材料力学 弯曲刚度
材料力学第六章 弯曲变形
4
2
C
B
)
=
A
( A)q C
l q
( B )q
(b)
B
( wC )q
l
θ B ( θ B )q ( θ B ) M e
+
Me
(c)
Mel ql 24 EI 6 EI
3
A
B
( B ) M e
( A ) MC ( wC ) M
e
e
l
例题3
AB梁的EI为已知,求梁中间C截面挠度.
F1l 2 F2 la 0.4 400 200 B ( ) 16 EI 3 EI 210 1880 16 3 +0.423 10-4 （rad）
F1l a F2a F2a l wC 5.19 106 m 16 EI 3 EI 3 EI wmax w （3）校核刚度: l l
x A
dx
F
x
C' dω
B
d tg dx
二、挠曲线的微分方程
1.纯弯曲时曲率与弯矩的关系
M EI
1
横力弯曲时, M 和 都是x的函数.略去剪力对梁的位移的影 响, 则
1 M ( x) ( x) EI
2.由数学得到平面曲线的曲率
F
1 | w | 3 2 2 ( x) (1 w )
q
A x B
w w F wq
+
w wF wq
例1 已知：EI, F,q .求C点挠度 F q
A
C a a
B
Fa 3 ( wC )F 6 EI
工程力学(材料力学)8 弯曲变形与静不定梁
B
ql4 RBl3 0
8EI 3EI
q 约束反力为
B
RB
3 8
ql
RB
用变形比较法求解静不定梁的一般步骤：
（1）选择基本静定系，确定多余约束及反力。 （2）比较基本静定系与静不定梁在多余处的变形、确定 变形协调条件。 （3）计算各自的变形，利用叠加法列出补充方程。 （4）由平衡方程和补充方程求出多余反力，其后内力、 强度、刚度的计算与静定梁完全相同。
教学重点
• 梁弯曲变形的基本概念； • 挠曲线的近似微分方程； • 积分法和叠加法计算梁的变形； • 梁的刚度条件。
教学难点
• 挠曲线近似微分方程的推导过程； • 积分法和叠加法计算梁的变形； • 变形比较法求解静不定梁。
第一节 弯曲变形的基本概念
齿轮传动轴的弯曲变形
轧钢机（或压延机）的弯曲变形
例13-4 用叠加法求图示梁的 yC、A、B ，EI=常量。
M
P
解 运用叠加法
A
C
l/2
l/2
A
=
q
5ql4 Pl3 ml2
B
yC
384EI
48EI
16EI
A
ql3 24EI
Pl 2
16EI
ml 3EI
B
B
ql3 24EI
Pl2 16EI
ml 3EI
M
+
q
A
+
BA
B
二、梁的刚度条件
y max y,
A
max
A ql3
B
24EI
RA
q
A
θB
l
B θB RB
在梁跨中点 l /2 处有 最大挠度值
工程力学(静力学和材料力学)第2版课后习题答案 范钦珊主编 第8章 弯曲刚度
课
后 答
案
网
解：由挠度表查得：
FP al 180° × 3 EI π Wal 180° = ⋅ 3 EI π 20000 × 1 × 2 × 64 180° = ⋅ 3 × 200 × 109 × π d 4 π ≤ 0 .5 ° d ≥ 0.1117 m，取 d = 112mm。
θB =
ww w
6 ( 246 + 48) ×10 × 200 ×10 × π × 32 × 10−12
2
co
m
8—3 具有中间铰的梁受力如图所示。试画出挠度曲线的大致形状，并说明需要分几段 建立微分方程，积分常数有几个，确定积分常数的条件是什么？（不要求详细解答）
习题 8－3 图
后 答
案
网
习题 8－4 图
课
习题 8－4a 解图
解： (a)题 1.
wA = wA1 + wA 2
wA1 =
⎛l⎞ q⎜ ⎟ ⎝2⎠
87图示承受集中力的细长简支梁在弯矩最大截面上沿加载方向开一小孔若不考虑应力集中影响时关于小孔对梁强度和刚度的影响有如下论述试判断哪一种是正确的
eBook
工程力学
（静力学与材料力学）
习题详细解答
(第 8 章) 范钦珊 唐静静
课
后 答
案
网
2006-12-18
ww w
1
.k hd
aw .
co
m
（教师用书）
−3 9 4
(
.k hd
解：由挠度表查得 F ba 2 wC = P l − a 2 − b2 6lEI
(
)
习题 8－9 图
8
aw .
)
工程力学c材料力学部分第六章 弯曲变形
A l/2
C l
B
解：此梁上的荷载可视为 正对称和反对称荷载的叠加， 正对称和反对称荷载的叠加， 如图所示。 如图所示。 正对称荷载作用下：
q/2
5(q / 2)l 4 5ql 4 wC1 = − =− 384 EI 768 EI
B
(q / 2)l 3 ql 3 θ A1 = −θ B1 = =− 24 EI 48EI
w P A a D
a
A C a H a B
EI
Pl 3 wB = − 3 EI
P
B
l
Pl 2 θB = − 2 EI
P A a 2a 2a C B
P/2
P/2 B
P/2
=
A
+
P/2
力分解为关于中截面的对称和反对称力( )之和的形式。 解：将P力分解为关于中截面的对称和反对称力(P/2)之和的形式。 力分解为关于中截面的对称和反对称力 显然，在反对称力( / )作用下， 显然，在反对称力(P/2)作用下，wc=0 对称力作用的简支梁， 对称力作用的简支梁，可以等效为悬臂梁受到两个力的作用 的问题。 的问题。
wA=0 θA=0
B
②、变形连续条件 变形连续条件： 连续条件
P A C θC左 wC左= wC右， =θ C右 B
的悬臂梁， 例1：图示一弯曲刚度为 的悬臂梁，在自由端受一集中力 作 ：图示一弯曲刚度为EI的悬臂梁 在自由端受一集中力F 试求梁的挠曲线方程，并求最大挠度及最大转角。 用，试求梁的挠曲线方程，并求最大挠度及最大转角。 解：① 建立坐标系并写出弯矩方程 ①
在小变形情况下， 曲线弯曲平缓， 在小变形情况下，挠曲线弯曲平缓，
∴ w′ ≪ 1
2
材料力学-梁的弯曲刚度
同时，还会加大齿轮磨损，同时将在转动的过程中产生很大的 噪声。
此外，当轴的变形很大时，轴在支承处也将产生较大的转角， 从而使轴和轴承的磨损大大增加，降低轴和轴承的使用寿命。
解：1． 确定梁约束力 首先，应用静力学方法求得梁 在支承A、C二处的约束力分别如图 中所示。
2． 分段建立梁的弯矩方程
因为B处作用有集中力FP，所以需要分为AB和BC两段建立 弯矩方程。
在图示坐标系中，为确定梁在0～l/4范围内各截面上的弯矩， 只需要考虑左端A处的约束力3FP/4；而确定梁在l/4～l范围内各 截面上的弯矩，则需要考虑左端A处的约束力3FP/4和荷载FP。
材料力学
第6章 梁的弯曲刚度
小挠度微分方程
对于小挠度问题
d2 X ( dx2
)2
d2Y ( dx2
)2
d2Y dx2
1M EI
d2Y dx2
d2w dx2
M EI
对于弹性曲线的小挠度微分方程，式中的正负号与w坐标的取 向有关。
何斌
Page 17
材料力学
第6章 梁的弯曲刚度
小挠度微分方程
d2w 0,M 0
在平面弯曲的情形下，梁上的任意微段的两横截面绕 中性轴相互转过一角度，从而使梁的轴线弯曲成平面曲线， 这一曲线称为梁的挠度曲线（deflection curve）。
何斌
Page 6
材料力学 何斌
第6章 梁的弯曲刚度
梁的挠度与曲率
根据上一章所得 到的结果，弹性范围 内的挠度曲线在一点 的曲率与这一点处横 截面上的弯矩、弯曲 刚度之间存在下列关 系：
材料力学知识点
第六章弯曲变形知识要点1、弯曲变形的概念1）、挠曲线弯曲变形后梁的轴线变为挠曲线。
平面弯曲时，挠曲线为外力作用平面内的平面曲线。
2）、平面弯曲时的变形在小变形情况下，梁的任意二横截面绕各自的中性轴作相对转动，杆件的轴线变为平面曲线，其变形程度以挠曲线的曲率来度量。
1》纯弯曲时，弯矩—曲率的关系（由上式看出，若弯曲刚度EI为常数则曲率为常数，即挠曲线为圆弧线）2》横力弯曲时，弯矩—曲率的关系3）、平面弯曲时的位移1》挠度2》转角挠度和转角的正负号由所选坐标系的正方向来确定。
沿y轴正方向的挠度为正。
转角的正负号判定规则为，将x轴绕原点旋转90°而与y轴重合，若转角与它的转向相同，则为正，反之为负。
4）、挠曲线近似微分方程5）、受弯曲构件的刚度条件，2、积分法求梁的挠度和转角由积分常数C、D由边界条件和连续性条件确定。
对于梁上有突变载荷（集中力、集中力偶、间断性分布力）的情况，梁的弯矩M(x)不是光滑连续函数，应用上式时，应分段积分，每分一段就多出现两个积分常数。
因此除了用边界条件外，还要用连续性条件确定所有的积分常数。
边界条件：支座对梁的位移（挠度和转角）的约束条件。
连续条件：挠曲线的光滑连续条件。
悬臂梁边界条件：固定端挠度为0，转角为0连续条件：在载荷分界处（控制截面处）左右两边挠度相等，转角相等简支梁边界条件：固定绞支座或滑动绞支座处挠度为0连续条件：在载荷分界处（控制截面处）左右两边挠度相等，转角相等连接铰链处，左右两端挠度相等，转角不等3、叠加原理求梁的挠度和转角1）、叠加原理各载荷同时作用下梁任一截面的挠度和转角等于各个载荷单独作用时同一截面挠度和转角的代数和。
2）、叠加原理的限制叠加原理要求梁某个截面的挠度和转角与该截面的弯矩成线性关系，因此要求：1》弯矩M2》4、弯曲时的超静定问题——超静定梁1）、超静定梁约束反力数目多于可应用的独立的静力平衡方程数的梁称为超静定梁，它的未知力不能用静力平衡方程完全确定，必须由变形相容条件和力与变形间的物理关系建立补充方程，然后联立静力平衡方程与补充方程，求解所有的未知数。
圆管的弯曲刚度和强度分析
ag2 2
+
bg2 2
+ 3agbg
⎤ ⎥ ⎥
和椭圆面积
A
=
πag
⋅ bg
⎦
的公式, 并依据圆和椭圆方程, 在扁化过程周长 l0 = l 不变的前提下, 计算求得扁
化率 ζa
= ag rga
和ζb
= bg rga
的关系如图
7(a)所示,
面积缩小率 A A0
与扁化率 ζ a 的关
σ = My .
(20)
I
以纯弯为例, 弯曲过程中应力仅为截面上的单向正应力 σ . 由图 4 可知, 当
ymax
= rgb 时,
横截面的最大正应力为 σ max .
由(20)式可知 σ max
=M I rgb
,
可见圆
管的 I rgb 越大, 圆管承受弯矩能力越大.
图 4 圆形管的正应力分布
2.2 圆管弯曲的截面扁化 图 5 为圆管承受弯矩 M 时的受力状况, 在横截面上沿管壁纵截面的切向上
穷大. 由于已设定了单位长度的圆棒和圆管的质量相同, 这就要以增大管径并减
小管壁厚为代价. 但是, 在工程中以显著不增加半径, 并能减小质量增大截面弯
曲刚度为宜.
由图 3 可见, 选定 n = 0.7 为佳, 并将其代入(19)式可得 k ≈ 3 , 即在质量相等
的条件下, 使截面刚度增大 3 倍.
ρ
A
ydA
=
−
E ρ
Sz
=
0,
Sz =
ydA 定义为横截面对 z 轴的
A
静矩, 由上可知 Sz = 0 , 所以中性轴 z 一定通过棒的中心. 由力矩平衡可知, 微内力 σ dA 对 y 轴的合力偶矩等于作用于横截面上弯矩
弯曲法测杨氏模量实验报告
弯曲法测杨氏模量实验报告弯曲法测杨氏模量实验报告引言：弯曲法是一种常用的材料力学测试方法，可用于测定材料的弯曲刚度和杨氏模量。
本实验旨在通过弯曲法测定杨氏模量，并探讨其在材料力学中的应用。
实验目的：1. 了解弯曲法的基本原理和步骤；2. 掌握材料的弯曲刚度和杨氏模量的测定方法；3. 分析杨氏模量对材料性能的影响。
实验仪器和材料：1. 弯曲试验机；2. 弯曲试样；3. 游标卡尺；4. 夹具。
实验步骤：1. 准备工作：a. 将弯曲试样固定在弯曲试验机上，确保其平整且不受外力干扰；b. 调整弯曲试验机的参数，如加载速度和试验范围，以满足实验需求。
2. 弯曲试验：a. 在弯曲试验机上施加一个垂直于试样的力，使其发生弯曲变形；b. 同时记录试样在不同加载下的位移和载荷数据；c. 根据实验数据计算出试样的弯曲刚度和杨氏模量。
3. 数据处理：a. 绘制载荷与位移的曲线图，分析试样的弯曲性能；b. 利用弯曲刚度和试样几何参数计算出杨氏模量。
实验结果与分析：通过实验测得的载荷与位移数据，我们可以绘制出一条弯曲曲线。
根据曲线的形状和斜率，可以判断材料的弯曲性能和刚度。
同时，根据实验数据计算出的杨氏模量可以反映材料的抗弯刚度和强度。
杨氏模量是材料力学中的重要参数，它描述了材料在受力时的变形性能。
较高的杨氏模量意味着材料具有较高的强度和刚度，适用于承受大量载荷的结构。
而较低的杨氏模量则表示材料较为柔软，适用于需要弯曲或变形的应用。
杨氏模量还可以用于材料的质量控制和品质评估。
通过测定不同材料的杨氏模量，可以比较它们的性能差异，并选择适合特定应用的材料。
此外，杨氏模量还可以用于预测材料在实际工程中的受力情况，从而优化结构设计和材料选择。
结论：本实验通过弯曲法测定了杨氏模量，并分析了其在材料力学中的应用。
实验结果表明，弯曲法是一种有效的测量杨氏模量的方法，可以为材料选择和结构设计提供重要参考。
杨氏模量的大小与材料的强度和刚度密切相关，对材料的性能和应用具有重要影响。
材料的抗弯实验实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的1. 了解材料在弯曲载荷作用下的力学行为。
2. 掌握材料抗弯性能的测试方法。
3. 研究不同材料在弯曲载荷下的变形和破坏规律。
4. 通过实验数据，分析材料的抗弯强度和弯曲刚度。
二、实验原理材料在受到弯曲载荷时，其内部将产生弯矩和剪力，导致材料发生弯曲变形。
本实验通过测试材料在弯曲载荷作用下的变形和破坏情况，来研究材料的抗弯性能。
根据材料力学理论，材料的抗弯强度和弯曲刚度可以通过以下公式计算：1. 抗弯强度（σ）：σ = M / W，其中M为弯矩，W为截面模量。
2. 弯曲刚度（E）：E = F / ΔL，其中F为作用力，ΔL为弯曲变形长度。
三、实验设备及材料1. 实验设备：万能材料试验机、游标卡尺、弯曲试验台、支架、砝码等。
2. 实验材料：低碳钢、铝合金、木材等不同材料的试件。
四、实验步骤1. 准备实验材料：根据实验要求，选择不同材料的试件，并按照规定的尺寸进行加工。
2. 安装试件：将试件固定在万能材料试验机的弯曲试验台上，确保试件中心线与试验机中心线对齐。
3. 设置实验参数：根据实验要求，设置试验机的加载速度、最大载荷等参数。
4. 加载：缓慢加载至规定载荷，观察试件的变形和破坏情况。
5. 记录数据：记录试件的弯曲变形、破坏载荷等数据。
五、实验结果与分析1. 低碳钢试件：在弯曲载荷作用下，低碳钢试件首先发生弯曲变形，随后出现裂缝，最终发生断裂。
实验结果表明，低碳钢具有较高的抗弯强度和弯曲刚度。
2. 铝合金试件：在弯曲载荷作用下，铝合金试件发生较大的塑性变形，但最终未发生断裂。
实验结果表明，铝合金具有较高的弯曲刚度，但抗弯强度相对较低。
3. 木材试件：在弯曲载荷作用下，木材试件首先发生弯曲变形，随后出现裂缝，最终发生断裂。
实验结果表明，木材具有较高的抗弯强度，但弯曲刚度相对较低。
六、结论1. 低碳钢、铝合金、木材等不同材料在弯曲载荷作用下的抗弯性能有所不同。
2. 低碳钢具有较高的抗弯强度和弯曲刚度，适用于承受较大弯曲载荷的场合。
材料力学-6-弯曲刚度
• 引言 • 弯曲刚度的基本原理 • 弯曲刚度的实验验证 • 弯曲刚度在工程中的应用 • 弯曲刚度的优化设计 • 结论与展望
01
引言
主题简介
01
弯曲刚度是材料力学中一个重要 的概念，主要研究材料在受到弯 曲力作用时的行为和性能。
02
弯曲刚度涉及到材料抵抗弯曲变 形的能力，对于工程结构的稳定 性、承载能力和使用寿命具有重 要意义。
车辆行驶安全
弯曲刚度影响桥梁的平顺性，从而 影响车辆行驶的安全性和舒适性。 弯曲刚度不足可能导致桥面不平整， 增加车辆颠簸和振动。
建筑度对其抗震性 能具有重要影响。在地震作用下， 具有较高弯曲刚度的建筑能够更 好地抵抗地震引起的振动，减少
破坏。
风载响应
弯曲刚度也决定了建筑结构对风 载的响应。弯曲刚度较大的建筑 能够更好地承受风力作用，减少
机械零件
在机械零件的设计中，弯曲刚度是评估零件性能的重要指标。例如，在汽车和 航空器的设计中，需要确保关键部件的弯曲刚度满足要求，以保证车辆和飞机 的安全性和稳定性。
03
弯曲刚度的实验验证
实验设备与材料
01
02
03
试样
选择具有代表性的材料试 样，如金属、塑料等。
实验设备
包括万能材料试验机、测 力计、测量工具等。
轻质材料
选择轻质材料，如铝合金、碳纤维复合材料等，以减小结构重量， 提高弯曲刚度。
高强度材料
选用高强度材料，如高强度钢、钛合金等，以提高结构承载能力， 降低弯曲变形。
材料属性优化
通过合金化、热处理等方法优化材料的力学性能，如提高弹性模量、 抗拉强度等，从而提高弯曲刚度。
结构设计优化
合理布局
材料力学-6-弯曲刚度
处理具体问题时的注意点
讨论：叠加法应用于多个荷载作用的情形的解题步骤 ● 将其分解为各种荷载单独作用的情形 ● 由挠度表分别查得各种情形下的挠度和转角 ● 将所得结果叠加
思考题4
二梁的受力(包括荷载与约束力)是否相同？ 二梁的弯矩是否相同？ 二梁的变形是否相同？ 二梁的位移是否相同？ 位移不仅与变形有关，而且与约束有关。
,
wC 3
1 16
ql 4 EI
B1
1 24
ql 3 EI
,
B2
1 16
ql 3 EI
,
B3
1 3
ql 3 EI
,
6.3 叠加法确定梁的挠度与转角
例题3
3. 应用叠加法，将简单荷载 作用时的结果分别叠加。
wC
3 i 1
wCi
11 384
ql 4 EI
,
B
3
Bi
i 1
11 48
ql 3 EI
(+) 9 FL 512
求解静不定问题 建立补充方程 利用弯曲变形（求解静不定问题）
第6章 弯曲刚度
6.1 梁的变形与位移 6.2 梁的小挠度微分方程及其积分 6.3 叠加法确定梁的挠度与转角 6.4 梁的刚度问题 6.5 提高梁刚度的措施 6.6 简单的静不定梁
第6章 弯曲刚度
6.1 梁的变形与位移
x－ l 4
l 4
x
l
EI1
3 8
FP x 2
C1
EIw1
1 8
FP
x3
C1x
D1
EI2
3 8
FP x
EIw2
1 8
FP x3
21612FFPPxx4l4l3
细长杆弯曲刚度
细长杆弯曲刚度全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：细长杆是一种常见的结构件，在工程中被广泛应用。
细长杆的弯曲刚度是指在受力时弯曲的难度和程度，是衡量杆件抗弯性能的重要指标。
在实际工程中，细长杆的弯曲刚度往往是影响其稳定性和承载能力的关键因素之一。
本文将介绍细长杆弯曲刚度的概念、计算方法以及影响因素。
一、细长杆弯曲刚度的概念细长杆在受外力作用下会发生弯曲变形。
弯曲变形程度可以用一个参数来表示，即弯曲刚度。
弯曲刚度越大，弯曲变形越小，反之则弯曲变形越大。
细长杆的弯曲刚度与其材料的力学性能、几何形状和受力情况有着密切的关系。
在实际工程中，细长杆往往是以梁的形式出现，弯曲刚度可以用弯曲刚度系数来表示。
弯曲刚度系数是一个反映杆件抗弯性能的综合参数，通常用弯曲弹性模量和截面形态系数的乘积来表示。
细长杆弯曲刚度的计算是一个复杂的过程，需要考虑材料的力学性能、几何形状和受力情况等多个因素。
一般来说，可以使用弹性理论来计算细长杆的弯曲刚度。
对于简支梁，可以根据材料力学性能和截面形状，采用梁的基本理论来计算弯曲刚度系数。
对于其它形式的细长杆，如悬臂梁和悬索等，需要考虑不同的受力情况和边界条件，选择合适的计算方法。
1. 材料的力学性能：细长杆的弯曲刚度与材料的弹性模量和弯曲强度有着密切的关系。
一个材料的弹性模量越大，弯曲刚度也就越大，弯曲强度越大则弯曲刚度也越大。
2. 几何形状：细长杆的截面形状对其弯曲刚度有着重要影响。
一般来说，截面形态越对称，弯曲刚度越大。
截面面积越大，弯曲刚度也就越大。
3. 受力情况：细长杆的受力情况对其弯曲刚度有着直接的影响。
不同的受力情况下，细长杆的弯曲刚度会有所不同。
在受弯或受拉情况下，弯曲刚度也会有所差异。
细长杆的弯曲刚度是一个重要的工程参数，对其进行准确的计算和分析可以为工程设计提供重要的参考依据。
在实际工程中，通过选择合适的材料和截面形状，优化细长杆的受力情况，可以提高杆件的抗弯性能和工作效率，确保结构的稳定性和安全性。
材料力学第七章课后题答案 弯曲变形
EI
将其相继积分两次，得
q q d 2 w 3qa x x2 x a 4 2 2 dx 2
2
dw 3qa 2 q 3 q 3 x x xa C dx 8 6 6 qa 3 q 4 q 4 EIw x x x a Cx D 8 24 24 EI
3．确定积分常数
(4)
D1 0 ， C1
由条件（4） 、式（a）与（c） ，得
qa 3 12 EI
C2
由条件（3） 、式（b）与（d） ，得
qa 3 3EI
D2
7qa 4 24 EI
3. 计算截面 C 的挠度与转角 将所得积分常数值代入式（c）与（d） ，得 CB 段的转角与挠度方程分别为
q 3 qa 3 x2 6 EI 3EI 3 q qa 7 qa 4 4 w2 x2 x2 24 EI 3EI 24 EI 将 x2=0 代入上述二式，即得截面 C 的转角与挠度分别为
0
EI
将其相继积分两次，得
d2w M e x Me x a dx 2 2 a
0
dw M e 2 x Me x a C dx 4 a M M 2 EIw e x 3 e x a Cx D 12a 2 EI
3．确定积分常数 梁的位移边界条件为：
(a) (b)
(a) (b)
6
梁的位移边界条件为：
在x 0处， w0 在x 2a处， w0 将条件(c)与(d)分别代入式(b)，得
D 0，C 3qa 3 16
(c) (d)
4．建立挠曲轴方程 将所得 C 与 D 值代入式(b),得挠曲轴的通用方程为
1 qa 3 q 4 q [ x x xa EI 8 24 24 由此得 AC 段与 CB 段的挠曲轴方程分别为 w
材料力学欧拉公式
材料力学欧拉公式欧拉公式是数学中的一个重要公式，描述了材料在应变和应力作用下的力学行为。
它是由瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler）在18世纪中期提出的。
欧拉公式在应用于材料力学中，可以帮助我们理解和预测材料在力学加载下的响应行为。
在材料力学中，欧拉公式描述了杆件的弯曲行为。
杆件是一种具有一维长度和截面的结构，常常用于支撑物体或传递力量。
当在杆件的两端施加外力时，杆件会发生弯曲变形。
欧拉公式可以用来计算杆件的弯曲刚度和最大弯曲应力。
欧拉公式的基本形式是：(1)σ=E*ε*I/y其中，σ是杆件中心的弯曲应力，E是材料的弹性模量，ε是杆件的应变，I是截面的惯性矩，y是杆件绕截面中心轴的最大距离。
欧拉公式的本质是通过将杆件上的弯矩平衡和变形方程结合起来，得出了杆件的弯曲应力与外力和几何特性之间的关系。
这个公式可以帮助我们分析杆件在弯曲过程中的最大弯曲应力和应变分布。
根据欧拉公式，当杆件的应变达到临界值时，杆件发生屈曲，即出现了弹性失稳。
这个临界值可以通过欧拉公式进行计算，得出屈曲载荷。
除了上述的基本欧拉公式，还有一些拓展的欧拉公式可以用来分析不同类型的杆件和加载情况。
例如，对于长杆件的弯曲行为，可以使用欧拉公式的长杆件版本，它考虑了杆件端部的约束效应。
此外，欧拉公式还可以应用于其他力学问题中，如柱子的稳定性分析和梁的弯曲问题。
这些应用都基于欧拉公式中应变和应力之间的关系，可以帮助我们更好地理解和解决材料力学中的问题。
总之，欧拉公式是材料力学中的一项重要工具，它描述了杆件在弯曲加载下的应变和应力之间的关系。
通过欧拉公式，我们可以计算杆件的弯曲刚度、最大弯曲应力和屈曲载荷等重要参数。
欧拉公式的应用不仅局限于杆件，还可以扩展到其他材料力学问题中。
它对于深入理解材料的力学行为和解决实际工程问题具有重要意义。
6-3梁弯曲时的变形和刚度条件、7-1
§6-3 梁弯曲时的变形和刚度条件课时计划：讲授3学时教学目标：1．理解梁弯曲变形时挠度和转角的概念；2．掌握梁的刚度计算方法及刚度条件。
教材分析:1．重点为梁弯曲变形时挠度和转角的概念；2．难点为梁的刚度计算方法及刚度条件。
教学设计：本节课的主要内容是讲解梁弯曲变形时挠度和转角的概念以及梁的刚度计算方法。
重点为梁弯曲变形时挠度和转角的概念，在此基础上进一步掌握梁的刚度计算方法并建立梁弯曲时的刚度条件。
通过对教材例题的讲解，使学生在此过程中进一步理解弯曲变形，进而学会利用弯曲梁的刚度条件解决工程实际问题。
第1学时教学内容：一、挠度和转角本节课的主要内容是讲解梁弯曲变形时挠度和转角的概念。
因为材料力学研究强度与刚度，强度问题要计算应力，刚度问题要计算变形，本节讲梁的弯曲变形。
图示为简支梁弯曲变形时，变形前梁轴线是直线，受力F 弯曲变形后轴线是光滑平面曲线，变形前后梁轴线简化如下图所示。
横截面nn 移''n n ，形心C 到'C 点。
横截面形心在垂直于原轴线方向的位移，称为截面的挠度，用ω表示；横截面相对于原来位置转过的角度，称为该截面的转角，用θ表示。
截面形心轴线方向位移很小,高阶微量,可省略不计。
弯曲变形后梁的轴线变成一条连续而光滑的平面曲线，称为挠度曲线，简称挠曲线。
在图示的Oxw 坐标系中，表示挠曲线的方程为w ＝w(x)称为挠度方程。
由于轴线是各截面形心的连线，故该方程中的x 为变形前截面位置的横坐标，ω为变形后该截面的挠度。
由于截面转角等于挠度曲线在该截面的切线与x 轴的夹角，小变形有：()x w x w '==≈d d θθtan即任一截面转角近似等于挠度方程对x 的一阶导数。
所以挠度和转角的数值都可以由挠度方程及其一阶导数确定，只要有了挠度方程，就可以计算挠度和转角。
公式中挠度向上为正值,向下为负值；转角逆时针方向为正值,顺时针方向为负值。
由表可知，在一定外力作用下，梁的挠度、转角都和材料的弹性模量E 与截面惯性矩z I 的乘积z EI 成反比。
三点弯曲测试方法
三点弯曲测试方法一、前言三点弯曲测试是一种常用的材料力学性能测试方法，可用于评估材料的弯曲刚度和强度。
本文将详细介绍三点弯曲测试的方法。
二、试验设备进行三点弯曲试验需要以下设备：1. 弯曲试验机：能够施加力和位移控制，以及测量负荷和位移的设备。
2. 支撑装置：包括两个支撑点和一个加载点，用于支撑试样并施加载荷。
3. 试样：通常为长方形截面的杆状物或板状物。
4. 测量仪器：包括位移传感器、负荷传感器等。
三、试验过程1. 准备工作：a) 将试样放在支撑装置上，并调整其位置，使其与加载点对齐。
b) 根据试样尺寸设置合适的跨距（即两个支撑点之间的距离）和加载速率（即每秒施加的载荷变化率）。
c) 校准测量仪器，并将其连接到计算机上进行数据采集和处理。
2. 施加载荷：a) 开始施加载荷，并记录下负荷-位移曲线。
b) 在试样弯曲时，记录下试样的最大弯曲角度。
c) 当试样破坏时，停止施加载荷，并记录下试样的破坏负荷和位移。
3. 数据处理：a) 根据负荷-位移曲线计算出试样的刚度和强度。
b) 通过分析破坏负荷和位移来评估试样的断裂模式和断裂韧性。
四、注意事项1. 选择合适的跨距和加载速率。
通常，跨距应为试样长度的三到五倍，加载速率应为每秒0.05到0.5毫米。
2. 保持试样表面光滑，避免表面缺陷影响测试结果。
3. 确保支撑装置稳定并正确安装，避免其影响测试结果。
4. 在进行三点弯曲测试前，应对设备进行校准，并检查设备是否正常工作。
五、总结三点弯曲测试是一种简单易行且常用的材料力学性能测试方法。
在进行测试前需要准备好相应设备，并注意实验过程中的各项细节。
通过数据采集和处理可以得到试样的刚度、强度以及断裂模式等信息。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
AB段
M1x3 4FPx 0x4 l
BC段
M 2x3 4F Px － F P x － 4 l 4 lxl
6.2 梁的小挠度微分方程及其积分
例题2
M1x3 4FPx 0x4 l M 2x3 4F Px － F P x － 4 l 4 lxl
AB段 BC段
xE FP I83x21278l2
xE FP I8 3x21 2x4 l212 78l2
wxFP1x37l2x
EI 8 128
w xFP1x31xl37l2x
EI8 6 4 128
算得加力点B处的挠度和支承处A和C的转角分别为
wB
3 FPl3 256 EI
A
7 128
FPl 2 EI
B
6
EIw1qlx4CxD
24
6.2 梁的小挠度微分方程及其积分
例题1
O
x
w
EIw'EI1qlx3C
6
EIw1qlx4CxD
24
4． 利用约束条件确定积分常数
固定端处的约束条件为： x0， w0 x0，=dw0
dx
C
ql3 ,
6
D ql3 24
6.2 梁的小挠度微分方程及其积分
例题1
EIw'EI1qlx3C
的挠度和转角，得到常见静定梁在复杂荷载作用下 的挠度与转角。
6.3 叠加法确定梁的挠度与转角
6.3 叠加法确定梁的挠度与转角
6.3 叠加法确定梁的挠度与转角
6.3 叠加法确定梁的挠度与转角
2. 第一类叠加法
——应用于多个荷载作用的情形
例题3
简支梁受力如
图所示，q、l、EI
均为已知。
求：C截面的挠 度wC ；B截面的转
1. 小挠度微分方程
纯弯曲时曲率与弯矩的关系为 1 M EI
横力弯曲时, M 和 都是x的函数 。细长
梁可以略去剪力对梁的位移的影响, 则
力学中的曲率公式
1
x
Mx
EI
d2w
1
dx2
数学中的曲率公式
x
1
d w
3
2 2
d x
-y
中性层曲率中心
y d
A' A'
O'
y O'
z dx
x
max
B
ql3 6EI
6.2 梁的小挠度微分方程及其积分
例题2
简支梁受力如图所示。
FP、EI、l均为已知。
求：加力点B的挠度和
支承A、C处的转角。
6.2 梁的小挠度微分方程及其积分
例题2
解：1．确定梁约束力
首先，应用静力学方法求得 梁在支承A、C二处的约束力分别 如图中所示。
解： 2. 分段建立梁的弯矩方程
1. 基本概念
■ 取梁的左端点为坐标原点，梁变形前的轴线为 x 轴 （向右为正） ，横截面的铅垂对称轴为 w 轴（向下为 正） ， x w 平面为纵向对称面。
■ 度量梁变形
后横截面位置改
A
变，即位移，有
三个基本量。
w
B x
B'
6.1 梁的变形与位移
挠度deflection（ w）：横截面形心 C （即轴线上的点）
wC和转角C。
6.3 叠加法确定梁的挠度与转角
×
×
√
×
6.2 梁的小挠度微分方程及其积分
5、积分法求解小挠度微分方程举例
例题1
左端固定、右端自由的 悬臂梁承受均布荷载。均布 荷载集度为q ，梁的弯曲刚度
为EI 、长度为l。q、EI 、l 均
已知。
求：梁的挠度与转角方程， 以及最大挠度和最大转角。
6.2 梁的小挠度微分方程及其积分
例题1
O
x w
1 ql 4 w C 3 16 EI
B1
1 24
ql 3 , EI
B2
1 16
ql 3 ,
EI
B3
1 3
ql 3 EI
,
6.3 叠加法确定梁的挠度与转角
例题3
3. 应用叠加法，将简单荷载 作用时的结果分别叠加。
wC i31wCi3181q4E4lI,
B
3
Bi
i1
11ql3 48EI
处理具体问题时的注意点
于是有
转角
C
Bx
w 挠度
C'
B'
挠度与转角的相互关系
w dw
dx
6.1 梁的变形与位移
■ 挠度和转角符号的规定 挠度：向下为正，向上为负。 转角：顺时针转为正，逆时针转为负。
A 挠曲线
w
转角
C
B
x
C'
w 挠度
B'
第6章 弯曲刚度
6.2 梁的小挠度微分方程及其积分
6.2 梁的小挠度微分方程及其积分
1. 叠加法前提
★ 在小变形，服从胡克定律的前提下 挠度、转角与荷载均为一次线性关系
实用的工具：挠度表（P157） 为方便工程计算，已将各种支承条件下的静定
梁，在各种典型荷载作用下的挠度和转角表达式一 一列出，并形成手册。
重要的方法：叠加法（superposition method） 应用叠加原理及常见静定梁在简单荷载作用下
梁的边界条件
①在固定端处：
x 0 , A w A 0 , w 0
A
Bx
w
②在固定铰支座和滚动铰支座处：
A
w
l
x0, wA0;
B x
xl, wB0.
6.2 梁的小挠度微分方程及其积分
梁的连续性条件
①在集中力作用处：
P
A
C
B
wC wC
C
C
M
A C
②在中间铰处： B
a
l
wC wC
练习
写出下图的边界条件、连续性条件：
讨论：叠加法应用于多个荷载作用的情形的解题步骤 ● 将其分解为各种荷载单独作用的情形 ● 由挠度表分别查得各种情形下的挠度和转角 ● 将所得结果叠加
思考题4
二梁的受力(包括荷载与约束力)是否相同？ 二梁的弯矩是否相同？ 二梁的变形是否相同？ 二梁的位移是否相同？ 位移不仅与变形有关，而且与约束有关。
x
M(x)
FQ(x)
解：1．建立Oxw坐标系
2．建立梁的弯矩方程
M (x)1qlx2
2 3． 建立微分方程并积分
0xl
将上述弯矩方程代入小挠度微分方程，得
EIw"M1qlx2
2
d2w M(x) dx2 EI
6.2 梁的小挠度微分方程及其积分
例题1
O
x
积分后，得到
w
EIw"M1qlx2
2
EIw'EI1qlx3C
o
x
M
M
o
M
x d2w M
M
dx2 EI
w
M
0,
d2w dx2
0
w
M
0,
d2w dx2
0
因此, M 与 w的正负号正好相反，所以
d2w M(x) dx2 EI （小挠度微分方程）
近似原因：（1） 略去了剪力的影响；（2）小挠度略去了 w2 项。
6.2 梁的小挠度微分方程及其积分
2. 小挠度微分方程的积分
■ 挠曲线 ：梁变形后的轴线。
挠度方程：ww(x) 转角方程： (x)
注意：当变形保持在弹性范围内，挠曲线为连续光滑曲线。
2. 挠度与转角的关系
tan w dw A
dx
w
挠曲线
转角
C
B
x
C'
挠度w
B'
A
挠曲线 w
6.1 梁的变形与位移
tan w dw
dx
在小变形条件下，挠度曲 线较为平坦。
即很小，因而上式中tan。
例题2
积分后，得
E Id d 2 x w 2 1 M 1x4 3F Px 0x4 l
E Id d 2 x w 2 2 ＝ － M 2 x － 4 3 F P x ＋ F P x － 4 l 4 l x l
EI183FPx2 C1
EI1w 8 1FPx3C1xD1
E E2 II2 w 8 1 8 3F F PP xx32 1 61 2F F PP xx 4 l4 l 3 2 C C 2x 2D 2
9 FL 512
求解静不定问题 建立补充方程 利用弯曲变形（求解静不定问题）
第6章 弯曲刚度
6.1 梁的变形与位移 6.2 梁的小挠度微分方程及其积分 6.3 叠加法确定梁的挠度与转角 6.4 梁的刚度问题 6.5 提高梁刚度的措施 6.6 简单的静不定梁
第6章 弯曲刚度
6.1 梁的变形与位移
6.1 梁的变形与位移
6
EIw1qlx4CxD
24
C
ql3 ,
6
D ql3 24
5． 确定挠度与转角方程
w24qEIlx44l3xl4
q
6EI
lx3l3
6． 确定最大挠度与最大转角
从挠度曲线可以看出，在悬臂梁自由端处，挠度和转角均为最
大值。 于是，将 x = l，分别代入挠度方程与转角方程，得到：
wmax
wB
ql4 8EI
形状及位置。
思考题1
弯矩？
约束？
连续光滑？
试根据连续光滑性质以及
约束条件，画出梁的挠度曲线 的大致形状。
×
×
×
√