定积分在几何上的应用体积、弧长
定积分的概念和意义
定积分的概念和意义定积分是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在一个区间上的累积效应。
在数学和物理学等领域中，定积分有着广泛的应用和重要的意义。
本文将介绍定积分的概念和意义，并探讨其在实际问题中的应用。
一、定积分的概念定积分是无穷小和的极限，用于描述函数在一个区间上的累积效应。
假设我们有一个函数f(x)，在区间[a, b]上进行积分运算就是计算该区间上函数f(x)的面积。
为了计算这个面积，我们将区间[a, b]分成许多小的子区间，然后在每个子区间中找到一个代表点，将函数在该点的取值乘以该子区间的长度，然后将所有的乘积相加求和。
当我们把子区间的数量无限增大，子区间的长度趋近于零时，这个累积和就趋近于一个确定的值，这个确定的值就是定积分。
定积分的表示方式为∫[a, b]f(x)dx，其中∫表示积分运算符，[a, b]表示积分的区间，f(x)表示要积分的函数，而dx表示积分的变量。
二、定积分的意义定积分具有重要的意义，它在数学和物理学中具有广泛的应用，并且为解决实际问题提供了数学工具。
下面将介绍定积分的几个主要意义。
1. 几何意义：定积分可以用于计算曲线与坐标轴之间的面积。
例如，当函数f(x)大于等于零时，定积分∫[a, b]f(x)dx表示了曲线y=f(x)与x轴以及直线x=a和x=b所包围的面积。
这个面积可以用定积分来精确计算。
2. 物理意义：定积分可以应用于物理学中的速度、加速度、质量、功等概念。
例如，当把速度函数v(t)对时间t积分，得到的就是物体在一段时间内的位移。
同样地，将加速度函数a(t)对时间t积分，得到的就是速度的变化量，即位移的变化。
3. 统计意义：定积分可以用于统计学中的概率密度函数和累积分布函数的计算。
概率密度函数描述了连续随机变量的概率分布情况，而累积分布函数给出了该变量取值小于等于某个特定值的概率。
通过计算概率密度函数和累积分布函数的积分，可以得到各种随机变量的概率和期望值等重要统计量。
定积分的概念分析
定积分的概念分析定积分是微积分学中的重要概念之一，是对函数在一个闭区间上的加和运算。
它在物理学、经济学和工程学等领域有广泛的应用。
本文将对定积分的概念进行分析，并介绍一些相关性质和应用。
一、定积分的定义在介绍定积分的具体定义之前，先引入一些必要的概念。
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则将[a,b]等分为n个小区间，每个小区间的宽度为Δx。
在每个小区间上任取一个点ξi，并设Δx的极限为0，这时ξi变成了[a,b]上的任意一点x。
那么，将每个小区间上的函数值f(ξi)与对应小区间宽度Δx的乘积相加，即可得到一个加和运算，这个加和运算就是函数f(x)在闭区间[a,b]上的定积分，记作∫[a,b]f(x)dx。
定积分可以理解为一个求和的动作，将函数在一个区间上的无穷多个微小部分的面积或者长度，加和成一个整体。
二、定积分的几何意义几何上，定积分可以理解为曲线与坐标轴之间的有符号面积。
具体而言，设函数f(x)在闭区间[a,b]上非负，那么函数f(x)的图像与x轴之间的面积就等于定积分∫[a,b]f(x)dx。
如果函数f(x)在闭区间[a,b]上存在有负值的部分，那么对应的面积就具有有符号性，即正值部分与负值部分相互抵消。
三、定积分的性质1. 积分的线性性质：对于任意两个函数f(x)和g(x)，以及实数a和b，有∫[a,b](af(x) + bg(x))dx = a∫[a,b]f(x)dx + b∫[a,b]g(x)dx。
2. 积分的次序性：对于任意两个实数a和b，当a < b时，有∫[a,b]f(x)dx = -∫[b,a]f(x)dx。
3. 积分的区间可加性：对于任意三个实数a、b和c，当a < b < c 时，有∫[a,c]f(x)dx = ∫[a,b]f(x)dx + ∫[b,c]f(x)dx。
4. 积分的常数性质：当f(x)在闭区间[a,b]上连续时，有∫[a,b]dx = b - a。
高数课件第六章定积分的应用：第二节定积分的几何应用
y
c
b O
x
bx
x
x x 1 sh dx ch dx c c b x xb s 2 ch dx 2c sh 0 c c 0 x b 1 x 2c sh ( c ch ) c sh c c c c
2
e e ch x 2 x x e e sh x 2 (ch x) sh x
Hale Waihona Puke 2 (t ) 2 (t ) d t
因此所求弧长
s
2 (t ) 2 (t ) d t
(3) 曲线弧由极坐标方程给出:
令 x r ( ) cos , y r ( ) sin , 则得
dx [r ( ) cos r ( ) sin ]d dy [r ( ) sin r ( ) cos ]d
2
选 x 为积分变量 (1) x [2, 0], dA1 ( x 3 6 x x 2 )dx 于是所求面积 A A1 A2
特别注意:
各积分区间 A ( x 3 6 x x 2 )dx 0 (x x 6 x)dx 上被积函数的 2 253 形式不同． . 12
0
3
2
3
x2 1 练习：1.求曲线 y , y 与直线 x 3 2 1 x 2
x 3 所围成的图形的面积。
2.求曲线 xy 1 与直线
x y 0 y 2
x y 2
P1
2
所围成的图形的面积。 2014考研题
提示：1
P2
y
1
32 1 0 2 1 1 3 x 1 x 1 1 s 2[ ( )d x ( ( 3 3 2) ) d x ] 2 0 1 x 1 3 2 2 1 x2
定积分在几何学上的应用
成的图形的面积.
解 两曲线的交点
y2 2x y x4
(2 , 2 )(,8 ,4 ).
yx4
y2 2x
选 y为积分变量 y[2,4]
dAy4y2dy
4
A dA18.
2
2
整理ppt
6
如果曲边梯形的曲边为参数方程
x y
(t) (t)
曲边梯形的面积 A t2(t)(t)d.t t1
（ 其 中 t 1 和 t 2 对 应 曲 线 起 点 与 终 点 的 参 数 值 ）
就得半径为a
的球体的体积
4 3
a3
.
整理ppt
21
2
2
2
例 9 求星形线 x 3 y 3 a 3 (a 0)绕 x轴旋转
构成旋转体的体积.
y
2
2
2
解 y3 a3 x3,
y2
a32
2
x3
3
a
x[a,a]
o
ax
旋 转 体 的 体 积
V
aaa32
2
x3
3
dx
32 a3 105
.
整理ppt
22
25
绕 y 轴 旋 转 的 旋 转 体 体 积 2ayC B xx2(y)
可看作平面图OABC与OBC o xx1(y)
A
2a x
分别绕y轴旋转构成旋转体的体积之差.
Vy
2ax22(y)dt
0
2ax12(y)dt
0
a2(tsit)n 2asitn dt 2 a2(tsit)n 2asitn dt 0
0
整理ppt
28
例 求曲线 y3x21 与 x 轴围成的封闭图形
高等数学(第三版)课件：定积分的应用
线 y f ( x，) 直线 x a, x b (a b) 与
• x 轴围成的面积是在x 轴上方和下方曲边梯形
面积的差.
• • 同样可由微元法分析
•⒉ 一般地，根据微元法由曲线 y f ( x), y g( x),
• ( f ( x) g( x)) 及直线x a, x b 所围的图形
• 面积.（右图所示）
• 解: 取 为积分变量,
•
面积微元为
d
A
1 2
(a )2
d
• 于是
A 2 1 (a )2d a 2 2
02
23
2 4 a 2 3
03
• 例5 计算双纽线 r 2 a2 cos2 (a 0)
•
所围成的平面图形的面积（下图所示）
• 解 因 r 2 0,故 的变化范围是 [ 3 , 5 ,]
• ⑴分割区间[a,b],将所求量(曲边梯形面积 A )
分为部分量(小曲边梯形面积 Ai）之和;
• ⑵确定各部分量的近似值(小矩形面积);
Ai f (i )xi
• ⑶求和得所求量的近似值（各小矩形面积之和);
n
A f (i )xi
i 1
• ⑷对和式取极限得所求量的精确值（曲边梯形面积）.
n
A lim 0
• 它表示高为f ( x) 、底为 dx 的一个矩形面积.
• ⑵由定积分几何意义可知,当 f (x) 0 时,由曲
线 y f (x)，直线 x a, x b (a b) 与 x 轴所围成
的曲边梯形的面积A为
A
b
f (x)dx
.
a
• ⑶当 f ( x)在区间 [a, b]上的值有正有负时，则曲
•
第一节 定积分在几何上的应用6-1
所围图形绕 x 轴旋转
而成的椭球体的体积. 解: 方法1 利用直角坐标方程
y b
o x ax
则 V 2 a y2 dx 0
(利用对称性)
2
b2 a2
a
(a
2
x2
)
dx
0
2
b2 a2
a2 x
1 3
x3
a 0
4 ab2
3
方法2 利用椭圆参数方程
则 V 20a y2 dx 2 ab2 sin3t d t
2
0
4 3 a2
3
对应 从 0 变
2 a
o
x
d
例6. 计算心形线
与圆
所围图形的面积 .
1 2cos cos 2
解: 利用对称性 , 所求面积
A
1a2 2
2
1 a2 (1 cos )2 d
2
1 2
(1
cos
2
)
1 a2 a2 (3 2cos 1 cos 2 )d
b
b
A a dA( x) a f ( x)dx.
y
妨此可得（图1）的面积： d
A
d
dA( y)
d
f ( y)dy.
y
c
c
c
（图2）的面积：
y
O
y f2(x)
y f1( x)
oa
x bx
（图2）
A
b[ a
f2(x)
f1( x)]dx
A
x=f(y)
（图1）
及 y 轴所围曲边梯形绕 y 轴的旋转体的体积计算公式
定积分的思想总结和应用
定积分的思想总结和应用定积分是微积分中的一个重要概念，它是求曲线和坐标轴之间的面积的方法。
在实际应用中，定积分有着广泛的应用，包括求面积、计算物体的质量、求解概率等。
首先，定积分的思想是将曲线和坐标轴之间的面积进行分割，并进行求和得到最终结果。
具体来说，我们可以将曲线分割成无穷小的小矩形，并计算每个小矩形的面积，然后将这些面积进行累加即可得到整个曲线和坐标轴之间的面积。
这就是定积分的基本思想。
其次，定积分的应用十分广泛。
一个最基本的应用就是求平面图形的面积。
例如，我们可以通过定积分来计算圆的面积、三角形的面积等。
具体来说，我们可以将这些图形进行分割，并计算每个小矩形的面积，然后进行累加即可得到图形的面积。
此外，定积分还可以用于计算物体的质量。
我们知道，物体的质量可以通过密度和体积来计算，而定积分可以帮助我们计算出物体的体积。
例如，我们可以将物体进行分割，并计算每个小矩形的体积，然后进行累加即可得到整个物体的体积。
再通过密度与体积的乘积，就可以求得物体的质量。
此外，定积分还可以应用于求解一些概率问题。
例如，我们可以通过定积分来计算概率密度函数下的概率。
具体来说，概率密度函数表示了某个随机变量落在某个区间的概率，而定积分可以将这个概率密度函数下的概率求解出来。
这在概率统计学中有着很重要的应用，例如求正态分布下某个区间的概率等。
此外，定积分还可以用于求解一些几何问题。
例如，我们可以通过定积分来计算曲线的弧长。
具体来说，我们可以将曲线进行分割，并计算每个小矩形的弧长，然后进行累加即可得到整个曲线的弧长。
这在几何学中有着很重要的应用，例如求解圆的弧长、椭圆弧的长度等。
总之，定积分是微积分中的一个重要概念，它的思想是将曲线和坐标轴之间的面积进行分割并进行求和。
在实际应用中，定积分有着广泛的应用，包括求面积、计算物体的质量、求解概率等。
通过定积分，我们可以解决一些实际问题，对于深入理解和应用微积分都具有重要意义。
定积分的几何应用(面积和弧长)
精确值
一、 平面图形的面积
二、 平面曲线的弧长
定积分在几何学上的应用
一、平面图形的面积
1. 直角坐标情形
设曲线
与直线
及 x 轴所围曲
则
边梯形面积为 A ,
右下图所示图形面积为
O
O
例1. 计算两条抛物线
在第一象限所围
图形的面积 .
解: 由
得交点
O
例2. 计算抛物线
与直线
的面积 .
的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .
解:
O
2. 极坐标情形
求由曲线
及
围成的曲边扇形的面积 .
在区间
上任取小区间
则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
所求曲边扇形的面积为
O
对应 从 0 变
例5. 计算阿基米德螺线
解:
到 2 所围图形面积 .
O
例6. 计算心形线
所围图形的
面积 .
提示: 交点为
弧线段部分
直线段部分
以 x 为积分变量 , 则要分
两段积分,
故以 y 为积分变量.
解：
2. 求曲线
所围图形的面积.
显然
面积为
同理其他.
又
故在区域
答案:
O
二、平面曲线的弧长
定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 ,
当折线段的最大
边长 →0 时,
折线的长度之和趋向于一个确定的极限 ,
则称此极限为曲线弧 AB 的弧长 ,
即
并称此曲线弧为可求长的.
定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.
(证明略)
(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:
定积分在几何上的应用 主要是平面几何、立体几何和弧长
定积分在几何上的应用非常广泛，主要包括平面几何、立体几何和弧长三个方面。
在平面几何中，定积分可以用来求解面积。
例如，如果有一个曲线y=f(x)，那么这条曲线与x轴所夹的面积可以通过对f(x)在x的某个区间[a,b]上进行定积分来求解。
此外，定积分也可以用来求解平面图形的面积，比如矩形、圆形、椭圆形等。
在立体几何中，定积分可以用来求解体积。
例如，如果有一个旋转体，它的基圆半径为r，高为h，那么这个旋转体的体积可以通过对基圆的周长进行定积分来求解。
此外，定积分也可以用来求解其他形状的体积，比如球体、圆锥体、圆柱体等。
在弧长方面，定积分也有应用。
例如，如果有一条曲线的长度为s，那么这条曲线的长度可以通过对曲线的斜率进行定积分来求解。
此外，定积分也可以用来求解其他形状的长度，比如圆弧、摆线等。
总的来说，定积分在几何上的应用非常广泛，它可以用来解决各种与几何量有关的计算问题。
定积分的几何应用公式总结
定积分在几何上的应用公式及其应用定积分的几何应用公式主要包括以下几种：
1.曲线长度公式：设曲线L的参数方程为x=f(t)，y=g(t)，t∈[a,b]，则曲线
L的长度L可表示为定积分形式：L = ∫[a,b]√[f'(t)² + g'(t)²] dt。
2.曲线旋转体体积公式：设曲线L的参数方程为x=f(t)，y=g(t)，t∈[a,b]，
绕x轴旋转一周生成的曲面的体积V可表示为定积分形式：V = π∫[a,b] [f(t)]^2 dt。
3.平面图形面积公式：如果平面区域D由曲线y=f(x)和直线x=a，x=b以及
x轴围成，则该平面图形的面积为A = ∫(a,b) [f(x)] dx。
4.旋转体侧面积公式：设曲线y=f(x)在[a,b]上非负、连续、且f(0)=0，则由
该曲线及直线y=0，x=a，x=b所围成的柱体的侧面积为S = ∫(a,b) [2πxf(x)] dx。
这些公式都是定积分在几何上的重要应用，可以通过这些公式解决实际问题。
定积分的几何意义公式
定积分的几何意义公式定积分是微积分中的重要概念之一，它在几何学中有着重要的应用。
定积分的几何意义可以通过以下公式来描述：定积分的几何意义公式：∫[a,b] f(x)dx = S其中，∫表示积分符号，[a,b]表示积分区间，f(x)表示被积函数，dx表示自变量，S表示曲线与x轴之间的面积。
这个公式表达了定积分的几何意义，即一个函数在一个区间上的定积分等于这个函数与x轴之间的曲线面积。
为了更好地理解这个公式，我们可以通过一些具体的例子来说明。
例子1：考虑函数f(x) = x²在区间[0,1]上的定积分。
根据定积分的几何意义公式，我们可以计算出这个定积分的值为∫[0,1] x²dx = 1/3。
这意味着函数f(x) = x²与x轴之间的曲线面积为1/3。
例子2：再考虑函数f(x) = sin(x)在区间[0,π/2]上的定积分。
根据定积分的几何意义公式，我们可以计算出这个定积分的值为∫[0,π/2] sin(x)dx = 1。
这意味着函数f(x) = sin(x)与x轴之间的曲线面积为1。
从以上的例子可以看出，定积分的几何意义公式可以帮助我们计算函数与x轴之间的曲线面积。
对于非负函数来说，定积分的值就是曲线与x轴之间的面积；对于有正负号的函数来说，定积分的值可以表示曲线与x轴之间的面积的代数和。
除了计算曲线面积外，定积分的几何意义还可以用来计算弧长、体积等几何量。
例如，我们可以通过定积分来计算曲线的弧长，或者通过定积分来计算旋转体的体积。
总结起来，定积分的几何意义公式是一个重要的工具，它可以帮助我们计算函数与x轴之间的曲线面积，以及其他几何量。
通过理解和应用这个公式，我们可以更好地理解定积分的几何意义，并将其应用于解决实际问题中。
S299大学高数6(2)
5 2a3 .
26
定积分在几何学上的应用
绕 y轴旋转的旋转体体积
摆线
x y
a(t a(1
sin t ) cos t)
可看作平面图OABC与OBC
y
分别绕 y轴旋转构成的旋转
2aC
B x x2( y)
体的体积之差.
Vy
2a(B)
x
2
2
(
y
)dy
2a(B)
x
2
1
(
y
)dy
oO
x
x1
( y) a
y
0
作变量代换
x a(t sin t)
dx a(1 cost)dt O
x 0 t 0; x 2a t 2.
A
2a 0
ydx 2a(1 0
cos
t )a(1
cos t ) dt
3a2
2a x
11
定积分在几何学上的应用
2.极坐标下平面图形的面积
由极坐标方程 r r( )
给出的平面曲线 和射线
y y
sin x cos x
( 4
,
2 ), ( 5 ,
24
2 )
2O
2
4
A (sin x cos x) dx 4(cos x sin x)dx
0
0
5 4
2 x
y sin x
5
2
4
(sin
x
cos
x)dx
5 (cos x sin x)dx
4
4
4 2
9
定积分在几何学上的应用
b 0)
之间图形面积.
解 对称性 所求面积A为在第一象限中
定积分在几何上的应用体积、弧长讲解
任取 x [a,b]，
过点 x 作平面垂直于 x 轴，
截旋转体的截面为环面，其面积为
A( x) [ f22( x) f12( x)]
体积为
V
b
[
a
f22
(
x)
f12 ( x)]dx.
例3 连接坐标原点 O 及点 P(h,r) 的直线，直线
Ö±Ïß x a ¡¢ x b (0 a b)¼°x Öá Ëù Χ³É µÄ Çú ± ß ÌÝ ÐÎ
绕 y 轴旋转一周而成，求其体积. (柱壳法)
体积元素 dV 2 x f (x)dx
b
V 2 a x f ( x)dx
y2 x
利用这个公式，可知上 例6 中
x4
A(x)
x+dx
a
x
b
x
例1 一平面经过半径为 R的圆柱体的底圆中心，并与底面交
成角 ，计算这平面截圆柱体所得有限部分立体的体积.
解 取坐标系如图，底圆方程为 x2 y2 R2
任取 x [ R, R] 过点 x作平面垂直于 x轴，
截立体的截面为直角三角形.
截面面积
y
A( x) 1 y y tan 1 (R2 x2 )tan，
b y2dx
a
A( y) x2 绕y轴:
dV 2 xydx
Vy
d x2dy
c
b
Vy 2
x f ( x)dx
a
(柱壳法)
三、平面曲线的弧长
1. 平面曲线的弧长的概念 2. 平面曲线的弧长的计算公式
直角坐标情形 参数方程情形 极坐标情形
高等数学第六章第二节
因此所求弧长
s r 2 ( ) r2 ( ) d
例9. 两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量,下垂
成悬链线 . 悬链线方程为
y c ch x (b x b)
y c
c
求这一段弧长 .
36π 2 π
12(1x2
x21)2
dห้องสมุดไป่ตู้
x
448 2π
π2
(
x2
1) 2
d
x
0
15 1
三、平面曲线的弧长
定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 , 当折线段的最大
边长 →0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 , 则称
此极限为曲线弧 AB 的弧长 , 即
n
s lim 0
M i1M i
2πa
O
r
r a
2π
sa
1 2 d
0
a2
1 2 1 ln
2
1 2
2π 0
内容小结
1. 平面图形的面积 直角坐标方程
上下限按顺时针方向 确定
边界方程 参数方程
极坐标方程
2. 平面曲线的弧长
弧微分: d s
(d x)2 (d y)2
注意: 求弧长时积分上 下限必须上大下小
直角坐标方程
1
3
3 y
s
弧线段部分
3
1 1 4 y2 dy
直线段部分
3
dy
1
O 1
x2y3 0 x
x y2
2. 试用定积分求圆
绕x轴
旋转而成的环体体积 V 及表面积 S .
定积分的应用-定积分的几何应用(3)--平面曲线的弧长
L
dy
= ′2 (t ) + ψ ′2 (t ) d t
o
a x x+dx b x
因此所求弧长
s=∫
β α
′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t ) d t (α ≤ β )
(2) 直角坐标情形 设曲线弧 L由直角坐标方程给出:
y = f ( x ) (a ≤ x ≤ b)
其中 f ( x )在[a , b]上有一阶连续导数.
4. 证明： 正弦线 y = a sin x ( 0 ≤ x ≤ 2π ) 的弧长
x = cos t 等于椭圆 y = 1 + a 2 sin t
5. 试用定积分求圆
( 0 ≤ t ≤ 2π ) 的周长.
x 2 + ( y b )2 = R 2 ( R < b )
绕 x 轴 旋转而成的环体的表面积 S .
例2 求星形线 x + y = a ( a > 0) 的全长.
2 3
2 3
2 3
x = a cos 3 t ( 0 ≤ t ≤ 2π ) 解 星形线的参数方程为 y = a sin 3 t
根据对称性 第一象限部分的弧长
π
0
y
s = 4s1= 4∫ 2 ( x′)2 + ( y′)2 d t
= 4 ∫ 2 3a sin t cos t d t = 6a .
四、同步练习解答
1. 两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量, x 1 x 下垂成悬链线. 悬链线方程为 ( c ch )′= c sh c c c x y = c ch ( b ≤ x ≤ b) c 求这一段弧长 . y c 2 2 x ′ d x = 1 + sh d x 解 ds = 1 + y c x = ch d x b o b x c b b x x = 2c sh b ∴ s = 2 ∫ ch d x = 2c sh 0 c c c 0
(9)多元积分的应用常见公式
形心：
x S yds y S zds z S
xds
（其中S表曲面 的面积）
（三）．物体的转动惯量：以平面薄片为例， 质点对坐标轴的转动惯量：设质点坐标
P( x, y) ，质量m则该质点对坐标轴，原点的
M x my; M y mx
；质点系的静力矩：设有质点系
P i ( xi , yi ), mi , i 1, 2 mi yi , M y mi xi i 1 i 1 平面薄片对坐标轴的静力矩：设有平面薄片 占有平面区域D，面密度为 ( x, y)
多元积分的应用
常见应用公式
一。几何应用：弧长，面积与体积： 平面曲线弧长：设曲线方程： y f ( x) 用定积分计算 如是参数方程: 则：
L 1 ( f ( x))2 dx
b
x x(t ) ; t y y(t )
a
L ( x(t )) 2 ( y(t )) 2 dt
：
s
m ( x, y)dxdy
D
（ ( x, y) 是薄片面密度）
空间立体质量 m ( x, y, z)dxdydz （ ( x, y, z ) 是体密度） *（二）．物体的重心： 平面薄片重心：质点对坐标轴的静力矩： 设质点坐标 P( x, y) ，质量m，则
M x lim yi ( xi , yi ) i y ( x, y )d ;
0
i 1 n D n
M y lim xi ( xi , yi ) i x ( x, y )d
0
i 1 D
重心：def：设平面薄片占有平面区域D，面密 度为 ( x, y) ，如果存在一点 P( x , y ) 使得;当把物体质量集中在该点时其产生的静力 矩与薄片产生的相应的静力矩相等，则称该点 为薄片的重心。 设薄片质量为M（M ( x, y)dxdy）按此定义有：
定积分的几何应用
ρ 2 = a 2 cos 2θ
例 6 求心形线r = a (1 + cosθ ) 所围平面图形的 面积( a > 0) .
1 2 解 dA = a (1 + cosθ )2 dθ 2
利用对称性知
dθ
1 2 π A = 2 ⋅ a ∫ (1 + cos θ ) 2 dθ 2 0 2 π = a ∫ (1 + 2 cos θ + cos 2 θ )dθ 0 π 1 = 3 πa 2 . 2 3 θ + 2 sinθ + sin 2θ =a 2 4 0 2
定积分几何应用 定积分
一、元素（微元）法 二、平面图形的面积 三、立体的体积 四、平面曲线的弧长 五、旋转曲面的侧面积
一、元素（微元）法
1.回顾曲边梯形求面积的问题 回顾
曲边梯形由连续曲线
y
y = f ( x ) ( f ( x ) ≥ 0) 、
x 轴与两条直线 x = a 、
y = f ( x)
成的图形的面积. 成的图形的面积
解 两曲线的交点
y = x−4
y2 = 2x y = x−4
⇒ ( 2,−2), (8,4).
y2 = 2 x
选 y 为积分变量
y ∈ [−2, 4] −
A = ∫ dA = 18.
−2 4
y2 dA = y + 4 − dy 2
2 参数方程所表示的函数
2）设想把区间[a , b ]分成 n 个小区间，取其中任 ） 个小区间， 一小区间并记为[ x , x + dx ]，求出相应于这小区 的近似值.如果 间的部分量 ∆ U 的近似值 如果 ∆ U 能近似地表示 为[a , b ]上的一个连续函数在 x 处的值 f ( x ) 与 dx 的乘积， 的乘积，就把 f ( x )dx 称为量U 的元素且记作 dU ，即 dU = f ( x )dx ；
几何意义求定积分
几何意义求定积分摘要：1.定积分的几何意义概述2.面积和弧长3.体积和质心4.应用实例5.总结与拓展正文：几何意义求定积分是一种数学方法，它将定积分与几何图形相结合，使得我们可以通过几何图形的性质来求解定积分。
下面我们将详细介绍几何意义求定积分的相关概念和方法。
1.定积分的几何意义概述定积分在几何意义上是数值积分的基础。
它表示的是一个曲线以下（或以上）区域的几何面积、长度、体积等。
通过求解定积分，我们可以得到曲线与坐标轴所围成的面积、曲线围绕某一直径旋转所生成的立体体积等。
2.面积和弧长定积分在几何意义中最常见的应用是求解曲线的面积和弧长。
设函数f(x)在区间[a, b]上连续，在该区间内取一点ξ，作平行于x轴的直线，与函数图像相交于A、B两点。
那么，以f(ξ)为高的平行四边形面积为：S = ∫[a, b]f(x)dx当f(x)表示角度时，上式表示的是弧长。
此时，可以将弧长表示为：L = ∫[a, b]ds其中，ds表示微小长度。
3.体积和质心定积分在几何意义还可用于求解曲线的体积和质心。
设函数f(x, y)在区域D上连续，将区域D绕某一直径旋转一周，所生成的立体体积为：V = ∫∫[D]f(x, y)dxdy另外，通过定积分求解曲线的质心坐标，可以得到：x_c = ∫∫[D]xf(x, y)dxdy / ∫∫[D]dxdyy_c = ∫∫[D]yf(x, y)dxdy / ∫∫[D]dxdy4.应用实例以下是求解定积分的几个实例：实例1：求解曲线y = x在区间[0, 1]上的面积。
实例2：求解曲线y = x在区间[0, 1]上的体积。
实例3：求解曲线y = x在区间[0, 1]上的质心坐标。
5.总结与拓展通过本文的介绍，我们可以看到几何意义求定积分在数学中的应用广泛。
掌握几何意义求定积分的方法，不仅可以简化求解过程，还能提高解题效率。
在实际问题中，我们可以根据问题的具体背景和条件，灵活运用几何意义求定积分的方法来解决各种问题。
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例6 求曲线 y 2 4 x 及 x 4、y 0 所围图形
绕 y 轴旋转而成的旋转体体积Vy .
解 取 y为积分变量，则 y [0, 4]，
y处的截面为圆环面，面积为
y4 A( y ) (16 ) 16
y4 Vy (16 )dy 0 16 1 5 4 256 . 64 y |0 5 80
方法2 利用椭圆参数方程
则
V 2 y dx 2 2 ab 2 sin 3 tdt 0 0 2 2 2 ab 1 3 4 ab 2 3
2
a
4 3 特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积 a . 3
例 5 求由圆 x 2 ( y 2)2 1所围的图形绕 x 轴旋转
所求的体积为
V A( x ) dx 8
1 1
1 1
4 2 1 x dx
2
类似地，如果旋转体是由连续曲线
x ( y ) 、直线 y c 、 y d 及 y 轴所围成的
曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的立体，体积计算 如下：
y
d
2
y 处的截面面积
2 ( y )， A( y ) x
任取 x [a , b]，
过点 x 作平面垂直于 x 轴，
截旋转体的截面为环面，其面积为
A( x ) [ f 2 2 ( x ) f12 ( x )]
体积为
V [ f 2 ( x ) f1 ( x )]dx.
b 2 2 a
例3
连接坐标原点O 及点 P ( h, r ) 的直线，直线
x h 及 x 轴围成一个直角三角形 ，将它绕 x 轴
旋转得到一个底半径为r，高为 h 的圆锥体，
计算圆锥体的体积．
y
P
解 直线 OP 方程为
r y x h
o
r
x
h
x
ù Ô ² ¶ å Ä å ý Ë Ò Ô ×Ì µ Ì »
r 2 x3 V x dx 0 h 3h
a
b
注意：该积分公式的适用条件
1 、x轴 是 旋 转 轴 ;
2、 旋 转 平 面 图 形 是 一 由 连 续 曲 线 f ( x )、 个 y x a、x b及x轴 所 围 成 ， 即 图 形 的 边 一 在x轴 上;
一般地，由连续曲线 y f1 ( x )， f2 ( x )， y （0 f1 ( x ) f2 ( x ) ），以及直线 x a，x b (a b ) 所围图形绕 x 轴旋转一周所成立体的体积为
设曲线弧为 y f ( x ) (a x b) ，其中 f ( x ) 在[a , b]
上有一阶连续导数, 取积分变量为 x ，
y
在[a , b]上任取小区间[ x , x dx ]，
以对应小切线段的长代替小弧段的长
小切线段的长 弧长微元 ds (dx)2 (dy)2
o
dy
x ( y)
其体积为
V x dy 2 ( y )dy.
2 c d
c
o
d c
x
V [ ( y )]2 dy
d c
注意：该积分公式的适用条件
1、旋转轴为轴; y
2、 旋 转 平 面 图 形 是 一 由 连 续 曲 线 ( y )、 个 x y c、y d及y轴 所 围 成 ， 即 图 形 的 边 在 一 y轴 上;
绕直线 y 1旋转而成的旋转体体积 .
解
V ( y2 y1 )dx
2 2 0
截面是环面
[(sin x 1) 2 1]dx
0
(sin2 x 2 sin x )dx
0
2
2
4 .
V× ( y2 y1 ) dx (sin x 1)2 dx
4
例7.
x a ( t sin t ) 计算由摆线 一拱 (0 t 2 ) y a(1 cos t )
与x轴
所围的图形绕 y轴旋转而成的立体体积. 解 取 y为积分变量，则 y [0, 2a]，
y处的截面为圆环面，面积为
y
A( y) [ x22 ( y) x12 ( y)]
截面面积
1 1 2 A( x ) y y tan ( R x 2 )tan ， 2 2
体积
ox
y
R
x
2 3 1 R 2 2 V A( x )dx R (R x ) tan dx R tan . R 3 2
R
思考: 可否选择 y 作积分变量 ?
h 2
r2
h 0
1 2 r h. 3
例4. 计算由椭圆 转而成的椭球体的体积.
所围图形绕 x 轴旋转而
y
解: 方法1 利用直角坐标方程
b
o
则
x
ax
V 2 y 2 dx
0
a
(利用对称性)
b2 a 2 2 2 (a x 2 ) dx a 0 b2 2 1 3 a 4 2 2 a x x ab 2 3 0 3 a
b a
(柱壳法)
三、平面曲线的弧长
1. 平面曲线的弧长的概念 2. 平面曲线的弧长的计算公式
直角坐标情形 参数方程情形 极坐标情形
1. 平面曲线的弧长的概念
设 A、 B 是曲线弧上的两 个端点，在弧上插入分点
y
M2
M1 M n1
B Mn
A M 0 , M 1 , M i , , M n 1 , M n B
3
0
2
0
a 3 (t sin t )2 sin tdt
( t sin t )2 sin tdt 6 3a 3
如果旋转体由曲线 y f ( x ) ( f ( x ) 0)
±ß Ö Ï x a ¡ x b (0 a b ) ¼ x Ö Ë Î ³ µ Ç ±Ì Ð ¢ ° á ù §É Ä ú ß Ý Î
其中 ( t ), ( t ) 在[ , ] 上具有连续导数.
2 2 2 ds (dx )2 (dy )2 [ ( t ) ( t )](dt )
2 ( t ) 2 ( t )dt
弧长
s
2 ( t ) 2 ( t )dt ( )
弧长
s
2 ( ) 2 ( )d .
注意： ds
( )d
2 3 例 1 计算曲线 y x 2 上相应于 x 从 a 到 b 的一段 3
弧的长度.
解 y x ,
1 2
ds 1 ( x )2 dx 1 xdx,
a
b
1 2
所求弧长为
s a
o
A M0
x
并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目 无限增加且每个小弧段都缩向一点时，
此折线的长 | M i 1 M i |的极限存在，则称此极限为 曲线弧 AB 的弧长，并称此曲线弧是可求长的.
⌒
i 1 n
定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.
2. 平面曲线的弧长计算公式
(1) 曲线方程为直角坐标表示
解
取坐标系如图 底圆方程为
x 2 y 2 R2，
y
h
o
x
R
x
垂直于x 轴的截面为等腰三角形
截面面积
A( x) h | y | h R2 x 2
R
立体体积 V h R
1 2 R x dx 2 R h.
2 2
2. 旋转体的体积
一平面图形绕该平面内一条定直线旋转一周 而成的立体称为旋转体．定直线称为旋转轴．
绕 y 轴旋转一周而成，求其体积.
(柱壳法)
体积元素 dV 2 x f ( x)dx
V 2 x f ( x )dx
b a
y2 x
利用这个公式，可知上 例6 中
x4
V y 2 x 2 x dx 4
0
4
4
0
256 x dx 5
3 2
旋转轴不是坐标轴的情形: 例 8 求 y sin x、x 0、x 及 y 0所围图形
y f ( x)
o
x x dx
x
取 以f ( x )为 底 半 径 、 为 高 的 扁 圆 柱 体 的 dx 体 积 为 体 积 元 素 ， 即 [ f ( x )]2 dx dV
则旋转体的体积为 V [ f ( x )]2 dx
a
b
V [ f ( x )]2 dx
一周而成的环体的体积.
解
取 x为积分变量，则 x [1,1]，
上半圆的方程为 y 2 1 x 2 , 下半圆的方程为 y 2 1 x 2 ,
x处的截面为圆环面，面积为
2 2 A( x ) （2 1 x 2 ） 2 1 x 2 ）] 8 1 x 2 [ （
此时截面面积是什么 ?
如何用定积分表示体积 ? 提示: A( y ) 2 | x | y tan
2tan y R y
2 2
y
( x, y )
o
R
x
2 3 V 2 tan y R y d y R tan . 0 3
R
2 2
例 2 求以半径为 R 的圆为底、平行且等于底 圆直径的线段为顶、高为 h 的正劈锥体的体积.