方程
b
o
则
x
ax
V 2 y 2 dx
0
a
(利用对称性)
b2 a 2 2 2 (a x 2 ) dx a 0 b2 2 1 3 a 4 2 2 a x x ab 2 3 0 3 a
解
取坐标系如图 底圆方程为
x 2 y 2 R2，
y
h
o
x
R
x
垂直于x 轴的截面为等腰三角形
截面面积
A( x) h | y | h R2 x 2
R
立体体积 V h R
1 2 R x dx 2 R h.
2 2
2. 旋转体的体积
一平面图形绕该平面内一条定直线旋转一周 而成的立体称为旋转体．定直线称为旋转轴．
x
dx
a x x dx b
ds 1 y2 dx
弧长
2 ds 1 x（y） dy
s
b
a
1 y 2 dx.
s

d c
1 x 2 ( y )dy .
注： 上限大于下限
2.曲线方程为参数表示
x (t ) , 曲线弧为 y (t )
( t )
b a
A(x) a
x
x+dx b x
例1 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心，并与底面交 成角 ，计算这平面截圆柱体所得有限部分立体的体积. 解
取坐标系如图， 底圆方程为 x 2 y 2 R2
任取 x [ R, R] 过点 x 作平面垂直于 x 轴，
截立体的截面为直角三角形.
方法2 利用椭圆参数方程
则
V 2 y dx 2 2 ab 2 sin 3 tdt 0 0 2 2 2 ab 1 3 4 ab 2 3
2
a

4 3 特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积 a . 3
例 5 求由圆 x 2 ( y 2)2 1所围的图形绕 x 轴旋转
b a
(柱壳法)
三、平面曲线的弧长
1. 平面曲线的弧长的概念 2. 平面曲线的弧长的计算公式
直角坐标情形 参数方程情形 极坐标情形
1. 平面曲线的弧长的概念
设 A、 B 是曲线弧上的两 个端点，在弧上插入分点
y
M2
M1 M n1
B Mn
A M 0 , M 1 , M i , , M n 1 , M n B
4
例7.
x a ( t sin t ) 计算由摆线 一拱 (0 t 2 ) y a(1 cos t )
与x轴
所围的图形绕 y轴旋转而成的立体体积. 解 取 y为积分变量，则 y [0, 2a]，
y处的截面为圆环面，面积为
y
A( y) [ x22 ( y) x12 ( y)]
x ( y)
其体积为
V x dy 2 ( y )dy.
2 c d
c
o
d c
x
V [ ( y )]2 dy
d c
注意：该积分公式的适用条件
1、旋转轴为轴; y
2、 旋 转 平 面 图 形 是 一 由 连 续 曲 线 ( y )、 个 x y c、y d及y轴 所 围 成 ， 即 图 形 的 边 在 一 y轴 上;
其中 ( t ), ( t ) 在[ , ] 上具有连续导数.
2 2 2 ds (dx )2 (dy )2 [ ( t ) ( t )](dt )
2 ( t ) 2 ( t )dt
弧长
s


2 ( t ) 2 ( t )dt ( )
此时截面面积是什么 ?
如何用定积分表示体积 ? 提示: A( y ) 2 | x | y tan
2tan y R y
2 2

y
( x, y )
o
R
x
2 3 V 2 tan y R y d y R tan . 0 3
R
2 2
例 2 求以半径为 R 的圆为底、平行且等于底 圆直径的线段为顶、高为 h 的正劈锥体的体积.
绕直线 y 1旋转而成的旋转体体积 .
解
V ( y2 y1 )dx
2 2 0

截面是环面
[(sin x 1) 2 1]dx
0

(sin2 x 2 sin x )dx
0


2
2
4 .
V× ( y2 y1 ) dx (sin x 1)2 dx
绕 y 轴旋转一周而成，求其体积.
(柱壳法)
体积元素 dV 2 x f ( x)dx
V 2 x f ( x )dx
b a
y2 x
利用这个公式，可知上 例6 中
x4
V y 2 x 2 x dx 4
0
4
4
0
256 x dx 5
3 2
旋转轴不是坐标轴的情形: 例 8 求 y sin x、x 0、x 及 y 0所围图形
a
b
注意：该积分公式的适用条件
1 、x轴 是 旋 转 轴 ;
2、 旋 转 平 面 图 形 是 一 由 连 续 曲 线 f ( x )、 个 y x a、x b及x轴 所 围 成 ， 即 图 形 的 边 一 在x轴 上;
一般地，由连续曲线 y f1 ( x )， f2 ( x )， y （0 f1 ( x ) f2 ( x ) ），以及直线 x a，x b (a b ) 所围图形绕 x 轴旋转一周所成立体的体积为
例6 求曲线 y 2 4 x 及 x 4、y 0 所围图形
绕 y 轴旋转而成的旋转体体积Vy .
解 取 y为积分变量，则 y [0, 4]，
y处的截面为圆环面，面积为
y4 A( y ) (16 ) 16
y4 Vy (16 )dy 0 16 1 5 4 256 . 64 y |0 5 80
x h 及 x 轴围成一个直角三角形 ，将它绕 x 轴
旋转得到一个底半径为r，高为 h 的圆锥体，
计算圆锥体的体积．
y
P
解 直线 OP 方程为
r y x h
o
r
x
h
x
ù Ô ² ¶ å Ä å ý Ë Ò Ô ×Ì µ Ì »
r 2 x3 V x dx 0 h 3h
2a C
V y [ x2
0
2a
2
( y)
x1
2
( y)]dy
o
B x x2 ( y ) x x1 ( y ) A
2 a
x

2a
0
x2
2
( y )dy
2
0
2a
x12 ( y )dy
a
2

3
( t sin t ) sin tdt
a
一百度文库而成的环体的体积.
解
取 x为积分变量，则 x [1,1]，
上半圆的方程为 y 2 1 x 2 , 下半圆的方程为 y 2 1 x 2 ,
x处的截面为圆环面，面积为
2 2 A( x ) （2 1 x 2 ） 2 1 x 2 ）] 8 1 x 2 [ （
3
0
2
0

a 3 (t sin t )2 sin tdt
( t sin t )2 sin tdt 6 3a 3
如果旋转体由曲线 y f ( x ) ( f ( x ) 0)
±ß Ö Ï x a ¡ x b (0 a b ) ¼ x Ö Ë Î ³ µ Ç ±Ì Ð ¢ ° á ù §É Ä ú ß Ý Î
设曲线弧为 y f ( x ) (a x b) ，其中 f ( x ) 在[a , b]
上有一阶连续导数, 取积分变量为 x ，
y
在[a , b]上任取小区间[ x , x dx ]，
以对应小切线段的长代替小弧段的长
小切线段的长 弧长微元 ds (dx)2 (dy)2
o

dy
二、立体的体积
1. 平行截面面积为已知的立体体积 2. 旋转体的体积
1. 平行截面面积为已知的立体体积
已知平行截面面积为A( x )的立体，求其体积.
取 x 为积分变量，在 [a, b] 上任取一小区间 [ x, x dx]，
相应的小片立体的体积微元
dV A( x )dx
V A( x )dx.
y f ( x)
o
x x dx
x
取 以f ( x )为 底 半 径 、 为 高 的 扁 圆 柱 体 的 dx 体 积 为 体 积 元 素 ， 即 [ f ( x )]2 dx dV
则旋转体的体积为 V [ f ( x )]2 dx
a
b
V [ f ( x )]2 dx
任取 x [a , b]，
过点 x 作平面垂直于 x 轴，
截旋转体的截面为环面，其面积为
A( x ) [ f 2 2 ( x ) f12 ( x )]
体积为
V [ f 2 ( x ) f1 ( x )]dx.
b 2 2 a
例3
连接坐标原点O 及点 P ( h, r ) 的直线，直线
圆柱
圆锥
圆台
思考:如果旋转体是由连续曲线 y f ( x ) 、直线 x a 、 x b 及 x轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋 转一周而成的立体，体积为多少？
x 取积分变量为 x ， [a , b] y
在[a , b]上任取小区间 [ x , x dx ]，对于该区 间上的薄片体积，
所求的体积为
V A( x ) dx 8
1 1
1 1
4 2 1 x dx
2
类似地，如果旋转体是由连续曲线
x ( y ) 、直线 y c 、 y d 及 y 轴所围成的
曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的立体，体积计算 如下：
y
d
2
y 处的截面面积
2 ( y )， A( y ) x
弧长
s


2 ( ) 2 ( )d .
注意： ds
( )d
2 3 例 1 计算曲线 y x 2 上相应于 x 从 a 到 b 的一段 3
弧的长度.
解 y x ,
1 2
ds 1 ( x )2 dx 1 xdx,
a
b
1 2
所求弧长为
s a
b
2 1 xdx [(1 b) (1 a ) ]. 3
3 2 3 2
3 3 例2. 计算星形线x a cos t , y a sin t (a 0)的全长.
解 由对称性，星形线的全长为其在第一象限弧长 的4倍. 选 t 为积分变量，t [0, ], 2 x( t ) 3a cos2 t sin t ,
2 0 0
常见错误


小结： 已知平行截面面面积已知的立体体积
V A( x )dx
b a
旋转体的体积
2
绕 x 轴 : A( x ) y
Vx y dx
b 2 a
2
绕y轴:
A( y ) x
V y x 2 dy
d c
dV 2 xydx
V y 2 x f ( x )dx
3.曲线方程为极坐标表示
曲线弧为 ( ) ( )
( )
其中 ( ) 在[ , ]上具有连续导数.
x ( )cos y ( )sin
2
ds
( )
o
2
x
2 ( ) 2 ( )d , ds (dx ) (dy )